Mehanika za mehatronike

Transcript

1 Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za mehatronike Univerzitetni učbenik B A F 1 F 2 c 1 c 2 β 1 1 β 2 z'' = z''' ''' '' v 1 N N tangentna ravnina 2 smernica trka v 2 O '' ''' Maribor, 2011

2 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike Naslov publikacije: Vrsta publikacije: Avtorji: Oblikovanje: Recenzenta: Jezikovni pregled: Založba: Tisk: Naklada: Mehanika za mehatronike Univerzitetni učbenik izr. prof. dr. Marko Kegl, univ. dipl. inž. str. doc. dr. Matej Vesenjak, univ. dipl. inž. str. doc. dr. Boštjan Harl, univ. dipl. inž. str. Avtorji red. prof. dr. Zoran Ren, univ. dipl. inž. str., FS UM izr. prof. dr. Boštjan Brank, univ. dipl. inž. gradb., FGG UL Nataša Belšak, univ. dipl. ling. Založništvo Fakultete za strojništvo, Maribor Tiskarna tehniških fakultet Tisk po naročilu Leto prve izdaje: 2011 Pravice: Avtorske pravice so pridržane. Gradiva iz publikacije brez dovoljenja avtorjev ni dovoljeno kopirati, reproducirati, objavljati ali prevajati v druge jezike. CIP - Kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor 531/534:681.5(075.8) KEGL, Marko Mehanika za mehatronike : univerzitetni učbenik / Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl. - Maribor : Fakulteta za strojništvo, 2011 ISBN Vesenjak, Matej 2. Harl, Boštjan COBISS.SI-ID Naslovi avtorjev: Fakulteta za strojništvo, Smetanova 17, 2000 Maribor marko.kegl@uni-mb.si m.vesenjak@uni-mb.si bostjan.harl@uni-mb.si UM, Fakulteta za strojništvo I

3 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike Vsebina Vsebina... II Predgovor... V 1 UVOD Mehanika v inženirski praksi Modeliranje mehanskih dogajanj Skalarne in vektorske količine Področja mehanike Osnovne predpostavke in dogovori 5 2 GRADNIKI MEHANIKE Osnovni gradniki mehanskega modela Telo Podpora in vez Sila Točkovna sila Porazdeljene sile Linijska sila Ploskovna sila Prostorninska sila Rezultante porazdeljenih sil Redukcija sile Razdelitev sil Zunanje in notranje sile Aktivne in pasivne sile Aktivna zunanja sila: teža Težišče telesa Težišča geometrijskih teles Težišča ploščinskih likov Težišča črtnih likov Pasivne zunanje sile: reakcije v podporah Ravninske podpore Prostorske podpore Trenje Sila trenja med trdnim telesom in ravno podlago Sila trenja med vrvjo in krožno podlago 30 3 STATIKA Ravnovesni enačbi statike Splošni zapis Zapis enačb z reduciranimi silami in momenti Zapis enačb v primeru sil s skupnim prijemališčem Konstrukcija Statična analiza konstrukcije Računanje reakcij v podporah Ugotavljanje splošnih oblik reakcijskih sil in momentov Ugotavljanje splošnih oblik sil in momentov v vezeh Zapis ravnovesnih enačb 37 UM, Fakulteta za strojništvo II

4 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike Zunanja statična določenost konstrukcij Računanje notranjih sil Koncept in izvor notranjih sil Upoštevanje notranjih sil v mehanskem modelu Konstrukcijski elementi Nosilec Palica Vrv Zapis ravnovesnih enačb Notranja statična določenost konstrukcij Kontrola trdnosti Pojem napetosti Statične količine prereza Osnovni problemi trdnosti Natezna in tlačna obremenitev Upogibna obremenitev Strižna obremenitev Torzijska obremenitev 54 4 KINEMATIKA Lega, hitrost in pospešek točke Tir in dolžina poti gibajoče se točke Opis gibanja v ravnini Premo (translatorno) gibanje točke Krožno (rotacijsko) gibanje točke Opis gibanja telesa Opis gibanja točke po gibljivem telesu Opis gibanja v prostoru Opis gibanja točke v cilindričnih koordinatah Opis gibanja točke z uporabo spremljajočega triroba Opis gibanja točke z uporabo gibljive baze Opis gibanja telesa Parametrizacija z uporabo Eulerjevih kotov Parametrizacija z uporabo rotacijskega psevdovektorja 76 5 OSNOVE DINAMIKE Masni delec in telo Osnovni zakoni dinamike Prvi Newtonov zakon Drugi Newtonov zakon Tretji Newtonov zakon Uporaba Newtonovih zakonov na sistemu delcev Splošni zakoni dinamike in njihova uporaba Zakoni o gibalni količini Zakoni o vrtilni količini Zakoni o mehanski energiji Delo sile Kinetična energija Potencialne energije 89 6 TRKI Uvod Potek trka Normalni in poševni centrični trk 94 UM, Fakulteta za strojništvo III

5 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike Normalni centrični trk Analiza hitrosti Izgubljena kinetična energija Določitev koeficienta trka Poševni centrični trk Analiza hitrosti 97 7 NIHANJA Uvod Osnovni gradniki Telo Vzmet Natezna/tlačana togost palice Upogibna togost konzolno vpetega nosilca Torzijska togost palice z okroglim prerezom Vzporedna vezava vzmeti Zaporedna vezava vzmeti Dušilka Lastna nihanja Nedušeno lastno nihanje Dušeno lastno nihanje Vsiljena nihanja Nedušeno vsiljeno nihanje Dušeno vsiljeno nihanje Primer vsiljenega nihanja z inercijskim vzbujanjem Primer vsiljenega nihanja z vzbujanjem podlage ANALITIČNA DINAMIKA Obravnavani sistem Generalizirane koordinate Virtualno delo in generalizirane sile Lagrangeve enačbe 120 Literatura UM, Fakulteta za strojništvo IV

6 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike Predgovor Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike, ki spada v učni program Fakultete za strojništvo in Fakultete za elektrotehniko, informatiko in računalništvo na Univerzi v Mariboru. Za razumevanje knjige je potrebno relativno skromno predznanje. S področja mehanike je koristno poznavanje osnovnih pojmov. S področja matematike pa je potrebno poznavanje osnov vektorskega in diferencialnega računa. Zaradi preglednosti in lažjega branja so matematični in drugi objekti pisani z različnimi pisavami. Kolikor se je dalo, so uporabljena naslednja pravila označevanja: skalarne količine:, vektorske količine in matrike:, točke, liki, telesa ipd.:. Maribor, 2011 UM, Fakulteta za strojništvo V

7 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod 1 UVOD Namen: Pokazati pomen mehanike v inženirski praksi Prikazati postopek modeliranja mehanskih pojavov Spoznati razdelitev področja mehanike Cilj: Študenta seznaniti z dejstvom, da je mehanika pomemben in zelo aktualen sestavni del vsakdanje inženirske prakse. Glavne oporne točke: Modeliranje: naravni pojav mehanski model matematični model rešitev Razdelitev mehanike: kinematika, kinetika (statika, dinamika) 1.1 Mehanika v inženirski praksi Mehanika je veda, pri kateri je v središču pozornosti spreminjanje stanja snovi v smislu spreminjanja oblike in lege. Zaradi tega je precej očitno, da predstavlja mehanika pomemben vidik vsakega sistema, pri katerem se pojavljajo sile ter posledično tudi deformacije in gibanje takšni pa so praktično vsi sistemi v tehniški praksi. Slika 1.1: Obesa avtomobilskega kolesa Pogled na običajno obeso avtomobilskega kolesa, slika 1.1, odpre celo področje vprašanj, na katera mora odgovoriti mehanika: Kakšen je tir gibanja koles (kinematika)? Kakšne so napetosti in deformacije pri mirovanju vozila (statika)? UM, Fakulteta za strojništvo 1

8 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod Kakšen je odziv kolesa pri vožnji čez neravnine (dinamika)? Dober zgled izjemnih koristi, ki jih omogoča mehanika, je robotska roka, slika 1.2, ki so jo razvili v Laboratoire de Robotique, Universite Laval. Problem pri robotskih rokah je, da imajo precej prostostnih stopenj (PS), zaradi česar je potrebno veliko število aktuatorjev. To pa slabo vpliva na natančnost in končno maso. Raziskovalci so se problema lotili pri kinematiki vpletenih mehanizmov. Rezultat je bila roka z 10 PS, ki jo poganjata samo 2 aktuatorja. S to roko je bilo opremljeno vesoljsko plovilo. Slika 1.2: Roka z 10 PS, ki jo poganjata le 2 motorja 1.2 Modeliranje mehanskih dogajanj Naloga mehanike je številčno ovrednotenje mehanskega dogajanja, in sicer z ustreznimi postopki in numeričnimi orodji. Pri tem je zelo pomembno dejstvo, da ti postopki delujejo tudi, kadar se neko mehansko dogajanje dejansko sploh še ne odvija, ampak si ga samo zamislimo. To dejstvo omogoča projektiranje in izdelavo mehanskih sistemov, za katere že vnaprej natančno vemo, kako se bodo odzivali na razne obremenitve. MEHANSKO DOGAJANJE Številčno ovrednotenje MEHANSKI model MATEMATIČNI model Slika 1.3: Ovrednotenje mehanskega dogajanja Postopek ovrednotenja mehanskega dogajanja bi lahko opisali nekako takole, slika 1.3: mehansko dogajanje najprej poenostavimo s predpostavkami ter ga nato opišemo z zakoni, ki povezujejo mehanske količine dogajanja. Rezultat tega je mehanski model dogajanja. V naslednjem koraku vpletene količine predstavimo z ustreznimi matematičnimi objekti ter mehanske zakone zapišemo v obliki matematičnih enačb. Rezultat tega koraka je matematični UM, Fakulteta za strojništvo 2

9 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod model mehanskega dogajanja. Sedaj nam ostane le še zadnji korak, številčno ovrednotenje, pri katerem pa se stvari lahko zapletejo. Enačb modela namreč z obstoječimi metodami včasih ne znamo rešiti. Če so rešljive, pa je rešitev lahko več ali pa je vprašljiva njihova natančnost. Skoraj vse praktične primere moramo namreč reševati numerično, pri čemer se napakam zaradi zaokroževanja številk ne moremo izogniti. Kljub omenjenim zapletom pa največkrat le pridemo do uporabnih številčnih rezultatov. Za njihovo pravilno tolmačenje je nujno treba upoštevati uporabljene mehanske predpostavke in zakone ter z njimi povezano območje veljavnosti mehanskega modela. Nepoznavanje teh zakonov in predpostavk lahko pripelje do popolnoma napačnih sklepov. Tej nevarnosti smo v inženirski praksi izpostavljeni ravno pri uporabi najsodobnejših orodij računalnikov in programske opreme za analiziranje mehanskih sistemov. Kot smo že dejali, je vsak mehanski model osnovan na predpostavkah in predstavlja zgolj idealizacijo naravnega procesa. Natančno poznavanje vseh uporabljenih predpostavk je zato bistvenega pomena za pravilno modeliranje procesa in pravilno oceno natančnosti številčnih rezultatov. Mehanske predpostavke lahko razvrstimo v naslednje skupine: materialne predpostavke, kamor spadajo vse predpostavke o zgradbi in fizikalnih lastnostih obravnavane materije; kinematične predpostavke, kamor spadajo vse predpostavke o gibanju delcev materije; druge predpostavke, kamor spada na primer predpostavka o točkastem prijemališču sile. prerezi pri upogibanju ostanejo ravni (kinematične) točkovna sila (druge) homogen material brez napak (materialne) Slika 1.4: Primer pogosto uporabljenih mehanskih predpostavk pri konzolnem nosilcu Različne predpostavke se bolj ali manj ujemajo z realnostjo, kar pa ne pomeni, da lahko na tej osnovi sklepamo o njihovi sprejemljivosti za uporabo v konkretnem modelu. Če za gumijast kvader uporabimo predpostavko o nedeformabilnosti telesa (nedeformabilno telo nikoli ne spremeni svoje oblike ne glede na velikost in vrsto zunanjih obremenitev), je to povsem sprejemljiva osnova, če nas na primer zanima, kako se bo gibalo težišče telesa pri poševnem metu. Nasprotno pa je lahko ta predpostavka povsem nesprejemljiva, če nas zanima, kakšne so notranje napetosti pri obremenitvi, ki vidno spremeni obliko telesa. Zato lahko rečemo, da kvaliteta predpostavke ni univerzalna, pač pa je odvisna od konteksta, v katerem je uporabljena. Tako je lahko neka predpostavka v enem primeru povsem sprejemljiva, v drugem pa ne. Na sliki 1.4 je prikazan konzolni nosilec, ki je na vrhu obremenjen s silo. Slika prikazuje nekatere predpostavke, ki se v takšnih primerih pogosto uporabljajo. UM, Fakulteta za strojništvo 3

10 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod 1.3 Skalarne in vektorske količine V mehanskem modelu se pojavljajo različne vrste mehanskih količin. V okviru te knjige bomo imeli opravek le s takšnimi, ki imajo lastnosti skalarjev ali pa vektorjev. Skalarne količine. Za skalarno količino je značilno, da je njena vrednost podana z realnim številom. Ta vrednost je neodvisna od izbire (lege in orientacije) koordinatnega sistema. Tipični skalarni količini sta na primer masa nekega telesa in gostota mase (ali tudi gostota snovi) v izbrani točki telesa. Masa telesa je odvisna od vrste snovi in velikosti telesa, gostota pa od vrste snovi in od izbrane točke telesa. V primerjavi z maso je torej gostota takšna količina, katere vrednost se od točke do točke telesa spreminja. Takšni skalarni količini pravimo skalarno polje. Vektorske količine. Za vektorsko količino je značilno, da ji lahko določimo smer, jakost in usmerjenost, razen tega pa mora ustrezati aksiomom vektorskega prostora. Tako kot pri skalarjih bomo imeli tudi pri vektorskih količinah opravek s takšnimi, ki se bodo spreminjale od točke do točke opazovanega telesa. Takšni vektorski količini pravimo vektorsko polje. 1.4 Področja mehanike V okviru tega predmeta bomo s pojmom mehanika označevali le tehniško mehaniko trdnih teles. V tem primeru lahko rečemo, da se mehanika ukvarja z vsem, kar je povezano s spreminjanjem oblike in lege teles. Za zgled naštejmo nekaj problemov, s katerimi se ukvarja mehanika. To so: 1. upogib nosilca (statika), 2. gibanje obese avtomobila (kinematika), 3. dinamično obnašanje manipulatorja (dinamika). V zgoraj naštetih primerih bi naravni proces lahko številčno ovrednotili z več parametri. To so: 1. poves vrha nosilca in napetosti v prerezu, 2. trajektorija gibanja premnika kolesa, 3. trajektorija efektorja manipulatorja in reakcijske sile v podporah. Mehaniko običajno delimo najprej na kinematiko in kinetiko. H kinematiki spadajo tisti problemi, v katerih se ne pojavljajo vzroki gibanja sile. Preostale probleme, ki v svojem opisu vsebujejo sile, štejemo h kinetiki, slika 1.5. Področje kinetike delimo naprej na statiko in dinamiko. K statiki spadajo problemi, ki ne vsebujejo časa kot neodvisne spremenljivke. Druge kinetične probleme, ki vsebujejo čas, štejemo k dinamiki. UM, Fakulteta za strojništvo 4

11 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod MEHANIKA Kinematika Kinetika Statika Dinamika Slika 1.5: Razdelitev področja mehanike Znotraj področij, prikazanih na sliki, razvrščamo mehanske probleme še nadalje glede na to, kakšne predpostavke uporabljamo v mehanskem modelu. Tako govorimo na primer o statiki elastičnih teles, dinamiki togih teles in tako naprej. 1.4 Osnovne predpostavke in dogovori V okviru te knjige bomo privzeli naslednje dogovore in predpostavke: Telesa bomo obravnavali kot homogena. Največ opravka bomo imeli z nedeformabilnimi oziroma togimi telesi, razen kadar bo posebej poudarjeno, da je obravnavano telo deformabilno oziroma (v našem primeru) elastično. Vse mehanske sklope, kot so na primer ležaji, mehanske vezi in podpore, bomo obravnavali idealizirano: ni zračnosti, ni trenja in podobno. Za opis gibanja bomo večinoma uporabljali Kartezijev koordinatni sistem. Za opis mehanskega dogajanja v ravnini bomo uvedli fiksno ortonormirano vektorsko bazo e, in koordinatni sistem, slika 1.6. e e a a a O e Slika 1.6: Ortonormiran koordinatni sistem O v opazovani ravnini Dogovorimo se še, da bomo bazo e, e in koordinatni sistem O orientirali vedno tako, kot kaže slika. Zaradi tega dogovora bomo risanje koordinatnega sistema pogosto opuščali. Prav tako bomo običajno opuščali risanje vektorske baze. UM, Fakulteta za strojništvo 5

12 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod Za opis gibanja v prostoru vektorsko bazo e, e razširimo z vektorjem ez e e, ki določa tretjo os z-os, slika 1.7. Baza e, e, ez je ortonormirana in določa desnosučni koordinatni sistem, ki ga imenujemo Kartezijev koordinatni sistem. z e z e a a a a z O e Slika 1.7: Ortonormiran koordinatni sistem v prostoru Glede na gornje dogovore lahko poljuben vektor a zapišemo kot: Ker v izbranem koordinatnem sistemu lahko zapis vektorja a skrajšamo na oziroma a a e a e a e (1.1) velja: z z e 0, e 1, ez 0 (1.2) a a a (1.3) az T z a a a a (1.4) Skalarje a, a in a z imenujemo koordinate vektorja. Pri ravninskih problemih imamo v glavnem opravka z vektorji, za katere velja. Zaradi racionalnosti v takih primerih vektor a pišemo tudi kot: a a (1.5) a Pozor: Če tak vektor uporabimo v vektorskem produktu, ga je treba pred tem obvezno razširiti s tretjo koordinato. Razen fiksnega koordinatnega sistema bomo uvedli še gibljivega. Vektorsko bazo gibljivega sistema bomo označili z ( ). Kot se bo izkazalo v nadaljevanju, je uvedba gibljivega koordinatnega sistema koristna zato, ker s tem opis gibanja v mnogih primerih zelo poenostavimo. Ravninska različica fiksnega in gibljivega koordinatnega sistema je prikazana na sliki 1.8. UM, Fakulteta za strojništvo 6

13 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod v e e v Q e u u O e Slika 1.8: Fiksni koordinatni sistem in gibljivi koordinatni sistem Z uvedbo še enega koordinatnega sistema lahko poljubni vektor a zapišemo na dva načina, in sicer kot: ter kot: Opozorimo na dejstvo, da so koordinate a a e a e a e (1.6) u u v v z w z a a e a e a e (1.7) a, sistemu številčno drugačne od koordinat koordinatnem sistemu. a in a u, w a z vektorja a v fiksnem koordinatnem a in v a w istega vektorja v gibljivem UM, Fakulteta za strojništvo 7

14 M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 2 Gradniki mehanike 2 GRADNIKI MEHANIKE Namen: Definirati osnovne gradnike mehanskega modela (telo, podpore, vezi, sile, momenti) Vpeljati vrste sil, njihovo klasifikacijo ter rezultante sile in momenta Vpeljati postopek redukcije sile ter način določevanja aktivnih in pasivnih zunanjih sil Cilj: V tem poglavju bomo spoznali osnovne gradnike za modeliranje in analizo mehanskih sistemov. Glavne oporne točke: Telo: sistem zvezno porazdeljenih delcev Podpore in vezi: točkovni model Vrste sil: točkovne, linijske, ploskovne in prostorninske Določitev sil za mehanski model: redukcija 2.1 Osnovni gradniki mehanskega modela Pri skoraj vsaki mehanski nalogi iz inženirske prakse je pred začetkom njenega reševanja treba odgovoriti predvsem na naslednja tri vprašanja Kaj je opazovan sistem (eno ali več trdnih teles) in kakšen bo njegov model (togi, elastični...)? Kakšni so kinematični robni pogoji (predpisani pomiki in/ali zasuki)? Kakšni so kinetični robni pogoji (predpisane sile in/ali momenti)? RP: sile in momenti telo RP: pomiki in zasuki Slika 2.1: Osnovni gradniki mehanskega modela: telo ter kinematični (pomiki/zasuki) in kinetični (sile/momenti) robni pogoji (RP) UM, Fakulteta za strojništvo 8