4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

Transcript

1 4.7. ZADACI Zadaci Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos = π/, koja, prema zadatku 78, važi za svako [, ], i primenom pravila za nalaženje izvoda, imamo Odavde je arcsin ) + arccos ) = 0. arccos ) = arcsin ) =. 34. Naći izvod funkcije ctg. Rešenje. I način: Prema pravilu o izvodu količnika, ctg ) cos ) sin sin cos cos = = sin sin II način: Prema pravilu o izvodu složene funkcije, ) ctg ) = = tg tg tg ) = cos sin = sin. cos = sin. 34. Znajući izvod funkcije tg, naći izvod funkcije arctg. Rešenje. Prema pravilu o izvodu inverzne funkcije, za svako y π/, π/) i = tg y R, imamo arctg ) = tg y) = cos y. Kako je cos y = + tg y = +, nalazimo da je izvod funkcije y arctg jednak / + ) Znajući izvod funkcije arctg, odrediti izvod funkcije arcctg. Uputstvo. Poći od jednakosti arctg + arcctg = π/ Znajući da je log ) = /, odrediti izvod funkcije log b. Rešenje. Iz jednakosti log b = log, primenom linearnosti, nalazimo log b log b ) = log b log ) = log b Znajući da je e ) = e, naći izvod funkcije e a. Rešenje. Ako je fu) = e u, u = g) = a, tada je e a = fg)). Odavde je e a ) = e u ) u = a a) = e a a Naći izvode funkcija sh i ch.

2 88 4. DIFERENCIJALNI RAČUN Rešenje. Kako je e ) = e, e ) = e, primenom linearnosti dobijamo ) sh ) e e = = e + e i na isti način, ) ch ) e + e = = e e = ch, = sh Dokazati da je fa) ) = af a), gde je a data konstanta Znajući da je e ) = e, naći izvod funkcije a. Rešenje. Kako je a = e log a, imamo da je a = flog a ), gde je f) = e. Stoga je zadatak 347): a ) = log a f log a ) = e log a log a = a log a Polazeći od izvoda logaritamske i eksponencijalne funkcije, odrediti izvod funkcije a, za > 0, a R. Rešenje. Kako je, a = e a log > 0), prema pravilu o izvodu složene funkcije imamo da je a ) = e a log ) = e a log a log ) = e a log a = a a = aa Naći izvode funkcija th i cth. Rešenje. Prema pravilu o izvodu količnika, ) th ) sh = = ch sh ch ch Na sličan način dobija se da je cth ) = sh. = ch. 35. Naći izvode funkcija: a) 77, b) 3/4, c) 5/, d), e) 4 5, f) 5 4, g) 3/ 3, h). 3 Rezultat. a) 77 76, b) 3 4 /4, c) 5 7/, d), e) 5 4 /4, f) 4 5 /5, g) 5 6 /6, h) 3 5/. 35. Neka je f : u fu) data funkcija i neka je g) = f + a), gde je a konstanta. Dokazati da je g ) = f u) u = + a Naći izvode funkcija: a) e 3, b), c) log + 3), + 5 d) sin+π/5), e) tg +), f) arctg ), g) +) 76, h) ) 3. Rezultat. a) e 3, b) + 5), c), d) cos + π/5), + 3 e) cos + ), f) + ), g) 76 + )75, h) 3 ) 4.

