6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU

Transcript

1 6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre de segmete, de lugimi ritrre, pri puctele: = x 0 < x 1 < x < < x p-1 < x p = Notăm cu d cestă descompuere şi o umim diviziue itervlului [, ]. Defiiţi Fie d o diviziue itervlului [, ] determită de puctele = x 0 < x 1 < x < < x p-1 < x p =. Se umeşte orm diviziuii d umărul : d = mx {x i x i-1 ; i = 1,,, p} Dcă d este o ltă diviziue itervlului [, ], spuem că d este mi fiă decât d şi o otăm d >d dcă mulţime puctelor cre determiă diviziue d este iclusă î mulţime puctelor cre determiă diviziue d. Defiiţi Fie f : [, ] R o fucţie mărgiită pe [, ] şi fie d o diviziue itervlului [, ] determită de puctele : = x 0 < x 1 < x < < x p-1 < x p = Petru fiecre i = 1,,, p, fie m i = if {f(; x[x i-1, x i ]} şi M i = sup {f(; x[x i-1, x i ]}. Formăm sumele: s( d) S( d) p i1 p i1 mi ( xi xi 1) M i ( xi xi 1) Sum s(d) se umeşte sum iferioră Droux, ir S(d) se umeşte sum superioră Droux, tştă fucţiei f pe itervlul [, ], corespuzătore diviziuii d itervlului. Defiiţi Fie f : [, ] R o fucţie mărgiită. Se umeşte itegrl iferioră Droux fucţiei f pe itervlul [, ] umărul: I = sup {s(d) dd } Se umeşte itegrl superioră Droux fucţiei f pe itervlul [, ] umărul: I = if {S(d) dd } (D este mulţime tuturor diviziuilor posiile le itervlului [, ]). Defiiţi Fucţi mărgiită f : [, ] R se umeşte itegrilă pe [, ], dcă itegrl iferioră Droux coicide cu itegrl superioră Droux pe cest itervl. Vlore lor comuă se umeşte itegrl simplă fucţiei f pe itervlul [, ], î ses Droux. Se oteză : I = I = I = f (

2 Teorem (Criteriul lui Droux de itegrilitte) Fie f : [, ] R o fucţie mărgiită. Fucţi f este itegrilă pe [, ], dcă şi umi dcă, petru orice ε > 0 există ε > 0, îcât petru orice dd cu d < ε vem S(d) s(d) < ε Metod lui Riem de defii itegrl simplă Defiiţi Fie f : [, ] R o fucţie ritrră şi fie d o diviziue itervlului [, ] determită de puctele = x 0 < x 1 < x < < x p-1 < x p = Petru fiecre i = 1,,, p legem δ i [x i-1, x i ]. Notăm δ=( δ 1, δ,, δ p ). p Sum σ (d, δ) = f ( i )( xi xi 1) se umeşte sumă Riem su sumă itegrlă fucţiei f i1 pe itervlul [, ] corespuzătore diviziuii d şi legerii puctelor itermedire δ. Defiiţi Fucţi f : [, ] R se umeşte itegrilă î ses Riem pe [, ], dcă există u umăr rel I cu propriette că petru orice ε > 0 există ε > 0, stfel îcât oricre r fi diviziue d cu d < ε şi oricre r fi puctele itermedire δ=( δ 1, δ,, δ p ) să iă loc ieglitte σ (d, δ) I < ε. Pri urmre fucţi f este itegrilă Riem pe [, ] dcă există î R lim ( d, ) şi cestă limită u depide de legere δ puctelor itermedire. Numărul rel I, cărui uicitte se pote deduce uşor, se umeşte itegrl î ses Riem fucţiei f pe itervlul [, ]. Teorem Dcă fucţi f : [, ] R este itegrilă î ses Riem pe [, ], tuci f este mărgiită. Pri urmre, dcă f este emărgiită pe [, ], tuci f u este itegrilă î ses Riem pe [, ]. Teorem Fie f : [, ] R o fucţie mărgiită. Atuci fucţi f este itegrilă î ses Droux pe [, ], dcă şi umi dcă f este itegrilă î ses Riem pe [, ]. Itegrl î ses Droux fucţiei f pe [, ] coicide cu itegrl î ses Riem lui f pe [, ] Clse de fucţii itegrle d 0 Teorem Fie f : [, ] R o fucţie cotiuă pe [, ]. Atuci f este itegrilă pe [, ]. Teorem Fie f : [, ] R o fucţie mootoă. Atuci f este itegrilă pe [, ]. Teorem Fie f : [, ] R o fucţie mărgiită cre re u umăr fiit de pucte de discotiuitte. Atuci f este itegrilă pe [, ] Proprietăţi le fucţiilor itegrile şi le itegrlei Teorem Fie f : [, ] R o fucţie itegrilă pe [, ]. Atuci f este itegrilă pe orice itervl [c, d] [, ]. Teorem (Propriette de ditivitte itegrlei fţă de itervl). Fie f : [, ] R o fucţie ritrră şi c(, ). Atuci f este itegrilă pe [, ], dcă şi umi dcă f este itegrilă pe [,c] şi pe [c,].

3 Î cest cz vem ( f ( c f f (. c Teorem (Propriette de liiritte itegrlei fţă de fucţie). Fie f, g : [, ] R două fucţii itegrile pe [, ], α, βr ritrre. Atuci fucţi αf + βg este itegrilă pe [, ] şi f gx f x gx Teorem Fie f, g : [, ] R două fucţii itegrile pe [, ]. Atuci fucţi f g este itegrilă pe [, ]. Teorem (Propriette de mootoie itegrlei) Fie f, g : [, ] R două fucţii itegrile pe [, ], stfel icât f( petru orice x[, ]. Atuci vem : f (. Î prticulr, dcă f( 0, petru orice x[, ], tuci f ( 0. Teorem Fie f : [, ] R o fucţie itegrilă pe [, ]. Atuci f este o fucţie itegrilă şi vem : f ( f (. Oservţi Există fucţii cre u sut itegrile, dr u modulul itegril : fucţi f : [0, 1] R defiită pri f( = 1, dcă x[0, 1] Q şi f( = -1, dcă x[0, 1] \ Q u este itegrilă pe [0, 1], dr, evidet, f este fucţie itegrilă pe [0, 1]. Teorem (Teorem de medie) Dcă f : [, ] R este o fucţie itegrilă pe [, ], <, m = {f(; x[, ]}, M = sup {f(; x[, ]} tuci există μ [m, M] stfel îcât ). Dcă f este cotiuă pe [, ], tuci există δ [, ] stfel îcât μ = f(δ) şi formul de medie devie : f ( = f(δ) ( - ) f ( = μ ( Metode de clcul l itegrlei simple Metodele de clcul exct l itegrlei simple u l ză două teoreme fudmetle le clculului itegrl, cre stilesc legătur ditre itegrl simplă şi primitiv uei fucţii.

4 Defiiţi Dcă J R este u itervl, fucţi f : J R dmite primitivă pe J, dcă există o fucţie F : J R, derivilă pe J, îcât F = f. Fucţi F se umeşte, î cest cz, primitivă fucţiei f. Oservţi O codiţie ecesră c fucţi f să dmită primitivă pe J este c f să iă propriette lui Droux. Pri urmre, dcă f u re propriette lui Droux pe J, tuci f u dmite primitivă pe J. Mi geerl, o fucţie cre re u puct de discotiuitte de speţ îtâi pe J, u dmite primitivă pe J. Teorem Fie f : J R o fucţie itegrilă pe orice itervl compct iclus î J; fie J fixt şi fie fucţi F : J R defiită pri x F( = f (. Atuci : 1) Fucţi F este cotiuă pe J; ) Fucţi F este derivilă î orice puct x 0 J î cre fucţi f este cotiuă şi F (x 0 ) = f(x 0 ) Pri urmre, dcă f este cotiuă pe J, tuci F este o primitivă petru f pe itervlul J. Teorem Fie f : [, ] R o fucţie itegrilă cre dmite primitive. Atuci, oricre r fi F, o primitivă lui f pe itervlul [, ], vem: f ( F( ) F( ) (formul Leiitz-Newto) Oservţi Formul Leiitz-Newto reduce clculul itegrlei fucţiei f pe itervlul [, ] l determire uei primitive F fucţiei f pe cest itervl. Cum petru o clsă destul de lrgă de fucţii se pote determi primitive, rezultă că petru o clsă destul de lrgă de fucţii putem clcul exct itegrl. Cu jutorul formulei Leiitz-Newto se pot demostr formul de itegrre pri părţi şi formul schimării de vriilă cre, î umite codiţii, reduce clculul uor itegrle l clculul ltor, mi uşor de clcult. Teorem Fie f, g : [, ] R două fucţii derivile cu derivte itegrile. Atuci : f ( g'( f ( ) ) f ( ) ) f '( (formul de itegrre pri părţi) Oservţi Formul se plică î czul câd itegrl z f '( este mi uşor de clcult decât f ( g'( ir f şi g se deduc şi ele uşor. Teorem Fie f : [, ] R o fucţie cotiuă, φ : [α, β] [, ] o fucţie derivilă, cu φ itegrilă pe [α, β], î prticulr, φ de clsă C 1 pe [α, β]. Atuci : ( ) f ( ( ) '( f ( ( ) (prim formulă de schimre de vriilă) Oservţi Prim formulă de schimre de vriilă reduce clculul itegrlei fucţiei (f φ) φ l clculul itegrlei fucţiei f, î czul câd cest di urmă este mi uşor. Fucţi φ relizeză

5 schimre de l vriil x l vriil t. Î mod prctic, dcă vem de clcult g ( se cută mi îtâi f şi φ cre să stisfcă codiţiile teoremei şi stfel îcât = f(φ() φ (, poi se plică direct formul de mi sus. Î uele proleme îsă, fucţi g de itegrt pote fi pusă su form = f(φ(). Î cest cz, evidet că formul schimării de vriilă de mi sus u pote fi plictă direct. Totuşi, î umite codiţii mi restrictive, impuse fucţiei φ, se pote plic idirect cestă formulă. Mi precis, re loc următore: Teorem Fie f : [, ] R o fucţie cotiuă, φ : [α, β] [, ] o fucţie ijectivă, stfel îcât ivers s φ -1 : [, ] [ α, β] este derivilă, ir derivt (φ -1 ) este itegrilă pe [, ]; tote ceste codiţii sut îdepliite, dcă φ este de clsă C 1 pe [α, β] şi φ ( 0, petru orice x[ α, β]. Atuci: f ( ) 1 ( ( ) f ( ( )'( ( ) ( dou formulă de schimre de vriilă) Oservţi Nu se pote d o idicţie geerl vlilă, totuşi, petru umite tipuri de fucţii se pot d metode stdrd de legere fucţiei φ. p Exemplul Dcă x R x,, x[ α, β], ude cx d x R(u, v) este o fucţie rţiolă, tuci legâd φ(, itegrl cx d g ( se reduce l o itegrlă ditr-o fucţie rţiolă. Exemplul Dcă Rx x x c,, x[ α, β], 0, ude R(u, v) este o fucţie rţiolă, tuci itegrl g ( se pote reduce l o itegrlă ditr-o fucţie rţiolă, folosid sustituţiile lui Euler. Se deoseesc trei czuri: ) dcă > 0, se recomdă schimre determită de x x c x t ) dcă c > 0, se recomdă schimre determită de x x c tx c c) dcă 4c > 0, se recomdă schimre determită de x x c t( x x1 ) ude x 1 este u ditre rădăciile triomului x + x + c (se presupue, evidet, că x + x + c 0 pe itervlul [ α, β] ). Exemplul Dcă = R(si x, cos, x[ α, β], ude R(u, v) este o fucţie rţiolă, folosid fucţi φ( x tg, itegrl g ( se reduce l o itegrlă ditr-o fucţie rţiolă. Exemplul Dcă = x m (x + ) p, x[ α, β], ude, R, m,, p Q, x + 0 petru orice x[ α, β], tuci g ( se umeşte itegrlă iomă (Ceîşev) şi se pote clcul elemetr umi î următorele trei czuri: ) pz ; se foloseşte fucţi φ(=x 1/r, ude r este umitorul comu l umerelor rţiole m şi.

6 m 1 ) pz, dr Z ; se foloseşte fucţi φ(=(x +) 1/s, ude s este umitorul lui p. m 1 m 1 c) pz, Z dr p + Z ; î cest cz se foloseşte fucţi φ(=( + x - ) 1/s, ude s este, de semee, umitorul lui p. Î tote cele trei czuri, itegrl iomă se trsformă îtr-o itegrlă ditr-o fucţie rţiolă. Oservţi Dcă î clculul itegrlei g ( legem petru schimre de vriilă o fucţie φ stfel îcât = f(φ(), dr φ u este iversilă pe [ α, β], tuci se descompue itervlul [ α, β] îtr-u umăr fiit de suitervle, îcât pe fiecre suitervl fucţi φ să iă o restricţie iversilă, se plică dou formulă de schimre de vriilă pe fiecre suitervl, poi se foloseşte propriette de ditivitte itegrlei fţă de itervl. Oservţi Metodele de clcul exct expuse mi sus presupu cuoscute primitivele umitor fucţii. Există îsă czuri simple, câd există primitivele, dr ceste u pot fi exprimte cu jutorul x si x cos x e 1 x fucţiilor elemetre:,,,, e, si x, cos x etc. u primitive pe domeiul lor de x x x l x defiiţie (fiid cotiue), cre îsă u pot fi determite pri ici u di metodele elemetre. De cee sut prezette î cotiure şi câtev metode de clcul proximtiv l itegrlei simple. Idee cestor metode este sugertă de îsăşi defiiţi itegrlei : dcă f : [, ] R este itegrilă, cosiderâd u şir ritrr de diviziui le itervlului [, ] cu d N lim d 0 şi fixâd petru fiecre diviziue d o legere puctelor itermedire δ, tuci şirul umeric N, ude σ = σ (d, δ ), coverge l f (. Pri urmre, petru proxim itegrl, cu o umită erore, este suficiet, să clculăm u umit terme l şirului N. Prticulrizâd modul de legere l diviziuilor şi l puctelor itermedire, se oţi diferite metode de clcul proximtiv l itegrlelor. Teorem (Metod dreptughiurilor) Fie f : [, ] R o fucţie itegrilă. Cosiderăm o diviziue d itervlului [, ], determită de puctele : = x 0 < x 1 < x < < x p-1 < x p = cu x i x i-1 =, i = 1,,,, ir c pucte itermedire legem δ i = x i-1 su δ * i = x i, i = 1,,,. Atuci: f ( * su f ( x i i1 x i i1 f ( ) f ( Dcă fucţi f este derivilă, cu derivt mărgiită pe [, ], tuci 1)

7 ude A = sup { f ( ; x[, ]}. f ( ( ) A Oservţi Dcă fucţi f este crescătore pe [, ], tuci σ proximeză itegrl pri lipsă, ir σ * pri dos, de cee medi lor ritmetică costituie o proximre mi uă. Teorem (Metod trpezelor) Î codiţiile teoremei precedete, vem: * f ( [f () f (x 1 )... f (x Dcă fucţi f re derivt de ordiul doi mărgiită pe [,], tuci ude B = sup { f ( ; x[, ]}. f ( Teorem (Metod tgetelor) Î codiţiile teoremei , luâd =m, vem: * f ( m ( ) B 1 m i1 f ( x i1 ) 3 1 ) f ()] Teorem (Metod lui Simpso) Î codiţiile teoremei , luâd = m, t vlore proximtivă itegrlei oţiută pri metod trpezelor, T ce oţiută pri metod tgetelor vem : t T f ( [ f ( ) 4 f ( x1 ) f ( x ) 4 f ( x3) 3 6m... f(x m ) 4f (x m1) f ()] Dcă f re derivtă de ordiul ptru mărgiită pe [, ], tuci ude M = sup { f (4) ( ; x[, ]}. t T 5 ( ) f ( M, m Oservţi O ltă metodă de proximre itegrlei simple este metod de itegrre pri dezvoltre î serie de puteri. Acestă metodă, furiztă de teorem de itegrre terme cu terme uei serii de puteri costă î dezvoltre fucţiei f î serie de puteri, itegrre terme cu terme cestei serii, oţiere itegrlei f ( c sumă uei serii umerice şi proximre cestei cu o sumă prţilă coveilă Aplicţii le itegrlei simple Fie f : [, ] R o fucţie cotiuă pe [, ]. Atuci ri domeiului D R, mărgiit de grficul fucţiei f, x ox şi dreptele de ecuţii x = şi x =, este ă de

8 (D) = f ( ( ) Volumul corpului Ω R 3 oţiut pri rotire grficului fucţiei f î jurul xei Ox este de : v(ω) = f ( (6.1.6.) Dcă fucţi f re derivte cotiuă pe [, ], tuci lugime rcului de cură (γ) R, cre re ecuţi y = f(, x[, ] este ă de : l(γ) = 1 f ' ( Itegrl simplă cu prmetru. ( ) Defiiţi Fie A R, J = [, ] R şi f : A x J R o fucţie cu propriette că petru fiecre xa, fucţi t f(x, este itegrilă pe [, ]. Fucţi F : A R defiită pri F( = f ( x, se umeşte itegrlă cu prmetru (cu limite fixe. Prmetrul este. Defiiţi Fie φ, ψ : A [, ] două fucţii, stfel îcât φ( ψ(, petru orice xa, ir petru orice xa fucţi t f(x, este itegrilă pe itervlul [φ(, ψ(]. Fucţi F ~ : A R defiită pri ( F ~ ( = f ( x, se umeşte, de semee, itegrlă cu prmetru (cu limite vriile. Prmetrul este. ( Teorem Fie A R u itervl u epărt compct, J = [, ] R. Dcă fucţi f : A x J R este cotiuă pe A x J, tuci fucţi F : A R, F( = f ( x, este cotiuă pe A. Teorem Fie A R u itervl u epărt compct, J = [, ] R. Fie φ, ψ : A [, ] două fucţii cotiue pe A şi f : A x J R cotiuă pe A x J. Atuci fucţi F ~ : A R ( F ~ ( = f ( x, ( este cotiuă pe A. Teorem Fie A R, A itervl ritrr, J = [, ] R şi fucţi f : A x J R. Dcă f este cotiuă pe A x J, re derivtă prţilă î rport cu x, cotiuă pe A x J, tuci fucţi F: A R, F( = f ( x, este derivilă pe A şi, petru orice xa, vem: f F ( = ( x, x

9 Î plus, fucţi F este cotiuă pe A. Teorem Fie A R, A itervl ritrr, J = [, ] R. Fie φ, ψ : A J două fucţii ritrre de clsă C 1 pe A, f : A x J R o fucţie cotiuă pe A x J. Atuci fucţi F ~ : A R ( F ~ ( = f ( x, este derivilă pe A şi petru orice xa, vem: ( ( F ~ ( = ( f ( x, f ( x, ( ) '( f ( x, ( ) '( x Teorem Fie A R, A itervl ritrr, J = [, ] R. Fie f : A x J R o fucţie cotiuă pe A x J. Atuci fucţi, F( = f ( x, este itegrilă pe orice itervl compct [α, β] A şi re loc eglitte F( f ( x, Oservţi Eglitte di cocluzi teoremei precedete se pote scrie: f ( x, f ( x, Acestă formulă rtă că, î codiţiile teoremei, putem schim ordie de itegrre. Oservţi Petru itegrlele cu prmetru cu limite vriile u putem d î mod direct o semee formulă. Putem îsă, pri schimre de vriilă: t = φ ( + z [ψ( - φ (], să reducem itegrl cu limite vriile l o itegrlă cu limite fixe, şi poi să schimăm ordie de itegrre. Pri urmre, dcă φ, ψ : A [, ] sut cotiue pe A, ir f : A x J R este cotiuă pe A x J, tuci fucţi ( F ~ : A R F ~ ( = f ( x, ( F ~ ( ( f ( x, ( ude g este fucţi g : A x [0, 1] R defiită pri: este itegrilă pe orice itervl compct [α, β] A şi vem: 1 0 x, z) dz 1 x, z) = f(x, φ( + z[ψ( - φ(]) [ψ( - φ(], cre este evidet cotiuă pe A x [0, 1], cee ce justifică ultim eglitte. 0 x, z) dz