ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Συγγραφή Επιµέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Σρφή Επιµέλει: Πνιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Βσικά Αξιώµτ Ειδικής Θεωρίς Σχετικότητς - Μετσχηµτισµί Loent Σύµφων µε την Κλσσική Μηχνική τ Newton µι στθερή δύνµη δύντι ν πρκλέσει µι χωρίς όρι ύξηση της τχύτητς ενός σώµτς. Έτσι σύµφων µε την Κλσσική Μηχνική η τχύτητ ενός σώµτς µπρεί ν είνι µελύτερη της τχύτητς τ φωτός. Γι τν λό τόν τ 905 Einstein νέπτξε την ειδική θεωρί της σχετικότητς µε σκπό ν περιράψει την κίνηση των σωµάτων π κινύντι µε τχύτητ σκρίσιµη µε τή τ φωτός κι ν κλύψει τ κενό της Κλσσικής Μηχνικής. Η ειδική θεωρί της σχετικότητς βσίζετι σε δ θεµελιώδη ξιώµτ: ) Όλι ι νόµι της Φσικής είνι ίδιι ι όλ τ δρνεικά σστήµτ νφράς (ρχή της ειδικής θεωρίς της σχετικότητς). β) Η τχύτητ τ φωτός στ κενό είνι η νώτερη τιµή τχύτητς στη φύση 8 ( 3 0 m /se) κι είνι ίδι ι όλ τ δρνεικά σστήµτ νφράς (νλλίωτ της τχύτητς τ φωτός). Σνεπώς σύµφων µε την ειδική θεωρί της σχετικότητς ότν η τχύτητ ενός σώµτς πρσείζει την τχύτητ τ φωτός, πό την επίδρση στθερής δύνµης, τότε ξάνετι η µάζ τ κι ενδίδει λιότερ στην επιτάχνση της δύνµης τής. Γι τ λό τό ρίζετι η σχετικιστική µάζ m ενός σωµτί ως: m m m (-) / όπ / / / β >, β /<, η τχύτητ τ σωµτί ως πρς κίνητ πρτηρητή κι m o η µάζ τ σωµτί ως πρς πρτηρητή ι τν πί τ σωµάτι είνι κίνητ (µάζ ηρεµίς). Ο Ο Σχήµ. ˆ Α (ενός), Στην ειδική θεωρί της σχετικότητς εισάετι η έννι τ χωρχρόν (,,,t) σύµφων µε τν πί έν ενός περιράφετι σνλικά πό τέσσερις σντετµένες, πό τις τρεις χωρικές σντετµένες κι πό τ χρόν. Έστω έν ενός π πρµτπιείτι σε έν σηµεί Α τ χωρχρόν κι δ δρνεικά σστήµτ νφράς (πρτηρητές), τ κίνητ σύστηµ O κι τ Ο κινύµεν ως πρς τ πρώτ µε στθερή τχύτητ ˆ σκρίσιµη µε την τχύτητ τ φωτός. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αν τ ενός έχει σντετµένες (,,,t) ως πρς τ O κι (,,, t ) ως πρς τ Ο κι τη χρνική στιµή t t 0 τ δ σστήµτ σµπίπτν τότε ι σχέσεις π σνδέν τις σντετµένες των δ σστηµάτων είνι: ( - t),,, t t - (-) Οι σχέσεις (-) λέντι µετσχηµτισµί Loent κι πκλύπτν την άµεση ε- ξάρτηση τ χώρ κι τ χρόν. Επειδή τ σύστηµ O κινείτι µε τχύτητ ˆ ως πρς τ Ο µπρύν ν πλιστύν ι ντίστρφι µετσχηµτισµί Loent, δηλδή ι σντετµένες (,,,t) τ ενότς Α στ Ο σύστηµ σνρτήσει των σντετµένων (,,, t ) στ Ο ντικθιστώντς στην (-) τ µε κι ενλλάσσντς τ τνύµεν κι άτν µεέθη. Επµένως: ( + t ),,, t t + (-3) Πρτηρήσεις: ) Αν τ κινύµεν σύστηµ Ο κινείτι µε στθερή τχύτητ ŷ κτά τη διεύθνση τότε ι µετσχηµτισµί (-) πίρνν την µρφή:, ( - t),, t t - Ανάλ ισχύν ότν ẑ. ) Γι διφρές των χωρχρνικών σντετµένων (,,, t) κι ι πειρστές διφρές τών ισχύν σχέσεις µετσχηµτισµύ νάλες των (-) κι (-3). ηλδή: ( - t),,, t t - κι d (d - ), d d, d d, - d ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Σνέπειες Μετσχηµτισµών Loent ) Ττχρνικότητ Σύµφων µε τη θεωρί της σχετικότητς η έννι τ ττόχρν δεν είνι πόλτη, λλά εξρτάτι πό την κίνηση τ πρτηρητή. Έτσι ν δ ενότ ίνντι ττόχρν σε κίνητ σύστηµ Ο, δηλδή t0 τότε στ κινύµεν σύστηµ Ο σύµφων µε τς µετσχηµτισµύς Loent είνι: Αλλά: πότε η πρπάνω ίνετι: t 0 t t - t t 0 ( - t) t 0 (-4) Άρ τ δύ ενότ δεν είνι ττόχρν ως πρς τ κινύµεν σύστηµ Ο κι µάλιστ η διφρά χρόν τών εξρτάτι πό την πόστσή τς στ Ο. Τ ρνητικό πρόσηµ της (-4) πδηλώνει πι ενός ίνετι πρώτ. Αντίστιχ δ ενότ ττόχρν στ Ο (δηλδή t 0) δεν θ είνι ττόχρν ως πρς τ κίνητ σύστηµ Ο (δηλδή t 0 ). β) ιστλή χρόν Έστω έν φινόµεν τ πί πρµτπιείτι στην ίδι θέση (,0,0) ενός κίνητ σστήµτς νφράς O, δηλδή 0. Αν t είνι η χρνική διάρκει τ ενότς ως πρς τ Ο, τότε η διάρκειά τ ως πρς τ κινύµεν σύστηµ Ο είνι σύµφων µε τς µετσχηµτισµύς Loent (-): t t - 0 t t (-5) Άρ φύ > είνι t > t. Αντίθετ ν τ ενός σµβίνει στην ίδι θέση κινύµεν σστήµτς Ο (δηλδή 0) µε την ίδι διδικσί πρκύπτει ότι η χρνική τ διάρκει ως πρς τ Ο είνι: t t κι επειδή > είνι t> t. Άρ κάθε πρτηρητής π κινείτι ως πρς τη σσκεή µέτρησης (ρλόι) της χρνικής διάρκεις τ ενότς µετρά µελύτερη διάρκει ως πρς τόν π είνι κίνητς ως πρς τ ρλόι. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εφρµή Ένς στρνύτης σε έν διστηµόπλι τξιδεύει µε τχύτητ 0,99 κι ντιλµβάνετι τη χρνική διάρκει τ τξιδιύ τ ίση µε (:ea). Πι είνι η διάρκει τ τξιδιύ σύµφων µε ένν πρτηρητή στη η; Λύση Λόω διστλής τ χρόν πρκύπτει: t t - / t (0,99) / () t 4 eas Σύµφων µε τ πτέλεσµ τό είνι δντόν κάπις κινύµενς πλύ ρήρ, ν πρµτπιήσει έν πλύ µκρύ τξίδι χωρίς ν πστεί τις σνέπειες τ χρόν (ήρνση). ) Σστλή µήκς Έστω µι ράβδς µήκς L η πί είνι κίνητη κτά µήκς τ άξν ενός κίνητ σστήµτς νφράς O. Αν τ άκρ της βρίσκντι στις θέσεις κι είνι L. Ένς πρτηρητής στ σύστηµ Ο κινείτι µε τχύτητ ˆ ως πρς τ O κι µετρά τ µήκς της ράβδ, µετρώντς τις θέσεις των άκρων κι ττόχρν (δηλδή t 0). To µήκς τό κθρίζετι ως L κι σύµφων µε τς µετσχηµτισµύς Loent είνι: t 0 ( + t ) ή L L L L (-6) Άρ φύ > είνι L < L. Στην περίπτωση π η ράβδς L είνι κίνητη στν άξν τ σστήµτς Ο µε την ίδι διδικσί πρκύπτει ότι L L / δηλδή L < L. Σνεπώς κάθε πρτηρητής π κινείτι πράλληλ στη ράβδ µετρά µήκς µικρότερ κτά πράντ πό τ µήκς τής στ σύστηµ ως πρς τ πί είνι κίνητη (µήκς ηρεµίς). Πρτήρηση Αν πρτηρητής κινείτι κάθετ στη ράβδ τότε τ µήκς τής δεν λλάζει. Ενώ ν η ράβδς σχηµτίζει ωνί µε τν άξν, ως πρς τν πί κινείτι πρτηρητής τότε σστλή µήκς πρτηρείτι µόν στην ριζόντι σνιστώσ της ενώ η κάθετη πρµένει νλλίωτη. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εφρµή ιστηµόπλι µήκς 50 m πετάει ως πρς κίνητ πρτηρητή µε τχύτητ 0,5. Πι είνι τ µήκς τ διστηµπλί όπως τ ντιλµβάνετι κίνητς πρτηρητής; Λύση Λόω σστλής τ µήκς πρκύπτει: L L / L - (0,5) (50m) L 30m ηλδή κίνητς πρτηρητής βλέπει τ διστηµόπλι ν έχει µικρότερ µήκς. 3. Μετσχηµτισµός Τχτήτων κι Επιτχύνσεων Loent Έστω ότι έν σωµτίδι κινείτι µε τχύτητ π έχει σνιστώσες (,, ) ως πρς έν κίνητ σύστηµ νφράς O, ενώ ως πρς κινύµεν σύστηµ Ο π κινείτι µε τχύτητ ˆ ως πρς τ O έχει σνιστώσες,, ).Οι σχέσεις π σνδέν d (d ) d d ( τις σνιστώσες της τχύτητς στ δ σστήµτ είνι σύµφων µε τς µετσχηµτισµύς Loent: d (-7) - d d d d d (-8) - d d d d d (-9) - ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ Οι σχέσεις (-7), (-8) κι (-9) πτελύν τς µετσχηµτισµύς τχτήτων Loent. Γι τν πλισµό των σνιστωσών της τχύτητς τ σωµτιδί στ Ο σύστηµ σνρτήσει των ντίστιχων σνιστωσών στ κινύµεν σύστηµ Ο (ντίστρφι µετσχηµτισµί τχτήτων Loent) στις πρπάνω ντικθιστάτι τ µε κι ε- νλλάσσντι τ τνύµεν κι άτν µεέθη. Επµένως: , κι (-0) Αν τώρ (,, ) είνι ι σνιστώσες της επιτάχνσης τ σωµτιδί στ σύστηµ O κι ),, ( στ κινύµεν σύστηµ Ο τότε ι σχέσεις π σνδέν τις σνιστώσες της επιτάχνσης στ δ σστήµτ είνι: ( ) d d d 7 (-) Αλλά: d ) ( d d + κι d δηλδή Άρ η (-) ράφετι: 3 3 (-)

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ d d (8) d - / + (-3) Οµίως µε την πρπάνω πρκύπτει: / + (-4) Οι σχέσεις (-), (-3) κι (-4) πτελύν τς µετσχηµτισµύς επιτχύνσεων Loent. Εφρµή Ένς πρτηρητής κίνητς στη η βλέπει ένν πύρλ Α ν κινείτι µε τχύτητ 0,7 µε κτεύθνση πρς πύρλ Β πίς κινείτι µε τχύτητ 0,8 µε κτεύθνση πρς τν Α. Πι είνι η τχύτητ τ πρύλ Β µε την πί πρτηρητής πάνω στν πύρλ Α βλέπει ν τν πρσείζει; Λύση Θεωρώντς τν πύρλ Α ως τ κινύµεν σύστηµ νφράς, τ πί κινείτι µε τχύτητ 0,7 ως πρς τ κίνητ σύστηµ της Γης τότε η τχύτητ τ πρύλ Β στ κίνητ σύστηµ της Γης είνι -0,8. Σύµφων µε την εξίσωση (-7) η τχύτητ τ πρύλ Β ως πρς τν πύρλ Α είνι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ,8 0,7 - (0,7)( 0,8)/ 0,96 Εφρµή Έν σωµτίδι κινείτι µε τχύτητ 0,3ˆ + 0,4ŷ στ κίνητ σύστηµ τ ερστηρί O. Έν κινύµεν σύστηµ Ο έχει τχύτητ 0,5ˆ ως πρς τ O. Πρσδιρίστε τ µέτρ της τχύτητς τ σωµτιδί κι τη ωνί µετξύ της τχύτητάς τ κι τ άξν ι τ δ σστήµτ νφράς. Λύση Στ κίνητ σύστηµ τ ερστηρί O είνι: 0,3 κι 0,4 πότε : + (0,3) + (0,4) 0,5 κι Στ κινύµεν σύστηµ είνι: 0,4 - tanθ,33 θ tn (,33) θ 53 0,3 Ο σύµφων µε τς µετσχηµτισµύς τχτήτων Loent / 0,3 0,5 (0,5)(0,3) / 0, 0,85 0,4 / (0,5) /,5 Επµένως: 0,4 0,4 0,4 (- / ),5( (0,5)(0,3)/ ) 0, (0,4) + (0,4) 0,48 κι 0,4 - tn θ,7 θ tn (,7) θ 60 0,4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Σχετικιστική Ορµή, ύνµη κι Ενέρει Η σχετικιστική ρµή ενός σωµτιδί µάζς ηρεµίς m o κι τχύτητς είνι σύµφων µε την (-): m p m m (-5) / Πρτηρήσεις ) Γι / 0 (δηλδή <<) η (-5) δίνει ) Γι η (-5) δίνει p. p m, την κλσσική τιµή της ρµής. 3) Η σχετικιστική ρµή διτηρείτι στις κρύσεις µετξύ σωµτιδίων. Η σχετικιστική δύνµη F ενός σωµτιδί ισύτι µε τν ρθµό µετβλής της ρµής τ. ηλδή: dp d F (m) (-6) Σύµφων µε τ θεώρηµ έρ κινητικής ενέρεις η κινητική ενέρει ενός σωµτιδί ισύτι µε τ έρ π πιτείτι ι την επιτάχνσή τ πό την ηρεµί σε µι τελική τχύτητ. ηλδή: t Αλλά Κ 0 Fd. F dp / κι d πότε: dp Κ dp κι πό την εξίσωση (-5): 0 p 0 p m / p/m + (p/m ) Επµένως: / p p/m p Κ dp m + + (p/m ) m 0 o Αντικθιστώντς στην πρπάνω την ρµή p σνρτήσει της τχύτητς σύµφων µε την (-5) πρκύπτει τελικά: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Κ m m ()m (-7) / Ο όρς m στην εξίσωση (-7) είνι νεξάρτητς της τχύτητς κι κλείτι ενέρει ηρεµίς Ε τ σωµτιδί. ηλδή: Ε m (-8) Η (-8) πτελεί την σχέση ισδνµίς µάζς κι ενέρεις κι είνι η περίφηµη εξίσωση τ Einstein, σύµφων µε την πί επειδή τ είνι ένς πάρ πλύ µεάλς ριθµός, έν µικρό πσό µάζς ντιστιχεί σε έν µεάλ πσό ενέρεις. Η λική ενέρει τ σωµτιδί ισύτι µε τ άθρισµ της κινητικής τ ενέρεις κι της ενέρεις ηρεµίς τ. ηλδή : Ε Κ+ Ε ()m + m m (-9) Χρησιµπιώντς τις σχέσεις (-9) κι (-5) µπρεί ν εκφρστεί η λική ενέρει Ε σνρτήσει της ρµής p. Είνι: Ε (m p (5),(9) ) m ( m ) ( m ) 4 (m ) Ε p + m (-0) 4 Πρτηρήσεις ) Στην επίλση πρβληµάτων λληλεπίδρσης σωµτιδίων εφρµόζντι ι ρχές διτήρησης της σχετικιστικής ρµής κι της λικής σχετικιστικής ενέρεις. ) Αν (p, p, p ) είνι ι σνιστώσες της ρµής κι Ε η ενέρει ενός σωµτιδί ως πρς κίνητ σύστηµ νφράς Ο, ενώ ως πρς σύστηµ Ο π κινείτι µε τχύτητ ˆ ως πρς τ Ο είνι p,p,p ) κι Ε τότε ι σχέσεις π σνδέν τ µεέθη ( στ δ σστήµτ πδεικνύετι ότι είνι: p p Ε, p p, p p, E (Ε - p ) (-) Οι σχέσεις (-) πτελύν τς µετσχηµτισµύς της ρµής κι της ενέρεις. Γι µι εύκλη εξωή των σχέσεων (-) πρµµίστε ότι τές πρκύπτν πό τις σχέσεις µετσχηµτισµύ Loent τ χωρχρόν (-) µέσω των ντιστιχιών: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ p, p, p κι t E / Εφρµή Πι είνι η ρµή ενός σωµτιδί µάζς m κι τχύτητς 0,8 σνρτήσει της κλσσικής τιµής m ; Λύση Είνι:,67 / (0,8) / Άρ σύµφων µε τν ρισµό της σχετικιστικής ρµής (-5) είνι: Εφρµή p m,67 m Γι πι τχύτητ είνι η κινητική ενέρει ενός σωµτιδί ίση µε την ενέρει ηρεµίς τ; Λύση Αν Κ Ε m o τότε η λική ενέρει είνι: Ε Κ+Ε m + m Αλλά σύµφων µε την (-9): Ε m o πότε: m 4 / 4 0,5 0,75 0,87 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Σχετικιστικό Φινόµεν Dopple ι τ Φως Ο Einstein µε σκπό την εξήηση τ φωτηλεκτρικύ φινµέν πέθεσε την κµτσωµτιδική πόστση τ φωτός (δϊσµός φωτός) σύµφων µε την πί µι φωτεινή δέσµη είνι κύµ σχνότητς ν λλά η ενέρειά της διδίδετι στ χώρ κτά σµπκνω- µέν πκέτ π λέντι φωτόνι κι η ενέρει κάθε φωτνί είνι: όπ h η στθερά τ Plank. Ε hν (-) Επειδή τ φωτόνι κινείτι πάντ µε την τχύτητ τ φωτός έχει µάζ ηρεµίς ίση µε µηδέν (m o 0), πότε σύµφων µε την (-0) η ρµή τ είνι: S S ˆ Ε hν p (-3) Έστω µι κίνητη πηή φωτός S, η πί εκπέµπει φωτεινή δέσµη (φωτόνι) µε σχνότητ ν ως πρς την πηή S. Κάθε φωτόνι επίσης έχει ενέρει Ε hν κι ρµή p hν/ ως πρς την κίνητη πηή S. Σχήµ. Αν ένς πρτηρητής S κινείτι µε τχύτητ ˆ ως πρς την πηή S τότε δέχετι κάθε εκπεµπόµεν φωτόνι µε σχνότητ ν, ενέρει Ε h ν κι ρµή p hν /. Σύµφων µε τ µετσχηµτισµό της ενέρεις (-) πρκύπτει: Ε (Ε p hν ) hν hν - ν / ν ν ν (-4) + Αν πρτηρητής S κινείτι πρς την πηή S µε τχύτητ τότε η (-4) µε ντικτάστση τ µε δίνει: ν ν + (-5) Οι σχέσεις (-4) κι (-5) πτελύν τις εκφράσεις τ σχετικιστικύ φινµέν Dopple ι τ φως κι σκεκριµέν η (-4) ντιστιχεί σε πρτηρητή πµκρνό- µεν πό κίνητη πηή ενώ η (-5) ι πρτηρητή π πλησιάζει την πηή. Πρτηρείτι ότι ν πρτηρητής πµκρύνετι πό την πηή η σχνότητ τ φωτνί µειώνετι ενώ ν τός πρσείζει την πηή η σχνότητ τ φωτνί ξάνετι. Τ φινόµεν τό εκµετλλεύντι ι στρνόµι µε σκπό ν εκτιµήσν την τχύτητ των λξιών. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