Prvočísla a zložené čísla. a, b N: a b k N: b = a. k. Kritéria deliteľnosti v desiatkovej číselnej sústave:

Transcript

1 Prvočísla a zložené čísla Číslo a je deliteľom čísla b (číslo b je deliteľné číslom a alebo číslo b je násobkom čísla a ) ráve vtedy, ak existuje také rirodzené číslo k, že b = a. k (ak o delení čísla b číslom a dostaneme rirodzené číslo k). Zaisujeme: a b a, b N: a b k N: b = a. k Poznámka: O deliteľnosti má zmysel uvažovať len v ríade rirodzených (celých) čísel. Nar.: 12 : 3 = 4 4 N, reto číslo 3 je deliteľom čísla 12. Zaisujeme: 3 12 Nakoľko 12 = 3.4, aj číslo číslo 4 je deliteľom čísla : 5 = 2,4 2,4 N, reto číslo 5 nie je deliteľom čísla 12. Zaisujeme: 5 12 Kritéria deliteľnosti v desiatkovej číselnej sústave: q kritérium ríklad 2 ak je osledná číslica árna 128, ak je ciferný súčet deliteľný (2+2+8=12) 4 ak je osledné dvojčíslie deliteľné 4 612, ak je na oslednom mieste 5 alebo 0 35, ak je číslo deliteľné 2 a súčasne aj (9+2+4=15), ( =18) ak je siedmimi deliteľný súčet vyočítaný tak, Je deliteľné 7? 7 že sa rvá až n-tá číslica od zadu vynásobí 1*1+4*3+2*2+9*6+0*4+3*5+8*1+3*3+1*2=1 ostune číslami (eriodicky sa oakujúcimi): 05 (číslo deliteľné 7), je teda 1, 3, 2, 6, 4, 5 deliteľné 7 8 ak je osledné trojčíslie deliteľné ak je ciferný súčet deliteľný ( =18) 10 ak je na oslednom mieste , ak je rozdiel súčtu číslic na árnom a neárnom mieste deliteľný ((5+5)-(3+7)=0) 12 ak je číslo deliteľné 3 a súčasne aj ( =18 deliteľné tromi); (12/4=3 OK) 13 ak je rozdiel súčtu árnych a neárnych trojíc ( = 26) cifier deliteľný trinástimi 17 ak je výsledok nasledujúceho ostuu deliteľný sedemnástimi: striedavo sa odčítajú a riočítajú dvojice cifier vynásobené 2 a medzivýsledky sa vždy delia dvomi. Konečný výsledok sa otom vynásobí násobkom desať tak, aby vyšlo celé číslo. 25 ak je osledné dvojčíslie deliteľné , ak sú osledné dve číslice 0 (00) 15400, ((53-(2*11))/2 + 2*5 = 25.5 a 255 je deliteľné 17) 1

2 Prvočísla sú všetky rirodzené čísla, ktoré majú ráve dva rôzne delitele - číslo jeden a samo seba Tu sú všetky rvočísla menšie ako 200: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 Ak číslo nie je rvočíslom, tak sa dá rozložiť na súčin rvočísel a nazývame ho zložené číslo. Číslo 1 nie je ani rvočíslo ani zložené číslo. Prvočíselné dvojičky sú dve rvočísla, medzi ktorými stojí jedno zložené číslo: 3 5, 5 7, 11 13, 17 19, 29 31, 41 43, 59 61, 71 73,..., ,... Trojičky sú jediné Štvoričky neexistujú. Trocha histórie: Zlomyseľné čísla Existuje otázka, či je možné vytvárať rvočísla odľa všeobecne latného vzorca. Švajčiarsky matematik L. Euler ( ) navrhol vzorec = n 2 + n n = 1, = 43 rvočíslo n = 2, = 47 rvočíslo n = 3, = 53 rvočíslo n = 40, = 1681 nie je rvočíslo, lebo 1681 = Francúzsky matematik P. Fermat ( ) skúmal vzorec = 2 2n + 1 n = 1, = = 5 rvočíslo n = 2, = = 17 rvočíslo n = 3, = = 257 rvočíslo n = 36, = nie je rvočíslo, lebo je deliteľné číslom Francúzsky matematik M. Mersenne ( ) navrhol vzorec re výočet Mersenierových rvočísiel : = 2 n 1. 2

3 Aby 2 n 1 bolo rvočíslo, musí byť aj n rvočíslo. n = 2, = = 5 rvočíslo n = 3, = = 7 rvočíslo n = 5, = = 31 rvočíslo n = 11, = = 2047 nie je rvočíslo, lebo 2047 = Vždy najmenej jedno zlomyselné číslo nádejné úvahy okazilo. Doteraz je známych 24 Mersenierových rvočísiel re exonenty n = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253, 4423,9689,9941,11213, Pravdeodobne doteraz najväčším Mersenierovým rvočíslom je rvočíslo = , vyočítané očítačom. Má vyše 6000 číslic. Koľko je rvočísel? V rvej desiatke sa nachádzajú štyri (40%), čo je omerne dosť. V rvej stovke je ich 25 (25%), no v rvej tisícke už tvoria iba necelých 17%. Ďalej sa objavujú už iba zriedkavo. Vieme nájsť ľubovoľne dlhé úseky rirodzených čísel, medzi ktorými nie je ani jedno. A tak sa ýtame: Existuje najväčšie rvočíslo? Túto otázku zodovedal Euklides už 300 rokov.n.l. Najväčším známym rvočíslom je v súčasnosti je ( ) so skoro 13 miliónmi cifier. Ako si môžeme všimnúť na nasledujúcom obrázku s vyznačenou olohou rvočísel menších ako 400, ich hustota sa ostune zmenšuje. Všetkých rvočísel je však nekonečne veľa. Dôkaz nekonečného očtu rvočísel Predstavme si konečný očet rvočísel, najväčšie z nich označíme ako d a usoriadame ich odľa veľkosti: 2,3,5,7,11,13,17,...,d - PREDPOKLAD Ak všetky rvočísla tejto ostunosti medzi sebou vynásobíme a k výslednému súčinu riočítame číslo jeden, tak dostaneme číslo z = (2*.3*5*7*11* *d) + 1 Číslo z odobne ako všetky ostatné čísla má len dve možnosti: buď je zložené alebo je rvočíslo. Teraz sa okúsme zistiť, do ktorej možnosti číslo z zaraďujeme. Prvočíslo to určite nie je, lebo je určite väčšie ako najväčšie rvočíslo d. Z toho usudzujeme, že musí byť zložené. Zložené čísla sa však dajú zaísať aj ako súčin rvočísla a nejakého rirodzeného čísla. Ak je týmto rvočíslom číslo 2, tak z=2*e (e je rirodzené číslo). Ďalej toto dosadíme do ôvodnej rovnice a dostaneme : 3

4 2 * e =(2*3*5*7*11* *d) + 1 2*e - (2*3*5*7*11* *d) = 1 2*[e (3*5*7*11* *d)] = 1 Keď však číslom dva vynásobíme akékoľvek rirodzené číslo, číslo jeden dostať nemôžeme. SPOR! Z toho vylýva, že z nemôžeme zaísať ako 2*e. Bude to latiť aj re číslo 3? z=3*f 3 * f =(2*3*5*7*11* *d) + 1 3*f - (2*3*5*7*11* *d) = 1 3*[f (2*5*7*11* *d)] = 1 A znova sme sa dostali k SPORu. Číslo jeden nemôže byť trojnásobkom rirodzeného čísla. Z tohto ostuu analogicky vylýva, že to latí aj re 5,7,11,...až o d. A vždy dostaneme 1 = rirodzené číslo * rirodzené číslo Z toho vylýva, že číslo z sa nedá rozložiť a reto ho nemôžeme ovažovať za zložené číslo, t.j. je to ďalšie rvočíslo väčšie ako d. Tým sme doseli k SPORu s PREDPOKLADOM, že rvočísel je konečne veľa. A tak Euklides dokázal, že rvočísel je nekonečne veľa. Úloha: Zistite, či číslo 143 je rvočíslo. Postuným delením čísla 143 alebo oužitím kritérií deliteľnosti re dané číslo zistíme, že je deliteľné číslom 11, nakoľko 143 = Záver: číslo 143 je zložené číslo. Takýto sôsob zisťovania rvočísel bude u väčších čísel veľmi neraktický. Naríklad je číslo 3053 rvočíslo? Základná veta rvočísel Prirodzené číslo n je rvočíslom ráve vtedy, ak n 2 a nie je deliteľné žiadnym rvočíslom, re ktorého latí 1 < n 4

5 Príklad: Zistite, ktoré z nasledujúcich čísel je rvočíslo: a) 161 b) 193 c) 3053 Riešenie: a) ,69... nech i {2; 3; 5; 7; 11}... overíme, či existuje také i, re ktoré latí i i = je zložené číslo, lebo 161 = 7.23 b) ,89... nech i {2; 3; 5; 7; 11; 13}... overíme, či existuje také i, re ktoré latí i také i neexistuje 193 je rvočíslo c) ,25... nech i {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53}... overíme, či existuje také i, re ktoré latí i i = je zložené číslo, lebo 3053 = Základná veta aritmetiky každé zložené číslo sa dá zaísať ako súčin rvočísel, ktorý nazývame rvočíselný rozklad. Nar.: 24 = 3.8 = , 42 = 6.7 = , 72 = 8.9 = , 43 = 43 všeobecne: n = a1 1. a2 2. a ak k, k N, a k N; k rvočísla Schémy rvočíselných rozkladov: číslo rvočíselné delitele metóda stromu 84 = , t.j. 84 = Poznámka: Ak usoriadame rvočíselné činitele odľa veľkosti, je rozklad čísla na súčin rvočísel jednoznačný (re každého rovnaký). 5

6 Najväčší soločný deliteľ a najmenší soločný násobok Soločný deliteľ čísel a, b je číslo, ktoré obe čísla delí (bez zvyšku). Soločný násobok čísel a, b je číslo, ktoré je deliteľné oboma číslami. Najväčší soločný deliteľ čísel a, b je najväčšie rirodzené číslo, ktoré je deliteľom čísla a a zároveň čísla b. Zaisujeme: NSD (a, b) alebo D (a, b). Najmenší soločný násobok čísel a, b je najmenšie nenulové rirodzené číslo, ktoré je deliteľné číslom a a zároveň číslom b. Zaisujeme: nsn (a, b) alebo n (a, b). Zovšeobecnenie: Najväčší soločný deliteľ viacerých rirodzených čísel je najväčšie rirodzené číslo, ktorým sú deliteľné všetky uvedené čísla. Najmenší soločný násobok viacerých rirodzených čísel je najmenšie nenulové rirodzené číslo, ktoré je deliteľné všetkými uvedenými číslami. Súdeliteľnosť - čísla a, b sú súdeliteľné ráve vtedy, keď majú nejakého soločného deliteľa rôzneho od 1. Nar.: 4 a 6, 12 a 15 Nesúdeliteľnosť - čísla a, b sú nesúdeliteľné ráve vtedy, ak okrem 1 nemajú žiadneho soločného deliteľa. Ak D(a, b) = 1, čísla a, b sa nazývajú nesúdeliteľné. Nar.: 3 a 7, 2 a 11 Platí: a. b = D ( a, b). n ( a, b) Určenie NSD: Vyísaním všetkých deliteľov: Nar.: d(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} d(16) = {1, 2, 4, 8, 16}... NSD(16, 24) = 8 Pomocou rvočíselného rozkladu: Nar.: 24 = = NSD(16,24) = = 8 V rvočíselnom rozklade NSD(a, b) sa nachádza každé číslo z rvočíselých rozkladov umocnené na nižší exonent. 6

7 Euklidov algoritmus slúži na určenie najväčšieho soločného deliteľa NSD dvoch rirodzených čísel. 24 = = NSD(24; 16) = 8 NSD je osledný nenulový zvyšok Príklad 1: NSD(412; 335) =? 412 = = = = = = = NSD(412; 335) = 1 NSD je osledný nenulový zvyšok d(412) = {1, 2, 4, 103, 206, 412} d(335) = {1, 5, 67, 335}... NSD(412; 335) = = = = = NSD(412; 335) = = Príklad 2: Určte hodnotu NSD( ; ) = = = = = = = = NSD( ; ) = 29 Poznámka: Počet delení otrebných na výočet NSD dvoch rirodzených čísel omocou Euklidovho algoritmu neresiahne äťnásobok očtu číslic menšieho z čísel. 7

8 Určenie nsn: Pomocou rvočíselného rozkladu: Nar.: 24 = = nsn(16,24) = = 48 V rvočíselnom rozklade nsn(a, b) sa nachádza každé číslo z rvočíselých rozkladov umocnené na väčší exonent. Určenie očtu deliteľov čísla n: Pomocou rvočíselného rozkladu vieme určiť aj očet deliteľov daného čísla n. Nar.: n = = očet deliteľov čísla 72 = (3+1)(2+1) = 12 d(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} Všeobecne, ak n = a1 1 a2 a3 otom očet deliteľov je: (a1+1)(a2+2)...(ak+1). Nar.: Koľko deliteľov má číslo 610 a číslo 1825? ak k, k N, a k N; k rvočísla, 610 = = (1+1)(1+1)(1+1) = 8 deliteľov... d(610) ={1, 2, 5, 10, 61, 122, 305, 610} 1825 = = (1+1)(2+1) = 6 deliteľov... d(1825) = {1, 5, 25,, 73, 365, 1825} Poznámka: Pri určení množiny všetkých deliteľov čísla n je dobré najskôr oznať ich očet, aby sa nar. zbytočne nehľadali ešte ďalší delitelia čísla n v úseku, kde už žiadni nie sú. Úlohy súhrn: 1) Zaíšte rozvinutý záis čísiel v desiatkovej sústave a) 28 b) 2001 c) ) Zaíšte skráteným záisom čísla: a) b) c) ) Určte ciferné súčty čísel: a) 28 b) 2001 c) 3245 d) e) f) ) Súčet číslic dvojciferného čísla je 7. Ak zameníme oradie oboch číslic, dostaneme číslo, ktoré o vynásobení ôvodným bude Ktoré je to číslo? 8

9 5) Ak zameníme oradie číslic istého dvojciferného čísla, dostaneme nové číslo, ktorého súčet s ôvodným číslom je 88 a rozdiel o odčítaní od ôvodného čísla je 36. Určte ôvodné číslo. 6) Koľko deliteľov má číslo: a) 3.13 b) c) d) e) f) g) ? 7) Zo 625 kociek s hranou dĺžky 2 cm sme vytvorili kváder. Aký môže mať ovrch? 8) Koľko riešení má rovnica x. y = 12 s dvoma neznámymi v množine rirodzených čísel? 9) Koľko trojciferných čísel a) je deliteľných 17 b) nie je deliteľných číslom 23? 10) Zaíšte rvočíselné rozklady čísel 80, 180, 644, 496, ) Rozhodnite, čo najefektívnejšie, ktoré z daných čísel sú rvočísla: a) 667 b)677 c) 439 d) 1591 e) ) Zaíšte v základnom tvare zlomky: 91 a) b) 3200 c) d ) ) Pomocou definícií ríslušných ojmov vysvetlite význam výrokov: a) 101 je rvočíslo b) 201 je zložené číslo c) 301 nie je rvočíslo d) 401 nie je zložené číslo 14) Rozhodnite o ravdivosti výrokov: a) Číslo 72 je deliteľné číslom 6. b) Číslo 74 je násobkom čísla 6. c) Číslo 13 je deliteľom čísla ) Rozhodnite, ktoré z daných čísel sú deliteľné číslami 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10: a) 153 b) 1460 c) 9078 d) e) 536 f) 1164 g) ) Aké číslice treba dať namiesto hviezdičiek, aby latilo a) číslo 34*5710 je deliteľné 3 b) číslo 34*5710 je deliteľné 5 c) číslo 34*5710 je deliteľné 7 d) číslo 23876*2 je deliteľné 4 e) číslo 23876*2 je deliteľné 8 f) číslo 5*4758* je deliteľné 36 g) číslo 5*4758* je deliteľné 15? 17) V štvorcifernom čísle 4x7y nahraďte x a y číslicami tak, aby vzniklo čo najmenšie číslo, ktoré je deliteľné: a) tromi b) štyrmi c) dvanástimi 18) Prirodzené číslo je deliteľné osemnástimi ráve vtedy, keď A je árne a jeho ciferný súčet je deliteľný tromi B je súčasne deliteľné dvoma a deviatimi C je súčasne deliteľné tromi a šiestimi D jeho osledné dvojčíslie je deliteľné osemnástimi E je deliteľné štyrmi a jeho ciferný súčet je deliteľný deviatimi 9

10 19) Zaíšte rvočíselné rozklady čísel: a) 943 b) ) Čo najúsornejším sôsobom rozhodnite, ktoré z daných čísel sú rvočísla: a) 277 b) 899 c) 7897 d) ) Naíšte čísla, ktorými treba deliť dané číslo d, ak budete chcieť úsorne zistiť, či d je rvočíslo: a) d = 271 b) d = 901 c) d = ) Dajú sa v čísle vymeniť navzájom dve číslice tak, aby vzniknuté číslo bolo deliteľné: a) 3 b) 5 c) 4 d) 11 e) 16? Nájdite vždy všetky možnosti. 23) Nájdite všetky soločné delitele čísel: a) 24, 28 b) 25, 16 c)60, 72 d) 96100, 108, ) Nájdite najväčšieho soločného deliteľa čísel: a) 72, 96 b) 91, 105 c) 99, 100 d) 144, 720 e) 90, 115, ) Nájdite všetky dvojice dvojciferných čísel väčších ako 20, ktorých najväčší soločný deliteľ je ) Nájdite najmenší soločný násobok čísel: a) 15, 20 b) 24, 36 c) 54, 162 d) 4, 5, 6 e) 18, 75, 40 27) Nájdite čo najväčší očet dvojíc rirodzených čísel, ktorých najmenší soločný násobok je: a) 11 b) 39 c) 42 28) Dané reálne čísla usoriadajte od najmenšieho o najväčšie: 3,14; π; 22/7; 3,141; 10 a rozhodnite, ktoré z nasledujúcich sú iracionálne. 3 29) Určte revrátené čísla k číslam: 5, 3,, 0, 5 ; 0,4; 0, ) Zaokrúhlite čísla na stotiny: a) 35,625 b) 5 c ) 0, ) Určte, ktoré z čísel 5, 7, 10, 38,2; 2π, 1, 6 ; 3,14 sú rirodzené celé racionálne iracionálne reálne eriodické 1 32) Znázornite na číselnej osi obrazy čísel 5 a 6 1 a vyznačte na nej obrazy všetkých celých 4 2 čísel, ktoré ležia medzi nimi. Určte aritmetický riemer týchto celých čísel. 33) Na číselnej osi nájdite obrazy čísel: a) 2 b) 6 c) ) Usoriadajte vzostune racionálne čísla: ; ; 0, ) Dané racionálne čísla zaíšte zlomkom v základnom tvare: 10

11 180 a) 252 b) c) d) ) Rozhodnite, koľko rôznych racionálnych čísel je zaísaných v tomto zozname: ,, ; 0,375;, ; 1,25; ) Zaíšte dané číslo v tvare a.10 k, kde a 1,10), k Z a) b) 0,56 c) 0, ) Zaokrúhlite na tri latné číslice: a) 23,6549 b) 2,