Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη

Transcript

1 ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη κι Έλκουσ Κµπύλη ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σ. Σ. Μ. 1. ΑΛΥΣΟΕΙ ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΑ Μι πό τις ιστορικές κι ονοµστές κµπύλες, του επιπέδου που µελετήθηκε µετά την νκάλυψη του Απειροστικού Λογισµού, είνι η λυσοειδής (catenar, catenoid) κµπύλη. Είνι η κµπύλη την οποί σχηµτίζει µι λυσίδ - πό την οποί πήρε κι το όνοµά της - κι γενικά έν νήµ, που κρέµετι ελεύθερ στο πεδίο βρύτητς της γης στηριζόµενο πό δυο σηµεί του (π.χ. έν κλώδιο της ΕΗ). Ποιά είνι όµως η εξίσωση υτής της τόσο συνηθισµένης στη ζωή κµπύλης; Με το θέµ υτό σχολήθηκν πολλοί επιστήµονες. Πρώτος ο Γλιλίος( ), ο οποίος πίστευε ότι η κµπύλη µις λυσίδς που κρέµετι υπό την επίδρση της βρύτητς είνι πρβολή. Στην συνέχει οι C. Hugens ( ) κι Jungius το 1669 έδειξν πειρµτικά ότι η άποψη του Γλιλίου δεν ήτν σωστή. Ο Hugens ήτν ο πρώτος που χρησιµοποίησε τον όρο λυσοειδή κµπύλη σε µι επιστολή του προς τον Leibniz ( ) το Επίσης ο D. Gregor ( ) έγρψε µι πργµτεί γι την λυσοειδή κµπύλη το Όµως η πρώτη σοβρή θεωρητική µελέτη της κµπύλης υτής έγινε µετά την δηµοσίευση των πρωτοπόρων εργσιών του Leibniz, πό τον µθητή του Jοhann Bernoulli ( ) το 1691, που προκλήθηκε πό τον Jacob Bernoulli ( ) ν βρει την εξίσωση της "λυσίδς-κµπύλης". ΠΡΟΒΛΗΜΑ Έστω έν οµογενές νεκτικό κι ευλύγιστο νήµ που δεν µπορεί ν εκτθεί, το οποίο κρέµετι ελεύθερ στο πεδίο βρύτητς της γης, πό δυο σηµεί Ν,

2 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη Σ που η πόστσή τους είνι µικρότερη του µήκους του νήµτος. Ν βρεθεί η εξίσωση της κµπύλης που πριστάνει το νήµ. Λύση Υποθέτουµε κτ ρχήν ότι η ντίστση του έρ προς το νήµ είνι µελητέ σε σχέση µε το βάρος του νήµτος κι δεν την λµβάνουµε υπόψη. Ότν το νήµ ισορροπεί, βρίσκετι πάνω στο κτκόρυφο επίπεδο που περνά πό τ σηµεί Ν, Σ (Σχήµ 1). Στο επίπεδο υτό θεωρούµε έν ορθοκνονικό σύστηµ Ο ώστε ο άξονς Ο ν έχει την διεύθυνση της κτκορύφου κι περνά πό το κτώττο σηµείο Α της κµπύλης (εποπτικά τουλάχιστον είνι φνερή η ύπρξή του). Έστω γ η τετµηµένη του Ν κι δ η τετµηµένη του Σ. Η πόστση ΟΑ προς το πρόν δεν µς ενδιφέρει όµως πρκάτω θ την ορίσουµε κτάλληλ. Έστω Μ(, ) έν σηµείο του νήµτος κι Β Β() το βάρος του νήµτος ΝΜ, το οποίο σκείτι στο κέντρο βάρους του G. Έστω κόµη F η (εφπτοµενική) τάση του νήµτος στο Ν, Τ η (εφπτοµενική) τάση του νήµτος στο Μ Στο νήµ ΝΜ σκούντι συνολικά 3 δυνάµεις, οι F, B, T (Σχήµ 1) F Q θ N Σ Τ G M ω Β Α Σχήµ 1 γ Ο Π δ Επειδή το σύστηµ υτό ισορροπεί πρέπει, σύµφων µε σχετική ρχή της σττικής, το λγεβρικό άθροισµ των οριζόντιων, κθώς κι των κτκόρυφων δυνάµεων ν είνι ίσο µε µηδέν, δηλδή Οριζόντι: Fσυνθ -Τσυνω 0 (1) Κτκόρυφ: Β-Τηµω - Fηµθ 0,

