C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E

Transcript

1 C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E Evaluarea la disciplia Matematică î cadrul exameului ańioal de bacalaureat Programa M Itroducere Exameul ańioal de bacalaureat este modalitatea eseńială de evaluare exteră sumativă a competeńelor, a ivelului de cultură geerală şi de specializare atis de absolveńii de liceu. Coform Metodologiei de orgaizare şi desfăşurare a exameului de bacalaureat, aprobată pri ordiul MECTS r. 4799/.8., elevii susńi, î cadrul probei E. c), î coformitate cu filiera, profilul şi specializarea urmate, proba de matematică, corespuzătoare programelor M, M sau M4. Î cosecińă, susńi proba scrisă la disciplia Matematică elevii care au absolvit liceul î cadrul profilului real di filiera teoretică, î cadrul tuturor profilurilor di filiera tehologică şi î cadrul profilului pedagogic, specializarea îvăńător-educatoare şi a profilului militar, specializarea matematică-iformatică, di filiera vocańioală. Matematica are statut de discipliă obligatorie petru aceştia. Structura probei scrise la disciplia Matematică Testele elaborate petru proba scrisă la matematică cotribuie la îdepliirea fucńiilor evaluării urmărite pri exameul de bacalaureat. Pri aceste teste se realizează o evaluare sumativă la fialul îvăńămâtului preuiversitar. Fiecare test asigură o cupridere echilibrată a materiei studiate, are u grad de complexitate corespuzător cu programa de bacalaureat al cărei cońiut este iclus î programa şcolară şi poate fi rezolvat î timpul stabilit de ore. Testul petru proba scrisă la disciplia Matematică este format di trei subiecte. Fiecare subiect cońie fie itemi subiectivi de tip rezolvare de probleme, fie itemi semiobiectivi de tip îtrebări structurate.

2 CompeteŃe de evaluat la disciplia Matematică Proba scrisă la disciplia Matematică, susńiută î cadrul exameului de bacalaureat, evaluează competeńe dezvoltate pe parcursul îvăńămâtului liceal, î coformitate cu programele şcolare petru clasele a IX-a - a XII-a, î vigoare petru absolveńii promońiei. CompeteŃele de evaluat, asociate cońiuturilor programei de bacalaureat, î cadrul probei scrise la matematică, sut:. Idetificarea uor date şi relańii matematice şi corelarea lor î fucńie de cotextul î care au fost defiite Utilizarea proprietăńilor algebrice ale umerelor, a estimărilor şi aproximărilor î cotexte variate Recuoaşterea uor corespodeńe care sut şiruri, progresii, fucńii Idetificarea valorilor uei fucńii folosid reprezetarea grafică Descrierea sitetică sau vectorială a proprietăńilor uor cofigurańii geometrice Idetificarea uor metode posibile î rezolvarea problemelor Iterpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului fiaciar, a graficelor şi a diagramelor. Prelucrarea datelor de tip catitativ, calitativ, structural, cotextual cuprise î euńuri matematice Utilizarea uor metode algebrice şi/ sau grafice petru rezolvarea ecuańiilor, iecuańiilor, sistemelor de ecuańii Completarea uor tabele de valori ecesare petru trasarea graficului Aplicarea uor metode diverse petru optimizarea calculelor de distańe, ughiuri şi arii Idetificarea tipului de formulă de umărare adecvată uei situańii problemă date Utilizarea uor algoritmi specifici calculului fiaciar, statisticii sau probabilităńilor petru aaliza de caz Idetificarea uor metode de calcul a itegralelor, pri realizarea de legături cu regulile de derivare Iterpretarea uor proprietăńi ale şirurilor şi ale altor fucńii cu ajutorul reprezetărilor grafice EvideŃierea asemăărilor şi a deosebirilor ditre proprietăńile uor operańii defiite pe mulńimi diferite şi ditre calculul poliomial şi cel cu umere

