Bazele Electrotehnicii
|
|
- Ονήσιμος Κουρμούλης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Bazele Electrotehnicii 1. Marimile primitive ale electromagnetismului Daniel Ioan Universitatea Politehnica din Bucuresti PUB - IEA/LMN daniel@lmn.pub.ro
2 Marimi fizice Marime fizica = metoda prin care se descrie cantitativ starea unui obiect real, caruia i se asociaza prin marime un obiect matematic, instantiat prin operatia de masurare aracteristicile unei marimi fizice: imbol Definitie Tip al marimii (vezi clasificarile urmatoare) Unitate de masura Procedeu de masurare Reprezentare numerica Marimile fizice realizeaza corespondenta dintre lumea reala si lumile ideilor (obiectul matematic asocia dar si cu cea virtuala (prin structura de date sau obiectul OOP asociate si prin rezultatul unei masuratori digitale)
3 lasificarea marimilor fizice Dupa tipul matematic: scalare (reale sau complexe), vectoriale (bi-, tri- sau multi-dimensionale), tensoriale (reprezentate prin matrice de diferite dimensiuni) Dupa definitie: primitive (definite prin descrierea procedeului de masurare) si derivate (definite prin expresii, in functie de ate marimi) Dupa unitatea de masura: primare (cu unitati fundamentale) si secundare (cu unitati derivate) Dupa procedeul de masurare: pasive (necesita energie de activare) active (au energia necesara masurarii) Referitor la timp: instantanee (asociate unui moment, functie de timp) si de proces (asociate unui interval de timp, cat dureaza procesul) Referitor la spatiu: locale (asociate unui punct, functii de pozitia spatiala) si globale (asociate unei multimi infinite de puncte, de exemplu domeniul unui corp)
4 1.1.Marimile locale ale campului el-mg ampul electromagnetic = forma de existenta a materiei, diferita de substanta, capabila sa acumuleze si sa transporte energie dar si sa interactioneze cu corpurile in mod mecanic, termic si/sau chimic. Fiecare din componentele electrica si magnetica este caracterizata local de doi vectori tridimensionali, intensitatea si inductia campului respectiv: E intensitatea campului electric D inductia campului electric H intensitatea campului magnetic B inductia campului magnetic Aceste marimi caracterizeaza complet, local si instantaneu campul electromagnetic dintr-un punct din spatiu la un moment de timp. Pentru a caracteriza campul intr-un domeniu spatial pe un interval de timp cele patru marimi devin functii vectoriale de pozitie si timp. Matematic ele devin functii definite pe domeniul spatio-temporal cuadridimensional cu valori in spatiul tridimensional.
5 Intensitatea campului electric Marime fizica vectoriala ce caracterizeaza local si instantaneu componenta longitudinala a campului electric 3 3 E = f(r, [V/m] cu f : ( tmin, tmax ) R, R r = ix+jy+kz vectorul de pozitie cartezian z E= i E x,+j E y + ke z E f1( x, y, z, E x pe componente: Ey f2( x, y, z, Ez f3( x, y, z, r=ix+jy+kz Unitatea de masura: Volt pe metru [V/m] pectrul campului E este o familie de curbe orientate, numite linii de camp, cu proprietatea ca in fiecare punct vectorul E este tangent la linia de camp si orientat in sensul acesteia x y
6 Inductia electrica Marime fizica vectoriala ce caracterizeaza local si instantaneu componenta transversala a campului electric 3 3 D = f(r, [/m2] cu f : ( tmin, tmax ) R, R r = ix+jy+kz vectorul de pozitie cartezian D= i D x,+j D y + kd z z E Dx f1( x, y, z, D pe componente: Dy f2( x, y, z, Dz f3( x, y, z, Unitatea de masura: oulomb pe metru patrat [/m2] pectrul campului D este o familie de curbe orientate, numite linii de camp, cu proprietatea ca in fiecare punct vectorul D este tangent la linia de camp si orientat in sensul acesteia. In vid vectorii intensitate si inductie sunt coliniari si proportionali, deci cele doua spectre se suprapun, existand un singur spectru al campului electric. x r=ix+jy+kz y
7 Intensitatea campului magnetic Marime fizica vectoriala ce caracterizeaza local si instantaneu componenta longitudinala a campului magnetic 3 3 H = f(r, [A/m] cu f : ( tmin, tmax ) R, R r = ix+jy+kz vectorul de pozitie cartezian z H= i H x,+j H y + kh z H f1( x, y, z, H x pe componente: H y f2( x, y, z, H z f3( x, y, z, Unitatea de masura: Amper pe metru [A/m] pectrul campului H este o familie de curbe orientate, numite linii de camp, cu proprietatea ca in fiecare punct vectorul H este tangent la linia de camp si orientat in sensul acesteia x r=ix+jy+kz y
8 Inductia magnetica Marime fizica vectoriala ce caracterizeaza local si instantaneu componenta transversala a campului magnetic 3 3 B = f(r, [T] cu f : ( tmin, tmax ) R, R r = ix+jy+kz vectorul de pozitie cartezian z H E B= i B x,+j B y + kb z B f1( x, y, z, B x D pe componente: By f2( x, y, z, Bz f3( x, y, z, r=ix+jy+kz Unitatea de masura: Tesla [T] pectrul campului B este o familie de curbe orientate, numite linii de camp, cu proprietatea ca in fiecare punct vectorul B este tangent la linia de camp si orientat in sensul acesteia. In vid vectorii intensitate si inductie sunt coliniari si proportionali, deci cele doua spectre se suprapun, existand un singur spectru al campului magnetic. x y
9 1.2.Marimile locale ale corpurilor In interactiune cu campul electromagnetic corpurile isi schimba starea. Pentru a caracteriza aceasta schimbare de stare electromagnetica se folosesc urmatoarele marimi fizice locale: ρ densitatea de volum a sarcinii electrice J densitatea de curent electric Aceste marimi caracterizeaza local si instantaneu corpurile. Pentru a caracteriza starea unui corp pe un interval de timp cele doua marimi devin functii de pozitie si timp, una scalara si alta vectoriala, definite pe domeniul corpului si intervalul de timp. Remarcati ca pentru marimile scalare sunt folosite simboluri nebolduite in timp ce pentru marimile vectoriale sunt folosite simboluri grase (bolduite sau cu bara desaupra in cazul scrierii de mana)
10 Densitatea de sarcina Marime fizica scalara ce caracterizeaza local si instantaneu starea de electrizare a corpurilor: 3 ρ = f(r, [/m3] cu f : ( tmin, tmax ) R, R r = ix+jy+kz vectorul de pozitie cartezian Unitatea de masura: oulomb pe metru cub z emnificatie microscopica: Electrizare: exces de electroni (pozitiva) sau ρ exces de electroni (negativa). and numarul r=ix+jy+kz electroni dintr-un corp este egal cu numarul de electroni, atunci corpul este neutru. x y Densitatea de sarcina din punctele unui microvolum descrie excesul local de sarcina fiind egala cu diferenta dintre numarul electronilor si a protonilor raportata la microvolumul considerat si multiplicata cu sarcina unui proton.
11 Densitatea de curent Marime fizica scalara ce caracterizeaza local si instantaneu starea electrocinetica a corpurilor: 3 3 J = f(r, [A/m2] cu f : ( tmin, tmax ) R, R r = ix+jy+kz vectorul de pozitie cartezian z Unitatea de masura: Amper pe metru patrat J emnificatie microscopica: tare electrocinetica (de conductie electrica): r=ix+jy+kz deplasarea in directii privilegiate a purtatorilor x y liberi de sarcina (electroni sau ioni in electroliti) suparapusa peste agitatia lor termica. Densitatea de curent descrie aceasta stare fiind egala cu viteza de miscare in directia privilegiata, multiplicata cu densitatea de volum a sarcinii acestor purtatori liberi de sarcina. Fiind descris matematic de un camp de vectori, marimea admite un spectru, alcatuit din linii de curent, care reprezinta si traseele purtatorilor liberi de sarcina.
12 1.3. Integrale pe varietati Marimile de proces sunt definite ca integrale pe durata procesului ale marimilor instantanee. De exemplu, integrala in timp puterii: T W P( dt P med T 0 P( Pmed este energia (aria de sub curba), T egala cu cea a dreptunghiului t Valoarea medie a unei functii este egala cu valoarea integralei functiei raportata la lungimea intervalului de integrare. In consecinta valoarea marimii de proces este produsul dintre valoarea medie a marimii instantanee si durata procesului: 1 T Pmed P( dt T 0 In mod asemanator, marimile globale pot fi definite ca integrale ale marimilor locale pe diferite varietati. Varietate: multime continua cu o infinitate de puncte. In spatiul tridimensional deosebim trei feluri de varietati: curbe, suprafete si domenii de volum nenul.
