Evaluarea la disciplina Matematică în cadrul examenului naţional de bacalaureat 2010

Transcript

1 Evaluarea la disciplina Matematică în cadrul eamenului naţional de bacalaureat Eamenul naţional de bacalaureat este modalitatea esenţială de evaluare a competenţelor, a nivelului de cultură generală şi de specializare atins de absolvenţii de liceu În conformitate cu Ordonanţa de urgenţă nr 97/9, pentru modificarea Legii Învăţământului nr 84/995 şi cu Art4 () din Anea la OMECI nr557/69, privind aprobarea calendarului şi a metodologiei de organizare şi desfăşurare a eamenului de bacalaureat -, se susţine o probă scrisă de evaluare a competenţelor formate pe durata învăţământului liceal, la disciplina matematică în cadrul probei E - c), diferenţiată în funcţie de filieră, profil şi specializare În consecinţă, susţin proba scrisă la disciplina matematică elevii care au absolvit liceul în cadrul profilului real din filiera teoretică, în cadrul tuturor profilurilor din filiera tehnologică şi în cadrul profilului pedagogic, specializarea învăţător-educatoare şi a profilului militar, din filiera vocaţională Proba scrisă la matematică are statut de disciplină obligatorie Testul elaborat în cadrul probei scrise la matematică contribuie la îndeplinirea funcţiilor evaluării urmărite prin eamenul de bacalaureat Prin el se realizează o evaluare sumativă la finalul învăţământului preuniversitar Fiecare test proiectat asigură o cuprindere echilibrată a materiei studiate, are un grad de compleitate corespunzător conţinutului programelor şcolare şi a programei de bacalaureat, putând fi tratat în timpul stabilit de ore Testul pentru proba scrisă la disciplina matematică este format din trei subiecte Fiecare subiect conţine câte şase itemi subiectivi de tip rezolvare de probleme Competenţe de evaluat Proba scrisă la disciplina matematică, susţinută în cadrul eamenului de bacalaureat, evaluează competenţele dezvoltate pe parcursul învăţământului liceal, în conformitate cu programele şcolare pentru clasele a IX-a - a XII-a, în vigoare pentru absolvenţii promoţiei Competenţele generale şi competenţe specifice asociate conţinuturilor programei de bacalaureat care urmează a fi evaluate în cadrul probei scrise la matematică: Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contetul în care au fost definite - Utilizarea proprietăţilor algebrice ale numerelor, a estimărilor şi aproimărilor în contete variate - Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri, progresii, funcţii - Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică - Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice - Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor - Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor şi a diagramelor Matematică Eamenul de bacalaureat

2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contetual cuprinse în enunţuri matematice - Utilizarea unor metode algebrice şi grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor de ecuaţii - Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului - Aplicarea unor metode diverse pentru optimizarea calculelor de distanţe, unghiuri şi arii - Identificarea, într-o situaţie-problemă dată, a formulei adecvate de numărare - Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz - Identificarea unor metode de calcul ale integralelor, prin realizarea de legături cu reguli de derivare - Interpretarea unor proprietăţi ale şirurilor şi ale altor funcţii cu ajutorul reprezentărilor grafice - Evidenţierea asemănărilor şi a deosebirilor dintre proprietăţile unor operaţii definite pe mulţimi diferite şi dintre calculul polinomial şi cel cu numere Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete - Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea de algoritmi pentru optimizarea calcului cu numere - Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice - Operarea cu funcţii reprezentate în diferite moduri şi caracterizarea calitativă a acestor reprezentări - Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv - Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică - Aplicarea algoritmilor de calcul în situaţii practice 4 Eprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora - Caracterizarea unor mulţimi de numere şi a unor relaţii dintre acestea utilizând limbajul logicii matematice şi teoria mulţimilor - Eprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice - Eprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; eprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice - Eprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice - Eprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi calitative ale unei funcţii - Analiza unor configuraţii geometrice pentru optimizarea algoritmilor de rezolvare - Analiza şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice - Utilizarea proprietăţilor operaţiilor în calcule specifice unei structuri algebrice 5 Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă - Analiza unor contete uzuale şi matematice (de eemplu: redactarea soluţiei unei probleme) utilizând limbajul logicii matematice şi teoria mulţimilor - Analiza unor situaţii practice şi descrierea lor cu ajutorul funcţiilor Matematică Eamenul de bacalaureat

3 - Interpretarea unor situaţii problemă cu conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a elementelor de combinatorică - Stabilirea unor condiţii de eistenţă şi/sau de compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora - Folosirea proprietăţilor unei funcţii continue, pentru calcularea integralei acesteia pe un interval 6 Modelarea matematică a unor contete problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii - Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei şi interpretarea rezultatului - Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproimări şi strategii de optimizare - Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor - Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial - Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic) - Eplorarea unor proprietăţi cu caracter local şi/ sau global ale unor funcţii utilizând continuitatea, derivabilitatea sau reprezentarea grafică Testele şi baremele corespunzătoare, elaborate în vederea asigurării transparenţei şi informării persoanelor interesate, sunt prezentate ca modele pentru eamenul propriu-zis: Precizări referitoare la evaluarea probei scrise Ponderea diferitelor comportamente cognitive în evaluarea competenţelor elevilor prin proba scrisă la eamenul de bacalaureat, disciplina matematică, este ilustrată în tabelul de mai jos: Competenţă Tip de comportament Cunoştinţe, abilităţi/ deprinderi, atitudini Comportamente cognitive Cunoaştere Înţelegere Aplicare Analiză Sinteză Evaluare Pondere % 5% 5% 5% % Cunoaşterea conceptelor, proprietăţilor, teoremelor, formulelor, algoritmilor, problematicii specifice disciplinei matematică se evaluează prin sarcini de lucru precum: enumeraţi, precizaţi/menţionaţi, specificaţi, caracterizaţi, determinaţi, arătaţi etc Înţelegerea conceptelor, proprietăţilor, teoremelor, formulelor, algoritmilor, problematicii specifice disciplinei matematică se evaluează prin sarcini de lucru precum: recunoaşteţi, eemplificaţi, precizaţi, identificaţi, specificaţi, evidenţiaţi, scrieţi, descrieţi, calculaţi, eplicaţi, verificaţi etc Aplicarea conceptelor, proprietăţilor, teoremelor, formulelor, algoritmilor, modalităţilor de operare şi de abordare specifice disciplinei matematică în contete noi şi în rezolvarea de probleme, se evaluează prin sarcini de lucru precum: calculaţi/efectuaţi, alegeţi, eprimaţi, estimaţi, transpuneţi, construiţi/completaţi un grafic/un tabel, trasaţi, utilizaţi, justificaţi, rezolvaţi, demonstraţi, redactaţi, prelucraţi, interpretaţi etc Matematică Eamenul de bacalaureat

4 Analiza - Sinteza conceptelor, proprietăţilor, teoremelor, formulelor, algoritmilor, modalităţilor de operare şi de abordare specifice disciplinei matematică în contete noi şi în rezolvarea de probleme, se evaluează prin sarcini de lucru precum: organizaţi, aranjaţi, optimizaţi, corelaţi, măsuraţi, calculaţi/efectuaţi, comparaţi, asociaţi, formulaţi, reprezentaţi grafic, caracterizaţi, compuneţi, prelucraţi, elaboraţi, deduceţi, proiectaţi, analizaţi, argumentaţi/justificaţi etc Evaluarea conceptelor, proprietăţilor, teoremelor, formulelor, algoritmilor, modalităţilor de operare şi de abordare specifice disciplinei matematică în contete noi şi în rezolvarea de probleme, se evaluează prin sarcini de lucru precum: estimaţi, selectaţi, alegeţi, comparaţi, ierarhizaţi, stabiliţi, studiaţi, argumentaţi, judecaţi, transferaţi etc Competenţele de evaluat, înscrise în programele pentru eamenul de bacalaureat la matematică sunt urmărite, în cadrul probei scrise, având în vedere raportul dintre competenţă şi comportamentele cognitive corespunzătore, conform prezentării anterioare Baremul de evaluare şi de notare este instrumentul pe baza căruia se apreciază lucrările elevilor Este un instrument de evaluare şi de notare asociat unei/unor sarcini concrete de lucru date elevilor Baremul de evaluare şi de notare este elaborat cu grad înalt de obiectivitate şi aplicabilitate, astfel încât să reducă la minim diferenţele de notare dintre corectori Baremul de evaluare şi de notare este proiectat pe baza notării analitice Aceasta implică determinarea principalelor performanţe (unităţi de răspuns) pe care elevul trebuie să le evidenţieze în răspunsul său la fiecare item Unităţilor de răspuns li se acordă puncte care, însumate, determină nota pentru fiecare item Notarea analitică are avantajul de a asigura rigurozitatea corectării, favorizând realizarea unei aprecieri obiective Baremul de evaluare şi de notare, în cazul itemilor de tip rezolvare de probleme, include elemente ale răspunsului care vor fi punctate În acest fel candidatul primeşte punctaj pentru rezolvări parţiale ale cerinţei itemului Pentru o evaluare unitară, în barem se vor regăsi rezolvări complete ale itemilor Se vor puncta însă corespunzător oricare alte metode de rezolvare corectă a problemei Matematică 4 Eamenul de bacalaureat