3 . Utilizarea algoritmilor şi a coceptelor matematice petru caracterizarea locală sau globală a uei situańii cocrete Alegerea formei de reprezetare a uui umăr real şi utilizarea de algoritmi petru optimizarea calcului cu umere Traspuerea î limbaj matematic pri mijloace statistice sau probabilistice a uor probleme practice Operarea cu fucńii reprezetate î diferite moduri şi caracterizarea calitativă a acestor reprezetări Utilizarea uor formule combiatoriale î rańioamete de tip iductiv Utilizarea operańiilor cu vectori petru a descrie o problemă practică Aplicarea algoritmilor de calcul î situańii practice 4. Exprimarea caracteristicilor matematice catitative sau calitative ale uei situańii cocrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora Caracterizarea uor mulńimi de umere şi a uor relańii ditre acestea utilizâd limbajul logicii matematice şi teoria mulńimilor Exprimarea proprietăńilor uei fucńii pri codińii algebrice sau geometrice Exprimarea pri reprezetări grafice a uor codińii algebrice; exprimarea pri codińii algebrice a uor reprezetări grafice Exprimarea aalitică, sitetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale uei cofigurańii geometrice Exprimarea cu ajutorul ońiuilor de limită, cotiuitate, derivabilitate, mootoie, a uor proprietăńi catitative şi calitative ale uei fucńii Aalizarea uor cofigurańii geometrice petru optimizarea algoritmilor de rezolvare Aalizarea şi iterpretarea uor situańii practice cu ajutorul coceptelor statistice sau probabilistice Utilizarea proprietăńilor operańiilor î calcule specifice uei structuri algebrice 5. Aaliza şi iterpretarea caracteristicilor matematice ale uei situańii-problemă Aalizarea uor cotexte uzuale şi matematice (de exemplu: redactarea soluńiei uei probleme) utilizâd limbajul logicii matematice şi teoria mulńimilor Aalizarea uor situańii practice şi descrierea lor cu ajutorul fucńiilor Iterpretarea uor situańii-problemă cu cońiut practic cu ajutorul fucńiilor şi a elemetelor de combiatorică Stabilirea uor codińii de existeńă şi/ sau de compatibilitate a uor sisteme şi idetificarea uor metode adecvate de rezolvare a acestora

4 Folosirea proprietăńilor uei fucńii cotiue petru calcularea itegralei acesteia pe u iterval 6. Modelarea matematică a uor cotexte problematice variate, pri itegrarea cuoştińelor di diferite domeii Traspuerea uei situańii-problemă î limbaj matematic, rezolvarea problemei şi iterpretarea rezultatului Iterpretarea iformańiilor cońiute î reprezetări grafice pri utilizarea de estimări, aproximări şi strategii de optimizare Optimizarea calculului trigoometric pri alegerea adecvată a formulelor Modelarea uor cofigurańii geometrice aalitic, sitetic sau vectorial Optimizarea rezolvării uor probleme sau situańii-problemă pri alegerea uor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, aalitic, sitetic) Explorarea uor proprietăńi cu caracter local şi/ sau global ale uor fucńii utilizâd cotiuitatea, derivabilitatea sau reprezetarea grafică Precizări privid evaluarea probei scrise la disciplia Matematică Poderea diferitelor comportamete cogitive î evaluarea competeńelor elevilor pri proba scrisă la exameul de bacalaureat, disciplia Matematică, este ilustrată î tabelul de mai jos: CompeteŃă Tip de comportamet CuoştiŃe, abilităńi/ deprideri, atitudii Comportamete cogitive Cuoaştere ÎŃelegere Aplicare Aaliză Siteză Evaluare Podere % 5% 5% 5% % CompeteŃele de evaluat, îscrise î programele petru exameul de bacalaureat la Matematică sut urmărite, î cadrul probei scrise, avâd î vedere raportul ditre competeńă şi comportametele cogitive corespuzătore, coform prezetării aterioare. Baremul de evaluare şi de otare este asociat sarciilor cocrete de lucru date elevilor şi pe baza acestuia se apreciază lucrările scrise. Baremul de evaluare şi de otare este elaborat cu u grad îalt de obiectivitate şi aplicabilitate, astfel îcât să reducă difereńele de otare ditre evaluatori. Baremul de evaluare şi de otare a fost proiectat pe baza otării aalitice. Aceasta implică determiarea pricipalelor performańe (uităńi 4

5 de răspus) pe care elevul trebuie să le evideńieze î rezolvarea fiecărui item. Notarea aalitică are avatajul de a asigura rigurozitatea corectării, favorizâd realizarea uei aprecieri obiective. Baremul de evaluare şi de otare, î cazul itemilor de tip rezolvare de probleme/ îtrebări structurate, iclude elemete ale răspusului care sut otate. Î acest fel cadidatul primeşte puctaj petru rezolvări parńiale ale cerińei itemului. Petru o evaluare uitară, î barem se regăsesc rezolvări complete ale itemilor. Se puctează corespuzător oricare altă metodă de rezolvare corectă a problemei. Testul şi baremul corespuzător, elaborate î vederea asigurării traspareńei şi iformării persoaelor iteresate, sut prezetate ca modele petru exameul de bacalaureat. 5

6 Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Examiare EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E. c) Probă scrisă la MATEMATICĂ MODEL Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică. Filiera vocańioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică. Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii. Se acordă pucte di oficiu. Timpul efectiv de lucru este de ore. La toate subiectele se cer rezolvări complete. SUBIECTUL I 5p. CalculaŃi modulul umărului complex z= i. 5p. DetermiaŃi mulńimea valorilor fucńiei f : R R, f x = x + x+. ( de pucte) 5p. Ştiid că doi termei ai uei progresii geometrice sut b = 6 şi b 5 = 4, determiańi termeul b 7. 5p 4. DetermiaŃi x >, ştiid că log x= log log, ude a>, a. a a a 5p 5. ScrieŃi ecuańia dreptei care cońie puctul (, ) 5p π 6. Ştiid că x, π şi six=, calculańi cosx. SUBIECTUL al II-lea. Fie matricea A( x) 5p a) CalculaŃi A A x 4x = 4x. A şi este perpediculară pe dreapta d : x+ y + 5=. di mulńimea M ( R ). 5p b) ArătaŃi că A( x) A( y) = A( x+ y), oricare ar fi x, y R. 5p c) DemostraŃi că matricea A( x ) este iversabilă şi calculańi iversa matricei A( x ). 5p 5p. Pe mulńimea G= (,) se defieşte legea de compozińie asociativă xy x y= xy x y+. a) VerificaŃi dacă e= este elemetul eutru al legii. b) ArătaŃi că orice elemet di mulńimea G este simetrizabil î raport cu legea. + 5p c) DemostraŃi că fucńia f : G R, f ( x) = este u izomorfism de la grupul (, ) SUBIECTUL al III-lea. Fie fucńia f f ( x) ( x )( x )( x )( x ) 5p a) CalculaŃi f '( 5). 5p b) CalculaŃi : R R, = f ( ) f + lim +. 5p c) ArătaŃi că ecuańia f '( x ) = are exact trei soluńii reale disticte.. Fie şirul 5p a) CalculaŃi I. ( x x ) x x + + x I, I = dx. + 5p b) VerificaŃi dacă I I Q. 5p c) ArătaŃi că I 4+ Q, oricare ar fi N. ( de pucte) G la grupul ( +, ) ( de pucte) R. Probă scrisă la Matematică 6

7 Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Examiare EXAMENUL DE BACALAUREAT Proba E. c) Probă scrisă la MATEMATICĂ MODEL Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-iformatică. Filiera vocańioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică. BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Petru orice soluńie corectă, chiar dacă este diferită de cea di barem, se acordă puctajul corespuzător. Nu se acordă fracńiui de puct, dar se pot acorda puctaje itermediare petru rezolvări parńiale, î limitele puctajului idicat î barem. Se acordă pucte di oficiu. Nota fială se calculează pri împărńirea puctajului obńiut la. SUBIECTUL I. i = + = = 4=. x + x+ y= = 4y. Im f =, + 4 b = q = 4 b 7 = logax= loga 9 loga logax= loga x= md = md ' = ude d d ' EcuaŃia dreptei d ' este y= x 4 6. cos x= si x= 9 cosx=± π x, π cosx= SUBIECTUL al II-lea.a) 4 6 A A = 8 ( A A ) = O ( A A ) = O ( de pucte) ( de pucte) Probă scrisă la Matematică Barem de evaluare şi de otare 7

8 b) A x A y Fializare c) A( x) A( x) = A = I Probă scrisă la Matematică Barem de evaluare şi de otare Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Examiare x y 4y + 8xy+ 4x = 4x 4y det A x =, deci matricea este iversabilă x 4x A ( x) = A( x) = 4x.a) x = x= x, x G Verificare Legea " " are elemet eutru e= b) Orice elemet di G este simetrizabil şi x' = x < x' <, deci x' G c) Justificarea faptului că fucńia f este bijectivă ( x )( y ) f ( x y) = = x y xy f x f y SUBIECTUL al III-lea.a) f ( x) f ( 5) lim = x 5 x 5 = lim x x x 4 = x 5 ( x )( y ) = = = f x y x y xy = 6 f + = f 5 b) f ( ) f + lim lim + = = = lim + = = e f =, f =, f 4 =, f 5 = 8 c) f cotiuă pe itervalele [, ],[,4 ],[ 4,5 ] f derivabilă pe itervalele (, ),(,4 ),( 4,5 ) Di teorema lui Rolle şi di faptul că f ' este de gradul trei rezultă că ( de pucte) f ' x = are exact trei soluńii reale disticte.a) x I = dx= x +

9 Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Examiare b) I π dx= arctgx = x + 4 ( x ) x l dx= l + = x + π l = 4 ( x x ) + + I I = dx= x + ( ) = x + x+ dx dx= x + dx = = x + π = Q c) X + divide ( ) 4 + X + X + X ( x x ) x g x = x + g xdx Q, ude g Z [ X] Probă scrisă la Matematică Barem de evaluare şi de otare 9