13 urbe urba = varietate unidimensionala in care punctele r = f(u) sunt identificate de o singura coordonata parametrica reala u. Este 3 multimea valorilor aplicatiei derivabile: f :[ umin, umax ] R urbele sunt inchise (daca f( umin ) f( umax ) ) sau deschise in caz contrar, notate cu Γ respectiv cu z Ambele sunt varietati orientate conventional dr Vectorul elementar dr = df/du du este orientat tangential, in sensul curbei si r are modulul ds dr df / du du hu du Masura curbei este lungimea sa definita ca x y l ds u max h u min u du iar G( r) dr este circulatia campului vectorial G de-a lungul curbei (integrala produsului scalar G dr) si se refera la componenta tangentiala Gdr cos G dr t G tmed l
14 uprafete uprafata = varietate bidimensionala in care punctele r = h(u,v) sunt identificate de doua coordonate parametrice u si v. Este multimea valorilor aplicatiei derivabile: 3 h :[0, umax ] [0, vmax ] R uprafetele sunt inchise ( daca sunt frontiera unui subdomeniu tridimensional: 3, R ) si deschise in caz contrar (cand frontiera lor este o curba inchisa: ) uprafetele inchise sunt orientate de la interior catre exterior. uprafetele deschise sunt orientate dupa regula burghiului drept fata de frontierele lor. Elementul de arie vectoriala da nda h u hvdudv este orientat normal la suprafata vmax u max Masura suprafetei este aria sa A da hu hv dudv iar 0 0 G( r) da GdAcos G da G A este fluxul campului vectorial G pe suprafata. (integrala produsului scalar G da) si se refera la componenta normalata a campului mediata pe surafata. n nmed
15 Volume Domeniu de volum nenul = varietate tridimensionala in care punctele r = h(u,v,w) sunt identificate de trei coordonate 3 parametrice u,v si w. R este multimea valorilor aplicatiei h. Volumele nu sunt orientate dar fronterele lor sunt orientate spre exterior: Elementul de volum dv ( h dudvdw u hv) hw este dv h in coordonate ortogonale uhvhw dudvdw si dv dxdydz in coordonate carteziene. z Masura domeniului este volumul sau V iar dv vmax 0 u max 0 wmax 0 ( h u h v ) h 3 este integrala unui camp scalar pe domeniul R. In general, integrala pe o varitate este media integrandului inmultita cu masura acesteia w g(r) dv dudvdw g med V x Ω r dv y
16 1.4.Marimile globale ale campului el-mg Fiecare marime locala defineste prin integrare o marime globala. Intensittaile campului se integreaza pe varietati unidimensionale (curbe) integrale simple, iar inductiile pe varietati bidimensiunale (suprafete) integrale duble: E intensitatea campului electric se integreaza pe curbe inchise sau deschise si defineste tensiunea electrica u D inductia electrica se integreaza pe surafeta si defineste fluxul electric ψ H intensitatea campului magnetic se integreaza pe curbe si defineste tensiunea magnetica um B inductia magnetica se integreaza pe surafeta si defineste fluxul magnetic φ Aceste marimi caracterizeaza global si instantaneu campul electromagnetic pe varietatile pe care sunt definite. Matematic ele sunt functii reale de variabila reala, definite pe intervalul de timp al procesului considerat. Ele sunt asociate unor varietati orientate (se spune au sens de referinta)
17 Tensiunea electrica Marime fizica scalara care descrie global campul electric de-a lungul unei curbe, marime derivata definita de circulatia lui E: u( E ( r, dr z E Unitatea de masura: Voltul [V] Definita pe curbe inchise, se mai numeste dr si tensiune electro-motoare (t.e.m.) e r chimbarea sensului de referinta duce la schimbarea semnului tensiunii. x y Matematic este o functie de timp: u f ( t ), f :[ t min, t max ] R Daca functia este constanta atunci valoarea ei se noteaza cu U. du u E( r) dr Edr cos E dr E l E u / l E t t Tensiunea indica prezenta campului mediind valoarea sa tangentiala. Daca E=0 atunci si u = 0, dar nu si reciproc!! tmed tmed dl
18 Fluxul electric Marime fizica scalara care descrie global campul electric de pe suprafata sau Σ, marime derivata definita de fluxul inductiei D: D ( r, da D( r, da Unitatea de masura: oulomb [] chimbarea sensului de referinta r duce la schimbarea semnului marimii Matematic este o functie de timp: x y f ( t ), f :[ t, t min max ] R Daca functia este constanta atunci valoarea ei se noteaza cu Ψ. Fluxul indica prezenta campului pe, mediind valoarea sa normala, indica si sensul liniilor de camp prin semnul marimii. Daca D=0 atunci si ψ = 0, dar nu si reciproc!! d D( r) da Dnmed A Dnmed / A D n da Fluxul indica numarul de linii de camp ce inteapa suprafata. z da=nda D
19 Tensiunea magnetica Marime fizica scalara care descrie global campul magnetic de-a lungul unei curbe, marime derivata definita de circulatia lui H: u m( H ( r, dr z H Unitatea de masura: Amperul [A] Definita pe curbe inchise, se mai numeste dr si tensiune magneto-motoare (t.m.m.) r chimbarea sensului de referinta duce la schimbarea semnului tensiunii. x y Matematic este o functie de timp: u f ( t ), f :[ t, t m min max ] R Daca functia este constanta atunci valoarea ei se noteaza cu Um. dum um H( r) dr H tmedl Htmed um / l H t dl Tensiunea indica prezenta campului mediind valoarea sa tangentiala. Daca H=0 atunci si um = 0, dar nu si reciproc!!
20 Fluxul magnetic Marime fizica scalara care descrie global campul magnetic de pe o suprafata sau Σ, definita de fluxul inductiei B: B ( r, da Unitatea de masura: Weberul [Wb] d BdA chimbarea sensului de referinta r duce la schimbarea semnului marimii Matematic este o functie de timp: x y f ( t ), f :[ t, t min max ] R Daca functia este constanta atunci valoarea ei se noteaza cu Φ. Fluxul indica prezenta campului pe, mediind valoarea sa normala, el indica si sensul liniilor de camp prin semnul marimii. Daca B=0 atunci si φ = 0, dar nu si reciproc!! d B( r) da BndA Bnmed A Bnmed / A B n da Fluxul indica numarul de linii de camp ce inteapa suprafata. z da B
21 1.5.Marimile globale ale corpurilor unt asociate marimilor locale si sunt obtinute prin integrarea acestora pe diferite varietati. q sarcina electrica se obtine prin integrarea pe domeniul corpurilor a densitatii de sarcina i intensitatea curentului electric se obtine prin integrarea pe suprafete ce aparartin corpurilor a densitatii de curent J Aceste marimi sunt scalare, functii de timp ce caracterizeaza global si instantaneu starea corpurilor din pe varietatile pe care sunt definite. urentul are sens de referinta, dar sarcina nu are. Matematic ele sunt functii reale de variabila reala, definite pe intervalul de timp al procesului considerat. urentul fiind asociat unei varietati orientate depinde de sensul acestei orientari motiv pentru care se spune are sens de referinta. Marimile locale ale campurilor si corpurilor sunt marimile primitive ale electromagnetismului. Procedeele lor de masurare vor fi descrise ulterior, sub forma de consecinte ale teoremelor electromagnetismului. Marimile globale sunt marimi derivate, definite prin integrarea marimilor locale-primitive.
22 arcina elctrica Marime fizica scalara care descrie global starea de electrizare a unui corp, definita de integrala tripla, pe domeniul corpului a densitatii de sarcina: q (r, dv Unitatea de masura: oulomb [] Matematic este o functie de timp asociata domeniului Ω: Daca functia este constanta atunci valoarea ei se noteaza cu Q. x y arcina este suma sarcinilor particulelor din domeniul corpului. q V dq q 0 (r, dv medv med V dv orpurile neutre local peste tot sunt neutre si global. Dar corpurile neutre global nu sunt in mod necesar si neutre local Distributia superficiala a sarcinii este descrisa de q f ( t ), f :[ t min, t max ] R z Ω r dq s [ / da dq=ρdv 2 m ]
23 urentul electric Marime scalara care descrie global starea electrocinetica de pe o suprafata sau Σ, definita de fluxul densitatii de curent J: Unitatea de masura: Amper [A] chimbarea sensului ei de referinta duce la schimbarea semnului marimii Matematic este o functie de timp: i f ( t ), f :[ t, t min max ] R Daca functia este constanta atunci valoarea ei se noteaza cu I. urentul i reprezinta debitul purtatorilor de sarcina prin. El mediaza valoarea normala a densitatii de curent: i i J ( r, da J( r, da J n da J nmed si indica sensul liniilor de curent prin semnul marimii globale. Daca J=0 atunci si i = 0, dar nu si reciproc!! A J nmed i / r A J da J n di da
24 . Locale Globale 1.6.Recapitularea marilor el-mg EL MG orpuri E intensitatea campului electric [V/m] D inductia electrica [/m2] B inductia magnetica [T] H intensitatea campului magnetic [A/m] ρ - densitatea de sarcina [/m3] J - densitatea de curent [A/m2] Tensiunea elctrica [V] Fluxul electric [] Fluxul magnetic [Wb] Tensiunea Magnetica [A] arcina electrica [] urentul electric [A] u( ( ( u m E ( r, dr D ( r, da B ( r, da ( H ( r, dr q ( ( r, dv i( J ( r, da 2012 Daniel IOAN
25 Aspecte metrologice urentul electric este singura marime primara a electromagnetismului, unitatea sa de masura A (Amperul) fiind singura unitate fundamentala de natura electromagnetica din istemul International (I) al unitatilor de masura, celelealte marimi fizice ale electromagnetismului fiind marimi secundare. Marimile globale fiind marimi scalare se masoara mai simlu decat marimile locale. Marimile locale se pot masura folosind relatia care le exprima ca derivate ale marimilor locale. e folosesc sonde de mici dimensiuni, cu forme alungite pentru marimile longitudinale (E, H) si plate pentru marimile transversale (D, B, J). e masoara marimile globale (u, um), (ψ, φ, i), q si apoi se raporteaza rezultatul masurarii la lungimea, aria respectiv volumul sondei. In practica cel mai des sunt masurate marimile: tensiune electrica (u) si curent electric (i). Pentru acestea se folosesc voltmetrul si ampermetrul (ambele realizate folosind un aparat de masura foarte sensibil, numit si galvanometru sau electrometru respectiv un osciloscop - pentru avizualiza variatia in timp). elelalte marimi globale se pot masura prin integrarea in timp a tensiunii u sau a curentului i.
26 Reprezentarea numerica a marimilor el-mg globale Marimile globale sunt din p.d.v. matematic functii reale de variabila reala si se reprezinta pe calculator ca aceste obiecte. Daca sunt constante, ele se reprezinta printr-o o variabila reala Daca sunt variabile, atunci se reprezinta in cazul cel mai general ca vectorul valorilor marimii in nodurile in care a fost discretizat intevalul de timp de definire a marimii, deci printr-un vector cu componente reale. Reteaua poate fi uniforma (cu un pas de timp si noduri echidistante, reprezentata de doua numere reale: momentul inital si pasul de timp) sau una neuniforma (reprezentata printrun vector cu componente reale ce reprezinta nodurile). Valoarea marimii dintr-un moment arbitrar se obtine prin interpolarea sau extrapolarea valorilor din noduri. In cazurile in care marimea are o variatie in timp particulara se prefera forme mai compacte de reprezentare. De exemplu: printr-un numar complex, in cazul variatiilor sinusoidale, printr-un vector cu componente complexe, in cazul marimiilor peridice dezvoltate in serii Fourier.
27 Reprezentarea numerica a marimilor el-mg locale Marimile locale sunt in general campuri vectoriale variabile in timp. Reprezentarea lor este mai dificila, necesitiand pe langa discretizarea 1D a timpului si o discretizare 3D a spatiului. Discretizara 3D spatiala poate fi carteziana (discretizarea independenta a fiecarei axe), dar poate fi realizata prin pavarea spatiului cu celule elementare (tetraedre, prisme, piramide, hexaedre, etc) numite si elemente finite, care pot fi structurate (caz in care reteaua are topologie uniforma, fiecare element interior avand acelasi numar de elemente vecine) sau nestructurate. In mod natural marimile locale: Longitudinale (1-forme): E, H se asociaza laturilor celulelor elementare; transversale (2-forme): B, D, J se asociaza fetelor celulelor elementare; densitatea de sarcina (3-forma) ρ se asociaza celulelor. Daca reteaua de discretizare spatiala 3D are L laturi, F fete si V volume elementare, atunci marimile locale la un moment de timp se reprezinta ca vectori cu L, F, V componente reale, dupa cum sunt longitudinale, transversale, respectiv densitati de sarcina. Pentru a descrie variatia in timp se folosesc tehnicile descrise anterior, dar pentru aceste obiecte. Marimile globale pe aceste elemente se calculeaza simplu prin inmultirea cu masura elementului respectiv.
28 Aplicatii, probleme, exercitii alculati tensiunea electrica pe un segment de dreapta de lungime l=1cm plasat in camp electric uniform de intensitatea E=100V/m cu diferite orientari: de-a lungul liniilor de camp: U El 1V perpendicular pe liniile de camp: U El cos( / 2) 0V orientat la 60 grade de linia de camp: U El cos( /3) 0, 5V orientat invers fata d elinia de camp: U El cos( ) 1V 2 alculati fluxul magnetic pe o suprafata plana de arie A 1cm plasata in camp magnetic uniform de inductie B 1T cu diferite orientari: liniile de camp se preling pe suprafata: BAcos( / 2) 0 suprafata este perpendiculara pe liniile de camp: BAcos 0 BA 100Wb sau BAcos BA 100Wb normala la suprafata este la 60 grade fata de camp: BAcos( /3) 50Wb at este densitatea medie de curent intr-un fir de diametru 1mm parcurs de un curent de 1A? u cat se modifica sarcina unui corp daca doar intr-un punct al sau densitatea de sarcina se anuleaza? at este fluxul electric printr-o sfera de raza 1cm plasata in camp uniform de 2 inductie D 1m / m? Dar pe jumatate de sfera? um ar putea fi liniile de camp pentru ca pe sfera fluxul sa fie pozitiv? Dar negativ? at este tensiunea magnetica pe un cerc de diametru1cm plasat in camp uniform de intensitate 1kA/m? Dar pe jumatate de cerc? Indicati caracteristicile tuturor marimilor fizice definite in acest capitol.
29 oncluzii privind marimile el-mg Marimile locale sunt marimi primitive iar cele globale sunt derivate (se definesc ca integrale ale marimilor locale). Dar se poate constitui o teorie echivalenta, in care lucrurile stau invers (marimile locale sunt definte prin derivarea marimilor globale, considerate primitive). Trecerea de la marimile globale la cele locale este univoca dar distributia locala nu rezulta univoc din valoarea globala. Marimile globale nu descriu complet distributia campului, dar sunt preferabile in practica fiind mai simple. Toate marimile prezentate pana acum sunt instantanee si active Fiecare marime globala este asociata unei varietati orientate. Tensiunile sunt asociate curbelor si se obtin prin integrarea intensitatilor iar fluxurile (inclusiv curentul) sunt asociate suprafetelor si se obtin prin integrarea inductiilor. emnul lor este relativ. chimbarea sensului de referinta (orientarea varietatii) determina schimbarea semnului marimii globale. arcina este singura exceptie, ea fiind asociata volumelor neorientate (forma de ord. 3). Masurarea marimilor globale se face cu aparate cu bornele polarizate (ampermetru, voltmetru, fluxmetru ) iar inversarea lor detrmina schimbarea semnului marimii masurate. Tensiunile descriu componenta tangentiala a campului, mediata pe curba de definitie, iar fluxurile descriu componenta normala a campului mediata pe suprafata de definitie. In consecinta, intensitatile campului descriu comportatea longitudinala (sunt forme diferentiale de ord. 1 se integreaza pe curbe), iar inductiile descriu comportarea transversala a campului electromagnetic (forme diferentiale de ordin 2 se integreaza pe suprafete).
30 Referinte Metrologie Masurari Institutul National de Metrologie istemul International al Unitatilor de Masura ampul electric ampul magnetic
31 ampul electromagnetic arcina electrica urentul electric Integrare Referinte
32 Referinte urbe uprafete Volume: Reprezentarea numerica a campurilor 1D Interpolari 3D:
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραAparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραUnităŃile de măsură pentru tensiune, curent şi rezistenńă
Curentul Un circuit electric este format atunci când este construit un drum prin care electronii se pot deplasa continuu. Această mişcare continuă de electroni prin firele unui circuit poartă numele curent,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραSeminar electricitate. Seminar electricitate (AP)
Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραElectrotehnică. Conf. dr. ing. ec. Adina RĂCĂŞAN
Electrotehnică Conf. dr. ing. ec. Adina RĂCĂŞAN http://users.utcluj.ro/~adina/ Facultatea de Inginerie Electrică / Departamentul de Electrotehnică şi Măsurări Tel.: 0264 401 468, Email: Adina.Racasan@et.utcluj.ro
Διαβάστε περισσότεραFENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
Διαβάστε περισσότερα( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (
Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0
Διαβάστε περισσότεραLucrul mecanic şi energia mecanică.
ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al
Διαβάστε περισσότεραSTUDIUL EFECTULUI HALL ÎN SEMICONDUCTORI
UIVERSITATEA "POLITEICA" DI BUCURESTI DEPARTAMETUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA ŞI FIZICA CORPULUI SOLID B-03 B STUDIUL EFECTULUI ALL Î SEMICODUCTORI STUDIUL EFECTULUI ALL Î SEMICODUCTORI Efectul
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότεραCurentul electric stationar
Curentul electric stationar 1 Curentul electric stationar Tensiunea electromotoare. Legea lui Ohm pentru un circuit interg. Regulile lui Kirchhoft. Lucrul si puterea curentului electric continuu 1. Daca
Διαβάστε περισσότεραDispozitive Electronice şi Electronică Analogică Suport curs 01 Notiuni introductive
1. Reprezentarea sistemelor electronice sub formă de schemă bloc În figura de mai jos, se prezintă schema de principiu a unui circuit (sistem) electronic. sursă de energie electrică intrare alimentare
Διαβάστε περισσότεραStudiul câmpului magnetic în exteriorul unui conductor liniar foarte lung parcurs de un curent electric. Verificarea legii lui Biot şi Savart
Legea lui Biot şi Savart Studiul câmpului magnetic în exteriorul unui conductor liniar foarte lung parcurs de un curent electric. Verificarea legii lui Biot şi Savart Obiectivul experimentului Măsurarea
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare
Διαβάστε περισσότεραCurs nr. 1. Teoria Campului Electromagnetic. Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca
Curs nr. 1 Teoria Campului Electromagnetic Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca http://users.utcluj.ro/~lcret/ Despre Curs Scop Familiarizarea studentilor cu notiuni despre electromagnetism Obiective
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραI. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei
I. Forţa I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei Interacţionăm cu lumea în care trăim o lume în care toate corpurile acţionează cu forţe unele asupra altora! Întrebările indicate prin: * 1 punct
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότεραLucrarea 3 : Studiul efectului Hall la semiconductori
Lucrarea 3 : Studiul efectului Hall la semiconductori 1 Consideraţii teoretice În această lucrare vom studia efectul Hall intr-o plăcuţă semiconductoare de formă paralelipipedică, precum cea din Figura
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραLucrul mecanic. Puterea mecanică.
1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea
Διαβάστε περισσότεραENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 2013
ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 8. Un conductor de cupru ( ρ =,7 Ω m) are lungimea de m şi aria secţiunii transversale de mm. Rezistenţa conductorului este: a), Ω; b), Ω; c), 5Ω; d) 5, Ω; e) 7, 5 Ω; f) 4, 7 Ω. l
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραCap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI
Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR FIZICA SEM 2. Unitati de masura.sisteme de referinta. Vectori.Operatori
SEMINAR FIZICA SEM 2 Unitati de masura.sisteme de referinta. Vectori.Operatori SISTEME DE UNITĂŢI. SISTEMUL INTERNAŢIONAL DE UNITĂŢI (SI) Mărimi fundamentale Unităţi de măsură Sistemul de unităţi Lungimea
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραCâmpul electric. Suprafețe echipotențiale
Câmpul electric. Suprafețe echipotențiale Obiective Scopul aceste lucrări de laborator este determinarea experimentală a curbelor de echipotențial și reprezentarea linilor de câmp electric în cazul a două
Διαβάστε περισσότερα11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu
ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială
Διαβάστε περισσότεραFIZICĂ. Bazele fizice ale mecanicii cuantice. ş.l. dr. Marius COSTACHE
FIZICĂ Bazele fizice ale mecanicii cuantice ş.l. d. Maius COSTACHE 1 BAZELE FIZICII CUANTICE Mecanica cuantică (Fizica cuantică) studiază legile de mişcae ale micoaticulelo (e -, +,...) şi ale sistemelo
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα