Compendiu de Rezistenţa Materialelor

Transcript

1 ndir ndreescu Ştefn ocnu Compendiu de Reistenţ terilelor

2 Prefţă Reistenţ terilelor este un din disciplinele de bă în pregătire studenţilor de l fcultăţile mecnice, e constituind temeli cursurilor de specilitte, reflectând principiile şi metodele de clcul necesre cestor. În crte de fţă sunt cuprinse cunoştinţele necesre profilului mecnic şi în specil utiljelor pentru construcţii. În cest scop lucrre preintă noţiunile ştiinţifice, metodele concrete de clcul şi dimensionre le structurilor sub o formă decvtă înţelegerii spectelor fiice cât şi plicării cestor în curi specifice rele din domeniul mecnic. Problemele reolvte l sfârşitul fiecărui cpitol constituie eemple concrete de clcul de proiectre optimă unor elemente cu plicbilitte în prctic inginerescă. utorii

3 Cuprins Prefţă Problemele Reistenţei terilelor Obiectul Reistenţei terilelor. Relţii cu lte discipline Reistenţ terilelor, probleme specifice Clsificre corpurilor şi forţelor cre cţioneă supr cestor Clsificre corpurilor Clsificre forţelor cre cţioneă supr corpurilor-4.4 potee în Reistenţ mterilelor Reistenţe dmisibile. Coeficienţi de sigurnţă etode de reolvre Condiţii de îndeplinit în soluţionre problemelor din Reistenţ terilelor specte le Reistenţei terilelor Digrme de eforturi Digrme de eforturi l bre drepte Determinre eforturilor într-o secţiune Construire digrmelor pornind de l epresiile nlitice le eforturilo Relţii diferenţile între eforturi şi încărcări Utilire relţiilor diferenţile l trsre digrmelor de eforturi Relţii de recurenţă l grind dreptă Grini cu încărcări complee. etod suprpunerii efectelor Grini cu console şi rticulţii Digrme de eforturi pe cdre Crcteristicile geometrice le secţiunilor trnsversle le brelor ri secţiunii. omente sttice. Centre de greutte omente de inerţie (geometrice) omente de inerţie pentru secţiuni simple omente de inerţie pentru secţiuni de formă compleă-5. Vriţi momentelor de inerţie l trnslţi elor Vriţi momentelor de inerţie l rotţi elor

4 .4. omente de inerţie principle şi direcţii principle Etpele de clcul pentru determinre momentelor de inerţie principle,, le unei figuri plne oment de inerţie centrifugl mim Tensiuni şi deformţii specifice Tensiuni. Tensorul tensiunilor Dulitte tensiunilor tngenţile Relţii de echivlenţă între eforturi şi tensiuni în secţiune trnsverslă unei bre Deformţii specifice. Tensorul deformţiilor Deformţi specifică liniră Deformţi specifică unghiulră Digrme crcteristice le mterilelor Digrme crcteristice schemtite Solicitre ilă centrică Forţ ilă. Tensiuni de întindere compresiune Deformţii şi deplsări Dimensionre, verificre, forţ cpbilă Bre cu secţiune vribilă solicitte l întindere Clculul brelor întinse ţinând sem de greutte proprie Sisteme sttic nedeterminte l forţe ile Bre cu secţiuni neomogene Bră dublu rticultă Sistem de bre prlele Sistem de bre rticulte concurente Tensiuni dtorte diltărilor împiedicte Efectul inectităţii de eecuţie şi montj în sistemele rticulte sttic nedeterminte Forfecre Generlităţi Probleme de forfecre l îmbinările nituite Forfecre niturilor Strivire niturilor Îmbinări cu şuruburi Îmbinări sudte Clculul sudurilor de colţ Încovoiere brelor drepte Generlităţi Încovoiere pură. Formul lui Nvier

5 7. Clculul modulului de reistenţă il W l secţiunile simple Clculul grinilor supuse l încovoiere lcătuire rţionlă secţiunilor solicitte l încovoiere Încovoiere simplă poteele lui Jurvski Formul lui Jurvski Vriţi tensiunilor tngenţile l secţiunile simple Centrul de lunecre Grini compuse supuse l încovoiere Evlure forţei de lunecre Clculul grinilor compuse nituite Clculul grinilor compuse sudte Deformre grinilor drepte solicitte l încovoiere Ecuţi diferenţilă fibrei medii deformte etod integrării directe ecuţiei diferenţile etod grinii conjugte Corespondenţ între reemele grinii rele şi conjugte etod prmetrilor în origine Vriţi tensiunilor în jurul unui punct în cul stării plne de tensiuni Epresiile tensiunilor pe o secţiune înclintă cu unghiul α Tensiuni normle principle şi direcţii principle Tensiuni tngenţile mime Tensiuni pe o suprfţă înclintă în curile solicitărilor simple Torsiune Generlităţi. Torsiune brelor cu secţiune circulră Tensiuni în br de secţiune circulră şi inelră Condiţi geometrică Condiţi de elsticitte Condiţi sttică Deformţii Clculul rborilor de trnsmisie solicitţi l torsiune Clculul modulului de reistenţă polr W p Sisteme sttic nedeterminte l torsiune Torsiune brelor cu secţiune dreptunghiulră Torsiune brelor cu pereţi subţiri, cu profil deschis, cu deplnări libere

6 .9 Torsiune brelor cu pereţi subţiri, profil închis, deplnări libere rcuri elicoidle cu psul mic oduri de montre rcurilor ontj în prlel ontj în serie Sisteme sttic nedeterminte lcătuite din rcuri elicoidle Studiul deplsărilor prin metode energetice Principiul lucrului mecnic virtul plict corpurilor elstice Energi potenţilă de deformţie Lucrul mecnic eterior Teorem reciprocităţii lucrului mecnic (teorem lui Betti) -.5 Epresiile lucrului mecnic funcţie de eforturi Epresiile energiei potenţile de deformţie în funcţie de eforturi Teorem reciprocităţii deplsărilor. Teorem lui well Studiul deplsărilor prin metod ohr well etod de integrre Veresceghin Teorii de reistenţă Lege lui Hooke generlită Deformţi specifică volumică Legătur dintre constntele E, G, μ Energi potenţilă de deformţie în problem spţilă Energi specifică necesră vriţiei de volum şi schimbării formei Teorii de reistenţă mterilelor Stre de tensiune limită într-un punct Tensiune echivlentă Teori tensiunilor normle mime (teori ) Teori tensiunilor tngenţile mime (teori ) Teori energiei de deviţie (teori V su V ) plicre teoriilor de reistenţă în cul brelor Solicitări compuse Încovoiere dublă su oblică Încovoiere dublă brelor cu secţiune trnsverslă dreptunghiulră su cre se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline Încovoiere simplă cu forţă ilă

7 .. Cul secţiunii l cre de încovoiere este ă de simetrie Încovoiere dublă cu forţă ilă Încovoiere dublă cu forţă ilă l secţiune dreptunghiulră su o secţiune cre se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline Sâmbure centrl Sâmburele centrl l secţiune dreptunghiulră Sâmburele centrl l secţiune circulră Zon ctivă Încovoiere cu torsiune Br de secţiune circulră rbori de trnsmisie Br de secţiune dreptunghiulră Sisteme sttic nedeterminte etod eforturilor în reolvre sistemelor o dtă sttic nedeterminte Structuri de n ori sttic nedeterminte Utilire simetriei în reolvre sistemelor sttic nedeterminte Clculul deplsărilor l sisteme sttic nedeterminte Grini continue Epresi rotirilor de cpăt l grind simplu reemtă Ecuţi celor trei momente Bre curbe plne Tensiuni în secţiune brei curbe mportnţ mărimii rei de curbură supr domeniului de vlbilitte relţiilor de clcul Stbilitte brelor drepte Determinre forţei critice de flmbj pentru curile clsice de reemre. Formul lui Euler Br dublu rticultă Br încstrtă perfect l un cpăt şi liberă l celăllt Br rticultă l un cpăt şi încstrtă perfect l celăllt Br dublu încstrtă Reistenţ critică de flmbj. Coeficientul de velteţe Coeficientul de sigurnţă l flmbj c f Clculul prctic l flmbj

8 6.5 Clculul l flmbj folosind metod coeficientului de flmbj ϕ Br cu reemări diferite după ele principle de inerţie nfluenţ forţei tăietore supr srcinii critice de flmbj Flmbjul brelor cu secţiune compusă Clculul brelor l flmbj cu încovoiere Solicitări dinmice Solicitări dinmice prin şoc Coeficientul dinmic în cul când se neglijeă ms corpului supus l şoc Coeficientul dinmic în cul în cre se ţine sem de ms corpului supus l şoc Solicitări prin şoc oriontl Solicitări vribile Cicluri de solicitări vribile Digrme de reistenţă l oboselă Digrme schemtite Fctorii de cre depinde reistenţ l oboselă Clculul coeficientului de sigurnţă l solicitări vribile simple Clculul coeficienţilor de sigurnţă l solicitări prin cicluri lternnt simetrice Clculul coeficienţilor de sigurnţă l solicitările prin cicluri simetrice Clculul coeficientului de sigurnţă l solicitări compuse, produse de srcini vribile ciclice Bibliogrfie

9 Cpitolul PROBLEELE REZSTENŢE TERLELOR. Obiectul Reistenţei terilelor. Relţii cu lte discipline Observţii supr nturii înconjurătore relevă fptul că mjoritte corpurilor solide sunt cpbile să suporte, în numite limite, cţiunile ltor corpuri, fără să se rupă su să-şi modifice sensibil form şi dimensiunile. cestă remrcă este esenţilă în definire obiectului disciplinei ici eminte. În prctic inginerescă se pune în permnenţă problem legerii mterilului celui mi potrivit pentru numite utiliări, cest însemnând totodtă stbilire formei şi dimensiunilor sle optime. Se re în vdere c mterilul les să reiste l eforturi determinte, dică să nu se rupă şi să nuşi modifice geometri, stfel încât cest să nu tingă stdiul de cedre su modificre ecesivă, bineînţeles în numite limite de sigurnţă şi economicitte. Principiile cre stu l b reolvării rţionle tocmi cestor probleme constituie obiectul Reistenţei terilelor. Reistenţ terilelor se ocupă cu studiere comportării, sub cţiune forţelor eteriore, pieselor din lcătuire unor sisteme su complee tehnice nume configurte, deformţiilor şi deplsărilor cre se produc în structurile eminte, precum şi cu determinre dimensiunilor limită le fiecărei piese. Reistenţ terilelor fce prte din grupul de discipline denumit ecnic corpului solid deformbil, cre mi include: Teori elsticităţii, Teori plsticităţii şi lte specilităţi disciplinre. Dt fiind că intercţiune dintre corpuri este repreenttă, în mod obişnuit, prin forţe, în reolvre problemelor de Reistenţ terilelor trimiterile de ce mi mre frecvenţă se fc l ecnic teoretică. Numi că, spre deosebire de ecnic teoretică, unde se dmite modelul corpului rigid, indeformbil, Reistenţ terilelor, studiind efectul forţelor pe şi 9

10 mi les în interiorul elementelor, ţine sem obligtoriu de propriette de deformbilitte corpurilor. De cee în Reistenţ terilelor se dmite modelul corpului deformbil, cărui configurţie geometrică se modifică sub cţiuni eteriore, cu observţi că modificările geometrice u drept consecinţă priţi unor forţe interiore între prticulele structurle le corpului solicitt. Cunoştere relţiilor dintre modificările geometrice, încărcări şi forţe interiore implică deopotrivă investigţii teoretice şi eperimentle, respectiv o dinmică progresului disciplinei c ştiinţă cu pronunţt crcter orientt, plictiv. De ltfel, eperimentul re un rol deosebit în verificre reulttelor ce se obţin în urm cercetărilor teoretice (implicit în vlidre cestor), ş cum se întâmplă, de ltfel, în tote rmurile ştiinţei. De menţiont că, fţă de ecnic teoretică, unde tote forţele sunt considerte vectori lunecători, în Reistenţ terilelor forţele sunt vectori legţi, cu repreentre intuitivă din fig.. RF F F fig.. în cre cu s- repreentt deformţi relă grinii sub cţiune celor două forţe F (forţe c vectori legţi), fiind deformţi grinii sub cţiune reultntei celor două forţe F (forţe c vectori lunecători).. Reistenţ terilelor, probleme specifice Să considerăm un corp de o formă dtă şi confecţiont dintr-un numit mteril, şet (reemt) într-un numit mod şi supus l încărcre eterioră. Reistenţ terilelor ne permite să determinăm l un semene corp: - tensiunile produse de încărcări - deformţiile cre reultă.

11 Prctic, în curile cele mi simple pot pre trei situţii cre repreintă, în generl, problemele Reistenţei terilelor, şi nume: - probleme de dimensionre - probleme de verificre - probleme de determinre efortului cpbil, cu următorele preciări: Problemele de dimensionre. Forţele plicte sunt cunoscute şi se lege mterilul după numite criterii dimensiunile elementului de structură reultă din condiţiile c forţele interne (implicit tensiunile) şi deformţiile să nu depăşescă numite vlori limită. Problemele de verificre. Cunoscând forţele eteriore şi dimensiunile elementului se impune c tensiunile şi deformţiile să nu depăşescă numite vlori limită prescrise. Problemele de determinre efortului cpbil. În cest c sunt cunoscute dimensiunile şi proprietăţile mecnice le elementului şi trebuie cunoscute/determinte forţ su şi momentul limită suportbil în secţiune critică.. Clsificre corpurilor şi forţelor cre cţioneă supr cestor În studiul fenomenelor nturle, căror le sunt proprii diversitte şi compleitte, sintetire observţiilor şi dtelor eperimentle şi definire, pe cestă bă, cee ce este esenţil şi crcteristic fiecărui fenomen constituie modul fundmentl, rţionl, de bordre. Schemtiând proprietăţile mteriei, doptând ipotee referitore l cuele, desfăşurre şi efectele unor fenomene rele, în cdrul investigţiei teoretice cel mi dese se procedeă l viulire modelului fiic rel, respective l substituire lui cu un model convenbil (şi cceptbil) pentru clcul, cest cu observţi că pentru fi eficiente şi conduce l reultte verificbile eperimentl, ipoteele cre stu l b doptării modelului de clcul trebuie să surprindă cee ce este specific lturii studite fenomenului şi, bineînţeles, să ibă cuvenit cuprindere. Ţinând sem de obiectul de studiu l Reistenţei terilelor, schemtiările şi ipoteele necesre definirii modelului de clcul optiml/uitt în cdrul cestei discipline se vor referi în principl l proprietăţile geometrice şi mecnice le corpurilor precum şi l forţele cre cţioneă supr şi în interiorul lor.

12 În continure, se vor d două criterii de clsificre solidelor referitore l comportre lor după descărcre şi l mărime deformţiilor cre pr l numite solicitări mecnice. Într-un ccept profesionl,ingineresc şi orientt, vom consider cestă disciplină de studiu şi plictivă dedictă în principl nliei şi evluării comportării mterilelor/corpurilor componente le sistemelor tehnice în intercţiune mecnică. Eprimre mtemtică decvtă intercţiunilor respective repreintă desigur, o importntă sumre disciplinei/ştiinţei considerte (Reistenţ terilelor). Se cceptă, prgmtic, că din punctul de vedere l comportării mterilelor după descărcre de numite srcini/eforturi mecnice se disting: terile elstice terile plstice terile elsto-plstice. terle elstice. Se consideră un corp solid încărct cu forţe eteriore căror intensitte creşte de l ero. Sub cţiune cestor forţe, corpul se deformeă, creându-se un echilibru continuu între forţele eterne şi cele interne. Dcă după un numit nivel de încărcre se descrcă corpul, în mod grdt până l ero, cest v reveni l form s iniţilă. Dcă deformţiile dispr complet şi mterilul îşi rei ect form s iniţilă, tunci cest îndreptăţeşte considerre s c solid elstic. În mod corespunător se defineşte elsticitte c propriette mterilelor de se deform sub încărcre şi de reveni l form iniţilă când încărcre înceteă. terile plstice. Unele mterile se deformeă forte mult chir sub încărcări reduse şi nu-şi reiu dimensiunile şi form iniţilă când încărcre dispre. ceste sunt solidele plstice. terilele elsto-plstice. Eperienţ rtă că nu eistă mterile/corpuri (solide) perfect elstice şi că deformţiile produse de încărcări nu dispr complet după descărcre în cest c deformţiile corpului sunt de două feluri: o deformre elstică cre se diminueă odtă cu reducere încărcării şi o deformre remnentă (permnentă). Este cul mjorităţii mterilelor folosite pentru obţinere elementelor din domeniul construcţiilor de mşini. Din punctul de vedere l mărimii defomţiilor cre conduc l rupere, se disting: terile ductile terile csnte.

13 terilele ductile: se crcterieă prin cpcitte de suport deformţii importnte îninte priţiei fenomenului de rupere şi u pronunţte proprietăţi plstice. Se spune că semene mterile posedă un grd înlt de vertire l rupere (de e. oţel, luminiu, etc.). terilele csnte: sunt cele cre se rup brusc l numite încărcări, fără preent îninte deformţii mri (cum r fi font, oţelurile de înltă reistenţă, betonul, pitr, sticl, etc.)... Clsificre corpurilor O structură pote fi descompusă într-o serie de elemente simple. ceste sunt corpuri vând trei dimensiuni. În funcţie de rportul între cele trei dimensiuni, ceste corpuri pot fi grupte în trei mri ctegorii: - bre - plăci - blocuri. Brele sunt corpuri l cre un din dimensiuni este mre în rport cu celellte două. Elementele crcteristice le unei bre sunt s longitudinlă precum şi form şi dimensiunile secţiunii (normle) trnsversle. longitudinlă brei repreintă curb dtă de succesiune centrelor de greutte le secţiunilor (normle) trnsversle. Secţiune normlă într-un punct din bră este secţiune plnă perpendiculră pe brei. După form ei longitudinle brele pot fi drepte, curbe plne şi curbe în spţiu. Form secţiunii trnsversle pote fi (fig..): fig.. O ctegorie specilă de bre o constituie firele, l cre secţiune trnsverslă brei re dimensiuni neglijbile.

14 Plăcile sunt corpuri l cre două dimensiuni sunt mri în rport cu trei. Locul geometric l mijlocelor grosimilor plăcii se numeşte suprfţă medină, grosime plăcii măsurându-se perpendiculr pe suprfţ medină. Plăcile pot fi plne su curbe. Blocurile sunt corpuri cu tote cele trei dimensiuni comprbile. De reţinut menţiune că metodele de clcul din Reistenţ terilelor sunt vlbile numi pentru elementele de tip bră (fir). Pentru solidele plcă su bloc trebuie pelt l teori elsticităţii şi teori plsticităţii... Clsificre forţelor cre cţioneă supr corpurilor Forţele eteriore cre cţioneă supr unui corp sunt forţe ctive, cre tind să imprime corpului o mişcre, ceste forţe fiind denumite srcini su încărcări respectiv forţe cre se opun tendinţei de deplsre corpului, numite recţiuni. Criterii de clsificre: După dimensiune suprfeţei pe cre se plică: Forţe concentrte: teoretic, se plică într-un punct Forţe distribuite: se crcterieă numeric prin intesitte pe unitte de lungime su suprfţă. După poiţi onei unde se plică forţele în rport cu corpul: Forţe de suprfţă Forţe msice şi de volum. După modul de vriţie în timp intensităţii forţelor: Forţe sttice forţe cre încrcă treptt construcţi, începând de l intensitte nulă, l intensitte finlă, cu cre cţioneă continuu supr construcţiei (e. greutte proprie) Forţe dinmice forţe căror intensitte se modifică în timp tât de repede, încât provocă ccelerţii sensibile punctelor mterile le corpului. Sunt forţe cre se plică brusc şi produc şocuri precum şi forţe vribile în timp. Forţele interiore cu repreentre din figur. se consideră un corp supus l un grup de forţe eteriore în echilibru cre se secţioneă în două părţi. Evident, pentru menţinere echilibrului solidului stfel secţiont trebuie să cţionee forţe interiore (interne) corespunătore. L echilibru, forţele interiore de pe cele două feţe le secţiunii seprtore sunt egle şi 4

15 de sens contrr, repreentând, în fpt, forţele de legătură cre se opun seprării corpului. F F F F R F4 R F4 F F fig.. ărimile R şi semnifică forţe interiore su eforturi. De menţiont că eforturile trebuie introduse în centrul de greutte l secţiunii tre eforturi pot ve direcţii orecre în spţiu. Fie cul unei bre cu ă longitudinlă brei respectiv şi ele secţiunii trnsversle. Se vor repreent eforturile R şi în centrul de greutte l secţiunii, fiecre efort descompunându-se pe cele trei e conform figurii.4: R T T N T i fig..4 - R re o componentă după brei ( ), denumită forţă ilă N respectiv o componentă T denumită forţă tăietore, pe o ă 5

16 perpendiculră pe. Forţ tăietore se descompune pe ele şi în componentele forţei tăietore T şi T. - se descompune în momentul de torsiune (după brei) şi un moment încovoietor i (după o ă perpendiculră pe ), le cărui componente sunt şi. ărimile N, T, T,,, se numesc eforturi fiecărui efort îi corespunde o solicitre simplă: - Întindere compresiune - solicitre produsă de forţ ilă N - Tăiere su forfecre solicitre produsă de componentele forţei tăietore T, T - Torsiune su răsucire solicitre produsă de momentul de torsiune - Încovoiere solicitre produsă de componentele momentului încovoietor,. Solicitările compuse corespund cului când pr simultn cel puţin două eforturi în secţiune..4 potee în Reistenţ terilelor În trtre problemelor propuse Reistenţ terilelor opereă cu o serie de ipotee privitore l structur mterilelor şi comportre solidului sub srcini. Principlele ipotee de cest fel sunt: - pote mediului continuu şi omogen: se consideră solidul c mediu continuu şi omogen, ocupând întregul spţiu corespunător volumului său. - pote iotropiei mterilelor: se consideră solidul c vând proprietăţi identice pe tote direcţiile. - pote stării nturle corpurilor: se dmite că mi îninte de intrre în cţiune forţelor cre produc solicitre, în corp nu eistă forţe interiore. - Corpurile studite sunt în echilibru sttic su dinmic: stfel, în primul c, în ecuţiile de echilibru intervin forţe sttice repreentând cţiuni şi recţiuni, ir în cel de-l doile, se dugă efectul forţelor de inerţie. - pote elsticităţii perfecte: se consideră că deformţiile dispr complet odtă cu dispriţi srcinilor cre le-u produs. - pote deformţiilor mici: deformţiile se consideră mici în rport cu dimensiunile corpurilor. De cee se pot scrie ecuţiile de echilibru c în sttică se neglijeă în clcule, putere dou (su superioră) deformţiilor, c infinit mic de rng superior. 6

17 - Relţi liniră între tensiuni şi deformţii specifice se doptă curb crcteristică schemtită corespunătore modelului elsto-plstic. Reultă că pentru vlori le deformţiilor cre nu depăşesc ε c este vlbilă lege lui Hooke: Eε, dică tensiunile sunt proporţionle cu deformţiile. - Principiul lui Sint-Vennt: dcă se înlocuiesc forţele cre cţioneă supr unui element de suprfţă l unui corp elstic printr-un lt sistem de forţe, echivlent cu primul din punct de vedere sttic, dou distribuţie de forţe produce l locul de plicre diferenţe precibile fţă de prim, dr rămâne fără efect su cu efect neglijbil l distnţe mri fţă de locul de plicre forţelor. - pote lui Bernoulli (su secţiunilor plne) o secţiune plnă, normlă pe brei îninte de deformre rămâne plnă şi normlă pe ă şi după deformre..5 Reistenţe dmisibile. Coeficienţi de sigurnţă Piesele de mşini trebuie stfel dimensionte, încât să fie eclus pericolul ruperii, l eistenţei deformţiilor mri su l fenomenului de pierdere stbilităţii. Tensiunile trebuie să fie sub limit de elsticitte dr, din rţiuni economice, cât mi prope de cest, cerinţă sensibilă, deorece pentru o bună sigurnţă integrităţii solidului, tensiunile trebuie să fie cât mi deprte de limit de elsticitte pentru nu se junge l deformţii mri. Vlore limită tensiunii până l cre pote fi solicitt un mteril portă numele de reistenţă dmisibilă ( ). Reistenţ dmisibilă se consideră fie în rport cu limit de curgere c (pentru mterilele ductile), fie în rport cu limit de rupere r (pentru mterilele csnte). Rportul între tensiune limită şi reistenţ dmisibilă repreintă coeficientul de sigurnţă (c) stfel, se definesc: c r cc cr în cre: c c coeficientul de sigurnţă l curgere c r coeficientul de sigurnţă l rupere. Pentru o funcţionre optimă piesei trebuie îndeplinită condiţi: c c 7

18 cu c fiind nott coeficientul de sigurnţă dmisibil cest coeficient se determină stfel încât să ibă cele mi mici vlori pentru cre se obţine o sigurnţă deplină funcţionării piesei pe o durtă cât mi îndelungtă de solicitre..6 etode de reolvre Reolvre problemelor din Reistenţ terilelor se fce prin metode generle şi proprii, dintre cre sunt repreenttive: etod reistenţelor dmisibile (metodă deterministă), comportând eprimre vlorilor cestui prmetru ( ) prin condiţi: ef ef m m unde simbolieă tensiune efectivă mimă l nivelul elementului în discuţie. etod doptă un coeficient de sigurnţă unic, cu numite reerve sub rportul justificării/confirmării în prctică. etod stărilor limită (metodă semiprobbilistică) prin stre limită se înţelege un stdiu de solicitre cărui tingere implică pierdere reversibilă su ireversibilă cpcităţii solidului/corpului de stisfce condiţiile de utilire. Pentru mterile omogene (metle, ş..), epresi de clcul conformă metodelor uule este: m m R în cre: m - vlore mimă probbilă tensiunii R reistenţ de clcul (vlore minimă probbilă reistenţei) m coeficient ce ţine sem de reducere su mjorre reistenţelor de clcul în curi specifice le unor solicitări..7 Condiţii de îndeplinit în soluţionre problemelor din Reistenţ terilelor Prevlent în Reistenţ terilelor este studiul tensiunilor şi deformţiilor, dr l fel de importntă este şi determinre su/şi verificre condiţiilor de stbilitte elementelor structurle le corpurilor în scopul dimensionării optime. Se convine c elementele structurle să stisfcă următorele cerinţe/condiţii: 8

19 - Condiţii de reistenţă: tensiunile nu trebuie să depăşescă numite limite stbilite eperimentl pentru fiecre mteril, respectiv: ef m. - Condiţii de rigiditte: funcţionre orgnelor de mşini este condiţiontă de deformţiile cestor, deformţii cre nu trebuie să depăşescă numite limite, respectiv: ef Δm Δ. - Condiţii de stbilitte: peste numite vlori critice le srcinilor, piesele îşi pierd echilibrul stbil, cee ce pote duce l distrugere cestor vlore mimă unei srcini se pote eprim: F m c în cre: F cr forţ critică l cre poiţi de echilibru elstic brei devine instbilă c un coeficient de sigurnţă (l stbilitte). F cr.8 specte le Reistenţei terilelor În bordre şi devoltre/trtre problemelor de reistenţă se disting trei specte: spectul sttic, cre configureă problem stfel, încât solicitările de referinţă sunt reduse l forţele interne într-un punct su într-o secţiune, cu utilire ecuţiilor de echilibru sttic spectul geometric, cre se reumă l eminre deformţiilor solidului încărct spectul fiic, cre presupune un fundment eperimentl, permiţând stbilire coneiunilor între forţele interne (tensiuni) şi deformţii. 9

20 Cpitolul DGRE DE EFORTUR. Digrme de eforturi l bre drepte Elementul de structură fundmentl în mjoritte construcţiilor de clădiri, poduri, construcţii mecnice, îl repreintă br şi în specil br dreptă. Propunându-se să se determine, în cdrul Reistenţei terilelor, stările de solicitre le brei sub influenţ diverselor cţiuni, v trebui reolvtă următore problemă: cunoscându-se geometri brei, legăturile ei cu lte corpuri şi încărcările, să se determine stre de tensiune şi deformţie. Principlele etpe de reolvre problemei sunt următorele: ) mi întâi trebuie determint complet sistemul de forţe eteriore cre cţioneă supr brei, dică pe lângă încărcări trebuie determinte recţiunile, c vlore şi ntură ) trebuie determinte eforturile în secţiunile trnsversle le brei ) determinre tensiunilor în oricre punct l brei. Primele două etpe pot fi soluţionte pentru structuri sttic determinte folosindu-se principiile ecnicii Teoretice. Noţiunile opertore în cestă mtrice de bordre includ tipurile de reeme. Orice corp în mişcre plnă re trei grde de libertte, încât pentru -l repreent sunt necesre trei legături simple le sle cu un numit suport referenţil. Tipurile de reeme cu cre opereă ecnic sunt: Reemul simplu, cre re drept echivlent sttic o forţă verticlă V V V

21 rticulţi plnă, cre re drept echivlent sttic două forţe: un verticlă V, ir celltă oriontlă H H H V V Încstrre, cest tip de reem vând drept echivlent sttic două forţe şi un moment H V Dintre posibilităţile de scriere ecuţiilor de echilibru cunoscute în ecnic Teoretică, cele cre convin şi l cre se peleă în cul determinării recţiunilor sunt:. X H, Y V, epresii vntjose în cul evluării consolelor (fig..): H V fig... X H, VB, B V epresii edifictore pentru cul brelor simplu reemte (fig..): H B V VB fig..

22 .. Determinre eforturilor într-o secţiune Cunoscând forţele eteriore cre cţioneă supr unei bre, se pot determin eforturile într-o secţiune ei, în cre scop se recurge l metod secţiunilor. Fie o bră solicittă de forţele eteriore în echilibru P, P,..., P n, forţe cre includ tât încărcările cât şi recţiunile corespunătore. Pentru determin eforturile într-o secţiune curentă i se secţioneă br după un pln norml pe s longitudinlă (fig..). P i P P T N P T P Pn P Pn fig.. În secţiune curentă i s-u introdus eforturile secţionle cre trebuie să lcătuiscă un sistem sttic echivlent cu sistemul de forţe de pe prte înlăturtă. Dcă se îndepărteă prte din stâng, pentru echilibrul părţii din drept, pe fţ cestei trebuie introdusă cţiune părţii înlăturte, cţiune mnifesttă prin forţele interiore. cest sistem de forţe se v reduce în centrul de msă l secţiunii, situt pe brei, stfel: - o forţă tngentă l ă (N), forţ ilă - o forţă normlă l brei (T), forţ tăietore - un cuplu (), repreentând momentul încovoietor. Dcă în loc să se înlăture prte din stâng s-r proced l dislocre părţii din drept, m ve celşi recurs cu ecepţi inversării sensului eforturilor secţionle în rport cu prim situţie discuttă, dr egle c vlore cu ceste. cestă lterntivă dă posibilitte c, în scopul reducerii clculelor numerice, să se legă, l determinre eforturilor, prte pe cre reducere sistemului de forţe eteriore este ce mi fcilă. Forţ ilă (N), repreintă sum proiecţiilor pe brei din secţiune considertă tuturor forţelor din stâng secţiunii su din drept. Este considertă poitivă tunci când pe fţ din drept re sens invers sensului ei su, c sens fiic, este poitivă când este de întindere (trge de secţiune în cre se plică). N N N N Forţ tăietore (T), este sum proiecţiilor pe norml l brei în

23 secţiune considertă tuturor forţelor din stâng secţiunii su celor din drept. Se consideră poitivă când pe fţ din drept re sens invers sensului ei c sens fiic este poitivă când roteşte solidul în sensul celor de cesornic. T T T T omentul încovoietor (), repreintă sum momentelor, în rport cu centrul de greutte l secţiunii, tuturor forţelor de l stâng secţiunii su celor de l drept. Se consideră poitiv când, în secţiune, întinde fibr inferioră (de jos), respectiv negtiv când întinde fibr superioră (de sus). Sunt denumite digrme de eforturi repreentările grfice le vlorilor eforturilor în secţiunile considerte. Repreentre cestor digrme este strict necesră pentru stbilire secţiunilor în cre eforturile se situeă în limite de tenţie. Se convine c în tre grfice ordontele poitive să fie repreentte stfel: - pentru momentele încovoietore, sub lini de referinţă (de prte întinsă brei) - pentru forţ ilă su forţ tăietore, desupr liniilor de referinţă corespunătore... Construire digrmelor pornind de l epresiile nlitice le eforturilor O cle de construi digrmele de eforturi constă în determinre epresiilor nlitice pentru secţiune curentă şi poi repreentre grfică funcţiilor N(), T(), (). Punctele crcteristice sunt punctele în cre se modifică încărcările. Eemplu (fig..4): X H C V V F 4 F F C V 4 F 5 F.75F V C.5F.

24 F F H B C D F V VC.75F -.5F - F.5F - F F N T Verificre: fig..4 Y.75F.5F F. Se stbileşte sensul de prcurgere de l stâng l drept se lege o secţiune curentă pe intervlul -B, [ ]: N F T ( ) ( ) ( ) V V.75F B.5F. Se lege poi pe intervlul B-C o nouă secţiune curentă, [ 4]: N F T ( ) ( ).75F F.5F 4

25 ( ).75F F ( ).5F 4 C F. Se observă că în punctul B, în epresi lui T intervine un slt (discontinuitte) egl cu vlore forţei F şi în sensul cestei. Pe consol (tronsonul) C-D se iu forţele de l drept în funcţie de noul prmetru curent, [ ]: N F T ( ) ( ) ( ) F F D C B F... Relţii diferenţile între eforturi şi încărcări Se consideră o bră solicittă de un sistem pln de forţe eteriore concentrte şi forţe distribuite continuu. Se detşeă un element de lungime d seprt prin două secţiuni trnsversle. Pe secţiune din stâng se plică eforturile N, T şi, ir pe secţiune din drept celeşi mărimi cu creşterile diferenţile dn, dt şi d corespunătore (fig..5). d N T pt d q d NdN B TdT fig..5 Se eprimă stfel condiţiile de echilibru le elementului diferenţil sub cţiune forţelor eteriore şi eforturilor secţionle: dn X N p d N dn p Y t T q d T dt dt d d q t () ( ) 5

26 d d B q d d T d T. () d ceste relţii u următorele semnificţii: - derivt forţei ile într-un punct orecre l unei bre drepte, în rport cu, este eglă în modul cu intensitte srcinii uniform distribuite după tngent l longitudunlă brei - derivt forţei tăietore, în rport cu, este eglă în modul cu intensitte după norml l brei srcinii uniform dstribuite - derivt momentului încovoietor într-un punct orecre l brei drepte, în rport cu, este eglă cu forţ tăietore. Relţiile () şi () u drept corolr: d dt q. ( 4) d d Din relţiile (), (), () şi (4) reultă următorele observţii: - când srcin tngenţilă uniform distribuită p t este nulă, forţ ilă este constntă - când srcin normlă uniform distribuită q este nulă, forţ tăietore este constntă ir momentul încovoietor vriă linir - când srcin normlă uniform distribuită este constntă, forţ tăietore vriă linir ir momentul încovoietor vriă prbolic - dcă forţ tăietore intersecteă brei (lini de referinţă), digrm de moment încovoietor re un punct de etrem în dreptul secţiunii în cre forţ tăietore este nulă (fig..6 curbur digrmei de moment ţine srcin). T m fig..6 - în dreptul unei srcini concentrte digrm forţei tăietore fce un slt egl cu srcin din punctul respectiv şi în sensul cestei, pentru un sens de prcurgere de l stâng l drept, ir digrm de moment încovoietor preintă un vârf în sensul săgeţii srcinii concentrte (fig..7). 6

27 F - T fig..7 - în dreptul unui cuplu de pe bră digrm de moment încovoietor preintă un slt egl cu vlore cuplului şi în sensul cestui (fig..8). T fig Utilire relţiilor diferenţile l trsre digrmelor de eforturi Pentru trsre digrmelor de eforturi se determină eforturile în punctele crcteristice prin metod reducerii: prcurgând br de l stâng l drept se cumuleă forţele longitudinle respective cele trnsversle întâlnite. Între punctele crcteristice se repreintă digrm de efort pe b relţiilor diferenţile. Punctele crcteristice sunt cele în cre încărcre este discontinuă. 7

28 Vor fi trtte în continure o serie de eemple tipice de construire digrmelor de eforturi. ) Grindă simplu reemtă l cpete, încărctă cu o forţă concentrtă (fig..9). P C B H B V b VB l Pb/l - P/l T Pb/l fig..9 P b V l P b st T TC l dr Pb P TC P T l l Pb Pb C. l l C prticulr: b l/, (fig..). B b) Grindă simplu reemtă l cpete, încărctă cu o srcină uniform distribuită (fig..). st B 8

29 P C B H B V l/ l/ VB P/ - P/ T Pl/4 fig.. q B H B V l VB ql/ l/ - ql/ T ql/8 fig.. V VB ql ql T q vriţie liniră 9

30 l ql T l ql T B T q ql q V vriţie prbolică. 8 m ql B c) Grindă simplu reemtă l cpete încărctă cu un cuplu concentrt (fig..) C B VB V b l T fig.. H /l b/l /l - B st B B T l l V V T. l b l l dr C st C

31 d) Grindă în consolă cţiontă de o forţă concentrtă (fig..) H α P B V l Pcosα N Psinα T Plsinα - fig.. N T Y X P sinα T B V H Pl sinα. P sinα P cosα P cosα N st B Pl sinα e) Grindă în consolă cţiontă de o srcină uniform distribuită (fig..4) st B T Y pl V pl p pl pl pl T pl p T B pl B.

