SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ANALIZA MOGUĆIH TEHNOLOŠKIH RJEŠENJA ZA SLUČAJEVE IZNENADNIH POVIŠENIH MUTNOĆA U VODI KRŠKIH IZVORIŠTA U HRVATSKOJ ZAVRŠNI RAD Mentor: Student: doc. dr. sc. SLAVEN DOBROVIĆ NINO KOLESAR ZAGREB, 2010.

2 IZJAVA Izjavljujem da sam završni rad izradio samostalno, svojim znanjem te uz pomć navedene literature. Zahvaljujem se mentoru doc. dr. sc. Slavenu Dobroviću na savjetima i pomoći u realizaciji ovog rada.

3

4 SAŽETAK Ovaj rad obuhvaća analizu tehnoloških rješenja za slučajeve iznenadnih povišenih mutnoća u vodi krških izvorišta u Hrvatskoj. Analiza je obuhvaćala mjerenje parametara vode prije te nakon različitih postupaka predobrade i to za uzorke voda; Drava, Sava, Ponikva i Jezero Krk. Analizirana su sljedeća tehnološka rješenja: izravna filtracija, koagulacija i flokulacija s naknadnom filtracijom, koagulacija i flokulacija s naknadnim taloženjem i filtracijom. Parametri mjereni za svaki uzorak vode bili su; mutnoća, ukupni sadržaj suspendiranih tvari i SDI indeks. Na uzorku vode Save radili smo tri ponovljena postupka mjerenja i predobrade zbog određivanja srednje vrijednosti, standardne i relativne standardne pogreške. Rezultati mjerenja parametara prikazani su tablično i grafički. U okviru analize rezultata uspoređena su tehnološka rješenja za pojedine vrste vode te su doneseni određeni zaključci.

5 SADRŽAJ 1.UVOD TEORIJSKA OSNOVA KOAGULACIJA I FLOKULACIJA FILTRACIJA TALOŽENJE LABORATORIJSKI RAD OPIS MJERNIH UREĐAJA, POSTUPAKA I MATERIJALA Mutnoća Suspendirane tvari Mjerenje indeksa gustoće mutnoće (SDI) TEHNOLOŠKI POSTUPCI Izravna filtracija Koagulacija flokulacija, filtracija Koagulacija flokulacija, taloženje, filtracija OPIS LABORATORIJSKOG RADA REZULTATI MJERENJA MJERENJE MUTNOĆE MJERENJE UKUPNOG SADRŽAJA SUSPENDIRANIH TVARI MJERENJE SDI INDEKSA KVALITETA SIROVE VODE IZRAVNA FILTRACIJA KOAGULACIJA FLOKULACIJA, FILTRACIJA KOAGULACIJA FLOKULACIJA, TALOŽENJE, FILTRACIJA ANALIZA REZULTATA USPJEŠNOST UKLANJANJA SUSPENDIRANIH TVARI IZRAVNOM FILTRACIJOM UTJECAJ UVOĐENJA KOAGULACIJE FLOKULACIJE, FILTRACIJE UTJECAJ UVOĐENJA KOAGULACIJE FLOKULACIJE,TALOŽENJA, FILTRACIJE Mjerni parametar mutnoća Mjerni parametar suspendirane tvari ZAKLJUČAK POPIS LITERATURE... 42

6 Slika 1. Prikaz odvijanja koagulacije i flokulacije [1]... 3 Slika 2. Prikaz zeta potencijala (nv) vode u bari i koagulacijskog taloga [1]... 4 Slika 3. Mikroskopski prikazi tipičnog tretiranja flokula vode... 6 Slika 4. Korelacija između zeta potencijala i uspješnosti uklanjanja čestica nečistoće kaolina, 9 Slika 5. Turbidimetar 2100P Slika 6. Turbidimetar 2100AN Slika 7. Stavljanje membrane u petrijevku Slika 8. Filtracija uzorka vode kroz membranu uz pomoć vakuum pumpe Slika 9. Eksikator sa uzorcima u petrijevkama Slika 10. Višeslojni gravitacijski filter Slika 11. JAR tester (bez taloženja-lijeve dvije posude; flokulacija sa 100 ul FeCl Slika 12. Eppendorf pipeta ul Slika 13. Eppendorf pipeta 1-10 ml Slika 14. JAR tester (taloženje lijeve dvije posude; flokulacija sa 100 ul FeCl Slika 15. Uklanjanje suspendiranih tvari izravnom filtracijom Slika 16. Uklanjanje suspendiranih tvari koagulacijom flokulacijom, filtracijom Slika 17. Uklanjanje suspendiranih tvari koagulacijom flokulacijom, filtracijom Slika 18. Utjecaj povećanja doze na mutnoću i suspendirane tvari Slika 19. Utjecaj uvođenja koagulacije flokulacije, filtracije u odnosu na izravnu filtraciju.. 34 Slika 20. Uklanjanje suspendiranih tvari koagulacijom flokulacijom, taloženjem, filtracijom 34 Slika 21. Uklanjanje suspendiranih tvari koagulacijom flokulacijom, taloženjem, filtracijom 35 Slika 22. Utjecaj povećanja doze na mutnoću i suspendirane tvari Slika 23. Utjecaj uvođenja koagulacije-flokulacije-taloženja-filtracije u odnosu na izravnu filtraciju Slika 24. Utjecaj uvođenja koagulacije-flokulacije-taloženja-filtracije u odnosu na koagulaciju-flokulaciju-filtraciju Slika 25. Utjecaj uvođenja koagulacije-flokulacije-taloženja-filtracije u odnosu na koagulaciju-flokulaciju-filtraciju Slika 26. Smanjenje mutnoće ovisno o uzorku Slika 27. Smanjenje mutnoće ovisno o postupku Slika 28. Smanjenje sadržaja suspendiranih tvari ovisno o uzorku Slika 29. Smanjenje sadržaja suspendiranih tvari ovisno o postupku... 39

7 Tablica 1. Uobičajeni anorganski kogulanti upotrebljavani u pročišćavanju vode [1.]... 5 Tablica 2. Uzorci za ponovljivost rezultata mjerenja Tablica 3. Uzorci za ponovljivost rezultata mjerenja Tablica 4. Uzorci vode Tablica 5. Mutnoća sirove vode Tablica 6. Mutnoća nakon izravne filtracije Tablica 7. Mutnoća nakon koagulacije flokulacije, filtracije Tablica 8. Mutnoća nakon koagulacije flokulacije taloženja, filtracije Tablica 9. Sadržaj suspendiranih tvari sirove vode Tablica 10. Sadržaj suspendiranih tvari nakon filtracije Tablica 11. Sadržaj suspendiranih tvari nakon koagulacije flokulacije, filtracije Tablica 12. Sadržaj suspendiranih tvari nakon koagulacije flokulacije, taloženja, filtracije Tablica 13. SDI indeks sirovih voda Tablica 14. SDI indeks nakon filtracije Tablica 15. SDI indeks nakon koagulacije flokulacije, filtracije Tablica 16. SDI indeks nakon koagulacije flokulacije, taloženja, filtracije Tablica 17. Kvaliteta sirove vode Tablica 18. Svojstva vode nakon izravne filtracije Tablica 19. Svojstva vode nakon koagulacije flokulacije, filtracije Tablica 20. Svojstva vode nakon koagulacije flokulacije, taloženja, filtracije... 31

