Nayma Qəhrəmanova Məhəmməd Kərimov İlham Hüseynov RİYAZİYYAT 10

Transcript

1 Nama Qəhrəmanova Məhəmməd Kərimov İlham Hüsenov RİYAZİYYAT 0 Ümumtəhsil məktəblərinin 0-cu sinfi üçün Riaziat fənni üzrə dərsliin METODİK VƏSAİTİ Bu nəşrlə bağlı irad və təkliflərinizi radius_n@hotmail.com və derslik@edu.gov.az elektron ünvanlarına göndərməiniz ahiş olunur. Əməkdaşlığınız üçün əvvəlcədən təşəkkür edirik! Radius Bakı - 07

2 . Funksialar İstifadə edilən şərti işarələr... Dərsliin strukturu... Dərsin təşkili üçün metodik tövsiələr...7 Funksia və onun verilmə üsulları. Bəzi funksiaların təin oblastı və qi mət lər çoluğu...9 Funksiaların assələri. Cüt funksia, tək funksia...7 Hissə-hissə verilmiş funksi a lar... = n (n N) qüvvət funk si a ları...7 Funksiaların təsnifatı...0 Qrafiklərin çevrilməsi... Funksialar üzərində əməllər...9 Mürəkkəb funksia... Tərs funksia. Ümumiləşdirici tapşırıqlar... Funksialar. Summativ qimətləndirmə...8. Fəzada nöqtə, düz ətt, müstəvi Fəzada nöqtə,düz ətt və müs təvi...5 Fəzada düz ətlərin və müs təvilərin qarşılıqlı vəzi əti...5 Düz ətlə müstəvinin paralellii. Düz ətlə müstəvinin perpen di kularlığı...56 Üç perpendikular teo remi Düz ətt və müstəvi arasındakı bucaq. İki müstəvi arasındakı bucaq. İkiüzlü bucaqlar. Perpendikular müstəvilər Paralel müstəvilər. Proeksi a lar və məsələ həlli. Ümu miləş di rici tapşırıqlar...6 Fəzada nöqtə,düz ətt və müs təvi. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları Bucağın triqonometrik funksiaları Dönmə bucaqları. Bucağın radian və dərəcə ölçüsü...68 Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi. Xətti sürət, bucaq sürəti...7 Mündəricat Triqonometrik funksialar. İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları...7 Vahid çevrə və istənilən bucağın triqonometrik funksiaları...79 Çevirmə düsturları...8 Triqonometrik eniliklər...86 Toplama düsturları...88 Toplama düsturlarından alınan nəticələr...89 Triqonometrik ifadələrin sadə ləş dirilməsi. Ümumi ləşdi rici tap şı rıqlar....9 İstənilən bucağın triqono met rik funksiaları. Summativ qi mət lən dirmə tapşırıqları...9. Sinuslar, kosinuslar teoremi Sinuslar teoremi. Sinuslar teoremi və üçbucağın sahəsi. Sinuslar teore minin tətbiqi ilə məsələ həlli...95 Kosinuslar teoremi. Ümumiləşdirici tapşırıqlar...99 Sinuslar və kosinuslar teoremi. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları Triqonometrik funksialar Dövri funksialar. = sin funksiasının qrafiki. = cos funksiasının qrafiki...07 = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri. = asin b = acos b funksiasının dövrü və amplitudu... 5 əsas nöqtəsinə görə sinusoidin qurulması. Triqonometrik funksialar və periodik hadisələr...8 = tg və = ctg funksiaları və qrafikləri... Tərs triqonometrik funksialar. Ümumiləşdirici tapşırıqlar...7 Triqonometrik funksialar. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları...9 Yarımillik summativ qimətləndirmə tapşırıqları...0

3 6. Çoüzlülər 9. Üstlü və loqarifmik funksialar Çoüzlülər. Prizmalar. Ço üzlülər və onların mütəlif tərəfdən görü nüşləri... Prizmanın səthinin sahəsi... Prizmanın müstəvi kəsikləri...5 Piramida. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsi...50 Piramidanın kəsikləri. Kə sik piramida. Ümumi ləş di rici tap şırıqlar...5 Çoüzlülər. Summativ qimət lən dirmə tap şırıqları Triqonometrik tənliklər Sadə triqonometrik tənliklərin həlli...59 Triqonometrik tənliklərin həll üsulları. Triqonometrik tənlik lərin tətbiqi ilə məsələ həlli...6 Triqonometrik bərabərsizliklər. Ümumiləşdirici tapşırıqlar...69 Triqonometrik tənliklər və bərabərsizliklər. Summativ qi mətləndirmə tapşırıqları Fiqurların həcmi Prizmanın həcmi...76 Piramidanın həcmi...8 Fəza fiqurlarının oşarlığı. O şar fəza fiqurlarının səthləri və həcmləri. Kəsik pira mi danın həcmi. Müstəvi kəsiklərinə aid məsələlər...8 Fəzada simmetria. Ümumiləşdirici tap şı rıqlar...87 Fəza fiqurlarının həcmi.summativ qimətləndirmə tapşırıqları...89 Bölmə üzrə nümunəvi dərs. Üstlü funksia. =a...9 Həqiqi üstlü qüvvət. Üstlü funksia...9 Üstlü funksianın qrafikinin çevrilmələri...96 Üstlü funksia. e ədədi...0 Ədədin loqarifmi...0 Loqarifmik funksia. Loqarifmik şkala və məsələ həlli...0 Loqarifmin assələri...09 Üstlü tənliklər. Loqarifmik tənliklər Üstlü bərabər sizliklər. Loqa rifmik bərabər - sizliklər. Ümumi ləşdirici tap şırıqlar.... Summativ qi mət ləndirmə tapşırıqları Kompleks ədədlər Kompleks ədədlər. Kompleks ədədlər üzərində əməllər... Kompleks ədədin həndəsi təsviri Kompleks ədədin modulu və arqumenti. Kompleks ədədin triqonometrik şəkli... Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində əməllər... Kompleks ədədin n-ci dərəcədən kökləri. Ümumiləşdirici tapşırıqlar... Kompleks ədədlər. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları...7. Məlumatlar, proqnozlar Külliat və seçim. Təsadüfi seçim və növləri. Məlumatın təqdimi...0 Binomial açılışlar... Bernulli sınaqları. Binomial sınaqlar. Ümumilədirici tap şı rıqlar... Məlumatlar proqnozlar.summativ qimətləndirmə tap şı rıqları...5 İllik summativ qimətləndirmə tapşırıqları...7

4 İstifadə edilən şərti işarələr Məzmun standartı Diqqət edilməli məqamlar Əldə edilən şagird bacarıqları Refleksia sualları Lazımi nəzəri material Ev tapşırıqları Lazımi ön biliklər Qimətləndirmə tapşırıqları Örənmə üçün nümunə tapşırıqlar Əlavə resurslar Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli Lüğət Dərsliin strukturu Dərslikdə Ədədlər və əməllər, Cəbr və funksialar və Ölçmə məzmun ətti standartları üzrə bacarıqların Funksialar Üstlü və loqarifmik funksia, İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları, Triqonometrik funksialar, Triqonometrik tənlik və bərabərsizliklər Kompleks ədədlər başlıqları ilə 6 bölmədə verilmiş dərslərdə reallaşdırılması nəzərdə tutlur. Həndəsə və Ölçmə məzmun ətti üzrə standartların reallaşdırılması Fəzada nöqtə, düz ətt, müstəvi Çoüzlülər Fəza fiqurlarının həcmi Sinuslar və kosinuslar teoremi başlıqları ilə verilmiş bölmədə, Statistika və ehtimal məzmun ətti üzrə nəzərdə tutulmuş standartlar üzrə bacarıqların Məlumatlar proqnozlar başlığı altında birləşdirilmiş dərslərlə reallaşdırılması nəzərdə tutulur. Ölçmə məzmun ətti üzrə standartlar həmçinin bütün dərslik bou çalışmalarda və tətbiq məsələlərində reallaşdırılır. Məzmun ətləri arasında üfüqi inteqrasia gözlənilmişdir. Məsələn, funksialar və a triqonometrik funksialar bölməsində verilmiş məsələlər həm Statistika və ehtimal, həm də Ölçmə və Həndəsə məzmun ətləri ilə sı əlaqədə verilmişdir.?

5 Yeni anaşma prinsipləri. Yeni anlaışın dail edildii hər bir dərs əsasən aşağıdakı strukturla qurulmuşdur.. Anlaışın hansı ön riazi bilikləri əhatə etdiini göstərən araşdırma tapşırıqları, praktik məşğələlər. Riazi anlaışın tərifi, düsturu. Tərifin, düsturun tətbiqinə aid örənmə tapşırıqları. Tərifin, düsturun tətbiqini nəzərdə tutan sadə tətbiq tapşırıqları 5. Anlaışın tətbiqini nəzərdə tutan aradıcı tapşırıqlar, real həati situasia məsələlərinin riazi modelini müəənləşdirən düsturların azılması. Hər bir məzmun standartının reallaşdırılmasına kurikulumun bacarıqlara əsaslanan tələblərinə uğun anaşılmışdır. Odur ki, eni anlaış üzrə dərslərə anaşma addaşa əsaslanan mövcud dərsliklərdəki anaşmadan köklü surətdə fərqlənir. Məsələn, örənilməsi bir qədər çətin olan qrafiklərin çevrilməsi mövzusu funksialar ailəsi anlaışı dail edilməklə sadələşmiş və maraqlı hala gəlmişdir. Belə ki, ən ço işlənən funksialar bir ailədə - bir qrupda birləşdirilmiş və əsas funksianın qrafiki, assələri ümumi şəkildə verilmişdir. (Dərslik səh. ). Eni ailəə aid hər bir ( = + funksiası = ailəsinə daildir) funksianın ana funksiaa görə çevrilməsi sözlə, düsturla, qrafik olaraq izah edilmişdir. Enilik funksiası f() = O Kvadrat funksiası f() = O Modul funksiası f() = O Kub funksiası f() = O Üfüqi və şaquli sürüşdürmələrə, həmçinin əksetmə, dartılma və sıılmalara uğun çevrilmələr qrafiklə, düsturla və sözlə ifadə edilir. Bu cür anaşma şagirdin fəza təsəvvürlərini, aradıcı düşünmə bacarıqlarını inkişaf etdirməklə funksiaların çevrilməsi anlaışını dərindən başa düşməə imkan verir. Eni mövzu triqonometrik funksialara aid edildikdə şagirdin artıq dərindən tanış olduğu çevrilmələri necə erinə etirməsi diqqətdə salanılır. Artıq burada çevrilmələri aradan hər bir həddin real həati situasia məsələlərində hadisələrə təsiri, situasiaa uğun real mənasının izah edilməsi dərsin məqsədinə çevrilir. 5 Rasional funksia f() = O Kvadrat kök funksiası f() = O

6 Triqonometrik funksialar üzrə dərslər də addaşa əsaslanan anaşmalardan köklü surətdə fərqlənir. Belə ki, istənilən bucağın triqonometrik funksiasını hesablamaq üçün adda salanılması tələb edilən çevirmə düsturları elə ilk dərslərdə vahid çevrə üzərində uğun iti bucaq anlaışı dail edilməklə istənilən bucağın triqonometrik funksiasını hesablama imkanı aradılmışdır. Şagird başa düşür ki, birinci rübdə olan 0º-90º bucaqların triqonometrik nisbətlərinin qimətini bilməklə istənilən bucağın triqonometrik funksiasını tapa bilər. Bu dərslərdə şagird triqonometrik funksianı düsturlarla deil, həndəsi təsvirlə erinə etirir, daha geniş biliklərini əlaqələndirmə vərdişlərinə iələnir. Triqonometrik funksiaların, üstlü funksiaların, loqarifmik funksiaların tədrisində bu funksialarla modelləşdirilən real həati situasialar qruplaşdırılmış və uğun məsələlər verilmişdir. Əsasında dövri meaniki hərəkətlərin daandığı situasiaları triqonometrik funksialarla modelləşdirmənin mümkün olduğu göstərilir. Məsələn, park - lar dakı dairəvi karuselin bir vahid dairə modeli olduğunu asanlıqla görmək olar. Ka ru - se lin oturacağındakı şəsin müəən zaman anında erdən məsafəsini ( ou, sinus) triqonometrik funksianın köməilə modelləşdirmək olar. Həmçinin radian və dərəcə ölçüsü arasındakı əlaqənin daha adın dərk edilməsi üçün ətti sürət, bucaq sürətinin hesablanması kimi fiziki hadisələrə aid məsələlər dail edilmişdir. Şagird təbiətdəki nisbi sabitliin bir ço dövri hadisələrin baş verməsi ilə əlaqəli olduğunu başa düşür. Yırtıcılar və qurbanlarının çoalmasındakı asılılığın triqonometrik funklsialarla model ləş di ril - mə sinə aid məsələlər verilmişdir. Üstlü funksialara aid məsələlər, eksponensial artan və azalan situasialara aid olmaqla şagirdin dünagörüşünü inkişaf etdirən ekologia, areologia kimi maraqlı elm sahələrinə aid məsələlər dail edilmişdir. Eksponensial azalma məsələlərinin mətni və həlli radioaktiv maddənin parçalanma müddətinə aid ətraf aləmə zərər verən, həmişə in - san ları dəhşətli nüvə müharibəsi qorusu altında salaan radiodiaktiv (polonium və s.) izotopların parçalanması, həmçinin kəşfinə görə Nobel mükafatı alınmış Karbon- atomunun parçalanmasına görə qalığın aşının müəən edilməsi kimi bəşəriətə lazım olan problemlərlə şagirdləri tanış edir. Şagirdlər mətnə görə uğun eksponensial düsturu azmalıdır. Bu məsələlərlə anaşı, suun temperaturunun dəişməsi və s. kimi şagirdə tanış situasialar da nəzərdən keçirilmişdir. Eksponensial artım daha ço iqtisadi məsələlər üzərində, mürəkkəb faiz artımı üzərində nəzərdən keçirilmişdir. Loqarifmik funksialara aid məsələlər maenin ph, səsin gurluğu, zəlzələnin amplitudu məsələləri üzərində nümunə məsələlərlə ətraflı şəkildə izah edilmişdir. Şagirdin situasiaa uğun riazi modeli azma bacarığı əlaqələndirmə, aradıcı düşünmə, eni fikri mütəlif formalarda ifadə etmə kimi koqnitiv bacarıqların forma - laş masında mühüm rol onaır. Həndəsə məzmun ətti üzrə dərslər də hər bir həndəsi anlaışı aş səviəsinə uğun olaraq rahatlıqla anlaması və uğun tapşırıqları erinə etirməsi baımından hazırlanmışdır. Həndəsi təsəvvürlərin formalaşdırılması üçün tapşırıqlar əsasən hazır təsvirlər üzərində verilmişdir. Həndəsi tərifin, düsturun birbaşa tətbiqini nəzərdə tutan kifaət qədər tapşırığın olmasına diqqət edilmişdir. Müəllim üçün vəsaitdə bir ço dərslər üzrə əlavə işçi vərəqlər verilmişdir. 6

7 Dərsin təşkili üçün metodik tövsiələr. Hər bir dərs saatı üçün verilmiş tapşırıqlar əvvəlcədən nəzərdən keçirilir və qruplaşdırılır. Anlaışın, düsturun birbaşa tətbiqini nəzərdə tutan sadə tapşırıqlar. Anlaışın, düsturun birbaşa tətbiqinə aid fənn daili inteqrasia ilə genişləndirilmiş bir qədər mürəkkəb tapşırıqlar. Real həati situasiaa verilən düsturun birbaşa tətbiqini nəzərdə tutan sadə mətnli məsələlər Real həati situasiaa verilən düsturun birbaşa tətbiqini nəzərdə tutan bir neçə etaplı məsələlər - problem həlli. Tapşırıqların dərsin gedişi üçün necə istifadə edilməsi planlaşdırılır. Motivasia mərhələsi: Real həati situasiaa aid məsələlərdən biri motivasia olaraq - problem situasia olaraq müzakirə edilir. Verilənlər, tələb olunan məlumatlar müəən edilir, həlli olları haqqında fikir ürüdülür. Məsələnin həlli anlaış izah edildikdən sonra həmin dərsdə və a sonrakı dərsdə eri gəldikcə erinə etirilir. Örənmə (eni dərsin izahı): təriflər, düsturlar, izahlar Tərifi, düsturu örənmə: tərif və düsturun birbaşa tətbiqi ilə çalışmalar Bilik və bacarıqların genişləndirilməsi:. Sadə tətbiq məsələləri Tətbiq və aradıcı: Real situasiaların riazi modeli Qimətləndirmə: deklarativ biliklər, prosedural biliklər, koqnitiv bacarıqlar Dərsin təşkilinə aid iki nümunə dərs verilmişdir.. MMV. səh.9 Üstlü funksia. = a,. Həndəsə məzmun ətti üzrə MMV. 6 səh. Prizmanın müstəvi kəsikləri. Müəllim üçün vəsaitdə hər bir məzmun standartı üzrə verilmiş şagird bacarıqlarına üsusi diqqət etirilir. Hər eni mövzua hazırlıq məqsədilə ön bilik və bacarıqların diaq nostik qimətləndirilməsi üçün əlavə ev tapşırıqlarının verilməsi fadalıdır. Hər bölmənin sonunda kiçik summativ qimətləndirmə üçün tapşırıq nümunələri verilmişdir. Bu tapşırıqların saı bölmələr üçün tələb ediləndən ço sada və cavabsız verilmişdir, müəən dəişikliklər etməklə ço variantda tapşırıqlar tərtib etmək mümkündür. İllik summativ qimətləndirmə tapşırıq nümunələri də ço sada verilmişdir ki, bu da sualların komplektləşdirilməsi işini asanlaşdırır. Virtual qrafkalkulatorlar

8 . Funksialar Planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh... Funksia anlaışını bilir, həati problemlərin riazi modellərini qurur və funksiaların assə - lərinin köməi ilə bu problemləri həll edir....ədədi funksianın tə ri fini və verilmə üsul - ları nı bilir, onun təin oblastı, qimətlər çoluğu anlaışlarını başa düşür.... Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksia - nın dövriliini, təkliini, cüt lüünü, monoton - luğunu araş dırır, qrafik - ləri çevir mə i bacarır.... Mürəkkəb funksia, tərs funksia anlaışlarını bilir və bəzi funksiaların tərs funk - si alarını tapır...5 Qüvvət funksiasının tərifini və assələrini bilir, qrafikini qurur, Funksia və onun verilmə üsulları 7- Bəzi funksiaların təin oblastı və qimətlər çoluğu -,5 Funksiaların assələri. Cüt funksia, tək funksia -9 6 Hissə-hissə verilmiş funksi a - lar 0-7 = n (n N) qüvvət funk si - a ları 8 Funksiaların təsnifatı, 9- Qrafiklərin çevrilməsi 5- Funksialar üzərində əməllər,, Mürəkkəb funksia -6 Tərs funksia. 5-7 Ümumiləşdirici tapşırıqlar 7-8 Funksialar. Summativ qimətləndirmə 8 Cəmi 8

9 Dərs -. Dərslik səh. 7- Funksia və onun verilmə üsulları. Bəzi funksiaların təin oblastı və qimətlər çoluğu. saat Məzmun standartı.. Funksia anlaışını bilir, həati problemlərin riazi modellərini qurur və funksiaların assələrinin köməi ilə bu problemləri həll edir....ədədi funksianın tərifini və verilmə üsullarını bilir, onun təin oblastı, qimətlər çoluğu anlaışlarını başa düşür.... Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksianın dövrülüünü, təkliini, cütlüünü, monotonluğunu araşdırır, qrafikləri çevirməi bacarır. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Riazi lüğət funksia təin oblastı, qimətlər çoluğu qimətlər cütü Funksiadır, funksia deil. -ci saatda əsas diqqət iki dəişən arasındakı asılılığın funksia olubolmadığını müəən etmə bacarığının forma laş dırıl - masına verilir. Şagirdlərin funksia haqqında bilikləri ümumiləşdirilir. Funksia uğunluq aratma, qarşıqoma qadası kimi təin edilir. X çoluğunun hər bir f Y X elementinə Y çoluğunun müəən bir elementini qarşı f() Təin Qimətlər oblastı çoluğu qoan qadaa çoluğunda təin olunmuş funksia deilir tərifi müzakirə edilir. D(f) və E(f) işarələmələri dail edilir. Təsəvvür edin ki, sinifdə 5 stul və 0 şagird var. Hər bir şagird bir er seçib oturur. Hər şagirdə qarşı bir er var. Bir şagird eni zamanda iki erdə otura bilməz. Bu nümunə funksiaa aid ən sadə və real həati situasia nümunəsidir. -in hər bir qimətinə -in eganə qiməti uğun gəlir. Şagirdlər X çoluğunu təşkil edir və bu funksianın təin oblastıdır, Y isə stullar çoluğu olub funksianın qimətlər çoluğunu təşkil edir. 9 Əlavə resurslar İşçi vərəqlər iki dəişən arasındakı asılılığın funksia olub olmadığını mütəlif üsullarla müəən edir funksianın mütəlif verilmə üsullarını bilir və məsələ həllinə tətbiq edir funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu müəən edir funksianın təin oblastının və qimətlər çoluğunun tapılmasının bəzi üsullarını analitik şəkildə verilmiş funksialara tətbiq edir. asılılıq əritəsi qimətlər cədvəli funksianın qrafiki

10 İki kəmiət arasındakı asılılığın funksia olub olmadığını asılılıq əritəsinə, qimətlər cədvəlinə və funksianın qrafikinə görə müəən etmək mümkündür. Dərslikdə verilən tapşırıqlardan və əlavə olaraq verilən işçi vərəqdən istifadə etməklə bacarıqlar formalaşdırılır və inkişaf etdirilir. kateqoriada qruplaşdırılmış aşağıdakı asılılıqlar nəzərdən keçirilir. Birə-bir qarşıqoma. Bu halda -in hər bir qimətinə -in bir qiməti qarşı qoulur. O -in hər bir qimətinə -in bir qiməti uğun gəlir. Bir qimətə bir neçə qiməti qarşı - qoma Bu halda -in bir qimətinə -in birdən ço qiməti qarşı qoulur. -in bir qimətinə - in iki qiməti uğun gəlir. O Bir neçə qimətə bir qimət qarşı - qolur Bu halda -in ən azı iki qimətinə - in bir qiməti qarşı qoulur. Bir neçə qimətə bir neçə qiməti qarşıqoma Bu halda -in ən azı iki qimətinə - in ən azı iki qiməti qarşı qoulur.! Bu asılılıqlardan hansına funksia demək olar, hansına funksia demək olmaz. Müzakirələr aparılır. Göstərilən məlumatlar slad şəklində və a plakat şəklində hazırlana bilər. Diqqət edin! Funksia deil! Funksiadır! Bir qimətə bir neçə qiməti qarşı qo - ma və a bir neçə qimətə bir neçə qi - məti qarşıqoma halları funksia deil. 0 -in üç qimətinə -in bir qiməti uğun gəlir. O O -in iki qimətinə -in iki qiməti uğun gəlir.

11 Funksianı bir maşın-qurğu kimi təsəvvür etsək, onun girişinə verilən hər bir qimətə (təin oblastı), qurğunun çıışında bir qimət alınır. Yəni f funksiası -in hər bir qimətini (qurğunun işlədii) müəən qada ilə f()-in qimətlərinə çevirir (qimətlər çoluğu aranır) f : f() Təin oblastı Giriş çevrilərək f() olur Qimətlər çoluğu Çıış Məsələn, f : + funksiası -i onun üç mislindən iki vahid ço qimətlərə çevirir. Biz təin oblastını məhdudlaşdırmaqla bu çevirmələri hesablaa bilərik. Məsələn,, Z qimətlərində f()-in qimətləri f() = + = 5 f() = + = 8 f() = + = f() = + = Uğun asılılıq diaqramını quraq. Funksianın verilmə üsulları. Müəən bir formada verilmiş funksianı di gər formalara keçirmə bacarıqlarına diqqət edilir. Qrafik formada verilmiş fun ksianın qimətlər cədvəlini tərtib etmək, asılılıq əritəsini qurmaq, analitik şəkildə ifadə etmək, sözlə azmaq kimi bacarıqların formalaşdırılması tap şırıq la - rı nın erinə etirilməsi tövsiə edilir Məsələn, şagird = funksiasının { ; ; 0; ; } təin oblastında qimətlər cədvə lini, asılılıq əritəsini və koordinat müstəvisi üzərində uğun nöqtələri qed etmə bacarığını nümaış et dir mə i bacarmalıdır.? Dərslikdə Təin oblastı Qimətlər çoluğu Təin oblastı f : = 0 f () 0 Bu asılılıq funk siadır çünki -in hər qimətinə -in bir qiməti uğun gəlir. Qimətlər çoluğu 0 0 verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.. Nöqtələr çoluğu ilə verilmiş asılılıqların funksia olub-olmadığını müəən edin. a) {(5; ), (; ), (; ), (; )} b) {(0; ), (; 5), (5; ), (0; )} Bu tip tapşırıqları erinə etirərkən şagirdlərə verilmiş nöqtələr cütünü asılılıq ə ritəsi ilə və koordinat müstəvisi üzərində nöqtələr şəklində qed etmələri töv - si ə edilir. Funksiadır Funksia deil a) 5 a) 0 5 5

12 İşçi vərəq N Adı Soadı Tari ) Şaquli əttin köməilə verilən təsvirin funksianın qrafiki olub olmadığını müəən etmək olar. a) Bu fikri izah edin: Funksiadır Funksia deil o o o o ) Nöqtələri koordinat müstəvisində qed edin, verilmiş asılılığın funksia olubolmadığını müəən edin. a) {(; ), (;), (; ), (; )} b) {(; ), (; ), (; ), (, 5)}

13 Asılılıq əritələrinə görə, cədvələ görə funksianın düsturunu müəən etmə tapşırıqlarının erinə etirilməsi tövsiə edilir. Aşağıdakı nümunə üzərində nəzərdən keçirək. Asılılıq əritəsinə görə a) Funksianın təin oblastını, qimətlər çoluğunu azın; b) Nöqtələri koordinat müstəvisi üzərində qed edin; c) Funksianın düsturunu müəən edin. f : X Y Təin oblastı: {; ; 0; ; } Qimətlər çoluğu: {7; ; ; ; 5} Verilənləri koordinat müstəvisində qed etsək, bu nöqtələrin düz ətt üzərində olduğu adın görünür. Deməli, funksianın düsturu = k + b şəklindədir. 5 k = = ounu kəsmə nöqtəsi (0; ) olduğundan b =. Funksianın düsturu: f() =,, Z İşçi vərəq N Adı Soadı Tari f funksiasının asılılıq əritəsinə görə tapşırıqları erinə etirin. a) f funksiasının təin oblastını azın. c) f funksiasının qrafikini qurun. b) f funksiasının qimətlər çoluğunu azın. d) f funksiasının düsturunu azın. a) 5 7 b) X Y

14 Verilən düsturuna görə = + funksiasını arqumentin {;; 0;; } qimətlərində: a) asılılıq əritəsi ilə verin; b) qimətlər cütlərini sadalaın və koordinat müstəvisində göstərin. Funksiadır a) Təin oblastı Qimətlər çoluğu b) f() = + Hər bir şagirdin verilən asılılığın funksia olub-olmadığını müəənetmə, funksianı mütəlif üsullarla ifadə etmə bacarıqları diqqətdə salanılır. Dərslikdə verilmiş tap şı rıq lar la anaşı işçi vərəqlərdən istifadə edilməsi tövsiə edilir. Şagirdin real həati si tu asiaa aid verilmiş funksialarda təin oblastını və qimətlər çoluğunu müəən etmə bacarıqlarını formalaşdıran tapşırıqlar erinə etirilir. Dərslikdə verilmiş D. tapşırığı bu bacarıqların formalaşmasına idmət edir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D. ) Dilarə hər 0 dəqiqədə km olmaqla 0 dəqiqə qaçdı. Dilarə dəqiqədə 0, km qaçmışdır. Bu sürəti zamana vurmaqla verilən zaman kəsiinin istənilən anında onun qaçdığı olun uzunluğunu tapmaq olar. Dilarənin qaçdığı olun uzunluğunu s (km-lə), sərf etdii vatı t (dəqiqə) ilə işarə etsək, situasianı s s(t) = 0,t funksiası ilə modelləşdirmək olar. t Funksianın təin oblastı [0; 0] və a 0 t intervalıdır. Qimətlər çoluğu 0 s Zaman (dəq) Şagirdlər həati situasiaa aid qrafiklərin verilən intervalda məhdudlaşdırılaraq çəkildiini başa düşür. Rəngli kiçik dairə bu nöqtənin situasiaa uğun olduğunu, qrafikə aid olduğunu göstərir. Rəngsiz kiçik dairə bu nöqtənin situasiaa uğun olmadığını, qrafikə aid olmadığını göstərir. Qrafikin uclarında qoulmuş o qrafikin həmin istiqamətdə sonsuz davam etdiini göstərir. Məsafə (km)

15 Mühakiməetmə bacarıqlarına önəldilmiş müzakirələr aparılır. Müzakirədə əsas diqqət real həati situasiaları modelləşdirən funksiaların tə in oblastını məntiqli seçmə bacarıqlarına önəldilir. Məsələn, elə situasia seçin ki, təin oblastı həm mənfi, həm müsbət ədədlər olsun. Temperaturun dəişməsi. Yuarıdakı məsələdə zamanı 0 dəqiqə deil, 0 dəqiqə, 50 dəqiqə götürsək, funksianın təin oblastı, qimətlər çoluğu, qrafiki necə dəişəcək? Şagirdlər müstəqil olaraq hər hansı funksional asılılığı əks etdirən üç situasianı, onun təin oblastını, qimətlər çoluğunu, düsturunu azma və qrafikini qurma tapşırığını erinə etirirlər. Funksianın təin oblastı və qimətlər çoluğu. Şagirdlər analitik və a qrafik şəkildə verilmiş funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu müəənetmə tapşırıqlarını erinə etirirlər. Funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu daha adın görmək üçün onun qrafikinin çəkilməsi tövsiə edilir. Bir neçə = +, 0 nümunə nəzərdən keçirilir. ) = +, 0 funksiasının təin oblastını 0 və qimətlər çoluğunu müəən edin. təin oblastı Funksianın təin oblastı 0-dan kiçik olmaan bütün həqiqi ədədlər, əni [0; +) çoluğudur. Qrafikdən göründüü kimi, funksianın qimətlər çoluğu [; +) aralığıdır. ) =, funksiasının təin oblastını və qimətlər çoluğunu müəən edin. Verilmiş =, funksiasının qrafiki düz ətt parçasıdır. Funksianın təin oblastı: [;. = olduqda = 5, = olduqda = olur 5 təin obl. olduqda ifadəsini qimətləndirməklə funksianın qimətlər çoluğunu tapmaq olar: bərabərsizliinin hər tərəfinə əlavə etsək, +, 5, əni 5 olur. Qrafikdən də görünür ki, funksianın qimətlər təin oblastı çoluğu [;5 parçasıdır. ) =, 0 funksiasının təin oblastını və qimətlər çoluğunu müəən edin. Təin oblastı 0, əni [0; +) olduğundan funksianın 0 qrafiki alnız bu qimətlərdə qurulmalıdır. Qrafikdən görünür ki, funksianın qimətlər çoluğu ( ; ] aralığıdır. Doğrudan da, -in [0; +) aralığından götürülmüş istənilən qimətində 0 olur. Buradan 0,, əni. 5 qimətlər çoluğu qimətlər qimətlər

16 Bəzi funksiaların təin oblastı və qimətlər çoluğu Şagirdlərin diqqətinə çatdırılır ki, funksia verilərkən təin oblastı müəən qimətlər intervalında məhdudlanmış ola bilər. Bu məhdudlaşdırma situasiaa görə dəişə bilər. Məsələn, = funksiasının təin oblastı situasiaa görə, kimi məhdudlaşdırıla bilər. Lakin bu funksiaa ümumi şəkildə baılsa, arqument -dan +-a qədər istənilən həqiqi qimətləri ala bilər. Lakin bir ço funksialar da var ki, onlar arqumentin müəən qimətlərində təin olunmamışdır, əni bu qimətlər onun təin oblastına dail deil. Bu halda verilən analitik düstura görə bu qimətləri müəən etmək lazım gəlir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.. c) h() = funksiasının təin oblastını və qimətlər çoluğunu tapın. Həlli: Təin oblastı -in 0, əni şərtini ödəən qimətləridir: D(h) = ( ; ]. 0 olduqda 0, əni h() 0. Deməli, verilmiş funksianın qimətlər çoluğu [0; + ) aralığıdır. D.6. Həlli: = - m+8 funksiasının qrafiki M (; ) nöqtəsindən keçirsə, = m + 8 olmalıdır. Buradan m=. Onda = + 8 düsturunu alarıq və onu = ( ) + şəklində azmaq olar. ( ) + >0 olduğundan adındır ki, funksia -in istənilən qimətində təin olunmuşdur, əni D() = ( ; + ) Digər tərəfdən ( ) + =, əni. Başqa sözlə, funksianın qimətlər çoluğu [;+ ) aralığıdır. Sinifin bilik səviəsindən asılı olaraq, aşağıdakı nümunənin araşdırılması da tövsiə olunur. Nümunə. = funksiasının təin oblastını və qimətlər çoluğunu tapın. Həlli: Arqumentin = 0 bərabərliini ödəən qimətləri təin oblastına dail ola bilməz. Deməli, və olmalıdır. Təin oblastı: (; ) (; ) (; +) İndi isə qimətlər çoluğunu tapaq. olduğundan = + olur. = 0 olduğuna görə + 0 olmalıdır. Bu bərabərsizlii həll edərək alırıq ki, verilmiş funksianın qimətlər çoluğu ( ; ] (0; +) olur. Funksia qrafiklə verilmişdirsə, qrafikin üzərindəki nöqtələri ou və ou üzərinə proeksialamaqla funksianın təin oblastını və qimətlər oblastını tapmaq olar. Verilən təin oblastına görə qrafikin uc nöqtələrinin qed olunmasına diqqət etirilməlidir. 6

17 İşçi vərəq N Adı Soadı Tari ) Funksianın təin oblastını tapın. a) = 7+0 b) f() = + c) = + d) = + 9 e) f() = f) f() = g) = h) = i) = ) Funksianın qimətlər çoluğunu göstərin. a) = b) = 6 c) = 6 + d) = + Dərs, 5. Dərslik səh. -9. Funksiaların assələri. Cüt funksia, tək funksia. saat Məzmun standartı.. Funksia anlaışını bilir, həati problemlərin riazi modellərini qurur və funksiaların assələrinin köməi ilə bu problemləri həll edir.... Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksianın dövrülüünü, təkliini, cütlüünü, monotonluğunu araşdırır, qrafikləri çevirməi bacarır. Formalaşdırılan şagird bacarıqları funksianın sıfırlarını müəən edir funksianın artma və azalma intervallarını müəən edir funksianın ekstremumlarını müəən edir 7 Əlavə resurslar İşçi vərəqlər funksianın tək, cüt olduğunu və a nə tək, nə də cüt olduğunu müəən edir

18 Riazi lüğət funksianın sıfırları funksianın artması və azalması funksianın ekstremumları funksianın maksimumu və minimumu tək funksia, cüt funksia funksianın qrafikinin simmetriklii Funksianın sıfırlarını müəən edir Hər hansı funksianın qrafikinin və oları ilə kəsişmə nöqtələri üzərində müzakirə aparılır. f funksiasının sıfırları dedikdə qrafik üzərində koordinatları (a; 0) olan nöqtələr nəzərdə tutulur. Yəni funksianın sıfırları arqumentin funksianın qimətini sıfıra çevirən qimətləridir. Bu mövzu ilə şagirdlər əvvəlki siniflərdən tanışdırlar. Xüsusilə kvadratik funksianın araşdırılması zamanı bu mövzua geniş er arılmışdır. Qrafik olaraq funksianın sıfırlarının bir və a daha ço, bəzən isə heç olmadığını müşahidə etmək olar. Bu funksianın verildii ifadəni 0 -a bərabər etməklə alınan tənliin köklərinin saına uğundur. f () = =0 ( 5)(+)=0 5 5=0 = +=0 = f () = + 0 ( ; 0) ; 0 ( ) 5 f() = + 0 funksiasının sıfırlarına görə qrafikin ounu ( ; 0) və (;0) nöqtələrində kəsdiini söləmək olar. Bir neçə nümunə üzərində sıfırların tapılması izah edilir. a) g() = g () = 0 0 = 0 0 = 0 ( 0; 0) ( 0; 0) = 0 = ± ( 0; 0) və ( 0; 0) nöqtələri qrafikin ou üzərindəki nöqtələridir. h t b) h(t) = t + 5 t 5 ( ; 0 ) t = 0 t = 0 t = t 6 t + 5 t h(t) = t + 5 ( ; 0) nöqtəsi qrafikin ounu 6 kəsdii nöqtədir. 8 8

19 c) p() = = 0 ( ) = ( )(+) = 0, =, = nöqtələri funksianın sıfırlarıdır. Koordinat oları ilə kəsişmə nöqtələrinə və bir neçə əlavə nöqtələrə görə funksianın qrafikini sematik olaraq təsvir etmək olar. Həmçinin şagirdlərin müstəqil olaraq qrafkalkulatorlarla mütəlif funksiaların qrafiklərini qurmağa təşviq edilmələri tövsiə edilir. Funksianın sıfırları onun təin oblastını bir neçə aralığa bölür və bu aralıqlarda funksia öz işarəsini sabit salaır. Qurulmuş qrafikə görə funksianın işarə sabitlii aralıqlarını şagirdlər müstəqil olaraq müəən edirlər. 0 p() Funksianın artma və azalma intervallarını müəən etmə. Funksianın artma və azalma intervallarını qrafikə görə müəən etmə tapşırıqları nümunələr üzərində müzakirələrlə erinə etirilir. Artan və a azalan funksia. Funksia verilən intervalda o vat artan olur ki, arqumentin bu intervaldan götürülmüş > şərtini ödəən istənilən qimətlərində funksianın uğun qimətləri f() > f() şərtini ödəsin. Əgər arqumentin verilən intervaldan götürülmüş və qimətlərində > olduqda f() < f() olarsa, f()-ə bu aralıqda azalan funksia deilir. Xətti, kvadratik funksiaların artma və azalmasını qrafikə görə müəən etmə tapşırıqları erinə etirilir. = k + b ətti funksiasının artma və azalmasına k bucaq əmsalı necə təsir edir? k > 0 Şagirdlər k > 0 olduqda funksianın artan olduğunu, əni -in qiməti artdıqca funksianın da qimətinin artdığını, k < 0 olduqda isə azaldığını qrafiklər üzərində təqdim edirlər. k < 0 Funksianın artan və a azalan olduğunu şagirdlərin qrafik üzərində -in artma istiqamətini barmaqları ilə cızmaqla və həmçinin bu halda -in qimətlərinin necə dəişdiini də cızaraq göstərmələri tövsiə edilir. f(a) f(b) < f(a) f(b) f(b) > f(a) Funksia < 0 qi - Funksia > 0 qi - f(b) mət lərində azalır f(a) mət lərində artır a b 0 0 a b 9

20 Aşağıdakı kimi üç funksia üzərində funksianın artma və azalmaları müzakirə edilir. f() = f() = ( ; ) (0; ) (; ) f() = (; ) a) (; ) aralığında -in qimətləri artdıqca də artır. Yəni funksia bütün ədəd ounda artandır. b) bu funksianın qrafiki üzərində artmanın azalma ilə (və tərsinə) əvəz olunduğu dönmə nöqtələri var: (; ) və (; ). Bu dönmə nöqtələrinin aratdıqları intervallarda funksianın özünü necə apardığını araşdıraq. (; ) nöqtəsinə görə (; ) intervalında funksianın artdığını, ikinci dönüş nöqtəsinə çatana qədər (; ) intervalında azaldığını, bu nöqtədən başlaaraq (; +) intervalında enidən artdığını müşahidə etmək olar. c) bu funksia isə digərlərindən fərqlənir. Onun həm artma, həm azalma, həm də bunların heç birinin müşahidə edilmədii, qimətlərin sabit qaldığı intervalı görmək olar.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.6. = f() funksiası ( ;+ ) aralığında təin olunmuş və azalan funksiadır. Aşağıdakı qimətləri artan sırada düzün: a) f(0), f( ), f() Həlli: Əvvəlcə arqumentin qimətlərini artan sırada düzək: < 0 <. Şərtə görə funksia azalan olduğundan arqumentin böük qimətinə funksianın kiçik qiməti uğun gəlməlidir: f( ) > f(0) > f(). Buradan f() < f(0) < f( ) Funksianın maksimum və minimumunu müəən etmə. Şagirdlər dönüş nöqtələrinin funksianın maksimum və minimumuna uğun gədiini başa düşürlər. Əgər dönüş nöqtəsində artma azalmaa keçirsə, bu nöqtə funksianın maksimumu, əksinə azalma artmaa keçirsə, bu nöqtə funksianın minimumudur. Funksianın tək və a cüt olduğunu müəənetmə. 0 +, <0 ; 0 +, > funksianın tək və cüt olduğunu müəən etmənin olları həm qrafik olaraq, həm də analitik olaraq izah edilir. Cüt funksiaların qrafikləri ouna nəzərən simmetrikdir. Tək funksiaların qrafikləri koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.

21 п() = 6 5 (; ) ( ; ) ( ; ) Koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir. Tək funksiadır. Qrafikindən göründüü kimi, verilmiş f() = 8 funksiası nə tək, nə də cüt funksia deil. Bunu analitik üsulla da olmaq olar. f() = 8 () = 8 + f() f() və f() f() ouna nəzərən sim metrikdir. Cüt funksiadır. Nə ouna, nə də koordinat başlan ğıcı na nəzə rən sim metrik deil. Nə tək, nə də cüt funksiadır. f() = 8 Şagirdlər f() 0 funksianın həm cüt, həm də tək funksia olduğunu başa düşür. Çünki f() 0 funksiasının qrafiki həm ouna, həm də koordinat baş lan ğı cına nəzərən simmetrikdir. f() = k şəklində funksiaların f() = f() şərtini ödədiini və cüt funksia olduğunu, f() = k+ şəklində olan funksiaların f() = f() şərtini ödədiini və tək funksia olduğunu başa düşürlər. Diqqət edin! Əgər funksianın düsturunda həm cüt dərəcədən, həm də tək dərəcədən hədd varsa, və a düsturda tək dərəcədən ən azı bir hədd və sabit hədd varsa, funksialar əksərən nə tək, nə də cüt funksia olurlar. Cüt funksianın qrafiki ouna nəzərən simmetrikdir. Xüsusi halda =, = + parabolalarının sematik təsvirləri üzərində izah edilir ki, əgər cüt funksia simmetria oundan solda artandırsa (azalandırsa), onda simmetria oundan sağda azalan (artan) olur. Bu nəticəə gəldikdən sonra D.8 tapşırığı həll edilir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli (; ) h() = D.8 Həlli təin oblastı [ 6; 6] olan və [ 6; 0] aralığında artan hər hansı cüt funksianın qrafiki təsvir edilir. Xüsusi halda, f()=0 olduqda, f( ) =0 olduğu nəticəsinə gəlirik -6-6 (bunun səbəbini şagirdlər izah edirlər). Bu şərti də nəzərə almaqla funksianın qrafikinin eskizində dəqiqləşmə aparılaraq enidən çəkilir və qrafik təsvirə görə f() 0 bərabərsizliinin həlli araşdırılır. Göründüü kimi, << olduqda f() > 0 olur.

22 İşçi vərəq N Adı Soadı Tari Funksialar qrafiklə və düsturla verilmişdir. Funksianın tək-cütlüünü: a) qrafikinə görə araşdırın. b) analitik üsulla, cüt funksia üçün f() = f(), tək funksia üçün və f() = f(), nə tək, nə də cüt funksia üçün f() f() və f() f() olduğunu olamaqla müəən edin. ) f() = ) f() = ) f() = Analitik üsulla cüt funksia, tək funksia və a nə tək, nə də cüt funksia olduğunu müəən edin: ) f() = 5 ) f() = + ) f() = ) f() = 7 5) f() 0 6) f() = 6 7 7) f() = 5 8) f() = ( + ) 9) f() = +

23 Dərs 6. Dərslik səh. 0,. Hissə-hissə verilmiş funksialar. Məzmun standartı.. Funksia anlaışını bilir, həati problemlərin riazi modellərini qurur və funksiaların assələrinin köməi ilə bu problemləri həll edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər hissə-hissə verilmiş funksianın qimətlərini hesablaır hissə-hissə verilmiş funksianın düsturunu azır, qrafikini qurur tam hissə funksiasının qrafikini qurur real həati situasiaa aid məsələləri hissə-hissə verilmiş funksia ilə modelləşdirir Riazi lüğət hissə-hissə verilmiş funksia tam hissə funksiası, pilləvari qrafik Şagirdlər f() = funksiasının qrafiki ilə tanışdırlar. Modullu funksiaa aid bir neçə qrafik nəzərdən keçirilir. f() = f() = f() = funksiasının qrafiki mütəlif təin oblastına malik iki ətti funksianın qrafikindən ibarətdir. f() = ; <0 və f() = ; 0 ; < 0 Əslində f() = azılışı f() = funksiasını ifadə edir. ; 0 Modul funksiası hissə-hissə verilmiş funksiaa bir nümunədir. Təin oblastının mütəlif aralıqlarında mütəlif düsturlarla verilən funksialara hissə-hissə verilmiş funksialar deilir. Dərslikdə verilən məsələ ilə və a aşağıdakı məsələ ilə hissə-hissə verilmiş funksianı araşdırmaq olar. Ev hevanları salaanlara idmət göstərən şirkət, sahibinin müəən müddətə onlara təhvil verdikləri hevanlara qulluq edir. Xidmət haqqı aşağıdakı kimi müəən edilmişdir.. Əgər hevana saat və saatdan az olan istənilən vatda qulluq göstərilirsə, 5 M. saatdan ço olmaqla saata qədər olan vatda qulluq,50 M.. saatdan ço vat üçün M sabit və hər əlavə saat üçün M idmət haqqı alınır Məsələdə verilən situasiaa uğun funksianı analitik şəkildə, qimətlər cədvəli ilə və qrafik üsulla təsvir etmə tapşırıqları erinə etirilir

24 Şirkətin idmət şərtlərini qrafik təsvir edin. hissə-hissə verilmiş funksianın düsturunu azır Şirkətin idmət şərtlərini analitik üsulla ifadə edək. 0 əgər = 0 5 əgər 0 <,5 əgər < + (-) əgər > hissə-hissə verilmiş funksianın qimət lə - ri ni hesablaır Şirkətin idmət şərtlərini əks etdirən qimətlər cədvəli tərtib edilir. Hissə-hissə funksianın hər bir hissəsini ifadə edən funksianın verilən təin oblastında üç qi - mə ti hesablanır. Şirkətin idmət şərtlərini cədvəllə təqdim edək = 5 Cədvəldə verilən nöqtələr koordinat müstəvisi üzərində qed edilir. Təin oblastına dail olan nöqtələr ( ) üçün rəngli kiçik dairə, dail olmaanlar üçün isə rəngsiz kiçik dairədən istifadə edilir. Məsələn, (; 5) nöqtəsi rəngli, (;,50) nöqtəsi isə rəngsiz olmalıdır. Qrafikin son hissəsi şüadan ibarət olacaq, çünki saatdan sonrakı dəişmə eni asılılıqla verilir: Hər saatda M Funksianın təin oblastı 0 çoluğudur. Qrafik = 0, =, = qimətlərində kəsiləndir. Şagirdlər hissə-hissə verilmiş funksiaa eni zamanda ətti, kvadratik və s. mütəlif ifadələrin dail ola biləcəini başa düşürlər. Vat (saatla),5,50,00,50 Xidmət haqqı (M) 0 0 0,5 5,00 0,50 5,00,00 5,00,50,50,50,50 6,00 9,00,00,00 hissə-hissə verilmiş funksianı qrafik təsvir edir. Şirkətin idmət şərtlərini ifadə edən hissə-hissə funksianı qrafik təsvir edək.

25 Məsələn, f() = f() =, < +, f() = + f() f() funksiasının qimətlər cədvəlini və qrafikini quraq. Funksianın düsturundan görünür ki, onun qrafiki qolları uarıa önəlmiş paraboladan və soldan sağa önələn şüadan ibarətdir. Arqumentin = qimətindən başlaaraq dəişmə baş verir, kvadratik funksia şəklində olan asılılıq ətti funksia şəklinə keçir. f funksiasının qrafiki: Qimətlər cədvəlindəki nöqtələr koordinat müstəvisi üzərində erləşdirilir. (; 7) nöqtəsi rənglidir, çünki bu nöqtə f() = + qrafikinə aiddir, (; ) nöqtəsi qrafikə aid olmadığı üçün rəngsiz dairələrlə göstərilir. Hissə-hissə funksia sabit funksialardan ibarət ola bilər, məsələn =, = və s. Bu halda funksianın qrafiki pillələrdən ibarət olur. Tam hissə funksiası izah edilir. Tam hissə funksiası f() = [] kimi azılır. Tam hissə funksiası analitik şəkildə aşağıdakı kimi verilə bilər, bütün ədəd ounda onun hissələrinin (pillələrinin) saı sonsuz sada olur. :. < <0 []= 0 0 < < < :. 5 = f()

26 real həati situasiaa aid məsələləri hissə-hissə verilmiş funksia ilə modelləşdirir Pilləvari qrafikdə başlanğıc nöqtənin rəngli və rəngsiz olmasına diqqət edilir. Situa - si adan asılı olaraq bu nöqtələr erini dəişə bilər. Hissə-hissə verilmiş funksialarla mütəlif həati situasiaları modelləşdirmək olar. Məsələn, aşağıdakı funksia şəsin 6 aşından asılı olaraq konsertə biletin qimətini əks etdirir. 8 əgər 5 < 6 əgər 6 < 55 8 p() = 8 əgər 55 Şagirdlər funksianı hər bir hissədə sözlə təqdim edirlər. Məsələn, aşı 6-dan kiçik, 5 və a 5-dən böük 0 bütün şəslər üçün biletin qiməti 8 manatdır.! 6 Biletin qiməti (M) aşı Nə üçün (6; 8) nöqtəsi rəngsiz dairəciklə göstərilib? Çünki 6 aşı tamam olmuşlara bilet 8 manata deil, manata satılır. Ona görə də bu nöqtə bu hissənin qrafikinə aid deil. Adı Soadı İşçi vərəq N 5 Hissə-hissə funksianın qimətlər cədvəlini doldurun. Qrafikini qurun. 9; < ; f() = f() = ; ( ) + 6; > f() f() f() f() f() Tari f()

27 Dərs 7. Dərslik səh.. = n,nn, qüvvət funksiaları Məzmun standartı..5. Qüvvət funksiasının tərifini və assələrini bilir, qrafikini qurur. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər Cüt və tək dərəcədən qüvvvət funksialarının qrafiklərini qurur Cüt və tək dərəcədən qüvvət funksialarının assələrini tətbiq edir. Riazi lüğət n-tərtibli parabola Qüvvət funksiasının ümumi şəkli şagirdlərin diqqətinə çatdırılır. = n (n N) şəklindəki qüvvət funksiaları nəzərdən keçirilir. Lakin sinfin səviəsi və dərs saatları imkan verirsə, funksianı daha ümumi şəkildə n >, 0 < n <, n < 0 qi mət - lə rində nəzərdən keçirmək olar. Bu halda n-in (burada nq) qimətindən asılı olaraq qrafiklər aşağıdakı kimi olacaq. 0 = n = n = n (n > ) (0 < n < ) (n < 0) 0 0 n = k olduqda = n nn funksiasının assələrinin şagirdlərə tanış olan = funksiası üzərində təqdim edilməsi əlverişlidir. Təin oblastı: R, bütün həqiqi ədədlər çoluğu Qimətlər oblastı: [0; +) Azalandır: (; 0] intervalında Artandır: [0; +) intervalında Cüt funksiadır = 0 nöqtəsində minimum qimətini alır: min = 0 Tək dərəcədən = n (n N) funksiasının assələri = funksiası üzərində nəzərdən keçirilir. Təin oblastı: R, bütün həqiqi ədədlər çoluğu Qimətlər oblastı: R, bütün həqiqi ədədlər çoluğu Artandır Tək funksiadır Maksimumu, minumumu odur. 7

28 Cüt və tək dərəcədən qüvvət funksialarının qrafiklərinin bir neçə nöqtəsinə görə sematik olaraq və qarfkalkulatorla qurulması tövsiə edilir. Cüt dərəcədən = n nn Tək dərəcədən = n nn Qüvvət funksiaları mövzusuna aid məsələlər funksiaların təsnifatı, çevrilməsi, funksialar üzərində əməllər, mürəkkəb funksia mövzularında eri gəldikcə mütəlif anaşmalarla enidən nəzərdən keçiriləcəkdir. Şagirdlər = n qüvət funksiasını, = a funksiası ilə qarışdıra bilərlər. Bu iki! funksiadan birincisində arqumentin qüvvətin əsası, digərində isə üstü olduğu diqqətə çatdırılır. Qrafiklərinin də fərqli olduğu diqqətə çatdırılır. Şagirdlərin nəzərinə çatdırılır ki, qüvvət funksialarının qrafiki və assələri n-ci dərəcədən kökün hesablanmasında və n = a tənliklərinin həllində istifadə edilir. Belə ki: tək dərəcəli tənliin a-nın bütün qimətlərində həqiqi kökü var, cüt dərəcəli? tənliin isə a < 0 olduqda həqiqi kökü odur. Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.5 Həlli: = və =6 funksialarının qrafikləri eni koordinat müstəvisində qurulur. Sematik təsvirə görə kəsişmə nöqtələrinin saı haqqında mülahizələr = sölənilir. =6 =6 tənliinin həllindən kəsişmə nöqtələrinin absisləri tapılır: =± 6, = və =. Qrafik təsvirdən göründüü kimi, arqumentin (; ) aralığından olan qimətlərində = funksiasının qrafiki üzərindəki nöqtənin ordinatı 6- dan kiçikdir, əni 6 bərabərsizliinin həlli (; ) aralığı olur. və a > olduqda isə 0 6 bərabərsizlii ödənir. = =

29 İşçi vərəq N 6 Adı Soadı Tari =, =, = 5 funksialarının qimətlər cədvəlini doldurun, qrafiklərini qurun. Qrafikləri müqaisə edin.,5 0,5 0 0,5,5 = = = 5 Qrafiklərin müqaisəsi =, =, = 6 funksialarının qimətlər cədvəlini doldurun, qrafiklərini qurun. Qrafikləri müqaisə edin. = = = 6,5 0,5 0 0,5,5 Qrafiklərin müqaisəsi 9

30 Dərs 8. Dərslik səh.,. Funksiaların təsnifatı Məzmun standartı...ədədi funksianın tərifini və verilmə üsullarını bilir, onun təin oblastı, qimətlər çoluğu anlaışlarını başa düşür.... Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksianın dövrülüini, təkliini, cütlüünü, monotonluğunu araşdırır, qrafikləri çevirməi bacarır. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər funksialar ailəsinin əsas funksiasının (ana funksiasının) qrafikini qurur, assələrini göstərir. Verilmiş funksianın aid olduğu ailəni müəən edir, assələrini göstərir. Real həati situasianı funksia ilə modelləşdirir və funksianın aid olduğu ailəə görə assələrini təqdim edir. funksiaların ailəsi Riazi lüğət əsas funksia asimptot Şagirdlərlə müzakirə aparılır: Biz indiə qədər hansı funksiaları örənmişik? Funksiaların adları və ümumi şəkilləri sölənir və ardıcıl olaraq lövhəə qed edilir.. Xətti funksia, = k + b;. Sabit funksia: = c;. Kvadrat funksiası =. Modul funksiası = ; 5. Qüvvət funksiaları = n ; 6. Rasional funksia = 7. Hissə-hissə verilmiş funksia = [] f() = f() = f() = c f() = Sabit funksia Enilik funksiası Modul funksiası Kvadrat kök funksiası - - f() = Kvadrat funksiası Kub funksiası Rasional funk sia Tam hissə funk siası 0 f() = f() = f() = []

31 Aşağıdakı kimi ən ço rast gəlinən əsas funksialar cədvəlini tərtib etmə tapşırığının ev tapşırığı kimi verilməsi tövsiə edilir. Funksianın adı Əsas funksia Qrafiki Xassələri Sabit funksia f() = c O Tə.obl: ( ; + ) Qim. ço: {c} Enilik funksiası Kvadrat funksiası Kvadrat kök funk - siası Modul funksiası Rasional funksia Kub funksiası f() = f() = f() = f() = f() = f() = O O O O O O Tə.obl: ( ; + ) Qim. ço: ( ; + ) Sıfrı: = 0 Artan funksiadır Ekstremumu odur Tə.obl: ( ; + ) Qim. ço: [0; + ) Sıfrı: = 0 ( ; 0], [0; +) (0; 0) nöqtəsində min. Tə.obl: [0; + ) Qim. ço: [0; + ) Sıfrı: = 0 [0; +) Ekstremumu odur Tə.obl: ( ; + ) Qim. ço: [0; + ) Sıfrı: = 0 ( ; 0], [0; +) (0; 0) nöqtəsində minimum Tə.obl: ( ; 0) (0; + ) Qim. ço: ( ; 0) (0; + ) Sıfrı odur ( ; 0), (0; +) Ekstremumu odur Tə.obl: ( ; + ) Qim. ço: ( ; + ) Sıfrı: = 0 Artan funksiadır Ekstremumu odur

32 Eni ailəə dail olan funksiaların əsas funksianın mütəlif çevrilmələri ilə alındığı diq qətə çatdırılır. Bu dərs saatında əsas diqqəti verilmiş situasiaa uğun fun ksi a nın düsturunu azmaq və onun əsas funksiasını müəən etmək, qrafikə görə fun ksi anın hansı ailəə dail olduğunu müəən etmək, verilmiş qimətlər cədvəlinə görə qrafiki qurmaq və ailənin əsas funksiasını müəən etmək kimi bacarıqlar formalaşdıran tapşırıqlar erinə etirilir. funksialar ailəsinin əsas funksiasının (ana funksiasının) qrafikini qurur, assələrini göstərir. Dərslikdə verilmiş örənmə tapşırığını sinifdə müzakirə etməklə və müəllim üçün vəsaitdə verilmiş cədvəlin şagird tərəfindən ev tapşırığı olaraq erinə etirilməsi bu bacarığın formalaşdırılması üçün əhəmiətlidir. D və D tapşırıqları da bu bacarığın formalaşdırılmasına idmət etməklə anaşı Real həati situasianı funksia ilə modelləşdirir və funksianın aid olduğu ailəə görə assələrini təqdim edir. bacarığının da formalaşdırılması üçün əhəmiət daşıır. (;8)? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D. tapşırığı koordinat müstəvisi üzərində verilən nöqtələri qed etməklə erinə etirilir. c) bəndinə görə (; ), (0; 0), (; ) nöqtələrinə (; 8) və (; 8) nöqtələri əlavə edil miş dir. Bu halda qed edilən nöqtələri birləşdirməklə funksianın qra - fi ki nin kub parabola olduğunu asanlıqla görmək olar. Şagird nöqtələrin koordinatlarına görə də bunu müəən edə (;8) bilərdi., və -nin kubları uğun olaraq ; 8; 8 ədədləridir. Verilən nöqtələrə görə şagirdin funksianın hansı sinfə aid olduğunu hansı etapda müəən etdii diqqət mərkəzində salanılır. Əsas funksianı nöqtələr cütünə görə müəən etməsini şagirdin artıq bu funksianı aşı tanıması kimi qimətləndirmək olar. Lakin nöqtələrin koordinat müstəvisi üzərində qed edərək qrafikin çəkilməsi də şagirdin əlaqələndirmə bacarıqlarının inkişafı, fəza təsəvvürlərinin formalaşması baımından vacibdir. Funksiaların təsnifatı, əsas funksianı müəənetmə bacarıqları növbəti dərsdə funksia qrafiklərinin çevrilmələrini daha aşı başa düşməə kömək edir. Həmçinin real həati situasiaları qrafiklərin çevrilmələrinə tətbiq bacarıqlarını aradır. D.5 Həlli: a) Pifaqor teoreminə görə h +d =, buradan isə h = 9 d alırıq. b) Real həati situa siaa uğun funksianın təin oblastı 0 d, qimətlər oblastı 0 h şərtindən tapılır. h d

33 Dərs 9-. Dərslik səh. 5-. Qrafiklərin çevrilməsi. saat Məzmun standartı...ədədi funksianın tərifini və verilmə üsullarını bilir, onun təin oblastı, qimətlər çoluğu anlaışlarını başa düşür.... Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksianın dövrülüünü, təkliini, cütlüünü, monotonluğunu araşdırır, qrafikləri çevirməi bacarır. Formalaşdırılan şagird bacarıqları qrafiklərin paralel köçürülməsi Riazi lüğət qrafiklərin əksetməsi qrafiklərin dartılması və sıılması -ci saat paralelköçürmə. Funksialar ailəsi üçün əsas funksianı müəən etmə bacarıqları ilə şagirdlər qrafiklərin çevrilmələrinə aid tapşırıqları sözlə, fun k si anın qrafiki üzərində erinə etirirlər. Bu tapşırıqlar analitik ifadəsi ilə verilmiş funksiadakı çevrilmələri əsas funksiaa görə sözlə, qrafik şəkildə ifadəetmə bacarıqlarını və a əksinə, qrafik şəkildə verilmiş funksiadakı çevrilməni analitik azılışla və sözlə ifadəetmə bacarıqlarını əhatə edir. Qrafiklərin çevrilmələri üsusən, paralelköçürmə, dartılma və sıılma kvadratik funksia üzərində 9-cu sinifdə ətraflı nəzərdən keçirilmişdir. Odur ki, dərsin izahının və ilk tapşırıqların kvadratik funksia üzərində erinə etirilməsi tövsiə edilir. = əsas funksiasına görə paralelköçürməni tanıma müzakirəsi aparılır. Nümunə olaraq aşağıdakı qrafiklərdən istifadə etmək olar. Şagirdlərə hər bir nümunəə uğun dəftərlərində qrafik çəkmək üçün vat verilir. Əlavə resurslar İşçi vərəqlər funksiaların qrafiklərinin paralel köçürülməsini qrafik olaraq, analitik düsturla, sözlə təqdim edir; funksiaların qrafiklərinin əksetməsini qrafik olaraq, analitik düsturla. sözlə təqdim edir funksiaların qrafiklərinin dartılma və sıılmasını qrafik olaraq, analitik düsturla, sözlə təqdim edir = = + = ( ) = ( + ) = ( + ) + = ( )

34 Şagirdlər hər bir parabolanı = parabolasına görə təqdim edir və çevrilmə nəticə - sin də parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatlarının üfiqi və şaquli sürüşmənin qimətinə uğun gəldiinə diqqət edirlər. Daha asan adda salamaq üçün diqqət edilir: Sola sürüşmədə -in qimətinə əlavə edilir, sağa sürüşmədə -in qimətindən çıılır. Yuarı sürüşmə zamanı verilən funksianın (və a -in) qimətinə əlavə edilir, aşağı sürüşmədə isə verilən funksianın qimətindən (və a -dən) çıılır. Bu bütün fun ksi aların paralelköçürülməsi zamanı doğrudur. Paralelköçürmə zamanı qrafikin bütün nöqtələrinin eni vahid qədər erini dəişdiini şagird başa düşür. Ana funksianın bir neçə nöqtəsinin koordinatlarını müəən edib, verilən vahid qədər dəişməklə paralel köçürməni erinə etirir, qrafikin eni vəziətini çəkir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.6 a) g() = f()+ Həlli: f() funksiasının qrafikini şaquli istiqamətdə vahid uarı paralel köçürməklə g() funksiasının qrafiki alınır. Bu paralel köçürmədə hər bir nöqtənin absisi eni qalmaqla, ordinatı vahid artır: (; ) (; + ). Qrafik üzərində qed olunmuş nöqtələr üçün bunları nəzərə alaq. A( ; ) A`( ; 0) B( ; ) B`( ; ) C(; ) C`(; ) D(; ) D`(; ) E(; ) E`(; ) B C D` E` A` D E A Verilmiş nöqtələrin paralel köçürmədə çevrildikləri nöqtələri ardıcıl birləşdirməklə () = f() + funksiasının qrafikini alırıq. Ətraf aləmdə, təbiətdə, binaların və kü çələrin dizanında çolu sada funksi aları və onların çevrilmələrini vi zual ola raq görmək, təsəvvür etmək müm kün dür. Şagirdlərin bu cür situ asi aları əks etdirən fotoşəkillər, rəsmlər çək mə ləri Biz funksiaları görürük, Funk si - alar təbiətdə kimi riazi təqdimatlar, tədbirlər keçirilməsi fadalı olardı. Bu cür tədbirlər şagirdlərin sosial, kommunikasia bacarıqları ilə anaşı aradıcı təfəkkürlərinin də formalaşmasında mühüm rol oanıır. funksiaların qrafiklərinin əksetməsini qrafik olaraq, analitik düsturla, sözlə təqdim edir. Funksialar üzərində əksetmə hərəkətinə ğun çe v ril mə - ni ən aşı nümaiş etdirən funksia kvadrat kök funksiasıdır. = funksiası da kvadratik funksia kimi bir ço fiziki hadisələri modelləşdirmə imkan verir. Bu barədə şagirdlərlə müzakirələr aparılır. Nümunələr sölənilir. B` C`

35 Yuarıdan atılan cismin hərəkəti kvadrat kök funksiasına ən uğun nümunədir. h =,9t + h0 düsturunda h verildikdə zamanın hündürlükdən asılılığı (cismin Yer səthinə çatma müddəti) kvadrat kök funksiası ilə ifadə edilir. Şagirdlər real həati situasialar üzərində funksianın əksetməsini modelləşdirir, nümunələr göstərirlər. Hər bir əksetmə halı, ouna nəzərən, ouna nəzərən və koordinat başlanğıcına nəzərən əksetmədə koordinatların dəişməsinə diqqət edilir. Qrafikin eni vəziəti uğun nöqtənin eni koordinatını müəən edilməklə çəkilir. f() f() f() f() f() f() ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) (; ) = = (; ) = = (;) (; ) (;) 0 = 0 = 0 (; ) Şagirdlərə aşağıdakı kimi suallar verilir. ) Cüt funksianın ouna nəzərən əksetməsində nə baş verir? ) Tək funksianın ouna nəzərən əksetməsində nə baş verir? ) Cüt funksianın ouna görə əksetməsini necə təqdim edərdiniz? ) Tək funksianın ouna görə əksetməsini necə təqdim edərdiniz? funksiaların qrafiklərinin dartılma və sıılmasını qrafik olaraq, analitik düsturla, sözlə təqdim edir Funksia qrafiklərinin dartılma və sıılma hərəkətlərinə uğun çevrilmələri kvadrat funksiası və modul funksiası ilə təqdim etmək əlverişlidir. g () = f () = 5 h () = f () = f () = ( ) f = Dərslikdə verilmiş mövzunun izahı şagirdlərlə birlikdə araşdırılır. Şagirdlərin seçilən nöqtənin çevrilmə nəticəsində koordinatlarının dəişməsini müəən etmələri və eni vəziətdə erləşdirmələri üçün vat verilir. Əsas diqqət üfiqi və şaquli dartılma və sıılmanın funksianın düsturu ilə əlaqəsinə verilir. F() funksiasının qrafikinin ouna k dəfə sıılması qimətlərinin əsas funksiaa görə k dəfə tez (sürətlə) artması 5 5 5

36 deməkdir. =f() dəişməsində koordinatı (;) olan nöqtənin koordinatı (;) olacaq, əni oundan uzaqlaşacaq. 0 < k < olduqda isə qrafik ouna sıılmış olacaq. Funksiaların qrafiklərinin çevrilmələrini ümumi şəkildə ifadə edən aşağıdakı məlumatın plakat və a slad şəklində hazırlanması tövsiə edilir. f() funksiasının çevrilmələri Yeni funksia Çevrilmə sözlə Koordinatların dəişməsi h() = f() + c c vahid şaquli uarı sürüşmə (; ) (; + c) h() = f() c c vahid şaquli aşağı sürüşmə (; ) (; c) h() = f( + c) c vahid üfüqi sola sürüşmə (; ) ( c; ) h() = f( c) c vahid üfüqi sağa sürüşmə (; ) ( + c; ) h() = f() ouna nəzərən əksetmə (; ) (; ) h() = f( ) ouna nəzərən əksetmə (; ) (; ) h() = cf() c dəfə şaquli sıılma və dartılma c > ; 0 < c < olduqda (; ) (; c) h() = f(c) c dəfə üfüqi sıılma və dartılma c > ; 0 < c < olduqda (; ) (c; ) Sıılma və dartılmanın ətti funksialar üzərində də nəzərdən keçirilməsi tövsiə edilir. Burada da kordinat olarından uzaqlaşma və aınlaşma adın görünür. = + = + = f( ) f() = + = Həmçinin paralelköçürmənin və əksetmə hərəkətlərinin də ətti funksianın qrafiki üzərində araşıdırılması vacibdir. = + = + m Məsələn, f() = ( ) + m() = h() = g() = ( ) f() = ( ) +? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.6 Həlli a) f()= funksiasının qrafikini absis oundan dəfə dartdıqda, (; ) (; ) olduğundan g() =f(), əni g()= funksiasının qrafiki alınar. 6

37 İşçi vərəq N 7 Adı Soadı Tari ) Verilən qrafikə görə verilən çevrilmələrin qrafikini çəkin. = f( ) f = f( + ) = f( ) ) Əsas funksia və çevrilmələri azın, qrafiki qurun. f() = + Əsas funksia Çevrilmə 7 f() = + Əsas funksia Çevrilmə

38 Adı Soadı İşçi vərəq N 8 Tari Qrafiklərə görə əsas funksia üzərində hansı çevrilmələrin aparıldığını müəən etməklə funksianın düsturunu azın. a) b) c) d) e) g) h) i) f)

39 Dərs. Dərslik səh.,. Funksialar üzərində əməllər Məzmun standartı...ədədi funksianın tərifini və verilmə üsullarını bilir, onun təin oblastı, qimətlər çoluğu anlaışlarını başa düşür.... Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksianın dövrülüünü, təkliini, cütlüünü, monotonluğunu araşdırır, qrafikləri çevirməi bacarır. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər verilmiş funksialar üzərində əməlləri erinə etirərək eni funksia azır Yeni funksianın assələrini müəən edir Riazi lüğət funksiaların toplanması, çıılması, vurulması və bölünməsi Funksialar üzərində əməllərdən real həati situasiada və riazi problemlərin həllində tez-tez istifadə edilir. Verilən iki funksia üzərində hesab əməlləri aparmaqla eni funk sia almaq olar. f() və g() funksiaları üzərində aparılmış hesab əməlləri nəticəsində alınan funksianın təin oblastı bu funksiaların hər ikisinin təin olunduğu həqiqi ədədlər çoluğudur. Başqa sözlə, eni funksianın təin oblastı f() və g() funksialarının təin oblastlarının kəsişməsidir: D = D(f) D(g). Fun ksi - a ların nisbəti arqumentin D çoluğundan olan və mərəcdəki funksianı sıfırdan fərqli edən qimətləri üçün təin edilir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D. d) f() = və g() = + D(f) = ( ; +), D(g) = ( ; ) ( ; +) olduğundan f və g funksialarının cəmi, fərqi, hasili bu çoluqların kəsişməsi olan ( ; ) ( ; +) çoluğunda təin olunmuşdur. (f + g)() = +, (f g)() =, + + (f g)() = ( ) = ( ). + Burada olduğu bir daha diqqətə çatdırılmalıdır. (f g)()! funksiasının qrafik təsviri və parabola üzərindəki ( ; ) nöqtəsinin kənarlaşdırılması qed edilməlidir. f ( )() nisbəti isə həm də g() = 0 olan nöqtədə, əni = nöqtəsində təin g f + olunmaıb. ( )() = ( ) : = ( ) = ( + ) g + Burada və olmalıdır. 9

40 Adı Soadı İşçi vərəq N 9 Tari f və g funksialarının qrafikinə görə f + g funksiasının qrafikini qurun. f 6 f 6 g - g f və g funksialarının qrafikinə görə f g funksiasının qrafikini qurun g f 0 6 f g

41 Dərs,. Dərslik səh. -6. Mürəkkəb funksia. saat Məzmun standartı...ədədi funksianın tərifini və verilmə üsullarını bilir, onun təin oblastı, qimətlər çoluğu anlaışlarını başa düşür.... Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksianın dövrülüünü, təkliini, cütlüünü, monotonluğunu araşdırır, qrafikləri çevirməi bacarır. Formalaşdırılan şagird bacarıqları verilmiş iki funksiaa görə funksiaların kompozisiasını azır; verilən funksialara görə mürəkkəb funksianın düsturunu azır; mürəkkəb funksianın qimətlərini hesablaır. Riazi lüğət mürəkkəb funksia funksiaların kompozisiası Funksialar üzərində əməllərlə eni funksia alınır. Yeni funksia almağın başqa bir olu da verilən funksiaların kompozisiasının (mürəkkəb funksiaların) qurulmasıdır. Real həati situasialarda, riazi problemlərin həllində mürəkkəb funksialar geniş tətbiq edilir. Məsələn, hovuzun su ilə dolması vahid zamanda hovuza aıdılan suun həcmindən və hovuzun ölçülərindən asılıdır. Tutaq ki, hovuza aıdılan suun həcmini V = 0,5t düsturu ilə hesablamaq olar. Burada V suun həcmini m -la, t isə zamanı dəqiqə ilə göstərir. Hovuzun ölçüləri 0m 5m m kimidir. Rəşad hovuzun dolmasını gözləir və suun dərinlii,5 m olanda hovuza girməi planlaşdırır. Hovuz dolmağa başlaandan nə qədər sonra Rəşad hovuza girə bilər? Hovuza vurulan suun həcmini V = 0 5 d kimi azsaq, V = 00d olar. V = 0,5t düsturundan isə t = V = 00d alarıq. d =,5 qimətində t = 00 l, 5= 00 dəq olar. Bu isə o deməkdir ki, hovuz bu sürətlə dolarsa, Rəşad 5 saat sonra hovuza girə bilər. Göründüü kimi, real həatda hadisələr bir-birindən qarşılıqlı asılı olaraq baş verir. Verilmiş iki funksia üzərində (f g)() və (g f)() azılışları izah edilir. İki funksianın mürəkkəb funksiası alnız o zaman mümkündür ki, birinci fun ksi - a nın qimətlər oblastı ikinci funksianın təin oblastına dail olsun. f g kom - po zi si a sı nın təin oblastı g funksiasının təin oblastının alt çoluğu, f g kom pozisiasının qimətlər oblastı f funksiasının qimətlər çoluğunun alt ço - lu ğudur. Mürəkkəb funksialara aid ən sadə nümunələr olçü vahidləri arasındakı asılılıqlardır. Məsələn, dollar =,60 manat; avro =,0 dollar olarsa, manatın neçə avro olduğunu tapmaq üçün biz avro ilə dolların asılılığından istifadə etməliik, manat dollar m(d) və avro dollar d(a) asılılıqlarını azmalııq d =,60m, m = d, d = a, m = a = 5 a və a funksia şəklində manat avro asılılığını m(a) = 5 a kimi aza bilərik. 8 Əlavə resurslar İşçi vərəqlər

42 ? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.6 c) f()=, g() = + funksiaları verilmişdir. D(f) = [;+ ), E(f) = [0; + ), D(g) = ( ;+ ), E(g) = [; + ) olduğundan, E(f) D(g), deməli, g(f ()) kompozisiası qurula bilər: g(f()) = ( ) + = +. Bu funksia [; +) aralığında təin olunmuşdur. E(g) D(f) olduğu üçün f(g()) kompozisiasını da qura bilərik: f(g()) = + = +. Bu funksia bütün ədəd ounda təin olunmuşdur. Adı Soadı İşçi vərəq N 0 Tari f() =, g() =, və h() = + olduğuna görə tələb olunan funksiaların qimətlərini hesablaın.. f(g()). f(h(7)). f(h()). h(f(9)) 5. g( f(0)) 6. h(g()) 7. f(g(h())) 8. h(g(f())) 9. g(f(h())) Verilən funksialara görə mürəkkəb funksiaların düsturlarını azın. a) Verilir f() = 5 və g() = + Tapın: (f g)() c) Verilir f() = + və g() = Tapın: (f g)() d) Verilir f() = və g() = + 8 Tapın: (g f)() b) Verilir f() = + 7 və g() = Tapın: (f g)()

43 Dərs 5-7. Dərslik səh. 7-. Tərs funksia. Ümumiləşdirici tapşırıqlar Məzmun standartı...ədədi funksianın tərifini və verilmə üsullarını bilir, onun təin oblastı, qimətlər çoluğu anlaışlarını başa düşür.... Mürəkkəb funksia, tərs funksia anlaışlarını bilir və bəzi funksiaların tərs funksialarını tapır. Formalaşdırılan şagird bacarıqları tərs funksianın qrafikini çəkir dönən funksia Riazi lüğət tərs funksia qarşılıqlı tərs funksialar Əlavə resurslar İşçi vərəqlər qarşılıqlı tərs əməllərdən istifadə etməklə verilən f funksiasının tərsi olan f - funksiasının düsturunu azır funksianın verilmiş qimətlər cədvəlinə, qrafikinə görə onun tərs funksiası olub olmadığını olaır verilən iki funksianın düturlarına görə onların qarşılıqlı tərs funksia olub olmadığını müəən edir tərs funksianın təin oblastını müəən edir f funksiasının tərsi olan f - funksiasının düsturunu azma. Dörd hesab əməlləri arasında qarşılıqlı tərs əməllər haqqında müzakirə aparılır. Toplama və çıma, vurma və bölmə əməlləri qarşılıqlı tərs əməllərdir. Verilən funksianın tərsi olan funksianı cəbri olaraq müəən etmək üçün əməllərin qarşılıqlı əlaqəsindən istifadə edilir. Məsələn, f() = funksiasının tərsi f - () = funksiasıdır. Başqa bir misalı nəzərdən keçirək: f() = + bu funksia dəişəni -ə vurub üzərinə əlavə edir. f() funksia sından -ə ( )/ ge ri dönmək üçün verilən : əməlləri tərsinə icra etmək + lazım gəlir. + f funksia sının erinə etirdii əməlləri tərsinə icra etməklə bu funksianın tərsi olan funksianın analitik şəklini almaq olar. Məsələn, f() = 5 funksiasının tərsi olan funksianı tapmaq üçün verilən f funksiasının gördüü əməlləri tərsinə çevirmək lazımdır -i kuba üksəldib nəticəni -ə vurub üzərinə 5 əlavə etmə işini -dən 5 çııb, kub kök alma işi kimi f - () = g() = 5 funksiası ilə əvəz etmək lazımdır Qarşılıqlı tərs funksialar təin oblastı və qimətlər çoluğuna görə də qarşılıqlı tərs olurlar. Yəni f funksiasının təin oblastı bu funksianın tərsi olan g funksiasının qimətlər oblastı olur və tərsinə.

44 Məsələn, f() = funksiası üçün f() =, bu funksianın tərsi olan funksia üçün g() = olmalıdır. Doğrudan da = olduqda g() = funksiasının qiməti -dür. Verilən iki funksianın qarşılıqlı tərs funksia olub-olmaması. f() = funksiası ilə g() = ( + ) funksiasının qarşılıqlı tərs funksialar olduğunu aşağıdakı kimi olamaq olar. Bunun üçün ƒ(ƒ ()) = və ƒ (ƒ()) = olduğunu göstərməliik. f( ( + )) = ( ( + )) = + = f() = funksiasının tərs funksiasının düsturunu = şəklində azmaqla -in -dən asılılığını -in -dən asılılığı kimi ifadə etməklə azmaq olar. Bu funksia = ( + ) kimi azılır. Sadəcə olaraq işarələmələrdə arqument, funksia kimi qəbul edildiindən tərs funksia = ( + ) şəklində azılır. f funksiasının tərsi olan funksianın varlığı şərtləri. f funksiasının tərsi olan funksianın mövcud olması üçün onun təin oblastındakı hər bir qimətə qimətlər oblastından bir qimət uğun gəlməlidir, bu cür funksialar dönən funksia adlanır. Əks halda, əni -in bir qimətinə funksianın birdən ço qiməti uğun gələrsə, (məsələn, = funksiasında olduğu kimi) bu dönən funksia deil və onun tərsi olan funksia odur. Funksianın dönən funksia olub olmadığını onun qrafikinə görə üfiqi əttin köməilə test etmək olar. Əgər üfiqi ətt qrafiki birdən ço sada nöqtədə kəsərsə, bu funksia dönən funksia deil və tərs funksiası odur. təin qimətlər təin qimətlər Dönən funksia deil (, ) (, ) (, ) 0 Dönən funksia deil Dönən funksiadır Dönən funksiadır Ümumiətlə, təin oblastında alnız artan və a alnız azalan funksialar dönən funksialardır. Məsələn, ƒ() =, ƒ() =, və g() = funksiaları dönən funksialardır. Tərs funksia mövzusu istər funksianın düsturuna görə tərs funksianı müəən etmə, istər nöqtələr çoluğu ilə verilən funksianın tərs funksiasının təin oblastını və qimətlər çoluğunu müəən etmə, istərsə də qrafik şəkildə verilmiş funksianın tərsi olan funksianın varlığını müəən etmə bacarıqlarını və istər cəbr, istərsə də funksialar mövzuları üzrə geniş bilikləri əhatə edir. 0 5

45 Funksianın və tərs funksianın təin oblastı, qimətlər çoluğu və onların qrafikləri X Y Təin oblastı f f Qimətlər çoluğu f Qimətlər çoluğu f Təin oblastı f f = {( ;), ( ; ), (0; 0), (;), (;5)}. g = {(; ); (; ); (0;0); (;); (5;)}. f Sematik təsvirdən də göründüü kimi, funksia və onun tərs funksiasının təin oblastı və qimətlər çoluğu erlərini tərsinə dəişirlər. Deməli, onların qrafikləri də, bir-birinin əksi olmalıdırlar. Funksia və tərs funksianın qrafikləri = ouna nəzərən bir-birinin güzgü əksidir, əni bu oa nəzərən simmetrikdirlər. f funksiasının qrafiki verilmişsə, onun tərsi olan funksianın qrafikini = düz əttinə simmetrik çevirmək ilə almaq olar. 0 f = f 5 f =? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.9 Həlli: a) f() = funksiasının həm təin oblastı, həm də qimətlər çoluğu ( ; + ) aralığıdır. İstənilən üçün olduğundan funksia artandır. = azıb, = alırıq. Burada ilə -in erlərini dəişməklə tərs funksianı = şəklində azaq. = kub parabolasının = düz əttinə nəzərən əksetməsi ilə = funksiasının qrafiki alınır. = funksiasının təin oblastı D(f) = ( ; + ), qimətlər çoluğu E(f) = ( ; + ). = funksiasının qrafikinin qimətlər cədvəli tərtib etməklə qurulması da tövsiə edilir. = = = f

46 b) =, 0 funksiası üçün D(f) = [0; + ); E( f ) = [0; + ), 0 olduqda olduğundan verilən funksia artandır. Deməli, tərsi var və tərs funksia da artandır. = bərabərliində - lə -in erini dəişməklə alırıq: = D( ) = 0; + ), E( ) = [0; + ) =, 0 və = funksiaların qrafikləri = düz əttinə nəzərən simmetrikdirlər. =, 0 = = Ümumiləşdirici tapşırıqlar özünüqimətləndirmə, eləcə də bölmə üzrə summativ qimətləndirməə hazırlıq məqsədilə erinə etirilir. D.7. f() = f( )+ olduğu məlumdur. f()-ni tapın Həlli: Verilmiş münasibətdə =0; =; = qimətlərini ardıcıl olaraq azaq və nəticəni hər sonrakı mərhələdə nəzərə alaq: =0 olduqda, f(0) = 0f( ) + =0 + = = olduqda, f() = f(0) + = + = = olduqda, f() = f() + = + = 0 a) f()= + funksiasının təin oblastı 0 şərtindən tapılır. Buradan alırıq ki, funksia olduqda təin olunmuşdur. D(f) = ( ;)(;+ ) + b) f()= düsturunda = t azaq. f(t )= t + = t t t 5 Buradan f( ) = alarıq. 5 f( ) < 0 münasibətini ödəən -ləri tapmaq üçün 0 bərabərsizliini 5 həll etməliik. İntervallar üsulunu tətbiq edərək tapırıq ki, bu bərabərsizliin həllər çoluğu (; 5) aralığıdır. D.. 6

47 Adı Soadı İşçi vərəq N Tari Verilən funksianın tərsi olan funksianın düsturunu azın. ) h() = ) g() = g() = + 7 ) g() = + Verilən funksiaların qarşılıqlı tərs funksia olub-olmadığını olaın. ) f(n) = 6 + n ) f() = ) f(n) = n g(n) = + n g(n) = n + 6 Verilən funksianın tərs funksiasını müəən edin və qrafikini çəkin. ) f() = ) g() = Funksialar. Summativ qimətləndirmə mearları cədvəli N Mearlar Qed Asılılığın funksia olub olmadığını müəən edir Funksianın assələrini müəən edir (təin oblastını və qimətlər ço - lu ğu nu, sıfırlarını, artma və azalma intervallarını, ekstremumlarını, tək və a cüt olduğunu) Hissə-hissə verilmiş funksianın düsturunu azır, qrafikini qurur, qimətlərini hesablaır Cüt və a tək dərəcədən qüvvət funksialarının qrafiklərini qurur Funksiaların çevrilmələrini əsas funksiaa görə qrafik olaraq, analitik 5 düsturla. sözlə təqdim edir Funksianın verilmiş qimətlər cədvəlinə, qrafikinə görə onun tərs fun k - 6 siasının olub-olmadığını olaır, düsturunu analitik olla müəən edir 7 Verilmiş funksialar üzərində əməlləri erinə etirərək eni funksia azır 8 Verilən funksialara görə mürəkkəb funksianın düsturunu azır, qi mət - lə rini hesablaır

48 Dərs 8. Funksialar. Summativ qimətələndirmə tapşırıqları ) Asılılıq əritəsinə görə A və B çoluqları arasındakı uğunluğa funksia demək olarmı? Fikrinizi əsaslandırın. ) f() = +5 funksiasının təin oblastı hansıdır? a) bütün həqiqi ədədlər çoluğu b),5 şərtini ödəən bütün həqiqi ədədlər çoluğu c),5 şərtini ödəən bütün həqiqi ədədlər çoluğu d),5 şərtini ödəən bütün həqiqi ədədlər çoluğu A 5 B ) Hər bir funksiaa uğun əsas funksianı azın. Uğun çevrilmələri sözlə azın. a) f() = b) h() = ( ) + c) g() = + d) m()= + ) Hansı funksia = funksiasının ouna görə əksetməsindən vahid aşağı sürüşdürülməsini ifadə edir? a) f() = ( ) b) f() = c) f() = + d) f() = ( + ) 5) Verilən funksiaların təin oblastlarını aralıq şəklində azın. a) f() = b) f() = c) f() = 6) = 0,5( + ) +,5 funksiası hansı aralıqda artandır? a) (,5; ) b) ( ;,5) c) [ ; + ) d) ( ; ] 7) Verilən qrafiklərə görə mürəkkəb funksiaların qimətlərini müəən edin. - - f() a) (f g)() b) (f f)() c) (g f)() d) (g g)(0) 8) f() = və g() = + olduqda f(g()) 0 bərabərsizliini həll edin g()

49 9) = + funksiasının qrafiki verilmişdir. a) Tərs funksiasının qrafikini çəkin. b) Koordinatların dəişməsini azın. (; ) (; ) ( 7; 0) ( ; ) ( ; 0) (0; ) (; 0) c) Tərs funksianın düsturunu cəbri üsulla tapın. 0) f() = olarsa, g()= f(+)+ çevrilməsinə uğun qrafiki çəkin. ) Funksianın qrafikinin ouna nəzərən əks etməsinə görə qed olunmuş üç nöqtənin eni koordinatlarını azın. ) Hissə-hissə verilmiş funksianın qrafikini qurun. f() =, əgər < 5, əgər < 8, əgər < 9 0, əgər 9 < ) f() = + 6 və g() = 9 funksialarına görə (f g)() düsturu hansıdır? a) 5 b) c) 0 d) 0 5 ) N( ;) nöqtəsi f() = + m funksiasının qrafiki üzərindədir. f( )-i tapın. 5) f() = ( ) ( + ) funksiasının tək-cütlüünü araşdırın. ( ) + 6) f = + olarsa, tapın: a) f(0) b) f() c) f() 9

50 . Fəzada nöqtə, düz ətt, müstəvi Planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh.... Fəzada düz ətlərin qarşılıqlı vəziətinə və fəzada müstəvilərin qarşılıqlı vəziətinə aid məsələləri həll edir.... Fəzada düz ətlə müstəvi arasındakı bucağın, iki müstəvi arasındakı bucağın necə təin olunduğunu bilir və məsələlər həllində onlardan istifadə edir.... Üç perpendikular haqqında teoremi və tərs teoremi tətbiq edir Fəzada nöqtə, düz ətt və müs - təvi Fəzada düz ətlərin və müs - təvilərin qarşılıqlı vəzi əti Düz ətlə müstəvinin paralellii. Düz əttin müstəviə perpen di kularlığı. Düz ətt və müstəvi arasındakı bucaq Üç perpendikular teo remi İki müstəvi arasındakı bucaq. İkiüzlü bucaqlar Perpendikular müstəvilər. Paralel müstəvilər. Proeksi a - lar və məsələ həlli. Ümu miləş - di rici tapşırıqlar Fəzada düz ətt və müs təvi. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları Cəmi

51 Dərs 9. Dərslik səh. -5. Fəzada nöqtə, düz ətt və müs təvi Məzmun standartı... Fəzada düz ətlərin qarşılıqlı vəziətinə və fəzada müstəvilərin qarşılıqlı vəziətinə aid məsələləri həll edir. Riazi lüğət fəza, müstəvi, nöqtə, düz ətt, komplanar nöqtələr, kollinear nöqtə lər Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər fəzada nöqtə, düz ətt, müstəvi anlaışını real situasia üzərində modelləşdirir; fəzada müstəvi anlaışını uğun teoremi isbat etməklə və həndəsi təsvirli məsələlər həll etməklə göstərir; fəzada düz ətlərin qarşılıqlı vəziətini həndəsi təsvir edir. Fəzada nöqtə, düz ətt, müstəvinin modelinə aid nümunələr sölənilir. Fəzada nöqtə modeli olaraq, göə atılmış topu (tennis topu, volebol topu və s.), səmadakı quşu, təarəni və s. kimi misallar göstərilir. Sölənilənləri Yerə nəzərən nöqtə kimi qəbul etmək olar. Masa üzərində qum dənəsi ( duz, şəkər tozu və s. dənələri), göldə üzən qazlar, gödə uçan quş, səmada ulduz müstəvi üzərində nöqtə modeli ola bilər. Boru ətləri, elektrik naqilləri fəzada düz əttin modeli ola bilər. Fəza fiqurlarının tilləri fəzada düz ətt modelidir. Fəza fiqur la rının üzləri fəzada müstəvi modelləridir. Binanın mütəlif tərəflərdən görü nüş lə rinin hər biri bir müstəvi modelidir. Əanliin əsasında fəzanı adın təsəvvür etmə vərdişləri aradılır.dərs üçün lazım olan modelləri müəən mənada həmişə sinifdə olan əşalardan düzəltmək olar. Məsələn,karandaşdan düz ətt modeli kimi,azı lövhəsindən, divarın, döşəmənin, tavanın səthindən müstəvi modeli kimi istifadə edilə bilər. Şagird müstəvinin mövcudluğu üçün bir düz ətt üzərində olmaan üç nöqtənin zəruri olduğunu başa düşür. Aksiomun mənasını izah edən misalları şagirdlərin ozləri göstərsələr daha aşı olar. Məsələn,iki nöqtəsi bərkidilmiş (həncama ilə) qapı sərbəst fırlanır, əni açılır və bağlanır, lakin qapını üçüncü bir nöqtə ilə bərkitsək, (cəftə ilə bağlamaq) qapı fırlanmır, əni qapı divarın müstəvisi üzərində erləşir. Nəticə olaraq isə bir düz ətt və onun aricində götürülmüş nöqtədən, iki kəsişən düz ətdən bir müstəvinin keçirilməsinin mümkün olduğu araş dı rılır. a) B b) B c) B l C l l l A C A Bir düz ətt üzərində erləşən nöqtələrə kollinear nöqtələr deilir. Bir müstəvi üzərində erləşən nöqtələrə komplanar nöqtələr deilir. Kartondan kəsilmiş paraleloqramın iki modelini iki mütəlif müstəvidə elə erləşdırmək olarki,onların alnız bir ortaq nöqtəsi (paraleloqramlardan birinin təpə nöqtəsi) olar.belə sual qoulur: Bu iki müstəvinin alnız bir ortaq nöqtəsi olacağına misal ola bilərmi? 5 A l C

52 Şagirdlər başa düşürlər ki,verilmiş modeldə baılan müstəvilərin ortaq nöqtəsindən keçən düz ətt göstərilməmişdir. Fəzada nöqtə, düz ətt və müstəvilər həndəsi olaraq hər hansı fəza fiquru üzərində və a aşağıdakı kimi tapşırıq üzərində təsvir edilə və göstərilə bilər. ) Müstəvini hərflə adlandırın A ) AC düz ətti müstəvini hansı nöqtədə kəsir? ) HG və GE düz ətləri hansı nöqtədə kəsişirlər? B ) Üç kollinear nöqtəni azın: 5) Müstəvi üzərində olmaan nöqtəni göstərin: C 6) H, D, E və B nöqtələrinə komplanar nöqtə demək olarmı? 7) Çəkin və işarələin: a) ABC müstəvisini b) α müstəvisini 8) ABC müstəvisini M nöqtəsində kəsən PR düz əttini e) müstəvisi üzərində olmaan M nöqtəsini f) Kollinear olmaan L, P, T nöqtələrini E D G H Sadə həndəsi anlaışları izahetmə bacarıqlarının qimətləndirilməsi İzahların qarşısında uğun hərfləri azın və bir nümunənin həndəsi təsvirini çə kin. Tapşırıqları şəklə görə erinə etirin. a) Müstəvini mütəlif şəkildə olmaqla adla azın. b) Kollinear olmaan üç nöqtənin adlarını azın. c) Üç kollinear nöqtənin adlarını azın Tapşırıqları şəklə görə erinə etirin. a) Şəkildə neçə müstəvi var? b) Müstəvilərin adlarını azın. c) B nöqtəsi ilə komplanar olan üç nöqtənin adını azın. d) B nöqtəsi hansı müstəvilərə aiddir, adlarını azın. 5 F F A n W T P D B R U Q S t E С m

53 İşçi vərəq Adı Soadı Tari ) Verilən nöqtələrdən alnız bir müstəvi keçirmək olar fikrinə uğun hə və o cavabını haşiəə alın. Fikrinizi həndəsi təsvirlə də əsaslandırın. a) A hə B o C b) hə L D K o E c) d) hə ) Verilən nöqtələrin komplanar olub-olmadığına görə hə və o cavablarını seçin. Əsasınızı azın. a) hə o b) hə o c) B A Q M M T C L P D P ) Aşağıdakıları çəkin və adlandırın. a) müstəvisi üzərində R, S, T, E komplanar nöqtələrini b) müstəvisi üzərində A, B, C, D kollinear nöqtələrini ) Şəklə görə erinə etirin. F o a) Şəkildə neçə müstəvi var? b) H nöqtəsi hansı müstəvilərin üzərindədir? c) Üç kollinear nöqtənin adını azın: d) XBN müstəvisi üzərində olmaan iki nöqtəni azın: e) Komplanar nöqtəni azın: f) J nöqtəsinin üzərində olmadığı düz əttin adını azın g) Kollinear olmaan üç nöqtənin adını azın 5 P R hə Q T o hə X J H o T B N

54 Dərs 0. Dərslik səh. 6, 7. Fəzada düz ətlərin və müstəvilərin qarşılıqlı vəziəti Məzmun standartı... Fəzada düz ətlərin qarşılıqlı vəziətinə və fəzada müstəvilərin qarşılıqlı vəziətinə aid məsələləri həll edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər düz ətlərin qarşılıqlı vəziətlərinə görə həndəsi assələrini sözlə ifadə edir, həndəsi olaraq təsvir edir; düz ətlə müstəvinin qarşılıqlı vəziətlərinə görə həndəsi assələrini sözlə ifadə edir, həndəsi olaraq təsvir edir. Fəzada düz ətlərin, düz ətlə müstəvinin qarşılıqlı vəziətləri real situa - sialar üzərində modelləşdirilir. Düz ətt və müstəvinin kəsişmə modeli Fəzada düz ətlərin qarşılıqlı vəziəti və düz ətlə müstəvinin kəsişmə modeli ola bilər. Şagird müstəvi üzərində verilən nöqtədən verilən düz əttə bir perpendikular çəkməin, fəzada isə bir nöqtədən düz əttə sonsuz sada perpendikular çəkməin mümkün olduğunu başa düşür. Dərslikdə verilmiş hər bir teoremin sözlə ifadəsini, həndəsi təs vi rini, isbatını sinifdə müzakirə ilə izah edildikdən sonra şagirdlərə ev tapşırığı olaraq bir daha erinə etirmələri tövsiə edilir. Həmçinin teoremi başa düşdüünü tətbiqi nümunələrlə izah etmələri ço vacibdir. Fəzada düz ətlər paralel ola bilər, kəsişə bilər, üst-üstə düşə bilər və çarpaz ola bilər. Paralel düz ətlərin heç bir ortaq nöqtəsi odur, kəsişən ətlərin bir ortaq nöqtəsi var, üst-üstə düşən ətlərin birdən ço ortaq nöqtəsi var. k Şəkildəki m və n ətləri paralel, m və k ətləri çarpaz, n və k m ətləri kəsişən düz ət lərdir. Paralel düz ətlər eni müstəvi n üzərində erləşən düz ətlərdir. Lakin çarpaz düz ətlər mütəlif müstəvilər üzə rində erləşirlər. Bu məsələlərə hökmən modellərin göstərilməsi ilə baılmalıdır. Bu assələri təqdim etmək üçün ən u ğun model kub modelidir. C Kubun düz ətt parçası olan tillərini özündə salaan düz ətlər B paralel, kəsişən və çarpaz düz ətlərə nümunə kimi göstərilir. D A Şagirdin çarpaz ətləri nümunədə çəkib göstərmə bacarıqlarına diqqət edilir. Şagirdlərlə aşağıdakı kimi şifahi müzakirələr apa - F rı lır. G a) A nöqtəsini üzərində salaan və CD-ə paralel olan ətt (lər) E H b) A nöqtəsini üzərində salaan və CD-ə çarpaz ətt (lər) c) A nöqtəsini üzərində salaan və CD-ə perpendikular olan ətt (lər). 5

55 ? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D. Həlli:AA` BB` DD` CC`olduğundan ACC`A` dördbucaqlısı trapesiadır və OO` onun orta əttidir. C OO`= AA`+CC` +7 = =5 B o D Digər tərəfdən OO` həm də BDD`B` trapesiasının A orta əttidir. C` B` D` BB`+DD` + DD` o` OO`= olduğundan 5 =. A` Buradan DD`= 6 sm İşçi vərəq Adı Soadı Tari ) Sadə həndəsi anlaışları izah etmə bacarığı. Ötürülmüş sözlərin erinə uğun gələni azın. Düz ətt nöqtədən ibarətdir. a) iki b) üç c) sonsuz sada d) bir İki mütəlif düz əttin kəsişməsi. a) nöqtədir b) parçadır c) şüadır d) müstəvidir Düz ətlə müstəvi kəsişir. a) parça üzrə b) arımdüz ətt üzrə c) müstəvi üzrə d) bir nöqtədə ) Düz ətlər qarşılıqlı vəziətlərindən asılı olaraq müstəvini mütəlif sada his sə - lərə bölür. Məsələn, iki paralel düz ətt müstəvini hissəə, iki kəsişən düz ətt müstəvini hissəə bölür. Bunu nəzərə alaraq düz ətlərin saına görə müstəvinin ən çou neçə hissəə bölünməsini göstərən cədvəli doldurun. Hissələrin dəişmə qadasını azın. Müstəvi üzərində düz ətlərin saı Müstəvi üzərindəki hissələrin saı ən ço olmaqla 55 0

56 Dərs -. Dərslik səh Düz ətlə müstəvinin paralellii. Düz əttin müstəviə perpendikularlığı. Düz ətt və müstəvi arasındakı bucaq. Məzmun standartı... Fəzada düz ətlərin qarşılıqlı vəziətinə və fəzada müstəvilərin qarşılıqlı vəziətinə aid məsələləri həll edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları düz ətlə müstəvi arasındakı bucağı həndəsi olaraq təsvir edir Riazi lüğət proeksia Düz ətlə müstəvi arasındakı bucağı mütəlif ölçülərdə bucaqlar çəkməklə nümaiş etdirirlər. Bu zaman mailin proeksiasının çəkilməsi bacarıqlarına diqqət edilir. Şagird düz ətlə müstəvi arasında qalan bucağa aid məsələlərin verilən hipotenuza görə düzbucaqlı üçbucağı çəkmə və onu həll etmə məsələlərinə gətirildiini başa düşür. Şagirdlər düz ətlə müstəvinin qarşılıqlı vəziətinə aid həndəsi izahları azılı və şifahi olaraq ifadə etməi bacarmalıdırlar. Verilən nöqtədən müstəviə çəkilmiş perpendikulara görə aşağıdakı nəticələri ümumiləşdirmək olar: - verilmiş nöqtədən müstəviə çəkilmiş perpendikular bu nöqtədən çəkilmiş maillərdən qısadır; - bir nöqtədən müstəviə qədər olan məsafə bu nöqtədən müstəviə çəkilmiş perpen - di kuların uzunluğuna bərabərdir; - müstəviə paralel olan düz ətdən müstəviə qədər məsafə düz ətt üzərində götürül - müş nöqtədən müstəviə qədər məsafəə bərabərdir. 56 Əlavə resurslar İşçi vərəqlər -ci saatda düz əttin müstəviə paralellik əlaməti haqqında teoremin isbatı və alınan nəticələr müzakirə edilir. D.tapşırığının ümumsinif müzakirəsi mövzunun daha dərindən örənilməsinə zəmin aradır. Şagirdlər düz ətlə müstəvinin qarşılıqlı vəziətlərini adın təsəvvür etməli, teoremləri ifadə etməi və onların mənasını uğun model üzərində izah etməi bacamalıdırlar. Sual verilir: Hər hansı müstəvi üzərində düz əttin verildiini fərz edək.verilmiş düz ətti kəsib, ona perpendikular olan və verilmiş müstəvi üzərində erləşməən düz ətt varmı? Şagirdlər belə nəticəə gəlirlər ki,verilmiş düz ətin itiari nöqtəsindən sonsuz sada belə düz ətt keçir. Qurulmuş düz əttin müstəvi üzərində bir deil, iki kəsişən düz əttə perpendikular olması halı mümkündürmü? Belə halın mümkünlüünü göstərən misallar mütəlif modellərdə illüstrasia edilir.

57 -ci saatda düz ətlə müstəvinin perpendikularlığı örənilir.düz əttin müstəviə perpendikularlıq əlaməti haqqında teoremin dərslikdə verilmiş isbatı mərhələlərlə müzakirə edilərək erinə etirilir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.9 Həlli: Verilir: AD ABD = 0 ACD = 5 BAC = 90 AD = a Tapın: BC =? Həlli ΔABD-da 0 -li bucaq qarşısındakı katetin uzunluğu a olduğundan hipotenuz a-a bərabərdir: AB = a ΔACD-da iti bucaq 5 olduğundan katetlərin uzunluqları enidir: CD = AD = a. Buradan AC = a ΔBAC -dən BC = AB + AC = a + a = a 6 D. b) Verilir: AO AC:AB=: OC = sm OB = 7 sm Tapın: AC və AB 57 B 0 D.0 Maillərin proeksiaları a olarsa, oturacaqları arasındakı məsafə Pifaqor teoreminə görə BC = a olar. Şərtə görə ABC bərabərtərəfli üçbucaqdır: AB = AC = BC = a B BO a AOB-dən cosabo = = = olduğundan AB a alırıq ki, hər bir mailin öz proeksiası ilə arasındakı bucaq 5 dir. B α Həlli: AC=; AB=; AO=h işarə edək. Pifaqor teoreminə görə AOC-dən h =, AOB-dən isə h =9 9 alırıq. Buradan 9 9=, 5 =5, =± tapılır. Məsələnin həndəsi mənasına görə = olmalıdır. Deməli, AC= =6sm; AB= =9sm 7 C h o 5 a C A 60 A a D C A o a

58 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Aşağıda fikirlərdən hansının doğru, hansının səhv olduğunu verilən şəkillərə görə müəən edin. Şəkilləri dəftərinizdə çəkin və cavabınızı azın.. İki düz ətt üçüncü düz əttə paraleldirsə, bu düz ətlər pararleldir.. İki müstəvi üçüncü müstəvi - ə paraleldirsə, bu müstəvilər paraleldir. l l l. İki düz ətt eni müstəviə perpendikulardırsa, onlar paraleldir. l 5. Düz ətt müstəvi üzərində erləşən iki kəsişən düz əttə perpendikulardırsa, düz ətt müstəviə də perpendikulardır. l l l l 58. İki düz ətt eni düz əttə perpendikulardırsa, onlar paraleldir. l 6. Düz ətt iki perpendikular müstəvidən birinə paraleldirsə, digərinə də paraleldir. l l l

59 Dərs. Dərslik səh. 5, 5. Üç perpendikular teoremi. saat Məzmun standartı... Üç perpendikular haqqında teoremi və tərs teoremi tətbiq edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər fəzanın verilmiş nöqtəsindən müstəvi üzərində erləşən çobucaqlıların təpələrinə və tərəflərinə qədər məsafəni tapır. Üç perpendikular haqqında teoremi hər bir şagird real əşalarla modelləşdirməi, teoremin mətnini şifahi və azılı olaraq həndəsi təsvirlə ifadə etməi bacarmalıdır. Dərsin müəən hissəsi nöqtədən müstəviə qədər məsafə anlaışının formalaşmasına arılır. Nöqtədən düz əttə qədər və iki paralel düz ətt arasındakı məsafəni tapmağa aid məsələlər həll edilir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli. D. Həlli:ΔABC-də C=90 AC=6, BC=8 olarsa, Pifaqor teoreminə görə AB= 6 +8 =0 ΔABC-nin aricinə çəkilmiş çevrənin O mərkəzi AB hipotenuzunun orta nöqtəsidir: AO= OB=5 O nöqtəsindən üçbucaq müstəvisinə qaldırılmış perpendikuların üzərindəki itiari nöqtə üçbucağın təpə nöqtələrindən eni məsafədə erləşir. Şərtə görə MA=MB=MC= olduğundan A ΔAOM -dən tapırıq. MO = MA AO = 5 = sm Dərs 5-6. Dərslik səh İki müstəvi arasındakı bucaq. İkiüzlü bucaqlar. Perpendikular müstəvilər. saat Məzmun standartı... Fəzada düz ətlərin qarşılıqlı vəziətinə və fəzada müstəvilərin qarşılıqlı vəziətinə aid məsələləri həll edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları müstəvilərin qarşılıqlı vəziətlərini real situasialar üzərində modelləşdirir müstəvilərin perpendikularlığı haqqında təklifləri sözlə ifadə edir və teoremləri isbat edir, vəziətlərini real situasialar üzərində modelləşdirir 59 M o Əlavə resurslar İşçi vərəqlər B C

60 iki müstəvi arasındakı bucağın ikiüzlü bucaq olduğunu həndəsi təsvirlərlə göstərir, ölçüsünü uğun ətti bucaqla müəən edir Riazi lüğət ikiüzlü bucaq ətti bucaq İkiüzlü bucaqları fəzada real olaraq modelləşdirmə və həndəsi təs vir etmə bacarıqlarına diqqət edilir. İkiüzlü bucaqların ətti bucaq larının ölçüsündən asılı olaraq müstəvilərin qarşılıqlı vəziətləri müəən olunur. Şagirdlər iki müstəvi modeli ilə (iki vərəq) onlar arasında qalan bucağın 0 -dən 80 -ə qədər dəişməsini nümaiş etdirirlər. Hər bir şagirdin bu tapşırığı erinə etirdiinə diqqət edilir. Şəkildəki qutu müstəvilərin qarşılıqlı vəziəti modeli ola bilər. Şagirdlər qutu modelləri üzərində perpendikular müstəviləri göstərirlər Verilən şəkil müstəvilərin qarşılıqlı vəziətlərinin mo - de li ola bilər. Şagird STV, PQT, RQT müstəvilərinin perpendikular olduqlarını təqdim edir. Şagirdlər verilən şərtlərə görə müstəviləri həndəsi olaraq təsvir etməi bacarmalıdırlar. Məsələn, verilən aşağıdakı şərtə görə şagird həndəsi təsviri aşağıdakı kimi çəkə bilər. ) və müstəviləri CD ətti bounca kəsişir. E nöqtəsi AB düz ətti ilə CD-nin kəsişmə nöqtəsidir. A,B,C,D,E nöqtələri komplanardır və müstəvisi üzərindədirlər. Şagirdlərlə bəzi təkliflərin həmişə, bəzən, heç vat doğru olub-olmadığı haqqında müzakirələr aparılır. Məsələn, iki kəsişən düz ətt mütəlif müstəvilər üzərindədir təklifinin bəzən doğru olduğunu şagirdlər həndəsi təsvirlər çəkməklə göstərirlər. n və k düz ətləri kəsişirlər, lakin verilmiş mütəlif müstəvilərin üzərindədirlər. 60 A D K E n C B m

61 Şagirdlərə düz ətt və müstəvinin, həmçinin müstəvilərin perpendikularlıq şərtlərini əks etdirən ümumiləşmiş təqdimat hazırlamaları tövsiə edilir. (İşçi vərəq )? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D6. AB oturacağı ortaq olan ABC və ABD bərabəranlı üçbucaqların müstəviləri perpendikulardır. AB = 6 sm, AC = BC = 7 sm, AD BD olarsa, CD məsafəsini tapın. C Həlli: Bərabəranlı üçbucaqda təpədən çəkilən hündürlük həm də mediandır. 7 7 CMAB olduqda AM = MB = 8 sm. A 8 8 ΔACM-dən Pifaqor teoreminə görə B M CM = AC - AM = 7-8 = 5 sm AB ΔADB bərabəranlı düzbucaqlı üçbucağında DM = = 8 sm D Üçbucaqların müstəviləri perpendikular olduğundan CMMD olduğu adındır. ΔCMD-dən Pifaqor teoreminə görə alırıq: CD = CM + MD = = 7 sm Dərs 7-9. Dərslik səh Paralel müstəvilər. Proeksialar və məsələ həlli. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Məzmun standartı... Fəzada düz ətlərin qarşılıqlı vəziətinə və fəzada müstəvilərin qarşılıqlı vəziətinə aid məsələləri həll edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları müstəvilərin paralelliini real həati situasialardan nümunələrlə izah edir, real əşalarla modelləşdirir müstəvilərin perpendikularlığı haqqında təklifləri sözlə ifadə edir və teoremləri həndəsi təsvirlə isbat edir, vəziətlərini real situasialar üzərində modelləşdirir 6 Əlavə resurslar İşçi vərəqlər Parçanı düz ətt və a müstəvi üzərinə proeksialaan zaman parçanın müstəvini kəsdii və parçanın müstəvini kəsmədii hallara (modeli göstərməklə) bamaq lazmdır.kabinetdə parçanın və bəzi fiqurların ortoqonal proeksiasını göstərən plakatların olması zəruridir.

62 İşçi vərəq Adı Soadı Tari. Müstəvi aricində götürülmüş nöqtədən bu müstəviə alnız və alnız bir perpendikular çəkmək olar. l. Düz ətt üzərində verilmiş nöqtədən bu düz əttə perpendikular olan alnız və alnız bir müstəvi var. l B A. Düz ətt müstəvi üzərindəki iki kəsişən düz əttin hər birinə kəsişmə nöqtəsində perpendikular olarsa, düz ətt bu müstəviə də perpendikulardır.. Verilən nöqtədən verilən düz əttə alnız və alnız bir perpendikular müstəvi keçirmək olar. C B 5. Eni müstəviə perpendikular olan iki düz ətt bir müstəvi üzərində erləşir. A C l C A B D α l P 6. İki müstəvi alnız və alnız o zaman bir-birinə perpendikular olur ki, onlardan biri digərinə perpendikular olan düz ətdən keçir. l 8. Əgər düz ətt müstəviə perpen di - kul ardırsa, bu düz ətdən keçən istənilən müstəvi də bu müstəviə per pen dikulardır Düz ətt müstəviə perpendi kul ar dırsa, müstəvi ilə düz əttin kəsişmə nöq təsindən keçən və verilən düz əttə perpendikular olan istənilən düz ətt bu müstəvi üzərindədir. 9. İki paralel müstəvini üçüncü müs tə vi ilə kəsdikdə, onların kəs - işmə ət ləri bir-birinə paraleldir. l l l l m

63 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari PD PAD =, PCD =, PBD = z və < z < PA = 0 sm, PC = 6 sm olduğuna görə PB-nin uzunluğu tam ədədlərlə hansılar ola bilər? P A D z B C A Şəkildə verilənləri azın və PC-ni tapın. P B T 5 9 C a) 5 b) 6 c) 8 d) 0 e) 5 PB BA d PB = sm BA = 6 sm AC = sm S PAC =? AB AC d AC = 6 sm AB = sm CD = sm BD =? 6 C d D P B C A B A d

64 Fəzada müstəvilərin qarşılıqlı vəziətinin aşa dıq ları küçənin planını çəkməklə, həm çi - nin kartondan üçölçülü maketini aratmaqla mo del ləşdirilməsi işi kiçik laihə işi kimi erinə etirilə bilər. Bu, şagirdin fəza təsəvvürləri, əlaqələndirmə, mühakiməetmə kimi idraki bacarıqlarla anaşı, əritə ouma, konstruksiaetmə kimi praktik bacarıqlarının da formalaşmasına idmət edir. Müstəvilərin paralellii haqqında teoremlər, təriflər və onların həndəsi təsvirləri ümumsinif fəaliəti olaraq müzakirə edilir. G F Müstəvilərin paralellii haqqında teoremləri və tərifləri düzgün D C H başa düşdüünü olamaq üçün aşağıdakı tapşırığı mü za ki rə lər - E l J lə erinə etirmək olar. Əvvəlcədən elan edilir ki, səsləndirilən təkliflər bəzən doğrudur, bəzən isə səhvdir. a) Təkliflərin doğru olduğuna aid şəkildən nümunələr gətirin. b) Təkliflərin səhv olduğunu şəkildən nümunələr gətriməklə əsaslandırın. A B - iki müstəvi bir-birinə perpendikulardırsa, bu müstəvilərdən birinə paralel olan düz ətt digərinə də perpendikulardır. - eni düz əttə paralel olan iki müstəvi bir-birinə paraleldir - iki düz ətt eni düz əttə perpendikulardırsa, bu düz ətlər paraleldir - iki düz ətt kəsişmirsə, onlar paraleldir - eni müstəviə perpendikular olan iki müstəvi bir-birinə paraleldir - eni müstəviə paralel olan iki düz ətt bir-birinə paraleldir D.0 Həlli: Verilir: OO OO=sm AB=6sm; AO=OB=sm; A o α AM=MB; ON=NO Tapın: MN=? M N Həlli Şərtə görə ON=NO= AM=MB= ΔAON -dən AN= AO +ON = + = B o ΔBON-dən BN= BO +ON = + = Deməli, ΔANB bərabəranlıdır. Ona görə də NMAB. MN= AN AM = ( ) = sm! Fiqurun ortoqonal proeksiasının sahəsi üçün Sp = Sf cos düsturu müzakirə edilir. Bu düsturu tətbiq etdikdə, bucağının düzgün təin edilməsi üsusi vurğulanır. D 5. (səh. 6) Həlli: Əvvəlcə tərəfi a olan bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi düsturu azılır: S = a Sonra Sp = Sf cos düsturuna görə bucağının verilmiş qimətlərində ortoqonal proeksiasının sahəsi hesablanır. a = 0º olduqda Sp = a = 5º olduqda Sp = 6 = 60º olduqda Sp = a ; ;

65 Fəzada nöqtə, düz ətt, müstəvi. Summativ qimətləndirmə mearları cədvəli N Mearlar Qed Müstəvini müəən edən təklifləri sözlə və həndəsi olaraq təqdim edir Fəzada nöqtələrin, düz ətlərin qarşılıqlı vəziətini sözlə, həndəsi olaraq və məsələ həlli ilə təqdim edir Düz ətt və müstəvinin qarşılıqlı vəziətini sözlə və həndəsi olaraq təsvir edir Düz əttin müstəviə perpendikularlığına aid tərif və teoremləri sözlə və həndəsi olaraq təsvir edir və məsələ həllinə tətbiq edir İki müstəvinin perpendikularlığı haqqındakı teorem və təklifləri məsələ həllinə tətbiq edir İki müstəvinin paralellii haqqındakı teorem və təklifləri məsələ həllinə tətbiq edir Fiqurların müstəvi üzərində ortoqonal proeksialarını çəkir və məsələləri həll edir Dərs 0. Fəzada nöqtə, düz ətt, müstəvi. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları ) Şəklə görə hansı fikrin doğru, hansının anlış olduğunu müəən edin. - ağac evin döşəməsi erə paraleldir. - pilləkanın konstruksiasındakı sürahi üzrə AB və CD ətləri çarpaz ətlərdir - pilləkan konstruksiasındakı bütün şaquli borular həm erə, həm də evin döşəməsinə perpendikulardırlar. ) Uğun təsvirləri çəkin. a) Üç düz ətt eni müstəvi üzərində erləşirlər və bir nöqtədə kəsişirlər b) A,B,C,D,E nöqtələri müstəvisi üzərində olan komplanar nöqtələrdir. AD düz ətti CE-ni B nöqtəsində kəsir. MA və ME müstəvisini kəsir. MB müstəvisinə per pen dikul ardır. ) Hər iki təklifdə qeri dəqiqliklər var. Onları müəən edin və düzgün təklifi azın. a) İstənilən üç nöqtədən bir müstəvi keçirmək olar. b) İki müstəvi kəsişirsə, onların kəsişməsi müstəvidir. 65

66 ) Kollinear olmaan M, K,L nöqtələrini qed edin. M və K nöqtələrini birləşdirin və bu parçann üzərində P nöqtəsi qed edin, bu nöqtə ilə L nöqtəsini birləşdirin. 5) Şəklə görə tapşırıqları erinə etirin. - B nöqtəsinin üzərində olduğu müstəvilərin adlarını azın. - BAD və FGC müstəvilərinin kəsişdii ətti azın - iki cüt çarpaz ətti azın - iki paralel müstəvinin və onlara perpendikular olan bir düz əttin adını azın A D E B C F G 6) Aşağıdakı təklifləri verilən şəkildəki təsvirlərə görə azın. - iki nöqtədən alnız bir düz ətt keçirmək olar - bir düz ətt üzərində olmaan üç nöqtədən alnız bir müstəvi keçirmək olar. P C Q A D F E 7) Verilir: A CAB BB CC AC: CB=: BB= 5 sm Tapın: CC=? 8) Verilir: AO AB= 0sm BO=6 sm CO = 5 sm Tapın: AC=? 9) Katetləri 6 sm və 8 sm olan düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən üçbucaq müstəvisinə sm uzunluqda perpendikular qaldırılmışdır. Perpendikuların ucundan bu üçbucağın hipotenuzuna qədər məsafəni tapın. 0) İkiüzlü bucağın dailində erləşən nöqtə üzlərdən sm, tildən 6 sm məsafədədir.ikiüzlü bucağın ətti bucağını tapın. ) Müstəvini kəsməən parçanın ucları müstəvidən 5 sm və 7sm məsafədədir. Parçanın ortasının müstəvidən məsafəsini tapın. 66 α A B A O C C B C B

67 . İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları. Planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh... Əsas triqonemtrik enilikləri bilir və onları triqonometrik ifadələrin s a d ə l ə ş d i r i l m ə s i n ə tətbiq edir... Bucağın radian ölçüsü anlaışını və istənilən bucağın triqonometrik funksialarının tərifini bilir, məsələlər həllində onlardan istifadə edir....triqonometrik funksialar üçün çevirmə düsurlarını bilir və tətbiq edir.... Triqonometrik funksialar üçün toplama düsturlarını, onlardan alınan nəticələri bilir və tətbiq edir., Dönmə bucaqları. Bucağın radian və dərəcə ölçüsü Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi. Xətti sürət, bucaq sürəti. Triqonometrik funksialar. İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları Vahid çevrə və istənilən 9, 0 bucağın triqonometrik 8-85 funksiaları, Çevirmə düsturları 86-89, Triqonometrik eniliklər Toplama düsturları 9-96 Toplama düsturlarından alınan 8-50 nəticələr Triqonometrik ifadələrin sadə ləş dirilməsi. Ümumi ləşdi rici tap şı rıqlar. İstənilən bucağın triqono met - rik funksiaları. Summativ qi mət lən dirmə tapşırıqları Cəmi 0-05

68 Dərs,. Dərslik səh Dönmə bucaqları. Bucağın radian və dərəcə ölçüsü. saat Məzmun standartı... Bucağın radian ölçüsü anlaışını və istənilən bucağın triqonometrik funksialarının tərifini bilir, məsələlər həllində onlardan istifadə edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları bucağı şüanın təpə nöqtəsi ətrafında dönməsi kimi modelləşdirir. bir tam dönmənin və a 60 oldugunu bilir və istənilən ölçülü mənfi və müsbət işarəli bucaqları həndəsi və analitik şəkildə təqdim edir. bucağın radian ölçüsünü başa düşür bucağın dərəcə və radian ölçüləri arasındakı əlaqəni tətbiq edir Riazi lüğət dönmə bucağı bucağın son tərəfi mənfi bucaq, müsbət bucaq dərəcə, radian qövs sektor -ci saat. Dönmə bucağının tərifi şüanın başlanğıc nöqtəsi ətrafında fırlanması kimi sözlə, həndəsi olaraq, real situasia üzərində izah edilir. Sinifdəki hər bir şagirdin bu modelləşdirmələrdə iştirakını təmin etmək vacibdir. Şagird dönmə bucağını tərəfinin biri sabit qalmaqla ou istiqamətində olan şüa, digərinin isə koordinat başlanğıcı son ətrafında saat əqrəbinin hərəkəti istiqamətində və a əksi tərəf istiqamətində dönən şüa kimi təssəvvür edir və modelləşdirir. Son tərəfi üst-üstə düşən bucaqların həndəsi təsvirinə diqqət tərəf edilir. Şagird 0 -li müsbət işarəli bucaqla 0 -li bucağın son tərəflərinin üst-üstə düşdüünü həndəsi təsvirlə təqdim edir. 0 Bu iki bucağın dərəcə ölçülərinin mütləq qimətlərinin cəminin 60 olduğu görünür. Həmçinin,son tərəfi verilən iti bucaqla O üst-üstə düşən sonsuz sada dönmə bucaqlarının olduğu izah 0 edilir. Məsələn, 5 -li bucaqla üst-üstə düşən sonsuz sada bucaq vardır. Bucaqların işarəsinə görə son tərəfinin hansı rübdə erləşdiinin müəən edilməsinə diqqət edilir. Nümunə olaraq 75,, 0 bucaqların son tərəfinin hansı rübdə erləşdii həndəsi təsvirlə təqdim edilir. Məsələn, 75 -li bucaq -cü rübdə erləşir. 0, ±90, ±80, ±70, ±60 bucaqları sərhəd bucaqlarıdır. Şagird 80 -li bucağın son tərəfinin birinci rübdə erləşdiini və 0 -li bucaqla üst-üstə düşdüünü başa düşür. Dərəcə ölçüsü 60-dən böük olan və -ci rübdə erləşən bucaqlara aid nümunə göstər sualına şagird məsələn, dərəcə ölçüsü arasında olan istənilən bucaq bu rübdə erləşir cavabını verir. 68 Əlavə resurslar İşçi vərəqlər O başlanğıc

69 -ci saat. Bucağın radian ölçüsü izah edilir. Bucağın son tərəfinin dönməsi zamanı müəən ölçüdə qövs cızılır. Bucağın dərəcə ölçüsü ilə anaşı son tərəfin cızdığı qövsün uzunluğu ilə əlaqəli ölçüsünün - radian ölçüsünün də olduğu izah edilir. Bucağın son tərəfini r radiuslu çevrə üzrə hərəkətdə təsvir etsək, uzunluğu r radiusuna bərabər olan qövsə uğun mərkəzi bucağın ölçüsü radian qəbul edilir. Deməli, dönmə zamanı uzunluğu radiusun uzunluğuna bərabər qövs cızılmışsa, uğun mərkəzi bucaq radian olacaq. Radianin tərifinə görə r radiuslu cevrədə l uzunluqlu qövsə uğun mərkəzi bucaq a radianıdırsa, l r = a olduğu izah edilir Məsələn, 8 sm radiuslu çevrənin 6 sm-lik qövsü radian mərkəzi bucağa uğundur. Dərslikdə çevrənin radiusu və qövsün uzunluğu verildikdə uğun bucağın radian ölçüsünün tapılmasına aid nümunə və tapşırıqlar verilmişdir. internet ünvanında mənfi və müsbət işarəli dönmə bucağlarını dinamik olaraq müşahidə etmək olar. Bucağın radian ölçüsü ilə dərəcə ölçüsü arasındakı əlaqə izah edilir. Tam çevrənin p radian olduğu izah edilir. Çevrənin uzunluğu r olarsa, bir radiana uğun qövsün uzunluğu r olduğundan, deməli, tam dönmə (çevrə) r/r = radiandır. π radian = 60 π radian = 80 radian 57 π 80 = π radian Açar bilik: Dərəcəni radiana çevirdikdə π 80 -ə vurun. = radian Radianı dərəcəə çevirdikdə 80 -ə vurun. 80 π rad=80º oldugu həm adda qalandır,həm də bu bərabərliin köməilə bucağın radian ölcüsü -nin hissələri olduqda, dərəcə ölcüsünə asanlıqla çevirmək üçün əlverişlidir. Məsələn, p = 0º, =5º, =60º və s. 6 Çevrə üzərində müəən dönmələrə uğun bucaqlar radianla ifadə edilir. Məsələn, / dönmə, arım dönmə, / dönmə, tam dönmənin radian və dərəcə ölçüləri araşdırılır. Şagirdlərə ev tapşırığı olaraq daha böük ölçüdə çevrə üzərində dönmələrə uğun bucaqların dərəcə və radian ölçülərini azmaqları tapşırılır. Bu tapşırıq bucaqları təminetmə, vizual ölçmə bacarıqlarının formalaşdırılıması üçün əhəmiətlidir. İşçi vərəqlərdən formativ qimətləndirmə vasitəsi kimi istifadə edilməsi tövsiə edilir. 69 r r r r r r 5 r r 6 rad radian ölçüsü 90º 0º 60º 5º 5º 50º dərəcə 0º 80º ölçüsü 0º 0 60º 0º 0º 5º 5º 0º 00º 70º 7 6

70 Şagirdlər bucağın radian ölçülərini daha dolğun təsəvvür etmələri üçün radian ölçüsü ilə verilmiş bucaqlar çəkir və verilmiş bucaqların radian ölçüsünü təminetmə tapşırıqlarını erinə etirirlər. Məsələn, ölçüsü,5 radian, radian və s. olan bucaqlar çəkin. Şagirdlər 80, radian olduğunu bilərək, bu bucaqları təmini olaraq çəkə bilərlər. Şagird dərəcə ölçüsündən fərqli olaraq radian ölçüsünün kiçik ədədlərlə ifadə olunduğunu, tam çevrənin təminən 6 radian olduğunu başa düşür. İşçi vərəq N Adı Soadı Tari ) Dönmə bucaqlarını çəkin. ) 0º ) 75º ) 90º Bucaqların son tərəfinin hansı rübdə erləşdiini müəən edin. ) 75 ) 0 ) 6 ) 65 Son tərəfi verilən bucaqlarla üst-üstə düşən və dərəcə ölçüsü 0-60 arasında olan bucaqları müəən edin. ) 0 ) 0 ) 550 ) 60 5) 70 6) 75 Dərəcə ilə verilmiş bucağı radianla, radianla verilmiş bucağı dərəcə ilə ifadə edin. 7 ) 6 5 ) 6 ) 5 Son tərəfi verilən bucaqla üst-üstə düşən bir mənfi, bir müsbət bucaq göstərin. ) 0 ) 80 ) 0 ) 5 70 ) 5 5) 5 5) 6) 6) 5 6

71 Dərs -5. Dərslik səh Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi. Xətti sürət, bucaq sürəti. saat Məzmun standartı... Bucağın radian ölçüsü anlaışını və istənilən bucağın triqonometrik funksialarının tərifini bilir, məsələlər həllində onlardan istifadə edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları qövsün uzunluğunu hesablama düsturunu məsələ həllinə tətbiq edir sektorun sahəsini hesablama düsturunu məsələ həllinə tətbiq edir Riazi lüğət qövsün uzunluğu sektorun sahəsi ətti sürət bucaq sürəti Əlavə resurslar İşçi vərəqlər -ci saat. Qövsün uzunluğu. Çevrə qövsünün uzunluğunu hesablamaq üçün düsturun şa girdlərin özləri tərəfindən müəən edilməsi üçün şagirdə sual verilir. Siz qövsün uzun luğu dedikdə nəi başa düşürsünüz? Qövsü hansı ölçü alətləri ilə ölçmək olar? Xət keşlə osa, transportirlə? Sizə ətkeş verilsədi, çevrə qövsünün uzunluğunu necə müəən edərdiniz? Transportirlə necə müəən edərdiniz? Şagird çevrə qövsünün çev rə uzunluğunun müəən hissəsi olduğunu başa düşür. Əgər çevrə 60 -dirsə, ve - ri lən mərkəzi bucağa uğun qövsün uzunluğu çevrə uzunluğunun (r) hissəsi kimi he sablanmalıdır. Məsələn, 60 -li qövsün uzunluğu çev rənin (60 /60 ) hissəsi qədər 6 olacaq. Yəni, 6 r, əgər çevrənin radiusu sm olarsa, 60 -li qövsün uzunluğu 6 = sm olacaq. r radiuslu çevrənin -li qövsünün uzunluğunu l = r = r düsturu ilə hesab la maq olar. Mərkəzi eni nöqtədə olan konsentrik çevrələr üzərində görmək olar ki, mərkəzi bucaq sabit qalıb, çevrənin radiusu dəişdikcə qövsün uzunluğu da dəişir. Eni mərkəzi bucağa uğun qövsün uzunluğu çevrənin radiusu ilə düz mütənasib olaraq dəişir. Bəs mütənasiblik əmsalı nədir? 80 ifadəsində bucağın dərəcə ölçüsüdür, dəişir, 80 isə sabit əmsaldır, deməli mütənasiblik əmsalıdır. Buradan radianla dərəcə arasındakı əlaqəni bir daha görmək olar. r radiuslu çevrədə l uzunluqlu qövsə uğun mərkəzi bucaq a radian olarsa, l =a. Buradan qövsün uzunluğu üçün l= a r r düsturu alınır A D B C Qövsün uzunluğunu hesablamağa aid aşağıdakı məsələnin həlli sinifdə müzakirə edilir. Hər birinin diametri,8 sm olan 7 dairədən təşkil edilmiş dairəvi metal konstruksianın en kəsii şəkildə göstərildii kimidir. 60º

72 Konstruksia kənarları bou plastik kəmərlə qurşanmışdır. Kəmərın uclarını bir-birinə bağlamaq üçün əlavə olaraq,5 sm material işlənmişdir. Kəmərin uzunluğu neçə santimetrdir? -ci saat. Sektorun sahəsi. Çevrə qövsünün uzunluğu çevrə uzunluğunun hissəsi kimi tapılır. Bəs sektorun sahəsini necə A B hesablaa bilərik? Müzakirə üçün şagirdlərə vat verilir. Sektorun sahəsini dairənin sahəsinin hissəsi kimi hesablamaq olar. O l = r 60 = α işarə edib və onun bucağın radianla ölçüsü olduğunu nəzərə alsaq, sektorun 80 sahəsini radianla S = αr kimi azmaq olar. Şagirdlərə qövsün uzunluğunu, sektorun sahəsini hesablama dərslərində müəən tapşırıqları transportir və pərgarla işləməklə dəqiq ölçmələr aparmaları tövsiə edilir. Məsələn, radiusu 5 sm olan 0 -li mərkəzi bucağa uğun qövsün uzunluğunu (sektorun sahəsini) hesablaın tapşırığını şagird aşağıdakı ardıcıllıqla erinə etirir.. Pərgarla radiusu 5 sm olan çevrə çəkir.. Dərəcə ölçüsü 0 olan mərkəzi bucaq qurur.. Bu bucağa uğun qövsün uc nöqtələrini qed edir və adlandırır.. Qövsün uzunluğu düsturunu l = αr ( və a sektorun sahəsi düsturunu) tətbiq edir. Verilənlərə görə qövsün uzunluğunu Verilənlərə görə sektorun sahəsini tapın. tapın. 7º 9º 5 sm m Verilənlərə görə radiusu tapın Verilənlərə görə mərkəzi bucağı tapın B S = 0m D S = 56 m C,6 rm D B 7 º 7 m 0º 5, sm Verilənlərə görə seqmentin sahəsini tapın C,5 C 8 sm 8m A c B

73 -cü saat. Xətti sürət. Bucaq sürəti. Xətti sürət və bucaq sürəti qövsün uzunluğunu hesablama və dönmə bucağını qi mət lən dirmənin tətbiq sahəsidir. Odur ki, bu mövzunun örədilməsi istər digər fən lər lə (fizika) ilə inteqrasia, istərsə də fənn daili inteqrasia ba ı mından əl verişlidir. gedilən ol dönmə bucağı ətti sürət = zaman bucaq sürəti = zaman ar a v = = t t Burada, a (radianla) t zamandakı dönmə(fırlanma) bucağıdır. Xətti sürətlə bucaq sürəti arasındakı əlaqəni aşağıdakı kimi ifadə etmək olar: ətti sürət = r bucaq sürəti v = r Xətti sürətlə bucaq sürəti arasındakı əlaqəni aşağıdakı kimi sənae konveeri modeli üzərində izah etmək olar. Tutaq ki, konveer kəmərini fırladan disklərin hər birinin dia metri,5 m-dir. Disklərin çevrəsinin uzunluğu C = r,,5 0 m. Bu o deməkdir ki, disklər bir tam dövr etdikdə kəmərin üzərindəki P cismi təminən0 m ol getmiş olacaq. P,5m P Hər fırlanmada təminən 0 m Dərslikdə verilmiş məsələlərin uğun sematik təsvirin çəkilməsi ilə həll edilməsi tövsiə edilir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D. 6. Həlli: a) R= 0 sm olduğundan təkərin çevrəsinin uzunluğu p 0 = 80p sm=0,8p m-dir. 00 m məsafədə avtomobilin təkəri 00: (0,8p) dəfə tam dövr edir. Hər tam dövr p radian olduğundan aranan bucaq 00: (0,8p) = 00 radian olacaq. km m D6. Həlli. Şərtə görə velosipedin sürəti 0 saat -dır. Bu sürəti ilə dəq km m ifadə edək 0 saat = 500 dəq 65 sm = 0,65 m olduğundan bir dövr etdikdə 0,65,0 m ol gedilir. Uzunluğu 500 m olan olda təkər 500 :,0 5 dəfə tam dövr edər. D 0. Suçiləicinin R=00 m məsafəə su vurması ilə əhatə olunan ərazi sektor formasında olduğundan, sektorun sahə düsturuna və məsələnin şərtinə görə ar = Buradan a = 0000 : 60000=,5 radian 86, əni göstərilən sahəni suvarmaq üçün çiləici təminən 86 bucaq qədər dönməlidir. 7

74 Dərs 6-8. Dərslik səh Triqonometrik funksialar. İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları. Məzmun standartı... Bucağın radian ölçüsü anlaışını və istənilən bucağın triqonometrik funksialarının tərifini bilir, məsələlər həllində onlardan istifadə edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları triqonometrik funksiaların tərifini istənilən dönmə bucağına görə təqdim edir; triqonometrik nisbətlərin mütəlif rüblərdə işarəsini müəən edir. sekans kosekans Riazi lüğət Əlavə resurslar İşçi vərəqlər -ci saat. Bu dərs saatında diqqətdə salanılan bacarıqlar: istənilən radiuslu çevrə üzrə dönmədə triqonometrik funksiaların tərifini bilir triqonometrik funksiaların rüblərdə işarələri ni müəən edir verilən dönmə bucaqlarına görə triqonometrik funksiaların işarələrini müəən edir triqonometrik nisbətlərin qimətinin həqiqi ədədlər olduğunu başa düşür triqonometrik nisbətlərin dəişmə intervalını qimətləndirir İndiə qədər triqonometrik funksiaların tərifi iti və kor bucaqlar üçün verilmişdir. İndi isə koordinat müstəvisi üzərində istənilən nöqtənin koordinatına görə triqonometrik funksiaların tərifi verilir. Şagirdlərə ümumi şəkildə koordinant müstəvisinin mütəlif rüblərində koordinatların işarələri, qed edilmiş nöqtə nümunələri ilə və dönmə bucağı ilə nümaiş etdirilir. II < 0 > 0 III < 0 < 0 0 I > 0 > 0 IV > 0 < 0 Rüblərdə koordinatların işarələri ( ; ) ( ; ) 0 Koordinat müstəvisində nöqtələrin koordinatı İstənilən bucağın triqonometrik nisbətlərini düzbucaqlı üçbucaqdan istifadə edərək azmağın mümkün olduğu izah edilir. 7 (; ) (; ) (; ) Dönmə bucağı r 0

75 İstənilən dönmə bucağına görə aranan düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri bütün hallarda dönmə bucağının son tərəfi üzərində götürülmüş istənilən nöqtənin və koordinatları və koordinat başlanğıcından nöqtəə qədər olan məsafə (və a çevrənin radiusu) ilə müəən edilir. + = 5 P(; ) r O Altı triqonometrik funksianın tərifini vermək üçün istənilən a dönmə bucağının son tərəfi üzərində götürülmüş nöqtənin P(, ) koordinatlarını (;) kimi işarə edək. Koordinat r başlanğıcından P nöqtəsinə qədər r məsafəsini iki nöqtə a (O(0;0) və P(;)) arasındakı məsafə düsturuna görə tapa bilərik. Q O r = ( 0) + ( 0) = + r məsafə olduğundan həmişə müsbətdir. POQ düzbucaqlı üçbucağına görə 6 triqonometrik funksianı müəən etmək olar. sin a = r ctg a = =! cos a = tg a r + = 5 5 r = 5 P(; ) = O 5 Q = 5 tg a = r sec a = = cos a 0 r cosec a = = Triqonometrik funksiaların qimətlərinin bucağın tərəfi üzərində hansı nöqtənin götürülməsindən asılı olmadığı üsusi vurğulanır. 5 P(; ) r Q + = 5 sin a -ci saat. Triqonometrik funksiaların rüblərdə işarələri və qimətlərinin dəişmə intervalı. Triqonometrik funksiaların mütəlif rüblərdəki işarələri nisbətlərə görə müəən edilir və aşağıdakı kimi ümumiləşdirmə aparılır. < 0, > 0, r > 0 > 0, > 0, r > 0 -nın sin cos tg ctg sec cosec II I erləşdii rüb sin θ və cosec θ bütün funk. I müsbətdir müsbətdir ll + + < 0, < 0, r > 0 0 > 0, < 0, r > 0 lli + + III lv + + tgθ və ctgθ IV cosθ və secθ müsbətdir müsbətdir Daha sonra funksiaların qimətlərinin dəişmə intervalları araşdırılır. Sərhəd bucaqlarının qimətləri və mütəlif rüblərə uğun dönmə bucaqlarının triqonometrik funksiaları müəən edilir. 75

76 Mütəlif rüblərin dönmə bucağına görə 6 triqonometrik funksia müəən edilir. 5 8 sin = r = cos = = 7 r tg = = (8; 5) = = 8 5 r = 7 O r cosec = = sin = = cosec = = sec = = ctg = = O Şagirdlərdən hesablanan nisbətlərə görə triqonometrik 5 funksiaların aldığı qimətlər haqqında fikirləri soruşulur. (; ) Hansılar -dən kiçik qimət alır, hansılar -dən böük qimət ala bilir və s. Şagirdlər triqonometrik funksiaların qimətlərinin həqiqi ədədlər olduğunu başa düşürlər və hər birinin dəişmə intervalını araşdırırlar. Aşağıdakı şəkillər bu araşdırmanı aparmağa imkan verir. O 8 r = = r = 5 O r Göründüü kimi, θ bucağının qiməti 0 -dən 90 -ə qədər artır. Bu halda r həmişə sabit qalır, böüür lakin heç vat r-dən böük olmur və r şərti ödənir. Deməli, şərti ödənir. Eni olla göstərə bilərik ki, IV rüb bucaqları üçün də r r. Buradan sinus funksiasının qimətinin sinθ kimi dəişdii nəticəsinə gəlmək olar. Analoji olaraq kosinus funksiası üçün də cos θ olduğunu azmaq olar. Tangens və cotangens funksiaları istənilən həqiqi qiməti ala bilər. < tgθ < + < ctgθ < +. Secans və cosecans funksialarının qimətləri kosinus və sinus funksialarının tərsi olduqlarından cosec θ və a cosec θ, sec θ və a sec θ qimətlərini alır.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D 7. d) Kosinusu olan dönmə bucaqlarını təsvir edin. 5 Həlli: Damalı vərəqdə damanı vahid qəbul edərək, mərkəzi koordinat başlanğıcında erləşən, 5 radiuslu çevrə çəkilir. A + = R tənliində =, R = 5 azmaqla = ± tapılır. Çevrə üzərində A( ; ) və A( ; ) nöqtələri qed edilir və A bu nöqtələrə uğun dönmə bucaqları şəkil üzərində təsvir edilir. 76 r sec = = 7 8 cos = = 5 O ctg = = tg = = O r

77 -cü saat. İstənilən bucağın triqonometrik funksialarının iti bucağa görə müəən edilməsi Biz indiə qədər iti bucağın triqonometrik funksialarının qimətlərini düzbucaqlı üçbucağa görə tapmağı bilirik. Bəs istənilən bucağın triqonometrik funksialarının qimətini iti bucaqdan istifadə etməklə tapmaq olarmı? Əvvəlcə 0,60 kimi üsusi bucaqların triqonometrik funksialarının qimətlərini bərabərtərəfli üçbucaq üzərində tapılmasının mümkün olduğu təkrar edilir. 5 li bucağın triqonometrik funksialarının isə bərabəranlı düzbucaqlı üçbucaqdan tapmaq əlverişlidir İstənilən bucağın triqonometrik funksialarını uğun iti bucağın triqonometrik funksialarından istifadə etməklə tapmaq olar. Uğun iti bucaq dedikdə verilən bucağının son tərəfinin ou ilə üst-üstə düşən düz əttlə əmələ gətridii bucaq nəzərdə tutulur. Ədəbiatlarda bu bucaq referens bucaq adlandırılır, anlaış üçün bu terminin işlədilməsi daha məqsədəuğun olardı. Bu məqsədlə müəllim üçün vəsaitdə referens bucaq termini işlədilmişdir. r O O O r r Burada referens bucağın dönmə bucağının son tərəfinin ounu üzərində salaan düz ətlə aratdığı iti bucaq olduğu üsusu diqqətə çatdırılır. θ bucağının hansı rüb bucağı olmasından asılı olaraq referens bucaq mütəlif cür tapılır. p p p (; ) p (; ) = r p p r 0 p 0 0 p p r p r p p p (; ) p (; ) p p p 0 < < < < p p p< < p < < p r = r = p r = p r = p Referens bucaqların tapılmasına aid tapşırıqların həm dərəcə ilə, həm də radianla verilməsi tövsiə edilir. Mənfi bucaqlara uğun iti bucaqlar, son tərəfi verilən bucaqla üst-üstə düşən müsbət bucağa görə tapılır. Məsələn 0 bucaqla son tərəfi üst-üstə düşən bucaq = 0 -dır. Uğun iti bucaq 80 0 = 60 dir. 0 II rüb bucağı olduğu üçün bu rübdəki triqonometrik 5 funksiaların işarələri nəzərə alınır. 5-li bucaqla son tərəfi üst-üstə düşən 5 bucaq 5 -dir. Bu bucağa uğun iti bucaq isə 60 5 = 5 -dir. Bu dəsrdə həmcinin triqonometrik funksiaların qimətlərinin dövrü olaraq dəiş - mə si izah edilir. 77 Məsələn, cos 60º= və II rübdə kosinus mənfi qimət aldığı üçün cos( 0º)=.

78 İşçi vərəq N Adı Soadı Tari ) Verilmiş nöqtələr dönmə bucağının son tərəfinin üzərindəki nöqtənin koordinatlarını göstərir. Hər bir nöqtəə görə 6 triqonometrik funksianı azın. Uğun şəkilləri çəkin. A) (; ) B) (; ) sin = cosec = cos = sec = tg = ctg = sin = cosec = cos = sec = tg = ctg = C) ( 5; ) D) ( ; ) sin = cosec = cos = sec = tg = ctg = E) (; ) sin = cosec = cos = sec = tg = ctg = 78 sin = cosec = cos = sec = tg = ctg = F) ( ; ) sin = cosec = cos = sec = tg = ctg = ) Verilən bucağın rübünü müəən edin, uğun iti bucağı çəkin göstərin və triqonometrik funksialarının qimətlərini azın. a) 0 b) 0 c) 0

79 Dərs 9,0. Dərslik səh Vahid çevrə və istənilən bucağın triqonometrik funksiaları. saat Məzmun standartı... Bucağın radian ölçüsü anlaışını və istənilən bucağın triqonometrik funksialarının tərifini bilir, məsələlər həllində onlardan istifadə edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Vahid çevrəə görə istənilən bucağın triqonometrik funksialarını nöqtənin koordinatları ilə ifadə edir. Vahid çevrə üzərində verilmiş nöqtənin koordinatlarına görə triqonometrik funksiaları müəən edir. Vahid çevrə üzərində verilmiş dönmə bucağına görə triqonometrik funksiaları müəən edir. Riazi lüğət Əlavə resurslar vahid çevrə Vahid çevrə üzərində istənilən dönmə bucağını və uğun iti bucağı ( ; l = p ) (referens bucağı) həndəsi olaraq təsvir etmək daha asandır və hər bir triqonometrik funksianı həqiqi ədədlərlə ifadə etmək daha l r = p = p sadədir. Çünki r = və bucaq radianla olduqda uğun qövsün p uzunluğu qimətcə elə bucağın ölçüsünə bərabər olur. Deməli, istənilən bucağın triqono metrik funksiasını qövsün uzunluğundan asılı funksia kimi ifadə etmək olar. Vahid çevrə triqonometrik funksialarla nöqtənin koor di nat - ları arasında əlaqə aradır. Şagird nöqtənin koordinatını triqonometrik funksialarla ifadə etməin mümkün oldu ğunu P() = (, ) başa düşür. cosθ =, sinθ = olduğundan P(;) = P(cos; sinθ) kimi azmaq olar. Bu vahid çevrə B(; 0) üzərində olan istənilən nöqtə üçün doğrudur. 0 A Vahid çevrə üzərində ən ço istifadə edilən 0,60,5 bucaq - lara uğun nöqtələr qed edilir. Bu bucaqlar həm də ən ço istifadə edilən refe rens bucaqlardır. Şagird hər iti bucağın bucaq üçün referens bucaq olduğunu başa düşür (0 < θ < 60 üçün) və bu bucaqlar üçün referens bucağın koordinatlarının qimətləri və B A 0 60 (-, ) (, ) uğun rübdə triqonometrik funksianın işarəsi 0 0 nəzərə alınmaqla qed edilir. Dönmələrin və uğun koordinatların vahid çevrə üzərində qed (-, -) (, ) C D - edilməsi şagirdə 0-60 intervalında dəişən və 0 00 ən ço istifadə edilən bucaqları əani təsəvvür etməə, onların ən böük və ən kiçik qimətlərini görməə, periodikliini, tək və a cüt ol ma sını müşahidə etməə indidən imkan aradır. Şagirdlər bu işi aşağıdakı addımlarla mütəlif cür erinə etirə bi lər - 79

80 lər. Məsələn, çevrəni 5 -lik qövslərə bölməklə.. Vahid çevrə 8 konqruent qövsə arılmışdır. və. Vahid çevrəni 0 -lik qövslərə bölməklə. Çevrə konqruent qövsə arılmışdır Şagird iti bucağa uğun dönmədə çevrə üzərindəki nöqtənin koordinatlarını həm düzbucaqlı üçbucaqdan triqonometrik nis bət lərə görə, həm də aşağıdakı kimi tapa bilər. Çevrə üzərin dəki 5 -li bucağa uğun nöqtənin koordinatları + = tənliini ödəməlidir. Həmçinin bu nöqtə = düz ətti üzərin dədir. = erinə azaq: + = ; = ; = ±. Bucaq birinci rübdə erləşdiindən müsbət olmalıdır. 5,,,,,, Şagird əvvəlcə bucağın dəişmə intervalını əks etdirən həndəsi təsviri çəkir ,,,,,,,,,,,,,, 7 və Məsələn, cos θ = və < θ < olduğuna görə digər triqonometrk funksi - aları qimətlərin tapılmasına aid tapşırıqlar erinə etirilir. 80 ( ; (0; ) ) ( ) ; ( ; 0) ( ; ) ( ) ; (0; ) ( ; ) ; ( ) (; 0) ( ; 0) (; 0) ( ; ) ( ; ( ) ; ) (0; ) = qi mətini nəzərə alsaq, = və dön mə ə uğun nöqtə nin koordinatları ( ; ) olacaq. Bu nöqtənin simmetrik çevrilməsi ümumilikdə nöqtənin koor di natlarını, 5 başqa sözlə nöqtənin triqonometrik funksiaları haqqında ədədi məlumatları müəən etmək olar. İti bucağı 0 ; 60 vəa 5 olan düzbucaqlı üçbucaqlardan və onların simmetrik çevrilmə lərindən istifadə etməklə dönmə bucaqlarına uğun nöqtələr çevrə üzərində erləşdirilir. Həmçinin təmini erləşdirmə və a verilmiş nöqtələrə uğun və və C intervalında olan ədədləri təmini müəən etmə tapşırıqları erinə etirilir. A nöqtəsindən saat əqrəbinin hərə kə tinin əksi istiqamətdə hərəkət etdikdə təmini olaraq B /6, C 5/6 ( /6), D / (/ /6), D E /6 ( /6) kimi olacaq. (0; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) 7 0 B A E

81 cos θ = şərtinə görə dönmə bucağının hansı rüb bucağı olduğunu müəən edir. Dəişmə oblastına görə bu bucağın son tərəfi a II, a da III rübdədir. II rübdə = sin θ = θ tg θ = III rübdə = θ sin θ = tg θ = İşçi vərəq N Adı Soadı Tari ) Verilən ədədləri vahid çevrə üzərində erləşdirin. II ) III ) ) a) a) ) [0; ) intervalında erləşdiklərinə görə verilən şərtlərə uğun bütün bucaqları azın. a) sin α = a = b) tg α = (0; 0) b) 5 b) 6 I IV a = c) c) 8 6 ) II III d) d) 6 (0; 0) e) e) 6 I IV

82 İşçi vərəq N Adı Soadı Tari ( ; ) ( ; ) ( ; 0) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) (0; ) ( ; ) (0; ) 5 ( ; ) ( ; ) 6 0, (; 0) 7 6 ( ; ) ( ; ) ( ; ) Vahid çevrəə görə verilən bucaqların altı triqonometrik funksiasının qimətini müəən edin. 9 A) B) 80º sin = cosec = cos = sec = E) 8 sin = cosec = cos = sec = tg = ctg = tg = ctg = C) D) sin = cosec = cos = sec = tg = ctg = 9 6 sin = cosec = cos = sec = tg = ctg = sin = cosec = cos = sec = tg = ctg = F) 600º sin = cosec = cos = sec = tg = ctg =

83 Bu dərs saatına qədər şagirdlərin nələri örəndikləri onlarla birlikdə müzakirə edilərək ümumiləşdirilir.. Triqonometrik funksiaların tərifləri. Triqonometrik funksiaların mütəlif rüblərdəki işarələri. II rüb < θ < 0 < θ < sin α, cosec α+ < 0 > 0 cos α, sec α < 0 > 0 tg α, ctg α I rüb sin α, cosec α+ cos α, sec α + tg α, ctg α + < 0 < 0 < θ < > 0 < 0 < θ < III rüb sin α, cosec α cos α, sec α tg α, ctg α + IV rüb sin α, cosec α cos α, sec α + tg α, ctg α. Triqonometrik funksiaların qimətlərinin hansı aralıqda dəişdii sinθ cosecθ və a cosecθ, cosθ secθ və a secθ < tgθ < + < ctgθ < +. Uğun iti bucağı (referens bucağı) I rüb bucağı üçün: α` = α III rüb bucağı üçün: α` = α 80 II rüb bucağı üçün: α` = 80 α IV rüb bucağı üçün:α` = 60 α 5. İstənilən bucağın triqonometrik nisbətini tapma addımlarını -ci addım. Verilən bucaqla son tərəfi üst-üstə düşən ən kiçik müsbət bucaq müəən edilir. əgər bucaq 0 < α < 60 -dirsə, -ci addıma keçilir. əgər bucaq α < 0 -dirsə α bucağının üzərinə bucağın qiməti 0 < α` < 60 olana qədər 60 əlavə edilir. əgər bucaq α > 60 -dirsə, bucağın qimətindən qiməti 0 < α` < 60 olana qədər 60 çıılır. -ci addım. -ci addımda tapılan bucağın son tərəfinin hansı rübdə erləşdii müəən edilir. -cü addım. -ci addımda tapılan bucağa uğun referens bucaq müəən edilir -cü addım. Referens bucaq üçün triqonometrik nisbətlər müəən edilir 5-ci addım. -ci addıma görə triqonometrik funksiaların qimətlərinin işarələri müəən edilir 6-cı addım. -cü addımda tapılmış qimətə və -ci addımda müəən edilmiş işarəə görə verilən α bucağının triqonometrik nisbətləri azılır. Şagirdlərin bu addımları erinə etirmələrinə görə özünü qimətləndirmə və formativ qimətləndirmə aparıla bilər. 8

84 Dərs -. Dərslik səh Çevirmə düsturları. saat Məzmun standartı...triqonometrik funksialar üçün çevirmə düsturlarını bilir və tətbiq edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları çevirmə düsturlarının alınmasını həndəsi olaraq təqdim edir; çevirmə düsturlarının alınmasını cəbri olaraq təqdim edir; çevirmə düsturlarını məsələ həllinə tətbiq edir. Şagirdlər çevirmə düsturlarını referens bucağa görə istənilən bucağın triqonometrik funksiasını müəənetmə qadalarından bilirlər. Verilən bucağın üzərinə 80 və a 60 əlavə edilməsi ilə bucağın vəziətinin necə dəişdii, hansı simmetrik çevrilmənin baş verdii araşdırılır. Bucağın ilkin və sonrakı vəziətinə uğun son tərəfi üzərində götürülmüş nöqtələrin koordinatları izlənir, simmetrikliklər aşkar edilir. Aşağıda verilmiş sematik təsvirdən istifadə edilir. 80º a ( a; b) 80º + a 60º a 60º + a ( a; b) O O O O (a; b) (a; b) (a; b) (a; b) (a; b) 8 ouna nəzərən simmetrikdir: (a; b) ( a; b), işarəsini dəişir, enilə qalır. Deməli, sinus enilə qalır, kosinus işarəsini dəişir Koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.(a; b) ( a; b). Həm, həm də işarəsini dəişir. Deməli, həm sinus, həm də kosinus işarəsini dəişir. ouna nəzərən simmetrikdir. (a; b) (a; b). kosinus işarəsini dəişmir, sinus işa - rə sini dəişir. Son tərəfi verilən bucaqla üst-üstə düşür: (a; b) (a; b). Funksialar işarəsini dəişmir.

85 Müzakirələrlə aşağıdakı düsturlar müəənləşdirilir. Müzakirələr zamanı şagirdlərin dəftərlərində uğun şəkilləri çəkmələri, koordinatları izləmələri, düsturları qed etmələri üçün vat verilir. sin (80º α) = sin α cos (80º α) = cos α tg (80º α) = tg α ctg (80º α) = ctg α Tamamlaıcı bucaqlara aid düsturları şagirdlərin özlərinin düzbucaqlı üçbucağa görə müəən etmələrinə imkan aradılır. Bu qrup işi üçün əlverişlidir. Düsturların həm radianla, həm də dərəcə ilə azılması tövsiə edilir. p p sin ( α) = cos α tg ( α) = ctg α p p cos ( α) = sin α ctg ( α) = tgα sin (90 + α) = cosα cos (90 + α) = sinα tg (90 + α) = ctgα ctg (90 + α) = tgα Dərs saatı və mənimsəmə səviəsi imkan verərsə, əlavə olaraq çevirmə düsturlarının daha ümumi şəklini və onlara aid tapşırıqları araşdırmaq olar. Yuarıda verilmiş təsvirlərdən bu düsturları adın görmək olar. sin(80 (k ) α) = sin α cos(80 (k ) α) = cos α 85 sin (80º + a) = sin a cos (80º + a) = cos a tg (80º + a) = tg a ctg (80º + a) = ctg a a və 60º a dönmə bucaqlarının son tərəfləri üst-üstə düşür. Ona görə sin(60º a) = sin a cos(60º a) = cos a tg(60º a) = tg a ctg(60º a) = ctg a sin(80 (k ) + α) = sin α cos(80 (k ) + α) = cos α burada k tam ədəddir və tək dövrlərdə düsturların doğru olduğu görsənir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D dən 90 - ə kimi bucağın triqonometrik funksiasına çevirin. Həlli: a) sin ( 70 ) = sin70 = sin (70 0 ) = sin 0 d) ctg 0 = ctg(60 0 ) = ctg 0 Aşağıdakı tapşırıqların həllini şagirdlərə təklif etmək olar. 7 ) sin 90 ) cos ) tg 9 5) cosec 0 6 ) sec (90 ) 6) sec (660 )

86 Dərs -. Dərslik səh Triqonometrik eniliklər. saat Məzmun standartı.. Əsas triqonemtrik enilikləri bilir və onları triqonmetrik ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir...triqonometrik funksialar üçün çevirmə düsturlarını bilir və tətbiq edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əsas triqonometrik eniliklərin alınmasını həndəsi olaraq təqdim edir; Əsas triqonometrik eniliklərin alınmasını cəbri olaraq təqdim edir; Əsas triqonometrik enilikləri məsələ həllinə tətbiq edir. Əsas triqonometrik eniliklər aşağıdakı kimi qrup laş dı rı lır. Triqonometrik funksiaların tərs qimətlərinə aid eniliklər: sec α = cosα cosec α = ctg α = sinα tgα Tangens, kotangens enilikləri: sinα tg α = cosα cosα 0 ctg α = cosα sinα sinα 0 tg α ctg α = Pifaqor enilikləri: sin α + cos α = + tg α = sec α + ctg α = cosec α Mənfi bucaq enilikləri: sin( α) = sinα cos( α) = cosα tg( α) = tgα Tamamlaıcı bucaq enilikləri: p p sin ( α) = cos α cos ( α) = sin α p tg ( α) = ctg α Bu eniliklərdən istifadə etməklə verilən triqonometrik ifadələri sadələşdirmə, triqonometrik enilikləri isbatetmə tapşırıqları erinə etirilir. Tapşırıqları dərslikdə verlmiş nümunələrdə qruplaşdırmaq olar.. sin α = və < α < olduğuna görə digər 5 triqonometrik funksiaları tapın.. İfadəni sadələşdirin. tg( α) sinα. İfadəni sadələşdirin. tg α secα + cosα? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli l l 5 D.0. Həlli: sin α + cos α + ctg α = sin α = cos α = ( = ) 6 5 Bu tip tapşırıqları müəllim əlavə olaraq tərtib edə bilər. Əsas triqonometrik eniliklər asan adda qalan olduqlarından onların tətbiqi ilə həll edilən eniliklərin isbatı, ifadələrin sadələşdirilməsi tapşırıqları da nisbətən asandır. Bu tip tapşırıqlarla sinifdə mənimsəmə səviəsi aşağı olan şagirdlərə daha ço diqqət etirmək mümkündür. 86

87 İşçi vərəq N5 Adı Soadı Tari ) Əsas triqonometrik enilikləri azın. a) tg = d) b) ctg = e) c) f) ) İfadələri əsas eniliklərdən istifadə etməklə sadələşdirin. a) tg tg sin b) sin a cosec a sin a c) cos sec cos d) cos + cos tg e) sin a + sin a cos α + cos a f) cos sin g) tg f + tg f + h) cos + cos i) sin cos +cos ) Verilənlərə görə digər triqonometrik funksiaların qimətlərini tapın. a) sin a =, 0 < a < 90º b) cos a =, < a < c) sin a =, 90º < a < 80º d) tg a =, < a < 5 87

88 Dərs 5-7. Dərslik səh Toplama düsturları. saat Məzmun standartı... Triqonometrik funksialar üçün toplama düsturlarını, onlardan alınan nəticələri bilir və tətbiq edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları toplama düsturlarının isbatını erinə etirir; toplama düsturunun tətbiqi ilə ifadələri sadələşdirir, enilikləri isbat edir; toplama düsturlarını məsələ həllinə tətbiq edir. Toplama düsturları Əvvəlcə cos (α β ) = cosα cosβ + sinα sinβ enilii isbat edilir. İsbat aşağıdakı addımlarla erinə etirilir.. Vahid çevrə üzərində α bucağına uğun nöqtənin koordinatları P(cosα; sinα) kimi qed edilir.. Vahid çevrə üzərində son tərəfi α bucagı ilə α β bucağı əmələ gətirən β bucağı çəkilir. Uğun P(cos; sin) nöqtəsi qed edilir. (0; ) (0; ) (0; ) (cos a, sin a) r = ( ; 0) a α β ( ; 0) β (; 0) (; 0) P P = (cos α, sin α) ( ; 0) P = (cos β, sin β) (; 0) (0; ) (0; ) (0; ). P və P nöqtələri PP parçası ilə birləşdirilir.. α β bucağının başlanğıc tərəfi ounun üzərinə P = (cos(α β), sin (α β )) (0; ) düşənə qədər, dönmə bucağının standart vəziətinə ( ; 0) α β gələnə qədər onu saat əqrəbinin hərəkəti P = (; 0) istiqamətində döndərək və bucağın eni vəziətini çəkək. Bucağın son və başlanğıc tərəfinin çevrə üzərindəki nöq tələrinin koordinatları uğun olaraq (0; ) P(cos(α β); sin(α β) və P(;0) kimi olacaq. Pvə P nöqtələri arasındakı məsafə, əni PP parçasının uzunluğu ilə Pvə P nöqtələri arasındakı məsafə, əni PP parçasının uzunluğu bərabərdir: PP =PP. İki nöqtə arasındakı məsafə düsturundan istifadə edərək bu məsafələri triqonometrik funksialarla ifadə edək. PP = (cosα cosβ) + (sinα sinβ) PP = (cos(α β) ) + (sin(α β) 0) Bu bərabərliklərdən asanlıqla cos (α β ) = cosα cosβ + sinα sinβ olduğunu almaq olar.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D 5. a) tapşırığını həll etdikdə 6º + a =, º a = işarələməsi etmək əlverişli olur. cos(6º + a) cos(º a) sin(6º + a) sin(º a) = cos cos sin sin = = cos( + ) = cos(6º + a + º a) = cos 60º = 88 P α β α β

89 l D.8. a) tg(α + ) =, tg( ) = olarsa, tg -nı tapın Həlli. = (α + ) (α ) olduğunu nəzərə alaraq azmaq olar: l tg (α+ ) tg (α ) tg = tg ((α + ) (α ))= = + tg (α+) tg (α ) l + ( ) = D.0. Həlli: Əvvəlcə = k düz əttinin k bucaq əmsalının düz əttin absis ounun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdii θ bucağının tangensinə bərabər olduğu göstərilir: tg θ = k. = k funksiasının qrafikini b vahid şaquli istiqamətdə paralel köçürülməsində göstərilən bucaq dəişmir və bu halda da k = tgθ. Əgər bucaq əmsalları k və k olan düz əttlərin absis ou ilə əmələ gətirdii bucaqlar uğun olaraq k θ θ 0 = k + b = k θ və θ olarsa, k = tgθ, k = tgθ Bu düz əttlər arasındakı θ θ bucağı üçün θ θ θ θ tgθ tgθ k k tg (θ θ)= = olur. + tgθ tgθ + k k a) bucaq əmsalları və olan düz ətlər arasındakı bucaq üçün tg (θ θ) = Buradan θ θ = 7 tapılır. + Dərs Dərslik səh Toplama düsturlarından alınan nəticələr. saat. Məzmun standartı... Triqonometrik funksialar üçün toplama düsturlarını, onlardan alınan nəticələri bilir və tətbiq edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları triqonometrik funksiaların cəminin və fərqinin hasilə çevirmə düsturlarını əsaslandırır cəmin və fərqin hasilə çevirmə dusturlarını məsələ həllinə tətbiq edir. toplama düsturlarından istifadə edərək ikiqat arqument və arımarqumentin dusturlarını azır ikiqat arqument və arımarqumentin dusturlarını məsələ həllinə tətbiq edir. 89

90 Şagirdlərin diqqətinə çatdırılır ki, biz indiə qədər 6,, kimi bucaqların triqonometrik funksialarının qimətini dəqiq hesablaa bilirdik. Toplama düs - turlarından, eləcə də ikiqat və arım qat arqument düsturlarından istifadə etməklə daha ço bucaqların triqonometrik funksiaların dəqiq qimətini tapmaq mümkündür.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D 7. a) tapşırığında verilmiş sin 5º cos 5º ifadəsinin qimətini mütəlif üsullarla hesablamaq məqsədəuğundur. İkiqat bucaq düsturunu tətbiq etməklə: sin 5º cos 5º = sin( 5º) = sin 0º = Hasilin cəmə çevrilməsi düsturlarını tətbiq etməklə: sin 5º cos 5º = [sin(5º + 5º) + sin(5º 5º)] = sin 0º + sin 0º = D.9. Radiusları ; ; olan üç çevrə şəkildə göstərildii kimi aricdən tounur. Rəngli hissənin sahəsini tapın. B Həlli: Verilənlərə görə asanlıqla görmək olar ki, təpə nöqtələri çevrələrin mərkəzlərində erləşən ABC düzbucaqlı üçbucaqdır(tərəfləri pifaqor ədədləridir) və A C SABC = = 6 kv. vahid Rəngli sahəni hesablamaq üçün ABC - nin sahəsindən hər bir dairədə uğun sektorun sahələrini çimalııq. B = 90 olduğundan radiusu olan dairədə bu sektorun sahəsi S = = olur. A mərkəzli dairədə uğun sektorun sahəsini tapmaq üçün əvvəlcə A-nı tapmalııq. Sin A = = 0,6 olduğundan A Uğun sektorun sahəsi S = C 5 olduğundan C mərkəzli dairədə sektoru sahəsi 5 S = 60 Rəngli hissənin sahəsi 5 90 S = SABC (S + S + S) 6 ( ) 0,6 kv. vahid

91 Dərs 5-5. Dərslik səh Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Əsas triqonometrik eniliklərin, toplama, ikiqat və arımarqument, cəmi və fərqi hasilə çevirmə düsturlarının tətbiqini nəzərdə tutan tapşırıqlar erinə etirilir. Tapşırıqların bir neçəsi sinifdə müzakirə ilə erinə etirilə bilər. Ev tapşırıqları üçün daha ço nömrələr arılması nəzərdə tutulur.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D. (səh. 0) sin 8º cos 6º ifadəsinin qimətini hesablaın. Həlli: Verilən ifadəni cos 8º-ə vurub, bölək və ikiqat bucaq düsturunu tətbiq edək: cos 8º sin 8º cos 6º cos 8º sin 6º cos 6º cos 8º sin 7º cos 8º sin 8º cos 6º = = = = cos 8º = cos 8º = Ümumiləşdirici tapşırıqlar üçün dərs saatı bucağın radian və dərəcə ölçüsü, dönmə bucaqları, uğun iti bucaqdan istifadə edərək istənilən bucağın triqonometrik funksiaları nın müəən edilməsi, vahid çevrə üzərində triqonometrik funksiaların tərifi, əsas triqonometrik eniliklər və onların tətbiqi, toplama düsturları və onlardan çıan nəticələri əhatə edən tapşırıqların erinə etirilməsi üçün nəzərdə tutulmuşdur: D.7. a) sin 70 ifadəsinin qimətini hesablaın. sin 0 Həlli: verlimiş ifadəni sadələşdirmək üçün ortaq mərəcə gətirək və hasili cəmə çevirmə düsturunu tətbiq edək. sin 0 sin 70 sin 70 sin 0 = sin 0 = [cos 70 0 ) cos (70 +0 )] = (cos 60 cos 80 ) = = sin 0 sin 0 + cos 80 cos 80 = = = sin 0 sin 0 D.0. a) 6cos 6 6cos 6 = = cos sin tg 60 cos sin 6cos 6 6cos 6 = = = sin 60 sin 60 cos sin cos 60 cos sin cos 60 cos 60 6cos 6 cos 60 6 cos6 = = = sin(60 ) sin 6 9

92 Adı Soadı Tari Enilikləri isbat edin İşçi vərəq N6 sina + sin = tg a + cosa +cos cosa cos sina sin = tg a + sina = cosa = sina = sin tga + tg a tg a + tg a a + cos a a + sin 9 cos a +

93 İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları. Summativ qimətləndirmə mearları cədvəli N Mearlar Qed Bucağın radian və dərəcə ölçüsü arasında qarşılıqlı çevirmələri aparır Dönmə bucaqlarını həndəsi olaraq təsvir edir Verilən bucaqla son tərəfi üst-üstə düşən dönmə bucaqlarını müəən edir Qövsün uzunluğunun və sektorun sahəsinin tapılmasına aid məsələləri həll edir Xətti sürət və bucaq sürətini qövsün uzunluğunun və dönmə bucağının tapılması ilə əlaqələndirir. Triqonometrik funksialar və onların tərifini bucağın son tərəfi üzərində erləşən nöqtənin koordinatları ilə əlaqələndirir. Mütəlif rüb dönmə bucaqlarının son tərəfi üzərində olan nöqtənin koordinatlarını düzbucaqlı üçbucaqdan istifadə etməklə müəən edir. 8 Verilən bucağın hansı rüb bucağı olduğunu müəən edir Uğun iti bucaqdan istifadə edərək istənilən bucağın 9 triqonometrik funksiaları nı müəən edir Vahid çevrə üzərindəki nöqtənin koordinatları ilə dönmə 0 bucağının triqonometrik funksialarının qimətləri arasında əlaqə aradır. Vahid çevrə üzərində I rüb bucaqlarından - iti bucaqlardan istifadə etməklə istənilən bucağın triqonometrik funksialarının qimətini tapır Əsas triqonometrik enilikləri triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir Toplama düsturlarını tətbiq edir İki bucağın triqonometrik funksialarının cəmini hasilə çevirmə düsturlarını tətbiq edir 5 Yarımbucaq və ikiqat bucağın düsturlarını tətbiq edir 9

94 Dərs 5. İstənilən bucağın triqonometrik funksiaları. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları ) 60 ; 60 ; 00 ; 05 dönmə bucaqlarının hər birini arı koordinat müstəvisi çəkməklə təsvir edin. 5 ) a) 7 ; b) 5 ; c) ; d) 5 dönmə bucaqlarının son tərəfinin hansı 6 rübdə erləşdiini müəən edin. ) 05 -ni radianla ifadə edin. ) -ni dərəcə ölçüsü ilə ifadə edin. 6 5) Verilən bucaqlarla son tərəfləri üst-üstə düşən və (0; p) intervalın da erləşən bucağı radianla ifadə edin. a) 60 7 b) 5 6) Çevrə dailinə düzgün altıbucaqlı çəkilmişdir. (; 0) Altıbucaqlının təpələrindən biri (; 0) nöqtəsindədirsə, 0 digər təpələrinin koor dinatlarını tapın. 7) Radiusu sm olan çevrənin 5 sm uzunluğundakı qövsünə uğun mərkəzi bucağı radian və dərəcə ilə ifadə edin ) cos 0,0 olduğunu bilərək sin və sin ifadələrinin qimətlərini hesablaın. 9) İsbat edin ki, cos cos = cos ( + ) + cos ( ). 0) Bir əks arqument gətirməklə cos + sin = sin( + ) cos( ) bərabərli - inin enilik olmadığını göstərin. ) a) sin 6º = cos 7º b) tg 6º = ctg 7º olduğunu göstərin. ) İfadələrin qimətlərini tapın. sin 5 cos + cos 5 sin 5 cos cos a) b) + sin 5 sin ) Radiusu sm olan dairənin 6 mərkəzi bucağına uğun sektorun sahəsini tapın. Bu dairənin sahəsinin hansı hissəsini təşkil edir? ) Çevrə üzrə hərəkət edən cisim bir tam dövrü 9 dəqiqəə başa vurur. Bu cismin,5 dəqiqədə neçə dərəcə döndüünü və neçə metr ol getdiini tapın. Sematik təsvirini çəkin. Çevrənin radiusu R = 6 m. 5) sina =, 0 < a <, cos =, < < olarsa, sin(a )-nı tapın. 9

95 . Sinuslar Kosinuslar teoremi Planlaşdırma cədvəli Dərs Məzmun standartı... Sinuslar və ko - sinuslar teo rem lə rinin tət - biq ilə üçbu caqları həll edir.... Ölçmə və hesablama vasitələri ilə sahələri hesab - laır və alınmış nəti cələri müqaisə edərək ətanı müəən edir Mövzu Sinuslar teoremi. Sinuslar teoremi və üçbucağın sahəsi. Sinuslar teoreminin tətbiqi ilə məsələ həlli Kosinuslar teoremi. Ümumiləşdirici tapşırıqlar Dərs saatı Sinuslar və kosinuslar teoremi. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları Cəmi 9 Dərslik səh Dərs Dərslik səh. 07- Sinuslar teoremi. Sinuslar teoremi və üçbucağın sahəsi. Sinuslar teoreminin tətbiqi ilə məsələ həlli. saat Məzmun standartı... Sinuslar və kosinuslar teoremlərinin tətbiqi ilə üçbucaqları həll edir.... Ölçmə və hesablama vasitələri ilə sahələri hesab laır və alınmış nəti cələri müqaisə edərək ətanı müəən edir Əlavə resurslar Formalaşdırılan şagird bacarıqları İşçi vərəqlər sinuslar teoremini tətbiq etməin mümkün hallarını təqdim edir ( BTB,BBT və TTB); sinuslar teoremini tətbiq edir; sinuslar teoreminin tətbiqi ilə real situasiaa aid məsələləri həll edir. məsələ həlli zamanı uğun ölçmələri və təqribi hesablamaları erinə etirir Şagirdlərin diqqətinə çatdırılır ki, indiə qədər düzbucaqlı üçbucaqları Pifaqor teoreminin və triqonometrik nisbətlərin köməilə həll edirdik. Lakin bir ço həati situasialarda tələb olunan məsafə və bucağın tapılması düzbucaqlı üçbucaqla deil, istənilən üçbucaqla əlaqəli ola bilir. Bu halda üçbucağın həll edilməsi üçün sinuslar teoremi kömək edə bilər. a b c = = sina sinb sinc Sinuslar teoremini analitik olaraq isbat etməzdən əvvəl şagirdlərə qruplarla iş olaraq sinuslar teoreminin praktik ölçmələrlə olanılması məşğələsinin aparılması tövsiə edilir. Qruplarla iş aşağıdakı addımlarla erinə etirilir. Qruplarla iş. İstənilən üçbucağın hər hansı bucağının sinusunun bu bucağın qarşısında B duran tərəfə nisbətləri sabit qalır, bu fikri ölçmələrlə olaın.. İtiari üçbucaq çəkin. Təpələrini A, B, C, tərəflərini a, b, c kimi c işarə edin. B təpəsindən AC tərəfinə h hündürlüünü çəkin. h a. Alınan iki düzbucaqlı üçbucaqdan sina və sinca triqonometrik nisbətlərini azın. b C 95

96 . Nisbətlərdən h dəişənini tapın.. Uğun bərabərlii azın. 5. Bərabərliin hər iki tərəfini ac-ə bölün. 6. Alınan bərabərlik sinuslar teoreminin bir hissəsidir. 7. B bucağı üçün də bu nisbəti azın. 8. Sinuslar teoremində üçbucağın hansı ölçüləri iştirak edir? Verilən üçbucaq düzbucaqlı üçbucaq olmadıqda üçbucağı həll etmək üçün biri mütləq tərəf, qalan ikisi isə tərəf və a bucaq olmaqla daha iki elementin verilməsi ilə (bütünlükdə element) üçbucaqları həll etmək olar. Bu halları aşağıdakı kimi 5 vəziətdə qruplaşdırmaq olar. İki bucağı və bucaqlardan birinin qarşısında duran tərəf İki bucağı və bucaqlara bitişik tərəfi 8 İki tərəfi və bu tərəflərdən 5,7 TTB birinin qarşısındakı bucağı 0 İki tərəfi və bu tərəflər arasında 8, qalan bucaq TBT 58 0,05 Üç tərəfi 0 Son iki halda (TBT və TTT) 75 TTT üçbucaqların həlli kosinuslar teoremi 7 ilə erinə etirilir. Hər bir şagirdin sinuslar teoremini sözlə, analitik şəkildə, həndəsi təsvirlə səliqəli şəkildə təqdiminə diqqət edilir. Sinuslar teoremi. Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. C C b h A c B itibucaqlı üçbucaq a h a b 00 A c B korbucaqlı üçbucaq BBT BTB B Üşbucağın tərəfinin qarşıdakı bucağın sinusuna nisbəti sabitdir və bu sabit üçbucağın aricinə çəkilmiş çevrənin diametridir. c a c a O r r A b b/ B b b/ a sinc sina sinb c b C A Teoremin isbatının D.0 tapşırığı ilə də erinə etirilməsinə r r diqqət edilir. 96 = = = R 5 7,5 5 a b c = = sina sinb sinc C

97 Üçbucağın TTB halında mümkün hallar nəzərdən keçirilir. Tutaq ki, ABC üçbucağında a,b tərəfləri və A bucağı verilmişdir. A bucağının iti bucaq olduğu halda 5 hal, kor bucaq olduqda hal mümkündür. A iti bucaqdır b C a h A B a) a < b və a < h həlli odur A b C c b a B C b h a A c B b) a < b lakin a = h bir həlli var C b a h a A B B c) h < a < b iki həlli var C b a b A c B d) a = b bir həlli var A kor bucaqdır C b a C b a d) a > b bir həlli var A B A B A B a) a < b həlli odur a) a = b həlli odur b) a > b bir həlli var Üçbucaqların konqruentlii haqqında teoremlər ada salınır. Bu teoremlər də TBT, BTB, TTT şərtlərini əhatə edir. TTB şərtinə uğun 0; və a üçbucağın mümkünlüü bu halda konqruentlik haqqında teoremi isbat etməə imkan vermir. Sinuslar teoreminin tətbiqi üçün TTB halında verilən bucaq verilən tərəflərin qarşısındakı bucaq olmadığından qeri müəən hallar aranır. Üç bucağın verildii BBB halı isə konqruentliin deil, oşarlığın şərtidir. Ona görə də bu halda da üçbucağı həll etmək mümkün deil. Bu hala uğun sonsuz sada üçbucaq var. A Sinuslar teoreminin tətbiqi ilə dərslikdə çolu sada tapşırıqlar 5 verilmişdir. Hər bir şagirdin mütəlif tip tapşırıqları erinə etirmə mm səviəsi izlənilməlidir. 88 B. Üçbucağın şəkli üzərində qed edilmiş ölçülərlə C. Ölçülər sözlə verilmiş, üçbucağın çəkilməsi tələb edilir. ABC-də A = 57, B = 7 və AB = sm. AC-nin uzunluğunu tapın. D. Verilən ölçülərə görə neçə üçbucağın mümkün olması, həllər saının müəən edilməsi. ABC-də, A =, a = sm və b = sm. 6 0 A. Real həati situasiaa aid məsələlər.,9m B C Hündürlüün müəən edilməsi: 5. Üçbucağın sahəsinin hesablanmasına aid məsələlər. Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün mütəlif düsturları tətbiq edirlər: tərəf və bu tərəfə çəkilmiş hündürlükdən istifadə etməklə, Heron düsturu, iki tərəf və onlar arasında qalan bucağın sinusundan istifadə etməklə. 97 C b a

98 ? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.. Şəkildə verilən dişli çar konstruksiasına görə bucağını tapın. Həlli: Əvvəlcə ETF-dən sinuslar teoreminə görə θ bucağını tapaq. 58 sinθ = 50 sin0 58 sin0 sinθ= 0, Buradan θ 8 (verilənlərə görə EF<ET olduğundan θ kor bucaq ola bilməz). Onda 80 (0 +8 )=9 T r = 8sm θ 0 E F 0 r = sm r = 6sm İşçi vərəq N Adı Soadı Tari ) Gəmi A obektindən 57, B obektindən 6 7 bucaq altında müşahidə edilir. A obektindən gəmiə qədər məsafənin təqribi qimətini tapın.,67 6,7 A km B ) Gölün üzərində aparılan ölçmələrin nəticələri planda qed edilmişdir. Plana görə a və c məsafələri təqribən neçə metrdir? ) Hansı verilənlərə görə üçbucağın olmadığını, bir üçbucağın və a üçbucağın olduğunu demək olar? ) a = 0, c = və C = 8 ) b =, c = 8 və C = 0 ) a =,, b =, və A = ) Sinuslar teoremini tətbiq etmədən A = º, b = sm, a = 8 sm şərtinə uğun üçbucağın olmadığını izah edin. 98 ) c = 0, a = 6 və A = 8 B c A 58 a 95 m C

99 Dərs Dərslik səh. -8 Kosinuslar teoremi. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Məzmun standartı... Sinuslar və kosinuslar teoremlərinin tətbiqi ilə üçbucaqları həll edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər kosiniuslar teoremini tətbiq etməin mümkün hallarını təqdim edir ( TBT və TTT); kosinuslar teoremini tətbiq edir; kosinuslar teoreminin tətbiqi ilə real situasiaa aid məsələləri həll edir. Dərslikdə verilən araşdırma tapşırığı erinə etirilir. Şagirdlər dəftərlərində düzbucaqlı, itibucaqlı, korbucaqlı üçbucaqlar çəkir (eni işarələmələr aparmaqla) tərəflərini ölçür və aşağıdakı şərtlərin hansının hansı üçbucaqda ödənildiini olaırlar. Bu cür empi - rik anaşmalar şagirdə anlaışın mahiətini daha aşı anlamağa kömək edir. a + b = c a + b > c a + b < c Şagird kosinuslar teoreminin bütün üçbucaqlar üçün doğru olduğunu başa düşür və teoremin sözlə, düsturla ifadəsini azılı və şifahi şəkildə təqdim etməi bacarmalıdır. Tərəfləri a, b və c olan istənilən ABC üçbucağında C a = b + c bc cos A b = a + c ac cos B b a c = a + b ab cos C Üçbucağın hər hansı tərəfinin kvadratı bərabərdir: A c B digər iki tərəfin kvadratları cəmi, minus bu tərəflər və onlar arasındakı bucağın kosinusunun hasilinin misli. Pifaqor teoremi kosinuslar teoreminin üsusi halı kimi təqdim edilir. C = 90º olduqda c = b + a ba cos 90 = b + a Sinuslar və kosinuslar teoremi ilə məsələ həlli zamanı uğun həndəsi təsvirlərin müəən miqasla verilən ölçü ilə çəkilməsinə çalışılır. Bu həlli olamağa imkan verməklə bərabər düsturun da düzgün olduğuna şagirdləri inandırır, riaziatın abs - trakt deil, real elm olduğunu anlamağa kömək edir. Kosinuslar teoreminin tətbiqi zamanı üçbucaq bərabərsizliini diqqətdə salamağın vacib olduğu qed edilir. Üçbucağın iki tərəfinin uzunluqları cəmi üçüncü tərəfin uzunluğundan böük olmalıdır. Əks halda üçbucaq qurmaq mümkün deil. a = b = c = 0 Dərslikdə verilmiş nümunə tapşırığının həlli müzakirələrlə erinə etirilir. Kosinuslar teoremi ilə üçbucağın üçüncü tərəfi də müəən edildikdən sonra böük tərəf qarşısında böük bucaq durur şərtinə görə qeri müəən hal aradan qalır və üçbucağın digər bucaqlarını birqimətli olaraq tapmaq mümkün olur. Şagirdlərin işçi vərəqlərlə verilmiş təqdimatları erinə etirmələri vacibdir. 99

100 ? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.5. c) tərəfləri 0 sm, sm, sm olan üçbucağın medianlarını tapın. Həlli: Məsələni ümumi halda həll edərək üçbucağın medianları üçün düstur azaq. Kosinuslar teoreminə görə ABC -dən a = b + c bc cos A b + c a Buradan cos A = bc c a ABC - də BM medianı çəkək və ABM -dən kosinuslar A teoreminə görə BM medianın uzunluğunu tapaq. M b BM = AB + AM AB AM cos A = c + ( b b b ) + c a c = bc b b c c = c + + c a + b b c + a + a b = = BM medianının uzunluğunu mb ilə (b tərəfinə çəkilmiş median) işarə etsək alarıq. mb = a + c b Oşar qada ilə alırıq: ma = b + c a mc = a + b c Burada ma - a tərəfinə çəkilən median mc - c tərəfinə çəkilən mediandır. Şərtə görə a = 0, b =, c = olduğunu nəzərə alsaq: ma = + 0 = 580 = 5 mb = 0 + = 8 = mc = 0 + = 9 = 7 D.8. c) həlli: ADB - dən Pifaqor teoreminə görə AB = = 7 və ADC - dən AC = = 0 ADC - dən BC = = 6 θ ABC - dən kosinuslar teoreminə görə alırıq. BC = AB + AC AB AC cosθ Buradan: AB Cosθ = + AC BC = = AB AC ,8 B 5sm C 6sm və θ B C A 8sm D

101 İşçi vərəq N Təqdimat Üçbucağın həlli Adı Soadı Tari Cədvəli dəftərinizdə enidən çəkin. Mümkün hallara uğun nümunə azın. Verilən hal Sözlə ifadəsi Üçbucağın mümkünlüü - nün əsas şərti Üçbucaq - ların saı Təsviri Şərh BBB BBT BTB TTB TBT TTT Üç bucağı Bucaqları cə - mi 80 -dir İki bucağı və bu bucaqlardan bi ri nin qarşı - sın dakı tərəfi İki bucağı və bucaqlara bi - ti şik tərəfi İki tərəfi və bu tərəflərdən biri - nin qarşısındakı bucağı İki tərəfi və bu tərəflər arasında qalan bucaq Üç tərəfi İki bucağının cəmi 80 dən ki çik dir İki bucağının cəmi 80 dən kiçikdir İki tərəfinin cəmi üçüncü tərəfdən böükdür 0 0,, A A A A A A c c c c c c b b b b b b B B B B B B a a a a a a C C C C C C Həll etmək mümkün deil Sinuslar teoremi ilə həll edilir Sinuslar teoremi ilə həll edilir Qeri müəən hal Kosinuslar teoremi ilə həll edilir Kosinuslar teoremi ilə həll edilir

102 İşçi vərəq N Təqdimat Üçbucağın həlli Adı Soadı Tari Hal. Bir tərəf və iki bucaq məlumdur. (TBB və a BTB) Hal : İki tərəfi və bir bucaq verilir (tərəflər arasında olmaan) (TTB) Addım. Üçbucağın daili bucaqlarının cəminə görə qalan bucaqlar tapılır. Addım. Qalan tərəfləri sinuslar teoreminə görə tapılır. Bu qeri müəən haldır: 0;, sada üçbucaq ola bilər Addım. Sinuslar teoreminə görə bucağı tapılır. Addım. Üçbucağın bucaqları cəminə görə digər bucağı tapılır. Addım. Sinuslar teoreminə görə tərəflər tapılır. Əgər üçbucaq varsa, -ci və -cü addımı təkrar edin. Hal : İki tərəf və onlar arasında qalan bucaq verilir. (TBT) Hal : Üç tərəf verilir. (TTT) Addım. Üçüncü tərəfi kosinuslar teoreminə görə tapılır. Addım. Sinuslar teoreminə görə digər iki bucaqdan kiçik olanı tapılır. Addım. Üçbucağın bucaqları cəminə görə digər bucağı tapılır. Addım. Kosinuslar teoreminə görə böük bucağı tapılır. Addım. Sinuslar teoreminə görə qalan iki bucaqdan biri tapılır. Addım. Üçbucağın bucaqları cəminə görə digər bucağı tapılır. Təqdimatı hər hal üçün nümunələr əlavə etməklə tamamlaın və təqdim edin. 0

103 İşçi vərəq N Kosinuslar teoreminin tətbiqi Adı Soadı Tari Üçbucaqları həll edin. C C A 6 B A B A 8 B C C 0 A 0 B A = 67,; b = 7,9 km, c = 0,8 km a=9,sm; b = 5,7 sm, c = 8, sm a= 8 m; b= m, c = 7 m C = 7 0; a = 99 m, c = 76 m B 8m B C 0 m B = 7 ; a = sm, c = 6 sm C = 59,70; a = 5 km, b = 7 km A =,8; b = 6,8 sm, c =, sm m 8 m 6m C A 88 A 0 C C A 9 m 0 m sm 5 5 m A 79 B B

104 Sinuslar və kosinuslar teoremi. Summativ qimətləndirmə mearları cədvəli N Mearlar Qed Sinuslar teoremini sadə situasialarda tətbiq edir Sinuslar teoreminin tətbiqi ilə real situasiaa aid məsələləri həll edir Kosinuslar teoremini sadə situasialarda tətbiq edir Kosinuslar teoreminin tətbiqi ilə real situasiaa aid məsələləri həll edir Dərs 6. Sinuslar və kosinuslar teoremi. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları ) Üçbucaqları həll edin. C 9 sm B 5 B A ) Üçbucaqları həll edin. B B 0 mm C 0 km 6 km mm A C A ) Üçbucaqları həll edin. a) a = 6, b = 8, c = b) A = 50º, b =, c = ) Üçbucaqları həll edin. a) A = 60, a = 9, c = 0 b) A = 6, a = 8, b = 5 5) Hansı halda qurulan üçbucaq eganə deil? a) A = 0, B = 60, C = 80 c) A = 0, B = 0, C = 0 6) Hansı halda eganə üçbucaq qurulur? a) A = 50, B = 50, C = 80 c) A = 0, B = 0, C = 0 A 9,6 m 8,7, C 0 A C 9, m 8,5 m 0,8 m B A sm b) a = 5, b =, c = d) a =, b =, c = 8 sm B 8 sm b) a =, b = 5, c = 0 d) a = 7, b =, c = 5 C

105 7) a = 5, sm, b = 7,5 sm, A = 05 verilənlərinə görə Sinuslar teoremindən istifadə etmədən belə bir üçbucağın mümkün olmadığını izah edin. 8) Meşədə anğının baş verdii er A və B məntəqələrinə görə şəkildə göstərildii kimidir. Yanğın ən aın məntə - qədən təqribən nə qədər məsafədədir? B 56,7 56, A 0km 9) Hava şarında uçan şəs eni düz ətt üzərində erləşən kəndlərdən birinə eniş bucağının 5, digərinə isə olduğunu müəən etdi. Bu şəhərlər arasındakı məsafə,5 km olarsa, şar erdən neçə metr hündürlükdədir? 5,5 km 0) Müşahidəçi birbaşa ölçülməsi mümkün olmaan iki nöqtə arasındakı məsafəni müəən etmək istəir. Apara bildii mümkün ölçüləri planda qed etmişdir. Bu məlumatlara görə A və B nöqtələri arasındakı məsafəni tapın. ) Üçbucaqların sahələrini tapın. B sm 55 C sm A 05 A C m C m A B B

106 5.Triqonometrik funksialar Bölmə üzrə planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksianın dövrülüini, təkliini, cütlüüni, monotonluğunu araşdırır, qrafikləri çevirməi bacarır.... Mürəkkəb 7-7 funksia, tərs funksia anlaışlarını bilir və bəzi funksiaların tərs funksialarını tapır.... Əsas 78-8 triqonometrik funksiaları və tərs triqonometrik 8 funksiaları tanıır, onların qrafiklərini qurur. 8 Dövri funksialar. = sin funksiasının qrafiki. = cos funksiasının qrafiki = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri. = asin b = acos b funksiasının dövrü və amplitudu. 5 əsas nöqtəsinə görə sinisoidin qurulması. Triqonometrik funksialar və periodik hadisələr Bucağın tangensinin dəişməsi. = tg və = ctg funksiaları və qrafikləri Tərs triqonometrik funksialar. Ümumiləşdirici tapşırıqlar Triqonometrik funksialar. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları Yarımillik summativ qimətləndirmə tapşırıqları. 06 Cəmi

107 Dərs Dərslik səh. -7. Dövri funksialar. = sin funksiasının qrafiki. = cos funksiasının qrafiki. saat Məzmun standartı... Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksianın dövrülüünü, təkliini, cütlüünü, monotonluğunu araşdırır, qrafikləri çevirməi bacarır.... Əsas triqonometrik funksiaları və tərs triqonometrik funksiaları tanıır, onların qrafiklərini qurur. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər dövri funksianı qimətlər cədvəlinə, qrafikinə görə müəən edir; dövri funksianın dövrünü, ən böük qimətini, ən kiçik qimətini, qimətlər oblastını qrafikə görə müəən edir; = sin və = cos funksialarının qrafiklərini qurur; = sin və = cos funksialarının assələrini nümunələr üzərində təqdim edir. Riazi lüğət dövri funksia, dövr, amplitud -ci saat. Periodik dəişən funksialara aid nümunələr təqdim edilir. Bir ço təbiət hadisələrinin periodik olaraq dəişdii, istehsal sahələrində bir ço proseslərin periodik olaraq təkrarlandığı hamımıza məlumdur. Şagirdlər nümaiş etdirilən qarfiklərə görə onun periodik olub-olmadığını, periodunu, maksimum və minimum qimətlərini, qimətlər oblastını müəən edirlər. ) ) Funksianın dövrilii şaquli dəişmə ilə, əni -in qimətlərinə görə müəən edilir. Məsələn -ci qrafikdən görünür ki, funksianın qiməti sabit qalır sonra isə və 5 arasında dəişir, nəhaət -dən başlaaraq -ə qədər enidən sabit qa lır və enidən və arasında qimətləri dəişir. Funksianın dövrü isə üfüqi dəişmə (məsafə) ilə, əni -in dəişməsinə görə müəən edilir. Məsələn, -ci funksia arqumentin 0-dan 5 -ə qədər qimətlərində özünün bütün mümkün qimətlərini alır. Funksianın sonrakı dəişməsi qrafikin bu hissəsinin tək rar lan ma sın dan ibarətdir. 5 Deməli, funksianın dövrü -dir. Funksianın maksimum qiməti, minumum qiməti isə --dir. -ci qrafikdən dövrü müəən etmək mümkündür. Funksia 0 nöqtəsində qimətini alır, bu qiməti funksia e ni dən 6 nöqtəsində alır, deməli, funksianın dövrü 6-dır. Ve ril miş tapşırıqlar müzakirələrlə erinə etirilir. Məsələn, D.. tapşırığında ve ril - miş səpələnmə diaqramını real situasiaa uğun şərh edirlər. Karusel müəən 07

108 bərabər hissələrə bölünmüş vahid çevrə modelidir. Müəən anda Yer səviəsində olan kabinə dəqiqədən sonra maksimum hündürlükdə (50 m hündürlükdə) olur. Daha dəqiqəə isə er səthinə çatır.deməli, karusel bir dövrü dəqiqəə başa vurur. Diaqnostik qimətləndirmə üçün Mən nə örəndim? başlığı ilə şagirdin sərbəst işini təqdim etməsi tövsiə edilir. Aşağıda uğun nümunə verilmişdir. Adı İşçi vərəq Soadı Tari ) Dövri funksialar haqqında siz nə örəndiniz?.. ) Riazi anlaışla izahını birləşdirin. dövri funksia dövr Riazi azı -in qimətləri müəən aralıqda təkrarlanır -in elə ən kiçik intervalıdır ki,bu intervalda funksia qimətlər çoluğuna dail olan bütün qimətləri alır. Siz velosipedin pedalının hərəkətini dövri funksia olaraq necə təqdim edərdiniz? ) Dövrü 0, qimətlər oblastı 0 olan funksianın qrafikinə bir nümunə çəkin. 08

109 6 0,5 -ci saat. = sin və = cos funksialarının qrafiklərini qurma addımları müzakirə edilməklə ümumsinif fəaliəti olaraq erinə etirilir. Vahid çevrə üzərində dönmələrin ou üzərində, çevrə üzərindəki hər bir nöqtənin oundan məsafəsinin isə ou üzərində qed edildiini şagird başa düşür. Şagird triqonometrik funksiaların qimətinin vahid çevrə üzərində nöqtənin koordinatlarının P (cosθ; sinθ) olduğunu və onların həqiqi ədədləri ifadə etdiini başa düşür. Aşağıdakı şəkillər üzərində bu adın görünür. Ədəd ounun qanadı Vahid çevrə, radiusu = Çevrə uzunluğu: 6,8 60 Yarımçevrə:, 80 Dörddə bir çevrə: /, ,57 Vahid çevrə Radius =,57, , , ,5 6,57 Şagird = sin və = cos funksialarının dövrü funksia olduğunu onun qrafiki üzərində qimətlərinin təkrarlanmasına görə təqdim edir, bir dövrdə maksimum, mini - mum qimətini və funksianın dövrilii ilə bu qimətləri əlaqələndirməi bacarmalıdır. 0,5 0 0,5 Period = sin Amplitud cosθ= (θ+) dönmə bucağı vahid çevrə üzərində θ-lə eni nöqtə ilə göstərilir. Yəni, sin(θ+) = sinθ = sin; = cos funksialarının [0; ] parçasında 5 əsas nöqtəsinə görə qurulması erinə etirilir. = sin Nöqtələr sıfrı 0 0 maksimumu sıfrı 0 minimumu sıfrı 0 09 Vahid çevrə sinθ= θ A= = sin funksiasının 5 əsas nöqtəsinə görə qrafiki. Maksimum Kəsişmə Minimum Kəsişmə Kəsişmə ( ; ) = sin ; 0 ( ;) (0; 0) Dörddə Yarım ; 0 bir dövr dövr Tam Dövr: dövr dörddə bir dövr

110 = cos Nöqtələr maksimumu 0 sıfrı 0 minimumu sıfrı 0 maksimumu? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.5 tapşırığını şagirdin aşağıdakı məzmunda təqdimatla erinə etirməsi tövsiə edilir. = sin və = cos funksialarının oşar və fərqli cəhətləri Oşar cəhətləri. Dövrü (60 ) Amplitudu -dir. Qimətlər çoluğu [ ; ] parçasıdır. = cos funksiasının 5 əsas nöqtəsinə görə qrafiki. kəsişmə minimumkəsişmə maksimum (0; ) maksimum = cos (; ) dörddə bir dövr Dövr: Fərqli cəhətləri:. = cos funksiası absis ounu + n nöqtələrində, = sin funksiası absis ounu = n nöqtələrində (nz) kəsir.. = sin funksiası maksimum qimətini + n nöqtələrində, = cos funksiası n nöqtələrində alır.. [0; ] parçasında = sin funksiası bir dəfə, = cos funksiası isə iki dəfə maksimum qimət alır.. [0; ] parçasında = sin funksiasının üç sıfırı, = cos funksiasının iki sıfırı var. 5. = cos funksiası maksimum qimətini = sin funksiasından qədər tez alır. = sin və = cos funksialarının qrafikini mütəlif intervallarda qurma tap şı - rıq la rı nın erinə etirilməsi tövsiə edilir. Eni qrafikin qrafkalkulatorla da qurulması töv siə edilir. 0 0 ( ; 0) (; ) arım dövr ( ; 0) =sin 80 =cos dörddə üç dövr tam dövr 60

111 Sürətli diaqnostik qimətləndirmə tapşırıqları ) = sin funksiası üçün verilmiş fikirlərdən neçəsi səhvdir? a) Qimətlər oblastı və dail olmaqla onların arasındadır. b) Təin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoluğudur. c) ounu (0; 0) nöqtəsində kəsir. d) Əsas dövrü -dir. ) Verilən funksia dövridirsə, əsas dövrünü azın ) = cos funksiası üçün verilmiş fikirlərdən neçəsi səhvdir? a) ounu / + n nöqtələrində (n tam ədəddir) kəsir b) ounu (0; ) nöqtəsində kəsir c) Maksimum qimətini / + n nöqtələrində alır (n tam ədəddir). d) Dövrü -dir. 5) = sint funksiasının assələrinə görə uğunluğu müəən edin. a) t= +0 b) 6 t= c) t= 5 d) t= e) t= ) sint=0 ) sint= ) sint= ) sint= 5) sint= İşçi vərəq Adı Soadı Tari Verilmiş funksianın qrafikini çəkin. = sin, = cos, ) Funksianın qrafikinə görə sin5 və sin( 600 )-ni müəən edin. =sin 0 0 0

112 Dərs Dərslik səh. 6-. = sin və = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələri. = asin b = acos b funksiasının dövrü və amplitudu. saat Məzmun standartı.... Əsas triqonometrik funksialar və tərs triqonometrik funksiaları tanıır, onların qrafiklərini qurur. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər = a sin b və = a cos b şəklindəki funksiaların amplitudunu və periodunu müəən edir funksianın qrafikinə görə düsturunu azır real həati situasiaları triqonometrik funksiaların köməilə modelləşdirir = sin və = cos funksialarına görə = asinb və = acosb funksialarının çevrilmələrini sözlə ifadə edir, qrafik olaraq təsvir edir; = sin və = cos funksialarına görə = asinb( c) + d və = acosb( c) + d funksialarının çevrilmələrini sözlə ifadə edir, qrafik olaraq təsvir edir; Riazi lüğət dövri funksia, dövr, amplitud Göstərilən funksiaların qrafikini istənilən intervalda qurmaq olar. Əgər verilən interval 0-dan uzaqda erləşirsə, mə sə lən, [ ; ] olarsa, koordinat başlanğıcı kəsilmiş koordinat müstəvisindən istifadə edilməsi daha 0 məqsədəuğundur. Dərslikdə verilmiş qrafik nümunələri üzərində şagirdlər a və b parametrlərinin = sin funksiasına necə təsir etdiini araşdırırlar. Şagirdlər a və b həddinin dəişməsi ilə amplitudun və dövrün dəişməsini müşahidə edirlər. -ci saat. Şaquli və üfüqi sıılma və dartılma ( a və b həddi). Şagird = asinb və = acosb şəklindəki funksialarda a-nın və b-nin qiməti -dən böük, -dən kiçik müsbət ədəd və mənfi ədəd olduqda funksia çevrilmələrini sözlə və qrafik təsvirlə təqdim etməi bacarmalıdır. Bunun üçün əvvəlcədən şəkillərin, sladların hazırlanması, şagirdin müstəqil olaraq qrafkalkulatorla mütəlif qrafikləri qurması məqsədəuğundur.,5 0,5 0,5,5 =,5 sin = sin,5 = sin 0,5 0,5 Sıılma = sin

113 Şagird a-nın işarəsinin mənfi olması ilə (a < 0) funksianın qrafikinin ouna nəzərən simmetrik çevrildiini (əksetmə) başa düşür. b<0 olan halı sinusun tək, kosinusun cüt funksia olmasına görə b parametrinin müsbət ol - duğu hala gətirməi bilir. a 0 a =a sin a 0 a =a cos -ci saat. = asinb və = acosb funksialarının dövru və amplitudunun tapılmasına aid tapşırıqlar və tətbiq tapşırıqları erinə etirilir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.0. Verilmiş f() və g() funksialarının ortaq dövrünü tapın. Həlli: a) f() = sin g() = cos f() funksiasının əsas dövrü T = 5 =, g() funksiasının əsas dövrü T = = -dir Adındır ki, nt (nz) ədədləri f()-in, mt (mz) ədədləri g() - in dövrləridir. Bu funksiaların ortaq dövrü T olarsa, elə n və m ədədləri tapmalııq ki, T = nt = mt bərabərlii ödənsin Buradan n = m n = m bərabərliini ödəən ən kiçik natural n və m ədədlərini tapaq. Adındır ki, n =, m = olmalıdır. Onda ortaq dövr T = T = = olar D. Həlli: Yadan asılmış cismin hərəkəti = a cos kt funksiası ilə modelləşdirilir. a = 0,5, k = 5 olduqda alırıq ki, = 0,5 cos 5t qanunu ilə verilən rəqsi hərəkətin dövrü, amplitudu isə 0,5 -dir. 5

114 Adı İşçi vərəq Soadı Tari Funksiaların amplitud və dövrünü müəən edin, qrafikini qurun. = sin = cos Amplitud Dövr Amplitud Dövr = sin Amplitud Dövr = cos Amplitud Dövr

115 Adı İşçi vərəq Soadı Tari ) =sin Amplitud = Dövr = ) =cos Amplitud = Dövr = ) =cos 5 Amplitud = Dövr = 5) = 5sin Amplitud = Dövr = ) =sin Amplitud = Dövr = 6) =5sin( ) Amplitud = Dövr = 7) = sin Amplitud = Dövr = Amplitud = Dövr = Düstur: Verilən amplituda və dövrə görə kosinus funksiasının düsturunu azın a) amplitudu, əsas dövrü 70 Düsturu b) amplitudu, əsas dövrü Düsturu 8) = cos 5 Amplitud = Dövr = 5 9) = cos() Amplitud = Dövr = Aşağıdakı qrafiklərin amplitudlarını və əsas dövrünü azın. Hər bir qrafikə uğun düsturu azın. 6 6 Amplitud = Dövr = Düstur: Amplitud = Dövr = Düstur: 5 5 Amplitud = Dövr = Düstur:

116 -cü--cü saat. Üfüqi sürüşmə ( c həddi). = asinb( c) və = acosb( c) şəklindəki funksialarda çevrilmələr nəzərdən keçirilir. c-nin işarəsindən asılı olaraq funksianın qrafiki sağa və a sola sürüşmüş olur. Dərslikdə verilmiş nümunələr müzakirələrlə nəzərdən keçiri - lir. Bu sürüşdürmənin faza sü - rüş dürməsi olduğu qed edilir. Nümunələrin həm dərəcə ilə, həm də radianla veril məsi töv - si ə edilir. Məsələn, şagird = sin( 60 ), həmçinin = cos( + ) kimi tapşı - rıqları erinə etirir. Diqqət edil məli məqam: c < 0 olduqda sola c > 0 olduqda sağa Sinus funksiası Kosinus funksiası =a sinb =a cosb 0 =a sinb(c): c > 0 =a cosb( c): c <0 =a sinb(c): c < 0 =a cosb( c): c >0 Əgər fun ksi a nın düsturu = asin(b c) şək lində ve rilmişsə, fazanı müə ən et - mək üçün b mötərizə aricinə çıarılmalıdır. Bu halda faza mütləq qimətcə c -ə bərabər ola caq. b Qarfikin şaquli və a üfüqi dartılma və a sıılmasına, şaquli və a üfüqi sürüşməsinə, simmetrik çevrilməsinə hansı hədlərin necə təsir etdiinə aid bilik və bacarıqlarını qi - mət lən dir mək üçün D.9 tipli tapşırıqlar əlverişlidir. Şagird sözlə verilmiş çevrilməni düsturla ifadə edir. Şaquli sürüşmə. (d həddi) = asinb( c) + d və = acosb( c) + d şəklindəki funksialarda çevrilmələr nəzərdən keçirilir. d-nin işarəsindən asllı olaraq funksianın qrafiki uarı və a aşağı sürüşmüş olur. = sin və = cos funksiasının qrafikləri üzərindəki nöqtələrin oundan məsafələrinin dəişməsində müəən simmetriklik müşahidə olunur. ouna triqonometrik =sin+ d fun ksi anın horizontal (üfüqi) ou da deilir. Şaquli sürüşmə za ma nı horizontal o erini sürüşmə vahidi qədər dəişir, məsələn (;) = sin funksiasının qrafiki üzərindədirsə, şaquli sürüşmə zamanı bu koordinatlar (; + d) kimi dəişəcək və horizontal o = d düz ətti olacaq. Bu oa qrafikin orta ətti də deilir. Orta ətt qrafikinə görə funksianın düsturunun təin ediməsi zamanı mühüm göstəricidir. 6 = d orta ətt

117 = asinb + d d > 0 = acosb + d d > 0 =asinb 0 =acosb 0 = asinb + d d < 0 = acosb + d d < 0 Adı İşçi vərəq 5 Soadı Tari Funksiaların qrafiklərinin çevrilmələrini sözlə ifadə edin və qrafikləri çəkin. ) = cos(( )) ) = sin((+ )) + ) = sin( (+ )) + ) = cos( ( )) + 7

118 Dərs 7-7. Dərslik səh əsas nöqtəsinə görə sinusoidin qurulması. Triqonometrik funksialar və periodik hadisələr. saat... Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksianın dövrülüünü, təkliini, cütlüünü, monotonluğunu araşdırır, qrafikləri çevirməi bacarır.... Əsas triqonometrik funksiaları və tərs triqonometrik funksiaları tanıır, onların qrafiklərini qurur. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər real həati situasialara uğun məsələləri triqonometrik funksaların köməilə modelləşdirir. funksianın beş əsas nöqtəsinə görə qrafikini qurur Beş əsas nöqtəsinə görə = a sin b, = a cos b şəklində funksiaların istənilən intervalda qrafikini qurmaq olar. = asinb( c) + d və = acosb( c) + d şəklində funksiaların qrafikinin 5 nöqtəə görə qurulmasını ümumi şəkildə və bir nümunə üzərində nəzərdən keçirək. -ci addım. Funksianın düsturundan a, b, c, d sabitlərini müəən edin. = d əttini koordinat müstəvisi üzərində qed edin. d-dən a-nın qimətini çımaqla və əlavə etməklə funksianın maksimum və minimum qimətlərini tapın və ona uğun düz ətti çəkin. -ci addım. T = düsturundan istifadə etməklə dövrünü tapın. b -cü addım. Hər dövrdə 5 əsas nöqtəni qed etmək üçün -in bir dövrü göstərən parçasını 5 bölgünün köməilə intervala aırın. -cü addım. Birinci nöqtənin koordinatlarını müəən edin. Bu nöqtənin koordinatı 0 + c vahiddir. Bu koordinata uğun sinus funksiası üçün = d əttinin kəsişməsində, kosinus funksiası üçün maksimumuna uğun ilk nöqtəni qed edin. 5-ci addım. sinus (sıfrı, maksimumu, sıfrı, minimumu, sıfrı) və kosinus (maksimumu, sıfrı, minimumu, sıfrı, maksimumu) funksiası üçün 5 nöqtənin müəən ardıcıllığı ilə bu nöqtələr qed edilir. Birinci nöqtənin koordinatının üzərinə intervalın bölündüü hissənin (5 nöqtə ilə) ölçüsü əlavə edilir. Məsələn, dövr olarsa, hər sonrakı nöqtənin absisi əvvəlkinin üzərinə əlavə edilməklə tapılır. 8

119 Nümunə. = sin ( ) +. a =, b =, c =, d = = minimum, + = maksimum qimətləridir.. Periodu tapın. T = b = / =. 0- intervalı addımlarla bərabər hissəə bölünür.. Birinci nöqtənin koordinatları = 0 + c = 0 + = ; = d = 5. Sinus funksiası üçün növbəti nöqtənin absisləri və funksianın uğun qimətləri: + (maksimumu), + ( = d ətti üzərində), + (minimumu), + = d ətti üzərində). Bu nöqtələr qed edilir və qrafik qurulur. Məsələ həllində əsas diqqəti mətndə funksianın əsas göstəricilərinin amplitud və dövr haqqında məlumat verən hissəsinin seçilməsidir. Dərslikdə = asinb( c) şəklində funksianın qrafikinin qurulmasına aid nümunə ve rilmişdir. Qurma çevrilmələri müəən etməklə 5 nöqtəə görə verilmişdir. Daha bir nümunə üzərində = acosb( c) funksiasının qrafikinin qurulmasını daha qısa olaraq nəzərdən keçirmək olar. Nümunə. = cos( + ) 6 funksia sındakı bütün çevrilmələri müəən edərək aşağıdakı qrafikini qurmaq olar. Funksianı = cos ( + ) 6 şəklində azaq.. Amplitud:. Əsas dövr: T = b b = T=. Faza sürüşməsi:. Şaquli sürüşmə: 6 Qrafiki qurma addımları:. = 6 orta ətti çəkilir.. Amplituda görə = və = 0 0 ətləri qırıq ətlə çəkilir.. Dövrü olan = cos 6 6 funksiasının qrafiki çəkilir qədər sola sürüşdürülməklə θ = cos 6 = cos( + ) 6 = cos ( + ) 6 funksiasının qrafiki çəkilir. Çevirmə düsturuna görə funksianı = cos qurulması da tövsiə edilir. 9 6 şəklində azaraq qrafikinin

120 Həm faza sürüşməsi (c), həm də şaquli sürüşmənin (d) parametrlərinin dail olduğu funksiaların qrafikini funksialar üzərində çevrilmələr dərslərindən sonra da verilə bilər. Lakin çevrilmələrə aid dərslərdə daha ço bu parametrlərin funksiaa necə təsir etdii (dartılması, sıılması və s.) real həati situasiaa uğun təqdimi üzərində qurulacaqdır. Funksiaların qrafikini qurma bacarıqlarının isə bu dərs saatlarında daha geniş şəkildə formalaşdırılması fadalı olardı. Verilmiş işçi vərəqdən bu məqsədlə istifadə etmək olar.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli 57 D.. P = 00 0 cos funksiası ilə sakit daanmış şəsin t (saniə) zamanında qan təziqini müəən etmək olar. a) Funksianın periudunu müəən edin. b) Şəsin ürək döüntülərinin təini müəən edin. Həlli: a) T = düsturuna görə b = 5 olduğundan b alırıq: T = = = 0,8 (san) 5 5 b) dəqiqədə şəsin ürək döüntülərinin saı 60 : 0,8 = 75 olur. D.. (səh.) Həlli: a) Şəkildəki qrafik kosinus funksiasına uğundur. Şərtə görə karuselin diametri 6 m-dir və sərnişinlər kabinə ən aşağıda, erdən hündürlüü m olduqda ələşirlər. Deməli, atarılan kosinus funksiasının minimum qiməti, maksimum qiməti 8-dir. Bir tam dövr T = 60 san olduğundan = 60 b = /0 b b) t =,5 dəq = 50 san anında kabinənin erdən hündürlüü 50 = 0 8 cos = 0 8cos5 = 8 m 0 0 Hündürlük 8 m 8 m 0 m 8 m Ən aşağıda olan kabinənin istnəlinən t saniə anında erdən hündürlüü = 0 8 cos t şəklindəki düsturla ifadə etmək olar. 0 0 m Zaman

121 Adı İşçi vərəq 6 Soadı Tari Funksiaların qrafiklərini göstərilən rənglərdə çəkin: = sin, mavi; = sin + qırmızı ; = sin ; aşıl Sinus funksiasının əsas (ana) düsturuna sabit əlavə edildikdə nə baş verir? Funksiaların qrafiklərini qurun. Sinus funksiasının əsas (ana) düsturunda sabit ədəd çııldıqda nə baş verir? = sin = sin = cos + = cos 6 5 5

122 Adı İşçi vərəq 7 Soadı Tari Tapşırıqları erinə etirin. = sin( ) funksiasının qrafikini qurun = cos(+ )+ funksiasının qrafikini qurun Çevrilmə = sin (qırmızı), = sin (gö) funksiasının qrafikini qurun. = sin funksiasının qrafikini qurun. = sin( ) funksiasının qrafikini qurun. = sin funksiasının qrafikini qurun = cos + funksiasının qrafikini qurun

123 Adı İşçi vərəq 8 Soadı Tari Hərflərlə və durğu işarəsi ilə işarə edilmiş qrafiklərin ədədlərlə nömrələnmiş hansı funksiaa uğun olduğunu müəən edin. Hərfləri ədədlərin uğun anasında azmaqla azılan cümləni ouun. ) f()=sin ) f()=sin() ) f()=sin( ) ) f()=cos( ) 5) f()=cos() 6) f()= sin() 7) f()= sin( ) 8) f()=cos() 9) f()=sin() 0) f()=cos ) f()=cos( ) ) f()=cos() Yuarıdakı funksialara uğun qrafikləri seçin Ş. İ. Y. Z. E. Ç. L. Ə. A. O.! X.

124 Dərs Dərslik səh. -9. = tg və = ctg funksiaları və qrafikləri. saat... Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksianın dövrülüünü, təkliini, cütlüünü, monotonluğunu araşdırır, qrafikləri çevirməi bacarır.... Əsas triqonometrik funksiaları və tərs triqonometrik funksiaları tanıır, onların qrafiklərini qurur. Əlavə resurslar Formalaşdırılan şagird bacarıqları İşçi vərəqlər = tg və = ctg funksialarının qrafiklərini qurur = tg və = ctg funksialarının assələrini məsələ həllinə tətbiq edir. = tg və = ctg funksialarının çevrilmələrini təqdim edir. real həati situasialara uğun məsələləri = tg və = ctg funksialarının köməilə modelləşdirir. -ci saat. Şagirdlərin araşdırma tapşırığını cədvəli doldurmaqla erinə etirmələri tövsiə edilir. Bu zaman onlar funksianın təin oblastını, -in hansı qi mət - lərində təin olunmadığını başa düşürlər və qrafikin asimptotlarının tənliini adın görürlər. Qrafikin aşağıdakı addımlarla qurulması da tövsiə edilir.. Funksianın qimətlər cədvəli qurulur. tg təin təin təin təin olunma - 0 olunma - 0 olunma - 0 olunma - ıb ıb ıb ıb. Funksianın asimptotları koordinat müstəvisi üzərində qed edilir.. Funksianın sıfırları koordinat müstəvisi üzərində qed edilir Funksianın qrafikinin sıfırlardan keçərək asimptotlara aınlaşacağı bildirilir.. Qrafikin dəqiqliini artırmaq üçün funksianın bir üsusi əlverişli qiməti qed edilir. Bu -in / qimətidir: tg =. 5. Funksianın artma və azalması qimətlərinə görə analiz edilir. Məlumdur ki, vahid çevrədə I rübdə -in qiməti 0-dan başlaaraq artır və nəhaət -ə bərabər olur, bu zaman -in qiməti -dən 0-a qədər azalır. Bu o deməkdir ki, nisbəti artır, bununla tg-in qiməti də sonsuz olaraq artır. Bu assəni nəzərə alaraq = tg funksiasının qrafiki çəkilir. tg t tg t -nin tək misilləri asimptotları t ( ;) ( ;) t

125 Analoji qada ilə = ctg funksiasının qrafikini çəkmək olar ctg təin olunma - ıb 0 təin olunma - ıb 0 təin olunma - ıb 0 təin olunma - ıb Lakin şagird kotangens funksiasının qimətlərinin tangens funksiasının qimətlərinin tərsi (ctg = /tg) olduğunu başa düşməli və qrafikini simmetrik çevrilmədən istifadə etməklə çəkməi bacarmalıdır =ctg 0 8 =ctg =ctg =tg Şagirdlərin funksianın qimətlər cədvəlini, qrafikini və dərslikdə verilmiş assələri birlikdə əks etdirən təqdimat hazırlaması məqsədəuğundur. Bu triqonometrik funksiaların assələrini ümumilikdə sistemləşdirmə bacarıqlarına müsbət təsir edəcəkdir. -ci saat. Dərslikdə verilmiş tapşırıqlar erinə etirilir. -cü saat. = tg və analoji olaraq = ctg funksialarının çevrilmələri nəzərdən keçirilir. Mütəlif çevrilmələri əks etdirən funksiaların qrafikləri qurulur. = tg 5 Tangens funksiasının qrafikinin çevrilmələri = a tg b = a tg b( c); c > 0 = a tg b( c); c < 0 0

126 Şagirdlərin funksialar haqqında aşağıdakı kimi məlumatı əks etdirən təqdimat hazırlamaları tövsiə edilir. Bu təqdimata funksia haqqında daha ço məlumat əlavə etmələri tövsiə edilir (təklii-cütlüü, çevrilmələri və s. haqqında) Triqonometrik funksiaların qrafikləri Funksia = sin = cos = tg = ctg Qrafiki Təin oblastı Qi.ço Amplitud Dövr -i kəsmə (;+) (; +) (n + ) n ; ; (; +) (; +) odur odur Asimptotu odur odur Həmçinin çevrilmələri əks etdirən cədvəlin tərtib edilməsi tövsiə edilir. Bu tapşırıqlar məlumatı sistemləşdirmə, təqdimetmə kimi bacarıqların formalaşmasında əhəmiətlidir. = Faza keçidi Şaquli sürüşmə Əksetmə Şaquli dartılma və a sıılma Üfüqi dartılma və a sıılma Triqonometrik funksiaların qrafiklərinin çevrilmələri a sin b( c) + d a cos b( c) + d ( c) sağa keçir ( + c) sola keçir d vahid uarı d vahid aşağı a < 0, ou üzrə əksetmə b < 0, ou üzrə əksetmə Amplitud = a (n + ) ( ; 0 ) ( ; 0) (n + ) (n; 0) (n; 0) 6 = (n + ) a tg b( c) + d a ctg b( c) + d ( c) sağa keçir ( + c) sola keçir d vahid uarı d vahid aşağı a < 0, ou üzrə əksetmə b < 0, ou üzrə əksetmə tangens funksiasının qanadlarının dartılması və a sıılması Dövr = Dövr = b b = n

127 Dərs Dərslik səh Tərs triqonometrik funksialar. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat... Funksianın qrafiki anlaışını bilir, funksianın dövrülüünü, təkliini, cütlüünü, monotonluğunu araşdırır, qrafikləri çevirməi bacarır.... Əsas triqonometrik funksiaları və tərs triqonometrik funksiaları tanıır, onların qrafiklərini qurur. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar = arcsin, = arccos, = arctg funksialarının = sin, = cos, = tg funksialarının tərs funksiası olduğunu başa düşür və qrafikini qurur. qrafikləri tərs funksiaların qrafiki kimi qurur. Tərs triqonometrik funksiaların qrafiki uğun əsas funksiaların qrafikinə görə çəkilir. Triqonometrik funksiaların qrafikinin = ouna nəzərən əksetməsi ilə tərs triqonometrik funksiaların qrafikinin qurulması araşdırılır. Bu funksiaların dönən olmadığı üfüqi əttin köməilə müəən edilir. = tg = sin = cos Lakin funksianın müəən aralıqda artan(azalan) olduğu və bu aralıqda da dönən olması mümkündür. Birinci saatda tərs triqonometrik funksia anlaışı verilir və tərs triqonometrik funksialar araşdırılır. -ci və -cü dərs saatında tapşırıqlar erinə etirilir., ( ) (0, 0), 6 ( ) (, ) ( ), ( ), 6 = arcsin ( ), 7 = sin Funksia Təin oblastı Qimətlər çoluğu = arcsin = arccos = arctg = arcctg < < + < < + 0 < < 0 < <

128 = arcsin = arccos = arctg Təin oblastı [ ;] Təin oblastı: [ ;] Təin oblastı: ( ;+ ) Qimətlər çoluğu [ Qimətlər çoluğu: [0;] Qimətlər çoluğu ; ] ( ; ) Triqonometrik funksialar Summativ qimətləndirmə mearları cədvəli N Mearlar Qed Dövri funksiaları nümunələr üzərində təqdim edir = sin, = cos, funksialarının qrafiklərini qurur = tg, = ctg funksialarının qrafiklərini qurur D.5. İfadənin qimətini tapın. a) arcsin sin 7 6 olduqda Lakin verilən çalışmada 7 ; olduğundan həlli aşağıdakı ardıcıllıqla 6 erinə etirmək lazımdır. ) sin 7 = sin ( + ) = sin ) arcsin (sin 7 ) = arcsin( sin ) = arcsin (sin ) = = sin, funksiası və = arcsin, funksiası qarşılıqlı tərs funksialardır. Ona görə də arcsin(sin) = [ ] = sin, = cos funksialarının qrafiklərinin çevrilmələrini təqdim edir = asinb( c) və = acosb( c) funksialarındakı çevrilmələri qrafik olaraq təqdim edir = asinb( c) və = acosb( c) funksiaları ilə real həati situasiaları modelləşdirir, çevrilmələri qrafik olaraq təqdim edir Tərs triqonometrik funksia anlaışını başa düşdüünü nümunələrlə təqdim edir, qrafiklərini qurur 8 ( )

129 Dərs 8. Triqonometrik funksialar. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları ) Əsas funksianın qrafikinə görə verilən funksiaların qrafikini qurun. 5 = sin = -cos = sin = cos = sin 5 5 = 5 cos = sin + 5 = cos ) Qrafikə görə sinus funksiasının düsturunu azın ) Əsas funksianın qrafikinə görə funksia - ların qrafikini verilən intervalda qurun. 0 ) = 5sin funksiasının amplitudunu və dövrünü azın. 5) = tg funksiasının dövrünü tapın 6) = 5cos ( + ) funksiasının çevrilmələrini = cos funksiasına görə azın. 6 7) Hər bir triqonometrik funksianın qimətini azın. a) sin (-50 ) b) sin 95 c) cos ( ) 8) = sin funksitasının qrafikini 5 əsas nöqtəsinə görə qurun. π 9) Amplitudu 5, dövrü olan sinus funksiası azın. 0) Amplitudu 5, dövrü, faza sürüşməsi olan kosinus funksiası azın. ) Radiusu 5 m olan karusel hər 00 saniədə bir tam dövr edir. Vüsal karuselə hündürlüü m olan platformadan minir. Vüsalın erdən hündürlüünün zamandan asılılığını kosinus funksiası ilə ifadə edin. 9 π = sin - 5π ( ) -

130 Dərs 8. Yarımillik summativ qimətləndirmə tapşırıları ) Hansı asılılıq funksia deil? a) 5 0 b) {(0; ), (; 5), (5; ), (0; )} c) d) 0 ) Şəkildə hansı funksianın çevrilməsi təsvir edilmişdir? 8 8 O g() f() 8 ) Bir düz ətt üzərində olmaan A, B, C nöqtələrini, A və C nöqtəsi ilə bir düz ətt üzərində olan D nöqtəsini qed edin. Yalnız bir müstəvi keçirilməsi mümkün olan nöqtələrin adını azın. ) Çevirmə düsturlarını tətbiq edərək, verilmiş ifadəni iti bucağın triqonometrik funksiası ilə ifadə edin və qimətini hesablaın. a) cos 00º b) sin 7 c) tg 5 6 5) Son tərəfi verilən nöqtələrdən keçən bucaqlar üçün triqonometrik nisbətlərin qimətlərini hesablaın. a) (; ) b) (; 0) c) (; ) 6) Verilən mərkəzi bucağa uğun qövsün uzunluğunu və sektorun sahəsini tapın. r = 0 sm; = 0

131 7) Funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu tapın: = A 8) Verilir: AO AB = 5 AC = BOC = 90º AO = BAC =? B 5 C O 9) Verilənlərə görə üçbucağı həll edin. B A 6 60º 8 C 0) = sin funksiasının amplitudunu, dövrünü tapın, qrafikini [0; ] parçasında qurun. ) Qrafiki verilmiş funksianın düsturunu azın. 0 ) İfadənin qimətini hesablaın: sin + sin 8 8 cos + cos 8 8 ) Hesablaın: sin( arcsin ) ) Diametri 0 m olan karusel 5 dəqiqədə dövr edir. Karuselin kabinəsi hansı ətti sürətlə hərəkət edir?

132 6. Çoüzlülər Planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh...5. Çoüzlülərin növlərini tanıır... Prizmanın an səthinin, tam səthinin və həcminin tapılmasına aid məsələləri həll edir... Piramidanın, kəsik piramidanin an səthlə - rinin, tam səthlərinin və həcmlərinin tapılma sına aid məsələləri həll edir..5. Çoüzlülərin bəzi müstəvi kəsiklərini qurur.... Fəza fiqurlarının assələrini ölçməə tətbiq edir.... Ölçmə və hesablama vasitələri ilə sahələri hesablaır və alınmış nəticələri müqaisə edərək ətanı müəən edir 8-86 Çoüzlülər. Prizmalar. Ço - üzlülər və onların mütəlif tərəfdən görü nüşləri , 88 Prizmanın səthinin sahəsi , 90 Prizmanın müstəvi kəsikləri Piramida. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsi Piramidanın kəsikləri. Kə sik piramida.ümumi ləş di rici tap şırıqlar Çoüzlülər. Summativ qimət - lən dirmə tap şırıqları Cəmi

133 Dərs Dərslik səh Çoüzlülər. Prizmalar. Çoüzlülər və onların mütəlif tərəfdən görünüşləri. saat Məzmun standartı..5. Çoüzlülərin növlərini tanıır. Riazi lüğət çobucaqlı, çoüzlü, til, təpə, üz, düz prizma, mail prizma, prizmanın hündürlüü, diaqonalı Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər çoüzlülərı həndəsi olaraq təsvir edir, tilini, təpəsini, üzlərini müəən edir çoüzlülərı tilinin, təpəsinin, üzlərinin saına görə bir-birindən fərqləndiriir mütəlif prizmaların şəklini çəkir, həndəsi elementlərini və onların saını göstərir prizmaların açılış şəkillərini çəkir çoüzlüləri (kub konstruksiaları) izometrik nöqtəli vərəqdə təsvir edir çozlülərin mütəlif tərəflərdən görünüşlərini çəkir Çoüzlülərin üzləri çobucaqlılar olan fəza fiquru olduğu qed edilir. Fəza fiqurları müəən fəza hissəsini tutan fiqura deilir. Yəni müstəvi fiqurdan fərqli olaraq fəza fiqurunun bütün nöqtələri eni müstəvi üzərində deil. Mütəlif fiqurlar, əşalar üzərində onun çoüzlü olub olmadığı araşdırılır. Məsələn, karandaşa çoüzlü demək olarmı? Yo, çünki onun cobucaqlı olmaan, dairə olan üzü var. Deməli, çoüz lü bütün üzləri çobucaqlı olan fəza fiqurlarına deilir. Şagirdlərə sual verilir: Aşağıdakı fiqurlardan hansına çoüzlü demək olar? Çoüzlülərin elementləri müzakirə edilir. Çoüzlülər bir-birindən til, təpə və üz - lər inin saına görə və formasına görə fərqlənirlər. Şagirdlər mütəlif prizmaları, piramidanı ib tidai siniflərdən tanıır və til, təpə, üz anlaışlarını bilirlər. Şagirdlərə - dəqiqə vat verilir ki, bu anlaışların həndəsi mənasını azsınlar və təsvirini çəksinlər. Şagird üzün müstəvi fiqur və onun daili oblastı olduğunu B başa düşür. Məsələn, şəkildəki fiqurun üzləri üz til ABD, BDC, ABC və ADC üçbucaqlarıdır. Til iki üzün kəsişmə əttidir. BA, BD, BC an tillər, AC, AD, DC oturacaq tilləridir. A C Təpə üç və daha ço tilin kəsişmə nöqtəsidir. D təpə

134 Yolama sualları olaraq şagirdlərə aşağıdakı fiqurların uzlərinin, tillərinin və təpələrinin adlarını azmaq tapşırılır. F Q E G I H P T R J K L S N U M Qabarıq və çökük çoüzlülər, bütün üzləri düzgün çobucaqlılar olan Platonik fiqurlar müzakirə edilir. dodekaedr ikosaedr kub oktaedr tetraedr Bu fiqurlardan üzləri üçbucaq olanlar, kvadrat olanlar və beşbucaqlı olan beş Platonik fi qur məlumdur. Eni təpədə olan müstəvi bucaqların cəmi 60 -dən kiçik olmalıdır. Bu isə o deməkdir ki, bir təpədə,,5 üçbucaq, kvadrat, beş bu caqlı ola bilər. Bu fiqurlar Yunan alimi və filosofu Platon (b.e.ə. 7 7) tə rə findən dərindən örənildii üçün onun şərəfinə adlandırılmışdır. Platon tetraedri - od, kubu - torpaq, oktaedri - hava, ikosaedri - su simvolu adlandırmışdı. Dodekaedr isə bəşəriəti, dünanı təmsil edirdi. Platonik fiqurlar düzgün çobucaqlılardan boşluq qalmadan səthin parketlənməsi ilə alınır. Burada alnız bir fiqurun işlədilməsindən söhbət gedir. Şagirdlərə işçi vərəqlərdə verilmiş açılışları daha böük ölçüdə çəkməklə bu fiqurların modelini quraşdırmaları tövsiə edilir. Açılış üzərində mütəlif şəkillər çəkməklə maraqlı kompozisialar aratmaq olar. 0-cu sinif şagirdləri arasında müsabiqə təşkil edib tədbir keçirmək olar. Bu şagirdlərin aradıcılıq qabiliətlərinə müsbət təsir edir, örəndiklərini dərindən qavramağa kömək edir. Prizmanın ümimi tərifi şagirdlərlə birlikdə araşdırılır. Prizma dedikdə həndəsi olaraq nə başa düşülür? Prizma paralel müstəvilər üzərində erləşən və paralel köçürmədə üst-üstə düşən iki paralel çobucaqlı və onların uğun olaraq bütün nöqtələrini birləşdirən düz ətt parçalarından ibarət fəza fiqurudur.. Prizmaların elementləri mütəlif prizmalar üzərində göstərilir. Düz prizma və mail prizmanın fərqləri araşdırılır. Şagirdlər düz prizma dedikdə səhv olaraq oturacağındakı fiqurda düz bucaq olduğunu düşünə bilərlər. Oturacağı üçbucaq, romb, trapesia və s. çobucaqlılar olan prizmalar üzərində göstərilir ki, düz prizma dedikdə an üzlərin oturacaq müstəvisi ilə aratdığı ikiüzlü bucağın ölçüsünün 90 olduğu nəzərdə tutulur. Düz və mail prizmanı modelləşdirmək üçün ip və kartondan istifadə etmək olar. Youtubedan götürülmüş şəkildə də bu cür model nümaiş etdirilir. h h h

135 Prizmaların oturacağındakı fi - qur lar mütəlif ola bilər, lakin an üzləri həmişə paraleloqramlardır. Düzbucaqlı paralelepiped prizmanın ən ço rast gəldiimiz növüdür. Düzbucaqlı paralelepipedin bütün üzləri düzbucaqlıdır. Şagirdlər damalı dəftərdən 7 5 ölçüdə olmaqla iki düzbucaqlı və 7 ölçüdə olmaqla iki düzbucaqlı kəsirlər. Eniölçülü düzbucaqlıları qarşı üzlər olmaqla apışqanlı lentlə bir-birinə bərkidirlər. Modelləri partanın üzərinə qoaraq müzakirə edirlər. Bu prizma modelidir. İki üzü hələki odur. Modeldəki prizmanın üzləri hansı çobucaqlıdır? Yapışdırılmamış üzlər hansı formada olacaqlar? Bu üzlər qarşılıqlı paraleldirmi, an üzlər oturacağa perpendikulardırmı? Bu prizma düz prizmadır. Daha sonra prizmanın üst üzünü elə dəişin ki, an üz oturacaq müstəvisinə perpendikular olmasın. Yenə sual verilir: Qarşı üzlər paraleldirmi? Yan üz oturacaq müstəvisinə perpendikulardırmı? Bu artıq düz prizma deil. Çatışmaan üzlər hansı müstəvi fiqurun formasında olmalıdır? İndi modeli elə çevirin ki, paraleloqramlar prizmanın oturacağı olsun. Şagirdlər paralelepipedin oturacağı konqruent paraleleoqramlar olan prizma olduğunu başa düşürlər. Həndəsi fiqurların izometrik nöqtəli vərəqdə şəkillərini çəkmə bacarıqlarının formalaşdırılması ço əhəmiətlidir. İzometrik ölçülü nöqtəli kağızlar şəklin D görüntüsünü aratmaq üçün əlverişli vasitədir. Tenologianın inkişaf dövründə bu məşğələlər şagirdləri səbirli, səliqəli olmağa önləndirməklə anaşı fiqurların mütəlif tərəflərdən görüntülərini çəkmə imkanlarını asanlaşdırır, şagirdə daha rahat təsvirlər çəkməə imkan verir. Dərslikdə paralelepipedin, vəsaitdə isə düzgün altıbucaqlı prizmanın şəklini çəkmə addımları verilmişdir. Üçbucaqlı, beşbucaqlı və s. prizmaların da şəklinin çəkilməsi ev tapşırığı olaraq verilə bilər. İzometrik nöqtəli səhifələri şagirdlər dəftərlərində asanlıqla arada bilərlər. Prizmaların modellərinin aradılması və şəkillərinin çəkilməsi şagirdlərə müstəqil iş kimi tapşırılır. Mütəlif formalarda kəsilmiş tort dilimləri düz pizmalara model ola bilər. Şagirdlər oturacağındakı fiqurun dəişməsi ilə üzlərin, tillərin və təpələrin saını tapma suallarına cavab verirlər. Oturacaqdakı fiqur lövhədə çəkilir. Şagirdlər növbə ilə tillərinin, üzlərinin, təpələrinin saını söləirlər. Altıbucaqlı prizmanı aşağıdakı addımlarla çəkin.. Altıbucaqlı çəkin.. Altıbucaqlının hər bir təpəsindən müəən uzunluqda, məsələn 5 vahid uzunluğunda parçalar çəkin.. Parçaların uc nöqtələrini ardıcıl birləşdirməklə prizmanı tamam - laın.. Baış önündən asılı olaraq prizmanın görünən tillərini bütöv, görünməənləri isə qırıq ətlərlə çəkin. 5. İzometrik vərəqdə mütəlif prizmalar çəkin. 5

136 Prizmaların an səthinin, tam səthinin sahəsini hesablama dərslərini daha aşı başa düşmələri üçün fiqurların açılış şəkillərini çəkmə tapşırıqlarına ciddi fikir verilməlidir. -cü saat. Konstruksiaların özlərinin və mütəlif tərəflərdən görünüşlərinin çəkilməsi izometrik ölçülü nöqtəli kağızda erinə etirilir. İzometrik nöqtələr kons - truksianın mütəlif tərəflərdən görünüşünü asanlıqla müəən etməə imkan verir. Verilən konstruksianı izometrik kağızda çəkmə addımları. hündürlük ön sağ ön sağ an ön en ön dərinlik sağ an Konstruksianın görüntüdəki ən aın küncü qed edilir (*). Üçbucaq aradan nöqtələrlə konstruksianın qatları çəkilir. -ci qatda dama ön -ci qatda iki dama ön, Üstdən görünüşə görə görünüşə görə, dama dama sağ görünüşə görə kons truksianın son sağ görünüşə görə çə - çəkilir qatı tamamlanır. ki lir. ön sağ an ön Şagirdlərin plançəkmə bacarıqlarının, həndəsi təsəvvürlərinin, sənət vərdişlərinin formalaşması üçün bu cür tapşırıqların erinə etirilməsi ço fadalıdır. Real ölçü və plandakı ölçülərə görə hesablama tapşırıqları erinə etirilə bilər. Dərslikdəki və tapşırıqları (səh.6) bu tip tapşırıqlardır. Kub konstruksiaların plandakı görüntülərinin ədədlə göstərmə tapşırıqları da əhəmiətlidir. Şagirdlər bu tapşırıqları aşağı siniflərdə erinə etirmişlər, lakin indi daha mürəkkəb fiqurlar üzərində erinə etirmək əhəmiətlidir. Şagird kons truk si - a nın ölçüdə olduğunu başa düşür və hər cərgədəki kubların saını aradan önə doğru olmaqla azır. Konstruksia verilir, izometrik plan İzometrik plan ədədlər - ədədlərlə çəkilir. lə verilir, konstruksia müə ən edilir. 5 ön sag 6 sağ an ön sağ an

137 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Konstruksiaları çəkin. 7

138 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Üst Yan Ön Üst Yan Ön Üst Yan Ön Üst Ön Ön Ön Üst Üst Yan Yan Yan 8

139 İşçi vərəq Adı Soadı Tari ) Fiqurlardan hansına çoüzlü demək olar? Çoüzlülərin üzlərinin, tillərinin təpələrinin saını azın. ) Çoüzlülərin üzlərinin, tillərinin təpələrinin saını tapın. Eler düsturu ilə həllinizi olaın. Üzlərinin, tillərinin saı ən az olan çoüzlü hansıdır? ) Fiqurların şəklini çəkin: üçbucaqlı prizmanın, oturacağı kvadrat olan piramidanın. 9

140 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Həm düzgün çobucaqlıların daili bucaqlarının cəmini, həm də platonik fiqurların üzlərinin daili bucaqlarının cəmini göstərən ədədin rəqəmləri cəmi eni assəə malikdir. Nümunəə uğun digər fiqurlar üçün erinə etirin və bu assəni olaın. düzgün üçbucaq 60 = 80 tetraedr 80 = =? 7 + =? kvadrat oktaedr beşbucaqlı altıbucaqlı eddibucaqlı səkkizbucaqlı 0 kub ikosaedr dodekaedr

141 Dərs 87,88. Dərslik səh Prizmanın səthinin sahəsi. saat Məzmun standartı... Prizmanın an səthinin, tam səthinin və həcminin tapılmasına aid məsələləri həll edir.... Fəza fiqurlarının assələrini ölçməə tətbiq edir.... Ölçmə və hesablama vasitələri ilə sahələri hesablaır və alınmış nəticələri müqaisə edərək ətanı müəən edir. Riazi lüğət an səthin sahəsi, tam səthin sahəsi Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər prizmanın an səthinin, tam səthinin sahəsini real situasialar və şəkillər üzərində modelləşdirir prizmanın açılış şəkillərini çəkir, ölçülərini üzərində qed edir. prizmanın an səthinin, tam səthinin sahəsinin hesablanmasına aid məsələlər həll edir Yan səth anlaışı real obektlər üzərində araşdırılır. Məsələn, otağı paralelepiped kimi təsəvvür etsək, onun an səthi hansı hissələrdən ibarət olur? Divarların sahəsinin an səthi, divarların, döşəmə və tavanın sahəsi birlikdə tam səthi təşkil etdiini başa düşürlər. Düzbucaqlı paralelepipedin açılış şəkli üzərində an səthin sahəsinin oturacağın perimetri ilə hündürlüü hasilinə bərabər olduğunu aşağıdakı kimi göstərmək olar. oturacağın perimetri a a a + b + a + b b b oturacaq a b a b a b h a b a b h h perimetr hündürlük Yan səth = ph S tam = Sot+ San = Sot + Ph b oturacaq a Tam səth = Yan səth + Ot.Sahəsi Yan səthin və tam səthin tapılmasına aid dərslikdə verilmiş tapşırıqlar erinə etirilir. Prizmanın an səthinin, tam səthinin hesablanmasını düsturla deil, verilmiş ölçülərini açılış şəkilləri üzərində azmaq, arı-arı üzlərin sahələrini tapıb cəmləməklə onun an səthinin, tam səthinin hesablanması tapşırıqlarına er verilir. Bu tip tapşırıqlar şagirdin biliklərini əlaqələndirmə, alternativ həll üsullarını arama bacarıqlarını formalaşdırmağa müsbət təsir göstərir. Həmçinin prizmanın bir hissənin çıarılması ilə an səthin necə dəişdiini araşdırırlar, bu tapşırıqlar an səth anlaışının mahiətini düzgün qavramağa kömək edir.

142 ? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.5. Düz paralelepipedin oturacağının 6sm və 8sm olan tərəfləri 0 -li bucaq əmələ gətirir. Yan tilinin 5sm olduğunu bilərək, bu paralelepipedin tam səthini tapın. Həlli: Paralelepipedin oturacaqları paraleloqramlardır. Pot = (8 + 6) = 8sm Sot = 8 6 sin 0 = (sm ) Yan səthin sahəsi oturacağın perimetri ilə an tilinin hasilinə bərabər olduğundan alırıq: San = Pot h = 8 5 = 0(sm ) Onda Stam = San + Sot = 0 + = 88(sm ) B A A D B D C C 5 D.. Düz prizmanın verilən ölçülərinə görə tapın. a) oturacaqların sahəsini m b) an səthinin sahəsini c) tam səthinin sahəsini Həlli: 5 m a) Köməkçi ətlər çəkməklə oturacaqlardakı altbucaqlını şəkildə göstərildii kimi kvadrata və bərabəranlı üçbucaqlara aıraq. Kvadratın tərəfi m olduğundan sahəsi Skv = = 6 m -dır.,5 Arılmış bərabəranlı üçbucaqda h hündürlüü çəkək. h,5 Adındır ki, h =,5 =,5m olur. Onda üçbucağın sahəsi S =,5 = m olur Deməli: Sot = Skv + S = 6 + = m,5,5 b) Düz prizmanın an səthinin sahəsi oturacağın perimetri ilə hündürlüün(an tilinin) hasilinə bətabərdir. San = P l = ( +,5) 5 = 90 m c) Stam = San + Sot düsturuna görə tam səthinin sahəsini tapaq. Stam = 90 + = m,5m,5,5,5

143 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari a) Düzbucaqlı paralelepipedlərdən kəsilməklə alınmış fiqurların an səthlərinin və tam səthlərinin sahəsini tapın. b) Kəsikləri tamamlamaqla alınan bütöv prizmanın tam səthini tapın. c) Kəsilmiş prizma ilə bütöv prizmanın an və tam səthləri fərqini tapın. ) ) ) ) sm ,5 sm 9 sm sm 9 sm

144 İşçi vərəq 6 Adı Soadı Tari ) Düz prizmaların an səthinin və tam səthinin sahəsini tapın. sm sm 6 sm 0 sm sm 50 sm 60 sm 0 sm 5 sm 6 sm ) Düz prizmalarin şəkli üzərində verilənlərə görə məchulu tapın. sm S = m 6 sm 9 m 6 m S = 67 sm

145 Bölmə üzrə nümunəvi dərs Dərs 89,90. Dərslik səh Prizmanın müstəvi kəsikləri. saat Məzmun standartı..5. Çoüzlülərin bəzi müstəvi kəsiklərini qurur. Riazi lüğət müstəvi kəsii Formalaşdırılan şagird bacarıqları prizmanın mütəlif müstəvi kəsiklərini müəən edir; prizmanın müstəvi kəsiklərini həndəsi təsvir edir. Əlavə resurslar İşçi vərəqlər Şagirdlər prizmanın müstəvi kəsiklərini tortun, pendirin, mütəlif formada dilimlənməsi kimi nəzərdən keçirə bilərlər. Müstəvi kəsiinin həndəsi təsviri bir qədər mürəkkəb olsa da, onları real situasiada modelləşdirmək bir o qədər asandır. Tərəvəz doğraan bıçaqlarla mütəlif formalarda dilimlər kəsilir. Bıçaq (müstəvi mo - delini atırladan bıcaqlar var) kəsən müstəvi rolunu onaır. Fiqurların plastilindən hazırlanmış modelləri üzərində məşğələnin aparılması əlverişlidir. Motivasia. Stolun üzərinə plastilindən və a asan kəsilə bilən plastikdən hazırlanmış prizma qoulur. Kub və a paralelepipeddən başlamaq olar. Şagirdlərə müraciət edilir. Kubu elə kəsin ki, kəsik erində alınan fiqur düzbucaqlı olsun. Kim elə kəsə bilər ki, kəsikdə üçbucaq alınsın. Kim oturacağa perpendikular (paralel) müstəvi kəsiini göstərə bilər? və s. Oturacağa para - lel müstəvi ilə kə sii Oturacağa perpen di - kular müstəvi ilə kə sii Örənmə. Araşdırma aparılır. Kəsiklərin formalarına paralelepipedin (kubun) tillərinin, üzlərinin saının təsiri varmı? Əvvəlcə dördbucaqlı kəsik araşdırılır. Prizmanın oturacağına paralel müstəvi ilə kəsii dördbucaqlıdır. Daha sonra isə müəən bucaq altında olan kəsiklər araşdırılır. Üçbucaq kəsii aratma təsviri nümaış etdirilir. Kəsən müstəvi prizmanın neçə tilini kəsir. Tillərlə kəsişmə nöqtələri üçbucağın təpələridir. Kəsiin bəra bər an lı, bərabərtərəfli üçbucaq olmaları üçün hansı ölçmələri aparmaq lazımdır. Siz bunu necə edərdiniz. Bildirilir ki, biz bu tapşırıqları qruplarla iş kimi erinə etirəcik. Sizin fikirləşmək imkanlarınız var. 5

146 İndi isə istənilən dördbucaqlı kəsiinin alınmasını təsvir edək. Kəsikdə alınan fiqur paraleloqram ola bilər. Başqa bir dördbucaqlı kəsiini - trapesia kəsiini isə şəkildə göstərilən qadada müstəvini keçirməklə almaq olar. Şagirdlər üçbucaq kəsiində kəsən müstəvinin üç üzdən, dördbucaqlı kəsiində isə dörd üzdən keçdiinə diqqət edirlər. Bəs, kəsikdə beşbucaqlı, altıbucaqlı almaq mümkündürmü? Mümkündür əgər müstəvi prizmanın 5 üzünü kəsərsə, kəsikdə beşbucaqlı, 6 tilini kəsərsə, kəsikdə altıbucaqlı alınar. Bəs 7-bucaqlı, 8-bucaqlı alınması mümkündürmü? Mümkün deil, çünki verilmiş prizmanın 6 üzü var. Qruplarla iş. Hər qrupa bir fiqur təqdim edilir. Qruplar kəsikdə bu fiqurun alınmasını təsvir etməlidirlər.. Bərabəranlı üçbucaq.. Bərabərtərəfli üçbucaq.. Paraleloqram. Beşbucaqlı Qrup üzvləri müzakirələr apararaq kəsikdə bərabəranlı, bərabərtərəfli üçbucaqları almaq üçün hansı ölçmələri aparmalı olduqlarını müəən edirlər. Biz iki til üzərində bərabər parçalar aıraraq, kəsiin parçaları əhatə etməsini təmin etməliik. kimi fikirlər ürüdürlər və təqdimat zamanı da söləirlər. Paralelepipedin (kubun) diaqonal kəsiinin araşdırılması da diqqətdə salanılır. Oturacaq müstəvisinə paralel, perpendikular müstəvilərlə kəsmə, diaqonal kəsikləri və müəən bucaq altındakı müstəvi kəsikləri araşdırılır. Paralelepipedin hər hansı üzünə paralel müstəvilərlə kəsikləri uğun üzlə eni olur. Oturacaq müstəvisinə perpendikular müstəvi kəsiklərin ölçü lə rin dən biri prizmanın hün - dürlüünə bəra bər düzbucaqlı olur. Eni işləri altıbucaqlı, üçbucaqlı prizmalar üzərində də aparmaq olar. Müstəvi kəsikləri müstəvi fiqurlar olduğundan onların perimetrini, sahəsini hesablamağa aid tapşırıqlar erinə etirmək olar. Kəsikləri qurma və üzərində ölçüsünü azma tapşırıqları işçi vərəqdə verilmişdir. 6

147 ? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.. ) kub bir təpədən çıan tilin uclarından keçən müstəvi ilə kəsişmişdir. Kəsikdə bərabərtərfli üçbucaq alınır. Bu üçbucağın tərəfi kubun üzünün diaqonalına bərabərdir. a) kubun tili sm olarsa, d = sm olur. b) kubun tili a = sm olarsa, d = a = 6 sm olduğundan, müstəvi kəsiin perimetri P = 6 = 8 sm olur. d D.5. Düzbucaqlı paralelepipedin oturacağının tərəfləri 7sm və sm, paralelepipedin hündürlüü isə 8sm - dir. Diaqonal kəsiin sahəsini tapın. Həlli: B Diaqonal kəsii BBDD düzbucaqlısıdır. A Sdiaqonal kəsik = BD BB D Oturacağın BD diaqonalı BD = + 7 = 5 sm və BB = 8sm olduğundan Sdiaqonal kəsik = 5 8 = 00 sm 8 D.7. Oturacağı romb olan düz prizmanın qiaqonal kəsiklərinin sahələri sm və 56 sm - dır. Bu prizmanın an səthini tapın. Həlli: Prizmanın hündürlüü h olsun. Səthə görə SAA C C = AC h = 56 (sm ) SBB D D = BD h = (sm ) 56 Buradan AC =, BD = h h Rombun diaqonallarının assəsinə əsasən + = AD olduğundan alırıq: AC BD ( ) ( ) + = AD h 8 ( h ) ( ) AD = =, AD = h h h Prizmanın an səthinin sahəsi: 5 San = Pot h = AD h = h = 0 (sm ) h 7 A A 7 A B B B D D D C C C h C

148 İşçi vərəq 7 Adı Soadı Tari Necə etmək olar ki, kəsikdə bərabərtərəfli üçbucaq alınsın? Fikirlərinizi azın. A Necə etmək olar ki, kəsikdə beşbucaqlı alınsın? Fikirlərinizi azın. Paralelepipedin oturacağına paralel kəsii ilə arılan hissə hansı fəza fiquru olacaq. Bu fiqurla ilkin fiqurun hansı ölçüləri fərqli, hansı eni olacaq? Yazın, çəkin, göstərin. Düzbucaqlı paralelepipedin hansı kəsii onu iki konqruent üçbucaqlı prizmaa aırır? Çəkin göstərin. İlkin paralelepipedə görə üçbucaqlı prizmanın ölçülərini müəən edin. Kub F, G, H təpələrindən keçən müstəvi ilə kəsilsə, kəsikdə hansı müstəvi fiqur alınar? 8 F G H

149 İşçi vərəq 8 Adı Soadı Tari Dəftərinizdə mütəlif ölçüdə düzbucaqlı paralelepipedlər çəkin. Göstərilən kəsikləri onlar üzərində qurun. Müstəvi kəsiin ölçülərini müəən edin və üzərində azın. Oturacağa perpendikular kəsik Oturacağa paralel kəsik. mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm Düzbucaqlı paralelepiped üzərində göstərilən müstəvi kəsikləri çəkib göstərin. Üçbucaq Dördbucaqlı Beşbucaqlı Altıbucaqlı 9

150 Dərs 9-9. Dərslik səh Piramida. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsi. saat Məzmun standartı... Piramidanın, kəsik piramidanin an səthlərinin, tam səthlərinin və həcmlərinin tapılmasına aid məsələləri həll edir.... Fəza fiqurlarının assələrini ölçməə tətbiq edir.... Ölçmə və hesablama vasitələri ilə sahələri hesablaır və alınmış nəticələri müqaisə edərək ətanı müəən edir. Riazi lüğət piramida, kəsik piramida, piramidanın apofemi Formalaşdırılan şagird bacarıqları Şagird piramidanı müstəvi aricində götürülmüş bir nöqə ilə müstəvi üzərindəki çobucaqlının bütün nöqtələrinin birləşdirilməsindən alınan cisim kimi başa düşür. Oturacağı düzgün çobucaqlı olan piramidanı qurma addımları müzakirə edilir və erinə etirilir. Üzlərinin, tillərinin saı haqqında müzakirələr aparılır. Şagird piramidanı müstəvi aricində götürülmüş T nöqtəsindən (təpə nöqtəsindən) oturacaq müstəvisinə çəkilmiş parçalardan və oturacaq müstəvisindən ibarət olduğunu başa düşür. S = aha Piramidanın an səthinin sahəsinin onun an üzlərinin sahələri ha cəmi kimi müstəqil olaraq hesablaa bilərlər. a ha oturacaq ha a a Düzgün çobucaqlıların sahəsini hesablama düsturları təkrar a etdirilir. Hər bir hala uğun məsələlər müzakirələrlə həll edilir. Düzgün çobucaqlının sahəsinin apofemi ilə perimetri hasilinin arısına bərabər olduğu bir daha qed edilir. S = Piramidanın an səthinin və tam səthinin tapılmasını düsturla anaşı üzlərinin sahələri cəmi kimi tapmaları tövsiə edilir. Məsələn, oturacağı düzgün altıbucaqlı olan pira - midanın an səthinin sahəsi 6 üçbucağın sahələri cə min - dən ibarətdir. 50 Əlavə resurslar İşçi vərəqlər piramidanın açılış şəkillərini çəkir, ölçülərini üzərində qed edir. piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsinə aid məsələləri həll edir. P r r a 60 a r 6 a a 5 a r a m T m B r B ha 0 a E 8 m E a

151 İşçi vərəq 9 Adı Soadı Tari Düzgün piramidaların an səthini və tam səthini hesablaın. 6 m m 60 sm 0 sm sm 0 sm 7 m sm 70 sm 0 m 0 sm sm 5

152 ? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.0. Piramidanın oturacağı tərəfləri 9sm və 5sm olan düzbucaqlıdır. Yan tillərdən biri sm olub, oturacaq müstəvisinə perpendikulardır. Bu piramidanın an səthini tapın. T Həlli: Şərtə görə ABCD düzbucaqlı və AT an tili oturacaq müstəvisinə perpendikular olsun. Üç perpendikular A B teoreminə görə TD DC, TB BC alarıq. Deməli, an üzlərdəki üçbucaqların dördü də düzbucaqlı üçbucaqlardır. D 9 C TAB və TAD -dən Pifaqor teoreminə görə tapırıq: TD = TA + AD = + 5 = sm TB = TA + AB = + 9 = 5 sm Onda STAB = AB TA = 9 = 5 sm STAD = AD TA = 5 = 0 sm STDC = TD DC = 9 = 58,5 sm STBC = TB BC = 5 5 = 7,5 sm Yan səthinin sahəsi an üzlərdəki üçbucaqların sahələri cəminə bərabərdir. San = ,5 + 7,5 = 80 (sm ) Dərs 9,95. Dərslik səh Piramidanın kəsikləri. Kəsik piramida. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Məzmun standartı... Piramidanın, kəsik piramidanin an səthlə rinin, tam səthlərinin və həcmlərinin tapılma sına aid məsələləri həll edir...5. Çoüzlülərin bəzi müstəvi kəsiklərini qurur. Riazi lüğət kəsik piramida Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər piramidanın müstəvi kəsiklərini həndəsi təsvir edir kəsik piramidanı qurur və tam səthinin sahəsini hesablaır Piramidanın da müstəvi kəsikləri prizmada olduğu kimi müzakirə edilir. İlk olaraq şagirdlərə aşağıdakı kimi situasianı müzakirə etmələri təklif edilir. Piramida oturacağa paralel iki müstəvi ilə kəsilmişdir. Hansı kəsiin sahəsi daha böükdür? Sahəsi bu kəsiklərin sahələri cəminin arısına bərabər olan kəsii almaq üçün kəsən müstəvini necə keçirmək lazımdır? 5

153 Düzgün dördbucaqlı piramidanın kəsikləri araşdırılır. Bərabəranlı üçbucaq almaq üçün Oturacağa paralel müstəvi kəsii kvadratdır. Oturacağa perpendikular və təpədən keçən müstəvi kəsii üçbucaqdır Oturacağa perpen - dikular və tə pədən keç məən müs təvi kəsii trapesiadır. Oturacağa nə paralel nə də perpendikular olmaan müstəvi kə - si i dördbucaqlıdır. Piramidanın oturacağına paralel müstəvi ilə kəsilməsi ilə kəsik piramidaların alındığı müzakirə edilir. Piramidanın mütəlif nisbətlərdə kəsilməsi üzərində qurulmuş məsələlər həll edilir. Təsəvvür edin ki, piramida hündürlüünün orta nöqtəsində oturacağına paralel müstəvi ilə kəsilmişdir. Piramidanın uarı hissəsindən arılan piramidanın oturacağının ölçüləri necə olacaq?? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.. a) Düzgün dordbucaqlı piramidanın oturacağının tərəfi sm, an tilinin uzunluğu 0sm - dir. Diaqonal kəsiinin sahəsini tapın. Həlli: T Verilir: ABCD - kvadrat. AB = BC = CD = AD = sm. TA = TB = TC = TD = 0 sm. B SBTD =? o Diaqonal kəsii bərabəranlı üçbucaqdır. A D SBTD = BD TO TO - piramidanın hündürlüüdür. Oturacağın BD diaqonalını tapaq. BD = AB + AD = + = sm onda BO = OD = 7 sm TOD-dən TO = TD OD = 0 (7 ) = = sm olduğundan SBTD = = sm 5 C

154 D.8. c) Düzgün dördbucaqlı kəsik piramidanın oturacaqlarının sahələri 6sm və 6 sm - dir. Piramidanın an tili alt oturacaq müstəvisi ilə 5 - li B C bucaq əmələ gətirir. Diaqonal kəsiinin sahəsini tapın. A Həlli: D Şərtə görə B C AD = 6(sm ) A AD = 6 (sm ) olduğundan alırıq ki, AD = 8 sm, D AD = 6 sm, əni kəsik piramidanın oturacaqları tərəfləri uğun olaraq 8sm və 6sm olan kvadratlardır. AACC A 6 C diaqonal kəsiinin sahəsini tapaq. Alt və üst otracaqdakı kvadratların diaqonalları olduqları üçün tapırıq ki, 5 5 A M 8 N C AC = 8 sm AC = 6 sm Diaqonal kəsikdə AM və CN hündürlüklərini çəkək. AM =, AAM-dən isə AM = tapılır. Diaqonal kəsii trapesiadır. SAA C C = AC + AC AM = = sm A D.. Düzgün dördbucaqlı kəsik piramidanın hündürlüü 8sm, apofemi 5sm-dir. B C Oturacaqlarının tərəfləri nisbəti 5 : kimidir. N O A K Piramidanın tam səthinin sahəsini tapın. Həlli: C M O L A 5 D Oturacaqların iki qarşı tərəflərinin orta nöqtələrindən oturacaq müstəvisinə perpendikular müstəvi ilə kəsiində alınan MNKL trapesiasına baaq. Verilənlərə görə KL = 5, N K KF = NE = 8, NK =, ML = 5 olduğundan FL =,5. 8 FKL-dən alırıq: 8 + (,5) = 5 M,5,5 L (,5) = 5 8 =(5 8)(5 + 8) = 7 6 = 7 E F,5 = 7,5 = = 5 Alt oturacağı tərəfi 5 = 5 = 70 sm olan kvadratdır: SO = 70 = 900sm. Üst oturacaq tərəfi = = 8 sm olan kvadratdır: SO = 8 = 78sm. Yan səthdəki trapesialardan birini sahəsini tapaq SDD C = 5 = 75sm Onda San = 75 = 6860sm olur Stam = = 5sm 5

155 İşçi vərəq 0 Adı Soadı Tari ) Dördbucaqlı piramidanın müstəvi kəsii üçbucaq və piramidadan arılan hissə üçbucaqlı piramidadır. Kəsən müstəvi haqqında deilmiş hansı fikir doğru deil? a) müstəvi oturacağa paraleldir b) müstəvi oturacağa perpendikulardır c) müstəvi piramidanın iki an tilindən keçir ) Düzgün düzbucaqlı piramidanın tələb olunan müstəvi kəsiklərini çəkin. a) Oturacağa paralel müstəvi kəsiini. b) Oturacağa perpendikular və təpədən keçən müstəvi kəsiini. c) Oturacağa perpendikular və təpədən keçməən müstəvi kəsiini. ) Kubdan və düzgün dördbucaqlı piramidadan quraşdırılmış fiqurun tam səthinin sahəsini tapın sm sm

156 Çoüzlülər. Summativ qimətləndirmə mearları cədvəli. N Mearlar Qed 5 Çoüzlüləri tanıdığını açılış şəkillərini çəkməklə, üz, til və təpələrinin saını müəən etməklə nümaiş etdirir. Prizmaların an səthinin və tam səthinin sahəsini hesablaır Prizmaların mütəlif müstəvi kəsiklərini çəkir və məsələlər həll edir Piramidaların an səthinin və tam səthinin sahəsini hesablaır Piramidaların mütəlif müstəvi kəsiklərini çəkir və məsələlər həll edir Dərs 97. Çoüzlülər. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları ) Hansı iki fiqurun üzlərinin saı enidir? a) Üçbucaqlı prizma və paralelepipedin b) Üçbucaqlı piramida və dördbucaqlı prizma c) Üçbucaqlı prizma və dördbucaqlı piramida d) Üçbucaqlı piramida və dördbucaqlı piramida ) Verilən prizmalar üzərində tələb olunan müstəvi kəsiini çəkin. a) an üzünə paralel kəsii b) oturacağa perpendikular kəsii ) Ölçüləri sm sm 6 sm olan düzbucaqlı paralelepiped sm şəkildə göstərildii kimi konqruent prizmalara arılmışdır. Hər bir hissənin tam səthinin sahəsini tapın. 56 sm 6 sm

157 ) Düzgün piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsini tapın. sm 0 sm 5) Düzgün piramidanın oturacağı tərəfinin uzunluğu sm olan altıbucaqlıdır. Piramidanın apofemi 7 sm-dir. Piramidanın an səthinin və tam səthinin sahəsini tapın. 6) Prizmanın ən azı neçə üzü ola bilər? 7) Prizmanın an səthi üçbucaqlardan ibarət ola bilərmi? 8) Düz üçbucaqlı prizmanın an səthinin sahəsi 0 sm -dir. Oturacağın tərəfləri sm, 5 sm, 6 sm olarsa, hündürlüünü tapın. sm 9) Şəkildəki düz prizmanın tam səthinin sahəsini tapın. 0 sm 5 sm 8sm 0) Oturacağının tərəfi vahid, apofemi 6 vahid olan düzgün üçbucaqlı piramidanı çəkin və tam səthinin sahəsini hesablaın. ) Düzgün dördbucaqlı piramidanın oturacağının tərəfi 0 sm-dir. Piramidanın hündürlüü 0 sm-dir. Təpədən 5 sm məsafədə oturacağa paralel müstəvi ilə kəsiin sahəsini tapın. ) Şəkildə göstərilən düzbucaqlı paralelepipedin müstəvi ilə kəsii onun iki təpəsindən keçir və düzbucaqlı formasındadır. Müstəvi kəsii ilə arılan düz prizmanın oturacağı bərabəranlı üçbucaqdır. Bu prizmanın tam səthinin sahəsini tapın. ) Şəkildəki düz prizmanın oturacağı kvadratdır. AO = OC, AB = sm, AA` = 8 sm olarsa, OD -i tapın. 57 A' A D' D 6 sm 0 B' B C' C sm sm

158 7. Triqonometrik tənliklər və bərabərsizliklər Planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh.... Triqonometrik tənlik və bərabərsizlikləri həll edir Sadə triqonometrik tənliklərin həlli. Triqonometrik tənliklərin həll üsulları. Triqonmetrik tənlik - lərin tətbiqi ilə məsələ həlli. Triqonometrik bərabərsizliklər. Ümumiləşdirici tapşırıqlar Triqonometrik tənliklər və bərabərsizliklər. Summativ qi mətləndirmə tapşırıqları Cəmi

159 Dərs Dərslik səh Sadə triqonometrik tənliklər. saat Məzmun standartı... Triqonometrik tənlik və bərabərsizlikləri həll edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər sin = a, cos = a, tg = a şəklindəki tənliklərin həllini funksianın qrafiki üzərində, vahid çevrə üzərində və analitik şəkildə təqdim edir; sadə triqonometrik tənliklərin həllərini verilən intervalda müəən edir; sadə triqonometrik tənliklərin həllərini ümumi şəkildə ifadə edir. Dərsin gedişinə aid bəzi tövsiələr -ci saat. Şagirdin triqonometrik tənliklərin həllini daha adın başa düşməsi üçün sadə triqonometrik tənliklərin həllinin alnız verilmiş intervalda atarılması məqsədəuğundur. Məsələn, cosθ = tənliini < θ < intervalında araşdırır. Həlli vahid çevrə üzərində və funksianın qrafiki üzərində araşdırmaq olar. Qrafik üzərində araşdırma dərslikdə verilmiş nümunədə geniş izah edilmişdir. Həllin çevrə üzərində təqdimini araşdıraq. Vahid çevrə üzərində kosinus koordinatıdır. ou üzərində nöq təsi qed edilir və şaquli düz ətt çəkilir. θ =? = düz ətti çevrəni nöqtədə kəsir. Bu nöqtələrə uğun dönmə bucaqlarından birinin son tərəfini bütöv, digərininkini qırıq ətlə çə - kək. Bütöv ətlə çəkilən bu - caq və arasında erləşir. θ 0 cos θ = Son tərəfi bötöv ətlə çəkilən bucaq verilən şərti ödəir. Bu şüanın baş lan - ğıc tərəfindən -dən sonra daha 6 qədər dönməə uğundur. θ = + = 6 Cavab: θ = şagirdlərə sual verilir: əgər arqument < θ < intervalında deil < θ < intervalında dəişsədi, tənliin kökü necə dəişəcəkdi? Bu halda qırıq ətlə göstərilmiş bucaq cavaba uğun olardı, əni θ = olardı. Triqonometrik tənliklərin həlli məşğələlərini verilmiş intervalda tənliin kökünü müəənetmə bacarıqlarına önəldilməsi məqsədəuğundur. Bu cür anaşma şagirdin əlaqələndirmə, araşdırma, mühakiməürütmə bacarıqlarının formalaşdırılmasına müsbət təsir göstərir. Tənliklərin həllinin dərəcə ilə, radianla həqiqi ədəd şəklində göstərilməsinə diqqət edilir. 59 θ 6

160 Nümunə. tg( 0 ) + = tənliinin 0 80 intervalındakı köklərini tapın. Həlli: 0 80 şərtinə görə 0º 50º olduğu qed edilir. tg( 0 ) + = tg( 0 ) = tg ( 0 ) = 0 = 50, 0, , = 50, 0, 50, 690 (bu qimət intervala dail deil) = 80 0, 60 0, 50 0 = 60 0, 0 0, 80 0 Nümunə. cos = 0 tənliinin 0 <<60 intervalında həllini tapın. cos = cos = ± = ± 5º Kosinus -ci, -cü rüblərdə müsbətdir, cos = tənliini 0 < < 60 intervalında 5 və 5 0 qimətləri ödəir. 5º Kosinus -ci, -cü rübdə mənfidir, cos = tənliini 0 < < 60 intervalında 5 və 5 qimətləri ödəir. cos = 0 tənliinin 0 <<60 intervalında həlləri 5, 5, 5 və 5 kimidir. Qed edilir ki, bu tip tənliklərin ümumi həllində dərəcəni azaltma düsturlarının tətbiqi səmərəli olur. Çünki, bu halda iki triqonometrik tənlii deil, bir triqonometrik tənlii həll etmək lazım gəlir. Sadə triqonometrik tənliklərin [0º; 60º) aralığında köklərinin üzərində dönmə bucaqlarının və uğun nöqtələrin koordinatlarının qed edildii vahid çevrəə görə tapılması əlverişli olur. Bu diaqramın sinifdə lövhədən asılması, həmçinin şagirdlərin dəftərlərində çəkmələri tövsiə edilir. ( ; ) ( ; 0) 60 ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) (0; ) º 5º (0; ) ( ; ) 7 ( ; ) ( ; ) 0, (; 0) ( ; ) ( ; ) ( ; )

161 İşçi vərəq Adı Soadı Tari ) 5 sinθ + = tənliinin həlli aşağıdakı bucaqlardan hansının misilləri ilə ifadə edilə bilər? a) 5 b) 90 c) 5 d) 80 ) cos = 0 tənliinin ümumi həllini azın. ) 0 60 intervalında sinθ + = 0 tənliinin həllər çoluğunu azın ) cosθ = 0 tənliini ödəən ən kiçik müsbət bucağı müəən edin. 5) 90º < θ < 70º və sinθ+ = 0 olduğuna görə θ bucağının dərəcə ölçüsünü müəən edin. 6) tg + = tg + tənliini 0 60 intervalında həll edin. 7) = cos ( + ) tənliini 0 70 intervalında həll edin. 6

162 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Tənlikləri 0 θ intervalında həll edin.. cos θ + = 0. sin θ = 0. cosθ = 0. sin θ + = sec θ = 0 6. tg θ(cosθ + ) = 0 7. cosθ (tgθ ) = 0 8. ctg θ + ctg θ = 0 9. tg θ = 0 0. sin θ =. sin θ secθ = sec θ. cosθ = 6

163 Dərs Dərslik səh Triqonometrik tənliklərin həll üsulları. Triqonmetrik tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli. 5 saat Məzmun standartı... Triqonometrik tənlik və bərabərsizlikləri həll edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər mütəlif cəbri üsullardan istifadə etməklə triqonometrik tənlikləri həll edir; triqonometrik tənliklərin köklərini verilmiş intervalda müəən edir. Verilmiş triqonometrik tənliin həlli müəən üsullarla sadə triqonometrik tənliklərin həllinə gətirilir. Əsas həll üsulları dərslikdə nümunələr üzərində göstərilmişdir. Tənliklərin tipinə görə qruplaşdırması şagirdə özünü qimətləndirmə vasitəsi olaraq istifadədə, müəllimə isə asan formativ qimətləndirmə üçün əlverişlidir. Arqumentin özünün və ikiqatının (və a üçqatının və s.) dail olduğu tənlikləri həll etdikdə tənliə dail olan funksiaların eni arqumentə gətirilməsi məqsədəuğundur. Nümunə. sin cos = 0 tənliinin 0º 60º intervalındakı köklərini tapın sin = sin cos eniliindən istifadə etməklə tənliə dail olan funksiaları eni arqumentə gətirə bilərik. sin cos = 0 (sin cos ) cos = 0 8sin cos cos = 0 ortaq vuruğu mötərizə aricinə çıaraq cos (sin ) = 0 hasilin sıfra bərabərlii şərtinə görə cos = 0 və a sin = 0 cos = 0 sin = sin = = 90, 70,5 ; 65,5 Tənliə mütəlif triqonometrik funksialar daildirsə, triqonometrik eniliklərin tətbiqi ilə eni funksiaa gətirilməsi əlverişli olur. Nümunə. sin cos = 0 verilən tənlik ( cos ) cos = 0 sin = cos eniliinə görə cos + cos = 0 sadələşdirmə a + a = 0 cos = a əvəzləməsi a = a = cos = cos = əvəzləmə nəzərə alınır = ± + k, k Z 6

164 D6. b) 6 sin + 5 = 8 tənliinin 0 aralığında erləşən köklərini tapaq. 6 sin = sin = Dərəcəni azaltma düsturuna görə cos = Buradan cos = 0 = + k k = +, k Z Şərtə görə 0 k + bu bərabərsizlii hədbəhəd -ə vuraq 0 + k 8 k 7 0,5 k,5, k Z Deməli, k = 0,,, ola bilər. k-nın bu qimətlərinə uğun -lər tapılır. = 5 7 ; ; ; Şagirdlərin nəzərinə çatdırılır ki, tənliin sağ və sol tərəflərində ortaq vuruq varsa, hər iki tərəfi bu vuruğa bölməklə tənliin kökü itirilə bilər. Ona görə də bu tip tənlikləri vuruqlara aırma üsulu ilə həll etmək lazımdır. D7. (səh. 96) i) sin +,5 sin = sin sin + sin cos = sin sin + sin cos sin = 0 sin ( + cos sin ) = 0 sin (cos + cos ) = 0 sin cos (cos + ) = 0 sin (cos + ) = 0 cos + = 0 kökü odur sin = 0 = k k =, k Z hədləri sol tərəfə keçirək ortaq vuruq mötərizə aricinə çıarılır sadələşdirmə sin cos = eniliinə görə sin hasilin 0 -a bərabərlii şərti D7. l) sin = sin tənliini həll edək. sin sin = sin sin hər iki tərəfdən sin çıılır sin cos = sin fərqin hasilə gətirilməsi düsturu sin cos sin = 0 hədlər sol tərəfə keçirilir sin (cos ) = 0 ortaq vuruq mötərizə aricinə çıarılır sin (cos sin ) = 0 ikiqat bucaq düsturuna görə sin ( sin ) = 0 əsas eniliə görə sin = 0 sadələşdirmə sin = 0 = k, k Z 6

165 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Tənlikləri vuruqlara aırma üsulu ilə nümunəə uğun həll edin. ) sin = sin Həlli: sin + sin = 0 sin (sin + ) = 0 sin = 0 və a sin + = 0 sin = 0; = n, n Z sin + = 0; sin =, = + k, k Z ) sin = sin ) cos 5 cos = 0 ) ( sin ) = + cos ) sin = sin 5) tg = tg 6) cos sin = cos 7) tg ( sin ) = 0 8) cos sin + cos sin = 9) sin = cos 0) sin = cos 65

166 İşçi vərəq Adı Soadı Tari ) Tənliklərin [0; π] aralığındakı köklərini tapın. a) sin = b) sin = c) cos = d) cos = ) Tənliklərin ümumi həllərini azın a) b) c) d) e) f) g) h) ) Tənliklərin [0; π) aralığındakı köklərini tapın. ) sin + sin + = 0 ) sec = ) tg sin sin = 0 ) cos = 5) cosec = 6) 8 sin + 6 sin + = 0 7) 8 cos = cos 8) 9 sin = sin 9) 6 cos + 7 sin 8 = 0 0) sin = cos ) cos = cos ) sec sin sin = 0 ) sin = ) sin + sin + = 0 5) cos + cos = 6) tg = tg 7) tg 5 = tg ) sin sin5 = tənliinin həlli varmı? Varsa, həll edib göstərin. 66

167 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari Şəkildə = asinb funksi a nın qrafiki verilmişdi. a) Qarfikdən a və b-nin qimətlərini tapın. b) = düz ətti ilə kəsişdii P və Q nöqtələrinin koordinatlarını tapın. P Q = 90º 80º 70º Şəkildə = acosb + d funksi a nın qrafiki verilmişdir. a) a,b və d-nin qimətlərini tapın. b) 0 60 intervalında = düz ətti ilə bu qrafikin kəsişdii nöqtələrin koordinatlarını tapın. Şəkildə = acosb + d fun k si anın qrafiki verilmişdir a,b və d-nin qimətlərini tapın. (b) 0 60, intervalında bu qrafiklə =,5 düz əttinin kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapın º 90º 80º = 80º 70º =,5 70º 60º 60º

168 İşçi vərəq 6 Adı Soadı Tari ) Nailə hovuzda A nöqtəsindən qarşıdakı B nöqtəsinə 90 m məsafəni üzərək gəldi. Bu nöqtədən düz bucaq altında dönərək 60 m üzməklə C nöqtəsinə çatdı. CAB = θ olduğunu nəzərə alsaq, ACB = 90 θ olar. a) d məsafəsi B nöqtəsindən AC tərəfinə çəkilmiş perpendikulardır və hovuzun enini göstərir. d məsafəsini sinθ ilə ifadə edin. b) d məsafəsini sin (90 θ ) ilə ifadə edin. c) a və b bəndlərində azdığınız ifadələrlə tənlik qurun. d) θ bucağını tapın. C 90 θ θ B d A ) Dirək eni uzunluqlu iki məftilin köməilə erə bərkidilmişdir. AB məftili erlə θ bucağını, CD məftili isə θ bucağı aradır. FD =,5 FB olduğunu nəzərə alaraq θ bucağını tapın. a) AB = CD =, FB =, FD =,5 işarələmələrini nəzərə alaraq sinθ və sinθ hədlərini və dəişənləri ilə ifadə edin. b) sinθ və sinθ arasındakı əlaqəni tənliklə ifadə edin və θ-a görə həll edin. 68 C θ D F B θ A

169 Dərs Dərslik səh Triqonometrik bərabərsizliklər. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Məzmun standartı... Triqonometrik tənlik və bərabərsizlikləri həll edir. Əlavə resurslar Formalaşdırılan şagird bacarıqları İşçi vərəqlər triqonometrik bərabərsizliklərin həllini funksianın qrafiki üzərində təsvir edir; triqonometrik bərabərsizliklərin həllini vahid çevrə üzərində təsvir edir; triqonometrik bərabərsizliklərin həllini analitik formada azır. Sadə triqonometrik bərabərsizliklərin həllini triqonometrik funksianın qrafikinin və düz əttin kəsişməsi kimi təsviri bacarıqlarına diqqət edilir. Şagird funksianın qrafikini sematik olaraq qurmağı bacarmalıdır. Qrafkalkulatordan istifadə bacarıqlarının formalaşdırılması üçün bu tapşırıqlar ço əlverişlidir. Sinifdə internet bağlantısı mümkün olmadıqda şagirdlərə ev tapşırığı olaraq tənlik və bərabərsizliklərin qrafkalkulatorla həllinin tapşırılması məqsədə uğundur. sin > a, sin a, sin < a, sin a cos > a, cos a, cos < a, cos a, tg > a, tg a, tg < a, tg a, ctg > a, ctg a, ctg < a, ctg a, (burada dəişən, a istənilən həqiqi ədəddir) şəklindəki sadə triqonometrik tənliklərin həlli nümunələrlə dərslikdə araşdırılmışdır. sint > a, sint < a bərabərsizliklərinin vahid çevrə üzərində təsviri. sint > a sint < a a 0 0 sint > a bərabərsizliinin həllini aşağıdakı kimi təqdim etmək olar. a > olduqda sin t > a bərabərsizliin həlli odur: t a < olduqda sint > a bərabərsizliinin həlli istənilən həqiqi ədəd ola bilər: t R a < olduqda sint > a bərabərsizliinin həlli arcsina + πn<t<π arcsina + πn, n Z kimi olacaq. Analoji qada ilə sint < a bərabərsizliinin də həllini ümumi qadada araşdırmaq olar. cost > a, cost < a bərabərsizliklərinin vahid çevrə üzərində təsviri. cos t > a cos t < a 0 a 0 a 69

170 tgt > a, tgt < a bərabərsizliklərinin vahid çevrə üzərində təsviri. tg t < a tg t > a a a arctga arctga 0 0 sint > a, sint a, sint < a, sint a bərabərsizliklərinin vahid çevrə üzərində təsvirinə nümunə olaraq a = 0,5 halını göstərmək olar. sin t < 0,5 7 sin t 0,5 0,5 5 0, n 7 < t < n; n Z n + t 5 + n; n Z 6 6 sin t > 0,5 sin t 0, , n < t < 7 + n; n Z n 5 t + n; n Z sin, cos və s. kimi çoqat arqumentin dail olduğu triqonometrik bərabər siz - liklərin həlli şagirdlərlə birlikdə araşdırılır. Məsələn, cos > bərabərsizliinin qrafik və cəbri həlli aşağıdakı kimi nəzər - dən keçirilir. Əvvəlcə = t qəbul etməklə cos t > bərabərsizliinin həlli n < t < 6 + n kimi azılır, t = nəzərə alaraq 5 + n < < 5 + n bərabərsizlii həll edilir n < < 5 n + (n Z) bərabərsizliin ümumi həllini göstərir

171 Adı İşçi vərəq 7 Soadı Tari ) Bərabərsizliklərin həllini vahid çevrə üzərində təsvir edin. a) sin t b) sin t c) cos t d) cos t ) Bərabərsizlikləri (0; ) intervalında həll edin. a) cos > b) sin + c) cos < d) tg e) tg > f) ctg > g) sin 5 0 h) sin < 7

172 Triqonometrik tənliklər Summativ qimətləndirmə mearları cədvəli N Mearlar Qed Sadə triqonometrik tənliklərin həllini funksianın qrafikindən istifadə etməklə təqdim edir. Sadə triqonometrik tənliklərin həllini vahid çevrə üzərində təqdim edir Sadə triqonometrik tənliklərin həllini cəbri qada ilə ümumi şəkildə təqdim edir Sadə triqonometrik tənliklərin verilən intervalda həllini qrafik ilə, vahid çevrə ilə, cəbri azılışla təqdim edir 5 Triqonometrik tənlikləri mütəlif üsullarla həll edir 6 Triqonometrik tənliklərin tətbiqi ilə məsələləri həll edir 7 Sadə triqonometrik bərabərsizlikləri həll edir 7

173 Dərs 0. Triqonometrik tənliklər və bərabərsizliklər. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları ) cos + cos = tənliinin [0; ) aralığında neçə kökü var? a) dörd b) odur c) üç d) iki ) Tənlikləri verilən intervallarda həll edin. a) + tg = 0; [0; ) b) cos = 0,5; [0; ) c) sin = ; [0; 8) ) -in hansı qiməti sin + sin = 0 tənliini ödəmir? a) b) c) d) )0 intervalında sin = sin tənliinin kökləri aşağıdakılardan hansıdır? a) 0; ;; b) ; d) ; ; c) 0; ; 5)sin θ + sinθ = 0 tənliinin kökü hansıdır? a) b) c) 6 d) 6) 0 θ 60 intervalında -nin neçə qiməti sin θ + sinθ = 0 tənliini ödəir? a) b) c) d) 7) cos t > bərabərsizliinin [0; ] parçasında erləşən həllərini tapın. 8) 0 60 intervalında sin + sin = 0 tənliinin həllini -nin hansı qimətləri ödəir? a){0; 70} b){0;50; 70} c){90;0; 0} d){90;0;70; 0} 7

174 9) = cos funksiasının qrafiki ilə = düz əttinin kəsişmə nöqtələrinin absislərini tapın. 0) + cos = 0 tənliinin [0; ] aralığında erləşən kökünü tapın. ) 0 θ 60 intervalında -nin neçə qiməti tg θ tg θ + = 0 tənliini ödəir? a) b) c) d) ) 0 θ 60 intervalında -nin neçə qiməti sin = tənliini ödəir? a) b) c) d) ) cos sin = tənliinin ( ; ] aralığında erləşən köklərini tapın. ) bucağı birinci rübdə erləşir. tg = 0 olarsa, -nin qiməti təminən neçə dərəcədir? a) 0 b) 0 c) 6 d) 75 5) Dəmirol tunelinin girişinin tağvari hissəsini şəkildəki kimi verilmiş koordinat müstəvisində = sin + fun k si - 6 ası ilə modelləşdirmək olar, burada radianla göstəril miş dir. Girişin hündürlüünün ən böük qi mə tini və eninin mümkün qimətini tapın. 7

175 8.Fəza fiqurlarının həcmi Planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh.... Simmetrianın növlərini tanıır.... Çoüzlülərin simmetria mərkəzini, simmetria ounu və simmetria müstəvisini tanıır, verilmiş fiqurla simmetrik olan fiquru qurur.... Prizmanın an səthinin, tam səthinin və həcminin tapılmasına aid məsələləri həll edir.... Piramidanın, kəsik piramidanin an səthlərinin, tam səthlərinin və həcmlərinin tapılmasına aid məsələləri həll edir...6. Oşar çoüzlülərin səthlərinin sahələrinin və həcmlərinin hesablanmasına aid məsələləri həll edir.... Fəza fiqurlarının assələrini ölçməə tətbiq edir.... Ölçmə və hesablama vasitələri ilə sahələri hesablaır və alınmış nəticələri müqaisə edərək ətanı müəən edir - Prizmanın həcmi Piramidanın həcmi Fəza fiqurlarının oşarlığı. O - şar fəza fiqurlarının səthləri və həcmləri. Kəsik pira mi danın həcmi. Müstəvi kəsiklərinə aid məsələlər. Fəzada simmetria. Ümumiləşdirici tap şı rıqlar. Summativ tapşırıqları 75 qimətləndirmə Cəmi

176 Dərs -. Dərslik səh. -7 Prizmanın həcmi. saat. Məzmun standartı.... Prizmanın an səthinin, tam səthinin və həcminin tapılmasına aid məsələləri həll edir.... Fəza fiqurlarının assələrini ölçməə tətbiq edir.... Ölçmə və hesablama vasitələri ilə sahələri hesablaır və alınmış nəticələri müqaisə edərək ətanı müəən edir. Riazi lüğət prizmanın həcmi Formalaşdırılan şagird bacarıqları prizmanın həcmini vahid kubların saı ilə izah edir; prizmanın həcmi düsturunu məsələ həllinə tətbiq edir; enihəcmli fiqurlar üçün Kavaleri prinsipini tətbiq edir. Həcm dedikdə biz nəi başa düşürük? Ətrafımızda gördüümüz hər bir əşa, obekt fəzanın müəən hissəsini tutur və onlar müəən həcmə malikdirlər. Bu həcmi qimətləndirmək üçün kub vahidlərdən istifadə edilir. Tili sm, mm, m və s. olan kubun həcmi vahid kimi qəbul edilir. Prizmanın həcmini müəən etmək üçün onun vahid ölçülü neçə kub tutduğunu müəən etməliik. Bunun üçün kublar cərgə-cərgə (qat-qat) ığılır. Kubların ümumi saı cismin həcmi olacaq. vahid vahid vahid a a a Tərəfi a olan kubun həcmi V = a Əşaların, obektlərin formasından asılı olaraq onların həcmlərini hesablamaq üçün düsturlar müəən edilmişdir. Prizmaların həcmi aşağıdakı ardıcıllıqla araşdırılır. Düzbucaqlı paralelepipedin həcmi. Oturacağı düzbucaqlı üçbucaq olan düz prizmanın həcmi. Oturacağı istənilən üçbucaq olan düz prizmanın həcmi. Oturacağı istənilən çobucaqlı olan düz prizmanın həcmi 5. Mail prizmanın həcmi. 76 Əlavə resurslar İşçi vərəqlər Ölçüləri a,b,c olan düzbucaqlı paralelepipedin həcmi V = abc və a V = (ab)c kimidir Digər prizmaların da həcmini bu qada ilə kub qatlarının saını tapmaqla hesablamaq olar. Kubların saını oturacağın sahəsini hündürlüünə vurmaqla tapa bilərik. Bu istənilən prizma üçün doğrudur. V = Soth a b c

177 İzahlar şagirdlərlə sual-cavab əsasında aparılır. Prizmanın həcminin hesablanmasının geniş izahlarla ev tapşırığı olaraq erinə etirilməsi tövsiə edilir. Eni həcmli fiqurlara aid Kavaleri prinsipi izah edilir. Kavaleri prinsipi həm müstəvi fiqurları üçün (sahə üçün), həm də fəza fiqurları üçün - həcm üçün istifadə edilir. Müstəvidə Kavaleri prinsipi: Əgər iki müstəvi fiqur iki paralel düz ətt arasında erləşirsə və bu ətlərə paralel olan digər ətlərin fiqura aid parçaları bərabər uzunluqdadırsa, bu fiqurların sahələri bərabərdir. Məsələn, şəkildəki arpaqların sahələri bərabərdir, çünki iki paralel ətt arasındakı məsafə bütün fiqurlar üçün bərabərdir və paralel ətlərin fiqura aid olan parçaları bir-birinə bərabərdir. Kavaleri prinsipini müstəvi fiqurların sahələri üzərində izah edək. Üçbucaqların sahələri üçün Kavaleri prinsipi: Üçbucaq lar iki paralel ətt arasında erləşirsə və oturacaqları bəra bər dir sə, bu üçbucaqların sahələri bərabərdir. Paraleleoqramlar üçün Kavaleri prinsipi. Paraleloqramlar iki paralel düz ətt arasında erləşirsə və oturacaqları bərabərdirsə, bu paraleloqramların sahələri bərabərdir. Şəkildəki düzbucaqlı və paraleloqramın sahələri bərabərdir. Fiqurların oturacaqları şəkildə göstərildii kimi bərabər olmaa bilər. Lakin iki paralel əttə paralel olan hər bir əttin fiqurlara aid uğun parçaları bərabər olmalıdır. Bu halda Kavaleri prinsipi doğrudur. Kavaleri prinsipinə görə bu fiqurların sahələri paralel ətlərin bərabər parçalarından ibarətdir. Başqa müstəvi fiqurlara baaq. Şəkildəki iki fiqurun da sahələri bərabərdir. Kavaleri prinsipi müəən həndəsi formaa malik olmaan fiqurların sahəsini, həcmini dəqiq hesablamağa imkan verdiindən geniş tətbiq edilir. Kavaleri prinsipi digər elm sahələrində də tətbiq edilir. Tibbdə bu prinsipdən insan bədəninin stereoloqikal analizini aparmaq üçün istifadə edilir. Məsələn, ağ ciərin ölçülərini müəən etmək üçün Kavaleri prinsipindən istifadə edilir. Fəza fiqurları üçün Kavaleri prinsipi: Fəza fiqurları iki paralel müstəvi arasında erləşirsə (hün dür - lük ləri bərabərdirsə) və bu fiqurların hər bir paralel kə - si inin (istənilən səviədəki) sahəsi bəra bər dirsə, bu fiqurların həcmləri bərabərdir. 77

178 Kavaleri prinsipi mütəlif fəza fiqurlarının həcmini hesablamaq üçün istifadə edilir. Təsəvvür edin ki, eni sada eni kitablar üst-üstə müəən qada ilə və a bir qədər səliqəsiz ığılmışdır. Hər iki halda kitabların fəzada tutduğu həcm enidir. S S S h h b a a b b a Aşağıdakı kimi araşdırma aparmaq olar. Şirkətlər ərzaq qutularını dizan edərkən çalışırlar ki, qutua daha az material işlənmiş olsun. Məsələn, şirkət uşaq eməkləri üçün tutumu 8 sm olan qutulardan istifadə etməi planlaşdırır. Hansı ölçülərdə qutunu seçmək əlverişlidir? 8 sm üçün ölçülər: 8 = 8, 9 = 8, 6 = 8, = 8 və s. kimi ola bilər. İndi isə lazım olan materialı tam səthin sahəsini hesablamaqla tapaq. -ci seçim: S = = 7 sm -ci seçim: S = = 58 sm -cü seçim: S = = 5 sm -cü seçim: S = + + = sm Göründüü kimi, ən optimal ölçü ölçüləridir. Şagirdlər bu araşdırmadan nəticə olaraq çıarırlar ki, sərhlərinin sahələri mütəlif olan fiqurların həcmləri eni ola bilər. C A D.7. Mail prizmanın an tili oturacaq müstəvisi ilə 60º bucaq əmələ B gətirir. Prizmanın oturacağı tərəfi sm olan bərabərtərəfli üçbucaq, 0sm h an tili isə 0 sm olarsa, onun həcmini tapın. Həlli: Prizmanın həcm düsturu V= S0h. Prizmanın oturacağı A sm B H a bərabərtərəfli üçbucaqdır. S= düsturuna görə oturacağın sahəsi S0= tapılır. h=lsin=0 sin60 =5 Prizmanın həcmi V= 5 = 60 sm. D.9. Şəkildəki ABCD düzbucaqlısı formasında olan melli B sahənin torpağı çıarılaraq CDEF düzbucaqlısı şəklində düz sahəə çevrilmişdir. AB = 0 m, ED = m-dir. Sahə 0m azalmışsa, bu ərazidən neçə kub 0 A F C metr torpaq çıarılmışdır? E D Həlli: AE tilinin uzunluğunu qəbul edək, düz üçbucaqlı prizmanın həcmini azaq: V= 0=0 Məsələnin şərtinə görə,sabcd = SCDEF + 0 ΔAED-dən AD = + SABCD = , SCDEF =0=0 Buradan =50 ; =5 tənliin hər iki tərəfini kvadrata üksəldək: + 576=65; =9; = 7 Ərazidən bu prizmanın həcmi qədər torpaq çıarılmışdır: V= 07= 80 m 78 C 60 0

179 5sm sm İşçi vərəq Adı Soadı Tari ) Düzbucaqlı paralelepipeddən kəsilib çıarılmaqla alınmış fiqurun həcmini tapın. sm 0sm sm ) Düzgün dördbucaqlı prizmanın otucağının tərəfi 8 sm-dir. Bu prizmadan şəkildə göstərildii kimi oturacağı kvadrat olan paralelepiped kəsilib çıarıldıqdan sonra qalan hissənin tam səthinin sahəsi 8 sm olarsa, həcmini tapın. 8 sm ) Ölçüləri 8smsm0sm olan kərpiclərlə ölçüləri m0,6m,5m olan divarın hissəsini tikmək üçün neçə belə kərpic lazımdır? 0 ) Dərinlii m, eni 0 m olan çada su saatda km sürətlə aır. Bu çadan dənizə dəqiqədə nə qədər su tökülür? 79 sm sm

180 İşçi vərəq Adı Soadı Tari ) Düzbucaqlı paralelepipeddən kəsilib çıarılmaqla alınmış fiqurun tam səthini və həcmini hesablaın. sm sm 5sm 9sm 0sm ) Fiqurun tam səthini və həcmini hesablaın. sm sm sm sm 7sm ) Tərəfi sm olan kub həcmi eni olan 8 kuba bölünmüşdür. Yeni kubların tilini tapın. ) Şirkət ölçüləri 5 sm 6 sm sm olan arma qutularının ölçüsünü 0 sm 0 sm 5 sm kimi dəişdiini planlaşdırır. Hansı qutu daha ço arma tutur? Hansı qutua daha ço karton işlədilər? 80

181 Dərs 5-8. Dərslik səh. 8- Piramidanın həcmi. saat. Məzmun standartı.... Piramidanın, kəsik piramidanin an səthlərinin, tam səthlərinin və həcmlərinin tapılmasına aid məsələləri həll edir.... Fəza fiqurlarının assələrini ölçməə tətbiq edir.... Ölçmə və hesablama vasitələri ilə sahələri hesablaır və alınmış nəticələri müqaisə edərək ətanı müəən edir Riazi lüğət piramidanın həcmi Formalaşdırılan şagird bacarıqları piramidanın həcmi düsturunu məsələ həllinə tətbiq edir. Əlavə resurslar İşçi vərəqlər piramidanın həcmini hesablaarkən onun assələrini tətbiq edir Kubun həcmini konqruent piramidanın həcminə bərabər olduğunu göstərən aşağıdakı məzmunda slad və a plakatın hazırlanması tövsiə edilir. Plakatlar, sladlar şagirdlər tərəfindən informatika dərslərində də hazırlana bilər. Bu dərslərarası inteqrasianı artırmağa, kollektiv iş bacarıqlarının formalaşdırılmasına müsbət təsir göstərərdi. Məşğələ. Piramidanın həcmini müəən etmək üçün qədim çin məsələsi mövcuddur. Yanqma qədim çin dilində oturacağı kvadrat olan piramidadır. Bu piramidaların bir an tili oturacaq müstəvisinə perpendikular olur. Oturacağının tərəfi a, hündürlüü də a olan Yanqmanın birləşməsi ilə kub aratmaq olur. Kubun həcmi a a a = a olduğundan piramidanın həcmi a olacaq. Daha sonra isə düzbucaqlı prizmadan istifadə etməklə piramida üçün ümumiləşmiş düstur alınır. Təsəvvür edin ki, ölçüləri olan kub üfüqi ölçüsü bou genişləndirilir. Bu halda onun qatlarının saı dəişməz, hər qatın uzunluğu a dəfə artar həcmi isə a kimi olar. Əgər kubu perpendikular istiqamətdə böütsək, həcmi a b kimi, əni kubun əvvəlki həcmindən b dəfə ço, -cü ölçüsünü perpendikular istiqamətində genişləndirsək, onun həcmi c əmsalına görə artacaq və a b c olacaq ki, bu da paralelepipedin həcmini ifadə edir. Deməli, ölçülü fiqurun həcmini üç mütəlif istiqamətdə olmaqla genişləndirmək olar. Bu zaman genişləndirmə əmsalını 8 = h a a

182 istənilən bir istiqamət üzrə k qəbul etsək, hər genişlənmədə həcm əvvəlkindən k dəfə böük olacaq. Bu prinsipi nəzərə alaraq enidən Yanqmaa qaıdaq. İndi təsəvvür edin ki, piramidanın hündürlüü a-a bərabər deil, h-a bərabərdir. Bu o deməkdir ki, şaquli istiqamətdə genişlənmə əmsalı h kimidir. Yəni V = a düsturunu V = a = ha a h kimi azmaq olar. a Yanqmadan oturacağı kvadrat olan istənilən piramidanın həcminə bizim Kavaleri prinsipi adlandırdığımız prinsiplə keçilir. Yanqma piramidasının dilimlərini istədiimiz kimi sürüşdürməklə otu ra cağı kvad rat olan istənilən piramidanın həcminin V = ha düsturu ilə hesablamağın mümkün olduğunu gös tərmək olar. Piramidanın həcminin düsturunun bu cür çıarılışına satında animasia ilə bamaq olar. Piramidanın həcmini hesablamaq üçün başqa bir anaşma isə dərslikdə verilmişdir. Kavaleri prinsipi piramidalar üzərində də izah edilir. Şəkildəki hər iki piramida eni hün - dürlükdədir (paralel müstəvilər arasında er lə - şir lər). D 5. Yan tillərinin hər biri sm olan piramidanın oturacağı, tərəfləri 6 sm, 8 sm və 0 sm olan üçbucaqdır. Piramidanın həcmini tapın. Həlli: Oturacağın tərəflərinin uzunluqları Pifaqor ədədləridir, əni piramidanın oturacağı düzbucaqlı üçbucaqdır. Yan tillər eni uzunluqda olduqlarından piramidanın hündürlüünün oturacağı bu üçbucağın aricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzində erləşməlidir. Düzbucaqlı üçbucağın aricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi hipotenuzun orta nöqtəsi olduğundan AO = OB = 5. AOT-dən TO = AT AO = 5 = V = S h = 6 8 = 96 (sm ) 8 A T O C B

183 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Piramidaların həcmlərini tapın. 5 sm 5 sm sm sm sm 8 0 sm sm sm C A 0 sm 0 sm B sm 60

184 Dərs 9-. Dərslik səh.-8. Fəza fiqurlarının oşarlığı. Oşar fəza fiqurlarının səthləri və həcmləri. Kəsik piramidanın həcmi. Müstəvi kəsiklərinə aid məsələlər. saat Məzmun standartı..6. Oşar çoüzlülərin səthlərinin sahələrinin və həcmlərinin hesablanmasına aid məsələləri həll edir. Riazi lüğət piramidanın həcmi Əlavə resurslar Formalaşdırılan şagird bacarıqları İşçi vərəqlər Oşar fəza fiqurlarının həcmlərinin, səthlərinin sahələrinin, ətti ölçülərininin nisbətləri üzərində qurulmuş məsələləri həll edir. Lövhəə aşağıdakı kimi oşar fəza fiqurları çəkilir və şagirdlərə onların həcmlərini və səthlərinin sahələrini hesablamaq tapşırılır. Daha sonra ətti ölçülərin nisbətləri tapılır. Oşar fiqurlar Tərəflərin nisbəti Səthlərin nisbəti Həcmlərin nisbəti 6,5 6 : 6 : 60 : 5 : 9 : : 8 8 : 7 : : 5 : : : 5 : 5 : 5 5 : 5 : 5 5 Şagird oşar fəza fiqurlarının uğun ətti ölçüləri nisbətlərinin sabit qaldığını başa düşür. Bu nisbət oşarlıq əmsalı və a nisbəti adlandırılır. Oşarlıq əmsalını (nisbətini) böütmə və a kiçiltmə miqası kimi başa düşür. Yəni iki oşar fiqurdan böüünün bütün ölçüləri kiçiə nəzərən verilən oşarlıq əmsalı (nisbəti) dəfə böüdülmüşdür. Şifahi suallar verilir: Oşarlıq nisbəti : olan iki oşar fiqurun sahələrinin nisbəti, həcmlərinin nisbəti necə olacaq? Sahələrinin nisbəti : (kvadratların nisbəti), həcmlərinin nisbəti :8 (kubların nisbəti). Dərslikdə verilən məsələlər həll edilir. Şagirdlərə şifahi olaraq aşağıdakı məzmunda məsələnin həll edilməsi təklif edilir. Ça oşar iki qutuda satılır. Qutulardan birinin hündürlüü 8 sm, digərininki 0 sm-dir. Böük qutuda 500 q ça varsa, kiçik qutuda neçə qram ça olmalıdır? Şagirdlər oşarlıq əmsalının :5 və a 0,8 olduğunu başa düşür. Kiçik qutuda 500 (0,8) = 56 q ça olmalıdır. Buradan belə nəticə çıarmaq olar ki, oşar qablardan (burada həndəsi oşarlıq nəzərdə tutulur) birinin tutumunun digərinə nisbətən təminən iki dəfə fərqlənməsi üçün uğun ölçülərinin nisbəti təminən :5 kimi olmalıdır. Bu praktik məlumat da şagirdlərin diqqətinə çatdırılır. Piramidanın oturacağına paralel müstəvi ilə kəsişməsi ilə oşar piramidanın arıldığı araşdırılır. Kəsik piramidanın həcmi düsturu ümumsinif müzakirəsi ilə çıarılır. 8

185 Növbəti saatda müstəvi kəsiklərinə aid məsələlər həll edilir. D.6 tipli məsələlərin həllində çolu hesablama aparmaq lazım E gəldiindən sinifdə izahatla qismən həll edilə bilər. Tapşırığın həlli evdə şagirdlər tərə fin dən müstəqil olaraq tamamlanır. 5 D.6. səh.7 Düzbucaqlı paralelepipedin ölçüləri AD = 0 sm, AB = 0 sm, AE = 5 sm-dir. AFB üçün: tgafb = AB 0 = AFB BF 5 AFO üçün: OA=OB = BD = AB +AD = 0 +0 =5 5 sm A B 0 a) AFB, BFO, AFO, BOF, AOF, bucaqlarının dərəcə ölçülərini tapın. 0 F O D C OF =OB +BF =(5 5) +5 =50 AF =AB +BF =0 +5 =5 OF= 5 sm AF= 5 sm OA =AF +OF -(AF)(OF)cosAFO 5=5+50(5 )(5 )cosafo cosafo = (5 )(5 ) AFO 5 b) ABO, BOF, AOF üçbucaqlarının sahələrini tapın. AOF üçün S AOF = (AF)(OF)sinAFO = (5 )(5 )sin5 97, sm c) B nöqtəsindən AOF müstəvisinə qədər ən qısa məsafəni tapın. ABC~ AGB BC sin = AC = BG AB BG= 5 = BG 0 BG tg = BF 5 tg = 5 0,8 85 sin = d BF d=bfsin d=5sin0,8 d7,68 E 5 A 0 C G F θ d B K O

186 İşçi vərəq Adı Soadı Tari ) A prizması B prizmasına oşardır. Oşarlıq əmsalı, A fiqurunun səthinin sahəsi və həcmi verilmişdir. B fiqurunun səthinin sahəsini və həcmini tapın. Oşarlıq əmsalı: : Oşarlıq əmsalı: : Oşarlıq əmsalı: : 5 S = 60 cm S = m S = m V = 0 cm V = 88 m V = 60 m ) İki oşar piramidanın həcmləri nisbəti : 75 kimidir. Tapın: a) oturacaqlarının sahələrinin nisbətini b) hündürlüklərinin nisbətini c) tam səthlərinin nisbətini ) İki oşar piramidaa görə cədvəli doldurun Oşarlıq əmsalı : 5 : 7???? Tərəflərin nisbəti?? :??? Apofemlərin nisbəti??? : 6?? Səthlərin nisbəti???? : 9? Tam səthlərin nisbəti?????? Həcmlərin nisbəti????? 8 : 5 86

187 Dərs -5. Dərslik səh. 9-. Fəzada simmetria. Ümumiləşdirici tap şı rıqlar. saat. Məzmun standartı... Simmetrianın növlərini tanıır;... Çoüzlülərin simmetria mərkəzini, simmetria ounu və simmetria müstəvisini tanıır, verilmiş fiqurla simmetrik olan fiquru qurur. Riazi lüğət müstəvi simmetriası Formalaşdırılan şagird bacarıqları Piramidanın müstəvi kəsiklərini qurur. Əlavə resurslar İşçi vərəqlər Kəsik piramidanın tam səthinin sahəsini hesablaır. Müstəvi fiqurlar düz əttə və a nöqtəə görə simmetrik olurlar. Müstəvi simmetriaları ada salınır. Əlverişli fiqur üçbucaqdır. Bərabərtərəfli üçbucağın simmetria ou var. Bərabərtərəfli üçbucaq tərtibli dönmə simmetriasına malikdir. Yəni 60 dönmədə dəfə öz-özü ilə üst-üstə düşür. Bərabərtərəfli üçbucaq Fırlanma simmetriası ilə dizan etməin, naışlar aratma tenikası aşağıdakı nümunələr üzərində göstərilir. Şagirdlər qrupla işləməklə mütəlif kompozisialar arada bilərlər. orta nöqtə orta nöqtə pərgarla məsafə orta nöqtə orta nöqtə orta nöqtə orta nöqtə pərgarla məsafə orta nöqtə orta nöqtə Məsələn, oturacağı kvadrat olan (düzgün) piramidanın simmetria müstəvisi var. Onlardan ikisi piramidanın hündürlüü və oturacağının təpələrindən, ikisi isə hündürlük və oturacağın tərəflərinin ortasından keçir. Oturacağı kvadrat olan düzbucaqlı paralelepiped, kub üçün onları iki konqruent hissəə aıran müstəvilərin simmetria müstəvisi olduğunu başa düşürlər və bunu həndəsi olaraq təsvir edirlər. 87 Əksetmə simmetriası Fəza fiqurları isə müstəviə nəzərən simmetrik ola bilər. Fəza fiqurları da müstəvi fiqurları kimi birdən ço əksetmə simmetriasına malik olurlar.

188 Bu fiqurlar oturacağa paralel perpendikular və diaqonal müstəvisinə nəzərən əksetmə simmetriasına malik olurlar. Oturacağa paralel müstəvi Oturacağa perpendikular müstəvi Diaqonal müstəvisi Fırlanma simmetriasını şirə qutusu və içmə çubuğu ilə modelləşdirmək olar. Hər bir 90 dönmədə kubun öz-özü ilə üst-üstə düşdüü müşahidə edilir. Qruplarla iş. Piramidanın və kubun simmetria müstəvilərini aşkar etmək üçün şagirdlər qruplarla işləirlər. Hər qrup daha ço vəziəti təsvir etməə çalışır. Məlum olmaan simmetrialar tapmağa çalışırlar. Daha sonra birlikdə bu müstəvinin verilən fəza fiqurunu simmetik iki erə bölüb-bölmədii araşdırılır. Şəkildə iki ölçüsü eni olan düzbucaqlı paralelepipedin 5, kubun 9 simmetria müstəvisi verilmişdir. 88

189 Fəza fiqurlarının həcmi Bölmə üzrə qimətləndirmə mearları cədvəli N Mearlar Qed Prizmanın həcminə aid məsələlər həll edir. Piramidanın həcminə aid məsələlər həll edir. Oşar fəza fiqurlarının həcminə, səthlərinə aid məsələlər həll edir. Müstəvi kəsiklərinə aid məsələləri həll edir. 5 Fəzada simmetrianı mütəlif fəza fiqurları üzərində göstərir. Dərs 6. Fəza fiqurlarının həcmi Summativ qimətləndirmə tapşırıqları )Hansı iki fiqurun üzlərinin saı enidir? ) İki ölçüsü,5 m, 0,8 m olan düzbucaqlı paralelepiped şəkilli çənin həcmi 8 m -dur. Çənin -cü ölçüsünü tapın. ) Düzgün üçbucaqlı piramidanın an tilləri 0 sm, hündürlüü 8 sm-dir. Piramidanın həcmini və tam səthinin sahəsini tapın. ) Pəri üçbucaqlı düz prizmanın üzlərinin şəklini çəkməlidir. O, hansı müstəvi fiqurları çəkməlidir? a) üçbucaq, düzbucaqlı c) üçbucaq, düzbucaqlı ç) üçbucaq, düzbucaqlı 5) Düzgün dördbucaqlı piramidanın hündürlüü 5 sm, oturacağının tərəfi 85 sm-dir. Piramidanın həcmini tapın. D' C' 6) Oturacağı kvadrat olan düzgün kəsik piramidada AB = 8, A`B` =, A' K' B' D K və K` nöqtələri oturacaqların tərəflərinin orta nöqtələri olmaqla C K KK` = 0 olduğuna görə kəsik piramidanın həcmini tapın. A B 89 b) üçbucaq, düzbucaqlı

190 7) İki oşar piramidanın an səthlərinin nisbətini tapın. V = 6 sm V = sm D' C' 8) Tili sm olan kubdan şəkildə göstərilən müstəvi kəsii ilə arılan düzgün piramidanın həcmini tapın. A' B' 9) İki oşar qutudan böüün tutumu 600 qramdır. Qutuların oşarlıq nisbəti : kimidir. Böük qutu hündürlüü sm olan düzbucaqlı paralelepiped şəklindədir. Kiçik qutunun hündürlüünü və tutumunu tapın. A B T C 0) Düzgün altıbucaqlı piramidanın an üzü oturacaq müstəvisi ilə 60-li bucaq əmələ gətirir. Oturacağın tərəfi 8 sm olarsa, piramidanın həcmini tapın. ) Kubun mütəlif simmetria müstəvisini çəkin. F 60 A O B 8 C E D ) Kub üzərində mütəlif simmetria ounu çəkin. ) Mail prizmanın həcmini tapın. ) Fiqurlardan hansı ikisi oşardır? 90 I II 8 sm 0 III sm

191 9. Üstlü və loqarifmik funksialar Planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh.... Triqonometrik, üstlü, loqarifmik ifadələri sadələşdirərək qimətini tapır , İrrasional üstlü qüvvət. Üstlü funksia Üstlü funksianın qrafikinin çevrilmələri - -5 Üstlü funksia. e ədədi 6, Üstlü funksianın tərifini və assələrini bilir, qrafikini qurur...7. Ədədin loqarifminin tərifini, loqarifmləmə qadalarını bilir və onları tətbiq edir...8. Loqarifmik funksianın tərifini və assəsini bilir, qrafikini qurur....üstlü və loqarifmik tənlikləri, bərabərsizlikləri həll edir., Ədədin loqarifmi 8, 9 5,6 Loqarifmik funksia. Loqa - rifmik şkala və məsələ həlli Loqarifmin assələri Üstlü tənliklər. Loqarifmik 9- tənliklər Üstlü və loqarifmik -5 bərabər sizliklər. Ümumi ləşdirici tap şırıqlar Üstlü və loqarifmik 6 funksialar. Summativ qi mət - ləndirmə tapşırıqları Cəmi

192 Bölmə üzrə nümunəvi dərs modeli. Üstlü funksia. = a Məzmun standartı...6. Üstlü funksianın tərifini və assələrini bilir, qrafikini qurur. Üstlü funksianın qrafikini qurur. Üstlü funksianın assələrini tətbiq edir. Eksponensial artan və eksponensial azalan funksianı düsturuna, qrafikinə görə fərqləndirir. Eksponensial funksianın köməilə real həati situasiaa aid məsələləri modelləşdirir. Motivasia olaraq üstlü funksianın tətbiqi ilə həll edilən məsələ araşdırıla bilər. əhalinin artımı bank hesabındakı pulun məbləği mürəkkəb faiz artımı düsturu ilə hesablandıqda (kəsilən (faizin aliq, rüblük hesablanması ilə) və kəsilməz illik) radioaktiv maddənin zamandan asılı olaraq parçalanması bakteriaların çoalması otaq temperaturunda qananmış suun temperaturunun dəişməsi Bu məsələlərdən hər biri araşdırma məsələsi olaraq nəzərdən keçirilə bilər. Lakin şagirdlərin hər hansı real situasia üzərində üstlü funksia ilə dəişməni aşkar etmələri daha məqsədəuğun olardı. Məsələn, kağızın qatlama saı ilə alınan vərəq üzlərinin saı. Məşğələni qruplarla iş kimi təşkil etmək olar. Motivasia. Məşğələ. Hər qrupa bir vərəq verilir. Üzvlərdən biri vərəqi ortadan kəsir. Daha sonra kəsilmiş vərəqləri üst-üstə qoub enidən ortadan kəsir. Digərləri isə kəsmə saını və kəsimdən alınan vərəqlərin saını göstərən cədvəl qururlar. Hər kəsimdən sonra vərəqlər üst-üstə ığılır və enidən arıa kəsilir və bu kəsilməsi mümkün olmaan hala gələnə qədər davam etdirilir (8 kəsim kifaət edir) və hər dəfə ığılmış vərəqlərin saı müəən edilərək cədvələ azılır. Kəsmə saı () Vərəq saı () 0 Məlumatın analizi.. Kəsimlərin saını, vərəqlərin saını qəbul etməklə (;) koordinat cütlərini azın. Diqqət edin ki, ilk koordinat cütü (0;) kimi olacaq ki, bu kəsilməmiş vərəqin bir vərəq olduğunu göstərir.. Koordinat cütlərini sonuncu kəsimə bir addım qalana qədər azmağa davam edin, əni 7 koordinat cütü azın. Koordinatların dəişməsinə görə sonuncu kəsimdən sonra 9

193 üst-üstə ığılmış vərəqlərin saı neçə dənə olacaq?. Koordinat müstəvisi üzərində və koordinatlarını qed edin. Koordinat müs tə vi - si ni çəkərkən -in qimətlərinin erləşməsinə, -in qi mət lə rinə görə -in qimətlərinin daha sürətlə dəişməsinə diqqət edin. Məlumatdan nəticə çıarma, eni məlumatlar əldə etmə.. -in -dən asılı dəişməsini göstərən funksianı düsturla azın.. = 9, = 0 olduqda -in qimətini tapın dənəlik kağız ığımının hündürlüü təminən,5 sm-dir. Sizin vərəqlərin hündürlüü təminən neçə santimetr olar?. Hər qatı kəsməə 5 saniə vat sərf etsəniz, 0 kəsimə nə qədər vat sərf edərsiniz? 0 kəsimdə alınan vərəq qatlarının hündürlüünü 500 vərəq qatının hündürlüünə görə müəən edin. 5. -ci etapda azdığınız düsturu kəsimlərin saı və vərəq qatının qalınlığı arasındakı asılılığa tətbiq etməklə 0-cu kəsimdəki vərəq qatlarının hündürlüünü tapın. (8- dəq) Örənmə. = a funksiasının qrafikləri qimətlər cədvəlinə görə qurulur. a > və 0 < a < halları nəzərdən ke - çiri lir. Eksponensial artma və azal ma nın a-nın qimətindən asılı olduğu müə - ən edilir. Eni koordinat sistemində qu rulmuş funksiaların qrafikləri nüma - iş etdirilir. Qrafiklərin oşar və fərqli cəhətləri müzakirə edilir. Şagirdlərə qra - fik ləri dəftərlərində qurmaları üçün vat verilir. (0 dəq) Eksponensial azalan Eksponensial artan = a funksiasının assələri müzakirə edilir. Qrafikə görə təin oblastının bütün həqiqi ədədlər çoluğu, qimətlər oblastının isə müsbət həqiqi ədədlər çoluğu olduğu qed edilir. Ordinat ounu kəsmə nöqtəsi müəən edilir. Qrafikin asimptotunun ou olduğu müəən edilir. Dərslikdə verilmiş -7 tapşırıqları erinə etirilir. (0 dəq.) Formativ qimətləndirmə. Şagirdin şifahi cavablandırması üçün olama sualları verilir: ) Eksponensial asılılığı (dəişməni) siz necə izah edərdiniz? ) Nə üçün a = ola bilməz? ) = və = ( ) qrafiklərinin fərqli və oşar cəhətləri hansılardır? ) = və funksiaları eni funksialardır demək olarmı? (-5 dəq) Ev tapşırığı. -7 tapşırıqlarından qalanları ev tapşırığı olaraq verilir. Dərsin gedişinə aid ümumi göstərişlərdən də (dərs 8, səh.95) istifadə edilməsi fadalı olardı. 9

194 Dərs 7-9. Dərslik səh. -. Həqiqi üstlü qüvvət. Üstlü funksia. saat Məzmun standartı..6. Üstlü funksianın tərifini və assələrini bilir, qrafikini qurur. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər Həqiqi üstlü qüvvət dail olan ifadələri sadələşdirir. Üstlü funksianın qrafikini qurur. Üstlü funksianın assələrini tətbiq edir. Eksponensial artan və eksponensial azalan funksianı düsturuna, qrafikinə görə fərqləndirir. Eksponensial funksianın köməilə real həati situasiaa aid məsələləri modelləşdirir. Riazi lüğət üstlü funksia, ustlü funksianın əsası, üstü, eksponensial artan, eksponensial azalan -ci saat. İrrasional üstlü qüvvətin də bir ədəd olduğunu əni, a t -nin t irrasional olduqda mənasının olduğunu dərslikdə verilmiş araşdırma tapşırığı ilə müzakirə edilir. Eni tapşırığı mütəlif ədədlər üzərində erinə etirmək olar. Məsələn, 0 üzərində araşdıraraq 0, 5,957, 0, 5,95, 0, 5,955 ardıcıllığından görünür ki, 0 nun qüvvəti -ə daha ço aınlaşdıqca 0 -də, vergüldən sonrakı ədədi 5,955 ədədinə daha ço aınlaşır. Deməli, 0 ədədi də bir həqiqi ədəddir. Rasional üstlü qüvvətin bütün assələrinin irrasional üstlü qüvvətə də aid olunduğu qed edilir. Şagirdlərə bu assələri ümumi şəkildə azmaq və hər birinə aid bir nümunə azmaq üçün vat verilir. Dərslikdə verilmiş tapşırıqlar erinə etirilir. Həmçinin işçi vərəqlərdə də əlavə tapşırıqlar verilmişdir. -ci saat. = a funksiasının qrafikinin qurulması araşdırılır. = 5, = 0,5, = a şəklindəki funksialar üstlü funksialardır. a müsbət (a ) ədəddir. Sinfə mütəlif üstlü funksiaların qra fik ləri nümaiş etdirilir. Bu qrafiklər formaca oşardırlar, oundan uarıda erləşirlər. Üstlü funksianın assələri qrafiklər üzərində göstərilməklə müzakirə edilir. Sual verilir: Sizcə, nə üçün bu qrafiklər eni nöqtədə kəsi şir - lər? Sıfır nöqtəsində a 0 = olduğundan qrafiklər eni nöqtədə kəsişirlər. 9

195 Qimətlər cədvəlinə görə funksiaların qrafikləri qurulur. a > olduqda funksianın eksponensial artan, 0<a< olduqda eksponensial azalan olduğu qed edilir. f() f() = a 0<a< f() = a a> (-; ) a (; a) (-; ) (0; ) a 0 (; a) (0; ) Verilmiş qimətlər cədvəlinə görə üstlü funksianın düsturunu müəənetmə tapşırıqlarının erinə etirilməsi tövsiə edilir. Bu tapşırıqlar üstlü funksia anlaışını, onun assələrini daha aşı başa düşməə imkan verir. Şagird cədvəldən əlverişli qiməti seçir. Bu = 0 qimətində -in qimətidir. = 0 olduqda funksianın qiməti --dir. Deməli, funksianın düsturunda qarşıda mənfi işarəsi var ( bu funksianın simmetrik çevrilməsidir). Digər cədvəllərə uğun tənlikləri azmaları üçün onlara vat verilir = Eksponensial funksiaların ço sürətlə artdığı və azaldığı qed edilir və qrafiklər üzərində müqaisəli şəkildə təqdim edilməsi tövsiə edilir

196 -cü saat. Eksponensial artma və azalmanı əks etdirən real həati situasiaları üstlü funksialarla modelləşdirməə aid məsələlər həll edilir. Bu məsələlər arasında radioaktiv maddənin parçalanma müddətinin müəən edilməsi, arımparçalanma müddətində baş verən kiməvi dəişiklik və eni izotopların aranması kimi situasialar istər elmi, istərsə də həati situasialar baımından maraqlıdır. Bütün dünada atom silahlarına qarşı olan mübarizə radioaktiv maddənin arada biləcəi insani və ekoloji fəlakətlərin ço dəhşətli olması ilə bağlıdır. Radioaktiv maddələrin parçalanma müddəti o qədər uzundur ki, ətrafda aratdığı ekoloji fəlakət Yer üzündə aşaan alnız bir nəsil insana deil, uzun illər bou təsir edir. Çernobl hadisəsi buna acı bir misaldır. Dərslikdə verilmiş nümunə məsələ araşdırılır. Qrafikdə ou üzrə hansı məlumatın, ou üzrə hansı məlumatın erləşdirildii müzakirə edilir. Hər bir koordinat cütü vat (gün) və maddə miqdarı (qram) olaraq təqdim edilir. Üstlü funksialarla modelləşdirilən ən ço istifadə olunan situasialara aid məsələlər dərslikdə verilmişdir. əhalinin artımı bank hesabındakı pulun məbləği mürəkkəb faiz artımı düsturu ilə hesablandıqda (kəsilən (faizin alıq, rüblük hesablanması ilə) və kəsilməz illik) radioaktiv maddənin zamandan asılı olaraq parçalanması bakteriaların çoalması qananmış suun temperaturunun otaq temperaturunda dəişməsi Mürəkkəb faiz artımı düsturu ödəmə şərtindən asılı olaraq mütəlif cür ifadə edilir. Məsələn, faizin hesablanması bir dəfə ilin sonunda ödənilirsə, düstur ənənəvi olaraq A = P(+ r) n kimi qəbul edilir. Faiz hər rübdə və a hər ada hesablanmaqla eni r məbləğin faizi hesablanırsa, düstur A = P(+ ) nt şəklində azılır: r gəlir faizini, t t hesablama zamanını göstərir, bu (rüblük), (alıq) və s. ola bilər. Dərs 0,. Dərslik səh. -5. Üstlü funksianın qrafikinin çevrilmələri. saat Məzmun standartı..6. Üstlü funksianın tərifini və assələrini bilir, qrafikini qurur. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər f() = l a, f() = l a n,, f() = l a m + n şəklində üstlü funksiaların = a əsas funksiasına görə çevrilməsini müəən edir. f() = l a m + n şəklində verilmiş funksianın hər bir həddini (parametrini) verilən situasiaa uğun izah edir. Real həati situasianı f() = l a m + n şəklində düsturla modelləşdirir. Üstlü funksianın qrafikinə görə onun düsturunu azır. Şagirdlərə aşağıdakı kimi işçi vərəq palamaq və a lövhədə işçi vərəqdə əks olunanları azmaqla şagirdlərin tapşırığı erinə etirmələri üçün vat verilir. 96

197 Əvvəlcə üstlü funksialar ailəsində əsas funksiada a-nın dəişməsi ilə qrafikdəki dəişmələr müzakirə edilir. Funksia Qrafiki Qimətlər cədvəli Çevrilmənin sözlə ifadəsi = + = = + = 97

198 Şagird = + və = şəklində funksianın (m-in təsiri) əsas funksiaa görə çevrilməsinin (-in qimətinin üzərinə əlavə etmə və çıma olduğu üçün) üfüqi sürüşmə olduğunu ba şa düşür və m-in işarəsindən asılı olaraq sü rüş - məni təsvir edir. m > 0 olduqda qrafik sağa, m < 0 olduqda sola sürüşür. Şagird = + və = şəklində funksianın (n-in təsiri) əsas funksiaa görə çevrilməsinin (-in qimətinin üzərinə əlavə etmə və çıma olduğu üçün) şaquli sürüşmə olduğunu başa düşür və n-in işarəsindən asılı olaraq sürüşməni təsvir edir. n > 0 olduqda qrafik uarı, n < 0 olduqda aşağı sürüşür. Şagird f() = l a şəklində funksianın (anın təsiri) əsas funksiaa görə çevril mə - si nin şaquli dartılma və sıılma kimi təq dim edir. l-in işarəsindən və qi mə tin - dən asılı olaraq çevrilməni təsvir edir. l > olduqda qrafik şaquli olaraq dartılır. 0 < l < şaquli sıılma, l<0 olduqda ouna nəzərən simmetrik çevrilmə - əksetmə baş verir. 98

199 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Dəişənlərin müsbət qimətlər aldığını bilərək sadələşdirin. 6a 8 b (+) (a ) - (c d )(c 6 d ) 5 r r c d 6 c d - a -0 b - a b - Kəsr üstlü qüvvət şəklində azın. 5 a t 6t 5 a b Sadələşdirin. ( - ) ( + )( - ) 5 6 (c -c 5 ) 6 - Ədədləri artan sıra ilə düzün: 8 00 ; 9 50 ; 5 00 İfadənin qimətini hesablaın: + : 8 ; 99 ( + ) ( - + ) ( ) 6 ; ( 9 ) 9 ; ( 6 ) ( + ) 9

200 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Funksiaların qrafiklərini qurun. =,5 = Qrafikini qurmadan aşağıdakı funksiaların eksponensial artan və a azalan olduğunu müəən edin. ) =00 ) =,05(0,87) ) = ) = 5 5 Şəkildəki qrafiklərin üfüqi asimptotlarını azın. Situasialara uğun eksponensial funksianı azın. a) Hündürlüü 0, m olan ağac ildə 8% böüür. 0 il sonra ağacın hündürlüü nə qədər olacaq? b) Evin qiməti manatdır və qiməti hər il % artır. 0 il sonra bu evin qiməti neçə manat olacaq? c) Yeni avtomobilin qiməti 5000 manatdır. Avtomobilin qiməti ildə 5% əvvəlki qimətindən aşağı düşür. 5 ildən sonra bu avtomobilin qiməti neçə manat olar? 00

201 Dərs. Dərslik səh. 6, 7. Üstlü funksia. e ədədi. saat Məzmun standartı..6. Üstlü funksianın tərifini və assələrini bilir, qrafikini qurur. Formalaşdırılan şagird bacarıqları e ədədini mürəkkəb faiz artımı düsturu ilə izah edir = e funksiasının qrafikini qrafkalkulatorla qurur = e funksiasının tətbiqi ilə məsələlər həll edir. Əlavə resurslar İşçi vərəqlər Riazi lüğət e ədədi Dərslikdə verilmiş mürəkkəb faiz artımı ilə pul məbləğinin dəişməsi araşdırılır. Müəən andan sonra faiz artımının daha kiçik zaman intervallarına bölünməsinin əhəmiəti olmur. Bunu cədvəldə verilmiş məbləğlər də göstərir. Ona görə də mürəkkəb faiz artımını kəsilməz olaraq S = S0e rt kimi hesablamaq olar. Bunu adın görmək üçün bir neçə məsələ ev tapşırığı kimi həll edilə bilər. r Bir ildə faiz n dəfə hesablandıqda (alıq, rüblük və s.) düstur: S = S0 ( + ) n nt Kəsilməz faizlə, ilin sonunda bir dəfəlik hesablama düsturu: S = S0e rt P = 000m, r = %, t = 0 ildə bankdakı pul məbləğini hər iki düstura görə hesablaın. 0,0 İntervallarla hesablama: S = 000(+ ) n 0n Kəsilməz olaraq: S = 000e 0,0 0 n 65 kəsilməz A 00, 05,09 07,57 09, 0,0 0,06 Bu qada ilə aşağıdakı kimi şərtlərə uğun məbləğləri hesablaırlar. Hesablamalar e düməsi olan mühəndis kalkulatorları ilə aparılır. a) P = 000m, r = %, t = 0 il b) P = 000m, r = 6%, t = 0 il e ədədi bir ço fiziki hadisələrin örənilməsində, mühəndis laihələrinin işlə nil mə - sin də tətbiq edilir. e ədədi aşağıdakı kimi sonsuz ardıcıllığın hədləri cəminə bərabərdir: e = n Bu ardıcıllığın aşağıdakı hədlərinin cəmi e ədədinin vergüldən sonra üç doğru rəqəm dəqiqlii ilə ifadə edir. e = = = = + + 0,5 + 0, , , , ,00098 =,78 0

202 Dərs,. Dərslik səh. 8, 9. Ədədin loqarifmi. saat Məzmun standartı..7. Ədədin loqarifminin tərifini, loqarifmləmə qadalarını bilir və onları tətbiq edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Riazi lüğət Əlavə resurslar İşçi vərəqlər loqarifma, loqarifmin əsası, loqarifmik funksia Loqarifmin mənasını nümunələr üzərində izah edir, ümumi loqarifma, onluq loqarif - ma, natural loqarifma azılışlarını fərqləndirir. Loqarifmik şkalanı real həati situasialar üzərində izah edir və məsələləri həll edir. Loqarifmik funksianın qrafikini qurur və assələrini tətbiq edir. Loqarifmin assələrini hesablamalara tətbiq edir. Real həati situasiada məsələləri loqarifmik funksia ilə modelləşdirir. -ci saat. Şagirdlərə indiə qədər örəndikləri əməllər haqqında sual verilir. Toplamçıma, vurma-bölmə, qüvvətə üksəltmə-kökalma. Dəişən üstlü qüvvət dail olan (5 = 5, = ; 5 = 5, = ; 5 = 5, = ) bərabərliklərindən üstün tapılması üçün logarifma anlaışı dail edilmişdir. Logarifmin tərifinə görə > 0 və a > 0, a, = log a ifadəsi = a ifadəsinə ekvivalentdir. İfadələrin logarifmik formadan üstlü formaa (eksponensial formaa) və əksinə azılışlarına aid tapşırıqlar erinə etirilir. İlk tapşırıqlarda eksponen sial və loqarifmik azılışlar arasında hədlərin er dəişməsini ola göstərmələri töv siə edilir. Bu anlaışı daha uzunmüddətli adda salamağa kömək edir. üst 5 = 5 = log 5 5 əsas Deməli, əsasın (ədədin) qüvvətə üksəldilməsi ilə bu əsasdan ədədin loqarifminin tapılması qarşılıqlı tərs əməllərdir. Loqarifmi hesablamaq üçün kalkulatorların uğun düməsindən istifadə edilir. Lakin loqarifma şotland riaziatçısı Neper tərəfindən ilk dəfə işlənildii cı illərə qədər loqarifma ətkeşi adlanan alətdən istifadə edilirdi. İndi bu alətlər bir ço elm muzelərinin eksponatlarına çevrilmişdir. Şəkildəki loqarifma ətkeşi HP muzeinin eksponatıdır. Loqarifm ətkeşindən istifadə edilməməsinə bamaaraq bir sıra loqarifmik şkalalar var ki, onlardan bu gün də istifadə edilir. 0

203 İşçi vərəq Ad Soad Tari ) Hər bir bərabərlii eksponental formada enidən azın. log 6 6= log log 89 7= 96 = - log 8= ) Hər bir bərabərlii loqarifmik formada enidən azın. 6 = 8 = 9 - = 8 = ) Hər bir bərabərlii eksponensial formada enidən azın. log 5 µ = 6 log u= log 7 = log v=u ) Hər bir bərabərlii loqarifmik formada enidən azın. u - = 5) Hesablaın. log 6 8 b = a 0 = log 6 6 log 7 log 6) Sadələşdirin. log 6 6 log 6 log 5 5log 7 5 log57 9 log 0 6 =

204 Dərs 5,6. Dərslik səh Loqarifmik funksia. Logarifmik şkala və məsələ həlli. saat Məzmun standartı..8. Loqarifmik funksianın tərifini və assəsini bilir, qrafikini qurur. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər e ədədini mürəkkəb faiz artımı düsturu ilə izah edir. = e funksiasının qrafikini qrafkalkulatorla qurur. = e funksiasının tətbiqi ilə məsələlər həll edir. Loqarifmik funksianın üstlü funksianın tərsi olduğunu onların qimətlər cəd - vəlini qurmaqla və eni koordinat sistemində = a və onun tərs funksiası olan = a başqa sözlə = log a funksiasının qrafikini qurmaqla görürlər. Bu fun ksi - a la rın qrafikləri = əttinə görə simmetrikdir. f () : = 5 f - () : = 5-0,008-0,0-0, Əlverişli nöqtələr seçməklə = ln funksiasının da qrafikinin qurulması məqsədəuğundur. Qrafiklər qrafkalkulatorlar vasitəsi ilə rahatlıqla qurula bilər. Bu zaman şagird onların daha ço çevrilmələrini görmək imkanı əldə edir və nəticədə düsturdakı hər bir həddin hansı dəişmələrə səbəb olduğunu daha aşı başa düşür. g () 5 g ()=In g ()=ln 0,5-0,7 0 0,7,, 5,6 0,008-0,0-0, = =5 0 =

205 Bu iki funksianın assələrini müqaisəli göstərən cədvəlin qurulması məqsədəuğundur. Funksiaların qrafikləri Eksponensial funksia = a Logarifmik funksia = loga (0; ) a > a > (0; ) 0 < a < 0 < a < Üstlü funksia Loqarifmik funksia Nümunə f() = ; f() = e g() = log ; g() = ln Təin oblastı Qimətlər çoluğu Əlverişli (referens) nöqtələr -ci saat. Loqarifmik funksianın köməilə çolu sada həati situasia məsələlərinin modelləşdirməsi mümkündür. Onlardan bir neçə qrupunu göstərmək olar.. Maenin (suun) ph-ı: bütün həqiqi ədədlər çoluğu bütün müsbət həqiqi ədədlər çoluğu artdıqca f() artır azaldıqca f() ouna aınlaşır f() = ( ; ); (0;); (;) f() = e ( ; ); (0;); (;e) e ph = lg[h + ]. Səsin desibeli - gurluğu; L = 0lg İ İ0. Zəlzələnin amplitudu: M = lg A A0 bütün müsbət həqiqi ədədlər çoluğu bütün həqiqi ədədlər çoluğu artdıqca g() artır sıfra aınlaşdıqca g() ouna aınlaşır g() = log ( ; ); (;0); (;) g() = ln ( ; ); (; 0); (e; ) e Loqarifləmə nəticəsində böük ədədlər kiçik ədədlərə çevrilir. Bunu həm Ph şkalasından, həm səs desibeli şkalasından, həm də zəlzələnin amplitudunu göstərən Riter şkalasından görmək olar. 05

206 Loqarifmik funksia ilə ifadə olunan daha bir şkala nümunəsi səsin desibeli şkalası aşağıda göstərilmişdir. Səsin desibelinn bir vahid artımı onun intensivliinin 0 dəfə artması deməkdir. Səs İntensivlii Ucalığı Ağacdan Desibel Pıçıltı Söhbət Mətbə ava - Hərbi təarə qopan ar - dan lıqları pağın səsi D. Zəlzələnin gücü M=lg A ( Riter) düsturu ilə hesablanır. A0 a) Baş vermiş zəlzələnin amplitudunun (A) maksimal qiməti A0 qimətindən 0 7, dəfə ço olmuşdur, əni A =0 7,. Onda Riter düsturuna görə M=lg A = lg0 7, = A0 A0 =7,. Deməli, 7, bal gücündə zəlzələ baş verib. A b),7 bal gücündə zəlzələnin sesmik dalğa amplitudu = 0,7, bal gücündə A zəlzələnin amplitudu = 0 A0 münasibətini ödəir. Buradan A A A0 = 0,7- = 0 0,7 5 Yəni,7 bal gücündə zəlzələnin sesmik dalğa amplitudu bal gücündə zəlzələdəkindən təminən 5 dəfə çodur. D 6. Bioloqlar filin aaq izlərinin ölçüsünə görə onların aşını təmin edə bilirlər. Bunun üçün onlar l = 5-5,7e 0,09a düsturundan istifadə edirlər. Aaq izi 8 sm; 6 sm olan filin aşını hesablaın. Həlli: Verilənləri erinə azıb a dəişəninə görə üstlü tənlii həll edək. ) 8 = 5 5,7 e 0,09a 5,7 e 0,09a = 7 e 0,09a = 0,665 0,09a = ln 0,665 0,09a 0, a,6 il ) 6 = 5 5,7 e 0,09a 5,7 e 0,09a = 9 e 0,09a = 0,50 0,09a,05 a,7 il 06

207 İşçi vərəq Adı Soadı Tari ) Funksiaların qrafiklərini ən azı üç nöqtəsinin koordinatlarını və asimptotunu müəən etməklə qurun. Təin oblastını, qimətlər oblastını, asimptotunu azın. = log ( + ) = ( ) + ) Təin oblastı: Qimətlər çoluğu: Asimptotu (ları): ) (;) və (; ) nöqtələrindən keçən funksianın düsturunu = l a 9 şəklində azın. Düsturu loqarifmik şəkildə də azın. 07 Təin oblastı: Qimətlər çoluğu: Asimptotu (ları):

208 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari Səsin desibeli L = 0lg İ İ0 düsturu ilə müəən edilir. Məsələləri həll edin. Nümunə. a) Hərəkətdə olan avtomobilin səsinin intensivlii 0 vatt/m olarsa, ucalığı neçə desibeldir? b) Təarənin səsinin ucalığı 50 db-dir. Təarənin səsinin intensivliini tapın. Həlli: a) Avtomobilin səs intensivliini hesablaaq. I = 0 - vatt/m və I0 = 0 - vatt/m I /I0 = 0 - /0 - = 0 8 ; I/I0 = 0 8 M = 0 lg0 8 = 08 = 80 db b) İndi isə təarənin səsinə uğun intensivlii hesablaaq 50 = 0 lg(i/i0), olduğundan lg(i/i0) = 5, və a I/I0 = 0 5, I = = 0 vatt/m a) İntensivlii,0 - vat/m olan çəkic səsinin intensivliini desibellə ifadə edin. Ucalığı 0 db olan səsin intensivliini (I) I0 kəmiəti ilə ifadə edin. b) Konsertdə çalınan gitaranın səsinin intensivlii 0 - vatt/m olarsa, gitaranın səsi neçə desibeldir? e) Səsgücləndiricilərdən biri 60 db, digəri isə 0 db gücündədir. Birinci gücləndiricinin səsinin nisbi intensivlii ikincidən neçə dəfə çodur? f) İntensivlii 80 db olan səsdən 5 dəfə kiçik olan səsin intensivliini tapın. 08 məsafə

209 Dərs 7-8. Dərslik səh Loqarifmin assələri. saat Məzmun standartı..7. Ədədin loqarifminin tərifini, loqarifmləmə qadalarını bilir və onları tətbiq edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər Hasilin, qismətin, qüvvətin logarifminın assələrini bilir və tətbiq edir. Logarifmin bir əsasdan başqa əsasa keçmə düsturunu və loqarifmin assələrini ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Loqarifmin assələrini qüvvətin uğun assələri ilə müqaisədə örədilməsi daha effektli olardı.. Hasilin loqarifmi log c = log c + log c a a = a +. Nisbətin loqarifmi log c = log c - log c. Qüvvətin loqarifmi log c = log c a : a = a (a ) = a log 7 ifadəsini sadələşdirin, tapşırığını şagird log (7: 9) kimi qəbul edərək log 9 cavabı log və a alnız kimi azır. Şagird log 8 ifadəsinin qimətini intua - si a ilə asanlıqla tapa bilər. Lakin loqarifmin mənasını dərindən dərk etmə - diindən uarıda göstərildii kimi səhvlər edir. Verilmiş işçi vərəqlərdəki tapşırıqlarla logarfmin assələrinin tətbiqi bacarıqlarının formativ qimətləndirilməsi üçün istifadə etmək olar. Dərs 9-. Dərslik səh Üstlü tənliklər. Loqarifmik tənliklər. saat. Məzmun standartı..8. Loqarifmik funksianın tərifini və assəsini bilir, qrafikini qurur....üstlü və loqarifmik tənlikləri, brabərsizlikləri həll edir. Üstlü tənlikləri mütəlif üsullarla həll edir. Loqarifmik tənlikləri mütəlif üsullarla həll edir. Logarifmin və üstlü funksiaların assələrinin tətbiqi zamanı şagirdlərin ən ço etdikləri səhvlərdən birini aşağıdakı nümunə üzərində nəzərdən keçirək. 09

210 t 60 Məsələ. P = 0 () düsturu dovşanların çoalmasını göstərir. Bu düstura görə dovşanların saı hər 60 gündə iki dəfə artır. Bu qada ilə onların saı neçə gündən sonra 0 olacaq? Aşağıda bir doğru və bir səhv həll göstərilmişdir. Səhv həll 0=0() t 60 lg0= t 60 lg 0 60 lg0= t lg0 60lg0 t= lg0 t 5,5 Doğru həll P=0() t 60 0=0() t 60 t 60 0= 5 t =60 5= t t=00 60 Göründüü kimi şagird tənliin hər iki tərəfini 0-a bölmək əvəzinə 0-a, -ə vuraraq onları eni qüvvət üstü ilə azmışdır. Bu cür səhvlər situasiası aradılmaqla və müza - ki rə edilməklə qarşısı müəən qədər əvvəlcədən alına bilər. Daha ço rast gəlinən səhvlərə aid başqa nümunəni nəzərdən keçirək. 0 = 50 tənliindəki ədədlərin 5-in vuruqları ilə ifadə olunma imkanı şagirdi 5 = 5 kimi səhv həllə apara bilər. Bu məqamın da müzakirə olunmasına ehtiac var. Şagirdlərin loqarifmik və üstlü funksiaların assələrini hansı səviədə başa düşdüklərini qimətləndirmək üçün aşağıdakı tapşırıqları istifadə etmək olar. Nəticələrə görə uğun tapşırıqlar dərslikdən təkrar seçilib həll edilir. Bu tapşırıqlar lövhədə azıla bilər və a proektorla ekranda nümaiş etdirilə bilər və a işçi vərəq şəklində palana bilər. 0 =50 05 =50? Dərslikdə = 9 =9 log 5 5= log 5 = verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D. b) = Həlli: Tənliin hər iki tərəfindən ortaq vuruqları mötərizə aricinə çıarmaqla + ( +)=5 (5 +) və a 5 + =5 8 tənliini alarıq. Bu tənliin hər iki tərəfini 5 8=0-a bölsək, =5 - tənliini alarıq. Buradan ( 5 )= və a ( olduğundan = 5 )= ( 5 ) =7 + = -6

211 D.5 a) + 9 =5 6 Həlli: Tənliin hər iki tərəfini 9 -a bölməklə ( və a tənliini alırıq. 9 ) 6 + =5 ( 9 ) ( ) +=5 ( ) ( ) =t əvəz etməklə bu tənlii t 5t+=0 tənliinə gətiririk. Onun kökləri t=, t= -dir. Beləliklə, əvəzləmədən ( ) =, =0 ( ) =, = tapırıq, deməli, verilmiş tənliin kökləri =0; =-dir. D.6 a) 5 = Həlli: Verilmiş tənlikdən qüvvətin assələrini tətbiq etməklə 5 = tənliini alarıq. Sağ tərəfdə qüvvətin üstü -dən 7-ə kimi tək ədədlərin cəminə bərabərdir = ( +7) 9= 8 olduğundan sonuncu tənlii 5 =5 8 şəklində aza bilərik. Buradan =8, =7 D.9. Maddənin souması zamanı temperaturun zamandan aslılığını Nuton düsturu T=(TO T r )e ~rt + T r kimidir. Burada T - maddənin baılan andakı, TO isə başlanğıc andakı temperaturudur. T r - ətraf mühitin temperaturudur. r - souma sürətidir t - zamanı göstərir Temperatrun 80 C olan suun temperaturu C olan otaqda 0 dəqiqədən sonra 60 C oldu. a) r əmsalını tapın. b) Neçə dəqiqədən sonra suun temperaturu 5 C olar? Həlli: a) Verilənlərə görə TO 80 C, T r = C, T = 60 C, t = 0 dəq. olduğunu düsturda nəzərə alaq. 60 = (80 )e Buradan 58e -0r = 8, e -0r =, 0r ln 8, 0r = 0,, r = 0, b) r 0,0 olduğunda düsturu T = (T o T r ) e 0,0t + T r şəklində azaq, və neçə dəqiqdən sonra suun temperaturunun 5 C olduğunu tapaq: 5 = (80 ) e 0,0t + 58 e 0,0t =, e 0,0t =, 0,0t = ln ,0t,95 t 5, dəqiqə.

212 D.(səh6) h) log(+log( -7)= Həlli: Loqarifin tərifindən istifadə edərək, verilmiş tənliin həllini aşağıdakı ardıcıllıqla erinə etirək. +log( -7)= log( -7)= -7= =6, =, = D.5 a) log - =8 Həlli:Verilmiş tənliin hər iki tərəfini əsasına görə loqarifmləək: log log =log8 Buradan (log -) log= tənliini alarıq. Sonuncu tənlikdə log =t əvəz etsək, t -t-=0 kvadrat tənliindən t=-, t= tapılır. Əvəzləməə görə log=- və log= tənliklərini həll edərək alırıq ki, = və =8 verilmiş tənliin kökləridir. Məsələ. Vulkan püskürməsi zamanı anmış ağacın kömüründə qalan karbon maddəsinin 5%-i qalmışdır. Vulkan püskürməsi neçə il əvvəl baş vermişdir? Karbon- izotopunun arımparçalanma müddəti 570 ildir. t ildən sonra qalıqdakı izotopun miqdarını A(t) = A0( ) t/5700 düsturu ilə tapılır. Məsələdə qalıqda 5% maddənin olduğu verilir, əni A(t) = 0,5A0 Bu iki tənlikdən A0( ) t/570 = 0,5A0 bərabərliini azmaq olar. t/570 t = 0,5 lg = lg 0,5 570 lg 0,5 t/570 lg = lg 0,5 t = 570 lg0,5 Məsələ. Bir fincan qanadılmış suun (00º) otaq temperaturuna qədər (0º) souması gözlənilir. Müşahidələr göstərir ki, temperatur zamandan eksponensial asılı olaraq hər beş dəqiqədə 5% aşağı düşür. a) Temperaturun zamandan asılı dəişməsini =ab + c şəklində modelləşdirin. b) Neçə dəqiqdən sonra suun temperaturu otaq temperaturunda olacaq? Həlli: Temperaturun 5% azalması əvvəlkinin -ü qədər qalması deməkdir. Deməli, =ab + c tənliində b =, həddi vatı ifadə edir və hər 5 t dəqiqədə 5% azalır, = olacaq. Temperaturu T ilə işarə etsək, zamandan 5 asılılıq funksiası T(t) olar, su otaq temperaturuna qədər soua bilər, əni c = 0 olacaq. Bu funksianın düsturunu müəən etdiimiz hədlərlə azaq.

213 T(t) = a ( ) 5 + 0, suun ilkin temperaturu t = 0 olduqda T = 00 -dir və bu nöqtə ounu kəsmə nöqtəsidir. Bu qimətləri tənlikdə erinə azaraq a-nı tapaq = a ( ) 5 + 0; 00 = a + 0; a = 80 Düstur T(t) = 80 ( ) + 0 kimi olacaq. D.8. a) Fil sümüü qalığınadkı karbon -ün 6% - i o olmuşdur. Bu fil neçə il əvvəl aşamışdır. Həlli: Fil sümüündəki karbon -ün ilkin miqdarını mo qəbul etsək, şərtə görə bu miqdarın 6%-i, əni 0,6mo qədəri qalmışdır. t t m = T 570 mo düsturda (burada T = 570) alırıq = 0,6 ( ) ( ) Buradan t = log 0,6 570 t t 5 t 689 il əvvəl. D.. Həlli: N = No(+r) t düsturunda verilənləri nəzərə alaq: = ( + r) 0 7 buradan ( + r) 0 = 5 + r =,07 r = 0,07 N = No( + 0,07) t düsturda No = 7 0 6, N = azmaqla neçə ildən sonra əhalini 0 milon olacağını tapırıq. ln,77,07 t =,77 t = 7,7 il sonra ln,07 Dərs -5. Dərslik səh Üstlü bərabərsizliklər. Loqarifmik bərabərsizliklər. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Vat (dəq.) Məzmun standartı..8. Loqarifmik funksianın tərifini və assəsini bilir, qrafikini qurur....üstlü və loqarifmik tənlikləri, brabərsizlikləri həll edir. Loqarifmik tənlikləri və bərabərsizlikləri həll edir. Loqarifmik tənlikləri və bərabərsizliklərin tətbiqi ilə məsələlər həll edir. Bərabərsizliklər. Üstlü və loqarifmik bərabərsizliklərin həllinin də uğun funksiaların assələrinin tətbiqi ilə həll edildii diqqətə çatdırılır. Loqarifmik tənlik və bərabərsizliklərin tətbiqi ilə məsələlər müzakirələrlə həll edilir. Temperatur ( C)

214 Aşağıdakı kimi məsələ araşdırıla bilər. Məsələ. Xəstəə verilən dərmanın tərkibindəki kalsiumun sorulması A(t) = 00(0,7) t düsturu ilə dəişir. Həkimin tapşırığına görə əstə qanda kalsiumun miqdarı 98 mq olana qədər tərkibində kalsium olan emək eməməlidir. Bu əstə süd içmək üçün ən azı neçə saat gözləməlidir? Xəstə eksponensial bərabərsizlikləri həll edə,75 bilirsə, bunu müəən edə bilər. 0 (; 98) = 98 A(t) = 00(0,7) t bərabərliində A(t) 98-dən az 96,5 olmalıdır. 8,5 00(0,7) t = 00(0,7) 98 bərabərsizliini həll etməklə bu t qrafiki = 98 66,75 qrafikindən t = olduqda 55 vatı tapmaq olar. aşağıda olur. (0,7) t,5 0,9 t > log 0,7 0,9 7,5 Həm bərabərsizliin, həm də tənliin qrafik,75 =00(0,7) t olla həllinə müəən vat arılması tövsiə edilir. Qrafik həll qrafkalkulatorda erinə ,75 etirilməklə ev tapşırığı kimi də verilə bilər. 00(0,7) t 98 bərabərsizliinin qrafik həlli = 00(0,7) t və = 98 qrafiklərinin kəsişmə nöqtəsinə görə tapıla bilər. D.. Funksianın təin oblastını tapın. b) = + 9 ( ) Həlli: Kvadrat kökün ( ) 9 5 ( 5 ) 0 olduqda mənası var. Burada -ın mümkün qimətlərini tapmaq üçün. + + ( ) 9 və a ( ) ( ) Bərabərsizliini həll etmək lazımdır. ( ) funksiası azalan olduğundan alırıq ki; 5 + olmalıdır. Onda. Beləliklə, verilmiş funksianın təin oblastı [ : + ) aralığıdır. ( ) ( ) D.7. j) log Həlli: Verilmiş bərabərsizlik log ( 0) ikiqat bərabərsizliinin həllinə gətirilir. buradan ardıcıl olaraq alırıq. log log log log 9, 9 Beləliklə 9 : ) ( ( : 9 ) çoluğu verilmiş bərabərsizliin həlli olur.

215 İşçi vərəq 6 Adı Soadı Tari Açıq şəkildə azın. log (85 9 ) log log log 7 (dhn) log 6 (b z ) log (uqb) İfadəni log a N şəklində azın. log r+log z log z+log n log 5 n - log 5 İfadələrin qimətini tapın. Məsələn: log 8+log 9 ifadəsinin qimətini tapın log 8+log 9 = log +log log 5 5-log 6 Cavab log 7 log Cavab log 6-log 6 Cavab log 6 log 7 9 Cavab = log +log = log +log = + =5 5 log a b c = c log a b log a a = log 9 ( )log 7 9 log 6 6+5log 9 8 log 5 5log Cavab Cavab Cavab log 7+log 8 6 Cavab

216 İşçi vərəq 7 Adı Soadı Tari ) Üstlü tənlikləri həll edin. 5 =65 =6 + = 8 9 = 8 = - =7 =7 5 =0 + = =5 7 + = = 5 - =5 =5 + + = - ) Üstlü bərabərsizlikləri həll edin. + < ( ) + > ( ) ( ) =0 5 = + + =5 +

217 İşçi vərəq 8 Adı Soadı Tari ) Loqarifmik tənlikləri həll edin log (6+b)=log (b -b) ln(n +)=ln(-9n-) log +log 8= lg-lg= lg+lg= log +log 7=log 7 log 8 +log 8 = log 9 (+6)-log 9 =log 9 log 6 (+)-log 6 =log 6 9 log (5-)> log 7 log ( -)< ln-ln(+)= ) Loqarifmik bərabərsizlikləri həll edin log0,(+) log0,5 log ( )+ log > 7 log 5 6+log 5 =log 5 8 ln(-)-ln7=

218 Üstlü və loqarifmik funksialar Summativ qimətləndirmə mearları cədvəli Mearlar Qed Üstlü funksianın qrafikini qurur, assələrini təqdim edir Qüvvətin assələrindən istifadə etməklə üstlü funksianın dail olduğu ifadələri sadələşdirir Üstlü funksia üzərində uğun çevrilmələri erinə etirir Üstlü funksianın köməilə mütəlif situasiaları (pul artımı, radioaktiv parçaıanma, əhalinin artımı və s.) model - ləşdirir 5 Loqarifmin mahiətini riazi əməl olaraq başa düşür 6 Loqarifmik şkala üzərində qurulmuş məsələləri həll edir 7 Loqarifmik funksianın qrafikini qurur 8 Loqarifmin assələrini tətbiq edir 9 Üstlü tənlikləri həll edir 0 Loqarifmik tənlikləri həll edir Üstlü bərabərsizlikləri həll edir Loqarifmik, üstlü tənlik və bərabərsizliklərə aid məsələləri həll edir 8

219 Dərs 6. Summativ qimətləndirmə tapşırıqları ) Qrafikə uğun düsturu azın. n-in qimətini tapın. ) = + funksiasının təin oblastını və qimətlər çoluğunu azın. 5 ) ( ; ) nöqtəsi = l 5 funksiasının qrafiki üzərindədir. l-nın qimətini tapın. ) Hansı ikisi eni funksianı ifadə edir? = 6() və = + 7 ( ) = və 6 = ( ) = 5(5) və = 5 + 5) Tənlikləri həll edin ,5 = 9 + = 0 6) Tənlikləri həll edin. = 6 + = 8 5 = 0, + = 0 7) Hesablaın. log 6 log 8) Tənlikləri həll edin. log 5 + log 5 = log 5 9) Bərabərsizlikləri həll edin. 7-6,5 00 log 6 log 8 = log 0) Kima laboratoriasında təcrübə aparılan turşuda ph =, olduğuna görə hidrogen konsentrasiasını ph = lg(h + ) düsturuna görə hesablaın. Kalkulatordan istifadə edin. ) = ae 0,000t düsturunda a hevan qalığındakı karbon - izotopunun miqdarını, t hevanın neçə il əvvəl öldüünü göstərir. isə t ildən sonra qalan karbon--ün miqdarını düsturu ilə hesablamaq olar. Karbonun arımparçalanma müddəti T = 570 olduğuna görə karbon -ün miqdarını 95% itirmiş qalığın neçə aşı var? t m = m0 ( ) T 9 log / log(-5)

220 0.Kompleks ədədlər Planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh.... Kompleks ədəd anlaışı ilə tanışdır.... Kompleks ədədi cəbri və triqonometrik şəkildə təqdim edir.... Cəbri şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində hesab əməllərini erinə etirir.... Kompleks ədədin istənilən dərəcədən qüvvətini və kökünü tapır. 7-9 Kompleks ədədlər. Kompleks ədədlər üzərində əməllər 50 Kompleks ədədin həndəsi təsviri Kompleks ədədin modulu və 5 arqumenti. Kompleks ədədin triqonometrik şəkli Triqonometrik şəkildə verilmiş 5 kompleks ədədlər üzərində əməllər Kompleks ədədin n-ci 5-5 dərəcədən kökləri. Ümumiləşdirici tapşırıqlar 55 Kompleks ədədlər. Summativ qi mətləndirmə tapşırıqları 0 Cəmi

221 Dərs 7-9. Dərslik səh Kompleks ədədlər. Kompleks ədədlər üzərində əməllər. saat. Məzmun standartı... Kompleks ədəd anlaışı ilə tanışdır.... Kompleks ədədi cəbri və triqonometrik şəkildə təqdim edir.... Cəbri şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində hesab əməllərini erinə etirir. Riazi lüğət kompleks ədədlər, həqiqi ədədlər, əali ədədlər, Əlavə resurslar Formalaşdırılan şagird bacarıqları İşçi vərəqlər Kompleks ədəd anlaışını nümunələr üzərində izah edir. Kompleks ədədlər üzərində əməlləri erinə etirir. Hesab əməllərinin assələrini kompleks ədədlər üzərində əməllərə tətbiq edir. Dərslikdə verilmiş Bu maraqlıdır tarii məlumatı haqqında söhbət aparılır. Hər hansı riazi anlaışın sistemli şəkildə elmə gəlişi zamanı mürəkkəb mübahisələrdən mübarizələrdən keçdii haqqında məlumat verilir. Məsələn, böük Pifaqor uzun müddət kvadratı olan həqiqi ədədin olmadığını, əni = tənliinin həqiqi kökünün olmadığını iddia etmişdir. Çünki belə bir həlli qəbul etmək rasional ədəddən fərqli, eni növ ədədin - irrasional ədədin varlığını və bu tənliin köklərinin = və = olduğunu qəbul etmək demək idi. Mübahisələr bizim eradan əvvəl ci illərdən, əni Pifaqorun aşadığı illərdən XIX əsrə qədər davam etdi. İrrasional ədədlərin dail edilməsi də bütün tənliklərin köklərini əhatə edən ədədlər sistemini aratmadı. Mübahisələr = tənliinin köklərini hansı ədədlər ifadə etməlidir sualının ətrafında qalmaq da idi. Aşağıdakı şəkildə kompleks ədədlərin digər ədədi çoluqlarla əlaqəsi təsvir edilmişdir. Şagirdlərə bu semi dəftərlərində çəkmələri üçün vat verilir. N Z Q R C Tam ədədlər (Z) Kompleks ədədlər (C) Həqiqi ədədlər (R) Xəali ədədlər Rasional ədədlər (Q) Natural ədədlər (N) Sıfır Natural ədədlərin əksi İrrasional ədədlər (İ) Kəsr ədədlər Şagirdlərin tarii məlumatda adları keçən riaziatçılar haqqında məlumat toplamaları və təqdimat hazırlamaları tövsiə edilir. Təqdimat üsusi tədbirlə məktəb səviəsində və a sinifdə keçirilə bilər.

222 Bir çolarının mənasız sadığı, kimi ədədlərin Dekart tərəfindən əali ədədlər adlandırılması ilə və daha sonra Eler və Gaussun töhfələri ilə kompleks ədəd riaziat elmində öz erini almış oldu. Kompleks ədədin a +ib şəklində cəbri azılışında a və b həqiqi ədədlər, i isə əali vahid olduğu diqqətə çatdırılır. Lakin i-nin omadığı da vurğulanır. Bir ço hallarda şagirlər i-ni bir kimi qəbul edirlər. Kompleks ədədlər üzərində əməllərin hesab əməlləri ilə eni assəə malik olduqları qed edilir. Şagirdlər bu assələri səsləndirir, dəftərlərində həqiqi ədədlər üzərində nümunələr azırlar. Eni assə kompleks ədədlərə də tətbiq edilir. Kompleks ədədlərə aid eniliklər və əməllər ümumi şəkildə azılır.. Enilik: a + bi = c + di alnız və alnız o zaman mümkündür ki, a = c və b = d olsun.. Kompleks ədədlərin toplanması: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Kompleks ədədlərin vurulması: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i Dərs Dərslik səh Kompleks ədədin həndəsi təsviri. Kompleks ədədin modulu və arqumenti. Kompleks ədədin triqonometrik şəkli Məzmun standartı... Kompleks ədəd anlaışı ilə tanışdır.... Kompleks ədədi cəbri və triqonometrik şəkildə təqdim edir.... Cəbri şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində hesab əməllərini erinə etirir. Riazi lüğət kompleks ədədlər, həqiqi ədədlər, əali ədədlər, Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər kompleks ədədi kompleks müstəvidə nöqtə ilə təsvir edir, anlaışını nümunələr üzərində izah edir; kompleks ədədin mütləq qimətini və arqumentini nümunələr üzərində göstərir. z = a + bi kompleks ədədinə koordinat müstəvisində (a;b) nöqtələri uğun gəlir. Komp - leks ədədin təsvir edildii koordinat müstəvisinə kompleks müstəvi deilir. Burada əali o, həqiqi o adlanır. Xəali o + i Kompleks ədədin mütləq qiməti və a modulu + i koordinat başlanğıcından (a;b) nöqtəsinə qədər i olan məsafədir. 0 əali o i Həqiqi o i i Bu anlaışların düzgün və (; 5) 5 adın şəkildə dərk edilməsi kompleks ədədlərin triqono metrik 9 həqiqi şəkildə azılışı, n-ci dərəcədən kök alınması kimi daha o mürəkkəb anlaışları asan qavramağa imkan aradır. Odur ki, hər bir şagird diqqət mərkəzində salanılır.

223 Dərs 5. Dərslik səh. 80, 8. Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində əməllər Məzmun standartı... Kompleks ədədi cəbri və triqonometrik şəkildə təqdim edir.... Cəbri şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində hesab əməllərini erinə etirir. Riazi lüğət kompleks ədədlər, həqiqi ədədlər, əali ədədlər, Əlavə resurslar Formalaşdırılan şagird bacarıqları İşçi vərəqlər kompleks ədədi triqonometrik şəkildə ifadə edir; triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində əməlləri erinə etirir. Kompleks ədədlərin kompleks şəkildə ifadəsi və kompleks şəkildə verilmiş ədədlər üzərində əməllərə aid tapşırıqlar erinə etirilir. Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədin cəbri azılışı ilə və əksinə ifadə edilməsi tapşırıqları diqqətdə salanılır. Əvvəlcədən böük vərəqdə azılmış nümunələrin lövhəə bərkidilməsi və dərs bou şagirdlərin gözü qarşısında olması fadalı olardı. z = i ədədini triqonometrik şəkildə azın. r = i = ( ) +( ) = 6 = θ` referens bucağı b tg θ` = = = a tg = z = i III rübdə erləşdiindən θ bucağı θ = + = z = i ədədinin triqonometrik şəkli z = r(cosθ + i sinθ) = (cos + i sin ) Analoji qadada triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədin standart şəkildə azılışa çevrilməsi nümunəsi hazırlanır. Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlərin həndəsi təsvirinə, əməllərin erinə etirilməsinə aid tapşırıqlar həll edilir. (a, b) b a Xəali o r Həqiqi o Xəali o Həqiqi o z = z = i

224 Dərs 5,5. Dərslik səh Kompleks ədədin n-ci dərəcədən kökləri Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Məzmun standartı... Kompleks ədədin istənilən dərəcədən qüvvətini və kökünü tapır. Riazi lüğət n dərəcədən, n sada kök Formalaşdırılan şagird bacarıqları kompleks ədədin n-ci dərəcədən kökünü müəən edir. Əlavə resurslar İşçi vərəqlər Kompleks ədədlər anlaışını n-ci dərəcədən kök üzərində daha adın izah etmək olar. Şagird 6 - = 0 tənliini həll edərək köklərinin və olduğunu müəən edir. Tapılan köklərin hər birinin -in 6-cı dərəcədən kökü olduğunu başa düşür. z = r(cosθ +isinθ) kompleks ədədinin n dərəcədən n sada kökü var. Onlar k = 0,,,..., n- olmaqla aşağıdakı kimidir. Məsələn, 6-ün 6-cı dərəcədən 6 kökü var və onlar aşağıdakı kimidir. Kompleks ədədin n-ci dərəcədən kökü rasional tənliklərin həllində geniş istifadə edilir. Bəzən sual verilir: Kompleks ədədlər real həatda harada istifadə edilir? -Bir ço fiziki, kiməvi hadisələri, mühəndis teniki qurğuların laihələri rasional tənliklərlə modelləşdirilir. Bu işləri erinə etirərkən kompüterdə çolu sada rasional tənliklər həll edilir. Bu zaman köklərin kompleks və a həqiqi ədədlər olmasından asılı olmaaraq onların bütün kökləri tapılır.

225 Kompleks ədədin n dərəcədən kökünün adın həndəsi izahı var. z kompleks ədədinin n dərəcədən bütün köklərinin modulu r kimidir və bütün köklər radiusu r və mər kə zi koordinat başlanğıcında olan çevrənin üzərində erləşir. n dərəcədən köklər arqumenti /n olmaqla çevrə bou ardıcıl olaraq bərabər məsafələrdə erləş miş dir. Bu təsvir şəkildə göstərilmişdir. n Xəali o n r Həqiqi o Xəali o ədədinin 6-cı dərəcədən bütün köklərini göstərin. -i triqonometrik şəkildə azaq. = (cos0 +isin0) n = 6, r = olduğuna görə düstur: ( ) k 0 + k k k cos + i sin = cos + i sin 6 6 k = 0,,,,, 5 ardıcıl olaraq erinə azsaq, Xəali cos 0 + i sin 0 = o cos + i sin = + i + i + 0 i cos + i sin = + i cos + i sin = cos + i sin = i 5 5 i cos + i sin = i Həndəsi təsvir isə vahid çevrə üzərində bir-birindən bərabər uzaqlıqda erləşən 6 nöqtədir. 5 + i + 0 i i Həqiqi o

226 İşçi vərəq N Adı Soadı Tari ) Cəbri şəkildə verilmiş kompleks ədədləri triqonometrik şəkildə azın. a) 5 + 5i b) - ( i ) c) 7i ) Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədləri cəbri şəkildə azın. a) cos (50 ) + sin (50 )i b) 9 cos + 9 sin i ) Əməlləri erinə etirin. a) [ (cos + sin i) ][ ( cos + sin i ) ] b) ( cos 50 + sin 50 i) ( cos 0 + sin 0 i) ) Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədləri cəbri şəkildə azın. ( cos 0 + i sin 0 ) 5( cos 5 + i sin 5 ) ( cos 00 + i sin 00 ) ( cos 5 + i sin 5 ),75 ( cos + i sin ) 6

227 Kompleks ədədlər Bölmə üzrə qimətləndirmə mearları N Mearlar Qed Kompleks ədədləri cəbri şəkildə ifadə edir Kompleks ədədlər üzərində əməlləri erinə etirir Kompleks ədədləri kompleks müstəvidə təsvir edir Kompleks ədədləri triqonometrik şəkildə ifadə edir Kompleks ədədləri triqonometrik şəkildən cəbri şəklə və 5 əksinə çevirir 6 Vahidin n-ci dərəcədən kökünü tapır 7 Kompleks ədəddən n-ci dərəcədən kökünü tapır Dərs 55. Kompleks ədədlər Summativ qimətləndirmə tapşırıqları ) Əməlləri erinə etirin. Nəticəni a + bi şəklində azın. a) ( + i) + (5 6i) b) ( i)( + i) c) i 7 i ) Kompleks ədədin modulunu tapın.. 7i i. 5 i ) Kompleks ədədi triqonometrik şəkildə ifadə edin. z = + i ) Ədədləri triqonometrik şəkildə ifadə edin. a) i b) + i 7 6 əali o həqiqi o

228 5) Şəkildə hansı kompleks ədədin kökləri təsvir edilmişdir? 5 5 əali o 5 həqiqi o 5 6) z və z kompleks ədədlərinin hasilini hesablaın. z=( cos +i sin ) z=8( cos +i sin ) 6 6 7) z və z kompleks ədədlərinin nisbətini hesablaın. z=( cos00 + i sin00 ) z=8( cos75 + i sin75 ) 8) Ədədi kompleks müstəvi üzərində təsvir edin. ) 8i ) i ) 7+ i ) 5 i 9) və dəişənlərinin erinə elə həqiqi ədədlər azın ki, bərabərliklər doğru olsun. + i = 6 i i = + 8i 5i = +0i + 7i = 6 i 0) Kompleks ədədləri kompleks müstəvi üzərində təsvir edin və cəbri şəkildə azın. a) 5(cos0 + i sin 0 ) b) (cos0 + i sin 0 ) 8

229 . Məlumatlar proqnozlar Planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh Külliat və seçim. Təsadüfi seçim və növləri. Məlumatın təqdimi Ölçmənin siste - matik və təsadüfi səhvlərini (nəticələrini) fərqləndirir Hadisələrin başvermə ehtimalının hesablanmasına Bernulli semini tətbiq edir 6-6 Binomial açılışlar Bernulli sınaqları. Binomial sınaqlar. Ümumilədirici tap şı - rıqlar Məlumatlar proqnozlar.summativ qimətləndirmə tap şı - rıqları Ümumiləşdirici tapşırıqlar. İl - lik summativ qimətlən dir mə tapşırıqları. 9 Cəmi

230 Dərs Dərslik səh Külliat və seçim. Təsadüfi seçim və növləri. Məlumatın təqdimi. 5 saat. Məzmun standartı 5...Ölçmənin sistematik və təsadüfi səhvlərini (nəticələrini) fərqləndirir. Riazi lüğət: külliat, seçim, təsadüfi seçim, diskret məlumat, kəsilməz məlumat Formalaşdırılan şagird bacarıqları külliata görə seçimi müəən edir; seçimə görə aparılan araşdırmaları külliata tətbiq edir; seçimlərin növlərini nümunələr üzərində izah edir. 0 Əlavə resurslar İşçi vərəqlər Şagirdlərlə müasir dövrdə statistika və ehtimalın örənilməsinin əhəmiəti barədə söhbət edilir. Statistika məlumatlarla örənmə elmidir və bu elm sahəsi məlumatın toplanması, analizi, sistemləşdirilməsi, şərhini əhatə edir. Statistik araşdırmalar nə ti - cəsində əldə edilmiş göstəricilər əsasında üsusən tibb elminin mütəlif sahələrində, əczaçılıq, genetika və s. sahələrində, dövlətin siasətində, maliədə geniş tətbiq edilir. Son dövrlər ekoloji problemlər, məsələn qlobal istiləşmə haqqında verilən proqnozlar statistik araşdırmalara əsaslanır. Əgər statistika seçimə görə aparılan tədqiqat əsasında külliat haqqında proqnoz verirsə, ehtimal külliatdan seçilmiş elementlər haqqında proqnoz verir. Külliatdan aparılmış seçimin növləri haqqında məlumat verilir. Şagirdlər nümunələr üzərində seçim tenikalarını təqdim edirlər. Sadə təsadüfi seçim Sistematik təsadüfi seçim Klaster təsadüfi seçim Təbəqəli təsadüfi seçim Sadə təsadüfi seçim Elementlərin hər birinin seçilmə şansı enidir. Uduşa düşəcək telefon nömrələrini kompüter təsadüfi olaraq seçir. Klaster seçim Müəən qrup elementlərdən təsadüfi seçim Sistematik təsadüfi seçim Hər k-cı element seçilir. Təbəqəli təsadüfi seçim Külliat ən azı qrupa (təbəqəə) arılır. Qruplardan təsadüfi seçim aparılır. Həətimizdə qaraj tikilməsinə razısınız? Rahat seçim Aidiatı elementlərdən seçim. Sinif şagirdlərindən soruşulur Kimlər eni qrupda işləmək istəirlər?

231 Məlumatın kəmiət və kateqorialarla ifadə olunmasına görə iki tipə arıldığı qed edilir. Burada bir məqama diqqət edilir. Hər iki halda nəticələr ədədi qi mət - lər lə ifadə edilir. Araşdırmanın obektinə görə məlumatlar bu cür iki qrupa bölünür. Məsələn, ən ço hansı rəngdə avtomobil satılır araşdırmasında araşdırma rəngə gö - rə aparılır və bu kateqorial məlumatdır. Alma ağacının son 5 ildə verdii məhsul isə kəmiət tipli məlumatdır. Şagirdlərin külliatdan və seçim anlaışlarını başa düşmələri üçün mütəlif situasi - alar aradılır. Seçim o zaman doğru olur ki, nümunələrin arakteristikaları, ke - fiətləri külliatın kefiətlərini, arakteristikalarını əhatə etsin. Məsələn, təbəqəli seçimdə 8-ci sinifdə 80 nəfər və 0-cu sinifdə 0 nəfər ouursa, onlar arasından 0 nəfər seçilməlidirsə, hər sinifdən neçə nəfərin seçilməsi doğru olardı? Şagirdlərin ümumi saı 00 nəfərdir. 8-ci sinifdən (80/00) 0 =, 0-cu sinifdən isə (0/00) 0 = 8 nəfər seçməliik. Klaster seçimlə təbəqəli seçimin fərqi nümunə ilə izah edilir. Klaster seçim: Hər hansı tədqiqat alnız uarı sinif şagirdləri arasında aparılır. Hər bir uarı sinif şagirdinin təsadüfi seçilmə imkanı bərabərdir. Təbəqəli seçim: Seçim bütün məktəb şagirdləri ara sında aparılır. Təmsilçi nümunələr eni seçim imkanı ilə hər sinfdən seçilir. Şagird lərə mütəlif situasialarda anlış təmsilçi seçim nümunələri göstərmələri təklif edilir:. Hevan dərisindən geimlərin hazırlanması doğrudurmu?. Ekzotik hevanları ev hevanı kimi salamaq düzgündürmü? -ci sualla sorğu üçün dəri geimlərin satıldığı mağazanın müştərilərindən seçim etmək, dəri geimlərini gemiş şəslərdən seçim etmək anlış seçimdir. Sorğu zamanı sualın düzgün qoulması da düzgün nəticələr əldə etməə imkan verir. Məlumatın təqdimi formaları Məlumatın toplanması zamanı aşağıdakı məqam - müzakirə edilir. lar diqqət mərkəzində salanılır. * Tezlik cədvəli * Məlumatı toplaan şəs * Barqraf * Araşdırmanın aparıldığı külliat * Histoqram * Təmsilçi seçimin müəən edilməsi * Səpələnmə diaqramı * Hansı sualla araşdırma aparılacaq Kiçik məlumat bazasında * Təmsilçi seçimin nəticələrinin küliata tətbiq * gövdə-budaq diaqramı edilməsi * Araşdırma nəticəsində nə əldə edildi, məqsəd nə Başlanğıc idi?. Məqsəd müəən edilir Külliat 5. Nəticə çıarılır Külliatın parametrləri. Külliatdan seçilir Təmsilçi seçim. Məlumatlar top lanır və ümu - mi ləşdirilir. Külliata Təmsilçi tət biq edilir seçi min göstəri ci ləri

232 Dərs 6-6. Dərslik səh Binomial açılışlar. saat. Məzmun standartı 5... Hadisələrin başvermə ehtimalının hesablanmasına Bernulli semini tətbiq edir Riazi lüğət binom, binomun qüvvəti, binomial açılış, Paskal üçbucağı Formalaşdırılan şagird bacarıqları Əlavə resurslar İşçi vərəqlər Binomun qüvvətinin açılış qanunauğunluqlarını nümunələr üzərində göstərir. Binomial açılışda hədlərin əmsalını kombinezonla ifadə edir. Binomial açılışda hədlərin əmsalını paskal üçbucağı ilə əlaqələndirir. Binomial açılışlardakı qanunauğunluqlar müzakirələrlə izah edilir, şagirdlərə bir neçə açılışı müstəqil azmaları üçün vat verilir. Əmsalların kombinezonla ifadəsinin hər bir şagirdin başa düşdüünə diqqət edilir. Paskal üçbucağı maraqlı assələrə malikdir. Şagirdlər kiçik laihə işi kimi müstəqil araşdırmalar apararaq təqdimat hazırlaa bilərlər. Paskal üçbucağında ədədlər simmetrik erləşmişdir. Təpədən () keçən düz əttə görə soldakı ədədlərlə sağdakı ədədlər enidir. 6 Paskal üçbucağının an tərəfinə paralel ətlər bou düzülmüş ədədlər,, 6, 0, 5,,... üçbucaq ədədlərdir. Yəni bu ədədlərin saı qədər əşa ilə bəra bər - tərəfli üçbucaq quraşdırmaq olar. Paskal üçbucağında tək ədədlərin erinə qara, cüt ədədlərin erinə ağ rəngli dairələr çəkilsə, şəkildə göstərilən mənzərə alınır. Bu mənzərədə də maraqlı assələr var. Məsələn, bütün qara cərgələrin nömrələri 0,,, 7, 5,,... -nin tam qüvvətlərindən bir vahid azdır. Fibonaçi ədədləri də Paskal üçbucağında gizlənmişdir. Düz ətt bounca hərəkət 6 6 edib, istənilən anda dönsəniz, rast ,,,, 5, 8,,,,... gəldiiniz ədəd düz oldakı ədədlərin cəminə bərabərdir.