REZISTENŢA MATERIALELOR NOŢIUNI FUNDAMENTALE ŞI APLICAŢII *

Transcript

1 PAVEL TRIPA MIHAI HLUŞCU REZISTENŢA MATERIALELOR NOŢIUNI UNDAMENTALE ŞI APLICAŢII * Editur MIRTON Timişor 006

2 Referenţi ştiinţifici: Prof. Univ. Dr. Eur. Ing. Tiberiu BABEU Membru l Acdemiei de Ştiinţe Tehnice din Români Prof. Univ. Dr. ing. Nicole NEGUŢ Tehnoredctre computeriztă: Prof. univ. dr. ing. Pvel TRIPA Şef lucr. dr. ing. Mihi HLUŞCU Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României TRIPA, PAVEL Rezistenţ mterilelor : noţiuni fundmentle şi plicţii/ Pvel Trip, Mihi Hluşcu. Timişor: Mirton, 006 Bibliogr. ISBN (10) (13) I. Hluşcu Mihi 539.4

3

4 C U P R I N S Cuprins Prefţă INTRODUCERE Clsificre forţelor cre cţioneză supr elementelor de rezistenţă Momentul forţei fţă de un punct Reducere forţelor într-un punct Condiţiile ce trebuie stisfăcute de către elementele de rezistenţă Tipuri de probleme întâlnite în Rezistenţ mterilelor... 1 REAZEME ŞI REACŢIUNI Rezeme Recţiuni Clculul recţiunilor Etpe în clculul recţiunilor. Exemple EORTURI. DIAGRAME DE EORTURI Eforturi Digrme de eforturi Etpe pentru trsre digrmelor de eforturi Exemple de trsre digrmelor de eforturi Digrme de eforturi l bre drepte orizontle Digrme de eforturi l cdre cu bre drepte Digrme de eforturi l bre curbe plne Digrme de eforturi l sisteme spţile de bre drepte E Digrme de eforturi (Probleme propuse) R Digrme de eforturi (Răspunsuri) CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAEŢELOR PLANE Considerţii generle Crcteristicile geometrice le câtorv suprfeţe simple Etpe pentru determinre crcteristicilor geometrice le 14 suprfeţelor plne Exemple de determinre principlelor crcteristici geometrice le suprfeţelor plne E Crcteristici geometrice le suprfeţelor plne (Probleme propuse) R Crcteristici geometrice le suprfeţelor plne (Răspunsuri) SOLICITAREA AXIALĂ Considerţii generle. Etpe de clcul , Clculul sistemelor de bre drepte, sttic determinte

5 5.3 Clculul brelor drepte solicitte de forţe xile Clculul sistemelor de bre rticulte, sttic nedeterminte Clculul sistemelor cu inexctităţi de execuţie Clculul brelor rticulte, sttic nedeterminte, cu inexctităţi de execuţie Clculul brelor drepte solicitte xil, cre prezintă un rost l un cpăt Clculul brelor cu secţiuni neomogene, solicitte xil Clculul brelor supuse vriţiilor de tempertură Clculul brelor supuse cţiunii simultne mi multor fctori E Solicitre xilă (Probleme propuse). 08 5R Solicitre xilă (Răspunsuri) CALCULUL ÎMBINĂRILOR DE PIESE Considerţii generle. Etpe de clcul Clculul îmbinărilor de piese cu grosime mică Clculul îmbinărilor nituite Clculul îmbinărilor sudte Clculul îmbinărilor pieselor de lemn E Clculul îmbinărilor de piese (Probleme propuse) R Clculul îmbinărilor de piese (Răspunsuri) 69 7 CALCULUL LA ÎNCOVOIERE SIMPLĂ AL BARELOR DREPTE PLANE Considerţii generle. Etpe de clcul Exemplu de clcul E Clculul l încovoiere simplă l brelor drepte plne (Probleme 6R propuse) Clculul l încovoiere simplă l brelor drepte plne (Răspunsuri) CALCULUL LA RĂSUCIRE AL BARELOR DREPTE Clculul l torsiune l brelor drepte cu secţiune circulră su inelră. Considerţii generle. Etpe de clcul Clculul l torsiune l brelor drepte cu secţiune necirculră E Clculul l răsucire l brelor drepte de secţiune circulră, su inelră (Probleme propuse) R Clculul l răsucire l brelor drepte de secţiune circulră su inelră (Răspunsuri) Bibliogrfie. 39

6 Prefţă Rezolvre problemelor de Rezistenţ Mterilelor re un numit specific. Lucrările de specilitte elborte în domeniul Rezistenţei Mterilelor, mi les cursurile şi culegerile de probleme, păgubesc mult prin cee că supr modului de rezolvre l problemelor, se opresc forte puţin su chir deloc. Cei puşi în situţi de rezolv probleme de rezistenţ mterilelor întâmpină mri dificultăţi, în specil din cuz necunoşterii etpelor şi metodologiei de rezolvre, specifice cestor probleme. Cu rezolvre unor probleme mi complexe de rezistenţ mterilelor se întâlnesc studenţii fcultăţilor tehnice, cre prin progrm nlitică studiză cestă disciplină. Cum pregătire cestor pe prcursul ctivităţii lor nu este continuă şi susţinută, tunci când sunt nevoiţi să rezolve probleme concrete de rezistenţ mterilelor, întâmpină mri greutăţi, cre rezultă tocmi din necunoştere etpelor şi metodologiei de rezolvre. Acestă lucrre vine în sprijinul eliminării cestor nejunsuri, prin prezentre etpelor şi metodologiei ce trebuie urmtă l rezolvre problemelor de rezistenţ mterilelor. Prezentre etpelor şi metodologiei de rezolvre le problemelor de rezistenţ mterilelor este gândită în sensul cuprinderii întregii mteriii cre se predă l cursul de Rezistenţ Mterilelor, studenţilor de l fcultăţile tehnice. Lucrre pote fi considertă un ghid prctic, conţinând tât noţiuni teoretice, probleme rezolvte cât şi plicţii de rezolvt. Este o combinţie reuşită între curs şi culegere de probleme. L fiecre cpitol se fce o prezentre noţiunilor teoretice (fără demonstrţie) necesre rezolvării problemelor din cpitolul respectiv, etpelor şi metodologiei de urmt în rezolvre problemelor. După cest, se prezintă probleme căror rezolvre urmeză etpele şi metodologi indictă. 3

7 În primele opt cpitole se trteză: clculul recţiunilor, digrmele de eforturi, clculul crcteristicilor geometrice le suprfeţelor plne şi clculul elementelor de rezistenţă l solicitări simple (întindere compresiune, forfecre, încovoiere simplă, răsucire). Pentru c cei interesţi de stfel de probleme să-şi potă verific cpcitte de rezolvre problemelor de rezistenţ mterilelor, în cpitolul 9 (Aplicţii) l lucrării, sunt propuse, pentru fiecre cpitol, un număr mre de plicţii l cre se indică rezulttele finle şi de cele mi multe ori şi cele intermedire. Lucrre se dreseză în primul rând studenţilor de l fcultăţile tehnice cre studiză disciplin de Rezistenţ Mterilelor în vedere pregătirii lor profesionle şi mi les exmenului l cestă disciplină. În celşi timp, e este deosebit de utilă proiectnţilor de elemente şi structuri de rezistenţă, cre de cele mi multe ori din comoditte şi mi les din necunoştere metodologiei de clcul rezistenţei şi deformbilităţii elementelor, nu fc clculele necesre. Elborre cestei lucrări, se bzeză în primul rând pe experienţ de peste 5 de ni, cumultă de utori în ctivitte cu studenţii l disciplin de Rezistenţ Mterilelor. Autorii sunt recunoscători celor cre vor lectur cestă lucrre şi vor veni cu precieri, dr mi les cu propuneri de înbunătăţire conţinutului lucrării într-o ediţie nouă, stfel încât studenţii şi cei interesţi să ibă l dispoziţie o lucrre utilă, de cre l or cest este forte mre nevoie. Celellte cpitole le Rezistenţei Mterilelor vor fi trtte într-o ltă lucrre. Autorii 4

8 1. INTRODUCERE L proiectre mşinilor şi diferitelor construcţii, proiectntul trebuie să legă mterilele şi să dimensioneze fiecre element de rezistenţă, stfel încât cest să reziste în deplină sigurnţă cţiunii forţelor exteriore cre i se trnsmit. Pentru ve convingere că cele prezentte în cestă crte vor fi bine înţelese, consider că este necesră totuşi prezentre unor noţiuni, chir dcă ceste se prezintă detlit în tote cursurile de Rezistenţ Mterilelor. 1.1 Clsificre forţelor cre cţioneză supr elementelor de rezistenţă Orgnele de mşini şi diferitele elmente de rezistenţă, preiu o serie de srcini exteriore şi trnsmit cţiune cestor de l un element l ltul. orţele pe cre le preiu orgnele de mşini şi elementele de construcţie sunt, fie forţe de volum, fie forţe de intercţiune între elementul dt şi elementele vecine. orţele de volum (exemplu greutte proprie), cţioneză supr fiecărui element de volum. Clsificre forţelor se pote fce după mi multe criterii: A. După modul de plicre, distingem: ) forţe concentrte b) forţe distribuite orţele concentrte se trnsmit între diferitele elemente de rezistenţă prin intermediul unei suprfeţe le cărei dimensiuni sunt forte mici în comprţie cu dimensiunile întregului corp. În clculele de rezistenţă, dtorită dimensiunii mici suprfeţei prin cre se trnsmite forţ, se consideră că forţ concentrtă (ig.1.1-1) se plică întrun punct. Acest mod de reprezentre ig este dor o reprezentre proximtivă, introdusă numi pentru simplificre 5

9 clculelor. În prctică, forţele nu se pot trnsmite printr-un punct. Inexctitte provoctă de o stfel de proximre este forte mică şi în prctică pote fi neglijtă. orţ concentrtă se măsoră în [N]. orţele plicte continuu pe o lungime su pe o suprfţă unui element de rezistenţă, se numesc srcini distribuite. Srcinile distribuite, pot ve intensitte (mărime) constntă (ig.1.1-) su vribilă (ig.1.1-b). Srcinile distribuite linir se măsoră în [N/m], b ig.1.1- ir cele distribuite pe suprfţă în [P] = [N/m ]. În clculele de rezistenţ mterilelor, de multe ori srcinile distribuite se înlocuiesc printr-o rezultntă, cărei mărime şi direcţie, sens şi punct de plicţie trebuie cunoscut. Pentru czul srcinilor distribuite linir, în ig.1.1-3,b sunt prezentte vlore, sensul şi punctul de plicie l rezultntei R cestor srcini. p p l / l / 3 R = p l R = pl / l l ) b) ig Am prezentt numi czul srcinilor distribuite linir, deorece în problemele curente întâlnite (mi les l seminr), cest cz de încărcre este cel mi frecvent. 6

10 B. După ntur lor, forţele sunt: ) forţe dte su ctive, numite şi srcini su încărcări, b) forţe de legătură su recţiuni. orţele ctive împreună cu forţele de legătură, formeză grup forţelor exteriore. Asupr legăturilor su rezemelor unde cţioneză forţele de legătură, se revine într-un prgrf seprt (pr..). C. După ntur cţiunii lor, srcinile pot fi: ) sttice b) dinmice. Srcinile sttice încrcă construcţi treptt. Odtă ceste srcini plicte, ele nu mi vriză su suferă vriţii nesemnifictive. Mre mjoritte srcinilor cre cţioneză supr diferitelor construcţii, sunt de cest tip. În construcţi de mşini mi les, se întâlnesc elemente în mişcre căror ccelerţii sunt mri şi vriţi vitezei re loc într-un timp reltiv mic. Asupr cestor elemente, cţioneză srcinile dinmice. Astfel de srcini sunt: srcinile plicte brusc, cele cre produc şocuri şi srcinile vribile (periodic su letor) în timp. Srcinile plicte brusc, se trnsmit dintr-o dtă construcţiei cu întreg lor vlore. Şocurile iu nştere în urm vriţiei rpide srcinilor, cee ce cuzeză vriţi bruscă vitezei elementului de rezistenţă. Srcinile vribile periodic în timp, cţioneză supr elementelor de rezistenţă, repetându-se de un număr mre de ori. D. Srcinile mi pot fi clsificte şi în srcini: ) permnente b) mobile. Srcinile permnente cţioneză pe totă durt existenţei construcţiei su structurii de rezistenţă, ir cele mobile cţioneză dor în decursul unui numit intervl de timp. Trebuie specifict că, forţele pot fi clsificte şi pe bz ltor criterii. Clsificre prezenttă este dor un din multiplele clsificări cre pot fi făcute. 7

11 Cât priveşte cuplurile (momentele), clsificre cestor, pote fi făcută pe bz clsificării forţelor. 1. Momentul forţei fţă de un punct În rezolvre problemelor de rezistenţ mterilelor, deseori trebuie clcult momentul forţelor fţă de un punct su fţă de centrul de greutte l unei secţiuni. Să ne remintim tunci, cum se clculeză momentul unei forţe fţă de un punct. ) Momentul unei forţe concentrte fţă de un punct B (ig.1.-1) este egl cu produsul dintre B mărime forţei şi brţul cestee, b: b M (m) B = b 1.-1 unde prin brţul forţei se înţelege ig.1.-1 distnţ de l punctul considert (B) până l suportul forţei. În czul prezentt, brţul forţei este segmntul BM cre este perpendiculr pe suportul forţei (BM = b; BM perpendiculr pe suportul forţei). b) Momentul unei srcini distribuite p fţă de un punct B, (ig.1.-) este egl cu produsul dintre rezultnt srcinii distribuite (R= p l) şi brţul rezultntei. În cest cz, brţul rezultntei fţă de punctul B, este: b = l / + B p ig.1.- Deci, momentul srcinii distribuite fţă de punctul B, pentru czul prezentt, este: 8 l/ l R

12 (mp) B = R b = p l ( l / + ) 1.- c) Momentul unui cuplu M 0 (moment) fţă de un punct B (ig.1.-3), este egl cu vlore celui moment : (mm 0 ) B = M B M 0 l ig.1.-3 Atenţie: În cest cz, momentul M 0 NU se înmulţeşte cu brţul b = l, ş cum de multe ori, în mod greşit se procedeză. Deci, momentul unui cuplu (moment) fţă de un punct, este însăşi cel cuplu. 1.3 Reducere forţelor într-un punct ) O forţã concentrtã se reduce într-un punct B, totdeun l o forţã concentrtã şi l un cuplu concentrt (ig.1.3-1). orţ concentrtã rezulttã este eglã în mãrime, re ceeşi direcţie şi celşi sens cu forţ redusã. B M= b b ig

13 Cuplul rezultt prin reducere este egl în mărime cu produsul dintre forţ şi brţul b l cestee, ir sensul lui este dt de regul burghiului drept. Aşdr, o forţă concentrtă se reduce într-un punct B (nesitut pe suportul forţei) l o forţă şi l un cuplu (m) = b b) O srcină distribuită se reduce l fel c şi o forţă concentrtă, cu specificre că rolul forţei concentrte este prelut de dt cest de rezultnt srcinii distribuite (ig.1.3-). R= p l M=pl (l/ + ) p B R l p ig.1.3- R = p l (mp) = R b = p l ( l / + ) 1.3- c) Un cuplu (moment) M 0 se reduce într-un punct tot l un cuplu M de ceeşi vlore cu cuplul cre se reduce ( M = M 0 ) şi l fel orientt (celşi sens cu cuplul cre se reduce M 0 ). 10

14 1.4 Condiţiile ce trebuie stisfăcute de către elementele de rezistenţă Unele dimensiuni (principle) le elementelor de rezistenţă se stbilesc direct, din necesitte sigurării unor dimensiuni funcţionle. Aceste dimensiuni sunt dimensiuni constructive. Alte dimensiuni le elementelor de rezistenţă, de obicei cele le secţiunilor trnsversle, se determină prin clcul. Clculul dimensiunilor secţiunilor trnsversle le elementelor de rezistenţă se fce în scopul stisfcerii simultn următorelor condiţii de bză: ) Condiţi de rezistenţă. iecre element de rezistenţă trebuie să reziste în forte bune condiţii, tuturor forţelor exteriore cre cţioneză supr lui. Prin rezistenţ unui element de rezistenţă trebuie înţeles, propriette cestui de nu se rupe, su de nu junge într-o stre limită. Stre limită pote fi şi o ltă stre în fră de ce din momentul ruperii elementului de rezistenţă. orţele cre cţioneză supr elementului de rezistenţă, trebuie să fie mi mici decât cele cre cţioneză în momentul tingerii stării limită. Condiţi de rezistenţă este prim şi ce mi importntă condiţie pe cre trebuie să o stisfcă un element de rezistenţă în timpul funcţionării sle. b) Condiţi de rigiditte. Este ştiut fptul că Rezistenţ Mterilelor consideră corpurile deformbile sub cţiune srcinilor. Cu cât srcinile sunt mi mri, cu tât şi deformre elementelor de rezistenţă este mi pronunţtă. În czul mşinilor su construcţiilor, deformţiile diferitelor elemente de rezistenţă nu pot fi oricât de mri. Deformţii pre mri, pot cuz distrugere ltor elemente de rezistenţă su scotere din funcţionre mşinilor respective. Propriette elementelor de rezistenţă de se opune deformării lor, portă numele de rigiditte. Clculul de rezistenţă, trebuie să ibă în vedere şi sigurre unei rigidităţi corespunzătore elementului de rezistestenţă respectiv. c) Condiţi de stbilitte. În prctică, se întâlnesc situţii în cre deşi elementul de rezistenţă stisfce condiţi de rezistenţă şi ce de rigiditte, nu pote fi utilizt deorece sub cţiune srcinilor, cest şi- pierdut stbilitte (condiţi de echilibru stbil). 11

15 enomenul este cunoscut sub numele de flmbj. Este de precizt că, flmbjul pre numi în numite condiţii de solicitre şi pentru unele elemente de rezistenţă. Totuşi, pentru ceste czuri, dimensiunile secţiunii trnsversle le elementului de rezistenţă, trebuie să sigure cestui o bună stbilitte. d) Condiţi relizării economice. Tot clculul de rezistenţă efectut supr elementelor de rezistenţă, trebuie să ibă în vedere c cest să fie relizt cu un preţ de cost cât mi mic. Primele trei condiţii, sigură o bună funcţionre şi sigurnţă în explotere construcţiei, ir ce de- ptr condiţie, sigură un preţ de cost scăzut. În cest cz, se spune că structur respectivă fost dimensiontă rţionl. Proiectre rţionlă impune cunoştere de către proiectnt tât metodelor de clcul de rezistenţă, cât şi proprietăţilor (crcteristicilor) mecnice mterilului elementelor de rezistenţă, în condiţii de explotre. 1.5 Tipuri de probleme întâlnite în Rezistenţ Mterilelor În Rezistenţ Mterilelor, în mjoritte czurilor, se întâlnesc următorele tipuri de probleme: ) Probleme de verificre. În cest cz, se cunosc tote dimensiunile elementului de rezistenţă, mterilul din cre cest este confecţiont, forţele exteriore cre cţioneză supr s şi trebuie făcut un clcul în urm cărui să se potă preci dcă cel element de rezistenţă stisfce tote condiţiile impuse prin tem de proiectre. b) Probleme de dimensionre. În czul problemelor de dimensionre, se cunosc dimensiunile constructive le elementului de rezistenţă, forţele exteriore plicte, mterilul din cre este confecţiont elementul şi trebuie stbilite dimensiunile secţiunii trnsversle în vedere stisfcerii condiţiilor cerute prin tem de proiectre. c) Probleme de determinre încărcării mxime dmise (probleme de efort cpbil). Pentru cest tip de probleme, se cunosc tote dimensiunile elementului de rezistenţă (constructive şi le 1

16 secţiunii trnsversle), mterilul din cre este confecţiont elementul şi trebuie determinte vlorile mxime dmise le srcinilor cre pot cţion supr celui element de rezistenţă în vedere stisfcerii condiţiilor impuse prin tem de proiectre. 13

17 . REAZEME ŞI REACŢIUNI.1 Rezeme Între elementele de rezistenţă le unei structuri, există o serie de legături, numite rezeme. În clculele obişnuite de rezistenţ mterilelor, cele mi întâlnite rezeme sunt: - rezemul rticult mobil (rticulţi mobilă su rezemul mobil), - rezemul rticult fix (su rticulţi fixă), - încstrre (su înţepenire). Articulţi mobilă cărei reprezentre este prezenttă în ig..1-1, permite celor două elemente de rezistenţă să se rotescă unul fţă de celăllt şi o deplsre liberă pe o numită direcţie. În czul prezentt în figură, este permisă deplsre liberă pe direcţie orizontlă. Pe direcţi verticlă (direcţie perpendiculră pe ce pe cre este permisă deplsre liberă), deplsre este împiedectă. Articulţi fixă (ig..1-1b) permite rotire elementului de rezistenţă dr nu permite deplsre cestui pe nici o direcţie. Încstrre (ig..1-1c) împiedică orice fel de deplsre elementului de rezistenţă. Acest tip de rezem se pote obţine dintr-o rticulţie fixă, l cre se blocheză rotirile. ) b) c) ig

18 . Recţiuni Deorece elementele de rezistenţă sunt supuse cţiunii diferitelor srcini, este firesc c în rezeme să pră forţe, numite forţe de legătură su recţiuni. Mărime şi orientre cestor recţiuni este legtă de mărime şi orientre srcinilor cre solicită elementul, ir direcţi recţiunilor este legtă de tipul rezemului. După cum s- mi spus, srcinile direct plicte (forţe şi momente) împreună cu recţiunile, formeză sistemul forţelor exteriore cre cţioneză supr elementului de rezistenţă. Pentru clculul de rezistenţă este necesr să se cunoscă întregul nsmblu l forţelor exteriore ce solicită elementul, deci este nevoie să se cunoscă şi recţiunile. Pentru început, stbilim ce fel de recţiuni pr în cele trei tipuri de rezeme cre u fost prezentte nterior. Mi precizăm că recţiunile se opun cţiunii şi c urmre ele pr pe cele direcţii pe cre mişcările (deplsările şi rotirile) elementului de rezistenţă sunt împiedicte. Pentru rticulţi mobilă, fiind împiedictă deplsre pe o singură direcţie, recţiune R cre pre este o forţă (ig..-1) cre trece prin centrul rticulţiei mobile şi este dirijtă perpendiculr pe direcţi deplsării libere rezemului (în mod obişnuit pe x grinzii). R R ig

19 În czul rticulţiei fixe, recţiune cre pre în rezem este o forţă R cărei direcţie nu este cunoscută. Se cunoşte numi punctul de plicţie l cestee, cre este rticulţi. Pentru pute clcul recţiune din rticulţi fixă, se înlocuieşte cestă recţiune prin două componente le sle: H dirijtă în lungul xei elementului de rezistenţă şi V, dirijtă perpendiculr pe x elementului (ig..-). Aşdr, rticulţi fixă, din cest punct de vedere, dă două recţiuni: H şi V. H R V ig..- L încstrre, după cum cunoştem, tote mişcările elementului de rezistenţă sunt împiedicte. Încstrre fiind o rticulţie fixă l cre s- bloct rotire, însemnă că l cest tip de rezem fţă de rticulţi fixă pre în plus un cuplu M cre să împiedice rotire (ig..-3). De cee, l o încstrre pr trei recţiuni: H prlelă cu H V M ig

20 x elementului; V perpendiculră pe x elementului de rezistenţă şi momentul (cuplul) M..3 Clculul recţiunilor În prgrful nterior (.), m văzut cre sunt recţiunile pentru principlele tipuri de rezeme şi cre este direcţi cestor. Nu s- precizt cre este mărime şi sensul (orientre) cestor. Mărime şi orientre recţiunilor se determină din condiţi c fiecre element de rezistenţă în prte, să se fle în echilibru sub cţiune tuturor forţelor plicte şi recţiunilor ( forţelor exteriore). Se exemplifică în continure, clculul recţiunilor pentru sisteme plne. Este ştiut fptul că, un sistem pln este în echilibru dcă: - nu se deplseză pe o direcţie (fie x cestă direcţie), - nu se deplseză pe o direcţie perpendiculră pe prim (fie y direcţi perpendiculră pe x), - nu se roteşte. Cele trei condiţii enunţte mi îninte sunt stisfăcute dcă sum proiecţiilor tuturor forţelor pe direcţi x, respectiv y, este nulă şi sum tuturor cuplurilor fţă de un punct orecre (fie K cest punct) l plnului, este nul. Aceste condiţii pot fi scrise sub form unor relţii de form: ( ) x ( ) y ( M ) K = 0 = = 0 Relţiile.3-1 exprimă condiţiile pentru c un sistem pln să fie în echilibru. Acest sistem, pentru pute fi rezolvt, pote conţine mxim trei necunoscute. În czul nostru, cele trei necunoscute sunt recţiunile. Dcă sunt mi mult de trei necunoscute (recţiuni), sistemul de ecuţii.3-1 nu pote fi rezolvt şi în cest cz, sistemul dt iniţil este un sistem sttic nedermint. Pentru rezolvre sistemelor sttic nederminte, sunt necesre ecuţii suplimentre. 17

21 Modul de rezolvre sistemelor sttic nederminte, v fi prezentt într-un lt cpitol. Determinând recţiunile unui element de rezistenţă cu relţi.3-1, se observă că nu vem o posibilitte simplă pentru verificre corectitudinii clculului efectut. Pentru ve posibilitte verificării corectitudinii determinării recţiunilor şi pentru obţine ecuţii uşor de rezolvt, relţiile pentru clculul recţiunilor vor rezult din următorele considerente: - sistemul să nu se deplseze pe o direcţie (fie x cestă direcţie, dr nu neprt direcţi orizontlă). Acestă direcţie, este ce direcţie pe cre există numi o singură recţiune necunoscută, - sistemul să nu se rotescă fţă de un punct (fie K 1 cest punct) l plnului. Punctul K 1 v fi unul din cele două rezeme le elementului de rezistenţă, - sistemul să nu se rotescă fţă de un lt punct (fie K cest punct şi diferit de K 1 ) l plnului. Punctul K v fi neprt celăllt rezem l elementului de rezistenţă. Condiţiile de mi sus, se scriu sub form unor relţii: ( ) x ( M ) K 1 ( ) = 0 = 0.3- = 0 M K Sistemul.3- neconţinând şi relţi ( ) y = 0, nu însemnă că elementul de rezistenţă este în echilibru dr, scris sub cestă formă, ne permite să clculăm cele trei recţiuni. Pentru pute şti că recţiunile determinte (cu relţiile.3-) sunt corecte, vlorile. recţiunilor găsite se introduc în relţi ( ) y Dcă: ( ) y = 0, recţiunile sunt corect clculte,.3-3 ( ) y 0, recţiunile sunt greşit clculte. 18

22 În cest ultim cz, se refce clculul recţiunilor. În concluzie, clculul recţiunilor pentru un sistem pln se fce pe bz ecuţiilor.3- ir verificre corectitudinii clculului (etpă obligtorie), cu relţiile Etpe în clculul recţiunilor. Exemple Pentru clcul corect recţiunile unui sistem pln de elemente de rezistenţă, propun prcurgere următorelor etpe: Priviţi tent sistemul; căutţi rezemele şi notţi-le cu litere (A, B, C,...). Dcă puteţi nu utilizţi liter A, deorece mi târziu cestă literă se v utiliz mult, pentru ri secţiunii trnsversle elementului de rezistenţă. Identificţi fiecre rezem: rticulţie mobilă, rticulţie fixă, încstrre, După ce ţi identifict rezemele, introduceţi recţiunile în fiecre rezem (vezi prg..) şi le notţi (H B, V C, M,...). Recomnd c literele utilizte să fie însoţite de un indice, ir cest să fie cel cu cre s- nott rezemul respectiv. Este uşor mi târziu să găsiţi recţiunile, în situţi în cre iniţil le-ţi clcult greşit. Dcă pe elementul de rezistenţă veţi srcini distribuite, este bine să le înlocuiţi cu rezultnt corespunzătore (vezi prg. 1.1), dr cu linie întreruptă, pentru nu o consider din netenţie de două ori, Acum se pote trece l scriere detlită relţiilor.3- şi determinre din cest sistem de ecuţii, recţiunilor. L scriere cestor ecuţii, pentru ecuţiile de momente, legeţi-vă un sens de rotire considert pozitiv şi nu-l mi schimbţi până nu ţi scris totă relţi, După ce ţi clcult recţiunile cu jutorul ecuţiilor.3-, utilizţi relţi.3-3. Dcă obţineţi 0 (zero), însemnă că nu ţi greşit, recţiunile sunt corecte. Dcă ce sumă nu conduce l 0 (zero), ţi greşit şi reluţi clculul de l prim ecuţie sistemului de ecuţii,.3-. Exemple: 19

23 .4.1 Să se clculeze recţiunile pentru grind prezenttă în ig M= 40 knm p= 4 kn/m = 4 kn m 3 m 1 m ig Prcurgem cum tote etpele recomndte pentru clculul recţiunilor (vezi ig..4.1-): - elementul de rezistenţă este sprijinit (rezemt) pe două rezeme pe cre le notăm cu B şi C; B este în stâng ir C este cel din drept. M= 40 knm p= 4 kn/m = 4 kn H B B C 30 0 V B 1 m R=16kN 1 m 3 m V C 1 m ig rezemul din stâng B, este o rticulţie fixă. Introducem cele două recţiuni pentru cest rezem: H B şi V B. Rezemul din drept C, este o rticulţie mobilă. Singur recţiune din cest rezem şi pe cre o punem este V C.. 0

24 - înlocuim srcin uniform distribuită p, cu rezultnt s R= p4 =16 kn, cre cţioneză l mijlucul distnţei dintre rezeme (l m de rezemul B şi tot l m de rezemul C), - scriem detlit ecuţiile pentru clculul recţiunilor (rel..3-). Prim direcţie x, o legem c fiind ce orizontlă, deorece pe cestă direcţie există o singură recţiune şi nume H B. Deci: ( ) x = 0 H B - cos30 0 = 0 (1) ( M) ( M) K 1 ( M) ( M) K = 0 B sin V C 4 + R + M = 0 () = C 0 V B 4 + M - R + sin = 0 (3) Din ecuţi (1), rezultă: H B = cos30 0 = 1 3 kn. Din ecuţi (), rezultă: V C = 33 kn. Din ecuţi (3), rezultă: V B = - 5 kn. Recţiunile H B şi V C, u rezultt pozitive, cee ce însemnă că ele sunt orientte ş cum sunt figurte în ig Recţiune V B, rezultând negtivă, este orienttă invers de cum este pe ig..4.1-, dică este orienttă de sus în jos. - Verificăm cum dcă vlorile clculte pentru cele trei recţiuni sunt bune. Pentru cest, scriem o ecuţie de echilibru c sumă de forţe pe o direcţie perpendiculră pe direcţie utiliztă l clculul recţiunilor. Cum l clculul recţiunilor m utilizt direcţi x (orizontlă), pentru verificre recţiunilor, utilizăm direcţi y (verticl). Aşdr, rezultă: ( ) = V R V y B + C sin30 0 = = / = = = 0 1

25 A rezultt ( ) y = 0, cee ce însemnă că condiţi.3-3 este îndeplinită, deci recţiunile sunt corect clculte şi vlorile lor sunt bune..4. Prcurgând etpele cunoscute, clculţi şi verificţi recţiunile pentru cdrul prezentt în ig Observţie: Tot ce rezultă fi făcut, pentru cest exemplu este reprezentt în ig p = 10 kn/m 1 m 1 = 0 kn H C 1 m R=0kN 1 m C = 30 kn m m B M = 0 kn m H B ig Cdrul prezintă două rezeme, pe cre le notăm cu B respectiv, cu C, - Rezemul C este o rticulţie mobilă şi introduce numi recţiune H C. Rezemul B este o rticulţie fixă şi introduce două recţiuni: H B şi V B, - Înlocuim srcin distribuită p, cu rezultnt s R= 10 = 0 kn, - Trecem l scriere ecuţiilor pentru clculul recţiunilor (rel..3-). Se observă că pe verticlă, există o singură recţiune şi nume V B. Prim ecuţie v fi tunci: V B

26 ( ) y = 0 R + 1 -V B = 0 (1) Celellte ecuţii sunt ecuţii de momente fţă de rezemele B şi C: ( M) B = 0 H C - R M = 0 () ( M ) C = 0 V B + H B + M R 1 = 0 (3) Din relţi (1), rezultă: V B = 40 kn. Din relţi (), rezultă: H C = 40 kn. Din relţi (3), rezultă : H B = - 10 kn. Se consttă şi în cest exemplu, că recţiune H B este orienttă invers de cum fost reprezenttă iniţil în ig Să verificăm cum corectitudine clculului efectut. De dt cest, ecuţi de verificre este o ecuţie de proiecţii de forţe pe orizontlă (pe o direcţie perpendiculră l direcţi utiliztă l clculul recţiunilor, cre fost direcţi verticlă y). ( ) = H H x C + B = = 0 Cum cestă ecuţie stisfce condiţi.3-3 de verificre recţiunilor, rezultă că vlorile clculte pentru recţiuni sunt bune. Cu ceste recţiuni, cdrul prezentt în ig..4.-1, este supus cţiunii unui sistem de forţe exteriore, c cel prezentt în ig kn/m 0 kn 40 kn 30 kn 10 kn 0 kn m 40 kn ig

27 3. EORTURI. DIAGRAME DE EORTURI 3.1 Eforturi Eforturile sunt forţe interiore cre iu nştere în elementele de rezistenţă c urmre cţiunii supr cestor forţelor exteriore. Pentru un sistem pln, eforturile posibile dintr-o secţiune trnsverslă elementului de rezistenţă, sunt: (ig.3.1-1) - efortul xil N, cre cţioneză în centrul de greutte l secţiunii şi este perpendiculr pe plnul cestee, - efortul tăietor T, cţioneză în centrul de greutte l secţiunii şi este situt în plnul secţiunii, - momentul încovoietor M i, cţioneză în centrul de greutte l secţiunii şi este situt în plnul cestee. y T M i x N x M t z ig Eforturile de pe fţ din drept, suplinesc cţiune forţelor exteriore cre cţioneză pe prte stângă (considertă înlăturtă) elementului (vezi ig.3.1-1). Eforturile de pe fţ din stâng secţiunii, suplinesc cţiune forţelor exteriore cre cţioneză supr părţii din drept elementului (considertă îndepărttă). L sistemele spţile, eforturi tăietore există pe mbele direcţii principle de inerţie le secţiunii trnsversle. L ceste sisteme, momente pot exist pe tote cele trei direcţii: x, y, z. Momentele situte pe xele din plnul secţiunii (xele y şi z) sunt momente 4

28 încovoietore, ir momentul situt pe x x (normlă l plnul secţiunii), este un moment de torsiune (răsucire) cre se noteză cu M t. Vlore eforturilor este determintă de vlore forţelor exteriore cre solicită elementul de rezistenţă. Să vedem cum, pentru un sistem pln, cum se determină mărime eforturilor. Pentru un sistem pln, pot exist trei eforturi: xil (N), tăietor (T) şi moment încovoietor M i. Efortul xil N într-o secţiune, este egl în mărime cu sum lgebrică proiecţiilor pe norml l secţiune brei tuturor forţelor exteriore din stâng secţiunii su celor din drept, lute însă cu semn schimbt. Efortul xil N, se consideră pozitiv, tunci când re efect de întindere porţiunii rămse brei (ig.3.1-) Efortul tăietor T într-o secţiune elementului de rezistenţă, este egl în mărime cu sum lgebrică proiecţiilor pe o direcţie perpendiculră l norml secţiunii (deci în plnul secţiunii) tuturor forţelor exteriore din stâng secţiunii su celor din drept, lute însă cu semn schimbt. Efortul tăietor se consideră pozitiv, când l o bră dreptă cţioneză de sus în jos pe fţ din stâng su de jos în sus pe fţ din drept, su ltfel spus când cest re tendinţ să rotescă secţiune în cre cţioneză în sensul celor de cesornic (ig.3.1-b). ţ din drept N ţ din stâng N N N T T M i M i ) b) c) ig.3.1-5

29 Momentul încovoietor M i dintr-o secţiune unui element de rezistenţă este egl în mărime cu sum lgebrică momentelor în rport cu centrul de greutte l secţiunii considerte, tuturor forţelor exteriore din stâng secţiunii su celor din drept, însă lute cu semn schimbt. L o bră dreptă, M i se consideră pozitiv tunci când pe fţ din stâng re sensul celor de cesornic ir pe fţ din drept, sens contrr cestor (ig.3.1-c) Într-o reprezentre centrliztă, în ig se prezintă orientre pozitivă celor trei eforturi N, T, M i, tât pe fţ din stâng cât şi pe ce din drept secţiunii unui element de rezistenţă. N T M i M i N ţ din drept T ţ din stâng ig Acestă convenţie de semne este vlbilă şi pentru czul brelor verticle su înclinte (vezi cdrele), cu condiţi să se legă un sens de prcurs l brei de l un cpăt spre celăllt. Pentru uşurinţ trsării digrmelor de eforturi, propun păstrre celeeşi convenţii de semne pozitive le eforturilor şi în czul brelor curbe plne. Pentru momentul de torsiune M t, nu există o convenţie unnim ccepttă pentru c cest să fie considert pozitiv. Pentru nu încărc memori cu pre multe noţiuni, propun c momentul de torsiune să fie considert pozitiv, dcă este orientt după norml exterioră l secţiune, dică l fel c pentru efortul xil N. 3. Digrme de eforturi 6

30 Clculul de rezistenţă l diferitelor elemente, necesită cunoştere în orice secţiune vlorilor eforturilor. Deorece eforturile depind de secţiune în cre se determină, vriţi fiecărui efort de- lungul elementului de rezistenţă, se exprimă funcţie de coordont secţiunii respective. O stfel de expresie (funcţie) pentru efort, portă numele de funcţie de efort. În czul problemelor plne (l cre ne vom rezum cel mi mult), funcţiile de eforturi reprezintă însăşi vriţi eforturilor N, T, M i în lungul elementului de rezistenţă. Reprezentre grfică funcţiilor de eforturi, conduce l obţinere ş numitelor digrme de eforturi. Pentru obţine digrme de eforturi corecte, pe lângă modul de obţinere cestor, mi trebuie ştiut câtev specte cre rezultă din relţiile diferenţile cre există între eforturi şi forţele exteriore cre solicită elementul de rezistenţă. Ită câtev specte cre sunt obligtoriu fi cunoscute, pentru obţinere unor digrme de eforturi corecte: vlore efortului tăietor într-o secţiune, reprezintă tngent trigonometrică unghiului pe cre îl fce cu x x (x longitudinlă brei) tngent l digrm M i în secţiune respectivă, dcă pe o porţiune (intervl) orecre: ) efortul tăietor T > 0 (pozitiv), momentul încovoietor M i creşte, b) efortul tăietor T < 0 (negtiv), momentul încovoietor M i scde, c) efortul tăietor T trece prin vlore zero schimbând semnul din + (plus) în - (minus), tunci în ce secţiune, M i re un mxim (M i = M i,mx ), ir când semnul se schimbă din - în +, M i re un minim (M i = M i,min ), d) efortul tăietor este nul (T = 0), momentul încovoietor M i este constnt (M i = const.), Dcă srcin distribuită este nulă (p = 0) pe un intervl (intervl neîncărct), pe ecel intervl efortul tăietor T este constnt (T = const.). Pe cest intervl, digrm momentului încovoietor M i este reprezenttă prin drepte oblice, numi dcă T 0. Dcă p < 0, efortul tăietor, scde. 7

31 Pe intervle încărcte cu srcină uniform distribuită (p = const.), digrm M i este o prbolă, ir digrm T, o dreptă înclintă. În czul unei distribuţii neuniforme srcinii distribuite p, mbele digrme (T şi M i ) vor fi curbe căror ntură depinde de tipul srcinii p. În secţiunile din dreptul forţelor concentrte, digrm T prezintă o discontinuitte de vlore (slt), eglă cu vlore celei forţe şi produsă în sensul forţei, ir digrm M i prezintă o discontinuitte de tngentă (o frângere) porţiunilor vecine le digrmei. Dcă srcin distribuită este orienttă în jos ( p < 0), digrm M i este o curbă cărei convexitte este dirijtă în jos (ig.3.-1), ir dcă srcin distribuită este dirijtă în sus (p > 0), digrm M i pe ce porţiune re convexitte în sus (ig.3.-1b). Pe intervle încărcte cu srcini distribuite linir, efortul tăietor T vriză după o curbă de grdul doi, ir efortul M i după o curbă de grdul trei. Convexitte digrmei M i, se stbileşte l fel c în czul p = const., (ig.3.-1). Convexitte efortului T, se stbileşte uşor pe bz celor cunoscute din Anliz Mtemtică. în jos ) b) ig.3.-1 în sus Pe rezemul rticult de l cpătul grinzii, momentul încovoietor M i este egl cu zero dcă pe cest rezem nu se găseşte un cuplu (moment) concentrt. Dcă în secţiune de l cpătul consolei nu 8

32 este plictă o forţă concentrtă, efortul tăietor pe consolă T, este egl cu zero. L cpătul încstrt l unei bre, eforturile T şi M i sunt egle cu recţiune, respectiv momentul din încstrre. Secţiunile în cre se plică un cuplu concentrt (moment concentrt exterior), digrm M i prezintă o discontinuitte în vlore (slt) eglă cu vlore celui cuplu concentrt şi produsă în sensul de cţiune l cuplului. Asupr digrmei T, cest cuplu concentrt, nu re nici o influenţă. 3.3 Etpe pentru trsre digrmelor de eforturi Pentru trsre digrmelor de eforturi, recomnd prcurgere următorelor etpe: Se clculeză şi se verifică recţiunile (vezi Cp.1). Nu se trece l etp următore până când nu s-u verifict recţiunile şi vem certitudine că ceste sunt clculte corect. Altfel, totă munc depusă mi deprte este zdrnică. Se noteză (cu numere ori litere) tote secţiunile cre pot delimit intervle. Un intervl este ce porţiune unui element de rezistenţă, pe cre eforturile nu-şi modifică funcţiile. Astfel de puncte, pot fi considerte secţiunile în cre cţioneză forţe, recţiuni, cupluri, începutul şi sfârşitul srcinii distribuite, br îşi modifică orientre (noduri), etc. Anlizând elementul de rezistenţă, se stbileşte cre sunt eforturile cre pot păre în secţiunile cestui. Se trseză cum liniile de vlore zero le eforturilor (linii cre coincid cu x geometrică elementului), se noteză eforturile cre urmeză fi determinte şi se pun şi unităţile de măsură utilizte pentru eforturi. Se trece l scriere funcţiilor de eforturi şi reprezentre lor grfică, dică obţinere digrmelor de eforturi. Pentru scriere funcţiilor de eforturi şi reprezentre lor grfică, se prcurg etpele: Din mulţime de intervle cre u rezultt, se lege unul singur. 9

33 În intervlul les, se fce o secţiune (imginră) şi considerăm că prin cestă secţiune m seprt elementul de rezistenţă în două: o prte sitută în stâng ir celltă în drept secţiunii făcute. Privim tent cele două părţi rezultte şi legem pentru scriere funcţiilor de eforturi, pe ce cu forţe exteriore mi puţine. Luăm vribil (x su ϕ - pentru bre curbe) cre poziţioneză secţiune făcută, în vedere scrierii funcţiilor de eforturi. Origine vribilei este în unul din cpetele intervlului stbilit pentru rezolvre. Dcă s- les prte stângă de prcurs, tunci origine vribilei este în cpătul din stâng l intervlului, ir dcă s- les de prcurs prte dreptă, tunci origine vribilei este în cpătul din drept l intervlului. Se noteză intervlul cre se rezolvă. Tot cum se scrie şi intervlul vlorilor vribilei, c de exemplu: Intervlul (B - 1) cu x ( 0 ; m). După stbilire intervlului, se trece l scriere funcţiilor de eforturi pe cest intervl (vezi prg. 3.1), funcţii cre poi se reprezintă grfic. Odtă cu trsre digrmelor, corectitudine cestor se verifică cu jutorul cunoştiinţelor prezentte l prggrful 3-. Dcă totul reieşit bine, se lege un lt intervl şi se prcurg din nou tote etpele indicte. După trsre digrmelor de eforturi pentru tot elementul de rezistenţă, se recomndă se mi fce încă o verificre pe bz celor prezentte l prgrful 3.. L brele curbe, pr mici diferenţe, dr ceste se vor specific tunci când se prezintă un exemplu de trsre l digrmelor de eforturi l stfel de bre (vezi prg ). 3.4 Exemple de trsre le digrmelor de eforturi Digrme de eforturi l bre drepte orizontle 30

34 Să se trseze digrmele de eforturi pentru br dreptă orizontlă din ig = 16 kn p = 1 kn/m M=16 knm H B = 13,86 kn B x 1 x x C ) V B =4 kn V C =3 kn m m 1 m 13,86 13,86 N [kn] b) 4 T [kn] -8 c) M i [knm] d) 4 ig L brele drepte orizontle, se consideră că observtorul (cel cre rezolvă problem) se flă sub bră şi de ici priveşte modul de solicitre şi deformre l brei. 31

35 De l început, trebuie lăst loc suficient sub bră pentru digrmele de eforturi. - Clculul recţiunilor şi verificre lor, condus l următorele vlori: H B = 13,86 kn V B = 4 kn V C = 3 kn. - Notăm celellte secţiuni crcteristice cu 1 şi. Au rezultt stfel trei intervle crcteristice: B-1 ; 1-C ; C-. Pe fiecre stfel de intervl, eforturile u funcţii unice. - Tinând sem de forţele exteriore, se consttă că pentru cestă grindă există trei eforturi: N, T, M i. - Am reprezentt liniile de vlore zero (x brei), le-m nott cu N, T, respectiv M i şi m pus în prnteze drepte, unităţile de măsură corespunzătore: [kn], [kn], [knm]. Trecem l scriere funcţiilor de eforturi şi trsre cestor digrme, pe fiecre intervl. - Alegem pentru început, intervlul din stâng şi relizăm o secţiune imginră (ig ). Au rezultt stfel două părţi fţă de cestă secţiune: un în stâng şi celltă în drept. Se consttă că prte din stâng (porţiune B - până l secţiune) este mi puţin încărctă, motiv pentru cre legem cestă prte. Origine vribilei x o legem în stâng, în punctul B (în rezem). Deci, rezolvăm: Intervlul (B - 1) cu x [0 ; m]. Pe cest intervl, funcţiile de eforturi sunt (vezi şi convenţi de semne pozitive): Efortul xil N: N = H B = 13,86 kn. Efortul N, nu depinde de poziţi secţiunii x şi este constnt. Vlorile pozitive le reprezentăm grfic, desupr xei de vlore zero (vezi sensul pozitiv l ordontei). În secţiune B, rezultă un slt de 13,86 kn, slt cre trebuie să existe (ig b). 3

36 Efortul tăietor T: T = V B - p x = 4-1 x şi este o dreptă (corect). Clculăm vlorile lui T, l cpetele intervlului B - 1: T B = T x=0 = = 4 kn, rezultă slt (corect), T 1 = T x= = 4-1 = 4-4 = 0 kn Se unesc vlorile de l cpetele intervlului şi rezultă digrm cre prezintă o vriţie liniră (corect - ig c). Efortul moment încovoietor, M i : M i = V B x - p x x/ = 4 x -6 x - este o prbolă (corect). Clculăm vlorile lui M i, l cpetele intervlului : M i,b = M i,x=0 = = 0 (corect), M i,b = M i,x= = 4-6 = 48-4 = 4 knm. Rezultă, M i crescător (corect, T>0) şi nu re slt su extrem (corect). L momentul încovoietor, vlorile pozitive se reprezintă sub x de vlore zero (dedesubt - ig d). Deorece m termint intervlul din stâng, trecem l lt intervl. Alegem spre exemplu, intervlul din drept. - Am relizt secţiune imginră (ig ), - Se observă că prte din drept, fţă de secţiune, este mi puţin încărctă: numi cu momentul M. Alegem cestă prte. -Vribil x, re origine în secţiune. - Rezolvăm cum: Intervlul ( - C) cu x [0 ; 1 m]. Pe cest intervl, funcţiile de eforturi, sunt (tenţie l semnele pozitive le eforturilor - prcurgem intervlul de l drept l stâng): N = 0 (nu există forţe exteriore xile pe prte din drept), T = 0 (nu există forţe exteriore normle l x brei), M i = - M = - 16 knm - nu depinde de poziţi secţiunii x, - este constnt, - prezintă slt în secţiune (corect). A mi răms intervlul din mijloc. - cem o secţiune imginră x (vezi ig ). 33

37 - Am impresi că prte din drept este mi simplu de rezolvt. Alegem cestă prte. Vribil x, re origine în secţiune C (rezemul din drept). Rezolvăm cum: Intervlul (C - 1) cu x [0 ; m]. uncţiile de eforturi, pe cest intervl, sunt: N = 0 (nu există forţe exteriore xile pe prte din drept), - în secţiune 1, pre un slt de 13,86 kn (corect - ig b), T = - V C + p x = x - vriţie liniră (corect), Vlorile lui T l cpetele intervlului, sunt: T C = T x=0 = = -3 kn, T 1 = T x= = = = -8 kn. În secţiune C, pre un slt de 3 kn (corect), ir în secţiune 1, un slt de 8 kn (corect). Efortul T nu se nuleză pe cest intervl, decât în secţiune 1 (ig c). M i = -M + V C x - p x x/ = x - 6 x -vriţie prbolică (corect). Vlorile lui M i l cpetele intervlului, sunt: M i,c = M i,x=0 = -16 knm -digrm se închide în C (corect), M i,1 = M i,x= = = = 4 knm - digrm se închide în 1 (corect). În secţiune 1, rezultă un extrem (corect, deorece T 1 = 0). Pe intervlul 1 - C, T < 0, ir M i este descrescător, scde de l 4 knm l -16 knm (corect). Aş se trseză corect digrmele de eforturi. Este bine c verificre corectitudinii digrmelor de eforturi, să se fcă ş c în exemplul prezentt, dică o dtă cu trsre digrmelor şi poi se recomndă o reverificre l finl. O verificre digrmelor de eforturi numi l finl (după ce ceste u fost trste), prin corectre conduce l un spect urât, dezordont, de unde nu se mi înţelege nimic Să se trseze digrmele de eforturi, pentru br dreptă din figur de mi jos (ig ). 34

38 M = 16 knm p = kn/m = kn B x 1 C x x V B = 7, kn V C = 14,8 kn m 8 m m ) 7, 7, 6 T [kn] b) ξ = 3,6 m -8,8 M i [knm] -1,6-8 c) 11,3 14,4 ig Clculul recţiunilor condus l următorele vlori: V B = 7, kn H C = 0 V C = 14,8 kn. Pentru cest element de rezistenţă, există numi eforturile T şi M i. Neexistând încărcări xile, nu există nici efort xil N (N = 0). 35

39 Alte puncte crcteristice în fră de rezeme, sunt secţiunile 1 şi (ig ). Alegem pentru început, Intervlul (B - 1) cu x [0 ; m]. Origine vribilei x este în secţiune B, deorece legem prte din stâng, fiind mi puţin încărctă. uncţiile eforturilor pe cest intervl, sunt: T = V B = 7, kn -rezultă efort tăietor constnt, cu slt în secţiune B (corect - vezi ig b), M i = V B x = 7, x -vriţie liniră (corect). L cpetele intervlului, vlorile lui M i, sunt: M i,b = M i,x=0 = 7, 0 = 0 (corect), M i,1 = M i,x= = 7, = 14,4 knm. Momentul încovoietor M i este crescător (corect, deorece T > 0 -vezi ig c). Alegem lt intervl şi nume, pe cel din mijloc, în cre relizăm o secţiune imginră (ig ). Prte din stâng pre mi uşor de rezolvt. Rezolvăm cum, Intervlul (1 - C) cu x [0 ; 8 m]. uncţiile eforturilor pe intervlul 1 - C, sunt: T = V B - p x = 7, - x -vriţie liniră (corect). Vlorile efortului tăietor l cpetele intervlului, sunt: T 1 = T x=0 = 7, - 0 = 7, kn -digrm se închide fără slt în secţiune 1 (corect - vezi ig b), T C = T x=8 = 7, - 8 = 7, - 16 = -8,8 kn. Efortul tăietor T se nuleză (trece de l vlori pozitive l vlori negtive). Secţiune în cre T se nuleză, trebuie determintă, deorece în cestă secţiune, efortul M i prezintă un extrem (mxim în czul nostru). Punem condiţi c T să fie nul. Rezultă: T = 7, - ξ = 0, de unde ξ = 7, / = 3,6 m. Se coteză poziţi cestei secţiuni (vezi ig b). Efortul M i, re pe intervlul 1 - C, expresi: M i = V B ( + x) - M - p x x / su, M i = 7, ( + x) x -vriţie prbolică (corect). Vlorile lui M i l cpetele intervlului şi vlore extremă (mxim), sunt: 36

40 M i,1 = M i,x=0 = 7, ( + 0) = -1,6 knm -rezultă în secţiune 1 un slt de 16 knm (corect -ig c), M i,extrem = M i,ξ=3,6 = 7, ( + 3,6) -16-3,6 = 11,3 knm, M i,c = M i,x=8 = 7, ( + 8) = -8 knm. Pe porţiune unde T > 0, M i descreşte de l 11,3 knm l -8 knm (corect - ig c). A mi răms, intervlul din drept. După relizre secţiunii imginre în cest intervl (ig ), se observă că prte dreptă este mi puţin încărctă. Alegem tunci, Intervlul ( - C) cu x [0 ; m]. Pe intervlul - C, eforturile prezintă următorele expresii: T = + p x = + x -vriţie liniră (corect). L cpetele intervlului, efortul tăietor T, re vlorile: T = T x=0 = + 0 = kn, T C = T x= = + = 6 kn. În secţiune, pre un slt de kn (corect), ir în secţiune C un slt de 14,8 kn (corect - ig b). Efortul tăietor este pozitiv şi nu se nuleză. uncţiile de moment încovoietor M i pe intervlul - C, sunt: M i = - x - p x x/ = - x - x -vriţie prbolică (corect). Cum T nu se nuleză, M i nu prezintă extrem. L cpetele intervlului - C, vlorile lui M i, sunt: M i, = M i,x=0 = = 0 -fără slt în secţiune (corect), M i,c = M i,x= = - - = -8 knm -digrm se închide în secţiune C fără slt (corect). Cum pe intervlul - C, T > 0, efortul M i creşte de l -8 knm l zero (corect) Digrme de eforturi l cdre cu bre drepte Să se trseze digrmele de eforturi, pentru cdrul pln din ig

41 M = 10 knm = 40 kn 1 x x C p = 0 kn/m 1 m 1 m V C = 35 kn m x Observtor B H B = 40 kn V B = 5 kn ig Clculul recţinilor condus l următorele vlori: H B = 40 kn V B = 5 kn V C = 35 kn. Liniile de vlore zero le eforturilor, nu mi pot fi puse sub elementul de rezistenţă c l brele drepte orizontle. În cest cz, liniile de vlore zero le eforturilor urmăresc conturul cdrului şi se şeză seprt, c în ig Aici se noteză ntur efortului şi unitte de măsură. Alte puncte crcteristice le cdrului sunt secţiunile 1 şi (ig ). Şi pentru cest cdru, vem tot trei intervle crcteristice (B - 1, 1 -, - C), unul (B - 1) fiind orientt pe verticlă, ir celellte două pe orizontlă, c l exemplul Aşezre pe verticlă intervlului B - 1, nu ridică probleme deosebite pentru scriere funcţiilor de eforturi şi trsre digrmelor. 38

42 N [kn] T [kn] 35 M i [knm]. ) b) c) ig Nu ne rămâne decât să ne imginăm că eforturile pe cre le-m reprezentt pentru br dreptă orizontlă, s-u rotit cu 90 0 şi u juns orientte pe vericlă (ig ) Observtor Observtor ) b) c) ig L cdre, pentru brele verticle, poziţi observtorului este stfel încât trecere l brele orizontle să fie făcută fără trece de celltă prte brei. Pentru cdrele cu contururi închise, rezultă că poziţi observtorului trebuie să fie în interiorul cdrului. Pentru exemplul nostru, l porţiune verticlă, observtorul v privi br din prte dreptă (ig ). 39

43 Începem scriere funcţiilor de eforturi şi trsre digrmelor de eforturi cu intervlul orientt pe verticlă. Relizăm secţiune imginră în cest intervl (ig ) şi consttăm că porţiune mi puţin încărctă este ce din prte stângă observtorului (dinspre rezemul B). C urmre, origine vribilei x, v fi în secţiune B. L scriere funcţiilor de eforturi, pentru cestă situţie, ne orientăm după convenţi de semne pozitive, prezenttă în ig b. Rezolvăm tunci, Intervlul (B - 1) cu x [0 ; m] uncţiile de eforturi pe cest intervl, sunt: N = - V B = -5 kn -efort constnt (corect) -slt în secţiune B (corect - ig.3.4.-) T = H B - p x = 40-0 x -vriţie liniră (corect). Vlorile lui T l cpetele intervlului, sunt: T B = T x=0 = = 40 kn, slt în secţiune B (corect), T 1 = T x= = 40-0 = 0 kn -se nuleză în cpătul intervlului şi este pozitiv (corect - ig.3.4.-b). M i = H B x - p x x/ = 40 x - 10 x -vriţie prbolică (corect). Vlorile lui M i l cpetele intervlului B - 1, sunt: M i,b = M i,x=0 = = 0 -fără slt în secţiune B (corect), M i,1 = M i,x= = = 40 knm -momentul încovoietor M i este crescător (corect) şi prezintă extrem în secţiune 1 (corect - ig.3.4.-c). Trsăm cum digrmele de eforturi pentru, Intervlul (C - ) cu x [0 ; 1 m] Origine vribilei x este în secţiune C, deorece m les prte din drept secţiunii. Acest intervl fiind orizontl, nu ridică nici un fel de probleme. uncţiile de eforturi, sunt: N = 0 -nu există srcini xile pe prte lută în considerre (corect), T = - V C = -35 kn -efort constnt cu slt în secţiune C (corect - ig.3.4.-b), 40

44 M i = V C x = 35 x -vriţie liniră (corect). L cpetele intervlului C - 1, vlorile lui M i, sunt: M i,c = M i,x=0 = 35 0 = 0 -fără slt în secţiune C (corect), M i, = M i,x=1 = 35 1 = 35 knm -momentul încovoietor este descrescător pe intervlul - C de l vlore 35 knm l 0 knm (ig.3.4.-c). Intervlul ( - 1) cu x [0 ; 1 m] v fi rezolvt tot de l drept spre stâng cu origine vribilei x, în secţiune 1 (ig ). Pe cest intervl, funcţiile de eforturi u expresiile: N = 0 -nu există forţe exteriore xile pe prte considertă (corect), T = -V C + = = 5 kn -efort constnt cu slt de 40 kn în secţiune 1 şi pozitiv (corect - ig.3.4.-b), M i = V C (1 + x) - x = 35 (1 + x) - 40 x = 35-5 x -vriţie liniră (corect). Vlorile lui M i l cpetele intervlului, sunt: M i, = M i,x=0 = = 35 knm -digrm în secţiune se închide fără slt (corect - ig.3.4.-c), M i,1 = M i,x=1 = = 30 knm -momentul încovoietor este crescător pe intervlul 1 - (T > 0). În nodul rigid 1, pre un slt de moment încovoietor de l 30 knm (pe br verticlă) l 40 knm (pe br orizontlă). Apriţi cestui slt de 10 knm este corectă, deorece în secţiune 1 cţioneză momentul concentrt M = 10 knm. Se pote constt că în nodurile neîncărcte, formte de bre perpendiculre, efortul xil de pe o bră devine tăietor pe celltă, ir efortul tăietor de pe o bră devine xil pe celltă bră. De semene, în nodurile neîncărcte formte din bre perpendiculre, momentul încovoietor M i de pe o bră, se trnsmite pe celltă bră în mărime şi semn Digrme de eforturi l bre curbe plne Să se trseze digrmele de eforturi pentru br curbă plnă din ig

45 3 R R x 1 B ig L bre înţepenite, pentru trsre digrmelor de eforturi, se pote renunţ l clculul recţiunilor, cu condiţi c funcţiile de eforturi pentru tote intervlele să fie scrise prcurgând fiecre intervl crcteristic dinspre cpătul liber spre încstrre. Pentru br din ig , după notre secţiunilor crcteristice 1, respectiv B, rezultă două intervle crcteristice: primul intervl 1 - constituie o porţiune dreptă, ir cel de-l doile B, este o porţiune curbă cu rz de curbură R. Abordăm trsre digrmelor de eforturi l fel c l cdre (vezi prg. 3.4.). Digrmele de eforturi, le trsăm pe conturul cdrului prezentt în ig Începem cu: Intervlul (1 - ) cu x [0 ; R]. Origine vribilei x este în secţiune 1, deorece considerăm că prte din drept secţiunii este mi puţin încărctă şi mi uşor de rezolvt. Pe intervlul 1 -, funcţiile de eforturi u expresiile: N = 0 -nu există forţe exteriore xile pe prte dreptă, T = -efort xil constnt de vlore, pozitiv, ir în secţiune 1 pre un slt de vlore (corect - ig b), M i = - x -vriţie liniră (corect). Vlorile lui M i l cpetele intervlului 1 -, sunt: M i,1 = M i,x=0 = 0 = 0 -nu pre slt în secţiune 1 (corect - ig c), 4

46 M i, = M i,x=r = R = R -momentul încovoietor M i pe intervlul -1 este descrescător, T < 0 (corect - ig c). -R - N [kn] - T [kn] -3R -R M i [knm] ) b) c) Cel de-l doile intervl, după cum se pote observ, nu mi este drept, ci este o porţiune curbă. Vribil liniră x de l brele drepte nu pote fi utiliztă şi pentru porţiunile curbe. Pentru porţiunile curbe, vribil cre poziţioneză secţiune în cre se scriu funcţiile de eforturi este un unghi, fie el nott cu ϕ (ig ). ( r ) ( t ) ig ϕ CC (centrul de curbură) ig În secţiune definită de unghiul ϕ, trebuie scrise funcţiile de eforturi. După cum se ştie, efortul xil N este situt pe o direcţie perpendiculră l secţiune. L porţiunile curbe, o stfel de direcţie este tngent l curbă, nottă ( t ) în ig Efortul tăietor T, este conţinut în plnul secţiunii. L porţiunile curbe, cestă direcţie trece prin secţiune şi prin centrul de curbură (direcţi rdilă r-ig ). 43

47 Aşdr, pentru stbili funcţi de efort xil N într-o secţiune unei porţiuni curbe, tote forţele exteriore de pe prte considertă, trebuie proiectte pe tngent l curbă în secţiune respectivă (direcţi t). Pentru funcţi efort tăietor T, se proiecteză tote forţele exteriore de pe prte considertă, pe direcţi rdilă ( r ) cre conţine ce secţiune. Dcă o proiectre directă forţelor exteriore ce cţioneză pe prte considertă este dificilă, tunci se recomndă reducere tuturor cestor forţe exteriore în secţiune respectivă (vezi şi prg. 1.3). Exemplu de reducere forţelor exteriore, pentru problem studită (ig ) este prezentt în ig ϕ N T ϕ 3 CC N = sin ϕ T = cos ϕ ig Acum putem scrie funcţiile de eforturi (cu celeşi convenţii de semn pozitiv de l brele drepte) pe: Intervlul ( - B) cu ϕ [o ; Π]. Efortul xil N, re expresi: N = - sin ϕ -vriţie sinusoidlă (vezi ig ), Vlorile efortului xil N l cpetele intervlului considert, sunt: N = N ϕ=0 = - sin 0 = 0 -nu pre slt în digrmă (corect - ig ), N 3 = N ϕ=π/ = - sin Π/ = - 44

48 N B = N ϕ=π = - sin Π = - 0 = 0 -se pote constt că pe intervlul - B, efortul xil N, prezintă un singur extrem pentru ϕ= Π/ (ig ). Efortul tăietor T, re expresi: T = cos ϕ -vriţie cosinusoidlă (vezi ig ). Vlorile lui T pe intervlul considert, sunt: T = T ϕ=0 = cos 0 = -digrm T se închide fără slt în secţiune (corect - ig b), T 3 = N ϕ=π/ = cos Π/ = 0 T B = T ϕ=π = cos Π = (-1) = - -în secţiune B pre un slt determint de recţiune verticlă din înţepenire (corect - ig b). Efortul moment încovoietor M i în secţiune considertă, se scrie reltiv uşor. Din ig , rezultă: M i = - (R + R sin ϕ) = -R ( + sin ϕ) -o vriţie sinusoidlă. Pe intervlul - B, vlorile lui M i sunt: M i, = M i,ϕ=0 = -R ( + sin 0) = -R -digrm M i se închide fără slt în secţiune (corect - ig c), M i,3 = M i,ϕ=π/ = -R ( + sin Π/) = -R( + 1) = -3R -re extrem în secţiune 3, deorece T 3 = 0 (corect - ig c), M i,b = M i,ϕ=π = -R ( + sin Π) = -R( + 0) = -R -în secţiune B pre un slt determint de recţiune unui cuplu din încstrre (corect - ig c). Pe porţiune 3 - unde T > 0, M i creşte de l -3R l -R, ir pe porţiune B - 3 unde T < 0, M i descreşte de l -R l -3R (corect - ig c). Trsre digrmelor de eforturi l bre curbe fost prezenttă pe un exemplu de combinţie bră dreptă - bră curbă. În czul existenţei numi porţiunilor curbe, scriere funcţiilor şi trsre digrmelor de eforturi, se fce l fel c pentru porţiune curbă prezenttă. Se trge tenţi supr fptului că în unele situţii, funcţiile de efort N şi T pot prezent extrem, cărui vlore trebuie determintă. L ceste eforturi, extreme se pot întâlni tunci când funcţiile eforturilor conţin tât funcţi trigonometrică sin cât şi cos, su combinţii de ceste funcţii trigonometrice. 45

49 Pentru semnele pozitive le eforturilor din brele curbe plne, recomnd utilizre convenţiei stbilită l brele drepte şi nu ltele, cre nu fc ltcev decât să îngreuneze clculul şi să deruteze su să încurce pe rezolvitor Digrme de eforturi l sisteme spţile de bre drepte Sistemele spţile sunt printre cele mi răspândite sisteme într-o construcţie su structură de rezistenţă. Ele pot fi formte din bre drepte, curbe su combinţie cestor. Mă voi opri supr sistemelor spţile lcătuite din bre drepte, nu numi pentru fptul că sunt cele mi răspândite, ci şi pentru cee că formeză bz de studiu pentru studenţii fcultăţilor cu profil mecnic. L sistemele spţile, nu putem utiliz tote convenţiile pe cre le-m utilizt l exemplele precedente. L ceste sisteme, folosim următorele convenţii pentru trsre digrmelor de eforturi: Digrm efortului xil N, o putem reprezent în orice pln l sistemului. În cestă digrmă, vom pune semn: plus (+) dcă efortul este de întindere şi minus (-) dcă este de compresiune. Digrm efortului tăietor T, se v reprezent în plnul în cre cţioneză forţele exteriore normle l x brei şi de ceeşi prte brei cu forţele respective. În digrm T, nu se mi pune semn. Digrm momentului încovoietor M i, se v reprezent de prte fibrei întinse brei, ir în digrmă nu se mi pune semn. Momentul de torsiune M t, se pote reprezent în orice pln, nu se mi pune semn în digrmă, ir "hşur" digrmei M t se fce printr-o spirlă, tocmi pentru se deosebi de momentul încovoietor M i. Îninte de ne puc să trsăm digrmele de eforturi l un sistem spţil, este recomndt ne reminti cum vriză eforturile în funcţie de încărcre fiecărui intervl (vezi prg.3.). De semene este bine să ne remintim cum se reduc forţele exteriore într-o secţiune (vezi prg. 1.3) şi fptul că o dimensiune unui element de 46

50 rezistenţă prlelă cu suportul forţei nu constituie brţ l forţei şi c urmre produsul dintre forţă şi o stfel de dimensiune, nu produce niciodtă un cuplu (moment). Dcă ne-m remintit tote ceste, putem începe să trsăm digrme de eforturi pentru sisteme spţile Pentru cdrul din ig , să se trseze digrmele de eforturi. B c 3 b 1 1 b > ig După cum se pote constt, cdrul proprizis împreună cu 1, formeză un sistem pln. Cum este într-un pln perpendiculr pe plnul cdrului şi forţei 1, rezultă un sistem spţil. Notăm secţiunile crcteristice le sistemului cu: 1,, 3, B. S-u obţinut stfel trei intervle crcteristice (ig ). Privind tent sistemul din ig , se pot stbili o serie de specte cu privire l digrmele de eforturi. Ită dor câtev dintre ceste:. efortul xil N există numi pe tronsonul - 3 dt de 1, este constnt şi de întindere; pote fi pus pe digrm N (ig ). - forţ exterioră 1 produce efort tăietor pe intervlele 1 - şi 3-B, constnt, de vlore 1. În digrmă cest efort se v reprezent în pln verticl (cum cţioneză şi 1 ) şi desupr brei (de prte 47

51 forţei 1 ). Efortul tăietor produs de 1, este reprezentt în digrm T din ig b ( + c) (+c) b 1 N T M i ( 1 ) M i ( ) ) b) c) d) b b 1 ( + c) 1 ( + c) b 1 M t M i e) f) ig forţ exterioră este perpendiculră pe tote intervlele sistemului, deci pe fiecre intervl produce efort tăietor, constnt şi de vlore. Efortul tăietor produs de se reprezintă în digrm T în plnul în cre cţioneză şi de ceeşi prte brei cu (vezi ig b). După cum se pote observ, l sistemele spţile lcătuite din bre drepte, trsre digrmelor de eforturi N şi T, se fce forte uşor, fără mi fi nevoie de scriere funcţiilor eforturilor. 48

52 Trsre digrmelor M i şi M t este cev mi dificilă, dr dcă v- ţi însuşit bine tote cunoştiinţele prezentte până cum, veţi vede că nu veţi dificultăţi. Trsre digrmelor M i şi M t este bine să se fcă prin suprpunere de efecte. Ast însemnă că se v lu sistemul încărct pe rând numi cu câte o srcină. Acest principiu îl plicăm şi exemplului nostru din ig Pentru început, considerăm sistemul încărct numi cu forţ exterioră 1 (ig ). B c 3 b 1 1 ig Privind sistemul şi vând trste digrmele T, putem firm următorele: - Sistemul din ig este un cdru pln (vezi digrmele de eforturi de l prg. 3.4.). - Pe tote intervlele, digrmele M i produse de 1, prezintă vriţie liniră (intervle neîncărcte). - Dimensiune b intervlului - 3 fiind prlelă cu suportul forţei 1, nu v fi brţ pentru cest. Ast însemnă că nu v exist nici un moment egl cu 1 b. - Dcă vriţi momentelor produse de 1 sunt linire, tunci este convenbil să determinăm vlore momentelor numi l cpetele intervlelor şi poi să le unim cu linie dreptă. - Cum intervlul - 3 este prlel cu suportul forţei 1 dr l o distnţă de cest, rezultă că pe cest intervl, momentul produs de 1 este constnt. 49

53 - Mi ştim că în noduri rigide (cum sunt nodurile şi 3), l sistemele plne, momentele se trnsmit de l o bră l lt. - Sistemul fiind pln şi neexistând încărcări cupluri (momente) de torsiune, nu v exist nici efort moment de torsiune M t. În ig , se rtă vlorile momentelor produse de forţ 1 l cpetele fiecărui intervl. 1 ( + c) 1 B ig Nu ne rămâne cum decât c ceste momente să fie identificte (sunt de încovoiere su de torsiune), să fie reprezentte de prte fibrei întinse (cele de încovoiere în ig s-u pus de prte fibrei întinse) şi unite vlorile cu linii drepte. Acestă etpă este prcursă în ig c. Să procedăm l fel şi pentru forţ exterioră (ig ). Şi l cest sistem, se pot preciz încă de început, câtev specte: - Pe tote intervlele, momentele u o vriţie liniră (intervle neîncărcte). B c 3 b 1 ig

54 - Tote dimensiunile, b, c sunt perpendiculre pe direcţi forţei, deci tote sunt brţe pentru, tote vor cree momente cu. - Cum forţ împinge sistemul dinspre noi înspre prte opusă nouă, rezultă că fibrele întinse le cdrului sunt situte înspre noi. De cestă prte vor fi reprezentte şi digrmele M i. În ig , sunt puse l cpetele intervlelor, momentele produse de forţ exterioră. B b b 3 3 ( + c) b ig Rămâne cum să stbilim ntur momentelor şi să le reprezentăm grfic (ig d,e). Intervlul 1 -. Momentul din secţiune, este moment încovoietor M i. Intervlul - 3. Momentul din secţiune, este moment de torsiune M t. În secţiune, nu există moment încovoietor M i. Momentul b din secţiune 3, este moment încovoietor M i, ir momentul din secţiune 3, este moment de torsiune M t. Intervlul 3 - B. Momentul b din secţiune 3, este moment de torsiune M t. Momentul din secţiune 3, este moment încovoietor M i. Momentul ( + c) din secţiune B, este moment încovoietor, ir momentul b din secţiune B, este moment de torsiune M t. Puse pe digrmă şi unind vlorile momentelor de celşi tip, u rezultt digrmele de eforturi din ig d,e. Se pote constt că momente încovoietore M i există în mi multe plne, produse de 1 şi. Digrm finlă rezulttă M i este prezenttă în ig f. 51

55 Pentru czul prezentt, digrmele finle de eforturi N, T, M i, M t sunt cele reprezentte în ig ,b,e,f. S- prezentt prin cest exemplu, o metodă simplă de trsre digrmelor de eforturi pentru sistemele spţile, cre nu necesită sisteme de xe, scriere funcţiilor de eforturi, etc. Dcă există intervle cu srcini uniform distribuite, nu uitţi că pe cele intervle, T vriză linir, ir M i, prbolic. Pe celellte intervle, efectul srcinii distribuite este dt de rezultnt srcinii distribuite (remintiţi-vă vlore rezultntei şi punctul ei de plicţie) Pentru br cotită din ig , să se trseze digrmele de eforturi. 1 b 3 c B Nu clculăm recţiune din înţepenire, dr tote intervlele vor fi prcurse dinspre cpătul liber spre înţepenire. Notăm secţiunile crcteristice le cdrului cu: 1,, 3, B (ig ), rezultând trei intervle: 1 -, - 3, 3 - B. Privind tent sistemul (cdrul şi încărcre), digrmele eforturilor N şi T se trseză forte uşor. Tote intervlele sunt neîncărcte (p = 0), de unde rezultă că N şi T sunt constnte, ir M (M i şi M t ) prezintă vriţie liniră. Pe intervlele 1 - şi - 3, forţ exterioră produce efort tăietor cre cţioneză în pln verticl (de sus în jos), ir pe intervlul 3 - B, forţ produce efort xil N, de compresiune. Efortul xil N ig se pote reprezent în digrmă în orice pln, ir efortul tăietor T îl reprezentăm în plnul forţei, dică în pln verticl, desupr brei (pentru fi de ceeşi prte pe bră cu forţ ). 5

56 Digrmele N şi T, sunt prezentte în ig , respectiv ig b. N T ) b) b 0 b b M i b M t c) d) ig În digrm N punem semn, ir în digrm T nu mi punem semn. Să clculăm şi să trsăm cum digrmele de momente (încovoietore M i şi de torsiune M t ), digrme cre se obţin cev mi greu. Utilizăm ceeşi metodă c l exemplul precedent. Seprăm cele trei intervle (ig ) şi clculăm vlore momentelor l cpetele fiecărui intervl. Să ne remintim că, într-o secţiune (nu conteză l cre intervl prţine), eforturile M sunt celeşi, dr de l un intervl l ltul pot fi de ntură diferită (M i M t su M t M i ). 53

57 b ig B b Se pote constt că dimensiunile şi b le primelor două intervle, sunt perpendiculre pe suportul forţei şi c urmre ceste dimensiuni sunt brţe pentru forţ ; ele creeză momente împreună cu forţ. Dimensiune c celui de-l treile intervl (3 - B), este prlelă cu direcţi forţei, cee ce însemnă că dimensiune c nu v fi brţ pentru şi c urmre nu există nici un moment dt de cu c. Aşdr, să începem cu, Intervlul (1 - ). În secţiune 1, M 1 = 0. În secţiune, M =. Vlorile momentelor pentru cest intervl, sunt trecute în ig l cpetele intervlului. Rămâne să stbilim ntur cestor. M = este moment încovoietor (este perpendiculr pe plnul formt de şi brţul b). Vriţi lui M 1 - este liniră, fibr întinsă fiind desupr. Digrm cest este reprezenttă în ig c. Intervlul ( - 3). În secţiune intervlului - 3, există celşi moment M = cre existt şi în secţiune intervlului 1 -. Momentul M = este scris l cpătul intervlului - 3 (ig ). Acest moment este un moment de torsiune (este orientt în lungul brei - 3). În secţiune 3 intervlului - 3, forţ creeză două momente (pentru junge în secţiune 3, trebuie prcurse brţele şi b): M 1,3 = şi M,3 = b. Momentele M 1,3 şi M,3 sunt puse în secţiune 3 intervlului - 3 (ig ). Momentul M 1,3 = este un moment 54

58 de torsiune, ir M,3 = b moment încovoietor, fibr întinsă fiind desupr brei. De remrct că în secţiune intervlului - 3, nu există moment încovoietor şi momentul M = (încovoietor) din secţiune intervlului 1 -, devine moment de torsiune în ceeşi secţiune, dr intervlului - 3. Vlorile momentelor determinte pentru intervlul - 3, sunt trecute în digrm din ig c, respectiv ig d şi poi ceste vlori sunt unite prin linie dreptă (vriţie liniră). Digrm M t rezulttă, pote fi reprezenttă în orice pln. Intervlul (3 - B). În secţiune 3 intervlului 3 - B există celeşi momente cre u existt şi în secţiune 3 intervlului - 3. Aceste sunt trecute în secţiune 3 intervlului 3 - B (ig ). Pentru junge l secţiune B, trebuie prcurse de l forţ (secţiune 1) dimensiunile, b şi c. Aş cum s- mi spus cev mi devreme, dimensiune c nu formeză moment cu forţ. Rezultă că în secţiune B nu pr momente suplimentre fţă de cele din secţiune 3. În secţiune B, există tunci numi momentele, M 1,B = şi M,B = b. Ele sunt trecute în secţiune B în ig Atât M 1,B cât şi M,B sunt momente încovoietore. Momentul încovoietor M 1,3 = M 1,B =, din secţiunile 3 şi B, plecă intervlul 3 - B dinspre noi înspre plnul din spte, întinzând fibrele situte înspre noi. În ig c punem vlorile cestui moment l cpetele intervlului de prte fibrei întinse şi unim ceste vlori printr-o linie dreptă, rezultând o vriţie liniră constntă (vezi ig c). Momentul încovoietor M,3 = M,B = b din mbele secţiuni (3 şi B le intervlului 3 - B), plecă br 3 - B spre stâng (în plnul brelor - 3 şi 3 - B) întinzând fibrele din prte dreptă. În ig punem vlorile cestui moment l cpetele intervlului 3 - B de prte fibrei întinse (în prte dreptă). Unim cu linie dreptă vlorile de l cpătul intervlului 3 - B şi obţinem digrm din ig c (vriţie liniră constntă). Am prcurs stfel întreg bră cotită (din cpătul liber până l înţepenire), rezultând digrmele de eforturi, prezentte în ig

59 După cele două exemple prezentte ( şi ), consider că puteţi bord cu curj şi încredere orice sistem spţil în vedere trsării digrmelor de eforturi (vezi Cp.3E). 56

60 3E. Digrme de eforturi (Probleme propuse) Pentru sistemele următore să se trseze digrmele de eforturi: 3E.1 8 kn knm 6 kn/m m 4 m 3E. 6 kn 7 kn/m 1 knm m 4 m 3E.3 4 kn/m 6 knm 8 kn m 4 m 3E.4 9 kn/m 10 knm 10 kn 4 m m 57

61 3E.5 10 knm 8 kn/m 4 m m 16 kn 3E.6 8 knm 9 kn/m 4 kn 1 m 3 m 3E.7 8 kn/m 10 knm 1 m 3 m 1 m kn 3E.8 10 knm 10 kn/m 1 m m 8 kn 1 m 58

62 3E.9 1,5 p 0,5 p p 3E.10 7 kn/m 10 knm 4 kn 1,5 m,5 m 1 m 3E kn/m 5 knm 10 kn 1 m 3 m 1 m 3E.1 p p p 59

63 3E.13 1 knm 6 kn/m 1, m m 1,4 m 8 kn 3E.14 6 knm 4 kn/m 6 kn 1m 5m 1m 3E.15 p p p 1,8, 3E.16 4 kn 7 kn/m knm 1m 1,m 0,8m 3E.17 1 kn/m 6 knm 1m m 8 kn 1m 60

64 3E.18 6 kn/m 4 knm m m 1m 8 kn 3E.19 4 knm 4 kn 1m 4m 1m 10 kn 3E.0 4 knm 6 kn/m 1m m 8 kn 1m 61

65 3E.1 p p p 3 3E. 6 kn/m 9 kn 3 knm 3m 1m 1m 1m 3E.3 p p 3E.4 3p p 4p 3E.5 p p 3 6 6

66 3E.6 7p p p 3E.7 3 kn 3 kn/m 9 kn 1,5m 1m 1,5m 1,5m 3E.8 1 kn/m 6 kn/m 3m m 3E.9 6 kn/m m m 1m 3E kn knm 8 kn/m 1m m m 63

67 3E.31 p p 3E.3 3 kn 1,5 kn/m knm 1,5 m 1,5 m m 1,5 m 3E.33 0 kn/m 1m 4m 1m 3m m 0 kn 50 kn m 64

68 3E.34 p p p 3E.35 p p 3E.36 kn/m m 3 kn 1m 1m 1m 65

69 3E.37 3 kn kn/m ,5m 1m 3 m 3E.38 / / 3E.39 / / h h 66

70 3E.40 p E.41 p / / h h 67

71 E.4 R 3E.43 M R 3E.44 R 3E.45 p R 68

72 3E.46 R 3E.47 3E kn 4 kn/m 1m 1m 69

73 3E E.50 p p 4p p 3E.51 p p 3E.5 p p 70

74 3E.53 p 3E.54 p =P/ P 3E.55 P 3E

75 3E.57 p p 3E E.59 3E.60 7

76 3E.61 P = 0 kw, n = 100 rot/min, S 1 = S, T 1 = T, D 1 = 400 mm, D = 600 mm. S 1 1 S T T E.6 P = 1 kw, n = 110 rot/min, S 1 = S, T 1 = T, D 1 = 500 mm, D = 700 mm. 1 S S T T 1 3E.63 P = 16 kw, n = 90 rot/min, D 1 = 600 mm, D = 900 mm. 1 S S 73

77 3E.64 3T P = 50 kw, n = 150 rot/min, D 1 = 600 mm, D = 400 mm, T 1 = T 1 T 300 S E.65 P = 70 kw, n = 300 rot/min, D 1 = 400 mm, D = 600 mm, S 1 = 3S, T 1 = T 1 T T 1 S S E.66 P = 40 kw, n = 100 rot/min, D 1 = 400 mm, D = 600 mm, S 1 = 3S, T 1 = T S 1 1 S T 1 T

78 3E.67 P = 60 kw, n = 00 rot/min, D 1 = 400 mm, D = 600 mm, S 1 = S, T 1 = 3T. 1 T 1 T S 1 S E.68 P 1 = 80 kw, P = 30 kw, P 3 = 50 kw, n = 400 rot/min, D 1 = 30 mm, D = 480 mm, D 3 = 4000 mm. 1 3 T T 1 T 3 4T 3 3T E.69 P = 40 CP, n = 750 rot/min, P 1 = 6 CP, P = 18 CP, P 3 = 16 CP, D 1 = 400 mm, D = 800 mm, D 3 = 400 mm, G 1 = 80 dn, G = 00 dn, G 3 = 80 dn. 1 T 1 3 T 1 T T T 3 T 3 P ME 75

79 3E.70 P 1 = P = 100 CP, n = 00 rot/min, D 1 = 800 mm, D = mm, G 1 = 60 dn, G = 10 dn T T T 1 T 76

80 3R. Digrme de eforturi (Răspunsuri) 3R.1 8 kn knm 6 kn/m m 6,93 kn 4 m 15 kn 13 kn N [kn] 6,93 11 T [kn] -4 1,83 m M i [knm] 4 14,1 3R. 6 kn 7 kn/m 1 knm m 4 m 0 kn 14 m 14 kn T [kn] M i [knm]

81 3R.3 4 kn/m 6 knm 8 kn m 4 m 7,5 kn 8,5 kn 8 7,5 T [kn] 1,88 m -8,5 M i [knm] ,03 3R.4 9 kn/m 10 knm 10 kn 4 m m 15,5 kn 30,5 kn T [kn] 15, ,7 m -0,5-0 M i [knm] ,35 78

82 3R.5 10 knm 8 kn/m,5 kn,55 4 m m 9,5 kn 16 kn T [kn] -10,81 m -9,5-16 M i [knm] 1, R.6 8 knm 9 kn/m 4 kn 1 m 3 m T [kn] 9,13 kn 13,87 kn 13,13 9,13 1,46 m -13,87-8 M i [knm] 1,13 10,7 79

83 3R.7 8 kn/m 10 knm 1 m 3 m 1 m kn 18,7 kn 11,3 kn 10,7 T [kn] -8 1,37 m -13,3 4 8 M i [knm] 3,1 3R.8 10 knm 10 kn/m 1 m m 8 kn 1 m 1,5 19,5 kn,75 kn T [kn] 0,9 m -10,75 -,75 M i [knm] 14,5 4,5 8,5,75 80

84 3R.9 1,5 p 0,5 p p 3,67 p 0,83 p,17 p 0,83 T -1,5 p -1,5 p -0,83 p 1,5 p 0,33 p M i 0,34 p 0,83 p 3R.10 7 kn/m 10 knm 4 kn 1,5 m,5 m 1 m 1 kn 1 5,5 1,71 m 1 kn T [kn] 1, M i [knm] 10,15 1,8 81

85 3R kn/m 5 knm 17 kn 10 KN 1 m 3 m 1 m 33 kn T [kn] ,8 m M i [knm] 17 41,3 30,5 5,5 3R.1 p p T 1,13p 1,13p p 1,13p 0,87 0,87p p 0,13p -0,87p M i 0,8 p 0,5 p 0,38 p 8

86 3R.13 1 knm 6 kn/m 1, m 7,8 m 1,4 m 15 kn 3,8 kn 0,71 m 8 kn T [kn] -7, 4,3-4, -8-8 M i [knm] 7,7 1,7 11, 3R.14 6 knm 4 kn/m 6 kn 6 kn 1m 5m 1m 4 kn T [kn] 1,5 m 14 M i [knm] ,5 83

87 3R.15 p p 4,4p 4,4p p 1,8, 0,9p 1,75 1,5p T -3,5p -1,5p M i 4,87p 3p 5,87p 6,07p 3R.16 4 kn 7 kn/m knm 1m 14 kn 10 1,m 0,8m 0,55m 4 kn T [kn] M i [kn] 1 3 1,1 84

88 3R.17 1 kn/m 6 knm 1m 5,33 kn m 8 kn 1m,67 kn 13,33 1,11 m T [kn] M i [knm] ,67 3,34 6 -,67 1,4 3R.18 6 kn/m 4 knm m m 1m 8 kn kn 1,5m 1 kn T [kn] M i [knm]

89 4 knm 3R.19 4 kn 1m 4m 1m 10 kn 1,8 kn 1,8,8 kn 1,8m T [kn] M i [knm] 8,8-7, -10 1,8 16, R.0 4 knm 6 kn/m 1m m 8 kn 1m 3,75 kn 6,5 kn T [kn] 3,75-0,5 0,65m -8,5-6,5 M i [knm] 4 3,5 7,75 8,9 86

90 3R.1 p p p 3 1,17 p 1,83p 1,17 T -0,17p 1,83 p -1,17p M i 1,5p p 3R. 1,68p 6 kn/m 9 kn 3 knm 8 kn 3m 1m 1m 1m 6 kn T [kn] 8 13 kn M i [knm] 3 3 5,

91 3R.3 p p p T p -p -p -p p 5p M i 0,5p 3R.4 3p p 4p T -3p 6,5p,75p 1,75p 0,5 3,5p,5p -3p -0,5p -1,75p M i 3p 0,5p 0,065p 1,75p 88

92 3R.5 p p T 3 6 0,8p p 4,13p 0,8p 0,8p p -1,p 3,5 -,13p 1,p p M i 0,66p,4p 3R.6 7p p T 3p 3p 1,963 3p p -p 1,5 3p 3p -4p 0,5p M i p 3,9p p 89

93 3R.7 3 kn 3 kn/m 9 kn 1,5m 1m 1,5m 1,5m T [kn],5 kn 0 kn,5 0,75m 8,75 4,5 -,5-8,5-11,5 9,75-4,75-9,5 10,5 M i [knm] 0,843 3R.8 6 kn/m 1 kn/m 0 3m m 4 kn 17 8 T [kn] ,154m M i [knm] 3,08 90

94 3R.9 6 kn/m m m 1m T [kn] m M i [knm] 9 3 3R kn knm 8 kn/m N [kn] 1m m m 8 kn 8,66 8,66 T [kn] -5 3,5 3,5 0,43m -1,5 M i [knm] ,76 91

95 3R.31 p 0,5p p 3,5p p p + p p N _ 3,5p 0,5p T,5p p,5p 1,5p p M i p p 3R.3 3 kn 1,5 kn/m knm 1,5 m 1,5 m m 1,5 m 3 kn 1,33 kn 1,67 kn 9

96 1,67 1,33-1,67 3 1,67 1, N [kn] - 1,33 T [kn] 3 1,67 3 0,495,5 3 4,5 M i [knm] 3R.33 0 kn/m 1m 4m 1m 3m m 0 kn 50 kn 30 kn m 4,5 kn 57,5 kn 93

97 0 57,5 4,5-0 37,5 0,15m ,5 4, ,5 N [kn] 30 T [kn] ,15 60 M i [knm] 94

98 3R.34 p p p,5p p 1,5p 1,5p,5p 1,5p 1,5,5p - N - T p p,5p p 1,5p 3,5p p 4p M i 95

99 3R.35 p p p p p + - N p p p p T p p,5p 1,5p M i p 0,5p 0,5p p 3R.36 kn/m m 3 kn 1m 1m 1m 1,83 kn 3,17 kn 96

100 N [kn] - 1,83 1,17 1,83 T [kn] 1,17 M i [knm] 1,83 0,66 3R.37 3 kn kn/m ,5m 1m 3 m 1,5,6 1,5 N [kn] - 6 +,6 3 T [kn] 6 97

101 9,5 6,75 M i [knm] 6,75 3R.38 / / / / / / / / / N / /4 /4 / / / T / / / /4 /4 / / M i 98

102 3R.39 / / h h / / h/ h/ h/ h/ / - / / h/ + - N T / h/ h/ h/ h/ h/ M i h/ / 3R.40 p 1,83p 3 4 1,83p 3 p 5p 99

103 5p 4p 1,83p - - 1,83p p N T p 5p 6p 0,5p 1,83p 5,5p p M i 3R.41 / / h h p /8h p /8h p/ p/ p /8h p/ p/ - - N - p /8h p/ p /8h T p/ p /8h p/ p/ p /8 p /8 p /8h p /8h p /8 p /8 M i 100

104 3R.4 R 3 N -3 R T 4R M i 3R.43 M R M/ M/R M/ -M/R M/R N T M i 101

105 3R.44 R, , N T R M i 1,35R 3R.45 p R 10

106 pr -pr pr pr N pr / pr / pr T 3pR / pr / pr / M i 3R.46 R - R R N T R M i 103

107 3R.47,41 1, N T M i 3R kn 8 4 kn/m 1m 1m 1 kn 10 kn 8 kn -10 N [kn] T [kn] M i [knm] 104

108 105-4p p p p -4p p p p p p N T N T M i M t 3R.49 3 p 3R.50 p p 4p

109 p p p p p p p p M i M t 3R.51 p p p T -p p p -p N p M i M t 106

110 3R.5 p p + + N p p p p / T M i p / p / M t 3R.53 p + N + +p 4+p T M i M t

111 3R.54 p =P/ P +P +P P N +P +P T P 3P P 3 M i M t 3R.55 P P +P +P P P N T P M i M t 108

112 109 3R N T M i M t 3R.57 p p p p p p p T

113 1,5p 0,5p p 0,5p 0,5p p p p p p M i M t 3R N T M i Mt 110

114 111 3R.59 N T M i M t 3R.60 T M i M t

115 3R.61 S D 1 / T D / 3S 3T ,91 1,91 M [knm],3 0,56 0,84,0 3R.6 3S 3T T D / S D 1 / ,071 M i [knm] M t [knm] 1,04 1,5 1,04 11

116 3R S 1 S 1 S 450S ,716 M i [knm] M t [knm] 0,617 1,69 1,69 3R S S 400T 4T M [knm] 3,17 3,17 1,58 3,17 113

117 3R.65 S 00S 300T 3T ,17 M i [knm] M t [knm] 4,43,17,17 3R S 3T 1 300T 4S ,15,85 M i [knm] M t [knm] 3,8,85 5,7 3,8 114

118 3R T 300S 3S 4T ,85,85 M [knm] 5,7,85 4,75 3R.68 4T 5T 3 Mt Mt 1 Mt 3 T ,193 0,413 M i [knm] 3,673 0,716 0,716,0 M t [knm] 1,193 1,

119 3R.69 G 1 G +3T G 3 V ,16 0,16 M iv [knm] 3T 1 0,498 3T 3 H M ih [knm] 0,1685 0,0561 0,3089 0,74 0,4494 0,3745 M t [knm] 116

120 3R.70 1V V V ,883 M iv [knm] 1H 5,945 H H M ih [knm] 11,40 11,87 3,511 3,511 M t [knm] unde: 1V = G 1 +3T 1 sin30 0, V = G + 3T sin45 0, 1H = -3T 1 cos30 0, H = 3T cos

121 4. CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAEŢELOR PLANE 4.1 Considerţii generle În relţiile de clcul le tensiunilor din secţiunile trnsversle le elementelor de rezistenţă solicitte, precum şi în formulele de clcul deformţiilor cestor, intervin nişte mărimi, numite crcteristici geometrice. În czul brelor drepte solicitte numi de efort xil (de întindere su compresiune), crcteristic geometrică este ri A secţiunii trnsversle brei. În czul elementelor de rezistenţă solicitte l torsiune su l încovoiere pură, crcteristicile geometrice cre intervin, depind tât de mărime riei, form secţiunii cât şi de poziţi suprfeţei secţiunii fţă de plnul forţelor exteriore. ie, spre exemplu, ceeşi bră solicittă de celşi sistem de forţe exteriore, dr şeztă fţă de sistemul forţelor în două vrinte (ig.4.1-1). h l b l b h ) b) ig Cu tote că brele sunt identice, se consttă că ce din ig prezintă o rezistenţă l încovoiere mi mre, dr în celşi timp, 118

122 deplsre cpătului liber este mi mică decât l ce din ig.4.1-1b. Rezultă din cest exemplu, că deşi ri şi form suprfeţei secţiunii trnsversle le celor două bre sunt identice, ele prezintă o rezistenţă mecnică şi rigiditte l încovoiere, diferite. Acestă comportre diferită, se explică prin cee că prin modificre poziţiei secţiunii trnsversle fţă de plnul forţelor, s-u modifict crcteristicile geometrice le secţiunii trnsversle le brei. Cunoştere mărimii crcteristicilor geometrice le suprfeţei secţiunilor trnsversle le elementelor de rezistenţă, este forte necesră, pentru efecture unui clcul de rezistenţă corect. În clculul de rezistenţă su de rigiditte le elementelor de rezistenţă solicitte, intervin în principl următorele crcteristici geometrice le suprfeţei secţiunii trnsversle: momentele sttice, momentele de inerţie - xile - centrifugle - polre rz de inerţie (girţie), modulele de rezistenţă. Pentru pute junge l fz de definire principlelor etpe pentru determinre crcteristicilor geometrice le suprfeţelor plne, să bordăm cestă problemă în mod invers, e drept puţin cm ciudt cest mod de bordre. Optăm pentru cest mod cu scopul de înţelege mi bine de ce vem nevoie în clculele de rezistenţă de ceste crcteristici geometrice. Ne ducem minte, că pentru clculul de rezistenţă şi rigiditte este necesr să se cunoscă momentele de inerţie principle I 1 şi I. Momentele de inerţie principle I 1 şi I, se determină din relţi: I z + I y 1 I Iz I 1 y I, = ± ( ) + 4 zy Dr cine sunt I z, I y, I zy în relţi 4.1-1? Nu sunt ltcinev decât momentele de inerţie xile fţă de x Gz, respectiv Gy (I z respectiv I y ) şi momentul de inerţie centrifugl (I zy ) fţă de sistemul centrl de xe zgy (G fiind centrul de greutte l suprfeţei secţiunii). 119

123 Ită că trebuie cum să stbilim centrul de greutte G l suprfeţei secţiunii, precum şi vlore momentelor de inerţie I z, I y, I zy. Dr cum suprfţ secţiunii trnsversle elementului de rezistenţă este un orecre, ne punem întrebre: cum determinăm pe I z, I y şi I zy? Aceste crcteristici se pot determin cu relţi lui Steiner, dr numi dcă sunt cunoscute momentele de inerţie le suprfeţelor simple cre formeză suprfţ secţiunii. Relţiile lui Steiner, sunt: Iz = Iz + c A + Iz + c A Iy = Iy + d A + Iy + d A I = I + c d A + I + c d A + zy z y z y unde:iz, Iz, Iy, Iy, Iz y, I zy,... sunt momentele de inerţie (xile, respectiv centrifugle) le suprfeţelor simple ce compun suprfţ secţiunii trnsversle, c 1, c,... - distnţ dintre x centrlă Gz şi xele centrle proprii G 1 z 1, G z,... le suprfeţelor simple componente, d 1, d,...- distnţ dintre x centrlă Gy şi xele centrle proprii G 1 y 1, G y,... le suprfeţelor simple componente. După cum se pote constt, este nevoie să se cunoscă momentele de inerţie le suprfeţelor simple ce compun suprfţ secţiunii trnsversle. Principlele crcteristici geometrice le celor mi uzule suprfeţe, sunt prezentte în Tbelul Cu jutorul crcteristicilor geometrice prezentte până cum, se pot determin: Modulele de rezistenţă: I z I z Wz,m in = y ; Wz,m x = mx y min I y I y Wy,m in = z ; Wy,m x = mx zmin unde: y mx - distnţ de l x centrlă Gz până l fibrele extreme cele mi îndepărtte, y min - distnţ de l x centrlă Gz, până l fibrele extreme cele mi propite, 10

124 z mx - distnţ de l x centrlă Gy, până l fibrele extreme cele mi îndepărtte, z min - distnţ de l x centrlă Gy, până l fibrele extreme cele mi propite. Rz de inerţie (girţie) este definită stfel: i z I A Iy ; y A z = i = În clculele de rezistenţă intervine uneori şi momentul sttic l unei suprfeţe fţă de o xă. Momentul sttic l unei suprfeţe fţă de o xă, este egl cu produsul dintre ri celei suprfeţe şi distnţ de l centrul de greutte l suprfeţei până l x respectivă. Momentul sttic l suprfeţei hşurte fţă de x z (ig.4.1-) este: S z = A d = b h d h b G d z ig.4.1- Alte crcteristici geometrice şi în specil pentru suprfeţe simple, sunt prezentte în prgrful

125 4. Crcteristici geometrice le unor suprfeţe simple În Tbelul 4.-1, se prezintă unele crcteristici geometrice pentru câtev suprfeţe simple, des întâlnite în prctic inginerescă. Tbelul 4.-1 Suprfţ I z I y I zy I p W z,min W y,min W p y h z Bh 3 /1 b 3 h/1 0 I z +I y bh /6 b h/6 - b y z 4 /1 4 /1 0 4 /6 3 /6 3 /6 - y z Πd 4 /64 Πd 4 /64 0 Πd 4 /3 Πd 3 /3 Πd 3 /3 Πd 3 /16 d d/d=k d y z Πd 4 (1- k 4 )/64 Πd 4 (1- k 4 )/64 0 Πd 4 (1- k 4 )/3 Πd 3 (1- k 4 )/3 Πd 3 (1- k 4 )/3 Πd 3 (1- k 4 )/16 D Y b z h z h/3 Bh 3 /36 b 3 h/36 b h /7 I z +I y bh /4 b h/4-1

126 4.3 Etpe pentru determinre crcteristicilor geometrice le suprfeţelor plne Pentru determinre principlelor crcteristici geometrice le suprfeţelor plne, crcteristici cre întră în clculul de rezistenţă şi rigiditte le diferitelor elemente de rezistenţă, este bine să se prcurgă următorele etpe: ) Prim etpă constă în determinre centrului de greutte l suprfeţei pentru cunoşte pe unde trec direcţiile centrle (şi ulterior cele principle) de inerţie. Pentru determinre centrului de greutte l suprfeţei, se procedeză stfel: - împărţim suprfţ pe cre o vem în suprfeţe simple (pătrt, dreptunghi, cerc, etc.) l cre să se cunoscă ri suprfeţei şi poziţi centrului de greutte, - notăm suprfeţele simple stbilite, cu 1,, 3,..., - poziţionăm centrul de greutte l suprfeţelor simple şi le notăm cu G 1, G, G 3,..., - pentru fiecre suprfţă simplă, ducem sistemul de xe centrl: z 1 G 1 y 1, z G y, z 3 G 3 y 3,..., - luăm un sistem de xe perpendiculre z 0 Oy 0 fţă de cre clculăm poziţi centrului de greutte G l suprfeţei compuse (iniţile). Este recomndt c x Oz 0 să trecă prin punctele cele mi de jos le suprfeţei, ir x Oy 0, prin punctele cele mi din stâng. L un stfel de sistem de referinţă, tote coordontele centrelor de greutte G 1, G, G 3,... le suprfeţelor simple, vor ve în relţiile de clcul le centrului de greutte suprfeţei compuse, numi semnul + (plus), - se clculeză poziţi centrului de greutte suprfeţei compuse, cu relţiile: y G Ay ( A1 y1 ( A y ( A3 y3... A i i = = ± + ± + ± + Ai tot z G Az ( A ) z ( A ) z ( A ) z... i i = = ± ± + ± A A i tot

127 unde: A 1, A, A 3,..., -riile suprfeţelor simple stbilite, y 1, y, y 3,..., -distnţ dintre x de referinţă Oz 0 şi xele G 1 z 1, G z, G 3 z 3,..., z 1, z, z 3,..., -distnţ dintre x de referinţă Oy 0 şi xele G 1 y 1, G y, G 3 y 3,... În relţiile şi 4.3- l A 1, A, A 3,..., s- pus semnul ± deorece în ceste relţii, riile suprfeţelor simple stbilite intră cu semn, după cum urmeză: - semnul + (plus) pentru suprfeţe pline, - semnul (minus) pentru suprfeţe goluri. După determinre centrului de greutte G l suprfeţei compuse, cest se poziţioneză pe secţiune compusă şi se duc xele centrle Gz şi Gy. Se pote trece cum l determinre principlelor crcteristici geometrice le suprfeţei. Mi întâi: Se determină distnţele dintre x centrlă Gz şi xele G 1 z 1, G z, G 3 y 3,... Aceste distnţe se noteză cu c 1, c, c 3,..., Se determină distnţele dintre x centrlă Gy şi xele G 1 y 1, G y, G 3 y 3,... Aceste distnţe se noteză cu d 1, d, d 3,... Distnţele c i situte sub x centrlă Gz u semnul (minus), ir distnţele d i flte l stâng xei centrle Gy, u de semene semnul (minus). b) Determinre momentelor de inerţie xile şi centrifugle, se fce cu relţiile lui Steiner: unde: I =± I + c ( ± A) ± I + c ( ± A ) ± z z 1 1 z 1 I =± I + d ( ± A ) ± I + d ( ± A ) ± y y 1 1 y 1 Izy =± Iz y + cd 1 1( ± A1) ± Iz y + cd( ± A) ±

128 Iz, I 1 z,... sunt momentele de inerţie xile le suprfeţelor simple, clculte fţă de xele lor centrle G 1 z 1, G z,... (vezi şi Tbelul 4.-1) I y, I 1 y,... sunt momentele de inerţie xile le suprfeţelor simple, clculte fţă de xele lor centrle G 1 y 1, G y,...(vezi şi Tbelul 4.-1), I z y, I 1 1 zy,... sunt momentele de inerţie centrifugle le suprfeţelor simple, clculte fţă de sistemul de xe centrl propriu z 1 G 1 y 1, z G y,... (vezi şi Tbelul 4.-1), Unitte de măsură pentru I z, I y, I zy, este [m 4 ]. În construcţi de mşini se utilizeză de obicei [mm 4 ] su [cm 4 ]. Atenţie: Pentru suprfeţele goluri, l Iz i, Iy i, Iz i y i, se pune semnul (minus) ir distnţele c i şi d i intră şi ele cu semn. Tote suprfeţele cre u cel puţin o xă de simetrie, u I zy =0 (vezi şi Tbelul 4.-1). c) Având cunoscute momentele de inerţie xile, se pot determin rzele de inerţie (girţie) le suprfeţei, utilizând relţiile: i z I z = > A y i y = IA > unde: A -ri totlă secţiunii. Rz de inerţie se măsoră în [m], [mm] su [cm]. d) Modulele de rezistenţă fţă de xele centrle Gz şi Gy, se clculeză cu relţiile: W W z,min y,min I z z = ; Wz,mx = y mx I y y = ; Wy,mx = z mx y I min z I min 15

129 unde: y mx respectiv y min - distnţ de l x centrlă Gz până l fibrele extreme cele mi îndepărtte, respectiv fibrele extreme cele mi propite, z mx, z min - distţ de l x centrlă Gy până l fibrele extreme cele mi îndepărtte, respectiv fibrele extreme cele mi propite. Unitte de măsură pentru modulul de rezistenţă este [m 3 ], dr în construcţi de mşini, frecvent se utilizeză unităţile [mm 3 ] su [cm 3 ]. e) Vlorile momentelor de inerţie xile şi centrifugle fţă de un sistem de xe centrl z 1 Gy 1 rotit cu un unghi α fţă de sistemul centrl zgy, pot fi determinte cu relţiile: 1 1 I = ( I + I ) + ( I I )cosα I sinα z z y z y zy I = ( I + I ) ( I I )cosα + I sinα y z y z y zy 1 1 I = ( I I )sinα + I cosα zy z y zy 1 1 f) Există un sistem de xe centrl 1G rotit cu unghiul α 1 fţă de sistemul centrl zgy, fţă de cre momentele de inerţie xile I z, I y, u vlori extreme (mxime, respectiv minime) şi fţă de cre momentul de inerţie centrifugl I zy este nul. Acest sistem centrl de xe este un sistem centrl principl, xele cestui sunt xe centrle principle de inerţie, ir momentele de inerţie xile fţă de ceste xe, se numesc momente de inerţie xile principle. Vlore momentelor de inerţie principle, notte cu I 1, respectiv I, se determină cu relţiile: 1 1 I1 = ( Iz + Iy) + ( Iz Iy) + 4Izy = Imx > I = ( Iz + Iy) ( Iz Iy) + 4Izy = Imin >

130 Dcă ne intereseză şi poziţi direcţiei principle de inerţie G1 (fţă de cre momentul de inerţie re vlore mximă, I 1 =I mx ), cest este dtă de unghiul α 1 cărui vlore se determină cu relţi: 1 α 1 I I = rctg ( zy ) I Poziţi celeillte xe principle de inerţie G (fţă de cre momentul de inerţie re vlore minimă, I = I min ) este dtă de relţi: z y α = α 1 + Π / Dcă α 1 < 0 (negtiv), rotire xei Gz pentru obţinere direcţiei principle G1, se fce în sensul celor de cesornic, ir dcă α 1 > 0 (pozitiv), rotire xei centrle Gz se fce în sens invers celor de cesornic (sens trigonometric). Rotire lui Gz spre Gy în cest cz se fce pe drumul cel mi scurt. Dcă I zy < 0, tunci direcţi G1 trece prin primul cdrn, dică cdrnul zgy şi fţă de cestă xă se obţine vlore mximă momentului de inerţie xil I mx, cre se noteză tunci cu I 1. Momentul de inerţie xil cu vlore minimă, se noteză cu I şi se obţine fţă de x principlă de inerţie G. g) Aş cum s-u determint modulele de rezistenţă W z, W y fţă de direcţiile centrle Gz, respectiv Gy, tot ş se determină şi modulele de rezistenţă principle (W 1,min, W 1,mx, W,min, W,mx ), dică fţă de xele principle de inerţie. 17

131 4.4 Exemple de determinre principlelor crcteristici geometrice le suprfeţelor plne ie suprfţ plnă din ig cre reprezintă secţiune trnsverslă unui element de rezistenţă. Să se clculeze: ) momentele de inerţie xile I z, I y, b) rzele de inerţie i z, i y, c) modulele de rezistenţă W z,min, W z,mx, W y,min, W y,mx, d) momentele de inerţie principle I 1, I şi direcţiile principle de inerţie, e) momentul sttic l tălpii de sus fţă de x centrlă Gz ig Rezolvre : Pentru determin crcteristicile geometrice propuse, se prcurg ps cu ps, etpele prezentte l prgrful 4.3. Recomnd următorul procedeu: pe o colă de hârtie, formt A4, desenţi secţiune din ig şi pe bz cestei figuri fceţi tot ce se prezintă în continure (pe foi vostră) şi confruntţi cu ce se clculeză şi prezintă în continure. Împărţim suprfţ în două suprfeţe simple pline (ig ) şi le notăm cu 1, respectiv cu. 18

132 ig y 0 y 1 y y d 1 d G z G c z G 1 y G = 80 mm c 1 z 1 O z 0 z G = 0 mm ig Poziţionăm centrele de greutte le celor două suprfeţe simple în cre m împărţit secţiune, pe cre le notăm cu G 1, G (ig ). Ducem sistemele de xe z 1 G 1 y 1, respectiv z G y (ig ). Luăm sistemul de xe z 0 Oy 0 fţă de cre clculăm poziţi centrului de greutte G (ig ). 19

133 Clculăm poziţi centrului de greutte G l suprfeţei cu relţiile 4.3-1, respectiv 4.3-: A1 y1+ Ay y G + = = = A tot mm A1 z1+ Az z G + = = = 19 7 A tot, mm Pentru simplificre clculelor ulteriore, considerăm z G = 0 mm. Poziţionăm centrul de greutte G l suprfeţei (ig ). Determinăm constntele c 1, c, d 1, d (ig ): c 1 = -(y G - y G1 ) = - (80-60) = -0 mm c = y G - y G = = 35 mm d 1 = -(z G - z G1 ) = -(0-5) = -15 mm d = z G - z G = 45-0 = 5 mm. ) Clculăm momentele de inerţie xile şi centrifugl, fţă de sistemul centrl zgy (rel ): I = I + c A+ I + c A = + ( 0) ( 35) 7010 = z z 1 1 z 1 1 = mm I = I + d A+ I + d A = + ( 15) ( 5) = y y 1 1 y mm I = I + cd A + I + c d A = 0+ ( 0)( 15 ) ( 35 )( 5) = zy z y z y = mm b) Rzele de inerţie (girţie) fţă de cele două xe centrle Gz şi Gy sunt (rel şi 4.3-7): iz = 1900 = 4 38, 5 m m 130

134 iy = 1900 = 4, 94 m m c) Modulele de rezistenţă fţă de xele centrle Gz şi Gy se determină cu relţiile şi Din ig , rezultă: y mx = 80 mm ; y min = = 40 mm z mx = 80-0 = 60 mm ; z min = 0 mm. Se obţine tunci: W W W W z,min z,mx y,min y,mx I z = = =, y 80 mx I z = = =, y 40 min I y = = =, z 60 mx I y = = = z 0 min mm 3 3 mm 3 3 mm 3 3 mm 3 3 d) Momentele de inerţie principle I 1 şi I, se clculeză cu relţiile şi : I1, = ± ( ) + 4( ) = = ± 131, mm de unde rezultă: I 1 = , = 30, mm 4 I = , = 57, mm 4 Prim direcţie principlă de inerţie, fce cu x centrlă Gz, unghiul: 131

135 1 α 1 4 = rctg( 4 4) = rctg ( 1089, ) = 3, Deorece α 1 < 0, rotire se fce în sensul celor de cesornic (ig ). α 1 = -3,73 0 y 0 G α 1 = -3,73 0 z 1 ig Cum I zy > 0, rezultă că x cre trece prin primul cdrn ( zgy ), nu este x 1, ci x (vezi ig ) e) Momentul sttic l suprfeţei tălpii de sus, fţă de x centrlă Gz, se clculeză cu relţi (ig ): S z,a1 = A 1 c = = mm 3. S z,a1 este pozitiv, deorece şi c (distnţ de l centrul de greutte l suprfeţei de rie A 1 până l x centrlă Gz fţă de cre se clculeză momentul sttic) este pozitivă Pentru suprfţ plnă din ig să se clculeze: ) modulele de rezistenţă minime, b) direcţiile principle de inerţie, 13

136 c) momentele de inerţie principle. b 1 H h h = 100 mm H = 10 mm B = 60 mm B = 80 mm B ig Rezolvre Împărţim suprfţ din ig în două suprfeţe: un plină de dimensiuni H şi B şi dou (suprfţă gol ) de dimensiuni b şi h. Centrele de greutte G 1 şi G coincid, l fel şi xele lor proprii G 1 z 1, G z, G 1 y 1, G y. De semene şi centrul de greutte l întregii secţiuni G, coincide cu centrele G 1 şi G (suprfţ este dublu simetrică), ir xele centrle Gz şi Gy se suprpun peste xele G 1 z 1, G z, G 1 y 1, G y (ig.4.4.-) y y 1 y G G 1,G z 1, z z y G = 60 mm ig Distnţele de l xele centrle Gz, respectiv Gy până l xele centrle proprii le celor două suprfeţe sunt: c 1 = c = d 1 = d =

137 Vlore momentelor de inerţie xile şi centrifugle sunt: I = I + c A I + c ( A ) = + 0 ( 10 80) + 0 ( ) = z z 1 1 z 1 = mm I = I + d A I + d ( A ) = + 0 ( 10 80) + 0 ( ) = y y1 1 1 y 4 4 = mm Izy = Iz y + cd 1 1A1 Iz y + cd ( A) = = L I zy = 0 se pute junge şi fără clcule, deorece suprfţ cercettă (ig ) prezintă două xe de simetrie şi este ştiut fptul că suprfeţele cre prezintă cel puţin o xă de simetrie u momentul de inerţie centrifugl I zy nul. ) Modulele de rezistenţă minime şi mxime se clculeză numi pe bz momentelor de inerţie xile. Pentru cest motiv s-u clcult mi devreme I z şi I y. În czul nostru, modulele de rezistenţă minime şi mxime fţă de cele două xe centrle z şi y, sunt egle, deorece distnţele până l fibrele extreme de l o direcţie centrlă, sunt egle (vezi ig.4.4.-). Se obţine: I I zmin zmx ymx y, min 60 z z W = W = = = = mm I I ymin ymx zmx zmin 3 3 yz y W = W = = = = mm b) Un din direcţiile principle de inerţie fce cu direcţi centrlă Gz, unghiul: 1 α 1 Izy 1 I I = rctg ( ) = rctg ( ) = z y 0 0 ( 65 33) 10 4 Deorece α 1 = 0, rezultă că o direcţie principlă se suprpune peste direcţi centrlă Gz, ir celltă direcţie principlă, se suprpune 134

138 peste direcţi centrlă Gy. Ast însemnă de semene că direcţiile centrle Gz şi Gy sunt şi direcţii principle de inerţie: G1 Gz şi G Gy. c) L punctul b) rezultt că direcţiile centrle Gz şi Gy sunt şi direcţii principle de inerţie. Rezultă tunci că, momentele xile de inerţie I z şi I y sunt momente de inerţie principle: I 1 = I z = mm 4, I = I y = mm 4. Din cest exemplu, se desprinde următore concluzie forte importntă, cre ştiută simplifică mult clculele pentru unele czuri de secţiuni: l suprfeţele cre prezintă cel puţin o xă de simetrie şi l cre I zy = 0, direcţiile centrle Gz şi Gy, sunt şi direcţii principle de inerţie, ir momentele xile de inerţie I z şi I y sunt şi momente de inerţie principle. Vlore ce mi mre dintre I z şi I y este I 1, ir ce mi mică vlore o re I. Aşdr, dcă: I z > I y I 1 = I z şi I = I y, I z < I y I 1 = I y şi I = I z. 135

139 4E. Crcteristici geometrice le suprfeţelor plne (Probleme propuse) Pentru suprfeţele plne din figurile următore să se determine modulele de rezistenţă (W z,w y ), direcţiile principle şi momentele de inerţie principle. Obs. Crcteristicile geometrice le profilelor lminte se vor lu de l Rezultte. 4E E E

140 4E.4 Ø E.5 Gros 0 I 0 Gros E.6 I 30 U

141 4E.7 U 0 U 0 0 Gros E E

142 4E E E

143 4E Ø E E

144 4 δ 4E.16 δ δ 6 δ 8 δ 6 δ δ 10 δ 4E ф E Gros 16 I 141

145 4E Gros 18 U E Ø E.1 4 t t t 8 t t 6 t 14

146 4E E E

147 4E E.6 L Gros L E.7 U8 Gros 10 U

148 4E.8 U8 00 Gros 10 U8 4E.9 U 0 L E.30 L L Gros 1 145

149 4E.31 Gros U L

150 4R. Crcteristici geometrice le suprfeţelor plne (Răspunsuri) 4R.1 y G 80 Y G 140 Z 180 y G = 90 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm R. y G G Y 180 Z y G = 90 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm R.3 30 Y G Z y G = 100 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 y G

151 4R.4 Y y G G Ø Z y G = 80 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm R.5 y G Gros 0 Gros 0 G 10 Y I 0 Z y G = 10 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 Din STAS pentru I 0: h= 00 mm ; b= 90 mm I z = mm 4 I y = mm 4 A= mm 4R.6 U 18 Y G I 30 y G = 158 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 y G t e Z Din STAS pentru I 30: h= 300 mm ; b= 15 mm I z = mm 4 I y = mm 4 A= mm 148

152 Din STAS pentru U 18: h= 180 mm ; b= 70 mm; t=8 mm; e=19, mm; I z = mm 4 ; I y = mm 4 ; A= 800 mm. 4R.7 y G U 0 e Gros G 60 b Y t U 0 h 0 Z y G = 110 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 Din STAS pentru U 0: h= 00 mm ; b= 75 mm; t=11,5 mm; e=0,1 mm; I z = mm 4 ; I y = mm 4 ; A= 3 0 mm. 4R.8 90 Y 0 Y y G 40 G 0 80 Z y G = 81,54 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 O Z 0 Y 0 Y 4R.9 y G 60 G Z y G = 76,154 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = 9 77 mm 3 90 O Z 0 149

153 4R.10 y G 80 Y 0 Y G Z y G = 88,75 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 O 10 Z 0 4R G Y 0 Y Z y G = 69,86 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 y G O 90 Z 0 4R.1 80 Y 0 Y y G G Z y G = 65,73(3) mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 O 10 Z 0 150

154 4R G Y 0 Y Ø Z y G = 53,6 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 y G O 60 Z 0 4R Y 0 Y y G = 69,8 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 y G G Z 15 O 130 Z 0 4R Y 0 Y y G = 90 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 y G G Z 30 O Z 0 151

155 4R.16 4 δ Y 0 Y δ y G = 4,15 δ I z = I 1 = 646,16(6) δ 4 I y = I = 178,6(6) δ 4 W z,min = 8,053 δ 3 W y,min = 35,73(3) δ 3 6 δ G O 10 δ δ 6 δ δ 8 δ y G Z Z 0 4R Y 0 Y y G = 345,4 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = 98 4 mm 3 y G ф 130 G Z 4R O Z 0 10 Y 0 Y y G = 164,164 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 Din STAS pentru I : h= 0 mm ; b= 98 mm; I z = mm 4 I y = mm 4 ; A= mm. Gros 16 y G O G z I b h Z Z 0 15

156 4R Y 0 Y y G = 149,713 mm I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 W z,min = mm 3 W y,min = mm 3 y G Gros 18 y z U 0 e 80 G b Z h 18 O Din STAS pentru U 0: h= 00 mm ; b= 75 mm; e=0,1 mm; I z = mm 4 ; I y = mm 4 ; A= 3 0 mm. 4R.0 Y 0 () Y 100 Z 0 y G = 63,5 mm; z G =47,7 mm; I z = mm 4 I y = mm 4 I zy = mm 4 I 1 = mm 4 I = mm 4 α 1 = 1,4º; α = 10,4º; I zy,mx = mm 4 30 O 30 Ø 40 G α 10 α 1 Z 0 Z (1) 4R.1 Y 0 Y () 4 t y G = 4,5 t ; z G = t; I z = 354,5 t 4 ; I y = 7 t 4 ; I zy = -60 t 4 ; I 1 = 366,715 t 4 ; I = 58,785 t 4 ; α 1 = -11,4º; α = 78,493º; y G t G α t 8 t t Z α 1 (1) O 6 t Z 0 z G 153

157 4R. Y 0 60 Y ( 40 y G = 84,7 mm; z G =5,8 mm; I z = mm 4 I y = mm 4 I zy = mm 4 I 1 = mm 4 I = mm 4 α 1 = -10,45º; α = 79,55º. y G 180 O α G α 1 Z Z (1 z G 4R.3 Y 0 () 0 Y y G = 34; z G =19 mm; I z = mm 4 I y = mm 4 I zy = mm 4 I 1 = mm 4 I = mm 4 α 1 = 1,37; α = 111,37º y G 90 G α α 1 (1) Z 0 O z G 60 Z 0 4R.4 Y 0 () 40 Y y G = 57,3; z G = 9, mm; I z = mm 4 I y = mm 4 I zy = mm 4 I 1 = mm 4 I = mm 4 α 1 = 11,94; α = 101,94º y G G α α 1 Z (1) O z G 80 Z 0 154

158 4R.5 () Y 0 45 Y y G = 60; z G =40 mm; I z = mm 4 I y = mm 4 I zy = mm 4 I 1 = mm 4 I = mm 4 α 1 = 16,9; α = 106,9º 15 y G 10 G α α 1 90 (1) Z 15 Z 0 O z G 45 4R.6 y G = 80; z G =86 mm; I z = mm 4 I y = mm 4 I zy = mm 4 I 1 = mm 4 I = mm 4 α 1 = 48 º; α = 138º Y 0 Y () (1) L y G Gros 1 α α 1 G L y z e 160 Z 0 Z O z G Din STAS pentru L : h=b=80; e=3,4 mm; A= mm ; I z = I y = ; I 1 = ; I = ; I zy =(I 1 -I )/= mm 4. Obs. I zy pentru cornierul simetric se clculeză c fiind I zy,mx deorece xele z şi y sunt situte l 45º fţă de xele principle le profilului. 155

159 4R.7 Y 0 () y Y y G = 100; z G =85 mm; I z = mm 4 I y = mm 4 I zy = mm 4 I 1 = mm 4 I = mm 4 α 1 =,83; α = 11,83º U8 y G G z Gros 10 α U 8 y t e α 1 Z 00 z (1) Din STAS pentru U 8: t=8 mm; e=14,5 mm; I z = mm 4 ; I y = mm 4 ; A=1 100 mm. O z G Z 0 4R.8 Y 0 e Y y G = 100; z G =61,43 mm; I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 I zy = 0 mm 4 ; α 1 = 0º W z = mm 3 W y = mm 3 Din STAS pentru U 8: t=8 mm; e=14,5 mm; I z = mm 4 ; I y = mm 4 ; A=1 100 mm. y G z O U8 G U8 Gros 10 y t z G 00 Z Z 0 156

160 4R.9 Y 0 z G Y () y y G = 73,; z G =10 mm; I z = mm 4 I y = mm 4 I zy = mm 4 I 1 = mm 4 I = mm 4 α 1 = - 13,18; α =76,8º y G O z L y G U 0 α z Z α 1 (1) Z 0 Din STAS pentru U 0: h= 00 mm ; b= 75 mm; e=0,1 mm; I z = mm 4 ; I y = mm 4 ; A= 3 0 mm. Pentru L : h=b=100; e=8, mm; A= 1 90 mm ; I z =I y = ; I 1 = ; I =79 000; I zy =(I 1 -I )/= mm 4 Obs. I zy pentru cornierul simetric se clculeză c fiind I zy,mx deorece xele z şi y sunt situte l 45º fţă de xele principle le profilului. 4R.30 Y 0 Y y e y G = 80; z G 4 mm; I z = I 1 = mm 4 I y = I = mm 4 I zy = 0; α 1 = 0º; W z = mm 3 W y = mm 3 Din STAS pentru L : h=b=80; e=3,4 mm; A= mm ; I z = I y = ; I 1 = ; I = ; I zy =(I 1 -I )/= mm 4. Obs. I zy pentru cornierul simetric se clculeză c fiind I zy,mx deorece xele z şi y sunt situte l 45º fţă de xele principle le profilului. y G 160 O z G y G Gros 1 z z L Z L Z 0 157

161 4R.31 Y 0 Y (1) y G 75; z G 177 mm; I z = mm 4 I y = mm 4 I zy = mm 4 I 1 = mm 4 I = mm 4 α 1 = 80,67; α =170,67º () O z G U e z y α G z e y L Gros 30 yg α 1 Z 0 Z Din STAS pentru U : h= 0 mm ; b= 80 mm; e=1,4 mm; I z = mm 4 ; I y = mm 4 ; A= mm. Pentru L : h=b=70; e=0,9 mm; A= mm ; I z =I y =57 000; I 1 = ; I =89 000; I zy =(I 1 -I )/= mm 4 Obs. I zy pentru cornierul simetric se clculeză c fiind I zy,mx deorece xele z şi y sunt situte l 45º fţă de xele principle le profilului. 158

162 5. SOLICITAREA AXIALĂ 5.1 Considerţii generle. Etpe de clcul Într-o secţiune unui element de rezistenţă, se relizeză o solicitre xilă, tunci când în ce secţiune cţioneză un singur efort şi cest este efortul xil N. În funcţie de orientre efortului xil N fţă de secţiune, solicitre pote fi, de: trcţiune su întindere când N > 0 (pozitiv), compresiune, când N < 0 (negtiv). L solicitre xilă, într-un punct l secţiunii trnsversle, se produc tensiuni normle σ, de ceeşi vlore în orice punct l secţiunii (tensiune uniform distribuită), tensiune cre se clculeză cu relţi: σ =± N A Sub cţiune eforturilor xile, elementul de rezistenţă se deformeză. Principl deformţie suferită de un element de rezistenţă solicitt xil, este deformţi liniră. În funcţie de efectul efortului xil N, deformţi liniră portă numele de: lungire, când N > 0, scurtre, când N < 0. Lungire su scurtre unui element de rezistenţă de lungime l solicitt de efortul xil N şi cre prezintă rigiditte l solicitre xilă EA, se clculeză cu relţi: Δ l Nl = E A 5.1- Dcă pe lungime l, efortul xil N nu este constnt su rigiditte EA este vribilă, tunci lungire su scurtre se 159

163 clculeză prin însumre lungirilor su scurtărilor de pe tote porţiunile pe cre N şi EA sunt constnte: Δ l = n N ili ( EA ) i = 1 i L solicitre xilă, în clcule, de multe ori se utilizeză deformţi specifică, în specil lungire specifică su lungire, nottă cu ε şi cărei relţie de clcul este: Δl ε = l = N EA De obicei, lungire ε se exprimă în procente: ε N [%] 100 = EA În elementele de rezistenţă, tât tensiune normlă σ cât şi lungire ε, nu trebuie să depăşescă numite vlori mxime, numite mărimi dmisibile: - tensiune normlă dmisibilă σ, respectiv - lungire dmisibilă ε, Stisfcere condiţiei de rezistenţă şi celei de rigiditte (deformbilitte) impune îndeplinire următorelor: σ mx σ (pentru condiţi de rezistenţă) ε mx ε (pentru condiţi de rigiditte) Clculul elementelor de rezistenţă l solicitre xilă, se fce în principl din stisfcere condiţiei de rezistenţă. Sunt situţii când l elementele de rezistenţă solicitte xil, trebuie vută în vedere şi condiţi de rigiditte. Relţiile de clcul pentru cele trei tipuri de probleme şi cele două condiţii (verificre, dimensionre şi efort cpbil, respectiv condiţi de rezistenţă şi rigiditte - vezi prg.1.4 şi 1.5) pentru solicitre xilă, sunt prezentte succint în Tbelul

164 Pentru verific stisfcere condiţiilor impuse, după cum se consttă din Tbelul 5.1-1, trebuie cunoscute σ mx şi ε mx. Secţiunile în cre se ting vlorile mxime σ mx şi ε mx, se numesc secţiuni periculose. Pentru un clcul corect, ceste secţiuni trebuie cunoscute. L solicitre xilă, poziţi secţiunii periculose, depinde tât de vlore efortului xil N, cât şi de mărime riei secţiunii trnsversle elementului. Dcă un dintre ceste mărimi este constntă pentru tot elementul de rezistenţă, tunci poziţi secţiunii periculose se stbileşte mi uşor şi nume: - dcă A = constnt, secţiune periculosă este colo unde efortul xil N re vlore ce mi mre (mximă), - dcă N = constnt, secţiune periculosă este colo unde ri secţiunii trnsversle elementului este mi mică (minimă). Tbelul Tipul C o n d i ţ i problemei de rezistenţă de rigiditte σ σ De verificre = N mx A Δl mx mx Nl = Δl EA N EA ε = ε De dimensionre A nec N = σ =... A nec = N l EΔl mx = N E ε N A De efort cpbil cp = σ =... N cp = = EA Δl l = EA ε Atunci când începem să rezolvăm o problemă de rezistenţă (exemplificre se fce pentru solicitre xilă), stbilim următorele specte, cre pot constitui în celşi timp şi etpele de clcul: Stbilim cre elemente de rezistenţă din structur respectivă ne intereseză su prezintă importnţă pentru clcul. 161

165 Stbilim l ce solicitări sunt supuse ceste elemente. Stbilire solicitării pote fi făcută în urm unei observţii tente supr structurii şi modului de trnsmitere l forţelor exteriore de l un element l ltul, su în urm trsării digrmelor de eforturi. Se stbileşte secţiune periculosă (un su mi multe). Stbilire secţiunii periculose se fce nlizând vriţi efortului şi secţiunii trnsversle de- lungul elementului de rezistenţă cre se clculeză. Se stbileşte tipul problemei (verificre, dimensionre su efort cpbil). Tipul problemei rezultă din enunţul problemei pe cre o rezolvăm. Se stbileşte condiţi impusă (de rezistenţă su rigiditte). Stbilire condiţiei se fce tot pe bz dtelor din enunţul problemei, în funcţie de mărimile dmisibile cre se du. Dcă se dă σ se impune condiţi de rezistenţă, ir dcă se dă ε (su Δl ) se impune condiţi de rigiditte. Dcă se du tote mărimile dmisibile mintite mi îninte, se impun mbele condiţii. Dcă s- stbilit solicitre, secţiune periculosă, tipul problemei şi condiţi impusă, se trece l Tbelul (dcă solicitre este xilă) su l tbelul semănător de l solicitre respectivă, de unde se iu formulele de clcul corespunzătore şi se rezolvă problem. Observţie: După cum se consttă, în relţiile din Tbelul 5.1-1, pre şi efortul xil N din secţiune periculosă. Determinre eforturilor în generl, depinde de sistemul pe cre-l vem. Din multiplele exemple cre se vor prezent, sper că veţi junge l înţelegere modului de determinre l eforturilor xile. În cel mi dificil cz, trsţi digrmele de eforturi, ş cum s- prezentt în Cpitolul 3. 16

166 5. Clculul sistemelor de bre drepte rticulte, sttic determinte Se ştie că dcă numărul necunoscutelor (eforturi, recţiuni) este egl su mi mic decât numărul ecuţiilor de echilibru ce pot fi scrise pentru un sistem, sistemul este sttic determint. Să ne remintim că l o bră solicittă l întindere de către forţele egle şi de sensuri opuse (ig.5.-1), efortul xil este orientt spre interiorul brei, ir l br solicittă l compresiune, efortul xil este orientt spre cpetele brei (ig.5.-1b). N= N= ) N= N= b) ig.5.-1 Brele rticulte l mbele cpete, cre pe totă lungime lor nu prezintă srcini, sunt solicitte numi xil. Solicitre cestor provine din cţiune celorllte elemente de rezistenţă cu cre sunt în legătură. Exemplu. Pltform rigidă BC pe cre trebuie şeztă o srcină = 90 kn, este suspendtă cu jutorul doi tirnţi verticli, c în ig.5.-. Cunoscând σ = 150 MP şi E =, MP pentru mterilul tirnţilor, se cere: ) dimensionre tirnţilor (d =? şi =?) pentru σ mx σ, b) deplsre pe vericlă punctului de plicţie l forţei (δ D =?). 163

167 l = 3 m d B M D 1 N C 1 m m Rezolvre ) Să prcurgem cum etpele prezentte l prgrful 5.1. Dintre tote elementele cre pr în ig.5.-1, ne intereseză numi cei doi tirnţi cre susţin pltform, notţi cu 1, respectiv. De ltfel, nu cunoştem dimensiunile pltformei, ştim numi că e este rigidă, dică deformţiile sle pot fi considerte nule (neglijbile). Cei doi tirnţi nevând lte srcini de- lungul lor, sunt solicitţi numi xil. Este forte uşor de înţeles, că ceşti sunt solicitţi l trcţiune (întindere). Deorece în lungul tirnţilor tât N cât şi ri secţiunii trnsversle A sunt constnte, rezultă că secţiune periculosă pote fi oriunde. Problem este de dimensionre şi se impune condiţi de rezistenţă, deorece se cer dimensiunile secţiunii trnsversle (d şi ) şi în enunţul problemei s- dt tensiune mximă dmisă σ. Aici nu se impune o dimensionre şi din condiţi de rigiditte, deorece nu s- dt în enunţ ε (su Δl ). Este devărt că l punctul b) l problemei trebuie făcute clcule de deformţii, dr ceste nu u nimic cu dimensionre tirnţilor prevăzută l punctul ). Din Tbelul 5.1-1, rezultă că pentru dimensionre, utilizăm relţi: A nec ig.5.- N = = σ Pentru tirntul 1 (cel din stâng), relţi 5.-1 se scrie: 164

168 N 1 Π d A1 nec = σ = 4 de unde rezultă relţi de clcul pentru dimetrul secţiunii trnsversle tirntului: d N = 4 1 Π σ 5.- Pentru tirntul din drept (nott cu ), relţi 5.-1, se scrie: A nec N σ = = de unde rezultă dimensiune secţiunii trnsversle tirntului : = N σ 5.-3 În relţiile 5.- şi 5.-3, N 1 şi N sunt eforturile xile din secţiunile trnsversle periculose le celor doi tirnţi. Vlorile lui N 1 şi N, trebuie determinte. Determinre eforturilor din secţiunile periculose (pe cre lem precizt dej) se fce prin metod secţiunilor, metodă binecuscută de determinre eforturilor din secţiunile trnsversle le elementelor de rezistenţă. Secţionăm tunci cei doi tirnţi în secţiunile lor periculose şi în locul porţiunii de tirnt înlăturtă, punem N 1, respectiv N pentru nu stric echilibrul sistemului (ig.5.-3). Acest sistem îl izolăm şi punem condiţiile de echilibru: ( ) x = 0 0 = 0 (cestă condiţie nu ne jută). ( ) y = 0 N N = 0 165

169 su su N 1 + N = 5.-4 ( M) M = N 3 = 0 3 N = 5.-5 N 1 N M N 1 D N N 1 m m ig.5.-3 S-u obţinut două ecuţii cu două necunoscute (N 1 şi N ): N 1 + N = 3 N = Rezolvând cest sistem, rezultă: N 1 = 60 kn N = 30 kn. Înlocuind vlorile lui N 1 şi N în relţiile 5.-, respectiv 5.-3, se obţine dimensiune secţiunii trnsversle tirnţilor: d 3 =, 56 = Π 150 mm = 3 = 14, mm

170 Dimensiunile secţiunilor trnsversle se rotunjesc prin dos, rezultând vlorile finle: d = 3 mm 5.-8 = 15 mm b) L cest punct trebuie determintă deplsre secţiunii în cre cţioneză forţ (secţiune D). Atunci când trebuie determinte deplsările unor secţiuni se prcurg următorele etpe: Se schiţeză sistemul în poziţi pe cre o re îninte de plicre srcinilor. Schiţţi cestă poziţie prin linie continuă. Se nlizeză modul de deformre l fiecărui element deformbil şi cum deformţi cestui influenţeză deplsre celorllte elemente. Pe bz deformţiilor elementelor nlizte, se schiţeză sistemul în poziţi pe cre o re după plicre srcinilor şi deformre elementelor componente. Schiţţi cestă poziţie cu linie întreruptă. Se coteză tote deformţiile produse le elementelor. Se determină deplsre cerută pe bz deformţiilor cotte. Să revenim cum l exemplul nostru, punctul b). Schiţ sistemului în poziţie nedeformtă, este prezenttă în ig.5.-4 (lini continuă). M D N Δl 1 M' D' ig.5.-4 N' Δl Tirnţii fiind solicitţi l întindere, se lungesc cu lungirile: 167

171 N l Δl1 = MM' = = 5 =,06 E A 1, mm Π N l E A Δl = NN ' = = 5 = 196, mm , Deformţiile Δl 1 şi Δl sunt trecute în ig.5.-4, rezultând stfel poziţi sistemului după deformre (trstă cu linie întreruptă). Deplsre punctului de plicţie l forţei (δ D = DD'), printr-un clcul geometric, rezultă uşor. O reprezentre mi clră, pentru determinre deplsării punctului de plicţie forţei, (δ D ) este prezenttă în ig M D N Δl 1 M 1 D 1 Δl Δl Δl 1 Δl N' M' D' ig.5.-5 δ D = DD 1 + D 1 D' = Δl + D 1 D' 5.-1 ir din semănre triunghiurilor N'D 1 D' şi N'M 1 M', rezultă: Relţi 5.-1, devine: DD 1 ' ND M M' = NM mm. δ D = Δl + 3 ( Δl1 Δl) = 196, + 3 ( 06, + 196, ) = 01, mm Deci, punctul de plicţie l forţei, se deplseză în jos cu,01 168

172 Observţie Acestă problemă fost o problemă de dimensionre. Să presupunem că problem este de verificre. Însemnă că se cunosc dimensiunile secţiunii trnsversle d şi şi trebuie verifictă condiţi de rezistenţă su rigiditte. Mersul problemei în cest cz este identic cu cel prezentt, numi că se utilizeză relţiile: N1 σ1mx = =... σ A 1 su N σ mx = =... σ A ε ε 1 N E A ε = = 1 mx... 1 N E A ε = = mx... În ceste relţii, eforturile N 1 şi N sunt cele clculte. Considerăm cum că problem este de efort cpbil. În cest cz nu se cunoşte vlore forţei, ir eforturile N 1 şi N nu mi u vlori numerice, ele determinându-se c l exemplul precedent, dr rămân necunoscute, dică: N N 1 = = 3 3 Relţiile de clcul din Tbelul cre se utilizeză, u form: N N 1cp cp = σ A 1 = σ A = = ' = σ A1 '' = 3 σ A Se obţine câte o vlore pentru forţ impusă de fiecre tirnt. 169

173 Dcă se consideră şi condiţi de rigiditte, mi rezultă două vlori pentru forţ cpbilă : N N 1cp cp = E A 1 = E A ε = ε = 3 3 ''' = IV 3 E A1 = 3 E A Pentru fi stisfăcute tote condiţiile (de rezistenţă şi de rigiditte) dintre cele ptru vlori ', '', ''', IV le forţei se i vlore ce mi mică. = min ( ', '', ''', IV ). Se observă că schimbre tipului problemei nu complică modul de rezolvre problemei. Prin schimbre tipului de problemă, se schimbă dor mărimile cunoscute cu cele necunoscute. 5.3 Clculul brelor drepte solicitte de forţe xile ie o bră dreptă cu form şi încărcre din ig Se cer: ) forţ cpbilă pentru σ mx = σ = 150 MP. b) deplsre cpătului liber l brei. Se cunosc: E =, MP, d = 40 mm, l = 1 m. ε ε l l 4 3 d d N 7 7 ig ) b) Rezolvre ) Etpele de rezolvre sunt celeşi pe cre le-m utilizt şi l exemplul precedent (prg.5.). 170

174 Avem un singur element de rezistenţă (br), dr cre prezintă secţiune vribilă în lungul său. Br este solicittă xil, cu porţiuni întinse, respectiv comprimte. Secţiune periculosă după cum s- mi spus, depinde tât de vlore efortului xil cât şi de mărime riei secţiunii trnsversle. Pentru stbili secţiune periculosă, în cest cz, trebuie trstă digrm de efort xil N. Acestă digrmă este prezenttă în ig.5.3-1b. Există, după cum se pote constt, trei intervle crcteristice: 1-, -3, 3-4. Pe primele două intervle (1- şi -3), ri A secţiunii trnsversle este constntă (A = const.), ir N este vribil. Rezultă că intervlul -3 (unde N = 3), este mi periculos decât intervlul 1-. Dintre intervlul 3-4 (N = -7) şi intervlul -3 (N = 3), este mi periculos intervlul -3, concluzie cre rezultă din următorul clcul simplu: N 3 3 σ 3 A = = = 3 3 d d 4 4 Π Π σ 3 4 N A = = Π = < σ ( d ) Π d Aşdr, secţiune periculosă este oricre secţiune sitută în intervlul -3. Problem este de efort cpbil (nu se cunoşte încărcre ). Condiţi impusă pentru determinre forţei, este condiţi de rezistenţă (se impune numi σ mx σ ). Relţi pe cre o utilizăm pentru clcul (din Tbelul 5.1-1), este: N cp = A σ = Relţi 5.3-3, trnscrisă pentru exemplul nostru în secţiune periculosă, este: N cp = A -3 σ = de unde rezultă vlore mximă dmisă pentru forţ : 171

175 Π d A 3 σ σ Π d σ Π = = = = = 6, 831 KN b) Pentru rezolvre cestui punct, prcurgem următorul rţionment: Totă br se deformeză: intervlele 1- şi -3 se lungesc (N > 0), ir intervlul 3-4 se scurteză (N < 0). Cpătul liber l brei se deplseză, fiindcă tote intervlele se deformeză. Nu se pote şti încă de cum dcă deplsre cpătului liber se produce în jos su în sus, cest depinzând de vlorile deformţiilor celor trei intervle. Se pote scrie totuşi că deplsre cpătului liber l brei δ 1 este: δ 1 = Δl unde, Δl 1-4 -deformţi întregii bre (intervlul 1-4). Cum de l 1-4 nici N şi nici A (ri) nu sunt constnte, deformţi Δl 1-4 nu pote fi scrisă într-un singur termen. În cest exemplu, Δl 1-4 re trei termeni, impuşi de cele trei intervle crcteristice pe cre tât N cât şi EA sunt constnte. Astfel: Δl 1-4 = Δl 1- + Δl -3 + Δl Rezultă că relţi 5.3-6, cpătă form: δ 1 = Δl 1-4 = Δl 1- + Δl -3 + Δl Explicitând relţi 5.3-8, se obţine: N1 l1 δ 1 EA N l N l = + + = EA 3 EA 3 4 l 3 l 7 l l 14 mm Π E d Π E d Π E d Π E d ( ) 0119, = + = + = 17

176 Deorece δ 1 = 0,119 mm > 0, rezultă că deplsre cpătului liber l brei (l secţiunii 1), re loc în jos. Lungire intervlelor 1- şi -3, este mi mre decât scurtre intervlului 3-4. Observţie. Să presupunem că se cere deplsre pe verticlă secţiunii. În cest cz, deformţi intervlului 1- nu influenţeză deplsre secţiunii. Oricât s-r deform intervlul 1-, dcă intervlul -4 nu se deformeză, secţiune nu se deplseză. Deci: δ = Δl -4 su δ 3 = Δl 3-4. Trebuie vută o mre tenţie l modul în cre deformţi intervlelor contribuie l deplsre unor secţiuni. 5.4 Clculul sistemelor de bre rticulte, sttic nedeterminte Dcă l un sistem, necunoscutele (recţiuni su eforturi) nu pot fi determinte cu jutorul ecuţiilor de echilibru, tunci sistemul este sttic nedetermint. Grdul de nedeterminre l sistemului, este dt de diferenţ dintre numărul necunoscutelor şi numărul ecuţiilor de echilibru scrise. Pentru rezolvre sistemelor sttic nedeterminte (în prim etpă flre necunoscutelor), este nevoie de ecuţii suplimentre, tâte cât este şi grdul de nedeterminre. Ecuţiile suplimentre provin din explicitre relţiilor cre se scriu între deformţiile su deplsările diferitelor elemente le sistemului su secţiunilor cestor. După găsire cestor ecuţii suplimentre (numărul este egl cu grdul de nedeterminre) şi determinre necunoscutelor, problem devine un obişnuită (sttic determintă), uşor de rezolvt. Exemplu. O pltformă rigidă BC pe cre trebuie şeztă forţ =40 kn, este suspendtă cu jutorul doi tirnţi 1 şi (ig.5.4-1), mbii de secţiune circulră cu dimetrul d = 30 mm. Se cer: 173

177 ) Să se verifice tirnţii pentru σ = 150 MP, b) Să se clculeze deplsre punctului de plicţie l forţei. Se cunosc: E =, MP, h = 3 m, = 1 m. h B C / / ig Rezolvre. ) Prcurgem etpele prezentte l prgrful 5.1, etpe pe cre le-m utilizt şi l exemplele precedente. Interes prezintă numi cei doi tirnţi, 1 şi. Ambii tirnţi sunt solicitţi numi l întindere. Având secţiune constntă şi fiind solicitţi de eforturi xile constnte (nevând încărcări pe lungime lor), orice secţiune tirnţilor pote fi considertă c periculosă. Problem este de verificre, ir condiţi impusă este ce de rezistenţă (se dă numi σ ). Din Tbelul 5.1-1, relţi de clcul cre se utilizeză este: σ mx = N =... A Ari secţiunii trnsversle A este cunoscută, dr efortul xil N din tirnţi nu este cunoscut. Pentru flre efortului xil, procedăm c l exemplul de l prgrful 5. (vezi ig.5.4-): - secţionăm tirnţii, - înlocuim porţiunile înlăturte cu eforturile N 1 şi N, - izolăm sistemul, 174

178 - punem condiţiile de echilibru (sistemul este pln). N 1 N H B B 60 0 C / / V B ig.5.4- Sistemul din ig.5.4- este în echilibru sub cţiune eforturilor N 1, N, srcinii şi recţiunilor (pe orizontlă şi verticlă) din rezemul B. Sistemul fiind pln, se pot scrie după cum se ştie, numi trei ecuţii independente de echilibru. Există 4 (ptru) necunoscute (H B, V B, N 1, N ) şi 3 (trei) ecuţii de echilibru posibil fi scrise. Rezultă că sistemul dt este o dtă sttic nedetermint (n = 4-3 = 1). Ecuţi suplimentră, rezultă din explicitre unei relţii cre se v scrie (şi cest trebuie găsită) între deformţiile su deplsările diferitelor secţiuni le tirnţilor. Din cele 4 necunoscute, pe noi nu ne intereseză în mod norml, direct, decât eforturile xile N 1 şi N. Din cest motiv, l scriere ecuţiilor de echilibru, renunţăm l ecuţiile de proiecţii de forţe pe direcţie orizontlă şi verticlă, deorece ceste nu fc ltcev decât să introducă necunoscutele H B şi V B, cre nici nu ne intereseză. Scriem tunci o singură ecuţie de echilibru, c o sumă de momente fţă de rezemul B (să dispră H B şi V B ): ( M ) B = 0 ( N 1 sin 60 0 ) - 3 / + N = 0 su după efecture clculelor, N N = Sistemul tot o dtă sttic nedermint este: m scris o relţie (rel. 5.4-) şi sunt două necunoscute (N 1 şi N ). 175

179 Să căutăm cum relţi suplimentră. Pentru cest procedăm c l exemplul de prgrful 5., unde s- rătt cum se pote junge l deplsre unei secţiuni: - desenăm sistemul nedeformt (cu linie continuă), - desenăm sistemul în poziţie deformtă (cu linie întreruptă), - etc. (vezi exemplul 5. punctul b). Rezulttul rţionmentului făcut pentru determin relţi suplimentră este prezentt în ig MM 1 = Δl 1 / sin 60 0 B 60 0 M D N Δl Δl 1 M 1 D 1 N 1 Triunghiurile BMM 1 şi BNN 1 sunt semene şi putem scrie: Δ l1 sin 60 0 ig MM1 BM Δ l1 1 = = NN1 BN Δ l Δ l sin 60 0 După efecture clculelor, relţi între deformţiile celor doi tirnţi este de form: 4 Δl1 = 3 Δl Explicitând cum relţi 5.4-3, rezultă: 176

180 N l E A = 3 1 N l E A ir dcă se înlocuiesc lungimile tirnţilor l 1 şi l funcţie de dimensiune h şi se fc simplificările corespunzătore, se junge l o relţie finlă între eforturile N 1 şi N, cre este tocmi relţi suplimentră de cre vem nevoie: 8 N 1 3 N = Relţi se tşeză celei de echilibru (rel. 5.4-), obţinându-e sistemul 5.4-5, de unde se clculeză eforturile necunoscute N 1 şi N : N N = 3 8 N 1 3 N = Ţinând sem de vlore forţei, după rezolvre sistemului 5.4-5, rezultă pentru eforturile N 1 şi N, vlorile: N 1 = 10,85 kn N = 7,48 kn. De ici, problem este uşor de rezolvt, sistemul fiind sttic determint ir o serie de mărimi sunt dej clculte. Dintre cei doi tirnţi, mi periculos este tirntul, deorece vând ceeşi rie pentru secţiune trnsverslă c tirntul 1, prezintă un efort xil mi mre (N > N 1 ). C urmre cestei concluzii, este suficient să verificăm numi tirntul, cel mi periculos. În cest context, relţi de verificre 5.4-1, devine: N A σmx = σ = = = 38, 80 N Π d 4 MP Aşdr: σ mx = 38,80 MP < σ = 150 MP. 177

181 Rezultă că cei doi tirnţi stisfc condiţi de rezistenţă cerută. b) Pentru determinre deplsării punctului de plicţie l forţei, utilizăm ig.5.4-3, de unde rezultă: δ = DD Din semănre triunghiurilor BDD 1 şi BNN 1, rezultă: DD Δl 1 BD δ = BN Δl = de unde se obţine: N l δ Δ Δ 4 E A = l = l = = 0415, mm Observţie. Dcă grdul de nedeterminre este, 3, 4,... trebuie căutte, 3, 4,... relţii între deformţiile elementelor ce compun sistemul respectiv. 178

182 5.5 Clculul sistemelor cu inexctităţi de execuţie L executre unei structuri de rezistenţă, este greu de relizt o dimensiune exctă diferitelor elemente. Totdeun trebuie vut în vedere posibilitte existenţei unei mici inexctităţi de execuţie. În czul sistemelor sttic determinte, inexctităţile de execuţie nu provocă nici un fel de tensiuni suplimentre în sistem. În czul sistemelor sttic nedeterminte, dtorită montării forţte c umre existenţei unor inexctităţi de execuţie, în elementele de rezistenţă se creeză tensiuni suplimentre. De multe ori, ceste tensiuni suplimentre sunt mri, ir suprpuse peste cele crete de forţele exteriore, pot compromite cpcitte de rezistenţă elementelor. În cest cpitol, se vor prezent două czuri de sisteme cu inexctităţi de execuţie Clculul brelor rticulte sttic nederminte, cu inexctităţi de execuţie Exemplul nr.1 Se consideră un sistem lcătuit din trei bre rticulte, l cre br centrlă (br 3) dintr-o greşelă de execuţie este mi scurtă cu δ (ig ) l 3 = l α = 30 0 B 0 B 0 δ B 1 B B ) b) ig

183 Se cere să se clculeze tensiunile din cei trei tirnţi după relizre montjului în mod forţt. Rezolvre Brele trebuie montte înt-un nod comun B 1 (ig b). Se creeză câtev situţii cre trebuie discutte. ) Br 3 să fie întinsă până în nodul B (ig ). Ast însemnă că br 3 este solicittă, ir brele 1 şi, nu. Prctic cestă situţie nu este posibilă, deorece solicitre vând loc în domeniul elstic pentru br 3, după montre br 3 tinde să revină l dimensiune ei iniţilă (să se comprime), cee ce utomt cţioneză şi supr brelor 1 şi comprimându-le, rezultând situţi prezenttă în ig b. b) De dt cest să presupunem că brele 1 şi sunt comprimte stfel încât nodul B să fie dus în nodul B 0. L fel, după montre, brele 1 şi cută să revină l dimensiunile iniţile, solicitând br 3 l întindere şi stfel rezultă tot vrint de montj prezenttă în ig b. Deci, montre forţtă celor trei bre, nu pote fi făcută decât prin solicitre tuturor brelor (brele 1 şi se comprimă ir br 3 se lungeşte), nodul comun de montj fiind nodul B 1 (ig b). Determinre eforturilor din cele trei bre (N 1, N, N 3 ) se fce prin metod dej cunoscută, rezultând sistemul din ig N 3 N 1 N α α N 3 α = 30 0 B 1 su α α B 1 N N 1 ig Punând condiţi de echilibru pentru sistemul din ig , se obţine: ( ) x = 0 180

184 N 1 sin N sin 30 0 = 0 N 1 = N ( ) y = 0 N 3 - N cos N 1 cos30 0 = 0 N 1 cos N 3 = ( M ) B 1 = 0 nu se pote scrie o stfel de ecuţie. Sunt trei necunoscute şi s-u scris două ecuţii. Rezultă că sistemul este o dtă sttic nedetermint. Ecuţi suplimentră, rezultă din ig b, prezenttă mi bine (mărită) în ig B 0 Δl 3 Δl 1 /cosα B 1 δ B Δl 1 Δl ig Din ig , rezultă: B 0 B = B 0 B 1 + B 1 B su δ = Δl 3 + Δl 1 / cos α Considerând czul când brele u crcteristicile A 1 = A A 3, l 1 =l l 3, E 1 =E E 3 şi explicitând relţi , se obţine: 181

185 unde: l 1 = l l 3 / cosα N l E A 3 3 δ = N1 l1 E1 A1 cos α Ecuţi se tşeză ecuţiei , ir din sistemul formt. N 1 cosα - N 3 = N l E A 3 3 δ = N1 l1 E1 A1 cos α b se obţin eforturile: N 1 = N = l 3 δ cos ( 1 α + ) E 1 A 1 cos α E 3 A N 3 = < N l 3 δ cos α ( 1 cos α ) 1 + E 1 A 1 cos α E 3 A În br 3 se produc tensiuni de întindere, de vlore: N 3 σ 3 = > A ir în brele 1 şi, tensiuni normle de compresiune: σ 1 = σ = = < 1 N A 1 N A Clculele numerice pe exemple, conduc l concluzi că montre forţtă, pote cre tensiuni mri în elementele de rezistenţă. Sigur, ceste structuri cre u fost montte forţt, sunt ulterior supuse unui sistem de forţe exteriore. orţele exteriore vor cree l rândul lor, tensiuni. Este un mre pericol tunci când s-u făcut montări 18

186 forţte şi fenomenul trebuie dus imedit l cunoştiinţ proiectntului, pentru refce clculul de rezistenţă şi lu măsuri de compensre tensiunilor cuzte de montjul forţt. Spre exemplu, pentru czul prezentt, dcă după montre forţtă, în nodul comun B 1 sistemul este solicitt de o forţă (ig ), forţ produce în tote cele trei bre tensiuni normle de întindere. Efectul cţiunii forţei este cel că în br 3, vând şi dtorită montării forţte tensiuni de întindere, tensiunile normle finle cresc, putând conduce l cedre prin rupere cestei bre. 1 3 α α B 1 ig În celşi timp, brele 1 şi, vând de l montre forţtă tensiuni de compresiune, prin plicre forţei, tensiunile finle scd. În concluzie, pentru sistemul prezentt, prin plicre forţei după relizre montjului forţt, br 3 se încrcă suplimentr, ir brele 1 şi, se descrcă. Exemplul nr. Dintr-o greşelă, br sistemului din ig s- relizt mi scurtă cu δ = mm. Brele fiind de secţiune circulră cu dimetrele d 1, respectiv d, se cere să se clculeze tensiunile din cele două bre cre susţin pltform rigidă BC, după montre forţtă. Se cunosc: l 1 = l = l = m, d 1 = 0 mm, d = 10 mm, E 1 = 1, MP, E =, MP, = 1 m. 183

187 1 l 1 B δ C l ig ig Rezolvre Poziţi sistemului după montre forţtă, este prezenttă în ig Acestă poziţie se obţine prin întindere tât brei 1 cât şi brei. În mbele bre pr tensiuni de întindere. Evidenţiere eforturilor este prezenttă în ig N 1 B N ig Condiţi de echilibru, conduce l ecuţi: ( M ) B = 0 N 1 - N = 0 184

188 de unde, N 1 = N / S- obţinut o singură relţie şi există două necunoscute: N 1 şi N. Sistemul este sttic nedetermint o singură dtă. Relţi suplimentră, rezultă din prezentre deformţiilor suferite de cele două bre l montre lor forţtă, ş cum se prezintă în ig B D C δ D 1 Δl 1 D Δl C 1 ig Din ig , rezultă că: δ = Δl + DD ir din semănre triunghiurilor BDD 1 şi BCC 1, se obţine: DD Δl 1 1 Δl DD1 1 = = Ţinând sem de relţi , relţi , devine: δ = Δl + Δl 1 /

189 ir explicittă, conduce l relţi: N l E A 1 δ = + N1 l1 E A : Din rezolvre sistemului formt de relţiile şi N 1 - N = N l E A 1 δ = + N1 l1 E A b 1 1 rezultă eforturile xile N 1 şi N din cele două bre: N 1 = = l δ ( 1 ) 7,490 kn + E1 A1 E A N = N 1 = 14,981 kn C urmre montării forţte, tensiunile normle din cele două bre sunt: σ = N 1 = 4 N 1 = 1 A, 1 Π d MP N 4 N σ A Π d = = = 190, 74 MP Din cest exemplu se consttă că prin montre forţtă sistemului, în br (cre este din oţel) se produc tensiuni mi mri decât cele dmisibile. L o încărcre exterioră (într-un numit fel), br pote ced şi odtă cu cest, întregul sistem. Atenţie: tensiunile rezultte în urm montării forţte le diferitelor elemente de rezistenţă, pot fi forte mri şi ele nu trebuie neglijte. 186

190 5.5. Clculul brelor drepte, solicitte xil, cre prezintă un rost (spţiu) l un cpăt Se consideră br dreptă din ig cre dintr-o greşelă s- executt mi scurtă cu δ. Se cere să se clculeze tensiunile mxime cre pr în bră, după plicre sistemului de forţe (ig ). Se cunosc: δ = 0,1 mm, A = A 1 = mm, l = 0,5 m, E 1 = E = E =, MP, = 18 kn. A A 1 3 l l l l δ ig Rezolvre Sub cţiune forţelor plicte, br se deformeză. În czul nostru, br se lungeşte. L cest tip de problemă, pot exist două czuri: ) Sub cţiune forţelor plicte br se lungeşte, dr lungire ei totlă nu depăşeşte rostul δ, stfel încât cpătul liber nu tinge rezemul din drept. Acestă situţie fost trttă în prgrful 5.3. b) Sub cţiune forţelor plicte, br se lungeşte ir lungire ei totlă este mi mre decât rostul δ şi cpătul din drept iniţil liber tinge rezemul, părând stfel o recţiune suplimentră (în rezemul din drept). Acest ultim cz se prezintă în cele ce urmeză. Dcă lungire totlă brei este mi mre decât δ, sistemul se prezintă c în ig În cele două rezeme, pr recţiunile N B, respectiv N C (ig.5.5.-). 187

191 B A A 1 C N B 3 N C l l l l ig Prcurgem etpele pe cre dej le cunoştem de l exemplele precedente. Ne intereseză totă br. Br este solicittă xil. Secţiune periculosă nu o putem determin până nu trsăm digrm de efort xil (efortul xil este singurul efort cre există). Problem este de verificre (se cer tensiunile mxime). Condiţi impusă este condiţi de rezistenţă. Din Tbelul 5.1-1, relţi de clcul cre se utilizeză, este N σ = A = Deci, nu cunoştem secţiune periculosă, unde se scrie relţi Pentru cest, trebuie trstă digrm de efort xil N: - se fixeză recţiunile (ig.5.5.-), - se pun condiţiile de echilibru: ( ) x = 0 N B N C = 0, su N B + N C = ( ) y = 0 - nu putem scrie o stfel de condiţie ( M ) = 0 - nu putem scrie o stfel de condiţie. 188

192 Am scris o relţie (rel 5.5.-) şi vem două necunoscute (N 1 şi N ). Rezultă că sistemul este o dtă sttic nedetermint. Relţi suplimentră o determinăm după cum dej se ştie, din nliz modului de deformre l brei. Sub cţiune forţelor plicte, br se deformeză cu Δl (ig ). Dr, deformţi brei nu pote fi mi mre decât rostul δ, recţiune N C (su rezemul din drept) împiedicând deformre mi deprte brei. Schem cu sistemul nedeformt (linie continuă), deformt (linie întreruptă) şi deformţiile produse, este prezenttă în ig Δl δ NB l E A Din ig , rezultă relţi dintre deformţiile brei: Δl = δ cre explicittă (vezi ig.5.5.-), conduce l relţi: ( N 3 ) l E A ( N 3 ) l E A B B B ig ( N 3 ) l E A 1 =δ Se pote constt că deformţi întregii bre Δl, s- scris c o sumă de deformţii, deorece tât efortul xil N cât şi rigiditte EA, vriză în lungul brei. Ţinând sem că A = A 1 şi efectuând clculele, relţi cpătă form: N = B E A l δ

193 Relţi se tşeză celei rezultte din condiţi de echilibru (rel ), de unde rezultă recţiunile N B şi N C : N B E A 6 3 l 17 = + 1 δ N C 7 E A = 6 3 l 1 δ ir c vlori numerice, rezultă. N B = 65 kn N C = 7 kn Având cum vlorile recţiunilor se pote trs digrm efortului xil N. Digrm efortului xil rezulttă, este prezenttă în ig N [kn] ig Anlizând digrm din ig şi mărime riei secţiunii trnsversle brei în lungul cestee, rezultă că intervlul din stâng unde N = 65 kn este cel mi periculos. Secţiune periculosă este oricre din cest intervl. Acum relţi generlă de clcul tensiunii normle mxime, cpătă form: σ mx N mx = A = 1000 = 3, 5 MP < σ = MP 190

194 Br din ig pote fi solicittă de sistemul de forţe plict. Condiţi de rezistenţă impusă este stisfăcută. Observţie. În situţi brelor cre nu prezintă rostul δ (δ = 0), problem se rezolvă l fel, numi că relţi , re form: Δl = Clculul brelor cu secţiuni neomogene, solicitte xil Secţiunile neomogene, sunt cele secţiuni cre în puncte diferite prezintă proprietăţi diferite. Brele cu secţiuni neomogene fc prte în generl din ctegori brelor sttic nedeterminte. C un exemplu clsic de bră cu secţiune neomogenă, mintesc un stâlp de beton rmt cu bre metlice. Exemplul nr.1. ie un stâlp de beton de înălţime h şi secţiune trnsverslă ptrtă cu ltur, rmt cu vergele de oţel, şezte în lungul stâlpului. Stâlpul este solicitt de o forţă xilă de compresiune c în ig Notăm: A b - ri secţiunii trnsversle porţiunii de beton stâlpului A 0 - ri totlă secţiunii brelor rmăturii de oţel, σ b - tensiune dmisibilă l compresiune betonului σ - tensiune dmisibilă oţelului (rmăturii), E b - modulul de elsticitte l betonului, E - modulul de elsticitte l oţelului (rmăturii). Se cere să se determine forţ cpbilă pentru cest stâlp, cunoscând σ. 191

195 B B h B - B ig Rezolvre. Se prcurg etpele cunoscute: Intereseză întregul stâlp. Stâlpul este solicittt xil (l compresiune). Secţiune este constntă, efortul xil de semene. Rezultă că secţiune periculosă este oricre. Problem este de efort cpbil (se cere ) Se impune condiţi de rezistenţă (se dă σ ). Din Tbelul 5.1-1, relţi utiliztă, este: N b,cp = A b σ b = N 0,cp = A 0 σ = Trebuie determinte eforturile din beton şi rmătur de oţel (N b, respectiv N 0 ). O prte forţei cre comprimă stâlpul, este prelută de beton (N b ), ir celltă prte este prelută de brele de oţel le rmăturii (N 0 ). 19

196 Eforturile N b şi N 0 echilibreză cţiune forţei (ig.5.6-). N b N 0 ig.5.6- Condiţi de echilibru (ig.5.6-) conduce l relţi: ( ) y = 0 N b + N 0 = Altă relţie de echilibru nu se mi pote scrie. Rezultă că sistemul este o dtă sttic nedetermint: s- scris o singură ecuţie şi sunt două necunoscute (N b şi N 0 ). Acum trebuie găsită o relţie între deformţiile elementelor sistemului. Se re în vedere fptul că tât prte din beton stâlpului cât şi ce de oţel (ig.5.6-3) se vor scurt cu ceeşi cntitte: Δl 0 = Δl b Δl 0 Δl b ig Explicitre relţiei 5.6-5, conduce l: N 0 h E A 0 N b h = E A b b 193

197 su: N 0 E A 0 N b = E A 5.6-6b b b Relţi 5.6-6b se tşeză ecuţiei de echilibru 5.6-4, rezultând sistemul: N 0 + N b = cu: N 0 E A 0 N b = E A 5.6-7b b b A 0 + A b = 5.6-7c După rezolvre sistemului 5.6-7,b,c rezultă eforturile xile din beton (N b ), respectiv din rmătur de oţel (N 0 ): N b = A 1+ 0 E A b E b N 0 = A 1 + b A 0 E b E Problem fiind de efort cpbil, se revine l relţiile 5.6-, respectiv 5.6-3, obţinându-se: N N = A σ = A 1 + bcp, b b 0, cp 0 = A = 1 + ' 0 E A b E b '' σ A b A E b E 194

198 Din relţiile şi , se obţin vlorile forţei cpbile pentru stisfcere condiţiei de rezistenţă tât betonului cât şi rmăturii de oţel: A0 ' = A b σ b 1+ A b E E b Ab ''= A 0 1+ A Eb σ E 5.6-1b 0 Pentru c mbele mterile (betonul şi rmătur de oţel) să stisfcă condiţi de rezistenţă, vlore mximă dmisă forţei cre pote fi ccepttă, este: mx = min ( ' ; '' ) Exemplul nr.. Să se verifice elementele de rezistenţă le sistemului din ig.5.6-4, pentru cre se cunosc: = 100 kn, δ = 0,1 mm, E OL = E 0 = 10 5 MP, E cu = E c = 10 5 MP, σ,ol = σ, = 150 MP, σ,cu = σ,c = 50 MP, d = 0 mm, d 1 = 35 mm, d = 50 mm. Cupru (C u ) d d 1 d Oţel (OL) l = 1 m δ ig Rezolvre Dcă se efectueză o secţiune trnsverslă prin sistem, în secţiune se întâlneşte tât oţel cât şi cupru. Deci, sistemul este cu secţiune neomogenă. 195

199 Prcurgem etpele de rezolvre cunoscute: Intereseză mbele elemente: tât br de oţel cât şi ce de cupru. Br de oţel este circulră, ir ce de cupru re secţiune inelră (este o ţevă). Ambele elemente sunt solicitte xil (l compresiune), dcă sub cţiune forţei, br de cupru se scurteză cu mi mult de δ. Pentru cest exemplu considerăm cestă situţie. Eforturile xile din cele două bre (N OL N 0 şi N Cu N c ) cre iu nştere, se opun cţiunii forţei (ig.5.6-5). Cum brele u secţiune constntă ir eforturile xile din ele sunt de semene constnte în lungul lor, rezultă că secţiune periculosă pote fi oricre. N c N 0 ig Problem este de verificre, ir condiţi impusă este ce de rezistenţă. Din Tbelul 5.1-1, relţi pentru clcul este: ir trnspusă pentru cele două bre, rezultă: N σ mx = =... A N 0 σ mx, 0 = A = σ mx, = = c Pentru rezolvre relţiilor şi , trebuie cunoscute eforturile xile N 0 şi N c din cele două bre. Punând condiţi de echilibru (ig.5.6-5), rezultă: N A c c 196

200 ( ) x = 0 N 0 + N c = Altă relţie de echilibru nu se mi pote scrie. Existând două necunoscute (N 0 şi N c ) şi scriind o singură relţie (rel ), rezultă că sistemul este o dtă sttic nedetermint. Relţi suplimentră necesră, se obţine din condiţi de deformre sistemului. În ig.5.6-6, se prezintă deformţiile celor două bre, de unde rezultă uşor relţi dintre deformţii: Δl c - Δl 0 = δ Δl c Δl 0 δ ig După deformre, mbele bre prezintă ceeşi lungime. Explicitând relţi , rezultă: Nc l N0 l = δ Ec Ac EA Atşând relţi l relţi , se obţine sistemul cre permite determinre celor două eforturi xile : N c + N 0 = Nc E A c c N0 EA = 0 δ l 5.6-0b 197

201 După rezolvre sistemului 5.6-0,b şi înlocuire vlorilor numerice, se obţin vlorile eforturilor xile: N c N Cu = 74,49 kn N 0 N OL = 5,51 kn b Pe bz vlorilor eforturilor, rezultă tensiunile normle mxime din cele două bre: σ σ N mx, 0, A 0 = = 810 MP < σ = N mx, c A c, c = = 5058, MP > σ = 50 c MP MP Se consttă că în br de cupru, tensiune normlă mximă este cu puţin mi mre decât tensiune dmisibilă. Diferenţ este totuşi nesemnifictivă (0,58 MP) şi în cest cz, putem consider că şi br de cupru, stisfce condiţi de rezistenţă. 5.7 Clculul brelor supuse vriţiilor de tempertură L clculul brelor cre prezentu inexctităţi de execuţie, m văzut că prin montre forţtă şi în lips unor forţe exteriore, în elementele de rezistenţă pr tensiuni şi uneori destul de mri. Tensiuni în bsenţ forţelor exteriore în elementele de rezistenţă pot păre şi dtorită vriţiilor de tempertură l cre ceste pot fi supuse în mod voit su ccidentl. Tensiuni de cest fel destul de mri, spre exemplu, se produc în şinele de cle fertă vr când tempertur creşte mult su irn când cest scde semnifictiv sub 0 0 C. În urm vriţiei temperturii şinelor în rport cu tempertur l cre ceste s-u montt, în şine pot păre tensiuni normle de întindere su de compresiune, funcţie de sensul vriţiei temperturii. Exemplul nr.1. ie o bră încstrtă l mbele cpete (ig.5.7-1). Montre brei s- făcut l tempertur t 1. Se pune problem 198

202 determinării tensiunilor normle cre pr în bră în urm modificării temperturii l vlore t (Δt = t - t 1 ). B C N B N C l ig Considerăm lungime brei l, ri secţiunii trnsversle A, modulul de elsticitte longitudinl l mterilului brei E, coeficientul de diltre termică liniră l mterilului α şi t > t 1. Rezolvre Prcurgem celeşi etpe de rezolvre pe cre le-m mi prcurs l exemplele precedente şi cu cre dej ne-m fmilirizt: Avem o singură br cre ne intereseză. Deorece t > t 1, br tinde să se dilte, diltre împiedictă de rezeme. Rezultă că br este solicittă l compresiune, cee ce re c efect, priţi în rezemele B şi C recţiunilor N B, respectiv N C (ig.5.7-1). Secţiune fiind constntă, l fel şi efortul xil N, rezultă că secţiune periculosă pote fi oricre. Problem este de verificre, condiţi de rezistenţă. Relţi de clcul pe cre o utilizăm (din Tbelul 5.1-1), este: N σ= = A Pentru clcul este nevoie de efortul xil N din bră. Pentru sistemul din ig.5.7-1, punem condiţi de echilibru: ( ) x = 0 N B - N C = 0 su N B = N C 5.7- Nu se mi pot scrie lte ecuţii de echilibru. Având două necunoscute (N B şi N C ) şi scriind o singură ecuţie, rezultă că sistemul este o dtă sttic nedetermint. Relţi suplimentră o căutăm în modul de deformre l brei. 199

203 Sub cţiune vriţiei de tempertură Δt, br tinde să se dilte cu Δl t. Acestă deformţie este împiedictă de rezem (de recţiune). ie deformţi împiedictă de rezem Δl N (ig.5.7-). Din ig.5.7-, rezultă relţi între deformţii: Δl t = Δl N Δl N Δl t ig.5.7- Explicitând relţi 5.7-3, se obţine: de unde: α l Δ t = NC l E A N C = N B = E A α Δt Digrm de efort xil N, este prezenttă în ig N N B N C = E A α Tensiune mximă, clcultă pe bz relţiei 5.7-1, este: N A N A ig EA α Δt A C σmx = = = = E α Δ t

204 Se pote constt că tensiune normlă mximă, nu depinde de mărime secţiunii trnsversle brei. Să considerăm că br este din oţel pentru cre E =, MP, α = 1, grd -1, Δt = 50 0 C. Tensiune normlă mximă în bră în cestă situţie, este: σ mx =, , = 131,5 MP. Rezultă o tensiune normlă destul de mre, propită de ce dmisibilă. Tensiuni pr şi tunci când elementele de rezistenţă se răcesc (irn când tempertur scde; t 1 > t ). În cest cz, tensiunile din elementele de rezistenţă sunt de întindere. Exemplul nr.. L ce diferenţă de tempertură Δt pote fi supusă br din ig.5.7-4, pentru nu se depăşi σ. A 1, E, α A, E, α l 1 l δ l ig Rezolvre Pentru rezolvre problemei, prcurgem etpele cunoscute: Avem o singură bră cu secţiune vribilă, din celşi mteril. Br se v dilt, până tinge peretele din drept. Tempertur creşte în continure până când în br comprimtă, tensiune normlă tinge vlore σ. L cpetele brei (în rezeme) pr recţiunile N B şi N C (ig.5.7-5). N B B N C ig

205 Secţiune periculosă este pe intervlul cu ri A (A < A 1 ) deorece efortul xil N în lungul brei este constnt. Problem este de efort cpbil, ir condiţi cre se impune este ce de rezistenţă. Relţi utiliztă pentru clcul (vezi Tbelul 5.1-1), este: N cp = A σ = Punem condiţi de echilibru, pentru sistemul din ig.5.7-5: ( ) x = 0 N B = N C = N Alte condiţii de echilibru nu se mi pot pune. Rezultă că sistemul este o dtă sttic nedetermint. Relţi suplimentră necesră se cută, făcând celşi rţionment c l exemplul precedent. Schem cu deformţiile suferite de bră, este prezenttă în ig Δl t Din ig.5.7-6, rezultă: ig δ Δl N Δl t - Δl N = δ Explicitând relţi 5.7-8, se obţine: su mi simplu: N l N l1 α l1 Δt + α l Δ t E A + E A = δ su, α Δ ( ) l 1 + l = δ ( l + N 1 l E A A t ) 1 0

206 N l α Δt l δ= + E A l1 A Din relţi , rezultă vlore efortului xil N din bră: N = N = N = B C E ( ) α Δt l δ l1 A1 + l A Revenind l relţi de bză (rel ) şi punând condiţi de rezistenţă în secţiune periculosă, rezultă: E ( ) α Δt l δ l1 A1 + l A = A σ Din relţi , după efecture clculelor, rezultă diferenţ de tempertură mximă dmisă: l1 l ( A A ) A1 σ + + E δ 1 Δt = E α Clculul brelor supuse cţiunii simultne mi multor fctori L unele sisteme (în generl sttic nedeterminte) este necesr câteodtă să se ţină sem de influenţ simultnă mi multor fctori: forţele exteriore, vriţi de tempertură şi inexctităţile de execuţie. Rezolvre cestor probleme se pote fce în două moduri. ) Primul mod constă din considerre simultnă influenţei tuturor fctorilor. În cest cz, în ecuţi cre exprimă condiţi suplimentră de deformţie, trebuie introduşi termenii cre exprimă influenţ fiecărui fctor. Eforturile şi tensiunile obţinute în urm cestui mod de bordre, sunt cele totle (rezultnte). b) Al doile mod de bordre unor semene sisteme, constă în evlure seprtă eforturilor şi tensiunilor produse de fiecre 03

207 fctor de influenţă. Problem se rezolvă seprt pentru fiecre fctor şi în fiecre cz, se ţine sem numi de un singur fctor. Eforturile şi tensiunile totle (rezultnte), se obţin prin însumre lgebrică vlorilor obţinute în urm rezolvării fiecărei probleme seprt. De cele mi multe ori, cest mod de bordre este mi uşor şi mi comod, dr necesită un volum mi mre de clcule. Metod cest este cunoscută şi sub numele de metod suprpunerii efectelor. Acestă metodă fost folosită până cum l trsre digrmelor de eforturi pentru sistemele spţile (vezi prg.3.4). În czurile prezentte până cum, m ţinut sem numi de un singur fctor: forţele exteriore, inexctităţile de execuţie, vriţi temperturii. În continure, se prezintă un exemplu de clcul pentru un sistem sttic nedetermint supus cţiunii simultne mi multor fctori. Exemplul nr.1. ie trei bre verticle prlele de lungime l = m cre susţin o pltformă rigidă BC pe cre se plică forţ = 40 kn (ig.5.8-1). Br centrlă este mi scurtă cu δ =0, mm decât este necesr. Br 1 este din cupru ir brele şi 3 sunt din oţel. Tempertur sistemului creşte cu Δt = 0 0 C. Se cere să se determine tensiunile din cele trei bre, după montre forţtă şi creştere temperturii cu Δt. Se mi cunosc: = 1,5 m, b = 1 m, c = 0,5 m, A 1 = cm, A = 1 cm, A 3 = 3 cm, E Cu = E c = 10 5 MP, E OL = E = 10 5 MP, α Cu = α c = grd -1, α OL = α = grd -1. l 1 3 B δ D M C c b ig

208 Rezolvre Presupunem că s- relizt montre forţtă şi că eforturile în urm creşterii temperturii cu Δt, sunt tote de întindere (ig.5.8-). Se utilizeză metod simultnă (su globlă). N 1 N N 3 B D M C ig.5.8- Condiţiile de echilibru puse pentru sistemul din ig.5.8-, conduc l următorele ecuţii: ( ) y = 0 N 1 + N + N 3 - = ( M ) D = 0 N 1 - N 3 b + c = S-u scris două ecuţii şi sunt trei necunoscute: N 1, N, N 3. Rezultă că sistemul este o dtă sttic nedetermint. Relţi suplimentră necesră, se determină din modul de deformre l elementelor sistemului. Schem cuprinzând deformţiile elementelor sistemului, considerând că tote eforturile sunt de întindere, este prezenttă în ig δ Δl 1 Δl Δl 3 05 ig.5.8-3

209 Din ig.5.8-3, rezultă următore relţie între deformţiile brelor: Δl3 Δl1 Δl Δl 1 = + b δ Deformţiile celor trei bre, ţinând sem şi de influenţ temperturii, sunt: N l 1 E A 1 Δl = 1 + α l Δt N l E A Δl = + α l Δt 5.8-4b N l 3 E A 3 Δl = 3 + α l Δt 5.8-4c 3 3 Înlocuind relţiile c în relţi 5.8-3, se obţine: N3 l E3 A3 α3 N l E A N1 l E1 A1 α1 N1 l E1 A1 1 + l Δt l Δt + α l Δt α l Δt δ = + b Relţi se tşeză ecuţiilor de echilibru (rel şi 5.8- ). După rezolvre sistemului de ecuţii stfel formt (rel 5.8-1, 5.8- şi 5.8-5), se obţin vlorile celor trei eforturi: N 1 = 7,9 kn N = 10, kn 5.8-6b N 3 = 1,88 kn 5.8-6c Dcă un efort xil re semnul (minus), însemnă că br respectivă nu este solicittă cum m considert noi (noi m considert că tote sunt întinse), ci contrr considerţiei făcute. Cu vlorile eforturilor, se pot determin cum tensiunile din cele trei bre: 06

210 Pentru br 1: N , σmx, 1 = = = 39, 6 MP < σ A 00 c, Pentru br : 1 N 3 10, 10 σmx, = = = 10, MP < σ A 100 Pentru br 3: N , σmx, 3 = = = 7, 9 MP < σ A Tote brele stisfc condiţi de rezistenţă cerută. 07

211 5E. Solicitre xilă (Probleme propuse) 5E.1 Grind rigidă, BD, din figură este susţinută în poziţie orizontlă prin doi tirnţi din oţel cu lungimile şi respectiv b. Acceptând că ri secţiunii tirntului mi scurt este cunoscută, A 1, se cere să se determine ri secţtiunii tirntului, stfel încât după plicre forţei, grind BD să rămână în poziţie orizontlă. Aplicţie numerică: A 1 = 300 mm, = 1 m, b= m. B A 1 1 0,75 l A 0,5 l D b 5E. Grind rigidă, BD, din figură este susţinută de doi tirnţi din oţel cu secţiuni circulre cu lungimile L 1 =1,5 m şi respectiv L =1 m. Cunoscând dimetrele secţiunilor tirnţilor: d 1 1 =40 mm şi d =30 L 1 mm, modulul de elsticitte E= L 10 5 MP, se cer: eforturile din 60º 45º tirnţi după plicre forţei =0 B D kn şi deplsre pe verticlă 0,8 m 1, m cpătului D l grinzii BD. 5E.3 Pentru sistemul de bre din figură se cer: ) să se determine efortul din tirnt dcă =40 kn; b) să se dimensioneze tirntul, dcă σ =160 MP şi se utilizeză o secţiune circulră, (d=?); c) să se clculeze deplsre pe verticlă punctului de plicţie forţei, dcă E=, MP. 3m EA m 4 m 08

212 5E.4 Pentru sistemul de bre din figură se cer: ) efortul din tirnt,(n=?); forţ cpbilă, cp, dcă σ =160 MP şi tirntul re secţiune circulră cu dimetrul d= 30 mm; c) să se clculeze deplsre pe verticlă punctului de plicţie forţei, dcă E= 10 5 MP. 3 m m 1 m EA 5E.5 Pentru sistemul de bre din figură se cer: ) efortul din tirnt dcă =60 kn; b) să se verifice tirntul, dcă σ =140 MP şi se utilizeză o secţiune circulră cu d=3 mm; c) să se clculeze deplsre pe verticlă punctului de plicţie forţei, dcă E=, MP. m EA 3m 4 m 5E.6 Pentru br de secţiune circulră din figură se cer: ) forţele xile, N, pe fiecre tronson de bră, pentru =0 kn; b) să se dimensioneze br dcă σ =150 MP; c) să se clculeze lungire totlă brei,(δl 15 ), dcă E=, MP. 400 d d

213 5E.7 Sistemul din figură este solicitt de forţele 1 =16 kn şi =1 kn. Grind orizontlă BD este de mre rigiditte. Să se determine tensiunile din tirntul ABC şi deplsre cpătului (C) l cestui, cunoscându-se dimetrul d=30 mm, constnt pe totă lungime tirntului şi modulul de elsticitte E= 10 5 MP. Cotele de pe desen sunt în metri. 5E.8 Grind de mre rigiditte BD este susţinută de doi tirnţi lungi de 3 m. Tirntul (1) este EA 1 EA din oţel cu E 1 = MP, ir tirntul () din Al cu E = MP. Ariile secţiunilor sunt identice: A 1 =A =650mm. Pe grindă se plică două forţe verticle 1 =30 kn şi =10 kn. B 1 1,5 0,5 0,5 D Să se determine: ) eforturile din tirnţi (N 1 şi N ); b) tensiunile din tirnţi (σ 1 şi σ ); c) deplsre verticlă punctului de plictie l forţei, (Δ ). Cotele de pe desen sunt în metri. 3 B C 3 A 1 d 4 D 5E.9 Cornierul COD de mre rigiditte din figură este ncort cu un tirnt, BC, de secţiune circulră B cu dimetrul d=4 mm. În punctul D se plică o forţă verticlă =30 kn. Cunoscând σ =150 MP şi E=, MP se cere verificre tirntului şi clculul deplsării pe verticlă punctului de plicţie l forţei, (Δ D ). Cotele de pe desen sunt în metri. d 1,4 m O C 1 m 0,6 D 10

214 5E.10 Sistemul din figură, compus din tirnţii (1) şi () este solicitt de forţ =0 kn plictă în rticulţi comună (B). Cunoscând dimensiunile tirnţilor, (A 1 =00 mm, A =100 mm, l 1 =5 m, l =8,66 m), şi crcteristicile de mteril, (σ =140 MP, E=, MP), se cere verificre tirnţilor şi deplsre rticulţiei (B). l 1 1 EA 1 60º 30º EA B l 5E.11 Br de secţiune A 1 pe o lungime =400 mm şi A = A 1 pe lţi =400 mm, este încărctă cu forţele indicte în figură, (=100 kn). Br este încstrtă în mbele cpete,(b şi D). Mterilul brei este oţel cu E= 10 5 MP şi σ =160 MP. Se cer: ) recţiunile din încstrări, (H B şi H D ); b) dimensionre secţiunii brei; c) Deplsre secţiunii (), (Δ ). B A A 1 D 5E.1 Br de secţiune A 1 =50 mm pe o lungime =400 mm şi A = A 1 pe lţi =400 mm, este încărctă cu forţele şi 3 indicte în figură. Br este încstrtă în mbele cpete,(b şi D). Mterilul B 1 brei este oţel cu E= D MP şi A 3 σ =150 MP. A 1 Se cer: ) recţiunile din încstrări, (H B şi H D ); b) forţ cpbilă, cp ; c) Deplsre secţiunii (), (Δ ). 11

215 5E.13 Se dă br cilindrică din figură, încstrtă l mbele cpete, (B şi D), compusă din două tronsone vând dimetrele d şi d. Br este încărctă cu forţ =50 kn plictă în dreptul secţiunii (1). Să se determine recţiunile din încstrări, (Y B şi Y D ), şi vlore dimetrului d, dcă rezistenţele dmisibile sunt: l întindere σ,t =0 MP şi l compresiune σ,c =40 MP, ir modulul de elsticitte este E=, MP. B D 1 d d d d d 5E.14 Br de secţiune A 1 =600 mm A 1 pe o lungime de 700 mm şi A 1 A = 1000 mm pe tronsonul de B D lungime 600 mm, este încărctă cu forţ =80 kn. Br este δ încstrtă în stâng, în (B), ir în drept re un joc δ=0, mm până l un perete fix (D). Mterilul brei este oţel cu E= 10 5 MP şi σ =160 MP. Se cer: ) recţiunile din încstrre, (H B ), şi din perete, (H D ); b) verificre brei; c) Deplsre secţiunii (1), (Δ 1 ). 5E.15 Se consideră br dreptă din figură. După execuţie se consttă că lungime totlă este mi mică decât ce nominlă cu δ=0,18 mm. Se cunosc: riile A =1,5 A 1 = 100 mm, cot =0,6 m, forţ =0 kn şi modulul de elsticitte E= 10 5 MP. Se cer: ) recţiunile din încstrări, (H B şi H D ), după plicre sistemului de forţe indict pe figură; b) tensiune mximă cre pre în secţiune brei, σ mx ; c) Deplsre secţiunii (), (Δ ). δ B 1 3 A 1 A D 1

216 5E.16 Pentru sistemul de bre rticulte din figură se cer: -eforturile din cei doi tirnţi, (N 1 şi N ); -să se dimensioneze tirnţii 1 3 cunoscând: = 10 kn; σ =160 MP; EA 1 = EA,(A 1,nec =?, EA A,nec =?); -să se clculeze deplsre pe verticlă punctului de plicţie l forţei, dcă E= 10 5 MP, (Δ =?). Cotele de pe desen sunt în metri. EA 1 5E.17 Să se determine eforturile, (N 1 şi N ), şi tensiunile,(σ 1 şi σ ), din brele sistemului rticult din figur lăturtă şi să se clculeze deplsre punctului de plicţie l forţei,(δ ). Se du: E=, MP, A 1 =100 mm, L 1 = m, A =600 mm, L =1 m, =1m, =50 kn. L 1 1 L EA 1 EA 1, 5E.18 Pentru sistemul de bre rticulte din figură se cer: ) eforturile din cei doi tirnţi; b) să 1 EA se determine forţ cpbilă 1 cunoscând: σ =160 MP; A 1 = A =100mm ; c) să se clculeze deplsre pe verticlă punctului de plicţie l forţei, (E= 10 5 MP). Cotele de pe desen sunt în metri. EA 3 13

217 5E.19 Pentru sistemul de bre rticulte din figură se cer: ) eforturile din cei doi tirnţi; b) să EA 1 se dimensioneze tirnţii dcă: = 4 EA 10 kn; σ =160 MP; 1 EA 1 =EA ; c) să se clculeze deplsre pe verticlă punctului de plicţie l forţei, (E= 10 5 MP). Cotele 3 1 de pe desen sunt în metri. Br orizontlă este considertă nedeformbilă. 5E.0 Pentru sistemul de bre din figură, vând br cotită BCD de mre rigiditte, se cere: ) eforturile din tirnţi,(n 1 şi N ); b) tensiunile din tirnţi,(σ 1 şi σ ); c) vlore mximă forţei ce pote fi prelută de sistem dcă σ =160 MP, ( mx =?). EA 1 EA 5E.1 Se dă sistemul formt din trei bre rticulte,(1, şi 3), solicitt de o forţă plictă în rticulţi comună. Să se determine eforturile, (N 1, N, N 3 ), din brele sistemului rticult şi să se dimensioneze brele din oţel cu secţiune circulră constntă. Se du: =100 kn; =0,5 m; E=, MP; σ =160 MP. 1 α 3 α α =30 ο 14

218 5E. Trei tirnţi susţin o grindă de rigiditte infinită BD. Rigiditte tirnţilor (1) şi (3) este ceeşi, E 1 A 1 = E 3 A 3 = N, ir ce tirntului () este E A = N. orţ plictă sistemului este =50 kn.să se determine: ) eforturile N 1,N şi N 3 ; b) tensiunile din tirnţi,(σ 1, σ şi σ 3 ); c) deplsre pe verticlă grizii BD, (Δ v =?). 1 B EA 1 l1=l3=3 m EA l=m m EA 3 3 D 5E.3 Br de mre rigiditte BOCD este încărctă cu forţ =80 kn şi susţinută de rticulţi fixă O şi de tirnţii (1) şi ().Cunoscând: 3A 1 = A =A, E= 10 5 MP şi σ =145 MP, se cer: ) eforturile din tirnţi, (N 1, N ); b) dimensionre tirnţilor, A nec =?; c) deplsre pe verticlă punctului de plicţie l forţei,(δ =?). B 45º 3m 1 O 1,5 C m 30º D 5E.4 Stâlpul OBC, considert de rigiditte infinită, este ncort cu două cbluri din oţel cu secţiunile: A 1,(DB), şi A,(DC). În rticulţi C, pe orizontlă se plică forţ =80 kn. Se cer: ) eforturile din cbluri, dcă A 1 =1,5A şi E=, MP; b) secţiunile A 1 şi A dcă σ =160 MP; c) deplsre pe orizontlă punctului de plicţie l forţei, Δ. 6 m 4 m C β B α 1 O 3 m D 15

219 5E.5 Brele sistemului rticulte din figură u ceeşi rigiditte(ea=const.) şi sunt solicitte de forţ =0 kn. Cunoscând: =1 m; A=00 mm şi E=, MP, se cer eforturile din bre, (N 1 DC,N 1 CB,N,N 3 ), şi deplsre rticulţiei (B), Δ B. 5E.6 Pentru sistemul de bre rticulte din figură, vând br BOCD rigidă, se cer: ) eforturile 3 N 1,N,N 3 ; b) forţ mximă, mx, cre pote încărc sistemul O B cunoscând: σ =160 MP; A 1 =A = A 3 =400 mm D ; c) deplsre C 1 punctului de plicţie l forţei,δ, dcă: =1m; E=, MP; d) eforturile N θ 1,N θ θ,n 3 dcă temperture brei (3) creşte cu θ=100ºc; (coeficientul diltţiei termice linire este: α=1, /ºC). 1 α D α C B 3 α =30 ο 5E.7 Pentru sistemul de bre rticulte din figură se cer: - eforturile din tirnţi, N 1 şi N ; - forţ cpbilă, cp dcă σ =150 MP;A 1 =400 şi A =600 mm ; - deplsre pe verticlă,δ D, punctului de plicţie l forţei, (E= 10 5 MP). Br orizontlă BD este considertă nedeformbilă. B EA 1 1 EA 45º m m D 16

220 5E.8 Sistemul din figură, vând br BD de rigiditte infinită, este solicitt de o forţă =10 kn. Brele (1) şi (), rticulte l 1 cpete, sunt din oţel cu: σ =150 MP şi E=, B MP. Se cer: D ) eforturile, N 1 şi N, pentru 3 A =1,5 A 1 ; b) dimensionre brelor (1) şi () utilizând secţiuni circulre; c) deplsre pe verticlă,δ D, punctului de plicţie l forţei, pentru =1, m. 4 5E.9 L relizre sistemului de bre rticulte din figură se consttă că br () este mi scurtă cu δ=0, mm. Montre se fce forţt. Se cer: 1 EA eforturile din cei doi tirnţi îninte şi 3 după plicre forţei, (E= 10 5 EA 3 [MP]), = 10 [kn]; A 1 =A =100 mm ; să se clculeze deplsre pe verticlă punctului de plicţie l forţei. Cotele de pe desen sunt în metri. Br orizontlă este perfect rigidă, deci nedeformbilă. 5E.30 L relizre sistemului de bre rticulte din figură se consttă EA 1 EA 1 că br (1) este mi scurtă cu 0, mm. Montre se fce forţt. Se δ 3 cer: eforturile din cei doi tirnţi îninte şi după plicre forţei, 3 4 (E= 10 5 MP), = 80 kn; A 1 =A =1000 mm ; să se clculeze deplsre pe verticlă punctului de plicţie l forţei. Cotele de pe desen sunt în metri. Br orizontlă este considertă nedeformbilă. δ 17

221 5E.31 Brele sistemului rticult sunt din oţel cu E= MP şi σ =150 MP. α α Brele (1) şi (3) u ceeşi secţiune trnsverslă: A 1 =A 3 =300 mm, mi mre decât br () cre re A =00 mm. Br () este mi scurtă cu δ=1 mm. Să se determine: eforturile, (N 0 1,N 0, N 0 3 ), din bre dcă =0; eforturile, (N 1,N, N 3 ), din bre după plicre forţei ; forţ mximă cre pote fi plictă. δ α =30 ο 5E.3 O grindă de rigiditte infinită BD, vând greutte G=30 kn, este EA 1 suspendtă cu trei tirnţi din oţel cu 1 secţiuni trnsversle egle: A 1 =A =A 3. L montj se consttă că tirnţii EA EA 3 3 (1) şi (3) u lungime nominlă B D l 1 =l 3 =,5 m, în timp ce tirntul din mijloc, (), este mi scurt cu δ=1,5 G mm. Sistemul este smblt forţt. Să se determine tensiunile din tirnţi dcă: A 1 =400 mm, E= 10 5 MP. l1 =l=l3 δ 5E.33 Pentru sistemul de bre din oţel să se determine: eforturile xile,(n 1, N, N 3 ), şi tensiunile,(σ 1,σ,σ 3 ), cre pr în secţiunile brelor (1),() şi (3), c urmre smblării forţte. Br BD este de rigiditte infinită. Să se clculeze poi deplsre pe verticlă rticulţiei D,(Δ D =?). Se du: = m; A 1 =000 mm ; A = A 3 =1000 mm ; E 1 = E = E 3 =, MP; δ=1 mm. B δ 1 60º D 60º 3 18

222 5E.34 L montre sistemului de bre rticulte din figură se consttă o inexctitte de execuţie δ= mm. Sistemul se smbleză forţt. Dcă tote brele u ceeşi secţiune A şi sunt confecţionte din oţel, (E=, MP), se cere să se determine tensiunile cre pr în secţiunile celor 4 bre. 1 m 60º 60º 4 δ 3 1 m 5E.35 Pentru sistemul de bre rticulte din figură, se cer: ) forţ necesră smblării forţte, nec, pentru: δ= mm, A 1 =1000,A =000 mm, =1500 mm, E 1 =, MP, E=1, MP; b) tensiunile din bre dcă după montre brele sunt încălzite cu ϕ =30 ο Δθ=0ºC. Coeficientii diltţiei termice linire sunt: α 1 =1, /ºC şi α =1, /ºC. 1 1 ϕ ϕ δ 5E.36 L montre sistemului de bre rticulte din figură se consttă o inexctitte de execuţie δ=0,4 mm. Sistemul se smbleză forţt. Br BD este de rigiditte infinită. Tirnţii (1),() şi (3), sunt din oţel cu E= 10 5 MP, şi u riile secţiunilor: A 1 =A, A =1,5A şi A 3 =A. Dcă =1 m se cere să se determine tensiunile cre pr în secţiunile tirnţilor în urm montjului forţt, (σ 1 =?,σ =?,σ 3 =?). B 1 45º 45º 3 δ 1 D 19

223 5E.37 Se smbleză sistemul de bre din figură şi se consttă că br (3) este mi scurtă cu δ=0,8 mm. Tote brele u ceeşi rigiditte EA. Lungime nominlă brelor este: l 1 =l =l 3 =1,5 m şi l 4 =l 5 =,165 m. Sistemul se smbleză forţt. Să se determine tensiunile cre pr în secţiunile tirnţilor în urm montjului forţt. Se du: E= 10 5 MP, A=800 mm ο 60 ο δ 3 30 ο 30 ο 5 5E.38 Br din figur de mi jos re secţiune neomogenă cu miezul din oţel, (cu A 1 =1500 mm ;E 1 =, MP şi σ 1 =150 MP), şi exteriorul din lmă, (cu A =000 mm ;E =10 5 MP şi σ =100 MP). Să se determine: ) recţiunile din încstrări,( H B,H D ); b) eforturile mxime din oţel şi respective din lmă,(n Ol mx, N Al mx ); c) forţ mximă pe cre o pote suport br,( cp ); d) deplsre punctului de plicţie l forţei. B D 1 5E Doi cilindrii concentrici,((1) din cupru şi () din oţel), de ceeşi lungime l, sunt comprimţi, prin intermediul două plăci rigide, cu forţele =0 kn. Se cunosc: A 1 =1000 mm ;E 1 =1, MP; α 1 =1, /ºC; A =000 mm ;E =, MP; α =1, /ºC. Se cer: ) tensiunile din cei doi cilindrii dcă există dor forţele ; b) tensiunile din cilindrii dcă existând forţele nsmblul se 1 Cu Ol 0

224 încălzeşte cu Δθ=00 º C,(σ 1 θ =?, σ θ =?); c) cre este creştere de tempertură pentru cre br din oţel nu mi este solicittă, (Δθ =?). 5E.40 luminiu,(al). Ansmblul este şezt între doi pereţi fixi:(b) şi (D). În prte din stâng există un joc: δ=1, Br din figură este confecţiontă din cupru,(cu), şi B Al Cu D mm. Se cunosc: E Cu = E Al =1, δ MP; α Cu =1, /ºC; α Al =, /ºC. Se cere să se determine tensiunile din cele două mterile,(σ θ Cu =?, σ θ Al =?), dcă tempertur întregului nsmblu creşte cu Δθ=90 º C. Ø50 Ø75 5E.41 După montre celor două bre din oţel se consttă că între ele rămâne un interstiţiu δ=1 mm. Dcă brele sunt încălzite cu Δθ=10 º C se cere să se determine tensiunile din cele două secţiuni,(σ θ A1 =?, σ θ A =?). Se cunosc: A 1 =800 mm ; A =1300 mm ; E Ol =, MP; α Ol =1, /ºC. A 1 A 300 δ 600 5E.4 Să se determine creştere de tempertură necesră, Δθ=?, pentru c, în nsblul din figură, br din oţel să nu mi fie solicittă. Se cunosc: =60 kn; A=500 mm ; E Ol =, MP; α Ol =1, /ºC; E Cu =1, MP; α Cu =1, /ºC. A Cu A Ol =60 1

225 5E.43 O grindă de rigiditte infinită BD, este menţinută în poziţie orizontlă de rezemul mobil (D) şi de trei tirnţi, din celşi mteril, cu ceeşi lungime = m şi cu rigidităţile indicte: EA şi EA EA α α EA. Să se determine: eforturile 1 din tirnţi exprimte în funcţie de B şi tensiunile din tirnţi, dcă se cunosc: =84 kn, A=400 mm, E= 10 5 MP şi α=30º. 3 /3 EA /3 D 5E.44 Sistemul de trei bre plne rticulte, din figură, susţine forţ =400 kn. Tirnţii (1),() şi (3) sunt din oţel cu: σ =150 MP, E=, MP şi α=1, /ºC. Secţiunile trnsversle sunt: A 1 =1,5A; A =A şi A 3 =A. Se cer: ) eforturile din tirnţi l îcărcre cu ; b) dimensionre tirnţilor,a nec =?; c) deplsre totlă rticulţiei (B); d) tensiunile din tirnţi dcă tempertur nsmblului creşte cu Δθ=60 º C,(σ 1 θ =?, σ θ =?, σ 3 θ =?). 1 A 1,5A 3 60º 30º 45º B A m 5E.45 Sistemul de bre din figură se smbleză forţt, deorece br (3) este mi scurtă cu δ=0,5 mm. Dcă brele u ceeşi rigiditte, (EA=, MP mm ), se cere să se determine tensiunile din cele 3 bre: ) după montre forţtă; b) după montre şi încălzire tuturor brelor cu Δθ=60ºC. Coeficientul diltţiei termice linire este: α=1, /ºC ο 45 ο 3 δ

226 5E.46 Br de secţiune constntă A=1000 mm, din oţel, cu: E=, MP şi α=1, /ºC, este solicittă de două forţe: 1 =80 kn şi. Br este mi scurtă cu δ=1 mm. Se cer: ) să se determine vlore forţei stfel încât cpătul brei să tingă peretele (4); b) să se determine eforturile şi tensiunile din fiecre tronson, dcă =10 kn; c) cre este vriţi de tempertură necesră pentru c tensiune mximă de întindere să fie eglă cu modulul celei mxime de compresiune. δ 800 1,m 1m E.47 Sistemul de bre din figură este smblt l tempertur θ 0 =0 º C. Se E 1,A 1,α 1 E,A,α du: A 1 =1000 mm, E 1 = MP, α 1 =, /ºC, A =000 mm 1, E =, MP, α =1, /ºC. δ Se cer: ) să se determine tensiunile din bre l tempertur θ 1 =35 º C; b) tempertur θ l cre br () tinge peretele din stâng; c) tensiunile din bre l tempertur θ 3 = θ 1 + θ. 5E.48 Cilindrul din Al, cu ri A=100 δ mm δ, este fixt în (B) şi intră în 3A 4A orificiul cilindrului din oţel, fixt în (D). Lungime brei de Al este: Al Ol δ, ir ce celei din oţel: 000- δ. Se cunosc: A Ol,B1 =300 mm, E Ol =, A MP, α Ol =1, /ºC, A Ol,1D =400 mm, E Al = MP, α Al =, B 1 D 1/ºC, δ=0,15 mm. Se cer: ) tensiunile produse de forţ =36 kn; b) vriţi de tempertură cre nuleză jocul dintre cele două bre,(δθ); c) tensiunile din bre dcă tempertur creşte cu încă 10 ºC. 3

227 5E.49 Se dă sistemul de bre rticulte din figură. Brele u ceeşi rigiditte EA. Lungimile brelor sunt: l 1 =600 3 mm, l =100 mm şi l 3 =600 mm. Se du E=, MP, A= 800 mm, =4 kn, δ=0,4 mm. Se cer: ) eforturile din bre după montre forţtă, în bsenţ forţei ; b) eforturile finle după plicre forţei; c) să se determine vlore forţei pentru cre tirntul () este nesolicitt. l 3 30 ο l ο δ l 3 5E.50 Sistemul de 3 bre rticulte din oţel, (E= 10 5 MP), este solicitt de forţ =150 kn. Br (1) re secţiune A dublă fţă de celellte două, 1 A (A 1 =A =A 3 ). Se cer: ) eforturile din bre; b) să se dimensioneze brele, 1 m pentru σ =150 MP; c) să se clculeze deplsre verticlă punctului de plicţie f forţei, Δ v. 60º 60º A 3 5E.51 Se dă sistemul de 3 bre rticulte din oţel, (E=, MP, α =1, /ºC), solicitt de forţ =80 kn, plictă după 1 60º 30º montre forţtă dtortă lungimii 3 nominle brei (),(mi scurtă cu δ=0,4 mm). Secţiunilebrelor sunt: A 1 =1500; A =1000; şi A 3 =100 mm. Se cer: ) forţ necesră pentru relizre montării forţte, nec ; b) tensiunile din bre după plicre srcinii indicte pe figură; c) tensiunile din bre produse de o creştere temperturii Δθ=10ºC; d) tensiunile finle din bre. δ 1 m 4

228 5R. Solicitre xilă (Răspunsuri) 5R.1 A = 3 (b/) A 1 ; A =1800 mm. 5R. N 1 = 1,93 = 14,641 kn; N = 0,518 =10,353 kn; Δ D = 0,1036 mm. 5R.3 N=0,6(6)= 6,6(6) kn; d nec =14, mm;δ = 1,437 mm. 5R.4 N= 0,75 ; cp = N; Δ =1,8 mm. 5R.5 N= 1,5 =90 kn; σ ef =111,9 MP<σ =140 MP Tirntul rezistă; Δ =,4 mm. 5R.6 ) N 1 = 40 kn; N 3 = N 34 = 0 kn; N 45 = 80 kn; b) d nec =18,43 19 mm; c) Δl 15 = 0,89 mm. 5R.7 σ AB =33,95 MP; σ BC =,635 MP; Δ C =0,735 mm. 5R.8 N 1 =16 kn şi N =4 kn; σ 1 =4,615 MP şi σ =36,93 MP; Δ =1,85 mm. 5

229 5R.9 N=18 kn; σ ef =39,79 MP<σ =150 MP; Δ D =0,159 mm. 5R.10 N 1 =17,3 şi N =0 kn; σ 1 =86,5 şi σ =100<σ =150 MP; Deplsre totlă: Δ B =4,6 mm. Deplsre pe verticlă: Δ Bv =3,85 mm; deplsre pe orizontlă: Δ Bh =,55 mm. 5R.11 H B =183,3(3) şi H D =116,6(6) kn, mbele orientte spre drept; A 1,nec =885,4 mm, A,nec =1771 mm ; Δ =0,15 mm spre stâng. 5R.1 H B =,16(6) şi H D =0,16(6), mbele orientte spre stâng; cp =34615,4 N; Δ =0,09 mm spre drept. 5R.13 Y B =00 şi Y D =30 kn, mbele orientte în sus; d nec =11,84 mm; Δ =0,017 mm în jos. 5R.14 H B =6,64 kn şi H D =17,358 kn, mbele orientte spre stâng; σ mx =104,4 MP; Δ 1 =0,188 mm spre drept. 5R.15 H B =15,6 kn şi H D =64,4 kn, mbele orientte spre drept; σ mx =53,6(6) MP; Δ =0, mm spre stâng. 6

230 5R.16 N 1 =(16/41)=0,39=6,439 kn; N =(6/41)=0,1463= 17,561 kn; A 1,nec =390,4 mm, A,nec =195,1 mm ; Δ =1,6 mm. 5R.17 N 1 =40,984 kn, N =49,180 kn; σ 1 =34,153 MP, σ =-81,967 MP; Δ =0,65 mm. 5R.18 N 1 =0,654 ; N =0,14 ; σ mx =σ 1 = σ =160 MP cp = 93,486 kn; Δ =1,143 mm. 5R.19 N 1 =(15/17) 0,8835 =105,88 kn; N =(9/17) 0,554 =63,59 kn; σ mx =σ = σ =160 MP A nec = 397 mm A 1nec = 794 mm ; Δ =3, mm. 5R.0 N 1 =0,4(4), N =0,1(1); σ 1 =0,4(4)/A, σ =0,1(1)/A; mx = R.1 N 1 =N 3 =3,6 kn, N =43,496 kn; d nec =,4 mm. 5R. ) N 1 =N 3 = N şi N = 1931 N; b) σ 1 =σ 3 =51,8 MP şi σ =38,46 MP; c) Δ v =0,769 mm. 5R.3 7

231 ) N 1 =0,8114=64,914 kn şi N =1,3693=109,541 kn; b) A nec =A =1343 mm, A 1 =447,67 mm ; c) Δ =5,075 mm. 5R.4 ) N 1 =,858=8,66 kn şi N =1,09=87,413 kn; b) A,nec =95,67 mm, A 1,nec =149 mm ; c) Δ =15,875 mm. 5R.5 N 1 DC =0,8368=8,368 kn; N 1 CB = -1,163= -11,63 kn; N =N 3 =0,67155=6,7155 kn; Δ B =0,13 mm. 5R.6 ) N 1 =N =0,85; N 3 =0,44; b) mx =70,588 kn; c) Δ =,196 mm; d) N θ 1 =N θ =90,4 kn; N θ 3 = -1,835 kn. 5R.7 N 1 =0,686; N =1,03; cp =87,41 kn; Δ D =3 mm. 5R.8 N 1 =0,517=6,069 kn; N =1,41=148,965 kn; A nec =993,1 mm d nec =35, mm; Δ D =6,7 mm. 5R.9 N 1 =44 kn; N =35 kn; Δ =0,33 mm. 5R.30 N 1 =54,157 kn; N =18,144 kn; Δ =0,4763 mm. 5R.31 8

232 ) N 1 0 =N 3 0 =156 N, N 0 =6434 N; b) N 1 =N 3 = 156+0,3815, N = ,3391; c) mx =10516 N. σ 1 =σ 3 = -8,3(3) MP, σ = 91,6(6) MP. 5R.33 N 1 =100 kn; N =N 3 =50 kn; σ 1 =σ =σ 3 =50 MP; Δ D =1 mm. 5R.34 σ 1 = σ 3 =8,57 MP; σ =114,8 MP; σ 4 =14,86 MP. 5R.35 nec =643,73 kn; σ 1 =159,6 MP; σ =10, MP. 5R.36 σ 1 =16,37 MP; σ = -15,43 MP; σ 3 =16,37 MP. 5R.37 σ 1 =σ =σ 3 =30,81 MP; σ 4 =σ 5 =17,79 MP. 5R.38 H B =; H D =; N Ol mx =1,33; N Al mx =0,7767; cp =183,89 kn; Δ =0,571 mm. 5R.39 ) σ 1 =43 MP; σ =78,5 MP; b) σ θ 1 =133,7 MP; σ θ =33,36 MP; Δθ=347,8ºC. 5R.40 σ Cu θ = -56,3 MP; σ Al θ = -16,53 MP. 9

233 5R.41 σ A1 θ = -9,88 MP; σ A θ = -57,16 MP. 5R.4 Δθ=35,98 ºC. 5R.43 N 1 0,154=1933 N; N 0,309=19399 N; N 3 0,693= N; σ 1 =3,33 MP; σ =48,5 MP; σ 3 =7,75 MP. 5R.44 N 1 =0,1793=71,7 kn; N =0,3566=14,64 kn; N 3 =0,4717= 188,68 kn; σ mx =σ = σ =150 MP A nec =A =950,93 mm ; A 1 =146,4 mm ; A 3 =190 mm ; Δ B =1,594 mm; σ 1 θ = -54,43 MP; σ θ =81,65 MP; σ 3 θ = - 1,13 MP; Tensiunile totle sunt: σ 1 = -4,16 MP; σ =31,65 MP; σ 3 =78,05 MP. 5R.45 ) σ 1 =5,07 MP; σ =63,77 MP; σ 3 =71,13 MP; b) σ 1 θ = -59,375 MP; σ θ = -7,75 MP; σ 3 θ = -81,15 MP. 5R.46 ) =59 kn; b) N 1 =155,33; N 3 =75,33; N 34 = -44,67 kn; σ 1 = 155,33; σ 3 = 75,33; σ 34 = -44,67 MP; c) din: σ 1 α E Δθ= Ισ 34 Ι+ α E Δθ Δθ=1,96ºC. 5R.47 ) σ 1,θ1 = -38 MP; σ,θ1 = -19 MP; b) Δθ =41,67 º C; c) σ 1,θ3 = -13 MP; σ,θ3 = -43 MP 5R.48 30

234 ) În oţel: σ B-1 = -48; σ 1- = -36; σ -D =54 MP; în Al: σ B1 =0; b) Δθ=9,9 ºC; c) în oţel: σ B-1 = -103,3; σ 1- = -79,3; σ -D =10,7 MP; în Al: σ B1 = - 16,36 MP. 5R.49 ) N 0 1 =3,668 kn; N 0 = -7,33 kn; N 0 3 =13,665 kn; b) N 0 1 =3,544 kn; N 0 = -13,33 kn; N 0 3 =43,04 kn; c) = 81,99 kn. 5R.50 ) N 1 = 0; N =N 3 ==150 kn; b) A nec =1000 mm ; c) Δ v =1,73 mm 5R.51 ) nec f =40876 N; b) σ 1 0 = -55,1; σ 0 = -7,8; σ 3 0 =47,3 MP c) σ 1 θ = -4,1; σ θ =1,3; σ 3 θ = -8,85MP; d) σ 1 f = -73,4; σ f =47,1; σ 3 f =7,75 MP 31

235 6. CALCULUL ÎMBINĂRILOR DE PIESE 6.1 Considerţii generle. Etpe de clcul Într-o structură de rezistenţă, elementele sunt îmbinte (smblte) între ele cu jutorul unor orgne de îmbinre su smblre. Dcă smblările se fc prin nituire, sudre su lipire, ele sunt nedemontbile, ir dcă se fc prin şuruburi su pene, sunt demontbile. Un studiu mi lborios l îmbinărilor, se fce l cursul de Orgne de Mşini. În cele ce urmeză, se vor prezent numi câtev noţiuni necesre l clculul de rezistenţă l unor îmbinări de elemente solicitte în generl de forţe xile. Clculul îmbinărilor de piese, se fce exclusiv din condiţi de rezistenţă. În czul pieselor smblte, solicitte de către forţe exteriore xile, pr preponderent următorele trei solicitări: solicitre xilă (de întindere su compresiune), solicitre de forfecre, solicitre de strivire (tot o compresiune). Pentru înţelegere corectă modului în cre pr cele trei solicitări, recomnd prcurgere de îndtă mterilului predt l cursuri, su studiul cestor solicitări din lte mnule. Prezent lucrre, nu permite o relure studiului solicitărilor cre pr în czul îmbinărilor de piese, ci bordeză plicre concretă (prctică) cestor noţiuni în clculul îmbinării elementelor de rezistenţă. Relţiile de clcul cre se utilizeză în czul îmbinărilor de piese, sunt prezentte în Tbelul Mărimile încă necunoscute din Tbelul 6.1-1, u următore semnificţie: τ mx, τ - tensiune tngenţilă mximă, respectiv dmisibilă, T - efort tăietor, A f - ri suprfeţei forfecte (ri de forfecre), A nec,f - ri necesră suprfeţei de forfecre, 3

236 σ mx,s, σ s - tensiune normlă mximă l strivire, respectiv tensiune dmisibilă l strivire, A s - ri suprfeţei strivite (ri de strivire), A nec,s - ri necesră suprfeţei de strivire, N s - efortul norml de strivire. Tbelul Tip de Solicitre problemă xilă forfecre strivire de verificre σ N = = σ T A τmx = =... τ A mx... f Ns σmx, s = =... σ A s s de dimensionre A nec N = =... T σ A nec, f = =... τ A nec, N s s = =... σ s de efort cpbil N cp = A σ =... Tcp = Af τ =... Ncp, s = As σs =... C şi l solicitre xilă (Cp.5), tote relţiile din Tbelul 6.1-1, se scriu în secţiunile considerte periculose le elementului de rezistenţă din îmbinre. Clculul de rezistenţă l îmbinărilor de piese, presupune prcurgere următorelor etpe: Se nlizeză tent îmbinre şi se stbilesc piesele (elementele de rezistenţă) cre compun nsmblul. Se noteză tote piesele îmbinării (de exemplu cu 1,, 3,...) su dcă este posibil, se du denumiri cestor piese (bolţ, ştift, şurub, pnă, etc.) Se nlizeză tent modul în cre se trnsmite forţ exterioră prin îmbinre de l o piesă l lt. De modul de înţelegere l formei 33

237 pieselor componente şi modului de trnsmitere l forţei exteriore prin îmbinre, depinde în mre prte, corectitudine clculului. Se stbileşte tipul problemei (de verificre, dimensionre, efort cpbil). După ce s-u prcurs ceste prime etpe: Se i pe rând fiecre piesă (dcă este posibil este bine să se întocmescă o schiţă cu form s), l cre: - se stbilesc solicitările l cre este supusă, - se stbileşte secţiune periculosă pentru fiecre solicitre (fiind mi multe solicitări l o singură piesă, pot fi mi multe secţiuni periculose), - în secţiunile periculose găsite, se scriu relţiile de bză din Tbelul ce corespund tipului de problemă stbilit, - din relţiile scrise, prticulrizte pentru situţi dtă, se determină mărimile necunoscute (cerute în enunţul problemei). Observţie: Nu se pote recomnd o numită piesă su solicitre cu cre să se începă rezolvre. Din cest motiv, este posibil c în relţiile de clcul scrise, să existe mi multe necunoscute şi c urmre, ecuţi să nu potă fi rezolvtă. Nu trebuie să ne sperie o stfel de situţie. Importnt este să găsim tâte relţii (tâte secţiuni periculose) câte mărimi trebuie clculte. După ce s-u scris tote relţiile, ceste se grupeză formând sisteme de ecuţii mi mici, cre permit determinre tuturor mărimilor cerute. Exemplele cre vor urm, vor confirm cele spuse mi îninte. L piesele cilindrice (şuruburi, nituri, bolţuri, etc.), suprfţ de strivire cre intră în clcule, nu este suprfţ efectivă de contct dintre piese, ci proiecţi suprfeţei de contct pe secţiune longitudinlă piesei cilindrice. De multe ori, suprfţ de strivire pieselor cilindrice cre intră în clcul se i în mod greşit, motiv pentru cre m făcut prezent tenţionre. 6. Clculul îmbinărilor de piese cu grosime mică Să se determine dimensiunile îmbinării de piese din ig.6.-1, ştiind că elementele ecestei sunt relizte din celşi mteril, 34

238 pentru cre se cunosc: σ = 160 MP, τ = 10 MP, σ s = 30 MP. Îmbinre este supusă cţiunii unei forţe = 10 kn. D b D 1 3 d 1 c d 1 ig.6.-1 Rezolvre Prcurgem etpele recomndte pentru clculul îmbinărilor (prg.6.1): Ansmblul este formt din două piese, pe cre le notăm cu 1, respectiv (ig.6.-1). Pies 1 este o tijă circulră cu dimetrul d, cre l cpătul superior, re dimetrul mi mre (d 1 ). Pies re form unui phr cu guler l prte superioră, ir l prte inferioră re prevăzută o gură de dimetru d, prin cre trece prte mi subţire tijei 1. orm fiecărei piese, cu dimensiunile corespunzătore este forte uşor de imgint. orţ exterioră plictă l cpătul inferior l tijei, trge tij în jos, cre cu umărul său de l prte superioră psă pe fundul phrului (pies ). Mi deprte forţ se trnsmite părţii superiore phrului prin pereţii cestui, ir gulerul phrului de l prte superioră, psă pe suportul de sprijin 3, suport l cre nu 35

239 se cunosc dimensiunile şi mterilul (el nu prezintă importnţă pentru clcul). Problem este de dimensionre. Luăm cum pe rând fiecre piesă: Pies 1 (tij - ig.6.-) orfecre Strivire Trcţiune ig d. ) Tij 1 este solicittă l întindere (vezi ig.6.-) - Secţiune periculosă este oricre de pe porţiune cu dimetrul - Relţi de clcul este (vezi Tbelul 6.1-1): Π d 4 = d = = 31 mm 4 σ Π σ 6.-1 b) Între tij 1 (prte superioră) şi fundul phrului, există o păsre reciprocă, o solicitre de strivire. Suprfţ de strivire este o suprfţă inelră cu dimetrul interior d şi cel exterior d 1 (ig.6.-). - Relţi de clcul, este: Π ( ) 4 Π d d = d = d + = 38 mm σ σ 6.- s c) Porţiune tijei cu dimetrul d 1, tinde să fie forfectă de către muchiile găurii fundului phrului. Suprfţ cre se forfecă, este un cilindru cu dimetrul d şi înălţime c (ig.6.-). - Relţi de clcul este: s 36

240 Π d τ Π d c= c= = 11 mm 6.-3 τ L pies 1, nu se mi întâlnesc lte secţiuni periculose. Trecem l pies următore: pies (phrul - ig.6.-3). Căutăm solicitări şi secţiuni periculose (ig.6.-3). orfecre Strivire Trcţiune Strivire orfecre ig.6.-3 d) Muchiile părţii superiore le tijei 1, tind să forfece fundul phrului. Se relizeză o suprfţă de forfecre cilindrică, de dimetru d 1 şi înălţime (ig.6.-3). - relţi de clcul este: Π d 1 = = Π d τ = 9 τ mm 6.-4 e) orţ fiind orienttă după x longitudinlă phrului, supune phrul l o solicitre xilă de întindere. - Secţiune periculosă se flă între fundul phrului şi prte lui superioră. Secţiune supusă l întindere, re formă inelră cu dimetrul interior d 1 şi cel exterior D 1 (ig.6.-3). - Relţi de clcul este: Π Π ( ) D d = D = d + = 49 mm σ σ

241 f) Muchiile suportulul 3, tind să forfece gulerul de l prte superioră phrului. orm suprfeţei forfecte este cilindrică, cu dimetrul D 1 şi înălţime b (ig.6.-3). - Relţi de clcul este: τ Π D τ 6.-6 Π D b= b= = 7 mm 1 g) Între gulerul phrului şi suportul de sprijin 3, se relizeză o păsre reciprocă, o solicitre de strivire. orm suprfeţei de strivire este inelră, cu dimetrul interior D 1 şi cel exterior D (ig.6.-3). - Relţi de clcul este: Π Π ( ) D D = D = D + = 54 mm σ σ 6.-7 s Nu mi sunt lte secţiuni periculose. După cum se pote constt, s-u găsit şpte relţii, cre u permis clculul celor şpte dimensiuni principle le elementelor îmbinării. L cest exemplu, s- reuşit scriere relţiilor în ce ordine în cre fiecre relţie conţinut o singură necunoscută (celellte mărimi din relţie u fost determinte cu relţiile precedente). Dcă l rezolvre unei probleme nu se reuşeşte l fel, nu trebuie să disperăm. Trebuie scrise tote relţiile şi poi prin grupre lor se vor determin tote mărimile necunoscute. Importnt este să găsim tâte relţii câte necunoscute sunt. Alte câtev considerţii: - Dcă elementele unei îmbinări sunt relizte din mterile diferite, în relţiile de clcul, tensiunile dmisibile σ, τ se iu cele le mterilului piesei cre se clculeză. - În czul solicitării de strivire, dcă elementele sunt din mterile diferite, în relţi de clcul tensiune dmisibilă de strivire σ s, se i ce de l pies pentru cre cest prezintă ce mi mică vlore, σ s = σ s,min. - În czul problemelor de lt tip decât cel prezentt (de verificre su efort cpbil), clculul se fce l fel, numi că în relţiile de 1 s 38

242 clcul, lte mărimi sunt necunoscute (tensiunile mxime, respectiv forţ exterioră). - Când se cută secţiunile periculose le unui element de rezistenţă dintr-o îmbinre, este bine să ne imginăm că cel element este relizt din cuciuc (este uşor să ni-l imginăm cum se deformeză şi unde s-r rupe), ir celellte cu cre vine în contct sunt din oţel. 6.3 Clculul îmbinărilor nituite Îninte de trece l clculul propriuzis l unor îmbinări nituite, ne oprim puţin supr unor specte, cu tote că ele sunt cunoscute din lecturre unor mterile de specilitte. Repetre unor dintre ele, nu pote fi decât benefică. Pentru început se bordeză îmbinre nituită dintre două plăci subţiri (pltbnde). L fiecre nit, se trnsmit câte două forţe egle şi de sens opus: un de l o pltbndă ir celltă de l pltbnd dou. Se preciză că tote niturile dintr-o stfel de îmbinre se comportă l fel. Astfel, în czul n nituri, supr fiecărui nit, cţioneză câte două forţe egle şi de sens contrr, numite forţe pe nit, nit (ig.6.3-1): nit = n orţele nit, tind să forfece nitul după plnul k-k de seprţie l celor două pltbnde. k nit I t k t II nit ig

243 Dimetrul d l tijei niturilor, se pote stbili prin clcul su se lege de obicei în rport cu grosime t pieselor cre se nituiesc (d t). În cest ultim cz, l îmbinre nituită, se clculeză numărul de nituri necesr îmbinării. Pentru clculul l strivire (su presiune pe gură), suprfţ de strivire nu se consideră suprfţ semicilindrică efectivă de contct dintre nit şi pltbndă, ci proiecţi cestei suprfeţe pe secţiune longitudinlă nitului, suprfţă de formă dreptunghiulră şi vând o ltură eglă cu dimetrul d l nitului ir celltă ltură, eglă cu grosime t pltbndei cre trnsmite presiune (forţ) pe tij nitului. Pltbndele cre prticipă l îmbinre, prezintă secţiune periculosă colo unde ri netă secţiunii trnsversle pltbndei re vlore ce mi mică. Ari netă este ri cre prticipă l trnsmitere forţei (fără golurile produse de găurile pentru introducere niturilor). În czul îmbinărilor nituite prin intermediul ecliselor, forţ se trnsmite prin intermediul primului grup de nituri de l o pltbndă l cele două eclise, ir poi de l ceste din urmă prin intermediul celui de-l doile grup de nituri, l ce de- dou pltbndă. Notând cu n numărul niturilor pentru trnsmitere forţei de l o pltbndă l eclise, rezultă că fiecre nit prei de l pltbndă o srcină eglă cu / n. Acestă srcină este echilibrtă de srcinile / n, cre se trnsmit l nit prin intermediul ecliselor (ig.6.3-). k / n t 1 k t / n m / n t 1 m ig.6.3- În cest cz de îmbinre, tij nitului este supusă l forfecre, în două secţiuni (k k şi m m). 40

244 Se consideră că forţ tăietore nit = / n, se reprtizeză în mod egl l cele două secţiuni k-k şi m-m. orţ nit striveşte şi porţiune de mijloc nitului l fel c şi porţiune inferioră şi superioră cestui. Porţiune ce mi periculosă este ce porţiune l cre suprfţ de strivire este mi mică. Există elemente de construcţie l cre niturile prezintă mi mult de două suprfeţe de forfecre. Metodele de clcul le niturilor cu mi multe suprfeţe de forfecre nu diferă de cele cre se vor prezent în cest prgrf. În czul pltbndelor, pentru stbilire secţiunilor periculose, trebuie vut în vedere fptul că l nivelul primului rând de nituri dinspre forţ, vlore efortului xil N este ce mi mre, e scăzând spre celellte rânduri de nituri c urmre trnsmiterii cestei de l pltbndă prin nituri l eclise. L nivelul ecliselor însă, efortul xil N este mxim l nivelul de seprre dintre cele două pltbnde (pentru o eclisă, N = / ). Exemplul nr.1. Să se verifice elementele îmbinării nituite din ig.6.3-3, relizte din celşi mteril, pentru cre se cunosc: = 40 kn, d = 10 mm, b = 40 mm, t = 10 mm, σ = 160 MP, τ = 130 MP, σ s = 40 MP. 3 1 b d 1 ig Rezolvre t t 41

245 L îmbinre prticipă ptru nituri. orţ reprtiztă pe un nit, este: nit n 4 = = = 10 KN Sunt două elemente de rezistenţă cre ne intereseză şi pentru cre vem dimensiunile: nitul (nott cu 1) şi o pltbndă (nottă cu ). Pentru celltă pltbndă nu este cunoscută lăţime, dr din desen se vede că lăţime cestee este mi mre decât lăţime b piesei. Din cest motiv, cestă pltbndă (cu lăţime vribilă) este mi puţin periculosă decât pltbnd. Problem este de verificre. Luăm pe rând fiecre element din îmbinre şi îl clculăm. Pies 1 (su nitul). ) Nitul este solicitt l forfecre, prezentând o singură suprfţă de forfecre şi nume l nivelul de seprţie dintre cele două pltbnde. - Relţi de clcul, este: A 4 Π d nit nit nit τmx = = = = MP < τ f Π d b) Nitul este solicitt l strivire. Cum grosime celor două pltbnde este ceeşi, suprfţ de strivire periculosă este oricre dintre nit şi cele două pltbnde. - Relţi de clcul, este: nit nit σmx,s = = = 100 MP < σ A td s s Pentru nit nu mi există lte secţiuni periculose. Pies (pltbnd). c) Pltbnd este solicittă l întindere. În secţiune 1 (l primul rând de nituri) prezintă rie netă mi mre (o singură gură) dr ici şi efortul xil N, este mi mre. Din cest motiv, o verificăm l nivelul 1, dr şi l nivelul (vezi ig.6.3-3). 4

246 - L nivelul 1, relţi de clcul, este: N b d t σmx = = ( ) = 133 MP < σ A net - L nivelul, relţi de clcul, este: N b d t nit σmx = = ( ) = 150 MP < σ A net L nivelul (l doile rând de nituri), efortul xil este N=- nit mi mic cu nit cre s- trnsmis prin nitul de l nivelul 1 (primul rând de nituri) de l o pltbndă (pltbnd 1) l celltă. L fel, l nivelul 3 (ultimul rând de nituri), efortul xil este: N = N 3 = - 3 nit deorece până l ultimul rând de nituri, forţ s- micşort cu 3 nit, cre s- trnsmis prin primele trei nituri de l nivelul 1 şi. L nivelul 3, tensiune normlă mximă, este: σ N mx, b d t nit = = ( ) = 33 3 MP < σ A net Clculul efectut supr cestei îmbinări, rtă că tote elementele îmbinării îndeplinesc condiţiile cerute prin enunţul problemei. Exemplul nr.. Să se verifice elementele îmbinării dintre două pltbnde, reliztă prin intermediul două eclise ş cum se rtă în ig şi pentru cre se cunosc: = 00 kn, b p = 00 mm, b e = 160 mm, t p = 1 mm, t e = 7 mm, d = 0 mm, σ = 160 MP, σ s = 30 MP, τ = 100 MP. 43

247 d 1 b p b e d 1 3 t e t p t e ig Rezolvre Elementele cre necesită clcul, sunt: nitul (pies 1), pltbnd (pies ) şi eclis (pies 3). Clculăm pe rând fiecre piesă componentă. Pies 1 (nitul). orţ pe nit nit, este: nit n 5 = = = 40 KN Atenţie: orţ se împrte l 5, nu l 10 cum greşit se procedeză de cele mi multe ori. orţ se trnsmite de l pltbndă l eclise prin 5 nituri (cest este un grup de elemente, nituri) şi poi de l eclise l pltbnd dou din nou prin 5 nituri (lt grup de elemente, nituri). ) Nitul este solicitt l forfecre şi prezintă două suprfeţe de forfecre, l nivelul dintre pltbndă şi cele două eclise. - Relţi de clcul este: 44

248 τ mx, Af nit nit = = = < τ d 638 MP Π b) Nitul este solicitt l strivire, suprfţ de strivire este între nit şi pltbndă şi între nit şi cele două eclise. Strivire mi puternică re loc între nit şi pltbndă (lungime de contct este t p = 1 mm) şi nu între nit şi eclise, unde lungime de contct este t e = 7 = 14 mm. - Relţi de clcul, este: σ = = = 166, 16 MP < σ nit nit mx, s A d t s s p Pies (pltbnd). c) Pltbnd este solicittă l întindere. Efectuăm clculul tât l nivelul primului rând de nituri (nivelul 1) cât şi l nivelul (l doile rând de nituri, unde sunt trei nituri pe un rând). - Relţi de clcul, l nivelul primului rând de nituri (unde sunt două nituri pe rând), este: A d t σmx = = = MP < σ net ( bp ) p este: - L nivelul celui de-l doile rând de nituri, relţi de clcul, σ nit mx = = = 714, MP < σ A net d t ( bp 3 ) p Pies 3 (eclis). Eclis este solicittă l întindere de către forţ / = 100 kn, (ig.6.-5). - L nivelul (l doile rând de nituri), relţi de clcul este: 45

249 σ = = = 14 8 MP < σ ( 3 ) mx A, net b d t e e / / ig este: - L nivelul primului rând de nituri (nivelul 1), relţi de clcul, σ 3 mx, d t 5 = = 47 6 MP < σ ( b ) e 1 e 6.4 Clculul îmbinărilor sudte Clculul îmbinărilor sudte c şi cel l îmbinărilor nituite, se fce convenţionl, considerând distribuţi uniformă tensiunilor în secţiunile de clcul. În celşi timp, cest este într-o strânsă concordnţă cu tehnologi de sudre. După poziţi reltivă pieselor cre se îmbină, sudurile se clsifică, în : suduri cp l cp, suduri de colţ, cre în funcţie de orientre pe cre o u fţă de direcţi de solicitre (direcţi forţei), pot fi: - frontle, - lterle. L sudurile cp l cp (ig.6.4-1) elementele sudurii sunt: 46

250 - grosime de clcul cordonului de sudură, eglă cu grosime celei mi subţiri plăci din îmbinre sudtă, = t min lungime de clcul l c şi cre este eglă cu lăţime plăcii din cre se scd zonele de l cpetele cordonului, considerând că l fiecre cpăt, pe o lungime proximtiv eglă cu grosime de clcul, fuziune mterilului de dos cu cel de bză este imperfectă: l c = b b l c t t ig Sudur cp l cp, este solicittă l întindere, pentru cre ri de clcul A c, re expresi: A c = l c = (b - ) = (b - t min ) t min 6.4- În czul sudurii cp l cp cu cordon de sudură oblic (ig.6.4-), sudur este solicittă tât l întindere cât şi l forfecre, de către eforturile: - l întindere: N = sin α

251 - l forfecre: T = cos α b α N T α ig.6.4- Ari de clcul A c l sudur cp l cp cu cordon oblic, este: A b b ( ) = t ( t ) c = lc = sinα min sinα min Pentru sudurile de colţ, elementele crcteristice le cordonului de sudură, sunt (ig.6.4-3): - grosime de clcul, cre este eglă cu înălţime triunghiului înscris în secţiune cordonului de sudură: 0,7 t min b t min - lungime de clcul l c, este eglă cu lungime b (su l) cordonului de sudură, din cre se scd zonele de l cpetele t mx ig

252 cordonului de sudură, considerând că l fiecre cpăt, pe o lungime proximtiv eglă cu grosime de clcul, fuziune mterilului de dos cu cel de bză, este imperfectă: l c = l - = l - 0,7 t min = l - 1,4 t min Ari de clcul l forfecre, l sudur de colţ, este: A c = l c = 0,7 t min (l - 0,7 t min) = = 0,7 t min (l - 1,4 t min ) Exemplul nr.1. Să se clculeze forţ pe cre o pote suport îmbinre din ig.6.4-4, pentru cre se cunosc: b e = 130 mm, t e = 1 mm, b p = 170 mm, t p = 18 mm, l = 100 mm, σ = 140 MP, τ s = 100 MP. Se consideră că mterilul pltbndelor, ecliselor şi celui de dos, prezintă ceeşi rezistenţă dmisibilă. b e b p l l 3 1 t e t p t e ig Rezolvre Există trei elemente de clcul pentru cestă îmbinre (s-u nott cu 1,, 3-ig.6.4-4): 49

253 - pltbnd (pies 1), - eclis (pies ), - cordonul de sudură (pies 3). Să clculăm cum pe rând, fiecre element l îmbinării. Clculul pltbndei (pies 1). ) Pltbnd este solicittă l întindere. Secţiune periculosă este oricre secţiune cuprinsă între cpătul în cre cţioneză forţ şi cpătul de îmbinre prin sudură cu eclis. - Relţi de clcul, este: de unde: N cp = A p σ = b p t p σ = 1 1 = b p t p σ = 48,4 kn Pltbnd nu mi prezintă ltă secţiune periculosă. Clculul eclisei (pies ). b) Eclis este solicittă l întindere. Secţiune periculosă este l nivelul de seprre dintre cele două pltbnde, unde efortul xil trnsmis printr-o singură eclisă este egl cu /. - Relţi de clcul, este: Ncp = be te σ = de unde: = b e t e σ = 436,8 kn Eclis nu mi prezintă ltă secţiune periculosă. Clculul cordonului de sudură (pies 3). Sudur este un de colţ, prezentând pe o singură prte, două cordone trnsversle şi două longitudinle. Solicitre cordonelor de sudură este ce de forfecre. Mărimile ce trebuie determinte în vedere efectuării clculului, sunt: - grosime cordonului de sudură, = 0,7 t min = 0,7 t e lungime de clcul l c cordonului de sudură, este, 50

254 l c = (l + b e + l - ) = = ( l +b e -1,4 t e ) În relţi 6.4-1, fctorul din fţ prntezei, se dtoreză fptului că există două cordone de sudură identice, cre preiu forţ : unul l prte superioră şi unul pe prte inferioră îmbinării. Cu relţiile şi 6.4-1, se obţine ri de forfecre de clcul A c : A c = l c =0,7 t e ( l + b e - 1,4 t e ) Relţi de clcul pentru efortul cpbil, este: de unde, T cp = A c τ = 1,4 t e ( l + b e - 1,4 t e ) τ = 3 3 = 1,4 t e ( l + b e - 1,4 t e ) τ = 50,4 kn Nu mi există ltă solicitre pentru cordonul de sudură. Pentru fi sigurtă condiţi de rezistenţă îmbinării, forţ cpbilă este dtă de vlore ce mi mică dintre cele obţinute prin clcul (vezi rel , şi ): cp = min ( 1,, 3 ) = 48,4 kn După cum se pote constt, elementul cel mi periculos de l cestă îmbinre, este pltbnd (pies 1). În czul problemelor de dimensionre, se impune fie grosime cordonului de sudură în funcţie de grosime elementelor cre se îmbină şi tunci se clculeză lungime cestee, fie se impune constructiv lungime cordonului şi se clculeză grosime cestui. Schimbre tipului problemei, nu complică cu nimic clculul elementelor îmbinte prin sudură. L elementele îmbinte prin sudură, pentru cre direcţi de plicţie forţei nu este o xă de simetrie sistemului, problem constă în primul rând, în determinre eforturilor (xile su tăietore) din cordonele de sudură. Determinre cestor eforturi, este o problemă de sttică, pe cre noi m lămurit-o în lt cpitol. După determinre eforturilor din cordonele de sudură, clculul sudurilor este identic cu cel prezentt. 51

255 6.5 Clculul îmbinării pieselor de lemn Tensiunile normle xile, de forfecre şi de strivire, se întâlnesc şi în czul îmbinării pieselor de lemn. Lemnul este un mteril nizotrop, cre prezintă rezistenţe diferite în funcţie de direcţi pe cre o u forţele exteriore fţă de fibre. În Tbelul 6.5-1, se prezintă rezistenţele dmisibile pentru două specii de lemn (pin şi stejr), l diferite solicitări. Rezistenţele dmisibile (tensiunile dmisibile) le lemnului în îmbinări, depind de speci lemnului şi de ntur construcţiei. Tbelul Tipul solicitării Tensiune dmisibilă [ MP ] Pin Stejr Întindere σ Compresiune prlelă cu fibrele şi 1 15 strivire cpetelor σ c Strivire în îmbinări prlele cu fibrele σ s 8 11 Strivire normlă pe fibre (pe o lungime > 100 mm),4 4,8 σ s90 0 orfecre prlelă cu fibrele τ f 0, ,8...1,4 orfecre în îmbinări norml pe fibre 0 τ 90 0,6 0,8 Încovoiere σ i 1 15 orfecre din încovoiere τ i,8 Abterile în plus su în minus fţă de cele prezentte în Tbelul cu %, depind de clitte lemnului, de grdul de umiditte, de condiţiile de solicitre le construcţiei etc. În czul strivirii su forfecării sub un unghi α fţă de direcţi fibrelor, tensiune dmisibilă re o vlore intermediră între σ s şi σ 0 s90 (su τ f şi τ 0 90 ) şi se determină cu o relţie convenţionlă, de form: σs σ, α = σs 1+ σ 1 sin α s

256 Când forţele de forfecre cţioneză într-un pln tngenţil înclint sub unghiul α fţă de direcţi fibrelor, tensiune dmisibilă se determină cu ceeşi relţie, în cre σ s se înlocuieşte cu τ. Exemplu. Să se dimensioneze elementele îmbinării din lemn de pin din ig Dimensiunile celor două bre cre se îmbină sunt 150 x 00 mm. = 50 kn α= b c ig Rezolvre Există două elemente (două bre): un orizontlă (nottă 1) şi un înclintă (nottă ). orţ l nivelul îmbinării dintre cele două bre, prezintă două componente: - un orizontlă, 1. 1 = cos 30 0 = 43,3 kn un verticlă, : = sin 30 0 = 5 kn Clculăm cum fiecre bră. Clculul brei orizontle (pies 1) ) Acestă bră este solicittă l forfecre de către forţ 1, secţiune periculosă fiind pe porţiune de lungime. - Relţi de clcul, este: 53

257 A nec, f τ T τ τ 1 = 150 = f f 43, = = = 3 f 89 mm b) Tot forţ 1, produce o strivire secţiunii verticle chertării brei orizontle. - Relţi de clcul, este: A b N nec, s σ σ σ 1 = = = 150 b s s s 43, = = = 3 36 mm c) Br orizontlă este supusă strivirii şi de către forţ, pe suprfţ dreptunghiulră, de dimensiune 150 x c. - Relţi de clcul, este: A nec, s N σ σ = = = 150 c s s c= = = σ s , 70 mm Se pote constt că cestă suprfţă, este mi periculosă decât ceeşi suprfţă, dr prţinând brei înclinte, deorece pentru br înclintă, σ,α > σ s90 0. Clculul brei înclinte (pies ) d) Br înclintă, pe suprfţ verticlă de contct cu br orizontlă este solicittă l strivire, de către forţ 1. Aici re loc o strivire în secţiune, sub unghiul α = 30 0 fţă de direcţi fibrelor. Tensiune dmisibilă în cest cz, determintă pe bz relţiei 6.5-1, este: 54

258 σ, α sin 30 = = 8 [ 4, ] 0 63, MP Suprfţ de strivire, este un dreptunghi cu dimensiunile b şi 150 mm. - Relţi de clcul este: A b nec, s σ N σ σ 1 = = = 150 b, α, α, α 3 43, , 3 = = = 46 mm Se consttă că dimensiune b, rezultă din condiţi de rezistenţă l strivire brei înclinte, unde s- obţinut, b = 46 mm. Pentru îmbinre din ig.6.5-1, u rezultt dimensiunile: = 89 mm b = 46 mm c = 70 mm. 55

259 6E. Clculul îmbinărilor de piese (Probleme propuse) 6E.1 Îmbinre din figură trebuie să reziste solicitărilor produse de o forţă = 10 kn. Să se dimensioneze elementele înbinării, (tijă, pnă, suport), dcă ele sunt confecţionte din oţel, cu următorele rezistenţe dmisibile: σ t = 140 MP, σ s = 80 MP, τ f = 90 MP. Se cer deci: d nec, nec, h nec şi c nec. Corpul tijei este ciculr, (cu dimetrul d), ir cpul tijei este cu secţiune ptrtă. h/4 h c d d 6E. Îmbinre din figură trebuie să reziste solicitărilor produse de o forţă = 80 kn. Să se verifice elementele înbinării, (tijă, pnă, suport), confecţionte din Ol 37-STAS 500-7, cre re următorele rezistenţe dmisibile: σ t = 140 MP, σ s = 80 MP, τ f = 90 MP. 160 tijă pnă Suport fix 60 56

260 6E.3 Îmbinre colonelor unei freze cu plc de bză se relizeză prin intermediul unei pene şi unui mnşon c în figură. Să se determine dimensiunile necesre pentru elementele înbinării, (d, D, h, h 1, δ), dcă forţ cre cţioneză pe o colonă, (tijă), este = 300 kn. Rezistenţele dmisibile sunt: σ t = 60 MP, σ s = 10 MP, τ f = 40 MP, pentru colonă, şi σ t = 60 MP, σ s = 10 MP, τ f = 60 MP, pentru pnă. Grosime penei se cceptă c fiind δ=d/4. A-A Colonă d Colonă Pnă h A D Pnă A Mnşon δ h1 δ Mnşon 6E.4 Îmbinre din figură trebuie să reziste solicitărilor produse de o forţă = 50 kn. Să se dimensioneze elementele înbinării, (bulon, tijă, ţevă cu D /D 1 =1,5), confecţionte din Ol 37-STAS 500-7, cre re următorele rezistenţe dmisibile: σ t = 140 MP, σ s = 80 MP, τ f = 90 MP. Se cer: d nec, D 1,nec, D,nec,L 1,nec, L,nec. L 1 L L L 1 Ţevă D1 D1 D Tijă d Bulon d Tijă 57

261 6E.5 Îmbinre din figură este solicittă de forţele =460 kn. Să se clculeze dimensiunile: d, d 1, b şi δ,dcă tote elementele îmbinării sunt confecţionte din oţel, cu următorele rezistenţe dmisibile: l întindere:σ t = 140 MP; l strivire: σ s = 80 MP; l forfecre: τ f = 90 MP. / / δ δ d1 d b d d1 6E.6 Arborele cu dimetrul d=60 mm trebuie să trnsmită un moment de torsiune M t = knm. Pentru dimetrul dt STAS-ul impune b=18 şi h=11mm. Cunoscând rezistenţele dmisibile: l strivire: σ s = 0 MP şi l forfecre: τ f = 90 MP, se cere să se determine lungime necesră penei şi să se verifice pn l forfecre. A Pnă A-A b h l A Butuc Arbore d 58

262 6E.7 Îmbinre cu eclise din figură este solicittă l întidere de forţele. Orificiile de trecere pentru cele 4 şuruburi u dimetrele ø1 mm. Să se determine vlore mximă forţei pe cre o suportă elementele îmbinării, confecţionte din oţel, cu următorele rezistenţe dmisibile: l întindere: σ t = 140 MP; l strivire: σ s = 80 MP; l forfecre: τ f = 90 MP. Ø Eclise 4 Şuruburi M0 86 6E.8 Disc Piesele (1) şi (), din fontă, de 1 formă cilindrică, sunt solicitte de o forţă =00 kn. orţ se plică printr-un disc msiv. Să se determine dimetrele d,d 1 şi d, şi grosimile h 1 şi h, stfel încât să nu d d 1 se depăşescă rezistenţ l d forfecre: τ f =80 MP şi presiune mxim dmisă l strivire: σ s =160 MP. Pies () este susţinută de un suport fix. h1 h 59

263 6E.9 Cupljul din figură, cu trei şuruburi păsuite, trnsmite un moment de torsiune M t = knm. Cunoscând dimensiunile indicte pe desen în mm, precum şi lăţime penelor prlele, cu cre sunt fixte semicuplele, b=16 mm, se cere verificre nsmblului. Se du rezistenţele dmisibile: l strivire: σ s = 80 MP şi l forfecre: τ f = 90 MP. Obs.:dimensiunile semicuplelor nu sunt egle Ø180 M t M t Ø50 3 Şuruburi M18 păsuite 0 Ø18 6E.10 Îmbinre cu eclise din figură este solicittă l întidere de forţele =10 kn. Să se determine dimensiunile necesre pentru elementele îmbinării, (d, δ, B, L), confecţionte din oţel, cu următorele rezistenţe dmisibile: l întindere:σ t = 160 MP; l strivire: σ s = 80 MP; l forfecre: τ f = 10 MP. L L 60

264 6E.11 Să se verifice elementele înbinării din figură, ştiind că ceste sunt relizte din celşi mteril pentru cre se cunosc rezistenţele dmisibile: l întindere, (σ t =160 MP), l forfecre, (τ f =10 MP), şi l strivire, (σ s =40 MP). orţ cre solicită înbinre este =4 kn. Cotele trecute pe schiţă sunt în milimetri. Phr Tijă Ø40 9 Ø60 Ø78 Suport fix 6E.1 O tijă din Ol 37, de secţiune circulră, este solicittă l întindere de forţ =110 kn. Tij este fixtă l prte superioră prin intermediul unei pene cu secţiune dreptunghiulră: b h. Pn se sprijină pe o plcă circulră din oţel, ir cest pe un support msiv din beton. Se cceptă b=0,3 d. Se cere să se clculeze dimensiunile: d, b, h, h 1, L şi D. Se cunosc rezistenţele dmisibile: pentru Ol: σ t = 150, σ s = 300, τ f =0,6 σ t =90 MP; pentru beton: σ s = 8 MP. D L Plcă Ol b h h1 h Plcă Ol Tijă d Pnă Tijă d Plcă beton 61

265 6E.13 Ventilul unei suppe re form şi dimensiunile din figură. Să se verifice supp dcă tensiunile dmisibile sunt: pentru compresiune: σ c = 160 MP; pentru strivire: σ s = 30 MP şi pentru forfecre: τ f = 100 MP. Se consideră că tij suppei nu pote flmb fiind ghidtă pe prope întreg ei lungime. Ø16 Ø60 =10 kn Tijă Ø Ventil 6E.14 Pentru îmbinre din figură, compusă dintr-o tijă şi un mnşon confecţionte din oţel, se cere să se fcă dimensionre elementelor înbinării, ( nec, c nec, d nec, b 1,nec, b nec =?), dcă se cunosc rezistenţele dmisibile: l întindere, (σ t =10 MP), l forfecre, (τ f =40 MP), şi l strivire,( σ s =40 MP). Mărime forţei este =80 kn. A d c A-A Tijă Tijă b b1 Mnşon fix A Mnşon fix 6

266 6E.15 Îmbinre trei pltbenzi este reliztă cu două bolţuri cu dimetrul d. Dcă se cunoşte mărime forţei, =100 kn, şi rezistenţele dmisibile: l întindere, (σ t =10 MP), l forfecre, (τ f =80 MP), şi l strivire, (σ s =40 MP), se cere să se fcă dimensionre elementelor înbinării, (d nec, h nec, l nec, b nec =?). Pltbndă b Bolţ d d d h/ h h/ / / 6E.16 Ansmblul din figură, relizt dintr-o furcă sudtă de o tijă, trnsmite o forţă =18 kn. Dimensiunile secţiunii tijei sunt: h=4 mm şi b=8 mm. Grosime cordonului de sudură este: =5 mm. Dcă mterilul pieselor re rezistenţe dmisibile: σ t = 160 MP, σ s = 30 MP, τ f = 10 MP, ir dimensiunile cotte sunt: t=6, d=9, R=18 mm, se cere verificre îmbinării. d 36 4 urcă R Tijă t t t d b 63

267 6E.17 Se dă smblre două pltbenzi sudte c în figură. Să se determine vlore mximă forţei, dcă rezistenţele dmisibile le pltbenzilor sunt: l întindere: σ t =10 MP; l forfecre: τ f =80 MP, ir pentru cordonul de sudură, cu grosime 6 mm, rezistenţ dmisibilă l forfecre este 0,7 din ce pltbenzilor, (τ f,s =56 MP) E.18 Să se verifice smblre cu 9 şuruburi M16, cre suportă forţ =80 kn, dcă se cunosc rezistenţe dmisibile: l întindere: σ t = 140 MP; l strivire: σ s = 80 MP; l forfecre: τ f = 90 MP. Să se precizeze poi numărul de şuruburi suficient pentru prelure forţei M

268 6E.19 Două pltbenzi sunt smblte prin 9 nituri ø16 şi solicitte de o forţă. Cunoscînd rezistenţele dmisibile: - pentru nituri: l strivire: σ s = 180 MP şi l forfecre: τ f = 110 MP; -pentru pltbenzi: l trcţiune: σ t = 140 MP, l strivire: σ s = 170 MP şi l forfecre τ f = 90 MP, se cere determinre forţei mxim dmise. Se du: B=150 mm şi t=14 mm. B 9 Nituri ø16 t t 6E.0 Să se determine srcin cpbilă să încrce smblre cu 8 şuruburi M0, dcă rezistenţele dmisibile pentru tote elementele îmbinării sunt: l întindere: σ t = 160 MP; l strivire: σ s = 300 MP; l forfecre: τ f = 110 MP. Dimensiunile indicte u vlorile: h=16, d=l=0, =30 şi B=160 mm. Obs.: în zonele de forfecre tijele şuruburilor nu sunt filette. 65