8 1.UVOD U mnogim gradovima i naseljima širom Republike Hrvatske često se pojavljuje problem povišenja mutnoće u izvorištu na kojem se temelji vodoopskrba. Ovo zamućenje čine dispergirane čestice u rasponu veličina od 0,1 do nekoliko tisuća µm, vrlo raznolikog sastava. Najčešći uzrok pojave povišenih mutnoća su vremenske prilike, odnosno pojačane padaline u kratkom vremenskom razdoblju na slivnom području izvorišta. Posljedica je pogoršanje kvalitete vode izvorišta i nemogućnost poštivanja pravilnika o zdravstvenoj ispravnosti pitke vode (NN 47/08) bez dodatne obrade. Iz toga proizlazi nužnost uvođenja obrade vode prije distribucije potrošačima za mnoga izvorišta vode. S obzirom da je svaka voda u prirodi jedinstvena, najbolji način za određivanje optimalnog rješenja je laboratorijski rad s predmetnom vodom. U ovom radu dana je analiza mogućih tehnoloških rješenja za slučajeve iznenadnih povišenih mutnoća sljedećih tehnoloških postupaka: 1/ izravna filtracija, 2/ koagulacija-flokulacija-filtracija i 3/ koagulacija-flokulacija-taloženje-filtracija. 1

9 2. TEORIJSKA OSNOVA Rješenja problema zamućenosti: - koagulacija i flokulacija provodi se kemijskim sredstvima čime se djeluje na granice faza čestica te time pospješujemo povećanje njihovih veličina i taloženje - nužno je kad god postoji naboj - filtracija efikasnost je uvjetovana veličinom čestica i vrstom filtracijske ispune, odvija se u odgovarajućim filtrima - taloženje efikasnost je uvjetovana veličinom i gustoćom čestica brzinom taloženja, odvija se u odgovarajućim taložnicima 2

10 2.1. KOAGULACIJA I FLOKULACIJA Submikronske čestice koje uzrokuju zamućenost u vodi su koloidalne ( mm), tj. one nose naboj površine zbog kojeg se odbijaju pa se ne mogu skupiti u veće čestice, koje bi bilo jednostavnije ukloniti u bilo kojem procesu pročišćavanja (Slika 1.). Slika 1. Prikaz odvijanja koagulacije i flokulacije [1] Taj naboj je skoro stalno negativan i tamo je kao posljedica brojnih mehanizama, najvažnijeg ionizacije funkcionalnih skupina, karboksilnih skupina na primjer, na površini čvrstih, i kao drugo apsorpcija iona ili drugih nabijenih vrsta poput polimera na površini. Važnija karakteristika je elektronski naboj na površini ravne plohe koji se zove zeta potencijal ζ). ( Većina prirodnih koloida u vodi stječe zeta potencijal između -5 i -40 mv djelomično zbog prisutnosti nabijenih skupina poput karboksilnih kiselina i oksida. Kao posljedica ovih skupina, zeta potencijal je ovisan o ph i općenito govoreći kako se ph smanjuje, naboj na površini se povećava prema nuli. ph kod kojeg je zeta potencijal nula zove se izo-električna točka (i.e.t.) čestice i važan je parametar u razumijevanju prirode koloidnih čestica. 3

11 Kiselinske skupine, poput karboksilne skupine koja izaziva znatne promjene u naboju alga i prirodnim organskim tvarima, disociraju se kod niske ph vrijednosti i stoga imaju zeta potencijal koji ostaje prilično stabilan u neutralnim i uobičajenim uvjetima. Suprotno tome, oksidi su amfoterični pa koloidne gline imaju zeta potencijal koji varira i preko kiselinskih i običnih ph vrijednosti. Hidroksid željeza je na primjer pozitivno nabijen u kiselim vodama i negativno nabijen u lužnatim vodama (Slika 2.). Slika 2. Prikaz zeta potencijala (nv) vode u bari i koagulacijskog taloga [1] KOAGULACIJA Da bi uklonili te stabilne čestice iz vode, potrebno je neutralizirati negativni naboj. Postoje brojni načini destabilizacije tih čestica, ali tretiranju vode najviše odgovaraju oni koji se oslanjaju na dodavanje kemikalije koagulant. To su tipične soli metala poput željezo i aluminij sulfata (Tablica 1.). 4

12 Kemikalija Željezo sulfat Željezo klorid Aluminij sulfat Polialuminium klorid Uobičajeno ime Formula Molek ulska masa % metal iona Oblik Željezni sulfat Fe 2 (SO 4 ) tekućina Željezni FeCl tekućina klorid stipsa Al 2 (SO 4 ) % bijelo 14H 2 O kao Al 2 O 3 sivi prah 8% kao Al 2 O 3 bistra tekućina PACL Al 2 (OH) 5 Cl n/a 12.4 Bistra tekućina ph Tablica 1. Uobičajeni anorganski kogulanti upotrebljavani u pročišćavanju vode [1] Postoje brojni mehanizmi destabilizacije koloida: a) kompresija difuznog sloja b) adsorpcija kojom se neutralizira naboj c) ugrađivanje u talog (sweep flokulacija) d) adsorpcija koja omogućava međučestično premošćivanje. Koagulant koji se odabere, njegovo doziranje i kvaliteta vode određuju mehanizam. Na primjer, adsorpcija kojom se neutralizira naboj je dominantni način uklanjanja za vode koje sadrže prirodne organske tvari ili alge, dok je za manju zamućenost prikladnija sweep flokulacija. Kada se vodi dodaju koagulanti, pojavi se niz složenih reakcija hidrolize. Koagulanti sadrže Al 3+ ili Fe 3+ koji su jako nabijeni suprotni-ioni, za većinu čestica te vrste postoje pod uvjetima kiseline (niski ph). Kod normalne vode ph tih iona reagiraju i daju različite produkte hidrolize poput Al(OH) 2+ i Al 13 O 4 (OH) ( Al 13 polimer), koji može jako apsorbirati na negativnim česticama i tako reducirati naboj čestica na taj način. U većini slučajeva, taloženje netopivih hidroksida, Al(OH) 3 i Fe(OH) 3 također se pojavljuje. Taloženje hidroksida također igra ključnu ulogu u primjenjivoj flokulaciji. Veći broj koloidnih hidroksilnih čestica se proizvodi i flokulira, te oblikuju želatinaste flokove koji uhvate većinu prvobitnih čestica u vodi. To je način sweep flokulacije i vrlo je važan kada je koncentracija čestica prilično niska (tj. za slabu zamućenost vode). Pod tim uvjetima količina kolizije čestica je niska i stoga će 5

13 flokulacija, čak za potpuno destabilizirane čestice, biti spora. Formiranje novih čestica (hidroksid taloga) značajno povećava brzinu flokulacije. Neutralizacija naboja stabilnih čestica je brza i može biti postignuta pri prilično niskim dozama koagulanta, ali doziranje treba biti proporcionalno koncentraciji onečišćenja. Sweep flokulacija se treba koristiti pri višim dozama i puno je sporija, ali potrebna doza ne bi trebala jako ovisiti o koncentraciji čestica. Gore prikazani različiti mehanizmi doveli su do definiranja četiri zone doziranja koagulanta, sa slijedećim posljedicama za negativno nabijene čestice: Zona 1: Vrlo nisko doziran koagulant; čestice su još negativne i stoga stabilne. Zona 2: Doziranje je dovoljno da neutralizira naboj, a stoga i koagulant. Zona 3: Više doziranje neutralizira naboj i restabilizira. Zona 4: Još uvijek više doziranje daje hidroksidu taloženje i sweep flokulaciju. FLOKULACIJA Jednom kada se doda koagulant, čestice ubrzo postanu destabilizirane. To vodi formaciji nestabilnih mikro-flokova koji se rangiraju od 1 do oko 10 μm. Rast flokula pojavljuje se zbog kolizije s ostalim flokulama dok se ne dosegne stabilno stanje distribucije flokule. Te kolizije također mogu voditi do raspada flokula. Slika 3. prikazuje kako se flokule formiraju za vrijeme koagulacije prirodnih organskih tvari i kaolinske gline. Slika 3. Mikroskopski prikazi tipičnog tretiranja flokula vode 6

14 Aglomeracija koloidnih čestica u flokule pojavljuje se kao rezultat brojnih osnovnih koraka koji se mogu skratiti na dva mehanička događaja: a) čestice moraju kolizirati jedne s drugima bilo pomoću prisiljenog ili slobodnog kretanja (kolizija / transport) b) čestice tada moraju prianjati jedne uz druge i ostati kao samostalna skupina čestica (spajanje). Ta dva događaja na mnogo se načina, koji se obično odnose na transport i spajanje, svaki pojedinačno mogu smatrati kao neovisne radnje i moraju se posebno tretirati. U čestici je raspon koloidnih interakcija vrlo kratak, obično primjetno manji od veličine čestica. Stoga korak transporta; dvije čestice mora dovesti blizu od relativno velike duljine odvojenosti preko koje sile koloidne interakcije ne vrše nikakav utjecaj. Najuobičajenija metoda analize koraka transporta aglomeracijskog procesa prvi put je predstavio Smoluchowski godine. U njegovom pristupu sistem je opisan terminima procesa brzine drugog reda gdje je brzina kolizije proporcionalna umnožku koncentracija dviju koloidnih vrsta. Zbog pojednostavljenja se pretpostavlja da su čestice identične i stoga je kvadrat koncentracije (N 2 = n i n j ). Svaki put kad dvije čestice kolidiraju da bi oblikovale aglomerat, postoji gubitak naboja jedne čestice i brzina flokulacije se može napisati kao brzina smanjenja koncentracije čestica (broja): - (dn/dt) = αk F N 2 [1.] gdje je N broj koncentracije čestica, α je faktor korisnosti kolizije (dio kolizije koji vodi aglomeraciji) a k F je koeficijent brzine flokulacije. Točna veličina konstante brzine ovisi o kontrolnim mehanizmima. U praktičnim situacijama postoje tri značajna mehanizma: a) perikinetička flokulacija (difuzija) b) ortokinetička flokulacija (kontakti koji su rezultat gibanja mase fluida) c) diferencijalna sedimentacija. Potpuni dizajn procesa koagulacije uključuje razmatranja; destabilizacije i prijenosa čestica. Destabilizacija se određuje i procjenjuje jar testom, dakle eksperimentalno se određuje vrsta i 7

15 doza koagulanta, dok se konstrukcijski dizajn te hidraulička ili mehanička oprema temelji na Smoluchowskoj teoriji ili nekoj drugoj teoriji ortokinetičke flokulacije. Uređaji za flokulaciju (bazeni) dizajnirani su tako da omogućuju kontakte između čestica, koji su općenito izazvani ortokinetičkom flokulacijom, što znači da se koloidne čestice sudaraju međusobno zbog gradijenta brzine koji je stvoren unutar fluida hidrauličkim ili mehaničkim načinom. Dizajn uključuje izbor gradijenta brzine, oblik reaktora i vrijeme zadržavanja potrebno da se stvore agregati veličine pogodne za uklanjanje suspenzije u sljedećem koraku, tj. u sljedećoj jedinici (taložnik, vakuum filter, centrifuga, pješčani filter ili uređaj za sušenje). PRIMJENA Koagulacija i flokulacija upotrebljavaju se kao ključni proces za uklanjanje suspendiranih čestica i rastopljenih anorganskih i organskih onečišćivača. Opseg nakupina onečišćenja varira od izvora do izvora. Na primjer, voda koja dolazi iz rijeka može imati visoku količinu suspendiranih glinenih koloida, dok u gorskim krajevima, područja s tresetom općenito dominiraju u NOM-u. Alge su prisutne u svim izvorskim vodama, iako se obilje razlikuje i ovisi o mjeri eutrofikacije. Rast sezonski algi može značajno ometati proces koji je optimiziran bilo za glinene ili NOM sisteme. Ovo obično rezultira povećanom uporabom koagulanta i čepljenjem filtera. Proces koaulacije je obično optimaliziran za određeni sistem u uvjetima doze koagulanta i ph, postignutog kroz niz jar testiranja. Henderson et. al. (2005.) je otkrio da su operacijski dometi različiti oviseći o onečiščivaću koji se uklanja. NOM je uspješno uklonjen između -10 mv i +5 mv, dok je veza zeta potencijala za kaolin bila puno šira kod -20 mv do +5 mv. Alge su imale optimalno simetričko uklanjanje nakupina od -12 mv do +12 mv, što je više ličilo na uklanjanje veze za NOM nego za kaolin. To ukazuje da se organske čestice puno više oslanjaju na neutralizaciju naboja za uklanjanje nego na anorganske čestice. Optimalni uvjeti za organske čestice trebaju nizak ph (~ph 5-6) gdje je dominantni mehanizam uklanjanja neutralizacija naboja. Međutim, za anorganske čestice koagulacija se odvija kod ph 7. Kod ovog ph, ne samo da bi se neutralizacija naboja pojavila do tog stupnja, smatrajući da je rezultat fizičke adorpcije kationskog amorfnog hidroksida na površinu anorganske čestice (Duan & Gregory, 2003.), ali sweep flokulacija bi se također pojavila i povećala gustoće flokula. 8

16 Slika 4. Korelacija između zeta potencijala i uspješnosti uklanjanja čestica nečistoće kaolina, algi i NOM [1] 2.2. FILTRACIJA Filtracija je proces propuštanja vode kroz poroznu sredinu filtarski materijal. Primjenjuje se za uklanjanje koloidnih čestica koje su nakon procesa taloženja preostale u vodi, naročito najsitniji koloidi koji se nisu uspjeli slijepiti u flokule, već su proslijedili tokom vode dalje. Kod procjeđivanja će i te čestice zaostati u kontaktu s filtarskim materijalom. U vodovodnoj se praksi kao osnovni filtarski materijal primjenjuje kvarcni pijesak. Ova vrsta pijeska sadrži silicijev dioksid, SiO2, koji vrlo povoljno neutralizira preostale potencijalne sile koloida zaostalih u vodi nakon procesa taloženja. Na procjeđivanje se dovodi vodu s mutnoćom do 8 (iznimno 16) [ NTU], jer bi veća mutnoća izazvala prebrzo onečišćenje filtarskog materijala, odnosno potrebu njegovog vrlo čestog pranja (čišćenja). Filtracija je složen proces koji objedinjuje: a) mehaničko djelovanje, koje se sastoji u odstranjivanju čestica većih od pora filtarskog materijala, 9

17 b) adhezijsko djelovanje, koje se ogleda u prianjanju čestica na površini filtarskog materijala, c) adsorpcijsko djelovanje, koje se očituje u pripijanju (na površini filtarskog materijala) koje s vodom prodiru u poroznu sredinu, d) taložno djelovanje, koje se sastoji u gravitacijskom izdvajanju čestica koje s vodom prodiru u unutrašnjost filtarskog materijala, e) kemijsko djelovanje, koje se očituje u rastavljanju (disociranju) muteži na sitnije dijelove ili u njenom pretvaranju u netopivu masu koja se potom uklanja iz vode, f) biološko djelovanje, koje se ogleda u stvaranju biološke opne ili prevlake (filma, membrane) od mikroorganizama. Proces filtracije se odvija u posebnim objektima filtrima. Ovisno o načinu kretanja vode kroz filtarski materijal, filtri se dijele na: a) gravitacijske filtre - su otvoreni spremnici u kojima se iznad filtarskog sloja nalazi voda sa slobodnim vodnim licem. Filtracija nastaje zbog djelovanja sile teže pri visinskoj razlici dovoda i odvoda vode na filtru. b) tlačne filtre - su zatvoreni (čelični) cilindrični spremnici u koje se voda dovodi pod tlakom. Procjeđivanje nastaje zbog razlike tlaka na dovodu i odvodu vode. c) vakuumske filtre - su vrsta filtera kod kojih na odvodu vlada potlak. Kod kondicioniranja vode, naročito ako se radi o uređajima većih kapaciteta, najčešće se primjenjuju gravitacijski procjeđivači. 10

18 2.3. TALOŽENJE Čestice se mogu slegnuti na četiri prilično različita načina oviseći o relativnoj tendenciji čestica da aglomeriraju dok se talože. Kod solidno niskih koncentracija, tipično manje od mg l -1, taloženje se pojavljuje bez interferiranja od strane susjednih čestica. Kako se koncentracija povećava, utjecaj susjednih čestica povećava brzina taloženja.. Kako se koncentracija čestica nadalje povećava, proces se mijenja od razbistravanja do sprječavanja taloženja i zgušćivanja. Kako se određena čestica taloži, tako će ubrzati pod gravitacijom, dok uzgonska sila na čestici izjednači njenu silu težu. Na ovom dijelu čestica pada pod konstantnom brzinom koja se zove brzina taloženja. Točan izraz za brzinu terminalnog taloženja ovisi o režimu toka oko čestice kako se taloži. Međutim, u većini slučajeva u obradi pitke vode čestice padaju u laminarno polje toka (Re <0,1) i izraz postaje poznat kao Stokesov zakon: 2 d 2 ( ρ č ρ) g v = 9 η v - brzina taloženja [m/s] ρ č - gustoća koloidne čestice [kg/m 3 ] ρ - gustoća vode [kg/m 3 ] r - promjer čestice [m] η - dinamički viskozitet [Pas] Gornji izraz prikazuje važnost gustoće i viskoziteta vode kod taloženja čestica. Ključni problemi odnose se na temperaturu koja ima dramatičan utjecaj na viskozitet vode takav da se čestice brže talože u toplijoj vodi tako da je moguće da se brzina udvostručuje između ljeta i zime. Brzina taloženja flokula je komplicirana ako nisu idealne sfere pri čemu se onda brzina taloženja mijenja kao funkcija veličina, strukture i gustoće. Tipične brzine taloženja se obično spominju u odnosu s pijeskom zbog njegovih nepromjenjivih svojstava i raspoloživosti. Tipični brzine taloženja pijeska (specifična težina 2,65) su 100 mm s -1, 8 mm s -1 i 0,154 mm s -1 za čestice veličine 1000 μm, 100 μm, 10 μm. Normalno tretirane flokule u procesu sedimentacije uključuju NOM i mutnoću temeljnu na aglomeratima. Tipična brzina taloženja veličina vjerojatno će se formirati između 0,2 i 1 mm s -1 za NOM te 0,5 i 2,5 mm s -1 za mutnoćom temeljenom aglomeratima. 11

19 Proces taloženja odvija se u posebnim objektima (bazenima) taložnicima. Danas se u praksi kondicioniranja vode primjenjuju dvije osnovne vrste taložnika, ovisno od smjera toka u njima: a) horizontalni taložnici (pravokutni, radijalni) b) vertikalni taložnici (pravokutni, radijalni) c) taloženje u posebnim (specijalnim) taložnicima (cijevni i pločasti (lamelni), taložnici s lebdećim muljem. 12

20 3. LABORATORIJSKI RAD 3.1. OPIS MJERNIH UREĐAJA, POSTUPAKA I MATERIJALA Mutnoća Mutnoća je mjera stupnja do kojeg voda gubi prozirnost zbog prisutnosti suspendiranih tvari i koloida. Mutnoća vode uzrokovana je suspendiranim tvarima kao što su; glina, mulj, organske tvari; plankton i mikroskopski organizmi koji ometaju prolaz svjetlosti kroz vodu. Mjerenje mutnoće vrši se turbidimetrom. Turbidimetar mjeri apsorbiranu količinu zračenja koja prolazi kroz suspenziju. Na vrijednost raspršenja utječu veličina čestica, oblik i vrsta materijala od kojeg se sastoje. Za mjerenje mutnoće korištena su dva uređaja: a) turbidimetar 2100P - baterijski izvor - jedna svjetlosna zraka za mjerenje raspršenja svjetlosti b) turbidimetar 2100AN - napajanje iz gradske mreže - tri svjetlosne zrake za mjerenje raspršenja svjetlosti 13

21 Slika 5. Turbidimetar 2100P Slika 6. Turbidimetar 2100AN Postupak mjerenja: a) stavljanje uzorka vode u staklenu epruvetu b) brisanje epruvete parafilmom zbog otklanjanja kapljica i vlakana c) stavljanje epruvete u uređaj d) prikaz rezultata na uređaju [NTU]. Određivanje srednje vrijednosti, standardne i relativne standardne pogreške [2] Uzorak vode: Sava Mutnoća 2100P [NTU] Mutnoća 2100AN [NTU] Sava 2 a 1,95 2,08 Sava 2 b 2,07 2,11 Sava 2 c 1,99 2,09 Tablica 2. Uzorci za ponovljivost rezultata mjerenja 14

22 Turbidimetar 2100P Turbidimetar 2100AN Srednja vrijednost: Srednja vrijednost: X = 1 n n X i i= 1 = 2,00 X = 1 n n X i i= 1 = 2,09 Standardna pogreška: Standardna pogreška: S x = n ( X X i ) i= 1 n ( n 1) 2 = 12, S x = n ( X X i ) i= 1 n ( n 1) 2 = 0, Relativna standardna pogreška: Relativna standardna pogreška: S r = X X 100 % = 0,0625% S r = X X 100 % = 0,00397% Suspendirane tvari Suspendirane tvari su nerastvorljive čestice neorganskog porijekla. Postupak mjerenja: a) Stavljanje membrane (GF-6, veličina pora 47 µ m, Ø47) pažljivo pincetom u petrijevku. Petrijevka prije toga treba biti očišćena; odnosno oprana demineraliziranom vodom i sušena kratko vrijeme u peći (103 C) kako ne bi došlo do pogreške u mjerenju zbog zaostalih kapljica ili nečistoća. Zatim mjerenje preciznom vagom masu petrijevke sa membranom i bilježenje rezultata (m 1 ). 15

