MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

Transcript

1 MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom visine H, a desna je prazna Odrediti vreme izjednačavanja nivoa u komorama posle otvaranja otvora Dati odaci su: A,A,µ i h Vreme izjednačavanja nivoa sastoji se od dva vremena: vremena punjenja komore poprečnog preseka A do visine otvora d i vremena podvodnog isticanja tečnosti do trenutka izjednačavanja nivoa u komorama Za vreme isticanja dok otvor nije potopljen važi jednačina: H h d π 4A 4A Adz =µ gz dt dt t 4 µ d π g z µ d π g, H h z gde H određujemo iz uslova jednakosti zapremina: A A( H H) = Ah H = H h A 8A A µ π t = H h H h + d g A Pri daljem isticanju važi jednačina: Ady = Ady =µ a gy dt A dy = dy A Koristeći da je: y= y y A+ A A dy = dy dy = A A + A AA dy a gy dt A + A AA dt = dy A + A µ a g y dy t = dy= H + h + µ µ π AA 8 AA A ( ) A A a g H ( A ) h y d g + A A Ukupno vreme pražnjenja rezervoara je: t = t+ t

2 zadatak Cilindričan sud povšine preseka A prazni se kroz cev površine preseka a Cev se obrće oko verikalne ose - konstantnom ugaonom brzinom ω Izlazni otvor cevi nalazi se na rastojanju R od ose obrtanja Uporediti vremena pražnjenja suda za slučaj da cev stoji u da se obrće Poznati podaci su: A, a, H o, H, µ, R i ω Za slučaj da se cev obrće protok je: R ω Q =µ a g z+ g Diferencijalna jednačina isticanja (pražnjenja suda) je: H A Adz = Q dt t µ a g, H R ω o z + g a posle integracije imamo da je: A R ω R ω t = Ho + H+ µ a g g g Ako se cev ne obrće treba u prethodnom izrazu ostaviti da je ω= i dobija se da je: A t = Ho H a g µ Onda je: R ω R ω Ho + H+ t g g = t H H o

3 3zadatak Cilindrični sud napunjen vodom obrće se konstantnom ugaonom brzinom ω Iznad vode je klip mase m Sud se prazni kroz četiri ravnomerno raspoređena otvora Odrediti ugaonu brzinu ω, tako da se sud isprazni za vreme T Dati su podaci: D, d, h, µ, T, m i ρ Osnovna hidrostatička jednačina glasi: dp =ω xdx +ω ω ydy gdz ω p = r gz + C p= ρ r ρ gz+ρ C ρ ρ ω pk pa =ρ r ρ gy+ρc pa D/ ω mg = ρ r ρ gy +ρc pa rπdr 4 4mg ω D mg = ( ρc pa ρ gy) +ρω =ρc p a ρ gy+ρ, mg ω D ρ C= pa +ρ gy+ ρ 6 ω 4mg ω D Jednačina rasporeda pritiska je: p=ρ r ρ gz+ pa +ρ gy+ ρ 6 ω 4mg ω D Jednačina slobodne površi p=p a je: ρ gz =ρ r +ρ gy + ρ 6 Otvori se nalaze na rastojanju r=d/, pa je rastojanje od otvora do slobodne površine tečnosti: ω D 4mg ω D 4mg ω D ρ gzd =ρ +ρ gy + ρ =ρ gy + +ρ 6 6 4m ω D 4m ω D zd = y+ + = y+ k, k = + ρd π 6g ρd π 6g Onda je diferencijalna jednačina isticanja vode: d π D dy = 4µ g ( y + k) dt dt = dy 4 µ d g y + k D D Vreme pražnjenja suda je: T= dy= ( 4µ d g h y + k µ d g h+ k k) Rešenje poslednje jednačine po ω je: D 4 d T g D µ ρd π 6g D d T g µ 4m ω = h

4 4zadatak Sud tankih zidova, mase m, (stabilno) pliva na vodi Kada se na mestu A, koje se nalazi na nivou slobodne površi probuši otvor površine poprečnog preseka a i koeficijenta protoka µ, sud tone U trenutku kada je sud potonuo nivo vode u sudu je ispod otvora A Odrediti vreme tonjenja suda, ako je sud oblika konusa Poznate veličine su: D, h, a, m, µ i ρ Iz sličnosti trouglova imamo: D d d x D D D = = = d = h, d = ( h + z ), x = y h h h + z y h h h Diferencijalna jednačina pražnjenja suda je: gde je: ( ) D A x = x π= π y 4h A( x) dy = Q dt, D ydy a gz dt Q =µ a gz 4h π =µ Veličina h određuje se iz uslova plivanja u početku: dπ D 3 m h mg =ρ g h =ρgπ h 3 h = 3 4 h ρπ D Sada treba naći vezu između koordinata z i y Ta veza se dobija iz uslova kvazistacionarne hidrodinamičke ravnoteže sila: d π D mg +ρg x π y =ρ g ( h + z), d = ( h + z) h Dobija se da je: 3 3 y = h + z h ( ) 3 = ( + ) ( ) 3y dy 3 h z dz D π ( + ) =µ 4 h ( z+ h ) ydy= h + z dz z h dz a gz dt h h π π D D 4 T = dz= h h 4h + hh + h 4µ a g h z µ a g h 3

5 5zadatak Vertikalni cilindrični sud prečnika D i visine H napunjen je vodom do visine h=3/4h, prazni se kroz otvor prečnika d, koji se nalazi u težištu dna suda i koeficijenta protoka µ Odrediti vreme pražnjenja suda kada se sud obrće oko svoje vertikalne ose konstantnom ugaonom brzinom Ugaona brzina je takva da slobodna površina vode u početnom trenutku pražnjenja dodiruje gornju ivicu suda Iz jednakosti zapremina pre i za vreme obrtanja dobija se: 3 z = h ( H h) = h H = H H = H Dakle, z = H Jednačina pražnjenja suda je: dv = Vp + dz Vp dz Q dt = 4 d π D dz =µ gz dt dt µ d g z D D t = dz = z µ d g z µ d g H/ Vreme pražnjenja suda iznosi: D H t = µ d g H/