5 Eamenul de bacalaureat Proba E - c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică informatică MODEL Toate subiectele (I, II şi III) sunt obligatorii Se acordă puncte din oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I Determinaţi partea reală a numărului comple ( + i) 6 Se consideră funcţia f :(, ), f ( ) = Calculaţi ( f f )( 5) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia cos + sin = 4 Se consideră mulţimea M = {,,,,4,5} Determinaţi numărul tripletelor ( abc,, ) cu proprietatea că abc,, M şi a< b< c 5 Calculaţi distanţa dintre dreptele paralele de ecuaţii + y= 6 şi + 4y = 6 Paralelogramul ABCD are AB =, BC = şi m( BAD ) = 6 Calculaţi produsul scalar AC AD SUBIECTUL al II-lea Pentru abc,,, se consideră sistemul a) Arătaţi că determinantul sistemului este a + by + cz = b c + ay + bz = a b + cy + az = c, yz,, = ( a + b + c)( a + b + c ab ac bc) b) Rezolvaţi sistemul în cazul în care este compatibil determinat c) Ştiind că a + b + c ab ac bc =, arătaţi că sistemul are o infinitate de soluţii (, y, z ), astfel încât + y = z a b Se consideră mulţimea G=,, 4 ˆ abc c a) Determinaţi numărul elementelor mulţimii G b) Daţi un eemplu de matrice A G cu proprietatea că det A ˆ şi ˆ ˆ c) Determinaţi numărul soluţiilor ecuaţiei X = ˆ ˆ, X G det A = ˆ Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică informatică 5

6 SUBIECTUL al III-lea + + Se consideră funcţia f : \ { }, f ( ) = + a) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre + la graficul funcţiei f b) Calculaţi f ( ), \ { } c) Demonstraţi că funcţia f este concavă pe intervalul (, ) * Pentru orice n se consideră funcţiile f :, f ( ) = sin n şi numerele π f d I a) Calculaţi ( ) b) Arătaţi că ln n c) Arătaţi că I n π n+ n+ n n n I n π fn ( ) = d π Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică informatică 6

7 Eamenul de bacalaureat Proba E - c) Proba scrisă la matematică Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE MODEL Se punctează oricare alte formulări/ modalităţi de rezolvare corectă a cerinţelor Nu se acordă punctaje intermediare, altele decât cele precizate eplicit prin barem Nu se acordă fracţiuni de punct Se acordă puncte din oficiu Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului total acordat pentru lucrare la SUBIECTUL I z i π π = + = cos + isin π 6π 6 6 z = cos + isin = Re z = f (5) = 8 ( f f )( 5) = f = 8 Ecuaţia devine sin sin =, cu soluţiile sin = şi sin = π k+ Obţinem = + kπ, k, sau ( ) π = + kπ, k 6 4 Numărul cerut este egal cu numărul submulţimilor cu trei elemente ale mulţimii M Acesta este C 6 = 5 Punctul A (, ) se află pe prima dreaptă = = = + 4 AC AD = AB + AD AD = AB AD + AD AB AD = cos6 = AC AD = + = 5 Distanţa este d ( A, d ) 6 ( ) SUBIECTUL al II - lea a) a b c a+ b+ c b c b c c a b = a+ b+ c a b = ( a+ b+ c) a b b c a a+ b+ c c a c a Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică 7

8 Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării b c a b = a + b + c ab ac bc, de unde rezultă concluzia c a b) Observăm că =, y =, z = verifică sistemul Cum soluţia este unică, aceasta este soluţia căutată c) a + b + c ab ac bc = ( a b) + ( a c) + ( c b) = a= b= c Sistemul are o infinitate de soluţii de forma = α, y = β, z = α β Putem lua ( 4 4 ) β = + α α, cu 4α + 4α a) a, b, c pot lua fiecare 4 valori Avem 4 = 64matrice b) Luăm A = det( A) =, det( A ) = c) a b a b( a+ c) X = = ˆ ˆ X c c Ecuaţia devine a =, ba ( + c) =, c = Obţinem a {,}, c {,}, ˆ ˆ b= ˆ, deci eistă 4 soluţii SUBIECTUL al III - lea a) f( ) lim = m = lim( f( ) ) =, deci avem asimptota oblică y = b) (+ )( + ) ( + + ) f '( ) = ( + ) + f '( ) = ( + ) c) f ''( ) = ( + ) f ''( ) <, (, ), deci f este concavă pe (, ) a) / π sin d= π sin d π sin d π / cos π/ cos π I = + π / I = b) π fn ( ) π I n = d d π π π π d = ln π = ln π c) nπ sin t In = dt nπ t Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică 8

9 nπ+ π sin t nπ+ π sin t nπ sin t In = dt+ dt dt nπ + + nπ+ π nπ π t t t nπ+ π nπ+ π nπ In sin t dt + sin t dt sin t dt nπ + + nπ+ π nπ π π( n+ ) π( n+ ) nπ Din ( k+ ) π kπ sin t dt =, k rezultă concluzia Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică 9

10 Eamenul de bacalaureat Proba E - c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Toate subiectele (I, II şi III) sunt obligatorii Se acordă puncte din oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete MODEL SUBIECTUL I Se consideră progresia aritmetică ( a n ) n în care ai progresiei Determinaţi numerele reale m pentru care punctul (, ) ( ) f = + a = şi a = 7 Calculaţi suma primilor termeni Am aparţine graficului funcţiei f :, Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 5( + ) = 4 Determinaţi numărul submulţimilor cu elemente ale unei mulţimi care are 5 elemente 5 În reperul cartezian Oy se consideră punctele A(, ), B(,) şi C(, ) Calculaţi distanţa de la punctul C la mijlocul segmentului AB 6 Triunghiul ABC are AB = 8, AC = 8 şi m( BAC ) = Calculaţi aria triunghiului ABC SUBIECTUL al II-lea 4 Se consideră matricele A=, B=, I = şi funcţia f : M ( ) M ( ), a) Calculaţi det( I + B) b) Demonstraţi că f ( A) = I + B f ( X) = X X + I, unde c) Arătaţi că ( ) f( A) = I + B+ B, unde ( ) X = X X f( A) = f( A) f( A) f( A) Pe mulţimea numerelor întregi se definesc legile de compoziţie y = + y şi y = ( ) y + ( ) a) Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia = b) Determinaţi numărul întreg a care are proprietatea că a=, oricare ar fi numărul întreg c) Rezolvaţi sistemul de ecuaţii ( y+ ) = 4 ( y) = 5, unde y, Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

11 SUBIECTUL al III-lea, ( ) Se consideră funcţia f : f = + a) Calculaţi f ( ), f ( ) f ( ) b) Calculaţi lim c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f Se consideră funcţia f :, [ ], f ( ) = a) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul aei O, a graficului funcţiei f b) Calculaţi c) Calculaţi f( ) d lim f() t dt Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

12 Eamenul de bacalaureat Proba E - c) Proba scrisă la matematică Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE MODEL Se punctează oricare alte formulări/ modalităţi de rezolvare corectă a cerinţelor Nu se acordă punctaje intermediare, altele decât cele precizate eplicit prin barem Nu se acordă fracţiuni de punct Se acordă puncte din oficiu Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului total acordat pentru lucrare la SUBIECTUL I a = a = a = 7 r = a = ( a+ a) S = = Am (, ) Gf f( m) = m m+ = m = sau m = + >, + = 5 =, 4 5 C = = 5 Fie M mijlocul segmentului AB M (,) Scrierea formulei distanţei dintre puncte CM = 5 6 AB AC sin A Aria ABC = = 88 = = 6 SUBIECTUL al II - lea 4p a) 4 I + B = det( I + B) = Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

13 b) A Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării = f( A) = A A+ I = = I + B c) ( ) ( ) = + = f( A) I B I B B B B = O Finalizare a) ( ) ( ) = ( )( 5) = = sau = 5 b) ( )( a ) + = a = Z c) + y = 6 ( y )( ) = = 4 y = SUBIECTUL al III - lea a) ( ) = = Finalizare f f lim = f '() f ' () = f ' = =, = b) ( ) ( ) c) ( ) Din tabelul de variaţie rezultă f crescătoare pe (, ] şi pe [ ; + ) a) şi f descrescătoare pe [ ; ) şi pe ( ;] = π ( ) π ( ) V f d = d= 5 = π = 5 7π = 5 d= t dt = b) Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

14 c) Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării t t = = ( ) f () t dt = ( ) ( ) lim = lim = Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale 4

