2.1 Úvod. i=1, 2, n (2-1)

Transcript

1 Katola Leára reresa Leára reresa. Úvod Termí reresa sa ojavl v matematckej štatstke v dosť kurózej hstorckej súvslost. Pr sledovaí koreláce medz výškou sov a otcov sa zstlo, že sova veľm vsokých otcov sú zvčaje žší ako remer, a aoak sova otcov s ízkm vzrastom ývajú všší ako remer. Ojavuje sa teda reresa voč remerej výške, od ktorej sa otcova rílš odlšujú. Reresá aalýza skúma korelačé vzťah medz eermetále meraým fukčým hodotam a jedou aleo vac ezávsle remeým { j }. Nezávsle remeé redstavujú astavteľé aleo rese volteľé odmek eermetu kocetráca roztoku, tlak, telota, retoková rýchlosť, loflta, olarta, dólový momet atď. Fukčé hodot (závsle remeé, zaťažeé chou meraa) môžu ť ar. kocetráca roduktu, olocká aktvta látk, rýchlostá koštata chemckej reakce atď. Kvattatíve vzťah medz a { j } sú oísaé reresým rovcam, v ktorých sú fukčé hodot vjadreé ako leára komáca ezávsle remeých a ezámch arametrov { }, ktorých všeoecý tvar je ε,, (-) Velč ε sú ch meraa (aleo rezíduá), teda rozdel medz skutočou hodotou ozorovateľej velč a jej modelom. Ak hovoríme o leárej reres vjadrujeme tým skutočosť, že áš model závsí od arametrov leáre. Neleár rolém struče rozoereme v čast.7. Predokladajme asledujúc ríad jedoduchej závslost f() zázoreý a or. -. Ch meraa sa v tomto ríade rejava roztlom dvojíc odov (, ) okolo hotetckej (deálej) krvk. Rozložee odov a rvý ohľad dkuje určtú závslosť, s rastúcm majú fukčé hodot stúajúc tred (or. -a). Pokus aromovať túto závslosť olómom vede ku krvke, ktorá síce rechádza všetkým odm, ale so začým osclácam (or. -). V treťom ríade sa cez od reložla rlžá fukca, ktorá je vhodým komromsom medz tredom a dvduálm odchýlkam jedotlvých odov od azačeej ramk (or. -c). -

2 Katola Leára reresa a c Or. - a) ôvodý roztl dvojíc odov (, ); ) aromáca olómom 5. stuňa; c) oveľa ravdeodoejša leára reresa a ramku Pr hľadaí vhodého aaltckého výrazu, ktorý dore aromuje eermetále od, musíme vchádzať z fzkálch a chemckých zákotostí, ktoré odmeňujú ozorovaý jav aleo okus a vužť jestvujúce hotéz aleo teóre, ktoré teto jav kvattatíve aleo asoň semkvattatíve osujú. Pokaľ e je k dsozíc jedozačý teoretcký odklad (rovca) a avrhovaá závslosť má tvar olómu, je vhodé uroť odhad stuňa tohto olómu omocou ostuých dferecí. Pre jedoduchosť redokladajme, že máme ameraé dvojce odov {, } re,,. Pr metóde ostuých dferecí očítame rozdel hodôt odľa tauľk -. Ta. - chéma výočtu ostuých dferecí r odhade stuňa olómu k Prtom latí, že,, atď. tĺec k, re ktorý sú dferece koštaté, dkuje možý vhodý stueň olómu. Ak máme ar. koštaté dferece, dá sa očakávať, že ameraá závslosť ude vhovovať olómu druhého stuňa. -

3 Katola Leára reresa Vráťme sa ešte k výeru krtéra, ktoré ojektvzuje hľadae tej ajvhodejšej krvk a mmalzuje rozdel medz eermetálm a teoretckým odm. Závslosť, ktorá vsthuje takúto krvku, azývame ceľovou fukcou. Naríklad re leáru závslosť, rovcu ramk, otreujeme určť dva arametre: a a. a ε (-) Krtérom, ktoré oskte ajlešu ceľovú fukcu, môže ť aríklad súčet odchýlek, súčet asolútch hodôt odchýlek aleo súčet štvorcov odchýlek. Dá sa ukázať, že trete krtérum, súčet štvorcov odchýlek, je ajvhodejší, retože osktuje jedozačé rešee. Na záver ešte dodajme, že hľadae ceľovej fukce sa eked ozačuje ako ft aleo ftovae.. Dvojarametrová leára metóda ajmeších štvorcov Zaveďme súčet štvorcov odchýlek ozačeý smolom r (súčet rezíduí) re ríad (-). r je fukcou arametrov a a. r ε ( a ). (-3) Pre otmále hodot a a sa súčet štvorcov odchýlek líž k ule, hľadáme teda mmum fukce r. Vjadríme s ostue arcále derváce r odľa a a : (re jedoduchosť vecháme deovae v súčtoch, ďalej udeme mlčk redokladať, že,,, okaľ eude uvedeé ak): r a ( a ) (-4) r [( a ) ] (-5) Podmekou ájdea mma sú ulové hodot dervácí, reto ak oložíme (-4) a (-5) rové ule, máme: a 0-3

4 Katola Leára reresa a 0 Prvú rovcu možo zjedodušť, retože a. a, zvšok úloh je rešee sústav rovíc s dvoma ezámm. a (-6) a (-7) Vzťah (-6) a (-7) sa azývajú ormále rovce. Úravou rvej rovce dostaeme: a (-8) Po dosadeí za a do (-7) a o úrave dostaeme ( ) (-9) Ak uvážme, že re artmetcký remer latí ako, vzorec re a môžeme zaísať aj a (-0) Príklad: - ledovala sa rýchlosť hdratáce komleu cs-[crbr (H O) 4 ]Br do druhého stuňa. Zstlo sa, že re závslosť ameraej rýchlostej koštat k oz od kocetráce vodíkových óov latí vzťah: k k oz k0 (-) [ H ] -4

5 Katola Leára reresa Vočítajte metódou ajmeších štvorcov hodot rýchlostých koštát k 0 a k odľa údajov v Ta -. Ta. - Nameraé hodot k oz v závslost od kocetráce vodíkových óov [H ] /[H ] (/[H ]) k oz [m - ] k oz./[h ],5 0-66,7 4449,4 0-0,9 7, ,5 600,93 0 -,4 3 6, ,8 57,04 0-3, 4 4,7 0-3,7 454,48 0-5,3 5 3, ,7 864,69 0-7,7 6, , ,0 0 -,0 7, , ,4 0-3, 8, , ,5 0-3,0 9, , , 0-5,0 0 7, , ,79 0-8,8 Σ - 439, ,363 36,4 Presvedčte sa výočtom, že otmále hodot atrametrov sú: k 0,0 0 - m - a k 5, m - mol l -..3 Odhad chý leárej rerese účet štvorcov odchýlek (-3) sa formále zhoduje so súčtom rezíduí medz fukčým hodotam a artmetckým remerom: t ( ). (-) Výraz ( ) vo vzťahu (-) rerezetuje štvorec rozdelu medz jedotlvým ameraým fukčým hodotam a remerom. Používa sa r výočte štadardej odchýlk velč od remeru: s t. (-3) Velč r a t sa líša tým, že štvorec rezídua v (-) redstavuje štvorec rozdelu medz meraou hodotou a odovým odhadom meraej velč, kým výraz ( a ) v rovc (-3) rerezetuje štvorec ajkratšej eukldovskej vzdaleost vzdaleost medz -5

6 Katola Leára reresa ameraou hodotu a ramkou. V ooch ríadoch hovoríme o mere stredovej tedece dát, v rvom o artmetckom remere, v druhom o ramke (or. -). Y merae - a - a reresá ramka Or. - Odchýlku redovedaej hodot Y od ameraej (rezíduum) redstavuje zvslá úsečka. Výraz - v meovatel re (-3) redstavuje očet stuňov voľost. Štadardá odchýlka sa vzťahuje k - stuňom voľost, leo ak ozáme - asledujúcch hodôt:,,, zvšá -tá je už fovaá, keďže ch súčet sa musí rovať ule (le - hodôt je určeých voľe). Iý ohľad a meovateľ (-) dokazuje, že re jedý ameraý od emá zmsel hovorť o roztle údajov. V súlade s tým vzorec (-3) re vede (korekte) k ekoeču. Pr výočte smerodajej odchýlk re reresú ramku aalock latí: r s /, (-4) kde s / sa ozačuje ako štadardá cha odhadu (reresej ramk), ozačee / zdôrazňuje, že de o chu redovede hodôt re daé ezávsle remeé. Oäť zdôrazňujeme, že v meovatel sa, retože r výočte r sme oužl dva odhad, a a, získaé z ezávslých meraí, takže máme o dva stue voľost meej. kutoče, ak sme vzal do úvah hotetcké reložee ramk cez dva rôze od (čo je vžd možé realzovať rese), v takom ríade eestuje roztl dát a vzťah (-4) osktol ezmselý výsledok -. Na rozdel od vzťahu (-3), t.j., roztl okolo remeru, osktuje vzťah (-4) roztl okolo reresej ramk (or. -3). -6

7 Katola Leára reresa a Or. -3 Roztl údajov re daý eermet charakterzovaé Gaussovou krvkou. a) Roztl okolo remeru fukčej hodot ; ) roztl okolo ajlešej ramk re te sté údaje. Zúžee Gaussovej krvk v ríade ) redstavuje zlešee vďaka leárej reres Kvalta leárej rerese (or. -3) záleží od kvalt meraa, t.j. od veľkost dvduálch rezduálch chý. Ilustruje to orovae dvoch meraí a vhodotee metódou ajmeších štvorcov (or. -4). Na orovae aralelých meraí a re staovee kvalt rerese možo oužť súčet štvorcov odchýlek rerese r a súčet štvorcov odchýlek medz fukčým hodotam a artmetckým remerom velč t. Velča t tu redstavuje eurčtosť závsle remeej red reresou. Rozdel t r charakterzuje zmešee roztlu dát r rechode od artmetckého remeru k reresej rovc. Keďže teto rozdel závsí od oužtej merk (škál), ormalzuje sa vzhľadom a t : r t r t (-5) Velča r defovaá rovcou (-5) sa azýva koefcet určea a jej druhá odmoca r je korelačý de. Pre erfektý ft sa r 0 a rr, čo zameá 00%-ú tesosť (súlad) dát a reresej ramk. Naoak, re r a rr 0 ftovae ezameá žade zlešee, t.j. údaje ekorelujú a edajú sa vsthúť reresou rovcou. Korelačý de r má všeoecejší výzam, retože jeho defíca ezávsí od { }, takže (-5) možo alkovať aj a olóm, čže vacarametrovú reresu (ozr časť.4). Vzťah re árový korelačý koefcet oužívaý a merae tesost leárej závslost sa uvádza v tvare vhodom re očítačové sracovae: V ektorých rameňoch je korelačý de defovaý alteratíve: ( ) t závsle remeej vočítaé z reresej rovce. r Σ * ; kde * sú hodot -7

8 Katola Leára reresa a Or. -4 Dva eermet, z ktorých získame dametrále odlšé hodot r : a) resé merae; ) eresé merae. Narek tomu z ooch súorov údajov získame odoé hodot reresých koefcetov a,. Korelačý de r má všeoecejší výzam, retože jeho defíca ezávsí od { }, takže (-5) možo alkovať aj a olóm, čže vacarametrovú reresu (ozr časť.4). Vzťah re árový korelačý koefcet oužívaý a merae tesost leárej závslost sa uvádza v tvare vhodom re očítačové sracovae: r (-6) ( ) ( ) Hodot r získaé z rovce (-6) môžu ležať v tervale -, (a rozdel od korelačého deu). Pre klesajúcu leáru závslosť leža hodot v odtervale -,0, a re stúajúcu závslosť sú hodot v odtervale 0,..4 Vacarametrová leára metóda ajmeších štvorcov V redchádzajúcej čast sme rešl rolém výočtu arametrov a, v dvojarametrovej leárej metóde ajmeších štvorcov (MNŠ, dvojarametrová leára reresa). Často sa však stretávame so stuácou, že máme merae, ktorého výsledk - eermetále hodot sú zložtejšou fukcou mož vacerých ezávsle remeých {,, } sojeých s arametram {,, } ε,,, (-7a) kde j je matca ezávsle remeých, je vektor ameraých fukčých hodôt. Tckým ríkladom môže ť aromáca zložtejšej závslost mocovým rozvojom: -8

9 Katola Leára reresa -9 ε 3 3,, (-7) Teto rolém môžeme rešť aalock ako dvojarametrovú reresu, ale s tým rozdelom, že úrav arcálch dervácí súčtu štvorcov odľa arametrov vedú k rozsahlejšemu sstému leárch rovíc, ktoré môžeme vjadrť v matcovom tvare. Zadae rolému Hľadáme etrém re ceľový súčet štvorcov ( ) [ ] 0, (-8) čže 0 je fukcou arametrov {,,, } ).,, ( 0 f Podmek re mmum fukce 0 sú 0 j (-9) Parcále derváce Rozíšeme s rovce (-9) re j a, t.j. derváce odľa a. ( ) [ ] 0. ( ) [ ] 0. ( ) [ ] 0. j j o odstráeí zátvorek a searácí súčtov dostaeme 0

10 Katola Leára reresa j j j j j arametre j ezávsa od súčtov 0 (-0) 0 0 j j j j (-) Pres ormálch rovíc do matcového tvaru Rovce (-) môžeme zjedodušť etrahovaím výrazov re ásoee matíc, čím sa zavíme jedotlvých súčtov. Prvé čle a ľavej strae sú rvk ového vektora c a druhé až -te čle sú rvk ovej matce A. Ak ozačíme j j c (j, ) otom re celý vektor c latí G c ; Σ Σ Σ c teraz môžeme defovať matcu A T A GG A

11 Katola Leára reresa rovce (-) rejdú do jedoduchého tvaru A A A. A.. c A. A.. c A A. c j. Aj. A A. c. A. atď., čže v matcovom tvare j j A c (-) Rovce (-) redstavujú sstém leárch rovíc s ezámm, ktorý sa dá rešť ar. Gaussovou elmačou metódou (katola ) aleo vertovaím matce A (ozr tež dodatok). A A A A A c G c Matcu A sa olatí vertovať vted, ak sa ám r oakovaých vhodoteach emeí matca G. To sa dázaručť, ak v sér meraí zachováme rovaké ezávslé remeé..5 Štatstcké hodotee Prv ež reereme ektoré charakterstk oužívaé a hodotee kvalt č verohodost rerese, ude užtočé romeúť s tr základé štatstcké východská, a ktorých je ostaveá metóda ajmeších štvorcov: ) Hodot ezávsle remeej sú fe daé ( emá charakter áhodej velč) a sú staoveé ez ch; ) Hodot remeej sú (meraé) áhodé velč a všetk majú rovaký roztl (redokladá sa kozstetosť meraa s vlúčeím odľahlých chý); -

12 Katola Leára reresa 3) Hodot remeej sĺňajú re daé ormále rozdelee (oísaé Gaussovskou krvkou). Pr vacarametrovej reres eked estačí a osúdee verohodost a kvalt výočtu korelačý de (orovajte s rovcou (-5)) aleo štadardá odchýlka: s * ( ), (-3) ( * sú hodot závsle remeej vočítaé z reresej rovce). Dorým dodatkovým krtérom je očet stuňov voľost f, ktorý určíme z očtu meraí a očtu ezávsle remeých (čže arametrov rerese) f (-4) Naríklad r orovateľej hodote korelačého deu redstavuje reresá rovca s jedou ezávsle remeou re 0 meraí lešu korelácu ež tá stá rovca rovca re 5 meraí, a to dokoca aj vted, keď je v druhom ríade korelačý koefcet všší. Pravou straou rovce (-4) možo ahradť meovateľa vo výraze re rezduálu smerodajú odchýlku (orov. (-4)), ktorá je tým meša, čím leše reresá rovca rojektuje hodot závsle remeej: s * ( ). (-5) Štadardú odchýlku trea hodotť odľa rozsahu umerckých hodôt. Nar. s0, dkuje kvaltú reresu, ak sa hodot ohujú rádove od 0 o 00, je však krtcká, ak hodot leža v tervale (0, 0,). Trea tež mať a msl, že štatstcké velč ako korelačý koefcet, korelačý de, č smerodajá odchýlka sú le odhad krtérí a osúdee ftu a emožo s m ľuovoľe maulovať v ďalších výočtoch aleo ch ľuovoľe dosadzovať do ých rovíc..6 Neleára reresa Pr vhodocovaí eermetálch údajov často otreujeme oužť model, ktorý je zložtejší a vo všeoecost odovedá eleárej závslost f(). Mohé ozorovaé Blžše sa o štatstckých asektoch rerese možo dočítať v šecalzovaej lteratúre [Eckschlaer, 980 aleo Trola, 989] -

13 Katola Leára reresa závslost sú oísaé rovcam, ktoré sa dajú learzovať. Pre mohé fzkále a chemcké roces latí eoecál model A e[b] (-6) s ezámm arametram A, B. Tckým rerezetatom tejto tred modelov je ar. rýchlosť rádoaktíveho rozadu, čže závslosť aktvt rádoaktívej vzork od času A t A 0 e[-λt] (A 0 je aktvta v čase t0, λ rozadová koštata) aleo emrcká závslosť rýchlostej koštat chemckej reakc od asolútej telot T k(t) A e[-e a /RT] (E a je aktvačá eera reakce, A frekvečý (zrážkový) faktor a R uverzála lová koštata). Eoecál model (-6) sa dá loartmovaím uravť a leár model: l la B (-7) a rešť omocou rovíc (-8, -9). Iým ríkladom eleáreho modelu, ktorý možo learzovať, je saturačá krvka, vo fzkálej chém záma ako adsorčá zoterma, ktorá charakterzuje možstvo lu a ovrchu tuhej fáz v závslost od tlaku: a a ma, (-8) kde je adsorčý koefcet, a ma mamále možstvo lu, ktoré sa môže aadsorovať a daý ovrch. Rovcu (-8) je výhodé vjadrť v súradcach /a (fukčé hodot) a (ezávsle remeé), retože táto je leára: a a ma. /. a a. ma /a /a ma /a ma. (-9) Hľadaým arametram leárej rerese (-9) sú otom /a ma (smerca ramk) a /a ma (osu a os ), z ch ľahko vočítame charakterstk zoterm (a ma, ). -3

14 Katola Leára reresa Pokaľ je možé oísať eermetále údaje aaltckým výrazom, v ktorom sú arametre searovateľé, ez väčších ťažkostí sa dajú oužť techk oísaé v katole.4. Ak však arazíme a rolém, ktorý je eleár v arametroch, musíme r ch určeí oužť teratívu rocedúru (ar. Chara, 988, s. 358). -4