didakticko-motivačná výbava učiteľa matematiky.
|
|
- Σωκράτης Γιάνναρης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Didakticko-motivačná výbava učiteľa matematiky Dušan JEDINÁK, Trnavská univerzita v Trnave Jednou z pozitívnych charakteristík úspešného učiteľa matematiky je aj jeho pripravenosť na improvizáciu (napr. na suplovaných vyučovacích hodinách, v mimovyučovacom čase, pri záujmovej činnosti a pod.). K tomu môže poslúžiť jeho didakticko-motivačná výbava zvlášť pripravený súbor rôznorodých podnetov aj pre nečakané situácie. Učiteľ matematiky nemá ponúkať len údaje z predpísaných učebníc a zbierok úloh, ale aj iné motivačné informácie a popularizačné podnety, napr. aj výber titulov z popularizačnej, zábavnej a rekreačno-poučnej i historickej literatúry s matematickou tematikou alebo životopisné informácie o významných matematikoch a ich pozoruhodných dielach. Zodpovedný učiteľ by mal mať vždy po ruke svoj typický širší súbor podnetov (uložený aj vo svojej ľudskej pamäti), úloh i príkladov, zaujímavých myšlienok a didaktických postupov, historických poznámok, praktických ukážok, aby presvedčoval o tom, že jeho pomer k matematickej kultúre je živený trvalým a hlbokým vzťahom pre pestrý svet informácií s jednoduchým, ale aj veľmi podnetným pozadím. Tieto ciele sleduje to, čo nazývame didakticko-motivačná výbava učiteľa matematiky. Málokto z učiteľov matematiky pochybuje o tom, že pre pedagogickú prácu sú potrebné nielen vhodné príklady a úlohy, ich didaktické spracovanie, motivačné podnety, ale aj pozoruhodné citáty, filozofické úvahy a historické poznámky. Ich účelový výber je určite rôznorodo pestrý. Spoločným menovateľom asi môže byť zámer motivačno-didaktický. Žiakom potrebujeme ukázať základné myšlienkové postupy charakteristické pre matematické myslenie, obsažnosť tém logickej argumentácie i žánrovú pestrosť spracúvanej problematiky. Každý učiteľ školskej matematiky má svoj odborný obzor. Postupné presahovanie tejto línie by si mal pravidelne pripravovať ďalším štúdiom podnetných zdrojov informácií. Riešenie úloh ako ústredná činnosť Základnou zložkou motivačno-didaktickej výbavy učiteľa matematiky je pestrý súbor úloh s pozoruhodným textom, s rôznou tematikou, postupne sa zvyšujúcou obťažnosťou a cieleným možným použitím vo zvolenej chvíli didaktického pôsobenia. Učiteľ matematiky v prvom rade na premyslených zadaniach príkladov a úloh, v postupoch ich riešenia a dokazovania správnosti, uplatňuje svoju metodickú spôsobilosť, didaktické zásady i praktické skúsenosti. Vhodne pripravené a v správnom čase uplatnené úlohy sú aj zdrojom myšlienkových podnetov a motivačných impulzov. Súbor ponúkaných úloh (napr. ukážka 1., 4.) a ich didakticko-motivačná úroveň sú pomerne dobrou charakteristikou kvality učiteľskej práce.
2 Súbor didakticko-motivačných úloh (ukážka 1.) 1. Ako si zapamätať číslo π na 30 desatinných miest? π = 3, Mám, ó bože, ó dobrý, zapamätať si takýto čísel rad. Veľký slovútny Archimedes, pomáhaj trápenému, daj mu moc naspamäť znať krásne aj slávne síce, ale tak protivné nám, ach, číslice Ludolfove. (počet písmen v jednotlivých slovách je príslušná číslica v desatinnom vyjadrení π) 2. Nečakané vyjadrenie rovnica srdca: Znázornite v ortonormálnej sústave súradníc binárnu reláciu 2 2 x + x 6 2 y = ± 36 x 2 3 x + x Rozdelenie koristi spravodliví zbojníci: Ako si traja zbojníci rozdelia rôznorodú korisť, ak si navzájom nedôverujú a každý z nich je presvedčený, že dokáže korisť rozdeliť na rovnocenné časti. 4. Rozhovor dvoch matematikov: A: Súčin veku mojich troch synov je 36. B: Táto informácia nestačí na určenie veku každého z nich. A: Súčet veku synov je rovnaký ako počet okien na dome, ktorý vidíme pred sebou. B: Ani teraz sa nedá určiť vek tvojich synov. A: Najstarší z mojich synov má čierne vlasy. B: Ďakujem, to mi stačí. Už poznám vek tvojich synov. Koľko rokov má každý z matematických synov a koľko okien bolo na budove, ktorú videli pred sebou? 5. Štvorec iba kružidlom Zostrojte všetky vrcholy štvorca ABCD, ale iba kružidlom, ak sú dané vrcholy A, B. 6. Nežný cit a pravdepodobnosť: Desať ľudí si náhodne sadne okolo okrúhleho stola. Aká je pravdepodobnosť, že určití dvaja ľudia budú sedieť vedľa seba? 7. Čo je výhodnejšie pre pracujúcich? Máte rozhodnúť, buď znížiť ceny výrobkov o 10% a nemeniť platy pracovníkov, alebo nemeniť ceny výrobkov a zvýšiť o 10% platy. Zdôvodnite, čo je výhodnejšie pre pracovníkov. 8. Taký trojuholník neexistuje Ukážte, že neexistuje trojuholník, ktorého výšky by mali veľkosť 1, 2, 3 (dĺžkových jednotiek). 9. Aj taký existuje? Dokážte, že v rovine existuje trojuholník, ktorého všetky výšky sú menšie než 1 cm a obsah trojuholníka je väčší ako milión cm Záhada dvanástich dukátov Medzi dvanástimi dukátmi je jeden falošný (nemá rovnakú hmotnosť ako ostatné). Stanovte postup akým nájdete tento falošný dukát najviac tromi váženiami na rovnoramenných váhach.
