Klinički značaj određivanja trombocitnog serotonina u psihijatriji DOC.DR.SC. VJEKOSLAV PEITL KLINIKA ZA PSIHIJATRIJU KBC SESTRE MILOSRDNICE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Klinički značaj određivanja trombocitnog serotonina u psihijatriji DOC.DR.SC. VJEKOSLAV PEITL KLINIKA ZA PSIHIJATRIJU KBC SESTRE MILOSRDNICE"

Transcript

1 Klinički značaj određivanja trombocitnog serotonina u psihijatriji DOC.DR.SC. VJEKOSLAV PEITL KLINIKA ZA PSIHIJATRIJU KBC SESTRE MILOSRDNICE

2 Serotonin ili 5-hidroksitriptamin Široko prisutan amin (biljke, životinje) U ljudi je prisutan u enterokromafinim stanicama u gastrointestinalnom traktu (90%), trombocitima i mozgu. Sintetizira se iz triptofana u dva koraka. Trombociti ga sami ne sintetiziraju već ga preuzimaju iz krvi (aktivni unos u trombocitima i živčanim okončinama). Stanično pohranjivanje u granulama slično kao što je slučaj za kateholamine.

3 COOH C NH 2 (Rate limiting) Triptofan hidroksilaza (1 i 2) OH COOH C NH 2 N Triptofan iz hrane; aktivan transport u SŽS N 5-hidroksitriptofan N C COOH OH 5-OH triptofan dekarboksilaza H C NH 2 5-hidroksiindol octena kiselina 5-hidroksiindol acetaldehid N 5-hidroksitriptamin

4 Serotonin U ljudi koji su bili na dijeti bez triptofana posljedično je bila i smanjena sinteza serotonina i do 90%. Ukoliko se u bolesnika koji su bolovali od depresije i koji su bili tretirani selektivim inhibitorima serotonina u fazi remisije provela deplecija triptofana kroz djetalne mjere simptomi depresije su se vratili. Dijeta bez triptofana u zdravih ljudi nije uzrokovala nastanak depresivnog poremećaja ili simptoma depresije.

5 Serotonin Najznačajni mehanizam uklanjanja serotonina (katekolamina) iz sinaptičke pukotine je ponovni povrat iz sinaptičke pukotine u presinaptički neuron pomoću proteinskog nosača - transporter. Monoamini se u neuronu mogu enzimatski razgraditi pomoću enzima MAO (A i B). Katekolamini, no ne serotonin se mogu razgraditi i pomoću enzima COMT. Enzim MAO prisutan je i intracelularno i ekstracelularno. Ekstracelularna MAO može razgraditi monoamine odmah u sinaptičkoj pukotini. Intracelularna MAO je vezana uz vanjsku membranu mitohondrija u neuronu i razgrađuje većinu monoamina.

6 Jezgre raphe Središnje mjesto sinteze serotonina. Smještene su medijalno u području moždanog debla te mezencefalona. Većina kaudalnih (smještenih u moždanom deblu) jezgara inervira leđnu moždinu. Dorzalne i medijalne jezgre su smještene u srednjem mozgu i inerviraju veliki ostatak središnjeg živčanog sustava pomoću brojnih projekcijskih puteva. Dorzalna jezgra pretežno inervira cerebralni korteks, talamus, strijatalna područja (kaudatnu jezgru-putamen i jezgru akumbens) i dopaminergičke jezgre srednjeg mozga (substantia nigra i ventralno tegmentalno područje) Medijalna jezgra inervira hipokampus, septum, hipotalamus i druge strukture limbičkog sustava. Jasno utječu na spavanje, aktivacijske mehanizme, pažnju, procesiranje senzornih informacija u cerebralnom korteksu, regulaciju emocija/afektiviteta te raspoloženja.

7 Serotoninski receptori 7 skupina, sarem 15 tipova i podtipova Multipli mehanizmi prijenosa 5HT-1A: uloga u anksioznosti i depresiji 5HT-1D: uloga u migreni 5HT-2: uloga u raznim ponašanjima na razini SŽS, kao i kardiovaskularno 5-HT3: uloga u mučnini i povraćanju (posebice vezano uz kemoterapiju)

8 Endogena funkcija Centralni neurotransmiter Prekursor melatonina GIT: nesigurno; motilitet? U karcinoidnih tumora: velike količine uzrokuju dijareju, bronhokonstrikciju i edem Trombociti: 5-HT2 receptori agregacija i vazokonstrikcija

9 Farmakološki učinci serotonina Respiratorni sustav: bronhokonstrikcija u astmatičara; stimulacija aortnih i karotidnih kemoreceptora RR i minutnog volumena GIT: tanko crijevo je vrlo osjetljivo na serotonin intenzivne ritmične kontrakcije zbog izravnog i posrednog (gangliji u zidu) učinka Stimulacija povraćanja (5-HT3 receptori na aferentnim okončinama vagusa i centralno).

10 Farmakološki učinci serotonina KV sustav: multipli izravni i posredni učinci: 1. Izravna vazokonstrikcija (velike arterije) i posredna vazodilatacija (posredovano s NO i PGI 2 ) 2. Srce: izravni inotropni i kronotropni učinci 3. Refleksni mehanizmi zbog promjena u krvnom pritisku 4. Stimulacija osjetnih živčanih okončina u baroreceptorima i u aferentnim okončinama vagusa u koronarnoj cirkulaciji (Bezold Jarrisch refleks) bradikardija i hipotenzija

11 Serotonin u SŽS Percepcija boli San/budnost Normalno ponašanje/psihički poremećaji: depresija, shizofrenija, okp, itd. Neuroendokrina regulacija utjecaj na stanice hipotalamusa uključenje u otpuštanje nekoliko hormona prednje hipofize. Serotonergički sustav već dulje vrijeme impliciran u patogenezi depresije, kao i anksioznih poremećaja (Maes and Meltzer, 1995; Abi-Dargham et al., 1997, Lopez-Munoz et al. 2009, Javitt et al. 2006). fokus unutar shizofrenije i psihotičnog spektra nešto novijeg datuma (vezan uz poremećenu neurotransmisiju dopamina)

12 Utjecanje na serotoninski sustav Inhibiranje unosa u SŽS (druge AK) Inhibiranje sinteze: p-klorofenilalanin (nereverzibilno) Inhibiranje ponovnog neuronalnog unosa: kokain, SIPUNS (npr. fluoksetin), TCA (npr. imipramin) Inhibiranje pohrane-deplecija: rezerpin Inhibiranje metabolizma: MAO inhibitori Promoviranje otpuštanja: p- kloroamfetamin zatim deplecija (npr. Fenfluramin za apetita) Neselektivno

13 Trombociti i neuromodulacija Nekoliko poveznica između mozga i trombocita zanimljiv cilj proučavanja neurobiologije psihijatrijskih poremećaja Sadrže velike količine serotonina disfunkcija serotonergičkog sustava je involvirana u razvoj više psihijatrijskih poremećaja (depresija, anksioznost, suicidalnost i dr.) Mogu unositi i dopamin, kao što i eksprimiraju razne dopaminske receptore, zanimljiv cilj za bolje razumijevanje patofiziologije shizofrenije Trombociti skladište, otpuštaju i obrađuju amiloidni prekursorski protein (APP) koji dijeli β-amiloidne (Aβ) peptide nakupljanje Aβ u mozgu (plakovi) i krvnim žilama (Aβ-angiopatija) su znakovi AD

14 Serotonin i trombociti Kako su serotonergički neuroni još uvijek relativno nedostupni, trombociti se već godinama koriste kao periferni model neuronalne dinamike serotonina Proces otpuštanja i ponovne pohrane serotonina vrlo je sličan u tromobcitima i neuronima (Stahl, 1985; Muck-Seler et al., 2004). Ima i suprotnih stajališta - fiziološke intraindividualne razlike između razina serotonina i njegove ponovne pohrane (Balija et al., 2011) Trombociti nemaju staničnu jezgru - genetska transkripcija se možebitno razlikuje periferno i neuronalno (Austin et al. 1994) No, razine serotonina u krvi jesu refleksija koncentracije serotonina u trombocitima (sadrže više od 99% u cirkulaciji)

15 Serotonin i trombociti Koncentracija serotonina u trombocitima ovisi o nekoliko čimbenika: Plazmatskoj koncentraciji serotonina Aktivnosti serotoninskog transportera Mehanizmu pohrane serotonina u guste granule Individualnoj varijabilnosti otpuštanja serotonina iz trombocita u plazmu (Balija et al., 2011, Mercado and Kilic 2010) Visoka koncentracija serotonina u trombocitima ne mora nužno govoriti o visokoj koncentraciji serotonina u krvi, no rezultati istraživanja sugeriraju kako u fiziološkim uvjetima visoka koncentracija serotonina u trombocitima direktno utječe na visoku koncentraciju serotonina u krvi. (Hervig et al. 1996)

16 Glavne korištene metode u psihijatriji (uz trombocite) Metoda Kratki opis Mjerenje aktivnosti MAO 2-ugljik 4-triptamin hidroklorid ili ugljik14- benzilamin kao supstrati Razina 5-HT Tekućinska kromatografija visoke djelotvornosti (HPLC) s fluorometričkom i elektrokemijskom detekcijom Vezna mjesta za SERT Test vezivanja 3 H imipramina Noradrenergička vezna mjesta Specifično vezivanje 3 H-klonidina i 3 H- johimbina za membranu trombocita Supresija odgovora trombocita na agregaciju Prostaglandinom E1 S trombocitima povezana antitijela 11 Korištenje PGE1 za supresiju agregacije trombocita kao odgovor na ADP ELISA nakon reakcije sa antihumanim imunoglobulinom vezanim za hrenovu peroksidazu Aktivnost trombocitnih mitohondrijalnih enzima Mjerenje različitih kompleksa aktivnosti respiratornog sustava

17 Trombocitni serotonin u depresiji Višekratno zabilježena niža koncentracija serotonina u trombocitima u depresivnim pacijentima, naprema zdravima (Muck-Seler et al., 2004; Ruljancic et al. 2013) Neka istraživanja nisu pronašla značajnih razlika (Šagud et al. 2016, Moreno 2006) Više koncentracije trombocitnog serotonina zabilježene u psihotičnih depresivnih pacijenata u usporedbi s nepsihotičnima (Muck-Seler et al., 1996) U suicidalnih pacijenata s depresijom (u usporedbi s ne-suicidalnim i zdravima) su višekratno zabilježene niže koncentracije trombocitnog serotonina (Alvarez et al. 1999; muck Seler et al. 1996, Pivac et al. 1997; Rao et al. 1998, Braunig et al. 1989, Van Kempen et al. 1992) Opisano i kako se niža koncentracija trombocitnog serotonina (uz više razine IL-6 i CRP) može koristiti kao marker metaboličkog sindroma u depresivnih pacijenata (Silić et al. 2012) Sezonske i okolinske varijacije: više koncentracije trombocitnog serotonina zabilježene u psihotičnih depresivnih pacijenata (naprema nepsihotičnima) i to u ljeti, jeseni i zimi (Jakovljević et al. 1997), Liječenje izlaganjem dnevnom suncu je značajno povisilo koncentraciju trombocitnog serotonina u depresivnih pacijenata (Ljubičić et al. 2007).

18 Trombocitni serotonin u depresiji Glede liječenja Antidepresivi značajno snižavaju i normaliziraju koncentraciju trombocitnog serotonina (posebice u pacijenata s dobrim odgovorom na antidepresive) (Moreno et al. 2006; Anderson et al. 2004; Muck Seler et al. 2005; Maurer-Spurej et al (Šagud et al. 2016) Predlagano korištenje koncentracije trombocitnog serotonina kao prediktora terapijskog odgovora antidepresivima (Figueras et al. 1999; Muck-Seler et al. 2002; Muck Seler et al. 2005)

19 Trombocitni serotonin u shizofreniji Istraživanja trombocitnog serotonina u shizofreniji opetovano ukazuju na njegove značajno više koncentracije: u neliječenih pacijenata (Muck-Seler et al., 2004, 1999; Kaneda et al., 2001; Ertugrul et al., 2007; Meszaros et al. 1998) kod izraženih pozitivnih simptoma (Muck-Seler et al. 1991; Jakovljevic et al., 1997; Pivac et al. 1997) u shizofrenih bez značajnih depresivnih simptoma (Peitl 2016) Niže vrijednosti koncentracije trombocitnog serotonina su opisane u shizofrenih pacijenata liječenih neurolepticima (Kaneda et al. 2001) Više vrijednosti koncentracije trombocitnog serotonina su povezivane povezivane s boljim terapijskim odgovorom na olanzapin (Brusov et al. 2005) U prvih psihoza opisana je značajno niža koncentracija trombocitnog serotonina u suicidalnih, naprema onima koji to nisu, kao i zdravih (Marčinko et al. 2007

20 Trombocitni serotonin u shizofreniji Primjećeno kako se koncentracije trombocitnog serotonina značajno više u shizofrenih pacijenata za proljeća (u usporedbi sa zdravima i depresivnim pacijentima) (Jakovljević et al. 1997) Pri usporedbi shizofrenih i depresivnih pacijenata, koncentracije trombocitnog serotonina su više u shizofrenih (Muck-Seler et al. 2004, Peitl et al. 2016) Značajno niže koncentracije trombocitnog serotonina u subpopulaciji shizofrenih s izraženim depresivnim simptomima (Peitl et al. 2016)

21 Shematska prezentacija glavnih trombocitnih oštećenja u shizofreniji

22 Anksioznost i suicid Snižena serotonergička funkcija sa sklonošću razvoja agresije (najvjerojatnihe usmjerena na autoagresivno i suicidalno ponašanje) mogući je patofiziološki supstrat suicidalnosti. Obrnuta (inverzna) povezanost između razine serotoninskog metabolita 5-HIAA u CS likvoru i povijesti ranijih pokušaja suicida također povezuje serotonergičku disfunkcionalnost i suicid. Osim serotonergičke disfunkcije, trombociti suicidalnih psihijatrijskih pacijenata ukazuju na smanjenu gustoću GABA-A (BZD) receptora.

23 Anksiozni poremećaji (panični poremećaj) Koncentracija serotonina u trombocitima većinom se nije mijenjala u pacijenata s paničnim poremećajem (Balon et al. 1987; McIntyre et al. 1989) U jednom istraživanju je primjećeno smanjenje koncentracije (Evans et al. 1985) Niže plazmatske razine serotonina (mjereno tekućinskom kromatografijom) nego u zdravih (Schneider et al. 1987) Niže vrijednosti uočene i u muškaraca s paničnim poremećajem (u usporedbi sa zdravima), s daljnjim smanjenjem nakon liječenja paroksetinom (Shutov & Bystrova 2008) Nekoliko istraživanja - smanjeno vezivanje za mjesto unosa serotonina na trombocitima (Iny et al. 1994; Lewis et al. 1985), Većina istraživanja nije ustanovila razlike prema zdravima (Innis et al. 1987; Nutt & Fraser 1987; Pecknold et al. 1987; Schneider et al. 1987; Uhde et al. 1987; Norman et al. 1989; Butler et al. 1992) Dva istraživanja su zabilježila povećani unos serotonina u trombocite (Norman et al. 1986; Norman et al. 1989b), dok su druge dvije zabilježile smanjen unos (Pecknold et al. 1988; Butler et al. 1992) Značajno niža agregacija trombocita u odgovoru na serotonin (Butler et al. 1992)

24 Anksiozni poremećaji (GAP) Sniženo vezivanje za mjesto ponovnog unosa serotonina u trombocite (Iny et al. 1994) Vezivanje serotonina za limfocite se nije razlikovalo u pacijenata s GAP-om i zdravih (Hernandez et al. 2002) Serotonin i 5-HIAA u trombocitima bogatoj i siromašnoj plazmi (i limfocitima) se nisu razlikovali u pacijenata s GAP-om i zdravih (Hernandez et al. 2002)

25 Anksiozni poremećaji (OKP) Mjerenjem perifernih serotonergičkih parametara (koncentracija serotonina u krvi, likvoru, trombocitni serotoninski transproter, karakteristike vezivanja za 5-HT 2A receptor i inozitol 1,4,5-trifosfatni sadržaj trombocita) identificirani su neki prediktori ishoda liječenja OKP pacijenata s antidepresivima (SIPUNS) Kapacitet ponovnog unosa serotonina na trombocitima je snižen u djece i adolescenata s OKP

26 Anksiozni poremećaji (PTSP) Značajno niža koncentracija trombocitnog serotonina u suicidalnih pacijenata s PTSP-om i drugih pacijenata koji pak ne boluju od PTSP-a (usporedba s ne-suicidalnim pacijentima s PTSP-om i zdravima) (Kovacic et al. 2008) Oboljeli od PTSP-a imaju značajno niže razine serotonina u plazmi s vrlo niskim brojem trombocita (PPP platelet poor plasma), a više razine noradrenalina, kao i značajno višu prosječnu urinarnu ekskreciju tri kateholamina (noradrenalin, dopamin i homovanilinska kiselina) u 24 satnom urinu (Spivak et al. 1999) Nije nađeno promjena u vezivanju za 5-HT 1A receptor Bonne et al. (2005) Niži broj trombocitnih veznih mjesta za [ 3 H]paroksetin i niža konstanta disocijacije za vezivanje [ 3 H]paroksetina u veterana s PTSP-om (usporedba sa zdravima) (Fichtner et al. 1995)

27 Alzheimerova bolest Neurodegenerativno oboljenje i najčešći uzrok demencije u starijih Neuropatologija uključuje β-amiloidne (Aβ) plakove u mozgu i krvnim žilama, neurofibrilarne čvoriće s hiperfosforiliranim tau proteinom, upalu i cerebrovaskularno oštećenje Trombociti su zanimljiv alat za proučavanje staničnih mehanizama AD jer u usporedbi s perifernim tkivima sadrže najviše količine prekursora β-amiloida (APP) Sve tri izoforme APP (130, 110 i 106 kda) se mogu ustanoviti u trombocitima APP dijeli Ca 2+ ovisna cisteinska proteaza tijekom aktivacije trombocita, a metabolizacija APP je poremećana u pacijenata s AD, što dovodi do smanjenog omjera 130 kda i kda APP izoformi biomarker za AD?

28 H V A L A N A P O Z O R N O S T I

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

FARMAKOLOGIJA PERIFERNOG ŽIVČANOG SUSTAVA

FARMAKOLOGIJA PERIFERNOG ŽIVČANOG SUSTAVA FARMAKOLOGIJA PERIFERNOG ŽIVČANOG SUSTAVA Prof. dr. sc. Frane Božić Zavod za farmakologiju i toksikologiju Veterinarski fakultet Sveučilišta u Zagrebu USTROJ ŽIVČANOG SUSTAVA MOZAK KRALJEŽNIČNA MOŽDINA

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

TEČAJ: TROMBOCITI INTERDISCIPLINARNI PRISTUP

TEČAJ: TROMBOCITI INTERDISCIPLINARNI PRISTUP TEČAJ: TROMBOCITI INTERDISCIPLINARNI PRISTUP TEST PROVJERE ZNANJA Zagreb, 11.11.2017. NAPOMENA: Samo jedan odgovor je točan. 1. Megakarioblast je morfološki prepoznatljiva stanica u razmazu periferne krvi:

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Aminokiseline. Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina 22.12.2014

Aminokiseline. Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina 22.12.2014 Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina Predavanja iz opšte biohemije Školska 2014/2015. godina Aminokiseline 1 Metabolizam aminokiselina Proteini iz

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

POVEZANOST KONCENTRACIJE TROMBOCITNOG SEROTONINA I POLIMORFIZMA GENA ZA MONOAMINOOKSIDAZU TIPA A SA SIMPTOMIMA AGITACIJE U PSIHIJATRIJSKIH BOLESNIKA

POVEZANOST KONCENTRACIJE TROMBOCITNOG SEROTONINA I POLIMORFIZMA GENA ZA MONOAMINOOKSIDAZU TIPA A SA SIMPTOMIMA AGITACIJE U PSIHIJATRIJSKIH BOLESNIKA DANICA UMOLAC POVEZANOST KONCENTRACIJE TROMBOCITNOG SEROTONINA I POLIMORFIZMA GENA ZA MONOAMINOOKSIDAZU TIPA A SA SIMPTOMIMA AGITACIJE U PSIHIJATRIJSKIH BOLESNIKA Diplomski rad Zagreb 2017. DANICA UMOLAC

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM

Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM Dr.sc. Ljiljana Mayer, spec.med.biokemije Zagreb, 18. ožujka 2017. Klinika za tumore Centar za maligne bolesti, KBCSM

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA

SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA 1. NAZIV GOTOVOG LIJEKA LUXETA 50 mg tablete 2. KVALITATIVNI I KVANTITATIVNI SASTAV Jedna filmom obložena tableta sadržava 50 mg sertralina u obliku sertralinklorida. Za

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Antidepresivi. Geni, kognicija, emocije, motivacija. Miroslav Savić Katedra za farmakologiju Univerzitet u Beogradu Farmaceutski fakultet

Antidepresivi. Geni, kognicija, emocije, motivacija. Miroslav Savić Katedra za farmakologiju Univerzitet u Beogradu Farmaceutski fakultet Antidepresivi Miroslav Savić Katedra za farmakologiju Univerzitet u Beogradu Farmaceutski fakultet Geni, kognicija, emocije, motivacija Psihijatrijski sindromi Geni Ćelije Sistemi Ponašanje Klasifikacija

Διαβάστε περισσότερα

Prof.dr.sc. Frane Božić Zavod za farmakologiju & toksikologiju Veterinarskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu

Prof.dr.sc. Frane Božić Zavod za farmakologiju & toksikologiju Veterinarskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu Prof.dr.sc. Frane Božić Zavod za farmakologiju & toksikologiju Veterinarskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu PREMEDIKACIJA preanestetska medikacija Svrha premedikacije: smanjiti strah pacijenta (smiriti

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Počela biostatistike, Poslijediplomski interdisciplinarni doktorski studij Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti

Počela biostatistike, Poslijediplomski interdisciplinarni doktorski studij Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti Analiza brojčanih podataka Nora Nikolac Klinički zavod za kemiju KB Sestre milosrdnice Kolegij: Počela biostatistike Statistička hipoteza postupak testiranja 1. postavljanje hipoteze: H 0, H 1 2. odabir

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Izgled depresivnog pacijenta

Izgled depresivnog pacijenta Izgled depresivnog pacijenta Depresivni pacijent - klinički sindrom Depresivni pacijent prateći simptomi ANTIDEPRESIVI (AD) Značaj U svakom trenutku 5-6% populacije depresivno, 10% bar jednom u životu

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA

SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA 1. NAZIV LIJEKA Tramadol Krka 100 mg/ml oralne kapi 2. KVALITATIVNI I KVANTITATIVNI SASTAV 1 ml otopine sadržava 100 mg tramadolklorida. Pomoćne tvari: sadržava saharozu,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

PSIHOFARMACI. Autori: Prim. dr. AMIRA TEFTEDARIJA Prim. dr. VINKA S MITRAN. Sarajevo, mart/2015 MEHANIZAM TERAPIJSKIH AKTIVNOSTI RECEPTORSKI PROFIL

PSIHOFARMACI. Autori: Prim. dr. AMIRA TEFTEDARIJA Prim. dr. VINKA S MITRAN. Sarajevo, mart/2015 MEHANIZAM TERAPIJSKIH AKTIVNOSTI RECEPTORSKI PROFIL PSIHOFARMACI MEHANIZAM TERAPIJSKIH AKTIVNOSTI RECEPTORSKI PROFIL Autori: Sarajevo, mart/2015 Prim. dr. AMIRA TEFTEDARIJA Prim. dr. VINKA S MITRAN Sadržaj DOPAMIN I DOPAMINERGIČKI RECEPTORI... 4 MEZOLIMBIČKI

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE 1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Imunofluorescencija. vizualizacija molekula protutijela obilježenih fluorokromom vezanih za antigene na stanicama ili tkivnim preparatima

Imunofluorescencija. vizualizacija molekula protutijela obilježenih fluorokromom vezanih za antigene na stanicama ili tkivnim preparatima Imunofluorescencija 1944. - Robert Coons protutijela se mogu označiti molekulama koje imaju sposobnost fluorescencije fluorokromi - apsorbiraju svjetlost jedna valne duljine (ekscitacija), a emitiraju

Διαβάστε περισσότερα

TEČAJ: NOVOSTI U ENDOKRINOLOŠKOJ LABORATORIJSKOJ DIJAGNOSTICI

TEČAJ: NOVOSTI U ENDOKRINOLOŠKOJ LABORATORIJSKOJ DIJAGNOSTICI TEČAJ: NOVOSTI U ENDOKRINOLOŠKOJ LABORATORIJSKOJ DIJAGNOSTICI TEST PROVJERE ZNANJA Zagreb, 05.12.2015. NAPOMENA: Točni odgovori označeni su crvenim slovima. 1. Na indikaciju liječnika ginekologa u trudnice

Διαβάστε περισσότερα

SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA. 3. FARMACEUTSKI OBLIK kapsula, tvrda Kapsule bijelog tijela s plavom kapicom, punjene bijelim prahom.

SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA. 3. FARMACEUTSKI OBLIK kapsula, tvrda Kapsule bijelog tijela s plavom kapicom, punjene bijelim prahom. 1. NAZIV LIJEKA Tramadol Farmal 50 mg kapsule SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA 2. KVALITATIVNI I KVANTITATIVNI SASTAV 1 kapsula sadrži 50 mg tramadolklorida Popis svih pomoćnih tvari naveden je u dijelu

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA

SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA SAŽETAK OPISA SVOJSTAVA LIJEKA 1. NAZIV GOTOVOG LIJEKA Cipralex MELTZ 10 mg raspadljive tablete za usta 2. KVALITATIVNI I KVANTITATIVNI SASTAV Jedna raspadljiva tableta za usta sadržava 10 mg escitaloprama

Διαβάστε περισσότερα

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα