Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF STU Bratislava;

Transcript

1 Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF SU Bratislava; wwwatcsjfstubask echnická mechanika 0 3 BEK, 0 0 BDS pre bakalárov, zimný sem docingfrantišek Palčák, PhD, ÚAMM Cvičenie: Dynamika všeobecného pohybu telesa Sférický pohyb telesa, Eulerove uhly Eulerove kinematické rovnice Gyroskopický moment Prednáška: Dynamické reakcie v ložiskách, vyvažovanie tuhých rotorov Dynamika všeobecného pohybu telesa Sférický pohyb telesa, Eulerove uhly Eulerove kinematické rovnice Dynamika všeobecného pohybu telesa Königova veta Königova veta E kv= E k + EkR pre celkovú kinetickú energiu valiaceho sa kolesa, EK mv Iz a časová derivácia EK r mvv Iz Dráhová hybnosť Dráhová hybnosť H ťažiska, H mv, resp H ma rýchlosť a je zrýchlenie ťažiska a Uhlová hybnosť Uhlová hybnosť KA KA KAR má dve zložky:, kde v je KA r mv Iz Časová derivácia bude: K A= K A+ K AR, KA r ma Iz, tiež KA r F M Rovnováha dráhovej hybnosti (LMB) Rovnováha uhlovej hybnosti (AMB) Rovnováha výkonov (PB) Fi ma linear momentum balance M r ma I i A z Fv M mvv Iz Príklad Ťažisko kolesa 3 automobilu má danú rýchlosť v 3, hmotnosť m a polomer r C Úloha: Vypočítajte celkovú kinetickú energiu EkV kolesa 3 pri všeobecnom pohybe 3/ Riešenie: Vychádzame z Königovej vety E kv= E k + EkR pre celkovú kinetickú energiu EkV kolesa 3, kde E k = mv je kinetická energia kolesa 3 pri translačnej zložke a E kr = Iz3 je kinetická energia kolesa 3 pri rotačnej zložke všeobecného pohybu

2 Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF SU Bratislava; wwwatcsjfstubask Obr Všeobecný pohyb 3/ kolesa 3 telesa podľa teórie rozkladu všeobecného pohybu telesa na (translačný () + rotačný (okolo ), ktorú navrhli Cauchy (87) a Poisson (834) Príklad Úloha: Na ťažisko kolesa 3 hmotnosti m a polomeru r pôsobí sila F a daný je súčiniteľ f S šmykového trenia pri valení Pri akej hodnote sily F nastane šmyk? Obr a) sila F pôsobiaca na ťažisko kolesa 3, b) obrázok uvoľnenia Riešenie: Podľa obrázka uvoľnenia (Obrb) pre translačnú a rotačnú zložku všeobecného pohybu kolesa 3 sú rovnice rovnováhy: Fix 0: - ma + F - x= 0 F 0: - G + N y= 0 iy M 0 M I α, i : z Vzhľadom na I z = mr a pre tangenciálne a r α zrýchlenie ťažiska dostaneme po úprave podmienku F < 3 pre valenie a podmienku F > 3 pre šmyk x x

3 Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF SU Bratislava; wwwatcsjfstubask Sférický pohyb telesa, Eulerove uhly Eulerove kinematické rovnice Obr3 Polohovanie telesa SAB z východiskovej polohy SAB do danej konečnej polohy SAB sférickým premiestnením pomocou otvoreného mechanizmu Otvorený sférický mechanizmus (počet členov u ) s motorčekmi D, D, D 3 na Obr3 slúži na premiestnenie ovládacej páčky E z danej východiskovej polohy SBI EI do danej konečnej polohy SB E sférickým premiestnením (Eulerove uhly: precesia, nutácia θ 3 a lokálna rotácia φ 43 ) Východisková poloha lokálnej súradnicovej sústavy (O,x,y,z ) I telesa E je totožná so vzťažnou súradnicovou sústavou (O,x,y,z ) Jednoznačne daná priesečnica x rovín x (x,y ) (x,y ) poskytuje uhol precesie (x, x ), alebo (y, y ), o ktorý treba pootočiť lokálnu súradnicovú sústavu E okolo osi z O uhol nutácie θ (z, z ) ktorý vyplýva za vzájomnej polohy osí z, z alebo θ (y, y θ) treba pootočiť lokálnu súradnicovú sústavu E okolo osi x Lokálna súradnicová sústava telesa E sa dostane do konečnej polohy (O,x,y,z ) po pootočení (lokálna rotácia) okolo osi z o uhol φ (x,x ), alebo φ (y θ,y )

