Funkcie komplexnej premennej
|
|
|
- Ἥβη Μεταξάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 (prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška februára 2016
2 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!) podmienky ku skúške (zverejnené koncom semestra) I. Komplexné čísla topológia komplexnej roviny, konvergencia postupnosti a radu komplexných čísel II. Úvod do komplexných funkcií limita, spojitost, diferencovatel nost komplexnej funkcie, elementárne funkcie III. Integrál funkcie komplexnej premennej určitý (Riemannov) integrál, Cauchyho integrálna veta, Cauchyho integrálna formula IV. Postupnosti a rady funkcií komplexnej premennej mocninové rady, Taylorove rady, Laurentove rady V. Reziduum funkcie komplexnej premennej singulárne body funkcie, výpočet rezidua, použitie reziduí VI. Operátorový počet Laplaceova a Fourierova transformácia, vlastnosti a použitie
3 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!) podmienky ku skúške (zverejnené koncom semestra) I. Komplexné čísla topológia komplexnej roviny, konvergencia postupnosti a radu komplexných čísel II. Úvod do komplexných funkcií limita, spojitost, diferencovatel nost komplexnej funkcie, elementárne funkcie III. Integrál funkcie komplexnej premennej určitý (Riemannov) integrál, Cauchyho integrálna veta, Cauchyho integrálna formula IV. Postupnosti a rady funkcií komplexnej premennej mocninové rady, Taylorove rady, Laurentove rady V. Reziduum funkcie komplexnej premennej singulárne body funkcie, výpočet rezidua, použitie reziduí VI. Operátorový počet Laplaceova a Fourierova transformácia, vlastnosti a použitie
4 Literatúra k prednáškam a cvičeniam 1. Galajda, P. Schrötter, Š: Funkcia komplexnej premennej a operátorový počet, Alfa, Bratislava, Kluvánek, I. Mišík, L. Švec, M.: Matematika II., Alfa, Bratislava, Eliaš, J. Horváth, J. Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky 2, 4. Alfa, Bratislava, Pap, E.: Complex Analysis through Examples and Exercises. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London,
5 Historické okienko GIERONIMO CARDANO ( ) Ars Magna de Regulis Algebraicis (1545): rozložte číslo 10 na súčet dvoch sčítancov, ktorých súčin je rovný 40 (5 + 15)(5 15) = 25 ( 15) = 40 Cardano: "Výsledok je elegantný, ale neužitočný." Cardanove vzorce: rovnica x 3 = ax + b má riešenie (b ) 2 ( b x = 3 a 3 (b ) 2 ( 2 + b 3 a ) 2 2 3) napr. x = 4 je riešením rovnice x 3 = 15x + 4, ale ( b ) 2 ( 2 a ) 3 3 = < 0
6 Historické okienko GIERONIMO CARDANO ( ) Ars Magna de Regulis Algebraicis (1545): rozložte číslo 10 na súčet dvoch sčítancov, ktorých súčin je rovný 40 (5 + 15)(5 15) = 25 ( 15) = 40 Cardano: "Výsledok je elegantný, ale neužitočný." Cardanove vzorce: rovnica x 3 = ax + b má riešenie (b ) 2 ( b x = 3 a 3 (b ) 2 ( 2 + b 3 a ) 2 2 3) napr. x = 4 je riešením rovnice x 3 = 15x + 4, ale ( b ) 2 ( 2 a ) 3 3 = < 0
7 Historické okienko GIERONIMO CARDANO ( ) Ars Magna de Regulis Algebraicis (1545): rozložte číslo 10 na súčet dvoch sčítancov, ktorých súčin je rovný 40 (5 + 15)(5 15) = 25 ( 15) = 40 Cardano: "Výsledok je elegantný, ale neužitočný." Cardanove vzorce: rovnica x 3 = ax + b má riešenie (b ) 2 ( b x = 3 a 3 (b ) 2 ( 2 + b 3 a ) 2 2 3) napr. x = 4 je riešením rovnice x 3 = 15x + 4, ale ( b ) 2 ( 2 a ) 3 3 = < 0
8 Historické okienko GIERONIMO CARDANO ( ) Ars Magna de Regulis Algebraicis (1545): rozložte číslo 10 na súčet dvoch sčítancov, ktorých súčin je rovný 40 (5 + 15)(5 15) = 25 ( 15) = 40 Cardano: "Výsledok je elegantný, ale neužitočný." Cardanove vzorce: rovnica x 3 = ax + b má riešenie (b ) 2 ( b x = 3 a 3 (b ) 2 ( 2 + b 3 a ) 2 2 3) napr. x = 4 je riešením rovnice x 3 = 15x + 4, ale ( b ) 2 ( 2 a ) 3 3 = < 0
9 Historické okienko GIERONIMO CARDANO ( ) Ars Magna de Regulis Algebraicis (1545): rozložte číslo 10 na súčet dvoch sčítancov, ktorých súčin je rovný 40 (5 + 15)(5 15) = 25 ( 15) = 40 Cardano: "Výsledok je elegantný, ale neužitočný." Cardanove vzorce: rovnica x 3 = ax + b má riešenie (b ) 2 ( b x = 3 a 3 (b ) 2 ( 2 + b 3 a ) 2 2 3) napr. x = 4 je riešením rovnice x 3 = 15x + 4, ale ( b ) 2 ( 2 a ) 3 3 = < 0
10 Historické okienko Ďalší vývoj plynul vel mi pomaly a počas neho sa mnohí dopúšt ali chýb z nevedomosti: JOHANN BERNOULLI ( ) logaritmy záporných čísel neexistujú, pretože "logaritmy čísel z intervalu 1, + ) vyčerpávajú nezáporné reálne čísla a logaritmy čísel z intervalu (0, 1) vyčerpajú všetky záporné reálne čísla, na logaritmy záporných čísel tak už žiadne hodnoty nezostávajú" GOTTFRIED LEIBNIZ ( ) logaritmy záporných čísel existujú, pretože ( x) 2 = x 2, čiže 2 log( x) = 2 log x, a teda log( x) = log x LEONHARD EULER ( ) 1 4 = ( 1)( 4) = 4 = 2
11 Historické okienko Ďalší vývoj plynul vel mi pomaly a počas neho sa mnohí dopúšt ali chýb z nevedomosti: JOHANN BERNOULLI ( ) logaritmy záporných čísel neexistujú, pretože "logaritmy čísel z intervalu 1, + ) vyčerpávajú nezáporné reálne čísla a logaritmy čísel z intervalu (0, 1) vyčerpajú všetky záporné reálne čísla, na logaritmy záporných čísel tak už žiadne hodnoty nezostávajú" GOTTFRIED LEIBNIZ ( ) logaritmy záporných čísel existujú, pretože ( x) 2 = x 2, čiže 2 log( x) = 2 log x, a teda log( x) = log x LEONHARD EULER ( ) 1 4 = ( 1)( 4) = 4 = 2
12 Historické okienko Ďalší vývoj plynul vel mi pomaly a počas neho sa mnohí dopúšt ali chýb z nevedomosti: JOHANN BERNOULLI ( ) logaritmy záporných čísel neexistujú, pretože "logaritmy čísel z intervalu 1, + ) vyčerpávajú nezáporné reálne čísla a logaritmy čísel z intervalu (0, 1) vyčerpajú všetky záporné reálne čísla, na logaritmy záporných čísel tak už žiadne hodnoty nezostávajú" GOTTFRIED LEIBNIZ ( ) logaritmy záporných čísel existujú, pretože ( x) 2 = x 2, čiže 2 log( x) = 2 log x, a teda log( x) = log x LEONHARD EULER ( ) 1 4 = ( 1)( 4) = 4 = 2
13 Historické okienko Ďalší vývoj plynul vel mi pomaly a počas neho sa mnohí dopúšt ali chýb z nevedomosti: arctg x = x Potom pre x = 1 máme 0 dt 1 + t 2 = 1 ( x 2i 0 dt x t i 0 ) dt t + i = 1 2i log i x i + x = ix log 2i 1 ix = i 2 log i + x i x π 4 = arctg 1 = 1 2i log i 1 i + 1 = 1 ( ) i 1 2 4i log i a mnohé d alšie skvosty... = 1 4i log( 1) = 1 8i log( 1)2 = 0
14 Historické okienko Uved me však aj pozitívne výsledky: ROGER COTES ( ) v roku 1714 publikoval výsledok ( 1ϕ = ln cos ϕ + ) 1 sin ϕ LEONHARD EULER ( ) v roku 1740 napísal Bernoullimu, že funkcie y = 2 cos x a y = e 1x + e 1x sú riešením tej istej diferenciálnej rovnice a pre obe platí y(0) = 2, y (0) = 0, teda sa musia rovnat (1743) od Eulera pochádza aj označenie imaginárnej jednotky i (1777)
15 Historické okienko Uved me však aj pozitívne výsledky: ROGER COTES ( ) v roku 1714 publikoval výsledok ( 1ϕ = ln cos ϕ + ) 1 sin ϕ LEONHARD EULER ( ) v roku 1740 napísal Bernoullimu, že funkcie y = 2 cos x a y = e 1x + e 1x sú riešením tej istej diferenciálnej rovnice a pre obe platí y(0) = 2, y (0) = 0, teda sa musia rovnat (1743) od Eulera pochádza aj označenie imaginárnej jednotky i (1777)
16 Historické okienko Uved me však aj pozitívne výsledky: ROGER COTES ( ) v roku 1714 publikoval výsledok ( 1ϕ = ln cos ϕ + ) 1 sin ϕ LEONHARD EULER ( ) v roku 1740 napísal Bernoullimu, že funkcie y = 2 cos x a y = e 1x + e 1x sú riešením tej istej diferenciálnej rovnice a pre obe platí y(0) = 2, y (0) = 0, teda sa musia rovnat (1743) od Eulera pochádza aj označenie imaginárnej jednotky i (1777)
17 Historické okienko Uved me však aj pozitívne výsledky: CARL FRIEDRICH GAUSS ( ) v roku 1799 dokazuje fundamentálnu vetu algebry CASPAR WESSEL ( ) a JEAN-ROBERT ARGAND ( ) začiatkom 19. storočia popísali geometrickú interpretáciu komplexných čisel v rovine = Gauss: "táto geometrická interpretácia vrhá na ich metafyzické chápanie nové svetlo" WILLIAM ROWAN HAMILTON ( ) komplexné čísla ako dvojice reálnych čísel (1837) objavená "názornost " bola jedným zo stimulov d alšieho vývoja vedúceho k vytvoreniu teórie komplexných funkcií komplexnej premennej
18 Historické okienko Uved me však aj pozitívne výsledky: CARL FRIEDRICH GAUSS ( ) v roku 1799 dokazuje fundamentálnu vetu algebry CASPAR WESSEL ( ) a JEAN-ROBERT ARGAND ( ) začiatkom 19. storočia popísali geometrickú interpretáciu komplexných čisel v rovine = Gauss: "táto geometrická interpretácia vrhá na ich metafyzické chápanie nové svetlo" WILLIAM ROWAN HAMILTON ( ) komplexné čísla ako dvojice reálnych čísel (1837) objavená "názornost " bola jedným zo stimulov d alšieho vývoja vedúceho k vytvoreniu teórie komplexných funkcií komplexnej premennej
19 Historické okienko Uved me však aj pozitívne výsledky: CARL FRIEDRICH GAUSS ( ) v roku 1799 dokazuje fundamentálnu vetu algebry CASPAR WESSEL ( ) a JEAN-ROBERT ARGAND ( ) začiatkom 19. storočia popísali geometrickú interpretáciu komplexných čisel v rovine = Gauss: "táto geometrická interpretácia vrhá na ich metafyzické chápanie nové svetlo" WILLIAM ROWAN HAMILTON ( ) komplexné čísla ako dvojice reálnych čísel (1837) objavená "názornost " bola jedným zo stimulov d alšieho vývoja vedúceho k vytvoreniu teórie komplexných funkcií komplexnej premennej
20 Historické okienko Uved me však aj pozitívne výsledky: CARL FRIEDRICH GAUSS ( ) v roku 1799 dokazuje fundamentálnu vetu algebry CASPAR WESSEL ( ) a JEAN-ROBERT ARGAND ( ) začiatkom 19. storočia popísali geometrickú interpretáciu komplexných čisel v rovine = Gauss: "táto geometrická interpretácia vrhá na ich metafyzické chápanie nové svetlo" WILLIAM ROWAN HAMILTON ( ) komplexné čísla ako dvojice reálnych čísel (1837) objavená "názornost " bola jedným zo stimulov d alšieho vývoja vedúceho k vytvoreniu teórie komplexných funkcií komplexnej premennej
21 Historické okienko Základy teórie komplexných funkcií boli položené a rozvinuté v 19. storočí nasledujúcimi vel kými matematikmi: LOUIS AUGUSTIN CAUCHY ( ) BERNHARD RIEMANN ( ) CARL THEODOR WILHELM WEIERSTRAS ( ) JOSEPH LIOUVILLE ( ) neskôr d alší... Prístup menovaných matematikov k základnému pojmu teórie komplexných funkcií, tzv. holomorfným funkciám, bol odlišný... ale o tom až počas tohto kurzu...
22 Historické okienko Základy teórie komplexných funkcií boli položené a rozvinuté v 19. storočí nasledujúcimi vel kými matematikmi: LOUIS AUGUSTIN CAUCHY ( ) BERNHARD RIEMANN ( ) CARL THEODOR WILHELM WEIERSTRAS ( ) JOSEPH LIOUVILLE ( ) neskôr d alší... Prístup menovaných matematikov k základnému pojmu teórie komplexných funkcií, tzv. holomorfným funkciám, bol odlišný... ale o tom až počas tohto kurzu...
23 Historické okienko Základy teórie komplexných funkcií boli položené a rozvinuté v 19. storočí nasledujúcimi vel kými matematikmi: LOUIS AUGUSTIN CAUCHY ( ) BERNHARD RIEMANN ( ) CARL THEODOR WILHELM WEIERSTRAS ( ) JOSEPH LIOUVILLE ( ) neskôr d alší... Prístup menovaných matematikov k základnému pojmu teórie komplexných funkcií, tzv. holomorfným funkciám, bol odlišný... ale o tom až počas tohto kurzu...
24 Elementárne pozorovania z reálnej analýzy: V N nevieme riešit všetky rovnice tvaru a + x = b pre a, b N! V Z nevieme riešit všetky rovnice tvaru a x = b pre a, b Z! V Q nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a N! V R nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a Z! Definícia (množina komplexných čísel) Množinou všetkých komplexných čísel C nazývame množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel, t.j. z = (x, y), kde x, y R. Prvky množiny C nazývame komplexné čísla.
25 Elementárne pozorovania z reálnej analýzy: V N nevieme riešit všetky rovnice tvaru a + x = b pre a, b N! V Z nevieme riešit všetky rovnice tvaru a x = b pre a, b Z! V Q nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a N! V R nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a Z! Definícia (množina komplexných čísel) Množinou všetkých komplexných čísel C nazývame množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel, t.j. z = (x, y), kde x, y R. Prvky množiny C nazývame komplexné čísla.
26 Elementárne pozorovania z reálnej analýzy: V N nevieme riešit všetky rovnice tvaru a + x = b pre a, b N! V Z nevieme riešit všetky rovnice tvaru a x = b pre a, b Z! V Q nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a N! V R nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a Z! Definícia (množina komplexných čísel) Množinou všetkých komplexných čísel C nazývame množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel, t.j. z = (x, y), kde x, y R. Prvky množiny C nazývame komplexné čísla.
27 Elementárne pozorovania z reálnej analýzy: V N nevieme riešit všetky rovnice tvaru a + x = b pre a, b N! V Z nevieme riešit všetky rovnice tvaru a x = b pre a, b Z! V Q nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a N! V R nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a Z! Definícia (množina komplexných čísel) Množinou všetkých komplexných čísel C nazývame množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel, t.j. z = (x, y), kde x, y R. Prvky množiny C nazývame komplexné čísla.
28 Elementárne pozorovania z reálnej analýzy: V N nevieme riešit všetky rovnice tvaru a + x = b pre a, b N! V Z nevieme riešit všetky rovnice tvaru a x = b pre a, b Z! V Q nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a N! V R nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a Z! Definícia (množina komplexných čísel) Množinou všetkých komplexných čísel C nazývame množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel, t.j. z = (x, y), kde x, y R. Prvky množiny C nazývame komplexné čísla.
29 Operácie s komplexnými číslami Nech z = (x, y), z 1 = (x 1, y 1 ) a z 2 = (x 2, y 2 ). Potom rovnost komplexných čísel z 1 = z 2 nastáva práve vtedy, ked x 1 = x 2 a y 1 = y 2 ; súčet komplexných čísel: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ); násobok komplexného čísla reálnym číslom c R: cz = (cx, cy); súčin komplexných čísel: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ); mocnina komplexného čísla: z n, n N definovaná indukciou: z 1 = z, z n+1 = z z n. Komplexné číslo i = (0, 1) nazývame imaginárnou jednotkou. Platí: i 1 = i, i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1, i 3 = 1 (0, 1) = i, i 4 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1,....
30 Operácie s komplexnými číslami Nech z = (x, y), z 1 = (x 1, y 1 ) a z 2 = (x 2, y 2 ). Potom rovnost komplexných čísel z 1 = z 2 nastáva práve vtedy, ked x 1 = x 2 a y 1 = y 2 ; súčet komplexných čísel: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ); násobok komplexného čísla reálnym číslom c R: cz = (cx, cy); súčin komplexných čísel: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ); mocnina komplexného čísla: z n, n N definovaná indukciou: z 1 = z, z n+1 = z z n. Komplexné číslo i = (0, 1) nazývame imaginárnou jednotkou. Platí: i 1 = i, i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1, i 3 = 1 (0, 1) = i, i 4 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1,....
31 Operácie s komplexnými číslami Nech z = (x, y), z 1 = (x 1, y 1 ) a z 2 = (x 2, y 2 ). Potom rovnost komplexných čísel z 1 = z 2 nastáva práve vtedy, ked x 1 = x 2 a y 1 = y 2 ; súčet komplexných čísel: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ); násobok komplexného čísla reálnym číslom c R: cz = (cx, cy); súčin komplexných čísel: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ); mocnina komplexného čísla: z n, n N definovaná indukciou: z 1 = z, z n+1 = z z n. Komplexné číslo i = (0, 1) nazývame imaginárnou jednotkou. Platí: i 1 = i, i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1, i 3 = 1 (0, 1) = i, i 4 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1,....
32 Operácie s komplexnými číslami Nech z = (x, y), z 1 = (x 1, y 1 ) a z 2 = (x 2, y 2 ). Potom rovnost komplexných čísel z 1 = z 2 nastáva práve vtedy, ked x 1 = x 2 a y 1 = y 2 ; súčet komplexných čísel: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ); násobok komplexného čísla reálnym číslom c R: cz = (cx, cy); súčin komplexných čísel: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ); mocnina komplexného čísla: z n, n N definovaná indukciou: z 1 = z, z n+1 = z z n. Komplexné číslo i = (0, 1) nazývame imaginárnou jednotkou. Platí: i 1 = i, i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1, i 3 = 1 (0, 1) = i, i 4 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1,....
33 Operácie s komplexnými číslami Nech z = (x, y), z 1 = (x 1, y 1 ) a z 2 = (x 2, y 2 ). Potom rovnost komplexných čísel z 1 = z 2 nastáva práve vtedy, ked x 1 = x 2 a y 1 = y 2 ; súčet komplexných čísel: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ); násobok komplexného čísla reálnym číslom c R: cz = (cx, cy); súčin komplexných čísel: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ); mocnina komplexného čísla: z n, n N definovaná indukciou: z 1 = z, z n+1 = z z n. Komplexné číslo i = (0, 1) nazývame imaginárnou jednotkou. Platí: i 1 = i, i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1, i 3 = 1 (0, 1) = i, i 4 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1,....
34 Operácie s komplexnými číslami Nech z = (x, y), z 1 = (x 1, y 1 ) a z 2 = (x 2, y 2 ). Potom rovnost komplexných čísel z 1 = z 2 nastáva práve vtedy, ked x 1 = x 2 a y 1 = y 2 ; súčet komplexných čísel: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ); násobok komplexného čísla reálnym číslom c R: cz = (cx, cy); súčin komplexných čísel: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ); mocnina komplexného čísla: z n, n N definovaná indukciou: z 1 = z, z n+1 = z z n. Komplexné číslo i = (0, 1) nazývame imaginárnou jednotkou. Platí: i 1 = i, i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1, i 3 = 1 (0, 1) = i, i 4 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1,....
35 Algebrický tvar komplexného čísla Vzhl adom na uvedené operácie a označenie môžeme komplexné číslo z = (x, y) zapísat v tvare z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + y (0, 1) = x + iy, ktorý nazývame algebrický tvar komplexného čísla z. Číslo x nazývame reálna čast (zložka) komplexného čísla z, označujeme x = Re z; číslo y nazývame imaginárna čast (zložka) komplexného čísla z, označujeme y = Im z. Číslo z 2 = x 2 + iy 2 nazývame komplexne združené k číslu z 1 = x 1 + iy 1, akk Re z 2 = Re z 1 a Im z 2 = Im z 1. V takom prípade píšeme z 2 = z 1.
36 Algebrický tvar komplexného čísla Vzhl adom na uvedené operácie a označenie môžeme komplexné číslo z = (x, y) zapísat v tvare z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + y (0, 1) = x + iy, ktorý nazývame algebrický tvar komplexného čísla z. Číslo x nazývame reálna čast (zložka) komplexného čísla z, označujeme x = Re z; číslo y nazývame imaginárna čast (zložka) komplexného čísla z, označujeme y = Im z. Číslo z 2 = x 2 + iy 2 nazývame komplexne združené k číslu z 1 = x 1 + iy 1, akk Re z 2 = Re z 1 a Im z 2 = Im z 1. V takom prípade píšeme z 2 = z 1.
37 Algebrický tvar komplexného čísla Vzhl adom na uvedené operácie a označenie môžeme komplexné číslo z = (x, y) zapísat v tvare z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + y (0, 1) = x + iy, ktorý nazývame algebrický tvar komplexného čísla z. Číslo x nazývame reálna čast (zložka) komplexného čísla z, označujeme x = Re z; číslo y nazývame imaginárna čast (zložka) komplexného čísla z, označujeme y = Im z. Číslo z 2 = x 2 + iy 2 nazývame komplexne združené k číslu z 1 = x 1 + iy 1, akk Re z 2 = Re z 1 a Im z 2 = Im z 1. V takom prípade píšeme z 2 = z 1.
38 Modul (absolútna hodnota) komplexného čísla Modul (vel kost, absolútna hodnota) komplexného čísla z = x + iy nazývame nezáporné reálne číslo z := x 2 + y 2 = z z. Vlastnosti modulu komplexného čísla: 1 z = 0 z = 0, 2 ( z 1, z 2 C) z 1 z 2 = z 2 z 1 3 ( z 1, z 2 C) z 1 + z 2 z 1 + z 2 (trojuholníková nerovnost ), 4 ( z 1, z 2 C) z 1 z 2 z 1 + z 2. Podiel komplexných čísel z 1, z 2 : z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 2, z 2 0
39 Modul (absolútna hodnota) komplexného čísla Modul (vel kost, absolútna hodnota) komplexného čísla z = x + iy nazývame nezáporné reálne číslo z := x 2 + y 2 = z z. Vlastnosti modulu komplexného čísla: 1 z = 0 z = 0, 2 ( z 1, z 2 C) z 1 z 2 = z 2 z 1 3 ( z 1, z 2 C) z 1 + z 2 z 1 + z 2 (trojuholníková nerovnost ), 4 ( z 1, z 2 C) z 1 z 2 z 1 + z 2. Podiel komplexných čísel z 1, z 2 : z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 2, z 2 0
40 Modul (absolútna hodnota) komplexného čísla Modul (vel kost, absolútna hodnota) komplexného čísla z = x + iy nazývame nezáporné reálne číslo z := x 2 + y 2 = z z. Vlastnosti modulu komplexného čísla: 1 z = 0 z = 0, 2 ( z 1, z 2 C) z 1 z 2 = z 2 z 1 3 ( z 1, z 2 C) z 1 + z 2 z 1 + z 2 (trojuholníková nerovnost ), 4 ( z 1, z 2 C) z 1 z 2 z 1 + z 2. Podiel komplexných čísel z 1, z 2 : z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 2, z 2 0
41 Geometrická reprezentácia komplexných čísel Gaussova (tiež Argandova) rovina: vzájomné (bijektívne) priradenie komplexného čísla z = x + iy bodu [x, y] v rovine E 2 (v karteziánskom súradnicovom systéme); y Im z = x + iy z ϕ 0 x Re množinu komplexných čísel tvaru (x, 0) nazývame reálna os množinu komplexných čísel tvaru (0, y) nazývame imaginárna os
42 Geometrická reprezentácia komplexných čísel Gaussova (tiež Argandova) rovina: vzájomné (bijektívne) priradenie komplexného čísla z = x + iy bodu [x, y] v rovine E 2 (v karteziánskom súradnicovom systéme); y Im z = x + iy z ϕ 0 x Re množinu komplexných čísel tvaru (x, 0) nazývame reálna os množinu komplexných čísel tvaru (0, y) nazývame imaginárna os
43 Geometrická reprezentácia komplexných čísel Gaussova (tiež Argandova) rovina: vzájomné (bijektívne) priradenie komplexného čísla z = x + iy bodu [x, y] v rovine E 2 (v karteziánskom súradnicovom systéme); y Im z = x + iy z ϕ 0 x Re množinu komplexných čísel tvaru (x, 0) nazývame reálna os množinu komplexných čísel tvaru (0, y) nazývame imaginárna os
44 Geometrická reprezentácia komplexných čísel vyjadrenie bodu [x, y] [0, 0] v rovine E 2 pomocou polárnych súradníc: x = r cos ϕ a y = r sin ϕ, pričom y Im z = x + iy z ϕ 0 x Re (i) r je modul komplexného čísla z, t.j. r = z 0; (ii) číslo ϕ (, + ) vyhovuje rovniciam cos ϕ = x x 2 + y = Re z 2 z, sin ϕ = y x 2 + y = Im z 2 z.
45 Geometrická reprezentácia komplexných čísel vyjadrenie bodu [x, y] [0, 0] v rovine E 2 pomocou polárnych súradníc: x = r cos ϕ a y = r sin ϕ, pričom y Im z = x + iy z ϕ 0 x Re (i) r je modul komplexného čísla z, t.j. r = z 0; (ii) číslo ϕ (, + ) vyhovuje rovniciam cos ϕ = x x 2 + y = Re z 2 z, sin ϕ = y x 2 + y = Im z 2 z.
46 Geometrická reprezentácia komplexných čísel vyjadrenie bodu [x, y] [0, 0] v rovine E 2 pomocou polárnych súradníc: x = r cos ϕ a y = r sin ϕ, pričom y Im z = x + iy z ϕ 0 x Re (i) r je modul komplexného čísla z, t.j. r = z 0; (ii) číslo ϕ (, + ) vyhovuje rovniciam cos ϕ = x x 2 + y = Re z 2 z, sin ϕ = y x 2 + y = Im z 2 z.
47 Geometrická reprezentácia komplexných čísel Definícia (argument komplexného čísla) Nech z 0 a ϕ 0 je jedno z reálnych čísel vyhovujúce rovniciam cos ϕ = Re z z, Im z sin ϕ = z. Argumentom komplexného čísla z 0 nazývame množinu Arg z := {ϕ R : ϕ = ϕ 0 + 2kπ, k Z}. každé ϕ Arg z nazývame hodnota argumentu komplexného čísla z 0; číslo ϕ Arg z také, že π < ϕ π, nazývame hlavná hodnota argumentu komplexného čísla z 0 a označujeme arg z; teda Arg z = {ϕ R : ϕ = arg z + 2kπ, k Z} pre z 0
48 Geometrická reprezentácia komplexných čísel Definícia (argument komplexného čísla) Nech z 0 a ϕ 0 je jedno z reálnych čísel vyhovujúce rovniciam cos ϕ = Re z z, Im z sin ϕ = z. Argumentom komplexného čísla z 0 nazývame množinu Arg z := {ϕ R : ϕ = ϕ 0 + 2kπ, k Z}. každé ϕ Arg z nazývame hodnota argumentu komplexného čísla z 0; číslo ϕ Arg z také, že π < ϕ π, nazývame hlavná hodnota argumentu komplexného čísla z 0 a označujeme arg z; teda Arg z = {ϕ R : ϕ = arg z + 2kπ, k Z} pre z 0
49 Geometrická reprezentácia komplexných čísel Definícia (argument komplexného čísla) Nech z 0 a ϕ 0 je jedno z reálnych čísel vyhovujúce rovniciam cos ϕ = Re z z, Im z sin ϕ = z. Argumentom komplexného čísla z 0 nazývame množinu Arg z := {ϕ R : ϕ = ϕ 0 + 2kπ, k Z}. každé ϕ Arg z nazývame hodnota argumentu komplexného čísla z 0; číslo ϕ Arg z také, že π < ϕ π, nazývame hlavná hodnota argumentu komplexného čísla z 0 a označujeme arg z; teda Arg z = {ϕ R : ϕ = arg z + 2kπ, k Z} pre z 0
50 Geometrická reprezentácia komplexných čísel Definícia (argument komplexného čísla) Nech z 0 a ϕ 0 je jedno z reálnych čísel vyhovujúce rovniciam cos ϕ = Re z z, Im z sin ϕ = z. Argumentom komplexného čísla z 0 nazývame množinu Arg z := {ϕ R : ϕ = ϕ 0 + 2kπ, k Z}. každé ϕ Arg z nazývame hodnota argumentu komplexného čísla z 0; číslo ϕ Arg z také, že π < ϕ π, nazývame hlavná hodnota argumentu komplexného čísla z 0 a označujeme arg z; teda Arg z = {ϕ R : ϕ = arg z + 2kπ, k Z} pre z 0
51 Geometrická reprezentácia komplexných čísel y Im z = x + iy z ϕ 0 x Re Pozorovanie: Pre hlavnú hodnotu komplexného čísla z = x + iy 0 platí: arctg y x, x > 0, π 2, x = 0, y > 0, arg z = π + arctg y x, x < 0, y 0, π 2, x = 0, y < 0, π + arctg y x, x < 0, y < 0.
52 Goniometrický a exponenciálny tvar komplexného čísla Z rovníc x = z cos ϕ a y = z sin ϕ, kde ϕ je niektorá hodnota argumentu nenulového komplexného čísla z = x + iy, máme goniometrický tvar komplexného čísla z = z (cos ϕ + i sin ϕ). Pomocou Eulerovho vzt ahu e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ potom môžeme komplexné číslo z prepísat do exponenciálneho tvaru z = z e iϕ, ϕ R.
53 Goniometrický a exponenciálny tvar komplexného čísla Z rovníc x = z cos ϕ a y = z sin ϕ, kde ϕ je niektorá hodnota argumentu nenulového komplexného čísla z = x + iy, máme goniometrický tvar komplexného čísla z = z (cos ϕ + i sin ϕ). Pomocou Eulerovho vzt ahu e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ potom môžeme komplexné číslo z prepísat do exponenciálneho tvaru z = z e iϕ, ϕ R.
54 Použitie goniometrického tvaru komplexného čísla Nech z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) a z 2 = z 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ). pre rovnost komplexných čísel máme z 1 = z 2 z 1 = z 2 ϕ 1 = ϕ 2 + 2kπ, k Z súčin komplexných čísel má tvar z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )) Moivreova veta: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) pre podiel komplexných čísel (z 2 0) platí z 1 = z 1 z 2 z 2 (cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 ))
55 Použitie goniometrického tvaru komplexného čísla Nech z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) a z 2 = z 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ). pre rovnost komplexných čísel máme z 1 = z 2 z 1 = z 2 ϕ 1 = ϕ 2 + 2kπ, k Z súčin komplexných čísel má tvar z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )) Moivreova veta: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) pre podiel komplexných čísel (z 2 0) platí z 1 = z 1 z 2 z 2 (cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 ))
56 Použitie goniometrického tvaru komplexného čísla Nech z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) a z 2 = z 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ). pre rovnost komplexných čísel máme z 1 = z 2 z 1 = z 2 ϕ 1 = ϕ 2 + 2kπ, k Z súčin komplexných čísel má tvar z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )) Moivreova veta: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) pre podiel komplexných čísel (z 2 0) platí z 1 = z 1 z 2 z 2 (cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 ))
57 Použitie goniometrického tvaru komplexného čísla Nech z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) a z 2 = z 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ). pre rovnost komplexných čísel máme z 1 = z 2 z 1 = z 2 ϕ 1 = ϕ 2 + 2kπ, k Z súčin komplexných čísel má tvar z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )) Moivreova veta: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) pre podiel komplexných čísel (z 2 0) platí z 1 = z 1 z 2 z 2 (cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 ))
58 Použitie goniometrického tvaru komplexného čísla Nech z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) a z 2 = z 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ). pre rovnost komplexných čísel máme z 1 = z 2 z 1 = z 2 ϕ 1 = ϕ 2 + 2kπ, k Z súčin komplexných čísel má tvar z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )) Moivreova veta: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) pre podiel komplexných čísel (z 2 0) platí z 1 = z 1 z 2 z 2 (cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 ))
59 n-tá odmocnina komplexného čísla Nech z = ρ (cos ψ + i sin ψ) a a = r (cos ϕ + i sin ϕ) 0. Hl adáme riešenia rovnice z n = a, n N, ktoré nazývame n-tá odmocnina komplexného čísla z. Riešenie: z k = n ( r cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ), k Z n n a z 2 z 1 z 0 2π n ϕ 0 ϕ n z i
60 n-tá odmocnina komplexného čísla Nech z = ρ (cos ψ + i sin ψ) a a = r (cos ϕ + i sin ϕ) 0. Hl adáme riešenia rovnice z n = a, n N, ktoré nazývame n-tá odmocnina komplexného čísla z. Riešenie: z k = n ( r cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ), k Z n n a z 2 z 1 z 0 2π n ϕ 0 ϕ n z i
61 Bod nekonečno stereografická projekcia: vzájomne jednoznačné priradenie Gaussovej roviny a (Riemannovej) sféry P M 0 z nevlastný bod (nekonečne vzdialený bod, nekonečno), označujeme, nemá zavedený pojem reálnej a imaginárnej zložky, ani argument, jeho modul je väčší ako modul ktoréhokol vek komplexného čísla uzavretá Gaussova rovina C := C { }
62 Bod nekonečno stereografická projekcia: vzájomne jednoznačné priradenie Gaussovej roviny a (Riemannovej) sféry P M 0 z nevlastný bod (nekonečne vzdialený bod, nekonečno), označujeme, nemá zavedený pojem reálnej a imaginárnej zložky, ani argument, jeho modul je väčší ako modul ktoréhokol vek komplexného čísla uzavretá Gaussova rovina C := C { }
63 Bod nekonečno stereografická projekcia: vzájomne jednoznačné priradenie Gaussovej roviny a (Riemannovej) sféry P M 0 z nevlastný bod (nekonečne vzdialený bod, nekonečno), označujeme, nemá zavedený pojem reálnej a imaginárnej zložky, ani argument, jeho modul je väčší ako modul ktoréhokol vek komplexného čísla uzavretá Gaussova rovina C := C { }
64 Bod nekonečno algebrické operácie 1 z ± = ± z = pre každé z C; 2 z = z = pre každé z C, z 0; 3 z 4 z 0 5 z = 0 pre každé z C; = pre každé z C, z 0; = pre každé z C; 6 n =, n = 0, 0 n = pre každé n N; 7 0 = 1; 8 =, =.
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Ján Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Matematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Goniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Reálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Tomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Integrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Funkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Obyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
x x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Spojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice
Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x
Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Numerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Planárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Motivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
ZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied 4 3 4 n 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 3 4 2 3 3/5 /2 2/5 /3 /4 /5 /0 d 0/ /0 /5 /4 /3 2/5 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Príklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Goniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Numerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Numerická lineárna algebra. Zobrazenie
Numerická lineárna algebra. Zobrazenie reálnych čísiel v počítači Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Reálne čísla v počítači 1/16
Matematika 1 Elementárny kalkulus
Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Učebné osnovy. Predmet: Matematika vo francúzskom jazyku. 1. ročník 2. ročník 3. ročník 4. ročník 5. ročník Spolu počet h týždenne.
Gymnázium Ľudovíta Štúra v Trenčíne Učebné osnovy Stupeň vzdelania: ISCED 3A Študijný odbor: 7902 J gymnázium Zameranie školského vzdelávacieho programu: bilingválne štúdium Predmet: Matematika vo francúzskom
XVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú
Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili
Metódy numerickej matematiky I
Úvodná prednáška Metódy numerickej matematiky I Prednášky: Doc. Mgr. Jozef Kristek, PhD. F1-207 Úvodná prednáška OBSAH 1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie 2. Zdroje a typy chýb 3. Definície chýb 4. Zaokrúhľovanie,
Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Osnovy pre slovensko-francúzske sekcie gymnázií Matematika
Osnovy pre slovensko-francúzske sekcie gymnázií Matematika CIELE Ciele matematiky na bilingválnom gymnáziu sa v zásade nelíšia od cieľov klasických slovenských gymnázií. Hlavným rozdielom je získanie schopnosti
Goniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Fakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Poznámka k úlohám o funkciách: Ak nie je uvedené inak, je definičným oborom funkcie množina všetkých reálnych čísel, pre ktoré výraz definujúci funkciu má zmysel. 0 Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je
Prirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom
0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov
Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
MATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc
MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................
Gramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY. V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom ďalšom výklade kľúčovú úlohu, a dokážeme o nich niekoľko jednoduchých základných tvrdení.
Automaty a formálne jazyky
Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné
stereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Mini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Metódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Matematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
množiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
FUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie: