ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε σε όλα τα 5 Θέματα σύμφωνα με τις οδηγίες επιλογής ερωτημάτων Θέμα Θα απαντήσετε στο α) και σε ένα μόνο από τα β) γ) α) (4 μονάδες) Αφού γράψετε τον πίνακα αναπαράστασης Α του γραμμικού μετασχηματισμού f ( y ) (+ y ) ως προς την συνήθη βάση του R βρείτε τις ιδιοτιμές και αντίστοιχα βασικά ιδιοδιανύσματα του f Επίσης να βρεθεί ο Α ο τύπος της f και ο Α για κάθε φυσικό αριθμό β) (6 μονάδες) Να υπολογιστούν οι πραγματικοί αριθμοί β γ ώστε τα v ( ) v ( β γ ) και v () να είναι ιδιοδιανύσματα πραγματικού συμμετρικού πίνακα με τρείς διαφορετικές ιδιοτιμές Στη συνέχεια να δοθεί ένας τέτοιος πίνακας όταν οι ιδιοτιμές είναι / αντίστοιχα γ) (6 μονάδες) Βρείτε τις ιδιοτιμές και βάσεις από ιδιοδιανύσματα για κάθε ιδιοχώρο του πίνακα A και εξετάσετε αν ο πίνακας αυτός διαγωνοποιείται ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Συνήθης βάση Β{()()}Υπολογίζουμε [ f ( ) ] [() B ] B [ ()] [()] f B B και έχουμε A λ Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο det ( λ )( λ ) λ λ ( λ )( λ+ ) λ Για την ιδιοτιμή λ: AΙ βάση ιδιοχώρου Για λ : A ()Ι ( ) βάση ιδιοχώρου ( ) y A οπότε f ( y) ( y ) det A Για τις δυνάμεις Α καθώς A PDP με P P D A PD P 4 ( ) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) + ( ) β) Επειδή ιδιοδιανύσματα πραγματικού συμμετρικού πίνακα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι κάθετα μεταξύ τους το εσωτερικό γινόμενο ανά δύο πρέπει να είναι Επομένως έχουμε: v v + β β v v γ v v γ Άρα τα τρία διανύσματα είναι: v ( ) v ( ) και v () τα οποία καθώς είναι μη μηδενικά και ορθογώνια μεταξύ τους αποτελούν βάση του R Ένας πίνακας με τα παραπάνω ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές / είναι ο A P D P με / / P και D οπότε υπολογίζοντας τον P / / / έχουμε ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ

2 / / / / / / A / / / / / / / / / γ) Βρίσκουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α: λ λ det(a-λ I) λ ( λ) λ ( λ) λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( λ) (( λ)( λ) ( ) ) ( λ) λ λ+ ( λ)( λ) λ ( λ) λ Ιδιοτιμές: λ διπλή λ απλή Βρίσκουμε βάσεις των ιδιοχώρων για κάθε ιδιοτιμή λ υπολογίζοντας την Ανηγμένη Κλιμακωτή Μορφή (ΑΚΜ) του Α-λΙ: Για λ: A I 4 Βάση ιδιοχώρου δηλαδή η ιδιοτιμή λ έχει γεωμ πολλαπλότητα ενώ η αλγεβρική της πολλαπλότητα είναι Ήδη μπορούμε να αποφανθούμε ότι ο Α δεν διαγωνοποιείται / Για λ: A-I / / Βάση ιδιοχώρου / / Θέμα Θα απαντήσετε στο α) και σε ένα μόνο από τα β) γ) Όπου αναφέρεται ορθογωνιότητα θεωρούμε το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον R α) (4 μονάδες) Έστω U {( y z) R + y z } Δείξτε ότι U είναι υπόχωρος του R και βρείτε μια βάση και τη διάσταση αυτού Βρείτε μια ορθοκανονική βάση του U Για το τυχόν διάνυσμα ( ) του R να βρεθούν u U και u U με ( ) u+ u όπου U είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του U (δηλαδή u U και u U είναι οι (ορθές) προβολές του ( ) στον U και U αντίστοιχα) β) (6 μονάδες) Για δεδομένο R θεωρούμε τους υποχώρους V y z y z {( ) R + } και W sp{( ) ( )} Βρείτε βάση και διάσταση για κάθε ένα από αυτούς και προσδιορίστε για ποιές τιμές του oι υπόχωροι αυτοί είναι ίσοι δηλαδή W V v v v γ) (6 μονάδες) Προσδιορίστε όλες τις τιμές του για τις οποίες τα διανύσματα ( ) ( ) ( ) αποτελούν βάση του χώρου R και γράψτε το διάνυσμα ( ) v v τιμές του v ως γραμμικό συνδυασμό των v γι αυτές τις ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Από τον ορισμό του U έχουμε ( yz ) U + y z z + y οπότε u U αν και μόνο αν υπάρχουν πραγματικοί y ώστε u ( y + y) () + y() Δηλαδή τα διανύσματα u ( ) u ( ) παράγουν τον U Επειδή η γραμμική θήκη κάθε υποσυνόλου του R είναι υπόχωρος του R είναι φανερό ότι και ο U είναι υπόχωρος του R Από τον προηγούμενο γραμμικό συνδυασμό άμεσα φαίνεται ότι τα u u είναι γραμμικά ανεξάρτητα ( πράγματι () + y() () ( y + y) () y ) Συνεπώς μια βάση του U είναι το σύνολο { u u } Στην βάση { u u } εφαρμόζουμε τη μέθοδο Grm-Shmidt (τυπολόγιο) και βρίσκουμε μία ορθογώνια βάση: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ

3 v u v u () v u u () () και διαιρώντας με τα μέτρα u v v ( ) ( ) v v έχουμε μία ορθοκανονική βάση του U : Β{ } Για την διάσπαση ( ) u+ u καθώς έχουμε βρει ήδη μία ορθοκανονική βάση του U η ορθή προβολή u του w ( ) επί του U υπολογίζεται ως το άθροισμα των προβολών του στα διανύσματα της βάσης Β: u < w > + < w > ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) οπότε + u ( ) u ( ) ( ) Σημείωση: Εναλλακτικά παρατηρούμε ότι U sp{( )} και υπολογίζουμε την προβολή u και έπειτα το u β) Από τον ορισμό του V έχουμε ( yz ) V + y z y+ z οπότε v V αν και μόνο αν υπάρχουν πραγματικοί y ώστε v ( y+ z y z) y( ) + z() Δηλαδή τα διανύσματα v ( ) v () παράγουν τον V Αυτά είναι και γραμμικά ανεξάρτητα (όπως πριν αν ο παραπάνω γραμμικός συνδυασμός είναι το μηδέν διάνυσμα τότε και οι δύο συντελεστές είναι μηδέν) συνεπώς μια βάση του V είναι το σύνολο { v v } Αρα dim V Το σύνολο {()( )} αποτελεί βάση του W καθώς τον παράγει και τα στοιχεία του είναι γραμμικά ανεξάρτητα (πχ 5 ή υπολογίζοντας την υποορίζουσα: 5 ) Άρα dim W Ο W είναι υπόχωρος του V αν και μόνο αν η παραπάνω βάση του W περιέχεται στον V : το () ανήκει στον υπόχωρο V επειδή + Το στοιχείο ( ) ανήκει στον V αν και μόνο αν δηλαδή Άρα μόνο για ο W είναι υπόχωρος του V και επειδή οι διαστάσεις τους είναι ίσες έχουμε και την ισότητα W V γ) Μπορούμε να απαντήσουμε στα ερωτήματα υπολογίζοντας την ΑΚΜ του επόμενου επαυξημένου πίνακα του οποίου οι πρώτες στήλες είναι οι στήλες συντεταγμένων των v v v και η τελευταία οι συντεταγμένες του (): Γ ΓΓ Γ ΓΓ Β() Αν τότε Β() και θεωρώντας τις τρείς πρώτες στήλες συμπεραίνουμε οτι τα δοθέντα διανύσματα δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα (αυτό είναι προφανές καθώς για τα τρία διανύσματα είναι ίσα) Αν τότε συνεχίζοντας τις γραμμοπράξεις 4 Β() Άρα για : () v + v + v 4 4 Θέμα Θα απαντήσετε στα α) β) και σε ένα μόνο από τα γ) δ) α) (6 μονάδες) Υπολογίστε τα όρια των επόμενων ακολουθιών : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ

4 (i) si( ) (ii) e + β) (8 μονάδες) Εξετάστε τη σύγκλιση των παρακάτω σειρών: (iii) + (i) + (ii) + e + ( ) (iii) γ) (6 μονάδες) Να βρεθούν όλες οι τιμές του R για τις οποίες η σειρά ( ) δ) (6 μονάδες) Χρησιμοποιώντας κατάλληλη σειρά ylor εκφράστε το ολοκλήρωμα + συγκλίνει si( ) d Δώστε άνω φράγμα του σφάλματος της προσέγγισης που έχουμε με το άθροισμα των πρώτων όρων της σειράς α) i) Καθώς si si < e + e + e ΑΠΑΝΤΗΣΗ τείνει στο επειδή ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της του Άρα και η ως άθροισμα σειράς Η τελευταία ακολουθία γενικού όρου είναι θετικών όρων και e + + / τείνει στο /e που είναι θετικός μικρότερος + e e e τείνει στο μηδέν οπότε και για την ισχύει lim Σημείωση: Μπορεί επίσης να υπολογιστεί το όριο της e αντίστοιχης συνάρτησης: lim + e καθώς lim + e + (ii) Γράφουμε διαδοχικά τον γενικό όρο της ακολουθίας ως ακολούθως: 5/ 5/ 5/ ( 5 )/( ) e e + / ( )/( ) / + + / e + Σημείωση: από το τυπολόγιο lim + + e με εφαρμογή του κανόνα L Hôpitl για το όριο της iii) Για την ακολουθία έχουμε: το όριο στον αριθμητή είναι (τυπολόγιο) και του παρονομαστή + άρα + για την ακολουθία ισχύει lim + + β) i) Η σειρά είναι θετικών όρων Με το κριτήριο λόγου (d Alemert): για την ακολουθία + e υπολογίζουμε το όριο τον λόγο διαδοχικών όρων : ( + ) ( ) ( ) lim lim e e + + lim lim lim e e + e + + e συγκλίνει επειδή ο λόγος είναι μικρότερος της μονάδος Σημείωση : Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο ρίζας e + < Συνεπώς η σειρά e e + ii) Η ( ) συγκλίνει απόλυτα καθώς + Σημείωση: με κριτήριο Leiitz επίσης ως εναλλάσουσα + ( ) < + + και συγκλίνει ως p-σειρά με p> ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ

5 (iii) Η σειρά / / / / + 5/ είναι θετικών όρων με γενικό όρο + 6+ Εφαρμόζοντας το γενικευμένο κριτήριο σύγκρισης και 5/ / + / + 6/ + / χρησιμοποιώντας την ακολουθία έχουμε: / 5/ lim > Επειδή η σειρά συγκλίνει ως p-σειρά με p> συγκλίνει και η σειρά 5/ + γ) Για τη σύγκλιση της σειράς + ( ) εφαρμόζοντας το κριτήριο λόγου (d Alemert) έχουμε για το όριο του λόγου διαδοχικών όρων: ( ) lim lim lim + ( + ) ( ) + ( ) + + ( ) ( + ) + ( + ) Σύμφωνα με το κριτήριο λόγου η σειρά συγκλίνει αν < που ισοδυναμεί με < δηλαδή < < και τελικά η σειρά συγκλίνει για ( 5) Η σειρά για ( ) (5 + ) αποκλίνει Επίσης εξετάζουμε τη σύγκλιση στα άκρα του διαστήματος Αντικαθιστώντας η σειρά γράφεται ( ) ( ) η οποία απολύτως συγκλίνει καθώς συγκλίνει Παρόμοια για 5 η σειρά + + (5 ) γράφεται η οποία συγκλίνει Τελικά η σειρά συγκλίνει για κάθε [ 5] και αποκλίνει παντού εκτός του διαστήματος αυτού δ) Από το τυπολόγιο έχουμε ( ) ( ) si!! οπότε ( + ) ( + ) + si ( ) και\! ( + ) ολοκληρώνοντας όρο προς όρο έχουμε si ( ) ( ) ( ) d d ( )! ( ) + +! + ( + )!+ Η τελευταία σειρά είναι εναλλάσσουσα συγκλίνουσα και ένα φράγμα του σφάλματος προσέγγισης του αθροίσματός της με το άθροισμα των τριών πρώτων όρων είναι ο απολύτως πρώτος παραλειπόμενος όρος δηλαδή ( )! 7!7 ( + ) + Θέμα 4 Θα απαντήσετε στο 4α) και σε ένα μόνο από τα 4β) 4γ) 4α) (4 μονάδες) Θεωρούμε την συνάρτηση f ( ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ α β ορισμένη στο διάστημα [ + ) για την οποία γνωρίζουμε ότι παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για και σημείο καμπής για Υπολογίστε τις παραγώγους ης ης και ης τάξης της f και αφού προσδιορίσετε τις τιμές των (σταθερών) παραμέτρων α β i) βρείτε τα διαστήματα του [ + ) στα οποία η f : είναι αύξουσα είναι φθίνουσα στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ii) βρείτε όλα τα σημεία: μηδενισμού ακροτάτων τιμών (τοπικών ολικών) καμπής της f iii) βρείτε το όριο της f καθώς + ασύμπτωτες αν υπάρχουν και το σύνολο τιμών αυτής

6 iv) υπολογίστε το εμβαδόν του κλειστού (φραγμένου) χωρίου που βρίσκεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων της f και της ευθείας με εξίσωση y 4 4β) (6 μονάδες) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( ) ( ) I e d R (χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση) Βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει I ( ) Με την γνωστή ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος ως εμβαδόν πώς εξηγείτε τον μηδενισμό του I ( ) για αυτές τις τιμές; d 4γ) (6 μονάδες) Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα και εξετάστε αν το γενικευμένο ολοκλήρωμα ( + ) + d συγκλίνει (Yπόδειξη: για το αόριστο ολοκλήρωμα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την αντικατάσταση ( + ) u και στη συνέχεια διάσπαση σε απλά κλάσματα) ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4α) f ( ) α + β + 9 f ( ) 6α + β f ( ) 6α Αναγκαίες συνθήκες f () και f () που α+ β + 9 α ισοδυναμούν με το σύστημα το οποίο ισοδυναμεί με Άρα f ( ) στο α+ β β 6 διάστημα [ + ) Παρακάτω θα επαληθεύσουμε αν τελικά υπάρχει τέτοια f ελέγχοντας αν όντως στο έχουμε τοπικό ακρότατο και στο σημείο καμπής i) Εχουμε f ( ) + 9 ( 4+ ) ( )( ) f ( ) 6 6( ) Έτσι για το πρόσημο της ης παραγώγου συμπεραίνουμε ότι f '( ) < για < < και f '( ) > για < και < Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [) και (+) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα () Από την εναλλαγή της μονοτονίας συμπεραίνουμε ότι η f έχει τοπικό μέγιστο στο ίσο με f() 4 και τοπικό ελάχιστο στο ίσο με f() Για το πρόσημο της ης παραγώγου συμπεραίνουμε ότι f ( ) < για < και f ( ) > για > Άρα η συνάρτηση είναι κυρτή (στρέφει κοίλα άνω) στο διάστημα ( +) και κοίλη στο διάστημα [) ii) Τοπικό μέγιστο για με τιμή f() 4 τοπικό και ολικό ελάχιστο για με τιμή f() σημείο καμπής για με τιμή f() Η συνάρτηση μηδενίζεται για και για (διπλή ρίζα) iii) Το όριο της f καθώς + είναι + Δεν υπάρχει πλάγια ασύμπτωτη ούτε κατακόρυφη και από τη συνέχεια και τη μονοτονία συμπεραίνουμε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο [ +) iv) Καθώς f( ) ( )( 5) έχουμε ότι το εμβαδό του χωρίου ισούται προς 5 5 ( ) 4 ( ( ) 4 ) ( 4 ( )) E f d f d + f d 4 4β) Επειδή (με παραγοντική ολοκλήρωση) ( ) ( ) και ed e + έχουμε ότι ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ ed e d e ed e ed ( ) ed ( α + β + γ ) e + που ισοδυναμεί διαδοχικά με ( ) ( ) e ( α + β+ γ) e + α + β+ γ e α + β + α + β+ γ α + ( β + α) + γ + β για κάθε πραγματικό από όπου έχουμε α και β + και γ + β δηλαδή α β γ και

7 ( ) ed ( ) e + Σημείωση: το ολοκλήρωμα υπολογίζεται και απ ευθείας με χρήση παραγοντικής ολοκλήρωσης (δύο φορές) Για το γενικευμένο ολοκλήρωμα έχουμε: I ( ) ( ) ed lim ( ) e ( ) m m ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ e lim m m ( m m ) e ( ) e ( m m) αφού με χρήση κανόνα L Hôpitl limm m (Ο λόγος των πρώτων ως προς m παραγώγων είναι e (m ) επίσης απροσδιόριστη μορφή και των δεύτερων τείνει στο καθώς m e m e m ) I ( ) ή + Με την γνωστή ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος ως εμβαδόν ο μηδενισμός του I ( ) εξηγείται με την αλλαγή πρόσημου της συνάρτησης ( ) e 4γ) Για το αόριστο ολοκλήρωμα με την αντικατάσταση της κυβικής ρίζας u d u du έχουμε d u du du + ( Στο τελευταίο ολοκλήρωμα κάνουμε ανάλυση σε απλά κλάσματα + ) ( u ) u ( u + ) u A B + Au ( + ) + Bu ( A+ Bu ) + A ( A και A+ B ) A και B uu ( + ) u u+ du du du u και έχουμε u u + + C + C u + u u (l l ) l ( ) u + u + d Λαμβάνοντας υπόψη ότι u u παίρνουμε τελικά l + C ( + ) + Για το γενικευμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας το προηγούμενο αποτέλεσμα έχουμε M M d M M l (l l ) Αλλά το όριο lim M + lim M + ( + ) + M + M + + M υπάρχει άρα το γενικευμένο ολοκλήρωμα + d l συγκλίνει (και η τιμή του είναι ) ( + ) Θέμα 5 Θα απαντήσετε στα 5α) και 5β) 5α) (8 μονάδες) Δύο τμήματα Τ και Τ συναρμολογούν το 7% και % αντίστοιχα του συνόλου των ηλεκτρονικών υπολογιστών (Η/Υ) μιας εταιρείας Είναι γνωστό ότι το ποσοστό των ελαττωματικά συναρμολογημένων Η/Υ από το σύνολο των Η/Υ της εταιρείας είναι 4% ενώ από το τμήμα Τ το 4% των Η/Υ εξέρχονται ελαττωματικά συναρμολογημένοι i) Αν επιλέξουμε τυχαία έναν υπολογιστή που έχει συναρμολογηθεί στο τμήμα Τ ποιά είναι η πιθανότητα αυτός να είναι ελαττωματικός; ii) Δεδομένου ότι θεωρούμε όλους τους ελαττωματικά συναρμολογημένους Η/Υ ποιά είναι η πιθανότητα ένας από αυτούς να προέρχεται από το τμήμα Τ ; Για το επόμενο δίνονται Φ (5 ) 9 και Φ ( 84 ) 8 5β) ( μονάδες) Ο χρόνος που απαιτείται να απαντηθεί ένα γραπτό τεστ είναι τυχαία μεταβλητή X που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ λεπτά (της ώρας) και τυπική απόκλιση σ 8 λεπτά i) Να υπολογισθεί το ποσοστό των υποψηφίων με χρόνο απάντησης του τεστ μεταξύ 8 λ και 4 λ ii) Ποια είναι η πιθανότητα ο χρόνος απάντησης του τεστ να μην υπερβαίνει τα 8 λ; iii) Να βρεθεί ο χρόνος για τον οποίο το 8% των υποψηφίων θα προλάβει να ολοκληρώσει το τεστ iv) Ποιά είναι η πιθανότητα σε υποψήφιους τουλάχιστον οι να απαντήσουν το τεστ σε χρόνο που δεν θα υπερβαίνει τα 8 λ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ 5α) Η πιθανότητα ο Η/Υ να είναι ελαττωματικός είναι (από το θεώρημα ολικής πιθανότητας) Ρ(Ε) Ρ(Ε Τ ) Ρ(Τ ) + Ρ(Ε Τ ) Ρ(Τ ) οπότε Ρ(Ε Τ ) συνεπώς i) λύνοντας ως προς Ρ(Ε Τ ) έχουμε Ρ(Ε Τ ) (4-4 7) / 6 / και

8 από τον τύπο του Byes έχουμε ότι PE ( Τ) P( Τ ) () ii) Ρ(Τ Ε) 8 PE ( ) 4 7 X 5β) Έστω Χ ο χρόνος απάντησης του τεστ Τότε η Z ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή και 8 επομένως με τυποποίηση έχουμε: i) 8 X 4 8 X 4 Z 5 Z 5 και P(8 X 4) P( 5 Z 5) P( Z 5) P( Z < 5) Φ( 5) Φ( 5) Φ( 5) ( Φ ( 5)) Φ(5) (9) 8664 Άρα το ποσοστό των υποψηφίων με χρόνο απάντησης του τεστ μεταξύ 8 και 4 λ είναι 8664 % ii) Ζητάμε P( 8) Χ Όπως πριν έχουμε: PX ( 8) PZ ( 5) Φ( 5) Φ ( 5) iii) Έστω ο χρόνος διάρκειας του τεστ ώστε το 8% των υποψηφίων να προλάβει να ολοκληρώσει το τεστ P X < 8 () Θέλουμε να βρούμε το ωστε ( ) X Τυποποιούμε την συνθήκη X < ως εξής: X < < Z < και επομένως η () ισοδυναμεί με PZ < 8 δηλαδή Φ 8 και αφού δίδεται Φ (84 ) έχουμε 84 και λύνοντας Άρα ο ζητούμενος χρόνος είναι α 67 λ 8 ώστε το 8% των υποψηφίων να προλάβει να ολοκληρώσει το τεστ iv)αν Y είναι ο αριθμός των υποψηφίων (από τους ) οι οποίοι θα ολοκληρώσουν το τεστ σε χρόνο που δεν θα υπερβαίνει τα 8 λ τότε η τυχαία μεταβλητή Y ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με δοκιμές (υποψήφιοι) και πιθανότητα επιτυχίας (να ολοκληρώσουν το τεστ σε χρόνο το πολύ 8 λ) p P( X 8) 668 (ερώτημα ii) Δηλαδή Y ~ B( p) B(668) και πιθανότητα αποτυχίας q p Έτσι για PY ( ) pq p ( p) 668 ( 668) Ζητάμε την πιθανότητα να έχουμε τουλάχιστον επιτυχίες σε δοκιμές (τουλάχιστον υποψήφιους από τους ) Οπότε η ζητούμενη πιθανότητα PY ( ) είναι: PY ( ) PY ( < ) [ PY ( ) + PY ( )] PY ( ) PY ( ) 9 p ( p) p ( p) ΤΕΛΟΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ

9 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου (διάρκεια: ώρες και λ) ιαβάστε προσεκτικά και απαντήστε αιτιολογηµένα στα παρακάτω 5 Θέµατα V y z y z {( ) R + } και ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - - W y z y z {( ) R + + } υποχώρους του R i) Βρείτε µία βάση και την διάσταση του V ii) Βρείτε µία βάση και την διάσταση του W iii) Βρείτε µία βάση και την διάσταση για την τοµή W V Ισχύουν οι σχέσεις W+V R W V R ; β) (µ) Θεωρούµε το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο στον R 4 και U sp{( ) ()} υπόχωρο του R 4 i) Βρείτε µια βάση και τη διάσταση του U ii) Βρείτε µια ορθοκανονική βάση του U iii) Να βρεθεί η ορθή προβολή του τυχόντος διανύσµατος w ( 4 ) του R 4 στον U ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) i) Η εξίσωση + y z ισοδυναµεί µε y+ z οπότε το τυχόν διάνυσµα του V γράφεται ( y+ z y z) ( y y) + ( z z) y( ) + z() Συνεπώς µία βάση του V είναι το Β {( ) ( )} καθώς από την τελευταία σχέση έχουµε άµεσα την γραµµική ανεξαρτησία του Β Η διάσταση είναι ii) Παρόµοια µία βάση του W είναι το σύνολο {( -) (-)} και η διάσταση του W είναι iii) Για την τοµή: W V {( y z) R + y z και + y+ z } Μία βάση βρίσκεται από την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα συντελεστών του γραµµικού οµογενούς συστήµατος που ορίζει τα 4 στοιχεία της τοµής: και είναι {( 4 - ) } Η διάσταση είναι Επειδή dim (W +V)dim W +dimv- dim (W V)+- W +V R επειδή όµως W V {} δεν είναι ευθύ το άθροισµα β) i) α διανύσµατα που παράγουν τον U u ( ) u ( ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα καθώς ( ) + y( ) ( ) ( + y + y ) () y Συνεπώς µια βάση του U είναι το σύνολο { u u } ii) Στην βάση { u u } εφαρµόζουµε τη µέθοδο Grm-Shmidt (τυπολόγιο) και βρίσκουµε µία ορθογώνια βάση ως εξής (χρησιµοποιούµε ότι u u και ) u u 4 : u v v u ( ) v u v ( ) ( ) ( ) και διαιρώντας µε τα µέτρα 4 v v v ( ) () έχουµε µία ορθοκανονική βάση του U : Β{ } v v iii) Για την ορθή προβολή u του w ( 4) στον U έχουµε: < w > ( + 4) s s s < w > ( ) s οπότε u s + s ( ) + () s + s s + s s + s s + s ( 4 4)