3 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 3 όπου ω η γωνί κλίσης της δύνµης (τάσης) Τ ως προς τον -άξον κι θ η οξεί γωνί της δύνµης F µε τον ίδιο άξον. Με πλοιφή του T µετξύ των εξισώσεων υτών προκύπτει Β - Fηµθ εφω () Fσυνθ Αν s s() είνι το µήκος του τόξου ΝΜ, το οποίο έχει βάρος ΒΒ(), o λόγος ββ/s είνι στθερός (φού το νήµ είνι οµογενές) κι πριστάνει το βάρος νά µονάδ µήκους του νήµτος (π.χ. Kg/cm). Έτσι η σχέση () γράφετι βs() Fσυνθ Fσυνθ () + εφθ, ή, θέτοντς : στθερό, β () 1+ ( ()), οπότε τελικά έχουµε την διφο- s() ( ()+εφθ). Όµως ρική εξίσωση s () 1+ ( ()), > 0 (3) Μένει ν κθορίσουµε τις ρχικές συνθήκες γι την λύση της: Αν λάβουµε ΟΑ, τότε (0) κι η εµπειρική εικόν του νήµτος µς επιτρέπει ν πάρουµε (0) 0. u 1 Θέτουµε u, οπότε η ( 1) γράφετι 1+ u κι ολοκληρώνοντς, φού κάνουµε λλγή µετβλητής (uεφt), πίρνουµε ln ( u+ 1+ u ) + κ Είνι u(0) (0) 0, οπότε κ 0 κι έτσι u() 1 / / ( e e ) Όµως u, οπότε / / () ( e e ) + c της ζητούµενης κµπύλης + κι λόγω της (0), έχουµε τελικά την εξίσωση / / ( e + e ) () ή cosh, γ δ.

4 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Η στθερά είνι πράµετρος του προβλήµτος κι όχι της διφορικής Fσυνθ εξίσωσης κι κθορίζετι πειρµτικά µέσω της σχέσης (είτε µέσω β της σχέσης, σύµφων µε µι ιδιότητ που θ δούµε πρκάτω) συνω. Το σηµείο Α(0, ) λέγετι κορυφή της λυσοειδούς, ο άξονς των διευθετούσ της κι το µήκος ΟΑ ύψος της. Ο άξονς των είνι άξονς συµµετρίς της λυσοειδούς κµπύλης. 3. Η συνάρτηση f() cosh, R, >0, λέγετι λυσοειδής συνάρτηση. Η συνάρτηση υτή προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 ίσο µε κι είνι γνήσι φθίνουσ στο διάστηµ (-,0] κι γνήσι ύξουσ στο διάστηµ [0,+ ). Επίσης είνι κυρτή συνάρτηση. 4. Mι φυσική ιδιότητ - εφρµογή Η τάση σ έν σηµείο Μ(, ) του νήµτος είνι ίση µε το βάρος µονάδων του νήµτος. Απόδειξη Θ ποδείξουµε ότι T β, όπου β το βάρος νά µονάδ του νήµτος. H Fσυνθ Έχοµε Τ, όπου Η Fσυνθ η οριζόντι τάση στο Ν, (1) συνω β 1 είνι () sinh κι 1+εφ ω 1+( ). συν ω Αλλά 1+( ) cos 1 h, οπότε cosh (0 ω<π/) συνω Κι λόγω των (1) έχουµε Τ Ηcosh β. Άµεση συνέπει υτής της ιδιότητς είνι ότι, ν στ σηµεί Ν, Μ θεωρήσουµε ότι βρίσκοντι δυο λεί κρφιά ή τροχλίες, κι το νήµ φεθεί πάνω σ υτά µέχρι ν γγίξει κριβώς τον άξον των, τότε το νήµ δεν θ γλιστρήσει κι θ πρµείνει σε ισορροπί. Αυτό συµβίνει γιτί οι τάσεις στ σηµεί Ν, Μ που πιτούντι γι ν συγκρτηθεί το νήµ στον έρ, είνι κριβώς ίσες ντίστοιχ µε Νγ κι ΝΠ µονάδες του νήµτος.

5 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 5 ΝΗΜΑ ΣΕ ΜΗ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΕΠΙΠΕ Ο Αν το νήµ κρέµετι ελεύθερ πάνω σ έν µη κτκόρυφο επίπεδο, που σχηµτίζει γωνί φ µε το κτκόρυφο επίπεδο, π.χ. µι λυσίδ στο λιµό, τότε µπορούµε ν κολουθήσουµε την ίδι πορεί µε την προηγούµενη περίπτωση, λλά ντί γι το βάρος Β του νήµτος θ πάρουµε την συνιστώσ του Β 1 Βσυνφ (Σχήµ ). Η άλλη συνιστώσ του Β, Β είνι κάθετη στο µη κτκόρυφο επίπεδο κι εξισορροπείτι πό την ντίδρση του επιπέδου πάνω στο νήµ. Μπορεί ν ποδειχθεί (φήνετι ως άσκηση) ότι τελικά προκύπτει η εξίσωση () συνφ π cosh, > 0, 0 φ <, συνφ ως προς το σύστηµ ΟΧΥ (του µη κτκόρυφου επιπέδου), δηλδή είνι λυσοειδής κµπύλη µε ύψος >.Αν φ0 έχοµε την περίπτωση συνφ κτκόρυφου επιπέδου που είδµε προηγούµεν. ΝΗΜΑ ΣΕ ΜΗ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΕΠΙΠΕ Ο F Υ Q N φ Σ Τ M Β Β Β 1 Σχήµ Ο Χ

6 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 6 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΑΛΥΣΟΕΙ ΟΥΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ H λυσοειδής κµπύλη έχει πολλές κι ενδιφέρουσες ιδιότητες, ορισµένες µάλιστ είνι κι χρκτηριστικές της κµπύλης υτής. / Έστω ( e + e / ) η εξίσωση της λυσοειδούς κµπύλης κι Μ(, ), R, τυχίο σηµείο της. Συµβολίζουµε (Σχήµ 3) µε s s() το µήκος του τόξου ΑΜ E E() το εµβδόν του χωρίου ΟΑΜΠ R ΚΜ την κτίν κµπυλότητς στο σηµείο Μ κι ω την γωνί κλίσης της εφπτοµένης στο Μ. Ας έχουµε υπόψη κι τις ιδιότητες των υπερβολικών συνρτήσεων: cosh sinh 1, ( cosh ) sinh, ( sinh ) cosh, R. Κ( κ, κ ) B M(,) ω Ρ Α Ν ω Σ Ο Π Λ Σχήµ 3 Ι ΙΟΤΗΤΑ 1 Το µήκος της προβολής της τετγµένης ΠΜ (Σχήµ 3) πάνω στην κάθετη της λυσοειδούς κµπύλης στο σηµείο Μ είνι στθερό κι ίσο µε. Απόδειξη Έχουµε ΜΡ συνω. 1+εφ ω 1+ ( ()) cosh

7 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 7 Ι ΙΟΤΗΤΑ Το µήκος της προβολής της τετγµένης ΠΜ (Σχήµ 3) πάνω στην εφπτο- µένη της λυσοειδούς κµπύλης στο σηµείο Μ είνι ίσο µε το µήκος του τόξου ΑΜ. Απόδειξη Πρέπει ν δείξουµε ότι ΝΜ ηµω s, 0 ω < π. Γι το µήκος s s() του τόξου ΑΜ έχουµε t s 1+ ( (t)) dt cosh dt sinh () 0 εφω 0 Όµως πό την ιδιότητ 1 έχουµε συνω, άρ s ηµω. ΠΟΡΙΣΜΑ.1 Το µήκος s του τόξου ΑΜ, το ύψος της λυσοειδούς κι η τετγµένη ποτελούν πλευρές ορθογωνίου τριγώνου µε υποτείνουσ. Πράγµτι, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΠΡΜ είνι ΠΡ ηµω s, οπότε s +. ΠΟΡΙΣΜΑ. Γι κάθε σηµείο Μ(, ) της λυσοειδούς, το µήκος του τόξου ΑΜ είνι νάλογο της κλίσης της εφπτοµένης της στο Μ κι δίνετι πό την σχέση Ι ΙΟΤΗΤΑ 3 s() () ή s() sinh εφω. To εµβδόν Ε του χωρίου που περικλείετι πό τον άξον των, τον άξον των, την ευθεί κ (κ R), κι το ντίστοιχο τόξο της λυσοειδούς, είνι νάλογο του τόξου υτού κι συγκεκριµέν ισχύει Ε s. Aπόδειξη κ t t Ε (t)dt κ κ κ cosh dt 1 sinh dt 1 ( ) dt s , 0 όπου s s(0, κ) το τόξο της λυσοειδούς που περικλείετι πό τις ευθείες 0, κ. ΠΟΡΙΣΜΑ 3.1 To εµβδόν Ε του χωρίου που περικλείετι πό τις ευθείες κ, λ, κ<λ, (κ, λ R), τον άξον των κι το ντίστοιχο τόξο της λυσοειδούς, είνι ίσο

8 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 8 µε το εµβδόν του ορθογωνίου µε διστάσεις, s, όπου το s µήκος του τόξου υτού. ΠΟΡΙΣΜΑ 3. Γι κάθε σηµείο Μ(, ) το εµβδόν του χωρίου ΟΑΜΠ δίνετι πό την σχέση Ε() sinh. Ι ΙΟΤΗΤΑ 4 Η κτίν κµπυλότητς της λυσοειδούς κµπύλης σ έν σηµείο της Μ(, ) είνι νάλογη του τετργώνου της τετγµένης, κι συγκεκριµέν Aπόδειξη ( 1+ ( ) ) Ως γνωστόν είνι R. 3 / R. Όµως 1 () sinh, () cosh > 0. Άρ Σηµείωση Από τις σχέσεις R 3 / 1 sinh cosh + R. cosh cosh 3 κι s sinh (Πόρισµ.) προκύπτει εύκολ s η σχέση R +. Η εξίσωση υτή δηλώνει ότι, ν η λυσοειδής κυλά χωρίς ν γλιστρά κτά µήκος της ευθείς, τότε τ κέντρ κµπυλότητάς της βρίσκοντι σε µι πρβολή. Ι ΙΟΤΗΤΑ 5 Η τετγµένη του κέντρου κµπυλότητς Κ στο σηµείο Μ(,) της λυσοειδούς είνι διπλάσι της τετγµένης του Μ. Απόδειξη

9 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 9 Έστω κ η τετγµένη του Κ. Όπως φίνετι στο Σχήµ έχουµε (γενικά γι µι κυρτή κµπύλη) κ ΚΣ + KB + R συνω (γι την λυσοειδή η γωνί ω είνι µβλεί ότν το Μ βρίσκετι στο β τετρτηµόριο) λλά συνω (ιδιότητ 1) κι R /, οπότε κ. ΠΟΡΙΣΜΑ 5.1 Η κάθετος στην λυσοειδή κµπύλη σ έν σηµείο της Μ, τέµνει τον άξον των σε σηµείο που είνι συµµετρικό του κέντρου κµπυλότητς Κ ως προς το σηµείο Μ. Αυτό προκύπτει πό το τρίγωνο ΚΣΛ φού ΚΒ R συνω ΒΣ. Μι κόµη ενδιφέρουσ ιδιότητ της λυσοειδούς κµπύλης πέδειξε ο Euler το 1744 : Απ όλες τις κµπύλες ενός επιπέδου που περνούν πό δυο δεδοµέν σηµεί κι πράγουν κτά την περιστροφή του τόξου τους, περί τον -άξον επιφάνειες, το µικρότερο εµβδόν έχει η επιφάνει που πράγετι πό µι λυσοειδή κµπύλη που διέρχετι πό τ δύο υτά σηµεί. Γι το εµβδόν υτό βλέπε την Άσκηση. (Η πόδειξη πιτεί γνώσεις πό τον Λογισµό των Μετβολών). ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΑΛΥΣΟΕΙ ΟΥΣ Από τις κυρτές (κι θετικές) κµπύλες του επιπέδου, η λυσοειδής είνι η µονδική που έχει τις πρπάνω ιδιότητες. Συγκεκριµέν ισχύει: ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω µι κµπύλη µε εξίσωση φ(), R, µε την συνάρτηση φ διπλά πργωγίσιµη κι φ()>0, φ ()>0 γι κάθε R. Αν η κµπύλη υτή έχει µι πό τις πρπάνω πέντε ιδιότητες - σε κάθε σηµείο της Μ(, ) - τότε είνι µι λυσοειδής κµπύλη (κι άρ έχει κι τις υπόλοιπες ιδιότητες). Θ το ποδείξουµε µόνο γι την ιδιότητ 3. Τις άλλες περιπτώσεις φήνουµε ως σκήσεις στον νγνώστη, µε την υπόδειξη ότι κάθε περίπτωση νάγετι ντίστοιχ στην λύση της διφορικής εξίσωσης: 1) φ 1 + (φ ), ) 1+(φ ) φφ, 3) φ 4) (1+(φ ) ) 3/ φ φ, 5) 1+(φ ) φφ. 1 + (φ ),

10 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 10 Σύµφων µε την ιδιότητ 3 πρέπει Ε s, > 0 στθερά, όπου Ε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τον άξον των, τον άξον των, την ευθεί κ, (κ R), κι το ντίστοιχο τόξο, µήκους s, της κµπύλης φ(). Ισχύει Ε Ε(κ) κ φ(t)dt, οπότε Ε (κ) φ(κ), κ R κι Ε(0) 0. 0 Όµως Ε s, οπότε s (κ) φ(κ), κ R ή φ 1 + (φ ) (1) Γι την λύση της διφορικής υτής εξίσωσης ορίζουµε την συνάρτηση g() sinh -1 (φ ()) (g() arcsinhφ ()) () Σηµειώνουµε ότι η g() είνι κλά ορισµένη: Επειδή φ () > 0 η συνάρτηση φ είνι γνήσι ύξουσ. Επίσης η συνάρτηση sinh είνι γνήσι ύξουσ στο R, µε σύνολο τιµών το R, άρ κι 1-1. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση g() sinh -1 (φ ()) η οποί είνι πργωγίσιµη στο R κι γνήσι ύξουσ. Από την () έχουµε φ sinhg οπότε η διφορική εξίσωση (1) γράφετι φ coshg (3) κι πργωγίζοντς ως προς, φ (sinhg)g, λλά φ sinhg, οπότε g 1 µε sinhg 0 ( g() 0, λόγω µονοτονίς της g) +κ Άρ g(), οπότε πό την (3) έχουµε + κ φ() cosh, -κ Η συνάρτηση υτή επεκτείνετι κι γι -κ, επειδή λόγω της συνέχεις των συνρτήσεων φ, cosh στο κ πρέπει φ(-κ). Άρ έχοµε την γενική λύση της διφορικής εξίσωσης (1) + κ φ() cosh, R που είνι µι µονοπρµετρική οικογένει λυσοειδών κµπυλών. Πράγµτι, θεωρώντς έν σύστηµ νφοράς ΟΧ µε άξονες πράλληλους του ρχικού Ο κι κέντρο το σηµείο (-κ,0), η συνάρτηση υτή είνι η γνωστή µς λυσοειδής κµπύλη. Αν έχουµε την ρχική συνθήκη φ (0) 0 πίρνουµε π ευθείς την γνωστή µς περίπτωση φ() cosh, R.

11 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 11 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΑΛΥΣΟΕΙ ΟΥΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Αν κι όπως είδµε η λυσοειδής κµπύλη δεν είνι πρβολή, όπως πίστευε ο Γλιλίος, είνι ενδιφέρον ν εξετάσουµε πώς µπορεί ν προσεγγιστεί µε έν πολυώνυµο ου βθµού. Μπορούµε ν χρησιµοποιήσουµε το νάπτυγµ Τalor. Είνι γνωστό ότι 4 e + e cosh ! Αν περιοριστούµε σε µικρές τιµές, π.χ. < 1 έχουµε την προσέγγιση 1 cosh οπότε κι cosh + γι <. ηλδή η λυσοειδής συνάρτηση µπορεί ν προσεγγιστεί πό την πρβολή 1 P() + Το ποτέλεσµ υτό βοηθά κι στην σχεδίση της λυσοειδούς φού προηγουµένως επιλεγεί το ύψος της. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν δειχθεί ότι το εµβδόν της επιφάνεις που πράγετι κτά την περιστροφή γύρω πό τον άξον των, του χωρίου που περικλείετι πό τη λυσοειδή συνάρτηση cosh, τον άξον των κι τις ευθείες π 0, t > 0 είνι ίσο µε t t+ sinh. (Υπόδειξη: Ε t πf()d ). Ν δειχθεί ότι ο όγκος του στερεού που πράγετι κτά την περιστροφή γύρω πό τον άξον των, του χωρίου που περικλείετι πό τη λυσοειδή cosh, τον άξον των κι τις ευθείες 0, t > 0 είνι ίσος µε π t t+ sinh. Ποι είνι η σχέση όγκου προς την πράπλευρη επιφάνει του στερεού υτού; 4 (Υπόδειξη: V t πf ()d ) 0 0

12 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 1 3. Γι την τετµηµένη κ του κέντρου κµπυλότητς στο σηµείο Μ(,) της λυσοειδoύς κµπύλης δείξετε ότι ισχύει κ -() (). 4. Ν δειχθεί ότι η διφορική εξίσωση 1+(φ ) φφ, έχει γενική λύση +κ cosh, >0 στθερά (πρµετρική οικογένει λυσοειδών). 3 / Επίσης ότι η διφορική εξίσωση ( 1 ( ) ) µε την 1 + ( ), > 0. + (>0) είνι ισοδύνµη. ΕΝΕΙΛΙΓΜΕΝΗ ΤΗΣ ΑΛΥΣΟΕΙ ΟΥΣ Κλούµε ενειλιγµένη (evolute) µις κµπύλης C, τον γεωµετρικό τόπο των κέντρων κµπυλότητς της κµπύλης. Αν Μ(,) σηµείο της λυσοειδούς τότε οι συντετγµένες του ντίστοιχου σηµείου Κ της ενειλιγµένης (Σχήµ 4 επόµενη σελίδ, µπλε γρµµή) είνι κ - cosh sinh, κ cosh που ποτελούν τις πρµετρικές εξισώσεις της ενειλιγµένης της λυσοειδούς κµπύλης. Πράγµτι, γι την πρώτη εξίσωση: πό το τρίγωνο ΚΒΜ (Σχήµ 4) έχουµε ± sinh - κ Rηµω, λλά R cosh κι ηµω ± 1+ cosh οπότε κ -cosh sinh (η διφορά -κ έχει το πρόσηµο του sinh ), H δεύτερη εξίσωση είνι λόγω της ιδιότητς 5. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ 1. Η ενειλιγµένη τέµνει τον άξον των στο σηµείο (0, ) κι είνι συµµετρική ως προς τον άξον υτόν.. Η εφπτοµένη της ενειλιγµένης σ έν σηµείο της (t, u) είνι κάθετη στην λυσοειδή, δηλδή συµπίπτει µε την κτίν κµπυλότητς της λυσοειδούς στο ντίστοιχο σηµείο (, ) της λυσοειδούς.

13 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 13 Πράγµτι, θέτουµε t κ κι u κ, οπότε πό τις πρπάνω πρµετρικές εξισώσεις έχουµε t -, u κι γι 0, έχουµε Άσκηση du dt du d 1, κλπ. dt 1 ( ) 1 ( + 1) + d Έστω (t, u) ( κ, κ ) έν σηµείο της ενειλιγµένης της λυσοειδούς κι (, ) το ντίστοιχο σηµείο της λυσοειδούς. Ν ποδειχθεί ότι ) Η συνάρτηση t t() είνι γνήσι µονότονη κι 1-1. β) Η ενειλιγµένη της λυσοειδούς είνι γρφική πράστση συνάρτησης γ) Η ενειλιγµένη συνάρτηση είνι γνήσι ύξουσ κι κοίλη γι t < 0 ( > 0) κι γνήσι φθίνουσ κι κοίλη γι t > 0 ( < 0). δ) Έχει ελάχιστη τιµή γι t 0 ( 0) ενώ η εφπτοµένη της στη θέση t0 είνι ο άξονς των. Κ( κ, κ ) ΑΟΝΠ B Α Ν M(,) ω Ρ Σχήµ 4 ω Σ Ο Π Λ

14 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 14 Η λυσοειδής κι η ενειλιγµένη της

15 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 15 Αλυσοειδής κι έλκουσ 3. ΕΛΚΟΥΣΑ ΚΑΜΠΥΛΗ MIA ΕΞΕΙΛΙΓΜΕΝΗ ΤΗΣ ΑΛΥΣΟΕΙ ΟΥΣ Αν θεωρήσουµε έν νήµ πάνω στην λυσοειδή κµπύλη το οποίο ρχίζουµε ν το ξετυλίγουµε, ρχίζοντς πό το σηµείο (κορυφή) Α, πρµένοντς πάντ εφπτόµενο στην λυσοειδή, τότε το σηµείο Α γράφει µι κµπύλη που λέγετι έλκουσ (tracti) κι είνι µι εξειλιγµένη (involute) της λυσοειδούς. Επειδή ΝΜ µήκος τόξου ΑΜ η έλκουσ είνι ο γεωµετρικός τόπος της προβολής Ν, του σηµείου Π πάνω στην εφπτοµένη της λυσοειδούς στο Μ. (Σχήµ 5 επόµενη σελίδ, κόκκινη γρµµή). Η κµπύλη υτή, όπως θ δούµε πρκάτω (ιδιότητ 3) δίνει πάντηση κι στο πρκάτω πρόβληµ που τέθηκε στον Leibnitz κι τον πρκίνησε ν την µελετήσει. Ποι είνι η διδροµή ενός ντικειµένου το οποίο το σέρνουµε κτά µήκος ενός οριζόντιου επιπέδου πό έν σκοινί στθερού µήκους, ότν η άκρη του σκοινιού που δεν είνι δεµένη µε το ντικείµενο, κινείτι κτά µήκος µις ευθείς γρµµής στο επίπεδο;

16 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 16 Μι άλλη περίπτωση που εµφνίζετι η έλκουσ κµπύλη έχουµε κι στην πρκάτω κτάστση: Υποθέτουµε ότι έν ποδήλτο βρίσκετι πάνω στον άξον κι κτευθύνετι νότι. Η µπροστινή ρόδ είνι στο σηµείο (0,0) κι η πισινή στο (0,1). Εκείνη τη στιγµή ο ποδηλάτης κάνει µι πότοµη στροφή 90 µοιρών κι τώρ πηγίνει ντολικά (κτά τον ηµιάξον Ο). Το ίχνος πό την πισινή ρόδ είνι η έλκουσ. Ιστορί Η έλκουσ κµπύλη µελετήθηκε ρχικά πό τον Hugens το 169 ο οποίος της έδωσε κι το όνοµ κι ργότερ πό τους Leibnitz, Johann Bernoulli, Liouville κι Beltrami. Έπίσης ονοµάζετι κι tractri ή equitangential κµπύλη, δηλδή η κµπύλη της οποίς οι εφπτοµένες έχουν το ίδιο µήκος. Η έλκουσ ως εξειλιγµένη της λυσοειδούς

17 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 17 Κ( κ, κ ) ΑΟΝΠ B Α Ν M(,) ω Ρ Σχήµ 5 ω Σ Ο Π Λ Εξισώσεις της έλκουσς Έστω Ν(t, u) έν σηµείο της έλκουσς (κµπύλης), οπότε η ΝΜ (Σχήµ 5) είνι, εξ ορισµού, εφπτοµένη της λυσοειδούς κι ΝΜ s τόξοam. Λόγω της ιδιότητς της λυσοειδούς το σηµείο Ν είνι νγκστικά η προβολή του Π πάνω στην ΝΜ. 1. Οι πρµετρικές εξισώσεις της έλκουσς µε πράµετρο την γωνί ω που σχηµτίζει η εφπτοµένη στο Μ της λυσοειδούς µε τον -άξον είνι u συνω, t 1 ln εφω+ ± ηµω, 0 ω < π, ω π/ συνω (συντετγµένες ενός σηµείου Ν(t,u) της έλκουσς συνρτήσει της γωνίς ω που σχηµτίζει η εφπτοµένη στο Μ της λυσοειδούς µε τον -άξον. Το + ν η γωνί είνι µβλεί κι το ν είνι οξεί) Πράγµτι, πό το τρίγωνο Ν Π, ω ΝΠ, προκύπτει η πρώτη σχέση. Η δεύτερη προκύπτει πό την πρτήρηση ότι Ο ΟΠ Π. Oι πρµετρικές εξισώσεις της έλκουσς µε πράµετρο την τετµηµένη του σηµείου Μ(, ) της λυσοειδούς είνι t - sin h, u ή t -, u cosh cosh

18 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 18 (συντετγµένες ενός σηµείου Ν(t,u) της έλκουσς συνρτήσει των συντετγµένων του σηµείου Μ(,).) Πράγµτι: Από το τρίγωνο Ν Π προκύπτει u συνω ίδιο τρίγωνο έχουµε κι. Από το - t ηµω εφω 1+ εφ ω 1+. / Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΛΚΟΥΣΑΣ 1. Ο άξονς των είνι άξονς συµµετρίς της έλκουσς (κµπύλης), ενώ ο -άξονς είνι σύµπτωτή της. Απόδειξη Λόγω συµµετρίς της λυσοειδούς ως προς τον άξον των κι του τρόπου ορισµού της έλκουσς προκύπτει ότι κι η έλκουσ κµπύλη έχει άξον συµµετρίς τον άξον των. Aσύµπτωτη: ότν + τότε cosh +, οπότε κι u 0. cosh Όµοι κι ότν -, λόγω συµµετρίς της έλκουσς ως προς τον άξον των ισχύει u 0.. Η ευθεί ΝΠ είνι εφπτοµένη της έλκουσς στο σηµείο της Ν. Απόδειξη Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφπτοµένης στο Ν (t,u) είνι (οι πράγωγοι στο είνι ως προς, χρησιµοποιούµε τις σχέσεις 1+, 1 + που επληθεύει η λυσοειδής συνάρτηση) du dt du d dt d 1 ( ( ) ) ( ) 1 µε 0 0. Άρ η εφπτοµένη της στο Ν είνι πράλληλη µε την NΠ (φού η ΝΠ ως κάθετη στην ΜΝ έχει συντελεστή διεύθυνσης -1/ ), οπότε

19 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 19 συµπίπτει µε υτήν. Συνέπει υτού είνι ότι η εφπτοµένη της λυσοειδούς κι η εφπτοµένη της έλκουσς είνι κάθετες στο Ν. 3. H ενειλιγµένη (evolute) της έλκουσς είνι λυσοειδής. Απόδειξη Πρέπει ν δειχθεί ότι τ κέντρ κµπυλότητς της έλκουσς σχηµτίζουν την λυσοειδή κµπύλη. Επειδή d u du du / d..., 4 dt dt dt / d ( ( )) ( ) 1 η κτίν κµπυλότητς R t της έλκουσς κµπύλης σ έν σηµείο (t, u) είνι (υπόψη ότι 1+, 1 +, R /, s / )) R t 3/ (1+ u ) u 3/ ( ) R s ηλδή R t NM κι λόγω του ότι η ΝΜ είνι κάθετη στην εφπτοµένη ΝΠ (ιδιοτητ της έλκουσς), το κέντρο κµπυλότητς της έλκουσς στο Ν είνι το Μ, άρ νήκει στην λυσοειδή. 4. Κάθε τµήµ της εφπτοµένης της έλκουσς πό το σηµείο επφής µέχρι τον άξον των (σύµπτωτη), έχει στθερό µήκος κι ίσο µε. Απόδειξη Πράγµτι, σύµφων µε την ιδιότητ 1 της έλκουσς, το ΝΠ είνι εφπτόµενο στην έλκουσ κι είνι γνωστό (ιδιότητ 1 της λυσοειδούς) ότι ΝΠ. (ποδεικνύετι κι νλυτικά, θεωρώντς την έλκουσ συνάρτηση uu(t))

20 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 0 H έλκουσ κµπύλη ως ισοεφπτοµένη 5. Η έλκουσ κµπύλη µε ύψος, είνι ορθογώνι σε κάθε κύκλο κτίνς που έχει το κέντρο του στην σύµπτωτή της (άξον των ). Αντίστροφ: η κµπύλη που τέµνει κάθετ σε σειρά διάτξης ίσους κύκλους είνι µι έλκουσ. Aπόδειξη Έστω έν κύκλος κτίνς µε κέντρο Π πάνω στον άξον των (Σχήµ 4). Η κάθετη στον άξον των στο σηµείο Π τέµνει (υτό συµβίνει πάντ) την λυσοειδή έστω στο σηµείο Μ (, ). Το σηµείο Π πέχει πόστση πό την εφπτοµένη της λυσοειδούς στο Μ (ιδιότητ 1 της λυσοειδούς), άρ η εφπτόµενη υτή είνι κι εφπτόµενη του κύκλου (Π, ), έστω στο σηµείο Ν. Τότε όµως είνι κι ΝΜ s µήκος τόξου ΑΜ. Άρ η έλκουσ έχει κοινό σηµείο µε τον κύκλο το Ν. Όµως η ΝΠ είνι εφπτόµενη της έλκουσς, άρ ο κύκλος κι η έλκουσ κµπύλη τέµνοντι κάθετ στο Ν. To ντίστροφο είνι φνερό, φού το εφπτόµενο τµήµ ΝΠ είνι νγκστικά κτίν του κύκλου, άρ έχει µήκος. M(,) Α Ν Ο Π Σχήµ 6

21 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 1 6. Το εµβδόν που περικλείετι πό την έλκουσ κι τον άξον των είνι ίσο µε π /. Πράγµτι, χρησιµοποιώντς την πρµέτρηση 1, δηλδή τ t, u συνρτήσει της γωνίς ω που σχηµτίζει η εφπτοµένη στο Μ της λυσοειδούς µε τον -άξον, βρίσκουµε ότι π / 0 E udt π. 7. Κτά την περιστροφή της έλκουσς γύρω πό τον άξον των πράγετι στερεό µε επιφάνει S4π 3 κι όγκο V π. 3 Υπόδειξη: υπολογίζουµε τ ολοκληρώµτ S 4π + tudt, π / V πu dt, χρησιµοποιώντς την πρµέτρηση Ιστορική σηµείωση Ότν η έλκουσ κµπύλη περιστρφεί γύρω πό την σύµπτωτή της δηµιουργεί έν στερεό που λέγετι ψευδοσφίρ (βλ. επόµενη σελίδ). Αυτή είνι µι επιφάνει στθερής ρνητικής (γκουσσινής) κµπυλότητς κι χρησιµοποιήθηκε πό τον Eugenio Beltrami το 1868 ως έν µοντέλο γι την υπερβολική γεωµετρί.

22 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη Η ψευδοσφίρ του Βeltrami (πάνω ήµισυ) Ασκήσεις 1. Έστω (t, u) έν σηµείο της έλκουσς κι (, ) το ντίστοιχο σηµείο της λυσοειδούς. Ν ποδειχθεί ότι: ) Η συνάρτηση tt() είνι 1-1. β) Η έλκουσ κµπύλη είνι γρφική πράστση συνάρτησης uu(t). γ) Η συνάρτηση υτή είνι γνήσι φθίνουσ στo διάστηµ [0, + ) κι κυρτή, ενώ είνι γνήσι ύξουσ κι κυρτή στο διάστηµ (-, 0]. Έχει µέγιστο στην θέση t 0 ( 0) ίσο µε κι η εφπτοµένη της στην θέση t 0 ( 0) είνι ο άξονς των.. είξετε ότι ν µι κµπύλη έχει την ιδιότητ, το µήκος του εφπτόµενου τµήµτος, πό το σηµείο επφής µέχρι τον άξον των ν είνι ίσο µε, τότε υτή είνι µι έλκουσ κµπύλη. (Υπόδειξη : θεωρείστε το ντίστοιχο σηµείο της λυσοειδούς µε ύψος )

23 . Ι. Μ. - Σ. Σ. Μ. Αλυσοειδής - Έλκουσ Κµπύλη 3 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. LOCKWOOD E., A Βook of the Curves, Cambridge Universit Press J. DENNIS LAWRENCE, A catalog of special plane curves, VYGODSKY M., mathematical Handbook (Higher Mathematics), MIR, Moscow, ΜΠΡΙΚΑΣ Μ.,Τ περίφηµ άλυτ γεωµετρικά προβλήµτ της Αρχιότητος, Αθήνι PEDOE D., Geometr and the Visual Arts, MARKUSHEVICH A.I., Remarkable Curves, MIR, Moscow THOMAS G.-FINNEY R., Απειροστικός Λογισµός, Πνεπιστηµικές εκδόσεις Κρήτης, Τόµος Α. 8. SMITH D. E., Histor of Mathematics, τόµος, εκδόσεις Dover. 9. STRUIK D., Συνοπτική ιστορί των Μθηµτικών, εκδόσεις «Ζχρόπουλος». 10. TOOMER J.G, Diocles on Burning Mirrors, µετάφρση στ γγλικά πό τo ρβικό κείµενο, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York