4 Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF SU Bratislava; wwwatcsjfstubask Okamžitá uhlová rýchlosť sférického pohybu telesa E bude vyplývať z toho za aký čas a ako (rovnomerne, nerovnomerne) sa má teleso E premiestniť z danej východiskovej do danej konečnej polohy Okamžitá uhlová rýchlosť sférického pohybu telesa E voči vzťažnému rámu bude mať súradnice vyjadrené v lokálnych sústavách ako súčet uhlových rýchlostí ki θ i φk Motorčeky D, D, D 3 otvoreného mechanizmu môžu uskutočniť pootočenia dané uhlami precesie, nutácie θ 3 a vlastnej rotácie φ 43 postupne, alebo súčasne eleso E sa z danej východiskovej do danej konečnej polohy dostane najrýchlejšie ak budú motorčeky D, D, D 3 pracovať súčasne Potom stredná konštantná uhlová rýchlosť 4A sférického pohybu telesa E bude daná súčtom stredných konštantných uhlových rýchlostí 4A= A+ θ 3A+ φ 43A Na to, aby sme mohli vyjadriť okamžitú rýchlosť v A koncového bodu A sprievodiča rotujúceho telesa E je potrebné pretransformovať vektor = k I + θi + φk okamžitej uhlovej rýchlosti sférického pohybu telesa E do lokálnej súradnicovej sústavy (O,x,y,z ) E= x i + y j + zk E = (sθsφ + θcφ)i + (sθcφ - θsφ)j + (cθ + φ)k Eulerove kinematické rovnice sú dané súradnicami ( x, y, z) Dynamika sférického pohybu telesa Eulerov-Poinssotov bezsilový zotrvačník: = S, ťažisko je v strede S sférického pohybu telesa dk 0, teda K konst dt Lagrangeov-Poinssotov ťažký zotrvačník (Obr4): S, ťažisko nie je v strede S sférického pohybu telesa Obr4 Lagrangeov-Poinssotov ťažký zotrvačník dk, MS K, K I z φ MS r G = dt Gyroskopický moment MG - K = - Izφ - IzαR, kde αr φ je Résalovo uhlové zrýchlenie Keďže MG K = K, potom MS MG 0

5 Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, SjF SU Bratislava; wwwatcsjfstubask Príklad 3 Predné koleso (teleso 4 na obr5) bicykla má okolo osi z uhlovú rýchlosť φ a moment zotrvačnosti I z potom jeho uhlová hybnosť bude K I z φ Pri klopení roviny kolesa okolo pozdĺžnej osi z bude uhlová rýchlosť prvej precesie Uhol θ nutácie zvierajú osi π z a z, teda θ = konst Úloha : Ako vznikne prvý gyroskopický moment M G? Prečo bude potom pôsobiť vyrovnávajúci gyroskopický moment M G? Obr5 Stabilizácia predného kolesa bicykla Riešenie akcia: Pri klopení roviny kolesa okolo pozdĺžnej osi z uhlovou rýchlosťou precesie sa bude otáčať aj vektor K I z φ uhlovej hybnosti akcia: Otáčanie vektora K I z φ uhlovej hybnosti vyvolá vznik prvého gyroskopického momentu MG K, 3 akcia: Prvý gyroskopický moment MG K spôsobí stáčanie roviny kolesa uhlovou rýchlosťou druhej precesie 4 akcia: Druhá rotácia vektora K I z φ uhlovej hybnosti vyvolá vznik druhého gyroskopického momentu MG K, ktorý pôsobí proti klopeniu roviny kolesa a koleso vracia do zvislej polohy, teda ho stabilizuje