TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
|
|
- Βλάσιος Βαμβακάς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200
2 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. RNDr. Ján Buša, CSc. c doc. RNDr. Dušan Knežo, CSc. RNDr. Miriam Andrejiová, PhD. RNDr. Zuzana Kimáková, PhD. 200
3 Predhovor 3 Predhovor Tento učebný tet je určený poslucháčom prvého ročníka bakalárskeho štúdia Strojníckej fakult Technickej univerzit v Košiciach a tematick je orientovaný na predmet Matematika a Matematika I. Rovnako dobre však môže poslúžiť poslucháčom Fakult baníctva, ekológie, riadenia a geotechnológií a Hutníckej fakult Technickej univerzit v Košiciach. V učebnom tete sú uvedené podstatné teoretické poznatk potrebné ku riešeniu úloh, riešené príklad a úloh na riešenie týkajúce sa funkcie jednej reálnej premennej a jej diferenciálnehopočtu.obsahjespoluučebnýmtetom MATEMATIKA,časťB dostatočným základom pre štúdium a úspešné absolvovanie spomínaných predmetov. Obom recenzentom prof. RNDr. Jozefovi Dobošovi, CSc. a RNDr. Jánovi Bušovi, CSc. ďakujeme za dôsledné posúdenie tejto učebnej pomôck. Ich cenné pripomienk, rad a odporúčania prispeli ku zvýšeniu kvalit tejto publikácie. V Košiciach Autori
4
5 Obsah Funkcia jednej premennej 7. Pojemfunkcie Základnévlastnostifunkcie Monotónnosťfunkcie Ohraničenosťfunkcie Párnaanepárnafunkcia Periodickáfunkcia Prostá(jednojednoznačná)funkcia Inverznáfunkcia Elementárnefunkcie Konštantnáfunkcia Lineárnafunkcia Kvadratickáfunkcia Mocninováfunkcia Eponenciálnafunkcia Logaritmickáfunkcia Trigonometrické(goniometrické)funkcie Cklometrickéfunkcie Limitapostupnosti Postupnosti základnépojm Limitapostupnosti Výpočetlimítpostupnosti Limitafunkcie Limitafunkcie,jednostrannélimit Vetolimitáchfunkcií Výpočetlimítfunkcií Spojitosťfunkcie.Asmptot Spojitosťfunkcie Asmptot Diferenciáln počet funkcie jednej premennej Deriváciafunkcie Geometrickývýznamderivácie Rovnicadotčniceanormál Uholmedzigrafmifunkcií Fzikálnvýznamderivácie Derivácievššíchrádov
6 6 2.5 Diferenciálprvéhoráduadiferenciálvššíchrádov L Hospitalovopravidlo Monotónnosťfunkcie.Lokálneetrém Monotónnosťfunkcie Lokálneetrém Konvenosťakonkávnosťfunkcie.Inflenýbod Konvenosťakonkávnosťfunkcie Inflenýbod Priebehfunkcie Funkciaurčenáparametrick Talorovaveta Riešenia úloh 53 Riešeniaúlohkapitol Riešeniaúlohkapitol Literatúra 80
7 Kapitola Funkcia jednej premennej. Pojem funkcie Definícia. Nech M a P sú neprázdne podmnožin množin reálnch čísel R. Hovoríme, že na množine M je definovaná funkcia f, ak je daný predpis, podľa ktorého je každému prvku z množin M priradený jeden prvok z množin P. Množinu M nazývame definičným oborom funkcie f a budeme ju označovať D f. Množinu všetkých tých prvkov z P, ktoré sú funkciou f priradené nejakému prvku z M, nazývame oborom hodnôt funkcie f a budeme ju označovať H f. Ak funkcia f priradzuje prvku D f prvok, zapisujeme to = f(), (.) pričom číslo resp. f() nazývame hodnotou funkcie f v bode (čísle). Vo vzťahu (.) znak nazývame argumentom funkcie alebo nezávislou premennou, znak nazývame závislou premennou. Funkcia f môže bť daná niekoľkými spôsobmi: a) pomocou formálneho matematického zápisu rovnicou = f(), b) tabuľkou, c) slovným vjadrením, d) grafick. Grafom funkcie f() je mnnožina všetkých bodov [,] v rovine, ktoré majú nasledujúce vlastnosti:. je z definičného oboru funkcie f(), t.j. D f, 2. je hodnota funkcie f() v bode, t. j. = f(). Nieked uvažujeme funkciu len na časti jej definičného oboru 2. Vted hovoríme o tzv. parciálnej funkcii. Rozumieme tým nasledovné: Nech f je funkcia s definičným oborom D f a M D f. Hovoríme, že funkcia g je parciálna funkcia z f na M, ak D g = M a pre každé D g platí g() = f(). Napríklad funkcia definovaná na 0, π 2 rovnicou = sin je parciálnou funkciou Kvôli stručnosti budeme namiesto funkcia f s nezávislou premennou hovoriť iba funkcia f(). 2 Napríklad vted, ak funkcia nemá požadovanú vlastnosť na celom definičnom obore, ale na nejakej jeho časti ju má. 7
8 8 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ z funkcie danej rovnicou = sin (ktorej definičný obor je R). Postup pri určovaní definičného oboru: Na určenie definičného oboru funkcie f() je potrebné poznať definičné obor a vlastnosti elementárnch funkcií. Najčastejšie je potrebné vedieť, že: menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nule, výraz pod párnou odmocninou musí bť nezáporný, logaritmická funkcia je definovaná len pre kladný argument, ak a >, potom log a > 0 práve vted, ak >, ak 0 < a <, potom log a > 0 práve vted, ak 0 < <, funkcie = arcsin, = arccos sú definované pre. Zapamätajme si: 0 2n 0, n N log a > 0, a > 0, a a > log a > 0 > 0 < a < log a > 0 0 < < = arcsin = arccos Príklad. Určme definičný obor funkcie f() = +3+ln(3 2)+ 2. Riešenie. Vzhľadom na uvedené podmienk musí platiť Riešime sústavu nerovníc: > > 0 < Z toho vplýva, že definičný obor funkcie f() je D f = 3,0) (0,) (, 3 2).
9 .. POJEM FUNKCIE Definičný obor funkcie Príklad 2. Určme definičný obor funkcie f() = Riešenie Pod párnou odmocninou musí bť výraz nezáporný a menovateľ zlomku má bť rôzn od nul, t.j Teda > 0 ( 3)( 2) > 0. Nerovnicu môžeme riešiť pomocou nulových bodov. Výraz nadobúda hodnotu 0 pre = 2, = 3. Tieto dva bod rozdelia množinurna tri interval, ktoré zapíšeme do tabuľk: (, 2) 2 (2, 3) 3 (3, ) Dosadením ľubovoľných čísel z jednotlivých intervalov zistíme, ked výraz nadobúda kladné a ked záporné hodnot: (,2): = 3 f( 3) = ( 3) 2 5( 3)+6 = 30 > 0, (2,3): = 2,5 f(2,5) = (2,5) 2 5(2,5)+6 = 0,25 < 0, (3, ): = 4 f(4) = (4) 2 5(4)+6 = 2 > 0. Z tabuľk vplýva, že definičný obor funkcie f() je D f = (,2) (3, ). Nerovnicu môžeme riešiť aj grafick. Grafom funkcie = je parabola, ktorá pretína -ovú os v bodoch = 2, = 3. Riešením nerovnice sú tie čísla, pre ktoré je graf funkcie nad osou o. 2 = Definičný obor funkcie
10 0 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ Príklad 3. Určme definičný obor funkcie f() = Riešenie Pre výraz pod párnou odmocninou musí platiť a menovateľ zlomku má bť rôzn od nul, t.j. 2. Riešime nerovnicu s neznámou v menovateli: Nulové bod sú = 2, = (, 2) 2 ( 2, ) (, ) Definičný obor funkcie f() je D f = ( 2,. Príklad 4. Určme definičný obor funkcie f() = log 0, (2+). Riešenie. Z podmienok pre výraz pod párnou odmocninou a pre argument logaritmu pri základe a = 0, vplýva log 0, (2+) 0 2+ > 0. Platí Riešime sústavu nerovníc: log 0, (2+) 0 log 0, (2+) log 0, > 0 > Definičný obor funkcie Definičný obor funkcie f() je D f = ( 2,0.
11 .. POJEM FUNKCIE Príklad 5. Určme definičný obor funkcie f() = arcsin Riešenie. Funkcia = arcsin je definovaná pre. Platí / / / : ( 3) Definičný obor funkcie f() je D f = 23,2. Príklad 6. Určme definičný obor funkcie f() = sin Riešenie. Z podmienok vplýva sin Riešime podmienk: sin 0 0+2kπ,π +2kπ, k Z, ,5. Definičný obor funkcie Ak zoberieme do úvah to, že π = 3, , potom definičný obor funkcie f() je D f = 5, π 0,π.
12 2 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ Úloh V úlohách..90 nájdite definičný obor.. f() = f() = f() = f() = f() = f() = log 3 (2 ).7 f() = 5 +ln.8 f() =.9 f() = ln(2 3) f() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = log 2 ( 2 4+4).27 f() = log( 2 ) f() = +log 3 (+). f() =.2 f() =.3 f() = 2 log(+5) 4 +e 5 log 0,5 (2+) ln(9 ).4 f() = ln(3 2).5 f() =.6 f() =.7 f() = f() = f() = ln(2 3) f() = log(3 ).30 f() = f() = f() = ln(+5).33 f() = log 4 (2+7)+.34 f() = log( 2 4 5).35 f() = 2 3log 5(2 3) ) (.36 f() = ln 2 6+9
13 .. POJEM FUNKCIE 3.37 f() =.38 f() = ln( 4 2 ) ln(2 4).39 f() = ln(+4) f() = log 3(3 2 2 ).4 f() = log( 2 4)+.42 f() = log(2 +5+6).43 f() =.44 f() = +5 + log 2 (3 5) log.45 f() = f() = f() = 3.48 f() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = ( ).55 f() = ln 4 ( ).56 f() = log 3 2+ ( ) 2.57 f() = log f() = log ( ).59 f() = log 2.60 f() = log(log)+.6 f() = log.62 f() = log 2 log f() = ln ( ) f() = log 3 (ln ).65 f() = 3 e.66 f() = f() = ( ) f() = log(3 27).69 f() = e e 2.70 f() = log 4 (+5).7 f() = log 0,3 (4 2).72 f() = log 0, (2+4).73 f() = 2 ln(3+5).74 f() = log( )+ 4 +2
14 4 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ (.75 f() = log 2 ) f() =.77 f() = ( ) + log 3 ( ) log 0, f() = log(cos).79 f() = sin f() = arccos(+).8 f() = 3arcsin( 2) ( ) f() = arcsin ( ) 3.83 f() = arcsin +ln(3 ) 2 ( ) f() = arccos f() = ( ) arccos 3 ( ) 2.86 f() = arccos + 4 ln ( ) f() = arcsin f() = log( )+arcsin 2.89 f() = arccos( )+.90 f() = arcsin 4 3 ln( ).2 Základné vlastnosti funkcie.2. Monotónnosť funkcie Funkcia f() sa nazýva rastúca (klesajúca) na množine M, M D f, ak pre každé, 2 M také, že < 2, platí f( ) < f( 2 ) ( ) f( ) > f( 2 ). Ak M = D f hovoríme, že funkcia f() je rastúca (klesajúca). f( 2 ) =f( ) f( ) f( ) =f( ) f( 2 ) Rastúca funkcia Klesajúca funkcia
15 .2. ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI FUNKCIE 5 Funkcia f() sa nazýva neklesajúca (nerastúca) na množine M, M D f, ak pre každé, 2 M také, že < 2, platí ( ) f( ) f( 2 ) f( ) f( 2 ). Ak M = D f hovoríme, že funkcia f() je neklesajúca (nerastúca). Každú neklesajúcu a každú nerastúcu funkciu nazývame monotónnou. Každú rastúcu a každú klesajúcu funkciu nazývame rýdzomonotónnou. =f( ) =f( ) 0 0 Neklesajúca funkcia Nerastúca funkcia.2.2 Ohraničenosť funkcie Funkcia f() je zhora (zdola) ohraničená na množine M, M D f práve vted, ak eistuje také reálne číslo K, (resp. k), že pre každé M platí f() K (f() k). Funkcia je ohraničená na množine M, ak je zhora i zdola ohraničená na množine M. K =f( ) =f( ) k 0 0 Funkcia ohraničená zhora Funkcia ohraničená zdola.2.3 Párna a nepárna funkcia Hovoríme, že funkcia f() je párna, ak. pre D f je ( ) D f,
16 6 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ 2. pre D f je f( ) = f(). Hovoríme, že funkcia f() je nepárna, ak. pre D f je ( ) D f, 2. pre D f je f( ) = f(). Graf párnej funkcie je súmerný podľa osi o pravouhlého súradnicového sstému, graf nepárnej funkcie je súmerný podľa počiatku pravouhlého súradnicového sstému. f(- )=f( ) =f( ) f(- )=-f( ) =f( ) Párna funkcia Nepárna funkcia Platí: súčet alebo rozdiel dvoch párnch (nepárnch) funkcií je párna (nepárna) funkcia, súčin alebo podiel dvoch nepárnch alebo dvoch párnch funkcií je párna funkcia, súčin alebo podiel jednej párnej a jednej nepárnej funkcie je nepárna funkcia..2.4 Periodická funkcia Funkciu f() nazývame periodickou, ak eistuje kladné reálne číslo p také, že platí:. pre každé D f je aj (+p) D f a ( p) D f, 2. pre každé D f platí: f(+p) = f(), f( p) = f(). Najmenšie kladné reálne číslo p daných vlastností nazývame základnou periódou funkcie f() a označujeme ho T..2.5 Prostá (jednojednoznačná) funkcia Funkcia f() sa nazýva prostá, ak pre každé, 2 D f také, že 2 platí f( ) f( 2 ). Veta. Každá rýdzomonotónna funkcia je prostá.
17 .2. ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI FUNKCIE 7 f( )= f( 2 ) =f( ) f( ) f( 2 ) =f( ) Funkcia nie je prostá na D f Funkcia je prostá na D f.2.6 Inverzná funkcia Nechf() je prostá funkcia definovaná na množine D f s oborom hodnôt H f. Funkciu definovanú na H f tak, že každému H f priradí ten prvok D f, pre ktorý platí = f(), nazývame inverznou funkciou k funkcii f(). Inverznú funkciu k funkcii f() budeme označovať f (). Veta 2. Nech f() je rýdzomonotónna funkcia. Potom eistuje k nej inverzná funkcia f (). Funkcia f () je rastúca (klesajúca) vted, ak funkcia f() je rastúca (klesajúca). Pre funkciu f() a k nej inverznú funkciu f () platí: graf funkcií f() a f () sú osovo súmerné podľa priamk =, D f = H f, H f = D f, D f : f (f()) =, H f : f(f ()) =. = f( ) 0 f - ( ) Inverzná funkcia
18 8 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ Postup určenia predpisu inverznej funkcie k funkcii = f():. Zistíme, či je funkcia = f() prostá. Ak nie je (teda k nej neeistuje inverzná funkcia), snažíme sa určiť také interval definičného oboru, na ktorých sú príslušné parciálne funkcie (pozri str. 7) z funkcie f() prosté a inverznú funkciu hľadáme pre tieto parciálne funkcie. 2. V rovnici = f() navzájom vmeníme a, t. j. dostaneme = f(). 3. Z rovnice = f() vjadríme pomocou. Príklad. Všetrime párnosť, resp. nepárnosť funkcie f(). a) f() = 3 3 +, b) f() = 3 2 4, c) f() = 2, Riešenie. d) f() = sin, e) f() = 2 2 +, f) f() = ln( ). a) Funkcia f() = je definovaná pre všetk reálne čísla, t.j. pre D f je aj D f. Porovnáme f() a f( ). Pretože f( ) = 3( ) 3 + = 3 3 +, eistujú D f také, že f( ) f() a f( ) f(), teda funkcia nie je párna, ani nepárna. b) Definičný obor funkcie f() = je D f = R { 2,2}, t.j. pre D f aj D f. Porovnáme f() a f( ). Platí odkiaľ vplýva, že funkcia f() = f( ) = ( )3 ( ) 2 4 = = f(), je nepárna. c) Definičný obor funkcie f() = 2 je D f = R { 2 }. Pretože nie je splnená podmienka: pre D f je aj D f, funkcia f() nie je párna, ani nepárna. d) Definičný obor funkcie f() = sin je D f = R, t.j. pre každé D f je aj D f. Platí f( ) = ( ) sin( ) = ( ) ( sin) = sin = f(), odkiaľ vplýva, že funkcia f() = sin je párna.
19 .2. ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI FUNKCIE 9 e) Definičný obor funkcie f() = je D f = R, t.j. pre D f je aj D f. Platí f( ) = 2( ) 2 ( ) + = 2 Funkcia f() = je nepárna. 2 + = f) Definičný obor funkcie f() = ln( ) je D f = (,) = 2 +2 = = f(). Pretože nie je splnená podmienka: pre D f je aj D f, funkcia f() = ln( ) nie je párna, ani nepárna. Príklad 2. Nájdime inverznú funkciu k funkcii f(). a) f() = 2, b) f() = 3+2 4, c) f() = 3, d) f() = 4ln(3+2), e) f() = Riešenie. a) Definičný obor funkcie f() = 2 je D f = R. Funkcia je párna a na intervale (, ) nie je prostá. Inverzná funkcia k nej neeistuje. Z grafu funkcie (pozri str. 23) je zrejmé, že parciálne funkcie f() = 2, (0, ) a f() = 2, (,0) sú prosté a eistujú k nim inverzné funkcie. Hľadajme teraz inverznú funkciu k funkcii f() = 2 na intervale (0, ). Definičný obor funkcie je D f = (0, ) a obor hodnôt H f = (0, ). Funkcia je rastúca a teda prostá, preto k nej eistuje inverzná funkcia f (), pričomd f = H f = (0, ),H f = D f = (0, ). Určíme inverznú funkciu: = 2, 2 =. Pretože H f = (0, ), inverznou funkciou k funkcii f() = 2 na intervale (0, ) je funkcia f () : =, (0, ). Hľadajme teraz inverznú funkciu k funkcii f() = 2 na intervale (,0). Definičný obor funkcie je D f = (,0) a obor hodnôt H f = (0, ). Funkcia je klesajúca a teda prostá, preto k nej eistuje inverzná funkcia f (), pričom D f = H f = (0, ), H f = D f = (,0). Určíme inverznú funkciu: = 2, 2 =. Pretože H f = (,0), inverznou funkciou k funkcii f() = 2 na intervale (0, ) je funkcia f () : =, (0, ).
20 20 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ b) Definičný obor funkcie f() = je D f = R {4}, obor hodnôt H f = R { 3}. Funkcia je na celom definičnom obore rastúca a teda je prostá. Eistuje k nej inverzná funkcia f () definovaná na množine D f = H f = R { 3}. Určíme inverznú funkciu: 3 +2 = 4, (4 )=3 +2, 4 2=3 +, (3+)=4 2, = Inverznou funkciou k funkcii f() = 3+2 je funkcia 4 f () : = , R { 3}. c) Definičný obor funkcie f() = 3 je D f = (,3, obor hodnôt H f = 0, ). Funkcia je klesajúca a teda prostá. Eistuje k nej inverzná funkcia f (), ktorá je definovaná na intervale D f = H f = 0, ). Určíme inverznú funkciu: = 3, 2 =3, =3 2. Inverznou funkciou k funkcii f() = 3 je funkcia f () : = 3 2, 0, ). d) Definičný obor funkcief() = 4ln(3+2) jed f = ( 3 2, ), obor hodnôth f = (, ). Funkcia je rastúca a teda prostá. Eistuje k nej inverzná funkcia f (), ktorá je definovaná na intervale D f = H f = (, ). Určíme inverznú funkciu: =4ln(3+2), 4 =ln(3+2), e 4 =3+2, e 4 3=2, e =, = e Inverznou funkciou k funkcii f() = 4 ln(3 + 2) je funkcia f () : = e 4 3, R. 2 e) Definičný obor funkcie f() = je D f = R, obor hodnôt H f = (, ). Funkcia je rastúca a teda prostá. Eistuje k nej inverzná funkcia f (), ktorá je definovaná na intervale D f = H f = (, ).
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραVaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit Riaditeľ siete stravovacích zariadení dal pokn, že do každej reštaurácie, v ktorej stúpne počet hostí o viac ako 3 %, musia prijať najmenej dvoch nových
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραRovnosť funkcií. Periodická funkcia.
VaFu7-T List Rovnosť funkcií. Periodická funkcia. RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Začnem jednoduchou otázkou. Ked sa podľa teba dve funkcie rovnajú? Ž: No čo ja viem, asi keď majú úplne rovnaké graf. U: S
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu. Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP. Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová
MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραGrafy funkcií tangens a kotangens
Ma-Go-8-T List Graf funkcií tangens a kotangens RNDr. Marián Macko U: Dobrú predstavu o grafe funkcie f : = tg získame z jednotkovej kružnice prenesením hodnôt funkcie tangens pre niekoľko zvolených hodnôt
Διαβάστε περισσότεραVaFu02-T List 1. Graf funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu0-T List Graf funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Vieme, že funkcia vjadruje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Akým spôsobom b mohla bť funkcia zadaná? Ž: Stretol som sa najmä srovnicami, napríklad
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH MATEMATIKA II. Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH S T R O J N Í C K A F A K U L T A MATEMATIKA II Dušn Knežo, Mirim Andrejiová, Zuzn Kimáková RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. RNDr. Ján Buš, CSc. c doc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραUčebný zdroj pre žiakov z predmetu Matematika
STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA Komenského 6, 08 7 Lipany Učebný zdroj pre žiakov z predmetu Matematika Odbor: Kozmetik a Pracovník marketingu Autorka: PaedDr. Iveta Štefančínová, Ph.D. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek
Matematika prednáška pre. roč. iai) V. Balek . Definícia derivácie Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a? Matematická analýza je náuka o deriváciach diferenciáln počet) a integráloch integráln
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Elementárny kalkulus
Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Poznámka k úlohám o funkciách: Ak nie je uvedené inak, je definičným oborom funkcie množina všetkých reálnych čísel, pre ktoré výraz definujúci funkciu má zmysel. 0 Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραDefinícia funkcie sínus a kosínus
a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότερα1.1 Zobrazenia a funkcie
1 Teória vypočítateľnosti poznámky z prednášky #1 1.1 Zobrazenia a funkcie Definícia. Čiastočné (totálne) zobrazenie trojice (A, B, f) pre ktoré platí: f A B Ku každému vstupu a A existuje najviac jeden
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραGrafy funkcií sínus a kosínus
Ma-Go-5-T List Graf funkcií sínus a kosínus RNDr. Marián Macko U: Pozoroval si nieked, ako sa správa vodná hladina na jazere, ak tam hodíš kameň? Ž: Vlní sa. U: Svojím tvarom v jednej vbranej línií pripomína
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραMaturitné otázky z matematiky
Gmnázium Pavla Horova Michalovce Maturitné otázk z matematik školský rok 00 / 00 . VÝROKY A MNOŽINY Maturitné otázk a príklad z matematik, Gmnázium Pavla Horova, Michalovce Výrok a jeho negácia. Kvantifikované
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραMaturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραKapitola III. FUNKCIE
Kapiola III. FUNKCIE DEFINÍCIA FUNKCIE Úvahy v omo odseku zanime preskúmaním dvoch známych vzorcov. Príklad. a) s = g b) P = πr Vzorec a) je dobre známy vzah pre voný pád udávajúci závislos prejdenej dráhy
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραPríklady k Matematike 1
Príklady k Matematike 1 1. Definícia derivácie 1. Nájdite deriváciu y = + 1) 2 tak, že prejdete od k t = + 1. 2. Zistite z definície, čomu sa rovnajú derivácie funkcií y = 3, y = 1/ 2 a y =. Návod k tretej
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότερα