Ovdje će se prikazati dva primjera za funkciju cilja sa dvije varijable: kružnicu i elipsu.

Transcript

1 Neke metode z nelnearnog programranja Od metoda nelnearnog programranja koje se korste za rješavanje nekh problema sa specfčnom funkcjom clja zdvojt će se sljedeće: a) grafčka metoda, b) metoda neposrednog sključenja varjabl,. Grafčka metoda Grafčka metoda se uobčajeno ne prmjenjuje sama već se dopunjuje analtčkom analzom. Općento se traže globaln ekstrem (mnmum maksmum) neke funkcje clja dvju varjabl. Grafčka metoda se sastoj u sljedećem: nacrtaju se ogrančenja, tj. formra se područje mogućh rješenja, nacrta se sredšte zadane krvulje (funkcje clja), nacrta se krvulja koja dodruje točku na granc područja mogućh rješenja ta točka (označena sa E) predstavlja točku mnmuma. Koordnate te točke se dobju tako da se spuste okomce na obje os. nacrta se druga krvulja paralelna prvoj koja prolaz ekstremnom točkom područja mogućh rješenja koja je najudaljenja od sredšta zadane krvulje ta točka sa svojm koordnatama predstavlja točku maksmuma. Nakon grafčkog rješavanja problema mamo analtčk prstup kod traženja koordnata tražene točke mnmuma to:. za određvanje koordnata točke E, u kojoj funkcja ma mnmum, korste se dva uvjeta. Prv uvjet je jednakost koefcjenta smjera pravca p koj defnra onaj do grance područja mogućh rješenja koju dodruje prva krvulja tangente na krvulj u toj točk. Jednadžba tangente se dobva z prve dervacje zadane funkcje clja njeznm zjednačavanjem s nulom. Drug uvjet je da točka E prpada pravcu p.. Na opsan načn dobvamo sustav od dvje jednadžbe s dvje nepoznance. Rješavanjem tog sustava dobvamo koordnate točke E. Koordnate točke maksmuma provjeravamo na načn da se uvrste koorodnate svh vrhova poledra (područja mogućh rješenja) u zadanu funkcju clja vrh čje koorodnate daju najveću vrjednost funkcj clja je maksmum. Ovdje će se prkazat dva prmjera za funkcju clja sa dvje varjable: kružncu elpsu. Za neke probleme nelnearnog tpa vdjet Martć Lj., Nelnearno programranje odabrana poglavlja, Informator, Zagreb,97., Brajdć I., (998), op.ct.

2 Prmjer. (kružnca) Pronađ globalne ekstreme funkcje F(X,Y)(-4) + (y-8) ogrančenoj nejednadžbama: + 5y 0... p + y 4... p, y 0 Funkcja predstavlja kružncu K sa sredštem u točk (4,8). Mnmum će bt u točk, u kojoj kružnca K sa sredštem (4,8) dodruje područje mogućh rješenja. Za određvanje koordnata točke E, u kojoj funkcja ma mnmum, korst se:. Uvjet jednakost koefcjenata smjera pravca p jednadžbe tangente na kružnc K u točk E, tj. traž se da y ' k p.. Uvjet da točka E prpada pravcu p. Koefcjent smjera pravca p znos: k p 5 Jednadžba tangente u točk E se dobva z prve dervacje funkcje F ( X, Y ) koja je jednaka: F (X,Y) (-4) + (y-8)y 0 odakle za jednadžbu tangente mamo y - (-4) / (y-8). Kako mora bt y ' k p, dobjamo jednadžbu (-4) / (y-8) -/5 nakon sređvanja, jednadžba tangente postaje 5 y 4. Dodavanjem jednadžbe tangente jednadžb pravca p, dobjemo sustav od dvje jednadžbe s dvje nepoznance: 5 y 4 + 5y 0 Rješavanjem dobjenog sustava dobjamo koordnate točke mnmuma E (,758606, y4,896557) mn F(X,Y),744.

3 Graf 5. Globaln ekstrem funkcje F(X,Y)(-4) + (y-8) Maksmum će bt u jednom od vrhova područja mogućh ogrančenja: A (0,6), B (5,4), C (7,0) O (0,0). F (A) (0-4) + (6-8) 0, F (B) (5-4) + (4-8) 7, F (C) (7-4) + (0-8) 7 F (0) (0-4) + (0-8) 80, pa je ma F (X,Y) F (0,0) 80, tj. maksmum je u odredštu O s koordnatama (0,0). Prmjer. Nać ekstreme funkcje F (X,Y) (-5) + (y-7) u području ogrančenom nejednadžbama: + y + y 9 0, y 0 U ovom zadatku funkcja je elpsa sa centrom u točk (5,7). Kao u prethodnom slučaju, mnmum će bt u točk u kojoj elpsa dodruje oblast ogrančenja koordnate te točke su određene na st načn. Graf 6. Globaln ekstrem funkcje F (X,Y) (-5) + (y-7)

4 F' (X,Y) 4(-5) + y (y-7) 0 y ( (-5)) / (y-7) zjednačujuć to s koefcjentom pravca p dobjamo jednadžbu koja zajedno s jednadžbom pravca p omogućuje određvanje koordnata točke mnmuma: + y ( 5) y 7 nakon sređvanja prve jednadžbe mamo: 4 y + y Rješavanjem dobvenog sustava nalazmo da je 4, ; y, mn F (X,Y) F(4, ;, ) 0, Maksmum treba tražt u vrhovma područja ogrančenja, odnosno u točkama A (0,6), B (6,), C (9,0) O (0,0). Tako će bt: F (A) (0-5) + (6-7) 5, F (B) (6-5) + (-7) 8 F (C) (9-5) + (0-7) 8, F (O) (0-5) + (0-7) 99 pa je ma F (X,Y) 99 za 0, y 0. tj. u shodštu.. Metoda neposrednog sključenja varjabl Treba nać ekstrem funkcje F (X) F (,,..., m ) pod uvjetma: g ( X ) 0,, n gdje g predstavlja blo koju funkcju jedne varjable. Ovm skupom nejednadžb obuhvaćen su uvjet nenegatvnost varjabl. Dodavanjem zravnavajućh (dodatnh) varjabl, skup ogrančenja postaje: g ( X ) 0, n + m+, Ako postoj mogućnost rješavanja skupa ogrančenja po prvh m varjabl, tada se problem svod na pronalaženje bezuvjetnog ekstrema funkcje:

5 F (X) F ( m+, m+,..., m+n ) u slučaju kada je m<n l F (X) F ( n+, n+,..., n+m ) ako je m>n. Prmjer. Nać ekstreme funkcje F (X,Y) + y u području koje predstavlja krug: + y 6 0, y 0. Maksmum će bt u točk u kojoj jedan pravac z famlje pravaca određene funcjom F(X,Y) dodruje kružncu + y 6 u I. kvadrantu. Koordnate te točke možemo nać prmjerce ako z jednadžbe kružnce zračunamo y to zamjenmo u funkcj čj maksmum tražmo, vodeć računa da mora bt 0, y 0. Iz + y 6 dobja se y 6 - otuda dvje vrjednost za y: y y 6 6 odnosno dobvamo dvje funkcje čje maksmume tražmo F (X,Y) + F (X,Y) 6 6 Graf 7. Ekstrem funkcje F (X,Y) + y Skupa paralelnh pravaca.

6 ' F (X, Y) + ' F (X, Y) kao novo ogrančenje < 6, odnosno [ 0,6) S obzrom da je uvjet za postojanje lokalnh ekstrema kod neke funkcje F(X,Y) da F ʹ ( X, Y) 0 zbog F' (X,Y)>0 prozlaz da F (X,Y) nema lokalnh ekstrema. Tako ostaje da tražmo ekstreme samo funkcje F (X,Y) na [0,6). Kako je f (0), f (6) -6, tako f() ma barem jednu nulu unutar ntervala (0,6). Da nema vše od jedne nule, utvrđujemo tme što f na ntervalu (0,6) ne mjenja znak: f ' > 0, [ 0,6) ' F (X,Y) f() < 0 za (0,6). Iz f() 6 0 tražmo pogodan oblk ϕ() teratvnm postupkom tražmo. Za početnu vrjednost 0 bramo srednu određenog ntervala. Iz 6 0 dobja se 4(6- ) otuda 6- / 4 na kraju dobja se teracjska formula 6 4 ϕ( ) Kako je već rečeno za 0 bramo srednu ntervala, tj. 0 (6+0) /. Obzrom da je ϕ'( ) ϕ'(6) 6 / < 0,58 <, to postupak konvergra.

7 6 9/4 5, / 4 5,5 6 /4 5, /4 5, /4 5, /4 5, , , , ,6656 5, ,6656 5, ,6656 pa je 5,6656 y,6885 Konačno mamo da je ma F (X,Y) F (5,6656;,6885),4607. Mnmum funkcje će bt u jednoj od točaka: A (6,0), B (0,6), O (0,0), pa uvrštavanjem dobvamo da je mn F (X,Y) F (0,0) 0. Prmjer. Metodom neposrednog sključenja varjabl nać ma F (X) pr ogrančenjma: + 0 0, 0 Nakon oduzmanja zravnavajuće (dodatne) varjable rješavanja npr. po varjabl, problem se svod na traženje bezuvjetnog ekstrema funkcje F (X) F (, ): + 0, odakle 0, 0, 0 uvrštavanjem zraza za u funkcju clja F(X) dobvamo: F (X) ( ) ( ) + 6 ( ) - 6 F (X) ( + ) F (X)

8 Konačno se zadatak sveo na traženje bezuvjetnog ekstrema funkcje F (X) U sljedećem koraku prvo z sustava jednadžb F 0,, nađemo staconarnu točku: F F Kako je : F D < 0 F / / F F F 6, F F D < 0, D 48 6 > Prozlaz da funkcja clja F(X) F (, ) ma u točk (,) lokaln maksmum to: F (,) Prmjer.

9 Metodom neposrednog sključenja varjabl nać ekstrem funkcje F( X ) uz ogrančenja: + 6, Ako zrazmo preko uvrstmo u funkcju čj ekstrem tražmo, dobjamo: F( X ) 9 F ( 6 ) ( 6 ) ( ) + ( 6 ) ( 6 ) / / ( 6 66 /) / F Kako je ( ) + + > 0 tako funkcja ma mnmum u točk (4/, /), mn F(X) 6/ /69 - (/ + 0/) 05/69 (6/) - 77/. 4