3 Postrehy význačných matematikov (ukážka 2.) Najušľachtilejšia sila našej duše je schopnosť, ktorá sa spolieha na meranie a výpočet. Platón Filozofia sveta je obsiahnutá v grandióznej knihe otvorenej pre všetkých myslím tým knihu prírody. Je napísaná rečou matematiky. Bez nej nemožno pochopiť ani jedno slovo, bez nej zostane iba márne krúženie v bludnom labyrinte... Dve pravdy si nikdy nemôžu odporovať. G. Galilei Príroda má v obľube jednoduchosť a jednotnosť. J. Kepler Úlohou vedy je vzďaľovať človeka od zla, usmerňovať jeho myseľ k väčšej dokonalosti. M. Kopernik Celá ľudská dôstojnosť spočíva v myslení. Snažme sa preto, aby sme mysleli správne, v tom je princíp mravnosti... Nemožno popierať existenciu všetkého, čo nie je pochopiteľné. B. Pascal Z úvah o príkladoch je možné vytvoriť metódu. R. Descartes Ani jeden veľký objav sa nezrodil bez smelého odhadu... Ak môžeš udržať rozum nad vášňou, on a ostražitosť budú tvojimi najlepšími ochrancami. I. Newton Ak dáte vedľa seba dokonalé a nedokonalé, ľudia zaraz spoznajú rozdiel. Ak im dáte len nedokonalé, budú spokojní. G. Leibniz Matematiku už len preto je nutné študovať, že ona rozum do poriadku dáva. M. V. Lomonosov Najtvrdším orieškom pri riešení problémov je položiť si správnu otázku. Jediná cesta ako sa to dá naučiť je skúšať to. P. Halmos Pravdivé nie je obmedzované nepravdivým, ale tým čo nič neznamená. R. Thom Práca matematikov mala vždy za cieľ priniesť nové poznatky užitočné pre inú ľudskú činnosť. P. Vopěnka Matematika dáva najčistejší a bezprostredný zážitok pravdy, v tom je jej hodnota pre všeobecné vzdelanie. M. Laue Disciplína vedca je zasvätenie pravde... Dôležité nie je víťazstvo, ale boj o poznanie... Najvyššie poslanie matematiky spočíva v tom, aby nachádzala skrytý poriadok v chaose, ktorý nás obklopuje. N. Wiener Protirečenie medzi všeobecným dobrom a individuálnym záujmom možno odstrániť iba vtedy, keď záujmom indivídua je všeobecné dobro. A.N Whitehead Ani najvyššia svetská moc, ani bohatstvo len vláda vedy pretrvá. Tycho Brahe Nikdy nemáme definitívne pravdu. Môžeme si byť istí iba tým, že sa mýlime. R. Feynman Šťastie záleží v tom, aby tvoje životné dielo bolo potrebné ľuďom. A. D. Alexandrov To najdôležitejšie v živote je hrať sa. A je šťastím, ak človek zapojí do hry svoj mozog. E. Rubik V tejto dobe je pravda tak zatemnená a lož tak zavedená, že pravdu môže poznať iba ten, kto ju miluje. B. Pascal Zaujatie matematikou sa dá porovnať so záujmom o mytológiu, literatúru, alebo hudbu. Je to jedna z najvlastnejších oblastí človeka, v nej sa prejavuje ľudská podstata, túžba po intelektuálnej sfére života, ktorá je jedným z prejavov harmónie sveta. H. Weyl Milujem matematiku nielen preto, že je možné jej použitie v technike, ale aj preto, že je krásna, že do nej človek vložil svoju rozkoš z hry a že matematiky je schopná aj tej najvyššej hry a umožňuje nám zmocňovať sa nekonečna. Má čo povedať o nekonečne a o ideách. Má neuzavretú povahu ľudského tvorenia. R. Péterová
4 Súbor historických poznámok (ukážka 3.) Medzi Eufratom a Tigrisom Medzi najstaršie kultúrne oblasti sveta patrí územie medzi riekami Eufrat a Tigris. Sumeri už približne 3300 rokov pred n. l. poznali slabičné písmo (asi 400 znakov). Z obdobia okolo 2800 rokov pred n. l. sa zachovala sumerská tabuľa s číselnými znakmi. Vieme, že klinovým písmom zapisovali čísla v šesťdesiatkovej sústave. V starovekom Babylóne zaznamenali do obrázku štvorca so stranou 30 aj dĺžku jeho uhlopriečky ako Hodnotu 2 uvádzali ako , to znamená presnosť až na 5 desatinných miest. Mezopotámska matematika sa dostala do základov nielen číselných symbolov, ale aj do babylonskej šesťdesiatkovej a neskôr i do desiatkovej číselnej sústavy. Nečakanou zaujímavosťou je aj fakt, že bola nájdená tabuľka s hodnotami pätnástich pytagorovských trojuholníkov. Viac než tisíc rokov pred Pytagorom bola známa tzv. Pytagorova veta. Stredoveká zbierka úloh Ani v temnom stredoveku nebola matematika mŕtva. Na dvore Karola Veľkého v Aachene okolo roku 775 sa používala jedna z prvých zbierok zaujímavých úloh z matematiky s podnetným názvom Úlohy na cibrenie umu mladých. Jej autorom bol učiteľ, filozof i básnik Alcuin z Yorku (asi , pôvodným keltským menom Alh-win, t. j. priateľ chrámu). Už v tejto učebnici sa vyskytuje známa úloha o pltníkovi, vlku, koze a kapuste. Skúste zdokonaliť svoje myslenia vyriešením úlohy: Ako rozdeliť 100 mincí medzi 100 osôb, aby muži dostali po troch, ženy po dvoch a každé dve deti spolu po jednej minci. Už vo svojej dobe vzdelanec Alcuin vedel: Rozumne sa pýtať, znamená vyučovať. Štvorec protikladov Carihradský mních a filozof Michael Sellos, žijúci v 11. storočí, navrhol (pred ním podobnú schému používal aj vzdelaný rímsky rečník L.A. Apuleius v druhom storočí) usporiadať všeobecný kladný výrok [ x M ; ϕ (x) ], všeobecný záporný výrok [ x M; ϕ (x) ], čiastočný kladný výrok [ x M ; ϕ (x) ] a čiastočný záporný výrok [ x M ; ϕ (x) ] do štvorcovej schémy a vyznačiť ich logické vzťahy: x M ; ϕ (x) protiviace sa x M; ϕ (x) nadradené nadradené podradené protirečivé podradené x M ; ϕ (x) podprotiviace sa x M ; ϕ (x)
5 protirečivé (logicky protikladné, sporné, kontradiktórne, negácia, opak; jeden je pravdivý druhý nepravdivý) protiviace sa (kontrárne; nemôžu byť obidva pravdivé, ale môžu byť obidva nepravdivé) podprotiviace sa (subkontrárne; môžu byť obidva pravdivé, nemôžu byť obidva nepravdivé) podradenosť, nadradenosť vzhľadom na pravdivosť (subsumcia; pre neprázdnu M z pravdivosti nadradeného výroku vyplýva pravdivosť podradeného výroku, z nepravdivosti podradeného výroku vyplýva nepravdivosť nadradeného výroku) Matematici z Trnavskej univerzity ( ) Uvedieme mená tých, o ktorých vieme, že vydali nejakú matematickú prácu, alebo úspešne prednášali súdobú matematiku. Henrich Berzeviczi ( ) vydal (1687) učebnicu praktickej matematiky, Ján Dubovský ( ) spolu s F. Székelym ( ) zostavili prvé goniometrické tabuľky v Uhorsku (1694). Ján Ivančič ( ) a Anton Revický ( ) vydali ( ) prvé vysokoškolské kompendium Krátky teoretický a praktický základ všeobecnej matematiky. J.K. Horváth ( ) vydal dvojdielne Základy matematiky (1772/73), kde uviedol aj poznatky o kužeľosečkách. Diferenciálnymi rovnicami sa zaoberal Pavol Makó ( ), matematiku prednášal aj astronóm F. Weiss ( ), trnavský rodák, od roku 1770 univerzitný profesor, dekan filozofickej fakulty ( ) i rektor univerzity (1775). Nikdy nebude prvočíslom Koľko bolo žien úspešných vo veľkej matematike? Prvou ženou, ktorá získala cenu Parížskej akadémie za vypracovanie matematickej teórie pružnosti dosiek bola Sophie Germainová ( ). Pracovala aj v teórii čísel. Tam jednoducho ukázala: Pre každé prirodzené číslo n > 1 platí: číslo ( n 4 + 4) je číslo zložené (to znamená, že ak je n > 1 nie je n nikdy prvočíslo). Pozrite sa na vtipný dôkaz: n + 4 = n + 4n + 4 4n = ( n + 2) (2n) = ( n n).( n + 2 2n). Ani jeden zo súčiniteľov sa pre n > 1 nerovná jednej, to znamená, že n má dvoch rôznych deliteľov, ktoré sa nerovnajú číslu samému ani jednotke. Teda je to číslo zložené. Výchovné podnety z dávnej histórie Významní myslitelia starovekého Grécka, s filozofickým založením a nadaním i pre matematiku, nám zanechali odkazy aj pre výchovné pôsobenie: Táles (asi pred n. l.): Nerobme to, čo odsudzujeme u druhých... Neber od otca, čo je zlé... Smutná je nečinnosť, škodlivá nemiernosť, obťažná nevzdelanosť... Nebohatni nesprávnym spôsobom... Nestačí mať čisté ruky, treba mať ducha čistého... Najťažšia vec poznať sám seba. Najľahšia vec radiť druhým. Pytagoras (asi pred n. l.): Boh dal človeku dve ruky, aby ho neobťažoval s každou maličkosťou... Úlohou výchovy je prebudiť v človeku génia... Pravé a dokonalé priateľstvo znamená spojiť veľa vecí a tiel v jedno srdce a jediného ducha... Najkratšie odpovede áno a nie vyžadujú najdlhšie rozmýšľanie... Z každého polena Merkura nevyrežeš... Rob veľké veci bez sľubov... Mlč, alebo povedz niečo, čo je lepšie ako mlčať.
6 Platón (asi pred n. l.): Najušľachtilejšia sila našej duše je schopnosť, ktorá sa spolieha na meranie a výpočet... Matematika ponúka skvelý prostriedok pre objavenie právd, ktoré sú bez účasti rozumu nedostupné... Počty a merba vedú k rozumovému poznávaniu, k pravde a lepšiemu pochopeniu všetkých náuk... Aký kto je, také dielo vytvára. Aristoteles (asi pred n. l.): Umenie je nejaký tvorivý stav, spojený so správnym úsudkom... Skutočná božská činnosť, ktorá sa vyznačuje najvyššou blaženosťou, je asi teoretická činnosť... Iba málo ľudí vie, že šťastie vyplýva z osobnej dokonalosti. Euklides (asi pred n. l.): Ani pre kráľov neexistuje ku geometrii zvláštna cesta... Ak chceš objaviť to, čo nikto nevidí a nevie, musíš klásť múdre otázky. Zaujímavé riešenia vtipných úloh (ukážka 4.) Čarovný trik ako kúzelník Úloha: Napíšte si svoje trojciferné číslo. Urobte z neho ďalšie číslo s obráteným poradím číslic. Odčítajte menšie z týchto čísel od väčšieho. Z výsledku mi povedzte cifru na mieste jednotiek. Poviem vám celý výsledok. Riešenie: Skúsme to: 537, poviete 8. Ja si predstavím 99. x = 8, teda x = 2, váš výsledok bol 198. V čom je podstata? 100a + 10b + c 100c 10b a = 99a 99c = 99.(a - c) Výsledok odčítania trojciferných tzv. reverzných čísel je vždy deliteľný 99. Tento fakt využijeme na určenie rozdielu (a c) a teda aj celého výsledku.. Vynájsť sa aj z mála Úloha: V znázornenom zápise súčinu dvoch kladných celých čísel stanovte číslice (sú naznačené bodkami): x nezapísané Riešenie: Musíme vychádzať z toho mála, čo vidíme a z toho, čo o násobení vieme. Ak rozložíme číslo 3275 na súčin prvočísiel dostaneme 3275 = , teda aby sme dostali toto číslo ako súčin trojciferného a jednociferného čísla treba Potom násobenec bude 655 a druhá cifra násobiteľa 5. Pretože tretí čiastočný súčin je trojciferný, tak prvá číslica
7 násobiteľa musí byť iba 1. Aby prvý čiastočný súčin bol štvorciferný a celkový súčin iba päťciferný, tak posledná cifra násobiteľa môže byť len 2. Naznačený súčin je x Zázračné krátenie zlomkov Úloha: Nájdite všetky zlomky s dvojciferným čitateľom a dvojciferným menovateľom, v ktorých sa cifry neopakujú, ale umožňujú zázračné krátenie, napr.: Riešenie: Aj keď sa takéto krátenie v žiadnej škole všeobecne neuznáva, existujú prípady, že to niekedy bude dobre. Hľadáme zlomky tvaru: 10a + b 10b + c kde a, b, c {0, 1, }, ale a b, b c. Potom by zázračným krátením malo platiť: 10a + b = 10b + c a c 10a. b c = 9 a + b 26 2 = 65 5 Po postupnej voľbe a = 1, b = 2 atď. dostaneme, že vyhovujú: a = 1 b = 6 c = 4 a =1 b = 9 c = 5 a = 2 b = 6 c = 5 a = 4 b = 9 c = 8 Toto zázračné krátenie možno uplatniť len na zlomkoch: ,,, Tanečný záznam svedomitých dievčat Úloha: Na tanečnom večierku bolo 20 mladých ľudí (chlapci a dievčatá). Mária tancovala so siedmimi chlapcami, Oľga s ôsmimi, Viera s deviatimi, atď. Posledná Helena tancovala so všetkými chlapcami. Koľko chlapcov bolo na večierku?
