UVOD : RAZVOJ SKOZI ZGODOVINO :

Transcript

1 SEMINARSKA NALOGA IZ IZIKE S T A T I K A UVOD : Statika je e de t.im. Newtonove fizike, ki je pa zaradi razširjenosti in spošne uporabe v nekaterih tehničnih strokah obravnavana očeno. Tudi sama statika ima več vej uporabe, zato se v seminarski naogi omejujem na de, ki mu v praksi pravimo tehnična mehanika, pa še tu e na dvodimenzionane sisteme iz osnov iz gradbene mehanike. Zaradi enostavnosti in pregednosti, je tokom ceotnega referata uporabjen pojem statika. Statika je veda, ki proučuje mehaniko togih tees, ko se ta nahajajo v ravnotežju. Za togo teo pravimo, da je v ravnotežju, ko je rezutanta vseh zunanjih si, ki na teo deujejo, enaka nič, torej opazovano teo miruje. Za že poznan pojem togega teesa, pri obravnavi statičnih probemov vpejemo pojem absoutno togega teesa, čeprav taka dejansko spoh ne obstajajo, kajti vsako teo se pod vpivom zunanjih si vsaj mao deformira. Za prevod takih ideaiziranih izračunov na dejanske razmere obstajajo korekturni modui, ki ubažijo ideaizacijo gede na tip deformacije in rezutat pribižajo reanemu stanju. RAZVOJ SKOZI ZGODOVINO : Gotovo so osnovne zakonitosti statike poznaa že zeo stara judstva, saj njihovi gradbeniški dosežki tudi v današnjem svetu vzbujajo občudovanje. Seveda imam v misih stare Egipčane, pa Inke, Mae, ter druga stara judstva, katerih stvaritve v današnjem času imenujemo»svetovna kuturna dediščina«. Če pri teh judstvih ahko e skepamo o njihovem znanju, pa prvi znani zapisi statičnih rešitev segajo v čas starih Grkov. Omenjajo se dea poznanih misecev: Arhut iz Tarenta Aristote: v deu»probemi mehanike«arhimed: v deu»ravnotežje«1

2 Po kratkem zatišju v srednjem veku je statika, kot de znanosti o gibanju tees napredovaa proti koncu 17. stoetja, ter po Hgensu in Gaieu doseže vrhunec z Newtonom, ter znanimi Newtonovimi zakoni. V 18. sto. Euer in Lagrange upejeta anaitično pot reševanja statičnih probemov, toda zaradi vse večjih zahtev postane tak pristop prezapeten in v 19. sto. se poeg anaitične metode začne uporabjati grafična, ter na geometrijski podagi direktna uporaba vektorskega računa. Znani fiziki te dobe so : Hamiton, Mawe, Gibbs, Lorentz in drugi. Tak anaitično grafični pristop je v vejavi še danes, seveda pa večino računskega dea opravijo zmogjivi računaniki, z razičnimi programi za statične izračune. KDAJ GOVORIMO O STATIKI : 1. Če na togo teo deuje sia, potem se teo pospešeno gibje TRANSLACIJA (primer a). Če na togo teo deujeta dve sii 1 in, ki sta enakih veikosti in imata prijemaišče na isti smernici, deujeta pa v nasprotni smeri, potem govorimo, da je teo v ravnotežju STATIKA (primer b) 3. Če na togo teo deujeta dve sii 1 in, ki sta enakih veikosti, imata nasprotno usmerjenost, nista pa na isti smernici, se teo zasuka ROTACIJA (primer c) Rotacijo povzroči navor, ki je po definiciji enak vektorskemu produktu sie in ročice gede na os vrtenja. To je navor dvojice si. M 1 + M = r1 1 r M = ( d1+ d) M 1 + M = d 1 1 d M = d = 1

3 1 1. Tri sie prijemjejo v isti točki in rezutanta deujočih si je enaka nič RAVNOVESJE (primer a). Rezutanta dveh si je nasprotno enaka tretji sii in prijemaišče obeh je na isti smernici RAVNOVESJE (primer b) RAVNOVESJE RAVNOTEŽJE SIL Kot je razvidno iz posameznih primerov, so sie, ki deujejo na togo teo v ravnovesju e, če je rezutanta si enaka nič in če je rezutanta navorov enaka nič. M Pri vpivu več razičnih si, tako po veikosti, kot po smeri, je smiseno vprašanje o odvisnosti navora rezutante in navora posameznih sodeujočih si gede na skupno momentno točko. Odgovor na to je da že francoski matematik Varignon, po katerem se teorem tudi imenuje in pravi: Navor rezutante R dveh si 1 in gede na izhodiščno točko je enak vsoti posameznih navorov. 3

4 RAVNOTEŽJE SIL ANALITIČNO R n i = 1 i = 0 R n i = 1 i = 0 M n i = 1 ( X Y ) i i i i RAVNOTEŽJE SIL GRAIČNO DELUJOČE SILE V PODPORAH Ker je vsako togo teo nekam pooženo ai pritrjeno, deujejo nanj poeg si, ki jih povzročajo obremenitve tudi reakcijske sie, ki jih imenujemo pasivne sie ai reakcije v podporah. Veikost teh reakcij v podporah izračunamo s statičnimi ravnotežnimi enačbami. Izbrani sistemi so ahko statično nedoočeni, doočeni ai tudi predoočeni, zaradi poenostavitev do meja spošne razumjivosti pa obravnavam e statično doočene sisteme. To so sistemi, kateri imajo samo toiko neznank, koikor je razpoožjivih ravnotežnih enačb. Gede na uporabo so ahko podpore naežne (estev), pomično čenkaste (most), nepremično čenkaste (paičje), ai vpete (konzoa). 4

5 NOTRANJE SILE To so sie, ki nastanejo v posameznih deih konstrukcije in so posedica deovanja zunanjih si (obremenitev in pasivnih si), ter astne teže eementa. Izračun veikosti notranjih si je zeo važen za točno dimenzioniranje nosinih deov konstrukcij. V vsaki točki, kakršnekoi konstrukcije, nastae notranje sie doočimo tako, da v vsakem ravnem deu med dvema podporama nosiec»prerežemo«, ter doočamo reakcijske sie na težišče prereza. Razdeimo jih na: 1. normana sia v smeri osi nosica N, ki je enaka vsoti vseh horizontanih komponent si, ki deujejo na opazovani rezan de. prečna sia pravokotno na os nosica T, ki je enaka vsoti vseh vertikanih komponent si, ki deujejo na opazovani de 3. upogibni moment M, ki je enak vsoti navorov vseh si, ki deujejo na opazovani de gede na težišče prereza Notranje sie se spreminjajo gede na vrsto obtežbe in tip podpor, pa so zaradi preobširnosti pri naogah navedene e tiste dejansko uporabjene. DOLOČANJE TEŽIŠČA Težiče je točka, v kateri se navidezno nahaja vsa masa teesa. Če ceotno maso teesa nadomestimo z eno rezutirajočo sio, potem bo smernica te sie, pri pojubni rotaciji teesa, vedno prehajaa samo skozi eno točko, ki ji pravimo težišče teesa. Gede na to, da se omejujem e na dve dimenziji, ahko koordinate težišča omejimo na koordinate poskve. X t = i i gi Y t = gi g g TRENJE Pri računanju ahko vpiv trenja zanemarimo, saj so podpore ai čenkaste, ai vpete. Pri enostavnih naežnih podporah, pa je trenje potrebno upoštevati, včasih pa je sia epenja ceo bistvena, da je neko teo spoh ahko v ravnovesju. Sia epenja se spreminja gede na uporabjene materiae in je podana s koeficientom epenja. = µ p p n µ p = koeficient epenja = sia pravokotna na podago n 5

6 R A Č U N S K I P R I M E R I 1.VAJA : Toga odskočna deska je pritrjena, kot kaže sika. Podpora»A«je nepomično čenkasto vpeta, podpora»b«po je e sidro za jekeno vrv, ki je vpeta na 1/3 odožine odskočne deske. Izračunaj deujoče sie v podporah, ter deujoče notranje sie v odsekih odskočne deske in jekene vrvi. 6

7 REAKCIJE V PODPORAH : 1. REAKCIJE V PODPORI»A«To je čenkasta nepomična podpora, torej ji ahko nastavimo tri ravnotežne pogoje, iz katerih potem izračunamo dejanske koičine. V horizontani smeri nastavimo pogoj : A S cos ϕ V vertikani smeri nastavimo pogoj : A + S sinϕ m g q Nastavimo pogoj za navore : M S sinϕ s m g q. IZRAČUN DEJANSKIH OBREMENITEV V PODPORI»A«tgϕ = sinϕ.6 cosϕ.8 A S cosϕ A = S cosϕ A = 1.5kN 0.8 = 10kN A + S sinϕ m g q A = m g + q Ssinϕ A = kg m s + kg m s m kn A = kn + 6kN 7.5kN.5kN 3. DEJANSKE SILE V PODPORI»B«Jekena vrv ne more prenašati tačnih si in momentov, zato je podpora B obremenjena e s sio vrvi, ki jo v komponentah napišemo : S = S sinϕ S = S cosϕ S =10.0 kn S =7.50 kn 7

8 NOTRANJE SILE PO PREREZI 4. NOTRANJE SILE -1.poje n M N + A N = A = 10kN M + q A 0 n = T q + A T = A q M = A q Pomik (m) Tačne sie (kn) Vrednost navora (knm) M ma M ma 5. NOTRANJE SILE.poje n M N M q z z P z n z T q z P T = P+ q z M = P z q Pomik z (m) Tačne sie (kn) Vrednost navora (knm)

9 . VAJA Kako visoko se sme povzpeti gasiec, če je edina primerna osonska točka za estev na deu betonskega zidu, ki je 4 m oddajen od goreče stavbe. Gasičeva teža je 80 kg, tovori pa še prenosno pršiko mase 0 kg. Dožina estve : 8 m Masa estve : 30 kg Koeficient epenja ; estev - beton in estev zid je enaka in znaša. T A 1. POSTAVIMO RAVNOTEŽNE POGOJE X T B T + N m g m g m g B A gas e šp M mgas g m šp g me sinω + T sin cos 0 B ω + NB ω =. SILE LEPENJA T T = µ N A p A = µ N B p B 9

10 3. UREJANJE ENAČB iz X T N µ N N iz A B p A B N µ + N m g m g m g iz B p A gas e šp M mgas g mšp g m e sinω + µ sin cos 0 p NB ω + NB ω = N = µ N B p A ( ) cos N = g m + m + m A B A gas e šp A B = 600N = 600N = 40N ω ( ) N = 10 m/ s 80kg + 30kg + 0kg cos30 = 1501N N T T Razdajo dobimo iz enačbe za pogoje navorov : me g sinω + µ sin cos p NB ω + NB ω = m g + m g X dopustni = 4517 Nm / 1000 N = 4.5 m X ma = 4.0 m gas šp Dejanski je večji od maksimanega, kar pomeni, da se ahko gasiec s pono škropijko povzpne prav do vrha estve. 10

11 3. VAJA Razpetina visečega mostu je 80 m. Most je po ceotni dožini obremenjen z astno obremenitvijo q astna = kn/m in z uporabno obremenitvijo, q koristna, ki je tudi kn/m. Koikšne sie deujejo v vrvi, in kakšne na podporah? 11

12 1. NASTAVITEV ENAČB Skupna obremenitev gede na horizontano projekcijo je : q= q + q = 4 kn/ m k Ravnotežni pogoji : H H H v V = q q V 0 q v q = V v = q M q + H + q v Reakcije v podporah : Ker sta stebra na enakih višinah je reakcija obeh podpor enaka. Vma = q H q ma = 8 f f = maksimani poves, dobimo ga pa z urejanjem enačbe za navore f = q 8 H, ki hkrati predstavja enačbo paraboe. Sia v vrvi se spreminja, v pojubni točki pa je : S = H + V Smin = H = q 8 f Če enačbo obdeamo dobimo : q q = S ma = + 8 f 1

13 S min se pojavi v temenu paraboe S ma se pojavi nad podporami Dožino paraboe izračunamo iz formue : L p 8 f = + 3 Sie v vrvi : 3 q 410 N/ m 80m 3 H = = = N = 400kN 8 f 8 8m V 3 q 410 N/ m 80m = = = 160kN ( ) ( ) ma = + = = S H V kn kn kn Dožina vrvi : 8 f 8 8 m Lp = + = 80m+ = 80m+.14m= 8.14m m Reakcije na stebrih : H = H = 400kN v V = V = 160kN v Uporabjeno gradivo za seminar : STATIKA, ranc Cvetaš MEHANIKA U PRIMERIMA, Dobrosav Goubović GRADBENIŠKI PRIROČNIK, Jože Bertoncej SREDNJEŠOLSKI ZAPISKI, avtor http: // www rcp. ijs. Si v Renčah : oddano : avtor : Robert Mozetič 13