3 4.7. ZADACI Neka je u fu) data funkcija i neka je g) = fa + b), gde su a i b konstante. Dokazati da je g ) = af u) u = a + b Naći izvode funkcija: a) + 6) 00, b) 3 π, c) 3, d) log8 7). e) tg 5 + ), f) arctg ), g) sh + 8), h) 4 3. Rezultat. a) ) 99, b) 3 π) /3, c) 3 3 log, 8 d) 8 7, e) 5 cos 5 + ), f), g) ch + 8), + ) h) 3 4 3) Ako je poznat izvod funkcije f, navedite dva načina kako se može naći izvod funkcije /f. Rešenje. Kako je /f) = f) ), izvod možemo naći ili primenom pravila o izvodu količnika ili primenom pravila o izvodu složene funkcije. Primenom pravila o izvodu količnika imamo ) = ) f) f ) f) f ) = f ) f ). Primenom pravila o izvodu složene funkcije nalazimo f) ) ) = ) f) ) f ) = f ) f ). Drugi način je jednostavniji i trebalo bi da se isključivo koristi.! 357. Naći izvode funkcija: a) sec, b) cosec, c) log a, d) ch + 3), e), f) sin sin a, g) e + 3, h) Rezultat. a) tg cos, log a + 3) b) ctg, c) sin log, d) sh ch + 3), e) + )log cos, f) ) sin sin a), g) e e + 3), h) 5 + 6) Naći izvod funkcije arsh. Rešenje. I način: Neka je = sh y. Primenom pravila o izvodu inverzne funkcije imamo da je arsh ) = sh y) = ch y = + sh y =. + II način: Polazeći od eksplicitne formule arsh = log + + ), nalazimo da je ) arsh ) = =. + +

4 90 4. DIFERENCIJALNI RAČUN! 359. Naći izvode funkcija: a) arch, b) arth, c) arcth. Rezultat. a), b), c) Dokazati da važi generalisano pravilo o izvodu proizvoda: f )f ) f n ) ) n = f ) f i) f n ). i= 36. Naći izvod funkcije f) = ) ) 3). Rešenje. Primenom generalisanog pravila o izvodu proizvoda, imamo da je ) ) ) 3) = = ) ) 3) + ) ) 3) + ) ) 3) = ) 3) + ) 3) + ) ) = Ako je f) = + ) + n), odrediti f 0). [ n! ] 363. Naći izvode funkcija: a) )3 3 ) ) [ ] ) 3 b) + ) [ ) /3 ] + c) [ ] 8 + d) [ ] 364. Naći izvode funkcija: a) sincos )cossin ) [ sin cossin ) coscos ) cos sinsin ) sincos ) ] b) log [ c) logloglog ))) [ ] log loglog ) ] d) ep + + 3) [ + ) ep + + 3) ] e) cos [ cos + log )sin ] f) arcsin [ g) arcsin h) arctg tg [ [ ] + arcsin ) 3/ ] sin sin 4 +cos 4 ] 365. Naći izvod funkcije f) = log. Rešenje. Funkcija f je definisana za svako 0. Kako je = za < 0, imamo da je log ) = [log )] = ) = < 0). Za > 0 je =, odakle sleduje! log ) = log ) = Prema tome, za svako 0, log ) =. > 0).

5 4.7. ZADACI Ako funkcije f i g imaju konačne izvode, naći izvode sledećih funkcija: a) f ) + g ), b) arctg f) g), c) g)log f). Rezultat. a) f f + g g f + g, b) f g g f f + g, c) g log f + f g f Naći izvod funkcije f) = logcos + + cos 4 ). Rešenje. Neka je u) = cos i vu) = + u. Tada je f ) = logu) + + u ) ) ) = u + v = 368. Naći izvode funkcija: ) u + uu + u u + v u u + v) = u = sin + u + u + cos4. a) e arcsine e + log e ) [ e arcsin e e ) 3/ ] b) a a + a + a arcctg a [ 4log a a arcctg a ] +a ) 369. Dokazati da je izvod parne funkcije neparna funkcija i obrnuto. Uputstvo. Diferencirati levu i desnu stranu jednakosti f) = f ) Naći izvode funkcija: a), b) /, c). Rezultat. a) log + ), b) / log ), c) + log + log + ). 37. Naći izvode funkcija: a) y = sin ) cos +cos ) sin, b) y = log ) log, c) y = arcsinsin ) arctg ) arccoscos ) Rešenje. a) Izvod prvog sabirka je: sin ) cos ) = e cos log sin ) = e cos log sin cos log sin ) = sin ) cos sin log sin + cos sin ). Na isti način nalazimo izvod drugog člana: cos ) sin ) = e sin log cos ) = e sin log cos sin log cos ) b) Kako je = cos ) sin cos log cos sin cos ). log y = log log log ), diferenciranjem leve i desne strane ove jednakosti, dobijamo y y / = log log + log log ) = log log + log log,.

6 9 4. DIFERENCIJALNI RAČUN odakle je y = log ) log c) Kao i u slučaju b), polazimo od log log + log log ). log y = arctg log arcsin sin log arccoscos ). Diferenciranjem obe strane nalazimo: y = ya + B), gde je A = arctg + log arcsin sin log arccoscos ), B = arctg arcsinsin sin cos sin 4 arccoscos ). cos4 sin cos Veza izmed u neprekidnosti i diferencijabilnosti. Levi i desni izvodi teorija na stranama 38-4) 37. Koja od sledećih tvrd enja su tačna: a) Svaka neprekidna funkcija je diferencijabilna; b) Svaka diferencijabilna funkcija je neprekidna; c) Svaka diferencijabilna funkcija ima konačan izvod; d) Postoje diferencijabilne funkcije koje nemaju izvod; e) Postoje neprekidne funkcije sa beskonačnim izvodima u pojedinim tačkama Navesti primer jedne neprekidne funkcije koja nema ni konačan ni beskonačan) izvod u tački = Konstruisati neprekidnu funkciju, definisanu u svakoj tački R, koja nema izvod u tačkama,,3. Rešenje. Na primer, funkcija f) = je neprekidna u svakoj tački R, ali nema izvod u tačkama =,, Navesti primer funkcije koja je neprekidna u datoj tački a, ali u toj tački ima beskonačan izvod. Rešenje. Funkcija f) = 3 a zadovoljava postavljene uslove. Ova funkcija je neprekidna u tački a; po definiciji izvoda imamo da je f a) = lim h 0 3 h h = lim h 0 = +. h/3

7 4.7. ZADACI Neka je y, < 0 f) =, = 0, > 0 Slika 8. Da li je za ovu funkciju levi izvod u nuli jednak desnom izvodu? Koliko iznose ovi izvodi? [ f 0) = +, f +0) =. ] 377. Skicirati funkciju f) = [], a zatim naći njen levi i desni izvod u tački = Neka je f) = Da li data funkcija ima izvod u = 0? {, 0 e, > 0 Rešenje. Levi i desni izvod funkcije f možemo da odredimo na dva načina. I način: Kako se analitički izrazi kojima je zadata funkcija razlikuju sa leve i desne strane nule, izvode tražimo po definiciji: f f0) f h) 0 h) = lim = lim =. h 0 + h h 0 + h f + fh) f0) e h ) 0 = lim = lim =, h 0 + h h 0 + h gde je poslednja granična vrednost nad ena u zadatku 99. II način: Primetimo da je funkcija neprekidna u tački = 0, jer je = e za = 0. Stoga je levi izvod date funkcije u tački = 0 jednak izvodu funkcije u) =, dok je desni izvod date funkcije u nuli jednak izvodu funkcije v) = e u istoj tački. Odavde je f 0) = f +0) =. Kako su levi i desni izvod jednaki, funkcija f ima izvod f 0) = Neka su funkcije u) i v) definisane u nekoj okolini tačke 0, neprekidne u 0 i imaju konačne izvode u 0. Neka je { u), 0 f) = v), > 0 Pod kojim uslovima funkcija f ima izvod u 0? Rezultat. Funkcija f ima izvod u 0 ako i samo ako je u 0) = v 0) i u 0) = v 0). sa 380. Da li se realni brojevi a i b mogu odrediti tako da funkcija f, definisana f) = { a +, ) 3 b, > ) bude neprekidna u tački = i da ima konačan izvod u toj tački?