8 Riešenie: Na prvý pohľad sa zdá, že zadanie úlohy je akési zmätočné. Nevieme mená všetkých dievčat ani ich počet. Označme si počet dievčat x. Poznáme iba počet tanečníkov s jednotlivými svedomitými dievčatami: x M... 7 ch O... 8 ch V... 9 ch H... y ch ( y je počet všetkých chlapcov) Teda x - té dievča tancovalo s y chlapcami, x y 1... x y prvé dievča tancovalo s y - (x - 1) chlapcami. Svedomitým úsudkom vidíme, že y - (x - 1) = y - x + 1 = 7. Vyriešime sústavu rovníc y - x = 6 x + y = 20. Dostaneme y = 13 a x = 7. Na večierku bolo 7 dievčat a 13 chlapcov. Svedomitý postup pri zoznámení sa so zadaním úlohy nám priniesol požadovaný výsledok. Hľadajte a nájdete... Úloha: Aký je mocniteľ čísla 7, ak rozložíme číslo 10000! (desaťtisíc faktoriál) na súčin prvočíselných činiteľov? Riešenie: 10000! = exponent nad 7 je taký, aký je počet sedmičiek v tom súčine: (=2.7)... 21(=3.7)... 49(=7.7)... 98(=2.7.7) (=7.7.7) (= ) (= ) (= )... Koľko krát je v tom súčine číslo 7? za každý násobok jednej 7: : 7 = za každý násobok 49 (kde je o jednu 7 viac): : 49 = 204 za každý násobok 343 (kde je ďalšia 7 naviac): : 343 = 29 za každý násobok 2401 (kde je zase ďalšia 7 naviac): : 2401 = 4 teda spolu V spomínanom súčine je číslo 7, teda mocniteľ čísla 7 je 1665.
9 Stručné spomienky na matematikov (ukážka 5.) Obdivoval usporiadanie čísel do magických štvorcov. V geometrii vytušil nové možnosti využívaním súradníc. Vybadal spojenie medzi úlohami na určovanie dotyčníc. Bol právnikom, matematiku sledoval ako záľubu. Pierre Fermat ( ), francúzsky sudca, do dejín matematiky sa zapísal svojou domnienkou, ktorá prežila bez dôkazu celé storočia (Fermatovu vetu dokázal A. Wiles, ). Napĺňa sa jeho predpoveď: "Mnohí budú prichádzať a odchádzať, ale veda sa bude stále obohacovať." Jeho korešpondencia s B. Pasca1om sa zapísala do základov teórie pravdepodobnosti. Považoval štúdium prírody za najplodnejší prameň matematických objavov. "Matematika je povolaná nahradiť nám nedokonalosť našich zmyslov i krátky čas nášho života." Dokázal vetu o počte reálnych koreňov algebraickej rovnice medzi danými hodnotami premennej. Jean Baptiste Fourier ( ), francúzsky matematik a fyzik, sa stal zakladateľom a priekopníkom matematickej fyziky. Podal teóriu vedenia tepla, ukázal novú metódu riešenia parciálnych diferenciálnych rovníc. Jeho špeciálne transformácie našli použitie pri štúdiu kmitov, pri riešení problémov oznamovacej techniky, optiky a kybernetiky. Prvá profesorka matematiky v Európe prednášala na univerzite v Štokholme (od 1884). "Medzi všetkými vedami, ktoré odkrývajú ľudstvu cestu k poznaniu zákonov prírody, najmohutnejšia a najvznešenejšia je matematika. Sofia Vasiljevna Kovalevská ( ), ruská matematička, vytvorila znamenité štúdie v teórii diferenciálnych rovníc a analytickej mechanike. Získala Bordinovu cenu, ocenenia parížskej Akadémie vied, Švédskej akadémie i členstvo v Akadémii vied v Petrohrade. Vynikala matematickou erudíciou, literárnym talentom a ľudskou odvahou. Zvýraznila právo sebauplatnenia žien v oblastiach dovtedy pre nich nedostupných. Prispel k aritmetizácii matematiky, podal aritmetickú definíciu iracionálnych čísel. Karl Weierstrass ( ), nemecký matematik, dobudoval základy matematickej analýzy, vytvoril presne zdôvodnenú teóriu eliptických funkcií, ovplyvnil teóriu analytických funkcií i variačný počet. Vedel, že matematika nesmie strácať kontakt s ďalšími vedami. "Nemožno byť skutočným matematikom a nebyť trochu aj básnikom." Vo svojej práci som sa vždy pokúšal zjednotiť pravdu s krásou. Vyštudoval u D. Hilberta v Nemecku, pôsobil v Princetone (USA). Hermann Weyl ( ), matematik, fyzik i filozof, rozvinul teóriu spojitých grúp i aditívnu teóriu čísel. Zaslúžil sa o modernú interpretáciu časopriestoru a hmoty. "Zaujatie matematikou sa dá porovnať so záujmom o mytológiu, literatúru alebo hudbu. Je to jedna z najvlastnejších oblastí človeka."