32 p B pl V l pl/ T - fig..4 f) Grindă cu console cţiontă de forţe concentrte (fig..5) P P C B D V l VB P - P T P P - fig..5 V VB T P (dtorită simetriei) P st C T

33 T T dr dr B B C P P T P T P P D st D. st B..5 Relţii de recurenţă l grind dreptă Relţiile de recurenţă pot uşur mult reolvre problemelor de trsre digrmelor de eforturi. stfel, într-o secţiune orecre i, efectul încărcărilor precum şi l forţelor de legătură din secţiune pote fi înlocuit prin reultnt cestor, eforturile secţionle N i, T i, i. În secţiune orecre j nu mi este necesr să se rei în discuţie tote forţele de l stâng, eforturile din j putând fi eprimte în funcţie de eforturile din i şi încărcările de pe i-j (fig..6): N T j j j N i i T i k k F F T d i k k cosα sinα ij F k sinα d jk. i α Fk k j Ni Ti i Fk j Nj djk Tj dij fig..6 Dcă pe o porţiune cu srcină distribuită se consideră o secţiune curentă (fig..7), eforturile vor fi:

34 i p j Ti Tj Ti - Tj T i j fig..7 T T i T i i p p p Ti Ti p Ti m. i p Epresi lui se pote scrie şi în funcţie de eforturile din j, obţinându-se ceeşi vlore...6 Grini cu încărcări complee. etod suprpunerii efectelor Uneori digrmele se pot determin fără clcule, prin suprpunere efectelor, recurgându-se l ipote micilor deplsări. Ecuţiile de echilibru se pot scrie pe form nedeformtă sistemului, deci l clculul recţiunilor şi l eforturilor se pote plic principiul suprpunerii efectelor (principiul suprpunerii efectelor este o propriette funcţiilor linire). Fie grind simplu reemtă cu consolă încărctă c în figur.8. Se consideră seprt cţiune fiecărei forţe eteriore şi se trseă digrmele de moment încovoietor corespunătore. 4

35 F D B C l b c F F Fc/l - Fc F F F Fb/l D D / // B / - Fc fig..8 Digrm finlă se obţine prin dunre în fiecre secţiune crcteristică ordontelor obţinute în cele două digrme. stfel, de l lini B / se scd ordontele corespunătore digrmei F din punctul D / se trseă în jos ordont până în D //, eglă cu vlore corespunătore din digrm F : b c D F F. l l 5

36 . Grini cu console şi rticulţii Sunt sisteme de bre drepte fite l teren printr-o rticulţie şi reeme simple, bre legte între ele prin rticulţii intermedire. O primă problemă de clrifict este dcă sistemul este su nu sttic determint. Se numeşte grd de nedeterminre sttică unui sistem: n L C (pentru sisteme plne), cu C numărul de corpuri libere deschise şi L numărul de legături echivlente legăturilor simple ce trebuie suprimte pentru obţinere C corpuri. Pentru n sistemul este sttic determint. Ecuţiile de echilibru pentru sistem se pot scrie pentru tot sistemul în nsmblu su pentru fiecre corp în prte. Un stfel de sistem este lcătuit dintr-o prte independentă şi un su mi multe părţi fundmentle, în următore ccepţiune: Părţi independente su corpuri de tip sunt corpuri le căror forţe de legătură pot fi determinte din ecuţii de echilibru proprii. Forţele de legătură le părţilor independente depind numi de încărcările eteriore le cestor. Părţi fundmentle su corpuri de tip sunt corpuri cre îşi trnsmit singure forţele l teren. Forţele de legătură de pe părţile independente devin cţiuni pe părţile fundmentle. Pentru eemplul din figur.9 grdul de nedeterminre sttică se clculeă stfel: n L C 6 sistemul este sttic determint. Prte independentă este BCD, pentru cre: 4 V VD. pentru prte fundmentlă DEF recţiune V D devine cţiune (forţă de încărcre). Trsre digrmelor de efort se fce c şi în cul grinilor drepte, pentru fiecre tip de corp (tronson) în prte, digrmele finle fiind compuse din digrmele corespunătore fiecărui tronson repreentte un în continure celeillte (fig..9). 6

37 / B C D E F 4 V D./ V././ V E4.5/ V F.6/./ -.6/ T./ fig..9 7

38 . Digrme de eforturi pe cdre ntersecţi două bre repreintă un nod. Dcă unghiul făcut de cele două bre rămâne constnt şi după deformre, nodul este rigid. Structurile din bre cre u cel puţin un nod rigid portă denumire de cdre. Cdrele pot fi spţile su plne. L un nod pln în cre se intersecteă numi două bre, momentele sunt egle şi întind ceeşi fibră. Lini de referinţă pentru repreentre digrmelor este chir schem cdrului. Pentru fiecre bră trebuie les un sistem de e proprii este întotdeun brei (fig..). Dcă digrmele de efort sunt trste corect, nodurile sistemului trebuie să fie în echilibru. Pentru verificre corectitudinii trsării digrmelor se sepră fiecre nod, prin secţionre brelor concurente în nod şi se introduc pe feţele secţiunilor eforturile, ţinându-se sem de convenţi de semne şi de sensul de prcurgere (fig..b). 4P B C D VP P HP E E VP E N P - - P P T P - - P P P P fig.. 8

39 P X E nod C H E V V E P P P. P P P P P fig..b Probleme Problem. Să se trsee digrmele de efort pentru grind din figur.. kn/m kn B C D H.5 V.5kN 4m m m V.5kN D T [kn] [knm] fig. 9

40 Clculul recţiunilor: X H D 4 6 V 8, V 8 6 4, D Verificre recţiunilor verticle: Y V V 4. Clculul forţei tăietore: dr T T B dr TC.5.5kN T Clculul momentului încovoietor: C D.5 4.5kN T D knm V V st C st D D..5kN.5kN. T.5 m 6.5 knm q pentru determinre secţiunii în cre momentul este m se egleă forţ tăietore cu ero în cestă secţiune: T T.5.5m D.5 5kNm. Problem.b Să se trsee digrmele de efort pentru grind din figur b. Clculul recţiunilor: X H V V E B B F 4F F F F 5 V 5 F 7 F F F E F. B V E B 5 F F F 4 F 4

41 F F F F B C D E G H B VF B VF E F - F - T F - F - fig.b Verificre recţiunilor verticle: Y V V F F. Clculul forţei tăietore: T dr TE F F. Clculul momentului încovoietor: B st C dr C D E T T dr dr B dr D B F F E T F F T F. st B T st E F F st D F 4 F F F F F 6 F 4 F G 4

42 Problem.c Să se trsee digrmele de efort pentru grind în consolă din figur c. kn 4kNm kn B C D m m m kn knm knm - - knm kn T fig.c Neclculându-se recţiunile iniţil, se porneşte cu clculul eforturilor secţionle (forţă tăietore şi moment încovoietor), din drept către stâng, luându-se mereu în considerre forţele dinspre cpătul liber l consolei: T T st D st B D dr C st C B kn kn T dr B knm 4 knm 4 T dr 4 knm. 4

43 Problem.d Să se trsee digrmele de efort pentru grind cu rticulţie intermediră din figur d. kn B C D m m m 6m kn/m E kn V D6kN V E6kN 6kN V 6.67kN V C6.67kN T [kn] [knm] fig.d sunt: Se clculeă grdul de nedeterminre sttică: n L C 6. Prte independentă este DE recţiunile sunt: 6 VD VE 6kN. Recţiune V D devine cţiune pe br D recţiunile pe br D CD CD C V V Clculul forţei tăietore: T V dr C T T B st dr kN kN kn 4

44 T B dr kN TC st T kN T T C dr E st 6kN. Clculul momentului încovoietor: B C m D knm 6 knm q l 8 E 6 8 9kNm. Problem.e Pentru cdrul din figur e să se trsee digrmele de efort. D kn C B 4kN D m H 9kNm m V kn m fig.e Clculul recţiunilor: X H Y V kn 4 9kNm. 44

45 N T [kn] [kn] [knm] 9 Nodul B knm 4kN 8kNm kn kn 9kNm Problem.f Pentru cdrul din figur f să se trsee digrmele de efort. 4kNm 5kNm V E8.67kN B C D E m H V 8.67kN m m m fig.f 45

46 Clculul recţiunilor: V VE 8. 67kN N T [kn] [kn] [knm] Problem.g Pentru cdrul din figur g să se trsee digrmele de efort. F NB-F 45 kn/m B 4kN C D m HE E m 6m VE m fig.g 46

47 Clculul recţiunilor: ( ) , kn H X kn V Y kn N N E E E B E B E Nodul C knm 6kN kn knm 8kN 8kNm kN 6kN N T [kn] [kn] [knm]

48 Cpitolul CRCTERSTCLE GEOETRCE LE SECŢUNLOR TRNSVERSLE LE BRELOR. ri secţiunii. omente sttice. Centre de greutte Dcă se consideră secţiune compusă dintr-o infinitte de rii elementre d, tunci ri secţiunii v fi: d. Se rporteă considerţiile următore l o figură plnă (secţiune trnsverslă unei bre rporttă l un sistem ortogonl de e de coordonte O ) şi se peleă l epresiile: S d S d, repreentând sum produselor riilor elementre d cu distnţ l corespunătore ( su ). ceste epresii definesc momentele sttice le secţiunii fţă de su (fig..) unitte de măsură pentru momentul L cm, mm sttic este: [ ]. O G b d fig.. 48

49 În situţi în cre ele şi trec prin centrul de greutte l secţiunii, momentele sttice sunt nule: S S cu: S d, S d. Se eprimă şi în form: şi se introduc în relţiile lui S şi S, stfel: d d b d b reultă coordontele centrului de greutte: b G G d d d i i i i i i i. Orice sistem de e cu origine în centrul de greutte l figurii geometrice repreintă un sistem de e centrle. i i i. omente de inerţie (geometrice) Se numeşte moment de inerţie il l figurii plne (de rie ), în rport cu o ă din plnul său, sum produselor elementelor de rie d cu pătrtul distnţei lor l considertă. În rport cu ele O şi O momentele de inerţie se eprimă: d d, întotdeun poitive. Sum produselor elementelor de rie d cu distnţele lor l un sistem de e rectngulr O : 49

50 d sumă ce pote fi poitivă su negtivă, portă denumire de moment de inerţie centrifugl l figurii plne în rport cu ele O. omentul de inerţie polr l unei figuri plne în rport cu un punct (pol) din plnul figurii, este repreentt de sum produselor elementelor de rie d cu pătrtele distnţelor lor în rport cu cel punct: r d deorece r (fig..), reultă: p ( ) d. p O r d fig.. omentul de inerţie polr este şdr, egl cu sum momentelor de inerţie ile şi pentru orice sistem de e ortogonle O şi O cre trec prin polul O. Din cestă relţie reultă că sum momentelor de inerţie ile în rport cu un sistem de e rectngulre cu ceeşi origine, O, repreintă un invrint l rotire sistemului de e. omentele de inerţie (ile, centrifugle, polre) se eprimă în unităţi de lungime l putere ptr: [ L ] cm, mm. Dcă ele de referinţă sunt centrle, momentele de inerţie se numesc centrle. Uneori în clcule se utilieă rele de inerţie (girţie), mărimi linire, ce se definesc prin epresiile: p i i ip. 5

51 .. omente de inerţie pentru secţiuni simple Determinre momentelor de inerţie, pentru figurile simple se pote reli prin integrre directă în formulele de definiţie.. Cul unei secţiuni dreptunghiulre (fig..) Să se evluee momentele de inerţie în rport cu ele centrle O şi O prlele cu lturile dreptunghiului. Pentru determinre momentului de inerţie în rport cu O se consideră o suprfţă elementră d, de form unei fâşii prlele cu O, de lăţime b şi înălţime d: b d b d h h h/ b bh d bd. O h h h/ În mod nlog se determină: d hb d. fig. omentul de inerţie centrifugl în rport cu sistemul de e O este nul, deorece ceste sunt e de simetrie. b. Cul unei secţiuni circulre (fig..4) vându-se în vedere simetri secţiunii în rport cu oricre ă centrlă, este indict să se determine mi întâi momentul de inerţie polr şi poi momentele de inerţie în rport cu ele centrle. Elementul de rie d este cuprins între două re cre fc între ele unghiul dϕ şi două cercuri concentrice de ră r şi rdr, stfel: d r dr dϕ p π R r d dϕ r 4 p π D. 64 dr π R 4 π D 4 R R r d dr ϕ dϕ fig.4 5

52 .. omente de inerţie pentru secţiuni de formă compleă În problemele de clcul le elementelor de construcţii pre dese necesitte determinării momentelor de inerţie pentru secţiuni de forme mi complicte, în rport cu diferite e situte în plnul cestor secţiuni. În cest c, seprând secţiune în părţi componente simple, l cre momentele de inerţie se pot evlu uşor, momentul de inerţie l întregii secţiuni în rport cu o ă se v determin c sum momentelor de inerţie le tuturor părţilor componente în rport cu ce ă. Fie, stfel, o secţiune de o formă orecre descompusă în figuri elementre (fig..5): O d relţi de bă vută în vedere este: d d d fig..5 Dcă secţiune re goluri, tunci ri corespunătore cestor se v lu cu semnul minus stfel: De Di π 4 4 ( De Di ). 64 fig..6 5

53 b h D fig..7. D bh 4 64 π. Vriţi momentelor de inerţie l trnslţi elor Se consideră o figură plnă de rie rporttă l un sistem de e ortogonle O, pentru cre sunt cunoscute momentele de inerţie rportte l ele O şi O. Să se determine momentele de inerţie în rport cu noile e O şi O prlele cu primele (fig..8) O b O d fig..8 stfel: ( ) ( )( ). b S b S d b b S b S d d d d d b 5

54 S şi S repreintă momentele sttice le figurii în rport cu ele O şi O. Dcă ceste e sunt centrle, tunci momentele sttice sunt nule, ir relţiile pentru momentele de inerţie rportte l ele prlele cu cele centrle vor fi:. b b dunând primii doi termeni, se obţine: ( ). b p p omentele de inerţie ile sunt minime în rport cu centrul de greutte l secţiunii cu cât ele de referinţă sunt mi depărtte de centrul de greutte cu tât momentele de inerţie ile cresc. Eemplu Să se clculee momentele de inerţie în rport cu ele şi cre trec prin centrul de greutte l figurii compuse (fig..9): b h h h b G fig..9 Reolvre: ( ) ( ) ( ) i i i i i i d d d d i i i i i i i i h b h h h b h b 54

55 h b h b în cre s-u nott cu d i distnţ de l centrlă l i dreptunghiului i şi cu d i, distnţ de l centrlă l i dreptunghiului i..4 Vriţi momentelor de inerţie l rotţi elor Dcă se cunosc momentele de inerţie,, le unei figuri plne în rport cu un sistem ortogonl de e O din plnul cestei, să se determine momentele de inerţie în rport cu un nou sistem de e ortogonl O, rotit fţă de primul cu un unghi α (fig..). O α B E C D d fig.. Pentru elementul de rie d, coordontele fţă de sistemul respectiv sunt: - fţă de O: şi - fţă de O : şi. Relţiile între ceste coordonte sunt: BC CE BE cosα sinα CD OB sinα cosα. omentele de inerţie fţă de noile e sunt: 55

56 cos α sin α d sin cos sin d α d ( cosα sinα ) α α d cos α sin d sinα cosα α ( sinα cosα ) cos α omentul de inerţie centrifugl este: d cosα sinα sinα cosα sin α sin α. d d d d sinα cosα d ( )( sinα cosα ) d sinα cosα d ( cos α sin α ) d d sin α cosα. () Prin sumre relţiilor () şi (), se obţine:, dică sum momentelor de inerţie ile în rport cu două e ortogonle, cu ceeşi origine, este un invrint. Înlocuind în relţiile de mi sus: sin cosα cos α cos α, relţiile (), () şi () devin: cos α cos α sin α cos α sin α cosα cosα sin α (4) cosα sin α sin α cosα. α () () 56

57 .4. omente de inerţie principle şi direcţii principle Din epresiile precedente le momentelor de inerţie ile reultă că mărime momentului de inerţie în rport cu o ă orecre depinde de unghiul de înclinre cestei e în rport cu o ă de referinţă. În cest c se pote determin o vlore α unghiului, pentru cre momentul de inerţie tinge o vlore etremă. Pentru evlure cestei limite se v nul prim derivtă epresiei lui din grupul de relţii (4): d sin cos, ( α ) α d α de unde: tg α. (5) Se pote trge conclui că momentele de inerţie ile sunt etreme pe direcţiile pe cre momentele de inerţie centrifugle sunt nule. ceste direcţii se numesc direcţii principle, ir vlorile momentelor de inerţie respective sunt momente de inerţie principle. Relţi (5) conduce l două vlori pentru unghiul α: α / şi α / π/. Sunt deci două direcţii principle ortogonle fţă de un din e momentul de inerţie este mim, fţă de celltă, minim. Se noteă: m min. Pentru clcul momentele de inerţie principle, se clculeă din relţi (5): tg α sin α ± ± tg α 4 cosα ± tg ± α ( ) ( ) ( ) substituind în (4), se obţine:, ± 4 4 ( ) ( ) 4 după simplificări, reultă form finlă: 57

58 , ± ( ) 4. (6) ăsurre unghiului α se fce în sens orr (pentru unghiuri poitive), în rport cu. Pentru stbilire elor principle de inerţie se clculeă derivt dou epresiei lui, notându-se cu α unghiul făcut de direcţi principlă corespunătore lui : d cosα sin α d( α ) prin efecture clculelor, reultă epresi finlă derivtei: tgα cos α. (7) tg α Se observă că semnul epresiei (7) depinde numi de rportul: pentru un mim trebuie îndeplinită condiţi: tg α < stfel, pentru: π > tgα < α > π < tgα > α <. ele principle de inerţie pot fi precite în orice punct din plnul figurii. Din punct de vedere prctic, intereseă în mod deosebit ele principle centrle de inerţie le figurii şi momentele de inerţie principle centrle. Când figur re cel puţin o ă de simetrie, un din ele centrle principle de inerţie v corespunde cu de simetrie, trecând prin centrul de greutte l figurii..4. Etpele de clcul pentru determinre momentelor de inerţie centrle principle,, le unei figuri plne În prctic inginerescă, pentru clculul momentelor de inerţie centrle principle se procedeă stfel: 58

59 . Se determină centrul de greutte l secţiunii. Se stbilesc figurile geometrice elementre componente. Se stbileşte un sistem de e pentru fiecre figură.. Se determină momentele de inerţie fţă de un sistem de e centrle convenbil lese (să trecă prin centrul de greutte şi să fie prlele cu celellte e pentru fiecre figură): d ( ) i i i i ( d i ) i i i ( d d i ). i i i i i. Se clculeă momentele de inerţie fţă de ele centrle principle cu relţi:, ± ( ) 4.. Se stbilesc ele şi, clculându-se α şi α π/ cu relţi: tg α se fc preciări supr elor principle şi, punând condiţi: tg α <..5 oment de inerţie centrifugl mim Se consideră că ele principle de inerţie le suprfeţei sunt ele O, O, stfel încât:. Relţiile (4) devin: cosα ( ) cosα ( b) sin α () c (8) 59

60 Din relţi (c) reultă că momentul de inerţie centrifugl re vlore mimă pentru: sinα α 45 cestă vlore fiind dtă de relţi: ( ). m Deci, momentul de inerţie centrifugl l unei suprfeţe re vlore mimă fţă de un sistem rectngulr de e, rotit cu 45 fţă de ele principle de inerţie le suprfeţei. Înlocuind în () şi (b) vlore cos α (α 45 ), se obţin vlorile momentelor de inerţie ile în rport cu ele rotite cu 45 fţă de ele principle de ineţie:. Să se clculee momentele de inerţie centrle principle pentru secţiunile de mi jos: Problem. G fig.. G G i i i i i 68.75mm 6

61 mm mm mm mm Problem.b G 6.75 fig..b. G mm. mm.... mm

62 Problem.c fig..c G ( ) mm mm mm G Problem.d fig..d G U 6

63 ( ) mm mm mm G Problem.e mm mm G G 9 5 α fig..e 6 ( )( ) mm mm mm ( ) , // / // / // / // // / / , > < > ± α π α α π α α α tg tg mm mm 6

64 Cpitolul 4 TENSUN Ş DEFORŢ SPECFCE 4. Tensiuni. Tensorul tensiunilor Se consideră un corp / solid, supus cţiunii unor forţe orecre, în echilibru, c in fig t - - p ΔP n - τ n- N N (S) Δ d ) b) c) fig.4. După o prelbilă secţionre în două corpului, se îndepărteă un din părţi pe suprfţ S, în jurul punctului N, se v stbili un element de suprfţă de rie Δ, definit de versorul normlei l suprfţă, n (fig.4.b). Forţ de legătură, cre trebuie introdusă c urmre secţionării corpului şi îndepărtării unei dintre părţi, forţă cre revine riei elementre Δ, se noteă cu Δ P. Epresi: ΔP lim p, Δ Δ se numeşte tensiune totlă, p, în punctul N. Dcă prin celşi punct N se fce o ltă secţionre, se v obţine un lt versor l suprfeţei elementre, o ltă forţă de legătură corespunătore riei elementre şi, prin urmre, o ltă tensiune totlă. Deci, tensiune totlă întrun punct este întotdeun socită cu versorul plnului tngent l secţiune dusă prin cel punct. 64

65 Se descompune tensiune totlă p, după direcţi normlei l suprfţ n şi după direcţi conţinută în plnul secţiunii, t cele două componente notte cu şi τ, sunt tensiune normlă respectiv tensiune tngenţilă, ceste stisfăcând relţi (fig.4.c): p τ, su p n τ t. Unitte de măsură pentru tensiuni este [ FL ] : N/mm în S. Tensiune tngenţilă se pote descompune după două direcţii perpendiculre pe norml l secţiune şi perpendiculre între ele (fig.4.). Dcă ceste direcţii sunt şi (ele secţiunii), fiind norml l secţiune, tunci componentele respective sunt τ şi τ reultă: _ p - (i) p i τ j τ k. τ τ N (k) (j) - fig.4. Referitor l notţiile privind indicii tensiunilor, sunt necesre numite preciări, stfel: - pentru tensiune se utilieă un singur indice, cre se referă l norml l secţiune - pentru tensiune τ se utilieă doi indici, primul se referă l cu cre este prlelă tensiune, ir l doile, l norml l secţiune în cre este conţinută tensiune. Convenţi semnelor este următore: este considertă poitivă când trge de secţiune (tensiune este în cest c de întindere), ir tensiunile τ se consideră poitive când sunt orientte în sens contrr sensului poitiv l elor după cre cţioneă. Printr-un punct P din interiorul unui corp se pot duce numi trei plne perpendiculre între ele (fig.4.). Pe fiecre din ceste plne eistă o tensiune totlă p, cu trei componente stre de tensiune spţilă într-un punct este definită de nouă componente (este o mărime tensorilă). Tbloul celor nouă componente, nott cu T, se numeşte tensorul tensiunilor în punctul P: - 65

66 p τ τ τ P τ p p τ τ fig.4. T τ τ τ τ τ τ. Fiecre colonă cestui tensor conţine cele trei componente le tensiunii totle corespunătore unui din cele trei plne duse prin punctul P, definite de versorii i, j, k, stfel: p p p i τ τ i τ i τ j τ j τ k k j k. 66

67 4.. Dulitte tensiunilor tngenţile Dintr-un corp solicitt se detşeă un element de volum, considert în jurul unui punct, vând lturile d, d, d. Pe fiecre din feţele cestui element trebuie introduse tote tensiunile eistente (câte trei componente pe fiecre fţă), putându-se scrie, stfel, ecuţiile de echilibru pentru elementul considert. Deorece intereseă numi ecuţi de moment fţă de un din e (de eemplu fţă de O), pe element s-u figurt numi tensiunile cre intervin în cestă ecuţie, neglijându-se creşterile cestor tensiuni l trecere de l o fţă l lt elementului (ceste creşteri repreentând, în ecuţi de momente, vriţii mici de ordin superior). Sensul cestor tensiuni nu se cunoşte se presupune că este cel les în desen (fig.4.4), urmând c în ecuţiile de momente să se confirme su nu cestă ipoteă. τ τ d τ d O τ d fig.4.4 Ecuţi de momente fţă de O v ve form: ( τ dd) d ( τ dd) d τ τ. () În mod similr, scriind ecuţii de momente fţă de ele O şi O (după ce în prelbil s-u repreentt pe feţele elementului tensiunile cre intervin în ceste ecuţii), se obţin: τ τ () şi τ τ. () Relţiile (), () şi () repreintă lege dulităţii tensiunilor tngenţile, cre se enunţă stfel: 67

68 Pe două plne cre fc între ele un unghi de 9, componentele tensiunilor tngenţile, perpendiculre pe lini comună celor două plne, sunt egle între ele c mărime şi u sensurile fie convergente, fie divergente fţă de cestă linie (fig.4.5). 9 τ τ / fig Relţii de echivlenţă între eforturi şi tensiuni în secţiune trnsverslă unei bre Se consideră prte din drept unei bre secţionte şi se repreintă eforturile din secţiune şi tensiunile într-un punct (fig.4.6). N τ T τ T d fig.4.6 Echivlenţ dintre eforturi şi tensiuni se eprimă prin relţiile (ecuţii de proiecţii, respective de moment): N d T τ d T τ d ( τ τ ) d d d. Tensiunile şi eforturile sunt mărimi sttic echivlente, ele constituind două moduri de repreentre forţelor interiore de pe o secţiune trnsverslă brei. 68

69 4. Deformţii specifice. Tensorul deformţiilor 4.. Deformţi specifică liniră O bră vând lungime iniţilă l, în urm solicitărilor mecnice îşi modifică cestă dimensiune cu cntitte Δl l l, unde Δl este deformţi liniră totlă, putând fi vorb de lungire totlă su scurtre totlă (fig.4.7). l Δl l fig.4.7 Rportul: Δl l l ε, l l se numeşte deformţie specifică liniră şi repreintă deformţi unui tronson de bră de lungime eglă cu unitte pote eist o lungire specifică, c ăn cre deformţi se consideră poitivă su o scurtre specifică, în cre c deformţi se consideră negtivă. Pentru un element de volum cu lturile d, d şi d, deformţiile linire totle după cele trei direcţii sunt Δ(d), Δ(d), Δ(d), ir deformţiile specifice linire: Δ( d) Δ( d) Δ, ( d) ε, ε ε d d d ε repreintă o mărime dimensionlă. 4.. Deformţi specifică unghiulră În urm deformţiei unghiurile drepte le unui corp se modifică (fig.4.8), potrivit relţiei: bb bb γ rctg b b 69

70 în cre γ este deformţi specifică unghiulră su lunecre, ce indică cu cât se modifică unghiul drept în urm deformării. b b d d γ γ c fig.4.8 Convenţionl, se consideră deformţi specifică unghiulră poitivă când unghiul drept se micşoreă şi negtivă, când unghiul drept se măreşte. Tbloul (mtrice) componentelor deformţiei specifice, nott cu T ε, pentru un element de volum considert în vecinătte unui punct, se numeşte tensorul deformţiilor, scriindu-se prin nlogie cu tensorul tensiunilor: ε γ γ T ε γ ε γ. γ γ ε 4. Digrme crcteristice le mterilelor Digrm crcteristică oţelului. Relţi fiică între tensiuni şi deformţii specifice pentru diverse mterile se stbileşte pe cle eperimentlă, prin încercre l diverse solicitări unor epruvete confecţionte din mterilele respective. Bunăoră încercre l întindere pentru oţel se fce pe epruvete cre u form şi dimensiunile stndrdite (fig.4.9). P d P l fig.4.9 7

71 Corpul cilindric l epruvetei este cott cu d dimetrul şi l lungime, măsurtă între două repere suficient de depărtte de cpetele epruvetei. Cu jutorul unei mşini de încerct, epruvet se supune l întindere, forţ P plicându-se lent. În timpul încercării, l diverse trepte de încărcre P, P,..., se măsoră deformţi liniră totlă epruvetei, Δl, Δl,... repreentând grfic perechile de vlori (P, Δl) se obţin o serie de puncte prin cre se trseă digrm încercării l întindere, digrmă cre, evident, depinde de dimensiunile epruvetei (fig.4.). P Δl fig.4. Se pote trs însă o digrmă independentă de dimensiunile epruvetei, prin succesiune de puncte le căror coordonte sunt şi ε, cu: P Δl, ε l ici este ri secţiunii trnsversle iniţile epruvetei, ir l, lungime iniţilă cestei. Digrm stfel obţinută este cee ce speciliştii numesc digrm crcteristică su curb crcteristică oţelului. Încercând până l rupere o epruvetă confecţiontă dintr-un oţel de construcţii (cu conţinut redus de crbon oţel mole), se înregistreă curb crcteristică din fig.4.. Punctele crcteristice le unei semene digrme sunt: () p limit de proporţionlitte, respectiv vlore tensiunii până l cre, încărcând şi descărcând epruvet, nu se obţine nici o deformţie remnentă. () e limit de elsticitte, respectiv vlore tensiunii l cre prin descărcre se provocă în epruvetă o deformţie remnentă de,%. cestă vlore stbilită convenţionl, defineşte limit de elsticitte tehnică,,. 7

72 r c 4 5 curb rel 6/ curb conventionl 6 e p Ο α εp ε εr εe ε fig.4. () c limit (reistenţ) de curgere, respectiv vlore tensiunii l cre deformţi brei creşte fără c încărcre să crescă. L descărcre, se consttă deformţii remnente le epruvetei. (5) r limit (reistenţ) de rupere, măsurtă prin ordont mimă digrmei crcteristice. În intervlul O, tensiune pote fi eprimtă prin relţi: ε tg α, tgα E în cre E modul de elsticitte longitudinl. Se reţine ici lege lui Hooke ( E ε), conform cărei în on de comportre elstică mterilului, tensiunile sunt proporţionle cu deformţiile specifice. În punctul () începe on de curgere, în mteril producându-se un deechilibru, o reşere moleculelor, on 4 definind un ş numit plier de curgere. Din punctul (4) începe reconsolidre mterilului, deformţi epruvetei crescând o dtă cu creştere încărcării. Zon 4 5 defineşte cee ce în metlurgie portă numele de onă de consolidre. În fine, rupere efectivă mterilului se produce în punctul (6). 7

73 Se fce precire că digrm crcteristică oţelului ici repreenttă este o digrmă convenţionlă, deorece ordontele de pe cestă digrmă s-u obţinut rportând vlore forţei respective l ri secţiunii iniţile epruvetei. În relitte, pe măsură ce forţ plictă creşte, epruvet se lungeşte, deci îşi micşoreă dimensiunile secţiunii trnsversle. cestă micşorre este, însă, nesemnifictivă până în propiere punctului (5), când începe ştrngulre epruvetei. Pe on ştrngultă se observă, îninte de rupere, linii (striuri) orientte l 45 fţă de de rupere (fig.4.). 45 fig.4. Rupere se produce, stfel, în prte centrlă secţiunii trnsversle epruvetei (onă cu spect rugos), dtortă tensiunii normle m, pe când în prte mrginlă, vând unghiul de înclinre de 45, rupere este cută de tensiuni tngenţile τ m. Punctul de pe digrm crcteristică, punct situt pe digrmă după limit de curgere mterilului, re drept bscisă ε ε p ε e, ε p fiind deformţi specifică plstică su remnentă, cre este o deformţie ireversibilă după descărcre, ir ε e, deformţi specifică elstică, cre este o deformţie reversibilă. Punctul (6) de pe curb crcteristică re drept bscisă deformţi specifică liniră l rupere. cestă deformţie se măsoră după rupere epruvetei, deci de fpt se măsoră numi deformţi specifică remnentă. Pe digrmă, bscis punctului (6) se obţine printr-o prlelă l drept O ε r repreintă deformţi specifică liniră l rupere mterilului. nformtiv, pentru epruvete din OL7, vlorile crcteristice sunt: 7 45 N / mm E. N / mm N / mm ε % 6 8%. r r 4 N / mm c e p 5 7

74 Pentru mterilele csnte, căror digrmă crcteristică este trstă în figur 4. (digrmă fără plier de curgere), se defineşte, limit tehnică de curgere, ce repreintă, convenţionl, vlore tensiunii pentru cre, l descărcre, deformţi specifică este de,%.. ε.% fig.4. Încercre l compresiune pentru oţel se relieă pe epruvete de formă cilindrică cu înălţime eglă cu dimetrul, şi în cest c dtele fiind stndrdite. Digrmele crcteristice l compresiune se trseă de obicei pe ceeşi digrmă cu digrm crcteristică l întindere. În on de compresiune elstică cele două digrme sunt identic ntisimetrice (fig.4.4). ε Ο ε fig

75 Digrm crcteristică l întindere este o digrmă convenţionlă, pe când digrm crcteristică l compresiune este o digrmă relă. Rupere oţelurilor solicitte l compresiune se relieă numi în cul oţelurilor csnte (epruvetele se sprg) în cul oţelurilor ductile, epruvetele se turtesc, fără se rupe. Încercre l torsiune pentru oţel se efectueă pe epruvete tubulre cu grosime peretelui mică. Digrm crcteristică l torsiune este similră cu digrm crcteristică l întindere, pe b ei obţinându-se grficul funcţiei τ f(γ) (fig.4.5). τ τr τc τe τp β Ο fig.4.5 Până l limit de proporţionlitte (τ p ), prctic până l limit de elsticitte (τ e ), este vlbilă lege lui Hooke - τ γ G G tgβ, repreintă modulul de elsticitte trnsversl ( l OL7, G 8, 4 N/mm ). γ 4.4 Digrme crcteristice schemtite Digrmele crcteristice obţinute pe cle eperimentlă pentru diverse mterile, nu se recomndă fi utilite în clculele de proiectre, cest impunând reevluări pentru schemtire lor. stfel, pentru mterilele csnte se doptă o digrmă corespunătore unui mteril vând o comportre idel elstică. Digrm 75

76 este repreenttă până l limit de rupere printr-o dreptă cărei pntă este E tgα (fig.4.6). r Ο α εr ε fig.4.6 Pentru mterilele ductile se doptă digrm Prndtl corespunătore unui mteril idel elsto-plstic, în cre c până l limit de curgere mterilul re o comportre idel elstică (drepte de pntă E tgα) ir poi o comportre idel plstică (drept, prlelă cu Oε), c în fig.4.7. c Ο α ε fig.4.7 De menţiont că pentru mterilele ductile se mi doptă uneori o digrmă corespunătore unui mteril elsto-plstic cu consolidre, ir în 76

77 cee ce priveşte cele două drepte prin cre se preintă cele două moduri de comportre mterilului (elstic, respectiv, plstic), ceste u pnte diferite (E tgα E tgβ E < E), vei fig.4.8. c β Ο α ε fig

78 Cpitolul 5 SOLCTRE XLĂ CENTRCĂ 5. Forţ ilă. Tensiuni de întindere compresiune Se consideră o bră dreptă de secţiune constntă supusă cţiunii unui sistem de două forţe P egle şi de sens contrr, plicte l cpetele brei, în lungul ei longitudinle cestei. Secţionând br cu un pln norml pe ă, în secţiune trnsverslă pre o forţă ilă N P. Se spune că secţiune trnsverslă este solicittă il. P P P N N P fig.5. Solicitre ilă este de întindere dcă forţele trg de bră (fig.5.) su de compresiune când forţele converg spre bră (fig.5.). P P fig.5. În vedere determinării mărimii şi legii de distribuţie tensiunilor, problem comportă următorele specte: 78

79 spectul geometric Dcă pe bră se mrcheă conturul unei secţiuni trnsversle, se consttă că după încărcre, conturul se deplseă prlel cu el însuşi lungirile şi, corespunător lungirile specifice sunt constnte pe contur (fig.5.). N N u l Δl fig.5. Este norml c să se dmită că, în interiorul brei, deformţiile sunt egle (este vlbilă ipote secţiunilor plne). spectul fiic Dcă în secţiune, în tote punctele secţiunii trnsversle, u ct. şi ε ct., din lege lui Hooke reultă că şi tensiunile normle sunt constnte, deci se distribuie uniform pe secţiune, dică: E ε ct. spectul sttic Se ştie că (fig.5.4): N d d, cee ce implică fptul că tensiune normlă se distribuie uniform pe secţiune cu intensitte Ν/Α. N d fig

80 5. Deformţii şi deplsări Conform legii lui Hooke, lungire su scurtre specifică se clculeă cu relţi: N N ε dr ε. E E O bră vând modulul de elsticitte longitudinl E ct. şi ri ct., de lungime l, se v lungi sub cţiune unei forţe de întindere N cu: N l Δ l ε l E produsul E se numeşte rigiditte l întindere su compresiune. Dcă se pune problem determinării deplsării unui punct orecre l brei solicitte il, chestiune se reduce l clculul unei lungiri su scurtări (după cum forţ ilă este de întindere su compresiune). Fie cul unei bre solicitte il c în figur 5.5: / C C B HN N uc l Δl fig.5.5 Pentru punctul C, deplsre CC / v fi: N uc. E 5. Dimensionre, verificre, forţ cpbilă Se plecă de l relţi de clcul tensiunii normle, în cul solicitării ile: N. 8

81 Verificre Se du secţiune efectivă brei ef şi forţ ilă suporttă de cest se cere verificre brei cunoscând reistenţ dmisibilă su reistenţ de clcul R, stfel: ef ef Nm m prin metod reistenţelor dmisibile su ef ef ef N m m R prin metod stărilor limită. ef Dimensionre Se cere să se dimensionee secţiune cunoscându-se forţ ilă suporttă de bră şi reistenţ dmisibilă (reistenţ de clcul) se obţin relţiile: ef Nm nec prin metod reistenţelor dmisibile, respectiv, ef N m nec prin metod stărilor limită. R Forţ cpbilă Cunoscând secţiune brei şi reistenţ dmisibilă (reistenţ de clcul), se clculeă forţ cpbilă: Ncp ef prin metod reistenţelor dmisibile şi N cp ef R prin metod stărilor limită. Uneori sunt impuse condiţii restrictive cu privire l deformţii relţi de verificre în cest c este de form: ( Δ l) m Δ cu Δ deformţi dmisibilă brei. 5.4 Bre cu secţiune vribilă solicitte l întindere Eistă curi când secţiune brei este slăbită de găuri su crestături prcticte din motive de ordin funcţionl su constructive. Neglijând concentrările de tensiuni cre pr dtorită cestor slăbiri locle, se v lucr cu secţiune efectivă brei. Secţiune întregă neslăbită ( br ) este denumită secţiune brută, secţiune slăbită ( net ) secţiune netă, ir ri slăbirii Δ. 8

82 Relţi de legătură v fi, evident: net br Δ. Se ilustreă în figur 5.6 situţi în cre secţiune vriă dtorită preenţei găurilor de nit în secţiune: N t t N d N b N fig.5.6 Secţiune ce mi mică dintre secţiunile slăbite este secţiune netă cest fiind secţiune periculosă, în cestă secţiune vor fi făcute clculele de reistenţă. În cul les, pentru o pltbndă (fig.5.6): b t t d. net 5.5 Clculul brelor întinse ţinând sem de greutte proprie În cul brelor forte lungi su cu secţiune mre comprtiv cu lungime, trebuie lută în considerre şi greutte proprie brei. Fie o bră cu ri secţiunii trnsversle şi γ greutte specifică mterilului (fig.5.7) stfel, se clculeă: N B P γ nec l nec N P q( l ) q γ ct. nec P γ nec l N B Nm P q l P nec. γ l 8

83 B N N B P γl l q P N P fig.5.7 Brele l cre tensiunile mime sunt egle cu în tote secţiunile se numesc bre de eglă reistenţă, ele constituind şi cul cel mi fvorbil pentru opţiuni tehnologice,(fig.5.8), relire prctică necesitând, însă, forte multă mnoperă. Soluţi este o bră cu secţiune vriind descrescător, în trepte, fiecre porţiune vând un numit dimetru (fig.5.9). O se- P fig.5.8 mene figură compusă se întâlneşte, de eemplu, în construcţi brţului unor tipuri de mcrle su lte utilje specifice domeniului de construcţii. N N N G l N N G l l N F G F F fig.5.9 8

84 Potrivit cestei configurări, se fc următorele determinări: ( )( ) ( )( )( ). l l l F l N l l F l N l F γ γ γ γ γ γ γ γ Deformţii lungire specifică elementului de lungime d considert, conform relţiei de definiţie, este: d d Δ ε din lege lui Hooke: d E d d d E Δ Δ dr. d P E d P Δ γ γ ntegrând pe lungime l, se obţine lungire totlă brei: l l P E l l l P E d P E d l l l Δ Δ Δ γ γ γ cu notţi. l G P E l l G Δ γ 5.6 Sisteme sttic nedeterminte l forţe ile Un sistem este sttic nedetermint când numărul necunoscutelor depăşeşte numărul ecuţiilor de echilibru. Pentru reolvre se foloseşte metod comptibilităţii geometrice deplsărilor: se scriu ecuţiile de echilibru sttic, cre se completeă cu numărul de condiţii de comptibilitte geometrică deplsărilor, egl cu grdul de nedeterminre sttică. 84

85 5.6. Bre cu secţiuni neomogene Dcă br re secţiune constntă şi omogenă tunci tensiune este constntă în secţiune. În prctică se folosesc însă, cel mi dese, bre cu secţiuni neomogene, în sensul că secţiune cestor este compusă din două su mi multe mterile cu crcteristici mecnice diferite. Este cul stâlpilor de beton cu rmături de oţel su l cblurilor de cupru cu inimă de oţel. Se pune problem determinării modului de reprtire tensiunilor într-o stfel de secţiune dcă se cunoşte forţ ilă plictă întregii secţiuni. Solicitre produce în cele două mterile din secţiune tensiuni de vlori diferite. Fie cul brei din fig.5., cu secţiune constntă, lcătuită din două mterile diferite (cestor corepunându-le modulele de elsticitte E şi E ), cu riile secţiunilor trnsversle şi br este solicittă il de forţ F. E, F F E, N F N fig.5. Dcă N şi N sunt forţele ile prelute de cele două mterile, din condiţi de echilibru sttic se pote scrie: F N N. Întrucât cele două mterile sunt solidrite între ele, deformţi v fi ceeşi pentru fiecre mteril cest repreintă condiţi de comptibilitte geometrică (de deformţie), stfel: Δ l Δl Δ l 85

86 E l N l E l N l Δ Δ su. E E F E E N N E N E N Tensiunile în cele două mterile vor fi:. i i i i i i E F E N E F E N 5.6. Bră dublu rticultă Se consideră o bră dreptă, de rigiditte E, rticultă l mbele cpete şi încărctă cu forţ P de- lungul ei în punctul (fig.5.). Se pune problem determinării recţiunilor H şi H B din rticulţii. H P B HB b l H HB N fig.5. - Pentru cest, se plecă de l ecuţi de echilibru sttic., P H B H ecuţie cu două necunoscute, cărei îi vom soci ecuţi suplimentră de 86

87 deformţie: Δl (br fiind rticultă l mbele cpete). Se obţine: H ( H P) b E E H H B b. Prin reolvre sistemului, se junge l: Pb b H P b l P H B P. b l 5.6. Sistem de bre prlele Se consideră o bră B (fig.5.), de rigiditte infinită l încovoiere (îşi păstreă form rectilinie în urm solicitărilor), suspendtă, în poiţie oriontlă, cu jutorul trei bre subţiri, verticle, de lungime l şi rigidităţi E, E, E. Sub cţiune forţei verticle P, br B se deplseă pe verticlă, înclinându-se cu unghiul α. Se pune problem determinării eforturilor în bre. Se presupune că, pentru deformţii mici, punctele, C, B se deplseă pe verticlă. l E E E b N N N Δl Cc B Δl α / P α / C / B Δl fig.5. Fie N, N şi N eforturile în brele verticle, stfel încât se pot scrie următorele ecuţii de echilibru: 87

88 - o ecuţie de proiecţii pe verticlă: N N N P () - o ecuţie de momente, de eemplu în rport cu C: N N b P c.() Sistemul este o dtă sttic nedetermint relţi suplimentră se obţine prin eprimre fptului că, dtorită rigidităţii perfecte brei oriontle, punctele, C şi B rămân, după lungire brelor, pe ceeşi dreptă, jungând în poiţiile finle /, C / şi B /. Din semănări de triunghiuri, vom ve: Δl Δl Δl Δl () b în cre: N l N l N l Δ l Δl Δl. E E E Prin reolvre sistemului formt din ecuţiile (), () şi () se determină forţele ile N, N şi N din cele trei bre verticle, după cre se pote fce verificre cestor: N N N Sistem de bre rticulte concurente Fie un sistem de bre concurente D, DC şi DB, cţionte de forţ verticlă P plictă în punctul D (fig.5.). Sistemul este simetric din punct de vedere geometric şi mecnic brele D şi BD u lungime l şi rigiditte E, ir br CD re rigiditte E şi lungime l. Se cer eforturile din bre. Din ecuţi de proiecţii pe oriontlă reultă că forţ ilă din br D este eglă cu ce din br DB, încât se pote scrie: Y N cosα N P, () sistemul fiind o dtă sttic nedetermint. Pentru scriere ecuţiei de comptibilitte geometrică, se vor emin deformţiile sistemului fie Δl lungire brei centrle sub cţiune efortului N şi Δl lungire brelor lterle sub cţiune eforturilor N. Cum lungirile sunt forte mici în rport cu lungimile iniţile, se pote fce proimţi α α, stfel că: Δ l Δl cosα () 88

89 C B l E l l N E N α E α N Δl D P α α Δl D P fig.5. dr: N l N l Δ l Δl E E l l cosα. Relţi () devine: N l N l cos. E E ( / ) Prin reolvre sistemului formt din ecuţiile () şi ( / ) se determină eforturile dorite. 5.7 Tensiuni dtorte diltărilor împiedicte În cul în cre brele sunt supuse l vriţii de tempertură, se produc deformţii linire. Pentru o bră de lungime l, mterilul din cre este confecţiontă vând coeficientul de diltre termică α, pentru o creştere de tempertură Δt t t, în cre t este tempertur l cre br re lungime l, re loc o lungire Δl: Δl α l Δt. Cănd deformţi nu este împiedictă, nu pr solicitări suplimentre (fig.5.4) dcă deformţi (diltre su contrcţie) este împiedictă, pr eforturi ile în secţiune brei, eforturi cre u tocmi rolul de împiedic deformţi în discuţie. 89

90 l Δl Δt > l Δl Δt > fig.5.4 Fie cul brei de rigiditte constntă E, de lungime l, încstrtă l etremităţi în doi pereţi rigii (fig.5.5). Prin încălire cu grdientul de tempertură Δt, br se v lungi cu Δl α l Δt. Pereţii se vor opune diltării, cee ce v duce l priţi unei forţe ile de compresiune, N. E l N Δt > N l Δl fig.5.5 Condiţi de deformbilitte brei este: lungire brei dtortă încălirii, minus scurtre dtortă forţei ile de compresiune (N), repreintă deformţi totlă, cre pentru cul de fţă este nulă, stfel: N l Δ l tot α l Δt E reultă: N Eα Δt N Eα Δt. 9

91 Dcă l un cpăt l brei eistă un joc tehnologic cunoscut, numit rost de diltre - de mărime δ, bilnţul deformţiilor se eprimă: N l Δ l tot α l Δt δ E de unde reultă vlore forţei, N, respectiv vlore tensiunii normle. În cul brei lcătuite din porţiuni cu rigidităţi diferite (fig.5.6), condiţi de deformţie este semănătore: N l N l Δl tot α l Δt α l Δt, E E de unde reultă vlore forţei de compresiune N. E,, α N E,, α N Δt > l l fig.5.6 Pentru numite vlori le forţei ile de compresiune, br îşi pierde stbilitte. Pentru reduce eforturile dtorte vriţiei de tempertură, sistemele se prevăd cu compenstori de diltţie (fig.5.7). Vlore coeficientului α pentru oţel este: α -6. fig Efectul inectităţii de eecuţie şi montj în sistemele rticulte sttic nedeterminte L confecţionre elementelor sunt posibile mici bteri de l dimensiunile stbilite în proiect. Dcă brele cu semene erori de eecuţie se monteă într-un sistem sttic nedetermint, ceste induc în sistem eforturi suplimentre, numite eforturi iniţile, ir tensiunile corespunătore, 9

92 tensiuni iniţile. C plicţie, se v descrie modul de evlure l cestor tensiuni iniţile pe sistemul de bre rticulte din figur 5.8, l cre se presupune că br OB fost eecuttă mi lungă cu segmentul de lungime eglă cu λ: B / E E E l N α N α N O δ λ O / Δl Δl O // fig.5.8 Pentru fi posibilă montre brei OB în sistem, v trebui recurs l un efort de scurtre ei cu segmentul λ, respectiv, l plicre unei forţe eteriore. După motj, înlăturând forţ cre comprimt br OB, cest v tinde să revină l lungime iniţilă, dr v fi împiedictă prţil de brele O şi O /. Nodul O se v depls în O /, ntrenând şi brele O şi O / cre se vor lungi corespunător. În cestă situţie vor eist eforturi în brele sistemului. Din condiţi de echilibru nodului O, reultă: N N cosα () ecuţi de deformţie este: Δl δ cosα δ λ Δl () dr N l N l N l Δ l Δl. E E E cosα Reolvând sistemul lcătuit din ecuţiile () şi () reultă vlorile eforturilor ile N şi N. 9

93 Problem 5. Să se dimensionee br din figur 5 şi să se clculee deplsre totlă cpătului liber sub cţiune încărcărilor se cunosc: 6 N/mm, E, 5 N/mm. C d B 4kN.m.8m 6 d kn N [kn] fig.5 Br fiind solicittă il, condiţi de dimensionre este: N m nec secţiune fiind circulră: d dim π dim nec, 4 stfel, pe on B: N B π d nec dim 4 ir pe on BC: N B nec kn d N BC dim.9 mm mm, π d 4 N BC 6kN d 5.5mm 54mm. Deplsre totlă cpătului liber este: N B lb N BC lbc 6 8 Δl E E 5 π 54 5 π Δl.695mm. 9

94 Problem 5.b Un stâlp prismtic de idărie este solicitt l compresiune (fig.5b). Să se determine volumul stâlpului, cunoscându-se: P 7 kn, l m, γ 6 dn/m, N/mm. P l/ l/ fig.5.b Ţinându-se sem de greutte proprie stâlpului pe cele două tronsone de rii diferite, dimensionre se v fce cu relţiile: P 7 5 nec mm l 6 γ 6 9 P G nec. mm l 6 γ 6 9 în cre: l G V γ V, 5 9 V 6.8 mm 9 6 G.8 88 N. 9 Volumul stâlpului v fi: V V V, cu V şi V volumul celor două tronsone de stâlp, stfel: l 5 V V.786 m. 9 mm 94

95 Problem 5.c Să se determine tensiunile din brele BB şi DD se consideră rigiditte brei D, infinită (fig.5c). B D mm mm l NB B C D ND / B D / ΔlBB 5kN ΔlDD m m m fig.5c Deplsările punctelor B şi D în poiţiile B / şi D / se consideră fi efectute pe verticlă (deplsările fiind neglijbile în rport cu lungimile iniţile le brelor). Ecuţi de momente în rport cu punctul este: N B 5 N D 4 () sistemul este o dtă sttic nedetermint. Ecuţi de comptibilitte geometrică se determină considerând sistemul în urm solicitării cestui de către forţ de 5 kn din semănre triunghiurilor reultă: ΔlBB Δl DD 4 în cre: NB l ND l Δ lbb Δl. DD E E stfel, reultă: 95

96 N B. () 4 Prin reolvre sistemului formt din ecuţiile () şi (), reultă: NB 7.65kN N D 7.59kN, ir tensiunile vor fi: N B B 56. N / mm ND D 4.8 N / mm. N D Problem 5.d Să se verifice condiţi de reistenţă pentru br dublu rticultă solicittă c în figur 5d. Secţiune brei este inelră cu d/d,8 N/mm. Rigiditte brei (E ), este constntă pe totă deschidere. H 75kN 5kN B HB 5 mm N [kn] fig.5d Din ecuţi de proiecţii pe oriontlă, reultă: X H 75 5 H sistemul este o dtă sttic nedetermint. Ecuţi de comptibilitte geometrică cre se tşeă, este: H 5 ( H 75) ( H 75 5) 5 Δl E E E B 96

97 stfel, reultă: H 7.5kN. Se trseă digrm de forţe ile condiţi de reistenţă l solicitre ilă este: Nm m în cre N m 7. 5 kn. În cest c: 7.5 m 9.87 N / mm < N / mm. π 64 (.8) 4 ef 97

98 Cpitolul 6 FORFECRE 6. Generlităţi O secţiune trnsverslă unei bre este supusă l solicitre prin forfecre dcă efectul reultnt l forţelor de pe feţele eteriore se v reduce l un singur efort, forţ tăietore T, efort cuprins în plnul secţiunii. Se pote consider o bră dreptă solicittă de către două forţe trnsversle egle, de sens contrr şi forte propite un de lt (fig.6.) tendinţ de deformre este cee de lunecre celor două jumătăţi de bră, în plnul de seprţie l forţelor trnsversle. Br lucreă, stfel, l forfecre su, l tăiere. T ε T fig.6. Distnţ ε dintre cele două forţe tăietore T fiind forte mică, efectul cestei re un crcter loclit. 98

99 În fpt, forţele tăietore nu pr iolt, ci însoţesc întotdeun momentele încovoietore (de ltfel, cul v fi studit seprt). În situţii c ce repreenttă în figur 6., momentul încovoietor este considert nul su re vlori neglijbile, rămânând fi lut în considerre dor efectul forţei tăietore. Forţ tăietore produce tensiune τ în plnul secţiunii. În studiul ce urmeă v fi lut în considerre cul pieselor cu secţiuni trnsversle mici, supuse l forfecre, situţie în cre pot fi dmise ipotee simplifictore şi proimţii de clcul. Se vor ve în vedere, de semene, tipurile uule de îmbinări le brelor, prin nituire, înşurubre su sudură. stfel, se dmite ici ipote distribuţiei uniforme tensiunilor tngenţile τ pe întreg suprfţă secţiunii. În cestă ipoteă, formul cu cre se determină vlore tensiunii τ este τ T/, cest constituind formul de bă în clculul simplifict l forfecre l pieselor de secţiuni mici. 6. Probleme de forfecre l îmbinările nituite Din rţiuni de ordin prctic, rânduire niturilor necesre reliării îmbinării se fce respectând numite reguli privind distnţ dintre două nituri vecine, precum şi depărtre minimă fţă de mrginile pieselor conform mrcărilor din figur 6., ceste distnţe recomndte sunt: e e e d e 8d d e 8d d e 4d.5d e 4d e e e e fig.6. Numărul de nituri necesr îmbinărilor de reistenţă, pentru bre solicitte il, se stbileşte stfel încât trnsmitere forţei ile să se fcă 99

100 în bune condiţii. Pentru cest se introduce noţiune de reistenţă nitului, nottă cu R, pornind de l o îmbinre teoretică, cu un singur nit. Forţ ilă mimă pe cre o pote trnsmite o stfel de îmbinre repreintă tocmi cee ce m denumit reistenţ nitului. Este etlonul cu cre se pote preci cpcitte de reistenţă îmbinărilor rele, cu mi multe nituri. Se dmite, în cul brei solicittă il centric, reprtire uniformă încărcării l tote niturile. Dcă N este forţ ilă pentru îmbinre nituită, ir R reistenţ unui singur nit, numărul necesr de nituri v fi: n N/R (vlore reulttă se rotunjeşte l numărul întreg imedit următor). Pentru stbili reistenţ nitului se v consider cul unui nit folosit l o îmbinre simplă două piese (fig.6.). Sub cţiune forţei ile N, cre solicită îmbinre, piesele u tendinţ de lunec un fţă de lt, prin urmre nitul se pote distruge (prin forfecre tijei su prin strivire). N forfecre strivire N fig Forfecre niturilor Cu referire l îmbinre două piese, distrugere niturilor se pote dtor forfecării unei secţiuni, ri secţiunii de forfecre fiind: f π d /4. Evident, o îmbinre de tipul celei ilustrte de fig.6.4 nu este recomndbilă, cest preentând devntjul de introduce o ecentricitte, t, l trnsmitere forţei ile N de l o piesă l celltă.

101 N t t N O sectiune de forfecre fig.6.4 În cee ce priveşte îmbinre trei piese, c în figur 6.5, distrugere niturilor se pote produce prin forfecre concomitentă două secţiuni vând: f πd /4. N N Dou sectiuni de forfecre fig.6.5 Cunoscând reistenţ dmisibilă şi dimetrul nitului, efortul cpbil l unui nit supus l forfecre este: R f f τ f s- determint eperimentl relţi: τ f, Strivire niturilor (presiune pe pereţii găurii) În prctică, distribuire presiunilor pe pereţii găurii într-o piesă este neuniformă, în clcule însă, se dmite fptul că presiunile se distribuie uniform pe o secţiune dimetrlă (fig.6.6). str fig.6.6

102 ri de suport presiunii pe pereţii găurii, în cul îmbinării două piese de grosimi t şi t > t (fig.6.7), este: d t str t min( t, t ) t. min min t N N t fig.6.7 Dcă se îmbină mi multe elemente, ri pe cre se eercită în mod convenţionl presiune pe gură este: / // str d t t min ( t, t ), în cre t /, t //, repreintă sum grosimilor pieselor cre lucreă în fiecre direcţie îmbinării. Reistenţ dmisibilă, determintă eperimentl, este str, ir efortul cpbil l unui nit l strivire este R str st r str. Reistenţ nitului, R, v fi ce mi mică vlore dintre R f şi R str : R min ( R f Rstr ). În principiu, l orice îmbinre, efortul trebuie să rămână centrt, ltfel pr solicitări suplimentre de încovoiere. 6. Îmbinări cu şuruburi În construcţii metlice se utilieă o prindere rpidă şi reversibilă, cu jutorul şuruburilor. Clculul îmbinărilor cu şuruburi este semănător cu cel l îmbinărilor nituite, tât pentru determinre reistenţei l forfecre cât şi pentru strivire pe pereţii găurii în clcul se v lu dimetrul tijei şurubului.

103 6.4 Îmbinări sudte Sudurile se clsifică după poiţi cordonelor în rport cu piesele pe cre le îmbină în: suduri cp l cp (în dâncime) şi suduri de colţ (în relief). Sudur cp l cp se eecută prin lăturre suprfeţelor de contct şi dăugre între ceste mterilului de lipit. Sudur de colţ se eecută în cul pieselor suprpuse su cre fc un unghi orecre între ele. După poiţi sudurii fţă de direcţi solicitării, se deosebesc (fig.6.8): - suduri frontle (şete trnsversl pe direcţi solicitării) - suduri lterle (prlele cu direcţi solicitării). Cordon lterl N N Cordon frontl fig Clculul sudurilor de colţ Eperimentl, se consttă că sudurile de colţ se rup prin forfecre în plnul bisector (pln l 45 ) l cordonului de sudură, prin depăşire vlorilor tensiunilor tngenţile de rupere le mterilului sudurii. Elementele de clcul crcteristice sunt grosime şi lungime cordonului de sudură (fig.6.9). ls 45 fig.6.9

104 Grosime de clcul cordonului de sudură, nottă cu, se consideră eglă cu înălţime triunghiului isoscel înscris în secţiune trnsverslă sudurii. Grosime recomndbilă se v lu,7t, cu t grosime piesei celei mi subţiri cre se sudeă ecepţi o constituie profilele cornier, pentru cre,85t. Pentru sudurile de reistenţă, grosime minimă, min, este de 4mm. Lungime de clcul, nottă cu l, reultă din lungime efectivă cordonului, l s, prin scădere onelor de l cpetele cestui, unde sudur nu este suficient pătrunsă în mterilul de bă, onă ce se consideră de o lungime eglă cu l mbele cpete (fig.6.). ls l stfel: fig.6. ( min.4mm) l 6. l ls l 6, Considerând distribuţi uniformă tensiunilor tngenţile pe plnul bisector de forfecre l cordonului de sudură şi ţinând sem că forţ tăietore, cre tinde să forfece îmbinre sudtă, este eglă cu forţ ilă N, condiţi de reistenţă sudurii devine: N τ s τ s l prin metod reistenţelor dmisibile, i i i N s τ s R f i l prin metod stărilor limită, i i unde i l i este sum riilor secţiunilor tuturor cordonelor de sudură ce i prticipă l trnsmitere forţei N s- determint eperimentl τ s,65. Dimensionre unei îmbinări sudte se fce respectând următorele principii: 4

105 Principiul centrării efortului dică eforturile N şi N, prin cre cele două cordone trnsmit efortul il din bră l guseu, trebuie să ibă suportul reultntei suprpus peste N. Optimire îmbinării în sensul c cest să fie cât mi scurtă (grosime cordonului de sudură cât mi mre). Dimensionre revine, de obicei, l determinre lungimii cordonului de sudură, grosime fiind în funcţie de grosime pieselor. În cul prinderii de guseu unui profil metlic (cornier, de eemplu), pentru centrre, cordonele de sudură se iu de lungimi diferite, stfel c reultnt eforturilor N şi N din cele două cordone să trecă prin centrul de greutte l cornierului (fig.6.). l t N N e b N.85t.7t t l Ecuţiile de echilibru sunt: X i i fig.6. N N N e N N, ( b e). Reultă: b e N N l τ s b e N N l τ s. b Lungimile cordonelor de clcul corespunătore sunt: ( b e) N N l τ s τ s b Lungimile efective de sudt sunt: l N e. τ b s 5

106 l l s l s l. Problem 6. Pentru sistemul de bre încărct c în figur 6, să se trsee digrmele de efort să se verifice br CD să se verifice îmbinre din C. Se cunoşte 6N/mm br CD este lcătuită din două pltbnde 86, ir prindere în nodul C se fce cu un bulon φmm. H V D 7.kN 6kN H D D m B C φ V 86.67kN m m 5 fig.6 br C br CD (86) N T [kn] [kn] [knm] Verificre brei CD Br CD este solicittă il condiţi de reistenţă este: CD NCD m ef CD CD se cunosc: N 7.kN, ( 86 ) CD ef CD m ef N / mm < Verificre îmbinării în C. Verificre l forfecre: ef, stfel: 8 N / mm. 6

107 τ τ τ f f f f N π d N / mm π N / mm f CD τ < τ. f τ. Verificre l strivire NCD str str str d t t min str str str str N / mm 6 N / mm < str. f f ( 5) Problem 6.b Se dă sistemul de bre încărct c în figur 6b. Se cere: ) trsre digrmelor de efort b) verificre brei BC c) numărul de nituri necesr prinderii în B. Se cunoşte 5N/mm. Br BC este lcătuită din două pltbnde 6 prindere în B se fce cu nituri φmm. V C 7.5kN nod B C H C kn/m m B H F kn D E F kn m m br BC (6) 4 m m V F 7.5kN fig.6b 7

108 ) N [kn] T [kn] [knm] - 5 b) Br BC este solicittă il condiţi de reistenţă este: BC NBC m ef BC N BC 7.5kN, 6 8mm stfel: cu: ( ) BC ef BC 7.5 m ef 46 N / mm < 5 N / mm. 8 c) Numărul de nituri n se clculeă cu relţi: n R N, R min R R stfel, se obţin: ef N cp în cre: ( ) cp R R ef π d 4 d ( 4) n numărul efectiv de nituri este n f str t min f str π τ N 4 t N str Problem 6.c Se dă sistemul de bre încărct c în fig.6c. Se cere: ) trsre digrmelor de efort b) verificre brei BC c) clculul cordonelor de sudură. Se dă 7N/mm br BC este lcătuită din două pltbnde 4 şi este sudtă de br D în punctul B. 8

109 V C kn Nodul B H C H C B D m br BC 4 6 V kn kn m m 4kNm fig.6c ) - N T [kn] [kn] [knm] b) Br BC este solicittă il condiţi de reistenţă este: BC NBC m ef BC cu: N BC kn, 4 stfel: BC ef ef BC 6.5 N / mm < 7 N / mm. m c) Lungime cordonelor de sudură se clculeă cu relţi: l s l cu: BC Ncp l, 4τ s eistând un număr de ptru cordone de sudură egle stfel: BC BC N kn τ s.65.7t s cp min ef N / mm t min min ( 6) l 8.78mm l mm. 4-9

110 Cpitolul 7 ÎNCOVOERE BRELOR DREPTE 7. Generlităţi Solicitre l încovoiere brelor drepte pre cel mi des c reultt l cţiunii cuplurilor şi forţelor eteriore trnsversle, cre produc momente încovoietore în secţiuni normle. Dtorită cestor, brei îşi modifică curbur. Brele încovoite sunt în esenţă, grini. Dcă plnul forţelor eteriore (cupluri şi forţe trnsversle) conţine brei, eforturile într-o secţiune sunt, în generl, momente încovoietore, şi forţele tăietore T, T. În cele ce urmeă se v fce referire l unele curi prticulre, nume: Încovoiere simplă, c în cre eforturile în secţiune se reduc l un vector moment, situt pe o ă principlă, centrlă de inerţie secţiunii, precum şi o forţă tăietore corespunătore. Încovoiere pură, când forţele tăietore lipsesc din secţiune. 7.. Încovoiere pură. Formul lui Nvier O bră este solicittă l încovoiere pură când eforturile secţionle se reduc l un vector moment dirijt după un din ele centrle principle de inerţie le secţiunii trnsversle. Fie o secţiune trnsverslă unei grini drepte ele O şi O ce trec prin centrul de greutte l secţiunii sunt e principle. Pentru forţele eteriore flte în plnul O, momentul încovoietor este repreentt printr-un vector dirijt după O (fig.7.).

111 O d. fig.7. În cest c, pe suprfţ secţiunii trnsversle grinii pr tensiuni normle,. Pentru stbili lege de distribuţie, precum şi mărime tensiunilor normle pe secţiune trnsverslă, se vor utili cele trei condiţii (studii), l cre s- mi făcut referire, nume: - condiţi geometrică - condiţi de elsticitte - condiţi sttică. Condiţi geometrică Pe o porţiune de grindă cu secţiune dreprunghiulră se trseă o reţe de linii ongitudinle şi de contururi le secţiunilor trnsversle. cţionând etremităţile brei cu cupluri de forţe, se relieă încovoiere pură brei se consttă încovoiere grinii, cestei trnsformându-se într-o curbă numită deformtă brei (fig.7.). Odtă cu se deformeă şi liniile longitudinle, menţinându-se, însă, distnţ iniţilă între ele, stfel că tensiunile normle, între fibrele longitudinle, sunt nule. Sub cţiune momentului încovoietor poitiv, fibrele de l prte superioră se vor scurt, ir cele de l prte inferioră se vor lungi. Trecere de l fibrele lungite l cele scurtte se fce continuu, eistând o fâşie intermediră de fibre cre se încovoie, dr nu îşi modifică lungime (vem de- fce cu o fâşie neutră). Întersecţi fâşiei neutre cu plnul unei secţiuni trnsversle defineşte ş numit ă neutră secţiunii. Liniile, drepte, le contururilor dreptunghiulre normle l nedeformtă brei se menţin, după deformre, în plne normle l deformtă. Etrpolând pentru interiorul grinii, se dmite că secţiunile normle în întregime rămân în plne normle l nedeformtă, dică ipote lui Bernoulli. b.

112 fig.7. Se observă că ceste plne sunt normle l tote liniile longitudinle, prin urmre, tensiunile tngenţile τ din secţiunile trnsversle, sunt nule. De ici se deduce fptul că şi forţele tăietore precum şi momentele de torsiune, l nivelul secţiunilor normle, sunt nule, cee ce confirmă că br este solicittă l încovoiere pură. Secţiune trnsverslă îşi modifică form dtorită contrcţiei trnsversle, modificre fiind însă, neînsemntă. cestă modificre fiind neglijbilă, este suficient de ect consider că neutră este o dreptă în cul brelor su pln de simetrie, neutră este perpendiculră pe cest pln. Se pote dmite că deformre prin încovoiere brei se produce stfel, încât secţiunile trnsversle plne se înclină un fţă de lt, rotinduse în jurul elor lor neutre. C d B D b b ρ / C/ dϕ d ds B / / D fig.7. stfel, cele două secţiuni trnsversle - şi b-b (fig.7.), mrcte pe fţ lterlă unei grini cu secţiune omogenă, l o distnţă elementră d un de lt, formeă între ele un unghi elementr dϕ. În urm deformării, fâşi neutră B se curbeă. Fie ρ - r de curbură după deformre, presupusă constntă pe lungime d. Deorece lungime fâşiei B rămâne ceeşi, se pote scrie:

113 B / B / su d ρ dϕ. O fâşie curentă, CD, cu lungime d îninte de deformre, sitută l distnţ de fâşi neutră, tât îninte, cât şi după deformre, v ve în finl lungime: / / C D ( ρ ) dϕ d dϕ. Deformţi ei bsolută v fi: / / C D CD dϕ ir deformţi specifică liniră: ε / / C D CD CD Condiţi de elsticitte dmiţând că solicitre re loc în domeniul linir elstic l mterilului şi ştiind că fibrele longitudinle le grinii nu se psă reciproc, se pote scrie lege lui Hooke de l solicitările ile: E ε E. ρ R de curbură fiind constntă pentru elementul de grindă considert, reultă că deformţiile specifice linire şi tensiunile normle vriă linir cu coordont măsurtă norml l neutră şi sunt constnte pe linii prlele cu cestă ă (fig.7.4).. ρ E / ρ neutr fig.7.4 Condiţi sttică În secţiune trnsverslă stre de eforturi este: N. Prin utilire relţiilor de echivlenţă între eforturi şi tensiuni, se pote scrie: d d N d înlocuind în ultim relţie de echivlenţă, se obţine:

114 E N d, d, d dr d S ρ momentele sttice fiind nule fţă de ele ce trec prin centrul de greutte, neutră trece prin centrul de greutte l secţiunii. Prin prelucrre celei de- dou relţii de echivlenţă, se obţine: E,,, d d d d ρ în cre momentul de inerţie centrifugl fţă de ele şi. şdr, ele şi sunt e principle de inerţie, fiind perpendiculre între ele. neutră este vectorului moment e se suprpune (se identifică) cu fibr medie deformtă secţiunii. În fine, prin eplicitre primei relţii de echivlenţă se v junge l: E E d d, d, ρ ρ su: ρ E cu E rigiditte l încovoiere secţiunii. Prin utilire epresiei furnite de studiul fiic (condiţi de elsticitte), se junge l relţi: E ρ su formul lui Nvier cestă din urmă relţie rtă că tensiunile sunt proporţionle cu momentul încovoietor, cu ordont măsurtă de l neutră şi invers proporţionle cu momentul de inerţie l secţiunii în rport cu neutră secţiunii tensiunile u semnul dt de efectul pe cre îl re momentul încovoietor supr secţiunii (fig.7.5). m - min.n. / fig7.5 4

115 În discuţi ce urmeă se porneşte de l epresi: m m se fce notţi: not W m cu: W modulul de reistenţă il l secţiunii, în rport cu. şdr, vlore tensiunii normle mime se pote scrie: m. W Situându-ne în cul în cre momentul încovoietor este vribil, (), reultă că pe grindă, tensiunile normle mime pr în secţiune cu moment încovoietor mim, în fibrele cele mi depărtte în rport cu neutră secţiunii. Dcă se dmite ceeşi vlore tensiunii normle mim dmisibile,, l întindere şi compresiune, se obţine: m m W nume, condiţi de reistenţă l încovoiere. 7. Clculul modulului de reistenţă il W l secţiunile simple ) Secţiune dreptunghiulră, (fig.7.6): h pentru cre epresi / relţi de evlure este: b fig.7.6 5

116 W bh h m bh 6. b) Secţiune circulră, (fig.7.7): d unde se v oper cu relţi: 4 π d π d W W d m 64. fig.7.7 c) Secţiune inelră, (fig.7.8): D d fig.7.8 pentru cre este vlbilă epresi: 4 4 ( D d ) 4 4 ( D d ). π π W D D 64 W Pentru profilele lminte modulul il l încovoiere este dt în tbele stndrdite. 6

117 d) Secţiuni nesimetrice, (fig.7.9): h h d d b min m - min min/ b m m/ fig.7.9 Pentru secţiunile nesimetrice nu se pot însum modulele de reistenţă le figurilor componente le secţiunii, ir relţiile l cre vom fce pel sunt: W b h b h. d b h d b h Când ele proprii le elementelor componente coincid cu fţă de cre se clculeă modulul de reistenţă, ir m l tuturor elementelor componente este m l întregii secţiuni, tunci (fig.7.): m W W i. i m fig.7. 7

118 7.4 Clculul grinilor supuse l încovoiere Reolvre problemelor se pote fce pe b criteriului de reistenţă: ef. - Formul de verificre: m. m W ef Dcă mterilul re tensiuni diferite l întindere şi compresiune, tunci este necesr să se verifice m în fibr ce mi îndepărttă de neutră tât din on întinsă, cât şi din ce comprimtă. stfel, se v obţine: m i i m c c. - Formul de dimensionre: m W nec. - Formul de determinre efortului cpbil:. cp Wef 7.5 lcătuire rţionlă secţiunilor solicitte l încovoiere lcătuire rţionlă unei secţiuni, lucrând l încovoiere, însemnă găsire formei, stfel încât pentru o rie dtă, să reulte un modul de reistenţă cât mi mre. În contet, se vor emin cinci tipuri de secţiuni. Se eprimă modulul de reistenţă sub form: W k h în cre: ri secţiunii trnsversle h înălţime secţiunii k un coeficient numeric depinând de form secţiunii. Dcă pentru tote secţiunile considerte h ct., coeficientul k v repreent o măsură eficienţei secţiunii. stfel, pentru secţiune inelră: π 4 4 ( h di ) 64 d i W h h / 8 h 8

119 se noteă: d k 8 i h pentru cerc, d i k /8,5, pentru secţiune inelră forte subţire, d i h k /4,5. Pentru secţiune lcătuită din două tălpi: t ( h hi ) h h i i W h h / 6 h h cu notţi: h h i i k 6 h h stfel, pentru dreptunghi, h i k /6,67, pentru tălpi forte subţiri, h i h k /,5. În tbelul 7. se du vlorile determinte le lui k pentru cele cinci forme de secţiune considerte. Tbel 7. t Form h h di secţiunii h t h k,5,67 /8(d i /h ), vlore /6(h i /hh i /h ) medie Vlori - -,5,5,9,,67,5 etreme Vlori pentru t - -,5 -,47 De observt că eficienţ secţiunilor creşte de l form circulră, spre secţiune lcătuită din două tălpi în cul secţiunii circulre mterilul este dunt spre neutră, pe când l celellte secţiuni este din ce în ce mi îndepărtt fţă de cest. hi h 9

120 şdr, secţiune este lcătuită cu tât mi rţionl pentru lucr eficient l încovoiere, cu cât mterilul este mi depărtt de neutră. cestă depărtre re însă numite limite, pentru grini pre înlte părând pericolul pierderii stbilităţii elstice (flmbj lterl). 7.6 Încovoiere simplă Se consideră o secţiune trnsverslă simetrică în rport cu, solicittă de forţ tăietore T. Pe un element de rie d, situt în vecinătte conturului (fig.7.), tensiune tngenţilă τ, de direcţie rbitrr repreenttă T τ τt τl τn d fig.7. se descompune după tngent l contur τ t şi după normlă, τ n. În b dulităţii tensiunilor tngenţile, pe fţ lterlă grinii r trebui să eiste o tensiune τ l τ n în bsenţ încărcării pe fţ lterlă cre să echilibree cestă tensiune, τ l τ n, stfel tensiune tngenţilă τ de pe elementul de rie d din secţiune trnsverslă trebuind să ibă o direcţie tngentă l contur poteele lui Jurvski Secţiune din figur 7. este simetrică în rport cu. Se consideră lini mn l distnţ de şi de direcţie prlelă cu cest. Suportul tensiunilor tngenţile din punctele de pe contur se întâlnesc în, punct situt, din rţiuni de simetrie, pe. potee: Se presupune că suportul tensiunilor tngenţile τ din orice punct de pe lini mn trece prin, punct de intersecţie l tngentelor l contur în m şi n cu de simetrie.

121 T τ τ b τ τ m τ P n fig.7.. Pentru un punct curent P, de pe segmentul mn, vectorul tensiune tngenţilă se descompune în τ şi τ prlele cu ele şi. Se dmite că tensiunile τ, prlele cu forţ tăietore din secţiune, sunt distribuite uniform pe lini mn prlelă cu neutră Formul lui Jurvski Se ioleă un element de bră de lungime d (fig.7.4), sub lini mn m / NdN n / m τ p / q / N p τ q n fig.7.4

122 reultnt N tensiunilor normle de pe porţiune de secţiune mnpq se v pute eprim: N d d d S. () S- dmis că tensiunile normle se distribuie conform formulei lui Nvier s- nott cu: S d, momentul sttic l porţiunii de secţiune mnpq în rport cu neutră. Tensiunile tngenţile τ fiind distribuite uniform pe elementul de lungime d, se pote scrie ecuţi de echilibru sttic în rport cu : X N ( N dn ) τ bd unde b repreintă lăţime secţiunii l nivelul liniei mn. stfel, reultă: dn τ. () b d Secţiune brei fiind constntă, S şi nu vor depinde de şi ţinând cont de relţi (), se pote scrie: dn S d d d d dr T d înlocuind în epresi (), se obţine formul lui Jurvski: T S τ τ. b Reultă că tensiunile tngenţile sunt proporţionle cu forţ tăietore şi orientte pe secţiune în sensul cestei. Lăţime b repreintă lăţime secţiunii în punctul de clcul l tensiunii tngenţile, vlore cestei obţinându-se prin ducere prin cel punct unei drepte prlele cu neutră. S este momentul sttic l părţii din secţiune cre tinde să lunece în rport cu fibr neutră prin tăiere cu drept prlelă cu neutră este vorb de oricre din cele două părţi în cre s- împărţit secţiune, de regulă legându-se ce prte pentru cre clculul este mi fcil. Pentru fibrele etreme le secţiunii S fiind nul, reultă că şi tensiunile tngenţile vor fi nule, situţie opusă celei din cul tensiunilor normle dtorte momentului încovoietor (formul lui Nvier), tensiuni căror vlore mimă se obţine, de regulă, l etremităţi.

123 7.6. Vriţi tensiunilor tngenţile l secţiunile simple Pornind de l formul lui Jurvski şi de l vlorile crcteristicilor geometrice le secţiunilor simple se v trs distribuţi tensiunilor tngenţile τ pentru diverse secţiuni elementre.. Dreptunghi (fig.7.5) b h T m τ.5t/ τ fig.7.5 L dreptunghi, momentul de inerţie il este: bh pentru ri hşurtă, sitută l distnţ de neutră, momentul sttic l suprfeţei menţionte fţă de cestă ă este: h h b h S b 4 stfel, reultă: T S T h τ. 4 b Tensiune tngenţilă re şdr o vriţie prbolică, cu vlore mimă: m T h T τ, 8 vlore obţinută pentru, ( bh).

124 b. Cerc (fig.7.6) D R b T d m τ.t/ τ fig.7.6 L cerc, momentul de inerţie il este: 4 4 π D π R 64 4 fie ri elementră hşurtă, sitută l distnţ fţă de, de lăţime d (fig.7.6). Lăţime b se pote clcul cu relţi: b R. omentul sttic l cestei rii în rport cu neutră este: S b d R d ( R ). Se clculeă rportul: ( R ) S ( R ). b R Reultă tensiune tngenţilă τ : T S ( ) 4 T R T τ, 4 b π R R 4 cu π R. Este vorb, şdr, de o vriţie prbolică pentru tensiune tngenţilă τ vlore mimă se obţine pentru, stfel: τ m 4 T. 4

125 c. Secţiune în formă de (fig.7.7) - τ t T H h b (B-b)/ m τ t B * g τ - fig.7.7 Pe inim profilului se devoltă tensiuni τ, pe tlpă se devoltă tensiuni τ. Deorece pe inimă tensiunile τ u sensul forţei tăietore T, pe tlpă tensiunile τ se figureă stfel încât să ibă lur viteelor curbelor de curent din domeniul curgerii fluidelor pe tălpi, se strâng fluenţii în prte de jos, ir în prte de sus fluenţii se desfc. Sensul de curgere este dt de sensul forţei tăietore în secţiune. Tensiunile tngenţile sunt poitive când sunt îndreptte în sens invers elor. τ Distribuţi tensiunilor τ Pe lini - de pe inimă tensiunile se clculeă stfel: T H t b h h. h h τ B t b Reultă o distribuţie prbolică, cu vlore mimă pe neutră, pentru : 5

126 m T H t bh τ B t. 8 b Pe tălpi tensiunile τ vor pre numi pe lăţime inimii fie lini - l distnţ g de mrgine inferioră tălpii de jos, stfel: T H g τ B g g [ t]. b Pentru profilele lminte, unde tălpile sunt subţiri, se pote consider: H t h stfel, reultă: T τ Bgh, b deci o distribuţie liniră. Distribuţi tensiunilor τ Pe lini curentă - tensiunile tngenţile τ se consideră distribuite uniform pe grosime t, clculându-se cu relţi: * T S τ, t cu S - momentul sttic l părţii cre tinde să lunece (fig.7.8). t fig.7.8 stfel, se obţine: * * H t S t, reultând o distribuţie liniră pentru tensiune tngenţilă τ. Pe lăţime inimii tensiune τ este nulă. τ 6

127 7.6.4 Centrul de lunecre S- dmis pentru încovoiere simplă că forţele eteriore sunt plicte într-un pln principl de inerţie, cre conţine lini centrelor de greutte, dică grinii. Reultă că în secţiune pr dor tensiuni de încovoiere şi de lunecre. cest lucru nu este întotdeun vlbil. Se consideră o grindă cu secţiune un profil U, solicittă l încovoiere simplă (fig.7.9). m τ - τ τ τ H t T O C G d h m τ τ H t b τ m τ τ fig.7.9 Tensiunile τ se reduc l o reultntă T plictă chir pe lini medină inimii, tensiunile τ, l două forţe H cre formeă un cuplu. În cul în cre plnul forţelor eteriore trece prin G secţiune este solicittă şi de un moment de torsiune: G H h T d. Se pune problem determinării poiţiei punctului O prin cre să trecă forţ tăietore T stfel c momentul G să fie nul. Deorece cuplul H h tinde să rotescă în sens orr, reultă că punctul O trebuie să fie situt l stâng punctului C. 7

128 Se noteă cu distnţ OC vlore s se determină din ecuţi de moment în rport cu punctul O: O H h T reultă: H h. T H fiind reultnt tensiunilor tngenţile τ, cest se clculeă stfel: t h T b m b m T h b H τ t τ, t reultă: T h b t H. 4 Prin înlocuire în epresi lui, se obţine: b h t. 4 Reultă că distnţ este independentă de mărime încărcărilor eteriore, fiind o crcteristică secţiunii trnsversle punctul O este denumit centru de încovoiere-torsiune su centru de lunecre. ndicţii privind centrul de lunecre. L secţiune vând două e de simetrie, centrul de încovoieretorsiune coincide cu centrul de greutte este cul următorelor secţiuni:. L secţiunile formte din dreptunghiuri înguste, le căror e converg într-un punct O, centrul de încovoiere-torsiune coincide cu cest punct, dică se găseşte l intersecţi liniilor medine le ripilor eemple: O O O 8

129 . L secţiuni cre dmit o singură ă de simetrie, de eemplu, punctul O este situt pe cestă ă. Pentru determinre poiţiei sle pe cestă ă se clculeă succesiv: - distribuţi tensiunilor tngenţile, în diferitele elemente componente le secţiunii, produse de forţ tăietore T plictă în centrul de greutte, după. - reultntele prţile le tensiunilor tngenţile în diferitele elemente componente le secţiunii. - momentul cestor reultnte în rport cu centrul de greutte ( G ). - poiţi bscisei punctului O: O G T. 7.7 Grini compuse supuse l încovoiere Grinile compuse sunt bre lcătuite din mi multe elemente solidrite între ele. Solidrire împiedică lunecre între elemente, sigurându-se stfel conlucrre l încovoiere. L solicitre de încovoiere simplă, în secţiunile prlele cu fâşi neutră, pr tensiuni tngenţile (pe b principiului dulităţii tensiunilor tngenţile). Reultnt cestor pe o lungime precită din grindă se numeşte forţă de lunecre. Fie grind compusă dintr-un pchet de două bre cu secţiune dreptunghiulră (fig.7.), nesolidrite între ele sub efectul încărcărilor grind se încovoie. b ) h h b) cp W bh/6 fig.7. 9

130 c) cp cp W b(h)/6 fig.7. Cul b: brele nefiind solidrite între ele, fiecre lucreă independent, fibrele superiore se scurteă, cele inferiore se lungesc. Feţele în contct le brelor vor lunec un în rport cu celltă. Cul c: când brele sunt solidrite între ele, lunecre reltivă feţelor în contct este împiedictă, grind lucrând c un singur element. Se observă că solidriările măresc considerbil cpcitte portntă grinilor compuse Evlure forţei de lunecre B T C B B C C τ ) b) b b fig.7. Fie cul elementului de grindă compusă, de lungime d, din figur 7. forţ de lunecre pe lini de seprţie BC este: dl τ bd reultă: S L τ bd T d, cu τ τ T S / b, conform formulei lui Jurvski.

131 Dcă forţ tăietore este constntă pe un intervl de lungime e, cest se clculeă stfel: T S L e. Dcă elementul d corespunde unei grini cu încărcre distribuită, digrmele T şi vor fi c în figur 7.: p d dω T T T T Forţ de lunecre pe intervlul - v fi: S Ω T L d, cu dω T ri elementră din digrm T reultă: S T L Ω, fig.7. în cre Ω T - ri forţei tăietore pe intervlul -, S momentul sttic l părţii din secţiune cre tinde să lunece ir momentul de inerţie il l întregii secţiuni. Conform relţiilor diferenţile între eforturi şi încărcări: d T T d d. d stfel, se pote evlu forţ de lunecre şi cu relţi: S S L d ( ) cu şi momentele încovoietore în secţiunile şi. Pentru prelure forţelor de lunecre, grinile compuse sunt solidrite prin sudură su nituire în vedere sigurării conlucrării elementelor componente.

132 nit de cp 7.7. Clculul grinilor compuse nituite nit de gt e fig7. Fie o grindă solicittă l încovoiere cărei secţiune este lcătuită (fig.7.) dintr-o inimă verticlă, două tălpi oriontle şi ptru corniere, solidrire efectuându-se cu nituri. Niturile de cp împiedică lunecre tălpilor fţă de corniere, cele de gât, lunecre inimii fţă de corniere. Clculul nituirii se efectueă în mod prctic numi pentru niturile de gât, ceste fiind mi solicitte decât cele de cp. Un singur nit v fi solicitt de o forţă de lunecre L nit, cre se produce pe distnţ e dintre două nituri succesive. Niturile se şeă l distnţe egle, ir pe fiecre intervl se v consider vlore mimă forţei tăietore stfel: Tm S L nit e, cu momentul de inerţie il brut, S momentul sttic l tălpii formte din pltbndă şi două corniere. Lunecre dintre corniere şi inimă, pe distnţ ferentă unui nit (e), trebuie să îndeplinescă condiţi: L nit R, cu R reistenţ nitului şi R min(r f, R str ) R f f τ f R str st r str. Distnţ dintre nituri se clculeă cu epresi: R e. S T m Constructiv, trebuie respecttă relţi:

133 d e 8d, dcă din clcule reultă e > 8d, se lege e 8d. Pentru niturile de cp se pote fce un clcul semănător, cre prctic nu este necesr, deorece fiind două nituri, se vor obţine distnţe mi mici. De cee şi ceste nituri se dispun l ceeşi distnţă c şi niturile de gât, dr declte fţă de ceste cu jumătte de intervl. L verificre criteriului de reistenţă l grinii încovoite ( m ), se v ţine sem de slăbirile produse de nituri în clculul momentului de inerţie il Clculul grinilor compuse sudte T e t ls t fig7.4 L grind compusă sudtă (fig.7.4), solidrire tălpilor cu inim se pote reli prin cordone continue su întrerupte de sudură în clcule se v consider forţ tăietore mimă. Pe un intervl de lungime eglă cu unitte, forţ de lunecre v trebui prelută de cordonele de sudură în consecinţă, trebuie îndeplinită condiţi: L τ s s Tm S L, s, τ s.65. Reultă grosime necesră cordonului continuu de sudură: S Tm τ s

134 cu S momentul sttic l unei tălpi, min 4mm. Când < min se relieă cordone întrerupte în cest c, lunecre de pe lungime e trebuie prelută de cele două cordone de lungime l s şi grosime. Condiţi de îndeplinit, în cest c, este: L l τ stfel, reultă: L e e e l T m m S s e. τ s. T S Problem 7. Grind cu consolă din fig.7 re secţiune în formă de T. Să se dimensionee grind. Să se trsee distribuţiile de tensiuni, τ şi τ în secţiune C. Se dă 5 N/mm. knm kn/m B C D t t m m m V B8kN V DkN 8.m T [kn] m [knm] t t G fig.7 Secţiune periculosă este pe intervlul B unde momentul încovoietor re vlore mimă în modul. Condiţi de dimensionre este: nec m dim W W 4

135 W W nec dim 5 ( t) t ( t) t 4.5t m m t mm ( 6.875t ) 4t ( 4.5t ) 56.t dim W.46t, reultă t,5 mm, se lege t ef mm. Distribuţi de tensiuni se determină cu formul lui Nvier repreentre s- făcut în figur 7.. Se clculeă: 6 C 4 m N / mm min 7.875t,.46 6 C 4 min N / mm m τ min τ m τ m fig.7. Pentru tensiunile τ şi τ se utilieă formul lui Jurvski cunoscând T C 8 kn şi determinând S 6,875t 65t (fig.7. ), reultă: 8 65 τ 5.87 N / mm Clculând: τ 5

136 m 5.875t S S 5.875t t 99.5t (fig.7 ) se obţine: m τ 7.N / mm L clculul lui τ m, grosime tălpii este t şi S * t 5t 6,875t, stfel: m τ.44 N / mm Problem 7.b Grind simplu reemtă din figur 7b re secţiune lcătuită din două profile 8 solidrite cu nituri φ. Să se verifice grind şi să se clculee distnţ dintre nituri se cunoşte 5 N/mm. kn 5kNm kn B C D 8 V B7.5kN V D.5kN m m m Condiţi de verificre este: m 5 m T.5. [kn] [knm] fig.7b.4 W Secţiune periculosă este C dr, unde re vlore mimă ici se v fce verificre: φ 8 6

137 m 45kN 45 6 Nmm ( ) (.4 ) W 4.4cm, m 8 reultă: 6 45 m 9.6N / mm < 5N / mm. 4.4 Determinre distnţei între nituri se v fce utiliând relţi: R e, brut S T unde: R min R R reultă: R R f str π d 4 d t ( ) f min str π τ f N N str R 7699 N S cm T.5kN. Ţinându-se sem de fptul că în secţiune lucreă simultn câte două nituri, se clculeă: e 99.9mm Din motive constructive, distnţ mimă dintre nituri trebuie să fie e 8d 6 mm, deci niturile se vor şe l intervlul e 6 mm. Problem 7.c Să se dimensionee grind metlică încărctă c în figur 7c. Secţiune v fi lcătuită în formă de, solidrire tălpilor cu inim făcându-se prin cordone de sudură continue. Grosime cordonelor de sudură este 5 mm. se dă N/mm. Să se determine: ) lăţime necesră tălpilor b ) să se verifice cordonele de sudură. 7

138 7kN 8kN B C D b V 5.67kN 4.5m.5m m Se determină: m nec 5.5 W V D9.kN T [kn] [knm] ( 5 45 ) [ b] fig.7c 458 b b 4 cm m 5cm 4 dim ( b) W mm. m 5 Din condiţi W nec W dim reultă b 97,98 mm se lege b mm, reultă W 5, cm. Pentru sudur continuă se cunosc: T 9.kN m mm 47.5 S cm 4 65.cm. Se fce verificre cordonelor de sudură continue stfel: Tm S τ s 6.5 N / mm τ s N / mm τ < τ. s s 8

139 Problem 7.d Se dă grind încărctă c în figur 7d. Cunoscând N/mm, se cere: ) determinre forţei cpbile P cp b) verificre cordonelor de sudură întrerupte cu 6 mm, l,8 cm şi e 4 cm c) să se determine şi τ în punctul de coordonte,65 m şi 5 mm. P P 5P P 4 B C D E F 5 V9P B.5m.5m.5m.5m.5m 6P P V4P E 8 9 T [kn] P P 7.5P 4P 5 [knm] 4 7.5P P 5P fig.7d ) Din digrm de moment reultă că secţiune ce mi solicittă este ce din D. Folosind relţi: cp ef W, cu condiţi cp m, reultă: 86.6 Pcp 558 N 5 cu: ef W 86.6 mm. m 45 b) Pentru verificre cordonelor de sudură întrerupte se foloseşte relţi: Tm S e τ s τ s l în cre: T 6P 498 N m 9

140 S τ s cm.65 4 N / mm τ s 56.7 N / mm < τ s 4 N / mm. c) Pentru clculul tensiunii în punctul de coordonte dte se foloseşte formul lui Nvier: unde:.65m 6 P.65 9P Nmm 5mm 8.49 N / mm Pentru clculul tensiunii τ în punctul de coordonte dte se foloseşte formul lui Jurvski: T S τ b în cre:.65m T 498 N S b 9mm τ 8.54 N / mm. 4 mm cm 4 Problem 7.e Secţiune din figur 7e este solicittă l încovoiere simplă. Cunoscând tensiune mimă m 5 N/mm se cere să se clculee momentul încovoietor cpbil şi tensiune minimă. Se determină poiţi centrului de greutte: i i i G 6.75mm i i Din rportul de semănre l triunghiurilor formte în digrm, se obţine (fig.7e): 4

141 .75 min min 4.N / mm min? G G m5n/mm fig.7e omentul cpbil se clculeă plecând de l condiţi de reistenţă l solicitre de încovoiere: cp m cp W, W în cul de fţă m 5 N/mm, stfel: W mm m în cre: cm m 4.65mm. stfel, se obţine: Nmm. cp.7, 4

142 Cpitolul 8 DEFORRE GRNZLOR DREPTE SOLCTTE L ÎNCOVOERE 8. Ecuţi diferenţilă fibrei medii deformte În urm solicitării de încovoiere, brele drepte iu forme curbe, brei în cestă situţie fiind o curbă continuă numită fibră medie deformtă. Studiul deformţiilor urmăreşte stbilire formei deformte grinii su determinre săgeţilor şi rotirilor produse în dreptul secţiunilor grinii. Stre deformtă se crcterieă prin deplsre pe verticlă, numită săgetă, nottă cu v şi înclinre fibrei medii su secţiunii trnsversle, numită rotire şi nottă cu ϕ (fig.8.). ρ P i i / v ϕ B fig.8. Rotire ϕ este considertă poitivă când se suprpune peste tngentă prin rotire în sens orr în ipote micilor deplsări: dv ϕ. d Săget v repreintă o cntitte mică în rport cu lungime brei ir deplsre pe oriontlă corespunătore celuişi punct i este un infinit mic în rport cu v, şdr punctul i se v consider că se deplseă pe verticlă în i /. 4

143 L studiul tensiunilor dtorte solicitării de încovoiere s- stbilit relţi între curbur brei şi momentul încovoietor: ρ E se renunţă l indicele pentru deplsări în plnul. Se ştie că: d v d ρ dv d dr dv/d tgϕ ϕ se neglijeă vând vlori forte mici în rport cu unitte. stfel, reultă: d v. ρ d E Dtorită fptului că tunci când este poitiv /ρ este de semn negtiv şi invers (fig.8.), ecuţi de mi sus se v rescrie: ρ ρ fig.8. ρ E repreentând ecuţi simplifictă fibrei medii deformte, de ordinul. Dcă produsul E ct. şi ştiind că: d dt T q, d d se pote scrie ecuţi diferenţilă de ordin V fibrei medii deformte: 4 d v q. 4 d E () 4

144 8. etod integrării directe ecuţiei diferenţile Se consideră cul brei cu secţiune constntă şi se presupune cunoscută lege de vriţie momentului încovoietor (). Prin integrări succesive le ecuţiei () se v obţine rotire ϕ ϕ() şi săget v v(): ϕ( ) ( ) d C E ( d) v( ) ϕ( ) d ( ) d C C. E Pentru determinre constntelor de integrre C şi C se pun condiţiile l limită cre repreintă vlori le săgeţilor şi rotirilor în punctele de reemre şi în lte secţiuni crcteristice le grinii (tbelul 8.). Tipul de reem Condiţii în deplsări Condiţii în eforturi reem simplu v ϕ T încstrre v ϕ T cpăt liber v ϕ T reem simplu intermedir v st v dr ϕ st ϕ dr st dr T st T dr rticulţie intermediră v st v dr ϕ st ϕ dr st dr T st T dr tbelul 8. 44

145 Eemple:. Bră încstrtă l un cpăt, încărctă cu o forţă concentrtă l cpătul liber (fig.8.) P E ct. B vb l ϕb fig.8. Într-o secţiune orecre, fţă de origine considertă în punctul, epresi momentului încovoietor curent este: ( ) P ( l ) reultă: d v P( l ), d E prin integrre succesivă de două ori, se obţine: dv P ϕ l C d E P v l C C. 6 E Condiţiile l limită sunt: v ϕ, reultă C C. Ecuţi fibrei medii deformte este: P l v. E 6 L cpătul liber l brei săget şi rotire u vlori mime: l Pl l Pl vb vm ϕ B ϕ m. E E 45

146 b. Bră încstrtă l un cpăt, încărctă cu o srcină uniform distribuită pe totă deschidere (fig.8.4) q E ct. B vb l ϕb fig.8.4 Într-o secţiune orecre sitută l distnţ în rport cu origine, momentul încovoietor re epresi: q ( l ) d v q ( l l ). d E ntegrând de două ori reultă: dv q ϕ l l C d E 4 q l l v C C E Condiţiile l limită sunt: v ϕ, C C. Ecuţi fibrei medii deformte este: 4 q l l v. E L cpătul liber l brei săget şi rotire sunt mime: 4 l ql l ql vb vm ϕ B ϕ m. 8E 6E. 46

147 c. Bră simplu reemtă l cpete încărctă l mijloc cu o forţă concentrtă (fig.8.5) P B l/ l/ C / fig.8.5 Pe intervlul B epresi momentului încovoietor este: ( )., l P Pe intervlul BC epresi momentului încovoietor este: ( ) ( )., l l l P l P P Reultă: - pe intervlul B:, l E P d v d - pe intervlul BC: ( )., l l l E P d v d Se integreă de două ori pe mbele intervle:. 6 :, 6 : 4 C C l E P v C l E P d dv BC C C E P v C E P d dv B ϕ ϕ Condiţiile l limită sunt: v 47

148 l st dr vb vb ϕ B, l vc. Înlocuind în cele ptru ecuţii se obţin cele ptru constnte: l l l C C C C Săget mimă re loc l mijlocul grinii: l Pl v B vm 48E rotirile sunt mime pe reeme: Pl ϕ ϕ C. 6E d. Bră simplu reemtă l cpete încărctă cu o srcină uniform distribuită pe totă deschidere (fig.8.6) q B fig.8.6 Într-o secţiune curentă epresi momentului încovoietor este: ql q ( ) stfel, reultă: d v q ( l ).. d E Se integreă de două ori: dv q l ϕ C d E 4 q l v. C C 6 E l 48

149 Condiţiile l limită sunt: v l v, stfel, reultă constntele de integrre: l C C. Ecuţi fibrei medii deformte devine: 4 q l l v. 6 E Săget mimă pre l mijlocul grinii: l 5ql 4 v m, 84E ir rotirile u vlori mime pe reeme: ql ϕ ϕ B. 4E e. Bră simplu reemtă încărctă cu momente pe reeme (fig.8.7) B l fig.8.7 Într-o secţiune curentă momentul încovoietor este: ( ) reultă: d v. d E Se integreă succesiv de două ori: dv ϕ ( C ) d E 49

150 v C C E Condiţiile l limită sunt: v l v, stfel, reultă constntele de integrre: l C C.. Ecuţi fibrei medii deformte v fi: ( l ) v. E Săget mimă se găseşte l mijlocul grinii: l l v m 8E ir rotirile mime u loc pe reeme: l ϕ ϕ B. E f. Bră dublu încstrtă încărctă cu o srcină uniform distribuită (fig.8.8) p p l l l. b. c. fig.8.8 Problem este sttic nedetermintă. Reolvre se v fce pe b principiului suprpunerii efectelor. Încstrre se înlocuieşte cu un reem simplu pe cre cţioneă un moment cărui vlore v fi determintă stfel c rotire pe reem să fie nulă (fig.8.8b şi c) pe ce de dou grindă simplu reemtă v cţion srcin uniform distribuită, de intensitte p, cunoscută. 5

151 Pentru situţi din figur 8.8b se cunosc, din eemplele precedente: 4 / 5pl vm l 84E Pentru figur 8.8c: / pl ϕ 4E pl. 8 v / m l // m l l 8E // l ϕ E // m. Când cele două încărcări lucreă concomitent, mărimile corespunătore se însumeă: / // ϕ ϕ ϕ,dr ϕ se înlocuiesc epresiile lui ϕ / şi ϕ // : pl l pl,. 4E E omentul şi săget mimă l jumătte deschiderii grinii vor fi: pl pl pl m pl pl l pl vm. 84 E 8E 84E 8. etod grinii conjugte Determinre ecuţiei ei deformte prin integrre directă ecuţiei diferenţile devine neprctică dcă numărul intervlelor cu legi diferite de vriţie momentelor încovoietore creşte. O eficienţă sporită se obţine utiliând metod grinii conjugte su grinii fictive. cestă metodă se beă pe nlogi dintre ecuţi diferenţilă fibrei medii deformte 5

152 (relţi ) şi epresi cre reultă în cul ecuţiei diferenţile între eforturi şi încărcări (relţi ): d v d ϕ () d d E d dt p. () d d Se consttă că, făcând corespondenţ: p T ϕ v, E un grup de relţii se trnsformă în celăllt. Dcă se noteă: p f (f fictiv) E şi identificând relţiile () şi (), reultă: f f d dt f p ( / ) d d dr relţi ( / ) este identică cu relţi (). Reultă că: f f T ϕ v. E E Clculul deplsărilor ϕ şi v (rotiri şi săgeţi) se reduce l clculul unor digrme de eforturi. Grind pe cre se trseă digrmele T f şi f (forţă tăietore fictivă şi moment încovoietor fictiv), este o grindă convenţionlă cre trebuie să stisfcă în eforturi condiţiile pe cre grind relă le stisfce în deplsări (rotiri şi săgeţi). cest este grind conjugtă grinii rele. Etpele de clcul pentru determinre fibrei medii deformte sunt următorele: - se trseă digrm de momente încovoietore pe grind relă - se determină grind conjugtă din echivlenţ între tipurile de legături (tbelul 8.) şi se încrcă grind conjugtă cu o srcină distribuită vînd lege de distribuţie corespunătore digrmei de moment răsturnte - se determină pe grind conjugtă digrmele de eforturi T f şi f - se determină rotirile şi săgeţile grinii rele cu jutorul digrmelor de eforturi nterior trste, cu relţiile: f T ϕ E f v. E 5

153 8.. Corespondenţ între reemele grinii rele şi conjugte grind relă grind conjugtă tip de reem condiţii în deplsări condiţii în eforturi tip de reem reem simplu ϕ v T f f reem simplu încstrre ϕ v T f f cpăt liber cpăt liber ϕ v T f f încstrre ϕ st ϕ dr T f st T f dr reem intermedir v st v dr f st f dr rticulţie intermediră ϕ st ϕ dr T f st T f dr rticulţie intermediră v st v dr f st f dr reem intermedir tbelul etod prmetrilor în origine etod prmetrilor în origine propune un studiu unitr pentru mărimile eforturilor secţionle şi deformţiile dtorte solicitării de încovoiere, dând o semnificţie fiică constntelor de integrre. Relţiile diferenţile între srcini şi eforturi sunt: 5

154 d dt p( ) d d ir între deplsări şi momentul încovoietor: d v d ϕ. d d E Dintre cele ptru necunoscute, T, ϕ şi v, necunoscut principlă se lege săget v, celellte urmând fi eprimte prin intermediul cestei. Se plecă de l relţi: 4 d v p( ) ( E ct. ) 4 () d E celellte mărimi se vor eprim în funcţie de v: dv d v d v ϕ E T E. d d d Soluţi generlă ecuţiei () v fi de form: cu notţiile v - soluţi prticulră şi ori: v v v p v - soluţi ecuţiei omogene: 4 d v E. 4 () d O soluţie prticulră pote fi obţinută direct prin integrre de ptru E v p d d d p ( ) d. Nu se introduc constnte de integrre,ceste părând în soluţi ecuţiei omogene soluţi () pote fi însă eprimtă cu jutorul unei singure integrle folosind formul lui Cuch: n d d p( ) d ( ) ( ). ( )! t p t dt n n int egrle În membrul din drept ct., integrre făcându-se în rport cu t pentru un număr de ptru integrle: E v p ( ) ( ).! t p t dt Soluţi ecuţiei omogene () se obţine prin integrre succesivă: () 54

155 . 6 4 / // /// C C C C v E C C C v E C C v E C v E Soluţi generlă pentru v şi derivtele sle se scrie stfel:. 6 4 / / // // /// /// C C C C v E v E C C C v E v E C C v E v E C v E v E p p p p În locul derivtelor lui v vor fi introduse ϕ,, T, stfel:. 6 /// // / 4 C v E T C C v E C C C v E E C C C C v E v E p p p p ϕ Constntele C, C, C, C 4 u o semnificţie pur mtemtică se vor clcul vlorile mărimilor precedente în origine lesă l cpătul din stâng l grinii. Pentru, soluţi prticulră v p şi tote derivtele succesive se nuleă (dtorită limitelor de integrre), stfel încât rămâne în discuţie dor soluţi omogenă. Se noteă cu indicele vlorile reltive în origine. Reultă:. 4 C T C C E C v E ϕ ărimile v, ϕ,, T ce repreintă săget, rotire, momentul încovoietor şi forţ tăietore în origine, vând o semnificţie fiică bine precită se numesc prmetri iniţili su în origine. şdr: 55

156 T v v p ϕ v 6E E / T ϕ v p ϕ E E // E v T T E v p /// p T. Pentru determinre prmetrilor în origine se studiă următorele curi: ) încărcre este continuă pe totă deschidere grinii b) încărcre preintă discontinuităţi (srcini distribuite prţil, forţe concentrte, cupluri concentrte, rticulţii intermedire). Încărcre continuă pe totă deschidere grinii (fig.8.9) (4) p() p l fig.8.9 Într-o secţiune curentă srcin distribuită re vlore: p p ( ). l Conform relţiilor () şi () reultă: 4 d v p E 4 d l E v p d integrând epresi Ev p se obţine: p E v p l // p E v p 6l 5 d d E v E v / p /// p p d l 4 p 4l p. l 56

157 Prin plicre formulei lui Cuch, celeşi epresii reultă: ( ) ( ), l p t t t t l p dt t t t t l p dt l t p t v E p prin urmre celşi reultt. Epresiile săgeţii, rotirii, momentului încovoietor şi forţei tăietore devin: T l p T T l p E E T l E p v E E T l E p v ϕ ϕ ϕ (5) Prmetrii iniţili se vor determin studiind condiţiile l limită în punctele de reemre: - în origine, pe reem v şi. Relţiile (5) se simplifică stfel:. T l p T 6l p E T 4E l p 6E T E l p 4 5 ϕ ϕ ϕ T v -pe reemul din drept, pentru l, şi v : 6 6 l p T l T l l p 57

158 p l 5 E l T l 6E ϕ l ϕ 7 p l. 6E Srcini distribuite prţil (fig.8.) Soluţi prticulră pote fi uşor determintă pornindu-se de l formul lui Cuch. p p p O B C b l O B C D E b b l ) b) fig.8. În figur 8. se disting trei intervle, corespunător căror reultă soluţi prticulră: - pe intervlul O cu [, ], neîncărct: v p - pe intervlul B cu [, b], încărct: 4 p 4 p ( ) ( ) ( ) Ev p t p dt t pe intervlul BC cu [b, l], neîncărct: b 4 4 p 4 b p ( ) ( ) ( ) p( b) Ev p t p dt t În figur 8.b se disting cinci intervle, stfel: - pe intervlul O, cu [, ], neîncărct: v p - pe intervlul B, cu [, b ]: p 4 Ev p ( ) 4 - pe intervlul BC, cu [b, ]: p 4 p 4 Ev p ( ) ( b ) pe intervlul CD, cu [, b ]: 58

159 Ev p p 4 p 4 p ( ) ( b ) ( ) - pe intervlul DE, cu [b, l]: p 4 p Ev p b 4 4 p 4 p ( ) ( ) ( ) ( ) b cţiune unei forţe concentrte (fig.8.) P T - fig.8. Studiind relţiile (4) se consttă că termenii cuprinând fctorul T denotă influenţ unei forţe concentrte plicte în origine (de eemplu T termenul repreintă modul în cre este influenţtă săget v l 6E drept forţei tăietore T, su termenul T cu ceeşi însemnătte în cul momentelor). Forţ concentrtă P (fig.8.), dirijtă în jos, este plictă în secţiune şi influenţ cestei se v resimţi l drept cestei secţiuni. Pentru, influenţ lui P v fi: P ( ) - pentru săgeţi: 6E P ( ) - pentru rotiri: E - pentru momentul încovoietor: P ( ) - pentru forţe tăietore: P. Termenii se dugă epresiilor (4) pentru intervlul de l drept forţei P. 59

160 cţiune unui moment concentrt (fig.8.) b -b fig.8. cţiune unui moment, plict în secţiune b, se mnifestă prin dăugre unor noi termeni, stfel: ( b) - pentru săgeţi: E ( b) - pentru rotiri: E - pentru moment încovoietor:. Efectul unei rticulţii intermedire echivleă cu introducere în secţiune respectivă unei rotiri α. Vlore cestei v reult impunând condiţi suplimentră condiţiilor de reemre c în rticulţie momentul încovoietor să fie nul. Efectul unui reem intermedir echivleă cu introducere în secţiune respectivă unei recţiuni. Problem 8. Pentru consol din figur 8 să se clculee săget în punctul C folosind: ) metod integrării directe ) metod grinii conjugte. Se cunosc: E, 5 N/mm, 57 cm 4. kn C B B9kNm VkN B fig.8. 6

161 ) legând origine în punctul B, epresi momentului încovoietor întro secţiune curentă este: 6 ( ) 9 stfel, reultă: 6 d v 9. d E Se integreă succesiv de două ori, obţinându-se epresiile pentru rotiri şi săgeţi: 6 dv 9 ϕ C d E E 6 9 v C C. E 6E Punând condiţiile l limită se determină constntele de integrre se ştie că în încstrre tât rotire cât şi săget sunt nule. Deci pentru, v şi ϕ. Reultă C C se clculeă săget în punctul C ( mm): 6 9 ( ) ( ) vc E 6E v.6mm. C ) Se trseă grind conjugtă încărctă cu digrm de moment răsturntă (fig.8.), cu jutorul tbelului 8.. kn C B f 6 9. [Nmm] f V ½ fig.8. 6

162 v v C C f 9 6 f C 9 E E.6mm. 9 7 Problem 8.b Să se determine rotire în secţiune şi săget în secţiune B pentru grind simplu reemtă din figur 8b. Se du: 65, cm 4, E, 5 N/mm. Se v folosi metod grinii conjugte. 7kN 8kN B C D, V 5.67 kn 4.5m knm knm V D 9. kn f V fig.8b Cu jutorul tbelului 8. se trseă grind conjugtă şi se încrcă cu digrm de momente răsturntă. stfel, se obţin: f V ϕ E ϕ (.5 ) ( ) , ϕ rd v f B E V f VD mm f B 6

163 Problem 8.c Se dă grind încărctă c în figur 8c. Să se determine săget în cpătul liber şi rotire în C. Se v utili: ) metod grinii conjugte ) metod prmetrilor în origine. P B C V B.75P P - 4 f VB P f VC f P f VB P fig.8c ) Pe b tbelului 8. se trseă grind conjugtă cre se încrcă cu digrm de momente răsturntă se obţin: P 4 4 f VB 4P 4 f 4P P 5P f 5P v E E P 4 4 f V C 4 f VC P ϕ C E E. P 6

164 ) Se porneşte de l relţi: T v v ϕ v p. 6E E Studiind origine grinii, cre este un cpăt liber şi modul de încărcre l cestei, reultă: T P ( ).75P v p 6E şdr: P.75P v v ϕ 6E 6E Din condiţiile l limită pe reeme se obţine: P vb v ϕ, 6E ( ). ( 5).75P ( 4) P 5 vc v 5 ϕ 6E 6E reultă: P ϕ 5.5 E 5P v v. E Epresi săgeţilor devine: 5P P P.75P ( ) v 5.5, E E E 6E ir ce rotirilor: P P.75P ( ) ϕ 5.5. E E E Rotire în punctul C se obţine eglând cu 5: 5.5 P P( 5).75P( 4) P ϕ C. E E E E 64

165 Problem 8.d Se dă grind simplu reemtă cu consolă încărctă c în figur 8d. Să se clculee săget în secţiune D şi rotire în secţiune F folosind metod prmetrilor în origine. P P.5P P/ B C D E F V.89P V E.6P.5 fig.8d Se porneşte de l relţi (4) corespunătore lui v şi se eprimă v p în funcţie de încărcre grinii: T P (.5) P (.5) v v ϕ 6E E 6E 6E 4.5P (.5).6P ( 4.5) P ( 4.5). 6E 6E 4E Dtorită reemului din origine v, ir T,889P. Pentru determinre lui ϕ se pune condiţi c pentru 4,5, v (pe reemul din E săget este nulă):.889p ( 4.5) P ( ) P ( ).5P ϕ 4.5 6E 6E 6E 6E P ϕ E Se scriu epresiile săgeţilor şi rotirilor: 65.76P.889P P (.5) P (.5) v E 6E 6E 6E 4.5P (.5).6P ( 4.5) P ( 4.5) 6E 6E 4E 65.76P.889P P (.5) P (.5) ϕ E E E E.5P (.5).6P ( 4.5) P ( 4.5) E E 6E 65

166 Se clculeă săget în secţiune D pentru,5 şi rotire în F pentru 5.5: v ϕ D F 65.76P E 65.76P E.5.889P 6E.889P E.6P E (.5) P ( ) ( 5.5) P ( 4) P( ).5P ( ) P 6E 6E E E 54.4P. E P 6E 56.84P E E Problem 8.e Să se determine vlore săgeţii în cpătul liber l consolei din figură (secţiune ), precum şi rotire secţiunii B se du E, 5 N/mm 57 cm 4. kn B C mm - 6kNm B C 6kNm fig.8e Se foloseşte metod grinii conjugte se trseă digrm de moment corespunătore încărcării consolei, se trseă grind conjugtă şi se încrcă cu digrm de moment răsturntă. stfel, se obţine: 66

167 rd E T mm E v f B B f ϕ 67

168 Cpitolul 9 VRŢ TENSUNLOR ÎN JURUL UNU PUNCT ÎN CZUL STĂR PLNE DE TENSUN 9. Epresiile tensiunilor pe o secţiune înclintă cu unghiul α O stre de tensiune este plnă când tensiunile se flă într-un pln. În cest c, tensiunile pe plne cu vector de orientre (, τ, τ ), vor fi nule în secţiunile trnsversle pe vor pre tensiuni normle şi tensiuni tngenţileτ, ir în cele perpendiculre pe, şi respectiv τ. supr brei de secţiune dreptunghiulră cu lăţime unitră (fig.9.), forţele distribuindu-se uniform, se dmite că şi tensiunile se distribuie uniform pe lăţime, stfel încât pre o stre plnă de tensiuni redusă l plnul medin. α b fig.9. În prctică se etinde teori de l stre de tensiuni plnă şi în cul brelor căror secţiune trnsverslă este orecre, dtorită fptului că tensiunile şi τ se distribuie uniform pe lăţime secţiunii. Se secţioneă br cu plnele - şi - pe cre tensiunile, τ respectiv şi τ se presupun cunoscute, fiind determinte cu relţiile de l 68

169 solicitările simple. Pe secţiune -, înclintă cu unghiul α fţă de, tensiunile α şi τ α u vlori necunoscute. Se ioleă prism elementră triunghiulră Prin reducere în plnul medin se obţine triunghiul dreptunghic din figur 9.. τ d τ d ds α τα α fig.9. Elementul prismtic este în echilibru ecuţiile de echilibru sttic vor fi: ) Ecuţi de moment în rport cu punctul : d d τ d τ d reultă: τ τ () dică lege dulităţii tensiunilor tngenţile (vei cpitolul 4). ) Ecuţi de proiecţii pe direcţi tensiunii normle : ds d cosα d sinα τ d sinα τ d cosα, α dr τ α d ds sinα şi d ds cosα, stfel reultă: cos sin α α τ sinα cosα. α () ) Ecuţi de proiecţii pe direcţi tensiunii tngenţile τ α : ds d sinα d cosα τ d cosα τ d sinα, reultă: ( ) sinα cosα τ ( cos α sin α ). τ α (b) Utiliând relţiile trigonometrice elementre: sin α sinα cosα cos α cos α sin α cos cos α α sin cos α α, 69

170 înlocuind corespunător şi făcând clculele necesre în epresiile şi b, reultă: α cos α τ sin α () ( ) τ α sin α τ cos α. (b) 9. Tensiuni normle principle şi direcţii principle Pentru determinre tensiunilor principle ( tensiunilor normle cu vlori etreme), se deriveă epresi () în funcţie de prmetrul α: d α sin α τ cosα τ α d( α ) reultă că plnul pe cre tensiune normlă re o vlore etremă este un pln pe cre tensiune tngenţilă τ este nulă. Plnele pe cre tensiune tngenţilă este nulă se numesc plne principle de tensiune. Prin împărţire cu cosα în epresi precedentă, reultă: τ tg α (4) Epresi (4), pentru α [, π ] / / re două soluţii: α şi α π, dică e istă două plne principle de tensiune perpendiculre între ele, deci două direcţii principle de tensiune, α / şi α / π/, pentru cre tensiunile normle sunt şi cu >, ltfel spus: m şi min. Folosind relţiile trigonometrice: tg α sin α ± cosα ±, tg α tg α prin utilire epresiei (4), reultă: τ ( ) sin α ± cosα ±. τ τ Se introduc epresiile lui cos α şi sin α în relţi (), de unde vor reult tensiunile normle principle: 7

171 , ± τ (5) Pentru stbili cre din unghiurile α / şi α / π/ corespunde lui se d α pune condiţi de mim d ( α ) <. Se deriveă încă o dtă epresi () în funcţie de (α): d α cos α τ sin α τ α cos α d ( α ) tg τ dr cu tg α din (4), reultă: cu d d α ( α ) α cosα sin tg α, deci: cos α τ d α sinα sinα cosα τ τ, d( α ) τ τ ţinând cont de sin α sinα cosα cosα tgα cosα, reultă: d α ( ) τ d α cee ce reduce condiţi de mim l: tgα >. τ cos α tgα <, τ (6) 9. Tensiuni tngenţile mime Se scrie vriţi tensiunilor în jurul unui punct legând c e de referinţă ele principle le secţiunii (fig.9.). 7

172 τα α ( )/ ( )/ fig.9. Reultă,, τ în cest c relţiile şi b devin: cos α α (7) τ α sin α. (7b) Vlorile etreme le lui τ α se obţin pentru sin α ± su α, ± π / 4, deci plnele bisectore le plnelor principle de tensiune. Reultă: τ m τ min. Tensiune normlă pe plnul pe cre cţioneă τ m, respectiv τ min re vlore:. ± Tensiuni pe o suprfţă înclintă în curile solicitărilor simple Se prticulrieă epresiile şi b corespunătore tensiunilor α şi τ α pentru solicitările simple, stfel: 7

173 . Solicitre de întindere su compresiune monoilă (fig.9.4) α τα α τ τ. Reultă tensiunile pe o suprfţă înclintă: cos α α sin α τ. Tensiunile şi direcţiile principle sunt: π α α. Tensiune tngenţilă mimă este: τ m π pentru α. 4 b. Solicitre de forfecre pură (fig.9.5) fig.9.4 τ τ α τα α. Reultă tensiunile pe o suprfţă înclintă: τ sin α α τ α τ cos α. fig.9.5 7

174 Tensiunile şi direcţiile principle sunt: π π τ τ α α. 4 4 Tensiune tngenţilă mimă este: τ m τ pentru α. c. Solicitre de încovoiere simplă Tensiune normlă se clculeă c u formul lui Nvier. Tensiune normlă este nulă. Tensiunile tngenţile τ, τ se clculeă cu formul lui Jurvski. Tensiunile principle se vor clcul stfel:, ± τ. Problem 9. Pentru grind vând secţiune în formă de T c în figur 9, se cer tensiunile principle şi direcţiile principle în punctul P l secţiunii B dr. 8.5 N/mm B C m.88m G P 8 4 fig.9 Pentru clculul tensiunilor principle se determină iniţil: P Bdr P T Bdr S P τ. b Pentru clculul momentului de inerţie il se determină mi întâi poiţi centrului de greutte l secţiunii: 7 4, 8 mm G 74

175 poi se clculeă : mm. stfel, reultă: P N / mm 767 în cre:.5 88 Bdr Nmm, 8 48mm respectiv: cu: P ( 48 ) P τ 8.95 N / mm 767 T ( 4 68) b mm. Tensiunile principle sunt:, S Bdr ± τ N, mm. N / mm 66.6 N / mm. Direcţiile principle se determină cu relţi: τ 8.95 tg α , 65.4 ± 65.4 / / // / α 7 9 α 8 5 în urm discuţiei: tgα > τ > tgα >, α < τ reultă: π / / α 8 5, α Problem 9.b Să se determine tensiunile normle principle şi direcţiile principle pentru grind simplu reemtă cu consolă, vând secţiune în formă de, l 75

176 îmbinre inimii cu tlp, în secţiune ce mi solicittă (fig.9b). Se du: m q kn/m t mm. q 5q q B C D E 8t t V q q 4 q - q 4q q q 4q fig.9b Tensiunile normle principle se clculeă cu relţi: - T, ± τ, J 6t t 8t t în cre pentru problem 9.b: cu: m 4q t J 8t reultă: respectiv:, ( 6t) 8t ( t) 8t t m ( 9t) J 994t N / mm τ T S b mm 4, 76

177 în cre: T 4q, S 8t t 9t, b t stfel, se obţine: 8 9 τ 5. N / mm Se fc înlocuirile în epresi tensiunilor principle: 4, 6.6 ± N / mm,.7 N / mm Direcţiile principle se determină cu relţi: τ 5. tg α / α / // // α / // în urm discuţiei: tgα π > τ <, tgα < α > τ reultă: / // α , α / //

178 Cpitolul TORSUNE. Generlităţi. Torsiune brelor cu secţiune circulră O bră este solicittă l torsiune (răsucire) dcă în secţiunile ei trns versle forţele interiore se reduc l un cuplu moment de torsiune t cţionând în pln norml l brei, vectorul moment fiind dirijt după tngent l brei în secţiune considertă. Deformţi brei supusă l torsiune este crcterită, în principl, de rotire secţiunilor trnsversle un fţă de lt în jurul unei e cre, în cul secţiunii vând două e de simetrie, coincide cu brei. În cul brei cu secţiune circulră su inelră, problem torsiunii se pote reolv complet cu ipoteele Reistenţei terilelor, în timp ce, pentru lte tipuri de secţiuni soluţionre problemei torsiunii este posibilă n umi cu metodele Teoriei Elsticităţii. omentul de torsiune trnsmis, în cul unui rbore pe cre sunt montte două roţi de cure (fig..), rot fiind motore ir rot B condusă, eforturile din rmurile de cure fiind S, S, S, S 4 cu S > S şi S > S 4, este: S S t ( ). R B R R r r S S4 S S t fig.. 78

179 Condiţi de echilibru cere c momentul prelut de rot condusă să fie egl cu cel trnsmis: B t t ( ). B t S S 4 r omentul de torsiune este constnt pe distnţ dintre roţi. Dcă rborele este ntrent de un motor de putere P[kW] ir turţi este n[rot/min], momentul de torsiune (cuplul motor) este: P t 9.55 [ knm]. n. Tensiuni în br de secţiune circulră şi inelră Fie o bră dreptă de secţiune circulră încstrtă l o etremitte şi cţiontă l cpătul liber de un moment de torsiune t (fig..). Pentru echilibru, în încstrre i nştere un moment de torsiune egl şi de sens contrr celui plict l cpătul liber, stfel că în fiecre secţiune brei eistă un moment de torsiune t. t t fig.... Condiţi geometrică Dcă se trseă pe suprfţ lterlă brei, ininte de solicitre cestei, o reţe lcătuită dintr-un sistem de linii prlele cu longitudinlă (genertore) şi dintr-o serie de cercuri, constituind conturul eterior l secţiunilor trnsversle, se v constt că după răsucire brei (în condiţiile unor deformţii mici), genertorele drepte se trnsformă în curbe elicoidle, conturul secţiunilor trnsversle (circulre şi plne îninte de deformţie) rămân celeşi şi după deformţie şi l celeşi distnţe între 79

180 ele, ir brei rămâne dreptă. În urm răsucirii, o secţiune orecre brei s- rotit fţă de lt cu un numit unghi de torsiune, trnsformând dreptunghiurile reţelei de pe suprfţ lterlă în prlelogrme.deorece distnţ între secţiunile trnsversle nu se modifică, reultă că fibrele longitudinle le brei nu-şi modifică lungime şi că un element dreptunghiulr, detşt de pe suprfţ lterlă brei şi cuprins între două genertore şi două cecuri prlele, este supus l forfecre pură în urm cărei se trnsformă în prlelogrm cu deformţi unghiulră γ (fig..). t t γ l l fig.. cestă observţie crcterieă modul de deformre l fibrelor de pe suprfţ lterlă brei. Pentru precire comportării fibrelor din interior se v ccept ipote că secţiune se roteşte în urm deformării c un disc rigid, rămânând indeformbilă în plnul ei, rele în secţiune rămânând re drepte şi de ceeşi lungime, dr rotite tote cu celşi unghi. poteele cre stu l b torsiunii brelor cu secţiune circulră sunt următorele: - secţiunile trnsversle le brei, plne şi normle l cestei îninte de deformţie, rămân plne şi normle şi după deformţie (ipote secţiunilor plne), secţiunile rotindu-se cu un numit unghi în jurul ei. - rele secţiunii rămân drepte şi de ceeşi lungime şi după deformţie. - distnţele (în lungul ei) între diferitele secţiuni trnsversle nu se modifică în urm deformţiei. În b cestor ipotee, torsiune brei de secţiune circulră se pote repreent c reulttul lunecărilor provocte de rotirile reciproce le secţiunilor unele fţă de ltele. C urmre, în secţiunile trnsversle se produc numi tensiuni tngenţile, tensiunile normle fiind nule. Se consideră br de secţiune circulră de ră R încstrt ă l o etremitte şi cţiontă l cpătul liber de momentul de torsiune t (fig..4). În urm deformţiei, genertore B de pe suprfţ lterlă 8

181 brei ocupă poiţi B /, secţiune - sitută l distnţ de cpătul încstrt se roteşte cu unghiul ϕ fţă de secţiune din încstrre, ir secţiune - sitută l distnţ d se roteşte fţă de încstrre cu unghiul ϕdϕ. ϕ ϕ dϕ B t t B / d fig..4 Se consideră seprt elementul brei de lungime d (fig..5), presupunând secţiune - fiă, pentru evlure unghiului de rotire dϕ l secţiunii - în rport cu -. c γ γ b b d r d dϕ R t t d fig..5 Genertore b v ocup poiţi b după torsiune, cele două poiţii formând unghiul γ între ele, unghi ce repreintă deformţi unghiulră pe suprfţ cilindrică eterioră brei şi cre, în ipote micilor deformţii se pote scrie: 8

182 bb dϕ γ R. b d Pentru o suprfţă cilindrică interioră de ră r, deformţi unghiulră v fi: dd dϕ γ r. cd d dϕ ărime θ se numeşte răsucire specifică şi repreintă rotire d dintre două secţiuni situte l o distnţă eglă cu unitte un fţă de celltă... Condiţi de elsticitte cestă lege este eprimtă prin lege lui Hooke l răsucire, stfel: τ G γ G r θ τ m G R θ, reultă că tensiunile tngenţile l torsiune vriă linir cu distnţ până l ă (sunt nule l nivelul ei şi mime pe contur, fig..6). τm r t τ R τm fig..6.. Condiţi sttică cest studiu fce pel l relţi de echivlenţă dintre momentul de torsiune în secţiune şi momentul forţelor elementre (τ d), de pe suprfţ secţiunii trnsversle, în rport cu brei (fig..7). 8

183 t d r τ fig..7 reultă: stfel: t G, θ ct., rτ d Gθ r Gθ t p r d d p θ. () G p Produsul G p portă numele de modul de rigiditte l torsiune brei de secţiune circulră su inelră. Ştiind că τ G r θ, se înlocuieşte θ cu epresi () şi reultă: t τ r τ m p t p t R. Se numeşte modul de reistenţă polr şi se noteă cu W p mărime: p W p, R prin urmre: τ t m τ, W relţie ce repreintă condiţi de reistenţă pentru br supusă l torsiune. p 8

184 . Deformţii Răsucire specifică se clculeă conform relţiei (): t θ G p ţinându-se sem de: dϕ θ dϕ θ d. d Rotire reltivă între două secţiuni flte l distnţ l un fţă de lt este: l ϕ t l θ d. G p Pentru consol din figur.8 ϕ repreintă unghiul de torsiune l cpătul liber l brei. t t ϕ l fig..8 Când se impune limitre rotirilor (depăşire deformţiilor limită l torsiune putând fect funcţionre norml ă rborilor), intervine condiţi de deformţie: θ θ..4 Clculul rborilor de trnsmisie solicitţi l torsiune. Criteriul de reistenţă (τ m τ ) Formul de verificre: m t ef W p τ τ m 84

185 Formul de dimensionre: m nec t Wp τ Formul de clcul efortului cpbil: cp ef W τ t p. B. Criteriul de deformţie (θ m θ ) Formul de verificre: m θ t m ef G θ Formul de dimensionre: m nec t p G θ Formul de clcul efortului cpbil: cp ef G θ. t p p.5 Clculul modulului de reistenţă polr W p re ultă: Secţiune circulră (fig..9) W p p R W p p D π 6 π D. 4, R D fig..9 Secţiune inelră (fig..) W re ultă: p p R W p p π 4 4 ( D d ), 4 4 ( D d ) π. 6 D R d D fig.. 85

186 .6 Sisteme sttic nedeterminte l torsiune Fie o bră dublu încstrtă (fig..) solicittă în secţiune C de momentul de torsiune t. omentul de inerţie l torsiune este diferit pe intervlele C şi CB. Se cere trsre digrmei de moment de torsiune. Se scrie ecuţi de momente de torsiune fţă de brei: t tb t, () ecuţi conţinând două necunoscute ( t şi tb ), sistemul este o dtă sttic nedetermint. Pentru se stbili dou relţie din sistem o relţie de comptibilitte geometrică deplsărilor se suprimă o legătură, de eemplu încstrre din, obţinându-se o formă de bă sistemului iniţil. X t t t C B b l t t t tb Xt - Xt t (X t) Xt t t - Xt - t t ( t) t fig.. Se noteă cu X t momentul de torsiune din încstrre din. Ecuţi cre se pote scrie este ϕ t, dică rotire dtortă torsiunii în încstrre din este nulă. Rotire s-r dtor pe de o prte momentului de torsiune necunoscut X t ir pe de lt, momentului de torsiune din C: ϕ t ϕ t ( X t ) ϕ t ( t ), () dr: t X t X t b ϕ t ( X t ) d, () G t G t G t respectiv 86

187 b t ( ) ϕ t t (4) G t se introduc epresiile () şi (4) în (), reultă: b t X t t. b (5) t t Digrm finlă de moment de torsiune se obţine prin suprpunere efectelor. Se introduc lungimi reduse în epresi (5): / t / t b b, (6) t t cu t un moment de inerţie l torsiune les rbitrr cest pote fi unul dintre momentele de inerţie le brei, de regulă cel cre corespunde tronsonului de bră cu lungime ce mi mre. Din epresi (5) reultă: / / b X t t, X / t t t / l l Din studiul digrmei t (fig..), se observă că, de fpt, este cul digrmei de forţe tăietore corespun ăto re unei grini simplu reemte / B / C / convenţionle, în cre forţ cre cţioneă în punctul C / este o forţă convenţionlă obţinută prin rotire în sens trigonometric cu 9 vectorului moment de torsi une (fig..) cu T C s- nott digrm de forţe tăietore convenţionlă. t / / / C t B / / / V t b/l t / / b/l t - l b / / / / / / V tb /l t t /l / / TC _ t fig.. 87

188 cest este metod grinii convenţionle pentru trsre digrmei de momente de torsiune t pe o grindă dublu încstrtă se porneşte de l br relă dublu încstrtă, se determină grind convenţionlă simplu reemtă vând deschiderile precite de relţiile (6). Grind convenţionlă se încrcă cu forţe convenţionle provenite din rotire vectorului moment de torsiune cu 9 în sens trigonometric digrm de forţe tăietore pe grind convenţionlă este identică cu digrm de momente de torsiune pe grind relă..7 Torsiune brelor cu secţiune dreptunghiulră Problem torsiunii unei bre cu secţiune trnsverslă necirculră este mi compleă decât ce brei cu secţiune circulră, deorece ipoteele dmise l br cu secţiune circulră nu rămân vlbile pentru brele cu secţiune orecre în specil ipote secţiunilor plne (Bernoulli), cum rtă eperimentele, nu este respecttă, diferitele puncte le secţiunii trnsversle deplsându-se diferit în lungul ei brei, stfel că secţiunile trnsversle le brei se deplneă. Dcă pe suprfţ lterlă unei bre de secţiune dreptunghiulră constntă se trseă o reţe ortogonlă şi poi se supune br l torsiune, se consttă deplnre (strâmbre) secţiunilor trnsversle (fig..). Dreptunghiurile de pe suprfţ lterlă brei se deformeă trnsformându-se în prlelogrme, deformre lor fiind cu tât mi ccentută cu cât sunt situte mi prope de mijlocul feţei lterle dreptunghiurile de lângă muchii rămân prope nedeformte. ceste observţii duc l conclui că tensiunile tngenţile mime u loc l mijlocul feţelor, deorece în ceste one deformţiile unghiulre sunt mime, ir l muchii (în colţuri) unde deformţiile unghiulre sunt nule, tensiunile tngenţile vor fi şi ele nule. t h τm b τm fig.. t fig..4 88

189 Se vor d câtev reultte le soluţiei ecte pentru br de secţiune dreptunghiulră, în cul deplnărilor libere (fig..4), pentru distribuţi tensiunilor tngenţile de- lungul elor principle, l digonlelor şi pe contur. Epresiile cre du tensiunile tngenţile mime şi unghiul de torsiune specific sunt: t τ m, l mijlocul lturii lungi Wt τm γ τ m, l mijlocul lturii scurte t θ, G t cu: t β hb, Wt α hb unde α, β, γ sunt coeficienţi numerici cre depind de rportul h/b l lturilor secţiunii (h fiind ltur lungă şi b, ltur scurtă dreptunghiului). Vlorile sunt dte în tbelul.. h/b,,5,75,,5, 4, 6, 8,, 4 α,8,,9,46,58,67,8,99,7,, β,4,96,4,9,49,6,8,99,7,, γ,,859,8,795,766,75,745,74,74,74,74 Tbel..8 Torsiune brelor cu pereţi subţiri, cu profil deschis, cu deplnări libere Frecvent în prctică se întâlnesc bre căror secţiune trnsverslă este lcătuită din dreptunghiuri înguste legte rigid între ele su cu un contur curb deschis, cu grosime forte mică (fig..5). fig..5 89

190 Este cul profilelor lminte cre sunt considerte secţiuni cu profil deschis şi pereţi subţiri. Deorece şi în cest c prin torsiune se produce deplnre secţiunilor trnsversle, problem torsiunii nu se pote reolv cu metodele elementre, pe b ipoteei secţiunilor plne. În cul torsiunii libere se pote d o metodă proimtivă pentru determinre tensiunilor tngenţile mime şi unghiului de torsiune, utiliând soluţi pentru torsiune secţiunii dreptunghiulre înguste. Se cceptă în mod proimtiv că l torsiune secţiunii din figur.6 fiecre dreptunghi lucreă independent, rigiditte întregii se cţiuni l torsiune fiind dtă de sum rigidităţilor dreptunghiurilor componente. h t h b b bi τim t hi ti hi bi b h b τm t h fig..6 fig..7 În cul generl, pentru o secţiune lcătuită din n dreptunghiuri, h i şi b i fiind dimensiunile dreptunghiului i, fiind prope întotdeun îndeplinită condiţi h/b > (α β /), reultă: t n i i n t i i i ( ) h b. Pentru determinre tensiunilor tngenţile în secţiune este necesr să se cunoscă momentul de torsiune pe cre îl prei fiecre dreptunghi component ( ti ), din momentul de torsiune totl t cre cţioneă pe secţiune (fig..7), cu:. t t ti t 9

191 Deorece întreg secţiune se roteşte c un disc rigid, unghiul de torsiune specific l întregii secţiuni este celşi cu cel l fiecărui dreptunghi component: θ θ θ θ ti t θ i θ G ti G t reultă: ti t t ti ti. ti t t Tensiune tngenţilă mimă pentru dreptunghiul i v fi: i ti t ti τ m, W W ti ti hi bi Wti hi bi ti i t bi, τ m bi. Wti t Tensiune mimă în secţiune v fi: t τ m bm, t cestă vlore obţinându-se l mijlocul dreptunghiului component cu grosime ce mi mre (fig..6). În legătură cu clculul proimtiv rătt se fce menţiune că eperienţele demonstreă o rigiditte brelor cu pereţi subţiri cu profil deschis mi mre decât ce dtă de formule. cest lucru se eplică prin considerre în formule lucrului independent l fiecărui dreptunghi component, fără ţine sem că porţiunile sunt prinse rigid între ele. Se recomndă în cest sens corectre momentului de inerţie l torsiune dt de relţi nterioră prin înmulţire cu fctorul η cre ţine sem de form profilului: - pentru profilul cornier L, η - pentru profilul U, η,, - pentru profilul, η,. L rcordările dintre elementele unui profil pr concentrări de tensiuni, cre pot duce l vlori le tensiunilor tngenţile superiore celor determinte c mime, prin utilire formulelor precedente. stfel, în on rcordărilor tensiunile tngenţile se clculeă cu re- t i ti 9

192 lţi: τ k m α τ b α.74 k r în cre b grosime profilului l rcordre, r r de rcordre. k m,.9 Torsiune brelor cu pereţi subţiri, profil închis, deplnări libere Pentru secţiune tip profil închis cu pereţi subţiri (fig..8) se vor d câtev reultte le soluţiei în cul deplnărilor libere pentru situţi în cre S/bi min 8, cu S lungime conturului medin l secţiunii şi b i grosime peretelui în punctul i l secţiunii. b df τ ds S t bi fig..8 Tensiunile tngenţile τ sunt tngente l contur şi dtorită grosimii mici pot fi considerte constnte pe grosime b conturului. Se secţioneă trnsversl în - şi - (fig..8) şi se decupeă din tub un tronson delimitt de două secţiuni trnsversle situte l o distnţă eglă cu unitte şi de două plne prlele cu tubului (fig..9). Pe muchi -, de lăţime b, tensiunile tngenţile sunt τ, pe -, de lăţime b, tensiunile tngenţile sunt τ. Tensiunile τ şi τ sunt uniform distribuite pe grosimile b şi b. Pe feţele longitudinle se devoltă tensiuni t ngenţile cre respectă lege dulităţii tensiunilor tngenţile (de vlori tot τ şi τ ). Din ecuţi de proiecţii pe longitudinlă tubului, reultă: 9

193 τ τ τ b τ b τ b τ f fig..9 cu τ f fluul tensiunilor tngenţile. Prin scriere relţiei de echivlenţă dintre momentul de torsiune în secţiune şi momentul forţelor elementre df τb ds de pe suprfţ secţiunii trnsversle, în rport cu brei (h fiind perpendiculr din O pe df), se o bţine (fig..): t ( τb ds) h, τb ct. S S h ds Ω Ω fiind ri închisă de conturul medin (fig..). ds Ω h Ο fig.. fig.. 9

194 stfel, reultă: τ b Ω, t τ Ωb prim formulă lui Bredt. Condiţi de reistenţă devine: t τ m τ Ωb t min se pote fce notţi W t Ωb min. Pentru determinre tensiunii specifice se peleă l ce de- dou formulă lui Bredt: t 4Ω θ, t, G t ds b S pentru tuburi cu pereţi de grosime constntă se pote scrie: ds s. b b S. rcuri elicoidle cu psul mic Crcteristicile geometrice le rcului elicoidl cu psul mic sunt (fig..): F p α d R F fig.. 94

195 p psul rcului, repreentând distnţ dintre două spire consecutive R r rcului d dimetrul spirei rcului α - unghiul făcut de tngent l spiră cu perpendiculr pe rcului α fiind mi mic de 8 pot fi făcute următorele proimţii: sinα cosα. Dtorită proimţiilor mi sus menţionte, secţiune spirei rcului este solicittă l un moment de torsiune t F R şi o forţă tăietore T F (fig..). mbele eforturi produc pe secţiune spirei tensiuni tngenţile. t FR τt R T F τt 4F/ τt t/wp τm fig.. Din compunere tensiunilor tngenţile reultă că punctul cel mi solicitt este cel de l interiorul spirei de rc. Tensiune mimă şi condiţi de reistenţă se eprimă stfel: t 4 F t d τ m τ. Wp Wp R Pornind de l condiţi de reistenţă se obţine o formulă de dimensionre dimetrul v reult c rădăcin mimă unei ecuţii de grdul trei. Dimensionre prctică rcurilor se fce stfel: - se neglijeă iniţil influenţ forţei tăietore şi se fce dimensionre dor din efectul momentului de torsiune: 95

196 nec t FR dim π d Wp Wp τ τ 6 - dimetrul efectiv l spirei v reult prin multiplicre dimetrului nterior clcult, stfel: d d ef d R - în mod obligtoriu, se v verific condiţi de reistenţă cu d ef reultt. Deplsre cpătului liber unui rc elicoidl (fig..4), se clculeă stfel: Δ 64FR n rc 4 G d cu n numărul de spire l rcului. Săget produsă de o forţă unitră se numeşte coeficient de elsticitte şi se noteă cu δ rc [m/n]. nversul cestei, K /δ [N/m], se numeşte coeficient de rigiditte su constnt elstică rcului şi repreintă mărime forţei cre produce o deplsre unitră. În funcţie de ceste mărimi se pot scrie relţiile: Δ rc δ rc F F K Δ. B B / F Δrc fig..4. oduri de montre rcurilor.. ontj în prlel (fig..5) F F F K K F Δ F fig..5 96

197 Sub cţiune forţei F, sistemul formt din cele două rcuri, vând constntele elstice K şi K, se deplseă cu Δ. Dcă se noteă cu F şi F forţele ce iu nştere în cele două rcuri, se pote scrie relţi: F F F F K Δ, F K Δ deplsre întregului sistem este deplsre fiecărui rc în prte: Δ Δ Δ, reultă : F ( K K )Δ, şdr: F Δ. K K Se noteă cu K ech constnt elstică nsmblului reultă în finl: K ech K. K.. ontj în serie (fig..6) K K F F Δ fig..6 Forţ F cre cţioneă supr sistemului celor două rcuri este forţ cre cţioneă supr fiecărui rc în prte: F F F. Deplsre sistemului se compune din sum deplsărilor celor două rcuri: Δ Δ Δ, dr F K Δ şi F K Δ, stfel: F F F Δ K K K dică:. K ech K K ech,. Sisteme sttic nedeterminte lcătuite din rcuri elicoidle Pentru sistemul de rcuri din figur.7 se cere să se clculee forţ cpbilă suporttă. 97

198 K F K B F/ ΔB F/ K B / B F F/ F/ F4 K4. C b. fig..7 / Se ioleă punctul B în poiţi depls tă B (fig..7b) reultă: F F F F 4. () Deplsre punctului B este pe de-o prte dtortă forţelor F şi F (într-un sens) şi pe de lt forţelor F, F 4 (în sens contrr), stfel: F Δ B, () K F F4 F F4 Δ B. () K K 4 K K 4 Se introduc relţiile () şi () în ():, Δ B ( K ech K K4 ) F. Din condiţi de reistenţă pentru fiecre rc în prte v reult o vlore forţei cpbile suporttă de sistemul de rcuri (ptru vlori diferite), stfel:, / F F K Δ F F ech ech B cp cp F K Δ F F, // ech B cp cp F F K Δ F F /// B cp cp 4 K 4 Δ B F 4cp F Dintre cele ptru vlori se v lege ce mi mică dintre ele, reultă: / // /// V F min ( F F F F ). cp cp cp cp V cp. cp 98

199 Problem. O bră cilindrică încstrtă l un cpăt este încărctă cu cuplurile de forţe conform fig.. Se cere să se dimensionee br τ 8 N/mm, θ,5-5 rd/mm, G 8,4 4 N/mm. 6kN kn 6 d B d C 6kN 6. 5 kn mm 5 8. [Nmm] fig. Se clculeă momentele de torsiune produse de cele două cupluri de forţe se trseă digrm de momente de torsiune. nec Se determină W p din condiţi de reistenţă l solicitre de torsiune: m t τ m τ W W m nec t B p B τ p W dim p B Pe intervlul -B de dimetru d: 5 t 6 B 6 6 d π τ π 8 d ef 7 mm. Cu d ef se verifică condiţi de deformţie: m t θ m θ B G p B 4 4 π d π p B π d 6 6.8mm mm 4. 99

200 5 6 5 θ ef.88 rd / mm > θ. m şdr dimetrul de 7 mm nu verifică condiţi de deformţie se redimensioneă br din cestă condiţie: 5 nec t B p 74 mm B 4 5 G θ dim π d nec p p d 75.4 mm, B B se lege d ef 8 mm. Pe intervlul B-C de dimetru d : t B C τ m τ W p B C 5 nec t B C 8 dim π W p W B C p B C τ 8 6 stfel, reultă d 44,5 mm. Se lege d ef 5 mm. Se verifică condiţi de deformţie cu cest dimetru: t B C θ m θ B C G p B C ( d ) 4 π mm 4 p B C θ m. rd / mm < θ. B C Reultă că dimetrul pe intervlul B-C este d mm. Problem.b rborele BCD este dublu încstrt, vând secţiunile din fig. b.. Să se dimensionee şi să se clculee rotirile în secţiunile crcteristice. Se du: τ 6 N/mm, G 8,4 4 N/mm. rborele fiind dublu încstrt, deci un sistem sttic nedetermint, pentru trsre digrmei de moment de torsiune se foloseşte metod grinii convenţionle se clculeă momentele de inerţie l torsiune pe cele două intervle cu secţiuni diferite:

201 6kN kn BC.4m d B C D.5m.5m.6m CD b d b t [knm].4 fig.b. π d 4 t BC p t CD pentru h/b, β,4, reultă: β hb t CD β.5d.98 d d Se l ege se clculeă lungimile reduse: t t BC / l BC l BC m 4 / t.98d lcd lcd.6.68m. 4 t.5d CD Se trseă grind convenţionlă simplu reemtă, încărctă cu forţele obţinute prin rotire cu 9 în sens trigonometric vectorilor moment de torsiune din secţiunile B şi C (fig.b.). Se trseă pe cestă grindă digrm de forţe tăietore convenţionle cre v fi identică cu ce de momente de torsiune pe grind relă. Se dimensioneă pe intervlul B pe cre momentul de torsiune este mim şi unde secţiune este circulră, pornindu-se de l condiţi de reistenţă: τ m W m t p 4. τ 4 4

202 / / / / B C D / V m.5m.68m.56 - T C t [knm].4.. tb knm tc knm se obţine: W nec p τ m t fig.b nec dim π d Wp Wp 6 reultă d 74,95 mm, se lege d ef 75 mm. Se verifică secţiune pătrtă din condiţi de reistenţă: W t CD h α.8 b t CD τ m τ, CD cu W, t CD 6.4 τ m 7. N / mm > τ..96 Condiţi de reistenţă nefiind stisfăcută, se redimensioneă din cestă condiţie pe intervlul CD: 6 nec t CD.4 dim Wt 7. Wt α b CD τ 6 6 mm α b mm b d 75 5mm reultă b 56,4 mm, se lege b ef 57 mm şi d b 8.6mm se lege d ef 85 mm.

203 Problem.c rborele BCD, dublu încstrt, re secţiune csettă şi este solicitt c în figur c. Se cere să se dimensionee τ N/mm, t 4, knm. t t B C D l/ l/ l/ t t t t t / V.t.67t τ T C T t 6t t.t -.t fig.c τ t Br vând momentul de inerţie l torsiune constnt, grind convenţionlă v ve celeşi deschideri. Se trseă digrm de forţe tăietore convenţionlă identică cu digrm de momente de torsiune. Dimensionre se fce pornind de l condiţi de reistenţă l torsiune pentru secţiune cu pereţi subţiri, profil închis: t m τ m τ, Ω t 7t 84t, bmin min( t t) t Ωbmin reultă: t t 7.5mm tef 8mm. τ 84 În colţ cele două tensiuni τ şi τ se compun: înlocuind, se obţine: Ω τ m τ τ τ, t 7.8mm t 8mm. ef t t τ t

204 Problem.d Sistemul de bre BCDE este pln, încărct cu forţele F perpendiculre pe pln (fig.d.). Să se dimensionee brele şi să se determine deplsre punctului D. Se cunosc F kn,,5 m, τ 75 N/mm, 5 N/mm, G 8, 4 N/mm, E, 5 N/mm. B, CD, BE CB.5.5 F E B h.5b t t 4t C D b τ τ t t t t F - - F F F t fig.d. Se trseă digrmele de moment de torsiune şi de moment încovoietor se dimensioneă br BC l torsiune din condiţi de reistenţă pentru o secţiune profil închis cu pereţi subţiri: BC t, τ BC τ Ω 76t. Ωbmin Punctul cel mi solicitt este în colţul secţiunii unde se compun tensiunile τ şi τ : τ τ t m τ Ω t t τ 4

205 4 7 t BC F.5 Nmm, reultă t 8,8 mm, se lege t ef 9 mm. Se dimensioneă br B solicittă tot l torsiune, din condiţi de reistenţă pentru o secţiune de formă dreptunghiulră: t B h τ B τ.5 α., α hb b reultă: 6 5 b 57.7mm se lege b ef 6 mm şi h ef 9 mm. Se verifică brele încovoite cu dimensiunile b ef şi h ef : bh m, W W 6 7 m.45 N / mm < şdr dimensiunile b ef şi h ef sunt 6 mm, respectiv 9 mm. Deplsre punctului D (fig.d.), este compusă din deplsre dtortă rotirii din torsiune în punctul C precum şi din deplsre din încovoiere pe br CD considertă c o bră încstrtă în C şi liberă în D, stfel: ϕc t C D ϕc t. F() E ΔD fig.d. 5

206 CD t B β hb bh t B ( ) t F Δ D ϕ C E C t ϕ C G t d 8.4 ( 76 9 ) mm 4Ω 4 t BC ds b 9 9 F.5 F.5 ϕ C.7 rd. G G Δ t BC 4 mm (.5 ) mm D 4 4 mm Problem.e Pentru cdrul pln din figur e să se trsee digrmele de efort şi să se verifice br CD ştiind că secţiune este un profil 8 ir τ N/mm. 8kN m kn/m 8 T [kn] m C B D E 4 4 4, m 4kN t [knm] [knm] 4-4 fig.e 4 6

207 Br CD este solicittă l torsiune secţiune fiind un profil deschis cu pereţi subţiri, condiţi de reistenţă este: t τ m bm τ. t 4 Pentru profilul 8: t 47,6 cm, b m m (b inimă b tlpă ) cu b m m (5,,) 5, mm. stfel, reultă: 6 4 τ m N / mm În on de rcordre: * τ α τ m k * m k α.74 τ m b r N / mm 5.. < τ..99, 7

208 Cpitolul STUDUL DEPLSĂRLOR PRN ETODE ENERGETCE. Principiul lucrului mecnic virtul plict corpurilor elstice Principiul lucrului mecnic virtul se enunţă stfel: Pentru un sistem de forţe în echilibru, lucrul mecnic virtul, într-o deplsre virtulă, infiniteimlă, comptibilă cu legăturile, este nul. Lucrul mecnic virtul în cul corpurilor deformbile este produs tât de forţele eteriore cât şi de cele interiore. Prin deplsre virtulă se înţelege o deplsre posibilă, independentă de timp. Se pote scrie şdr că: L et L int. () Fie o bră simplu reemtă, cţiontă de o forţă eterioră P (fig..). P ds _ Δ F F _ ds Δ(ds) fig.. Poiţi este poiţi de echilibru elstic brei sub cţiune încărcărilor. Poiţi este poiţi deformtă dtortă unei deplsări virtule, comptibilă cu legăturile elstice le sistemului. Dtorită deplsării virtule, forţele de legătură F vor produce un lucru mecnic simbolurile virtule vor purt bră desupr. Lucrul mecnic virtul l forţelor eteriore v fi: 8

209 L et P Δ. Lucrul mecnic virtul elementr l forţelor interiore v fi: d L F Δ ( ds). int. Energi potenţilă de deformţie Fie o bră lcătuită dintr-un şir de puncte mterile dispuse în lungul ei. Se presupune că br este supu să l întindere de forţele F plicte l cpete (fig..). Considerându-se două puncte mterile situte l distnţ ds u nul fţă de celăllt, ceste se vor depărt c urmre lungirii brei cu cntitte Δ(ds). Forţele de trcţie dintre cele două puncte mterile vor produce lucrul mecnic: dl i F Δ ( ds) () semnul minus pre deorece forţ F şi deplsre Δ(ds) u sensuri contrre. F F ds Δ(ds) fig.. Dcă se consideră br c un mediu continuu şi se ioleă un element de lungime ds din cest (fig..), l cele două etremităţi trebuiesc introduse forţele de întindere F. F F F F ds Δ(ds) fig.. 9

210 Fiind mărimi secţionle, ceste (forţele F) repreintă forţe eteriore pentru elementul considert: dl ef F Δ ( ds). () Din epresiile () şi () reultă: dl d ef L i Lef L i. (4) Din relţiile () şi (4) reultă că: L et L ef, cee ce constituie principiul lucrului mecnic virtul plict corpurilor elstice. Lucrul mecnic produs de eforturile interiore (mărimile secţionle) într-un corp deformbil, pre c urmre producerii deformţiilor cest este numit energie potenţilă d e deformţie (U). stfel, reultă: L et U, epresi constituind teorem lui Clperon cre se enunţă stfel: dcă un corp elstic se găseşte în repos, lucrul mecnic l forţelor eteriore este egl cu energi potenţilă de deformţie cumultă în corp su în timpul încărcării unui corp elstic forţele eteriore vor eecut un lucru mecnic cre v fi egl cu vriţi energiei potenţile de poiţie cestor forţe. cest lucru mecnic eterior se înmgineă în corp sub formă de energie potenţilă de deformţie, repreentând lucrul mecnic pe cre îl eecută eforturile interiore din corp. Considerându-se procesul de deformre reversibil, întregul lucru mecnic eterior su întreg energie potenţilă de poiţie forţelor eteriore se v trnsform în energie potenţilă de deformţie, ir l descărcre, cest v fi restituită integrl. şdr, energi potenţilă de deformţie nu v depinde de modul în cre sunt plicte forţele eteriore supr corpului, ci numi de intensitte lor finlă.. Lucrul mecnic eterior Lucrul mecnic este definit prin produsul dintre o forţă şi proiecţi deplsării pe direcţi forţei (su dintre o deplsre şi proiecţi forţei pe direcţi deplsării), respectiv produsul dintre un cuplu şi proiecţi vectorului rotţie pe suportul vectorului cuplu.

211 supr unui corp elstic forţele nu cţioneă de l început cu întreg intensitte ci sunt plicte cu o intensitte vriind de l ero l vlore finlă. Se consideră cul unei singure forţe concentrte P plictă într-un punct l corpului. În punct, pe direcţi de plicre forţei se v produce o deplsre Δ, cărei vlore v creşte odtă cu creştere forţei, de l vlore ero l vlore finlă Δ. Lucrul mecnic nu v mi pute fi scris c un produs P Δ, deorece vlorile mbilor fctori repreintă vribile de timp. L momentul t, intensitte forţei este P, deplsre corespunătore este Δ. O creştere dp forţei v produce o creştere dδ deplsării pe direcţi forţei. Vriţi lucrului mecnic v fi: dl et ( P dp) dδ P dδ. Lucrul mecnic eterior se v clcul şdr: P dδ. L et i Conform legii lui Hooke, între P şi Δ eistă o relţie de proporţionlitte: P kδ, făcând înlocuirile reultă: Δ P L et k Δ. şdr, dcă se dmite că intensitte forţei creşte încet de l ero l vlore finlă, lucrul mecnic eterior se eprimă în limitele deformţiilor perfect elstice le sistemului, prin jumătte produsului dintre vlore întregă forţei şi vlore deformţiei provocte de cestă forţă, pe direcţi şi în punctul ei de plicre. În cul plicării unui cuplu cre produce o rotire ϕ, în punctul de plicre lucrul mecnic eterior v fi: L et ϕ. Când supr sistemului elstic sunt plicte concomitent mi multe forţe P, P,..., P n şi mi multe cupluri,,..., m, cre produc în punctele de plicţie şi pe direcţiile de cţiune respective deplsările linire Δ, Δ,..., Δ n şi deplsările unghiulre ϕ, ϕ,..., ϕ m, lucrul mecnic eterior v fi: n m Let Pi Δ i jϕ j. Teorem - lui Clperon se enunţă stfel: lucrul mecnic efectut de forţe eteriore cţionând sttic supr unui corp linir elstic j

212 este independent de ordine în cre sunt plicte ceste forţe şi este egl cu semisum produselor fiecărei forţe prin deplsre corespunătore..4 Teorem reciprocităţii lucrului mecnic (teorem lui Betti) Se consideră un corp elstic încărct cu două grupe de forţe, P, P,..., Pi şi Q, Q,..., Q j. Se noteă cu δ / efectul forţelor P i şi cu δ // efectul forţelor Q j. Se produc următorele deplsări: - δ / i, deplsările punctelor de plicre le forţelor Pi pe direcţiile corespunătore, când cţioneă forţele P i. / - δ j, deplsările punctelor de plicre le forţelor Q j pe direcţiile corespunătore, când cţioneă forţele P i. // - δ i, deplsările punctelor de plicre le forţelor P i pe direcţiile corespunătore, când cţioneă dor forţele Q j. - δ // j, deplsările punctelor de plicre le forţelor Q j pe direcţiile corespunătore când cţioneă dor forţele Q j. Se presupune că cele două grupe de forţe cţioneă simultn supr corpului elstic, fiind vlbil principiul suprpunerii efectelor. Deplsările fiecărui punct fiind (δ / δ // ), lucrul mecnic eterior v ve epresi: / // / // L et Pi ( δ i δ i ) Q j ( δ j δ j ). () i j Vlore lui L et nu depinde de ordine de plicre forţelor, de cee se v consider un l doile tip de încărcre. Se presupune că se plică întâi primul grup de forţe, P i lucrul mecnic este: / Let P i δ i. () i În cestă situţie se plică l doile grup de forţe, Q j corpul elstic se v depls dtorită forţelor Q j. Deplsările vor fi: // - δ j pe direcţiile forţelor nou plicte (grup dou de forţe, Q j ), căror intensitte creşte de l ero l vlore finlă. - δ // i pe direcţiile forţelor precedent plicte (prim grupă de forţe, P i ), căror intensitte este ce finlă. Lucrul mecnic suplimentr devine: // L // et Pi i Q j j. δ i δ () j Ordine de încărcre nevând importnţă, reultă:

213 L et L L. et et Din (), () şi () reultă: // / P δ Q δ. i i i Epresi (4) repreintă teorem lui Betti su reciprocităţii lucrului mecnic eterior teorem se enunţă stfel: Lucrul mecnic produs de un grup de forţe P i prin deplsările produse de un grup de forţe Q j este egl cu lucrul mecnic produs de un grup de forţe Q j prin deplsările provocte de grupul de forţe P. i j j j (4).5 Epresiile lucrului mecnic funcţie de eforturi Se consideră un element de bră de lungime ds supus solicitării ile, o dtă dtorită forţei ile rele N şi poi dtorită forţei ile virtule N i.(fig..4) j N j N j N i N i ds Δu j ds fig..4 lungire totlă sub cţiune forţei i le rele N j este Δu j. Lucrul mecnic produs prin deplsre relă Δu j de forţ virtulă N i este: N j ds Lef N i du j N i. E În cul solicitării de încovoiere, momentul de încovoiere rel fiind cu rotire corespunătore Δϕ j, ir momentul de încovoiere virtul j i (fig..5), lucrul mecnic produs prin deplsre unghiulră relă j ds Δϕ j de momentul încovoietor virtul i este: E j ds Lef i. E

214 j j i i ds Δϕj ds fig..5 Lucrul mecnic l torsiune, pentru momentul de torsiune rel cel virtul plicte elementului de bră de lungime ds, v fi: virtulă t i L ef t ds t j. i G Lucrul mecnic l forfecre, pentru o forţă tăietore relă T i plicte elementului de bră de lungime ds, v fi: Tj ds Lef η T. i G t T j t j şi şi un.6 Epresiile energiei potenţile de deformţie în funcţie de eforturi Pe curb crcteristică oţelului, în on de proporţionlitte, se consideră un punct de coordonte ( /, ε / ) corespunător unei încărcări orecre. Punctul / v corespunde unei mici creşteri pe digrmă coordontele punctului / sunt ( / Δ /, ε/δε / )(fig..6). Δ / p / B / ε B / Δε / / ε fig..6 4

215 Vriţi energiei potenţile de l l / se noteă ΔU : / / / / / / ΔU Δε Δ Δε Δε / / du dε. stfel, reultă energi potenţilă pe întreg domeniul B: U B B du / / dε, / / dr din lege lui Hooke reultă ε E şi se pote scrie: ε / / Eε dε ε U E Dcă supr volumului elementr cţioneă tensiune tngenţilă τ, se pote scrie: U Gγ. Pentru se obţine energi potenţilă U întregului sistem se integreă U pe volumul V l sistemului: U U dv dv. E V N În cul solicitării ile, se înlocuieşte în epresi energiei potenţile întregului sistem (U) şi se obţine: N N U. ds E d E ds În cul solicitării de încovoiere, reultă: ds U d E În cul solicitării de torsiune: t ds U. Gt În cul solicitării de forfecre: T U η ds. G V. ds. E 5

216 .7 Teorem reciprocităţii deplsărilor. Teorem lui well cestă teoremă pote fi considertă c un c pr ticulr l teoremei reciprocităţii lucrului mecnic. Se consideră că cele două grupe de forţe se reduc l câte o singură forţă P i (plictă în punctul i), respectiv Q j (plictă în punctul j) teorem lui Betti devine: P δ Q δ, i i j în cre: δ ij repreintă deplsre în i (pe direcţi forţei P i) când în punctul j cţioneă forţ Q j δ ji repreintă deplsre în j (pe direcţi forţei Q j ) când în punctul i cţioneă forţ P i. Se presupune că forţele P i şi Q j sunt numeric egle cu unitte reultă: δ δ. i j şdr, când un corp elstic este cţiont de către două forţe numeric egle cu unitte, deplsre provoctă de forţ dou pe direcţi primei forţe este eglă numeric cu deplsre provoctă de prim forţă pe direcţi celei de- dou forţe su deplsre produsă în secţiune () unei bre, când o forţă orecre este plictă în secţiune (), este eglă cu deplsre produsă în secţiune () când ceeşi forţă cţione ă în secţiune (). j j i j i.8 Studiul deplsărior prin meto d ohr well Pentru determinre formei deformte unei bre este necesr să se determine deplsre liniră fiecărui punct l ei longitudinle precum şi rotire secţiunilor trnsversle. ceste deplsări se pot obţine cu jutorul unor relţii generle de clcul, relţii cre se pot deduce folosind teorem lui Clperon, potrivit cărei lucrul mecnic l forţelor eteriore este egl cu energi de deformţie cumultă de corp. Se consideră cul unei bre în două situţii de încărcre prim este încărcre relă, sub cre se produce deplsre Δ i cre trebuie determintă în punctul i, dou fiind o încărcre uiliră fictivă, dtă de o srcină unitră plictă în punctul şi pe direcţi deplsării căutte. (fig..7) Energi de deformţie dtortă eforturilor forţe este neglijbilă în rport cu ce dtortă momentelor încovoietore. 6

217 Pk _ incrcre rel i Δi? i δi incrcre uilir fig..7 În situţi de încărcre cu srcini rele, teorem lui Clperon este: P k Δ k k l d E în situţi corespunătore încărcării cu srcin unitră în i, ceeşi teoremă se scrie: l m d δ i, E cu: Δ k deplsre pe direcţi srcinii P k δ i deplsre pe direcţi srcinii unitre şi m digrmele de moment încovoietor corespunătore celor două situţii de încărcre. Se încrcă grind întâi cu srcin unitră, poi cu srcinile rele ecuţi lui Clperon devine: l l l k k i i. d m d m d P Δ δ Δ E E E k În membrul stâng, l treile termen nu este fectt de coeficientul / pentru că srcin unitră cţioneă tot timpul cu întreg mărime pe distnţ Δ i. l treile termen din membrul drept repreintă energi cumultă de bră dtorită momentului încovoietor m şi rotirii secţiunii cu d unghiul, produs de plicre ulterioră srcinii rele: E m m d ϕ d E reultă: l m Δ i d E 7

218 cest este epresi ohr well pentru clculul deplsărilor produse de srcini. În cul grinilor cu ăbrele epresi deplsărilor v fi: l N n Δi d, E cu N şi n digrmele de forţe ile pentru încărcre relă respectiv unitră. Srcin unitră din situţi uiliră se plică pe direcţi deplsării căutte. cestă srcină pote fi forţă su moment, pentru determinre săgeţii su rotirii în punctul respectiv. Dcă Δ i reultă poitiv din clcul, deplsre re sensul srcinii unitre, dcă este negtiv re sens invers srcinii unitre. Pentru clculul deplsării Δ i se procedeă stfel: - se introduce o forţă unitră virtulă în cel punct, după direcţi deplsării căutte - se determină digrmele corespunătore m i su n i - se trseă seprt digrmele, N produse de forţele eteriore rele - se efectueă integrlele obţinându-se Δ i. Procedeul integrării directe epresiilor ohr well este dificil dtorită fptului că integrre trebuie efectută pe fiecre intervl de vriţie continuă încărcării..9 etod de integrre Veresceghin În cul brelor drepte su cdrelor formte din bre drepte, pentru cre în clculul integrlelor se reţine dor termenul dtort momentului încovoietor, deorece digrm m este o funcţie liniră s- elbort o metodă de integrre grfo-nlitică numită metod Veresceghin.(fig..8) Fie digrm () de o formă orecre şi digrm m() liniră cre fce unghiul α cu. Fie în digrm un element de rie dω d. În digrm m(), în dreptul secţiunii, ordont este m tgα reultă: m tgα d m dω tgα dω dω, E E E E cu dω Ω G - momentul sttic l riei digrmei, cu G bscis centrului de greutte l cestei digrme. 8

219 d d Ω d G G α m m tgα G fig..8 Dr G tgα G, ordont din digrm m corespunătore centrului de greutte l digrmei stfel reultă: m d Ω G, E E ce repreintă formul lui Veresceghin, dică integrl produsului două digrme, dintre cre un liniră, este eglă cu produsul dintre ri digrmei curbe şi ordont din celltă digrmă, ordontă citită în dreptul centrului de greutte l riei considerte. În cul în cre digrm este şi e liniră, rolul celor două digrme pote fi inverst. Problem. Pentru grind în consolă din figur, vând E ct., să se determine săget în cpătul liber folosind teorem lui Clperon. P B v l fig. 9

220 cu dr reultă: Pornind de l teorem lui Clperon se pote scrie: U L l U U ( ) d, E ( ) P ( l ) P E l L, P v P l 6E ( l ) d Pl v. E Problem.b Pornind de l teorem reciprocităţii deplsărilor, să se clculee săget în secţiune () când în secţiune () se plică forţ P. Se consideră E ct.(fig.b) Δ B stre l/ l/ P l P Δ stre Pl/4 f VB f VB fig.b

221 Pornind de l teorem reciprocităţii deplsărilor se înlocuieşte stre cu o stre în cre încărcre se plică în punctul şi se clculeă deplsre în, cu Δ Δ. Pentru stre se trseă digrm de moment şi poi pentru clculul deplsării se utilieă metod grinii conjugte: Δ ϕ l reultă: B f TB f f ϕ B, TB VB E f Pl l Pl VB 4 6 Δ Δ Pl. 6E Pl ϕ B 6E Problem.c Se dă grind în consolă, încărctă cu o forţă de kn în punctul B. Să se clculee săget în punctul. Se du E, 5 N/mm 57 cm 4. (fig.c) kn B C _ G 6kNm mm G mv fig.c Se trseă digrm de moment pentru încărcre dtă, se trseă digrm de moment m v pentru o încărcre unitră virtulă plictă în, în punctul şi pe direcţi deplsării căutte. Se plică regul Veresceghin:

222 v m d v 4 E.6mm. Problem.d Pentru cdrul din figur d.. să se clculee deplsre punctului D, Δ D şi rotire nodului C, ϕ C. p p(5)/8.5p p/8 C B D _ mdv mdu. 4. mcϕ 5. fig.d

223 Se trseă digrm de moment (fig.d.) pentru încărcre dtă plicând poi regul lui Veresceghin, pentru deplsările căutte, se trseă digrmele m Dv, m Du, m Cϕ şi se clculeă deplsările, ţinând sem de fptul că momentele de inerţie pe bre sunt diferite: 5.5 p ( 5).5 p p v D 5 p E 8 8 ϕ C u D 4 p v D.5, E 5.5 p p 5 E ( 5) 8 4 p u D 7.88, E 4 p Δ D vd u D 7.5, E 5.5p p( 5) p.96. E 5 8 E

224 Cpitolul TEOR DE REZSTENŢĂ. Lege lui Hooke generlită Sub cţiune încărcărilor şi forţelor de legătură, într-un corp se produce o stre de solicitre cre se crcterieă prin următorele specte importnte: - o stre de tensiune, crcterită prin forţele interiore cre iu nştere în corp - o stre de deformţie, crcterită prin schimbările de formă pe cre le suferă corpul. Lege lui Hooke pentru corpurile tip bră re form E ε se vor emin în continure, în b deformţiilor infiniteimle şi unui mteril omogen şi iotrop, corpurile de tip plcă su bloc unde problem este plnă (în două vribile independente), respectiv spţilă (în trei vribile independente). În ceste curi, lege constitutivă mterilului, presupus perfect elstic, devine mi compleă, intervenind un nou fenomen contrcţi trnsverslă. Se consttă eperimentl (chir l bre) că, dcă un corp este supus l întindere după o direcţie, se produc lungiri în direcţi respectivă şi contrcţii în direcţiile trnsversle. ărime contrcţiei se evlueă cu jutorul coeficientului de contrcţie trnsverslă (coeficientul lui Poisson), cre este rportul dintre deplsre trnsverslă specifică (-ε tr ) şi lungire longitudinlă specifică (ε): ε tr μ. ε Pentru corpurile perfect elstice se pote dmite că μ este independent de mărime forţelor plicte, prin urmre repreintă o constntă elstică fiecărui mteril. Eperimentl şi teoretic reultă că μ este întotdeun poitiv şi re vlori cuprinse între şi,5. 4

225 Se consideră un punct P şi în jurul lui un element prlelipipedic elementr, iolt dintr-un corp solicitt rbitrr. Elementul este stfel orientt încât normlele l feţele cestui sunt prlele cu direcţiile tensiunilor normle principle din punctul considert. (fig..) P fig. Fie,, tensiunile normle principle şi ε, ε, ε lungirile specifice corespunătore. Dtorită contrcţiei trnsversle, fiecre mărime dintr-o grupă v depinde de tote cele trei mărimi din celltă grupă. Pentru stbilire cestor relţii se v plic principiul suprpunerii efectelor, considerându-se că cţioneă succesiv câte o singură tensiune normlă pe două feţe opuse. Când cţioneă dor, pe direcţi se v produce lungire / s pecifică ε ir în sens trnsversl, pe direcţiile şi se vor produce E contrcţiile: / / / ε ε μ ε μ. E // Când cţioneă dor su se vor produce lungirile ε, E /// respectiv ε şi contrcţiile: E // // // ε ε μ ε μ, E respectiv /// /// /// ε ε μ ε μ. E 5

226 Vlorile stfel obţinute le deformţiilor specifice se introduc în tbelul. însumând pe câte o colonă în prte, se obţin lungirile specifice produse de cţiune simultn ă tensiunilor normle principle. Tensiune Direcţi E μ E μ E μ E E μ E μ E μ E Tbelul. ε [ μ ( )], E ε [ μ ( )], E () ε [ μ ( )]. E Relţiile () generlieă lege lui Hooke din problem monoilă reolvând în rport cu tensiunile, se pote scrie: E [ ] μ ε μ ε ε, μ μ ( )( ) ( ) ( ) E ( )( ) [( μ ) ε ( )] μ ε ε μ μ E [ ]. ( )( ) ( μ ) ε ( ) μ ε ε μ μ Relţiile () rămân vlbile şi dcă se dă o ltă orientre feţelor elementului pentru ele, şi ortogonle, reultă: ε [ μ( )], E ε [ μ( )], E ε [ μ( )]. E, E 6

227 tunci însă, pe cele şse feţe le elementului pr perechi de tensiuni tngenţile: τ τ τ τ τ τ, cre produc lunecări specifice γ γ γ : τ τ τ γ γ γ, G G G şdr, când rportre s- făcut l un sistem de trei e ortogonle orecre, lege lui Hooke este crcterită prin şse relţii. Problem plnă Problem plnă corespunde următorelor două tipuri de corpuri: ) corpuri de tip plcă, l cre forţele sunt prlele cu plnul medin şi distribuite uniform pe grosime, stfel încât pot fi reduse l plnul medin, cee ce corespunde unei stări de tensiune plnă, l cre se pote consider b) corpuri prismtice su cilindrice forte lungi, teoretic infinite, supuse cţiunii unor forţe uniform distribuite în lungul genertorelor şi normle pe direcţi cestor în semene curi tote fâşiile din corp, de lăţime eglă cu unitte, se comportă identic, jungându-se stfel l o stre de deformţie plnă, l cre se pote consider ε. Pentru corpurile de tip ) se consideră direcţi principlă normlă pe plcă, ir direcţiile şi cuprinse în plnul medin din relţiile () reultă: ε ( μ ), E ε ( μ ), E () μ ε ( ) E Din ceste relţii reultă că se produc contrcţii trnsversle şi după direcţi nesolicittă. Pentru corpurile de tip b) se consideră că direcţi principlă coincide cu direcţi genertorelor considerându-se ε, din ce de- trei relţie grupului () reultă: μ ( ), ir prin substituire relţiei de mi sus în primele două epresii le grupului () reultă: μ μ ε [ μ μ μ ( )], E E μ 7

228 μ μ ε. E μ Dcă se leg următorele noi constnte elstice: E μ E μ, μ μ relţiile precedente devin: ε ( μ ), E ε ( μ ), E dică sunt identice forml cu relţiile (). Prin urmre, reultă că cele două stări pot fi studite cu jutorul celorşi ecuţii generle (de echilibru, de deformţii şi de elsticitte), diferind dor constntele elstice cre trebuie să fie lute în considerre.. Deformţi specifică volumică Fie un prlelipiped elementr de lturi d, d şi d (considerând ele, şi direcţiile principle). Îninte de încărcre, volumul corpului este: dv d d d după deformre, lturile devin: ( ε ) d ( ε ) d ( ε ) d, ir volumul devine: / dv dv Δ dv ε ε ε d d d ε ε ε dv Devoltând prnteele se obţine: ( ε )( ε )( ε ) ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε. Vriţi de volum v fi: / Δ ( dv ) dv dv ( ε ε ε ) dv, în cre s-u neglijt produsele deorece u un ordin de mărime forte redus în rport cu termenii liniri. Deformţi specifică volumică ε V se defineşte c vriţi unităţii de volum su c rportul dintre vriţi de volum Δ(dV) şi volumul iniţil dv: Δ ( dv ) ε V ε ε ε. dv ( ) ( )( )( ) ( )( )( ). 8

229 . Legătur dintre constntele E, G, μ În relţiile cre repreintă lege lui Hooke generlită intervin trei constnte elstice, nume, modulul de elsticitte longitudinl E, modulul de elsticitte trnsversl G şi coeficientul de contrcţie trnsverslă μ. Pentru răt că cele trei constnte nu sunt independente, ci între ele eistă o relţie de legătură, se v studi o plcă solicittă l întindere de tensiune normlă pe o direcţie şi l compresiune de tensiune pe direcţi perpendiculră (fig..) bsenţ tensiunilor tngenţile rtă că şi sunt direcţii principle. În secţiunile înclinte l 45 fţă de direcţiile şi vor pre numi tensiuni de forfecre. B C D fig.. Sub cţiune cestor tensiuni, ptrulterul BCD, vând digonlele egle cu, prlele cu direcţiile şi, se v deform, devenind rombul / B / C / D / (fig..). C C τ45 τ45 π/ B D / B π/γ τ45 / / / Ο τ45 π/ γ D fig.. 9

230 Unghiul iniţil B, devine după deformre: ^ / / π π γ O B γ, 4 în cre γ repreintă lunecre specifică cărei vlore trebuie determintă. Între semidigonlele ptrulterului şi digonlele rombului eistă relţiile: / O ( ε ), / OB ( ε ) lungirile specifice pot fi însă eprimte cu jutorul legii lui Hooke generlite, prin intermediul tensiunilor: μ ε ( μ ), E E μ ε ( μ ). E E Din dunre şi scădere celor două relţii se obţine: ε ε, O ^ ( μ) ε ε. E Din triunghiul dreptunghic B / O / se deduce: / π γ OB ( ε ) ( ε ) tg 4 ( ) ( ). / O ε ε Unghiul γ fiind forte mic, se pote simil tngent cu rcul: π γ γ tg tg π γ tg 4 4 π γ γ tg tg 4 prin înlocuire în relţi precedentă, se obţine: γ ε. γ ε Devoltând şi eplicitând pe γ se obţine: ( ε ε ) ( μ) γ. () ε ε E

231 Pe de ltă prte, plicându-se lege lui Hooke pentru tensiunile tngenţile şi ţinând sem că τ 45, reultă: τ 45 γ. (4) G G Din comprre epresiilor () şi (4) reultă relţi: E G ( μ). Pentru oţel μ,, E, 5 N/mm 4, reultă G 8, N/mm..4 Energi potenţilă de deformţie în problem spţilă Dcă se trece de l problem brelor (monoilă), l ce spţilă, energi potenţilă de deformţie v fi sum energiilor după cele trei direcţii. Se v trt numi energi specifică. Pentru se oper cu epresii mi simple, rportre se fce l cele trei direcţii principle din fiecre punct. stfel vor pre tensiuni normle principle,, şi corespunător lungiri specifice ε, ε, ε : ε [ μ( )] E ε [ μ( )] E ε [ μ( )]. E Energi specifică v fi: U s ( ε ε ε ) [ μ( ) ]. E.4. Energi specifică necesră vriţiei de volum şi schimbării formei Când un corp elstic este supus cţiunii unei forţe eteriore, el se deformeă deformţi corpului pote fi seprtă în două: - o vriţie de volum - o schimbre formei.

232 C urmre cestor două specte, energi specifică pote fi considertă c sum dintre energi necesră vriţiei de volum U V şi energi necesră schimbării formei (energi de deviţie) U D, stfel: Us UV UD. Energi necesră vriţiei de volum re epresi: U V p ε V. Deformţi specifică volumică este definită de epresi: μ ε V ( ) E şi pote fi privită c fiind produsă de o presiune medie: p, stfel, reultă: μ U V ( ). 6E Prin urmre, energi de deviţie se v clcul stfel: μ U D U s U V ( ). E.5 Teorii de reistenţă mterilelor.5. Stre de tensiune limită într-un punct sigurre comportării corespunătore elementelor de reistenţă su structurii, în timpul eplotării, pune pe prim pln problem rportării stării de tensiune efective sub încărcări de eplotre, l stre de tensiune limită, corespunătore scoterii din lucru elementului su structurii. Stre de tensiune limită într-un punct corespunde trecerii dintr-un domeniu cu numite proprietăţi mecnice le mterilului, într-unul cu proprietăţi clittiv diferite de primul, cărui evoluţie ulterioră, sub încărcări crescătore, constituie o stre periculosă pentru eplotre elementelor de construcţie. Nivelul pe cre stre de tensiune îl tinge într-un punct pote fi precit prin tensiuni su deformţii, mărimi reltiv simplu de determint, su prin energi de deformţie. Prmetrii ce corespund stării de tensiune limită se determină uşor eperimentl în cul întinderii, compresiunii şi forfecării pure. Prin stfel

233 de încercări se determină tensiune limită cre, l mterilele ductile este considertă tensiune de curgere c, ir l mterilele csnte, tensiune de rupere r. În cul generl de solicitre, limitându-ne l crcterire cestei prin tensiuni, r trebui efectute pentru fiecre mteril un număr mre de eperienţe, de cee s- convenit c, pentru preciere grdului de peri culoitte l unei solicitări complee, să se legă un fctor cre o crcterieă (tensiune, deformţie, energie de deformţie) cre să se compre cu mărime corespunătore stării de tensiune limită determintă printr-o încercre simplă (întindere, compresiune, forfecre). Stbilire fctorului cre să permită preciere cu un grd de generlitte stisfăcător nivelului de pericol l unei stări de tensiune rele în rport cu ce limită constituie obiectivul teoriilor stărilor de tensiune limită su teoriilor de reistenţă. Deorece tingere stării limită într-un punct depinde de mulţi fctori, vând un crcter specific de l mteril l mteril şi de l un tip de solicitre l ltul, nu pote fi găsit un criteriu unic. De ici eistenţ mi multor teorii le stărilor de tensiune limită. Drept fctor crcteristic l stării de solicitre pote fi lesă tensiune normlă mimă, deformţi specifică liniră mimă, tensiune tngenţilă mimă, energi potenţilă de deformţie totlă su ce de deviţie, fiecre conducând l o teorie de reistenţă..5. Tensiune echivlentă Pentru un numit mteril se consideră două stări de tensiune, vând celşi grd de periculoitte: o stre de tensiune crcterită de tensiunile principle, şi şi o stre de întindere simplă, crcterită de tensiune principlă ech.(fig..4) ech ech fig.4

234 Tensiune echivlentă este deci tensiune normlă principlă cre r trebui produsă într-o epruvetă supusă l întindere simplă, pentru se cre în epruvetă o stre de tensiune cu celşi grd de periculoitte c şi stre dtă. În continure se vor studi numi teoriile de reistenţă cu plicbilitte prctică..5. Teori tensiunilor normle mime (teori ) Fctorul preponderent este tensiune normlă mimă m un corp, într-un punct l său, tinge stre limită când tensiune normlă mimă tinge vlore mimă de l solicitre de întindere simplă, indiferent de tipul de solicitre. Notându-se cu limit de curgere c pentru mterilele tence su reistenţ de rupere r pentru mterilele csnte, vlori determinte eperimentl, se pote scrie, în cul stării de tensiune spţilă, pentru celşi l întindere şi compresiune: su pentru tensiuni diferite l întindere ( t ) şi compresiune ( c ): c t c t c t. În problem plnă, unde, relţiile precedente devin: c t su c t. În repreentre spţilă, l limită, condiţiile de reistenţă în punct repreintă şse plne cre formeă un prlelipiped cu lturile egle cu, suprfţ cubului repreentând suprfţ limită.(fig..5) fig.5 4

235 În pln, repreentre condiţiilor l limită conduce l un pătrt de lturi,(fig..6): t c t c fig..6 Punctele din interiorul cubului su pătrtului corespund unor stări de tensiune posibile în punct (nu conduc l stre de tensiune limită), ir punctele de pe suprfţă (contur) su din fr cestor repreintă stări de tensiune limită, respectiv stări de tensiune cre depăşesc stre limită. Când tensiunile limită l întindere şi compresiune sunt diferite ( t şi c), domeniile de reistenţă precedente se construiesc în mod nlog prin scriere corespunătore condiţiilor de reistenţă l limită. Devntjele teoriei. Teori este infirmtă de eperienţele Főpple, pentru o stre de compresiune uniformă triilă (compresiune hidrosttică), l cre se consttă că stre limită se tinge pentru tensiuni cre depăşesc cu mult tensiune c corespunătore compresiunii simple.. În cul forfecării pure, tensiunile principle fiind: τ τ, prin urmre mterilul cedeă când τ lim eperienţele Buschinger rtă că cedre se produce când τ lim, infirmând stfel vlbilit te teoriei pentru cul forfecării pure. Teori tensiunilor principle mime dă reultte stisfăcătore numi l solicitre de întindere în cul mterilelor csnte. Pentru tensiunile de eplotre, când se consideră c şi t c vând celeşi vlori, criteriul de reistenţă devine: ech m[ ]. Dcă >, >, < condiţi de reistenţă devine: 5

236 t. ech [ ] m t echc t c În mod obişnuit nu se dispune de vlore tensiunii c ci numi de..5.4 Teori tensiunilor tngenţile mime (teori -) Fctorul preponderent este tensiune tngenţilă mimă τ m un corp într-un punct l său tinge stre limită, indiferent de tipul de solicitre, când tensiune tngenţilă mimă din cel punct tinge vlore limită corespunătore solicitării de intindere simplă. Pentru nu se tinge stre limită trebuie îndeplinite următorele condiţii: τ τ τ τ τ τ τ τ τ, dr: τ τ τ τ, stfel, se pote scrie:. În repreentre grfică spţilă, relţiile de form ± repreintă şse plne prlele două câte două, înclinte l 45 în rport cu câte două e şi prlele cu trei ă ceste vor determin o prismă hegonlă de lungime infinită (fig..7). Pentru repreentre plnă, ( ) :, se obţine un hgon semiregult (fig..8). 6

237 fig..7 fig..8 Eperienţele lui Föpple efectute pe cuburi de ciment, gresie, grnit l compresiune, pe o direcţie şi pe două direcţii, u condus l conclui că mterilul cedeă în mbele curi l vlore tensiunii limită obţinută pentru cul compresiunii pe o singură direcţie. Suprfţ limită este deschisă în on compresiunii triile deci se confirmă eperienţele Föpple şi pe trei direcţii suprfţ limită este deschisă şi în on de întindere, cee ce nu corespunde dtelor eperimentle. cest criteriu este verifict şi în cul forfecării pure, prin eperimentele lui Buschinger. Teori nu pote ţine sem de tensiunile limită diferite l întindere şi compresiune le mterilului, neputând fi plictă decât l mterile pentru cre t c, cum este cul oţelurilor. Teori nu ţine sem, în cul solicitării spţile, de influenţ tensiunii principle. Teori nu se plică pentru stări de tensiune propite de întindere triilă. Între tensiunile tngenţile şi lunecările specifice socite eistă o relţie de proporţionlitte. priţi deformţiilor permnente l metle re loc c urmre lunecărilor cre se produc în structur mterilului, stfel încât criteriul tensiunii tngenţile mime pote fi privit c un criteriu de plsticitte (criteriu de curgere plstică), în timp ce teori este o teorie de rupere. În eplotre, condiţi l limită este: ech m[ ] în pln: ech m[ ]. 7

238 În cul brelor unde, se junge l o relţie de form:. < ech.5.5 Teori energiei de deviţie (teorivsu V ) Fctorul preponderent în tingere stării limită îl constituie energi specifică de deviţie U D. Un corp tinge stre limită într-un punct l său, indiferent de tipul solicitării când energi potenţilă de deformţie de vriţie formei specifică tinge vlore corespunătore de l solicitre de întindere si mplă. Pentru nu se depăşi stre limită trebuie îndeplinită condiţi: U U D D ( ) μ U D, E μ U D E reultă că se pote scrie:, su ech, cee ce re c repreentre grfică în spţiu un cilindru circulr deschis l mbele cpete (fig..9),cilindrul fiind circumscris prism ei din teori tensiunilor tngenţile mime, respectiv în pln:, ltfel spus, ech cee ce repreintă o elipsă obţinută prin intersecţi cilindrului cu plnul, (fig..). În cul solicitării de forfecre pură τ şi τ, se introduc cele două vlori le tensiunilor normle principle în epresi tensiunii echivlente şi reultă: ech τ τ τ τ, ech, dică τ. 577, cestă vlore fiind confirmtă prin eperimente. 8

239 fig..9 fig.. L solicitre de compresiune triilă -p reultă: ech p p p p p p ech, dică: p, vlore verifictă de eperienţe. Teori ţine sem de tensiune principlă, cărei influenţă trnsformt prism din teori tensiunilor tngenţile mime în cilindrul cestei teorii. Suprfţ limită fiind deschisă în on întinderii uniforme triile, criteriul este inplicbil pentru cul întinderii pe tote direcţiile. Criteriul re în vedere numi mterilele cu ceeşi tensiune limită l întindere şi compresiune simplă. L solicictre de întindere uniformă pe două direcţii:, stfel, reultă ech, cee ce confirmă eperienţele. În cul mterilelor ductile, cestă teorie oferă condiţi pntru priţi curgerii într-un punct, motiv pentru cre criteriul energiei potenţile de deformţie pentru modificre formei repreintă un criteriu de plsticitte (condiţie de curgere), c şi criteriul tensiunii tngnţile mime. Coincidenţ reulttelor teoretice obţinute cu cele eperimentle fce c cest criteriu de reistenţă să fie lrg plict în cul mterilelor cu proprietăţi plstice. 9

240 .5.6 plicre teoriilor de reistenţă în cul brelor Stre ce mi generlă de solicitre în cul unei bre se reduce l următorele tensiuni: τ τ τ. Pentru se verific dcă stre de tensiune nu o depăşeşte pe ce li mită trebuie făcută verificre: ech. Pentru clculul lui ech trebuie cunoscută teori de reistenţă cre se plică stfel: pentru teori tensiunilor normle mime (T ): ech τ () pentru teori tensiunilor tngenţile mime (T τ ): ech τ τ, unde: τ τ. stfel: ech 4τ () pentru teori energiei de deviţie (TED): ech ( ) 4τ τ, reultă: ech τ () În cul solicitării ile se plică relţi (). Pentru orice lt tip de solicitre se plică relţiile () su (). Tensiune tngenţilă dmisibilă pe b teoriei tensiunilor tngenţile mime se clculeă stfel: τ, ech m 4

241 prin urmre: τ.5. În cul teoriei energiei de deviţie: τ ech τ m.577., 4

242 Cpitolul SOLCTĂR COPUSE Când în secţiune unei bre pre un singur efort N, T, t, i, tunci br se flă într-o stre de solicitre simplă de întindere, compresiune, forfecre, torsiune su încovoiere. În prctică se întâlneşte deseori cţiune simultnă, într-o secţiune unei bre, două su mi multe dintre ceste eforturi, reultând solicitări compuse. Se numeşte solicitre compusă, ce stre de tensiune şi deformţie brelor, l cre, în secţiunile trnsversle le cestor pr cel puţin două componente le eforturilor secţionle. Se consideră o bră dreptă, cţiontă de un sistem spţil de forţe în echilibru în cul cel mi generl, în centrul de greutte l secţiunii trnsversle, eforturile elementre se reduc l componentele T, T, N,,, t (fig..). T t T N fig.. EforturileN, şi vor produce în secţiune trnsverslă tensiuni normle, ir componentele T, T şi t vor produce tensiuni tngenţile τ. În studiul solicitărilor compuse le brelor se v consider vlbil principiul independenţei cţiunii forţelor, obţinând stfel tensiunile şi deformţiile într-un punct prin însumre geometrică tensiunilor şi 4

243 deformţiilor mici provocte de fiecre solicitre simplă preentă. cest mod de clcul se pote ccept numi pentru brele l cre deformţiile mici produse de cţiune încărcărilor nu modifică esenţil form iniţilă cestor, stfel încât deformţiile produse de fiecre din forţele plicte să nu influenţee sensibil supr poiţiilor şi reultntelor cţiunilor celorllte încărcări. Curi de solicitări compuse: încovoiere simplă cu forţă ilă, crcterită de eforturile secţionle (N, ) su (N, ). încovoiere dublă su oblică, crcterită de eforturile secţionle (, ). încovoiere dublă cu forţă ilă, crcterită de eforturile secţionle (N,, ). încovoiere cu torsiune, crcterită de eforturile secţionle (, t ), (, t ), (,, t ). încovoiere cu torsiune cu forţă ilă, crcterită de eforturile secţionle (N,,, t ).. Încovoiere dublă su oblică Se numeşte încovoiere oblică, încovoiere unei bre l cre plnul de cţiune l momentului încovoietor nu conţine în secţiune nici un din ele principle de inerţie le secţiunii brei. Fie secţiune orecre unei bre l cre momentul încovoietor i formeă unghiul α cu (fig..) vectorul moment se v descompune după ele principle de inerţie în: cosα i i sinα. Pentru un punct P din primul cdrn tensiunile normle pe cele două e se clculeă stfel: P P. 4

244 β - S P / S α P ( ) - P ( ) - - β min n eutr fig.. m plicând principiul suprpunerii efectelor reultă: P P P cos sin α α i, relţie ce repreintă epresi tensiunii într-un punct curent, pentru solicitre de încovoiere oblică. Prin eglre epresiei tensiunii cu ero se obţine ecuţi ei neutre în secţiune: cosα sinα epresi repreintă o dreptă ce trece prin origine elor de coordonte, înclinre dreptei fiind: tgβ tgα. Se consttă că direcţi ei neutre nu coincide cu direcţi momentului încovoietor i decât dcă este cul secţiunilor circulră, inelră, pătrtă, în cre c încovoiere devine simplă. 44

245 După determinre poiţiei ei neutre se duc prlele l cestă ă, tngente l conturul secţiunii trnsversle, prin punctele cele mi depărtte de e se determină punctele S şi S /. Se trseă distribuţi de tensiuni pentru solicitre compusă, semnele corespunătore dtorându-se compunerii semnelor fiecărei tensiuni şi pentru punctele S şi S /. Pentru reistenţele dmisibile le mterilelor cu comportment diferit l întindere şi compresiune, condiţiile de reistenţă sunt: m S S S t () min / / /. S S S c Pentru ceeşi reistenţă dmisibilă l întindere şi compresiune: ech m [ S / ]. S Condiţi de reistenţă nu se pote trnsform într-o formulă de dimensionre în cul generl, dică pentru orice tip de secţiune o stfel de secţiune pote fi numi verifictă. Dimensionre se efectueă prin încercări se dmite secţiune şi se verifică condiţi de reistenţă, stfel, dcă:.95 m., tunci secţiune este bună. În c contrr, se schimbă secţiune şi se refce clculul de verificre. În cestă ctegorie intră profilul cornier (fig..): ef S / F η neutr / S min ξ i β η S ξ S m fig.. 45

246 Înclinre ei neutre este dtă de relţi: tg β ξ tgα. Tensiunile normle în punctele S şi S se clculeă cu relţiile: ξ η S m ηs ξ S, / S min ξ ξ η ξ η S / / η η η ξ S /... Încovoiere dublă brelor cu secţiune trnsverslă dreptunghiulră su cre se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline (fig..4) fig..4 Pentru secţiune dreptunghiulră din figur.5, cţiontă de un moment încovoietor i, făcând unghiul α cu, se trseă distribuţiile de tensiuni normle corespunătore momentelor încovoietore şi şi poi prin compunere distribuţi finlă. S / - /W S /W m i - α /W /W neutr β - min fig..5 46

247 Epresiile tensiunilor mimă şi minimă vor fi: m S, W W min S / W W Condiţi de reistenţă devine: ech m ( / ) W W epresi se pote trnsform într-o condiţie de dimens ionre stfel: se dă fctor comun forţt rportul : W W m, W W reultă condiţi de dimensionre: W W. W nec dim W () W Rportul se lege în funcţie de tipul secţiunii de eemplu, l W bh hb W dreptunghi, unde W şi W h,, l profilele lminte 6 6 W b rportul vriă între 7 şi. W Dimensionre se fce stfel: se i un rport pe b cărui se W plică relţi (), după cre, în mod obligtoriu, se verifică condiţi de reistenţă () su ( / ) introducând vlorile efective le modulelor de reistenţă ile W şi W.. Dcă br este solicittă l încovoiere dublă prin forţe cre nu sunt situte în celşi pln se vor evlu componentele forţelor după ele şi şi se vor construi digrmele momentelor şi, secţiune periculosă urmând fi precită după cum urmeă. 47

248 Fie grind din figur.6 solicittă de forţele F cţionând pe direcţi ei şi F, pe direcţi ei. F D B C F fig..6 Se descompune sistemul în două sisteme plne şi pe cre se trseă digrmele de moment încovoietor şi (fig..7 şi b). F F C D B C D B C D. b. fig..7 Dcă digrmele şi sunt linire tunci vlore mimă pentru momentul încovoietor i se găseşte într-unul din punctele în cre digrmele u vârfuri (C su D). Se clculeă momentele încovoietore în ceste puncte: C i D i C D Secţiune periculosă este ce în cre i re vlore mimă: m[ ].. i m C i C D. D i C D 48

249 . Încovoiere simplă cu forţă ilă Dcă în secţiune trnsverslă brei mărimile secţionle se reduc l un moment încovoietor şi o forţă ilă, tunci br este solicittă l încovoiere simplă cu forţă ilă (fig..8). Presupunând br de rigiditte mre şi neglijând deplsările din încovoiere, se v pute plic principiul suprpunerii efectelor (fig..9). N S S / N N min neutr m fig..8 fig..9 Într-un punct curent din primul cdrn l secţiunii se însumeă tensiunile normle dtorte forţei ile N şi momentului încovoietor : N N. Punând condiţi se obţine poiţi ei neutre în secţiune: N, reultă: N. Prin urmre, neutră este o dreptă prlelă cu cre nu trece prin centrul de greutte l secţiunii. Se duc prlele l neutră, tngente l conturul secţiunii trnsversle, reultând punctele S şi S /, cu vlorile corespunătore pentru tensiunile normle: 49

250 S m N N / min / S S. Dcă se dmite că mterilul re reistenţe dmisibile identice l întindere şi compresiune, condiţi de reistenţă devine: ech m [ S / ]. S cestă relţie se pote trnsform într-o relţie de dimensionre, reultând o ecuţie de grdul trei. O secţiune orecre supusă l încovoiere simplă cu forţă ilă se dimensioneă prin încercări se dă secţiune şi se verifică condiţi de reistenţă. Condiţi de reistenţă este îndeplinită stisfăcător când:.95.. m ef S,.. Cul secţiunii l cre de încovoiere este ă de simetrie (fig..) fig.. Fie cul unei secţiuni trnsversle de formă dreptunghiulră solicittă l încovoiere simplă cu forţă ilă (fig..). S / min min min N S N/ /W m m m N /W > N/ / W< N/ /W N/ fig.. 5

251 Din compunere tensiunilor normle dtorte forţei ile şi momentului încovoietor pot reult trei situţii în funcţie de mărime rportului /W fţă de N/. / În punctele S şi S tensiunile normle vor ve vlori etreme: N m S, W N min /. S W Pentru ceeşi reistenţă dmisibilă l întindere şi compresiune, condiţi de reistenţă devine: N ech m. W Formul este rigurosă pentru forţele ile de întindere şi pote fi folosită şi în cul forţelor ile de compresiune dcă ceste nu produc pierderi de stbilitte. Dimensionre prctică Se neglijeă termenul de importnţă mi mică din condiţi de N reistenţă, de regulă şi se dimensioneă secţiune l solicitre simplă preponderentă, de regulă, după cre, secţiune obţinută se mjore ă ţinându-se sem de influenţ termenului neglijt. După legere secţiunii, în mod obligtoriu se verifică condiţi de reistenţă.. Încovoiere dublă cu forţă ilă Dcă în secţiune trnsverslă brei mărimile secţionle se reduc în rport cu centrul de greutte l cestei l momente încovoietore după direcţiile principle de inerţie, şi şi o forţă ilă N, tunci br este solicittă l încovoiere dublă cu forţă ilă (fig..). Presupunând br de rigiditte mre şi neglijând deplsările din încovoiere, se v pute plic principiul suprpunerii efectelor stfel încât într-un punct l secţiunii, situt în primul cdrn (fig..), tensiune normlă v ve epresi: N. 5

252 N N P S / N N/ S / fig.. m / neutr min f ig.. Se consideră în secţiune din fig..4, rporttă l un sistem de e principle de inerţie, o forţă normlă N cţionând în punctul (, ). Reducând forţ N în rport cu centrul de greutte l secţiunii se obţine forţ ilă N şi momentele încovoietore N N., N fig..4 Suprpunând efectele celor trei eforturi secţionle, tensiune normlă v ve epresi: N N N N i i cu i şi i rele principle de inerţie (girţie) le secţiunii. Punând condiţi se obţine poiţi ei neutre în secţiune: 5

253 i i Reultă că neutră este o dreptă cre nu trece prin centrul de greutte. Punând ecuţi sub form normlă: () şi identificând () cu () se pote scrie:, i i () su, (4) cu: i i, (4 / ) repreentând tăieturile ei neutre pe ele de coordonte. După trsre ei neutre (fig..), se duc prlele l cestă ă prin punctele cele mi depărtte le secţiunii, tngente l contur şi se trseă distribuţi tensiunilor normle cu: N S m S S N / min / /. S S S Condiţi de reistenţă devine:. [ ] ech m S / S secţiune se pote dimension prin încercări. () 5

254 .. Încovoire dublă cu forţă ilă l secţiune dreptunghiulră su o secţiune cre se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline (fig..5) S / N S m - neutr min fig..5 Tensiunile normle cu vlori etreme se vor clcul stfel: N m S W W N min /. S W W Condiţi de reistenţă se eprimă: ech m [ S / ] S su N m. (5) W W Formul (5) este rigurosă pentru cul forţei ile de întindere în cul compresiunii nu mi este rigurosă dr pote fi plictă în curile în cre forţ ilă de compresiune este reltiv mică şi nu intervin fenomene de pierdere stbilităţii. Pentru secţiunile l cre se cunoşte rportul W /W cestă formulă pote fi trnsformtă într-un de dimensionre. Se neglijeă fctorul mi N puţin preponderent, de regulă, se clculeă W nec : W W W, nec dim W 54

255 poi se măreşte secţiune ţinându-se sem de termenul neglijt şi cu dimensiunile efective lese se fce, obligtoriu, verificre condiţiei de reistenţă (5). Relţiile (4) şi (4 / ) conduc l următorele observţii:. Deorece tăieturile pe e şi sunt de semne contrre coordontelor punctului (, ), neutră v trece prin cdrnul opus celui în cre este plictă forţ N. Punctul în cre se plică forţ ecentrică N se numeşte polul forţei N.. Cu cât polul (, ) este mi depărtt de origine elor de coordonte, cu tât neutră este mi propită de origine dcă tind l infinit, neutră trece prin centrul de greutte l secţiunii şi deorece N şi N reultă că cest c este posibil numi pentru N, şi, deci pentru cul încovoierii oblice. Dcă reultă că şi tind l minus infinit, deci pentru o plicre centrică forţei normle N, neutră v fi sitută l infinit, tensiunile normle fiind uniform distribuite în secţiune.. Dcă polul (, ) este situt pe o ă principlă de inerţie, tunci neutră este perpendi culră pe cestă ă stfel, pentru (, ) segmentul tinde l infinit şi neutră v fi prlelă cu, l distnţ de cest. 4. Dcă polul (, ) se deplseă pe drept O (fig..6), rportul / rămâne constnt, stfel că l deplsre polului pe drept O, neutră se v depls prlel cu e însăşi. Se presupune că neutră corespunătore polului (, )se roteşte în jurul unui punct C( C, C ). Deorece ecuţi ei neutre: i i trebuie stisfăcută în permnenţă de coordontele punctului C, reultă: C C. i i În cestă ecuţie coordontele curente sunt şi stfel că cestă relţie v eprim o dreptă pe cre se deplseă polul (, ) când neutră n-n se roteşte în jurul punctului C( C, C ). n C ( C, C) n O fig.6 55

256 .. Sâmbure centrl Din epresi tensiunilor normle reultă că funcţie de poiţi punctului de plicţie l forţei normle N, tensiunile în secţiune vor fi de semne diferite dcă neutră intersecteă secţiune şi de celşi semn dcă neutră se situeă în fr secţiunii. În cul elementelor de construcţii lcătuite din mterile cre u reistenţă mică l întindere (betone simple, pitră nturlă, idărie de cărămidă) este importnt, pentru comportre cestor, c pe întreg secţiune să se producă numi tensiuni normle de compresiune. Deorece, pentru o numită secţiune, poiţi ei neutre depinde de polul (, ), se pune problem preciării domeniului din secţiune în cre se pote plic forţ normlă N stfel c pe secţiune tensiunile normle să ibă celşi semn. Domeniul din secţiune, din jurul centrului de greutte l cestei, în interiorul cărui pote fi plictă o forţă normlă ecentrică, stfel c tensiunile normle să fie de celşi semn pe întreg secţiune, se numeşte sâmburele centrl l secţiunii. Dcă polul (, ), în cre este plictă forţ ilă N, se găseşte în interiorul sâmburelui centrl, tunci neutră se v situ în fr secţiunii. L limită, când neutră v fi tngentă l conturul secţiunii, polul (, ) corespunător se v situ pe limit domeniului sâmburelui centrl. Din cestă observţie reultă modul de determinre sâmburelui centrl (fig..7). n n n 4 n4 n n n n4 fig..7 Se v lu o poiţie ei neutre n-n, stfel c cest să fie tngentă l conturul secţiunii şi se v determin polul (, ) corespunător cestei. Locul geometric l polului (, ), când neutră n-n se deplseă pe conturul secţiunii, rămânând mereu tngentă l cest, fără să tie secţiune, v închide domeniul sâmburelui centrl. Pentru o numită poiţie ei neutre tngentă l conturul secţiunii, polul (, ) v ve poiţi în secţiune determintă de relţiile: 56

257 i i Dcă secţiune re un centru poligonl, sâmburele centrl v fi de esmene un poligon, l un contur curb l secţiunii v corespunde un contur curb pentru sâmburele centrl... Sâmburele centrl l secţiune dreptunghiulră. b n n n4 n h 4 h/6 b/6 n n n4 n fig..8 Fie secţiune dreptunghiulră de lturi b şi h (fig..8) dcă neutră ocupă poiţi n n punctul de plicţie l forţei ecentrice este de i h coordonte şi, cu - tăietur ei neutre şi h h i reultă. 6 Similr se determină coordontele punctelor,, 4. Sâmburele centrl re form unui romb, digonl mre fiind prlelă cu ltur mre dreptunghiului. Lungimile digonlelor sunt h/ şi b/...4 Sâmburele centrl l secţiune circulră n r R/4 r D R n fig..9 57

258 Fie secţiune circulră cu dimetrul D (fig..9) poiţiei n n ei neutre îi corespunde punctul de plicţie l forţei ecentrice de i D D coordonte şi cu şi i reultă 6 D R. 8 4 celşi reultt se obţine pentru orice poiţie ei neutre tngentă l R contur. Prin urmre, sâmburele centrl este un cerc de ră r Zon ctivă Dcă punctul de plicţie l forţei normle ecentrice este situt în fr sâmburelui centrl l secţiunii, neutră corespunătore tie secţiune şi, în consecinţă, pe secţiune se produc tât tensiuni normle de compresiune cât şi de întindere. În cul unor mterile cre nu pot prelu decât eforturi de compresiune, cum este cul unei fundţii l cre, pe fţ de contct dintre cest şi teren, nu se pot prelu tensiuni normle de întindere, în secţiune trnsverslă, cţiune forţei normle ecentrice v produce pe o prte secţiunii tensiuni normle de compresiune, celltă prte secţiunii putând fi fisurtă. În cest fel v eist pe secţiune o onă ctivă din punct de vedere l preluării tensiunilor, neutră fiind definită ici de lini de seprţie cestei one. Pentru clculele de reistenţă este necesr să se stbilescă poiţi ei neutre precum şi tensiunile normle mime de compresiune cre se produc. Fie secţiune dreptunghiulră şi forţ normlă N de compresiune plictă în punctul pe o ă principlă de inerţie în fr sâmburelui h centrl, l o distnţă e > de (fig..). N 6 b n n h O e N c c m fig.. 58

259 Se v dmite că distribuţi tensiunilor normle pe secţiune este liniră. Sistemul forţelor elementre d pe secţiune trebuie să se reducă l forţ normlă de compresiune N. Se delimiteă stfel on ctivă, ţinând sem că volumul formt de vectorii pe secţiune este volumul unei prisme triunghiulre vând drept bă triunghiul cre eprimă digrm de vriţie tensiunilor normle pe secţiune şi înălţime b cre repreintă de fpt lăţime secţiunii. neutră v fi sitută l distnţ c de punctul de plicţie l forţei N, ir on ctivă v ve dimensiunile c b, cu c, distnţ punctului de plicţie l forţei N în rport cu ltur ce mi propită, prlelă cu neutră. Din eglitte reultntei forţelor elementre d pe secţiune ctivă cu forţ normlă N, se obţine: m c compresiune N pmnt b N m, bc pmnt cu..4 N / mm..4 Încovoiere cu torsiune cţiune simultnă solicitărilor de încovoiere este frecventă cu deosebire l orgnele de mşini rborii de trnsmisie constituie un eemplu tipic în cest sens. În cul brelor de rigiditte mre se pote presupune, cu suficientă ectitte, că cele două solicitări, încovoiere şi torsiune, se produc fără să se influenţee reciproc. Stre de tensiune cre i nştere în bră se v evlu pe b principiului independenţei cţiunii solicitărilor. stfel, într-un punct l secţiunii trnsversle brei, tensiune normlă se v determin c şi în cul încovoierii simple su duble, ir tensiune tngenţilă, c sum tensiunilor tngenţile din încovoiere cu lunecre şi torsiune. Cum tensiunile tngenţile în punctul cel mi solicitt l secţiunii pot fi importnte, nu se mi pote consider c în curile precedente de solicitări compuse o stre liniră de tensiune, ci v trebui ţinut sem de stre plnă de tensiune cre se produce în cest punct, urmând să se plice un criteriu de stre limită pentru condiţi de reistenţă..4. Br de secţiune circulră Secţiune circulră din figur. este solicittă de un moment încovoietor i şi un moment de torsiune t. 59

260 S / t min i - S τm m fig.. omentul încovoietor i v produce tensiuni normle. omentul de torsiune t v produce tensiuni tngenţile τ. preciere reistenţei brei în secţiune numi pe b tensiunilor normle şi tngenţile mime, vând epresiile: i π d m cu Wi, () Wi t π d τ m cu Wp, () Wp 6 nu este suficientă, dtă fiind stre de tensiune plnă eistentă în jurul unui punct din bră. stfel, vlorile tensiunilor normle principle su le tensiunilor tngenţile etreme în numite puncte din secţiune pot depăşi vlorile dte de epresiile corespunătore lui m şi τ m. Pentru evlure cestor se observă că în punctele S şi S / tensiune normlă tinge vlore mimă simultn cu tensiune tngenţilă dtă de momentul de torsiune. Pentru scriere condiţiei de reistenţă trebuie precită teori de reistenţă cre se v folosi: ech m kt, () cu: τ τ k T kτ 4 kt ked 4, corespunător teoriei tensiunilor tngenţile mime (T τ ), respectiv teoriei energiei de deviţie (T ΕD ) înlocuind epresiile lui şi τ cu relţiile () şi (), reultă: 6

261 k τ t i Relţi () devine: k ED.75 i t ech k, W (4) i i cu k pentru T τ şi k,75 pentru T ED. Relţi (4) se pote trnsform într-o relţie de dimensionre: t i W i t i k nec Wi dim. i.4.. rbori de trnsmisie Pe rborele din figur. sunt montte două roţi de cure. Cunoscându-se putere trnsmisă P[kW] şi turţi n[rot/min], se cere determinre secţiunii periculose.. B T rot rot t t / T T T / TT / T α >T R / T R T β >T TT / omentul de torsiune în dreptul roţii v fi: / T fig.. t P [ knm]. n Din ecuţi de momente de torsiune în rport cu reultă:. t t 6

262 Se reduc forţele din curele în rport cu rborelui forţele cre cţioneă supr rborelui sunt în plne diferite. Se clculeă componentele după ele şi : ( / F T T ) cosα / F ( T T ) sinα / F ( T T ) cos / F ( T T ) sinα. Se descompune sistemul spţil în două sisteme plne şi se trseă digrmele t,, (fig.. şi.4). β F B F F B t t F t su fig.. fig..4 Secţiune periculosă reultă din condiţi de reistenţă: unde s- nott cu ech i t ech k, W i i i k t ech ech (5) Wi Wi k. Secţiune periculosă este ce în cre ech re vlore mimă deorece vriţiile lui t,, sunt linire reultă că ech este mim într-un din secţiunile în cre componentele t,, sunt mime. t 6

263 Trebuie cercette tote secţiunile în cre un din componente este mimă. În cul eemplului dt se clculeă ech şi ech B. Reultă: ech m[ ech ]. ech B rborele re o mişcre de rotţie. Punctul S întins cu m, după o rotire cu 8 junge în S / cărui îi corespunde o tensiune - m. Reultă că în punctul S pre o solicitre vribilă, lucru vlbil pentru tote punctele rborelui. L solicitări vribile piesele se rup l tensiuni inferiore limitelor de reistenţă sttică. În condiţi de reistenţă (5) reistenţele dmisibile vor ve vlori inferiore celor de l solicitările sttice..4. Br cu secţiune dreptunghiulră Secţiune dreptunghiulră din figur.5 este solicittă l încovoiere dublă prin momentele şi şi l torsiune prin momentul. t τ m t/ αhb b /W - h > b t h /W - τ t/ α hb m fig..5 Pentru pute dimension trebuie cercett punctul cel mi solicitt din secţiune. Se studiă tote punctele în cre un din componentele tensiunilor este mimă. Pentru punctul : τ. W W Se fce dimensionre l încovoiere dublă: 6

264 bh W W W nec dim W 6 Din cestă relţie reultă dimensiunile b / şi h /. t Pentru punctul :, τ. W αhb Se fce dimensionre l încovoiere cu torsiune: τ W 4 nec // // reultă un nou grup de dimensiuni, b şi h. t Pentru punctul :, τ. W αhb bh 6 Se fce dimensionre l încovoiere cu torsiune: τ hb W 4 nec 6 /// /// reultă setul de dimensiuni b şi h. Dimensiunile secţiunii se leg din condiţi: / / // // /// /// ( b, h) m[ ( b, h ) ( b, h ) ( b, h )].. Problem. Grind B (fig..), cu secţiune un profil, este solicittă de o srcină uniform distribuită în plnul şi de o forţă concentrtă în punctul C, vând direcţi ei. Să se dimensionee grind. Se dă 5 N/mm. Se descompune sistemul spţil în două sisteme plne şi şi se trseă digrmele de moment încovoietor şi (fig.. şi ). Se clculeă momentele încovoietore în secţiunile C şi D: kNm, i C i kNm, D i 7.8kNm. m i D Reultă că secţiune periculosă este D. ici se fce dimensionre solicitre fiind de încovoiere dublă, condiţi de dimensionre este: 64

265 5kN B C. kn/m C D m m B C D B m 5kN m.5m 6kNm 7.5kNm 6kNm 5kNm -.. fig. W W. W nec dim W W Pentru determinre rportului se fce o predimensionre numi W l solicitre de încovoiere preponderentă (în cul de fţă încovoiere pe ): W 5 mm. nec 5 65

266 Din tbelul stndrdit reultă W ef 78 cm, cre corespunde unui W profil, vând W. cm. Reultă rportul 8. 9 se introduce W rportul în condiţi de dimensionre de l încovoiere dublă, stfel: W nec mm Din tbelul stndrdit reultă W ef 54 cm, cre corespunde unui profil 8, vând W 6, cm. Se verifică obligtoriu condiţi de reistenţă l încovoiere dublă: m 5.87 N / mm, W W m <. 5 N / mm. Deci secţiune corespunătore grinii B este un profil 8. Problem.b Pentru sistemul sp ţil din figur b., vând secţiune un profil cornier L554 se cere să se determine vlore forţei cpbile F şi deplsre punctului D. Se dă 5 N/mm. Se descompune sistemul spţil în două sisteme plne şi şi se trseă digrmele de moment încovoietor şi (fig.b. şi ) secţiune periculosă este D. Se clculeă înclinre ei neutre: tg β tgα, tgα. 85 tg β β 7 Unghiul β se măsoră în rport cu, în sens orr fiind considert de semn poitiv. Se trseă distribuţi de tensiuni, punctele S şi S / fiind cele mi solicitte în secţiune:.57 F S S s ( 5.95 ).44F N / mm 4 47 S S v /. 66

267 S / w F.57 (.6 ) ( 4.65 ).58F N / mm w. / v S S / 4 F S / F 4F C B D S /. 4F F F B C D D B C.5m m m.5m m m Fm - Fm.57Fm.. S S / - - v α w S (η) - S / i β 4. (ξ) fig.b 67

268 su Din condiţi de reistenţă se determină vlore forţei cpbile: m [ S ] ech / S.58F 5 Fcp 586 N. Pentru clculul deplsării punctului D se foloseşte metod Veresceghin se trseă digrmele m şi m pentru încărcre unitră în / punctul D pe ele respectiv (fig.b. şi ). D B C D B C.5m m m.5m m m md /.5 /.5.. fig.b / md Δ Δ Δ Δ D D D m E D F.7 E m E d F E.59mm D F.57 9.mm E D F E Δ D Δ D Δ D (.5 ), 9.4mm..5,.5 68

269 Problem.c Să se verifice br din fontă din fig.c. Secţiune brei este dreptunghiulră cu dimensiunile b 4 mm şi h 5 mm. Se cunosc t 6 N/mm c N/mm fig.c Se trseă digrmele de efort. Secţiune periculosă este C e este solicittă l încovoiere cu forţă ilă. Se trseă distribuţi tensiunilor normle în cestă secţiune din compunere distribuţiilor tensiunilor normle dtorte forţei ile şi momentului încovoietor. Distnţ între şi neutră este: N mm Tensiunile normle cu vlori etreme sunt: 6 N 6 4 S 8. N / mm > t W N /. N / mm S W / < c. S Reultă fptul că secţiune nu reistă l trcţiune. 69

270 Problem.d Secţiune din figur d este solicittă de forţele 6Q şi Q prlele cu brei. Să se clculee Q cpbil dcă se cunoşte 5 N/mm. fig.d Se clculeă poiţi ei secţiunii: i i i G 4.4 mm i i Eforturile cre pr în secţiune în rport cu centrul de greutte sunt: N 6Q Q 5Q 6Q 7 Q 4 56Q ( ) ( ). 6Q Q Q Solicitre l cre este supusă secţiune este încovoiere dublă cu for ţă ilă condiţi de reistenţă este: N m W W în cre: 58mm W 56.8 mm , m 7

271 mm m 8.58mm W mm m , 98. mm m 7mm. Se înlocuiesc tote vlorile în condiţi de reistenţă, de unde v reult vlore lui Q cp : 5Q 48.Q 56Q stfel: Q cp 495 N. Problem.e Sistemul de bre cu secţiune circulră din figur e. este cţiont de forţele de dn şi 8dN pe direcţi şi de forţele V şi V pe direcţi. Să se verifice brele sistemului conform teoriei de reistenţă cunoscând dimetrul secţiunii circulre d 5 mm şi 7 N/mm. 8dN V dn.. B. C D.4.m.5m V.m fig.e. 7

272 dn 58dNm C 58dNm 6dNm.5dNm 58dNm t 65.7dN C.6dNm Din ecuţi de momente de torsiune în rport cu reultă vlore forţei V: V. V V 8.85dN. Se descompune sistemul spţil în două sisteme plne şi, se trseă digrmele de moment încovoietor, şi digrm de moment de torsiune t. Sistemul este solicitt l încovoiere dublă cu torsiune, secţiune periculosă este B ici se v fce verificre : ech ech W i 7

273 cu : π d ech k i Wi t ş. Pentru teori de reistenţă k, stfel: N / mm < 7 N / mm. π 5 ech 7

274 Cpitolul 4 SSTEE STTC NEDETERNTE În cul în cre numărul ecuţiilor de echilibru nu este suficient pentru determinre în mod unic eforturilor şi deplsărilor, sistemul este sttic nedetermint. Eistă două metode generle de reolvre unui stfel de sistem: metod eforturilor şi metod deplsărilor. etod eforturilor, cre este o metodă directă de reolvre, re c necunoscute recţiuni su eforturi cre nu se pot determin direct din ecuţii de echilibru. etod deplsărilor, cre este o metodă indirectă, re c necunoscute deplsări, trnslţii su rotiri, în funcţie de cre pote fi eprimtă stre de deformţie su efort, în mod unic. etod eforturilor Se stbileşte iniţil grdul de nedeterminre sttică sistemului, dică numărul de forţe su eforturi cre nu pot fi determinte din ecuţiile de echilibru. Procedeele de stbilire grdului de nedeterminre sttică sunt următorele:. Procedeul contururilor închise Se consideră sistemul de bre (fig.4.) cre formeă un contur închis. Se secţioneă conturul şi se introduc cele trei eforturi corespunătore sistemul stfel obţinut este sttic determint. X X X fig.4. 74

275 şdr, un contur închis, fără nici o discontinuitte fibrei medii deformte şi tngentelor sle (de eemplu, fără nici o rticulţie), este de trei ori sttic nedetermint. Tot un contur închis, însă prin teren, este, de eemplu, cel din figur 4.. X X X fig.4. Dcă un sistem pln conţine k contururi închise, fără discontinuităţi, grdul de nedeterminre sttică este n k. Pentru sistemul din figur 4. - k 5, de unde reultă grdul de nedeterminre sttică n fig.4. Eistă situţii, cum este ce din figur 4.4, când pot pre contururi flse, stfel: 4 5 fig.4.4 după ce s-u prcurs brele cre formeă contururile şi - 5--, conturul --- nu conţine nici o bră cre să nu fi fost prcursă, deci este vorb despre un contur fls. Grdul de nedeterminre sttică este: n 9 ( k ). Dcă structur conţine rticulţii interiore, reeme rticulte su reeme simple, deci preintă discontinuităţi le fibrei medii deformte şi le tngentelor sle, ceste vor furni condiţii sttice suplimentre cre 75

276 micşoreă grdul de nedeterminre sttică, cre devine în cul sistemelor plne: n k s în cre s - numărul condiţiilor sttice suplimentre. Condiţiile sttice suplimentre sunt: pentru o rticulţie în cre se întâlnesc un număr de două bre, s pentru o rticulţie în cre se întâlnesc un număr de m bre, s m- pentru un reem rticult, s pentru un reem simplu, s. Pentru eemplul din figur 4.5, k 4, s 6 şi grdul de nedeterminre sttică este n 6. s s s s s fig.4.5 b. Procedeul brelor Se consideră structur seprtă în bre şi noduri prin secţiuni efectute lângă noduri. Brele, din punct de vedere l modului de reemre şi deci l numărului de necunoscute introduse, pot fi: - încstrte l mbele cpete, cu simbolul b ii şi numărul de necunoscute introduse - încstrte l un cpăt şi rticulte l celăllt, cu simbolul b i şi numărul de necunoscute introduse - încstrte l un cpăt şi simplu reemte l celăllt, cu simbolul b ir şi numărul de necunoscute introduse - rticulte l mbele cpete, cu simbolul b şi numărul de necunoscute introduse. Numărul totl de necunoscute introduse de bre v fi: B bii bi bir b. Reemele structurii introduc necunoscute stfel: 76

277 - reemele încstrte, cu simbolul r i şi numărul de necunoscute introduse - reemele rticulte, cu simbolul r şi numărul de necunoscute introduse - reeme simple, cu simbolul r s ş i numărul de necunoscute introduse. Numărul totl de necunoscute introduse de reeme v fi: R ri r rs. Nodurile micşoreă grdul de nedeterminre sttică prin ecuţii de echilibru suplimentre, stfel: - nodurile încstrte, cu simbolul ni - nodurile rticulte, cu simbolul n - nodurile simplu reemte, cu simbolul n s. Numărul totl de ecuţii de echilibru în noduri v fi: N n n n i s. plicând procedeul brelor, grdul de nedeterminre sttică se clculeă stfel: n B R N. 4. etod eforturilor în reolvre sistemelor o dtă sttic nedeterminte Se consideră sistemul sttic nedetermint din fig.4.6: P 4 P l 5 X l/ / fig.4.6 form de b fig

278 Etpele de reolvre sunt următorele: se stbileşte grdul de nedeterminre sttică l sistemului plicând unul din procedele epuse nterior su făcând diferenţ dintre numărul de necunoscute şi numărul de ecuţii de echilibru se clculeă n 4-. se suprimă un număr de legături egl cu grdul de nedeterminre sttică l structurii, dică se suprimă o legătură şi se introduce forţ de legătură corespunătore nottă cu X sistemul stfel obţinut este un sistem sttic determint numit formă de bă, sistemului iniţil (fig.4.7). Suprimre legăturilor se pote fce în orice secţiune sistemului sttic nedetermint, cu condiţi c form de bă obţinută să fie corectă, dică să constituie un sistem sttic determint în nsmblu şi pe porţiuni. se pune condiţi c form de bă, încărctă cu srcin P şi cu forţ necunoscută X să se comporte identic cu sistemul iniţil însemnă că deplsre pe oriontlă în secţiune, Δ, formei de bă încărctă cu P şi X să fie nulă, deorece în sistemul iniţil deplsre pe oriontlă în cestă secţiune nu este posibilă. Eprimre condiţiei Δ constituie ecuţi din cre reultă X. Deplsre Δ, fiind o funcţie liniră de încărcări (P şi X ), se pote determin prin suprpunere efectelor, stfel: Δ Δ Δ cu: Δ deplsre în secţiune, pe direcţi necunoscutei X, produsă de încărcre P pe form de bă Δ deplsre în secţiune, pe direcţi necunoscutei X, produsă de forţ necunoscută X pe form de bă. Dr tot prin suprpunere efectelor se clculeă Δ X δ cu δ deplsre în secţiune, pe direcţi necunoscutei X, produsă de X pe form de bă. Reultă că: Δ X δ Δ () se determină deplsările elstice δ, Δ şi se reolvă ecuţi (). Determinre deplsărilor, cre sunt punctule, pe un sistem sttic determint (form de bă) se fce cu jutorul formulei well-ohr. Se construiesc digrmele de momente încovoietore pe form de bă încărctă cu X şi respectiv P. L clculul lui δ şi Δ se neglijeă efectul forţei tăietore şi ile (fig.4.8 şi b). 78

279 Se noteă cu m digrm corespunătore încărcării formei de bă cu X şi cu digrm din încărcre formei de bă cu P. P Pl/9 l l X m. b. fig.4.8 m d l l 7l δ l l l l E E E 6E m d Pl Pl Δ l l. E E 9 8E Din ecuţi () reultă: Δ X P. δ se trseă digrmele de eforturi N, T, (fig.4.9) pentru sistemul sttic nedetermint fie prin reolvre formei de bă încărctă cu P şi X simultn, fie seprt cu P şi X utiliând poi suprpunere efectelor: X, m T T X t N N X n în cre, T, N sunt digrmele de eforturi pe form de bă încărctă cu P, respectiv m, t, n digrmele de eforturi pe form de ă încărctă cu X. b, 79

280 P P/ Pl/ Pl/ P/ l l P/ Pl/6 - - P/ P/ P/ P/ P/ P/ N T P/ P/ fig Structuri de n ori sttic nedetermin te Pentru un sistem de n ori sttic nedetermint se suprimă un număr de n legături, pentru se trnsform sistemul într-unul sttic determint form de bă sistemului iniţil. În locul celor n legături suprimte se introduc forţele su cuplurile de legătură corespunătore X, X,..., X n. Sub cţiune încărcării iniţile (srcinile P) şi necunoscutelor X, X,..., X n, într-o secţiune orecre j formei de bă, secţiune în cre fost suprimtă o legătură, se produce deplsre Δ j, după direcţi necunoscutei X j, cre, în b principiului suprpunerii efectelor, pote fi scrisă: Δ j X δ j X δ j X n δ jn Δ j în cre: δ jn este deplsre în j pe direcţi necunoscutei X j, produsă de încărcre X n, pe form de bă. - X n δ jn este deplsre în j pe direcţi X j, produsă de încărcre X n, pe form de bă. Δ j este deplsre în j pe direcţi X j, produsă de srcinile P, pe form de bă. Condiţi de restbilire continuităţii sistemului în j este Δ j : Δ j X δ j X nδ jn Δ j. () Relţi () repreintă condiţi de continuitte pe direcţi X j scriinduse ecuţii de continuitte semene condiţiei () pe direcţi tuturor necunoscutelor, se obţine sistemul de ecuţii de form: 8

281 Δ Δ Δ Δ X δ X δ X jδ j j n X X X δ δ j X X δ δ j X X j j δ δ, δ n X δ n X jδ nj X nδ nn Δ n j jj X X n X n δ δ n jn n δ n Δ Δ Δ j,, cu ds ds ds δ jh m jmh n jnh η t jth E E G şi ds ds ds Δ j m j j j E N n E η T t G unde: - m j, t j, n j sunt digrme de eforturi din încărcre formei de bă numi cu X j - m h, t h, n h sunt digrme de eforturi din încărcre formei de bă numi cu X h -, T, N sunt digrme de eforturi din încărcre formei de bă numi cu srcinile P. L sistemele plne, le căror bre sunt solicitte numi l încovoiere, se consideră numi influenţ momentului încovoietor în cul grinilor cu ăbrele, se v ţine sem dor de influenţ forţelor ile. După reolvre sistemului de ecuţii se obţin vlorile X,..., X n. Digrmele de eforturi se clculeă prin suprpunere eforturilor: X m X m X nmn T T X t X t X nt n N N X n X n X nnn. Etpele de reolvre unui sistem sttic nedetermint prin metod eforturilor sunt:. stbilire grdului de nedeterminre sttică n sistemului. suprimre n legături şi introducere forţelor su cuplurilor corespunătore X, X,..., X n, obţinându-se stfel form de bă sistemului iniţil. scriere sistemului de ecuţii de continuitte () 4. încărcre formei de bă, pe rând, cu fiecre din cele n necunoscute de vlore unitră: () 8

282 X X ( X X X ) n,, ( X X X ) X n, ( X X X n ) şi cu srcinile P şi poi trsre digrmelor de efort corespunătore. 5) determinre deplsărilor δ jh şi Δ j 6) reolvre sistemului de ecuţii 7) trsre digrmelor de efort prin suprpunere efectelor su prin reolvre formei de bă încărctă tât cu srcinile P cât şi cu forţele X,..., X n. n 4. Utilire simetriei în reolvre sistemelor sttic nedeterminte Se consideră sistemul de trei ori sttic nedetermint din figur 4. simetric fţă de - şi încărct cu forţ P. Form de bă se obţine făcând o secţiune prin de simetrie şi introducând forţele de legătură corespunătore (fig.4. b). P P X X X X X X form de b. b. fig.4. Sistemul de ecuţii de continuitte este de form: X δ X δ X δ Δ X δ X δ X δ Δ (4) X δ X δ X δ Δ. Se trseă digrmele de moment încovoietor provenind din încărcre formei de bă, pe rând, cu fiecre din cele trei necunoscute egle cu unitte (fig.4.). 8

283 - X X X m m m fig.4. Se observă că X şi X constituind încărcări simetrice conduc l digrme simetrice, X fiind ntisimetrică conduce l o digrmă ntisimetrică stfel, reultă: δ δ δ δ provenind din integrre unei digrme simetrice cu un ntisimetrică. Reolvre sistemului (4) se reduce l reolvre unui sistem de două ecuţii cu două necunoscute şi unei ecuţii cu o singură necunoscută: X δ X δ Δ (5) X δ X δ Δ. X δ Δ. (6) Când încărcre P este simetrică su ntisimetrică fţă de -, tunci şi unii din termenii liberi i ecuţiilor sistemului (4) devin nuli. În cul în cre încărcre este simetrică (fig.4.), digrm v fi simetrică (fig.4.b) reultă Δ şi deci X. stfel, v rămâne de reolvt numi sistemul (5)., P P -. b. fig

284 Când încărcre P este ntisimetrică (fig.4.), digrm v fi ntisimetrică (fig.4.b). Reultă Δ şi Δ, de unde X X, rămânând de reolvt numi ecuţi (6). P P -. b. fig Clculul deplsărilor l sisteme sttic nedeterminte Clculul deplsărilor cu metod well-ohr, în cul unui sistem de bre elstice, produse de srcinile eteriore, este celşi tât pentru sistemele sttic determinte cât şi pentru cele sttic nedeterminte. Considerând un sistem pln de bre, încărcte în pln, deplsre Δ i se clculeă stfel: ds ds ds Δ i ni N mi η tit E E G cre se mi pote scrie : Δ i ( ni, N ) ( mi, ) ( ti, T ). (7) Conform relţiei (7), pentru un sistem sttic determint cât şi pentru unul nedetermint, digrmele N, T, repreintă digrmele din încărcări eteriore ir n i, m i, t i digrmele din încărcre sistemului eclusiv cu srcin unitră cţionând în secţiune şi după direcţi deplsării căutte. Dr sistemul sttic nedetermint coincide cu form s de bă dcă pe direcţi legăturilor suprimte cţioneă forţele su cuplurile de legătură X,..., X n. şdr, o deplsre pe un sistem sttic nedetermint, pote fi scrisă pe b suprpunerii efectelor, sub form: Δ i Δi X δ i X nδ i n (8) în cre Δ i, δ i,..., δ i n repreintă deplsări pe o formă de bă sistemului iniţil (sttic determint). 84

285 Conform wel-ohr: Δ i ( ni, N ) ( mi, ) ( ti, T ) δ i ( n, n ) ( m, m ) ( t, t. i i i ) Substituind relţi (9) în relţi (8), reultă: Δ n N X n m, X m i [ i, ( )] [ i ( )] ( T X t )] [ t i, dr: N N X n, X m, () T T X t. Ţinând sem de epresiile (), Δ i se scrie: Δ i ( ni, N ) ( mi, ) ( ti, T ) su ni N ds mi ds tit ds Δ i η. () E E G Cu relţi () se clculeă deplsre sistemului sttic nedetermint în cestă epresie N, T, sunt digrmele de eforturi din srcinile eteriore pe sistemul sttic nedetermint, ir n i, m i, t i digrmele de eforturi pe orice formă de bă sistemului dt, încărctă cu o srcină unitră virtulă în punctul şi pe direcţi deplsării căutte. Etpele de determinre deplsării pe un sistem sttic nedetermint: reolvre sistemului sttic nedetermint şi trsre digrmelor N, T,. încărcre formei de bă, cre folosit l reolvre sistemului sttic nedetermint su oricărei forme de bă corespunătore sistemului dt, cu o srcină virtulă unitră, în punctul şi pe direcţi deplsării căutte şi trsre digrmelor de efort n i, m i, t i. determinre deplsării cu epresi (). (9) 4.5 Grini continue Grinile continue sunt grini drepte şete pe mi multe reeme succesive, dintre cre unul este fi (o rticulţie su o încstrre), ir celellte sunt mobile (reeme simple), (fig.4.4 şi b). 85

286 . b. fig.4.4 În cul din figur 4.4 grind este de trei ori sttic nedetermin tă, în cul din fig.4.4b grdul de nedeterminre sttică fiind ptru. Grinile continue se pot reolv cu metod generlă eforturilor se plecă de l condiţi de continuitte grinii, cre se eprimă prin fptul că pe un reem intermedir rotire reltivă două secţiuni vecine este nulă Epresi rotirilor de cpăt l grind simplu reemtă Se emineă o grindă simplu reemtă încărctă cu srcini şi momente de cpăt, urmărindu-se determinre rotirilor ϕ şi ϕ l cele două etremităţi (fig.4.5). P P / C / l C // / // C C //. m C / C C // // C/l m m b. / C/l m c. fig

287 Considerând digrm construită pe b principiului suprpunerii efectelor, se v utili formul ohr-well, încărcările uilire fiind momente egle cu unitte cţionând l etremităţile brei (fig.4.5b şi c). Se plică regul lui Veresceghin, stfel: / / // // ( ) m d ϕ C C l l E E E l 6, 6E l // // C 6C dr deci 6. l l l // Produsul C repreintă momentul sttic l suprfeţei digrmei în rport cu secţiune se pote fce notţi: // C S, 6S epresi m fiind denumită crcteristică (termen) de încărcre. l Prin urmre: l ϕ ( m ) () 6E nlog se obţine epresi rotirii secţiunii : ϕ m d l l E E l 6 6E l / / C dr 6 6C şi. l l l / Produsul C S repreintă momentul sttic l suprfeţei 6S digrmei în rport cu secţiune epresi m se numeşte l crcteristică (termen) de încărcre. stfel, rotire secţiunii devine: l ϕ ( m ) () 6E Crcteristicile de încărcre u dimensiuni de m oment, ir vlorile lor se pot clcul pentru diverse încărcări. În continure se vor stbili crcteristicile de încărcre pentru câtev curi frecvente de încărcre: 87

288 Srcin uniform distribuită pe întreg deschidere (fig.4.6) q l 6S m m l 6 ql l l l 8 ql 4 ql/8 fig.4.6 Forţ concentrtă cţionând în mijlocul deschiderii (fig.4.7) P l/ l/ Pl/4 fig.4.7 6S m m l 6 Pl l l Pl l Ecuţi celor trei momente Fie grind continuă de n ori sttic nedetermintă din figur 4.8. Prin introducere de rticulţii pe reemele intermedire se obţine sistemul de bă sttic determint, formt dintr-o succesiune de grini simplu reemte încărcte cu srcinile eteriore şi cu momentele necunoscute introduse în rticulţii şi cre sigură continuitte grinii pe reeme. Pe grind simplu reemtă i, i (fig.4.9), rotire cpătului liber i este, conform relţiei (): li ϕ ( m ) is i i i,i, 6E 88

289 Pe grind i, i(fig.4.9b), rotire în secţiune i este, conform relţiei (): li ϕ i ( i i mi, i ). dr 6E i- i n n i l l li li i- i i n i- i i n n fig.4.8 i- i i i i- i i i li li i- i i i i i i-, i i, i i bi i bi. fig.4.9 Condiţi de continuitte grinii în secţiune i impune c: ϕ s ϕ i dr, cee ce duce l relţi: li li ( i i mi, i ) ( i i mi, i ) 6E 6E su l i i ( li li ) i li i li mi, i li mi, i. () Relţi () repreintă ecuţi celor trei momente su ecuţi lui Clperon. b. 89

290 Crcteristicile de încărcre, cu notţiile din figur 4.9 se clculeă stfel: 6 mi, i ii l m i 6 b i, i i i li Pentru reolvre grinii continue se v scrie câte o ecuţie de trei momente pentru fiecre reem intermedir se v obţine un sistem de ecuţii în număr egl cu cel l momentelor necunoscute. Etpe în utilire ecuţiei celor trei momente Se numeroteă tote remele, după ce s-u efectut eventulele trnsformări le încstrărilor şi consolelor, c în fig.4. şi 4.. l l l l fig.4. În cul încstrării, cest se înlocuieşte cu o rticulţie şi un reem simplu, infinit propit. P 4 P l l l l fig.4. Consol -4 se înlocuieşte cu un moment pe reemul. Se construiesc digrmele de moment încovoietor c urmre cţiunii srcinilor efectiv plicte pe grinile simplu reemte. Se clculeă crcteristicile de încărcre pe reemele intermedire. 9

291 Se scriu ecuţiile celor trei momente pentru un număr de reeme egl cu grdul de nedeterminre sttică şi prin reolvre sistemului de ecuţii se determină momentele plicte în rticulţii. Se clculeă recţiunile pe reeme. Se trseă digrmele de eforturi şi se verifică cu jutorul relţiilor diferenţile dintre eforturi (şi încărcări). Problem 4. Să se trsee digrmele de efort şi să se determine deplsre verticlă secţiunii D şi rotire nodului B (fig.4.). q q B C D. 6q. 6q form de b X q 4 q - 6q ¾ 5q/ X ¾ m..5q 4..57q q - q.9q.57q -.645q T N 5..9q q 7. md mϕb 9. 6q fig.4 9

292 Cdrul este o dtă sttic nedetermint se înlocuieşte rticulţi din cu un reem simplu şi o forţă X oriontlă, obţinându-se stfel form de bă (fig.4.). Se încrcă form de bă cu X şi se trseă digrm de moment m (fig.4.). Se încrcă poi form de bă cu srcinile eteriore şi se trseă digrm de moment (fig.4.4). Se plică ecuţi de condiţie: X δ Δ, cu: d δ E Se utilieă regul lui Veresceghin: 4 δ E m Δ m d E. E 4 q 4 4q Δ, E E X.9q. Digrmele de efort sunt repreentte în fig Pe form de bă se introduce o forţă virtulă unitră în punctul D, pe direcţie verticlă se construieşte digrm m D şi se clculeă deplsre verticlă: q v D q 4 q 4.57q 6 E q v D. E Pe form de bă se introduce un cuplu virtul unitr în nodul B şi se trseă digrm m ϕb se clculeă rotire: ϕ B 4.57q 4 q E 6.57q ϕ B. E Problem 4.b Pentru grind continuă din figur 4b., vând dimensiunile şi încărcările indicte, să se trsee digrmele de efort. 9

293 ql 4 q ql 4 ql/4 ql/4 l/ l/ l ql/8 ql/4 - ql/4 ql/ V ql/4 l/ l/ l - T Vdr V - ql/4. l/4 5ql/4. fig.4b Sistemul este o dtă sttic nedetermint se scrie ecuţi celor trei momente: l ( l l) l ml ml, în cre: ql. V st q m ql l 8 4 ql m. 4 ql Reultă. 4 Se clculeă, pe form de bă, pe intervlul -, recţiunile, forţele tăietore şi momentul încovoietor în secţiune 4 (fig.4b.), stfel: l ql 5ql 5ql, ql V l V, T st st st l ql ql, ql Vl V T 4 4 ql l ql

294 Pe form de bă - (fig.4b.) se clculeă recţiunile, forţele tăietore şi momentul încovoietor mim: l ql ql ql, ql Vl V, T ql l, ql V l V ql T dr dr dr 4 4 m ql ql 4 q. 94

295 Cpitolul 5 BRE CURBE PLNE Se v studi br curbă cu longitudinlă de form unei curbe plne, secţiune trnsverslă vând o ă de simetrie, plnul ei brei fiind pln de simetrie pentru bră. Forţele eteriore cţioneă în plnul ei brei curbe. Este cul cârligului de mcr su l elementului de lnţ ()(fig.5.). F F F F fig.5. Deformţi v ve un crcter pln, deformtă fiind şi după deformţie o curbă plnă. 5. Tensiuni în secţiune brei curbe C şi în cul brei drepte, se pote ccept în cul brelor curbe ipote secţiunilor drepte, o secţiune rămânând plnă şi normlă l brei şi după deformţie. Se dmite că între fibrele brei nu eistă presiune reciprocă cestă ipoteă nu corespunde relităţii, ş cum reultă din considerre echilibrului unei fibre din bră, cre testă preenţ tensiunilor normle rdile. Se consttă că influenţ intercţiunii între fibre, prin tensiuni normle r, este neglijbilă pentru secţiunile pline. 95

296 Se consideră o bră curbă de secţiune simetrică în rport cu plnul cre conţine brei, solicittă l încovoiere pură produsă de momente cţionând în cest pln, brei vând r de curbură R. Se detşeă din bră un element prin două plne infinit vecine normle pe ă, trecând prin centrul de curbură, cre fc între ele unghiul dϕ (fig.5.). În secţiunile de cpăt cţioneă momentele concentrte, stfel că br se deformeă, secţiune CD rotindu-se fţă de B cu cntitte Δdϕ. B ds ds ds dφ C Δdφ Δds D Ret R e R Rint O G int et - et int neutr fig.5. În cestă stre de deformţie fibrele longitudinle din prte superioră se scurteă, ir cele din prte inferioră se lungesc. V eist o fâşie de fibre longitudinle cre nu vor suferi nici lungiri, nici scurtări, numită fâşie neutră intersecţi fâşiei neutre cu secţiune trnsverslă v repreent neutră în secţiune. Lungime unei fibre din fâşi neutră cu R r de curbură se noteă cu ds cu ds se noteă lungime unei fibre l distnţ de neutră: ds ( R ) dϕ. lungire specifică fibrei ds v fi: Δ( ds ) Δdϕ ε. ds ( R ) dϕ Considerându-se că între fibre nu eistă o intercţiune şi presupunând comportre elstică mterilului, din lege lui Hooke reultă: Δdϕ E ε E. () dϕ R Ţinându-se sem de solicitre din secţiune dtă, numi prin moment încovoietor, tensiunile normle vor trebui să stisfcă următorele trei condiţii: 96

297 d d d. () Înlocuind epresi () în prim relţie grupului (), reultă: Δdϕ Δdϕ E d E. d dϕ R dϕ R Deorece multiplictorul din fţ integrlei nu pote fi nul, reultă că d, relţi preciând poiţi ei neutre în secţiune se consttă R că neutră nu trece prin centrul de greutte l secţiunii. Înlocuind epresi () în dou relţie grupului (), reultă: Δdϕ E d dϕ R relţi este stisfăcută pentru că O este o ă de simetrie. Înlocuind epresi () în trei relţie grupului (), reultă: Δdϕ E d. d () ϕ R Se studiă seprt integrl: ( R R ) d d d R d, R R R (4) d d e R semnul minus dispre pentru că sensul de măsurre l lui e este invers sensului ei. Produsul e repreintă momentul sttic l riei secţiunii în rport cu neutră, e fiind distnţ între centrul de greutte l riei secţiunii şi neutră în secţiune. Înlocuind epresi (4) în relţi (), se obţine: Δdϕ Δd ϕ E e, deci repreintă epresi dϕ dϕ Ee cre se înlocuieşte în relţi () reultă:. (5) e R Din relţi (5) se consttă că tensiunile normle pe înălţime secţiunii vriă hiperbolic (fig.5.) şi nu linir, precum în cul brei drepte. 97

298 int e R int int e R e t et et. e R et e Ret Pentru plicre relţiei (5) l determinre tensiunilor normle este necesră cunoştere poiţiei ei neutre în secţiune. cestă poiţie pote fi precită fie prin distnţ e de l centrul de greutte l secţiunii, fie prin r de curbură R fâşiei neutre, între ele eistând relţi: e R R. Se noteă cu ρ r de curbură unei fibre, l distnţ de neutră: ρ R tunci relţi d devine: R R ρ d d d R, ρ ρ R. d ρ Dcă secţiune brei curbe este dreptunghiulră (fig.5.), R se clculeă stfel: b int int h dρ ρ e G O R R Ret Rint d bdρ fig.5. 98

299 R d b ρ R R et int dρ R b ln ρ R h d R ln ρ R et int. et int Pentru cul în cre în secţiune trnsverslă brei curbe se devoltă simultn moment încovoietor şi forţă ilă, în b principiului suprpunerii efectelor, epresi tensiunii într-un punct curent v fi: N. e R 5.. mportnţ mărimii rei de curbură supr domeniului de vlbilitte relţiilor de clcul plicând formul lui Nvier, stbilită l încovoiere brelor drepte, pentru clculul tensiunilor normle în cul brelor curbe se obţin pentru diferite vlori le rportului R/h următorele erori: R/h erore,% R/h erore 7% R/h erore 5% Reultă că dcă R/h< (brele cu mre curbură), se plică relţiile de l bre curbe ir pentru R/h (brele cu mică curbură), pentru tensiuni şi deformţii se utilieă relţiile de l bre drepte. Problem 5. Să se rte cum trebuie fi poiţiontă secţiune brei curbe de curbură mre din figur 5 pentru se obţine forţ cpbilă P cp mimă inelul este confecţiont din fontă şi este prevăut cu un rost (despicătură) l prte inferioră, în on de plicre srcinilor P. Se cunosc: t 6 N/mm 4 N/mm R int mm R et mm. c 99

300 - Ret Rint P P. b. m 85m h 5 R et h R 4. R int 4.4. b/ 4mm.94E-P 6.7E-P N b R 6. e b / 4mm E-P.6E-P int R b R b 4 N 9. 5 R 5 h h 85 R e t e 6.7 fig.5 Se clculeă poiţi centrului de greutte l secţiunii brei curbe în prim vrintă de poiţionre cestei (.) clculul s- efectut prin descompunere grfică secţiunii în trei dreptunghiuri, jutătore de referinţă trecând prin centrele locle de greutte le inimilor secţiunii 85mm 4mm (fig.5..), stfel:

301 4 5 5 cg.44mm Se clculeă poiţi ei neutre secţiunii brei curbe în rport cu ce trece prin centrul de curbură l cestei, prin utilire relţiilor tbelte pentru determinre cestui prmetru în funcţie de form secţiunii brei prin înlocuire se obţine: ef R Ret b ln b ln R int 8 R 7.8mm, 5 4ln 8ln 5 implicit, se determină ecentricitte ei neutre în rport cu centrlă secţiunii: e R R Se reduce efectul perechii de forţe P în rport cu centrul de greutte l secţiunii şi se clculeă vlorile tensiunii normle în punctele situte l intrdosul (interiorul), respectiv etrdosul E (eteriorul) cestei se folosesc epresiile tensiunii pentru solicitre de încovoiere cu întindere: N P [ N] h h 5 85 P R int R P P [ N mm ], P 84.P P P 84.P 7. E.94 P Prin prcurgere celorşi pşi i lgoritmului de reolvre, pentru vrint b. de poiţionre secţiunii brei curbe (fig.5.b.), se obţin: cg.44 mm R 59. mm 85 8ln 4 ln 85 e mm N P [ N]

302 h h 5 85 P R int R P P[ Nmm] Pentru solicitre compusă de întindere cu încovoiere, cu respectre epresiilor tensiunii normle în cul brelor curbe de curbură mre (ră mică de curbură), se obţin: P 5.9P P P 5.9P E P Ţinându-se sem de mărimile tensiunilor mime dmisibile le mterilului din cre este confecţiont inelul elstic, se obţin, funcţie de vrint de poiţionre respectiv punctele de interes le secţiunii, vlorile:..58 P 6 N / mm P 5.67kN, b..94 P 4 N / mm P cp 5.67kN P P cp P 6 N / mm P 4 N / mm.65kn. P.65kN, În concluie, vrint de poiţionre. permite tingere unei vlori de pes te două ori mi mre prmetrului de încărcre P cp, comprtiv cu vrint b. de poiţionre..7kn P.8kN Problem 5.b Să se determine srcin cpbilă cârligului din figură (fig.5b) şi să se trsee digrm de distribuţie tensiunii normle în secţiune pericuosă. Se cunosc: h 6 mm, b mm, N/mm, R int 48mm.

303 B-B Rint B B b h P fig.5b R et 8 mm R 78 mm E N b R int 48 mm R 75 mm e mm h 6mm - - min,49e- P N m,5e- P fig.5b. Se reduce efectul forţei P în rport cu centrul de greutte l secţiunii se obţin eforturile secţionle: N P [ N] 78P [ N mm]. Se clculeă crcteristicile geometrice de interes le secţiunii precum şi poiţi ei neutre secţiunii: h b π 6 π 44mm 4