INTRODUCERE ÎN METODA ELEMENTELOR FINITE

Transcript

1

2 ŞEN I. MKSY DIN. BISRIN INRODUCERE ÎN MEOD EEMENEOR INIE EDIUR CERMI IŞI 8

3 Descrerea CIP a Bbotec Naţonae a Române MKSY, I. ŞEN Introdcere n metoda eementeor fnte / Ştefan I. Masay, Dana. Bstran - Iaş : Cerm, 7 Bbogr. ISBN I. BISRIN,. DIN Conser edtora: Prof.nv.dr.ng. Emano Bârsan Unverstatea ehncă Gh. sach Iaş Referenţ ştnţfc: Prof.nv.dr.ng. dabert Kovacs Unverstatea Potehnca mşoara

4

5 Prefaţă Prezenta carte, reprezentând o ntrodcere în anaza c eemente fnte, este adresată în prm rând stdenţor masteranz a actăţ de Ingnere dn Hnedoara, dar poate f constată ş de crsanţ de a învăţământ postnverstar. Snt prezentate atât fndamentee teoretce ae Metode Eementeor nte cât ş eempfcăr ae aceste metode a rezovarea nor probeme de mecancă, hdrodnamcă, probeme termce ş de eastctate, etc. Rezovăre anatce ae probemeor propse snt ssţnte de mpementăr nmerce, fnd prezentate programe de cac smpe ş efcente în MathCD ş MB. Mţmm referent ştnţfc care, prn observaţe ş sgeste făcte, a contrbt a eaborarea prezente cărţ. tor îş eprmă, antcpat, grattdnea pentr eventa aport crtc a cttoror. Hnedoara, Ma, 8 tor

6 CUPRINS CPIOU I NOŢIUNI INRODUCIVE. INRODUCERE ÎN NIZ CU EEMENE INIE UNCŢII DE ORMĂ.... EOREME ENERGEICE MEODE NUMERICE PENRU NIZ CU EEMENE INIE... CPIOU II MODERE UNOR PROBEME PRIN MEOD EEMENEOR INIE. SISEME MECNICE CU RESORURI.... BR ORMĂ DIN RONSONE SRUCURI PNE SUDIU DEPSĂRIOR UNEI COONE SUB SRCINĂ MIŞCRE PN PREĂ MINRĂ ÎN CNE PREE....6 RNSERU DE CĂDURĂ ÎN BRĂ DISRIBUŢI EMPERURII ÎNR-UN CONDUCOR EECRIC DISRIBUŢI EMPERURII ÎNR-UN CÂMP ERMIC CONDUCIV ÎNCOVOIERE BREOR ESICE... 7 Bbografe... 8

7 CPIOU I NOŢIUNI INRODUCIVE. INRODUCERE ÎN NIZ CU EEMENE INIE Generatăţ Bazee anaze c eemente fnte a fost pentr prma dată formate în 9 de către matematcan german Rchard Corant (888-97), care, îmbnând metoda Rtz c anaza nmercă în probeme de cac varaţona ş mnmzare, a obţnt soţ satsfăcătoare pentr anaza sstemeor c vbraţ. Începând c an 7, metoda eementeor fnte a fost foostă a rezovarea ceor ma compee probeme dn domen strctror eastce contne, de a constrcţe cve, ndstrae sa de barae până a constrcţe de nave martme, respectv cosmce. Prncpe metode anaze c eemente fnte enomenee fzce de acest fe snt descrse dn pnct de vedere matematc de ecaţ dferenţae, prn a căror ntegrare, în condţ a mtă date, se obţne o soţe eactă a probeme. ceastă cae anatcă are dezavanta ca este apcabă nma în caz probemeor reatv smpe. Probemee care ntervn în actvtatea practcă snt de cee ma mte or compee în ce prveşte acătrea fzcă ş geometrcă a peseor, condţe de încărcare, condţe a mtă etc., astfe încât ntegrarea ecaţor dferenţae este dfcă sa char mposbă. În metoda eement fnt se tzează, ca pnct de pecare, n mode ntegra a fenomen stdat. E se apcă separat pentr o sere de mc regn ae ne strctr contne obţnte prn procede dscretzăr, denmte eemente fnte, egate între ee în pncte nmte nodr.

8 8 NOŢIUNI INRODUCIVE - I ceste eemente fnte trebe astfe concepte încât ansamb or să reconstte cât ma fde posb strctra reaă anazată. În prncp, aceste egătr trebe astfe concepte încât să permtă o convergenţă nmercă către soţa eactă, atnc când strctra este dscretzată în eemente fnte c dmensn dn ce în ce ma redse. Etapee de rezovare a ne probeme c ator metode eementeor fnte Etapa. Împărţrea domen de anază în eemente fnte. În această etapă anast aege tp sa tpre de eemente fnte adecvate probeme de rezovat, apo împarte strctra în eemente fnte. ceastă operaţe, care se nmeşte ş dscretzare, poate f făctă c ator cacator. p de eement fnt este defnt de ma mte caracterstc, cm snt nmăr de dmensn (n-, b-, trdmensona), nmăr de nodr ae eement, fncţe de apromare asocate ş atee. egerea tp de eement fnt are mare mportanţă pentr necesar de memore nternă, pentr efort de cac mps cacator ş pentr catatea reztateor. Pnct de pecare pentr constrcţa matematcă a dferteor metode de eemente fnte î constte respectarea rmătoareor prncp: tzarea ne apromăr bazată pe foosrea de eemente ma smpe, pentr care avem a dspozţe o soţe; sporrea eacttăţ cac prn rafnarea dscretzăr. Etapa. Consttrea ecaţor eementeor fnte (ecaţe eementae). Comportatea matera sa med în cprns n eement fnt este descrsă de ecaţe eementeor fnte denmte ş ecaţ eementae. cestea acătesc n sstem de ecaţ a eement. Ecaţe eementae pot f dedse drect, pe cae varaţonaă, prn metoda rezdaă sa a rezdror (Gaern) sa prn metoda banţ energetc. Etapa. sambarea ecaţor eementae în sstem de ecaţ a strctr.

9 . - Introdcere în anaza c eemente fnte 9 Comportarea întreg strctr este modeată prn asambarea sstemeor de ecaţ ae eementeor fnte în sstem de ecaţ a strctr, ceea ce dn pnct de vedere fzc înseamnă că echbr strctr este condţonat de echbr eementeor fnte. Prn asambare se mpne ca, în nodre comne eementeor, fncţa sa fncţe necnoscte să abă aceeaş vaoare. Etapa. Impementarea condţor a mtă ş rezovarea sstem de ecaţ a strctr. Sstem de ecaţ obţnt în rma mpementăr condţor a mtă corespnzătoare probeme concrete este rezovat prntr-n dn procedeee obşnte, de eemp prn emnarea Gass sa prn descompnerea Choes, obţnând-se vaore fncţor n nodr. cestea se nmesc ş necnoscte prmare sa de ordn întâ. Etapa 5. Efectarea de cace spmentare pentr determnarea necnoscteor secndare. În nee probeme, dpă afarea necnoscteor prmare, anaza se închee. cesta este de obce caz probemeor de condcţe termcă, în care necnosctee prmare snt temperatr nodae. În ate probeme însă, cnoaşterea nma a necnoscteor prmare n este sfcentă, anaza trebnd să contne c determnarea necnoscteor secndare sa de ordn do. cestea snt dervate de ordn speror ae necnoscteor prmare. stfe, de eemp, în probemee mecance de eastctate, necnosctee prmare snt depasăre nodae. C ator or, în această etapă, se determnă necnosctee secndare care snt deformaţe specfce ş tensne. Ş în caz probemeor termce anaza poate contna c determnarea necnoscteor secndare care snt ntenstăţe fror termce (gradenţ termc).

10 NOŢIUNI INRODUCIVE - I. UNCŢII DE ORMĂ ncţe de nterpoare care ndcă egea de varaţe asmată pentr mărme necnoscte (depasăr, temperatr, etc) a nve eement fnt, se nmesc fncţ de formă. Pentr eementee fnte c doă, tre, patr ş, respectv, cnc nodr, eprese fncţor de formă snt rmătoaree Pentr eemente c nodr ( ξ ; ξ ) Φ Φ ( ξ) ( ξ) În gra a snt reprezentate grafc fncţe de formă în caz n eement fnt c doă nodr. ncţe de formă a propretăţe: Φ ( ), ( ) Φ, Φ ( ), ( ) Eemp: e nodre Φ. ξ 5 () ncţa de nterpoare între cee doă nodr este ( ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) f, ξ 5 fnd reprezentată grafc în gra b.

11 a. b.. - ncţ de formă.5 5 Φ ( ξ) Φ ( ξ).5 f ( ξ) ξ ξ gra a. ncţe de formă pentr n eement c doă nodr. b. ncţa de nterpoare ( ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) f. ξ Pentr eemente c nodr ( ; ξ ; ξ ) Φ Φ Φ ξ ( ξ) ( ξ)( ξ) ξ ( ξ) fnd reprezentate grafc în gra a. ncţe de formă a propretăţe: Φ ( ), Φ ( ), ( ) ξ fncţe de formă snt Φ, Φ ( ), Φ ( ), ( ) Φ, Φ ( ), Φ ( ), ( ) Eemp: e nodre Φ. ξ 5 () ncţa de nterpoare între cee tre nodr este

12 NOŢIUNI INRODUCIVE - I f ( ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) ξ reprezentată grafc în gra b. Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) ( ξ) 5Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ,.5 a. b f ( ξ).5.5 ξ ξ gra a. ncţe de formă pentr n eement c tre nodr. b. ncţa de nterpoare ( ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) f. ξ Pentr eemente c nodr ( ξ ; ξ ; ξ ; ξ ) de formă a eprese (gra a) Φ Φ Φ Φ ş propretăţe ξ ξ( ξ) ( ξ) ξ ξ ( ξ) ξ ( ξ) ( ξ) ξ ( ξ) 9 6 Φ ( ), Φ ( / ), Φ ( / ), ( ) 6 5 Φ, Φ ( ), Φ ( /), Φ ( / ), ( ) () Φ,, fncţe

13 Φ ( ), Φ ( / ), Φ ( /), ( ) Φ, Φ ( ), Φ ( / ), Φ ( / ), ( ) Eemp: e nodre. - ncţ de formă Φ. ξ / / 5 ncţa de nterpoare între cee patr nodr este f ( ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) ξ ( ξ) 5Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ, reprezentată grafc în gra b. a. b. Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) ξ f ( ξ) ξ gra a. ncţe de formă pentr n eement c patr nodr. b. ncţa de nterpoare ( ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) f. ξ Pentr eemente c 5 nodr ( ; ξ ; ξ ; ξ ; ξ ) fncţe de formă (gra ) se aeg astfe ξ, 5

14 NOŢIUNI INRODUCIVE - I Φ Φ Φ Φ Φ 5 având propretăţe ξξ ξ( ξ) 8 ( ξ) ξ ξ( ξ) 8 ( ξ) ξξ( ξ) ( ξ) ξξ ξ ( ξ) ξ ξ ( ξ) Φ ( ), Φ ( / ), Φ ( ), Φ ( / ), ( ) () Φ, Φ ( ), Φ ( / ), Φ ( ), Φ ( / ), ( ) Φ, Φ ( ), Φ ( / ), Φ ( ), Φ ( / ), ( ) Φ, Φ ( ), Φ ( / ), Φ ( ), Φ ( / ), ( ) Φ, Φ ( ), Φ ( / ), Φ ( ), Φ ( / ), Φ ( ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ).5.5 Φ ( ξ) Φ 5( ξ).5.5 ξ ξ gra. ncţe de formă pentr n eement c cnc nodr Eemp: e nodre

15 . - ncţ de formă 5 ξ ncţa de nterpoare (gra 5) între cee cnc nodr este ( ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) f. ξ f ( ξ) ξ gra 5. ncţa de nterpoare ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) f ( ξ) Φ 5 5 ransformarea în coordonate natrae pentr eement nar c nodr se ma poate scre c ator fncţor de nterpoare () astfe ( ξ) ( ξ) Φ ( ξ) Φ ( ξ) (5) Ţnând seama de propretăţe generae ae fncţor de nterpoare, pentr n eement nar c r nodr transformarea de coordonate (5) se scre r Φ( ξ) (6) nde Φ ( ξ) snt fncţe de nterpoare agrange de grad r, ar bază sa nodre eement. Dferenţnd reaţa (6) se obţne pnctee de

16 6 NOŢIUNI INRODUCIVE - I r dφ dξ J dξ (7) dξ nde J este acoban transformăr de coordonate (6). Să cacăm vaoarea acoban. -pentr eement nar c doă nodr (fncţa de nterpoare de grad întâ) Φ ( ξ) ; Φ ( ξ) ; h d J Φ dξ ; dφ dξ dφ dξ ; ( h) h. (8) -pentr eement nar c tre nodr (fncţa de nterpoare de grad do) Φ ξ( ξ) ; Φ ( ξ)( ξ) ; Φ ξ( ξ) ; h ; h (9) dφ ξ ; d Φ ξ dξ dξ ; dφ dξ ξ h h J ξ ( ξ) ( h) ξ. -pentr eement nar c patr nodr (fncţa de nterpoare de grad tre), prn dervarea fncţor de formă în raport c varaba ξ, se obţn eprese

17 . - ncţ de formă 7 Φ Φ Φ Φ ( ξ) ξ ( ξ) ( ξ) ξ ( ξ) 9 6 ; J ξ ξ( ξ) ( ξ) ξ ξ 9 6 ξ h ; ξ 9 dφ dξ dφ dξ dφ dξ dφ dξ 9 ξ ξ ξ ξ 6 7 ξ ξ 6 9 ξ ξ 6 9 h ; h 7 ξ 6 ξ h 7 h 9 h ξ ξ ξ ξ ( h) () Se consderă ( ) ^ ^ soţa apromatvă a forme varaţonae care se scre c ator n set de fncţ de apromare ( ) Ψ Ψ având grad s s ( ) C Ψ ( ). () şa cm reztă dn eempee prezentate anteror, se dedce soţa ( ) ator fncţor de nterpoare prn nodre eement ( ) c Φ Φ având grad r, nde r reprezntă nmăr gradeor de bertate corespnzătoare nmăr de nodr ae eement r ( ) Φ( ). () În genera, grad fncţor de apromare s poate să dfere de grad fncţe de nterpoare r.

18 8 NOŢIUNI INRODUCIVE - I. EOREME ENERGEICE În scop dedcer ecaţe eementeor fnte, se foosesc în mod crent procedee energetce sa rezdae. Eempfcam aceste procedee în caz mecanc sod deformab, în care trecerea strctr de a o stare de echbr a ata se nmeşte deformaţe. Prn deformaţe pnctee de apcaţe a forţeor care acţoneazã aspra strctr se depaseazã, prodcând cr mecanc. Proces deformaţe este gvernat de reaţa nde dw d () dw este energa nternă totaă, d este cr mecanc eementar eteror. Se poate consdera că tot cr mecanc eteror de defomare se transformă în energe potenţaă de deformare. cr mecanc eteror Sarcne eteroare care încarcă strctra ş generează cr mecanc pot f, forţe concentate: { } { } forţe dstrbte pe sprafaţã: { } { } y z p p p p, forţe masce dstrbte în vom V: { } { } y z g g g g. dmţând o creştere nară a sarcnor, c depasăre pncteor de apcaţe ae y z acestora { δ } { v w}, epresa cr mecanc eteror este { δ} {p}d { δ} {g}dv { δ} {}. () V

19 Energa potenţaă de deformare. - eoreme energetce 9 Energa potenţaă de deformare specfcă, în caz strctror c stăr de tensne ndmensonaă c comportare nară, are epresa W σε ş reprezntă energa acmată de ntatea de vom în rma deformăr. Vom eementar dv a ne strctr spaţae acmează energa potenţaă de deformare dată de reaţa dw { σ} { ε}dv { ε} { σ}dv { ε} E { ε}dv. () În staţa în care estă stăr nţae de tensne { σ } ş stăr nţae de deformare { ε }, se tzează reaţa W { ε} E { ε} { ε} { σ} { ε} E { ε} dv. () V Prncp cr mecanc vrta (depasăror vrtae) Depasarea vrtaă este depasarea c vaoare foarte mcă, c drecţa ş sens arbtrare. otatatea depasăror vrtae contne, care satsfac condţe mtă geometrce, formează câmp depasăror geometrce admsbe. Sntetc, prncp cr mecanc vrta se eprmă astfe: pentr n corp deformab încărcat eteror, ş c anmte condţ de fronteră (mtă), cr mecanc vrta a încărcăror eteroare este ega c cr mecanc vrta nteror (energa de deformare), pentr orce câmp de depasăr vrtae, geometrc admsbe. Prncp eprmă egătra estentă dntre soctăr ş forţee nteroare pentr asgrarea n echbr stab, respectv coreaţe dntre depasăre nodror ş deformaţe corespnzătoare ae corp pentr a satsface condţe de compatbtate. orma sntetcă a acest prncp este

20 NOŢIUNI INRODUCIVE - I sa dpă înocre dw d, { δ } {p}d { δ } {g}dv { δ } {} { ε } { σ}dv. (5) V V eorema energe potenţae Potenţa tota (energa potenţaă totaă) Π a n sstem eastc deformab se obţne însmând energa potenţaă de deformare W ş energa potenţaă a forţeor eteroare estă reaţa nde W p. Între cr mecanc a forţeor eteroare ş energa W p. stfe, epresa potenţa tota, Π este Π W (6) Π este o fncţonaă în sens matematc (fncţe de ate fncţ); W este energa potenţaă de deformare eastcă; este cr mecanc a forţeor eteroare. W p a acestora Ţnând cont de eprese energe de deformare ş a cr mecanc eteror reaţa (6) devne: Π dv V { ε} E { ε} { ε} { σ } { ε} E { ε } { δ} {p}d { δ} {g}dv { δ} {}. (7) V eorema energe potenţae mnme se poate ennţa astfe: dntre toate câmpre depasăror geometrc admsbe ae ne strctr stabe care respectă condţe mtă, nma cee pentr care energa potenţaă are o vaoare staţonară (mnmă) corespnd pozţe de echbr.

21 . - Metode nmerce pentr anaza c eemente fnte Pentr întreaga strctră energa potenţaă sa potenţa este sma potenţaeor eementor fnte. În caz ne strctr dvzate în n eemente fnte Π n Π. (8). MEODE NUMERICE PENRU NIZ CU EEMENE INIE Dntre metodee nmerce efcente în anaza c eemente fnte, vom prezenta în cee ce rmează metoda Rtz ş metoda Gaern, eempfcate prn programe reazate în MathCD ş MB. Metoda Rtz În 98, W. Rtz a props o metodă smpă ş efectvă pentr rezovarea probemeor a mtă, având o formare varaţonaă. Se şte că rezovarea ne ecaţ dferenţae într-n anmt domen ş satsfacând anmte condţ a mtă este echvaentă c găsrea mnm ne anmte fncţonae corespnzătoare, eprmată c ator ne ntegrae ndmensonae sa prntr-o ntegraă mtpă. De eemp, mnmzarea fncţonae b a, d y, y constă în a determna o soţe apromatvă a probeme varaţonae de forma n () y () c ϕ (), () n fncţe care apar satsfăcând condţe a mtă mpse. Specfc pentr metoda eementeor fnte este fapt că mnmzarea se face pe sbdomen ae domen stdat, denmte eemente fnte, egate între ee în pncte nmte nodr. Ca rmare a mnmzăr fncţonae în toate eementee fnte în care a

22 NOŢIUNI INRODUCIVE - I fost împărţt domen ş asambăr pe tot domen a efecteor obţnte pe eementee fnte, reztă n sstem de ecaţ agebrce prn a căr rezovare se determnă vaore fncţe stdate în nodr. În scop mnmzăr fncţonae pe eementee fnte ae domen anazat, fncţa sa fncţe necnoscte, contne pe tot domen, snt apromate prntr-n set de fncţ convenţonae, contne nma pe cprns eementeor fnte. În caz condţor omogene y ( ), y ( ), fncţe coordonate ϕ ( ) pot avea, de eemp, forma sa ( ) ϕ ( ) ϕ () sn(π). Eemp. Să se determne mnm fncţonae [ ] ( y) ( y ( ) ) y( ) y( ) I în mţmea fncţor ponomae de grad care se anează în ş. Rezovare anatcă Datortă condţor a mtă, pentr apcarea metode Rtz vom consdera fama de fncţ n y n ( ) c ( ), () nde ϕ ( ) ( ),,,..., n verfcă condţe a mtă mpse. Scrnd că fncţa ( ) ' c,c,...,c n y n ( ), reprezntă n sstem compet de fncţ care y n reazează mnm fncţonae, ( ) y ( ) I ( ) ( ) n yn,

23 . - Metode nmerce pentr anaza c eemente fnte vom obţne pentr constantee c,,,..., n, sstem de ecaţ adcă (5) reztă I c,,n, () ' 'n y n y n y y y n n. (5) c c c Ţnând seama de () cacăm y ' n y c ( ) c [ ( ) ] ' n Pentr n y c [ ( ) ], n ( ) n avem ( ) c ( ) y ş sbsttnd această eprese în reaţa [ c ( ) c ( ) ( ) ], (7) de nde se obţne coefcent c. 8. promanta de ordn n are epresa ( ).8( ) y (6). Rezovare nmercă în MathCD Următor program găseşte apromanta de ordn n a fncţe care [ ] mnmzează fncţonaa ( ( ) ) y( ) y( ) ORIGIN y. Se aege fncţa: y( ) : ( ), s capetee nterva de cătare n nmăr de răr

24 NOŢIUNI INRODUCIVE - I eps precza rtz(, s, n, eps) : whe for.. c. nt n s n,.. mnm_nt 8 for f s nde.. ( ) d ( c y( ) ) ( c y ( ) ) c y( ) n nt mnm_nt nde mnm_nt nt nde poz_mn nde c f poz_mn poz_mn c f poz_mn s c poz_mn s c n f eps f poz_mn n poz_mn n ( c nt mnm_nt poz_mn ) Vaore constante Vaore fncţonae ( ) ( ), c : rtz.5,.5,, 5, fnc : rtz.5,.5,, 5 c fnc

25 Mnm fncţonae. - Metode nmerce pentr anaza c eemente fnte 5 ( ), mnm : rtz.5,.5,, 5 mnm Pozţa mnm ( ), poz_mnm : rtz.5,.5,, 5 poz_mnm 8 Vaoarea constante care reazează mnm c_fn : c poz_mnm c_fn Metoda Gaern Metoda Gaern este bazată pe forma rezd ponderat. Pentr prezentarea metode vom tza, de data aceasta, notaţe sntetce f, în Ω (8) B Ω nde este n operator dferenţa nar, ar B este operator fronteră. Pentr determnarea soţe apromatve a ecaţe, necnoscta se apromează c o combnaţe de fncţ de încercare a căre coefcenţ n U() a Φ () (9) Ω a se dedc dn sstem v (f)dω v Bdσ. () Ω c v ş v snt fncţ test convenab aese, cm ar f v Φ. v

26 6 NOŢIUNI INRODUCIVE - I stfe de soţ apromatve a fost consderate de matematcan B. G. Gaern (878-95). acem observaţa că sstem () se poate tza char dacă operator este nenar. O reazare efectvă a metode eement fnt se obţne dn schema de ma ss aegând fncţe V Φ ş v dn sbspaţ V a { U H (,) () } constrt dn fncţ segmentar nare. e gra (dvznea) n..., care dvde Ω în eementee e (, ) de ngm h ş fe h mah. Vom mpne ca eementee U ae V să fe contne pe [,], nare pe fecare eement e ş () U. nde ncţe U U V pot f descrse prn vaore or pe nodr. vem ( ) a Φ ( )...a ( ) nφn, (),, Φ (), (, ) () h, (, ) h, e,,