10 Popularizujúca grafika - skutočné i abstraktné podobenky (ukážka 6.)
11 Metódy rozvíjania študijnej motivácie (ukážka 7.) Naznačme si tie princípy a postupy zvyšovania motivácie, ako protipríklady pre demotivačné činitele učenia sa (autoritatívny štýl vyučovania, memorovanie, strnulosť a fádnosť vyučovacích metód, málo tvorivosti, aktivity a originality), ktoré môžu byť užitočné pri vyučovaní školskej matematiky: 1. Vyučovanie hrou a dramatizácia aj matematickej činnosti, živé a názorné vyučovanie, rozmanitosť a zmena rytmu. 2. Uplatňovanie princípu sebavyjadrovania žiaka a jeho zodpovednosti za výsledky matematickej práce, zvýraznenie jeho individuality. 3. Zaujímavosť ponúkaných matematických úloh, možnosť primeraného súťaženia a uplatnenia skúseností, vhodné ocenenie úspechu, vytváranie prostredia medziľudskej spolupráce. 4. Problémové alebo programované učenie (tvorba hypotéz, aktivita, spätná väzba, vlastné tempo). 5. Tvorivosť, autentický pocit sebarealizácie, oddelenie produkcie od hodnotenia, cielený rozvoj predstavivosti a zmysluplných asociácií, sústredenosť na prácu a zapojenie celej osobnosti. 6. Individuálny prístup k žiakom, skupinové vyučovanie, rozvíjanie citového vzťahu aj k problémom, rozvoj hodnotiaceho myslenia, hierarchia cieľov, aktuálnosť a užitočnosť získaných poznatkov. 7. Samostatné aktívne individuálne využívanie informačných zdrojov a fondov, uplatňovanie zmysluplnosti a širšieho významu vzdelanosti i matematickej kultúry. Aj vo vyučovaní školskej matematiky majú nezanedbateľnú úlohu osvedčení motivačné postupy všeobecného didakticko-pedagogického pôsobenia: názornosť, problémový prístup, individuálna starostlivosť, zadanie primerane obtiažnych úloh pre ďalšie samostatné štúdium, pravidelné opakovanie. Štúdium školskej matematiky má vzbudiť, usmerniť a udržať záujem a schopnosť používať matematický spôsob myslenia a argumentácie v rôznych životných situáciách každodenného ľudského života. Hans Freudenthal, didaktik matematiky, navrhoval. Umiestnite žiakov do takých situácií, kde budú vo vzťahu s takými reálnymi javmi, ktorých organizačným princípom je určitá matematická štruktúra. Matematická kultúra ľudstva patrí k nenahraditeľnému civilizačnému odkazu nielen prežitia ľudského rodu, ale aj jeho vedeckotechnického a technologického rozvoja do informačno-počítačovej spoločnosti 21. storočia. Od dôb Platóna (asi pred n. l.) až dodnes prinášajú rozvinuté matematické disciplíny aj podnety duchovno-filozofické a metodologické. Matematika je ako sila ľudského ducha povolaná nahradiť nám nedokonalosť našich zmyslov i krátky čas nášho života (J.B. Fourier, ). Matematické myslenie je pre nás impulzom aj pre cestu k nekonečnu (potencionálnemu i aktuálnemu).
12 Výber z didakticko-popularizačnej literatúry (ukážka 8.) Jednou z možností, ako môžu učitelia počtov a merby získať popularizačné a motivačné impulzy, je poznanie vhodných informácií z príslušnej literatúry. Ponúkam stručný prehľad slovenskej a českej knižnej produkcie z posledného obdobia (po roku 1996) : ANDĚL, J.: Matematika náhody. Praha: Matfyzpress, BARROW, J.D.: Pí na nebesích (O počítaní, myšlení a bytí). Praha: Mladá fronta, BECKMANN, P.: Historie čísla π. Praha: Academia, CRYAN, D. a kol.: Logika. Praha: Portál, DEVLIN, K.: Jazyk matematiky. Praha: Argo a Dokořán, FREGE, G.: Základy aritmetiky (Logicko-matematické skúmanie pojmu čísla). Bratislava: Veda, GAHÉR, F.: Logika pre každého. Bratislava: IRIS, GÖDEL, K.: Filosofické eseje. Praha: Oikoymenh, HEJNÝ, M. KUŘINA, F.: Dítĕ, škola a matematika. Praha: Portál, HEJNÝ, M. MICHALCOVÁ, A.: Skúmanie matematického riešiteľského postupu. Bratislava: MC, KARFÍKOVÁ, L.- ŠÍR, Z.: Číslo a jeho symbolika od antiky po renesanci. Brno: CDK, KOPKA, J.: Hrozny problémů ve školské matematice. Ústí nad L.: UJEP, KUŘINA, F.: Deset geometrických transformací. Praha: Prometheus, KVASZ, L.: O revolúciách vo vede a ruptúrach v jazyku vedy. Bratislava: UK, MATOUŠEK, J. NEŠETŘIL, J.: Kapitoly z diskrétní matematiky. Praha: Karolinum, NAGEL, E. NEWMAN, J.R.: Gödelův důkaz. Brno: VUTIUM, NEMOGA, K. RIEČAN, B.: Matematika v b mol. Bratislava: Veda, PAPPASOVÁ, T.: Potešenie z matematiky. Bratislava: Nebojsa, PENROSE, R.: Makrosvět, mikrosvět a lidská mysl. Praha: Mladá fronta, PUNČOCHÁŘ, M.: Nedaleko nekonečna. Praha: Academia, REKTORYS, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika. Praha: Academia, SINGH, S.: Velká Fermatova věta. Praha: Academia, SMULLYAN, R.: Navĕky nerozhodnuto. Praha: Academia, SMULLYAN, R.: Šeherezádiny hádanky a další podivuhodné úlohy. Praha: Portál, TUGENDHAT, E. WOLFOVÁ, V.: Logicko-sémantická propedeutika. Praha: Rezek, QUINE, W. V.: Od stimulu k věde. Praha: Filozofia, VOPĚNKA, P.: Podivuhodný květ českého baroka. Praha: Karolinum, VOPĚNKA, P.: Uhelný kámen evropské vzdělanosti a moci (Souborné vydání rozprav o geometrii). Praha: Práh, VOPĚNKA, P.: Vyprávĕní o kráse novobarokní matematiky. Praha: Práh, ZASTÁVKA, Z.: Vše, co není zakázano, se nesmí (O logice formální i neformální). Praha: Radix, Odporúčam zodpovedným učiteľom matematiky, aby si spracúvali svoju osobnú motivačno-didaktickú výbavu a práve ňou charakterizovali svoj spôsob práce, zameranie pedagogickej činnosti a zvýrazňovali ponúkané priority. Čas strávený pri výbere podnetných zložiek pestrej a rôznorodej motivačnodidaktickej výbavy určite nebude zbytočný, zúžitkuje sa v plnohodnotnej informačnej komunikácii so študentmi.
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Tomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
TRANSFORMÁCIA Z HISTÓRIE MATEMATIKY DO DIDAKTIKY
TRANSFORMÁCIA Z HISTÓRIE MATEMATIKY DO DIDAKTIKY Úvod Dejiny matematiky poskytujú veľa dokladov o pestrej a všestrannej ľudskej myšlienkovej aktivite, ktorá v priebehu tisícročí vytvorila monumentálnu
Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.
7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
výber myšlienok, výrokov i aforizmov pre súčasných aj budúcich učiteľov matematiky (ale nielen pre nich) Vybral a zostavil Dušan Jedinák
výber myšlienok, výrokov i aforizmov pre súčasných aj budúcich učiteľov matematiky (ale nielen pre nich) Vybral a zostavil Dušan Jedinák 2010 2 Slovo na úvod Ak človek chápe svoju prácu ako povolanie,
Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Gramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Matematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety
Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
vybral a zostavil Dušan Jedinák MMXVII
1 Predovšetkým pre ZŠ Tribečská ul. v Topoľčanoch, učiteľom i žiakom, pri 50. výročí založenia školy vybral a zostavil Dušan Jedinák MMXVII 1 2 Úvodné rozjímanie emeritného učiteľa počtov a merby Ešte
TEST Z MATEMATIKY. Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018
TEST Z MATEMATIKY Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018 Milí žiaci, máte pred sebou test z matematiky ku prijímacím skúškam. Budete ho riešiť na dvojhárok. Najprv na nalepený štítok dvojhárku napíšte
M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová
Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov
Matematika test M-1, 2. časť
M O N I T O R 001 pilotné testovanie maturantov MONITOR 001 Matematika test M-1,. časť forma A Kód školy: Číslo žiaka A B C F H I K L M O P S Kód A B C F H I triedy: 01 0 03 04 05 06 07 08 09 10 11 1 13
KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Matematický časopis pre žiakov základných a stredných škôl
Ročník: 19 Číslo: 2 Šk. rok: 2013/2014 Matematický časopis pre žiakov základných a stredných škôl Pravdu spoznávame nielen rozumom, ale tiež srdcom. Srdce má svoje dôvody, ktoré rozum nepozná. Blaise Pascal
7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Čriepky z histórie matematickej kultúry
Čriepky z histórie matematickej kultúry Dušan JEDINÁK Čriepky (1) Z filozofického slovníka Mathéma znamená v gréčtine učenie, poznanie, vedomosť. Všeobecná matematika je súbor vied, ktoré svojou metódou
Poznámky z dejín matematickej kultúry
Poznámky z dejín matematickej kultúry Dušan JEDINÁK Vývoj matematiky (stručný prehľad) Odvtedy ako sme sa pozreli na svet očami matematiky, objavili sme veľké tajomstvo, prírodné modely ukazujú na podstatné
Číslo a číslica. Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva.
Číslo a číslica Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva. Číslica (cifra) je grafický znak, pomocou ktorého zapisujeme
Goniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
AerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
K výročiam významných matematikov
K výročiam významných matematikov (v školskom roku 2013/2014) Zostavil Dušan JEDINÁK Topoľčany 2011 2 Úvodná ponuka Už dlhšiu dobu tušíme, že príležitostnou spomienkou na ľudí spojených s matematickou
Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
P Y T A G O R I Á D A
30 P Y T A G O R I Á D A Súťažné úlohy a riešenia celoštátneho kola Kategórie P6 - P8 30. ročník Školský rok 2008/2009 BRATISLAVA, 2009 Súťažné úlohy celoslovenského kola. Školský rok 2008/2009. Kategória
Vzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015
riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou
Katolícka univerzita v Ružomberku Pedagogická fakulta Rovinná geometria v starej Mezopotámii Miroslava Kyrczová História matematiky h. Doc. RNDr.
Katolícka univerzita v Ružomberku Pedagogická fakulta Rovinná geometria v starej Mezopotámii Miroslava Kyrczová História matematiky h. Doc. RNDr. Štefan Tkačik, PhD..5.009 V tejto práci sa pokúsime objasniť
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Reprezentácia informácií v počítači
Úvod do programovania a sietí Reprezentácia informácií v počítači Ing. Branislav Sobota, PhD. 2007 Informácia slovo s mnohými významami, ktoré závisia na kontexte predpis blízky pojmom význam poznatok
Zostavil Dušan JEDINÁK
Zostavil Dušan JEDINÁK Úvodné myšlienky Predkladaný Kalendár M F 2015 je súborom stručných životopisných medailónov významných matematikov alebo fyzikov pre každý mesiac občianskeho roku, spomienkou na
x x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Teória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015
MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015 Mgr. Valeria Godovičová 1. Mesiac 1 Úvodná hodina Telo 2-5 Druhá a tretia mocnina - čo už poznáme - opačné čísla a ich mocniny SEPTEMBER
Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Integrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Test. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.
Test Matematika Forma A Štátny pedagogický ústav, Bratislava Ò NUPSESO a.s. 1. Koľkokrát je väčší najmenší spoločný násobok čísel 84 a 16 ako ich najväčší spoločný deliteľ. A. B. 3 C. 6 D.1. Koľko záporných
PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy republikového kola 35. ročník, školský rok 2013/2014
Kategória P 6 1. Napíšte číslo, ktoré sa skrýva pod hviezdičkou: *. 5 = 9,55 2. Janko Hraško je 25 - krát menší ako Ďuro Truľo. Napíšte, koľko centimetrov meria Janko Hraško, ak Ďuro Truľo meria 1,75 metra.
7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
věstonická vrubovka (18 cm dlhá kosť mladého vlka s 55 zárezmi) tisíc rokov pred n. l. geometrické ornamenty (váza z Mezopotámie)
STRUČNÝ PREHĽAD OBJAVOV V MATEMATIKE Matematika je prakticky tak dlho na svete ako ľudstvo. Prvé predstavy o číslach a o jednoduchých rovinných útvaroch, ktorými sa začína vyučovanie geometrie, vznikli
Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Funkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Didaktické hry vo vyučovaní matematiky na gymnáziu
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ RNDr. Beáta Vavrinčíková Didaktické hry vo vyučovaní matematiky na gymnáziu Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej
AKO RIEŠIŤ MATEMATICKÉ PROBLÉMY. Jan Kopka
AKO RIEŠIŤ MATEMATICKÉ PROBLÉMY Jan Kopka Ružomberok 2010 Kniha vydaná s podporou projektu na rozvoj vedy a techniky č. 062-04KU- 8/2008 Stredisko didaktiky matematiky pre transfer poznatkov a projektu
SK skmo.sk. 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo 1. Ku každej
1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Prvočísla a zložené čísla. a, b N: a b k N: b = a. k. Kritéria deliteľnosti v desiatkovej číselnej sústave:
Prvočísla a zložené čísla Číslo a je deliteľom čísla b (číslo b je deliteľné číslom a alebo číslo b je násobkom čísla a ) ráve vtedy, ak existuje také rirodzené číslo k, že b = a. k (ak o delení čísla
Dušan JEDINÁK O B S A H
Dušan JEDINÁK Prečo práve etudy? Rád poznávam zaujímavých ľudí. Vždy po nich zostanú nečakané spomienky. Aj v rozvoji matematiky hrali dôležitú úlohu osobnosti. Slávni matematici. Tých prvých nepoznáme
3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
MONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky
MONITOR 9 (007) riešenia úloh testu z matematiky Autormi nasledujúcich riešení sú pracovníci spoločnosti EXAM testing Nejde teda o oficiálne riešenia, ktoré môže vydať ia Štátny pedagogický ústav (wwwstatpedusk)
ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia
ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia 1. VÝROKY Pod pojmom "výrok" rozumieme v bežnom živote čosi ako VÝsledok ROKovania ( napr. súdu, alebo komisie
Súradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
5. ročník. 3,5/1,5 h. Z á k l a d n á š k o l a J o z e f a H a n u l u, Š k o l s k á / 2, L i p t o v s k é S l i ače N á z o v Š k V P
MATEMATIKA 5. ROČNÍK Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Ročník Č a s o v ý r o z s a h v ý učby Š V P / Š k V P Matematika a práca s informáciami MATEMATIKA 5. ročník 5 hodín, spolu 165 v yučovacích hodín
UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia
Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Planárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Numerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Metódy numerickej matematiky I
Úvodná prednáška Metódy numerickej matematiky I Prednášky: Doc. Mgr. Jozef Kristek, PhD. F1-207 Úvodná prednáška OBSAH 1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie 2. Zdroje a typy chýb 3. Definície chýb 4. Zaokrúhľovanie,
Tematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník
výchovno vzdelávací plán Cvičenia z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 1 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok:
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
Riešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Fakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Poznámka k úlohám o funkciách: Ak nie je uvedené inak, je definičným oborom funkcie množina všetkých reálnych čísel, pre ktoré výraz definujúci funkciu má zmysel. 0 Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je
Maturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním