1. Analýza závislosti dvoch veličín

Transcript

1 . Aalýza závslos dvoch velčí Pr sracovaí dá sa veľm časo sreávame s úlohou zsť, č dve áhodé velč sú sochasck ezávslé. Nar. ás môže zaímať, č v sledovae oulác e farba očí a farba vlasov ezávslá alebo č oče dí ráceeschoos a vek racovíka sú ezávslé. Vzťah ede velč k druhe, res.závslosť ede velč a druhe (regresa), e možé zo súčase meraých, ozorovaých dá. Ak sa redokladá, že medz dvoma remeým esue väzba kore slu vadrue soločý rozl (kovaraca), ýcho remeých, e možé omocou eo formáce aromovať edu remeú, omocou druhe a vvorť regresý model (RM), regresú závslosť remeých. Regresé model umožňuú leše, hlbše ozae sozae skúmaých avov v súvslosach, omocou vzťahov medz remeým. Vhodosť u regesého modelu sa hodoí omocou koreláce,.. číselého vadrea esos, evos väzb medz remeým. Koreláca sa hodoí odľa vbraých krérí, z korých aúčeše e číselé vadree omocou koefceu koreláce. Voľba vhodého u závslos vchádza z bodového dagramu,.. a začaku sracovaa dvorozmerého súboru dá e orebé vesť do grafu dvoce hodô {, } a z eho odhadúť možý rebeh závslos. Pr skúmaí závlso sa reša dve základé úloh:. určee u regresého modelu sa ozačue ako regresá úloha,. zsťovae sl vzťahu medz remeým, korelačá úloha korelačého oču. Podľa oho, koľko ezávsle remeých sa bere r rešeí korelačého oču do úvah, sa hovorí o: edoduche alebo árove korelác (korelác dvoch remeých), ak sa uvažue le s edou ezávsle remeou, vacásobe korelác, ak e oče uvažovaých ezávsle remeých väčších ako eda.. Určee u regresého modelu (regresá úloha).. Jedoduchá leára regresa leár regresý model Ak o veseí hodô {, } má bodový dagram red rame závslos (edolvé bod leža a ramke (Y = B + B X) alebo sa od e eare odchľuú), bodovým odhadom eo regrese ramk e = b + b a áo závslosť e aleším odhadom leáreho regresého modelu. Košaa b r grafckom zobrazeí regrese ramk určue bod, v korom ramka reía os. Koefce b osúva ramku v reore, reo sa azýva a lokuúcou košaou. Koefce b, e smerca regrese ramk a udáva, o koľko merých edoek sa v remere zmeí závsle remeá, ak sa ezávsle remeá zmeí o edu merú edoku. Práve eo koefce dáva formáce o rebehu závslos a azýva sa regresým koefceom.

2 Koefce b, b sa urča meódou ameších švorcov a ch vadree e možé zaísať v vare b. b b a bodový odhad ramk e možé vadrť v vare, b. Uvedeý os leáre závslos laí re ríad že, Y e závsle a X ezávsle remeou. Medz zakm však môže bť závlosť a X od Y. Túo závslosť chrakerzue ramka X = A + A Y a e odhadom e ramka = a + a. Pr výoče koefceov a a a sa osuue aalogck ako r výoče koefceov b a b. Ak esue obosraá závslosť ramk sa azývaú združeé regresé ramk (leáre regresé model oboch ov vora združeé regresé model) a ch regresé koefce združeé regresé koefce. Leáre regrsé ramk (model) solu vváraú zv. korelačé ožce. Čím sú vac ovoreé závslosť e meša, a aoak... Neleára regresa eleár regresý model Ak závslosť medz remeým Y a X e e leára, vadrí sa e rebeh vhodou eleárou regresou fukcou, rčom sa môžu oužť eleáre fukce s dvom alebo vacerým arameram.

3 Koefce eleáreho regresého modelu e možé určť ramo omocou meód ameších švorcov, alebo eramo oužím rasformáce a leáru fukcu. Načaseše oužívaé eleáre fukce s dvoma arameram e možé rasformovať a fukcu, kore odhadom e regresá fukca w = b + b z, kde w = g(), z = g (), w, z sú rasformovaé fukce g() a g(z). Na uvedeý var w = b + b z e možé rasformovať ar.: b herbolu. suňa b rasformáca: herbolu z b b rasformáca: z logarmckú fukcu rasformáca: z = l eoecále krvk: a a b b l rasformáca: w = log, z =, o rasformác sa získa fukca log = log a + z.log a, b = log a, b = log a b a rasformáca: w = log, z = log, fukca: log = log a + b.log, b = log a b / a e rasformáca: w = l, z =/, fukca: l = l a + a / b = l a, b. a e rasformáca: w = l, z =, fukca: l = l a + a. b = l a Ak sa uskuočí leára rasformáca ďalší osu e ako r leáre závslos. Pr voľbe u fukce, e dôležé zvolť fukcu, korá e arlehaveša,.. aleše vshue rebeh závslosť remee Y od remee X. Od voľb sráveho u regese fukce závsí, do ake mer vshe vzťah medz remeým, a eda rozhoduu aký fukce sa zvolí, e orebé veovať veľkú ozorosť. Pr voľbe u regrese fukce (regesého modelu) sa musí sáať zalosť rebehu edolvých ov krvek s formácam o skúmaom ave a rozložeí emrckých údaov. Prom zvčae omáha zobrazee bodového dagramu. T regrese fukce sa volí ak, ab čo areseše vhovovala rozložeu bodov v dagrame a logckým súvslosam daých avov. Pre lešu oreácu sú a asleduúcch obrázkoch zázoreé ekoré oužívaé krvek. Výber avhodešeho u regrese fukce (regesého modelu) emusí bť vžd zremý od rve chvíle, reo sa za avhodeší ovažue e: korý e alogckeší,

4 r korom sa rozdelee rezduálch odchýlok blíž avac k ormálemu rozdeleu, korý zabezečue že rozdelee rezduálch odchýlok bude mať rblže rovakú varablu, r korom sô rezduále odchýlk ameše, korý vkazue aväčšu esosť závslosí, korý e aedoduchšou krvkou.. Korelačá úloha.. Párová koreláca Rozozae suňa závslos remee Y od remee X e dôležá úloha. Čím e sueň závslos medz remeým všší, ým e väčša a vovedaca sla regrese fukce (regresého modelu). Sueň závslos medz remeým charakerzuú mer esos šascke závslos. Teo sa ohbuú v eve saoveom ervale a v rámc oho ervalu rasú so suňom závlsos. Sú ezávslé od veľkos hodô skúmaých zakov a od oužívaých edoek. To umožňue z ch veľkos ramo usudzovať o su závslos a orovávať mer esos šascke závslos za rôze šascké súbor. Korelačý omer e odmoca z odelu súču švorcov odchýlok odmeeých remerov závsle remee od e celkového remeru a celkového súču švorcov odchýlok od eo remee. Nadobúda hodo od do. Čím e aký koefce blžší, ým e závslosť medz daým dvom velčam sleša a čím e blžší, ím e slabša. Korelačý omer e avšeobecešou merou esos šascke závslos, korú e možé očíať bez ohľadu a o, č sa už rešla regresá úloha. m m m m m m Ide deermáce e odel súču švorcov odchýlok eoreckých hodô od celkového remeru závsle remee k celkovému súču švorcov e odchýlok. Ako mera esos šascke závslos sa oužíva druhá odmoca deu deermáce a azýva sa de koreláce. m m re redeé údae

5 m re eredeé údae Ide koreláce charakerzue sueň závslos remee Y od X za redokladu, že e rebeh vshue regresá fukca (regresý model). Hodo koré adobúda a sôsob hodoea závslosí e aalogcký ako v ríade korelačého omeru. Vužíva sa ved, keď sa hodoí vhodosť eleáre regrese fukce (regresého modelu). Koefce koreláce hodoí meru leáre šascke závslos. Nadobúda hodo z ervalu (-,) a oužíva sa a ako mera esos závslos rasformovaých remeých. Výoče sa realzue z eredeých remeých. Na hodoee vhodos regesého modelu sa vužíva a druhá moca koefcea koreláce zv. koefce deermáce r. Koefce koreláce e možé vočíať vacerým sôsobm: ako súč ekorého zo združeých regresých koefceov a odelu smerodae odchýlk ezávsle remee ku smerodae odchýlke závsle remee s s r b a s s ako odel kovarace remeých X ay a ch smerodaých odchýlok cov. r s s s s koefce koreláce e geomerckým remerom zo združeých regresých koefceov. r a b Koefce koreláce má asledové vlasos: mera esosť závslos medz X a Y obosrae,.. Y od X, ale súčase X od Y, môže bť kladý ale a záorý, rčom eho zameko vadrue charaker závslos: ak e závlsosť rama, má koefce koreláce kladé zameko, r erame závslos e záorý.

6 .3 Tesovae hoéz o ezávslos Tesueme H : ρ = ro obosrae aleraíve H : ρ (res. ro ľavosrae aleraíve H : ρ < res. ro ravosraé aleraíve H : ρ > ). Tesovace krérum má R var: T. Ak laí ulová hoéza, oom T ~ (-). Krcký obor re es H R ro obosrae aleraíve: W, / /,, ro ľavosrae aleraíve: W, a ro ravosrae aleraíve: W,. H zameame a hlade výzamos α, keď T W. Príklad 7.: Máme k dsozíc výsledk esov z dvoch redmeov zseých u ôsmch áhode vbraých šudeov určého odboru. Číslo šudea Poče bodov v. ese Poče bodov v. ese Na hlade výzamos,5 esue hoézu, že výsledk oboch esov e sú klade korelovaé. Rešee: Narv sa musíme resvedčť, že uvedeé výsledk e možé ovažovať za realzáce áhodého výberu z dvorozmerého ormáleho rozdelea. Je možé ak učť oreače omocou dvorozmerého bodového dagramu. Bod b mal vvorť elsový obrazec. 8 6 Y X Obrázok svedčí o om, že redoklad dvorozmere ormal e oráveý a že medz očam bodov z. a. esu bude esovať určý sueň rame leáre závslos. Tesovaá e H : ρ = ro ravosrae aleraíve H : ρ >. Výočom sa zsí: R =,6668, T =,97. V abuľkách sa áde,95 (6) =,943. Krcký obor: W,943 ;. Preože T W, hoézu o eesec klade koreláce výsledkov z. a. esu zameame a hlade výzamos,5.

7 .3. Porovae koefceu koreláce s daou košaou Ak c e reála košaa. Tesue sa H : ρ = c ro H : ρ c. (Teo es sa vkoáva ar. ved, ak eermeáor orováva vlasos svoch dá s vlasosťam uvádzaým c c v leraúre.) Tes e založeý a esovacom kréru U Z l 3, c korá má za laos H re asmock rozdelee N(,), rčom Z R l R e zv. Fsherova Z-rasformáca. Krcký obor re es H ro obosrae aleraíve eda e W, u / u /,. H sa zamea a asmocke hlade výzamos α, keď U W. Príklad 7.: V 6 vzorkách rud bol saoveý obsah železa dvoma aalckým meódam s výberovým koefceom koreláce,85. V leraúre sa uvádza, že koefce koreláce ýcho dvoch meód má bť,9. Na asmocke hlade výzamos,5 esue hoézu H : ρ =,9 ro H : ρ,9.,85 Rešee: Z l, 56,,85,9,9 U,56 l 6 3 5,976, u,975 =,96,,9 6 W,,96,96,. Preože U W, H zameame a asmocke hlade výzamos,5..3. Porovae dvoch korelačých koefceov Ak sú daé dva ezávslé áhodé výber o rozsahoch a * z dvorozmerých ormálch rozdeleí s korelačým koefcem ρ a ρ *. Tesue sa H : ρ = ρ * ro H : ρ ρ *. Ozačí sa R výberový korelačý koefce. výberu a R * výberový korelačí koefce * R * R. výberu. Položí sa Z l a Z l. Ak laí H *, oom esovace R R krérum 3 * * 3 Z Z U má asmock rozdelee N(,). Krcký obor re es H ro obosrae aleraíve e W, u / u /,. H sa zamea a asmocke hlade výzamos α, ak U W. Príklad 7.3: Lekársk výskum sa zaoberal sledovaím kocerác láok A a B v moč aceov racch určou oblčkovou chorobou. Pr zdravých edcoch bol výberový korelačý koefce medz kocerácam oboch láok,65 a v ríade 4 osôb racch zmeeou chorobou bol,37. Na asmocke hlade výzamos,5 esue hoézu, že korelačé koefce v oboch skuách sa elíša.

8 Rešee:,65 *,37 Z l,7753, Z l,3884,,65,37,7753,3884 U,94, u,975 =,96, W,,96,96,. Preože U W, H sa zamea a asmocke hlade výzamos, Ierval soľahlvos re korelačý koefce V ríade že, dvorozmerý áhodý výber rozsahu ochádza z dvorozmerého ormáleho rozdelea, korého korelačý koefce sa rílš elíš od ul ( ρ <,5) a rozsah výberu e dosaoče veľký ( ), (-α)% erval soľahlvos re ρ má R medze R u /. 3 Ak e sú uvedeé odmek sleé, oom e e možé eo vzorec oužť, reože rozdelee výberového korelačého koefceu e rílš zoškmeé. V akom ríade sa vuže o, že áhodá velča Z R l má r malom rozsahu výberu rblže R ormále rozdelee so sredou hodoou E Z l (. sčíaec e možé r väčšom zaedbať) a rozlom D Z. Šadardzácou velč Z sa získa 3 velča U Z E(Z), korá má asmock rozdelee N(,). Teda (-α)% D(Z) asmocký erval soľahlvos re l bude mať medze soľahlvos re ρ oom sa získa säou rasformácou. Z u /. Ierval 3 Vzhľadom a o, že Z = arcgh R, dosaeme R = gh Z a medze ervalu u / e e soľahlvos re ρ e možé aísať v vare gh Z, rčom gh. 3 e e Príklad 7.4: Pracovík ersoáleho oddelea urče frm skúma, č esue vzťah medz očom dí absece za rok (velča Y) a vekom racovíka (velča X). Preo áhode vbral údae o racovíkoch. Č. rac X Y Za redokladu, že uvedeé údae vora číselé realzáce áhodého výberu rozsahu z dvorozmerého ormáleho rozdelea, vočíae výberový korelačý koefce a a hlade výzamos,5 esue hoézu, že X a Y sú ezávslé áhodé velč. Zosroe 95% asmocký erval soľahlvos re skuočý korelačý koefce ρ.

9 Rešee: Predoklad o dvorozmere ormale dá overíme oreače omocou dvorozmerého bodového dagramu Y X Vzhľad dagramu svedčí o om, že redoklad e oráveý. Tesueme H : ρ = ro H : ρ. Vočíame R = -,935, eda medz vekom racovíka a očom dí racove eschoos esue slá erama leára závslosť. Tesovace krérum: T = -7,353, kval,975 (8) =,36, krcký obor W,,36,36,. Vzhľadom k omu, že T W, zameame a hlade výzamos,5 hoézu o ezávslos velčí X a Y. R,935 Vočíame Z l l, 677. Medze 95% asmockého R,935 ervalu soľahlvos re ρ sú gh,677,96 7, eda -,984 < ρ < -,7336 s ravdeodobosťou rblže,95. Tesovae hoéz o ezávslos sa vkoáva rôzm sôsobm odľa oho, akého u sú daé áhodé velč č sú omále, ordále, ervalové alebo omerové. Koefceom koreláce sa hodoí mera šascke závslos ervalových, omerových velčí. Nasledove budú uvedeé hodoea mer šascke závslos a es ezávslos omálch a ordálch velčí..3.4 Tesovae ezávslos omálch velčí Ak X,Y sú dve omále áhodé velč (. obsahová erreáca e možá le r relác rovos). Ak X adobúda hodo [],..., [r] a Y adobúda hodo [],..., [s]. Získame dvorozmerý áhodý výber rozsahu z rozdelea, korým sa rad dvorozmerý dskré áhodý vekor (X, Y). Zseé absolúe očeos k dvoce hodô ( [], [k] ) usoradame do kogeče abuľk: []... [s]. k []... s

10 [r] r... rs r..k.....s Tesue sa hoéza H : X, Y sú sochasck ezávslé áhodé velč ro H : X, Y e sú sochasck ezávslé áhodé velč. Tesovace krérum TK má var: K )(s-)). r s k k... k.k. Ak laí H, oom K sa asmock rad rozdeleím χ ((r- Hoézu o ezávslos velčí X, Y eda zameame a asmocke hlade výzamos α, ak TK (K) KH (χ -α((r-)(s-))). Podmek dobre aromáce.. k Výraz sa azýva eorecká očeosť. Rozdelee esovaceho kréra K e možé aromovať rozdeleím χ ((r-)(s-)), okaľ eorecké očeos asoň v 8% ríadoch adobúdaú hodo väčše alebo rové 5 a v osaých % eklesú od. Ak e e sleá odmeka dobre aromáce, odorúča sa zlučovae ekorých hodô. Merae sl závslos K Cramérov koefce: V, kde m = m{r,s}. Teo koefce adobúda (m ) hodo medz a. Čím blžše e k, ým e eseša závslosť medz X a Y, čím blžše e k, ým e áo závslosť voleša. Príklad 7.5: V socologckom reskume bol z uchádzačov o šúdum a vsokých školách získaý áhodý výber rozsahu 36. Mmo ých sa zsťovala socála skua, z kore uchádzač ochádza a škol, a korú sa hlás. Výsledk sú zazameaé v kogeče abuľke: T škol Socála skua. I II III IV uverzý echcký 3 5 ekoomcký 3 5.k Na asmocke hlade výzamos,5 esue hoézu o ezávslos u škol a socále sku. Vočíae Cramérov koefce. Rešee: Výoče TK:

11 , 38,9, 3,3, ,5, 3,6, 8,3, ,5, 3,6, 8,3, K ,9 5 33, ,9 33,6 76,84, Saovee KH: r = 3, s = 4, χ,95(6) =, ,8, 33,6, 33,6, Rozhodue. Preože TK KH hoézu o ezávslos u škol a socále sku zameame a asmocke hlade výzamos,5. 76,4 Cramérov koefce: V, Švorolé abuľk Ak r = s =. Poom sa hovorí o švorole kogeče abuľke a oužíva sa ozačee: = a, = b, = c, = d. X Y. [] [] [] a b a+b [] c d c+d.k a+c b+d Pre úo abuľku avrhol R. A. Fsher resý (eaký) es ezávslos zám ako Fsherov fakorálový es. STATISTICA oskue -hodou re eo es. Ak e výsledok α, oom hoézu o ezávslos zameame a hlade výzamos α. ad V švorolých abuľkách sa oužíva charakerska OR, korá sa azýva odel bc šací (odds rao). Je možé s redsavť, že okus sa vkoáva za erovakých okolosí a môže skočť buď úsechom alebo eúsechom. Výsledok okolos. okusu I II úsech a b a+b eúsech c d c+d.k a+c b+d Pomer oču úsechov k oču eúsechov (zv. šace) za. okolosí e c a, za druhých b ad okolosí e. Podel šací e OR. Pomocou (-α)% asmockého ervalu d bc soľahlvos re odel šací e možé a asmocke hlade výzamos α esovať

12 hoézu o ezávslos omálch velčí X a Y. Asmocký (-α)% erval soľahlvos re rrodzeý logarmus skuočého odelu šací má medze: l OR u /. Ak o odlogarmovaí ezahre erval soľahlvos, a b c d oom hoézu o ezávslos zameeme a asmocke hlade výzamos α. Príklad 7.6: V ríade 35 uchádzačov o šúdum a sú fakulu bol hodoeý doem, akým zaôsobl a komsu a úse rímace skúške. Na asmocke hlade výzamos,5 esue hoézu, že rae a fakulu ezávsí od zaechaého domu a rímace skúške. raí doem. dobrý zlý áo 7 8 e k Rešee: ad 7 58 OR,98, l OR,83,,439, u,975 bc 39 a b c d l d,83,439,96,8, l h,83,439,96,69,8,69 d e,97, h e 5,433 Preože erval (,97; 5,433) obsahue číslo, a asmocke hlade výzamos,5 ezameame hoézu o ezávslos domu a rímace skúške a rae a fakulu., Tesovae ezávslos ordálch velčí Ak X,Y sú dve ordále áhodé velč (. obsahová erreáca e možá le v ríade reláce rovos a reláce usoradaa). Získame dvorozmerý áhodý výber (X, Y ),..., (X, Y ) z rozdelea, korým sa rad áhodý vekor (X, Y). Ozačíme R orade áhode velč X a Q orade áhode velč Y, =,...,. Tesueme hoézu H : X, Y sú oradovo ezávslé áhodé velč ro obosrae aleraíve H : X, Y sú oradovo závslé áhodé velč (res. ro ľavosrae aleraíve H : medz X a Y esue erama oradová závslosť res. ro ravosrae aleraíve H : medz X a Y esue rama oradová závslosť). Tesovace krérum sa azýva Searmaov koefce oradove koreláce a má var: 6 r S R Q. H sa zamea a hlade výzamos α a) v rosech obosrae aleraív, ak r S r S,-α () b) v rosech ľavosrae aleraív, ak r S - r S,-α () c) v rosech ravosrae aleraív, ak r S r S,-α (), kde r S,-α () e krcká hodoa, korá sa re α =,5 alebo, a 3 áde v abuľkách. Pre > 3 H sa zamea a

13 asmocke hlade výzamos α v rosech obosrae aleraív, ak (aalogck re edosraé aleraív). r S u Searmaov koefce r S súčase mera slu oradove závslos áhodých velčí X, Y. Nadobúda hodo z ervalu,. Čím e eho hodoa blžša - (res.), ým e sleša erama (res. rama) oradová závslosť velčí X, Y. Čím e eho hodoa blžša, ým e slabša oradová závslosť velčí X, Y. Príklad 7.7: Dva lekár hodol sav sedmch aceov o rovakom chrurgckom zákroku. Posuoval ak, že avšše orade dosal aťažší ríad. Číslo acea Hodoee. lekára Hodoee. lekára Vočíae Searmaov koefce r S a a hlade výzamos,5 esue hoézu, že hodoee oboch lekárov sú oradovo ezávslé. r S Rešee: Výoče TK: Saovee KH: Krcká hodoa: r S,,95 (7) =, ,857. Rozhodue: Preože TK (,857) KH (,745), ulovú hoézu zameame a hlade výzamos,5.

14 . Úvod do dee aalýz Tao kaola sa zaoberá orovávaím ukazovaeľov v dáových súboroch, koré sa líša buď časovo alebo resorovo alebo vece. Nadôležeše e orovávae ukazovaeľov z časového hľadska. Pod omom ukazovaeľ sa rozume velča, korá vovedá o akes socále ekoomcke hromade skuočos. K uvedeému orovávau veľm časo slúža rôze de. Budeme sa veovať košruovau a erreác ýcho deov. Ukazovaeľ a eho druh Ukazovaeľ e velča, korá charakerzue socále ekoomcký av v určom resore a v určom čase (okamh č erval). Príklad ukazovaeľov: oče obvaeľov SR ku dňu 3..5, veľkosť HDP v SR v r. 5, oče sobášov v SR v r. 5 ad. Rozlíšee ukazovaeľov z vecého hľadska Eezý ukazovaeľ: charakerzue eezu skúmaého avu (ar. obem, veľkosť, možsvo). Je vadreý číslom v urče mere edoke. Sravdla sa ozačue alebo Q (od slova uaum možsvo). Príklad eezých ukazovaeľov: rozloha oľohosodárske ôd v SR v r., oče arodeých deí v SR v r. 5 aď. Iezí ukazovaeľ: charakerzue ezu sledovaého avu. Vzká ako omer dvoch eezých ukazovaeľov, medz korým esue logcký vzťah. Sravdla sa ozačue (od slova rce cea). Príklad ezých ukazovaeľov: remerá obá locha bu radaúca a edého obvaeľa SR v r. 5, hekárový výos šece v SR v r. aď. Samosaú skuu vora ukazovaele šrukúre. Šrukúr ukazovaeľ e odelom edého delčeho ukazovaeľa k celkovému ukazovaeľu, korý e súčom delčích ukazovaeľov. Je o bezrozmeré číslo, koré udáva, ako sa delčí (logck odradeý ukazovaeľ) odeľa a celkovom ukazovael (logck adradeom). Nadobúda hodo medz a. Príklad šrukúrch ukazovaeľov: odel mládeže do 8 rokov a celkovom oču obvaeľov SR v r. 5, odel remslove výrob v SR v r. a hrubom domácom roduke aď. Rozdelee ukazovaeľov z hľadska rovorodos Rovorodý ukazovaeľ Eezý: eho hodo e možé saovť súčom. Nar. e možé sočíať ržb v maloobchode za edolvé mesace, oč racovíkov v edolvých závodoch odku aď. Rovorodý ukazovaeľ ezý: vzká ako odel dvoch rovorodých ukazovaeľov eezých, ar. hekárový výos urče lod. Nerovorodý ukazovaeľ: emá v edolvých časach (resorových, časových alebo vecých) rovakú aurálu odobu ako v celku. Zhrňovae súčom emá logcký zmsel. Nar. erovorodým eezým ukazovaeľom e ukazovaeľ obemu remslové rodukce Sr (auomobl, uhle, ábok aď.)

15 Ide, dferece a ch.3.. T orovávaa hodô ukazovaeľov Absolúe orovávae: omocou dferecí. Dfereca e rozdel dvoch hodô ukazovaeľa. Relaíve orovávae: omocou deov. Ide e odel dvoch hodô ukazovaeľa..3.. Druh orovávaa hodô ukazovaeľov Časové orovávae: výsledkom sú časové de a dferece (adôležeší druh orovávaa). Nar.: remerá mesačá mzda racovíkov v remsle v % SR v r. 5 a 4. Presorové orovávae: výsledkom sú resorové de a dferece. Nar.: remerá mesačá mzda racovíkov v remsle v r. 5 v ČR a SR. Vecé orovávae: výsledkom sú vecé de a dferece. Na: remerá mesačá mzda racovíkov v remsle a v oľohosodársve v SR v r. 5. Ide možsva úrove súhré dvduále súhré dvduále edoduché zložeé edoduché zložeé Obr.: Schéma druhov deov.3.3. Rozdelee deov z hľadska vecého obsahu Ide možsva: orováva hodo eezého ukazovaeľa v dvoch suácách. Ide úrove: orováva hodo ezého ukazovaeľa v dvoch suácách Rozdelee deov z hľadska rovorodos Idvduál de: orováva hodo rovorodého ukazovaeľa v dvoch suácách. Súhrý de: hodo erovorodého ukazovaeľa v dvoch suácách Rozdelee deov z hľadska resorového vmedzea Jedoduchý de: orováva dve hodo rovorodého ukazovaeľa v edom resore. Zložeý de: orováva dve hodo rovorodého ukazovaeľa vo vacerých resoroch, v korých sa údae red vlasým orovávaím musa zhrúť.

16 .4. Idvduále de a dferece.4.. Jedoduché dvduále de a dferece Ak e hodoa eezého ukazovaeľa v bežom období a v základom období. Jedoduchý dvduál de možsva: I () (dfereca: Δ() = ). Ak e hodoa ezého ukazovaeľa v bežom období a v základom období. Jedoduchý dvduál de úrove: I () (dfereca: Δ() = ). Príklad 8.: Zauíma ás vývo ce, redaého možsva a ržb za reda masla v ede reda v mesacoch seember a okóber roku 999. Údae sú v abuľke. Cea (Sk/kg) Preda (kg) Tržba (Sk) seember okóber seember okóber seember okóber Rešee: = 88, =94, I() = 94/88 =,68, z., že cea v okóbr vzrásla oro seember o 6,8%,. o Δ() = = 6 Sk za kg. = 4, = 8, I() = 8/4 =,9, z., že reda v okóbr oklesol oro seembru o 9,9%,. o Δ() = 8 4 = -4 kg Q = 496, Q = 3, I(Q) = 3/496 =,963, z., že ržba v okóbr oklesla oro seembru o 3,7%,. o Δ(Q) = = -464 Sk..4.. Bázcké a reťazové de Ak esuú k dsozíc hodo ukazovaeľa (ar. eezého) za obdobe,,...,, oom vývo ukazovaeľa e možé oísať radou za sebou dúcch dvduálch deov, a o buď bázckých ebo reťazových. Bázcké de: edo obdobe sa zvolí ako základé (ačaseše rvé,, B = ) a 3 osaé obdoba sa s ím orovávaú: I/ B(),I3/ B(),,I / B(). B B B Reťazové de: vzkaú orovaím dvoch o sebe asleduúcch čleov rad: 3 I /(),I3/ (),,I / (). Vzťah medz bázckým a reťazovým dem: I () I k / k () I k / B k / B, k =, 3,..., () I k / B() IB / B() IB / B () Ik / k (), k =, 3,..., Príklad 8.: V abuľke sú uvedeé údae o sorebe mäsa (v kg) a edého obvaeľa SR v rokoch 985 až 99. rok soreba 89,3 9,6 93,5 96, 97,4 96,5 Charakerzue vývo soreb mäsa omocou bázckých a reťazových deov.

17 Rešee: rok Bázcké,6,47,76,9,8 de Reťazové de,6,,8,4,99 Ierreáca: Nar. v r. 987 súla soreba mäsa o 4,7% oro roku 985, ale le o,% oro roku Zložeé dvduále de a dferece Máme dva eezé ukazovaele, Q a ede ezý ukazovaeľ = Q/. Hodo ukazovaeľov v základom období sa ozača, Q, a v bežom období, Q,. Načaseše sa vkoáva časové orovae. Predokladá sa, že údae sú z resorového alebo vecého hľadska čleeé do sfér. Pr výoče zložeých dvduálch deov a dferecí sa vchádza z asleduúce abuľk. Číslo sfér E. ukazovaeľ v období E. ukazovaeľ Q v období I. ukazovaeľ v období základom bežom základom bežom základom bežom,, Q, Q,,,,, Q, Q,,, ,, Q, Q,,, I ( Zložeý dvduál de možsva: Q) Q Q,, Q Q, I ( ) res. Teo de orovávaú možsvo v bežom období oro možsvu v základom období, a o cez všek sfér. Odovedaúce dferece:, Q Q Q, Zložeý dvduál de úrove: I Q Q,,,,,,,,,, V čael e celkový výos zo všekých sfér redeleý možsvom zo všekých sfér re bežé obdobe. V meovael sú e sé velč, ale re základé obdobe.,

18 Odovedaúce dferece:. Príklad 8.3: V abuľke sú údae o ceách, reda a ržbách za čersvé a solové maslo v ede reda v seembr a okóbr roku 999. Druh Cea (Sk/kg) Preda (kg) Tržba (Sk) masla seember okóber seember okóber seember okóber čersvé solové celkom Pomocou zložeých dvduálch deov možsva a úrove oíše vývo ce, redaa a ržb čersvého a solového masla celkom. Rešee: Pre možsvo redaého masla: I(Σ) = 6/67 =,974, z., že možsvo redaého masla v okóbr okleslo oro seembru o,6%,. o Δ(Σ) = 6 67 = -7 kg. Pre ržbu za redaé maslo: I(ΣQ) = 35/746 =,, z., že ržba v okóbr vzrásla oro seembru o,%,. o Δ(ΣQ) = = 56 Sk. 35 Pre ceu: I 6, 5, z., že remerá cea masla vzrásla v okóbr oro seembru o 5%,. o 4, 4 Sk Súhré de a dferece Slúža k relaívemu res. absolúemu orovau erovorodých eezých ukazovaeľov. Pr ch výoče sa vchádza z asleduúce abuľk: Druh výrobku Možsvo výrobku () Cea () za edoku Zákl. obdobe Bež. obdobe Zákl. obdobe Bež. obdobe,,,,,,,, ,,,,.5.. Súhré de možsva Paascheho de možsva: I (P) (),,,,. Vadrue relaívu zmeu obemu rodukce r ceove hlade odovedaúce bežému obdobu. Odovedaúca P dfereca:

19 Laseresov de možsva: I (L) (),,,,. Vadrue relaívu zmeu obemu rodukce r ceove hlade odovedaúce základému obdobu. Odovedaúca L dfereca:.5.. Súhré de úrove (ce) Paascheho ceový de: I (P) (),,,,. Vadrue relaívu zmeu ce r obeme rodukce odovedaúce bežému obdobu. Odovedaúca dfereca: P Laseresov ceový de: I (L) (),,,,. Vadrue relaívu zmeu ce r obeme rodukce odovedaúc základému obdobu. Odovedaúca dfereca: L Príklad 8.4: Máme k dsozíc údae o veľkoobchodých ceách a rodukc edého elého odku v rokoch 99 a 99. výrobok Cea (Sk/m) Produkca (v m) Tržba (Sk) zama mečeser flael celkom Posúďe omocou súhrých deov možsva, ako sa zmela ržba odku v r. 99 oro roku 99.Posúďe omocou súhrých ceových deov, ako sa zmela cea ovaru v r. 99 oro roku 99. Rešee: (P) ad a) I (), 86, z., že celková rodukca odku v r. 99 meraá ceam roku 99 vzrásla o 8,6%. (L) I (),96, z., že celková rodukca odku v r. 99 meraá ceam roku 99 vzrásla o 9,6%.

20 (P) 644 ad b) I (), 8, z., že r rodukc elu a úrov roku ce vzrásl o,8%. I (L) () ce vzrásla o,9% ,9, z., že r rodukc elu a úrov roku 99

21 3. Časové rad K orovau hodô ukazovaeľov v dvoch obdobach slúža meód dee aalýz. Ak e však orebé ozať určé zákoos vo vývo daého ukazovaeľa, e ué mať k dsozíc eho hodo za vacero období vo forme časového rad. Časové rad vzkaú v rírodých vedách alebo echke (ar. sezmcký zázam v geofzke, údae o remerých ročých eloách v klmaológ), v bologckých vedách (očeos výsku určého škodca v ekoľkých o sebe asleduúcch rokoch), v socológ (vývo rozvodovos), v ekoóm (obem oľohosodárske rodukce v ekoľkých o sebe asleduúcch rokoch, vývo výmeého kurzu) aď. Časovým radom sa rozume rad hodô,, určého ukazovaeľa usoradaý odľa rrodzee časove osuos <... <. Prom e ué dbať a o, ab vecá álň ukazovaeľa eho resorové vmedzee bol zhodé v celom sledovaom časovom období. Ak sú časové erval (, ),..., ( -, ) rovako dlhé (ekvdsaé), zedodušee sa zasue časový radu ako,...,. 3. Druh časových radov a) Časový rad okamhový: ríslušý ukazovaeľ udáva, koľko avov esue v daom časovom okamhu (ar. oče obvaeľsva k určému dňu). b) Časový rad ervalový: ríslušý ukazovaeľ udáva, koľko avov vzklo č zaklo v určom časovom ervale (ar. oče sobášov očas roka). Ak e sú edolvé časové erval ekvdsae, e ué vkoať očsee časove rad od dôsledkov kaledárch varác. Príklad 9.: Máme k dsozíc údae o ržbe obchode orgazáce (v s. Sk) v edolvých mesacoch roku 995: 4, 34, 47, 445, 894, 3354, 355, 355, 35, 363, 694, 6. Vočíae očseé údae. Rešee: Premerá dĺžka mesaca e 365/ dňa. Očseá hodoa re auár e eda 365 ( o) 4 354,84 3, re február 365 ( o) 34 38, 8 8. Pre osaé mesace aalogck dosaeme 36,7; 478,96; 839,54; 34,58, 3448,86; 3448,86; 369,79; 35,36; 73,4; 55,8. 3. Grafcké zázoree časového radu a) Okamhový časový rad sa grafck zázorňue omocou socového dagramu. Na vodorovú os sa vášaú časové okamh,...,, a zvslú os odovedaúce hodo,...,. Dvoce bodov (, ), =,..., sa soa úsečkam. Príklad 9.: Časový rad obsahue údae o oče zamesacov urče akcove soločos v rokoch vžd k Zázore eo časový rad grafck.

22 Rešee: oce rok b) Iervalový časový rada sa ačaseše zázorňue sĺcovým dagramom. Je o súsava obdĺžkov, kde šírka obdĺžíka e rová dĺžke ervalu a výška odovedá hodoe ukazovaeľa v daom ervale. K zázoreu ervalového časového radu e možé oužť socový dagram, rčom a vodorovú os sa vášaú sred ríslušých ervalov. Príklad 9.3: Máme k dsozíc údae o rodukc určého odku (v sícoch výrobkov) v rokoch Zázore eo časový rad grafck. Rešee: rodukce rok 3.3 Posé charakersk časových radov 3.3. Premer okamhového časového radu Ako rvé sa vočíaú remer re edolvé delče erval (, ), (, 3 ),..., ( -, 3 ):,,,. Ak sú všek eo erval rovako dlhé, vočía sa edoduchý chroologcký remer okamhového časového radu:. Ak emaú erval rovakú dĺžku, vočía sa d = -, =,..., a ouže sa vážeý chroologcký remer okamhového časového radu: d. d

23 Príklad 9.4: Časový rad vadrue oče obvaeľsva ČSSR (v sícoch) v rokoch 965 až 974 vžd ku 3.. Rok oče Charakerzue úo časovú radu chroologckým remerom Rešee: Premer ervalove časove rad. Príklad 9.5: Vočíae remerú hodou roče časove rad HDP ČR (v mlardách Kč) v rokoch 994 až , 38, 447, 43, 4, 39, 433, Rešee: 33,6 433,8 398, Damcké charakersk časových radov Absolúe rírask. dfereca:,,,. dfereca:, 3,, aď. (Dferecovae má veľký výzam r odhade redu časove rad regresým meódam.) Premerý absolú rírasok: Relaív rírasok,,, (Relaív rírasok o vásobeí udáva, o koľko erce sa zmela hodoa v čase oro času -.)

24 Koefce rasu (emo rasu) k,,, (Koefce rasu o vásobeí udáva, a koľko erce hodo v čase - vzrásla č oklesla hodoa v čase.) Premerý koefce rasu k k k 3 k Premerý relaív rírasok k Príklad 9.6: Pre časovú radu HDP ČR v rokoch 994 až (v mlardách Kč) vočíae základé charakersk damk a grafck zázore. dferece a koefce rasu. Rešee: rok HDP Δ k δ , , 77,5,59, ,7 66,6,48, ,8-4,7,99 -, 998 4,3-3,5,978 -, ,6 -,7,99 -,8 433,8 43,,3,3 Premerý absolú rírasok: 433,8 33,6 6, 7, z., že v období 994 rásol HDP remere o,7 mlárd Kč roče. Premerý koefce rasu: k 433,8 6 33,6, 6, z., že v období 994 rásol HDP remere o,6% roče. Graf. dferecí:.7 Graf koefceov rasu: dferece 4 koefce růsu rok rok 3.4 Rozbor edolvých zložek časového radu Časové rad vzkaú ako dôsledok ôsobea odsaých a eodsaých čeľov a skúmaý socálo ekoomcký av. Teo čele môžeme rozdelť a: redové - vývoové, koré ôsoba eusále a určuú hlavý smer vývoa,.. red v ČR (T )

25 erodcké, koré sôsobuú ravdelé kolísae hodô ČR okolo redu, môžeme ch rozdelť a cklcké (C )- v dlhodobých ČR (hosodárske ckl) sezóe (S )- krákodobých ČR (sezóe kolísae ce, sezó do..), sezóou obvkle e rok áhodé čele (E ) - ôsoba áhode, eravdele. Teo čele ôsoba a vývo každého skúmaého ukazovaeľa v šaske Na základe oho rozčleea môžme dekomoovať - rozložť ČR a r zložk: redovú (T ) erodckú (C ), res. (S ) áhodú (E ) Medz zložkam môže bť : adív vzťah : mullkaív vzťah: Y = T + S + E, alebo Y = T. S. E 3.4. Aalýza redu v časovom rade Pr dekomozčom rísue e aalýza redu založeá: a aalckom vrovaí vývoa hodô skúmaého ukazovaeľa vhodou redovou fukcou de o aalógu edoduche regrese aalýz, rčom odhadovaé hodo sú fukcou časove remee,, = f () redová fukca e oom oužá ele ku hodoeu kval rogóz e-os, ale a a rogóz e-ae Predokladá sa, že re časovú radu,..., laí model = f() + ε, =,...,, kde f() e ezáma redová fukca (red), korá sa ovažue za ssemackú (deermsckú) zložku časove rad (osue hlavú edecu dlhodobého vývoa časove rad) a ε e áhodá zložka časove rad zahŕňaúca odchýlk od redu. Náhodá zložka sĺňa redoklad E(ε ) =, D(ε ) = σ, C(ε, ε +h ) =, ε ~ N(, σ ) (hovorí sa, že ε e bel šum). Regresá aalýza redu má obasť vzťah medz závsle remeou velčou a časom. Predokladá sa, že red f() závsí (leáre č eleáre) a ezámch arameroch β, β,..., β k a zámch fukcách φ (), φ (),..., φ k (), koré už eobsahuú žade ezáme aramere,. f() = g(β, β,..., β k ; φ (), φ (),..., φ k ()). Odhad b, b,..., b k ezámch aramerov β, β,..., β k e možé získať ar. meódou ameších švorcov a oom vadrť odhad f () fukcí φ (), φ (),..., φ k (),. f () ezámeho redu v bode omocou odhadov b, b,..., b k a = g(b, b,..., b k ; φ (), φ (),..., φ k ()) Nadôležeše redových fukcí Voľba u redove fukce sa vkoáva - a základe eoreckých zalosí a skúseosí zo skúmaou velčou - omocou grafu časove rad - omocou formaívch esov založeých a edoduchých charakerskách časove rad a) Leár red

26 Aalcké vadree: f () Iformaív es:. dferece sú rblže košaé b) Kvadracký red Aalcké vadree: f () Iformaív es:. dferece maú rblže leár red,. dferece sú rblže košaé. c) Eoecál red Aalcké vadree: f (). Model e možé learzovať logarmckou rasformácou: l f () l l Iformaív es: koefce rasu sú rblže košaé. d) Modfkovaý eoecál red Aalcké vadree: f (). Iformaív es: rada odelov susedých. dferecí e rblže košaá. e) Logscký red Aalcké vadree: f () Iformaív es: rebeh. dferecí e odobý Gaussove krvke a odel sú rblže košaé. f) Gomerzova krvka Aalcké vadree: f () Iformaív es: odel l l l l sú rblže košaé. Model (a), (b), (c) sú leáre alebo e ch možé learzovať a odhad aramerov sa získaú meódou ameších švorcov. Model (d), (e), (f) sú eleáre a odhad aramerov sa získavaú šecálm umerckým meódam Šascké osúdee vhodos redove fukce Posúdee vhodos redove fukce sa vkoáva omocou: Ideu koreláce, Ideu deermáce (. odel vsvelee a celkove varabl závsle remee velč) b mal bť blízk, koré vadruú kvalu rogóz e-os Proré e však vecé osúdee vhodos redove fukce, reože e orebé zvažovať ako sa as môže skúmaý ukazovaeľ v budúcch obdobach vvíať 3.4. Aalýza sezóe zložk v časovom rade Dekomozčý rísu redokladá: mullkaív model ČR: Y = T. S. E

27 aalýzu redu v ČR (ak e ríomý) vhodou redovou fukcou: T =, = f() aalýzu sezóe zložk oom omocou sezóch deov: S,, kde, sú hodo získaé vrovaím časového radu vhodou redovou fukcou re =, T Aalýza sezóe zložk se časo vkoáva až o očseí dá od redove zložk. V odsae r e de o určee časového úseku, o korého uluí maú dáa zas rovakú hodou, rí. ovlveú redovou a áhodou zložkou. Pre šúdum sezóe zložk se oužívá ekoľko ov modelov. V ekoomckých modeloch býva sravdla zremá veľkosť eród (švrťrok, mesac), v ých ríadech e ué úo dĺžku odhadovať (v hdrogeolog ar. výšku hlad sodých vôd). Používa sa u harmocka aalýza, korá modelue rebeh dá omocou ekoľkých čleov Fourerového radu. Paramere se určuú oužím umerckých meód. Príklad 9.7: Časový rad, 49, 38, 354, 58, 867 udáva zsk (v sícoch dolárov) se soločos v rvých šesch rokoch e esece. a) Grafck zázore rebeh oho časového radu. b) Vočíae koefce rasu c) Z grafu časove rad a vadrea koefceov rasu e možé usúdť, že časový rad má eoecál red f (). Odhade eho aramere. d) Náde odhad zsku soločos v 7. a 8. roku e esece. e) Zse de deermáce a zosroe graf f (),f (), =,..., 6. Rešee: ad a) ad b) Koefce rasu: 49/ =,33, 38/49 =,597, 354/38 =,487, 58/354 =,68, 867/58 =,495. Vdíme, že koefce rasu sú rblže košaé. ad c) Model f () learzueme a meódou ameších švorcov získame odhad l b = 4, 7983, l b =,499. Odlogarmováím dosaeme b = 68,57875, b =, ad d) 68,57875,565 99, 68,57875,

28 ad e) ID =, Ako de deermáce, ak a graf f (),f () sráve. svedča o om, že model bol zvoleý Odhad redu časového radu omocou kĺzavých remerov Predokladá sa, že časový rad sa rad adívm modelom oísaým v Odhad redu v bode získame určým sremerovaím ôvodých ozorovaí z sého okola uvažovaého časového okamhu. Môžeme s redsavť, že ozdĺž dae časove rad kĺže okeko, v korého rámc sa remerue. Nech oo okeko zahŕňa d čleov aľavo od bodu a d čleov aravo od bodu. Hovoríme oom o vhladzovacom okeku šírk h = d +. Prvých a osledých d hodô redu eodhadueme, reože re,,d d,, e e vhladzovace okeko smercké. Odhad redu v srede vhladzovaceho okeka e daý vzťahom: d fˆ () d d d d k, = d+,..., -d. d d k Veľm dôležou oázkou e saovee šírk vhladzovaceho okeka. Ak e okeko rílš šroké, bude sa odhad redu blížť ramke (hovorí sa, že e rehladeý) a zároveň sa sraí veľký oče čleov a začaku a a koc časove rad. Ak e okeko úzke, bude sa odhad redu blížť ôvodým hodoám (hovorí sa, že odhad e odhladeý). Načaseše sa volí šírka okeka h = 3, 5, 7. Príklad 8.: Časový rad 5, 9,, 35,, 7, 87, 4, 74, 7,, 7 udáva ročé obem vývozu va (v mlóoch lrov) z Českosloveska v rokoch 98 až 99. Odhade red eo časove rad omocou kĺzavých remerov s vhladzovacím okekom šírk 3 a oom 5. Grafck zázore rebeh časove rad s odhaduým redom. Rešee: rok vývoz k3 k , ,333 8, , ,667, , ,333 94, ,333 88, ,333 87, ,333 4,6

29 Grafcké zázoree časového radu s odhaduým redom h = 3 h = rok rok