27 Dec fncţe de bază. - Metode nmerce pentr anaza c eemente fnte 7 Φ a vaoarea pe nod corespnzător pe ceeate nodr ş snt segmentar nare pe fecare nterva U ( ) a pentr fecare,..., n rmător: sstem., vaoarea e. Evdent, Practc, metoda cască Gaern de tp eement fnt poate f formată în fe Să se găsească U V astfe încât ( f ) U vh, v h V. () Cm U () are forma (), aegând în v h Φ pentr,..., n n Φ ( ) Φ( ) a f ( ) Φ( ) sa scrs matrcea Eementee [ ][ ] [ ],,..., n () K. (5), se obţne K ae matrc [ K ] pot f şor cacate (în caz genera ee se cacează asambând vaore de pe fecare eement). Se obţn coefcenţ ş K h h h h ( Φ, Φ ) n K (, ) n nn Φ n Φn h h n În ps, pentr,...,n avem n n., K (, ), Φ Φ, h h

28 8 NOŢIUNI INRODUCIVE - I ( ) h h, K, Φ Φ. Matrcea [ ] K are în fna forma [ ] K K K M O O O M M K K K. În ceea ce prveşte cac [ ], c ator nor forme de cadratră smpe (de eemp forma trapez), se obţne pentr,...,n ( ) ( ) ( ) h f h f h f h f f, Φ ş ( ) ( ) h f h f f, n n n n n n n n Φ de nde, dacă aegem o gră nformă n h h, [ ] respectv sstem (5), devn [ ] / f f f f f h n n M ; / f f f f f h a a a a n n n M M M K K M O O O M M K K K. (6) Metoda Gaern este absot generaă. Ea se poate apca c scces a ecaţ de tpr dferte: eptce, hperboce, paraboce, char dacă ee n snt egate de probeme varaţonae, ceea ce reprezntă n avanta faţă de metoda Rtz. otş,

29 . - Metode nmerce pentr anaza c eemente fnte 9 pentr apcaţ egate de probeme varaţonae, ea se găseşte într-o nterdependenţă strânsă c metoda Rtz, ar în mte cazr este echvaentă c aceasta dn rmă, în sens că ambee condc a aceeaş soţe apromatvă. În contnare, prezentăm câteva eempe. Eemp. Să se determne soţa ecaţe dferenţae ', [ ],, care satsface condţa nţaă (). Rezovare anatcă Consderam n ş dvzne echdstante /, /,,. ncţe de bază snt Φ,,,,,, (), Φ,,,,,, (), Φ,,,, () ormăm soţa apromatvă de forma () a () a () a apro Φ Φ Φ. Constantee a se determna dn sstem [ ][ ] [ ] K, nde

30 NOŢIUNI INRODUCIVE - I [ K ], [ ], / în forma. [ ] [ K] [ ], [ ].667. Dpă efectrea înocror reztă pentr orce [,]. a Φ () a Φ () a Φ (), Eemp. Să se determne soţa ecaţe dferenţae d, [, ], care satsface condţa nţaă (). Rezovare nmercă în MB cc,cear,format short dsp(' MEOD GERKIN'),dsp(' '), dsp(' d()/,, ()'),dsp(' '), n5,dsp(' '),Mzeros(n);h/n;M(n,n); hffgre; for :hf, cose (), end, for :n,()/n;f()();end for :(n-),m(,);m(,)-;end, zeros(n,);for :(n-),()f();end, (n)f(n)/; hnv(m);m,dsp(' '),,dsp(' '), dsp(' ') [',] hfgre;pot(,,,.,'--','newdth',.5),grd on egend('sota apromatva','sota anatca'); Reztate MEOD GERKIN

31 n 5 d()/,, () M ans Metode nmerce pentr anaza c eemente fnte Eemp. Să se determne soţa ecaţe dferenţae d, [,], care satsface condţa nţaă (). Rezovare nmercă în MB cc,cear,dsp(' '), dsp(' MEOD GERKIN'),dsp(' '), dsp(' d()//(^),, ()') dsp(' '),n, Mzeros(n);h/n;M(n,n); hffgre; for :hf, cose (), end, for :n,()/n;f()/(()^);end,dsp(' '), for :(n-),m(,);m(,)-;end,m, zeros(n,);for :(n-),()f();end,

32 NOŢIUNI INRODUCIVE - I (n)f(n)/;dsp(' '),,dsp(' '), hnv(m); dsp(' atan()'), [',,atan()'] hfgre;pot(,,,atan(),'--','newdth',.5),grd on egend('sota apromatva','sota anatca'); Reztate MEOD GERKIN n d()//(^),, () M atan() ans

33 CPIOU II MODERE UNOR PROBEME PRIN MEOD EEMENEOR INIE. SISEME MECNICE CU RESORURI Se consderă n sstem mecanc smp, format dn resortr conare, care se afă sb nfenţa nor forţe eteroare acţonând pe drecţa sstem de resortr. Utzând metoda eementeor fnte, ne propnem să determnăm dstrbţa depasăror în sstem de resortr ş reacţne în pereţ. Pentr eempfcarea aceste probeme se consderă că sstem este format dn patr resortr, de caracterstc,..., ş este sb acţnea forţeor eterne P, Q ş R (gra a). gra a. Sstem fzc dat. Pentr a caca depasăre capeteor bere ae resortror (, ş ) ş reacţne provocate de reazeme ( ş 5 ) se consderă mode anatc, consttt dn. Ecaţa de echbr 5, (). Ecaţa constttvă, (). Condţ de mtă ; 5. () Vom consdera n eement fnt generc (gra b).

34 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I gra b. Eement fnt generc. Sstem dat se descompne în eemente ndvdae, nmte smboc eemente fnte. ecare eement se caracterzează prn prezenţa n resort c n coefcent de proporţonatate ş a doă nodr margnae (, ). Pentr fecare nod se notează varabee probeme, adcă forţee nodae, ş depasăre ş (gra b). Pentr obţnerea mode eementa de comportare se consderă că depasăre fnae ae nodror ş ae eement generc se pot obţne prn procede de sprapnere a efecteor. Prncp sprapner efecteor Caz a. Se consderă nod ber, ar nod fat (gra a). gra a. Nod este ber. e forţa a, care acţonând aspra acest eement prodce o depasare a nod egaă c ş, deoarece nod este fat, depasarea. pcând ecaţe () ş () pentr acest caz, reztă, () a a a, (5)

35 . - Ssteme mecance c resortr 5 a a. (6) Caz b. Se consderă nod fat (dec ) ş nod ber (gra b). gra b. Nod este ber. reaţe e forţa b, astfe încât să prodcă depasarea nod egaă c b b b b, (7) b, (8) b. (9). Reztă Caz c. Se sprapn cee doă cazr precedente, astfe încât să se obţnă staţa caracterzată prn forţee, ş depasăre, (gra c.). gra c. mbee nodr snt bere. Dn reaţe (5), (6) ş (8), (9) reztă sstem adcă a a b b, (), ()

36 6 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I ş care reprezntă reaţa forţe-depasăr nodae. ceasta se poate scre sb forma e e e, () c notaţe e e e,,, nde e reprezntă matrcea propretăţor caracterstce ae eement fnt e, e reprezntă vector vaoror nodae ae depasăror, ar e este vector forţeor apcate a nodre eement. Ecaţa () constte mode eementa de comportare a sstem dat. Partcarzând acest mode pentr fecare eement fnt în parte ş raportând a întreaga confgraţe nodaă a sstem, se poate genera întreaga strctră fncţonaă a sstem mecanc consderat, sa a ator ssteme smare. În caz sstem consderat, se scr pentr fecare resort ecaţe eementae ş se epandează (adcă se raportează a sstem goba de nodr). Eement ; Eement ;

37 . - Ssteme mecance c resortr 7 Eement ; Eement sambând acm contrbţa fecăr eement apcând prncp sprapner efecteor, se obţne reaţa 5 5, adcă 5 5, () nde s-a notat,,,

38 8 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I,,. Ecaţa () reprezntă mode goba de comportare a sstem consderat. Sntetc, ea se poate scre astfe, () nde, 5, 5, ar ( ) det. Condţe a mtă, 5 se mpementează sb forma 5. Se observă că această ecaţe matrceaă este echvaentă c n sstem de 5 ecaţ, în care prma ş tma reprezntă condţe a mtă, 5. Se mpn ş condţe a mtă P, Q ş R, sb forma R Q P 5. (5)

39 . - Ssteme mecance c resortr 9 Dn acest sstem matrcea se determnă depasăre,, ş vaore banae, 5. Vaore, ş s-ar ptea determna consderând, în oc acest sstem matrcea, doar ecaţe, ş dn sstem agebrc corespnzător. Ecaţa matrceaă () 5 5, înocnd în ea vaore cnoscte,,,, 5 ş forţee P, Q ş R cnoscte, condce a ecaţa matrceaă 5 R Q P, de nde se determnă forţee ş 5 dn reazemee sstem. ceste doă forţe se pot determna, evdent, ş dn sstem agebrc format dn prma ş a cncea ecaţe a sstem corespnzător. pcaţe. Să se smeze n sstem de resortr în care se cnosc,,,, P, Q ş R. Rezovare nmercă în MathCD Varanta. ORIGIN Datee nţae: : : : : P : Q : R :

40 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I Matrcea propretăţor caracterstce: K : K 5 Impnerea condţor a mtă: Kd : K 7 Kd, : Kd, : Kd, : Kd 5, 5 : Kd, 5 : Kd 5, : Kd 5 d : 7 Cacarea depasăror ş reacţnor a capete: Verfcare: : Kd d : K P Q R

41 Varanta.. - Ssteme mecance c resortr cest program permte generazarea probeme a n nmăr de n resortr. ORIGIN Nmăr resortror: n : Caracterstce resortror: : orţee care acţonează: P : Q : R : Generarea matrce propretăţor caracterstce: MK : for for.. n.. n K, K, K n, n n for t.. n K t, t t t for K p.. n K p, p p K p, p p MK Generarea matrce propretăţor caracterstce mpnând condţe a mtă: 5 7

42 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I MKd : MKd MK MKd, MKd n, n MKd, MKd, MKd n, n MKd n, n MKd P Vector forţeor: d : Q R Cacarea depasăror: Verfcare: Cacarea reacţnor a capete: : MKd d : MK... 5 MKd

43 Rezovare nmercă în MB Se consderă caz în care forţa R este varabă.. - Ssteme mecance c resortr cc,cear,format short, ; ; ; ; ; -; ; % matrcea propretator caracterstce M[ - ; - -; - ]; % vector forteor [;;]; % vector depasaror Denv(M); nr5 for :nr (,)[]; end for :nr (,)[]; end for :nr (,)-9(-); ()(,); end dsp('') for :nr Denv(M)[(,) (,) (,)]'; ()De(); ()De(); ()De(); ()-(); 5()-(); S()()(,)(,)(,)5(); end dsp(' 5 Sma forţeor ') for :nr d(,:9)[(),(,),(,),(,),5(),s(),(),(),( )]; end d pot(,,,,'--',,,'-.','newdth',),grd on egend('()','()','()')

44 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I Se obţn reztatee: 5 Condţa de echbr În gra se poate observa varaţa depasăror în fncţe de forţa. gra. Varaţa depasăror în fncţe de forţa.

45 . - Bara formată dn tronsoane 5. BR ORMĂ DIN RONSONE Se consderă o bară dreaptă, artcată a ambee capete formată dn tronsoane având secţne,,,, ş ngme a, 5a, a, 6a, soctate de n sstem format dn tre forţe aae P, P ş P (gra ). Se cere determnarea reacţnor dn nodre ş precm ş depasăre nodror, ş. E ε ntar); Consderăm potezee: gra. Bara artcată. eement de bară are n comportament near (se apcă egea Hooe: σ, nde E - mod de eastctate, ε - deformaţa specfcă, σ - efort încărcarea este dată de forţe drate în ng bare ş apcate în capetee artcaţor; bara n sportă forţe ş depasăr transversae; ngmea, ara secţn ş mod de eastctate E a matera vor caracterza ntegra comportarea eastcă a bare - rgdtatea E /. e Vom consdera n eement de bară de secţne constantă, demtat de nodre ş (gra ) pentr care notăm ş e ş depasăre nodror ş ; e forţee nodae eementae dn nodre ş. e, de ngme

46 6 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I Se observă că forţa nodaă secţona aa N, ar forţa nodaă gra. Eement de bară. e corespnzătoare nod concde c efort e corespnzătoare nod este egaă c efort secţona aa e e N N, c semn schmbat N () Eprmând deformaţa eement e, fncţe de depasăre nodae reztă astfe N ş astfe ş forţee nodae e e N N, () e e e e E e E N e E N e N E e e ( ) e E, ( ) ( ), (). e ş e în Reaţa dntre forţee nodae ş depasăr () poate f scrsă sb formă matrceaă

47 . - Bara formată dn tronsoane 7 e e e e E. () Partcarzând acest mode pentr fecare eement fnt în parte ş epandând, se obţn reaţe Eement : E E E E (5) Eement : E E E E (6) Eement : E E E E (7)

48 8 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I Eement : E E E E (8) Introdcem notaţe,,, H,,,, H. Prn ansambare reztă n sstem de cnc ecaţ c cnc necnoscte,,,,, ş anme H H E E E E E E E E E E E E E E E E (9) care poate f scrs sb forma generaă astfe K P δ, () nde K este matrcea de rgdtate a sstem, δ este matrcea depasăror, ar P matrcea forţeor nodae

49 . - Bara formată dn tronsoane 9 E E E E E E E E E E E E E E E E K, δ, H H P () În formarea matrceaă pentr eement fnt, termen care compn matrcea de rgdtate pot f nterpretaţ ca fnd coefcenţ de nfenţă care eagă forţee nodae de depasăre nodae ae strctr. Conform defnţe, vaoarea n coefcent de nfenţă de rgdtate este vaoarea forţe dn nod pe care o ndce o depasare egaă c ntatea în nod, depasăre în ceeate nodr fnd (bocate), eement rămânând în echbr. Prn efectarea înocror se obţne H P P P H a E. ()

50 5 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I Dacă se ntrodc condţe a mtă ş se emnă dn ecaţa matrceaă ne ş 5 corespnzătoare reacţnor necnoscte H ş H, respectv cooanee ş 5 corespnzătoare depasăror ne, reztă rmătoarea ecaţe matrceaă 9 E a 5 5 de nde vector depasăror necnoscte este a E P P. () P.8 P.857 P.69 P Dn sstem () se pot determna reacţne astfe H H ap E ().8 (5) Ştnd condţa a mtă se pot determna reacţne H.85, H. 7. Observaţe: Probema se poate generaza consderând că cndr n a aceaş mod de eestctate. Observaţe: Pentr determnarea reacţnor ş a efortror aae pe cae anatcă vom forma n sstem c ator rmătoareor doă ecaţ nde P P P H, H,

51 ( ). - Bara formată dn tronsoane 5 H H, P H, P H,. E E E E ( ) Dec avem doă ecaţ c doă necnoscte, ar dpă efectarea caceor vor rezta reacţne H.857P, H.7P. Efortre aae pe fecare tronson snt N H.857P, H P.857P, N N H P P.7P, H.7P. N Rezovare nmercă în MathCD Varanta. : : : : a : E : P : : a : 5a : a : 6a Matrcea de rgdtate a sstem, redsă: : ( E ) ( ) E ( ) E ( ) E ( E ) E ( ) E ( ) ( E ) ( E ) E ( )

52 5 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I Cacarea depasăror: : P P P : : Determnarea reacţnor a capete: H : H : H.86 H.7 Determnarea efortror aae: N : H N.86 N N : H P N.86 : H P P N.7 N : H N.7 Varanta. ormarea prezentată tzează cac smboc. ORIGIN Secţne: ngme: orţee aae: : : a : P : : 5a : P : : a : P : : 6a

53 Matrce caracterstce eementae: : : E a E a E a E a E a E a E a E a Matrcea de rgdtate a sstem: : E a E a E a 9 E a 5 a E : sbmatr(,,,, ) nv : :. - Bara formată dn tronsoane 5 E 5a E 5a E 5a E 5a : E 6a 5 a a E a E E E a a E E a E 6a E a E a E 6a E 6a

54 5 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I 9 E a 5 a E 5 a a Cacarea depasăror: E a E E E a a E nv a 8a 7 8a E E E ( a,, P, E) : nv P ( a,, P, E) P P : : ( a,, P, E) : ( a,, P, E) : ( a,, P, E) : P a P a 7 E 7 E Determnarea reacţnor a capete: H : H : H H P 7 P 7 a E a E 8a 7 E 8a 7 6a 7 P 7 P 7 E E P 7 P 7 a E a E a E a E 8a 6a 7 E E a E Rezovare nmercă în MB Se anazează caz în care forţee aae snt varabe, depnzând de vaoarea parametr P, forţee aae care soctă strctra fnd P, P ş P. cc,cear, format short g, ; ; ; ; a; E; P; a; 5a; a; 6a; % matrcea de rgdtate a sstem redsa

55 . - Bara formată dn tronsoane 55 (,:)[((E)(E))/(); -(E)/ ;]; (,:)[-(E)/; ((E)(E))/(); - (E)/]; (,:)[ ;-(E)/; ((E)(E))/()]; % vector forteor P; -P;-P; [;;]; nr; for :nr Pvar()P(-); end; for :nr ()Pvar(); (,)(); end for :nr ()-Pvar(); (,)(); end for :nr ()-Pvar(); (,)(); end dsp(' ') % cacarea depasaror for :nr Depnv()[(,) (,) (,)]'; ()Dep(); ()Dep(); ()Dep(); end dsp('p P -P -P ') for :nr rez(,:7)[pvar(),(,),(,),(,),(),(),()]; end rez pot(pvar,,pvar,,'--',pvar,,'-.','newdth',) grd on egend('depasarea ','depasarea ','depasarea ') În rma răr, se obţn reztatee:

56 56 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I P P -P -P rez gra. Infenţa parametr P aspra depasăror nodror.

57 . - Strctr pane 57. SRUCURI PNE Stdem în contnare comportarea ne strctr pane. Dscretzarea ne strctr pane se face în mod drect prn descompnere în eemente fnte (gra a). gra a. Strctra pană. Prespnem că în această strctră pană baree ce o formează snt soctate nma aa, fapt ce condce a reprezentarea or c eemente fnte ndmensonae, c doă nodr (gra b). Mode anatc trebe să srprndă fenomen deformăr sb acţnea forţeor eteroare. cest mode conţne reaţe de defnţe ae efort ntar norma σ ş a deformaţe specfce ε σ P /, ε /, () nde σ este efort ntar norma, P - forţa aaă eteroară, - secţnea transversaă a bare, ε - deformaţa specfcă, - ngmea nţaă a bare ş deformaţa totaă a bare sb acţnea forţe aae P. -

58 58 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I gra b. Eement fnt sb acţnea soctăror eteroare. Reaţe anteroare a n caracter genera ş snt vaabe pentr orce matera. Pentr a ptea ndvdaza comportarea n anmt matera sb acţnea soctăror eteroare trebe să ncdem în mode anatc ş o ege constttvă, sa de matera. ceasta este egea Hooe, care arată că în caz ne bare soctate aa, atât tmp cât forţee eteroare n depaşesc o anmtă mtă, efortre ntare în bară snt drect proporţonae c deformaţe specfce σ E ε, () nde E reprezntă mod de eastctate (mod Yong ). Să consderăm n eement fnt oarecare e a aceste strctr ş să notăm nodre c ş. orţee eteroare snt notate c nve eementa c e P. e ar cee aae generate a Depasăre nodror în raport c pozţa or nţaă snt notate c e ş depasăre nodae aeor de coordonate, dpă cm se vede în gra. e. orţee e se pot reprezenta prn componentee or de-a ng

59 . - Strctr pane 59 gra. Componentee forţeor ş depasăror nodae. Reztă rmătoaree reaţ, raportate a n eement fnt e y y e e (), e y y e e () Să consderăm depasarea dn nod, c componentee sae (gra ) gra. Componentee depasăr dn nod.

60 6 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I Se poate observa că depasarea nod are epresa cos θ sn θ y. În mod anaog, pentr nod, depasarea se scre cosθ sn θ y. Sb acţnea forţeor eteroare, eement fnt se deformează aa c mărmea ( )cosθ ( ) sn θ. (5) Introdcând aceasta în epresa deformaţe specfce ε ş foosnd reaţe () ş (), se obţn reaţe σ P /, σ E ε, ε /, σ P P E ε E ( E, )cosθ ( de nde reztă epresa forţe aae y y y y )sn θ, [( ) cos θ ( ) θ] E P y y sn. (6) Proectând forţa aaă pe drecţa aeor de coordonate reztă e e P cos θ e e y P sn θ. (7) P cos θ y Introdcând (6) în (7), reztă P sn θ

61 e E [ E [ E [ E [ ( ) cosθ ( ) ( ) cosθ ( ) ( ) cosθ ( ) ( ) cosθ ( ) y y y y y y y y sn θ]cos θ sn θ]sn sn θ]cos θ sn θ]sn θ θ. - Strctr pane 6 ranând termen astfe încât să fe ndvdazate componentee depasăror nodae, reztă e cos θ E snθcosθ cos θ snθcosθ Introdcând termen adecvată, se obţne sa sntetc, y,, y,,y y,y,y y,y snθcosθ sn snθcosθ sn θ θ cos snθcosθ cos θ θ snθcosθ e snθcosθ sn θ snθcosθ sn θ e (8) e E în nteror matrce pătratce ş tzând o notaţe, y,, y, e,y y,y,y y,y e y y e y y y y () e e e () Ecaţa () reprezntă ecaţa matrceaă eementaă care descre comportarea n eement fnt e oarecare aparţnând ne strctr date, sb acţnea forţeor eteroare. ermen e a aceste ecaţ reprezntă matrcea de rgdtate (sa matrcea caracterstcă) pentr eement e, termen nodae, ar (9) e este vector depasăror e este termen ber a ecaţe sa vector forţeor. Ecaţa ()

62 6 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I constte nce de bază în obţnerea mode goba c eemente fnte care să descre comportarea întreg strctr date. gra. pcaţe. Se consderă o strctră pană formată dn doă bare artcate ca în Baree a fecare o ngme Mod de eastctate este această strctră este aătrate. m ş o secţne transversaă E R N N cm., ar forţa eteroară care soctă m, având drecţa ş sens conform fgr gra. Strctră pană c doă eemente. Dscretzarea strctr se face prn descompnerea e în eementee componente ş dentfcarea fecăre bare c n eement fnt nar c doă nodr (, ), dpă cm se vede în gra. pcăm mode eementa fecăr eement fnt ş î epandăm. Mode nmerc eementa este

63 nde e Eement : cos θ E snθcosθ cos θ snθcosθ snθcosθ sn snθcosθ sn θ θ [ y y ] [ ] cos snθcosθ cos θ θ snθcosθ snθcosθ snθ snθcosθ sn θ, pentr eement, y y, pentr eement, θ 5 pentr eement ş Strctr pane 6 e θ 5 pentr eement y y y Epandând acest mode a întreaga strctră anazată se obţne Eement : 7 y y y y y () y e y y () y y y y

64 6 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I Epandând acest mode a întreaga strctră anazată reztă y y y y y 7 () sambând cee doă eemente fnte tzând eprese () ş () se obţne mode nmerc goba a strctr date y y y y y y 7 (5) nde, y y,, y y y,, y y. Coefcenţ dn vector termen ber snt 5 cos6 cos6 R cos R, 866 sn 6 sn 6 R sn R y. Condţe a mtă snt pentr nod : y, pentr nod : y. Sstem (5) prmeşte forma

65 . - Strctr pane 65 y y y , (6) de nde, dn a trea ş a patra ecaţe se pot determna ş y, ar în contnare, dn prmee doă ş tmee doă, reacţne certe dn nodre ş. doa metodă de rezovare a probeme constă în ntrodcerea forţeor nodae în termen ber ş mpementarea condţor a mtă, caz în care ecaţa (6) devne y y y 7. (7) Rezovarea sstem de ecaţ condce a vector depasăror nodae..5 y y y. (8) Pentr afarea reacţnor dn nodre ş ntrodcem vector depasăror nodae (8) în ecaţa matrceaă (6), reztând

66 66 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I y y , (9) de nde se obţne vector forţeor nodae y y y. () Se observă că, deoarece ş y , strctra pană anazată se afă în echbr statc. Rezovare nmercă în MathCD Se consderă caz strctr pane anteroare c doă eemente aspra cărea acţonează o forţă constantă R. În contnare se anazează caz în care ngh forţe eteroare R varază. Probema. orţa eteroară R este constantă ş acţonează pe strctră sb ngh constant. ORIGIN Baree a fecare ngmea: : m

67 . - Strctr pane 67 Secţnea transversaă: : m Mod de eastctate: E : N/m orţa eteroară: R : N Matrcea caracterstcă eementaă: E Ke( θ) : cos( θ) sn( θ) cos( θ) cos( θ) sn( θ) cos( θ) sambarea eement : π K : agment Ke 5 8 K : stac K, sn( θ) cos( θ) sn( θ) sn( θ) cos( θ) sn( θ), cos( θ) sn( θ) cos( θ) cos( θ) sn( θ) cos( θ) sn( θ) cos( θ) sn( θ) sn( θ) cos( θ) sn( θ) Observaţe. ncţa agment(, B, C,...) retrnează o matrce formată prn prea matrceor, B, C,... de a stânga spre dreapta. ncţa stac(, B, C,...) retrnează o matrce formată prn aşezarea matrceor, B, C,... na sb ata. K

68 68 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I sambarea eement : K : agment K : stac K 7 7 π, Ke , K În contnare asambăm eementee strctr date. Matrcea de rgdtate a sstem este K K : K K

69 . - Strctr pane 69 π Rcos Matrcea termenor ber este: : R sn 6 π Impementarea condţor a mtă în matrcea caracterstcă: K : K K, : K, : K 5, 5 : K 6, 6 : :.. K, : :.. K, : :.. K 5, : :.. 5 K 6, : K, : K, : K, : K, : K, 5 : K, 5 : K, 6 : K, 6 : K 5, 6 : K, : K Cacarea depasăror: : K

70 7 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I Cacarea reacţnor dn nodre ş : : K Probema. Stdem caz în care ngh α sb care acţonează forţa eteroară R varază între 7 ş grade. ORIGIN ngmea bareor dn strctră: : m Secţnea transversaă: : m Mod de eastctate: E : N/m orţa eteroară care soctă strctra: R : N Matrcea caracterstcă eementaă: E Ke( θ) : cos( θ) sn( θ) cos( θ) cos( θ) sn( θ) cos( θ) sambarea eement : π K : agment Ke 5 8 sn( θ) cos( θ) sn( θ) sn( θ) cos( θ) sn( θ), cos( θ) sn( θ) cos( θ) cos( θ) sn( θ) cos( θ) sn( θ) cos( θ) sn( θ) sn( θ) cos( θ) sn( θ)

71 . - Strctr pane 7 K stac K, : K sambarea eement : K agment Ke 5 π 8, : K stac K, : K sambăm întreaga strctră: K K K :

72 7 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I K ermen ber se poate defn astfe: ( α) : Rcos α π 8 Rsn α π 8 Cacarea depasăror: dep : α 7 vdep K for vdep α.. α 7 K ( α) ( α) vdep agment( vdep, ) depasar: dep

73 . - Strctr pane 7 α : dep depasar :.. depasare_ : depasar, depasare_y : depasar, depasare_ depasare_y În fgre rmătoare se poate observa nfenţa aspra depasăror dn nod, a ngh sb care forţa eteroară R soctă strctra. depasare_ α gra 5. Varaţa componente a depasăr dn nod, în fncţe de ngh sb care acţonează forţa eteroară R.

74 7 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I depasare_y α gra 6. Varaţa componente y a depasăr dn nod, în fncţe de ngh sb care acţonează forţa eteroară R. Rezovare nmercă în MB Se consderă caz ne strctr pane c doă eemente, aspra cărea acţonează o forţă eteroară R varabă, sb ngh constant. cc, cear, format ong, dsp('strctra pana '), hfgre; for :h, cose (), end, E;;ng;ng; dsp('moduu ORŢEI R VECORU DEPSĂRIOR NODE'), dsp(' R y ') dsp(' '), dsp(' '), dsp(' '), mat[ ; ; ; ; ; ]; mat[ - - ;- - ;- - -; - - -; - - ; - - ]; nrc; for n:nrc R(n)(n-);(n)R(n)cos(p/); y(n)-r(n)sn(p/); w(n,:)[r(n) (n) y(n)]; r(n,:)[ (n) y(n) ];r';

75 . - Strctr pane 75 v^(-7)nv(mat)(:,n);(:,n)v; React(:,n)^(7)matv;RECŢIUNIReact'; vr[r(n) (,n) (,n)]; var(n,:)vr; end dep(:,)var(:,);dep(:,)var(:,);dep(:,)var(:,); dep var,dsp(' '),dsp(' '),dsp(' '), dsp(' VECORU ORŢEOR NODE') dsp(' y y y ') dsp(' '), dsp(''), dsp(' '),RECŢIUNI %depasăr var(:,);yvar(:,); hfgre;pot(,y),grd on tte('(r)'),abe('r'),yabe(''), var(:,);yvar(:,); hfgre;pot(,y),grd on tte('yy(r)'),abe('r'),yabe('y'), var(:,);yvar(:,); hfgre;pot(,y,''),grd on tte('(r) yy(r)'), hod on var(:,);yvar(:,); pot(,y,''), %reactn var(:,);yrecţiuni(:,); hfgre;pot(,y,'newdth',),grd on tte('(r)'),abe('r'),yabe(''), var(:,);yrecţiuni(:,); hfgre;pot(,y,'newdth',),grd on tte('yy(r)'),abe('r'),yabe('y'), var(:,);yrecţiuni(:,); hfgre;pot(,y,'newdth',),grd on tte('(r)'),abe('r'),yabe(''), var(:,);yrecţiuni(:,); hfgre;pot(,y,'newdth',),grd on tte('yy(r)'),abe('r'),yabe('y'), var(:,);yrecţiuni(:,5); hfgre;pot(,y,'newdth',),grd on tte('(r)'),abe('r'),yabe(''), var(:,);yrecţiuni(:,6); hfgre;pot(,y,'newdth',),grd on tte('yy(r)'),abe('r'),yabe('y')

76 76 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I Se obţn reztatee: MODUU ORŢEI R VECORU DEPSĂRIOR NODE R y dep.e VECORU ORŢEOR NODE y y y RECIUNI.e

77 . - Strctr pane gra rmătoare prezntă nfenţa forţe eteroare R varabă, aspra componenteor depasăror dn nod. gra 7. Varaţa depasăror dn nod în fncţe de forţa eteroară varabă R.

78 78 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I. SUDIU DEPSĂRIOR UNEI COONE SUB SRCINĂ Prn cooană se înţeege de obce o bară spsă ne forţe aae de compresne. Spre deosebre de strctra pană acăttă dntr-n nmăr fnt de eemente componente, în caz de faţă avem de modeat comportarea n med contn, acătt dntr-o nfntate de eemente componente. Mode anatc de bază are dec n at conţnt, refectând în esenţă ecaţ de teora eastctăţ. Ma mt de atât, e se obţne de obce pe cae varaţonaă sb formă ntegraă. gra. Cooana sb sarcnă. Conform prncp energe potenţae mnme, pentr cooana afată în echbr dn fgra aătrată, într-n mod smpfcat se poate spne că dacă n corp eastc afat sb sarcnă este în echbr în raport c anmte condţ a mtă ş restrcţ geometrce, atnc energa potenţaă a corp deformat va a o vaoare staţonară. Pentr caz corpror nar eastce, această vaoare este mnmă, fncţonaa π fnd d π, ()

79 . - Std depasăror ne cooane sb sarcnă 79 π V σε dv V _ dv S ds, () nde s-a notat c forţa mască pe ntatea de vom a matera, c tracţnea sa forţa specfcă de sprafaţă ş c S segment de fronteră pe care se specfcă această tracţne (c bară s-a notat mărme date, dec cnoscte, ae probeme) ar σ este efort ntar norma ş ε deformaţa specfcă. Deformaţa specfcă se defneşte prn dervata depasăr, ar comportarea matera se descre prn egea Hooe ε d /, () σ E ε. () Se observă că prm termen a fncţonae π reprezntă energa de deformaţe a corp stdat. Condţe a mtă asocate acest caz mpcă cnoaşterea forţeor ş, respectv depasarea a baza cooane. În genera, această depasare se consderă nă ( ). Mode anatc de bază pentr anaza comportăr ne cooane sb sarcnă este acătt dn reaţe () - () ş condţe a mtă aferente. Cooana stdată în gra a este n corp c o strctră contnă, dscretzarea e se poate reaza foosnd eemente fnte ndmensonae (gra b). Să consderăm n eement fnt oarecare e c nodre ş (gra c). Notăm c ş c e V vom să e S porţnea de fronteră pe care este ndcată tracţnea. ncţonaa dată în () se poate scre ca o smă de contrbţ eementae, sb forma π σε dv dv ds. (5) e e e V V S e Să rmărm contrbţa eement generc e. Pentr smpfcare vom consdera că ara secţn transversae a eement este constantă ş dec se poate scre

80 8 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I π e σε, (6) nde s-a notat c ngmea eement fnt ( y y ). Pentr şrarea proces de ntegrare se foosesc de obce eemente fnte zoparametrce, defnte c ator sstem oca de coordonate ξ natrae, ca în gra d. ermen de zoparametrc se referă a fapt ca aceeaş fncţe care descre forma eement este tzată ş pentr defnrea depasăror. Se ntrodc fncţe de formă N ξ ) ( ξ) /, ( ξ ) ( ξ) /, [,] ( N ş fncţa de apromare pentr varaba de câmp nde s-a notat c ş ( ξ) N( ξ) N ( ξ) ξ (7), (8) depasăre corespnzătoare nodror ş. Un pnct oarecare aparţnând eement fnt e se raportează a sstem nţa, goba, de coordonate, tzând transformarea y ξ ξ N( ξ)y N ( ξ)y y y, (9) dξ dξ y y y y dξ dξ () oosnd reaţe (7) - (), contrbţa eementaă pentr fncţonaa π devne π e σε π e σε dξ dξ dξ. ()

81 (8) : reztând că. - Std depasăror ne cooane sb sarcnă 8 Să evaăm acm ntegrand prm termen foosnd reaţe (), (), (7) ş d d dξ ε dξ ( ), () E σ ε E ε. () Introdcând (7), (8) ş () în (), se obţne egatatea π e E ( ) dξ ( ξ) ( ξ) dξ ( ξ) ( ξ) dξ () Se observă că fncţonaa π e este fncţe de depasăre nodae ş Mnmzarea e în raport c aceste mărm, în concordanţă c apcarea prncp energe potenţae mnme pentr întreaga cooană afată sb sarcnă, condce a condţa că dπ e, respectv π e e π ş, (5). e π E ( ) dξ ( ξ) dξ ( ξ) dξ (6) π e E ( ) dξ ( ξ) dξ ( ξ) dξ Observând că ş snt mărm nodae care n depnd de ξ ş ntegrând termen dn (6) ş (7), se obţne sstem de ecaţ (7)

82 8 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I ( ) ( ) E E, (8) care poate f scrs în formă matrceaă astfe E. (9) Notând matrcea coefcent c e ş termen ber c e, reztă ecaţa matrceaă eementaă sb forma e e e, () nde E e, e, e. ceastă ecaţe descre comportarea eement generc e ş constte nce de bază în stabrea mode goba c eemente fnte care să descre comportarea întreg strctr afate sb sarcnă. Proces de asambare sambarea este n proces de renre a eementeor fnte ş de snteză a domen de anază consderat. Pe pan geometrc, reztat proces de asambare î constte refacerea domen, ar pe pan fncţona, obţnerea mode nmerc goba a corp stdat. sambarea apare dec ca n proces recproc dscretzăr, dar nma pe pan geometrc. Între etapee de dscretzare ş de asambare a eementeor fnte are oc etapa de obţnere a mode nmerc eementa. Se prodce dec o încărcare a eementeor fnte c varabe de câmp ş reaţ între aceste varabe, care vor genera în fna mode nmerc goba. Deoarece pe pan geometrc asambarea condce a reconsttrea domen nţa de anază fără a ofer nformaţ spmentare în raport c dscretzarea, ne vom

83 . - Std depasăror ne cooane sb sarcnă 8 refer în cee ce rmează a asambarea fncţonaă a eementeor fnte, ş respectv, a obţnerea mode nmerc goba a obect de nvestgat. dpă nodr. sambarea eementeor fnte se poate face în doă modr: secvenţa sa În prm caz, eementee fnte se a n câte n, în ordnea crescândă a nmerotăr or. În ce de-a doea caz se a nodre gobae ae sstem n câte n ş se asambează eementee fnte dn r fecăr nod. Indferent de procede foost, reztat fna - mode nmerc goba este aceaş. Ceea ce poate dfer însă este forma de prezentare. Pentr probeme de dmensn mc, acest mode nmerc goba se obţne sb forma n sstem de ecaţ, c matrcee coefcent stocate în întregme sa în bandă. Pentr probeme de dmensn mar mode nmerc goba se obţne pe bcăţ sa partţonat ş se rezovă prn metode teratve. sambarea dpă nodr cest procede este foost îndeoseb atnc când obţnerea mode nmerc eementa se face varaţona. Deş, pentr o înţeegere ma şoară a fenomen fzc, am consderat caz n sngr eement e afat în echbr, este necesar să sbnem că de fapt ne nteresează echbr întreg corp, respectv a întreg ansamb de eemente fnte. sambarea eementeor fnte ne va permte în acest caz să obţnem vaoarea staţonară (mnmă) a energe potenţae totae a cooane afate sb sarcnă. Să consderăm domen de anază dscretzat ca în gra, nde s-a foost tre eemente ş patr nodr. Reaţe de dscretzare dntre eemente ş nodr snt date în matrcee de conen dn abe a. abe a. Matrce de conen dpă nodr. Nodr Eemente e e - -

84 8 MODEĂRI PRIN MEOD EEMENEOR INIE - I I egerea nod pentr orgnea sstem de nmerotare este arbtrară. În caz de faţă s-a încept de a partea speroară a cooane, deoarece sens de acţonare a forţe eteroare este de ss în os ş dec depasăre vor f poztve într-o astfe de orentare a ae de coordonate, respectv a nodror. N ar f consttt o greşeaă însă dacă orgnea ae de coordonate s-ar f at a baza cooane sa în centr e de gretate. Consderăm că fecare eement fnt se caracterzează prntr-o are e a secţn transversae, o anmtă ngme e ş n anmt mod de eastctate e E (e,, ). De asemenea, pentr fecare eement fnt acţonează forţe dstncte e ş e (e,, ). Energa potenţaă totaă este dată de fncţonaa ( ) ξ π π d E e e ( ) ( ) ξ ξ d E d E ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ d d ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ d d ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ d d () Deoarece,, ş snt mărm ndependente, pentr reazarea echbr goba a ansamb de eemente fnte este necesar să mnmzăm energa potenţaă totaă π în raport c fecare dntre aceste varabe