15 Eamenul de bacalaureat Proba E - c) Proba scrisă la matematică Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător- educatoare Toate subiectele (I, II şi III) sunt obligatorii Se acordă puncte din oficiu Timpul efectiv de lucru este de ore La toate subiectele se cer rezolvări complete MODEL SUBIECTUL I Calculaţi probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea {,,,, 4 }, acesta să fie soluţie a ecuaţiei 4+ = Calculaţi suma S = Determinaţi valorile parametrului real m astfel încât ecuaţia 4m+ = să aibă soluţii reale A la dreapta d: + y+ = 4 Calculaţi distanţa de la punctul (, ) 5 Rezolvaţi în ecuaţia = 6 Calculaţi cos5 + sin5 SUBIECTUL al II-lea Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte legea de compoziţie y = y + + y+ a, cu a Z a) Determinaţi a Z ştiind că legea admite element neutru b) Pentru a = demonstraţi că legea este asociativă c) Dacă + y+ z = z + y z +, pentru orice yz Z,, d) Pentru a = arătaţi că ( ) ( ) ( ) a = determinaţi mulţimea M = { eistă, astfel încât = } e) Pentru a = determinaţi y Z,, astfel încât y = Z Z f) Fie mulţimea H = {, } Determinaţi a Z astfel încât, pentru oricare, y H y H, să rezulte că SUBIECTUL al III-lea Fie numerele reale ab,, c şi determinantul a a D= b b c c a) Pentru a=, b= şi c =, calculaţi determinantul D b) Arătaţi că dacă a= b, atunci D = c) Pentru b = şi c =, determinaţi a, astfel încât D = D= b a c a c b d) Demonstraţi că ( ) ( ) ( ) e) Arătaţi că dacă D =, atunci cel puţin două dintre numerele a, b şi c sunt egale f) Arătaţi că dacă abc Z,,, atunci D este număr întreg par Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător- educatoare 5

16 Eamenul de bacalaureat Proba E - c) Proba scrisă la matematică Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător- educatoare BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE MODEL Se punctează oricare alte formulări/ modalităţi de rezolvare corectă a cerinţelor Nu se acordă punctaje intermediare, altele decât cele precizate eplicit prin barem Nu se acordă fracţiuni de punct Se acordă puncte din oficiu Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului total acordat pentru lucrare la SUBIECTUL I ) 4+ = =, = Finalizare: P = 5 ) = = = 8 ) = 6m 4 m,, + 4) Scrierea formulei + + d( A, d) = = 5) 7 = y ; y 8y+ 7= y = = y = 7 = 6) cos5 = cos 45 ; sin5 = sin 45 Finalizare: cos5 + sin5 = 5 4 SUBIECTUL al II - lea a) Din definiţia elementului neutru şi cum legea este comutativă, avem e=, Z e + = ( e+ ) + e+ a=, Z de unde e+ a= Deci a = şi e = b) ( y) z = ( y z),, y, z ( y) z = yz + ( y + yz + z) + 4( + y + z) + 6 ( y z) = yz + ( y + yz + z) + 4( + y + z) + 6 c) y y ( y ) z ( y )( z ) = ( + )( + ) + + = Barem de evaluare şi de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător- educatoare 6

17 d) Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării ( z) + ( y z) + = ( + )( z+ ) + ( y+ )( z+ ) + = = ( + y+ 4)( z+ ) = + y+ z ( ) Din = ( + )( ' + ) =, rezultă ( + ), adică ( + ) {,} M = {, } e) Din y = se obţine ( + )( y + ) = 5 y ; ;, ; 7,,, 7; Finalizare: ( ) {( ) ( ) ( ) ( )} f) ( ) ( ) = a = ( ) ( ) {, } a {,} ( ) ( ) = ( ) ( ) = a 5 {, } a {,4} a = = + Z pentru Z + 4p SUBIECTUL al III - lea a) D = 4 9 Finalizare: D = b) a a a= b D= a a c Finalizare: D = c) D= a 5a+ 6 d) D= a 5a+ 4= a = sau a = 4 Scăzând prima linie din celelalte două obţinem c a D= b a b a a c a c a a a D= b a c a b+ a = b a c a c b c+ a ( )( ) ( )( )( ) e) D= ( b a)( c a)( c b) = b a= sau c a= sau c b= Finalizare f) Dintre cele numere întregi a, b, c, cel puţin două au aceeaşi paritate, deci diferenţa lor este număr par D= b a c a c b rezultă că D este număr par Dar cum ( )( )( ) Barem de evaluare şi de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător- educatoare 7