Gheorghe BARBU Maria MIROIU TEHNICI SIMULARE 2012

Transcript

1 Gheorghe BARBU Mara MIROIU TEHNICI DE SIMULARE

2 CUPRINS Prefaţă Captoll I. SISTEME MODELE SIMULARE 4. Generaltăţ despre ssteme modele smlare 4.. Ssteme 4.. Modele 5..3 Smlare 6..4 Tpr de modele de smlare 9. Descrerea modelelor de smlare.. Etapele realzăr n model de smlare 3.. Ceasl smlăr 6 Captoll II. SIMULAREA NUMERELOR ALEATOARE 8. Nmere aleatoare nforme. Procedee de generare 8. Smlarea nmerelor aleatoare nforme.. Metoda pătratl dn mjloc 3.. Metode congrenţale 3 Captoll III. SIMULAREA VARIABILELOR ALEATOARE 5 3. Metoda nersă 5 3. Metoda respnger Metoda compner Alte metode de smlare Metode partclare 38 Captoll IV. SIMULAREA VECTORILOR ALEATORI Generarea ectorlor aleator prn metoda nersă Generarea ectorlor aleator aând repartţe nformă Generarea ectorlor aleator aând repartţe Drchlet Generarea ectorlor aleator aând repartţe mltnomală Generarea ectorlor aleator aând repartţe normală 57 Captoll V. APLICAŢII ALE SIMULĂRII Calcll ntegralelor mltple prn Metoda Monte Carlo Estmarea nmărl π prn Metoda Monte Carlo Smlarea nor procese de stocare Smlarea nor procese de aşteptare Smlarea fabltăţ 77 Aneă IMPLEMENTĂRI C/C 88 Bblografe

3 PREFAŢĂ Lcrarea de faţă a fost elaborată în cadrl Proectl POSDRU/56/./S/3768 coordonat de Mnsterl Edcaţe Cercetăr Tneretl ş Sportl nttlat: Formarea cadrelor ddactce nerstare ş a stdenţlor în domenl tlzăr nor nstrmente moderne de predare-înăţare-ealare pentr dscplnele matematce în ederea creăr de competenţe performante ş practce pentr paţa mnc. Fnanţat dn Fondl Socal Eropean ş mplementat de către Mnsterl Edcaţe Cercetăr Tneretl ş Sportl în colaborare c The Red Pont Oamen ş Compan Unerstatea dn Bcreşt Unerstatea Tehncă de Constrcţ dn Bcreşt Unerstatea Poltehnca dn Bcreşt Unerstatea dn Pteşt Unerstatea Tehncă Gheorghe Asach dn Iaş Unerstatea de Vest dn Tmşoara Unerstatea Dnărea de Jos dn Galaţ Unerstatea Tehncă dn Clj- Napoca Unerstatea Decembre 98 dn Alba-Ila proectl contrbe în mod drect la realzarea obectl general al Programl Operaţonal Sectoral de Dezoltare a Resrselor Umane POSDRU ş se înscre în domenl major de nterenţe. Caltate în înăţământl speror. Proectl are ca obect adaptarea programelor de std ale dscplnelor matematce la cernţele peţe mnc ş crearea de mecansme ş nstrmente de etndere a oportntăţlor de înăţare. Ealarea neolor edcaţonale obecte ale cadrelor ddactce ş stdenţlor legate de tlzarea matematc în înăţământl speror masterate ş doctorate precm ş analzarea efcactăţ ş releanţe crrclelor actale la nel de performanţă ş efcenţă în ederea dezoltăr de cnoştnţe ş competenţe pentr stdenţ care înaţă dscplne matematce în nerstăţ reprezntă obecte specfce de nteres în cadrl proectl. Dezoltarea ş armonzarea crrclelor nerstare ale dscplnelor matematce conform egenţelor de pe paţa mnc elaborarea ş mplementarea n program de formare a cadrelor ddactce ş a stdenţlor nteresaţ dn nerstăţle partenere bazat pe dezoltarea ş armonzarea de crrclm crearea ne baze de resrse noate moderne ş fncţonale pentr predarea-înăţarea-ealarea în dscplnele matematce pentr înăţământl nerstar snt obectele specfce care a ca raspns materall de faţă. Formarea de competenţe chee de matematcă ş nformatcă prespne crearea de abltăţ de care fecare ndd are neoe pentr dezoltarea personală nclzne socală ş nserţe pe paţa mnc. Se poate constata însă că programele dscplnelor de matematcă n a întotdeana în edere dentfcarea ş sprjnrea elelor ş stdenţlor potenţal talentaţ la matematcă. Totş stdl matematc a eolat în egenţe până a ajnge să accepte proocarea de a folos nole tehnolog în procesl de predare-înăţare-ealare pentr a face matematca ma atractă.

4 În acest contet analza flebltăţ crrcle însoţtă de analza metodelor ş nstrmentelor foloste pentr dentfcarea ş motarea stdenţlor talentaţ la matematcă ar ptea răspnde deopotră cernţelor de masă cât ş celor de eltă. Vznea pe termen lng a acest proect preconzează determnarea nor schmbăr în abordarea fenomenl matematc pe ma mlte planr: nformarea n nmăr cât ma mare de membr a socetăţ în legătră c roll ş locl matematc în edcaţa de bază în nstrcţe ş în descoperrle ştnţfce mente să îmbnătăţească caltatea eţ ncls poplarzarea nor mar descoperr tehnce ş n nma în care matematca cea ma aansată a jcat n rol hotărâtor. De asemenea se rmăreşte edenţerea a no motaţ solde pentr înăţarea ş stdl matematc la nelele de bază ş la nel de performanţă; stmlarea creattăţ ş formarea la tor cercetător matematcen a ne attdn deschse faţă de însşrea aspectelor specfce dn alte ştnţe în scopl partcpăr c scces în echpe mte de cercetare sa a abordăr ne cercetăr nter ş mlt dscplnare; dentfcarea nor forme de pregătre adecată de matematcă pentr tor stdenţ a dscplnelor matematce în scopl tlzăr la nel de performanţă a aparatl matematc în constrrea ne carere profesonale. Această lcrare reflectă efortrle atorlor în cadrl acest proect ş eperenţa lor în predarea matematclor aplcate ş nformatc în general ş a tehnclor de smlare în specal la facltatea de matematcă-nformatcă a Unerstăţ dn Pteşt. Lcrarea îmbnă în mod armonos prezentărle teoretce c eemple semnfcate facltând stdenţlor cadrelor ddactce matematcenlor ngnerlor cercetătorlor etc. cnoaşterea aprofndarea ş tlzarea tehnclor de smlare în dferte domen de acttate. Dspnând de o astă eperenţă în procesl de predare-înăţare-ealare ator s-a strădt să realzeze n materal de std ntar în domenl smlăr într-o formă accesblă ş speră că această lcrare elaborată în cadrl proectl ma ss menţonat a contrb la o ma bnă înţelegere ş asmlare a cnoştnţelor de modelare ş smlare care pot f de n real folos pentr aplcarea lor în practcă. Ator 3

5 CAPITOLUL I SISTEME MODELE SIMULARE. Generaltăţ despre ssteme modele smlare Cântl smlare deră dn latnescl smlato care înseamnă capactatea de a reprodce reprezenta sa mta cea. În matematcă termenl smlare a fost folost pentr prma dată de către John on Nemann ş S. Ulam în an c ocaza cercetărlor de fzcă ncleară efectate în S.U.A. E împrenă c N. Metropols Ferm ş alţ matematcen ş fzcen a şcol Los Alamos a ntrods în aceeaş peroadă n nme ptoresc în matematcă ş anme Metoda Monte Carlo. Denmrea desgr mpropre prone dn faptl că prmele metode de generare / smlare a nmerelor aleatoare a fost cele oferte de rezltatele obţnte la rletele esttelor caznor dn Monte Carlo. De asemenea se spne că smlarea este ma mlt o artă decât o ştnţă... Ssteme Dezoltarea în rtm accelerat a ştnţe ş tehnc contemporane creează completate care dene dn ce în ce ma gre de controlat de stăpânt de conds. În sprjnl efortrlor sale de a stăpân completatea de a- cnoaşte componentele de a descoper dferte leg care o gernează oml a creat noţnea de sstem. Ssteml reprezntă n ansambl de elemente (componente fzce sa logce leg regl etc.) nterconectate care fncţonează în comn pentr realzarea na sa ma mltor scopr. Elementl reprezntă o parte dn sstem (n sbansambl sa o componentă) capablă să îndeplnească o anmtă fncţne în cadrl ssteml. Eemple: Oamen trăesc în ssteme socale. Acttatea tehnologcă a prods ssteme fzco-tehnce complee. Un atomobl este n sstem format dn componente care acţonează împrenă pentr a asgra transportl. Famla este n sstem de coneţre ş de creştere a coplor. O clasfcare a sstemelor poate f făctă astfel: ssteme deschse ssteme închse 4

6 Un sstem deschs este caracterzat prn: - eşr care corespnd ntrărlor în sstem; - eşrle snt zolate de ntrăr; - eşrle n a nc o nflenţă aspra ntrărlor. Într-n sstem deschs rezltatele acţn trecte n comandă acţnea toare. Ssteml n obseră ş n reacţonează la propra- performanţă. De eempl n atomobl este n sstem deschs care sngr n se poate condce dpă drml pe care l-a parcrs în trect ş nc n are o anmtă ţntă drecţe spre care să meargă în tor. Intrăr Ieşr Sstem Fgra.. Sstem deschs Un ceas este de asemenea n sstem deschs; el n-ş obseră propra mprecze pentr a ş-o corecta sngr. Ssteml închs (c conene nersă c reacţe sa feed-bac) este caracterzat prn: - eşr care corespnd ntrărlor în sstem; - eşrle depnd de ntrăr; - eşrle nflenţează ntrărle. Un sstem închs este nflenţat de propra- comportare trectă. La aceste ssteme eşrle pot regla ntrărle. Un sstem c conene nersă fncţonează ca o bclă închsă care foloseşte rezltatele acţn trecte ale ssteml pentr a comanda acţnea toare. De eempl n ceas ş posesorl l formează n sstem c conene nersă când ora ndcată de ceas este comparată c ora eactă care este lată ca reper ceasl este potrt pentr a elmna erorle. Decze Acţne Starea ssteml Informaţa Fgra.. Sstem c conene nersă Bcla conen nerse este o cale închsă care leagă în aceeaş secenţă o decze ce comandă acţnea starea ssteml ş nformaţa despre starea ssteml în fnal întorcând-se la pnctl de lare a deczlor. 5

7 .. Modele Modelarea este o metodă de std a nor procese ş fenomene care se realzează prn sbsttrea obectl real al cercetăr. Ca metodă de cercetare este destl de eche modelele fzce prn smltdne apo cele constrte prn analoge înlocnd de mlte or obectl real sps cercetăr. Un model prespne în general reprezentarea ssteml ca o mlţme de părţ în nteracţne na c alta. Modell poate f: n dplcat al ssteml; o reprezentare smbolcă (de eempl matematcă) a ssteml; ssteml. Modelele constte reprezentăr ale realtăţ. Dacă ele ar f tot atât de gre de manerat ca realtatea prn tlzarea lor n s-ar obţne ncn aantaj. De obce se pot constr modele mlt ma smple decât realtatea pe baza cărora ptem să preedem ş să eplcăm c n înalt grad de acrateţe fenomene complee. Eplcaţa constă în faptl că deş pentr a descre n fenomen este necesar n nmăr mare de arable de obce pţne dntre acestea a rol esenţal. Important este să descoperm care snt acele arable ş relaţle dntre ele. Modelarea matematcă ocpă n loc mportant în ansambll metodelor de modelare în specal prn facltăţle oferte de calclatoarele c capactate mare de memorare ş teză mare de lcr. Modelele matematce a apărt dn necestatea de a descre ş stda formal comportarea ne categor de ssteme reale c scopl de a controla ş drja acttatea lor toare. Elaborarea ne strctr matematce împrenă c o lstă de corespondenţe între smbolrle matematce ş obectele staţe concrete consderate a conds la ceea ce nmm model matematc. În general n model M al n sstem S este n alt sstem S care dn anmte pncte de edere este echalent c S dar care este ma şor de stdat decât S. Prntr-n sstem S înţelegem rmătoarea strctră de mlţm: S {T X U V Y φ η nde - T este tmpl de bază tlzat pentr cronometrarea ş ordonarea eenmentelor; acesta este n nmăr real dacă ssteml este c tmp contn sa întreg dacă ssteml este c tmp dscret; - X reprezntă mlţmea ntrărlor în sstem; - U este mlţmea segmentelor de ntrare în sstem prn segment de ntrare în sstem asocat fncţe : T X înţelegând-se grafcl fncţe pe n nteral [t t ] adcă: ([t t ]) {(t (t)) t t t ; - V este mlţmea stărlor ssteml. Starea este n concept de modelare a strctr nterne a ssteml ce conţne stora acesta ş care- afectează prezentl ş torl ş împrenă c forma ntrărlor determnă în mod nc eşrle dn sstem; 6

8 - Y este mlţmea eşrlor ssteml; - φ este fncţa de răspns a ssteml φ : X V Y; dacă la o ntrare ([t t ]) ssteml se află în starea σ V atnc eşrea ssteml este Y ( ( [ t t ]) σ ) ϕ ; t t - η este fncţa de tranzţe a stărlor ceea ce înseamnă că dacă ntrarea ([t t ]) găseşte ssteml în starea V atnc îl transformă pe acesta în starea t ( ([ t t ]) ) σ η σ. t σt Cnoaşterea ntrărlor U ş a răspnsrlor corespnzătoarea acestora y Y reprezntă comportarea ssteml. Un model al n sstem trebe să îndeplnească rmătoarele tre condţ:. modell trebe să reflecte cât se poate de fdel realtatea reprezentată;. modell trebe să constte o smplfcare a realtăţ reprezentate; 3. modell este prn esenţa sa o dealzare a realtăţ reprezentate...3 Smlare În procesl de modelare matematcă componentelor ssteml l se asocază anmte arable / parametr nele cnoscte (controlable) nmte arable / parametr de ntrare altele necnoscte (necontrolable) nmte arable / parametr de eşre. Legătrle ş nteracţnle dntre componentele ssteml sa legătrle ssteml c eterorl se transpn în modell matematc prn relaţ fncţonale (ecaţ ş / sa denttăţ). Scopl modell este de a eprma arablele necontrolable în fncţe de arablele controlable astfel încât să fe satsfăcte crterle de performanţă. Uneor n este posbl să se eprme sb formă de ecaţ toate legătrle condţonărle ş nterdependenţele necesare mot pentr care nele dntre acestea se descr prn condţ logce sa procedr ce pot f manplate nma prn ntermedl calclatorl. Modell matematc completat c astfel de procedr este n model de smlare care pornnd de la alor ale arablelor controlable (generate c algortm specal) a prodce alor ale arablelor necontrolable ofernd arante dn care se poate alege cea ma bnă. De ac rezltă că modell de smlare prodce epermente aspra ssteml pe care-l smlează ceea ce permte alegerea acelor alor ale arablelor ş parametrlor de ntrare care condc la performanţele dorte. Necestatea obţner nor nformaţ despre n anmt sstem înante ca el să fe realzat a conds la aparţa smlăr. În proectarea sstemelor deosebt de mportantă este obţnerea nor nformaţ despre sstem înante ca el să fe realzat concret; acest lcr este posbl aplcând tehnca smlăr. Prn smlare nmercă se înţelege totaltatea procedeelor matematce ş de calcl destnate stdl comportăr în tmp a sstemelor reale c ajtorl calclatoarelor electronce nmerce prespnând-se că în eolţa acestor ssteme ntern ş elemente aleatoare. 7

9 Smlarea nmercă este o tehncă potrt cărea se asocază ssteml real n model adecat nmt model de smlare care reprezntă mlţmea nteracţnlor logce ale componentelor ssteml precm ş mecansml schmbăr lor în tmp. Modell este folost apo pentr a prodce prn ntermedl calclatorl sccesnea cronologcă de stăr prn care trece ssteml consderând-se dată starea sa nţală. Deoarece în eolţa lor sstemele reale snt nflenţate de caze aleatoare al căror efect trebe ps în edenţă în cadrl modelelor de smlare na dn problemele matematce mportate ale smlăr nmerce constă în generarea / smlarea c calclatorl a nor selecţ statstce aspra dfertelor tpr de arable aleatoare ş procese stochastce. O altă problemă mportantă legată de constrrea modelelor de smlare este aceea a cronometrăr eacte a eenmentelor stărlor ssteml smlat folosnd o arablă nmtă ceasl smlăr care este spsă n nmăr fnt de creşter pe parcrsl smlăr. Deş n oferă solţ eacte smlarea este o tehncă efcentă de cercetare atât pentr fenomenele fzce care n pot f percepte de om cât ş pentr acelea percepte dar mposbl de stdat analtc. Necestatea smlăr rezdă în faptl că adeseor sstemele reale n pot f stdate în mod drect fe datortă dfcltăţlor de ealare caltată sa canttată a fenomenelor fe dn caza completăţ (nmărl mare de arable de ntrare ş de eşre nmărl mare de stăr posble completatea fncţlor φ ş η etc.). Stdl arantelor de decze pe modele prezntă rmătoarele aantaje: - de natră economcă; - scrtează drata de obţnere a solţlor; - permte analza n nmăr mare de arante prn modfcarea condţlor nţale aând aantajl reenr la aranta de răspns conformă c cernţele tlzatorl. Folosrea n sstem real pentr epermentare poate condce la pertrbarea acttăţlor n domen în care este stdat ssteml anmte arante ma pţn nsprate ptând aea mplcaţ mprezble. În cazl nor ssteme care n estă încă se poate obţne n plan de constrre a ssteml în fncţe de anmte crter de optmzare a ntrărlor ş/sa eşrlor ssteml reprezentat. De eempl dacă tlzăm smlarea pentr proectarea n baraj dmensnle ş rezstenţa acesta se pot determna prn epermente c calclatorl pe n model care preede cernţa mede de crent electrc ş factor aleator precm olml precptaţlor în nteralele de tmp stablte. Epermentele reale n snt practce deoarece barajl odată constrt n poate f modfcat. Smlarea prespne ş nele dezaantaje: - constrrea modelelor de smlare cere o pregătre specală; se spne că smlarea este ma degrabă o artă decât o ştnţă care se înaţă în tmp ş prn eperenţă; - rezltatele smlăr snt apromate ş n eacte ar neor snt gre de nterpretat; - cele ma mlte eşr ale ssteml snt arable aleatoare (bazate pe ntrăr aleatoare) ale căror repartţ trebe cnoscte sa determnate. 8

10 ..4 Tpr de modele de smlare În mlte domen ştnţfce se folosesc tre tpr de modele de smlare: modele mtate modele analogce modele smbolce Modelele mtate a rmătoarele caracterstc: - transpn realtatea la o altă scară ma mare sa ma mcă c scopl obserăr comportăr realtăţ respecte; - mtă realtatea ceea ce înseamnă că n model mtat seamănă c fenomenl pe care-l reprezntă dar dferă ca mărme; - reprezntă o magne a realtăţ. Eemple: proectele nor clădr hărţle geografce machetele de atomoble nae aoane etc. Modelele mtate ale soarel ş planetelor snt mcşorate în tmp ce modelele atomce (modell l Bohr de eempl) snt mărte. Modelele mtate snt specfce concrete (fzce) ş gre de manplat în scopr epermentale. Modelele analogce snt specfce n proces sa fenomen al căr comportament n este cnosct. Pentr a f stdat se tlzează n model realst al n fenomen sa proces care prezntă analog. Modelele analogce a rmătoarele caracterstc: - folosesc anmte propretăţ pentr a reprezenta alte propretăţ; - snt ma pţn specfce ma pţn concrete dar ma şor de mânt decât modele mtate. De eempl se pot tlza: - modelele nor ssteme hdralce pentr stderea nor ssteme electrce sa de transport; - analogle storce pentr prognoza dezoltăr socetăţ într-o anmtă ţară; - crbele de nel pe o hartă topografcă pentr a reprezenta înălţmea formelor de relef. Modelele smbolce a rmătoarele caracterstc: - folosesc ltere cfre sa alte smbolr pentr a reprezenta caracterstcle ne realtăţ; - corelaţle între caracterstcle realtăţ a conds la screrea nor relaţ matematce adecate ş prn aceasta la crearea n model abstract (matematc). Un model de smlare este n tp partclar de model matematc al n sstem. 9

11 Modelele de smlare ma pot f clasfcate astfel: statstce sa dnamce determnste sa stochastce dscrete sa contne. Modelele statce snt acelea care îndeplnesc rmătoarele condţ: - n a în mod eplct în consderare arabla tmp; - reflectă staţ ş stăr narante ş atemporale; - solţle pot f obţnte ş analtc. Modelele dnamce snt acelea care: - ţn seamă de araţa ş nteracţnea în tmp a arablelor consderate; - încorporează tmpl ca mărme fndamentală fnd o arablă de stare; - se rezolă tlzând tehnca smlăr. Modelele determnste snt acelea în care: - toate arablele snt nealeatoare; - caracterstcle operate snt ecaţ de o anmtă formă; - solţle acestor modele se obţn pe cale analtcă. Modelele stochastce snt acelea care: - conţn na sa ma mlte arable de ntrare aleatoare ş dec na dn caracterstcle operate este dată prntr-o fncţe de denstate; - ntrărle aleatoare condc la eşr aleatoare; - eenmentele n se prodc c certtdne c c o anmtă probabltate. În cazl modelelor determnste eenmentele se prodc sa n se prodc ar în cazl prodcer estă o certtdne bazată pe regl clare. În cazl modelelor aleatoare eenmentele se prodc sa n se prodc reglle de nferenţă ale modell n conferă însă certtdne prodcer lor. Aceste modele de obce se rezolă folosnd tehnca smlăr metodele analtce fnd nefcente. Modelele dscrete snt acele modele în care schmbărle stărlor arablelor se fac la momente dscrete de tmp. Modelele contne snt acelea în care schmbărle stărlor arablelor se prodc contn. Eemple:. O fabrcă poate să prodcă într-o lnă tre tpr de aparate electronce: 4 aparate/oră dn prml tp aparate/oră dn al dolea tp ş 3 aparate/oră dn al trelea tp. Benefcl obţnt dn prodcerea ş ânzarea acestor aparate se prezntă astfel: 5 le pentr prml tp le pentr al dolea tp ş 75 le pentr al trelea tp. Desfacerea (ânzărle) snt lmtate la 5 apartate dn prml tp dn al dolea tp ş 8 dn al trelea tp. Ştnd că fabrca lcrează 6 de ore pe lnă să se întocmească programl de lcr lnar care să conţnă nmărl de aparate dn fecare tp ce or f prodse astfel încât benefcl obţnt să fe mam.

12 Constrcţa modell poate f făctă astfel: Se notează c 3 nmărl de aparate dn fecare tp ş obţne: ma(5 753) Acesta este n model statc ş determnst.. Problema ânzătorl de zare. Un ânzător de zare trebe să comande zlnc n nmăr de zare astfel încât câştgl dn ânzarea lor să fe mam. În fecare z el comandă n anmt nmăr de zare ânzând o parte dntre ele sa pe toate. Fecare zar ândt î adce n anmt câştg. Zarele neândte se pot înapoa dar î prooacă o anmtă perdere. Nmărl zarelor ândte este arabl de la o z la alta probabltatea ânzăr n anmt nmăr de zare într-o z ptând f estmată pe baza ânzărlor dn peroada anteroară. Constrcţa modell poate f realzată consderând rmătoarele arable: n nmărl zarelor comandate în fecare z; c câştgl obţnt dn ânzarea n zar; l perderea datorată n zar neândt; r cererea/nmărl zarelor ândte într-o z; p(r) probabltatea ca într-o z oarecare să ândă r zare; P câştgl obţnt într-o z. Dacă într-o z nmărl zarelor ândte (cererea) este ma mare sa egal c nmărl zarelor comandate (r n) câştgl a f P(r n) nc. Dacă într-o z nmărl zarelor ândte (cererea) este ma mcă decât nmărl zarelor comandate (r < n) câştgl a f P(r < n) rc (n-r)l. Câştgl med zln a f n P p( r)[ rc ( n r) l] p( r) nc r r n Acesta este n model stochastc deoarece n arablă controlablă; r arablă necontrolablă; c l constante. Prn rezolarea acest model trebe găst n pentr care P este mam.

13 . Descrerea modelelor de smlare În procesl de modelare matematcă modell este reprezentat pentr ssteml fzc dacă se respectă condţa de cazaltate ceea ce condce la clasfcarea elementelor în: - elemente de ntrare (cază) care formează ectorl de ntrare ( m ) - elemente de eşre (efect) care formează ectorl de eşre y (y y y n ) amb ector fnd în general aleator. În absenţa orcăror nformaţ aspra strctr ssteml acesta este descrs matematc de către dependenţa fncţonală dntre ectorl de eşre ş ectorl de ntrare: y f(). Varablele de ntrare pot f: - arablele determnste care se obţn dpă regl bne preczate sa se găsesc înregstrate pe sporţ de nformaţe; - arablele stochastce care snt generate c calclatorl dpă algortm de generare performanţ generarea depnzând de parametr de ntrare care caracterzează aceste arable. Pasl smlăr este prn defnţe o etapă în care toate arablele de ntrare a alor constante în tmpl eectăr programl. Obseraţ: - arablele de eşre depnd de arablele de ntrare; dependenţa este determnată de strctra logcă a modell de smlare consderat; - o aloare a ne arable de eşre este rezltatl eectăr n pas al programl de calcl asocat modell; - dacă cel pţn na dn arablele de ntrare este stochastcă atnc cel pţn na dn arablele de eşre este stochastcă. De mare mportanţă în constrrea modell de smlare este procedel de mşcare a ssteml în tmp; pentr aceasta este necesară ntrodcerea ne arable specale nmtă ceasl smlăr care să măsoare scrgerea tmpl real în care se smlează ssteml c scopl de a menţne ordnea corectă în tmp a eenmentelor. Modelele de smlare ma conţn: - relaţ fncţonale: denttăţ ş/sa ecaţ; - caracterstc operate fnd tlzate pentr a eprma prn relaţ matematce nteracţnle arablelor ş comportarea ssteml. O caracterstcă operată este de obce o poteză (statstcă sa n) sa o ecaţe matematcă preczată care leagă arablele de ntrare ale ssteml de stăr sa de arablele de eşre. Dacă aceste arable snt stochastce caracterstcle operate a forma nor fncţ de denstate de probabltate ar prntre parametr de ntrare a modell or

14 f ş parametr statstc a caracterstclor operate. Aceşt parametr a rol de mărm de ntrare în modell de smlare ş trebe estmaţ în prealabl dn obseraţ statstce efectate aspra procesl sa ssteml ce rmează a f smlat. Dpă constrrea modell de smlare smlarea în sne ca eperment constă în a ara alorle arablelor ş parametrlor de ntrare a ssteml ş a dedce pe baza modell ca rezltat al calclelor efectele lor aspra arablelor de eşre. Deosebm doă tpr de smlare: - dscretă dacă arablele modell pot aea nma anmte alor dscrete; - contnă dacă arablele modell pot aea orce aloare pe anmte nterale reale. În cazl smlăr c tmp dscret ceasl smlăr înantează de la n eenment la altl ş n în mod contn. În cazl smlăr c tmp contn arablele care descr starea ssteml îş schmbă alorle în mod contn în raport c tmpl... Etapele realzăr n model de smlare Constrrea modelelor de smlare constte n proces ampl care în general prespne parcrgerea rmătoarelor etape:. Defnrea probleme etapă în care se stablesc obectele smlăr: - întrebărle la care trebe să răspndă care trebe să fe clare; - potezele ce trebesc testate care trebe să fe însoţte de crter de acceptare; - efectele ce rmează a f estmate.. Colecţonarea analza nterpretarea ş prelcrarea prmară a datelor În această etapă se stablesc: - datele de obseraţe necesare pentr stderea ssteml consderat; - modaltăţle de strângere a datelor de obseraţe. Această etapă este esenţală deoarece colecţonarea nor date eronate are mar consecnţe în obţnerea rezltatelor fnale mot pentr care este necesară o analză prelmnară ş o nterpretare a lor pentr a depsta eentalele neconcordanţe c realtatea. Se efectează o prelcrare prmară apo se face conersa ş transmterea lor în ederea organzăr în fşere pentr a ptea f tlzate de calclator. Datele de obseraţe snt necesare pentr estmarea parametrlor caracterstclor operate ale modell ce a f constrt nţalzarea arablelor de ntrare ale modell ş aldarea l. 3

15 3. Formlarea modell de smlare Pentr a constr n model matematc de smlare a n sstem componentelor sale l se asocază anmte arable ş parametr nele dntre acestea fnd: - cnoscte (controlable) nmte arable sa parametr de ntrare; - necnoscte (necontrolable) nmte arable sa parametr de eşre. Interacţnle dntre componentele ssteml sa legătrle ssteml c eterorl se regăsesc în modell matematc sb forma nor relaţ fncţonale. Prntre relaţle modell estă na sa ma mlte fncţ care leagă dferte arable ş care măsoară performanţa ssteml. Deoarece în eolţa lor sstemele reale snt nflenţate de factor aleator al căror efect este ps în edenţă în cadrl modell de smlare o parte dn arablele de ntrare ale modell snt arable aleatoare aând fncţ de repartţe cnoscte. De ac apare necestatea ca modell de smlare să conţnă rtne care să genereze aceste arable de ntrare. Modell de smlare trebe să conţnă: - arable care să descre stărle componentelor ssteml (arable de stare); - o agendă care să memoreze eenmentele care se prodc în sstem; - rtne pentr prodcerea (generarea) dfertelor tpr de eenmente. Constrrea n model de smlare dferă de la o problemă la alta mot pentr care n pot f stablte nşte regl general alable. C toate acestea se pot ndca câtea regl de care trebe să se ţnă seama în constrrea modell de smlare. Una dntre acestea se referă la nmărl de arable pe care le foloseşte modell; n nmăr prea mare ar crea dfcltăţ în ceea ce preşte stablrea relaţlor fncţonale ar face ca modell să fe ma pţn flebl ar tmpl de calcl ar f ma mare. N trebe să se ajngă nc la cealaltă etremă a smplfcăr eagerate a modell prn folosrea n nmăr mc de arable deoarece în acest caz ar ptea perde o parte dn aspectele esenţale ale probleme. Relaţle fncţonale ale modell trebe să abă o formă cât ma smplă fnd şor de calclat ş ealat în aşa fel încât erorle de calcl ndse să fe cât ma mc asgrând în acest fel o cât ma bnă precze a modell. De mare mportanţă în realzarea modelelor de smlare este obţnerea n tmp de calcl reds fapt ce permte smlarea dfertelor arante de sstem c costr (efortr) rezonable. O altă cernţă de care trebe să se ţnă seama la constrrea modelelor de smlare se referă la mjloacele prn care poate f erfcată corecttdnea modell ş arantele ce rmează a f smlate c ajtorl calclatorl electronc. 4. Estmarea parametrlor de ntrare a modell Parametr de ntrare a modell matematc de smlare se estmează prn metode statstce folosnd datele colecţonate (în prma etapă) despre ssteml real. Caracterstcle operate pot aea forma nor ecaţ sa ssteme de ecaţ depnzând de anmţ parametr care pot f estmaţ c ajtorl tehnclor specfce analze regrese. 4

16 5. Ealarea performanţelor modell ş testarea parametrlor Această etapă are ca scop erfcarea modell înante ca el să fe programat: - se erfcă dacă parametr de ntrare a modell a fost bne estmaţ folosnd teste statstce; - se erfcă dacă modell conţne toate arablele ş parametr esenţal precm ş relaţle fncţonale necesare reprezentăr nterdependenţelor esenţale ale ssteml real. În cazl când caracterstcle operate a forma nor poteze statstce refertoare la repartţle arablelor de ntrare atnc se aplcă testele de concordanţă (testl ℵ Kolmogoro-Smrno) pentr erfcarea acestor poteze. Dacă în rma acestor erfcăr se constată că o întrebare sa o poteză n este corect formlată înseamnă că fe arablele ş parametr n a fost bne aleş fe parametr de ntrare n a fost bne estmaţ. Dacă pe lângă acestea se constată ş alte neconcordanţe în cadrl modell atnc toate etapele precedente or f relate în ederea corectăr lor. 6. Descrerea algortml de smlare ş screrea programl de calcl Pe baza rezltatelor etapelor precedente se constreşte algortml de calcl care reprezntă sccesnea logcă a eenmentelor ce rmează a f reprodse c calclatorl electronc. Pentr a f ma şor de programat algortml este reprezentat prntr-o schemă logcă; rmează screrea programl care se poate face fe folosnd n lmbaj de programare de nel înalt: C / C fe n lmbaj specal de smlare de eempl GPSS. Alegerea lmbajl de programare depnde de ma mlţ factor dntre care amntm: tmpl de calcl necesar smlăr forma sb care trebe mprmate rezltatele smlăr eperenţa ca programator etc. Lmbajele de smlare (specalzate) fac mlt ma şoară descrerea n sstem ş a comportăr l în tmp. Ele pot şra mlt modelarea ceea ce face să fe net speroare dn acest pnct de edere lmbajelor generale de programare. 7. Valdarea modell Valdarea modell adcă stablrea adecăr l la realtate este de obce o sarcnă compleă ş dfclă. Valoarea n model în raport c contrbţa sa la stdl staţe concrete modelate este determnată de gradl să de adecare adcă de modl în care predcţle concordă c obseraţle. Metodele de aldare a modelelor matematce de smlare n snt nce. Valdarea modell se poate face prn: - testarea modell într-n caz partclar în care solţa se cnoaşte sa poate f dedsă c şrnţa pe cale analtcă; - compararea rezltatelor smlăr c datele obţnte prn obserarea nor ssteme smlare sa prn comparaţe c eolţa trectă a ssteml real care a fost smlat. 5

17 Varantele modell care se doedesc neadecate snt modfcate până se ajnge la solţ care concordă c realtatea. 8. Planfcarea eperenţelor de smlare În această etapă se face atrbrea arablelor ş parametrlor de ntrare a alorlor care să acopere staţle reale în care s-ar ptea afla ssteml în ederea selectăr arante care satsface cernţele tlzatorl. 9. Analza datelor smlate Rezltatele smlăr ne prezntă care este reacţa ssteml la modfcarea alorlor arablelor de ntrare ş ma mlt în ele om căta răspnsrle la întrebărle formlate la încept. Acest lcr este posbl colecţonând datele smlate prelcrând-le calclând statstcle pentr testele de semnfcaţe ş apo nterpretând doar rezltatele... Ceasl smlăr Prn ntermedl modell de smlare calclatorl electronc prodce scces dferte eenmente care reprezntă schmbărle ce a loc în tmp în cadrl ssteml. Pentr a ptea menţne ordnea corectă a acestor eenmente ş pentr ptea precza dpă fecare pas al smlăr care este nterall de tmp în care s-a smlat eolţa ssteml la pasl respect este necesar să se ntrodcă în modell de smlare o arablă specală nmtă ceas. La fecare pas al smlăr trebe să se genereze o creştere a ceasl care să se adage mărm ceasl la pasl anteror. Estă doă tpr de ceas: ceas c creştere fă (constantă) ceas c creştere arablă. Smlarea bazată pe metoda ceasl constant constă în a genera de fecare dată o creştere constantă c a ceasl ş a analza apo starea dfertelor elemente ale ssteml generând toate eenmentele posble a se prodce în nterall de tmp de lngme c. Dpă aceea se a genera o noă creştere care se a adăga ceasl ş se a repeta analza menţonată. Schema logcă a modell de smlare trebe în acest caz să descre în mod complet eolţa ssteml pe n nteral de tmp de lngme c; smlarea ssteml pe n nteral mare (oarecare) de tmp se a obţne repetând de n nmăr de or sfcent de mare algortml refertor la nterall de tmp de lngme c. Dec pentr modelele de smlare c ceas constant mărmea ceasl T este de forma: T c j (j ) nde j este n întreg care reprezntă nmărl de teraţ ale algortml de smlare. 6

18 În cazl ceasl arabl aloarea (arablă) a creşter ceasl este egală c lngmea nterall de tmp dntre aparţle a doă eenmente consecte. C alte cnte mărmea creşter ceasl este egală c nterall de tmp de la starea actală la momentl aparţe cel ma apropat eenment tor. În cazl modell c ceas constant aem: O e e e 3 e 4 T T T T 3 În cazl modell c ceas arabl aem: O e e e 3 e 4 T T T T 3 T 4 Metoda ceasl arabl prespne în mod rgros consderarea ordn ttror aparţlor de eenmente sccese astfel încât la fecare noă aparţe corespnde o creştere a ceasl. În cazl modelelor c ceas constant dacă de eempl aloarea ceasl la n moment dat este T c atnc în această fază algortml de smlare a genera eenmentele care rmează să se prodcă în nterall de tmp [c (-) c ) ş dpă aceea a aansa ceasl la aloarea T c (). Un model de smlare bazat pe metoda ceasl constant consderă grpl de eenmente prodse în nterall [c (-) c ) ca ş cm s-ar f prods la momentl c. În consecnţă procedel bazat pe metoda ceasl constant spre deosebre de cel bazat pe ceas arabl face ca grpl de eenmente care apar pe n nteral de tmp de lngme c să fe sncronzate la momentl termnăr acel nteral. Dn acest mot este recomandabl să se aleagă constanta c cât ma mcă. Aceasta a condce la creşterea tmpl de calcl. Pe de altă parte mărrea constante c datortă sncronzăr nor eenmente ce se petrec la momente de tmp îndepărtate a măr gradl de apromaţe al modell ş a redce tmpl de calcl. Metoda bazată pe ceasl constant este de preferat cele bazată pe ceasl c creştere arablă ma ales dn pnctl de edere al şrnţe c care se poate constr algortml smlăr. 7

19 CAPITOLUL II SIMULAREA NUMERELOR ALEATOARE. Nmere aleatoare nforme. Procedee de generare. Nmerele care snt alese la întâmplare nmte nmere aleatoare se tlzează: - în aplcaţ în care realzează înlocrea alorlor arable aleatoare c o mlţme de alor care a propretăţle statstce ale acestea; - în smlarea nmercă pentr a reprodce în mod realst anmte elemente ale ssteml smlat precm ş pentr rezolarea nor probleme nmerce c ajtorl metodelor Monte Carlo; - în cercetarea statstcă pentr a prodce selecţ întâmplătoare în cadrl ne poplaţ statstce selecţ cărora l se pot aplca apo procedee de prelcrare ş nterpretare specfce statstc matematce; - în testarea programelor pe calclator. Se nmeşte şr de nmere aleatoare ndependente c o repartţe de probabltate specfcată şrl care îndeplneşte condţle: - nmerele şrl a fost obţnte la întâmplare; - fecare nmăr n este în nc n fel legat de celelalte nmere ale şrl; - are o anmtă propretate de a se afla într-n anmt nteral. Un şr de nmere aleatoare ndependente c o repartţe specfcată este o selecţe întâmplătoare efectată aspra ne arable aleatoare a căre repartţe este cea specfcată. Dacă într-n şr de nmere ptem preedea nl dn termen şrl în fncţe de termen precedenţ atnc şrl n este aleator. În cadrl şrrlor de nmere aleatoare de lngme foarte mare este posbl ca nele nmere să se repete dar ele îndeplnesc anmte cernţe care le aprope de cele întâmplătoare; ele se nmesc nmere psedo-aleatoare. Estă ma mlte procedee de a prodce nmere întâmplătoare ş anme:. Tabele c nmere întâmplătoare care conţn nmere întreg nform repartzate pe n nteral.. Procedee fzce fnd constrte maşn sa dspozte fzce pentr prodcerea de nmere întâmplătoare. Ele se bazează pe prncp fzce folosnd de eempl zgomotl electronc sa radoact. Procedel radoact constă dntr-n detector de partcle radoacte care înregstrează într-o peroadă de tmp t n nmăr par sa mpar de partcle emse de srsă. 8

20 Un alt procede fzc este cel al ntenstăţ n crent măsrat la momente dstncte astfel încât alorle oltajelor U(t ) U(t ) U(t n ) să poată f consderate ca ndependente. În cazl în care n astfel de dspozt se foloseşte pentr generarea de nmere aleatoare c o anmtă repartţe dspoztl este conectat la calclator astfel încât el să poată prodce nmere aleatoare la neoe. 3. Procedee artmetce Pentr generarea nmerelor aleatoare c ajtorl calclatoarelor electronce nmerce se folosesc relaţ de recrenţă de forma: X n f(x n X n- X n-m ) n>m m nde ( X n ) n N snt nmere natrale prespnând-se că ectorl alorlor nţale X X X m este dnante fat. Un procede artmetc de obţnere a nmerelor aleatoare bazat pe o relaţe de recrenţă de forma de ma ss se nmeşte generator. Ţnând seama de faptl că nmerele generate în acest mod ele n snt întâmplătoare dar pentr anmte aleger ale l f se pot obţne nmere c propretăţ statstce apropate de cele întâmplătoare n asemenea generator a prodce nmere psedo-aleatoare sa cas-aleatoare. Pentr ca n procede artmetc să poată f nmt generator de nmere psedo-aleatoare trebe să îndeplnească rmătoarele condţ:. Generatorl trebe să fe smpl ş rapd ceea ce înseamnă că el trebe să fe şor de programat să ocpe memore pţnă ş să solcte tmp de calcl reds.. Generatorl trebe să prodcă şrr de nmere de lngme orcât de mare fără ca nmerele şrl să se repete. Aceasta ar însemna să n prodcă şrr c peroadă fntă. Ţnând seama că mărmea cântl n calclator este lmtată ceea ce înseamnă că orce calclator poate lcra nma c nmere întreg ma mc decât n nmăr dat rezltă că n ptem constr generator c peroadă nfntă. De aceea cernţa ca n generator să prodcă şrr orcât de lng de nmere se redce la faptl că generatorl trebe să abă peroadă cât ma mare posblă. 3. Generatorl trebe să prodcă nmere ndependente stochastc nl faţă de altl. Practc acest lcr n este realzabl c calclatorl dar n generator este acceptat dacă prodce nmere care snt foarte pţn dependente stochastc sa foarte pţn corelate. Gradl de ndependenţă stochastcă se erfcă c ajtorl testelor statstce. 4. Generatorl trebe să prodcă nmere a căror repartţe să fe nformă ceea ce se poate erfca c ajtorl testelor de concordanţă (testl ℵ testl Kolmogoro etc.). Datortă smpltăţ lor generator cel ma frecent tlzaţ snt acea care prodc nmere psedo-aleatoare întreg. 9

21 Ideea folosr procedeelor artmetce pentr generarea algortmcă de nmere care a caltăţ apropate de cele întâmplătoare aparţne l John on Nemann. El a props o metodă partclară cnosctă sb nmele de metoda părţ de la mjlocl pătratl.. Smlarea nmerelor aleatoare nforme Fe {Ω К P n câmp de probabltate ş X : Ω R o arablă aleatoare. Fe F : R [] F() P(X<) {P{ω; X(ω)<. A genera c calclatorl o arablă aleatoare înseamnă a alege n nmăr de eenmente elementare ω ω ω n ş a determna alorle X X(ω ) ale arable aleatoare. Valorle X... X n reprezntă o selecţe aspra arable aleatoare X. O generare este n algortm care este capabl să prodcă n X ş terând acel algortm el să fe în stare să prodcă X X... X n astfel ca ele să fe ndependente stochastc ş dentc repartzate. dacă Varablele X X... X n snt ndependente stochastc n F( n ) F ( ) nde F( n ) P(X < X < X n < n ). Varablele X X... X n snt dentc repartzate dacă toate a aceeaş repartţe F () F j () pentr j. A genera / smla o arablă aleatoare înseamnă a prodce o selecţe. De obce nmerele aleatoare snt alorle ne selecţ refertoare la o arablă aleatoare U care are repartţe nformă. Dacă U este o arablă aleatoare dscretă nformă atnc toate alorle e snt egal probable. De eempl: < X : F ( ) < K n X : n n n n n Dacă U este o arablă aleatoare contnă nformă atnc ea admte o denstate de repartţe de forma: ( a b) f( ) ( a b) b se determnă dn condţa f ( ) d d ( b a) > ( b a) a ş o fncţe de repartţe nformă:

22 a F( ) ( a)( ba) a< < b b În acest caz se spne că arabla aleatoare U are repartţe nformă pe (a b). Nmerele aleatoare nforme pe () snt cele ma mportante pentr smlarea nmercă. Dacă prntr-n anmt procede reşm să generăm / smlăm nmere aleatoare întreg X nform repartzate pe nterall ( M) M fnd sfcent de mare atnc se pot obţne nmerele aleatoare U nforme pe () prn: U X / M < X < M. Propozţe: Dacă arabla aleatoare U este nformă pe nterall () atnc arabla V a (b-a) U este arablă nformă pe (a b). Demonstraţe: a ( < ) P( a ( ba) U < ) PU ( < ( a)( ba) ) ( a)( ba) PV a < < b b Pentr arabla aleatoare U nformă pe () aem: ( ) ϕ ; ( ) < Φ < Cele prezentate ma ss pot f generalzate în cazl ectorlor aleator. - fncţa de denstate: ( ) - fncţa de repartţe: ( ) Se consderă ectorl X R nform pe [a b] [c d]. Denstatea sa de repartţe este: ( b a) ( b a) I f ( ) ( ) în rest Dacă X (X X ) este ector aleator c doă componente f( ) este denstatea de repartţe a ectorl X F( ) este fncţa de repartţe a ectorl X ar f ( ) F (X ) snt denstăţle ş respect fncţle de repartţe margnale f ( ) F ( ) F( ) f ( ) F ( ) F( ) atnc ndependenţa stochastcă rene la: F( ) F ( ) F ( ) sa f( ) f ( ) f ( )

23 Propozţe: Dacă X R este ector nform pe n nteral I [a b] [c d] X (X X ) atnc X este nform pe [a b] ş X este nform pe [c d] ar X este ndependent de X. Demonstraţe: Fncţa de repartţe a l X este: ar Atnc: F ( ) ( a)( c)( ba)( d c) ( ) ( ) F( ) ( ) F( ) a c I b d F este fncţe de repartţe nformă pe [a b] F este fncţe de repartţe nformă pe [c d]. ( ) ( b a) [ a b] ( ) ( d c) [ c d] ( ) ( ba)( d c) f f f Această propretate arată că dacă rem să obţnem pncte nforme în domen ptem genera pncte nforme pe componente. d c a I b Obseraţe: Propozţa este adeărată nma pe nterale ş n pe domen oarecare. Constrrea n generator de nmere aleatoare este destl de dfclă pe de o parte datortă perodctăţ mar ar pe de altă parte datortă cernţelor statstce de ndependenţă stochastcă ş nformtate. Knth bazând-se pe procedel l John on Nemann ş pe alte operaţ nmerce care în mod ntt aea caracter aleator a constrt n generator de nmere sper-aleatoare pe care când l-a tlzat a constatat în mod srprnzător că reprodce n anmt nmăr. Conclza l Knth a fost că generatoarele de nmere aleatoare n trebe constrte prn metode ntte ele trebe să abă la bază teor matematce rgroase. În general prodcerea de nmere aleatoare se bazează pe metode recrente ar cele care a fost rgros stdate ş a prods rezltate bne snt metodele congrenţale. Ele a fost nţate de Lehmer.

24 .. Metoda pătratl dn mjloc Să prespnem că folosm o reprezentare în baza b a nmerelor întreg c care lcrăm care de obce este sa. Prespnem că toate aceste nmere a a cfre a... În caz contrar se completează în faţa nmărl c zeror. X n : a a a în baza b c a cfre ( X n b ) X : n a a a a X n Fnd dat nmărl aleator întreg X n rmătorl nmăr psedo-aleator X n se defneşte dpă on Nemann ca fnd format dn cfrele părţ dn mjloc a pătratl l X n. Astfel rdcând pe X n la pătrat se obţne n nmăr c 4a cfre; lând cele a cfre de la mjlocl şrl de 4a cfre ale l X n se obţne nmărl X n. Acest procede poate f eprmat prn relaţa de recrenţă: X n X n a X n b a 3a b b Această metodă s-a doedt a f o srsă slabă de nmere psedo-aleatoare deoarece anmte nmere se repetă. De eempl pentr a ş b nmărl 379 se repetă deoarece Metode congrenţale Aceste metode consta în a determna nmărl X n dn X n pe baza relaţe congrenţale de recrenţă: ( ax c) mod M. K X n n n nde a c M snt întreg nenegat. Pentr obţnerea n şr de nmere întreg psedo-aleatoare este necesar să se aleagă de la încept în mod conenabl nmerele X a c M. Nmărl întreg pozt X este termenl nţal al şrl de nmere psedo-aleatoare. Acest generator se ma nmeşte generator mt-congrenţal deoarece paranteza dn membrl drept conţne o înmlţre ş o adnare. 3

25 Se pne problema aleger constantelor a ş c care da o peroadă mamă rmând ca dn clasa generatorlor respect să alegem pe acea care prodc nmere psedo-aleatoare de bnă caltate dn pnct de edere statstc. Teoremă: Şrl de nmere defnt de relaţa congrenţală lnară are o peroadă mamă de mărme M dacă ş nma dacă:. c este prm c M;. b a- este mltpl de p pentr orce dzor prm al l M; 3. b este n mltpl de 4 dacă M este n mltpl de 4. De eempl se pot alege: M 35 a 3 4 c X a Generatorl mltplcat - congrenţal de peroadă mamă Acest generator se obţne dn cel mt congrenţal lând c : X ax (mod ) n n M Acest generator n poate aea peroada de lngme mamă ceea ce-l face ma pţn tlzat decât precedentl. Pentr calclatoare c lngmea cântl de 3 bţ se poate la M 3 cel ma mare nmăr întreg reprezentabl pe n cânt de memore ar a

26 CAPITOLUL III SIMULAREA VARIABILELOR ALEATOARE Fe C o famle de arable aleatoare pentr care se cnosc algortm de generare. Se pne problema să determnăm n algortm T care să transforme o mlţme de arable aleatoare C C într-o mlţme de arable aleatoare X X T (C C... C n ). C alte cnte pornnd de la o famle de arable aleatoare pentr care cnoaştem algortm efcenţ de generare dn pnct de edere al calclabltăţ să determnăm algortml care generează arable aleatoare ma dfcl de generat. Pentr generarea arablelor aleatoare se tlzează rmătoarele metode:. Metoda nersă. Metoda respnger 3. Metoda compner (amestecăr) 4. Alte metode de generare a arablelor aleatoare 5. Metode partclare de generare a arablelor aleatoare 3. Metoda nersă Lema l Hncn-Smrno: Dacă X este o arablă aleatoare oarecare aând fncţa de repartţe F() ar U este n nmăr aleator nform pe () atnc arabla aleatoare Y F ( U) are fncţa de repartţe F(). Demonstraţe. Fe X o arablă aleatoare aând fncţa de repartţe F(). Atnc: nde ( < ) P F ( U) ( < ) PU < F( ) ( ) F( ) F ( ) P Y F este nersa fncţe de repartţe. De ac se desprnde conclza că dacă aem o arablă aleatoare a căre fncţ de repartţe F(X) este cnosctă ş n nmăr aleator U nform pe () o aloare de selecţe aspra arable X se obţne calclând nersa fncţe de repartţe aând ca argment nmărl aleator U. Generalzând rezltă că fnd dat şrl { X n n N de arable aleatoare c fncţa de repartţe F(X) ş { U n n N n şr de nmere aleatoare nforme pe () ş ndependente stocastc se poate obţne n şr de alor de selecţe Y n aând aceeaş fncţe de repartţe F(X) Yn F ( U n ). Metoda nersă este cea ma smplă metodă de smlare a arablelor aleatoare. Ea prezntă câtea nconenente:. În smlarea nor nmere aleatoare nforme pe () nele dntre acestea se aprope foarte mlt de sa de ceea ce prn rotnjre pot f asmlate c sa. Metoda fnd bazată pe calcll nerse fncţe de repartţe F în calcle apare adeseor fncţa ln care datortă rotnjrlor la sa poate condce la sa la. 5

27 . Metoda nersă poate ndce mlte eror de calcl datortă prezenţe nor fncţ ca ln ep etc. care se calclează dpă alor apromate. 3. În mlte cazr fncţa de repartţe n poate f nersată ş atnc se apelează la metode nmerce care de asemenea pot ndce eror de calcl. Metoda nersă poate f aplcată pentr smlarea arablelor aleatoare de tp contn dscret ş a ectorlor aleator. Prespnem că dspnem de n generator de nmere aleatoare Random Nmbers Generaton (RNG) pentr generarea de nmere aleatoare nforme pe () ş ndependente stocastc. În aceste condţ algortml de smlare a ne alor de selecţe a ne arable aleatoare pentr care se cnoaşte fncţa de repartţe F(X) se obţne aplcând lema Hncn-Smrno pentr cazl dscret ş contn. Smlarea arablelor aleatoare de tp dscret Fe X : p p K K n < pn p < ( )... n n p Se a rezola ecaţa F(X) U. Consder nterall () pe care îl acoperm c probabltăţ: p p p n p Generăm n nmăr aleator U care a cădea într-n nteral acopert c probabltăţ p ceea ce înseamnă că aloarea de selecţe a f X X. Ptem să generăm n ndce aleator. Se generează U apo se determnă [L U] (se determnă în al câtelea nteral se află U). L Algortm de smlare a ne arable aleatoare dscrete:. Inţalzare RNG. Intrare n X F ( X) p < p < j. Se generează c RNG n nmăr aleator U nform pe ( ).. j j 3. Dacă U > F j transfer la Pas. 4. Ieşre X X j. 6

28 Smlarea arablelor aleatoare de tp contn Algortm de smlare a ne arable aleatoare contne:. Inţalzare RNG. Intrare parametr. Inţalzarea nersăr fncţe F(X).. Se generează c RNG n nmăr aleator U nform pe ( ). X F U.. Ieşre ( ) Pentr obţnerea alorlor de selecţe ale ne arable aleatoare se reterează acest algortm. Pentr erfcarea algortml se poate aplca cel ma smpl test care constă în calcll mede ş dsperse de selecţe. Verfcarea se face pentr n olm de generăr n> ceea ce înseamnă reterarea acest algortm se face de cel pţn de de or. Se calclează: n - meda de selecţe m X n n - dspersa de selecţe s ( X m) n nde X X... X n snt n alor obţnte prn reterarea algortml. Se compară aceste alor c meda ş dspersa teortetce ş c cât erorle snt ma mc rezltă că algortml este ma bn. Algortml ma poate f erfcat aplcând testl ℵ sa testl Kolmogoro. Metoda nersă pentr solţ nmerce Metoda nersă poate f aplcată ş în cazl când n ptem calcla eplct nersa fncţe F. În aceste cazr trebe rezolată ecaţa F(X) U nmerc ceea ce cere n olm mlt ma mare de tmp când F este contnă. Desgr că aceasta condce la n algortm care are o precze scăztă. În cele ce rmează X este necnosctă fnd solţa eactă a ecaţe F(X) U ar X * este aloarea obţntă prn algortml de calcl al nerse. Condţa de oprre a algortml X - X * < δ pentr n δ > mc în anmte staţ este este posbl să n ne satsfacă deoarece pentr alor ma mar ale l X aceasta ar ptea să mplce ca nmărl de cfre semnfcate cert să depăşească cântl calclatorl. * O a doa condţe de oprre poate f dată prn F( X) F( X ) < ε nde ε > este n nmăr mc. 7

29 Ce ma cnoscţ algortm nmerc pentr calcll nerse F(X) U snt: Metoda bsecţe: Intrare: n nteral (a b) care să conţnă solţa: repetă X (a b) / dacă F(X) U atnc a X altfel b X până când b a < δ. Ieşre: X. Metoda secante: Intrare: n nteral (a b) care să conţnă solţa: repetă U F( a) X a ( b a) F( b) F( a) dacă F(X) U atnc a X altfel b X până când b a < δ. Ieşre: X. Metoda l Newton-Raphson: Intrare: o aloare nţală pentr X. repetă F( X ) U X X f ( X ) până când condţa de oprre este satsfactă. Ieşre: X. Obseraţe. Pentr prmele doă metode aem neoe de n nteral (a b) care să conţnă solţa. Metoda l Newton Raphson conerge dacă F este coneă sa concaă. 8

30 3. Metoda respnger Fe X o arablă aleatoare a căre generare dorm să o smlăm c condţa să- ptem asoca rmătoarele elemente: S {S S S n o famle de arable aleatoare pe care ştm să le generăm. N o arablă aleatoare dscretă N N P ( N < ) pe care ştm de asemenea să o generăm. P o propretate (arablă logcă ce poate la doă alor ) ce se poate erfca prn calcl. Ψ o fncţe măsrablă Ψ : R n R. Defnţe. Dacă ne arable aleatoare X se poate asoca n sstem de patr elemente {S N P Ψ astfel încât pentr orce n N fnd date S S S n S care satsfac propretatea P arabla aleatoare Ψ (S S S n ) are aceeaş fncţe de repartţe c X atnc am defnt n procede de respngere pentr generarea l X. Algortm de generare (metoda respnger):. Inţalzăr Algortml pentr generarea l N. Algortml pentr generarea l S S S n. Algortml pentr erfcarea propretăţ P. Algortml pentr calcll l Ψ.. Generează o aloare de selecţe n N.. Generează S S S n. 3. Dacă S S S n n satsfac propretatea P (respngere) transfer la. 4. Calclează X Ψ (S S S n ) (aloarea generată). Obseraţ.. Algortml se nmeşte de respngere deoarece în Pasl 3 se decde dacă are loc o respngere sa o acceptare.. Notăm c p a probabltatea de acceptare ş c p r probabltatea de respngere; algortml este performant dacă p a este mare ar p r este mcă. 3. N poate f o arablă aleatoare sa o constantă. 4. Famla S trebe să ştm să o generăm smpl ş rapd. 5. Propretatea P trebe să fe şor de erfcat. 6. Fncţa Ψ să fe smplă ş şor de ealat. 9