10 Θέµα α) (µ) Θεωρούµε τον γραµµικό µετασχηµατισµό f ( y z) ( y+ z + y+ z + y) του R i) Γράψτε τον πίνακα αναπαράστασης Α του f ως προς την συνήθη βάση του R ii) Βρείτε βάση και διάσταση για τον πυρήνα Kerf και την εικόνα Imf iii) Βρείτε την τιµή της ορίζουσας του πίνακα Α iv) Ισχύει ότι R Kerf Imf ; / β) (µ) ίνεται ο πίνακας Α / i) Βρείτε διαγώνιο πίνακα και αντιστρέψιµο πίνακα Ρ ώστε Α Ρ Ρ ii) Βρείτε τον Α για κάθε φυσικό αριθµό iii) Ποιά είναι τα όρια των ακολουθιών των στοιχείων του πίνακα Α καθώς ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) / A Βρίσκουµε την ΑΚΜ: A / / Από την ΑΚΜ του Α έχουµε: Aφού για τις λύσεις του συστήµατος ΑΧ έχουµε Χ ( - z/ z / z) z ( - ) / µία βάση για τον πυρήνα Kerf είναι το µονοσύνολο { (- )} και dim Kerf Aφού τα οδηγά στοιχεία στην ΑΚΜ του Α βρίσκονται στην η και η στήλη µία βάση για την εικόνα Imf : είναι { ( ) (- ) } και dim Imf Καθώς ο πυρήνας είναι µη µηδενικός η ορίζουσα του Α είναι µηδέν Γνωρίζουµε (και άµεσα επαληθεύουµε) ότι dimr dim Kerf + dim Imf Καθώς ο πυρήνας είναι µονοδιάστατος για να ισχύει ότι R Kerf Imf πρέπει και αρκεί το στοιχείο της παραπάνω βάσης του πυρήνα (- ) να µην ανήκει στην Imf Από την ΑΚΜ του πίνακα µε δύο πρώτες στήλες τις συντεταγµένες των στοιχείων της βάσης της εικόνας και τρίτη στήλη τις συντεταγµένες του στοιχείου της βάσης του πυρήνα 5 5 συµπεραίνουµε ότι η παραπάνω βάση του πυρήνα 5 περιέχεται στην εικόνα Συνεπώς ο πυρήνας είναι υπόχωρος της εικόνας και ο R δεν γράφεται ως ευθύ άθροισµα του πυρήνα και της εικόνας της f β) / i) Για τον πίνακα A το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι: / / λ det (/ λ )( λ ) / λ λ / / ( λ )( λ+ / ) µε ρίζες (ιδιοτιµές του Α): -/ / λ / / Για λ : A Ι βάση ιδιοχώρου / / Για την ιδιοτιµή λ -/: A+Ι/ (ήδη σε ΑΚΜ) βάση ιδιοχώρου / / Για τις δυνάµεις Α καθώς A P P µε P P / ( / ) A P P ( / ) ( / ) + ( / ) ( / ) που όταν θεωρήσουµε τα όρια των στοιχείων καθώς τείνει στο άπειρο ( / ) + ( / ) τείνει στον πίνακα ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -

11 Θέµα α) (8µ) Υπολογίστε τα όρια των επόµενων ακολουθιών (ενδεχοµένως µε χρήση κανόνα L Hôpitl για το όριο της αντίστοιχης πραγµατικής συνάρτησης): (i) + + (ii) + (iii) + + l (iv) d + β) (µ) Εξετάστε τη σύγκλιση των παρακάτω σειρών (για κάθε τιµή του πραγµατικού σε περίπτωση δυναµοσειράς): (i) ΑΠΑΝΤΗΣΗ + 5 (ii) ( ) + (iii) (iv) α) (i) e e + + e + (ii) Ακολουθία θετικών όρων < άρα η είναι µηδενική ( + ) ( + ) + (iii) l (iv) d Επειδή + + l lim + + l ( + ) ( + ) άρα και lim d από τον κανόνα L Hôpitl έχουµε: β) (i) + 5 Με κριτήριο λόγου ( + ) ( + ) έχουµε ότι η σειρά συγκλίνει για < δηλαδή < 5 και αποκλίνει για >5 Αρα συγκλίνει για όλα τα στο ανοικτό διάστηµα 5 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -

12 (-55) και αποκλίνει για όλα τα στα διαστήµατα (- 5) και (5 + ) Εξετάζουµε στα άκρα του διαστήµατος [-5 5]: αν 5 τότε η σειρά γίνεται + και αποκλίνει (απειρίζεται θετικά) και αν 5 τότε η σειρά γίνεται + ( ) και αποκλίνει (ταλαντώνεται ) Τελικό συµπέρασµα: συγκλίνει για στο διάστηµα (-55) και αποκλίνει παντού αλλού (ii) ( ) + εναλλάσσουσα σειρά Η ακολουθία είναι φθίνουσα αφού < < + < < + < + Αρα εφαρµόζοντας το κριτήριο Leiitz η σειρά συγκλίνει Επιπλέον (iii) έχουµε είναι σειρά θετικών όρων Ο γενικός όρος + + 5/ 5/ + + / + + / 5/ + + συγκρίνεται µε τον / : + + Αρα από κριτήριο σύγκρισης αφού η σειρά συγκλίνει ως p-σειρά µε p> η αρχική σειρά συγκλίνει / (iv) : η σειρά συγκλίνει ως γεωµετρική µε λόγο ½ Η σειρά αποκλίνει (αρµονική ή p-σειρά µε p) Άρα η αρχική αποκλίνει ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -

13 Θέµα α) (µ) ίνεται η συνάρτηση f ( ) 6 5 i)υπολογίστε τις παραγώγους ης και ης τάξης της f και βρείτε τα διαστήµατα όπου διατηρούν πρόσηµο ii) Βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η f : είναι αύξουσα είναι φθίνουσα στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω iii) Βρείτε όλα τα σηµεία: µηδενισµού ακροτάτων τιµών (τοπικών ολικών) καµπής της f iv) Βρείτε τα όρια lim f ( ) lim + f ( ) και το σύνολο τιµών της f v) είξτε ότι η εξίσωση f ( ) έχει ακριβώς µία (πραγµατική) λύση στο διάστηµα [ ] (Σηµείωση: δεν ζητείται εύρεση της λύσης αυτής) 4β) (8µ) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα i) ii) π si( ) d για κάθε φυσικό + e d ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4α) i) Υπολογίζουµε τις παραγώγους της f ( ) 6 5 : f ( ) f ( ) 5 και παραγοντοποιούµε για να προσδιορίσουµε σηµεία µηδενισµού και πρόσηµα: 5 4 f ( ) (6 5 ) f ( ) ( ) f ( ) (4 5 ) Σχηµατίζουµε τον παρακάτω πίνακα προσήµων: 4/5 6/ f f + f σκ από τον οποίο συµπεραίνουµε ότι: + σκ + f() τµ + ii) η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (- ] είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [ +) στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο διάστηµα [ 4/5] και στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στα διαστήµατα (- ] και [4/5 +) iii) η f µηδενίζεται στα σηµεία και 6/5 παίρνει ολικό (και τοπικό) µέγιστο την τιµή στο και παρουσιάζει σηµεία καµπής για και 4/5 6 6 iv) lim f ( ) lim ( 5) ( +)( 5) Παρόµοια lim + f ( ) lim + ( 5) ( +)( 5) Από τα όρια αυτά την συνέχεια της f της παραπάνω µονοτονίας και του ολικού µεγίστου συµπεραίνουµε ότι το σύνολο τιµών της f είναι το διάστηµα (- ] 6 6 v) Στο διάστηµα [] η f ως γνησίως αύξουσα είναι - Αρα αν υπάρχει λύση της εξίσωσης αυτή θα είναι µοναδική Επιπλέον f() και f() οπότε λόγω συνεχείας και καθώς < / < υπάρχει στο ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -

14 διάστηµα () όπου η f παίρνει την τιµή / Ετσι συµπεραίνουµε ότι η εξίσωση f ( ) έχει 5 µοναδική λύση µεταξύ και β) i) os( ) os( ) os( ) os( ) si( ) d d d + os( ) d os( ) si( ) + Αρα για το ζητούµενο ορισµένο ολοκλήρωµα χουµε π os( ) si( ) π os( π ) si( π ) π ( ) si( ) d + + () ii) Το αόριστο ολοκλήρωµα υπολογίζεται ως εξής: Οπότε π e d µε την αντικατάσταση για [ ) u du u u + e d e e du e + C e + C + e d ( ) ( ) lim lim lim + e d + e + e e ( lim e ) + ( ) u du d ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -

15 Θέµα 5 5α) (6µ) ύο µηχανές Α Β παράγουν τα ίδια προϊόντα Οι παραγόµενες ποσότητες προϊόντων είναι ίσες για τις δύο µηχανές Είναι όµως γνωστό από προηγούµενη πείρα ότι το % της παράγωγής της Α είναι ελαττωµατικά προϊόντα ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για την Β είναι 5% Αν πάρουµε ένα προϊόν µε τυχαίο τρόπο να βρεθεί η πιθανότητα: i) να είναι ελαττωµατικό ii) να προέρχεται από την Α αν γνωρίζουµε ότι είναι ελαττωµατικό 5β) (4 µονάδες) Ο χρόνος ζωής σε έτη µιας µηχανής ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή έτη και τυπική απόκλιση έτη i) Ποιά η πιθανότητα η διάρκεια ζωής να είναι µεταξύ 8 ετών και ετών ; ii) Ποιά η πιθανότητα η διάρκεια ζωής να είναι τουλάχιστον 5 έτη ; iii) Ποιά είναι η τιµή q ώστε το γεγονός «η διάρκεια ζωής µιας µηχανής υπερβαίνει την τιµή q» έχει πιθανότητα ίση προς 9 ; iv) Ποιά είναι η πιθανότητα από 4 µηχανές οι το πολύ να έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη; (Σηµείωση: δεν απαιτείται να υπολογίσετε το τελικό αριθµητικό αποτέλεσµα) ίνονται: Φ() 84 Φ(5) 998 Φ(8) 9 5α) Συµβολισµός: E το ενδεχόµενο ένα προϊόν να είναι ελαττωµατικό A το ενδεχόµενο ένα προϊόν να προέρχεται από την µηχανή Α B το ενδεχόµενο ένα προϊόν να προέρχεται από την µηχανή Β Έχουµε P( A ) 5 P( B ) 5 και υπολογίζουµε: ) Εχουµε την διαµέριση E ( E A) ( E B) οπότε P( E) P( E A) + P( E B) P( E A) P( A) + P( E B) P( B) ) Για να βρούµε την πιθανότητα P( A E ) εφαρµόζουµε τον τύπο του Byes και έχουµε: P( E A) P( A) () (5) P( A E) P( E) 5 5 5β) Σύµφωνα µε την εκφώνηση ο χρόνος ζωής σε έτη της µηχανής είναι µια τυχαία µεταβλητή X η οποία ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ και σ Συνεπώς η τυποποιηµένη X τυχαία µεταβλητή Z ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή N () : i) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να είναι µεταξύ 8 έτη και έτη είναι 8 X P(8 X ) P P( Z ) Φ() Φ( ) Φ() [ Φ ()] Φ() ii) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να είναι τουλάχιστον 5 έτη είναι X 5 P( X 5) P P( Z 5) P( Z < 5) [ P( Z < 5)] P( Z < 5) Φ (5) 998 iii) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να υπερβεί τα q έτη είναι X q q q q P( X q) P P Z P Z > > > Φ q q Θέλουµε P( X > q) 9 δηλαδή Φ 9 Φ το οποίο ισοδύναµα δίνει q q q Φ 9 Φ Φ(8) 8 q+ 56 q 744 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -

16 iv) Εστω Y ο αριθµός των µηχανών (από τις 4) οι οποίες θα έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη Τότε η τυχαία µεταβλητή Y ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή µε 4 δοκιµές (συσκευές) πιθανότητα επιτυχίας (να έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη) p P( X 5) 998 (ερώτηµα ii) και πιθανότητα αποτυχίας q p ηλαδή Y ~ B( p) B(4998) Έτσι για P( Y ) p q p ( p) Η πιθανότητα να έχουµε το πολύ επιτυχίες σε 4 δοκιµές ισούται προς P( Y ) P( Y ) P( Y ) P( Y ) p ( p) p ( p) p ( p) ΤΕΛΟΣ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -

17 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ο ανάστροφος πίνακας ενός m πίνακα A [ ij ] σηµειώνεται µε A [ ji ] (δηλαδή οι γραµµές γίνονται στήλες και αντίστροφα) Ιδιότητες: ( A ) A ( A+ B) A + B ( λ A) λ A λ R ( AB) B A Ένας m πίνακας A [ ij ] ονοµάζεται συµµετρικός όταν ισχύει ij δηλ A A ji Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα A [ ij ] (όταν υπάρχει) συµβολίζεται µε ισχύει AA AA I Ιδιότητες: Αν Α Β αντιστρέψιµοι πίνακες A ( ) A A A ( ) ( ) A και ( AB) B A ( A ) ( A ) Z Ανάπτυγµα Lple της ορίζουσας τετραγωνικού πίνακα A [ ij ] ως προς την i γραµµή ή την j στήλη: det( A) A L L A i i A j j M M M L όπου A ( ) i+ j M και ij ij M η ελάσσων ορίζουσα του ij ij-στοιχείου Ιδιότητες ορίζουσας ενός πίνακα A : det( A ) det( A) det( λ A) λ det( A) λ R det( AB) det( A)det( B) det( ) det( ) Z \{} A [ A ] A αντιστρέψιµος det( A) τότε A dj( A) det( A) όπου dj( A) ο ανάστροφος του πίνακα µε στοιχεία τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων του A Ένα µη κενό υποσύνολο U του πραγµατικού διανυσµατικού χώρου V είναι υπόχωρος του δχ V αν και µόνο αν λ R και u u U ισχύει u + λ u U Τα διανύσµατα v v K v είναι γραµµικά ανεξάρτητα όταν λ v +λ v + L+λ v λ λ Lλ Ένα σύνολο { v v K v } του δχ V είναι µία βάση του V αν και µόνο αν I τα διανύσµατα v v K v είναι γραµµικά ανεξάρτητα IΙ Ο δχ Vπαράγεται από τα v v K v και τότε η διάσταση του V είναι dimv Αν Β{ u u K u } (διατεταγµένη) βάση του V και V τότε u µε µοναδικά i i i i R Η στήλη [ ] λέγεται στήλη συντεταγµένων του ως προς την B και συµβολίζεται µε [ ] B Έστω Vένας πεπερασµένης διάστασης δχ και U W υπόχωροι του V Τότε ισχύει: dim( U + W ) dimu + dimw dim( U W ) Για το ευθύ άθροισµα των υποχώρων U W V του δχ Vισχύει V U W ( V U + W και U W { } ) ( V U+ W και dimv dimu + dimw ) Εσωτερικό γινόµενο Ένα εσωτερικό γινόµενο στον R είναι µία συνάρτηση που σε κάθε ζεύγος ( y) R R αντιστοιχεί ένα πραγµατικό αριθµό o y µε τις ιδιότητες: ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ - Ι ( + λ y) o z ( o z) + λ( yo z ) y z R λ R ΙΙ o y yo y R και o ΙΙΙ o o µέτρο του διανύσµατος ορίζεται από τον τύπο o Η γωνία ω [ π ] των y R \{ } ορίζεται από τον τύπο: osω o y y Τα διανύσµατα y R λέγονται κάθετα (ή ορθογώνια) αν και µόνο αν o y Για το εσωτερικό γινόµενο και το µέτρο των διανυσµάτων y R ισχύουν οι ιδιότητες: Ι o y + y + y ΙΙ + y + y ΙIΙ λ λ λ R IV o y y (Cuhy-Shwrz) Προβολή p διανύσµατος στη διεύθυνση του y είναι o p y y y Το ορθογώνιο συµπλήρωµα ενός υπόχωρου E R είναι ο υπόχωρος { y : y E} E R Επιπλέον E E R ( E ) E Μία βάση u u K u R ονοµάζεται ορθοκανονική αν και µόνο αν τα διανύσµατα είναι ανά δύο κάθετα και µοναδιαία (δηλ ui o u j για i j και u i ) Αν ξ ξ K ξ είναι βάση του διανύσµατα η ξ και R τα ξ o η ξ o η ξ o η η ξ η η L η j j j j j j j η o η η o η η jo η j για j K είναι κάθετα µεταξύ τους τα δε διανύσµατα η u η η u η η K u η αποτελούν ορθοκανονική βάση του R Ο πραγµατικός πίνακας A µε την ιδιότητα A A A A I ή ισοδύναµα A Αν Α ορθογώνιος τότε ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο ισχύουν: I Οι στήλες του (και οι γραµµές του) αποτελούν A ονοµάζεται ορθογώνιος ορθοκανονική βάση του R II det A III A IV Ao A y o y V Αντίστροφος ορθογωνίου και γινόµενο ορθογώνιων πινάκων είναι ορθογώνιος πίνακας Γραµµικές απεικονίσεις (µετασχηµατισµοί) Μία απεικόνιση f : U V ( U V πραγµατικοί διανυσµατικοί χώροι) ονοµάζεται γραµµική όταν f ( + λ y) f ( ) + λ f ( y ) y U και λ R (Αν U Vλέγεται και γραµ µετασχηµατισµός του U ) Το σύνολο er f { U : f ( ) } U ονοµάζεται πυρήνας της f και είναι υπόχωρος του U Το σύνολο Im f { y V : f ( ) y U } V λέγεται εικόνα της f και είναι υπόχωρος του V Η f : U V λέγεται ένα-προς-ένα (-) αν y U f ( ) f ( y) y Η f : U V λέγεται επί αν f ( U ) V Για τη γραµµική απεικόνιση f : U V ισχύουν: Ι dimu dim er f + dim Im f ΙΙ Η f είναι - αν και µόνο αν er f { } ΙΙΙ Αν Β { u u K u } διατεταγµένη βάση του Uκαι Β { v v K v m } διατεταγµένη βάση του V από τις ισότητες f ( u ) v + v + L+ v m m f ( u ) v + v + L+ v M m m f ( u ) v + v + L+ v m m ορίζεται ο m πίνακας αναπαράστασης της f L A L M M M m m L m f ( ) για κάθε U και A[ ] [ ] B B Αν για τους διανυσµατικούς χώρους ισχύει dimu dimv τότε για τη γραµµική απεικόνιση f : U V οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες Ι f αντιστρέψιµη (υπάρχει η II f είναι - III er f { } f ) IV f είναι επί Ιδιοτιµές Ιδιοδιανύσµατα πίνακα Για έναν πίνακα A οι ιδιοτιµές λiτου πίνακα είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου λ L λ p( λ) det L M M M L λ λ + λ + L+ λ+ i Αν ο A είναι τριγωνικός ή διαγώνιος τότε οι ιδιοτιµές του είναι τα διαγώνια στοιχεία του Για κάθε ιδιοτιµή λ i K τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι οι µη-µηδενικές λύσεις [ K ] του οµογενούς συστήµατος ( λ ) + + L+ i + ( λ ) + L+ i M + + L+ ( λ ) i Για τις ιδιοτιµές του A ισχύουν: det A λ λ L λ ( ) και tra λ + λ + + λ L όπου οι αντίστοιχοι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p( λ ) Αν λ i ιδιοτιµή και i αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα του A τότε λ είναι ιδιοποσά του i i A Οι ιδιοτιµές πραγµατικού συµµετρικού πίνακα είναι αριθµοί πραγµατικοί τα δε ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα Ο πίνακας A λέγεται διαγωνοποιήσιµος όταν είναι όµοιος µε διαγώνιο πίνακα D δηλ όταν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε A PDP Ο διαγώνιος πίνακας D έχει διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιµές του A και ο P είναι πίνακας µε στήλες αντίστοιχα ιδιο- διανύσµατα που αποτελούν βάση του R Ο πίνακας Α διαγωνοποιείται όταν: Για κάθε ιδιοτιµή αλγεβρικής πολλαπλότητας υπάρχουν ακριβώς γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα ή αλλιώς η γεωµετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής ισούται µε την αλγεβρική της πολλαπλότητα (και αντιστρόφως) Εχει διακεκριµένες ιδιοτιµές Είναι συµµετρικός πραγµατικός ότε υπάρχει ορθογώνιος πίνακας Q τέτοιος ώστε

18 A Q dig( λ λ K λ ) Q Αν f ( λ ) είναι πολυώνυµο τότε ( λ λ λ ) f ( A) P f ( D) P Pdig f ( ) f ( ) K f ( ) P Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A ισχύει p( A) A + A + L+ A+ I O Αν υ( λ ) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου f ( λ ) δια του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p( λ ) τότε f ( A) υ( A) Τετραγωνικές µορφές Το πολυώνυµο των πραγµατικών µεταβλητών K της µορφής F( ) A όπου [ ] K και A συµµετρικός πίνακας ονοµάζεται τετραγωνική µορφή Αν A Qdig( λ λ K λ ) Q τότε η F( ) µετασχηµατίζεται στη διαγώνια µορφή F( y ) λ y + λ y + L+ λ y όπου [ K ] Αν λ λ λ > ( < ) y y y Q y K η F λέγεται θετικά (αρνητικά) ορισµένη αν λ λ K λ ( ) λέγεται θετικά (αρνητικά) ηµιορισµένη ενώ σε κάθε άλλο συνδυασµό προσήµων των λ ονοµάζεται αόριστη ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A R f : A R ή y f ( ) A y Γραφική παράσταση συνάρτησης f C σηµείο M ( y) τουεπ / δου y : y f ( ) f { } Συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο A f ( ) < f ( ) A µε < Συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο A f ( ) > f ( ) A µε < Άνω φραγµένη συνάρτηση f : A R Υπάρχει αριθµός s (άνω φράγµα της f ) µε την ιδιότητα: f ( ) s A (Ανάλογα ορίζεται η κάτω φραγµένη) Φραγµένη λέγεται η συνάρτηση αν είναι άνω και κάτω φραγµένη - συνάρτηση f : A R Για οποιαδήποτε f ( ) f ( ) A αν τότε ισοδύναµα: αν f ( ) f ( ) τότε Σύνθεση της f : A R µε την g : B R ( go f )( ) g( f ( )) A για τα οποία f ( ) B Αντίστροφη συνάρτηση µιας - συνάρτησης f είναι η f : f ( A) A που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο y f ( A) στο µοναδικό για το οποίο ισχύει y f ( ) δηλ f ( y) f ( ) y Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Όριο συνάρτησης στο - Πλευρικά όρια lim f ( ) l lim f ( ) lim f ( ) l + Κριτήριο παρεµβολής: Αν g( ) f ( ) h( ) κοντά στο και lim h( ) lim g( ) l τότε lim f ( ) l Η ιδιότητα αυτή ισχύει και στην περίπτωση που + si lim Συνέχεια os lim i ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ - Η συνάρτηση f : A Rείναι συνεχής στο A αν lim f ( ) f ( ) Παράγωγος συνάρτησης ( A ( ) R) Η συνάρτηση f : A Rείναι παραγωγίσιµη στο σηµείο A αν υπάρχει το όριο lim f ( ) f ( ) f ( ) R Η εφαπτοµένη ευθεία της C στο σηµείο f ( f ( )) είναι y f ( ) f ( )( ) Αν f είναι παραγωγίσιµη τότε f συνεχής Αν f δεν είναι συνεχής τότε f δεν είναι παραγωγίσιµη Ιδιότητες παραγώγων: Αν f g παραγωγίσιµες f ( ) f ( ) R ( ) ( ) ( f ( ) ± g( ) ) ( f ( ) ) ± ( g( ) ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) ( ) f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) g ( ) g( ) g ( ) Aν επιπλέον f και f αντιστρέψιµη τότε η αντίστροφη f είναι παραγωγίσιµη και ( f ) f Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης f ( g( )) είναι ( f ( g( )) ) df ( g( )) df ( g) dg( ) d dg d Παράγωγοι συνήθων συναρτήσεων ( )' R ( )' R ( si ) ' os( ) ( ) ( t ) ' os ' si( ) os ( )' e e ( )' l( ) l ' > ( ) ( rsi ) ' ( rt ) ' + Κανόνας l Hospitl Πρώτη διατύπωση: Αν f ( ) g( ) και f ( ) g ( ) υπάρχουν και g ( ) τότε f ( ) f ( ) f ( ) lim lim g( ) g ( ) g ( ) εύτερη διατύπωση : Αν f ( ) g( ) µε f ( ) g( ) διαφορίσιµες στο ( ) g ( ) εκτός πιθανώς του ( ) τότε f ( ) f ( ) lim lim g( ) g ( ) και Ο κανόνας ξαναχρησιµοποιείται αν ισχύουν οι ίδιες συνθήκες και για τις παραγώγους των f ( ) g( ) ± Οι απροσδιόριστες µορφές m µπορούν να µετατραπούν ως εξής / / f g : g ( ) f ± : fg / f / g / g/ f : f g / fg Οι απροσδιόριστες µορφές µετατρέπονται µε βάση τη σχέση ( ) lim ( ( )l ( )) lim f g g f ( ) e > + f ( ) g e g f ( ) ( )l ( ) Εφαρµογές των παραγώγων στην σχεδίαση της γραφικής παράστασης C της f : A R Από πρώτη παράγωγο Αν f ( ) > I A τότε η f γνησίως αύξουσα Αν f ( ) < I A τότε η f γνησίως φθίνουσα Αν f ( ) για κάποιο Aκαι υπάρχει ε> : f ( ) > ε < < και f ( ) < < < +ε τότε το είναι σηµείο τοπικού µεγίστου Ανάλογα για σηµείο τοπ ελαχίστου Από δεύτερη παράγωγο Αν f ( ) > I A τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο διάστηµα Ι Αν f ( ) < I A τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστηµα Ι Αν υπάρχει ε> µε f ( ) > για ε < < και f ( ) < για < < +ε (ή αντίστροφα) τότε το είναι σηµείο καµπής α) Αν f ( ) και f ( ) > τότε το είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου β) Αν f ( ) και f ( ) < τότε το είναι σηµείο τοπικού µεγίστου Ασύµπτωτες Κάθετη ασύµπτωτη η ευθεία R αν lim f ( ) ± ή lim f ( ) ± Οριζόντια ασύµπτωτη η ευθεία y R αν lim f ( ) ή lim f ( ) Πλάγια ασύµπτωτη της C στο ± η ευθεία f y + αν ( f ) f lim ( ) ± f ( ) lim lim( f ( ) ) ± ± R και R Σηµαντικά θεωρήµατα Έστω συνάρτηση f : [ ] R Bolzo: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] και f ( ) f ( ) < τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε f ( ) Ενδιάµεσης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] και f ( ) f ( ) τότε για κάθε αριθµό ρ µεταξύ των f ( ) και f ( ) υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε f ( ) ρ Μέγιστης - ελάχιστης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] τότε η f είναι φραγµένη στο [ ] Επιπλέον υπάρχουν [ ] έτσι ώστε f ( ) f ( ) f ( ) [ ] Θεώρηµα µέσης τιµής (ΘΜΤ): Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ] και παραγωγίσιµη στο ( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) f ( ) f ( ) τέτοιο ώστε : f ( ξ) Rolle: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] παραγωγίσιµη στο ( ) και f ( ) f ( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) τέτοιο ώστε : f ( ξ ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο ( ) και f ( ) ( ) τότε f ( ) Cuhy: Αν οι f ( ) g( ) είναι ορισµένες και συνεχείς στο [ ] διαφορίσιµες στο ( ) και g ( ) ( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον f ( ) f ( ) f ( ) ένα ( ) : g( ) g( ) g ( ) Drou: Αν f παραγωγίσιµη στο [ ] µε f ( ) > f ( ) και R µε f ( ) < < f ( ) τότε υπάρχει ξ ( ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) (παρόµοια αν f ( ) < f ( ) )

19 Εφαρµογή του ΘΜΤ για την προσέγγιση ρίζας Αν η εξίσωση f ( ) έχει ρίζα µε f παραγωγίσιµη στο [ h + h] f '( ) < m< [ h h] αυθαίρετο [ h h] και + τότε για + η ακολουθία f ( ) συγκλίνει στη ρίζα Ορισµένο ολοκλήρωµα Κάθε συνεχής f είναι ολοκληρώσιµη f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d+ f ( ) d + + f ( ) d f ( ) d f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d ( ) f ( ) g( ) f ( ) d g( ) d ΘΜΤ: f συνεχής τότε για κάποιο ξ [ ] f ( ) d f ( ξ)( ) Αόριστο ολοκλήρωµα ή αντιπαράγωγος (παράγουσα) F( ) + f ( ) d F( ) + f ( ) Ιδιότητες ( ) df ( ) f ( ) + ( + ) + f ( ) h( ) d f ( ) d h( ) d Μεθοδολογίες Ολοκλήρωσης Αντικατάσταση g( t) f ( g( t)) g '( t) dt f ( ) d Παραγoντική Ολοκλήρωση f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d Πίνακας Ολοκληρωµάτων d + + d + R { } + d l + os d si + si d os + d t ( ) + r t( ) + + d si ( ) + rsi( ) + f e d e + ( ) d l f ( ) + f ( ) Θεµελιώδη θεωρήµατα Ολοκληρωτικού Λογισµού Ι Αν η f είναι ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [ ] και F είναι ένα αόριστο ολοκλήρωµα της f τότε f ( ) d F( ) F( ) ΙΙ Αν η f είναι συνεχής στο διάστηµα [ ] df d τότε f ( t) dt f ( ) d d Γενικευµένα Ολοκληρώµατα + (α είδους) ( ) lim ( ) f d f d + ή ( ) lim ( ) f d f d (β είδους) ( ) lim ( ) + ε ( ιδιόµορφο σηµείο) f d f d ε + ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ - ( ) lim ( ) + f d f d e + e ( ιδιόµορφο σηµείο) (γ είδους) συνδυασµός α β είδους e ( ) lim ( ) + lim ( ) f d f d f d e e + e µε < < ( ιδιόµορφα σηµεία) + ( ) lim ( ) + lim ( ) f d f d f d + e ( ) lim ( ) + lim ( ) + f d f d f d ( ιδιόµορφο σηµείο) + e ( ) lim ( ) + lim ( ) + + f d f d f d e + e ( ιδιόµορφο σηµείο) + Εσωτερικό ιδιόµορφο σηµείο ( ) e ( ) lim ( ) + lim ( ) + + f d f d f d e e + e η πρωτεύουσα τιµή του Cuhy e f ( ) d lim f ( ) d f ( ) d + e + + e ( ιδιόµορφο σηµείο) Ο µετασχηµατισµός Lple µίας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f : [ +) R είναι + t L{ f ( t)}( ) e f ( t) dt για κάθε τιµή του για την οποία το παραπάνω γενικευµένο ολοκλήρωµα συγκλίνει Εφαρµογές Ολοκληρωµάτων ( ) ( ) E f d f ( ) S + f d E f + f d o π ( ) ( ) ( ) Vo π f d ( ) ( ) E f f d ( ) ( ) Vo π f f d ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Ακολουθία είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο των θετικών ακέραιων αριθµών Συµβολισµός: ( ) Πρόοδοι Αριθµητική: + +ω α + ( ) ω [ + ( ) ω] Άθροισµα όρων απ: S Γεωµετρική: + λ ή λ λ Άθροισµα πρώτων όρων γπ: S λ λ Γεωµετρικός µέσος: Αν είναι διαδοχικοί όροι γπ τότε Σηµαντικά όρια ακολουθιών Το R παραµένει σταθερό καθώς το (στους τύπους που υπάρχει ) lim lim lim < l lim lim! lim > lim+ e lim! Φραγµένες ακολουθίες άνω φραγµένη: υπάρχει M R: M N κάτω φραγµένη : υπάρχει m R: m N Φραγµένη: συγχρόνως άνω και κάτω φραγµένη δηλ υπάρχουν m M R : m M N Μια ακολουθία απολύτως φραγµένη είναι φραγµένη και αντιστρόφως Μία φραγµένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ ανάγκη Μονότονες ακολουθίες Μία ακολουθία Nονοµάζεται αύξουσα αν ισχύει + N φθίνουσα αν ισχύει + N µονότονη αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα Μονότονες και φραγµένες ακολουθίες- Σύγκλιση Μία µονότονη ακολουθία δε συγκλίνει κατ ανάγκη Κάθε µονότονη και φραγµένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα στο R Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγµένη Αν limβ και β Nτότε lim Αν lim + / λ < τότε lim Ειδικές Κατηγορίες Σειρών α) Γεωµετρικές Σειρές: r αν r < : συγκλίνει Άθροισµα: r αν r : απειρίζεται θετικά αν r : κυµαίνεται το όριό της δεν υπάρχει β) p-σειρές: ς( p ) p αν p> : συγκλίνει αν p : αποκλίνει γ) Τηλεσκοπικές : + Συγκλίνει αν και µόνο αν υπάρχει το όριο lim Άθροισµα: lim δ) Εναλλάσσουσες Σειρές: ( ) < για όλα τα > ή ε) Αναπτύγµατα ylor: Αν η συνάρτηση f και οι πρώτες τις παράγωγοι συνεχείς στο [ ] και αν η διαφορίσιµη στο ( ) () () ( ) f f f είναι τότε για ( ) ( ) f είναι ξ ισχύει () () f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + ( ) + ( ) + L!! ( ) f ( ) L + ( ) + R ( )! ( + ) f ( ξ) + R ( ) είναι το υπόλοιπο ( + )! όπου ( ) της πολυωνυµικής προσέγγισης -βαθµού Όταν τότε το ανάπτυγµα ονοµάζεται και ανάπτυγµα Mluri Συνήθεις σειρές ylor ( ) για R e L+ + L!! 5 + si + L+ ( ) + L! 5! (+ )! 4 os + L+ ( ) + L! 4! ( )!

20 και για -< < + l( + ) + L+ ( ) + L rt + L+ ( ) + L 5 + ε) Σειρές Fourier: Έστω f :[ L L] Rπου επεκτείνεται L περιοδικά Η σειρά Fourier της f δίνεται από π π f ( ) ~ ( os + si ) L L L όπου f ( ) d L L L π f ( )os d L K L L L π f ( )si d L K L L Κριτήρια σύγκλισης σειρών Ι Αν lim τότε η σειρά δεν συγκλίνει ΙΙ α) Αν οι σειρές συγκλίνουν τότε για κάθε λ R συγκλίνει ( + λ ) + λ β) Αν συγκλίνει και δεν συγκλίνει τότε ( + ) δεν συγκλίνει ΙIΙ Αν η σειρά συγκλίνει τότε η συγκλίνει Το αντίστροφο δεν ισχύει ΙV (Απλό κριτήριο σύγκρισης) Έστω αν συγκλίνει τότε συγκλίνει αν δεν συγκλίνει τότε δεν συγκλίνει V (Γενικευµένο κριτήριο σύγκρισης) Έστω < lim > Τότε οι σειρές και είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα VI (Κριτήριο λόγου - d Alemert) Έστω για και lim + λ Τότε: αν λ< τότε η αν λ> τότε η συγκλίνει δεν συγκλίνει αν λ τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε VIΙ (Κριτήριο ρίζας - Cuhy) Έστω > και lim λ αν λ< τότε η αν λ> τότε η συγκλίνει δεν συγκλίνει αν λ τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε VIIΙ (Κριτήριο Leiitz) Έστω ( ) Αν η ακολουθία ( ) είναι θετική φθίνουσα και lim τότε η σειρά συγκλίνει IX (Κριτήριο ολοκληρώµατος) Αν η ολοκληρώσιµη συνάρτηση f :[ +) R είναι θετική και + I f d φθίνουσα τότε ( ) και S f ( ) συγχρόνως συγκλίνουν ή αποκλίνουν και αν συγκλίνουν ισχύει: I < S< I+ f () ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ! Συνδυασµοί : Cr r r! ( r)! P( A B) εσµευµένη Πιθανότητα P ( A / B) P( B) Ανεξάρτητα ενδεχόµενα: ( A B) ( A) ( B) Αν Ai Aj P P P i j και A A A Ω Ολική Πιθανότητα: P( B ) P( A )P( B / A ) + L + P( A )P( B / A ) P( A )P( B / A ) Τύπος Byes: P( A / B) P( B) Τυχαία µεταβλητή (τµ) είναι µια συνάρτηση X µε πεδίο ορισµού το δειγµατικό χώρο Ω ( ) του πειράµατος και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών Η µέση τιµή µίας τµ συµβολίζεται µε E( X ) ή µε µ X και δίνεται από: E( X ) f ( ) για τις διακριτές τµ και από: E( X ) f ( ) d για τις συνεχείς τµ όπου f ( ) η συνάρτηση πιθανότητας (σπ) (περίπτωση διακριτής τµ) ή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) (περίπτωση συνεχούς τµ) H διασπορά για τις διακριτές τµ δίνεται από: vr( X ) E ( X µ ) ( µ ) f ( ) και για τις συνεχείς τµ από: vr( X ) E ( X µ ) ( µ ) f ( ) d Ισχύει: vr( X ) E X ( E[ X] ) Η τυπική απόκλιση µιας τµ Χ συµβολίζεται µε σ και είναι η (θετική) τετραγωνική ρίζα της X διασποράς της Χ δηλαδή: σ vr( X ) Έστω X τµ (διακριτή ή συνεχής) Εάν ορίσω άλλη τυχαία µεταβλητή Y X + τότε ισχύει: E( Y ) E( X + ) E( X ) + Vr Y Vr X Vr X Κατανοµές τυχαίων µεταβλητών ιωνυµική: B( p) : f ( ) p ( p) ( ) ( + ) ( ) E( X ) p Vr( X ) p( p) Poisso ( ) λ λ P λ : f ( ) e! E( X ) λ Vr( X ) λ Γεωµετρική: p p G( p) : f ( ) αλλιώς ( ) E( X ) / p Vr( X ) ( p) / p Αρνητική διωνυµική: ν ν f ( ) p ( p) ν ν + ν E( X ) ν / p Υπεργεωµετρική: Vr( X ) ν ( p) / p X N N f ( ) N mi( N ) N+ N N N E( X ) N Οµοιόµορφη: U ( ) N N N N N N Vr( X ) f ( ) αλλού E( X ) ( + ) / Vr X ( ) ( ) / Κανονική ( ) < < E( X ) µ Εκθετική E( X ) / N µ σ : Vr( X ) σ f ( ) e σ π e E( ) : f ( ) αλλού Vr( X ) / µ σ Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Αν X X X ανεξάρτητες µε E( X i ) µ Vr( X i ) σ τότε X i ~ N ( µ σ ) i ( X µ ) ~ Ν () ή σ Χρήσιµες ταυτότητες και σχέσεις: ( + ) r r r ( ± ) ± + ( ± ) ± + ± + ( )( ) ± ( ± )( m + ) ( )( ) ( + ) + > Βασικοί τριγωνοµετρικοί τύποι ( R ) si( ) si( ) os( ) os( ) si si + os t os si( ± y) si os y± si y os os( ± y) os os ym si si y t t ± t y ± m t t y ( y) si si os t + t t os os si os t + t t t t + θ os θ ± y m y si ± si y si os + y y os + os y os os + y y os os y si si si() os( π / ) os() si( π / ) si( π / 6) os( π / ) / π π π π si( ) os( ) si( ) os( ) C z + i y y R Σύνολο µιγαδικών { } Συζυγής: z iy z Αντίστροφος: z z z Μέτρο µιγαδικού αριθµού: r z + y και r z z z Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού z r (osθ+ i si θ ) όπου θ πρωτεύον όρισµα Θεώρηµα De Moivre ( os( θ) si( θ) ) iθ z r e r i + ακέραιος Οι διακεκριµένες ρίζες της εξίσωσης z N (που λέγονται και -οστές ρίζες του z ) δίνονται από τον τύπο θ+ π θ+ π z ros + isi K