23 Slika 7. Stavljanje membrane u petrijevku b) Filtracija uzorka vode. Za filtriranje uzorka vode kroz membranu pomaže nam vakuum pumpa; koja nam ubrzava ovaj proces. Filtrira se željena količina vode ali radilo se sa V=1-3 L. Slika 8. Filtracija uzorka vode kroz membranu uz pomoć vakuum pumpe c) Uzimanje membrane iz filtera, te stavljanje u petrijevku. Zajedno sa petrijevkom membranu stavljamo u peć dva sata pri temperaturi od 105 C zbog vlage sadržane u membrani. Nakon dva sata provedena u peći petrijevka se sa membranom stavlja u eksikator također dva sata radi hlađenja. Eksikator sadrži silikagel koji sprečava upijanje vlage iz zraka. Te slijedi mjerenje mase na preciznoj vagi; petrijevke sa membranom (m 2 ). 16

24 Slika 9. Eksikator sa uzorcima u petrijevkama Određivanje ukupnog sadržaja suspendiranih tvari: m2 m1 TSS= [mg/l] V m 2 - masa petrijevke sa membranom prije filtracije [mg] m 1 - masa petrijevke sa membranom nakon filtracije [mg] V volumen profiltriranog uzorka vode [L] Određivanje srednje vrijednosti, standardne i relativne standardne pogreške [2] Uzorak vode: Sava Suspendirane tvari Profiltrirana količina vode V [L] Masa prije filtracije m 1 [g] Masa nakon filtracije m 2 [g] Suspendirane tvari TSS [mg/l] Sava 2 a 2 54, , ,77 Sava 2 b 2 44, , ,95 Sava 2 c 2 61, , ,86 Tablica 3. Uzorci za ponovljivost rezultata mjerenja 17

25 Srednja vrijednost: X = 1 n n X i i= 1 = 3,86 Standardna pogreška: S x = n ( X X i ) i= 1 n ( n 1) 2 = 0,01485 Relativna standardna pogreška: S r = X X 100 % = 0,385% Mjerenje indeksa gustoće mutnoće (SDI) SDI ispitivanja se koriste za procjenu čepljenja koje će se dogoditi u sustavima za pročišćavanje vode kao što su reverzna osmoza ili nano filtracija. Veći SDI indeks označava veći potencijal prema čepljenju sustava. Kod pročišćavanja vode reverznom osmozom SDI indeks mora biti u određenim granicama, kako bi se osigurao efikasan rad. Prihvatljiva vrijednost je 4 SDI ili manje. Postupak mjerenja Postupak se temelji na mjerenju vremena potrebnog za protok određene količine sirove vode kroz membranu veličine pora 0,45 µ m i Ø47 mm uz tlak od 2,1 bar. Vrijeme se mjeri na početku, nakon 5, 10 i 15 minuta kontinuirane filtracije, te se iz dobivenih rezultata prema određenom postupku izračunava SDI indeks. Temperatura vode ne smije varirati više od ±1 C tokom testa. 18

26 Proračun SDI [3.] : P30 = Tf - Ti ( ) 100 Tf P30 SDI = Tt P30 čepljenje membrane na tlaku 2,1 bar Tt ukupno vrijeme trajanja testa [min] (obično 15, ali može biti i manje ako se dogodi da je P30 = 75% u manje od 15 minuta) Ti početno vrijeme potrebno za prikupljanje uzorka [s] Tf vrijeme potrebno za prikupljanje zadnjeg uzorka [s] * Ako se protok zaustavi za manje od 5 minuta uzima se da je P30=100%, a Tt je vrijeme nakon kojeg je došlo do zaustavljanja protoka u minutama 3.2. TEHNOLOŠKI POSTUPCI Izravna filtracija Za ispitivanje korišten je višeslojni gravitacijski filtar. Kao ispuna filtra koristila se kombinacija hidroantracita i kvarcnog pijeska (Ø2,0 3,15 mm), koja se stavlja na drenažni sloj koji služi za odvod filtrirane vode. Primjena višeslojnih filtarskih ispuna produljuje radni ciklus filtra, omogućuje bolji učinak filtracije i povećava kapacitet filtra. Kao gornji sloj filtra najčešće se primjenjuje hidroantracit, dok se u filtracijskom i nosivom sloju nalazi kvarcni pijesak. Budući da je hidroantracit veće granulacije od kvarcnog pijeska u filtracijskom sloju, u gornjem se sloju filtra zadržavaju samo krupnije nečistoće i na taj način štiti filtracijski sloj pijeska od preuranjenog prljanja. Filtracijom na višeslojnim filtrima moguće je ostvariti uklanjanje čestica i organizama iz balastne vode promjera većih od 10 μm. Time je omogućena dubinska filtracija koja ima za posljedicu određene prednosti: - bolji učinak filtracije; - povećanje brzine filtracije, odnosno povećanje kapaciteta; 19

27 - povećanje sigurnosti protiv proboja nečistoća; - smanjenje specifičnog utroška vode za pranje; - produženje trajanja radnog perioda filtra. Gravitacijski, odnosno otvoreni filtri se projektiraju s minimalnim visinama sloja od 600 mm za kvarcni pijesak, te 400 mm za hidroantracit. Uz to se preporuča i nosivi sloj kvarcnog pijeska veći od 200 mm. Voda se filtrira silaznim tokom a pranje filtra vrši se suprotnim tokom. Osobine filtarskog materijala kvantificiraju se sa slijedeća dva parametra: a) efektivnim promjerom, b) koeficijentom jednolikosti. a) Efektivni promjer, d e [mm] definiran je izrazom: d e = d 10 b) Koeficijent jednolikosti, U [-] definiran je odnosom: U = d d ,5 d 60 - promjer čestice filtracijske ispune u mm: 60 % masenog udjela filtarcijske ispune čine čestice manje ili jednake d 60 d 10 - promjer čestice filtracijske ispune u mm: 10 % masenog udjela filtarcijske ispune čine čestice manje ili jednake d 10 Ove se veličine očitavaju s granulometrijske krivulje filtarskog materijala. 20

28 Proračun parametara filtera Slika 10. Višeslojni gravitacijski filter dm w = 50...brzina filtracije h d= 0,7 dm.promjer filtra h= 4,8 dm.visina filtarske ispune d 2 π A = = 0, dm..površina poprečnog presjeka filtra dm 3 ml V= w A= 19,24 = 320.volumenski protok kroz filtar h min V vode = A h 0,25 = 0,48 L..volumen vode u filtarskoj ispuni Koagulacija flokulacija, filtracija Koloidne čestice mogu se praktički odstraniti iz vode jedino povećanjem veličine čestice, odnosno povećanjem brzine padanja (taloženja) na oko 2 do 4 m/h. U svrhu povećanja veličine koloidnih čestica neophodno je izbijanje naboja do ±5 mv, jer se u ovom području 7 električki nabijene čestice mogu približiti do 10 Å ( 10 cm), kada započinje djelovanje adsorpcijske sile van der Waals-London. Izbijanje naboja koloidnih čestica zove se koagulacija, a rast skoro neutralnih čestica u veće nakupine (flokule) zove se flokulacija. Bez 21

29 koagulacije ne može nastupiti flokulacija, odnosno taloženje čestica, a samim procesom koagulacije ne možemo praktički odstraniti koloidne tvari iz vode. Za izvođenje procesa koagulacije i flokulacije koristo se JAR tester. Postupak koagulacije i flokulacije: a) Prelijevanje uzorka vode u sve četiri posude, pri čemu u svaku posudu se stavlja točno 2,25 L. b) Doziranje koagulanta (FeCl 3 ) u dvije doze kod svakog uzorka vode kako bi se vidjelo koja doza koagulanta daje bolju iskoristivost postupka. Jedna doza od 100 µ L dozirala se pomoću pipete ( µ L ) u dvije posude a druga od 200 µ L pomoću iste pipete ( µ L ) u druge dvije posude. Nakon toga slijedi puštanje miješalica u rad 2 minute kod min. c) Dodavanje polielektrolita. Polielektroliti su najčešće organski spojevi, čije molekule se sastoje od dugačkih lanaca koji sadrže naboje. POLIELEKTROLIT; mg teoretska doza: 0,05 0,5 L koncentracija otopine POLY: 0,01% mg doza: 0,1 L 0,01g 10mg priprema otopine: 0,01%= =. 100mL 100mL Dakle otopili smo 10 mg na 100 ml demineralizirane vode. Znači da bi u 1 L bilo 0,1 mg treba dozirati 1mL 0,01%-tne otopine polielektrolita, a pošto naše posude sadrže 2,25 L doziralo se pomoću pipete (1-10 ml) 2,25 ml u sve četri posude. Nakon dodavanja polielektrolita bilo je potrebno miješati još 4 sekunde kod 140 okretaja miješalica na 30 završava. 1 min 1 min a zatim smanjiti broj i tako 4 minute čime se proces koagulacije i flokulacije 22

30 Slika 11. JAR tester (bez taloženja-lijeve dvije posude; flokulacija sa 100 ul FeCl3 -desne dvije posude; flokulacija sa 200 ul FeCl3) Slika 12. Eppendorf pipeta ul Slika 13. Eppendorf pipeta 1-10 ml Nakon koagulacije i flokulacije voda se filtrira ali za svaku dozu FeCl 3 posebno kroz višeslojni filtar uz međupranje kako bi se odstranili preostali koloidi naročito oni najsitniji. 23

31 Koagulacija flokulacija, taloženje, filtracija Postupak koagulacije i flokulacije identičan je prethodnome ali sa tom razlikom da treba proći 45 minuta da se flokule istalože, a u višeslojni filter se ide samo bistratom dakako posebno sa svakom dozom FeCl 3 uz međupranje. Slika 14. JAR tester (taloženje lijeve dvije posude; flokulacija sa 100 ul FeCl3 -desne dvije posude; flokulacija sa 200 ul FeCl3) 24

32 3.4. OPIS LABORATORIJSKOG RADA U okviru završnog rada ispitivano je nekoliko postupaka za uklanjanje suspendiranih i koloidnih tvari iz više uzoraka realne vode. Ispitivani postupci su: - izravna filtracija - koagulacija-flokulacija-filtracija - koagulacija-flokulacija-taloženje. Uzorci vode su: Datum Količina [L] Temeperatura [ C] Vodostaj Sava Vrlo visok Sava Uobičajeni Drava Povišeni Ponikva Uobičajeni Jezero Krk Uobičajeni Tablica 4. Uzorci vode Kvaliteta vode promatrana je kroz mutnoću, sadržaj suspendiranih tvari i SDI indeks. Varirani su parametri kvaliteta vode i doza koagulanta. 25

33 4. REZULTATI MJERENJA 4.1. MJERENJE MUTNOĆE Mutnoća 2100P [NTU] Mutnoća 2100AN [NTU] Drava 20,60 20,50 Sava 118,00 94,30 Sava 2 a 1,95 2,08 Sava 2 b 2,07 2,11 Sava 2 c 1,99 2,09 Ponikva 1,07 0,93 Jezero Krk 1,21 1,30 Tablica 5. Mutnoća sirove vode Mutnoća 2100P [NTU] Mutnoća 2100AN [NTU] Drava 1,97 1,90 Sava 17,20 15,40 Sava 2 a 1,43 1,25 Sava 2 b 1,38 1,26 Ponikva 0,80 0,70 Tablica 6. Mutnoća nakon izravne filtracije Mutnoća 2100P [NTU] Mutnoća 2100AN [NTU] Drava 100μL FeCl 3 0,39 0,20 Drava 200μL FeCl 3 1,09 1,10 Sava 100μL FeCl 3 0,93 0,87 Sava 200μL FeCl 3 0,43 0,30 Sava 2 a 100μL FeCl 3 1,09 1,01 Sava 2 a 200μL FeCl 3 0,98 0,90 Sava 2 b 100μL FeCl 3 1,12 1,02 Sava 2 b 200μL FeCl 3 0,91 0,82 Jezero Krk 100μL FeCl 3 0,27 0,21 Tablica 7. Mutnoća nakon koagulacije flokulacije, filtracije 26

34 Mutnoća 2100P [NTU] Mutnoća 2100AN [NTU] Drava 100μL FeCl 3 0,24 0,19 Drava 200μL FeCl 3 0,52 0,40 Sava 100μL FeCl 3 0,51 0,47 Sava 200μL FeCl 3 0,33 0,25 Sava 2 a 100μL FeCl 3 0,43 0,35 Sava 2 a 200μL FeCl 3 0,40 0,30 Sava 2 b 100μL FeCl 3 0,50 0,42 Sava 2 b 200μL FeCl 3 0,33 0,23 Ponikva 100μL FeCl 3 0,33 0,26 Tablica 8. Mutnoća nakon koagulacije flokulacije taloženja, filtracije 4.2. MJERENJE UKUPNOG SADRŽAJA SUSPENDIRANIH TVARI Profiltrirana količina vode [L] Masa prije filtracije [g] Masa nakon filtracije [g] Tablica 9. Sadržaj suspendiranih tvari sirove vode Suspendirane tvari [mg/l] Drava 1 60, , ,24 Sava 1 61, , ,68 Sava 2 a 2 54, , ,77 Sava 2 b 2 44, , ,95 Sava 2 c 2 61, , ,86 Ponikva 3 53, , ,30 Jezero Krk 3 59, , ,76 Profiltrirana količina vode [L] Masa prije filtracije [g] Masa nakon filtracije [g] Tablica 10. Sadržaj suspendiranih tvari nakon filtracije Suspendirane tvari [mg/l] Drava 1 53, , ,01 Sava 1 59, , ,02 Sava 2 a 2 60, , ,26 Sava 2 b 2 48, , ,48 Ponikva 1,5 60, , ,18 27

35 Profiltrirana količina vode [L] Masa prije filtracije [g] Masa nakon filtracije [g] Suspendirane tvari [mg/l] Drava 100μL FeCl 3 1,5 54, , ,45 Drava 200μL FeCl 3 1,5 55, , ,65 Sava 100μL FeCl 3 1,5 61, , ,63 Sava 200μL FeCl 3 1,5 59, , ,53 Sava 2 a 100μL FeCl , , ,05 Sava 2 a 200μL FeCl , , ,11 Sava 2 b 100μL FeCl , , ,21 Sava 2 b 200μL FeCl , , ,07 Jezero Krk 100μL FeCl 3 1,5 48, , ,53 Tablica 11. Sadržaj suspendiranih tvari nakon koagulacije flokulacije, filtracije Profiltrirana količina vode [L] Masa prije filtracije [g] Masa nakon filtracije [g] Suspendirane tvari [mg/l] Drava 100μL FeCl , , ,10 Drava 200μL FeCl , , ,67 Sava 100μL FeCl , , ,06 Sava 200μL FeCl , , ,29 Sava 2 a 100μL FeCl , , ,48 Sava 2 a 200μL FeCl , , ,43 Sava 2 b 100μL FeCl , , ,61 Sava 2 b 200μL FeCl , , ,31 Ponikva 100μL FeCl , , ,89 Tablica 12. Sadržaj suspendiranih tvari nakon koagulacije flokulacije, taloženja, filtracije 4.3. MJERENJE SDI INDEKSA SDI Drava 35,8 Sava 40,3 Sava 2 a 17,7 Sava 2 b 18,7 Sava 2 c 18,3 Ponikva 6,5 Jezero Krk 9,8 Tablica 13. SDI indeks sirovih voda 28

36 SDI Drava 20,6 Sava 35,5 Sava 2 a 16,1 Sava 2 b 14,9 Ponikva 5 Tablica 14. SDI indeks nakon filtracije SDI Drava 100μL FeCl 3 7,7 Drava 200μL FeCl 3 18,1 Sava 100μL FeCl 3 16,5 Sava 200μL FeCl 3 8,7 Sava 2 a 100μL FeCl 3 12,0 Sava 2 a 200μL FeCl 3 11,5 Sava 2 b 100μL FeCl 3 12,9 Sava 2 b 200μL FeCl 3 11,4 Jezero Krk 100μL FeCl 3 2,9 Tablica 15. SDI indeks nakon koagulacije flokulacije, filtracije SDI Drava 100μL FeCl 3 4,5 Drava 200μL FeCl 3 9,5 Sava 100μL FeCl 3 9,3 Sava 200μL FeCl 3 5,4 Sava 2 a 100μL FeCl 3 5,9 Sava 2 a 200μL FeCl 3 5,9 Sava 2 b 100μL FeCl 3 6,9 Sava 2 b 200μL FeCl 3 5 Ponikva 100μL FeCl 3 3,6 Tablica 16. SDI indeks nakon koagulacije flokulacije, taloženja, filtracije 29

37 4.4. KVALITETA SIROVE VODE Mutnoća 2100AN [NTU] Suspendirane tvari [mg/l] Tablica 17. Kvaliteta sirove vode SDI Drava 20,50 14,24 35,8 Sava 94,30 94,68 40,3 Sava 2 2,09 3,86 18,2 Ponikva 0,93 1,30 6,5 Jezero Krk 1,30 1,76 9, IZRAVNA FILTRACIJA Mutnoća 2100AN [NTU] Suspendirane tvari [mg/l] Tablica 18. Svojstva vode nakon izravne filtracije SDI Drava 1,90 9,01 20,6 Sava 15,40 11,02 35,5 Sava 2 1,25 3,37 15,5 Ponikva 0,70 1,

38 4.6. KOAGULACIJA FLOKULACIJA, FILTRACIJA Mutnoća 2100AN [NTU] Suspendirane tvari [mg/l] Tablica 19. Svojstva vode nakon koagulacije flokulacije, filtracije SDI Drava 100μL FeCl 3 0,20 1,45 7,7 Drava 200μL FeCl 3 1,10 6,65 18,1 Sava 100μL FeCl 3 0,87 3,63 16,5 Sava 200μL FeCl 3 0,30 1,53 8,7 Sava 2 100μL FeCl 3 1,01 2,13 12,4 Sava 2 200μL FeCl 3 0,86 2,09 11,4 Jezero Krk 100μL FeCl 3 0,21 0,53 2, KOAGULACIJA FLOKULACIJA, TALOŽENJE, FILTRACIJA Mutnoća 2100AN [NTU] Suspendirane tvari [mg/l] SDI Drava 100μL FeCl 3 0,19 1,10 4,5 Drava 200μL FeCl 3 0,40 3,67 9,5 Sava 100μL FeCl 3 0,47 3,06 9,3 Sava 200μL FeCl 3 0,25 1,29 5,4 Sava 2 100μL FeCl 3 0,39 1,54 6,4 Sava 2 200μL FeCl 3 0,26 1,37 5,4 Ponikva 100μL FeCl 3 0,26 0,89 3,6 Tablica 20. Svojstva vode nakon koagulacije flokulacije, taloženja, filtracije 31

39 5. ANALIZA REZULTATA 5.1. USPJEŠNOST UKLANJANJA SUSPENDIRANIH TVARI IZRAVNOM FILTRACIJOM uklanjanje, % Mutnoća Suspendirane tvari Drava Sava Sava 2 Ponikva Slika 15. Uklanjanje suspendiranih tvari izravnom filtracijom 5.2. UTJECAJ UVOĐENJA KOAGULACIJE FLOKULACIJE, FILTRACIJE - Doza 100μL FeCl uklanjanje, % Mutnoća Suspendirane tvari Drava 100 μl FeCl3 Sava 100 μl FeCl3 Sava μl FeCl3 Jezero Krk 100 μl FeCl3 Slika 16. Uklanjanje suspendiranih tvari koagulacijom flokulacijom, filtracijom 32

40 - Doza 200μL FeCl 3 uklanjanje, % Drava 200 μl FeCl3 Sava 200 μl FeCl3 Sava μl FeCl3 Mutnoća Suspendirane tvari Slika 17. Uklanjanje suspendiranih tvari koagulacijom flokulacijom, filtracijom - Utjecaj povećanja doze sa 100μL FeCl 3 na 200μL FeCl 3 10 promjena u efikasnosti uklanjanja, % Drava Sava Sava 2 Mutnoća Suspendirane tvari -40 Slika 18. Utjecaj povećanja doze na mutnoću i suspendirane tvari 33

41 - Povećanje efikasnosti tehnološkog postupka koagulacije-flokulacije (100μL FeCl 3 )- filtracije u odnosu na izravnu filtraciju povećanje efikasnosti tehnološkog postupka, % Drava Sava Sava 2 Mutnoća Suspendirane tvari Slika 19. Utjecaj uvođenja koagulacije flokulacije, filtracije u odnosu na izravnu filtraciju 5.3. UTJECAJ UVOĐENJA KOAGULACIJE FLOKULACIJE,TALOŽENJA, FILTRACIJE - Doza 100μL FeCl uklanjanje, % Mutnoća Suspendirane tvari Drava 100 μl FeCl3 Sava 100 μl FeCl3 Sava μl FeCl3 Ponikva μl FeCl3 Slika 20. Uklanjanje suspendiranih tvari koagulacijom flokulacijom, taloženjem, filtracijom 34

42 - Doza 200μL FeCl 3 uklanjanje, % Drava 200 μl FeCl3 Sava 200 μl FeCl3 Sava μl FeCl3 Mutnoća Suspendirane tvari Slika 21. Uklanjanje suspendiranih tvari koagulacijom flokulacijom, taloženjem, filtracijom - Utjecaj povećanja doze sa 100μL FeCl 3 na 200μL FeCl 3 10 promjena u efikasnosti uklanjanja, % Drava Sava Sava 2 Mutnoća Suspendirane tvari -20 Slika 22. Utjecaj povećanja doze na mutnoću i suspendirane tvari 35

43 - Povećanje efikasnosti tehnološkog postupka koagulacije-flokulacije (100μL FeCl 3 )- taloženja i filtracije u odnosu na izravnu filtraciju povećanje efikasnosti tehnološkog postupka, % Drava Sava Sava 2 Ponikva Mutnoća Suspendirane tvari Slika 23. Utjecaj uvođenja koagulacije-flokulacije-taloženja-filtracije u odnosu na izravnu filtraciju - Povećanje efikasnosti tehnološkog postupka koagulacije-flokulacije (100μL FeCl 3 )- taloženja i filtracije u odnosu na koagulaciju-flokulaciju (100μL FeCl 3 )- filtraciju povećanje efikasnosti tehnološkog postupka, % Drava Sava Sava 2 Mutnoća Suspendirane tvari Slika 24. Utjecaj uvođenja koagulacije-flokulacije-taloženja-filtracije u odnosu na koagulaciju-flokulaciju-filtraciju 36

44 - Povećanje efikasnosti tehnološkog postupka koagulacije-flokulacije (200μL FeCl 3 )- taloženja i filtracije u odnosu na koagulaciju-flokulaciju (200μL FeCl 3 )- filtraciju povećanje efikasnosti tehnološkog postupka, % Drava Sava Sava 2 Mutnoća Suspendirane tvari Slika 25. Utjecaj uvođenja koagulacije-flokulacije-taloženja-filtracije u odnosu na koagulaciju-flokulaciju-filtraciju 5.4. UTJECAJ TEHNOLOŠKIH POSTUPAKA ZA POJEDINE VRSTE VODE Mjerni parametar mutnoća Filtracija Smanjenje mutnoće, % Koagulacija 100 μl FeCl3 Koagulacija 200 μl FeCl3 Koagulacija, taloženje 100 μl FeCl3 Koagulacija, taloženje 200 μl FeCl Drava Sava Sava 2 Ponikva Jezero Krk Slika 26. Smanjenje mutnoće ovisno o uzorku 37

45 Smanjenje mutnoće, % Drava Sava Sava 2 Ponikva Jezero Krk Filtracija Koagulacija 100 μl Koagulacija 200 μl FeCl3 FeCl3 Koagulacija, taloženje 100 μl FeCl3 Koagulacija, taloženje 200 μl FeCl3 Slika 27. Smanjenje mutnoće ovisno o postupku Mjerni parametar suspendirane tvari Filtracija Smanjenje sadržaja suspendiranih tvari, % Koagulacija 100 μl FeCl3 Koagulacija 200 μl FeCl3 Koagulacija, taloženje 100 μl FeCl3 Koagulacija, taloženje 200 μl FeCl Drava Sava Sava 2 Ponikva Jezero Krk Slika 28. Smanjenje sadržaja suspendiranih tvari ovisno o uzorku 38

46 Smanjenje sadržaja suspendiranih tvari, % Drava Sava Sava 2 Ponikva Jezero Krk Filtracija Koagulacija 100 μl Koagulacija 200 μl FeCl3 FeCl3 Koagulacija, taloženje 100 μl FeCl3 Koagulacija, taloženje 200 μl FeCl3 Slika 29. Smanjenje sadržaja suspendiranih tvari ovisno o postupku 39

47 7. ZAKLJUČAK Za uzorke sirove ve prirodne vode iz rijeke Drave i Save, te jezera Ponikve i Jezero na otoku Krku načinjeno je laboratorijsko ispitivanje učinkovitosti sljedećih tehnoloških postupaka: - izravna filtracija - koagulacija-flokulacija-filtracija - koagulacija-flokulacija-filtracija-taloženje. Temeljem dobivenih rezultata, za pojedine stupnjeve obrade vode donose se sljedeći zaključci: 1. IZRAVNA FILTRACIJA - Izravnom filtracijom moguće je postići vrlo visoke učinke u smanjenju sadržaja grubih i finih disperzija. Tako npr. za uzorak Save se izravnom filtracijom smanji mutnoća za 82% a suspendirane tvari smanje se za 89%; Slika 15. To je posljedica činjenice da se radi o uzorku vrlo visoke mutnoće, odnosno većeg udjela grubo dispergiranih tvari, te su veće čestice pa se lakše filtriraju. - Međutim za uzorke voda s nižim inicijalnim sadržajem suspendiranih tvari odnosno sa većim udjelom koloidnih tvari visoki učinak uklanjanja moguće je postići tek uvođenjem koagulacije i flokulacije. To ilustriraju rezultati rada sa Savskom vodom kod uobičajenih hidroloških uvjeta (Sava 2). 2. KOAGULACIJA-FLOKULACIJA-FILTRACIJA - Koagulacija-flokulacija-filtracija provedena je sa dvije doze koagulanta od 100μL FeCl 3 i 200μL FeCl 3 a njihov utjecaj na mutnoću i suspendirane tvari može se vidjeti na Slici 18. Na slici se vidi da povećanje doze utječe na smanjenje mutnoće i suspendiranih tvari za rijeku Savu dok za Dravu nema poboljšanja efikasnosti sa većom dozom nego isključivo sa manjom. Iz razlike je vidljivo da je potrebno optimirati doze koagulanta za pojedinu vrstu vode koja se namjerava obrađivati ovim postupkom. - Prisustvo velikih koncentracija suspendiranih tvari olakšava formiranje i rast pahulja. Bistre vode, sa malim sadržajem suspendiranih tvari teško se obrađuju koagulacijom npr. Ponikva. 40

48 - Usporede li se tehnološki postupak koagulacije-flokulacije (100μL FeCl 3 )-filtracije u odnosu na izravnu filtraciju zamjećuje se povećanje efikasnosti kod svih uzoraka voda; najveće kod Save za mutnoću; 16% a kod Drave za suspendirane tvari; 53% Slika KOAGULACIJA-FLOKULACIJA-TALOŽENJE-FILTRACIJA - Koagulacija-flokulacija-taloženje-filtracija utječe značajno na poboljšanja efikasnosti uklanjanja kod većih sadržaja koloidnih tvari. - Utjecaj uvođenja koagulacije-flokulacije-taloženja-filtracije u odnosu na koagulacijuflokulaciju-filtraciju može se vidjet na Slici 24. i Slici 25. Vidi se da za dozu od 100μL FeCl 3 povećanje efikasnosti uklanjanja se pimjetno javlja za Savu 2 koja ima veću zamućenost, dok za dozu 200μL FeCl 3 izraženije je kod Drave i Save 2. Može se pretpostaviti da je tomu nešto veći sadržaj koloidnih tvari kod tih voda. U svakom slučaju, iz dobiveni rezultati sugeriraju potrebu da se ovim problemima pristupi sustavno te da je prije izbora tehnološkog rješenja potrebno načiniti ovakvu usporedbu tehnoloških postupaka. Optimalan izbor omoguće veću kvalitetu vode te niže pogonske i investicijske troškove. 41

49 8. POPIS LITERATURE [1] Simon A. Parsons and Bruce Jefferson, Portable water treatment processes, Cranfield, 2006 [2] S. Dobrović, Voda gorivo mazivo, Zagreb, 2008/2009 [3] Z. Blatarić, Završni rad: Određivanje indeksa gustoće mutnoće prirodnih voda, Zagreb, 2010 [4] [5] 42

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

VODOM ZA PIĆE KONVENCIONALNI TRETMAN VODE

VODOM ZA PIĆE KONVENCIONALNI TRETMAN VODE Univerzitet u Novom Sadu Prirodno matematički fakultet Departman za hemiju, biohemiju i zaštitu životne sredine Udruženje za unapređenje zaštite životne sredine Novi Sad Fondacija "Docent dr Milena Dalmacija"

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametrijske testove. Usporedba. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka. dr. sc. Goran Kardum

Uvod u neparametrijske testove. Usporedba. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka. dr. sc. Goran Kardum Uvod u neparametrijske testove dr. sc. Goran Kardum 1 Usporedba NACRT ISTRAŽIVANJA PARAMETRIJSKA PROCEDURA NEPARAMETRIJSKA PROCEDURA Dva nezavisna uzorka T-test Mann-Whitney U-test Dva zavisna uzorka T-test

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila) Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα