4. CÂMPUL ELECTROCINETIC
|
|
- Αναστάσιος Ιωαννίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4. CÂMPUL ELECTROCINETIC Î oformitate u aepţiuile amise petru oţiuea e âmp (v...) pri âmp eletroieti vom îţelege ael omeiu u meii outoare î are se prou aşaumitele feomee eletroietie (v...) şi are î priipal se maifestă pri efetele: termie meaie eletrie magetie lumioase fiziologie şi himie (v... putual efete eletroietie ). Î altă aepţiue pe are o are oţiuea e âmp pri âmp eletroieti se poate esema şi mulţimea putelor P î are există vetorul e stare eletroietiă loală a orpurilor eumit esitatea uretului eletri e ouţie sau mai surt esitatea e uret J (v... subparagraful Desitatea uretului eletri e ouţie ) aiă Ω = { P J ( P)} şi = { P J t ( P)} ue =Fr Ω şi J t este ompoeta tageţială la î P a esităţii e uret J. Î geeral espre orie orp are maifestă efetele eumerate mai îaite (î speial el termi) şi petru are mărimile e stare eletriă (şi mai ales saria eletriă q esitatea e volum a sariii eletrie q v şi/sau esitatea e suprafaţă a sariii eletrie q q A ) variază î timp aiă q/t q v /t şi q /t se spue ă se află î stare eletroietiă sau este î regim eletroieti. Aşa um se va arăta outorii pot fi î regim eletroieti hiar aă q/t= şi q v /t= u oiţia a î ei să se ezvolte ălură. Î arul aestui apitol vor fi prezetate elemetele e bază ale sistemelor eletromagetie sub aspetul lor eletroieti şi aume: regimuri eletroietie moelele speifie regimului eletroieti teoremele fuametale itesitatea şi esitatea ureţilor eletrii (a mărimi e stare eletroietiă a orpurilor ilusive î vi) âmpul eletri imprimat materiale outoare (ilusive eletroliţii) moelul variaţioal al regimului eletroieti şi âteva apliaţii legate e azuri orete mai es îtâlite î pratiă. Aşa um se va preiza e fieare ată se va avea î veere mai mult regimul eletroieti staţioar urmâ a regimul eletroieti estaţioar şi azul său partiular alterativ siusoial sâ fie ezvoltat î apitolul 8 şi subapitolele 7. şi Regimuri eletroietie Aşa um s-a efiit î paragraful.. mărimea speifiă e stare eletroietiă a orpurilor outoare este global (la ivelul îtregului orp itesitatea uretului eletri e ouţie i are reprezită şi fluxul vetorului J pritr-o suprafaţă: i = J A Ω J fii esitatea (e suprafaţă a itesităţii) uretului eletri e ouţie (sau esitatea e uret î A/m ). Coform legii ouţiei eletre (.96) v..3. itesitatea uretului eletri e ouţie i pri orie suprafaţă trasvervală a uui outor î stare eletroietiă orespue relaţiei: u f +e =Ri şi expliit i=g(u f +e) global 5
2 ue u f este tesiuea eletriă î lugul firului e-a lugul oriărei urbe eshise Γ i outor e este t.e. m. pe Γ (v...) R reziteţa outorului şi G= /R outaţa lui iar esitatea sa e urret J (P) î orie put P i âmpul eletroieti Ω al outorului este at e forma loală (.95) a aestei legi : J ( P) = γe( P) sau E ( P) = ρj ( P) loal î P Ω î are γ şi ρ sut outivitatea şi respetiv rezistivitatea materialului î putul P i outor (ρ =/γ). Î fuţie e felul e variaţie î timp a mărimilor e stare E u f şi e ştii ă î permaeţă ele sut îsoţite e efete termie (egajare e ălură î outori) regimul eletroieti poate fi: - staţioar atui â {u f e}= ost. eea e impliă i = ost. = I şi E = ost. J = ost. umit şi regim eletroieti e uret otiuu; t t - estaţioar â u f =u f (t) sau e=e(t) i=i(t) sau Ē=Ē(t) J = J (t). Daă fuţiile i(t) şi J (t) u pot fi preizate aaliti regimul eletroieti se umeşte estaţioar oareare (v. subap. 8.4) Î azul partiular â i(t) = i(t+t) î are T este o perioaă e repetiţie regimul eletroieti se umeşte perioi u o freveţă e repetiţie f = / T şi o valoare meie a T uretului I me = i( t + T ) t iar aă aeastă valoare este ulă I me = regimul T eletroieti estaţioar se umeşte alterativ (v. 8.5.) u azul său partiular e regim siusoial (v. subap. 8.5) Moelele eletroietiii Î moelele are esriu (sub formă matematiă) feomeele e au lo îtr-u sistem eletroieti itervi î priipal următoarele mărimi: - itesitatea loală a âmpului eletri E u ompoetele ei: âmpul oulombia E âmpul imprimat E i şi âmpul soleoial E s v... şi relaţia (.8E); (Câmpul eletri oulombia a fost prezetat î..3 âmpul imprimat a mărime e material va fi î amăuţime ometat î subapitolul 4.3 iar asupra âmpului soleoial v..3.7 se va revei mai îolo); - tesiuea eletromotoare (t.e.m) e are a fost efiite î.. u mărime e stare eletroietiă globală a âmpului eletromageti pri relaţiile (.45)(.48) şi (.49) ar asupra ei se va revei imeiat; - uretul eletri (v. subap... şi.3.8) a mărime e stare eletroietiă a orpurilorglobal pri itesitatea uretului eletri i şi loal pri vetorul e put esitatea uretului eletri J (asupra ărora se va revei pe larg î subapitolul 4.); - outivitatea eletriă γ şi rezistivitatea eletriă ρ ( ρ = D / γ ) prezetate î..3 are esriu omportarea uui material î eea e priveşte starea lui eletroietiă (asupra lor se va reveii î subapitolul 4.5). Tesiuea eletromotoare Defiirea şi prezetarea tesiuii eletromotoare e i paragraful..3 s-a făut î oformitate u proeeele teoriei marosopie lasie a âmpului eletromageti pri relaţiile (.45) (.49). Aum petru o mai profuă aaliză a feomeelor 6 t t
3 eletroietie se va fae şi o araterizare mirosopiă a aestor feomee mai ales ă există teiţa e a osiera uele mărimi fizie speifie eletroietiii um ar fi saria eletriă şi uretul eletri a etităţi materiale orporale (asupra ărora se exerită forţe sau are se pot eplasa u aumite viteze et.!?). Di putul e veere mirosopi oiţia e ehilibru eletrostati provie i ompesarea statistiă a mişării partiulelor mirosopie libere i outori (eletroi ioi et.). Î azul stărilor eletroietie aeastă ompesare u se mai proue şi astfel mişările partiulelor mirosopie libere îărate eletri au o ompoetă oroată e reprezită uretul eletri e ouţie. Aeastă mişare oroată staţioară a partiulelor libere i outori u poate eurge iefiit (permaet) eât î azul î are asupra partiulelor elemetare aţioează forţe eeletrie meii iferite e zero iar outorul asigură rumuri îhise. Îtr-aevăr umai î aest az u apar feomee estaţioare asoiate aglomerării e partiule şi a urmare e sarii eletrie î aumite pute ale outorului a e exemplu la apetele lui (vom ota aest aliiat u Observaţia 4- petru a-l ietifia î sopul argumetării uor afirmaţii e vor urma). Daă se otează u q m saria eletriă e îară o partiulă mirosopiă (uvât e la are s-a preluat iiele m) forţele e etermiă mişarea oroată iefiită a partiulelor elemetare (eletroi ioi et.) aiă forţe e prou şi îtreţi uretul eletri trebuie să fie (statisti) iferite e zero aiă: ~ ~ ~ F eel F el + Feel = qm E + = qm ( E + Ei ) (4.) q m î are F este simbolul forţei iiii au semifiaţiile: el şi eel eletriă şi eeletriă semul ~ ( tila ) plasat easupra lui F preizează ă F ~ este o valoare meie statistiă a forţei E este itesitatea âmpului eletri oulombia (araterizată e faptul ă E l = pe orie parurs îhis Γ i outor) şi E i este itesitatea âmpului eletri imprimat. Aeastă forţă meie efetuează u luru meai orespuzător la sară marosopiă uei ezvoltării reversibile e ălură (v..3.). Daă mişarea partiulelor are lo î lugul uei urbe îhise Γ (pri outor) forţele eletrie şi eeletrie meii trebuie să efetueze petru fieare partiulă mirosopiă lurul meai (iferit e zero): L m ~ = ( F + F ) l = q ( E + E l ) l (4.) Γ el eel are arată pri itegrala i membrul al oilea ă aest luru meai este etermiat î ultimă istaţă (eoaree q m este at ) e proprietăţile âmpurilor e vetori E şi E i. Deoaree L m atui şi ( E + E i ) l Γ Ω aiă irulaţia vetorilor E + Ei î lugul oriărui Γ iruit îhis şi eramifiat pri outor este îtoteaua iferită e zero. Dar şi reipro: petru a îtr-u astfel e iruit să se poată stabili u uret eletri (a mişare oroată permaetă a partiulelor mirosopie îărate u sarii eletrie q m ) este eesar a aeastă itegrală să fie iferită e zero. Daă valoarea ei este ostată atui regimul eletroieti este ostat (staţioar) iar aă variază î timp (um se va veea mai târziu ă este posibil) regimul eletroieti este estaţioar. Pri urmare irulaţia vetorilor E + Ei itervie î mo etermiat î araterizarea auzelor apabile să meţiă u uret eletri otiuu îtr-u iruit eletri îhis şi e aeea a fost aoptată a mărime (erivată) e stare a eletroietiii (global relativ la u otur/iruit Γ îhis) şi i s-a at umele e tesiue eletromotoare. 7 m Γl Γ
4 Revei asupra regimului eletroieti estaţioar are are lo atui â forţele ~ ~ ( Fel + Feel ) = f ( t) şi a urmare lurul meai at e relaţia (4.) este L m = f(t) oform observaţiei 4- partiule mirosopie îărate eletri vor efetua o mişare variabilă î timp eea e îseama ă aeastă mişare se poate arateriza pritr-u urret eletri variabil î timp şi efetuarea e luru meai eoaree L m (t). Î azul partiular î are forţele au o variaţie perioiă (pulsatorie) atui partiulele vor avea o ompoetă a mişării lor pulsatorii-perioie regimul eletroieti estaţioar fii perioi u azurile partiulare alterativ (â ompoeta perioiă a mişării partiulelor mirosopie are o valoare meie pe o perioaă egală u zero) sau î otiuare u regim eletroieti estaţioar alterativ siusoial (aă mişarea perioiă a partiulelor libere i outor poate fi reprezetată pritr-o fuţie siusoială). Î toate aeste azuri ( E + E ) l la are se mai poate aăuga îă o Γ i ompoetă (ea a âmpului eletri soleoial E s sau e iuţie atui â B / t sau ϕ/t aşa um se va arăta eva mai îolo) va fi o fuţie e timp putâu-se spue la moul marosopi (global) ă regimul eletroieti estaţioar este prous e tesiui eletromotoare variabile î timp e=e(t) pe â el staţioar se atoreşte uei irulaţii Γ ( E + E i ) l = ost. aiă uei t. e. m. e = ost. = E. t t Î geeral se umeşte tesiue eletromotoare e otur sau presurtat t. e. m. e otur (ar şi mai simplu tesiue eletromotoare sau t.e.m ) şi se otează u e (ueori şi u u e ) irulaţia vetorului sumă a itesităţii âmpului eletri Ē şi itesitatea âmpului eletri imprimat Ē i pe orie otur Γ i outori: D = (4.3) e ( E + E l ) l Γ Ω. Γ Di iursiuea î omeiul mirosopi făută eva mai îaite rezultă ă t. e. m. este umeri egală u lurul meai raportat la uitatea e sariă eletriă efetuat e forţele rezultate (eletrie şi eeletrie meii statisti) are etermiă mişarea partiulelor libere i outoare î lugul rumului îhis Γ osierat pri outor. Astfel i relaţia (4.) î are irulaţia âmpului eletri se îlouieşte u efiiţia ei (4.3) rezultă: L m =q m e e=l m /q m e ue eumirea e eletromotoare ată lui e (î treut am aum 6 e ai eumită frevet forţă eletromotoare).dimesioal ultima itre egalităţile preeete iiă: [e] = [L] [Q] - = [F] [L] ([I] [t]) - = [UIt] [It] - = [U] eumirea e tesiue eletromotoare fii ea fireasă i putul e veere fizi. Stuiul iruitelor eletrie î regim eletroieti estaţioar (v. subap. 8.4) şi e uret alterativ (v. subap. 8.5) oveeşte ă î limitele stării vasistaţioare (î are variaţiile e timp ale mărimilor e stare sut sufiiet e lete petru a î lugul uui outor filiform uretul e ouţie să aibă aeeaşi itesitate aiă să u existe uret e săpări sau e ispersie pri ieletriul izolat i jurul outorilor) tesiue eletromotoare e are aeeaşi importaţă fiziă u ea arătată aterior petru regimul staţioar referitoare la etermiarea auzelor e pot meţie u uret eletri îtr-u iruit îhis. De aeea efiiţia (4.3) este valabilă petru orie regim staţioar sau estaţioar. Aşa um s-a arătat î.3.. î regimul eletrostati oiţia e ehilibru eletrostati impue a E + E i = u E = E i = E itesitatea âmpului eletrostati oulombia) şi e aeea ( E + E i ) l = petru orie otur Γ (îhis) ales umai pri iteriorul outorilor. Γ Dei î regim eletrostati e=. 8
5 Î regim eletroieti staţioar sariile eletrie au o repartiţie ivariabilă î timp (ei q/t= q v /t= şi q A /t= Observaţia 4-) iar ompoeta E a itesităţii âmpului eletri i efiiţia (4.3) este u âmp oulombia are respetă teorema poteţialului eletrostati (v...3.) aiă: E E E l = (4.4) Γ eea e îseamă ă î aest regim eletroieti staţioar (e uret otiuu) tesiuea eletromotoare este etermiată umai e irulaţia âmpului eletri imprimat Ē i. Îtr-aevăr ţiâ seama e egalitatea (4.4) expresia e efiiţie (4.3) a t.e.m. evie: şi ei î uret otiuu: e = ( E + E ) = + i l E l Ei l = Γ Γ 9 Γ e = E l. (4.3 ) Γ Î regim eletroieti estaţioar âmpul eletri E este prous u umai e sariile eletrie şi e ele e polarizaţie (mometele eletrie p v. ap. 3) i şi e ătre âmpul mageti are î regim estaţioar este variabil î timp pri feomeul iuţiei magetie (v..3.7). Î aest az âmpul E î outorii liiari se poate esompue aitiv (oform teoremei superpoziţiei âmpului eletromageti v..5.) î ompoeta E (umită âmp eletri oulombia) prousă e sariile eletrie şi î ompoeta E s (umită âmp eletri soleoial) prous pri feomeul iuţiei eletromagetie (prezetat pe larg î.3.7). Î aest az geeral al regimului eletroieti estaţioar se poate srie: E = E + Es (4.5) fieare ompoetă a âmpului avâ arateristiile: Γ i E l = şi E s l = rote s A (4.6) Γ î are oform legii (.8) rote s = B / t rot( B w). Atui ţiâ seama e relaţiile (45) şi (4.6) efiiţia (4.3) evie: Γ e = E l E E s l E l E s l eim E s = ( + ) = + = l (4.3 ) Γ Γ Γ e efieşte tesiuea eletromotoare e iuţie eletromagetiă (sau t.e.m. iusă) are apare umai î regim eletroieti estaţioar. Î azul geeral î are regimul eletroieti poate avea simulta o ompoetă staţioară (otiuă sau e uret otiuu) şi o alta estaţioară (oareare perioiă alterativă sau siusoială) az frevet îtâlit î iruitele eletrie e proesare a semalelor (e exemplu î etajele e amplifiare) ue ompoeta e uret otiuu este ea orespuzătoare putului stati e fuţioare al ispozitivelor eletroie etermiat e sursele e alimetare î uret otiuu iar ea estaţioară este etermiată e semalul variabil î timp prelurat tesiuea eletromotoare este atui etermiată simulta umai e ompoetele e âmp eletri imprimat şi soleoial aiă: e = ( E + E i ) l = ( E + E s + E i ) l = E l = ( E s + E i ) l (4.3 ) sau: Γ Γ e = Ei l + E Γ Γ s Γ Γ l = E + e st Γ D Γ (4.3 IV )
6 ue E este t.e.m. e uret otiuu (prousă e âmpul eletri imprimat i regim eletroieti staţioar) şi e st este t.e.m. estaţioară (prousă e âmpul eletri soleoial e exemplu e uret alterativ). Utilizâu-se efiiţia geerală (4.3 ) a t.e.m. şi aă pe oturul Γ sut pute e formeazâ traseul Γ î are ( E E ) = ) şi putele e alătuies traseul Γ e î are s + i ( E E ) astfel ă Γ =Γ +Γ e atui se poate srie: s + i (4.3 V ) e = ( E s + E i ) l = ( Es + E i ) l + ( E s + E i ) l e = ( E s + E i ) l Γ =Γo Γe Γo are arată ă t.e.m. poate fi etermiată pri itegrala urbiliie pe porţiuile e urbă eshisă î putele ăruia sut loalizate âmpurile eletrie soleoial sau imprimat. Di putul e veere al ompoetelor e iruit eletri âmpurile eletrie imprimat şi soleoial se găses loalizate î aşa-umitele surse e eergie eletriă (sau pe surt surse eletrie v. subap. 8.) are au o t.e.m. e = E s E i ( + ) l a mărime arateristiă speifiă sursei u borele A Γ : A B şi B e elimitează u parurs Γ pri sursă. Prati âmpul eletri soleoial prous pri iuţie eletromagetiă se găseşte loalizat î lugul outorilor filiformi e alătuies spirele uei bobie zise iuse u borele A e îeput şi B e sfârşit pri are se proue variaţia e flux mageti e etermiă t.e.m. e = -ϕ / t (v..3.7) şi reprezită itegrala urbiliie e = E s l Γ fii u traseu eshis pri outorul bobiei upris ître borele : Γ : A B bobiei A şi B. Bobia iusă reprezită î eseţă o sursă eletriă estaţioară (î pratiă o sursă e uret alterativ). Tot prati âmpul eletri imprimat (v. subap. 4.3) are î fo este o mărime e material este loalizat î părţile eomogee ale outorilor ître borele A(+) şi B( ) sau u euiformităţi ale uor mărimi (aeleraţie temperatură tesiue meaiă iterioară iraiere et.) fii arateristiă surselor e uret otiuu (i regimul eletroieti staţioar) şi etermiâu-se u relaţia (4.3 ) î forma e = E i l aiă a itegralei urbiliii eshise Aeste relaţii sut etermiate e legile geerale ale teoriei marosopie a âmpului eletromageti (v. subap..3) î forme speifie pe are le au aeste legi î regimul eletroieti. Astfel rămâ valabile sub formă lasiă prezetat î subapitolul.3 următoarele legi: - legea fluxului eletri (v..3.) eşi ea u are o utilizare semifiativă î apliaţiile eletroietiii; - legea fluxului mageti (v..3.) u toate ă ea ea u itervie eât olateral (legat e stuiul efetului mageti al eletroietiii); - legea legăturii ître iuţia eletriă itesitatea âmpul eletri şi polarizaţia eletriă (v..3.3) sfera ei e utilizare î apliaţii fii restrâsă; Γe Γ : + efetuată pe u rum Γ luat pri outorii sursei u semul e referiţă e la bora ătre bora + a sursei ştiut fii faptul ă sesul itesităţii âmpului eletri imprimat este e la porţiuile e sariă eletriă egativă ătre ele u sariă eletriă pozitivă (v..3.). Tesiuile eletromotoare se simbolizează grafi aşa a î figura.7 aiă u er plasat pe oturul Γ (î lugul ăruia se alulează itegrala urbiliie e efieşte pe e) sesul săgeţii plasat la u apăt al iametrului erului iiâ sesul e referiţă al lui l i itegrala urbiliie e efiiţie. Relaţii fuametale ale eletroietiii Γ
7 - legea legăturii ître iuţia magetiă itesitatea âmpului mageti şi magetizaţie (v..3.4) u prezită iteres î stuiul eletroietiii (el mult î subsiar legat e efetul mageti al eletroietiii) mai ales ă majoritatea materialelor outoare sut iamagetie (e exemplu aurul argitul uprul plumbul et.) sau paramagetie (e exemplu alumiiul) aiă 3 materialele emagetie (v. subap. 6.) u suseptivitate magetiă foarte miă ( χ m < ); - legea polarizaţiei eletrie temporare (v..3.5) avâ î veere faptul ă metalele ( ei majoritatea outorilor are prezită importaţă î apliaţiile tehie ale eletroietiii) u au polarizaţie permaetă (prati la metale P p = ) se poate srie î forma D = εe u observaţia ă î metale ε ε eea e îseamă ă polarizaţia eletriă a outorilor se eglijează; - legea magetizaţiei temporare (v..3.6) u prezită prati importaţă î eletroietiă şi petru materialele outoare (oar şi umai olateral î stuiul ureţilor turbioari al efetului peliular şi al piererilor î fier v. subap. 7.3); - legea iuţiei eletromgetie (v..3.7) are î fo exprimă efetul eletri al âmpului mageti u impliaţie iretă asupra stuiului feomeelor eletroietie este importată î regimul eletroieti estaţioar petru etermiarea tesiuii eletromotoare e iuţie eletromagetiă e im (eumită şi t.e.m. iusă) ată e efiiţia (4.3 ) sau a ompoetei estaţioare e st i azul mai geeral(4.3 IV ). Tesiuile eletromotoare e im şi e st (î eseţă ietie) itervi î stuiul (moelarea) oriărei apliaţii i regimul eletroieti estaţior bazată pe variaţia î timp a âmpului eletromageti â valoarea salarului t.e.m. este ată e: e = eim + est = - ϕ / t aiă viteza e variaţie î timp a fluxului mgeti oform legii (.8) t.e.m. iuse e se prou î meiile outoare aflate î âmp mageti variabil î timp sau/şi are se eplasează u o viteză w îtr-u âmp mageti ostat î timp etermiă î outoare aă î aestea există otururi îhise u regim eletroieti estaţioar araterizaţi e ureţii eletrii e ouţie u itesitate variabilă î timp. Priipalele apliaţii ale aestei legi se referă la: trasformatoarele eletrie geeratoarele eletrie rotative bobie e iuţie ureţii turbioari (v. subap. 7.) şi multe altele. Petru a se prezeta u exemplu referitor la apliaţiile legii iuţiei eletromagetie î eletroietiă se osieră azul i figura 4. al uui outor retiliiu filiform rigi e lugime l e se eplasează u viteza w îtr-u âmp mageti uiform u iuţia magetiă B ostată î timp (u astfel e az se îtâleşte efetiv la geeratoarele e uret otiuu la are îfăşurarea iusă este formată i umeroase outoare retiliii itrouse î restările e la periferia rotorului maşiii are este aţioat e u motor primar u o aumită viteză e rotaţie e etermiă o eplasare a outoarelor u o viteză tageţială la suprafaţa iliriă a rotorului w ormală pe vetorul iuţiei magetie B u repartiţie raială prous î Fig. 4. zoa outoarelor iusului aiă î îtrefierul geeratorului e polii magetii iutori ai statorului v. Maşii eletrie ). Î aest az (fig. 4.) t.e.m. iusă ître apetale a şi b ale outorului se etermiă u relaţia (4.3 V) ) aiă o itegrală urbiliie î lugul outorului e la a la b: e = E s l = E s l a b ue itesitatea âmpuli eletri siusoial E se stabileşte u ajutorul formei loale a formei s iuţiei eletromagetie (.8) aiă: rot E s = B / t rot( B w) are î oiţile
8 partiulare ale exemplului i figura 4. ( B = ost. B / t = ) evie: rote s = rot( B w) sau t rote s = rot( w B) astfel ă rezultă: E s = w B şi e = E s l = ( w B) l = wbl = Bl w. Dei t.e.m. iusă î outorul retiliiu filiform e a b este egală u prousul mixt al vetorilor iuţie magetiă B lugimea orietată a outorului l =l a b şi viteza e traslaţie w. Daă ei trei vetori formează u trieru rept t.e.m. iusă î outorul i figura 4. este e= Blw (formulă uosută e la Fizia elemetară); - legea iruitului mageti (v..3.8) are î fo exprimă efetul mageti al eletroietiii este utilizată frevet î apliaţiile ereferitoare la etermiarea âmpului mageti prous e stare eletroietiă a outorilor. Exemplul tipi este eela al alului iruitelor magetie are foloses a surse e âmp bobiele e exitaţie alimetate î uret otiuu sau/şi alterativ (v. subap. 6.4) u umeroase apliaţii tehie propagarea âmpului eletromageti î outoarele masive (v. subap. 7.) şi multe altele. Legile: oservării sariii eletrie a ouţiei eletrie a trasformării e eergie î outori şi a eletrolizei sut legi speifie stării eletroietie şi ou la moele fuametale e au forme arateristie î fuţie e regimul eletroieti şi e sistemul fizi eletroieti aalizat (e exemplu: u outoare fliforme u outoare masive u elemete ompoete eliiare u âmpuri eletrie a ăror iuţie D variază puteri î timp et.). Legea oservării sariii eletrie a fost prezetată î paragraful.3.9 pri formulele stabilite experimetal: (CS) - itegrală: i = - q /t şi (CS ) - loal: ivj = qv / t iv( wq v ). Experieţa arată ă aă ître ouă orpuri outoare îărate u sarii eletrie şi ître are există o ifereţă e poteţial eletri se itroue o legătură outoare saria eletriă variază î timp ar se oservă petru îtreg sistemul; e asemeea experieţa mai arată ă pe urata variaţiei î timp a sariii eletrie loale î outori se ezvoltă ălură. Î aest az (fig. 4.) petru orie suprafaţă îhisă are Fig. 4. itersetează outorul e legătură este valabilă legea (CS) uretul i fii loalizat î firul e legătură şi reprezetâ mărimea itesitatea uretului eletri e ouţie. Daă se osieră o suprafaţă îhisă e îojură îtreg sistemul treâ umai pri ieletri atui i = umai şi umai aă pri u tre orpuri îărate u sarii eletrie eea e îseamă ă viteza are apare î forma (CS ) a legii este w = eoaree upă um s-a arătat saria eletriă se oservă pe îtreg sistemul (aiă q =). După realizarea legăturii outoare ître ele ouă orpuri outoare a urmare a stării eletroietie î are a treut îtregul sistem sartia eletriă se reistribuie î sistem pâă â poteţialele eletrie ale elor ouă orpuri şi a legăturii evi egale oform teoremei poteţialului eletrostati al outorilor (.36 ) stabiliu-se astfel u regim eletrostati (v.
9 ..3). Eergia eesară ehilibrării poteţialelor eletrie şi reistribuirii sariilor eletrie este ată oform relaţiei (.3) e prousul q(v V ) ue q este saria eletriă e s-a restribuit î sistemul e orpuri outoare pri uretul i i itervalul e timp t t o ât a urat regimul eletroieti: q = t i t ( t)t oform legii (CS) iar V şi V sut poteţialele eletrie iiţiale (iaitea efetuării legăturii e ouţie) a orpurilor outoare; aeastă eergie se isipă î outorii sistemului î putele î are există J sub formă e ălură oform legii ρ J [î Ws/m 3 ] ρ fii rezistivitatea loală a outorilor. Daă î iteriorul oriăruia itre outori se ia o suprafaţă îhisă i (v. fig. 4.) u sigura oiţie a ea să se afle strit î iteriorul outorului atui î timpul regimul eletroieti uretul i i pri aeastă suprafaţă va fi zero aiă i i = eoaree oform observaţiei 4.. îtr-u meiu outor u se pot aglomera partiule u sarii eletrie (el mult î mo trazitoriu a efet e apete î azul e exemplu î are u orp outor se izbeşte violet e u obstaol apărâ ei u âmp eletri imprimat e aeleraţie v.subap. 4.3). Pri urmare î meii exlusiv outoare u se pot umula sariii eletrie. Daă se ues ei oi eletrozi (borele + şi ) al uui elemet galvai (v. subap. 4.3) pritr-o legătură outoare se va ostata ă se proue î bula sursă-outor o stare eletroietiă (pusă î evieţă e efetele e apar) î are repartiţia sariii eletrie u variază î timp (ei q v /t= şi q a /t=) eşi î outori se ezvoltă ălură apar efete magetie himee et. S-a prous î aest az u regim eletroieti staţioar (v. observaţia 4.) araterizat e u uret eletri e ouţie u itesitatea pri orie seţiue trasversală î lugul outorului fără ramifiaţii ostată şi egală u İ. Î aest az legile (CS) şi (CS ) evi :İ = şi respetiv iv J = (v. subap.4.4). Asupra oţiuilor uret eletri şi esitate e uret eletri se va revei î subapitolul 4.. Legea ouţiei eletrie are a fost prezetată î paragraful.3. este o lege e material speifiă meiilor outoare şi fuametală petru orie apliaţie tehiă a eletroietiii. Aeastă lege reprezită e fapt geeralizarea ouţiei e ehilibru eletrostati (.34) are î regim eletroieti ( î are J ) u mai este valabilă şi ei: E + E i J î P Ω. (CE) Di putul e veere mirosopi semifiaţia relaţiei (CE) rezultă i următoarele : - î orie meiu outor partiulele elematare libere (eletroiioi et) se găses îtr-o mişare ezoroată i auza agitaţiei termie. Sub aţiuea uei forţe ative rezultate (meii) partiulele pot ăpăta o viteză suplimetară oroată. Notâu-se u q m saria eletriă a uei astfel e partiule (mirosopie) forţa rezultată meie F m are aţioează asupra ei are expresia ată e relaţia (.8) aiă: F m =q m ( E + E ) i î are E este itesitatea âmpului eletri oulombia şi E i itesitatea âmpului eletri imprimat; - eoaree mişarea oroată a partiulelor mirosopie supuse ioirilor ezoroate permaete u alte partiule se fae îtr-u meiu u freare forţa ativă rezultată F ~ rez este prati proporţioală u viteza relativă meie suplimetară ( w ~ rel ) pe are le apătă partiulele faţă e outor şi ei u esitatea e uret J oform relaţiilor: F ~ rez = q m ( E + Ei ) k w w ~ rel k j J (CE ) î are k w şi k j sut ostate e material; 3
10 - otâu-se ostata k j /q m u ρ (rezistivitatea materialului v...3 aliiatul Rezistivitatea materialului şi tabelul.3) rezultă i egalităţile (CE ): (CE ) ( E + Ei )= ρ J aiă tomai forma loală (.95) a legii ouţiei eletrie. Forma itegrală a aestei legi ată e moelul (.96) aiă : (CE ) u f +e=ri este srisă petru o porţiue e outor filiform (v..3.) ar este valabilă atât î azul î are outorul reprezită umai o porţiue eramifiată itr-u iruit eletri u mai multe laturi şi ouri (v. ap. 8) ât şi î azul î are outorul este îhis reprezetâ o bulâ (ohi) situaţie î are tesiuea î lugul firului: u f = E l = şi atui legea (CE ) evie: (CE IV ) e= Ri î are e este t.e.m. e otur i itesitatea uretului eletri e ouţiei a bulei şi R rezisteţa eletriă a ohiului outor. Daă t.e.m. e este ulă e-a lugul outorului (laturii) eea e fae să se spuă ă latura (sau rezistorul um este eumită o ompoetă e iruit araterizată pri parametrul rezisteţă eletriă ) este pasiv atui legea (CE III )evie: (CE V ) u f = Ri e=. Legea ouţiei eletrie este valabilă î orie regim eletroieti (staţioar şi estaţioar situaţie î are î moelele legii sut luate valori istataee ale tesiuii î lugul firului t.e.m. şi itesităţii uretului eletri e ouţie) Daă se foloseşte şi mărimea tesiuea eletriă la bore u b efiită pri relaţia (.43 II ) i.. (subparagraful Tesiuea eletriă ) aiă: ub = ( E + E s ) l o itegrală urbiliie 4 Γ Γiz: A B e-a lugul uei urbe pri izolatul i jurul outorului (Γ iz ) ître borele A şi B ale firului outor (fig.4.3) a vetorilor itesitatea âmpului eletri oulombia ( E ) îsumată aă există u itesitatea âmpului eletri soleoial ( E ) atui î azul î are E = s s eea e se îtâmplă sigur î regim eletroieti staţioar rezultă: D D u f = E l şi ub = ( E + E s ) l u f ub E s =. U I Γ : A B Fig. 4.3 Γ : A B G = ost. ) poartă eumirea frevet utilizată e legea lui Ohm. iz Dei î uret otiuu (aiă î regim eletroieti staţioar) î are u b =u f =U (v. fig. 4.3) forma (CE ) a legii ouţiei eletrie evie: (CE IV ) U+ E =Rİ şi aă latura este pasivă (ei t.e.m. E=)rezultă: U = RI sau I = GU sau (4.7) U U I I = sau R = sau U =. R I G î are G=/R este outaţa laturii. Toate formele moelului (4.7) al legii ouţiei eletrie are sut variabile umai î uret otiuu (regimul staţioar al eletroietiii ) şi umai petru laturi outoare pasive (t.e.m. E=) şi liiare (parametrii R = ost. şi Moelul (4.7) are ouă semifiaţii: e efiiţie a rezisteţei eletrie î uret otiuu a uui outor R=U/I (aiă rezisteţa eletriă este umeri egală u raportul itre tesiuea U I
11 eletriă otiuă apliată outorului şi itesitatea uretului eletri e ouţie i latura outoare) şi e verifiare experimetală a liiarităţii rezisteţei eletrie (atui â U /I =U /I = ). Relaţia e egalitate a tesiuii eletrie la borele u b şi a tesiuii eletrie î lugul firului u f se păstrează hiar u o buă aproximaţie şi î regim eletroieti estaţioar u oiţia a e/t (aiă viteza e variaţie î timp a t.e.m.) să u fie mai mare; astfel î uret alterativ aă freveţa f a t.e.m. e(t+k/f) este f<8hz atui aproximaţia u b u f =u este aproape e ietitate. La freveţe foarte îalte (e oriul gigaherzilor) şi mai ales î omeiul mirouelor u b u f î mo et şi mai mult u b epie substaţial e rumul Γ iz itre borele A şi B ale outorului. O experieţă lasiă este eifiatoare î aest ses: upă um se ştie (e la Fiziă ) tesiuea la bore se măsoară u ajutorul uui voltmetru oetat la borele avute î veere ar e fapt iiferet e tipul aparatului (eletromageti magetoeletri u termouplu sau u reresor eletroi u oversie tesiue freveţă sau tesiue timp sau eletri igital et.) el iiă strit tesiuea eletriă î lugul firului laturii voltmetrului şi u tesiuea la bore( ii măar tesiuea î lugul laturii asupra ăreia se fa măsurările). Daă freveţa u este mare (putâ fi şi e oriul zeilor e megahertzi) u este o ifereţă semifiativă ître u fv u fr şi u b (aiă î orie tesiuile eletrie: î lugul firului voltmetrului î lugul firului rezistorului supus măsurării şi la bore). Daă freveţa este foarte mare (mai ales î miroue) iiaţiilr aeluiaşi voltmetru epi e lugimea şi mai ales poziţia firelor e legătură a aparatului la borele la are se fa măsurările. Legea trasformării e eergie î outori a fost prezetată la paragraful.3. şi ea exprimă atitativ efetul termi al eletroietiii fii geeral valabilă iiferet e regimul (staţioar sau estaţiaar) al eletroietiii. Iterpretarea mirosopiă a aestei legi se bazează pe următoarele iei: - mişarea oroată u viteza meie relativă w ~ rel faţă e outor u saria eletriă q m (fapt speifi stării eletroietie a outorilor) sub aţiuea uor forţe meii eule (eletrie şi evetual eeletrie) i âmp efetuate asupra fieărei partiule ( F ~ = m qme ) etermiă o pierere e eergie i âmpul eletri atorită lurului meai elemetar meiu (exprimat aii pri operatorul ) şi aume: Lm = qme l petru fieare partiulă mirosopiă eplasată î timpul elemetar t oroat pe istaţa elemetară l = w ~ rel t; - lurul meai efetuat petru eplasarea tuturor partiulelor libere i uitatea e volum (aiă loal) se obţie pri îsumrea lurului meai elemetar al aestor partiule eea e îseamă: qm lim E w ~ ~ relt = qmve wrelt = pt v v î are qm = lim( qm / v) = qm / v este esitatea e volum a sariii eletrie a partiulelor v libere i volumul elemetar v (ei loul) iar p [î W/m 3 ] este esitatea e volum a puterii pierute e âmp pri lurul meai total efetuat e eplasarea partiulelor mirosopie loale; - eoaree J = q w ~ mv rel v. relaţia (CE ) rezultă i expresia preeetă împărţită u t: p = E J î [W/m 3 ] are reprezită forma loală a legii trasformării e eergie î outori (.3"); - esitatea e volum a puterii trasformate î outori este pri urmare efetul mirosopi al lurului meai mirosopi efetuat e âmpul eletromageti istataeu şi loal petru a trasporta partiulele elemetare libere îărate u sariă eletriă pri outor. Aest luru meai se isipă î meiul exterior sub formă e ălură (eea e ue la 5
12 îălzirea outorului) sau î azul existeţei şi a uui âmp imprimat (ei a uor forţe e atură eeletriă) la prouerea uei alte forme e eergie a orpurilor (e exemplu himiă). Legea eletrolizei prezetată î paragraful.3. exprimă atitativ efetul himi al eletroietiii î azul outorilor e speia a oua (a outorilor eletrolitii). Coform aestei legi ată e moelul (.4) masa e substaţă epusă la u eletro este iret t proporţioală u itegrala it alulată pe urata t t ât are lo eletroliza. Rezultă ei ă t efiieţa maximă (aiă o masă ât mai mare e substaţă epusă) are lo î uret otiuu eoaree itegrala evie I (t t ). Daă regimul eletroieti este estaţioar alterativ (e exemplu siusoial) efetul este ul eoaree î uret alterativ oareare t t =kt (T fii t perioaa e repetiţie) +kt kt π it = iar î uret siusoial si =. T t I t t max T 4... Moelul variaţioal al eletroietiii Moelul (matemati) e tip variaţioal al eletroietiii (î priipal staţioară) se poate eue iret i moelul variaţioal al âmpului eletrostati (v..6.3) pe baza orespoeţei formele uale (e moel) ître mărimile marosopie eletrostatie şi eletroietie şi aume: (MV) E E D J V st V ε γ Pp γei şi q v î are: E este itesitatea âmpului eletrostati (oulombia) E itesitatea âmpului eletroieti staţioar D iuţia eletrostatiă J esitatea (e suprafaţă) a uretului e ouţie V st poteţialul eletrostati V poteţialul eletroieti (staţioar) v.subap ε permitivitatea absolută a materialului γ -outivitatea eletriă a materialului P p polarizaţia eletriă permaetă E i itesitatea âmpului eletri imprimat şi q v esitatea e volum a sariii eletrie orespoeţe e rezultă i aalogia formală a moelelor e bază aiă: regimul eletrostati regimul eletroieti staţioar rot E = rot E = q iv D = q v iv J = v = t D = ε E + P p J = γ ( E + E i ) Pe baza aestei ualităţi fuţioala eergetiă (v..6.3) asoiată âmpului eletroieti (staţioar) se obţie i fuţioala eergetiă (.69) asoiată âmpului eletrostati şi are forma: E (4.8) F ( V ) = J E v + J VA N v o N î are: v o este volumul omeiului i outor Ω o ue au lo feomeele eletroietie; J esitatea uretului eletri e ouţie; E itesitatea âmpului eletroieti i outor; N = Fr Ωo este porţiuea i frotiera a omeiului Ω o i outor pe are se uos oiţiile la limită e tip Neuma ( v...3) versorul ormalei la N porţiuea e frotieră şi V poteţialul eletroieti î putele e pe N. Coiţiile la limită aturale î proesul e staţioarizare a fuţioalei (4.8) sut reprezetate - î azul geeral al uor oiţii mixte pe frotieră - e oiţiile e tip Neuma 6
13 aiă J f (r) sau pe porţiuea e frotieră N şi e oiţiile e iterfaţă N = N rot E = şi iv J = î azul uor suprafeţe fixe e isotiuitate (evetual existete î Ω o ). De ele mai multe ori oiţiile la limită eseţiale sut oiţiile pe frotieră e tip Dirihlet (v...3) aiă V = f D (r) sau pe porţiuea e frotieră D = N (aii iiile D reprezită oiţia e tip Dirihlet). 4.. Curetul eletri Deumirea mai mult geeriă a aestui subapitol se referă la aspetul alitativ al mărimii uret eletri a oţiue speifiă orpurilor aflate î stare eletroietiă. Î fuţie e feomeul fizi e etermiă starea eletroietiă există (aşa um s-a mai arătat î.3.8 v. Moelul loal al legii iruitului mageti ) mai multe mărimi e tip uret eletri u aeeaşi imesiue fiziă: [ Q ][ t] v. relaţia imesioală (.9) u aeeaşi semifiaţie alitativă aeea referitoare la istribuţia sariilor eletrie î raport u timpul şi aeeaşi uitate e măsură SI (amperul) eesară exprimării atitative a stării eletroietie a orpurilor; aşa sut ureţii eletrii : e ouţie e eplasare e oveţie Roetge teoreti hertzia e polarizaţie ş.a. Curetul eletri e ouţie a fost prezetat pe larg î paragraful.. (v. subparagraful Itesitatea uretului eletri e ouţie ) î paragraful.3.9 î are îtr-o parateză e urmează imeiat upă figura. prezită o iterpretare mirosopiă a itesităţii uretului eletri preum şi -u u mult îaite- î paragraful 4.. subparagraful Relaţii fuametale ale eletroietiii aliiatul Legea oservării sariii eletrie.... De aeea asupra uretului eletri e ouţie u se va mai revei urmâ a paragrafele aestui subapitol să se refere la : uretul eletri e eplasare şi uretul e oveţie Curetul eletri e eplasare Î figura 4.4 ue e reprezită o sursă e eergie eletriă este reprezetat u iruit î are pri îhierea îtrerupătorului K se stabileşte (îtr-u timp foarte surt) regimul eletrostati (araterizat e faptul ă ele ouă orpuri outoare se îară u sarii eletrie egale şi e sem otrar astfel ă + q q = ). Î aest iterval e timp surt se proue îsă u regim eletroieti repartiţia sariii eletrie pe outori varii î timp eea e poate fi araterizat e ătre u uret eletri e ouţie î latura outoare a sursei: A B. Îtreg sistemul i figura 4.4 este osierat imobil (u viteza w = ). Daă se osieră suprafaţa îhisă u versorul ormalei orietat spre exteriorul lui (e uprie ambele orpuri outoare şi ) se va ostata ă pri apar oi ureţi eletrii e Fig. 4.4 ouţie u itesităţile eletrie i A şi i B egale ître ele (v. fig. 4.4). Coform legii oservării sariii eletrie (.9) va rezulta petru uretul eletri e ouţie referitor la suprafaţa : q i = ia + i B =. (I) t 7
14 î are i A apare u semul mius eoaree sesul e referiţă al aestui uret (ătre iteriorul lui ) este otrar sesului versorului loal iar i B este u semul + petru ă are aelaşi ses e referiţă u (ătre exteriorul suprafeţei ). Deoaree î proesul trazitoriu e îărare a orpurilor outoare e la sursa eletriă e sariile eletrie sut î permaeţă egale şi e sem otrar aiă q = + q iar pe legătura outoare saria eletriă este eglijabilă rezultă ă q / t = şi atui relaţia (I) oue la: (I) i = ia + ib = ia = i B. Daă referitor î otiuare la figura 4.4 se osieră o altă suprafaţă îhisă e taie outorul e legătură umai î regiuea B iar î rest se află î ieletri (are se osieră perfet aiă avâ outivitatea egală u zero) atui rezultă ă itesitatea uretului e ouţie i B (are iese i pri B) trebuie să fie egal (petru a fi respetată legea oservării sariii eletrie) u u uret eletri e altă atură eât ouţia are parurge suprafaţa pri ieletri. Î aest mo se stabileşte o ouă mărime otată u i D are auată u itesitatea uretului eletri e ouţie ( i B ) ă u uret total otat u i ul pri orie suprafaţă îhisă e felul lui (v. fig. 4.4): (I3) i = i + = B id ue itesitatea uretului eletri pri ieletri i D se umeşte itesitatea uretului eletri e eplasare (sau mai surt uret e eplasare). S-a osierat îă e la îeput ă îtreg sistemul se află î repaus (meai aiă u viteza w = ) astfel ă apliâu-se relaţiei (I3) legea oservării sariii eletrie (.9) pri suprafeţe e felul lui (are tre şi pri ieletri) va rezulta: q q i = şi i = + = i B id i = ib = i D = t t obţiâu-se petru uretul e eplasare relaţia: D q (4.9) id =. t Apliâu-se relaţiei e efiiţie (4.9) legea (.65 ) a fluxului eletri aiă făâu-se îlouirea q = D A va rezulta: q D D (I4) i = D = D A A A t t = = t. t B B Itesitatea uretului eletri e eplasare se poate exprima î fuţie e esitatea uretului e eplasare J (a flux al aestui vetor pri suprafaţa = B i ieletri): D (I5) id = J D A = B J D A B fii putul e pe (v. Fig. 4.4.) î are aeasta itersetează legătura outoare. Di relaţiile (I4) şi (I5) rezultă: D J D A = A t şi eoaree sistemul este î repaus az î are iuţia eletriă D epie umai e timp şi e ooroatele putelor iar suprafaţa a fost aleasă arbitrar i relaţia preeetă rezultă 8 D
15 următoarea expresie a esităţii uretului eletri e eplasare: D J D =. (4.) t S-a itrous î relaţia (4.) erivata parţială a lui D eoaree iuţia eletriă este u vetor-fuţie e x yz şi t iar x yz şi t sut variabile iepeete. Formula (4.) stabileşte ei relaţia ître vetorul esităţii uretului eletri e eplasare şi vetorul iuţiei eletrie i orie put (x y z) aparţiâ uui omeiu ieletri. Pri urmare uretul eletri e eplasare (pri itesitatea lui i D şi esitatea lui J D ) este arateristi ieletriilor î repaus î are iuţia eletriă variază î timp: D = D(t). Î regim eletroieti staţioar şi î regim eletrostati î are D = ost. rezultă ă J D = preum şi t i D =. Relaţiile (4.9) u (I3) şi (4.) expliă existeţa regimului eletroieti (trazitoriu) e îărare/esărare a uui oesator alimetat e la o sursă e uret otiuu preum şi uretul eletri i laturile u oesatoare ale reţelelor e uret alterativ (i regim eletroieti estaţioar alterativ). Î ambele azuri ouţia eletriă i outoare (ei uretul eletri e ouţie) este asigurată e variaţia î timp a iuţiei eletrie i ieletrii - aiă e uretul eletri e eplasare oform relaţiei (I3). Ţiâu-se seama e legea legăturii itre itesitatea âmpului eletri iuţia eletriă şi polarizaţia eletriă (.7) expresia (4.) se poate srie sub forma: D E P J D = = ( ε E + P) = ε + (4. ) t t t t e ue reiese ă există ouă ompoete ale esităţii uretului eletri e eplasare: - esitatea uretului e eplasare î vi J D are este at e: E J D = ε ; (4.) t - esitatea uretului e eplasare î orpuri (ieletrii) sau esitatea uretului eletri e polarizaţie J P are are expresia: P J P =. (4.) t Î fuţie e aeste esităţi e uret se stabiles şi itesităţile ureţilor eletrii e eplasare: E - î vi i D = ε A ; (4. ) t P -e polarizaţie ip = A; (4. ) t î are este o suprafaţă situată î vi şi o suprafaţă situată î orpuri (ieletrii). Aeste relaţii mai pot fi srise şi î forma: i D = ε E A (4. ) t şi i P = P A. (4. ) t 9
16 Îsă s-a arătat î subapitolul 3.3 v. relaţia (3.3) ă fluxul vetorului P reprezită saria (eletriă) e polarizaţie q P şi ă fluxul lui E este proporţioal oform teoremei lui Gauss (.6) u saria eletriă (liberă) q l. Astfel rezumâu-se ele e mai sus rezultă ă itesităţile ureţilor eletrii e ouţie ( i ) e eplasare î vi ( i D ) şi e polarizaţie ( i P ) pot fi srişi î formele: i = q / t; id = ql / t şi i q t P = p /. Suma aestor ureţi pri suprafaţa îhisă e tipul (v. fig. 4.4.) trebuie să fie zero (oform legii oservării sariii eletrie) astfel ă: ( q + q l + qp ) = t eea e se verifiă eoaree: q = q + q. l P 4... Curetul eletri e oveţie Î toate azurile prezetate î paragraful preeet (4..) s-a presupus situaţia î are orpurile (şi îtreg sistemul fizi) sut imobile î sistemul e referiţă ales are a fost osierat u sistem ierţial. Î arul prezetului paragraf se va aaliza e se îtâmplă â î sistemul fizi există şi orpuri î mişare îtr-u sistem e referiţă ierţial (aiă există viteze w ). Coform elor e pâă aum se va amite -î otiuare (pe baza legii oservării sariii eletrie)- ă itesitatea uretului eletri total (aiă pritr-o suprafaţă îhisă ) este ul. Aeasta îseamă ă itesitatea uretului eletri e ouţie terbuie să fie îsumat u itesitatea uui uret eletri e altă atură eât el e ouţie are a fost eumită itesitatea uretului eletri hertzia (pe surt uret hertzia) şi otat u i Hz astfel îât să existe mereu relaţia: (I6) i + ihz =. Î ategoria aeasta e uret hertzia se va ilue -a u az partiular- şi uretul e eplasare (efiit î 4..). Deoaree i = q / t q = D A şi i egalitatea (I6) i = ihz va rezulta: D (4.3) ihz = D A t are poate fi amisă a o relaţie e efiiţie a uretului hertzia. Petru ă suprafaţa se află î mişare (u viteza w ) şi orpurile se mişă ître ele rezultă ă sub semul itegralei i efiiţia (4.3) aă se utilizează srierea î ooroate arteziee variabilele xy şi z are efies vetorul e poziţie al uui put: r ( P) = xi + y j + zk sut fuţii e timp: x(t) y(t) şi z(t). Î aest az erivata i efiiţia (4.3) reprezită erivata substaţială a fluxului î raport u timpul are va fi prezetată î apitolul 9 [v. 9.. relaţia (9.4)] fii î aest az: D (I7) i Hz = D A = A + wivd A + rot( D w) A t t î are w este vetorul vitezei iar oform legii fluxului eletri î forma loală (.66 ) termeul iv D se poate îloui pri esitatea e volum (loală) a sariii eletrie q v aiă: iv D = q v. 3
17 Primul terme i memebrul al oilea al ultimei egalităţi i (I7) este itesitatea uretului eletri e eplasare i D efiit aterior pri relaţia (4.9). Se vee ă aă u ar exista mişare (aiă aă w = ) eilalţi oi termei i (I7) sut egali u zero şi a urmare uretul hertzia s-ar reue la uretul e eplasare. Cel e-al oilea terme i (I7) se umeşte itesitatea uretului eletri e oveţie (otat u i ) iar ultimul terme se umeşte pe surt uret Roetge teoreti (otat u i Rt ) are a mai fost meţioat pâă aum î apitolul [v..3.8 relaţia (.83 v )] şi hiar ometat. Termeul: D 3 i = wiv D A = wq A (4.4) are reprezită itesitatea uretului eletri e oveţie are îţelesul uui uret eletri etermiat e eplasarea uor partiule putiforme îărate u saria eletriă loală q [î 3 C/m ] u viteza w. Aeasta ar fi î apliaţiile pratie- uretul i băile eletrolitie i tuburile u esărări î gaze i tuburile u vi (e exmplu tuburile hiesopie) î are partiulele sut eletroliţi şi q v este saria eletroului et. (ioii şi eletroii sut osierate orpuri are se eplasează î raport u meiul outor u viteza w ). Desitatea uretului eletri e oveţie ( J ) are rezultă i efiiţia geerală i = J A are expresia: J v v A = wq A J = w q (4.5) eoaree suprefeţele şi elemetele e suprafaţă A sut oareare. Relaţia (4.5) arată ă esitatea uretului eletri e oveţie este iret proporţioală u viteza w şi u esitatea e volum a sariii eletrie q v. O imagie ituitivă a uretului e oveţie este următoarea: u outor î regim eletroieti u u uret e ouţie etermiat e partiulele libere i iterior are se mişă î raport u outorul; aă aest outor se eplasează el îsuşi trasportâ astfel saria eletriă a partiulelor are lo şi u uret e oveţie u oiţia a î outor să existe pute î are q v. Pri urmare spre eosebire e uretul e ouţie uretul eletri e oveţie provie i mişarea e trasport a partiulelor elemetare îărate eletri atorită mişării îtregului orp (şi u i mişarea relativă la orp a partiulelor a î azul uretului eletri e ouţie) Câmpul eletri imprimat Noţiuea e itesitate a âmpului eletri imprimat a fost efiită a mărime e material pe are îl araterizează i putul e veere al eletroietiii î paragraful.. [v. subparagraful itesitatea âmpului eletri î orpuri şi efiiţia (.8i )] şi paragraful..3 (v. subparagraful Câmpul eletri imprimat ) mai apoi şi î paragraful... u prilejul prezetării oiţiei e ehilibru eletrostati (.) î paragraful.3. (î are âmpul imprimat E i a fost prezetat i putul e veere al teoriei mirosopie) preum şi î paragraful 4... î legătură u efiirea tesiuii eletromotoare pri relaţiile (4.3) şi (4.3 ). De aeea î arul aestui subapitol î paragrafele e urmează vor fi prezetate âteva azuri e prouere a âmpului imprimat are şi-au găsit apliaţii pratie (tehie) u expliarea auzelor fizie e apariţie a âmpurilor imprimate e pot fi loalizate îtr-u îtreg omeiu spaţial ( Câmpuri imprimate e volum 4.3.) sau umai pe aumite suprafeţe e v v
18 isotiuitate ( Câmpuri imprimate e otat pe iterfeţe 4.3.) î forma î are sut expuse î lurarea Timoti A. Hortopa V. ş.a. (964) Câmpuri imprimate e volum Există mai multe situaţii î are atorită eomogeităţii e material (extisă la îtreg volumul orpului) al euiformităţii e aeleraţie (existetă î toate putele i iteriorul uui orp outor) al euiformităţii termie e volum et. apar forţe e atură (proveieţă) eeletriă F eel are -exeritâu-se asupra partiulelor elemetare i îtreg omeiul oupat e outor- etermiă o repartiţie e volum a sariii eletrie e reprezită âmpul imprimat E i a fuţie e put: E i (P) sau E i (r) ue r este raza vetoare a putului P Ω î are Ω este omeiul oupat e outor. Câmpuri imprimate e aeleraţie Rotiu-se u is metali (ei itr-u material outor e exemplu i upru) î jurul axei sale (e exemplu pritr-o maivelă şi u sistem e multipliare a turaţiei u isuri şi urele e trasmisie) u o viteză ughiulară ω [î raiai pe seuă] ât mai mare -aşa um se arată shemati î figura 4.5- atui eletroii liberi i îtreg volumul isului are au o masă m 3 (e la Fiziă se ştie ă m = 9 kg ) sut supuşi uei forţe masie etrifuge (ei e origie eeletriă F eel ) are-i eplasează la periferia isului. Î aest fel eşi global isul este eutru i putul e veere eletri se reează o repartiţie loală iferită e zero egativă pe margiea isului 3 3 (u q v C / m ) şi pozitivă î zoa etrală a axului u + q v C / m (fig. 4.5). Forţa etrifugă (eeletriă) e se exerită asupra uui eletro este ată e relaţia: l α F eel ( r) = mar = m r = m ( rα) r = mr r = mrω r t t t î are: l = rα este irumferiţa la istaţa r e axa isului Fig. 4.5 orespuzătoare uui ughi la etru α ar = ( l / t ) r este aeleraţia pe ireţia razei isului (u versorul r ) şi ω = α / t este viteza ughiulară a isului. Coform efiiţiei (.8i) i putul e veere eletri aeastă forţă etermiă u âmp eletri imprimat u itesitatea: D 3 F eel ( r) m 9 (4.6) E i ( r) = = rω r = rωr = 567 rωr 9 qm qm 59 9 î are q m = 59 [ C] este saria eletroului. Aeastă sariă este îsă egativă (aiă qm = q e ) astfel ă expresia (4.6) a lui E i (r) evie: F eel ( r) (4.6 ) E i ( r) = = 567 rω ( r ) qe âmpul imprimat avâ orietarea pe ireţia razei isului u sesul e la periferia isului spre etrul (axa) lui (v. Fig. 4.5). Ehilibrul eletrostati se atige â forţa eletriă F el (atorită împului oulombia E are se proue e la zoa etrală eveită pozitivă ătre ea 3
19 periferiă îărată u sariă eletriă egativă a efet al forţelor etrifuge e apar î is aă ω ) ompesează forţa rezultată etrifugă (eeletriă): F el = F eel qm E = qe E i E = E i P Ω (4.6 ) eea e exprimă oiţia (.) e ehilibru a aestui proes. Pri urmare i mometul î are isul este rotit ( ω ) partiulele libere sut puse î mişare şi refulate spre margiile isului eea e ue la apariţia forţei e reaţie î âmpul eletri F el astfel ă pâă â se stabileşte ehilibrul eletrostati (4.6 ) apare î is u regim eletroieti e foarte surtă urată (araterizat e u uret eletri trazitoriu). Daă se realizează ouă otate alueătoare (u perii a î figura 4.5) se reează ouă bore: + (peria e fae otat u axul) şi (peria e alueă pe periferia isului) şi se obţie u geerator e uret otiuu u oiţia a ω = ost.. Î aest az oiţia (4.6 ) evie o euaţie e t ehilibru iami (î regim eletroieti staţioar) iar u evetual rezistor oetat la borele + ar isipa eergie termiă pe baza eergiei furizate e sistemul e aţioare (e va aoperi şi piererile e eergie isipată î is şi e freări: î lagărele axului ale periilor e otat glisat et.). Câmpul imprimat e oetraţie U astfel e âmp imprimat (umit şi e ifuzie) se proue î meiile outoare eletrolitie (v..3. i ap. şi subap. 4.5 e va urma mai îolo) î are există o eomogeitate atorită oetraţiei eletrolitului (mai preis o euiformitate a oetraţiei eletrolitului a fuţie loală e put). Î figura 4.6 este reprezetată shiţa uui meiu eletroliti eomoge: î iteriorul uui vas separat î ouă avităţi pritr-u perete poros se itroue u eletrolit u oetraţii et iferite (îtr-o avitate faţă e alta). Î azul ilustrat î figura 4.6 se poate proue u âmp imprimat pri feomeul e ifuzie (forţele eeletrie fii atorate î aest az presiuii osmotie v. Chimiafiziă). Î zoa î are eletrolitul este mai oetrat umărul e ioi (v. 4.5.) este mai mare eea e fae să se prouă u proes e ifuzie pri peretele poros espărţitor proes are tie să egalizeze oetraţia. Sub aţiuea forţelor eeletrie meii atorită eomogeităţii (situaţie î are ioirile i iferite ireţii la are este supusă o partiulă elemetară- u io u se mai ompesează â o rezultată meie) se proue treerea pri perete poros- atât a ioilor pozitivi ât şi a elor egativi. Mobilitatea şi -a urmare- viteza e ifuzie u este ietiă petru toţi ioii şi astfel eletrolitul itr-o parte a peretelui se îară u sariă eletriă pozitivă iar eletrolitul i ealaltă parte va avea o esitate e volum a sariii eletrie egativă. Î azul uei soluţii e ai lorhiri ( Cl H + H O ) v. fig. 4.6 are isoiează î + + Cl H Cl + H ioii H au o mobilitate mai mare eât ioii Cl eea e fae a -î fialsă se prouă o îărare u sariă eletriă pozitivă a soluţiei iluate şi o îărare eletriă + egativă a zoei u soluţie oetrată eoaree spre soluţia iluată tre mai mulţi ioi H eât ei Cl aeastă repartiţie e sarii eletrie fii pusă pe seama âmpului imprimat E i. Î aelaşi timp pri aeastă îărare u sarii eletrie e sem otrar a eletrolitului i ele ouă avităţi ître ele apare şi u âmp eletri oulombia E (opusul lui E i ) are fae a 33 Fig. 4.6
20 ifuzia e ioi şi -ei- uretul e îărare să saă treptat pâă la aularea lor atui â se ajuge la ehilibrul eletrostati E + E i = sau E = E i. Câmpul imprimat termoeletri e volum Daă u orp metali (e exemplu o bară i upru aiă i material outor) este îălzită la apete î mo euiform asupra eletroilor se exerită o forţă meie eeletriă atorită eompesării ioirilor itre partiule a urmare a ifereţei e temperatură. Câmpul imprimat pus pe seama aestei forţe eeletrie meii aiă Ei = F eel / qe este iiat î figura 4.7 avâ sesul e la apul barei u temperatură mai miă ( T ) ătre el u temperatură mai mare ( T > T ) e are pri agitaţia termiă resută eletroii se îepărtează. Deplasarea eletroilor liberi i zoa u agitaţie termiă mai mare (ue apar forţe e ioire meii eeletrie mai mari) ătre ea u agitaţie termiă mai miă aiă î zoa (apul) u temperatura T < T fae a loal ele ouă zoe să aibă esităţile e volum ale sariii eletrie e ume otrar a efet al âmpului imprimat E i u sesul e Fig. 4.7 la apul u sariă eletriă egativă ( el u T < T ) ătre elălalt ap (u temperatura mai mare îălzit v. fig. 4.7) are are sariă eletriă pozitivă. Pri aeastă repartiţie a sariii eletrie se proue ître ele ouă zoe şi u âmp eletri oulombia E opus lui E i. Î aest fel la o ifereţă e temperatură ată T T ost.. proesul e exo al eletroilor ătre zoa ree are lo = t pâă â (foarte rapi) se ajuge la atigerea oiţiei e ehilibru Câmpuri imprimate e otat 34 E = E i sau + E i = E. Aeste âmpuri sut loalizate î stratul e eomogeitate foarte subţire are separă ouă outoare iferite aflate î otat şi e aeea se mai umes şi âmpuri imprimate pe iterfeţe. Daă se iau ouă outoare iferite şi iiţial (â sut separate) eîărate u sarii eletrie şi se pu î otat uul u altul (fig. 4.8) se va ostata apariţia uui âmp eletri foarte ites î stratul e otat itre ele ouă outoare pus î evieţă experimetal e existeţa uei ifereţe e poteţial ( V V ) ître aeste outoare. Di putul e veere mirosopi expliaţia aestui feome ostă î faptul ă asupra partiulelor elemetare libere i stratul e eomogeitate se exerită forţe e atură eeletriă atorită agitaţiei termie. Dar i auza eomogeităţii materialului aeste forţe u se ompesează î meie (eoaree ioirile itre Fig. 4.8 partiule u se prou simetri î ele ouă ireţii). Ca urmare âmpul eletri imprimat orespuzător forţei e ioire rezultate-meii este foarte ites se loalizează îtr-u omeiu plat foarte îgust (subţire) şi etermiă o tesiue eletromotoare ître ele ouă outoare î otat ată e relaţia e efiiţie (4.3 ) aiă: D (4.7) e = E i l
21 umită tesiue imprimată e otat. Î mometul realizării otatului eletroii liberi i outorii metalii supuşi aţiuii forţelor eeltrie tre itr-u outor î elălalt; aeastă separare a sariilor eletrie etermiă apariţia uui âmp eletri (oulombia) E are opreşte otiuarea treerii eletroilor aşa um se arată î figura 4.9. Pri apariţia âmpului eletri E a ărui itesitate reşte pâă la stabilirea oiţiei e ehilibru (4.6 ) rezultâ (la E = E i ): e = E i l E C = l = U = U = V V. (4.7 ) La treerea pri stratul e otat itre ouă outoare se îtâleşte ei u prag aiă o ifereţă e poteţial egală şi e ses otrar u tesiuea eletromotoare e otat (4.7). Aeste ifereţe e poteţial (4.7 ) se umes tesiui e otat sau poteţiale e otat. Câmpuri imprimate voltaie Câmpurile imprimate e otat are se prou la otatul a ouă metale iferite e se Fig. 4.9 găses la aeeaşi temperatură şi u sut supuse aţiuii vreuui aget exter (raiaţii eformaţii meaie et.) se umes âmpuri imprimate voltaie şi se atores uui feome fizi atural umit efetul Volta. u = are apare î azul efetului Volta se umeşte tesiue Tesiuea e otat voltaiă. Valoarea ei epie umai e atura elor ouă metale aflate î otat şi e temperatură. Astfel outorii metalii (outori e speia îtâi are u suferă trasformări himie â sut î stare eletroietiă) se pot araja îtr-u şir oroat î aşa fel îât orie outor î otat u el e urmează î şir se îară egativ iar î otat u el e îl preee se îară pozitiv. Aeastă îşiruire oroată e elemete himie metalie poartă umele e seria voltaiă u exemplu u âţive termei ai aestei serii fii: (+) Al Z S C Pb Sb Bi Hg Fe Cu Ag Au Pt P ( ). Petru âmpurile imprimate voltaie s-a stabilit experimetal o lege e material eumită legea âmpurilor imprimate voltaie are se exprimă pri relaţia: e Γ E iv l = Γ Ωm (4.8) ue E iv reprezită itesitatea âmpului imprimat voltai şi are arată ă t.e.m. a aestui âmp este ulă e-a lugul oriărui otur îhis Γ us pri outorii metalii ( Ω m ) aflaţi la aeeaşi temperatură şi fără să fie supuşi vreuei aţiui fizie i exterior. Astfel aă există u laţ îhis e orpuri metalie (outoare) iferite suma t.e.m. a âmpurilor voltaie itre perehile e outoare î otat e-a lugul îtregului laţ este oform legii (4.8) egală u zero: e + e3 + + e + e =. (4.8 ) Ca urmare a relaţiilor (4.8) rezultă faptul ă îtr-u laţ îhis e outoare metalie iferite aflate la aeeaşi temperatură fără iflueţe fizie exterioare (raieri eformaţii flux mageti variabil î timp et.) şi imobile u se poate obţie o stare eletroietiă (u uret eletri e ouţie) tesiuile eletromotoare e otur fii ule î aest az pe orie rum îhis Γ Ωm. Legea (4.8) este o oseiţă iretă a elui e-al oilea priipiu al termoiamiii priipiu are exprimă imposibilitatea e a se proue luru meai î proese ilie pe seama 35
22 ălurii uei surse (orpuri) e temperatură ivariabilă (aşa um este temperatura ambiată î azul împurilor imprimate voltaie). Totuşi petru a se proue tesiui eletromotoare ale âmpurilor imprimate e otat există el puţi următoarele posibilităţi: - realizarea (i exterior) a uei temperaturi euiforme a outorilor metalii Fig. 4. î otat (efetul Seebek); - itrouerea î laţul îhis e outoare metalie şi a el puţi uui outor eletroliti (e speia a oua) î are se prou efete eletrohimie (trasformarea eergiei reaţiilor himie î eergie eletro-magetiă); - exeritarea uor aţiui fizio-meaie i exterior a e exemplu iraierea lumioasă a orpului outor şi/sau semioutor (efetul fotoeletri). Câmpuri imprimate termoeletrie e otat Sut âmpuri imprimate prouse pri feomeul atural eumit efet Seebek are se proue aă se formează u iruit outor îhis pri suarea la apete a ouă outoare i metale iferite (e exemplu: aliajul ostata u fier) şi se îălzes aeste suuri astfel îât ele să se afle la temperaturi iferite e exemplu T a > Tb (fig. 4.). U astfel e sistem mai preis ouă outoare metalie iferite suate la u apăt şi libere la elălalt poartă eumirea e uplu termoeletri sau termouplu. Î figurile 4. şi 4. sut reprezetate e fapt ouă termouple (a şi b) oetate î serie. Î aest az î iruitul lor se proue u regim eletroieti (staţioar aă ifereţa e temperaturi Ta Tb se meţie ostată î timp) regim araterizat e u Fig. 4. uret eletri e ouţie. Î azul laţului îhis e ouă termouple i figuura 4. tesiuile eletromotoare ale âmpurilor imprimate e otat are apar î ele ouă suuri sut iferite astfel îât e-a lugul uui otur Γ îhis pri iteriorul elor ouă outoare se obţie o t.e.m. e otur iferită e zero: e = E i l = E i l + Γ E i l = e( Ta ) + e( Tb ) Ta Tb Γ Γa : Γb : sau: (4.9) eγ = e ( Tb ) e( Ta ) = Ub Ua Ta Tb. Apliaţiile lasie ale termouplelor sut îtâlite la alimetarea a sursă eletriă e uret otiuu a aparatelor eletroie portabile folosite î situaţii mai aparte (e exemplu u reeptor e televiziue al uei expeiţii restrâse -pe muţi îalţi pe bahize e gheaţă pe plute î elte şi fluvii et.- îălzirea făâu-se e la u opaiţ (!) avâ rept ombustibil grăsime aimală e poate fi prourată hiar e la faţa loului) şi -mai ales- a trautoare e temperatură î speial petru urmărirea etralizată (e la tablouri i staţii e ispeer sau pri fişiere meţiute la zi e sisteme e alul are preiau tesiuile eletrie e la termouple pri plăi e ahiziţie a atelor). Î figura 4. este reprezetată shema uui az simplu e măsurare a temperaturii Ta Tb pritr-u termouplu şi u voltmetru e iiă tesiuea Ub U a tesiue are prati (îtr-u iterval e tesiue preizat) este proporţioală liiar u ifereţa e temperatură. 36
23 Î tabelul 4. sut prezetate t.e.m. prouse e trautoarele termoeletrie (u termouplu) e tip lasi. Termouplu Costata upru Costata romihel Costata fier Nihel romihel Plati platiroiu* Iriiu iriiuroiu Wolfram- wolframmolibe Trautoare termoeletrie lasie Gama e temperatură - C C - C... 9 C - C... 8 C 3 C... C 6 C... 6 C... 4 C...3 C Tabelul 4. Tesiuea eletroietiă prousă petru Ta Tb = C [mv] *Termouplul Pt Pt 9 Rh u gama la 7 C este el mai stabil termouplu şi e aeea a fost utilizat la stabilirea sării iteraţioale e temperatură ître 635 C şi 63 C. Câmpuri imprimate galvaie Se prou î laţul e outoare formate i: - ouă outoare metalie iferite (î figura 4. s-a osierat exemplul: zi şi upru outoarele metalie şi ); - u outor eletroliti (î figura 4. s-a osierat exemplul: soluţie apoasă iluată e ai sulfuri eletrolitul 3). Exemplul i figura 4. u oi outori metalii (e speia I) şi şi u al treilea eletrolitul 3- u outor e speia a II-a (î are se prou reaţii himie) poartă umele geeri e elemet galvai sau pilă galvaiă sau pilă eletriă. Î astfel e elemete se prou âmpuri imprimate e otat (pe iterfeţe) eumite âmpuri imprimate galvaie eumire geeriă petru orie âmp imprimat prous la otatul itre u metal (aiă u outor e speia I) şi u eletrolit (outor e speia a II - a ). Daă borele pilei galvaie sut oetate pritr-u al patrulea outor (4) se proue î îtreg sistemul o stare eletroietiă atorită faptului ă î Fig. 4. aest az t.e.m e otur (e-a lugul uei urbe îhise Γ e tree pri outoarele 34 şi borele + -) este iferită e zero: eγ = Ei l = e + e + e. Γ Ultimul terme: e 4 = e4 + e4 reprezită t.e.m e otat voltai (ître outoare e speia I u temperatură uiformă) are îeplieşte oiţia: e 4 + e4 = e şi atui expresia t.e.m e otur e Γ preeetă evie: e = e + e + Γ 3 3 e
24 şi reprezită t.e.m. a elemetului galvai ea fii şi U = aiă tesiuea la borele + + i ale pilei la aşa-zisul mers î gol (v. subap. 4.4) aiă atui â uretul eletri pri pila galvaiă este zero. Îtr-o primă formă simplifiată prouerea tesiuii e otat galvai poate fi expliată pri raportul are se reează î azul itrouerii uui orp metali îtr-o soluţie (eletrolit) î are existau (î prealabil) ioi ai metalului ître presiuea e izolvare şi presiuea osmotiă e apar î aest az. Î legătură u aest raport pot exista eviet ouă situaţii: o. presiuea e izolvare a metalului p are exprimă atitativ feomeul atural e a trimite î soluţie ioi pozitivi este mai mare eât presiuea osmotiă p o (e ifuzie î metal a ioilor metalului aflat î eletrolit). Aeastă ifereţă se traue pri forţe loale (eeletrie) e se exerită asupra ioilor are prou u âmp imprimat. Î azul aesta (î are p > po ) ioii pozitivi părăses metalul are rămâe îărat egativ iar soluţia se îară pozitiv. Ca urmare se stabileşte şi u âmp eletri oulombia E î stratul e otat u sesul spre metal are otrar lui E i oform euaţiei e ehilibru (4.6 ) se opue otiuării treerii ioilor pozitivi î soluţie. Aest az este ilustrat shemati î figura 4.3 ue s-a osierat u eletro metali e zi itrous îtr-u eletrolit format i soluţie e sulfat e zi; o. presiuea e izolvare a metalului este mai miă eât presiuea osmotiă a ioilor metalului i eletrolit. U astfel e az se îtâmplă e exemplu la itrouerea uei bare e upru îtr-u eletrolit format i soluţie e sulfat e upru (fig. 4.4). Î aeastă situaţie metalul se îară u sariă eletriă pozitivă iar soluţia (eletrolitul) evie eletri egativă pri + treerea ioilor pozitivi e upru ( Cu ) i soluţie î metal. Fig. 4.3 Fig. 4.4 O pilă galvaiă este formată î geeral itr-u vas împărţit î ouă ompartimete pritr-u perete poros; fieare ompartimet oţie âte u eletro metali iferit şi u eletrolit u ioi pozitivi e-ai metalului î are este afuat eletroul (v. exemplul i 4.6.3). Î prezet pilele galvaie (sub forme ostrutive şi eumiri extrem e iverse) sut mult utilizate a surse eletrie e uret otiuu petru alimetarea aparaturii eletroie portabile şi î multe alte azuri (v ): autovehiule alimetare eletriă e rezervă et. Câmpuri imprimate fotovoltaie Se bazează pe feomeul fotoeletri (v. Fizia) a efet fotoeletri iter îtr-u strat e baraj pri are se prou âmpuri imprimate la suprafaţa e separaţie itre u semioutor şi u metal sau la suprafaţa e separaţie itre ouă semioutoare e tipuri iferite (o joţiue p) sub aţiuea eergiei lumuoase a uui flux e lumiă e iraiază suprafaţa. Câmpul imprimat î astfel e azuri se umeşte âmp imprimat fotovoltai. Eergia lumioasă (a fotoilor iieţi) este trasmisă pri stratul e baraj eletroilor i metal îsă eoaree stratul e separaţie semioutor are proprietăţi e outibilitate uiireţioale eletroii tre mai uşor îtr-u ses eât î elălalt. Aeastă 38
25 isimetrie este ehivaletă existeţei uor forţe eeletrie meii eompesate î ele ouă sesuri aiă uui âmp imprimat (umit î aest az fotovoltai). Î prezet efetul fotoeletri şi fotoelemetele (bazate pe âmpul imprimat fotovoltai) uos umeroase şi importate apliaţii tehie (v ) a e exemplu bateriile solare (utilizate la alimetarea u eergie eletriă a sateliţilor artifiiali sau a automobilelor epoluate aflate îă î staiu e experimet sau hobby ) şi fotoelemetele e tip ispozitiv optoeletroi utilizate î iruitele eletroie ale uor sisteme e automatizare. Î paragraful vor fi prezetate ouă tipuri istite e fotoelemete (u trautor fotovoltai u strat e baraj şi u fotoelemet utilizat a ispozitiv optoeletroi) Efetele eergetie ale âmpului imprimat După um se ştie (v..3.) î regim eletroieti (u J ) î outoare se prou trasformări e eergie are loal se exprimă pri legea (.3 ) aiă p = E J are etermiă esitatea e volum a puterii trasformate î outori [î W/m 3 ] î fuţie e valorile i putul osierat al vetorilor itesitatea âmpului eletri E [î V/m] şi esitatea uretului eletri e ouţie J [î A/m ]. Î azul geeral al outorilor eomogei şi u euiformităţi (e aeleraţie temperatură oetraţie tesiui meaie iraieri et.) aiă î prezeţa uui âmp imprimat u itesitatea loală E i âmpul eletri i putele meiului outor are strutura (.8E) şi aume: E E + E ( E + E i ) J = i astfel ă forma loală a legii trasformării e eergie evie: p = şi ţiâu-se seama şi e legea ouţiei eletrie sub forma ei loală (.95): E = ρ J rezultă ă esitatea e volum a puterii e se trasformă loal î outori are şi expresia: p = E J = ( E + E i ) J = E J + E i J = ρ J J + E i J = ρ J + E i J. Pri urmare aşa um s-a mai arătat î paragraful.3. esitatea e volum a puterii e se trasformă î outori are oi termei (ouă ompoete): uul ρ J (are este îtoteaua pozitiv eoaree J > aă J ) reprezetâ esitatea e volum a puterii isipate î outori sub formă e ălură şi altul E i J (are atorită faptului ă E i = E are semul mius faţă e termeul ρ J ) reprezetâ efetul eergeti (sub forma esităţii e volum a puterii) al âmpului eletri imprimat. Deoaree âmpul imprimat este speifi surselor eletrie (geeratoarelor) aest terme se otează ueori u p = E i J şi î relaţia preeetă apare u semul mius. Disipaţia ireversibilă loală e putere g ρ J se fae pe seama puterii loale a âmpului eletromageti are piere aeastă putere (iiferet e sesul vetorului J ) e se trasformă î putere aloriă eată meiului ambiat. De aeea aeastă ezvoltare e ălura este arateristiă stării eletroietie a outorilor (aă u sut î starea limită e supraoutibilitate â ρ = şi atui impliit ρ J = stare e u poate exista î mo obişuit) şi poartă umele e efetul termi (ireversibil) al eletroietiii sau efetul eletroalori sau efetul Joule. Compoeta p = E i J are se ometează î aest paragraf poate fi pozitivă sau > < g egativă ( E i J ) ea reprezetâ esitatea e volum a puterii eate e sursele e âmp 39
26 eletri imprimat şi primită e âmpul eletromageti. Iterpretarea fiziă a sesului shimbului e putere sursă âmp este ată e semul expresiei E i J preum urmează: - aă vetorii E i şi J au aelaşi ses şi ei prousul lor salar este strit pozitiv ( E i J > ) puterea pg = E i J este efetiv eată e sursă şi primită (asimilată) e âmpul eletromageti. Aest proes are lo î orie pilă eletriă are îtreţie starea eletroietiă prouâ eergie eletromagetiă i eergia himiă iterioară (e se ezvoltă î sursă); - aă vetorii E i şi J au sesuri opuse atui p g < şi aeastă putere este primită efetiv e sursă ăreia îi este eată (trasferată) e âmpul eletromageti. O astfel e situaţie se îtâmplă e exemplu la îărarea uui aumulator eletri (v ) â eergia eletromagetiă este trasformată î eergie iterioară e legătură himiă (trasformări himie) i aumulator. Î fuţie e atura âmpului imprimat E i are etermiă prouerea trasformării e eergie i outori u esitatea e volum a puterii p g există mai multe situaţii osierate a efete eergetie ale eletroietiii asoiate âmpului imprimat prezetate pe surt î otiuare. Efetul eletrohimi. El se proue atui â E i este e atură galvaiă az î are p g este esitatea e volum a puterii are orespue trasformării eergiei himie î eergie eletromagetiă (â p > ) sau ivers (atui â p < ). g Efetul Peltier. Are lo atui â âmpul imprimat este e atură voltaiă ( E iv ) orespuzător efetului termoeletri e otat. Î aest az este p g esitatea e volum a puterii alorie trasformată reversibil î putere eletromagetiă atui â p g > la suura ală a uui termouplu e ebitează eergie eletriă. Are lo şi o trasformare iversă (â p < ) la suura ree a uplului termoeletri aflat î regim eletroieti. g Efetul Thomso. Daă E i este u âmp imprimat termoeletri e volum (v. fig. 4.7 î 4.3.) atui E i J > este esitatea e volum a puterii alorie trasformată reversibil î putere eletromagetiă sau ivers (aă E i J < ). După um se ostată aeste efete sut reversibile îtoteaua î azul efetelor eletroalorie (Peltier şi Thomso) şi umai î azul aumulatoarelor (v. 4.6.) î azul efetului eletrohimi Câmpul eletroieti staţioar Cosierâu-se oţiuile e âmp î aepţiuea sa matematiă (v...) se efieşte âmpul eletroieti staţioar a fii mulţimea mărimilor e stare eletriă loală itr-u omeiu u meiu outor Ω : - a orpurilor outoare: q v (salarul esităţii e volum a sariii eletrie) şi J (vetorul esităţii uretului eletri e ouţie) are satisfa oiţiile Ω J ( P) ( P) / t P Ω J t ost.; E s P = î P Ω u rot E i ( P) = î P Ω şi V (salarul poteţialului eletri staţioar) are satisfae teorema expusă la paragraful 4.4. ître aeste ouă mărimi e stare existâ 4 g P q v î şi ()= - a âmpului eletromageti sub aspetul stării eletroietie: E (vetorul itesităţii âmpului eletri) u strutura E = E + E + E î are P Ω ue E i ( P) = ost. şi ( ) i s t
27 relaţia E = gra V iar prousul salar itre E şi J (e exprimă esitatea e volum a puterii trasformate î outori) este E J = ost. P Ω preum şi E()= t ost. şi ()= t t V ost. Daă se osieră u sistem e orpuri (outoare) aflate î stare eletroietia (v... aliiatul Starea eletroietiă ) pusă î evieţă pri efete eletroietie (v... pasajul efete eletroietie ) atui regimul staţioar al stării eletroietie (regimul eletroieti staţioar) se umeşte regimul aelei stări eletroietie araterizate pri mărimi e stare ostate î timp şi efete eletroietie ivariabile î timp. Pe baza aestei efiiţii se eu i legile teoriei marosopie a âmpului eletromageti (v. subap..3 şi 4..) următoarele relaţii fuametale e esriu (moelează) regimul eletroieti staţioar: - teorema poteţialului eletri staţioar (v. 4..) şi aume: Γ 4 E l = Γ Ω (4.) petru u otur îhis Γ sau: rot E = P Ω (4. ) are rezultă i legea iuţiei eletromagetie (v..3.7); - teorema uretului eletri e ouţie staţioar: J = γ ( E + E i ) u preizarea J ( t) = ost. oform legii loale (.95) a ouţiei eletrie; - teorema otiuităţii liiilor e uret (v. 4.4.) şi aume: q i = = Ω Ω t are rezultă î oiţiile regimului eletroieti staţioar i legea oservării sariii eletrie (v..3.9) ue i este îtesitatea uretului eletri e ouţie pritr-o suprafaţă îhisă oareare i outoare ( Ω ) şi ieletrii Ω. Aeastă relaţie are se mai poate srie şi sub forma: i = J A = ivj v = arată ă: iv J = P Ω aiă î orie put i omeiul outor î regim eletroieti staţioar J = (ivergeţa esităţii uretului eletri e ouţie este ulă peste tot) Teorema poteţialului eletri staţioar Î oiţiile partiulare ale regimului eletroieti staţioar araterizat upă um s-a preizat la îeputul aestui subapitol pri: v J J ()= t ost. E = E + E i şi E l = (4.) u tot araterul estati al aestui regim (eoaree J = şi a urmare i = J A ) experieţa arată ă î orie situaţie orie sistem eletroieti staţioar umit şi e uret i ost. = I ) avâ outoare imobile se meţie araterul poteţial (4. ) al itesităţii âmpului eletri (pri rot E = ). otiuu (petru ă J ()= t ost. şi impliit ( t) = Γ
28 Atui se poate formula teorema poteţialului eletri staţioar sub forma: tesiuea eletromotoare a âmpului eletri E aiă itegrala urbiliie pe o urbă îhisă Γ a vetorului itesitatea âmpului eletri (u oiţia a E i ( P) = î P Γ ) este îtoteaua ulă: Γ (4.) E l = Γ Ω u ( ) = E i P î P Γ. Pri urmare âmpul eletri î regim eletroieti staţioar are aeleaşi proprietăţi a şi âmpul eletri oulombia şi va fi otat şi î aest apitol u E. Tesiuile eletromotoare i âmpurile eletrie staţioare şi i outoarele imobile (are au E s = ) rezultă i teorema (4.) şi relaţia (.8E) ă provie exlusiv i âmpurile eletrie imprimate. Îtr-aevăr oform efiiţiei (4.3) t.e.m. e-a lugul uui otur Γ itru outor î stare eletroietiă staţioară este: D ( E C + E i ) l = E C l + E i l = + E i l = E i l e = Γ Γ Γ Teorema (4.) a poteţialului eletri staţioar are oseiţele: - î outoarele aflate î stare eletroietiă staţioară tesiuea eletriă u epie e rum: D (4.) E l = U AB = VA VB Γ Ω ; Γ: A B - se poate efii î fieare put P al outorului aflat î regim eletroieti staţioar u poteţial eletri salar: (4.) ( ) = ( ) Γ P sau: V P D V P E C l (4. ) VP = V C E l Γ : P V este poteţialul eletri ales a referiţă; ue ( P ) V D - itesitatea âmpului eletri E erivă i aest poteţial: (4. ) E = gra V. Deoaree oform legii (.95) a ouţiei eletrie î orie put al uui outor aflat J = γ E + E i atui eoaree î regim eletroieti (ei şi î iteriorul lui) există relaţia ( ) γ > şi J rezultă ă şi E + E i aiă î regim eletroieti u mai este valabilă oiţia e ehilibru eletrostati (.34). Î aeste oiţii tesiuea eletriă U AB ître ouă pute A şi B ale uui traseu Γ pri outor sau pe suprafaţa lui are se etermiă u relaţia (4.) este (osierâ outorul pasiv: E i = î P Γ ): D U AB = E l = γ γ > Γ : J l J A C B Γ : A B eea e îseamă ă U AB = VA VB şi pri urmare VA VB î P Γ. Rezultă ă î regim eletroieti staţioar (u J ) volumul outoarelor şi suprafeţelor e le elimitează u sut ehipoteţiale. Ca urmare eoaree E = grav vetorul itesităţii âmpului eletri u este ormal pe suprafaţa laterală a outorului petru ă aeastă suprafaţă u este ehipoteţială i î lugul ei se proue o ăere e poteţial V (fig. 4.5). : P Γ Γ. 4
29 Aeeaşi oluzie rezultă şi aă se pleă e la relaţia (4. ) şi aume rot E = are impliă oservarea ompoetelor tageţiale ale âmpului eletri pe suprafaţa e isotiuitate itre outor şi ieletri (v..4.) are arată ă î azul i figura 4.5 ompoeta E t şi ei liiile e âmp sut îliate faţă e ormala la suprafaţa outorului aflat î regim eletroieti Teorema otiuităţii liiilor e uret Deoaree î regim eletroieti staţioar saria eletriă q este ostată î timp (a şi esitatea ei e volum q = ost. ) rezultă ă v t q / t = (a şi q v / t = ) eea e fae a î azul sistemelor aflate î regim eletroieti staţioar u omeiul Ω legea geerală a Fig. 4.5 oservării sariii eletrie (v..3.9) aiă i = q / t sub forma globală (petru orie suprafaţă îhisă uprisă î Ω ) sau iv J = qv / t sub forma loală (petru orie put P al lui Ω ) să ia formele partiulare: I = sau J A = Ω (4.3) şi loal: iv J ( P) = P Ω (4.3 ) Relaţiile (4.3) şi (4.3 ) sut forme ale teoremei otiuităţii liiilor e uret (a axe ale uor tuburi ilirie î lugul outorilor pri are fluxul esităţii e uret aiă itesitatea uretului I este egal u uitatea). Forma (4.3) î are sesul e referiţă al lui I = J A este sesul versorului ormalei la suprafaţa îhisă arată ă: itesitatea uretului otiuu (otat aii u litera I ) pri orie suprafaţă îhisă i omeiul î ouţie osierat este îtoteaua ul ( I = ) eea e îseamă ă liiile e uret otiuu sut liii îhise (fapt exprimat şi loal e iv J = ). Coseiţe ale aestei teoreme sut următoarele: - uretul otiuu (e ouţie) are aeeaşi itesitate e-a lugul uui tub e uret mai preis e-a lugul uui outor eletri: J A = J A = K = J A (4.4) A A ue A k k = sut ariile uor seţiui use pri outor. Îtr-aevăr aă se osieră u tub e liii e uret (aşa a î figura 4.6) se apliă teorema (4.3) suprafeţei formată i suprafeţele frotale şi suprafaţa laterală l (astfel ă = l ) şi se ţie seama e faptul ă J A = J A = (eoaree J = J os π / = ) se obţie: J A = J A + J A + l J A = A J A + l l J A =. (4.4 ) 43
30 Î aeastă ultimă relaţie fluxul lui J pri este uretul I J A = J A = = J os π A = J A = I şi J A = J A = J os A = + J A = I = (eoaree versorul ormalei la suprafeţele şi l are sesul spre exteriorul lui v. fig. 4.6). Cu aestea relaţia (4.4 ) evie: (4.4 ) I = I + I = sau I = I oform relaţiei (4.4). Pri urmare relaţia (4.4 ) arată ă î lugul uui orp outor fără ramifiaţii aflat î stare eletroietiă staţioară itesitatea uretului eletri e ouţie este aeeaşi; - esitatea e uret este tageţială la suprafaţa uui uui outor aflat î stare eletroietiă staţioară (î uret otiuu). Aeasta rezultă i faptul ă petru suprafaţa laterală a outorului l (v. fig. 4.6) se poate srie: l J A = J A = J os π / A = l şi a urmare: (4.5) J = J os π / = J = J = J l t ue J t este ompoeta tageţială a lui J la suprafaţa laterală a outorului î stare eletroietiă staţioară. Relaţia (4.5) se poate emostra apliâ teorema (4.3) uei mii suprafeţe ilirie plate îhise il u suprafaţa laterală lat perpeiulară pe suprafaţa a outorului (fig. 4.7) extrem e îguste (u h ) feţele şi fii prati lipite e (e-o parte şi e alta a sa). Astfel fluxul vetorului J pri suprafaţa il = lat are îhie o suprafaţă miă A pe (v. fig. 4.7) este: Fig. 4.7 Fig. 4.6 I = J A = J A + J A + J A = J A = il lat ( J ) A = = J A = J A = eoaree: suprafaţa fii lipită e pe partea i ieletri are î toate putele sale pe J = şi atui: J A = ; suprafaţa laterală lat fii extrem e îgustă (la limită h ) itegrala lui J extisă la o suprafaţă prati ulă este J A = ; lat rămâe atui umai fluxul pri suprafaţa lipită e pe partea i outor a ărui itegrală se extie la aria A (v. fig. 4.7) astfel ă: 44
31 il J A = J A = 45 ( J ) A = şi eoaree A rezultă impliaţia A J = sau J = J = aiă relaţia e trebuia emostrată (4.5). Petru ă J = J + J t t (ue t este versorul tagetei la ) rezultă ă pe suprafaţa outorului î regim eletroieti eoaree J = esitatea e uret este J = J t t fii tagetă la ; - pe suprafaţele e isotiuitate (fig. 4.8) itre oi outori u outivităţi iferite ompoeta ormală a esităţii e uret se oservă aiă: J = J. (4.6) Sriiu-se fluxul pri suprafaţa îhisă î formă e iliru aplatisat e îhie o arie A pe suprafaţa e isotiuitate (v. fig. 4.8) rezultă: J A + J A = şi (eoaree = = ) J J = J = J. Î reţelele filiforme e uret otiuu (v. subap. 8.3) teorema otiuităţii liiilor e uret sub forma (4.3) se apliă î putele e ramifiaţii ale laturilor (la ouri) şi poartă eumirea e teorema îtâi a lui Kirhhoff. Î regim eletroieti estaţioar u ât E () t şi a urmare J () t are o viteză e variaţie î timp mai mare (î regim alterativ o freveţă e repetiţie f mare) itesitatea uretului eletri e ouţie (pri valoarea sa efetivă v. subap. 8.5) poate să varieze î lugul uui outor Fig. 4.8 filiform astfel ă teorema otiuităţii liiilor e uret u mai este valabilă iar relaţia (4.6) u se mai poate aplia fii îlouită u expresia ( J J) = qa / t (î meii imobile) ue q A este esitatea e suprafaţă î putele P ale sariii eletrie Teorema uiităţii etermiării âmpurilor eletroietie staţioare Aeastă teoremă se euţă î felul următor: âmpul eletroieti staţioar itr-u meiu outor Ω a ărui outivitate γ ( P) sau rezistivitate ρ ( P) î P Ω este ată avâ valori iepeete e itesitatea âmpului eletri E pe suprafaţa e elimitează outorul ât şi e esitatea e uret J fii astfel u meiu liiar osierat şi izotrop este ui etermiat aă se uos: (a) repartiţia âmpului imprimat î Ω : E i ( P) î P Ω (b) poteţialul eletri V ( P) sau ompoeta ormală J ( P) a esităţii e uret pe suprafaţa e elimitează outorul aiă î P = Fr ( Ω ). Petru a se emostra aeastă teoremă se presupue ă î P Ω ar exista ouă soluţii iferite ua otată u iiele şi alta u iiele are satisfa simulta aeleaşi oiţii e uiitate (a) şi (b). Daă se va ovei ă aeste soluţii sut ietie atui teorema euţată aterior este aevărată. De aeea se va osiera ă ele ouă soluţii (reprezetate pri mărimile e stare eletroietiă: J esitatea e uret i putele outorului şi V poteţialul eletri staţioar i toate putele omeiului âmpului) au ouă valori: J şi J V şi V î aelaşi put P Ω şi se va etermia erivata lor î raport u ooroatele uui sistem e referiţă
32 petru toate putele P i Ω pri alularea următoarei itegrale e volum (extisă la volumul v Ω oupat e meiul outor Ω ): J J V V v. (TU.) [( ) ( )] vω Apliâu-se regulile e erivare ale uui prous e fuţii expresia (TU.) evie: (TU.) vω = vω = = [( J J ) ( V V )] v = [( V V ) ( J J ) + ( J J ) ( V V ) ] [( V V ) iv ( J J ) + ( J J ) gra( V V )] v = ( J J )( E E ) vω vω ( J J ) [( ρ J E i ) ( ρ J E i )] v = ρ ( J J ) + ( E i E i ) ρ ( J J ) v vω Narativ aeastă teoremă se formulează î felul următor: îtr-u meiu outor liiar şi izotrop îsumării uor grupuri e oiţii e uiitate îi orespue o soluţie egală u suma soluţiilor ate e ătre fieare grup e oiţii e uiitate aţioâ separat. Astfel fieărui grup e oiţii e uiitate existet separat: 46 vω v [ ] u justifiările: ( J J ) = iv ( J J ) = iv J iv J = eoaree oform teoremei (4.3 ) iv J = î regim eletroieti staţioar ; ( V )= gra ( V )= gra V E E = E V V = E [( ρ J E i) ( ρ J E i )] = [ ρ ( J J ) + ( E i E i) ] = ρ ( J J ) Ω v = v = V gra ( ) ( ) = = petru ă î oformitate u oiţia e uiitate (a) âmpul imprimat s-a at pritr-o sigură valoare şi ei E i E i = iar oform legii (.95) a ouţiei eletrie aiă EC + Ei = ρ J rezultă: ( ) E Pe e altă parte expresia (TU.) se poate srie pri apliarea formulei (9.) a lui Gauss- Ostrograski şi sub forma: = ρ J E i. (TU.3) vω = = vω [( J J ) ( V V )] v = ( V V ) [ ( J J )] ( )[ ( )] Ω V V iv J J v = ( V V )( J J ) v = A = v = ( V V )( J J ) A = ( V V )( J J ) A = ( V V )( J J ) A = v = Fr Ω u justifiarea ă fii versorul ormalei la suprafaţa J = J şi J = J ue J şi J sut ompoetele ormale la ale esităţii e uret are oform oiţiei e uiitate (b) J = sut ate pritr-o sigură valoare î fieare put P astfel ă J şi ei expresia (TU.) este egală u zero. Di ele e pâă aum reiese ă expresia (TU.) are şi o altă formă (TU.) şi este şi egală u zero eea e îseamă ă şi expresia (TU.) este e asemeea egală u zero aiă: = ρ J J v J J = ei J = J P Ω eoaree ρ >. vω ( ) = Fr Ω Rezultă ă î oiţiile e uiitate (a) şi (b) î toate putele omeiului outor o sigură valoare a soluţiei teorema fii astfel emostrată Teorema superpoziţiei âmpurilor eletroietie staţioare Ω se obţie
33 { E ik V } k = K u = Fr Ω k îi orespue soluţia: Ek J k Vk k = K iar uei oiţii e uiitate egală u suma grupurilor e oiţii e uiitate aiă: E ik Vk (C) k= k= îi orespue soluţia: E = E k J = J k V = Vk (S) are este suma soluţiilor etermiate e fieare grup e oiţii e uiitate î parte î aelaşi sistem outor liiar Ω. Î fo aeastă teoremă este oseiţa faptului ă meiul î are se proue regimul eletroieti staţioar este u meiu liiar are ei permite apliarea priipiului superpoziţiei oretizat î moele pri proprietăţile e asoiativitate omutativitate şi istributivitate. Coiţiile e uiitate e etermiă soluţiile (S) sut: E i = ρ J E = ρ k= J k k= E k 47 = ( ρ J k E k ) = şi (4.7) V = V k = Vk k= k= aiă oiţiile îsumate (C). Î aest fel relaţiile (4.7) pot reprezeta u moel formal al teoremei superpoziţiei âmpurilor eletroietie staţioare i meii outoare liiare Teorema refraţiei liiilor e uret îregim eletroieti staţioar Î putele P ale uei suprafeţe e isotiuitate e separă ouă meii outoare iferite u outivităţile γ γ îsă ambele liiare şi izotrope aă î aeste pute u există âmp eletri imprimat E i ( P) = î P atui liiile e uret pri vetorul esităţii uretului eletri e ouţie J şi pri itesitatea âmpului eletri e tip oulombia E = E (astfel ă aă E i = J = γ E ) se refrată î putele P (fig. 4.9) oform teoremei: tg α γ = (4.8) tg α γ î are (aşa um se arată î figura 4.9) α şi α sut ughiurile itre ormala loului (î putul P) la suprafaţa e isotiuitate şi vetorii esitate e uret şi itesitatea âmpului eletri i aest put aiă J J P E E P J = J P şi = ( ) şi = ( ) respetiv ( ) E ( P) E = e o parte şi e alta a suprafeţei. Demostraţia teoremei (4.8) se fae etermiâu-se expresiile tagetelor trigoometrie tg α şi tg α pri vetorii i putul P : J E J E şi ţiâ seama ă î regim eletroieti staţioar ompoetele tageţiale ale âmpului eletri şi ele ormale ale esităţii e uret se oservă pe suprafeţele e isotiuitate. Astfel: k= k= E ik Fig. 4.9
34 J t γ E t J t γ E t tg α = = ; tg α = =. J J J J Deoaree oform teoremei otiuităţii liiilor e uret (v. 4.4.) şi a relaţiei (4.6): J = J iar oform teoremei poteţialului eletri staţioar (4.) aiă E C l = are justifiă relaţia (.4) şi î regim eletroieti staţioar : E t = E atui va rezulta: t tg α γ Et / J γ Et J γ = = = tg α γ Et / J γ Et J γ teorema (4.8) fii astfel emostrată Eletroliţi De mai multe ori pâă aum (v. paragrafele: la subparagraful Câmpuri imprimate voltaie şi mai ales Câmpuri imprimate galvaie ) s-a utilizat oţiuea e eletrolit fără a se fae preizări sufiiete (e fieare ată îsă făâu-se petru etaliere trimiteri la prezetul subapitol) Coutori eletrolitii (e speia a II-a) Experieţa arată ă pri topirea la temperaturi îalte sau pri izolvarea î aumite meii (apă alool amoia ş.a.) uele substaţe evi outoare şi se umes outori eletrolitii sau eletroliţi sau outori e speia a II-a. Aeleaşi substaţe etopite sau eizolvate ar aflate î stare pură au outivitatea eletriă γ e obiei foarte miă u oriul e mărime speifi ieletriilor fii ei izolaţi. Î plus meiile lor e soluţie (aiă izolvaţii puri) au şi ei outivitatea eletriă e asemeea foarte miă eşi soluţia obţiută pri izolvarea substaţelor are o outivitate eletriă foarte mare evei outoare. Spre eosebire e altă speie e outori (metalele şi ărbuele) are au o outivitate eletriă mare î stare aturală (v...3 tabelul.3) şi are u suferă trasformări himie atui â sut î regim eletroieti outorii eletrolitii (eletroliţii) prezită u puteri efet eletrohimi atui â sut î regim eletroieti staţioar are se maifestă pri reaţii himie e esompuere a eletrolitului şi epueri e substaţe (v ). De aeea aeste ouă speii e materiale outoare au fost eumite şi grupate iferit: outori metalii sau e speia îtâi (a ăror stare eletroietiă u proue asupra lor efete himie) şi outori eletrolitii (eletroliţi) sau outori e speia a II-a (are aflate î regim eletroieti staţioar sufăr esompueri himie). Pri izolvare se proue isoiaţia eletrolitiă (v. 4.5.) atorită mişorării forţelor eletrostatie (oulombiee) e atraţie itre ioi î meiul ieletri u permitivitate iiţial mare a solvetului iar pri topire forţele e atraţie e tip eletrostati sut mult imiuate e mărirea (pri îălzire) a forţelor e agitaţie termiă. Mărimile (e material) speifie outorilor elettrolitii sut: - outivitatea eletriă ehivaletă otată u are reprezită outivitatea eletriă a eletrolitului la o aumită oetraţie; - outivitatea eletriă ehivaletă limită otată u are este outivitatea eletriă ehivaletă ea mai mare pe are o poate avea eletrolitul (eea e se îtâmplă atui â soluţia are iluţie / oetraţie ifiită); - graul e isoiaţie (v. 4.5.) otat u α şi efiit petru u eletrolit îtr-o soluţie pri raportul itre umărul e moleule isoiate şi umărul total e moleule izolvate D Γ aiă α = / poate fi îsă etermiat valori pri raportul outivităţilor ehivalete ale eletrolitului (efiite aterior) aiă: 48
35 α =. (4.9) După valoarea graului e isoiaţie outorii eletrolitii se împart î: - eletroliţi tari are au α > 5 î soluţii ormale; - eletroliţi slabi la are α < î soluţii ormale. Eletroliţii tari sut: aizii mierali oetraţi hiroxizii alalii şi alalio pămâtoşi preum şi majoritatea sărurilor mierale. Eletroliţii slabi sut aizii şi bazele mierale iluate (H S H CO 3 NH 4 OH ş.a.) aizii şi ompuşii orgaii isoiaţi şi uele săruri orgaie (a HgCl HgCN ş.a.a). După umărul e ioi formaţi pri isoiere (v ) există eletroliţi biari terari şi uaterari iar upă valeţa ioilor ei pot fi uiuivaleţi (um este lorura e potasiu izolvată î apă KCl) biuivaleţi (CaCl ) uibivaleţi(na SO 4 ) et. (v. Chimia fiziă) Disoiaţia eletrolitiă Simpla izolvare a uor substaţe iepeet e existeţa uui âmp eletri sursă eletriă sarii eletrie proes eletroieti et. poartă umele e isoiere eletrolitiă şi ostă î fapt î separarea î ioi a moleulelor uui eletrolit pri topire sau izolvare îtr-u solvet aevat. Spre exemplu aă îtr-u vas u apă se itroue sare e buătărie (ristal e NaCl) aeasta se izolvă aiă majoritatea moleulelor NaCl se esfa (se isoiază) î ioi e soiu u sariă eletriă pozitivă (eea e se srie: Na + ) şi ioi e lor u sariă egativă (Cl ). Aest proes e isoiere eletrolitiă se reprezită pri moelul: NaCl Na + + Cl ubla săgeată ( ) arătâ ă isoierea are u arater iami şi ireversibil î permaeţă moleulele isoiiu-se î ioi şi ioii reombiâu-se î moleulele e origie. Nu toate moleulele izolvate se şi isoiază. Di auza isoiaţiei eletrolitie se găses îă e la îeput î soluţia e eletrolit partiule îărate u sarii eletrie (ioi pozitivi şi egativi) are sut purtători e sariă î aeste meii eea e fae a eletroliţii să prezite o outibilitate ioiă. Disoierea îtr-u solvet oareare este î geeral u atât mai ompletă u ât permitivitatea solvetului pur este mai mare (e pilă la apa istilată himi pură permitivitatea relativă este e peste 8) az î are forţele oulombiee (eletrostatie) itre ioi se mişorează. Proesul e isoiere al moleulelor pri izolvare poate fi esris alitativ pri parametrul eumit gra e isoiaţie α are a fost efiit î paragraful preeet şi are se poate evalua atitativ pri raportul (4.9). Disoierea eletrolitiă se atoreşte faptului ă moleulele solvetului (e exemplu apa) slăbes forţele eletrie are leagă ioii substaţei e izolvat (î exemplul osierat aterior NaCl). Î geeral valoarea graului e isoiaţie α al uui eletrolit îtr-u solvet este etermiat e: oetraţia eletrolitului permitivitatea solvetului şi posibilitatea formării e legături ître moleulele solvetului şi ioi. Astfel istaţa meie itre ioi epie e oetraţia eletrolitului; e exemplu î soluţiile iluate istaţa itre ioi este mai mare eea e fae a forţa eletriă e atraţie să fie mai miă şi atui graul e isoiaţie reşte. Graul e isoiaţie reşte proporţioal u permitivitatea solvetului. Formarea e legături ître moleulele solvetului şi ioi măreşte graul e isoiaţie eoaree iametrul aparet al ioului se măreşte istaţa itre partiulele u sarii eletrie se măreşte şi astfel forţa eletriă e atraţie sae favorizâ isoiaţia. Formarea legăturilor este etermiată e polaritatea moleulelor solvetului; moleulele polare se orietează î jurul ioului u saria e sem otrar îreptată spre io. De exemplu î apă ioul H + u există a atare i sub forma ioului hiroiu H 3 O + proveit i aerarea protoului la o moleulă e apă. Apa aloolii uele etoe şi uii eteri au î iverse grae posibilitatea e a lega ioul H + u formarea ioului R OH + mări graul e isoiaţie. Astfel eşi aloolul 49
36 etili şi itrobezeul (a solveţi) au permitivităţi aproximativ egale aiul lorhiri (HCl) izolvat î alool etili se omportă a u eletrolit tare (u α > 5 ) î timp e î soluţie e itrobeze este u eletrolit slab (u α < ); eosebirea provie i formarea ioilor C H 5 OH + î alool etili are favorizează isoiaţia î timp e î itrobeze ioii H + rămâ a atare. Î sfârşit graul e isoiaţie reşte u mărimea umărului e moleule polare orietate î jurul ioului şi u reşterea imesiuilor moleulelor solvetului (eoaree se măreşte iametrul aparet al ioilor) preum şi u reşterea stabilităţii legăturii e hiroge. După moul e omportare al moleulelor solveţilor faţă e ioi se eosebes solveţi egalizatori (are favorizează isoiaţia puteriă a sărurilor e tipuri iferite atorită permitivităţii mari şi posibilităţii formării e ombiaţii u ioii egativi sau pozitivi ai eletrolitului) şi solveţi ifereţiali (are sot î evieţă eosebirile itre eletroliţii tari şi ei slabi). Pri isoiere pot rezulta ioi simpli (aşa a î exemplul at la îeputul aestui paragraf: NaCl Na + + Cl sau BaCl Ba ++ + Cl et.) sau ioi opmleşi a î exemplul: H [PtCl 6 H + + [PtCl 6 ] K 3 [Fe(CN) 6 ] 3K + + [Fe(CN) 6 ] et. Ioii ompleşi se pot forma şi î urma uei asoieri ître ioi sau ître ioi şi moleule eisoiate. O moleulă formată i oi ioi otaţi la moul geeri u M + şi A se poate isoia î mai multe feluri: - isoiaţie simplă simetriă (speifiă î speial soluţiilor iluate); MA M + + A ; - isoiaţie omplexă simetriă: 3MA MAM + + AMA ; - isoiaţie A esimetriă: MA M + + AMA ; - isoiaţie M esimetriă: MA A + MAM +. Disoiaţia eletrolitiă este u proes reversibil aiă MA M + + A iiat e săgeţile u sesuri otrare eoaree starea e ehilibru a soluţiei petru u aumit gra e isoiaţie α este e atură statistiă avâ lo î mo aleator isoieri şi reombiări simultae oiţioate e agitaţia termiă. De aeea isoiaţiei eletrolitie a proes reversibil i se poate aplia legea aţiuii maselor: [M + ][A - ] = K [MA] ue [M + ] este oetraţia ioilor pozitivi [A ] oetraţia ioilor egativi [MA] oetraţia moleulelor eisoiate şi K este eumită ostata e ioizare (e isoiaţie). Notâu-se u oetraţia globală a eletrolitului şi u α graul e isoiaţie se poate srie: [M + ] = α [A ] = α [MA] = (-α) şi atui rezultă: α (4.3) K = - α relaţie e exprimă legea iluţiei. Ţiâu-se seama e relaţia (4.9) prezetată î paragraful 4.5. itre graul e isoiaţie şi outivitatea ehivaletă ( ) legea iluţiei poare fi exprimată şi pri: (4.3 ) K = ( ) 5
37 relaţie are permite etermiarea ostatei e ioizare K umai pri măsurări e outivitate are pot fi efetuate u uşuriţă Eletroliza Eletroliza este eumirea oretă ată efetului himi al eletroietiii are se maifestă î sistemul fizi al outorilor eletrolitii (e speia a II-a). Mai preis eletroliza reprezită proesul irijării ioilor uui eletrolit (î soluţie sau topit) î âmpul eletri stabilit ître ouă outoare metalie (eumite eletrozi) fixate îtr-u vas î are se găseşte eletrolitul (eumit î apliaţiile pratie uvă eletrolitiă) şi oetate la borele uei surse eletrie e uret otiuu (fig. 4.) e exemplu u elemet galvai (iar iustrial la prouerea alumiiului şi uprului eletroliti la o staţie e reresare sau u grup overtizor ~ =) proes solat u epuerea e substaţă i eletrolitul aflat î uvă. Cei oi eletrozi se umes: ao (eletroul legat la bora + a sursei eletrie) şi ato (eletroul oetat la bora a sursei). Î aest fel uretul eletri e va arateriza regimul eletroieti prous î bula: sursă uvă eletrolitiă are sesul: î eletrolit e la ato la ao. Di aeastă auză ioii egativi (are se u la ao) se umes aioi iar ioii (pozitivi) are merg la ato se umes atioi. Ajuşi la eletrozi ioii sut eutralizaţi (se esară eletri) astfel ă pe eletrozi se epu moleule i substaţa aflată î eletrolit are î timp t şi proporţioal u itesitatea uretului Fig. 4. eletri I asoiat eletrolizei formează u strat e substaţă a ărui masă m este ată e: m = ki t are exprimă îtr-o formă mai oisă legea eletrolizei (uosută i.3.) şi î are k este ehivaletul eletrohimi al ioului osierat. Petru a eletroliza să se prouă trebuie a sursa e alimetare eletriă să asigure la borele eletrozilor o tesiue eletriă U ată e relaţia: U = E + U + U e + U f (4.3) ue: E este o mărime umită tesiuea e esompuere eletrolitiă (v ) U ăerea e tesiue pe otate şi î eletrozi U e ăerea e tesiue î eletroliţi şi U f ăerea e tesiue pe iafragma poroasă are î uele apliaţii e motată î elulele uvei. Valoarea ea mai mare eseţială o are E şi epie e eletrolit şi apliaţie Polarizarea eletrolitiă Daă o uvă eletrolitiă are eletrozi ietii (la îeputul eletrolizei) î eursul esfăşurării eletrolizei pri separarea ioilor şi epuerea lor la eletrozi faţa eletroului la otatul u eletrolitul îşi moifiă atura (himiă sau fiziă) astfel ă la sfârşitul eletrolizei ei oi eletrozi (iiţial ietii) sut omplet iferiţi. De ele mai multe ori pe suprafaţa atoului se epue u strat fi e hiroge astfel ă oul sistem e eletrozi formează o pilă eletriă e proue o tesiue eletromotoare proprie e ses otrar elei a sursei e alimetare (şi uretului e eletroliză i eletrolit). Daă se îtrerupe petru puţi timp legătura la sursa e alimetare a eletrozilor uva eletrolitiă evie o pilă eletriă parazită e poate ezvolta (surt timp) u regim eletroieti î propriul eletrolit u u uret eletri e ses otrar elui i timpul eletrolizei. 5
38 Aest feome (proes) poartă umele e polarizare elotrolitiă iar tesiuea eletriă orespuzătoare se umeşte t.e..m. e esompuere eletrolitiă pe are î relaţia (4.3) i paragraful preeet am otat-o u E. Ţiâu-se seama e relaţia (4.3) şi otâu-se termeii i membrul rept u U aiă U = E + U + U e + U f = E + U are se umeşte tesiue e esompuere eletrolitiă şi î are U este ăerea e tesiue pe uvă (î rezisteţele e otat pe eletrozi î eletrolit et.) avâ expresia U = RI ue I este itesitatea uretului eletri la are se fae eletroliza şi R este rezisteţa ehivaletă proprie a uvei. Rezultă: U = E + RI şi (4.3) I = ( U E) / R eea e îseamă ă petru a se realiza eletroliza la o itesitate I a uretului trebuie a tesiuea la borele uvei ată e sursa e alimetare să fie U = U şi ei I = ( U E) / R. Aeastă relaţie rezultă pri apliarea legii ouţiei eletrie (.96) pe traseul ao ato (v. fig. 4.) rezultâ U E = RI. Eergia eletriă miimă eesară petru obţierea uui proes e eletroliză îtr-u iterval e timp t rezultă i relaţia P = U I t şi i legea eletrolizei (.4) fii: W = U I t = E Q = Em / k aiă proporţioală u masa e substaţă m epusă Apliaţii Î arul aestui subapitol vor fi prezetate âteva apliaţii iverse ale eletroietiii şi ouţiei eletrie î omeiile: alulului rezisteţelor eletrie partiularităţilor apliării orete a legii ouţiei eletrie surselor eletrohimie (pile şi aumulatoare eletrie) şi ispozitivelor fotoeletrie pri exemple orete es îtâlite î pratiă Calulul rezisteţelor eletrie Rezisteţa eletriă (î pratia tehiă umită aesea şi "rezisteţă ohmiă") este u parametru e iruit eletri î fapt o mărime e material are itervie î moelele e esriu orie proes eletroieti (e ouţie eletriă) şi are trebuie - î orie apliaţie pratiă - să fie etermiată pri alul sau/şi experimetal (pri măsurări). Calulul rezisteţei eletrie u prezită prea mari ifiultăţi i putul e veere al moelării (al relaţiei e evaluare) îsă aeseori se ives ompliaţii etermiate e speifiul apliaţiei e atura materialelor (î speial) e fatori exteri (temperatură; tesiui meaie iterioare; freveţa regimului eletroieti î are este impliată; presiuile e otat î azul rezisteţelor eletrie ale uor otatoare ale uor otate alueătoare perie iele ale uor oletoare perie lamele e otat; stări fizio-himie î azul rezisteţelor prizelor e pămât et.). De aeea vom aaliza î otiuare âteva azuri ât mai iferite (petru u ât mai bu exeriţiu). Calulul rezisteţei eletrie pe baza orespoeţei uale ître moele S-a arătat î paragraful 4.. ă ître moelele regimului eletrostati şi moelele regimului eletroieti staţioar există o aalogie (ietitate) formală are permite stabilirea uei orespoeţe uale formale ître mărimile speifie elor ouă regimuri. 5
39 Astfel moelele e bază ale eletroietiii staţioare aiă: rot E = iv J = şi J = γ( E + E i ) şi ele ale eletrostatiii şi aume: rot E = iv D = qv şi D = εe + P p pri aalogia formală are există ître ele oue la următoarea orespoeţă uală ître mărimile eletrostatie şi ele eletroietie staţioare: E E D J Vstati Vstatioar ε γ P p = γe i şi q v. Astfel o formulă e alul elaborată petru u sistem eletrostati poate fi retrasrisă pri orespoeţele uale preeete şi utilizată petru sistemele eletroietie staţioare. Iată umai ouă exemple. Apliaţia 4.. Să se aluleze rezisteţa ieletriului uui oesator tehi iliri (fig. 4.). Coesatorul al ărui ieletri este u izolat perfet (are are outivitatea γ = şi ei rezistivitatea ρ ) are outaţa eletriă ître armături ulă ( G = ) şi rezisteţa eletriă ifiită R = / G eea e fae a u astfel e oesator să fie eumit oesator ieal eoaree î îţelesul strit al rezistivităţii u pot fi realizate materiale ieletrie perfet izolate (u ρ ). Î fapt Fig. 4. oesatoarele utilizate î pratiă au o aumită rezisteţă a materialului ieletri are apare ître armături (umită rezisteţa e piereri a ieletriului R ) efiită pri raportul: R p = U I = ( V V ) / I itre tesiuea eletriă î uret otiuu p / U ei regim eletroieti staţioar (u V V ifereţa poteţialelor eletroietie ale armăturilor) şi itesitatea uretului eletri e ouţie î.. I rezultat pri ieletri. Cu ât R p este mai mare u atât oesatorul este e alitate mai buă ar R p efii totuşi ifiită oesatorul u mai este ieal şi se umeşte oesator tehi. Folosiu-se orespoeţa uală âmp eletri stati âmp eletroieti arătată aterior rezultă (v. fig. 4.): U V V ( V V ) statioar ( V V ) stati U stati R p = = = = = = S (4.-) I I J.A D.A q C l ue: l este o suprafaţă laterală iliriă pri ieletriul oesatorului (presupus fără efet e margii) şi D. A = q oform fluxului eletri (v..3.). l Rezultă pri urmare orespoeţa uală itre rezisteţă şi elastaţă ( S = / C ): R S. Î arul apliaţiei.7 (v..7.3) s-a etermiat expresia apaităţii uui oesator iliri v. figura.45 şi formula (.7-) şi aume: πεl C = R l R astfel ă elastaţa S a uui asemeea oesator este: R l R S = = (4.-) C πεl l 53
40 Atui pe baza orespoeţei uale R S etermiată e relaţia (4.-) rezultă ă rezisteţa e piereri a ieletriului uui oesator iliri (fig. 4.) tehi este: R R l l S Rp R R (4.-3) Rp = = ρ ε γ πγl πl are se verifiă şi imesioal: [ ] [ ] [ ] Ω = Ωm [][ m]. La aelaşi rezultat (4.-3) se ajuge şi pe ale "lasiă" aiă etermiâ raportul: (4.- 4) R p = U / I are osieră ă ieletriul este uiform şi -a urmare- u există ître armături âmp eletri imprimat ( E i = ) eea e fae să se spuă ă rezistorul iliri i figura 4. este pasiv astfel îât rezisteţa R p se poate etermia pri raportul (4.-) î are U este tesiuea la borele - şi I itesitatea uretului e ouţie ître armăturile şi î regim eletroieti staţioar (e uret otiuu). Î oiţiile i figura 4. şi î azul uui ieletri uiform astfel ă I ( R) = ost. = I u raza R R R şi oform teoremei poteţialului eletroieti staţioar (4.) aiă: U = V V E R J R =. = ρ. R: R R R R R 54 : eoaree E + E i = ρj (iar î aest az v E = E şi E i = ) avâ î veere ă sistemul i figura 4. are simetrie raială (ei E J R A R A R fii versorul razei R a uei suprafeţe itermeiare l ître suprafeţele armăturilor şi ) se va putea srie: (4.-5) U = V V = E.R = : ER R R R R: R R şi: E (4.-6) I = I = J A = J A = J. A = J πrl = πrl ρ eoaree J E A şi J este ostat pe suprafaţa. Cu l s-a otat lugimea armăturilor ilirie (fig. 4.). Expliitâ E i (4.-6) E = ρi / πrl şi itrouâ î (4.-5) rezultă: ρi R U = ER = : π R R R l R: R R R e ue reiese: R l U ρ R R Rp = = = ρ I πl R : R R R πl pri urmare exat aeeaşi expresie (4.-3) etermiată iret pri orespoeţa uală ître moelele eletrostatiii şi eletroietiii staţioare. Apliaţia 4.. Să etermie rezisteţa eletriă R a uei sfere metalie (outoare) u iametrul D îgropată foarte aâ î pămât la aâimea h >> D osierat u outivitatea γ(p ) = ost. = γ alimetată e la o sursă e uret otiuu e proue î P sistemul sferă - pămât u âmp eletroieti staţioar araterizat e uretul I i outorul e alimetare a sferei metalie şi esitatea e uret J i pămât. Deoaree h >> D şi ρ = ost. se poate osiera u o buă aproximaţie ă vetorul J are o orietare R
41 raială faţă e etrul sferei iar sfera metaliă este ehipoteţială (fig.4. are reprezită î fapt o priză e pămât îtr-o formă foarte simplă). Apliâu-se iret orespoeţa uală itre moele astfel ă R S ue elastaţa uei sfere izolate are expresia (.8-) î are R şi R D / (v..7.3) aiă: S = = (4.-) C πεd rezultă (ştiiu-se ă ε γ ): ue S R ρ R = = ε γ πγd πd ρ = / γ este rezistivitatea solului. Dimesioal (4.-) evie: [Ω]=[Ωm]/[][m]. Calulul rezisteţei eletrie a prizelor e pămât Fig. 4. (4.-) Priza e pămât (v. Istalaţii eletrie) este u ispozitiv pri itermeiul ăruia se realizează o legătură eletriă outoare ("ohmiă") iretă la pămât: o fie ale uor pute ale reţelelor (iruitelor eletrie) o fie ale părţilor outoare ale istalaţiilor e proteţie şi ale araselor suporţilor et. uor aparate şi maşii eletrie. Pri aeastă legare obligatorie la pămât se urmăreşte: - î primul az ( o ) realizarea uei aumite repartiţii a ureţilor eletrii eesară î exploatare (u az este e exemplu "tratarea eutrului reţelelor eletrie e istribuţie"); - î el e al oilea az ( o ) asigurarea proteţiei otra periolului e eletroutare pri aularea tesiuilor eletrie ale araselor şi grilajelor metalie faţă e pămât. Î azul aparaturii eletroie iverse situate î arase iferite aflate î apropiere uele e altele arasele (metalizate) ale aestor aparate şi "bliajul" borelor şi firelor e legătură ître aparate se oetează împreuă la o priză e pămât petru a avea o aeeaşi tesiue (poteţial eletri) î sopul aulării apaităţilor parţiale itre aparate (v..5.3) şi a evitării pri aeasta a uplajelor apaitive ioportue (parazite) itre aparate. O priză e pămât se ompue î geeral i uul sau mai multe piese outoare metalie (umite eletrozi) aşezate î sol î poziţie vertială sau orizotală avâ rezistivitatea foarte miă faţă e rezistivitatea pămâtului şi forme i ele mai variate. Di putul e veere al alătuirii lor prizele e pămât pot fi: sigulare (realizate itr-u sigur eletro îgropat î pămât e exemplu sferi a el i figura 4.) sau multiple (formate i mai mulţi eletrozi sigulari e aeeaşi formă oetaţi ître ei pri legături metalie ehipoteţiale); e suprafaţă (u miă aâime e îgropare a eletrozilor) e aâime şi foarte mare aâime (az î are aâimea e îgropare î sol este e âteva ori mai mare eât imesiuea maximă a eletrozilor); î pămât omoge (atural) sau eomoge (u aausuri isipoase î straturi). Î tabelul 4. sut prezetate valorile aproximative ale rezistivităţii solului şi apei. Tabelul 4. Rezistivitatea meiului î are sut aşezaţi eletrozii prizelor e pămât Meiul Rezistivitatea [Ωm. -4 ] Nisipos Nisipos argilos Argilos Argilos isipos
42 Meiul Rezistivitatea [Ωm. -4 ] Pămât e grăiă 4 Ceroziom Turbă Apă urgătoare 5 Meiul Rezistivitatea [Ωm.-4] Apă stătătoare... Prizele e pămât sut foarte es îtâlite: la toate ostruţiile ivile şi iustriale la istalaţiile e proteţie împotriva supratesiuilor atmosferie şi a trăzetelor la liiile e trasport a eergiei eletrie pri liii aeriee (la fieare stâlp e susţiere metali sau i beto armat) et. Petru asigurarea îepliirii rolului lor (î speial al seurităţii) rezisteţa eletriă e ispersie î sol a prizelor e pămât trebuie să aibă o valoare ât mai miă. Rezisteţele maxime amise ale prizelor e pămât ( R p ) ale iverselor istalaţii eletrie sut: R p = 5Ω (petru istalaţiile eletrie i reţelele u tesiui eletrie mai mari eât V) R p = 4Ω (petru istalaţiile eletrie u tesiui pâă la V) şi R p =Ω (e exemplu petru suporturile liiilor eletrie aeriee). Avâu-se î veere importaţa prizelor e pămât şi iversitatea lor ostrutivă (e presupue alule speifie) î otiuare vor fi prezetate trei apliaţii orete referitoare la moelarea şi alulul e se pratiă î legătură u proietarea prizelor e pămât. Apliaţia 4.3. Să se etermie istribuţia poteţialului eletri î pămât î jurul prizei e pămât ative (araterizată e u uret eletri priză - sol). Fie o sferă metaliă e rază r îtr-u meiu outor -e exemplu pămâtul - e outivitate γ (fig. 4.3a). Sfera este itrousă îtr-u iruit eletri fii alimetată pritru outor izolat uretul e itesitate I îhizâu-se pri pămât şi pritr-u alt eletro situat la istaţă foarte mare. Di auza simetriei âmpul e ureţi i jurul sferei va fi raial suprafeţele e ivel vor fi sfere oetrie u sfera ată iar esitatea e uret la istaţa r e etrul sferei va fi: I r J =. 4πr r Coform legii ouţiei eletrie itesitatea âmpului eletri este: I r E = J = γ 4πγr r iar ifereţa e poteţial itre suprafaţa eletroului sferi şi u put M oareare situat la istaţa r e etrul sferei va fi: r r r (4.3-) = = = = = πγ r I r I. U M E.r Er Er 4 r 4πγ r r r r r r Aeastă tesiue tie ătre o limită fiită â putul M se îepărtează iefiit e mult e eletro ( r ) avâ valoarea: I (4.3-) U =. 4πγr Limita este atisă u o eroare e % â r = r. Tesiuea limită ată e relaţia (4.3-) se umeşte ăere e tesiue pe rezisteţa e treere itre sfera metaliă şi meiul outor. Valoarea aestei rezisteţe este: 56
43 U (4.3-3) R = =. I 4πγr Oriul e mărime al rezisteţei e treere (4.3-3) petru o outivitate a solului γ = S/m (valoare reomaată petru alulele tehie atui â u există ate espre outivitatea solurilor î are se ostruies prizele e pămât) este: r [m] 5 5 R [Ω] Se presupue aum o priză semisferiă la suprafaţa pămâtului a î figura 4.3b. Stuiul uei asemeea prize se fae pri metoa imagiilor: se presupue imagiea eletroului simetri ispusă faţă e suprafaţa pămâtului iar spaţiul e easupra umplut u pămât astfel ă se îlătură isotiuitatea outivităţii meiului. Se ajuge la situaţia ehivaletă a uui eletro ale ărui imesiui perpeiulare pe suprafaţa pămâtului sut uble faţă e aelea ale eletroului origial motat î masiv ifiit omoge. Priza e imesiui uble va ebita î sol u uret ublu I sumă a ureţilor origial şi imagie. Noua ofiguraţie reează sub ivelul solului u âmp eletroieti ieti u el origial. Îlouiu-se î relaţia (4.3-) pe I u I se obţie: I U = (4.3-4) πγr şi U R = = (4.3-5) I πγr Formula (4.3-5) este folosită petru alulul rezisteţei e treere a prizelor e pămât are pot fi asimilate u prize semisferie. Combiâu-se relaţiile (4.3-) şi (4.3- ) se obţie următoarea expresie a ifereţei e poteţial itre priză şi oriare put e pe suprafaţa pămâtului situat la istaţa r e etrul prizei: r = U ( ). (4.3-5') U M Cuoaşterea ei este eesară petru luarea măsurilor eesare proteţiei persoalului are umblă î preajma prizelor e Fig. 4.3 pămât şi are pot ajuge sub iflueţa tesiuii e pas. Se umeşte tesiue e pas tesiuea itre itre ouă pute e pe suprafaţa solului aflate la istaţa e ira 8m aproximativ egală u u pas al omului. Î azul uei prize e pămât e 6Ω a stâlpului uei liii aeriee (ehivaletă u rezisteţa e treere a uei prize sferie u raza e m) aă la ruperea uui outor şi ăerea lui la pămât uretul pri priză atige A atui petru γ = S/m rezultă U = 6 V iar tesiuea e pas poate ajuge la: U = 6( ) 7 V. 8 Poteţialul pe suprafaţa pămâtului este maxim î reptul prizei şi sae pe măsura îepărtării e priză aşa um arată figura 4.3b. U om aflat la istaţa x e priză poate fi aietat fie atigâ priza sau u elemet al istalaţiei legat la ea â i se apliă tesiuea M = r 57
44 " ' U a fie atigâ e la mare istaţă u elemet e poteţial ul â i se apliă tesiuea U a. Suma elor ouă tesiui e atigere este egală u tesiuea prizei: (4.3-6) ' " U a + U a = U are este ostată astfel ă el puţi ua i tesiuile e atigere poate fi periuloasă. Periuloasă este şi tesiuea e pas la are omul este supus atorită faptului ă se află î otat u solul î pute aflate la poteţiale iferite. Toate aeste efete sut araterizate pri: - oefiieţii e atigere : (4.3-7) ' " ' U k a a U " U k a ; a U - oefiietul tesiuii e pas: (4.3-8) k U p =. p U Cuoaşterea istribuţiei pe sol a aestor oefiieţi prezită iteres la proietarea istalaţiilor eletrie. Observaţii Determiarea istribuţiei poteţialului î pămât şi pe suprafaţa solului permite alulul tuturor mărimilor istribuite şi al mărimilor globale e araterizează fuţioarea uei prize e pămât. Mărimile istribuite sut: - itesitatea âmpului eletri (4.3-9) E = grau ; - esitatea e uret (4.3-) J = γe ; - sursele termie (4.3-) p e = J = γe γ aiă esitatea e volum [W/m 3 ] a puterii isipate e eletro î jurul său. Mărimile globale sut: - itesitatea uretului eletri isipat î pămât: (4.3-) I = J. A = γ E. A itegrala efetuâu-se pe o suprafaţă îhisă are uprie î iterior priza e pămât. Este avatajos a suprafaţa e itegrare să fie ehipoteţială ele mai favorabile fii ori suprafaţa e otat a prizei e pămât u solul ori suprafaţa ehipoteţială a sferei e la ifiit; î aest az se utilizează petru alulul itesităţii uretului relaţia: (4.3-3) I = γ lim(4πr E) r r fii istaţa e la etrul prizei pâă la u put uret; - puterea isipată î pămât: (4.3-4) P = p e v v Ω fii îtrgul volum al spaţiului Ω oupat e pămât; - rezisteţa e ispersie a prizei e pămât: U P U (4.3-5) R = = = I I P v Ω 58
45 Distribuţia î pămât a poteţialului şi a elorlalte mărimi e araterizează fuţioarea prizelor e pămât este epeetă e o serie e fatori itre are el mai importat este forma eletroului upă um se va veea î exemplul următor. Apliaţia 4.4. Să se etermie mărimile speifie uei prize e pămât sigulare formată itr-u eletro iliri î masiv ifiit omoge. Pri aeastă eumire sut ietifiate prizele formate itr-u sigur eletro î formă iliriă (ţeavă metaliă) îgropată foarte aâ î sol (astfel îât efetele perturbatoare ale suprafeţei solului să eviă eglijabile) sol osierat omoge. Eletrozii realizaţi i ţeavă e oţel ziat u lugimea L =3m şi iametrul =5mm sut ei mai utilizaţi la ostruţia prizelor e pămât. Calulul exat al poteţialului î azul eletrozilor ilirii este ompliat atorită formei ompozite a eletroului are prezită o suprafaţă laterală iliriă şi ouă baze irulare. De aeea se preferă asimilarea ilirului u u elipsoi alugit avâ axa mare L şi axa miă. Datorită valorii mari a raportului L / abaterile apar pe porţiui surte la apetele ilirului. Suprafeţele ehipoteţiale e formă elipsoială vor fi uprise ître aeea a elipsoiului are aproximează eletroul şi aeea a sferei e la ifiit are este u elipsoi egeerat. Î aest otext se preferă utilizarea sistemului e ooroate ale elipsoiului alugit are este geerat e trasformări pri fuţii hiperbolie. Îtr-u sistem e ooroate artezia poziţia uui put i spaţiu se etermiă u ajutorul ooroatelor sale x y z. Putele avâ x = x = ost. se găses î plaul paralel u plaul Oyz umit suprafaţă e ooroată x = x. Îtr-u sistem artezia există trei familii e suprafeţe e ooroate: x = ost. y = ost. şi z = ost. Două suprafeţe e ooroate aparţiâ uor familii iferite se itersetează upă o urbă (sau liie) e ooroată x y sau z î fuţie e ooroata are variază e-a lugul liiei respetive. Suprafeţele e ooroate a şi liiile e ooroate efies î mo uivo poziţia putului M i spaţiu. Î putul e iterseţie ele trei liii e ooroate sut perpeiulare ître ele şi e aeea sistemul e ooroate se umeşte ortogoal. Poziţia putului M i spaţiu poate fi îsă efiită uivo şi pri alte trei umere ξ η θ are vor fi umite ooroate urbiliii. Daă ele ouă sisteme e ooroate efies î mo uivo poziţia putului M există relaţii e forma: x = f ( ξ ηθ) y = f ( ξ ηθ) z = f ( ξ ηθ) x y z (4.4-a) ξ = f ( x y z) η = f ( x y z)θ ξ η f ( x y z). θ (4.4-b) = Petru ξ η sau θ ostate euaţiile (4.4-b) vor reprezeta suprafeţe e ivel sau suprafeţe e ooroate ξ = ost. η = ost. şi θ = ost. Suprafeţele ξ = ost. şi η = ost. se itersetează upă liia e ooroată θ. Aalog se efies liiile e ooroate ξ respetiv η. Fixâu-se ooroata pe o liie e ooroată e exemplu θ = θ atui poziţia putului M este uivo etermiată el aflâu-se e fapt la iterseţia elor trei suprafeţe e ivel ξη şi θ respetiv a elor trei liii e ooroate ( ξ θ ) ( ξ η ) şi ( η θ ). De obiei urbele e ooroate formează ître ele ughiuri oareare. Prezită iteres îsă sistemele e ooroate urbiliii ortogoale petru are metoa ea mai proutivă e geerare este aeea bazată pe trasformările i plaul omplex eoaree pritro trasformare oformă o reţea ortogoală u liii repte i plaul omplex ζ se trasformă îtr-o reţea e liii urbe ar tot ortogoale î plaul omplex z. Reprezetarea oformă pri trasformarea z = f (ζ) ue z = x + jy şi ζ = ξ + j η pue la ispoziţie ouă familii e urbe ortogoale î plaul Oxy. Euaţiile e trasformare sut: x = f ( ξ η) y = f ( ξ η) (4.4-) x y iar euaţiile elor ouă familii e urbe vor fi: ξ = f ( x y) η = f ( x y). (4.4-) ξ η Mai eparte reţeaua e liii se trasformă î reţea e suprafeţe ortogoale fie pri traslatarea figurii paralel u ea îsăşi (se obţie astfel sistemul e ooroate ilirie) fie roti-o î jurul uei axe e simetrie (rezultâ u sistem e ooroate e rotaţie). Petru a fi utilizate î pratiă se reţi i mulţimea prati ifiită a trasformărilor oforme posibile e la plaul ζ la plaul z şi orespuzător a sistemelor e ooroate urbiliii ortogoale spaţiale e pot fi obţiute umai aelea are permit apliarea metoei separării variabilelor petru euaţia ifereţială e trebuie itegrată. Trasformarea utilizată aii este trasformarea pri fuţia hiperboliă z =. hζ ale ărei euaţii e trasformare sut: iar euaţiile liiilor e ooroate: x = f =. hξosη y = f =.shξsi η (4.4-e) x y 59
46 6 x y x y + = =. h ξ sh ξ os η si η (4.4-f) Euaţiile (4.4-f) reprezită o familie e elipse omofoale respetiv o familie e hiperbole omofoale. Foarele elor ouă familii e oie oii. Ele se găses î putele e ooroate ( ± ) fig. A4.4a. Daă figura A4.4a se roteşte î jurul axei Ox se obţie sistemul ale ărei suprafeţe e ooroate sut reprezetate î figura A4.4b. Este oveit a axa î jurul ăreia se fae rotaţia să se umeasă Oz şi e aeea axele O O O se reeumes O O O. x y z z x y Euaţiile e trasformare vor fi: Fig. A4.4 (4.4-g) x = f ( ξ η) osθ y = f ( ξ η)si θ z = f ( ξ η) y y x are ombiate u (4.4-e) ou la: (4.4-h) x =. shξsi ηosθ y =.shξsi ηsi θ z =.hξosη eoaree f trebuie aşezat pe axa Oz oform moifiării axelor e ooroate. x Euaţiile suprafeţelor e ooroate vor fi oform relaţiilor (4.4-f): z ρ z ρ (4.4-i) + = = y / x = tgθ. h ξ sh ξ os η si η Ele reprezită u fasiul e elipsoizi alugiţi u fasiul e hiperboloizi u ouă pâze respetiv u fasiul e semiplae mărgiit e axa Oz ρ şi z fii ooroatele ilirie ale putelor i spaţiu: (4.4-j) ρ = x + y = f = shξsi η z = f = hξosη. y x Euaţia lui Laplae î ooroatele elipsoiului alugit rezultă: U U U U U (4.4-k) U ( ξ η θ) = th tg + = sh si + ξ + + η. ξ + η ξ ξ η η sh ξsi η θ Euaţia lui Laplae petru prezeta apliaţie î aest sistem e ooroate ţiâu-se seama ă U este iepeet e η şi e θ aiă : U U (4.4-) = = η θ evie: U U U (4.4-) + thξ = sau sh = ξ ξ ξ ξ ξ u soluţia: ξ (4.4.-3) U = a + bl th Costatele a şi b se etermiă i oiţiile la limite: - pe suprafaţa e ξ = ξ U = U - pe suprafaţa ξ = U =. U Rezultă a = b = iar poteţialul: ξ lth ξ lth (4.4-4). U = U ξ lth Suprafeţele ehipoteţiale sut elipsoizi esrişi e euaţia (4.4-i): z ρ (4.4-5) + = h ξ sh ξ euaţia suprafeţei elipsoiului are aproximează eletroul iliri fii:
47 z ρ (4.4-6) + =. h ξ sh ξ Costatele şi ξ are efies elipsoiul pot fi puse î legătură u imesiuile eletroului iliri exprimâ ooroatele uui put are oupă ouă poziţii partiulare: la L apătul eletroului M şi î plaul e simetrie M. Se obţie sistemul e euaţii: L = hξ = shξ. (4.4-7) Distaţa foală a elipsoiului aeeaşi petru toţi elipsoizii ehipoteţiali este: h ξ sh ξ = e ue se vee ă lugimea L exprimată e (4.6-6) este eva mai mare eât ublul istaţei foale. Difereţa este foarte miă eoaree: hξ = = + th ξ L L şi petru L =3m şi =5mm ea rezultă a fi e 4%. De aeea î toate azurile se osieră: L a = hξ shξ (4.4-8) L a fii raza eletroului iliri. Ţiâ aum seama ă: ξ hξ + + L l th = l l = l (4.4-9) shξ L expresia poteţialului evie: ξ lth U = U (4.4-) L l Itesitatea âmpului eletri se alulează u formula (4.3-9) E = grau î are se ţie seama e (4.4-): U U U ξ E = ξ = (4.4-) h os η ξ ξ L l shξ h ξ os η Itesitatea âmpului eletri şi esitatea e uret J = γe sut maxime petru valoarea miimă ξ a ooroatei ξ pe suprafaţa prizei e pămât. Câmpul variază şi e-a lugul aestei suprafeţe oată u ooroata η fii maxim î putele î are os η = ± (η= şi η = π ) aiă î vârfurile elipsoiului ue raza e urbură este miimă şi miim î plaul meia ue η = π /. Valorile extreme sut: U U L E max = (4.4-) L a L l sh ξ l şi 6
48 U U. E mi = (4.4-3) L a L l shξhξ l Deoaree Emax / Emi = L / rezultă ă E max poate epăşi e foarte multe ori pe E mi. Sursele termie exprimate pri esitatea e volum a puterii isipate e eletro sut : U p = γ e (4.4-4) L sh ξ(h ξ os η) l şi au itesitate maximă la vârful eletroului şi miimă î plaul meia raportul lor fii pe / p ( L / ) max e =. mi Itesitatea uretului isipat î pămât rezultă i (4.3-) î are se ţie seama e (4.4-) şi e faptul ă î ooroatele elipsoiului alugit avem A ξ = h ξ os ηshξsi ηηθ ξ : π π U ξ I = γ ξ η ξ η η θ ξ.( h os sh si L l shξ h ξ os η aiă: πγl (4.4-5) I = U. L l Ţiâu-se seama e expresia (4.4-5) i relaţia (4.4-) se obţie: ξ lth (4.4.-6) U =. I πγl Puterea isipată î volumul pămâtului se alulează u relaţia (4.3-4) î are p e este at e (4.4-4) iar v î ooroatele elipsoiului alugit are expresia: v = (h ξ os η)shξsi ηξηθ : 3 π π U 3 P = γ (h ξ os η) ξ L sh ξ(h ξ os η) l (4.4-7) π π γu ξ πγl.shξsi ηξηθ = si U. L sh η η θ = ξ L ξ l l Rezisteţa e ispersie a prizei e pămât rezultă i (4.4-5): L l U (4.4-8) R = =. I πγl Observaţii.) î azul ilirului vertial î masiv semiifiit omoge se utilizează relaţiile (4.4.-6) (4.4.-5) şi (4.4-8) î are se îlouieşte I pri I şi L pri L. Se obţie: 6
49 ξ ξ lth lth (4.4.-9) U = (I) = I πγ(l) πγl (L) 4L l l (4.4-) U = (I) = I πγ(l) πγl (4.4-).) Di euaţia (4.4-5) reiese: relaţie are se obţie i: U R = I U 4L l = πγl. L l = I πγl Fig. 4.4 L L L L I r I L I L E.r = Er = Jr = = l = l γ πγl r πγl r πγl r r r r ue r = /. Pri urmare se poate aepta moelul simplifiat are eglijează efetele e margie şi presupue repartiţia raială a liiilor esităţii e uret. Totoată se eue ă poteţialul e-a lugul solului săzâ pe măsură îepărtării e eletro evie egal u poteţialul pamâtului la o istaţă e eletro egală u lugimea aestuia fapt e poate fi verifiat experimetal şi e are se ţie seama la proietarea prizelor e pămât: î sopul uiformizării poteţialului e-a lugul solului şi al imiuării tesiuii e pas ele se ostruies u eletrozi multiplii aşezaţi î vârfurile uor poligoae regulate epărtate uul e elălalt la o istaţă egală u lugimea eletroului (v. fig. 4.4a). Apliaţia 4.5. Calulul rezisteţei e ispersie a prizelor u eletrozi multiplii î masiv ifiit omoge. Petru a rezisteţa e ispersie să fie iferioară uei valori ate stabilite pri orme este eesar aeseori a priza e pămât să fie realizată i mai mulţi eletrozi îgropaţi şi legaţi î paralel. Difiultatea priipală are apare î legătură u alulul omportării prizelor multiple ostă î faptul ă rezisteţa e ispersie ehivaletă R p u se poate alula u relaţia simplă uosută e la oetarea î paralel a rezisteţelor:. = (4.5-) Rp k = rpk Formula (4.5-) este valabilă umai â eletrozii sigulari se găses la istaţe atât e mari uul e altul (teoreti ifiite) îât să u se iflueţeze reipro. Î azurile orete istaţele sut mult mai mii e aeea rezisteţa e ispersie a prizei e pămât se va alula u o expresie e forma: R p = mrp (4.5-) m fii fatorul e eraare al prizei e pămât multiple. Calulul lui m petru iferite situaţii se fae oform metoologiei prezetate î otiuare. Ţiâu-se seama e semifiaţia fiziă a fatorului e eraare aeasta se poate srie sub forma: 63
50 m = m + m ; (4.5-3) Aii m > se umeşte fator e iflueţă. Majorarea rezisteţei e ispersie a prizei multiple pri oefiietul m se poate explia osierâ azul simplu al prizei formate i oi eletrozi e formă sferiă ispuşi la o istaţă fiită (fig. 4.4b). Eletroul sigur î pămât aflat sub poteţialul U etermiă î jurul său apariţia uui âmp eletri raial î fieare put M fii etermiat u poteţial oareare. La motarea î pămât a uui alt eletro oetat î paralel u eletroul aesta găseşte î putul M u poteţial mai riiat eât el are ar exista î lipsa sursei ; e aeea uretul emis e eletroul pe ireţia M este mai mi î prezeţa eletroului eât î lipsa lui. Î mo aalog uretul emis e sursa pe ireţia -M este mişorat î prezeţa eletroului. Apare u efet e eraare reiproă a eletrozilor atorită ăruia la aelaşi poteţial U apliat aestora uretul total isipat este mişorat faţă e suma ureţilor are ar fi isipaţi e fieare eletro fuţioâ iepeet. Efetul esris etermiă reşterea rezisteţei e ispersie a fieărui eletro. Daă umărul e eletrozi are alătuies priza multiplă este > graul e eraare reşte şi oată u el reşte şi rezisteţa e ispersie. Termeul m se umeşte fator e reistribuire a esităţii e uret pe suprafeţele eletrozilor. Î prezeţa eluilalt eletro esitatea e uret se reue pe suprafaţa eletroului iar uretul total ebitat e priză sae î oiţiile î are poteţialul prizei rămâe tot U. Cu exepţia îsă a uor azuri iiate î mo expres fatorul e reistribuire m se osieră ul atui â istaţele itre eletrozi sut sufiiet e mari. Di examiarea rezultatelor obţiute la stuiul omportării prizelor e pămât sigulare se ostată ă poteţialul etermiat îtr-u put e u eletro sigular k fuţioâ iepeet î masiv ifiit se exprimă pritr-o relaţie e forma: I k (4.5-4) U k = F k ( ξ k ) γlk oriare ar fi geometria eletroului. Î aeastă relaţie I k este itesitatea uretului isipat e eletro γ outivitatea eletriă a solului L k o imesiue arateristiă a eletroului ξ k ua sau mai multe ooroate are preizează poziţia putului M faţă e priza k iar F k o fuţie a ărei strutură epie e geometria eletroului k. Daă putul M î are se alulează poteţialul se eplasează pe suprafaţa eletroului k ξ k = ξkk şi I k (4.5-5) U = Fk ( ξkk ) γl k U fii poteţialul apliat prizei. Di relaţia (4.5-5) rezultă rezisteţa e ispersie a prizei e pămât sigulare are fuţioează iepeet î masiv ifiit: U γlk. (4.5-6) rpk = = I k Fk ( ξkk ) Di euaţiile (4.5-4) şi (4.5-5) rezultă poteţialul î putul M î fuţie e poteţialul prizei : Fk ( ξk ). (4.5-7) U k = U Fk ( ξkk ) Î otiuare se osieră ă î pămât sut motate prize sigulare iepeete. Apliâ suesiv poteţialul U fieărei prize k ureţii are se surg î pămât vor rezulta i formula (4.5-5): 64
51 γlk (4.5-8) I k = U Fk ( ξkk ) petru k=... Curetul total la fuţioarea iepeetă a tuturor prizelor sigulare se alulează efetuâ suma: Lk. (4.5-9) I = I k = U γ k = k = Fk ( ξkk ) Raportul ître tesiuea U şi uretul total I este rezisteţa e ispersie a prizei e pămât multiple î azul fuţioării izolate a eletrozilor sigulari ompoeţi; aeastă rezisteţă s-ar obţie şi aă istaţele ître prizele sigulare ar fi ifiit e mari: U. Rp = = (4.5-) I Lk γ k = Fk ( ξkk ) Eviet aă se ţie seama e relaţia (4.5-6) formula (4.5-) este ietiă u (4.5-). R p reprezită rezisteţa ehivaletă legării î paralel a rezisteţelor e ispersie ale elor prize sigulare fuţioâ iepeet. Prati îsă ele prize se oetează î paralel ostitui o priză e pămât multiplă. Î ipoteza amisă ă istribuţia esităţii e uret pe suprafeţele eletrozilor u este perturbată ( m = ) relaţiile e tipul (4.5-4) îşi păstrează valabilitatea; e aeea poteţialul imprimat e asamblul elor eletrozi î putul M i pămât va fi: I k U = U k = Fk ( ξk ). (4.5-) k = γ k = Lk Daă relaţia (4.5-) se ombiă u (4.5-6) se obţie: Fk ( ξk ) U = rpk I k (4.5-) k= Fk ( ξkk ) Deplasâ putul e alul M î M ' pe suprafaţa eletroului j poteţialul U va evei hiar poteţial apliat prizei e pămât multiple U p. Relaţia (4.5-) evie: Fk ( ξkj ) U p = rpk I k (4.5-3) F ( ξ ) k = k kk ξ kj fii ooroata (ooroatele) are preizează poziţia eletroului j î raport u eletroul k. Dâu-se suesiv lui j valorile... relaţia (4.5-3) geerează u sistem e euaţii ale ărui răăii sut ureţii I k (k=...) isipaţi e fieare eletro ompoet al prizei multiple. Rezolvâu-se sistemul se obţie uretul total are se va surge e pe priza multiplă: I = I k k = 65 (4.5-4) putâu-se etermia rezisteţa e ispersie a prizei multiple: U R = p. p (4.5-5) I Raportul: Rp m = m =. (4.5-6) Rp reprezită fatorul e eraare al prizei e pămât multiple. Îlouiu-se ureţii I k etermiaţi i sistemul (4.5-3) î euaţia (4.5-) se obţie relaţia e alul al istribuţiei î pămât a poteţialului imprimat e priza multiplă.
52 De regulă prizele sigulare are itră î alătuirea uei prize multiple au forme şi imesiui ietie. Î aest az formulele preeete se simplifiă îtruât: Fk ( ξk ) = F( ξk ) Lk = L şi ξ kk = ξ( k =... ). (4.5-7) Atui relaţia (4.5-6) se srie: F( ξ rpk = rp = ) γl (4.5-8) iar relaţia (4.5-) evie: (4.5-9) rp Rp = Sistemul (4.5-3) ia forma: (4.5-) r p U p = I k F( ξkj ). F( ξ) k = Poteţialul (4.5-) va fi istribuit oform relaţiei: (4.5-) r p U = I k F( ξk ). F( ξ) k = Daă pe lâgă faptul ă prizele sut ietie ele mai îeplies şi oiţia e a fi motate îtr-o ofiguraţie geometriă regulată expresiile (4.5-8) la (4.5-) evi şi mai simple. La oiţiile (4.5-7) se mai aaugă: (4.5-) I k = I / k=... iar sistemul (4.5-) se reue la o sigură euaţie: (4.5-3) r p I U p = F( ξk ) F( ξ) k = ue ξ k reprezită ooroata (ooroatele) eletroului uret k î raport u u eletro oareare. De aii rezultă rezisteţa e ispersie a prizei multiple: (4.5-4) U p mrp R p = = = mrp I ue: F( ξk ) k =. (4.5-5) m = m = F( ξ) reprezită fatorul e eraare. Poteţialul î pămât va fi istribuit oform relaţiei (4.5-): (4.5-6) r p I U = F( ξk ) F( ξ ) k = sau u (4.5-3): (4.5-7) F( ξk ) F( ξk ) U k = k = = = U p mf( ξ) F( ξ ). k = k După etermiarea poteţialului u ua i formulele (4.5-6) sau (4.5-7) itesitatea âmpului eletri istribuţia esităţii e uret şi a surselor termie et. se pot alula u relaţiile (4.3-9) la (4.3-4). Î otiuare se va alula fatorul e eraare şi variaţia poteţialului petru azul el mai utilizat î pratiă al prizei e pămât i eletrozi ilirii ietii motaţi î vârfurile uui poligo pla regulat î masiv ifiit. 66
53 Cei iliri ietii e lugime L şi iametru sut motaţi u axele paralele pe periferia uui er e iametru D i figura 4.4. Ietifiâ relaţia (4.4-6) u (4.5-4) se obţie: ξ l th (4.5-8) F ( ξ) = π iar i (4.4-9) rezultă: L l F ( ξ ) =. (4.5-9) π Ca urmare: ξk l th k = m =. (4.5-3) L l ξ L. Petru k = rezultă th = Petru k oform figurii 4.4 se obţie: r + r ξk hξk + r + r + f h ξ k = ;th = = f hξk r + r f. (4.5-3) Daă îsă r = r şi r + r = r >> f atui: ξk r + f f f th = = + + = + r f r r r (4.5-3) r = π kπ + rk rk = Dsi ( k) = Dsi (4.5-33) şi ξk l th = l + = (4.5-34) r r D kπ si Cu aestea rezultă î efiitiv: D kπ k = si L f ( ) m = + = + (4.5-35) L D L l l ue: f ( ) = (4.5-36) π k = k si Poteţialul î pămât se va alula u relaţia (4.5-7): ξ U l th p k = U = = m L l (4.5-37) 67
54 Rezisteţa otatelor eletrie Cotatele eletrie ostituie elemetul ompoet eseţial i putul e veere fuţioal al multor ispozitive şi aparate eletromagetie (a e exemplu îtreruptoare separatoare otatoare relee et.) utilizate petru îhierea sau/şi eshierea uui iruit aflat sau u (azul separatoarelor) sub uret. Câ iruitul trebuie îhis partea aşa-zisă mobilă a otatului (o piesă metaliă e obiei i upru) este eplasată (u u buto o maetă et. aţioate maual sau u u eletromaget servomotor et.) pâă la atigerea părţii fixe a otatului (az î are se realizează îhierea iruitului) upă are urmează fixarea şi apăsarea otatului mobil pe el fix (pri elemete meaie pârghii resoarte et) astfel îât rezisteţa e otat să fie ât mai miă posibil petru a u se itroue î motaj rezisteţe suplimetare şi mai ales petru a u se îălzi otatul (î sopul evitării piererilor Joule r I ue r este rezisteţa otatului iar I itesitatea uretului eletri pri otat valoarea efetivă î.a. sau ostată î.. şi ei a îălzirii otatului izolaţiei sale et.). De fapt î afara elor e mai îaite u stuiu preis al otatelor eletrie şi al rezisteţei e otat r este eesar petru estimarea î fial a uratei e viaţă a aparatelor eletrie eoaree urata e viaţă epie î mare măsură e omportarea otatelor î regim permaet (la r = ost. ) e surtă urată (la maevrele e îhiere şi eshiere) şi sub t aţiuea arului eletri e apare atui â ele ouă părţi ale otatului (fixă şi mobilă) se află la poteţiale eletrie et iferite orespuzătoare tesiuii reţelei (ueori â eshierea otatului este omaată e relee maximale e tesiue mai mare hiar eât tesiuea omială). O moelare a aestori fatori eesită folosirea uor relaţii uplate are pot esrie atât feomeele meaie ât şi ele termie are iflueţează âmpul eletri. De exemplu forţa e apăsare la suprafaţa elemetelor e otat iflueţează temperatura şi asigură meţierea otatului îhis î aua forţelor eletroiamie (v. subap. 5.5) e repulsie itre ele ouă elemete ale otatului. Apliaţia 4.6. Să se realizeze moelul pla- paralel al uui otat eletri. Î aest sop se va osiera alea e uret a uui îtreruptor e uret otiuu ue există u otat e suprafaţă ître ouă bare e upru e seţiue reptughiulară. Lugimea barei iferioare este e 3 mm iar a barei vertiale e 5 mm u o suprafaţă e otat e mm (fig. 4.5). S-a osierat ă î azul oetării pe u surtiruit î otat va fi u uret 8 eletri u esitatea maximă J = 3 A/mm. Petru aaliza aestui otat s-a folosit u moel eletrotermi biimesioal (î D) u temperatura meiului ambiat e o C. S-a osierat o rezistivitate a materialului outor 8 (uprul otatelor) ρ = 35 Ωm şi o outivitate termiă k = W/Km. Algoritmul utilizat a osierat ă î azul aestui îtreruptor există o problemă uplată eletro-termiă u următoarea uplare: şi - la mometul zero ( t = ) se etermiă istribuţia esităţii e uret u moelul J E ρ E = gra V = V sub forma plaă: J = J x i + J y j = i + j V E = ρ x y ; ρ J şi rot E = = 68
55 osierâu-se ăerea e tesiue pe rezisteţa e otat l r I s = V ( = ρ = A r = 35 = 35 Ω şi la I 3 6 s = = 6 A aiă u o ifereţă e 6 4 poteţial V = 35 6 V = 4V) eea e oue la problema : iv J = î iteriorul otatelor J x + J y = x y J = J t t = E = V pe suprafeţele otatelor ; ρ ρ - apoi folosiu-se moelul petru temperatură î D şi aume: T T δt ( kx ) + ( k y ) + q = ρm x x y y t î are T ( x y t) este temperatura î putul ( x y ) la mometul e timp t ; k k x y outivităţile termie; ρ m masa speifiă (a uprului); ălura speifiă (a uprului) şi q esitatea e volum a eergiei. Alegâu-se elemete fiite triughiulare e oriul îtâi (v. fig. 4.5) şi folosiu-se proeeul lui Galerki (v. 9..4) moelul preeet se aproximează pri uul umeri (isretizat temporal): T T T t t ; - piererile î masa otatelor se alulează u expresia uosută (.3 " ) srisă sub forma esităţii e putere: ρ p = J. A î W/m 3. otate S-a folosit algoritmul:. Start.. Defieşte oiţiile iiţiale. 3. Atribuie timpului valoarea t t + t (iiţial t = şi s-a ales u t = s). t t 4. Calulează E (t) u γe şi E( t) J ( t). 5. Calulează temperatura T (t) petru E (t). 6. Atualizează valoarea lui γ = / 3 [moifiările e temperatură impliă moifiarea rezistivităţii Fig. 4.5 ( ) Fig. 4.6 ρt = ρt α T T ]. 7. Daă t timpus atui Stop altfel se otiuă e la 3. S-a folosit metoa elemetului fiit pri utilizarea prousului ANSYS Emag (v. 9.3.) iar rezultatele sut iiate î figuruile e urmează : - î figura 4.5 reţeaua e isretizare apliată îtreruptorului ( î formă plaă î D); - î figura 4.6 liiile ehipoteţiale i ele ouă otate; 69
56 Fig. 4.9 Fig î figura 4.7 repartiţia vetorului esităţii e uret (liiile e uret) î ele ouă otate; - î figura 4.8 spetrul âmpului i iteriorul elor ouă otate (liiile ehipoteţiale şi liiile âmpului eletri E ); - î figura 4.9 spetrul âmpului termi (pri izotermele e temperatură); - î figura 4.3 fluxul trasferului e ălură; - î figura 4.3 variaţia graietului e temperatură; - î figura 4.3 variaţia temperaturii î o C î lugul otatului (i lugimea e 45 mm ale elor ouă otate s-a ales porţiuea e la 8 mm la 5 mm pori e la otatul vertial mobil la el orizotal fix e oţie zoa e otat eletri pri presiue). 7 Fig. 4.8 Fig. 4.7
57 4.6.. Forme partiulare ale legii ouţiei eletrie După um se ştie (v..3.) legea ouţiei eletrie este o lege e material speifiă meiilor outoare e exprimă î eseţa ei faptul ă îtr-u outor î stare eletroietiă vetorul esităţii e uret J (are este o mărime e stare eletroietiă a orpurilor) epie e itesitatea loală a vetorului âmp eletri E. Am sris iteţioat voabula epie ître ghilimele eoaree relaţia f : E J este etrmiată e umeroşi fatori (a: atura himiă şi fiziă a materialului iflueţe fizie exterioare privi temperatura presiuea iraierea aeleraţia âmpul mageti exterior et. sau / şi iterioare privi tesiuile meaie suprafeţe e isotiuitate et.) fatori e u pot fi prişi îtr-o exprimare oretă ar geerală a fuţiei f. De aeea legea ouţiei eletrie î exprimarea formală: J ( r t ) = f [ E ( r t) ] eesită umeroase preizări legate e meiul outor şi ambietul său are ată fii marea lor varietate u pot fi iiate eât îsoţite e multe restriţii. Astfel forma loală (.95``) şi aume: î orie momet t: J = γ E + E P r Ω ( i ) ( ) impliă preizarea ă este valabilă umai î meii outoare Ω liiare şi izotrope. Î Fig. 4.3 Fig. 4.3 oiţiile aestea osierâ forma aterioară a fii geerală (mai ales ă are umeroase apliaţii pratie orete) orie altă exprimare legată e situaţii iverse posibile poate fi osierată a o formă partiulară a legii ouţiei eletrie. Î aest ses î ele e urmează vor fi prezetate âteva azuri partiulare osierate a apliaţii petru ă ele îşi găses utilităţi pratie (tehie). Apliaţia 4.7. Forma loală a legii ouţiei eletrie î azul uor outoare aizotrope ar liiare are se apliă âtorva outoare u reţele ristalie (altele eât ea ubiă ue apare şi efetul e eliiaritate) se bazează pe observaţia experimetală ă fieare ompoetă a esităţii e uret (îtr-u sistem e referiţă artezia) epie iret proporţioal (ar u valori iferite upă fieare axă) e toate ompoetele vetorului âmp eletri astfel ă se poate srie: J x = γ xx ( Ex + Eix ) + γ xy ( Ey + Eiy ) + γ xz ( Ez + Eiz ) J y = γ yx ( Ex + Eix ) + γ yy ( Ey + Eiy ) + γ yz ( Ez + Eiz ) J = γ ( E + E ) + γ ( E + E ) + γ ( E + E ) z zx x ix zy y 7 iy zz z iz
Analiza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
CALCULUL BARELOR CURBE PLANE
CPITOLUL 0 CLCULUL BRELOR CURBE PLE 0.. Tesiui î bare curbe plae. Formula lui Wikler Barele curbe plae sut bare care au axa geometrică o curbă plaă. Vom stuia bare curbe plae cu raza e curbură costată,
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Olimpiada de Fizică Etapa naţională- ARAD 2011 TEORIE Barem. Subiect Parţial Punctaj 1. Barem subiect 1 10 A. Condiţiile de echilibru pentru pârghii:
Olipiaa e Fiziă Etapa naţională- ARAD Pagina in 6 Subiet Parţial Puntaj. subiet A. Coniţiile e ehilibru pentru pârghii: =( + 4), 4e=f, O ( + + 4)a=b a b e f + 4 = f 4= e 4,5 4 4 4 =, =8g f + e =4g a =
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
1. REŢELE ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU
. ŢL LCTC LNA D CNT CONTN ŢL LCTC LNA NALTĂŢ Vom îţelege pri reţea electrică o mulţime de elemete de circuite itercoectate la bore. elemet de circuit este u domeiu ce are legătură electrică cu exteriorul
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
B( t B 11. NOŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEOREMELE GENERALE ALE DINAMICII Lucrul mecanic. y O j
. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam. NŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEREMELE GENERALE ALE DINAMIII Reolvarea problemelor de damă se fae u ajutorul uor teoreme, umte teoreme geerale, deduse pr aplarea
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
2. REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL AL CIRCUITELOR ELECTRICE
. GM PMANNT SNSODA A CCTO CTC. MĂM SNSODA CAACTA, PNTA SMOCĂ Pri defiiţie, o mărime siusoidală este marimea a cărei variaţie î timp este descrisă de o expresie de forma: x ( si( ωt ϕ si( ωt ϕ max (. Î
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
2. Probleme rezolvate Principiile termodinamicii şi ecuaţii de stare
76. robleme rezolvate În ontinuare vom analiza problemele de bază propuse pentru rezolvare în timpul leţiilor pratie [3]... rinipiile termodinamiii şi euaţii de stare roblema. Folosind prima lege a termodinamiii,
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (
Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
A. CURENTUL ELECTRIC STAȚIONAR
A. CURENTUL ELECTRIC STAȚIONAR 1. Itesitatea curetului electric Curetul electric reprezită o mișcare ordoată a purtătorilor de sarciă electrică liberi, sub acțiuea uui câmp electric. Purtătorii de sarciă
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Formula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Inegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Sisteme de ecuatii liniare
Sisteme e eutii liire Sisteme e ou eutii u ou euosute Def.U sistem e ou eutii u ou euosute re form ( S : ue,,, se umes oefiietii euosutelor, ir, termeii lieri. Def.Se umeste solutie sistemului orie ulu
Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
MARIAN PEARSICĂ MARIAN PEARSICĂ - E L E C T R O T E H N I C Ă I.S.B.N EDITURA ACADEMIEI FORŢELOR AERIENE HENRI COANDĂ
MARIAN PEARSICĂ MARIAN PEARSICĂ - E L E C T R O T E H N I C Ă I.S.B.N. 973 845 7 9 EDITRA ACADEMIEI FORŢELOR AERIENE HENRI COANDĂ MARIAN PEARSICĂ BRAŞOV 004 Recezet ştiiţific Cosilier editorial Tehoredactor
Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
L3. Măsurarea rezistenţelor prin metode indirecte şi directe
L3. Măsurarea rezistenţelor prin etode indirete şi direte. Obietul lurării În pria parte a lurării se studiază o etodă indiretă de ăsurare a rezistenţelor şi, anue, etoda aperetrului şi voltetrului. În
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede
2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind
MODELAREA MATEMATICĂ A SISTEMELOR CONTINUE
MODELAREA MATEMATICĂ A SISTEMELOR CONTINUE OBIECTIVE Aaliza sistemelor de ordiul doi folosid modele matematice Calculul polilor şi zerourilor fucţiei de trasfer Reducerea schemelor bloc 41 Itroducere Aaliza
în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Aplicatii ale marimilor medii in practica
Aplicatii ale marimilor medii i practica October 5, 2012 Aplicatii ale marimilor medii i practica Calculul marimilor medii Exemplu: u grup de 40, 20, 60 elevi au primit ca premiu la olimpiada de matematica
3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Olimpiada Internaţională de Matematică "B. O. Zhautykov" Ediţia I, Alma-Ata, 2005
Olimpiada Internaţională de Matematiă "B. O. Zhautykov" Ediţia I, Alma-Ata, 2005 Enunţuri şi Soluţii juniori Prima zi 1 ianuarie 2005 1. Pe o tablă 9 9 sunt marate 40 elule. O linie orizontală sau vertială
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Nesecret MINISTERUL AFACERILOR INTERNE INSPECTORATUL GENERAL PENTRU SITUAŢII DE URGENŢĂ Anexa nr. 8 la Ordinul IG Nr din 1.05.
MINISTERUL AFACERILOR INTERNE INSPECTORATUL GENERAL PENTRU SITUAŢII DE URGENŢĂ NESECRET Ex.r. Aexa r. 8 la Ordiul IG Nr. 10146 di 1.05.013 TEMATICA ŞI BIBLIOGRAFIA petru susţierea lucrării scrise la proba
sistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
8.4 Circuite rezonante RLC
8.4 Circuite rezoate RLC Pricipalul rezultat al subcapitolului 8.3: comportarea circuitelor descrisă pri fucţia de răspus la frecveţă. Exemplele studiate au fost circuite simple, cu u sigur elemet reactiv
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Integrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
PENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Tema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..