3. I. Mihoc, C. Fătu, Calculul probabilităţilor şi statistică matematică, Transilvania Press, Cluj-Napoca, 2003

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. I. Mihoc, C. Fătu, Calculul probabilităţilor şi statistică matematică, Transilvania Press, Cluj-Napoca, 2003"

Transcript

1 CURS STATISTICĂ CURS 1 Bibliografie: 1. P. Blaga, Calculul probabilităţilor şi statistică matematică, vol. 2, Curs şi Culegere de probleme, Litografiat Univ. Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca, P. Blaga, Statistică prin Matlab, Presa Universitară Clujeană, I. Mihoc, C. Fătu, Calculul probabilităţilor şi statistică matematică, Transilvania Press, Cluj-Napoca, R. Trîmbiţaş, Metode statistice, Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2000

2 1. Noţiuni introductive Statistica se ocupă cu descrierea şi analiza numerică a fenomenelor de masă, dezvăluind particularităţile lor de volum, structură, dinamică, precum şi legile care le guvernează. Statistica joacă un rol tot mai important în diverse domenii de activitate. O analiză statistică a datelor experimentale sau observaţionale necesită stabilirea originii şi naturii datelor considerate. (Lat. status=stat, stare de fapt)

3 Modele de probabilitate Elemente aleatoare într-o analiză statistică strânsă conexiune între probabilităţi şi statistică. 2 repetări a unei cercetări pot conduce la rezultate diferite. Cauza: experimentul nu se repetă în exact aceleaşi condiţii. Rezultate similare la repetarea experimentului în aceleaşi condiţii experimentul este deterministic. Natura deterministă a ştiinţei permite folosirea teoriei ştiinţifice pentru prezicerea unor rezultate în anumite condiţii date. Există experimente a căror rezultat variază in ciuda eforturilor de a păstra condiţiile experimentale constante, de ex.: aruncarea

4 zarului, aruncarea monezii, alegerea unei cărţi dintr-un pachet de cărţi de joc. Apar în toate domeniile de activitate, de ex.: seminţe aparent identice produc plate de înalţimi diferite, lungimea vieţii este diferită pentru persoane care trăiesc în condiţii similare, etc. Experimentele care nu sunt deterministe, care în condiţii identice nu produc acelaşi rezultat, se numesc experimente aleatoare. Probabilităţile şi statistica se ocupă cu analiza experimentelor aleatoare.

5 Exemplu. Aruncarea unui zar (Teoria probabilităţilor îşi are începuturile în studiul jocului de aruncare a zarurilor.) Aruncăm un zar pe o masă. Notăm cu X numărul de puncte ce apar pe faţa zarului după aruncare. Experimentul nu e deterministic deoarece X poate fi oricare dintre numerele 1,2,3,4,5,6 şi nu se poate prezice. Putem face orice efort să controlăm condiţiile experimentale prin aşezarea zarului în cupă în aceeaşi poziţie, prin scuturarea cupei de un număr constant, prin aruncarea în aceeaşi parte a mesei, etc. In ciuda eforturilor rezultatele rămân variabile şi neprevăzute. Deşi rezultatul unei repetări a unui experiment nu poate fi prevăzut, totuşi o succesiune de repetări coduce la o stabilitate care serveşte ca bază pentru preziceri destul de exacte.

6 Considerăm valorile lui X după 10 repetări: Repetarea X Considerăm evenimentul: Valoarea lui X este mai mică decât 3. Acest eveniment are loc la repetările 3, 4, 7, 10. Deci are loc la 4 repetări din 10. Frecvenţa relativă de apariţie este f = 4 10 = 0.4. Considerăm 20 de serii a câte 10 repetări, prima fiind cea de mai sus

7 Reprezentăm grafic aceste date: f(x<3) 0.5 f(x<3) Seria 20 de serii de 10 repetări Seria 20 de serii de 50 repetări Se observă că f(x < 3) nu depăşeşte 0.7. Experimentul sugerează că o valoare mai mare de 0.7 nu se obţine foarte des. Avem 0 < f(x < 3) < 0.7

8 Dacă se consideră 20 de serii a câte 50 de repetări se va obţine ca 0.2 < f(x < 3) < Deci, cu cât este mai mare seria de repetări cu atât frecvenţa este mai puţin variabilă şi mai uşor de prezis. Dacă se consideră un număr suficient de mare de repetări frecvenţa poate deveni aproape constantă. Frecvenţa relativă oscilează în jurul unei valori care este probabilitatea evenimentului.

9 Etapele cercetării statistice: Concepte de bază ale statisticii 1. Definirea obiectului studiat: conţine definirea unităţilor statistice, conceperea chestionarului, planificarea culegerii datelor. 2. Observarea statistică: culegerea, înregistrarea datelor. 3. Descrierea statistică: reprezentarea grafică a datelor statistice, sistematizarea acestora, calcularea indicatorilor numerici pentru punerea în evidenţă a unor proprietăţi şi pentru sugerarea unor ipoteze referitoare la legile care guvernează fenomenul cercetat.

10 4. Modelarea probabilistică: cercetarea fenomenului folosind ca instrument de lucru teoria probabilităţilor relativă la datele statistice obţinute. Definiţia 1 Numim colectivitate (populaţie) o mulţime C de elemente cercetată din punct de vedere al unei sau mai multor proprietăţi. Elementele componente se numesc indivizi sau unităţi statistice. Numărul elementelor colectivităţii se numeşte volumul colectivităţii. Definiţia 2 Numim caracteristică sau variabilă a colectivităţii C proprietatea supusă investigării statistice relativă la C. Când o caracteristică poate fi măsurată o numim caracteristică cantitativă sau numerică, iar dacă aceasta se exprimă printr-o însuşire o numim caracteristică calitativă.

11 Caracteristici cantitative: greutate, volum, concentraţie. Caracteristici calitative: profesiune, sex, culoarea ochilor, grupa sanguină. Observaţia 3 Din punct de vedere al teoriei probabilităţilor o caracteristică a unei populaţii C este o variabilă aleatoare X. Scopul principal al cercetării statistice este de a stabili legea de probabilitate pe care o urmează caracteristica X, utilizând observaţiile (datele statistice) relative la colectivitatea cercetată. Definiţia 4 O caracteristică X ce ia o mulţime numărabilă de valori se numeşte caracteristică de tip discret, iar dacă ia valori într-un interval se numeşte caracteristică de tip continuu.

12 Exemplul 5 C-mulţimea bolnavilor externaţi pe parcursul unei săptămâni; X-numărul zilelor de internare avute; Y-greutatea bolnavilor externaţi X,Y-caracteristici ale lui C X de tip discret (nr. finit de valori) Y de tip continuu (valori într-un interval, [45kg,145kg])

13 2. Culegerea, prezentarea şi prelucrarea datelor statistice Tehnici de culegere a datelor: 1. Observarea totală (recensământ): când toţi indivizii colectivităţii C sunt înregistraţi; 2. Observarea parţială (sondaj, selecţie): când, după criterii bine stabilite, sunt înregistraţi o parte dintre indivizii colectivităţii C, numită eşantion sau selecţie; 3. Observarea curentă: când înregistrarea indivizilor se face odată cu apariţia (producerea) lor;

14 4. Observarea perodică: când înregistrarea indivizilor se face la intervale de timp stabilite. 2.1 Tabele statistice Definiţia 6 Numim tabel statistic (nesistematizat) un tablou în care înregistrările sunt trecute în ordinea apariţiei lor. Definiţia 7 Numim tabel statistic (sistematizat) relativ la caracteristica X de tip discret, tabloul care conţine valorile distincte ale caracteristicii şi frecvenţele de apariţie a acestora. Considerăm caracteristica X de tip discret pentru care se obţin datele primare x 1,..., x N. Aceasta ia valorile distincte x i, i =

15 1,..., n. Tabelul statistic sistematizat este de forma: x f x 1 f 1 x 2. f 2. x n unde f i este frecvenţa absolută de apariţie a valorii x i în datele primare x k, k = 1,..., N. f n Are loc relaţia n i=1 f i = N. Fie caracteristica de tip continuu X, care ia valori în intervalul (a, b), descompus în intervale disjuncte prin punctele care satisfac

16 relaţiile: Avem (a 0, a 1 ) ( n a = a 0 < a 1 <... < a n = b. [a i 1, a i ) i=2 ) = (a, b) şi [a i 1, a i ) [a j 1, a j ) =. Definiţia 8 Intervalele disjuncte [a i 1, a i ), i = 1,..., n se numesc clase. Definiţia 9 Numim tabel statistic (sistematizat) relativ la caracteristica X de tip continuu, tabloul care conţine clasele caracteristicii şi frecvenţele de apariţie a acestor clase. Dacă datele primare ale caracteristicii continue X, care ia valori în intervalul (a, b), sunt x 1,..., x N atunci tabelul statistic sistematizat

17 este de forma: x f (a 0, a 1 ) f 1 [a 1, a 2 ) f 2.. [a n 1, a n ) f n sau x f x 1 f 1 x 2. f 2. x n f n unde f i este frecvenţa absolută de apariţie a clasei [a i 1, a i ) printre datele primare x k, k = 1,..., N, iar x i = a i 1+a i 2. Definiţia 10 Numim amplitudinea clasei, definită de intervalul [a i 1, a i ), lungimea acestui interval, adică d i = a i a i 1. Când amplitudinile claselor sunt egale sunt utilizate frecvent 2 reguli de stabilire a numărului lor: n = [ ] lg N regula lui Sturges

18 sau d = (x max x min ), unde x max = max{x 1,..., x N } şi x min = min{x 1,..., x N }. Pentru regula lui Sturges se obţine: d = b a şi a i = a + id, i = 0,..., n. n Când (a, b) este infinit atunci d = x max x min n şi a i = x min + id, i = 0,..., n. (Aceste formule au rolul de a da o primă informaţie relativă la numărul claselor.)

19 Exemplu. Se analizează un lot de 30 de becuri din punct de vede al caracteristii X ce reprezintă durata de viaţă în mii de ore. Datele statistice obţinute sunt: Scriem tabelul sistematizat al datelor statistice, considerând clase de amplitudini egale. Considerăm numărul claselor n = 5, a i = id, i = 0,...,5 cu d = x max x min n = = 0.62

20 Se consideră d = 0.7. Se obţine x f (0.8, 1.5) 3 [1.5, 2.2) 10 [2.2, 2.9) 11 [2.9, 3.6) 5 [3.6, 4.3) 1 sau x f

21 CURS Tabele statistice (continuare) Pentru caracteristica X de tip discret tabelul statistic sistematizat este de forma: x f x 1 f 1 x 2. f 2. x n f n unde f i este frecvenţa absolută de apariţie a valorii x i între datele primare x k, k = 1,..., N.

22 Pentru caracteristica X de tip continuu tabelul statistic sistematizat este de forma: x f (a 0, a 1 ) f 1 [a 1, a 2 ) f 2.. [a n 1, a n ) f n sau x f x 1 f 1 x 2. f 2. unde f i este frecvenţa absolută de apariţie a clasei [a i 1, a i ) printre datele primare x k, k = 1,..., N, iar x i = a i 1+a i 2. Definiţia 11 Numim frecvenţă relativă a clasei x i raportul p i = f i N. x n f n

23 Definiţia 12 Numim frecvenţe cumulate ascendente, respectiv frecvenţe cumulate descendente frecvenţele date de relaţiile F k = k i=1 unde F 0 = 0 şi F n = 0. f i, F k = n i=k+1 f i, k = 0,..., n, Pentru frecvenţele relative are loc relaţia n i=1 p i = 1, iar pentru cele cumulate au loc relaţiile F k + F k = N, F n = N şi F 0 = N.

24 Definiţia 13 Numim distribuţie statistică a caracteristii X tabloul de forma X ( xi f i ) i=1,...,n sau X ( xi p i ) i=1,...,n unde x i, i = 1,..., n sunt clasele considerate, iar f i şi p i, i = 1,..., n sunt frecvenţele absolute şi respectiv frecvenţele relative. Exemplul 14 Se analizează un lot de 30 de becuri din punct de vedere al caracteristii X ce reprezintă durata de viaţă în mii de ore. Tabelul sistematizat al datelor statistice, considerând 5

25 clase de amplitudini egale, este: x f (0.8, 1.5) 3 [1.5, 2.2) 10 [2.2, 2.9) 11 [2.9, 3.6) 5 [3.6, 4.3) 1 sau x f Distribuţia statistică a caracteristii X poate fi scrisă, fie cu ajutorul frecvenţelor absolute: X ( )

26 fie cu ajutorul frecvenţelor relative: ( X ). Definiţia 15 Fie colectivitatea C relativ la care sunt cercetate două caracteristici X şi Y. Numim tabel de contingenţă un tablou care conţine clasele caracteristicilor X şi respectiv Y, împreună cu frecvenţele absolute ale acestor clase. Dacă pentru caracteristicile X şi Y avem respectiv clasele date prin x i, i = 1,..., m şi y j, j = 1,..., n, iar datele primare sunt date prin perechile (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...,(x N, y N ), atunci tabelul de

27 contingenţă este de forma: X/Y y 1 y 2... y n x 1 f 11 f f 1n f 1 x 2 f 21 f f 2n. f 2. x m f m1 f m2... f mn f m f 1 f 2... f n f = N unde f ij este frecvenţa absolută de apariţie a clasei (x i, y j ) între

28 datele primare (x k, y k ), k = 1,..., N şi f j = f i = f = m i=1 n f ij, f ij, j=1 n f j = j=1 m i=1 j = 1,..., n i = 1,..., m f i = m n i=1 j=1 f ij = N. Observaţia 16 Când caracteristicile X şi Y sunt caracteristici cantitative şi între ele există o relaţie de dependenţă, tabelul de contingenţă se numeşte tabel de corelaţie. Exemplul 17 Un astfel de tabel de corelaţie este prezentat pentru datele statistice ce reprezintă 85 de copii de 10 ani cercetaţi

29 din punct de vedere al înălţimii X (în cm) şi al greutăţii (în kg): X/Y Reprezentări grafice Definiţia 18 Se numeşte diagramă prin batoane (bare) a distribuţiei statistice X de tip discret, reprezentarea grafică întrun sistem de axe rectangulare a segmentelor (batoanelor) date

30 prin {(x i, y) 0 y αf i }, i = 1,..., n, unde α > 0 este un factor de proporţionalitate, iar f i este frecvenţa absolută a valorii x i Definiţia 19 Se numeşte diagramă cumulativă (ascendentă) a unei distribuţii statistice X de tip discret, linia poligonală care uneşte punctele de coordonate (x 1, αf 0 ),(x 1, αf 1 ),(x 2, αf 1 )(x 2, αf 2 ),...,(x n, αf n )

31 unde F i este frecvenţa cumulată (ascendentă) ataşată valorii x i, iar α > 0 este un factor de proporţionalitate. Definiţia 20 Se numeşte histograma unei distribuţii statistice X de tip continuu, diagrama obţinută prin construirea de dreptunghiuri având drept baze clasele distribuţiei statistice şi înălţimile astfel considerate încât ariile dreptunghiurilor să fie proporţionale cu frecvenţele claselor

32 Observaţia 21 Dacă factorul de proporţionalitate este 1 N atunci se obţine histograma frecvenţelor relative. Observaţia 22 Histograma frecveţelor relative a distribuţiei statistice reprezintă o aproximare rudimentară a graficului densităţii de probabilitate a caracteristicii X. Definiţia 23 Numim poligonul frecvenţelor unei distribuţii statistice X de tip continuu, poligonul obţinut prin unirea punctelor de coordonate (x i, α i f i ), i = 1,..., n, unde α i este un factor de proporţionalitate, iar f i este frecvenţa clasei x i Poligonul frecventelor

33 Definiţia 24 Numim diagrame integrale (cumulative) ale frecvenţelor cumulate ascendente, respectiv descendente, relative la distribuţia statistică X de tip continuu, liniile poligonale obţinute prin unirea punctelor de coordonate (a k, F k ), k = 0,..., n, şi respectiv (a k, F k ), k = 0,..., n. 100 Diagrama ascendenta si Diagrama descendenta Definiţia 25 Numim nor statistic ataşat caracteristicilor X şi Y, punctele din plan obţinute prin reprezentarea grafică a datelor primare (x k, y k ), k = 1,..., N.

34 Parametrii distribuţiilor statistice Se consideră datele primare x k, k = 1,..., N relative la caracteristica X, pentru care avem distribuţia statistică X ( xi f i ) i=1,...,n Definiţia 26 Media (aritmetică) a distribuţiei statistice a carac-.

35 teristicii X este dată prin x a = 1 N N x k = 1 N n f k x k = n p k x k. Definiţia 27 Media geometică a distribuţiei statistice a caracteristicii pozitive X este dată prin x g = N x 1 x 2...x N = N x f 1 1 x f x f n n. Observaţia 28 In aplicaţii se lucrează mai uşor cu lg x g = 1 N N lg x k = 1 N n f k lg x k = n p k lg x k.

36 Definiţia 29 Media armonică a distribuţiei statistice a caracteristicii nenule X este dată prin x h = N N 1 x k = N n = f k x k 1 n. p k x k Lema 30 Fie x i > 0, i = 1,..., n. Are loc relaţia: n 1 x n x 1...x n x x n. (1) n 1 x n Demonstraţie. Fie f : (0, ) R, f(x) = ln x. Aceasta este concavă pe (0, ). Conform inegalităţii lui Jensen are loc ( ) x x n f f(x 1) f(x n ) = ln x ln x n = ln n x 1...x n, n n n

37 de unde rezultă n x1...x n x x n. n Pentru prima inegalitate se ia în a doua x i := 1, i = 1,..., n. x i Consecinţă. Din (1) rezultă că are loc relaţia între medii: x h x g x a. Definiţia 31 Se numeşte mediana distribuţiei statistice a caracteristii X, valoarea numerică m care împarte datele statistice, ordonate crescător, în două părţi egale.

38 Fie datele statistice primare: Atunci mediana va fi dată prin m = x (1) x (2)... x (N). x, dacă N = 2k 1, (k) x (k) +x (k+1) 2 dacă N = 2k. Când datele statistice sunt grupate se determină intervalul median [a j 1, a j ) astfel încât pentru frecvenţele cumulate F j 1 şi F j să fie satisfăcute inegalităţile F j 1 < N 2 < F j. Folosind apoi interpolarea liniară se ia ca mediană m = a j 1 + d j N 2 F j 1 f j,

39 unde d j este amplitudinea intervalului median. Semnificaţie: Se consideră punctele A(a j 1, F j 1 ) şi B(a j, F j ). Dreapta AB are ecuaţia: Tinând cont că x a j 1 a j a j 1 = y F j 1 F j F j 1. (2) a j a j 1 = d j şi F j F j 1 = f j ecuaţia (2) devine x = a j 1 + d j f j (y F j 1 ).

40 Mediana este abscisa punctului de ordonată N/2. Definiţia 32 Numim cuartile ale distribuţiei statistice a caracteristicii X, valorile numerice care împart datele statistice, ordonate crescător, în patru părţi egale: Q 1 (cuartila inferioară), Q 2 = m, Q 3 (cuartila superioară),. Când datele statistice sunt grupate se determină intervalul cuartilic inferior [a i 1, a i ) astfel încât să aibă loc: F i 1 < N 4 < F i, respectiv intervalul cuartilic superior [a k 1, a k ) astfel încât: F k 1 < 3N 4 < F k.

41 Folosind interpolarea liniară se consideră Q 1 = a i 1 + d i N 2 F i 1 f i, Q 3 = a k 1 + d k N 2 F k 1 f k. Observaţia 33 In mod analog se definesc decilele şi centilele. Definiţia 34 Se numeşte abatere cuartilă (interval intercuartilic) a distribuţiei statistice a caracteristicii X, diferenţa între cuartila superioară şi cuartila inferioară, adică Q 3 Q 1. Definiţia 35 Se numeşte variaţie intercuartilă: Q = (Q 3 m) + (m Q 1 ) 2 = Q 3 Q 1 2

42 şi abatere cuartilă relativă: Q r = Q 3 Q 1 m.

43 CURS Parametrii distribuţiilor statistice (continuare) Se consideră datele primare x k, k = 1,..., N relative la caracteristica X, pentru care avem distribuţia statistică X ( xi f i ) i=1,...,n Definiţia 36 Numim cuartile ale distribuţiei statistice a caracteristicii X, valorile numerice care împart datele statistice, ordonate crescător, în patru părţi egale: Q 1 (cuartila inferioară), Q 2 = m, Q 3 (cuartila superioară),..

44 Când datele statistice sunt grupate se determină intervalul cuartilic inferior [a i 1, a i ) astfel încât să aibă loc: F i 1 < N 4 < F i, respectiv intervalul cuartilic superior [a k 1, a k ) astfel încât: F k 1 < 3N 4 < F k. Folosind interpolarea liniară se consideră Q 1 = a i 1 + d i N 2 F i 1 f i, Q 3 = a k 1 + d k N 2 F k 1 f k. Observaţia 37 In mod analog se definesc decilele şi centilele.

45 Definiţia 38 Se numeşte abatere cuartilă (interval intercuartilic) a distribuţiei statistice a caracteristicii X, diferenţa între cuartila superioară şi cuartila inferioară, adică Q 3 Q 1. Definiţia 39 Se numeşte variaţie intercuartilă: Q = (Q 3 m) + (m Q 1 ) 2 şi abatere cuartilă relativă: Q r = Q 3 Q 1 m. = Q 3 Q 1 2 Definiţia 40 Numim mod al distribuţiei statistice a caracteristicii X orice punct mo de maxim local al distribuţiei statistice. Când distribuţia statistică are un singur mod spunem că avem distribuţie statistică unimodală. Dacă există două sau mai

46 multe moduri se numeşte distribuţie statistică bimodală, respectiv multimodală. Când datele statistice sunt grupate, pentru determinarea modului se determină intervalul modal, adică intervalul cu frecvenţa maximă locală. Dacă intervalul modal este [a k 1, a k ), atunci se consideră f mo = a k 1 + d k k, (3) f k f k+1 unde d k = a k a k 1, f k = f k f k 1, f k+1 = f k+1 f k. Formula se obţine ca intersecţie a interpolantului liniar al punctelor (a k 1, f k 1 ) şi (a k, f k ) cu interpolantul liniar al punctelor (a k 1, f k ) şi (a k, f k+1 ).

47 Interpolatul liniar al punctelor (a k 1, f k 1 ) şi (a k, f k ) este: y f k 1 f k f k 1 = x a k 1 a k a k 1 y = f k 1 + f k d k (x a k 1 ) şi interpolantul liniar al punctelor (a k 1, f k ) şi (a k, f k+1 ) este: y f k f k+1 f k = x a k 1 a k a k 1 y = f k + f k+1 d k (x a k 1 ). Modul este abscisa punctului de intersecţie, adică f k 1 + f k d k (mo a k 1 ) = f k + f k+1 d k (mo a k 1 ) de unde rezultă (3). (mo a k 1 ) f k f k+1 d k = f k,

48 Exemplul 41 Tabelul sistematizat pentru caracteristica X de tip discret: x f Modurile sunt: mo 1 = x 1 = 1.5 şi mo 2 = x 3 = 2.9.

49 Tabelul sistematizat pentru caracteristica X de tip continuu: x f (0.8, 1.5) 3 [1.5, 2.2) 10 [2.2, 2.9) 11 [2.9, 3.6) 5 [3.6, 4.3) 1 Intervalul modal este:[a 2, a 3 ] = [2.2,2.9). Avem d 3 = a 3 a 2 = 0.7, f 3 = f 3 f 2 = 1, f 4 = f 4 f 3 = 6. Rezultă că modul este: f mo = a k 1 + d k k = f k f k = 3.

50 Definiţia 42 Numim moment de ordin k al distribuţiei statistice a caracteristicii X, valoarea numerică ν k = 1 N N i=1 x k i = 1 N n i=1 f i x k i = n i=1 p i x k i. Parametrii distribuţiilor statistice prezentaţi măsoară tendinţa. In continuare sunt daţi parametrii care măsoară împrăştierea (dispersarea) datelor statistice. Definiţia 43 Se numeşte amplitudine (interval de variaţie) a distribuţiei statistice a caracteristicii X, valoarea numerică ω = max{x 1, x 2,..., x N } min{x 1, x 2,..., x N } = x max x min.

51 Observaţia 44 Dacă abaterea cuartilă Q 3 Q 1 < ω 2 atunci distribuţia se consideră intens concentrată, iar în caz contrar, intens dispersată. Definiţia 45 Numim abatere medie (absolută) a distribuţiei statistice X, valoarea numerică δ = 1 N unde x = x a. N i=1 x i x = 1 N n i=1 f i x i x = n i=1 p i x i x, Definiţia 46 Numim moment centrat de ordin k al distribuţiei statistice X, valoarea numerică µ k = 1 N N i=1(x i x)k = 1 N n i=1 f i (x i x) k = n i=1 p i (x i x) k.

52 Definiţia 47 Momentul centrat de ordinul 2 al distribuţiei statistice X se numeşte dispersie şi se notează cu σ 2 = µ 2, iar σ = µ 2 se numeşte abatere medie pătratică sau abatere standard. Alte formule de calcul pentru dispersie: σ 2 = 1 N σ 2 = 1 N n i=1 f i x 2 i 1 N n i=1 n i=1 f i x i 2 f i (x i a) 2 ( x a) 2, a R (Formula lui König). Definiţia 48 Numim coeficient de variaţie al distribuţiei statistice X, raportul v = σ x,

53 care se exprimă în procente. Definiţia 49 Se numesc coeficienţii lui Pearson relativi la distribuţia statistică X, rapoartele: s = β 1 = µ2 3 µ 3 2 β 2 = µ 4 µ 2 2 x mo σ Coeficientul de asimetrie Skewness Kurtosis.

54 Definiţia 50 Se numesc coeficienţii lui Fisher relativi la distribuţia statistică X, valorile numerice: γ 1 = β 1 = µ 3 σ 3 γ 2 = β 2 3 = µ 4 µ 2 2 Asimetria 3 = µ 4 σ 4 3 Excesul. Pentru legea normală avem: 1 µ 3 = R (x x)3 e (x m)2 2σ 2 dx = 1 2πσ 2πσ R y3 e y 2 2σ 2 dy = 0 = γ 1 = 0 Considerând I(r) := 1 2π R x2r e x2 2 dx = (2r 1)!!

55 se obţine µ 4 = 1 (x 2πσ R x)4 e (x m) 2 2σ 2 dx = σ4 2π R y4 e y2 2 dy = σ 4 I(2) = 3σ 4 = γ 2 = 0 Observaţie. Coeficienţii lui Fisher (asimetria şi excesul) pentru legea normală sunt 0. Proprietăţi. 1) Suma algebrică a abaterilor valorilor caracteristicii X de la valoarea medie a acesteia este nulă. N (x n i x) = f i (x i x) = i=1 i=1 n i=1 f i x i N x = n i=1 f i x i N 1 N n i=1 f i x i = 0

56 2) Momentul centrat µ k se poate exprima în funcţie de momentele ν j, j = 0,..., k. µ k = 1 N = k j=0 N i=1(x i x)k = 1 N ( 1) j C j k xj N i=1 N k i=1 j=0 1 N (x i )k j = ( 1) j C j k (x i )k j x j k j=0 ( 1) j C j k xj ν k j. 3) Fie caracteristicile X şi Y. Dacă Y = ax + b atunci β 2 şi γ 2 coincid, pentru X şi Y. β 2 (Y ) = µ 4(Y ) µ 2 2 (Y ) = a4 µ 4 (X) (a 2 σ 2 ) 2 = β 2 (X) γ 2 = β 2 3. (Se verifică uşor că µ k (Y ) = a k µ k (X).)

57 4) Mediana este mai stabilă decât media în raport cu fluctuaţiile valorilor caracteristicii X. De exemplu, mediana nu se modifică prin înlăturarea valorilor extreme (x min, x max ) ale şirului valorilor caracteristicii X.

58 CURS Corelaţie şi regresie Corelaţie = legatura care există între o caracteristică dependentă şi una sau mai multe caracteristici independente. Regresia = metoda prin care se stabileşte această legătură Parametrii distribuţiilor statistice bidimensionale Fie caracteristicile cantitative X şi Y relative la colectivitatea C. Datele statistice primare sunt (x k, y k ), k = 1,..., N. După grupare

59 se reprezintă în tabelul de corelaţie: X/Y y 1 y 2... y n x 1 f 11 f f 1n f 1 x 2 f 21 f f 2n. f 2. x m f m1 f m2... f mn f m f 1 f 2... f n f = N unde f ij este frecvenţa absolută de apariţie a clasei (x i, y j ) între datele primare (x k, y k ), k = 1,..., N. Definiţia 51 Numim moment de ordinul (k 1, k 2 ) al distribuţiei

60 statistice a caracteristicii bidimensionale (X, Y ), valoarea numerică ν k1,k 2 = 1 N = N i=1 m n i=1 j=1 x k 1 i y k 2 i = 1 N p ij x k 1 i y k 2 j, m n i=1 j=1 f ij x k 1 i y k 2 j unde p ij = f ij N este frecvenţa relativă a clasei (x i, y j ).

61 Definiţia 52 Numim moment centrat de ordinul (k 1, k 2 ) al distribuţiei statistice a caracteristicii bidimensionale (X, Y ), valoarea numerică µ k1,k 2 = 1 N unde = m N i=1(x i x)k 1(y i ȳ)k 2 = 1 N n i=1 j=1 x = ν 10 = 1 N p ij (x i x) k 1(y j ȳ) k 2, m m n i=1 j=1 i=1 f i x i, ȳ = ν 01 = 1 N f ij (x i x) k 1(y j ȳ) k 2 n j=1 f j y j.

62 Dispersiile pentru distribuţiile statistice ale caracteristicilor X şi Y sunt date de: σ 2 X = µ 20 = 1 N m i=1 f i (x i x) 2, σ 2 Y = µ 02 = 1 N n j=1 f j (y j ȳ) 2. Definiţia 53 Numim coeficient de corelaţie (al lui Pearson) al distribuţiei statistice bidimensionale (X, Y ), raportul r = µ 11 = ν 11 xȳ. µ20 µ02 σ X σ Y Observaţia 54 1) Are loc r 1. 2) Dacă r = 1 atunci a 0, b R astfel încât Y = ax + b, şi reciproc.

63 3) Dacă r = 0 atunci cele 2 caracteristici sunt necorelate. 4) Dacă caracteristica bidimensională (X, Y ) urmează legea normală bidimensională, atunci r = 0 implică faptul că cele două caracteristici sunt independente. 5) Folosind datele statistice negrupate formula de calcul pentru coeficientul de corelaţie este: N ( x i x ) ( y i y) r = N i=1 ( x i x ) 2 N ( y i y ) 2 i=1 i=1 Definiţia 55 Se numeşte valoare medie condiţionată a distribuţiei statistice a caracteristicii Y în raport cu X = x i, valoarea nu-

64 merică y i = y(x i ) = 1 f i n j=1 f ij y j, i = 1,..., m, şi respectiv valoare medie condiţionată a distribuţiei statistice a caracteristicii X în raport cu Y = y j, valoarea numerică x j = x(y j ) = 1 f j m i=1 f ij x i, j = 1,..., n. Definiţia 56 Se numeşte dispersie condiţionată a distribuţiei statistice a caracteristicii Y în raport cu X = x i, valoarea numerică σ 2 Y x i = 1 f i n j=1 f ij (y j y i ) 2, i = 1,..., m,

65 şi respectiv dispersie condiţionată a distribuţiei statistice a caracteristicii X în raport cu Y = y j, valoarea numerică σ 2 X y j = 1 f j m i=1 f ij (x i x j ) 2, j = 1,..., n. Definiţia 57 Se numeşte dispersie condiţionată a distribuţiei statistice a lui Y în raport cu distribuţia statistică a lui X, valoarea numerică σ 2 Y X = 1 N m i=1 f i σ 2 Y x i = m i=1 p i σ 2 Y x i, şi respectiv dispersie condiţionată a distribuţiei statistice a lui X în raport cu distribuţia statistică a lui Y, valoarea numerică σ 2 X Y = 1 N n j=1 f j σ 2 X y j = n j=1 p j σ 2 X y j,

66 unde p i = f i N este frecvenţa relativă a clasei x i, iar p j = f j N este frecvenţa relativă a clasei y j. Dispersiile condiţionate satisfac relaţiile σ 2 Y = σ2 Y X + σ2 Y X, σ2 X = σ2 X Y + σ2 X Y, unde σ 2 Y X = 1 N m i=1 f i (y i y) 2 şi σ 2 X Y = 1 N sunt dispersiile valorilor medii condiţionate. n j=1 f j (x j x) 2, Definiţia 58 Numim raport de corelaţie al distribuţiei statistice a caracteristicii Y faţă de distribuţia statistică a lui X, val-

67 oarea numerică η Y X = 1 σ2 Y X σ 2 Y = σ2 Y X σ 2 Y, analog avem η X Y = 1 σ2 X Y σ 2 X = σ2 X Y σ 2 X. Observaţia 59 1) η Y X = 0 = σ 2 Y X = 0 = y = y i, i = 1,..., m. 2) η Y X = 1 = σ 2 Y X = 0 = σ2 Y x i = 0, i = 1,..., m, adică valorile caracteristicii Y sunt aceleaşi.

68 Coeficientul lui Spearman Considerăm datele primare (x i, y i ), i = 1,..., N. Fie (u k, v k ), k = 1,.., N rangurile datelor statistice primare obţinute printr-o ordonare crescătoare după prima, respectiv a doua componentă. Definiţia 60 Se numeşte coeficient de corelaţie al rangurilor sau coeficientul lui Spearman, valoarea numerică s = r(u, V ), unde U şi V sunt caracteristicile care definesc rangurile datelor statistice pentru X şi Y. Teorema 61 Dacă notăm d k = u k v k, k = 1,..., N diferenţa dintre rangurile aceluiaşi individ atunci s = 1 6 N(N 2 1) N d 2 k.

69 Demonstraţie. Prin definiţie se obţine s = r(u, V ) = Avem µ 11 µ20 µ02 = ū = v = 1 N 1 N N 1 N N (u k ū)(v k v) (u k ū) 2 1 N N N + 1 ( N) =. 2 (v k v) 2.

70 şi α := = N N (u k ū) 2 = k 2 2 N N N N(N + 1)(2N + 1) = 6 = N(N2 1). 12 Analog, N ( k N k + ( N N ) 2 ) 2 N N(N + 1) 2 (v k v) 2 = N(N2 1) (N + 1)2 + N 4

71 Pentru numărător avem d 2 k = (u k v k ) 2 = (u k ū + v v k ) 2 = (u k ū) 2 + ( v v k ) 2 2(u k ū)( v v k ). Insumând se obţine N de unde rezultă că d 2 k = α + α 2 N N In final se obţine (u k ū)(v k v) = α 1 2 (u k ū)(v k v), N d 2 k. s = N α 1 2 d 2 k = α α 2N(N 2 1) N d 2 k.

72 Proprietatea 62 1) Coeficientul lui Spearman verifică relaţiile 1 s 1. 2) s = 1 când cele 2 clasamente pentru caracteristicile X şi Y coincid. 3) s = 1 când cele 2 clasamente pentru caracteristicile X şi Y sunt inverse unul celuilalt ((1, N),(2, N 1),...,(N,1)). 4) s = 0 când caracteristicile X şi Y sunt independente. 5) Când există două sau mai multe date statistice primare care au aceeaşi valoare, atunci rangurile acestora se consideră toate

73 egale cu media aritmetică a rangurilor pe care le ocupă aceste date în ordonarea crescătoare. Coeficientul lui Kendall Definiţia 63 Se numeşte coeficientul lui Kendall relativ la distribuţia statistică a caracteristicii bidimensionale (X, Y ), raportul unde t = N i,j=1 i<j k = 2 t N(N 1), sign{(x j x i )(y j y i )}.

74 Proprietatea 64 1) Coeficientul lui Kendall satisface relaţiile 1 k 1. 2) Pentru k = 1 cele 2 clasamente pentru caracteristicile X şi Y sunt indentice. 3) Pentru k = 1 cele 2 clasamente pentru caracteristicile X şi Y sunt inverse unul celuilalt. 4) Pentru k = 0 caracteristicile X şi Y sunt independente. 5) Când în cele două clasamente sunt valori egale se înlocuiesc toate rangurile pentru valorile egale prin media aritmetică a rangurilor pe care le ocupă în ordonare.

75 Pentru calculul rapid al lui k se poate proceda după cum urmează. Se ordonează datele primare ( x k, y k), k = 1, N, în mod crescător după prima componentă: ( x ik, y i k ), k = 1, N, cu x i1 x i 2 x i N. Se calculează apoi numărul t = obţinându-se astfel k. N u,v=1 u<v sign ( y i v y i u ), Formula lui Daniels Coeficientul r de corelaţie (al lui Pearson), coeficientul s al lui Spearman şi coeficientul k al lui Kendall se pot exprima prin

76 formula unică D = N N a ij b ij i=1 j=1 N N a 2 N N ij b 2 ij i=1 j=1 i=1 j=1 Dacă a ij = x i x j, b ij = y i y j, atunci D = r. Dacă a ij = u i u j, b ij = v i v j, atunci D = s. Dacă a ij = sign ( x i x j), bij = sign ( y i y j), atunci D = k.

77 CURS Curbe de regresie. Regresie liniară Definiţia 65 Curba de ecuaţie y = f(x) pe care se situează punctele de coordonate (x i, ȳ i ), i = 1,..., m se numeşte curba de regresie a lui Y în raport cu X, iar curba de ecuaţie x = f(y) pe care se situează punctele de coordonate ( x j, y j ), j = 1,..., n se numeşte curba de regresie a lui X în raport cu Y. y=f(x) y y i y j x i x x j x=f(y)

78 Determinarea curbelor de regresie Determinarea ecuaţiilor curbelor de regresie se face prin metoda celor mai mici pătrate. Presupunem că prin reprezentarea punctelor (x i, y i ), i = 1, m, curba de regresie a lui Y în raport cu X este de forma y = y (x) = f (x; a 1, a 2,..., a s ). Se determină parametrii a k, k = 1, s, astfel încât S (a 1, a 2,..., a s ) = să fie minimă. = ( N i=1 m y i y ( x i n i=1 j=1 ) ) 2 = m n i=1 j=1 f ij (y j y (x i ) f ij (y j f (x i ; a 1, a 2,..., a s ) ) 2 ) 2

79 Punctul de minim (a 1, a 2,..., a s ) al funcţiei S se obţine prin rezolvarea sistemului normal de ecuaţii, rezultat din ) S m n f (xi ; a = 2 f ij (y j f (x i ; a 1, a 2,..., a 1, a 2,..., a s ) s ) = 0, a k a k i=1 j=1 pentru k = 1, s. Ecuaţia curbei de regresie va fi y = f (x; a 1, a 2,..., a s ). La fel se determină şi ecuaţia curbei de regresie a lui X în raport cu Y. Drepte de regresie Cazul liniar când ecuaţia curbei de regresie este y = y (x) = ax+b. Ecuaţiile dreptelor de regresie a lui Y în raport cu X şi, respectiv,

80 a lui X în raport cu Y sunt: şi y y = r σ Y σ X (x x) x x = r σ X σ Y (y y). Coeficientul unghiular al dreptei de regresie a lui Y în raport cu X, notat cu a Y X = r σ Y σ X, se numeşte coeficientul de regresie al lui Y în raport cu X şi a X Y = r σ X σ Y se numeşte coeficientul de regresie al lui X în raport cu Y.

81 Avem r = a Y X a X Y şi sign ( a X Y ) = sign ( ay X ). Unghiul α format de cele două drepte de regresie este dat prin relaţia tg α = 1 r2 σ X σ Y r 2 σ 2 X + σ2 Y Folosind această relaţie se pot trage următoarele concluzii: Dacă r = 1 atunci α = 0, deci dreptele de regresie se confundă, cu specificaţia că pentru r = 1 dreptele au panta

82 (coeficientul unghiular) negativă, iar pentru r = 1 panta este pozitivă. Dacă X şi Y sunt independente atunci r = 0, deci α = π 2 (dreptele de regresie sunt perpendiculare). Tipuri de curbe de regresie care pot fi liniarizate sunt: 1. y = ab x (exponenţială), care prin logaritmare se liniarizează log y = log a + x log b, luând z = log y, A = log a, B = log b = z = A + Bx 2. y = x a +b (hiperbolică), care se liniarizează dacă se notează z = 1 x

83 3. 1 y = x a + b sau y = a +b, 1 care se liniarizează dacă se notează u = 1 x, v = 1 y x 4. y = alog x + b (logaritmică), care se liniarizează dacă se notează z = log x 5. y = be ax (exponenţială), care prin logaritmare se liniarizează ln y = ln b + ax, luând z = ln y 6. y = be a x, care prin logaritmare se liniarizează ln y = ln b + a x, luând u = 1 x, v = ln y 7. y = bx a, care prin logaritmare se liniarizează, log y = log b + alog x, luând u = log x, v = log y

84 8. 1 y = ae x + b sau y = 1 ae x,care se liniarizează dacă se +b fac notaţiile u = e x, v = 1 y Curbe de regresie ce nu pot fi liniarizate: 1. y = a 0 + a 1 x + + a n x n, n 2 (polinomială), 2. y = ax b + clog x, 3. y = ax b e cx, 4. y = a+bx+ce x. (Ultimele trei se pot aduce la forma polinomială.)

85 Capitolul 3. TEORIA SELECŢIEI Definiţia 66 Se numeşte eşantion (selecţie, sondaj) relativ la colectivitatea C o submulţime de indivizi E a lui C, care urmează să fie cercetaţi din punct de vedere al uneia sau mai multor caracteristici. Numărul indivizilor din eşantionul E se numeşte volumul eşantionului. Modurile de obţinere a eşantionului E ne conduc la metode nealeatoare şi respectiv metode aleatoare de selecţie. Metodele nealeatoare: selecţia sistematică, când indivizii care intră în eşantion sunt consideraţi după o anumită regulă, de exemplu din 10 în 10

86 selecţie tipică, când, cunoscându-se informaţii anterioare referitoare la colectivitate, sunt consideraţi indivizi cu valori medii apropiate de valoarea medie a întregii colectivităţi selecţie stratificată, când colectivitatea este clasificată (stratificată) după anumite criterii, cunoscându-se proporţia indivizilor pentru fiecare strat. Eşantionul se ia astfel încât să fie respectate aceste proporţii pentru fiecare strat Metodele aleatoare fiecare individ al colectivităţii C poate să intre în eşantion cu aceeaşi probabilitate (selecţie cu probabilităţi egale) sau cu probabilităţi diferite.

87 Metode aleatoare de selecţie sunt: repetate (bernoulliene), când individul ce intră în eşantion, după ce a fost cercetat, este reintrodus în colectivitate nerepetate, când individul ce intră în eşantion, după ce a fost cercetat, nu este reintrodus în colectivitate Observaţia 67 Dacă volumul colectivităţii este mult mai mare decât volumul eşantionului, atunci o selecţie nerepetată poate fi considerată ca fiind de tip repetat. În cele ce urmează vom considera că avem de fiecare dată o selecţie repetată. Fie colectivitatea C cercetată din punct de vedere al caracteristicii X.

88 Definiţia 68 Se numesc date de selecţie relative la caracteristica X datele statistice (observate) x 1, x 2,..., x n privind indivizii care intră în eşantion. Definiţia 69 Se numesc variabile de selecţie variabilele aleatoare X 1, X 2,..., X n, care iau ca valori datele de selecţie. În cazul unei selecţii repetate sunt variabile aleatoare independente, identic repartizate cu X FUNCŢII DE SELECŢIE Se numeşte funcţie de selecţie sau statistică variabila aleatoare Z n = h n (X 1, X 2,..., X n ),

89 unde h n : R n R este o funcţie măsurabilă, iar z n = h n (x 1, x 2,..., x n ) se numeşte valoarea funcţiei de selecţie. Definiţia 70 Se numeşte medie de selecţie funcţia de selecţie X = 1 n n X k, iar x = 1 n se numeşte valoarea mediei de selecţie. n x k Proprietatea 71 Fie caracteristica X pentru care există valoarea medie m = M (X) şi dispersia σ 2 = D 2 (X), atunci M ( X ) = m şi D 2 ( X ) = 1 n σ2.

90 Demonstraţie. Folosind proprietăţile valorii medii şi ale dispersiei şi având în vedere că selecţia este repetată avem succesiv respectiv M ( X ) = 1 n n M (X k ) = 1 n n M (X) = 1 n n m = m, D 2 ( X ) = 1 n n 2 D 2 (X k ) = 1 n n 2 D 2 (X) = 1 n 2n σ2 = 1 n σ2. Observaţia 72 In cazul în care caracteristica X urmează legea normală N (m, σ), atunci X, fiind o combinaţie liniară de variabile aleatoare independente ce urmează fiecare legea normală,

91 va( urma de asemenea legea normală. X va urma legea normală N m, σ n ). Proprietatea 73 Fie caracteristica X pentru care există valoarea medie m = M (X) şi dispersia σ 2 = D 2 (X), atunci statistica Z n = X m σ n converge în repartiţie la legea normală N (0,1), când n. (Convergenţa în repartiţie: Sirul de variabile aleatoare (X n ) n N converge în repartiţie la variabila aleatoare X dacă lim n F n (x) = F(x).)

92 Definiţia 74 Se numeşte moment de selecţie de ordin k funcţia de selecţie n ν k = 1 Xi k n, iar ν k = 1 x k i i=1 n, i=1 se numeşte valoarea momentului de selecţie de ordin k. n Se observă că ν 1 = X. Proprietatea 75 Fie caracteristica X pentru care există momentul teoretic ν 2k = M ( X 2k) atunci M ( ν k ) = ν k şi D 2 ( ν k ) = 1 n ( ν2k ν 2 k ).

93 Demonstraţie. Deoarece selecţia este repetată putem scrie succesiv şi respectiv M ( ν k ) = 1 n n i=1 M ( X k i D 2 ( ν k ) = 1 n 2 n i=1 ) = 1 n D 2 ( X k i = 1 n 2n ( ν 2k ν 2 k n i=1 M ( X k) = 1 n nν k = ν k ) = 1 ) = 1 n 2 n n i=1 ( ν2k ν 2 k D 2 ( X k) ).

94 CURS FUNCŢII DE SELECŢIE (continuare) Definiţia 76 Se numeşte moment centrat de selecţie de ordin k funcţia de selecţie µ k = 1 n n i=1 ( Xi X ) k, iar µk = 1 n n i=1 (x i x) k, se numeşte valoarea momentului centrat de selecţie de ordin k. Se observă că µ 1 = 0 şi µ 2 = ν 2 ν 2 1. Proprietatea 77 Fie caracteristica X pentru care există momentul teoretic ν 4, atunci pentru momentul centrat de ordinul

95 doi avem şi unde σ 2 = D 2 (X). M ( µ 2 ) = n 1 n σ2 D 2 ( µ 2 ) = n 1 n 3 [(n 1) µ 4 (n 3) σ 4 ], Definiţia 78 Se numeşte dispersie de selecţie funcţia de selecţie iar valoarea numerică σ 2 = 1 n 1 σ 2 = 1 n 1 n n ( Xk X ) 2, (x k x) 2,

96 se numeşte valoarea dispersiei de selecţie. Observaţia 79 Între momentul centrat de selecţie de ordinul doi şi dispersia de selecţie există relaţia ca urmare, avem σ 2 = n n 1 µ 2, M ( σ 2) = n n 1 M ( µ 2) = n n 1 n 1 n µ 2 = µ 2 = σ 2, D 2 ( [ σ 2) = n2 (n 1) 2 (n 1)(n 3) (n 1) 2D2 ( µ 2 ) = n 3 µ 4 n 3 µ 2 2 [ ] 1 = (n 1) µ 4 (n 3) µ 2 2. n(n 1) ]

97 Proprietatea 80 Fie caracteristica X pentru care există momentul centrat teoretic [( ) k ] µ k = M X M (X), atunci avem şi M ( µ k ) = µ k + O ( ) 1 D 2 ( µ k ) = µ 2k 2kµ k 1 µ k+1 µ 2 k + k2 µ k µ 2 k 1 n n + O ( ) 1 n 2 Fie caracteristica bidimensională (X, Y ) şi o selecţie repetată de volum n, cu datele de selecţie (x k, y k ), k = 1, n şi respectiv variabilele de selecţie (X k, Y k ), k = 1, n.

98 Definiţia 81 Se numeşte coeficient de corelaţie de selecţie funcţia de selecţie ( Xi X ) ( Y i Y ) n r = i=1 n ( Xi X ) 2 n ( Yi Y ) 2, iar valoarea numerică r = i=1 n i=1 n i=1 i=1 (x i x)(y i y ) (x i x) 2 n i=1 (y i y ) 2, se numeşte valoarea coeficientului de corelaţie de selecţie. Lema 82 (Fisher) Dacă variabilele aleatoare X 1, X 2,..., X n sunt independente, fiecare urmând legea normală N (0, 1) şi dacă se

99 consideră matricea ortonormată A = ( a ij, atunci variabilele )i,j=1,n aleatoare Y i = n a ik X k, i = 1, n, sunt independente, fiecare urmând legea normală N (0,1). Obs. Matricea A este ortonormată = produsul scalar a două linii distincte este 0, iar produsul scalar al unei linii cu ea însăşi este 1. Proprietatea 83 Fie caracteristica X ce urmează legea normală N (0,1) şi variabilele de selecţie X 1, X 2,..., X n ce corespund unei

100 selecţii repetate de volum n, atunci statisticile U n = n X = 1 n n V n = n ( Xk X ) 2, X k, sunt variabile aleatoare independente ce urmează legea normală N (0,1) şi respectiv legea χ 2 cu n 1 grade de libertate. Proprietatea 84 Fie caracteristica X ce urmează legea normală N (m, σ) şi variabilele de selecţie X 1, X 2,..., X n ce corespund

101 unei selecţii repetate de volum n, atunci statisticile U n = X m σ, n V n = 1 σ 2 n ( Xk X ) 2, sunt variabile aleatoare independente ce urmează legea normală N (0,1) şi respectiv legea χ 2 cu n 1 grade de libertate. Demonstraţie. Se consideră variabilele aleatoare Z k = X k m σ, k = 1, n, care sunt variabile aleatoare independente, fiecare urmând legea normală N (0, 1). Se aplică Proprietatea 83 pentru variabilele aleatoare Z k, k = 1, n. Într-adevăr avem 1 n n Z k = 1 n n X k m σ = 1 n n ( 1 n n X k ) nm σ = U n

102 urmează legea normală N (0,1) şi n ( Zk Z ) 2 = n = 1 σ 2 n = V n. ( Xk m σ 1 n (X k m 1 n n i=1 n X i m i=1 urmează legea χ 2 cu n 1 grade de libertate. σ ) 2 X i + 1 n nm)2 = 1 σ 2 n Proprietatea 85 Fie caracteristica X ce urmează legea normală N (m, σ) şi variabilele de selecţie X 1, X 2,..., X n ce corespund unei selecţii repetate de volum n, atunci statistica T = X m σ n = X m, µ2 n 1 ( Xk X ) 2

103 urmează legea Student cu n 1 grade de libertate. Demonstraţie. Cu notaţiile de la Proprietatea 84, arătăm că Avem succesiv U n Vn n 1 = X m σ n 1 n σ = X m σ = T. n T = U n. Vn n 1 n 1 ( Xk X ) = X m 2 ( Xk X ) n n n 1 Din teoria probabilităţilor se ştie că raportul dintre o variabilă aleatoare ce urmează legea normală N (0, 1) şi radicalul unei vari-

104 abile aleatoare ce urmează legea χ 2, raportată la numărul gradelor de libertate, în cazul în care cele două variabile aleatoare sunt independente, este o variabilă aleatoare ce urmează legea Student cu acelaşi număr al gradelor de libertate ca legea χ 2 considerată. Proprietatea 86 Fie caracteristicile independente X şi X, fiecare urmând legea normală, respectiv N ( m, σ ) şi N ( m, σ ) şi variabilele de selecţie X 1,..., X n, respectiv X 1,..., X n, ce corespund unei selecţii repetate de volum n pentru caracteristica X şi unei selecţii repetate de volum n pentru caracteristica X, atunci statistica ( ) X X ( m m ) n + n 2 T = (n 1 ) σ 2 + ( n 1 ) σ 2 1 n + 1, n

105 urmează legea Student cu n + n 2 grade de libertate, considerând X = 1 n n X k, X = 1 n n X k, σ 2 = 1 n 1 n ( X k X ) 2, σ 2 = 1 n 1 n ( X k X ) 2. Demonstraţie. Mediile de ( selecţie) X şi ( X urmează ) fiecare legea normală, respectiv N m, şi N m, ([Curs 5, σ n Observaţia 8]). Prin urmare statistica ( ) X X ( m m ) σ n U = σ 1 n + 1, n

106 urmează legea normală N (0,1) (teoria probabilităţilor). Pe de altă parte, folosind Proprietatea 84, se obţine că statistica V = 1 σ 2 n ( X k X ) σ 2 n ( X k X ) 2, urmează legea χ 2 cu n + n 2 grade de libertate, fiind suma a două variabile aleatoare independente ce urmează legea χ 2 cu n 1 grade de libertate şi respectiv n 1 grade de libertate. Statistica U V n +n 2 urmează legea Student cu n + n 2 grade de libertate (ca şi în demonstraţia Proprietăţii 85). Se arată că

107 această statistică este chiar T. Avem ( ) U X X ( m m ) = V n +n 2 = 1 n σ σ 1n + 1 n n + n 2 ( X k X ) 2 + n ( X k X ) 2 ( ) X X ( m m ) n + n 2 (n 1 ) σ 2 + ( n 1 ) σ 2 1 n + 1 = T. n Observaţia 87 Dacă se consideră caracteristicile independente X şi X, fiecare urmând legea normală N ( m, σ ) şi respectiv N ( m, σ ) şi dacă avem variabilele de selecţie X 1, X 2,..., X n ce

108 corespund unei selecţii repetate de volum n relativă la caracteristica X şi respectiv variabilele de selecţie X 1, X 2,..., X n ce corespund unei selecţii repetate de volum n relativă la caracteristica X, atunci statistica ( ) X X ( m m ) Z = σ 2 n urmează legea normală N (0,1). + σ 2 n, Proprietatea 88 Fie caracteristicile independente X şi X, fiecare urmând legea normală, respectiv N ( m, σ ) şi N ( m, σ ) şi variabilele de selecţie X 1,..., X n, respectiv X 1,..., X n, ce corespund unei selecţii repetate de volum n pentru caracteristica X şi unei selecţii repetate de volum n pentru caracteristica X, atunci

109 statistica F = σ 2 σ 2 / σ 2 σ 2 urmează legea Snedecor-Fisher cu m = n 1 şi n = n 1 grade de libertate. Demonstraţie. Din Proprietatea 84 avem că funcţiile de selecţie, V = 1 σ 2 V = 1 σ 2 n n ( X k X ) 2 = ( n 1 ) σ 2 σ 2, ( X k X ) 2 = ( n 1 ) σ 2 σ 2 urmează fiecare legea χ 2 cu m = n 1 şi n = n 1 grade de libertate.

110 Pe de altă parte, X şi X sunt independente = V şi V sunt independente. Din calculul probabilităţilor se ştie că raportul a două variabile aleatoare independente, ce urmează legea χ 2, raportate fiecare la numărul gradelor de libertate corespunzător, este o variabilă aleatoare ce urmează legea Snedecor Fisher cu numărul gradelor de libertate dat de numerele gradelor de libertate ale celor două legi χ 2. Aşadar avem că V / V n 1 n 1 = σ 2 / σ 2 σ 2 σ 2 = F urmează legea Snedecor-Fisher cu m = n 1 şi n = n 1 grade de libertate.

111 CURS FUNCŢII DE SELECŢIE (continuare) Fie caracteristica X, datele de selecţie x 1, x 2,..., x n şi variabilele de selecţie X 1, X 2,..., X n. Definiţia 89 Se numeşte funcţie de repartiţie de selecţie funcţia de selecţie definită prin unde F n (x) = ν n(x) n, x R, ν n (x) = card{ X i X i < x, i = 1, n }, iar valoarea funcţiei de repartiţie de selecţie este F n (x) = card{ x i x i < x, i = 1, n }, x R. n

112 Proprietatea 90 1) F n este crescătoare şi F n (R) [0,1]. 2) Dacă datele de selecţie sunt ordonate crescător atunci F n (x) = 0, x x 1 k n, x k x x k+1, 1, x > x n. Teorema 91 (Glivenko) Fie caracteristica X, care are funcţia de repartiţie teoretică F, şi fie o selecţie repetată de volum n relativă la caracteristica X, cu variabilele de selecţie X 1, X 2,..., X n şi funcţia de repartiţie de selecţie corespunzătoare F n, atunci P ( lim n sup x R F n (x) F (x) = 0 ) = 1, adică funcţia de repartiţie de selecţie converge aproape sigur la funcţia de repartiţie teoretică.

113 Teorema 92 (Kolmogorov) Fie caracteristica X care are funcţia de repartiţie teoretică F continuă şi fie o selecţie repetată de volum n relativă la caracteristica X cu variabilele de selecţie X 1, X 2,..., X n şi funcţia de repartiţie de selecţie corespunzătoare F n, atunci unde D n = sup x R lim n P ( ndn < x ) = K (x), x > 0, F n (x) F (x), iar K (x) = + k= este funcţia lui Kolmogorov. ( 1) k e 2k2 x 2, x > 0,

114 4. TEORIA ESTIMAŢIEI Se obţin datele statistice în urma cercetării selective Se fac generalizări relative la populaţia din care se extrage selecţia. Generalizările - estimarea parametrilor statistici necunoscuţi. Estimarea - printr-o mărime cât mai apropiată de valoarea reală. Dacă nu se reuşeşte se caută limite în interiorul cărora se află, cu o anumită probabilitate. Fie colectivitatea C, caracteristica X cu funcţia de probabilitate f (x; θ), (=funcţia de frecvenţă dacă X este de tip discret; densitatea de probabilitate dacă X este de tip continuu), θ A este

115 un parametru real necunoscut. Se consideră o selecţie repetată de volum n având variabilele de selecţie X 1, X 2,..., X n FUNCŢII DE ESTIMAŢIE Definiţia 93 Se numeşte funcţie de estimaţie (estimator) pentru parametrul θ, funcţia de selecţie Θ = θ(x 1, X 2,..., X n ), care ia valori în domeniul A, iar valoarea numerică θ = θ(x 1, x 2,..., x n ) se numeşte estimaţia lui θ. Definiţia 94 Estimatorul Θ = θ (X 1, X 2,..., X n ) este estimator (funcţie de estimaţie) nedeplasat pentru parametrul necunoscut θ dacă M( Θ) = θ,

116 iar valoarea numerică θ = θ(x 1, x 2,..., x n ) se numeşte estimaţie nedeplasată pentru parametrul θ. Definiţia 95 Estimatorul Θ = θ(x 1, X 2,..., X n ) se numeşte estimator consistent pentru parametrul necunoscut θ dacă adică Θ p θ, lim n P ( Θ θ < ε ) = 1, pentru orice ε > 0, iar valoarea numerică θ = θ(x 1, x 2,..., x n ) se numeşte estimaţie consistentă pentru parametrul θ.

117 FUNCŢII DE ESTIMAŢIE ABSOLUT CORECTE Definiţia 96 Se numeşte funcţie de estimaţie (estimator) absolut corectă pentru parametrul θ funcţia de selecţie Θ = θ(x 1, X 2,..., X n ) care satisface condiţiile (i) M ( Θ ) = θ, (ii) lim n D 2 ( Θ ) = 0, iar valoarea numerică θ = θ(x 1, x 2,..., x n ) se numeşte estimaţie absolut corectă pentru parametrul θ.

118 Proprietatea 97 Un estimator absolut corect este un estimator consistent. Demonstraţie. Fie estimatorul Θ = θ(x 1, X 2,..., X n ) un estimator absolut corect pentru parametrul θ. Din inegalitatea lui Cebîşev avem 1 P ( Θ θ < ε ) 1 D2 ( Θ) ε 2, pentru orice ε > 0. Făcând pe n din (ii) rezultă lim n P ( Θ θ < ε ) = 1, pentru orice ε > 0, ceea ce trebuia demonstrat. Proprietatea 98 Fie caracteristica X pentru care există momentul teoretic de ordinul 2k, ν 2k = M ( X 2k), şi fie o selecţie

119 repetată de volum n, atunci momentul de selecţie de ordin k ν k = 1 n n Xi k i=1 este funcţie de estimaţie absolut corectă pentru parametrul ν k. Demonstraţie. Din [Curs 5, Propr. 11] avem că şi M (ν k ) = ν k Rezultă D 2 (ν k ) = ν 2k ν 2 k n. lim n D2 (ν k ) = lim n ν 2k ν 2 k n = 0.

120 Deci condiţiile pentru o funcţie de estimaţie absolut corectă sunt satisfăcute. Observaţia 99 Media de selecţie X (= ν 1 ) este funcţie de estimaţie absolut corectă pentru media teoretică M (X) (= ν 1 ). FUNCŢII DE ESTIMAŢIE CORECTE Definiţia 100 Se numeşte funcţie de estimaţie (estimator) corectă pentru parametrul necunoscut θ, funcţia de selecţie Θ = θ(x 1, X 2,..., X n ) care satisface condiţiile (i) lim n M ( Θ ) = θ,

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE

POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE DATE NUMERICE POPULAŢIE DATE ALFANUMERICE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE Cursul I Indicatori statistici Minim, maxim Media Deviaţia standard Mediana Cuartile Centile, decile Tabel de date

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7

Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul

Διαβάστε περισσότερα

5 Statistica matematică

5 Statistica matematică 5 Statistica matematică Cuvântul statistică afostiniţial folosit pentru a desemna o colecţiededatedesprepopulaţie şi situaţia economică, date vitale pentru conducerea unui stat. Cu timpul, Statistica a

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

9 Testarea ipotezelor statistice

9 Testarea ipotezelor statistice 9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA

NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA INTRODUCERE SI DEFINITII A. PARAMETRI SI STATISTICI Parametru valoare sau caracteristica asociata unei populatii constante fixe notatie - litere grecesti: media populatiei

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Variabile statistice. (clasificare, indicatori)

Variabile statistice. (clasificare, indicatori) Variabile statistice (clasificare, indicatori) Definiţii caracteristică sau variabilă statistică proprietate în functie de care se cerceteaza o populatie statistica şi care, în general, poate fi măsurată,

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI. Călinici Tudor

ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI. Călinici Tudor ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI Călinici Tudor 1 Obiective educaţionale Înţelegerea procesului de estimare Însuşirea limbajului specific pentru inferenţa statistică Enumerarea estimatorilor fără bias

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

prin egalizarea histogramei

prin egalizarea histogramei Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011 1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

1. Distribuţiile teoretice 2. Intervalul de încredere pentru caracteristicile cantitative (medii) Histograma Nr. valori Nr. de clase de valori

1. Distribuţiile teoretice 2. Intervalul de încredere pentru caracteristicile cantitative (medii) Histograma Nr. valori Nr. de clase de valori 1. Distribuţiile teoretice (diagramă de distribuţie, distribuţia normală sau gaussiană) 2. Intervalul de încredere pentru caracteristicile cantitative (medii) 1. Distribuţia constituie ansamblul tuturor

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa

Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard cunoaştere evaluare, măsurare evaluare comparare (Gh. Zapan) comparare raportare la un sistem de referință Povestea Scufiței Roşii... 70

Διαβάστε περισσότερα

STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ

STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ » Reprezentarea şi sumarizarea datelor» Parametrii statistici descriptivi Centralitate Dispersie Asimetrie Localizare Cuprins Măsuri de centralitate Măsuri de împrăştiere Media Amplitudine

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Recapitulare - Tipuri de date

Recapitulare - Tipuri de date Recapitulare - Tipuri de date Date numerice vârsta, greutatea, talia, hemoglobina, tensiunea arterială, calcemia, glicemia, colesterolul, transaminazele etc. valori continue sau discrete numere întregi

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

ECO-STATISTICA-NOTITZZE DE LABORATOR

ECO-STATISTICA-NOTITZZE DE LABORATOR ECO-STATISTICA: OBIECTIVE: A. EVALUAREA CELEI MAI PROBABILE VALORI A UNEI CARACTERISTICI A MEDIULUI IN ZONA INVESTIGATA si a ERORII DE ESTIMARE In zona investigata cu o probabilitate de 90% (riscul asumat

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0 INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα