Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις"

Ἠλύσια Βέργας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Κουβεντιάζοντας µε τις ασκήσεις Μαθηµατικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου (Θέµατα σε όλη τη ύλη) Άσκηση 2 η Αν f συνεχής στο [1, 11], παραγωγίσιµη στο (1, 11) και f(1)=1, f(11)=11 δείξτε ότι υπάρχουν α, β στο (1, 11) τέτοια ώστε 2f (α) +3f (β)=5 Πριν την λύση : Μάλλον είναι φανερό ότι θα χρειαστούµε 2 Θ.Μ.Τ. σε διαστήµατα του [1, 11], το ερώτηµα είναι σε ποια διαστήµατα. Ας κάνουµε µια ανάλυση. ιαλέγουµε τον (1,11) οπότε χωρίζουµε το [1, 11] σε δύο διαστήµατα [1, ] [,11] στα οποία θα εφαρµόσουµε 2 Θ.Μ.Τ. οπότε εύκολα προκύπτει ότι υπάρχει α (1, ) (,11) τέτοια ώστε : ()= ( )() = ( ) ()= ( )() = ( ) τότε όµως 2 ()+3 ()=2 ( ) ( ) = = ( )(5 25)+( ) ( 1)( 11) Όµως εµείς θέλουµε µε κατάλληλη επιλογή του να πετύχουµε ώστε το αποτέλεσµα να είναι 5 µια πρώτη απαίτηση λοιπόν είναι να «εξαφανίσουµε» από το αποτέλεσµα το ( ) πράγµα που µπορούµε να πετύχουµε αρκεί να επιλέξουµε 5 =25 =5 και τότε πράγµατι 2 ()+3 ()= ( )(25 25)+( ) 4( 6) = =5!!!!! Εποµένως καταφέραµε να δείξουµε το ζητούµενο κάνοντας ΘΜΤ στα διαστήµατα [1, 5] και [5.11] Το αρχικό διάστηµα [1,11] πλάτους 11-1=10 το χωρίζουµε σε 5 ίσα διαστήµατα πλάτους 2 και κάναµε Θ.Μ.Τ. στο [1, 1+2 2]=[1, 5](το 2 ο συντελεστής του f (α)) και δεύτερο Θ.Μ.Τ. στο [5,5+3 2]=[5, 11] ](το 3 ο συντελεστής του f (β))

ιαλέγουµε τον (1,11) οπότε χωρίζουµε το [1, 11] σε δύο διαστήµατα [1, ] [,11] στα οποία θα εφαρµόσουµε 2 Θ.Μ.Τ.

2 f συνεχής στο [1, 5] µιας και f συνεχής στο [1, 11], f παραγωγίσιµη στο (1, 5) µιας και f συνεχής στο (1, 11) από θεώρηµα µέσης τιµής υπάρχει α (1,5) f (α)= ()() = () όµοια υπάρχει β (5,11) f (β)= ()() = () οπότε 2f (α)+3f (β)=2 () ας γενικεύσουµε: Άσκηση 3 η +3 () = =5 Αν f συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και f(α)=α, f(β)=β δείξτε ότι υπάρχουν x 1, x 2 στο (α, β) τέτοια ώστε κf ( x 1 ) +λf ( x 2 )=κ+λ µε κ, λ >0 Πριν την λύση : το διάστηµα (α, β) έχει πλάτος β-α το πλάτος αυτό το χωρίζω σε κ+λ ίσου πλάτους διαστήµατα που το καθένα έχει πλάτος d= θα εφαρµόσω δύο Θ.Μ.Τ. το πρώτο στο διάστηµα [α, α+κd] και το δεύτερο στο [ +,] f συνεχής στο [α,α+kd] διότι f συνεχής [α, β] f παραγωγίσιµη στο (α,α+kd) διότι f παραγωγίσιµη στο (α, β) από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει x 1 (α,α+kd): f (x )= f(α+kd) f(α) α+kd α Όµοια υπάρχει x 2 (α+kd,β): = f(α+kd) f(α) kd

x 1 ) +λf ( x 2 )=κ+λ µε κ, λ >0 Πριν την λύση : το διάστηµα (α, β) έχει πλάτος β-α το πλάτος αυτό το χωρίζω σε κ+λ ίσου πλάτους διαστήµατα που το καθένα έχει πλάτος d= θα εφαρµόσω δύο Θ.Μ.Τ.

3 f (x )= f(α+kd) f(β) = f(α+kd) f(β) = α+kd β kd (β α) = f(α+kd) f(β) kd (k+λ)d =f(β) f(α+kd) λd Τότε: κf (x )+λf (x )=κ ()() f(β) f(α) d Άσκηση 4 η = β α d =κ+λ +λ ()() Αν f συνεχής στο [1, 11], παραγωγίσιµη στο (1, 11) µε f (x) και f(1)=1, f(11)=11 δείξτε ότι υπάρχουν γ, δ στο (1, 11) τέτοια ώστε : + = () () Πριν την λύση :Θα χρειαστούµε 2 Θ.Μ.Τ. σε διαστήµατα του [1, 11]. ιαλέγουµε (1,11) οπότε χαρίζουµε το [1, 11] σε δύο διαστήµατα [1, ] [,11] στα οποία θα εφαρµόσουµε 2 Θ.Μ.Τ. Εύκολα προκύπτει ότι υπάρχουν γ (1, ) (,11) τέτοια ώστε : = ()= ( )() = ( ) ()= ( )() = ( ) τότε όµως 1 2 () () = 1 2 ( + ) ( ) Αρκεί λοιπόν να προσδιορίσουµε κατάλληλο στο (1,11) ώστε : ( )( 5) (7 11) ( ) 12( )+11 = 5 6 ( )( 5) (7 11) ( ) 12( )+11 ( )=7 =1 ( ) ( +7)( )+7 =0 ή ( )= Την περίπτωση ( )= δεν µπορούµε να την υπερασπιστούµε δηλαδή δεν µπορούµε να αποδείξουµε ότι υπάρχει στο (1, 11) τέτοιο ώστε ( )= αντίθετα Επειδή f(1)=1<7<11=f(11) και µε δεδοµένη την συνέχεια της f από το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών υπάρχει στο (1, 11) τέτοιο ώστε f( )=7. Παρατηρήστε τώρα ότι f(11)-f(1)=10, f( ) (1)= 7 1=6,(11) ( )=11 7=4 δηλαδή αν d= ()() =2 τότε f(11)- ( )=2, f( ) (1)=3 Χωρίζουµε το διάστηµα τιµών [f(1), f(11) ] σε 5 ίσα διαστήµατα πλάτους d= ()() =2 και επιλέγουµε κατάλληλο x στο διάστηµα (1,11) ώστε ο f(x )=f(1)+d=7 να χωρίσει το διάστηµα τιµών

ιαλέγουµε (1,11) οπότε χαρίζουµε το [1, 11] σε δύο διαστήµατα [1, ] [,11] στα οποία θα εφαρµόσουµε 2 Θ.Μ.Τ.

4 [f(1), f(11)] στα διαστήµατα [f(1), f(x ) ] και [f(x ),f(11)] και εφαρµόζουµε δυο διαφορετικά Θ.Μ.Τ. f συνεχής στο [1, ] µιας και f συνεχής στο [1, 11], f παραγωγίσιµη στο (1, ) µιας και f παραγωγίσιµη στο (1, 11) από θεώρηµα µέσης τιµής υπάρχει γ (1, ) f (γ)= ( )() = όµοια υπάρχει (,11) f ()= ( )() = οπότε + = () () + = ας γενικεύσουµε: Άσκηση 5 η Αν f συνεχής στο [α, β], παραγωγίσηµη στο (α, β) µε f (x) και f(α)=α, f(β)=β µε f(α)<f(β) δείξτε ότι υπάρχουν γ, δ στο (α, β) τέτοια ώστε : + = () () Πριν την λύση : το διάστηµα(f(α),f( β)) έχει πλάτος f(β)-f(α), το πλάτος αυτό το χωρίζω σε κ+λ ίσου πλάτους διαστήµατα που το καθένα έχει πλάτος d= ()() Στην αρχή θα δείξουµε ότι υπάρχει κατάλληλο x 0 : f(x 0 )=f(α)+κdπου γίνεται εύκολα από το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών, κατόπιν θα εφαρµόσω δύο Θ.Μ.Τ. το πρώτο στο διάστηµα [α, x 0 ] και το δεύτερο στο [x 0,β]

= οπότε + = () () + = ας γενικεύσουµε: Άσκηση 5 η Αν f συνεχής στο [α, β], παραγωγίσηµη στο (α, β) µε f (x) και f(α)=α, f(β)=β µε f(α)<f(β) δείξτε ότι υπάρχουν γ, δ στο (α, β) τέτοια ώστε : + = () ()

5 Αν d= ()() Θα δείξουµε ότι : f(α)<f(α)+kd<f(β) (κ+λ)f(α)<(+)f(α)+(κ+λ)kd<(+)f(β) (κ+λ)f(α)<(κ+λ)f(α)+κf(β) κf(a)<(+)f(β) κf(α)+λf(α)< κf(α)+λf(α)<f(α)+κf(β) και f(α)<f(β) που ισχύει λf(α)+κf(β)<f(β)+λf(β) Εποµένως: f(α)<f(α)+κd<f(β) και f συνεχής στο [α, β] οπότε από θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών υπάρχει x στο (α, β) τέτοιος ώστε f(x )=f(α)+κd και f συνεχής στο [α, x ] f παραγωγίσιµη στο (α, x ) από Θ.Μ.Τ. υπάρχει γ (α,x ):f (γ)= ( )() = όµοια υπάρχει δ (x,β):f (δ)= ( )() = ()()() = 1 λf (γ) + 1 κf (δ) = 1 kd λ x α Άσκηση 6 η + 1 β α κ λd = κλd =(κ+λ)d = κ+λ κλd κλ β x Αν f συνεχής στο [0,10], παραγωγίσιµη στο (0, 10) µε f(0)= 0, f(10)= 10 δείξτε ότι υπάρχουν γ, δ στο (0, 10) τέτοια ώστε : () ()=

συνεχής στο [α, x ] f παραγωγίσιµη στο (α, x ) από Θ.Μ.Τ.

6 Πριν την λύση :Θα χρειαστούµε 2 Θ.Μ.Τ. σε διαστήµατα του [0, 10],. ιαλέγουµε 0 (0,10) οπότε χαρίζουµε το [0, 10] σε δύο διαστήµατα [0, 0 ] [ 0,10] στα οποία θα εφαρµόσουµε 2 Θ.Μ.Τ. Εύκολα προκύπτει ότι υπάρχουν γ (0, ) (,10) τέτοια ώστε : ()= ( )() = ( ) ()= ( )() = ( ) τότε όµως () ()= ( ) ( ) Αρκεί λοιπόν να προσδιορίσουµε κατάλληλο 0 στο (0,10) ώστε : ( 0 ) ( 0 ) 10 ( 0 )= =1 2 ( 0 ) 10( 0 ) 0 ( 0 10)=0 ή ( 0 )= 0 Την περίπτωση ( )= δεν µπορούµε να την υπερασπιστούµε δηλαδή δεν µπορούµε να αποδείξουµε ότι υπάρχει 0 στο (0, 10) τέτοιο ώστε ( )= αντίθετα Επειδή g(x)=f(x)+x-10 είναι συνεχής και g(0)g(10)=-100 <0 από θεώρηµα Bolzano υπάρχει 0 στο (0, 10) τέτοιο ώστε ( )=10 εποµένως αρκεί (για αυτόν τον 0 ) να εφαρµόσω δύο Θ.Μ.Τ το ένα στο [0, 0 ] και το άλλο στο [ 0, 10] Αποδεικνύουµε ότι υπάρχει 0 στο (0,1) τέτοιο ώστε ( )=10 κατόπιν εφαρµόζουµε δύο Θ.Μ.Τ. στα διαστήµατα [0, 0 ] και [ 0,10 ], πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη προκύπτει το ζητούµενο Έστω g(x)=f(x)+x-10 g συνεχής στο [0, 10] και g(0)g(10)= -100 < 0 από θεώρηµα Bolzano υπάρχει x 0 στο (0, 10): g(x 0 )=0 οπότε f(x 0 )=10-x 0 και f συνεχής στο [0, x 0 ] f παραγωγίσιµη στο (0, x 0 ) από Θ.Μ.Τ. υπάρχει γ στο (0, x 0 ): f (γ)= ( )() όµοια υπάρχει δ στο (x 0, 10): f (δ)= ( )() = =

Εύκολα προκύπτει ότι υπάρχουν γ (0, ) (,10) τέτοια ώστε : ()= ( )() = ( ) ()= ( )() = ( ) τότε όµως () ()= ( ) ( ) 10 10 Αρκεί λοιπόν να προσδιορίσουµε κατάλληλο 0 στο (0,10) ώστε : ( 0 ) ( 0 ) 10 (

7 εποµένως : f (γ) f (δ)= Άσκηση 7 η =1 Αν f συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f(α)= α, f(β)= β δείξτε ότι υπάρχουν γ, δ στο (α, β) τέτοια ώστε : () ()= Αποδεικνύουµε ότι υπάρχει 0 στο (α, β) τέτοιο ώστε ( )=+ κατόπιν εφαρµόζουµε δύο Θ.Μ.Τ. στα διαστήµατα [α, 0 ] και [ 0, ], πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη προκύπτει το ζητούµενο Έστω g(x)=f(x)+x-α-β g συνεχής στο [α, β] και g(α)g(β)= -(β-α) 2 < 0 από θεώρηµα Bolzano υπάρχει x 0 στο (α, β): g(x 0 )=0 οπότε f(x 0 )=α+β-x 0 και f συνεχής στο [α, x 0 ] f παραγωγίσιµη στο (α, x 0 ) από Θ.Μ.Τ. υπάρχει γ στο (α, x 0 ): f (γ)= ( )() όµοια υπάρχει δ στο (x 0, β): f (δ)= ( )() εποµένως : f (γ) f (δ)= =1 = =

στα διαστήµατα [α, 0 ] και [ 0, ], πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη προκύπτει το ζητούµενο Έστω g(x)=f(x)+x-α-β g συνεχής στο [α, β] και g(α)g(β)= -(β-α) 2 < 0 από

Σχετικά έγγραφα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό