ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί ε: x ψ + 7 = 0 χορδή μήκους οο A M K B Φέρουμε πό το Κ την κάθετη ΚΜ (ε) Τότε το Μ θ νι μέσο του ΑΒ κι φού (ΑΒ) = (ΜΒ) = 3 3+ 7 Έχουμε: d( K, M) = = + 5 Στο ορθογώνιο λοιπόν ΚΜΒ έχουμε: ( KB) = ( KM ) + ( MB) 6 36 ρ = + = + = 5 5 5 36 Άρ ο κύκλος έχει εξίσωση: ( x 3) ( ψ 3) + = 5 Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με διάμετρο το ΑΒ ν είνι Α (5, ) κι Β ( 3, 6) --- 5 3 + 6 Το κέντρο του κύκλου είνι Κ=, Κ(,) Η κτίν είνι ( ) ( ) ρ =ΚΑ= 5 + = 6 + 6 = 3 Άρ η εξίσωση του κύκλου είνι ( ) ( ) x + y = 3 9

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) 3 Δίνετι η εξίσωση x + y x y a+ a = 0 () με Ν δείξετε ότι η () πριστάνει κύκλο γι κάθε κι ν βρείτε το κέντρο κι την κτίν του Η () γράφετι x + y ax + ay + a =0 () Από την () βρίσκουμε ότι Α +Β Γ= ( ) + ( ) = > 0 Α Β άρ η () πριστάνει κύκλο με κέντρο Κ, ή Κ κι κτίν ρ = Α +Β Γ = = (, ) Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου (c) που εφάπτετι στις ευθείες ( ε ):x+ y + = 0 κι ( ε ):x+ y 6= 0 κι το κέντρο του βρίσκετι στην ευθεί ( ε 3 ):x+ 3y= 8 Έστω Κ (, β) το κέντρο του κύκλου Τότε φού Κ (ε 3 ) έπετι ότι + 3β = 8 () Ο κύκλος (c) εφάπτετι στις (ε ) κι (ε ) άρ + β + + β 6 d( Κ, ε) = d( Κ, ε) = + + + β + + β 6 = + β + = + β 6 5 0 + β + = + β 6 β = 8 ή β = + β 6 6 + 6β = β = ( ) 3 + 3β = ( 3) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου: Αν μς δίνουν δύο σημεί Α κι Β του κύκλου βρίσκω την μεσοκάθετο του ΑΒ Η μεσοκάθετος του ΑΒ διέρχετι πό το κέντρο του κύκλου Ότν έν σημείο Α νήκει σε έν κύκλο τότε οι συντετγμένες του επληθεύουν την εξίσωση του κύκλου κι η πόστση του κέντρου του κύκλου πό το σημείο Α είνι ίση με την κτίν του κύκλου Το σύστημ () + 3β = 8 ( ) β = = δίνει β = 3 άρ Κ (, 3) 0

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 Η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το Ο(0,0) είνι: x + y =ρ Η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το K( x0, y0) είνι: (x x ) + (y y ) = ρ 0 0 5 Ένς κύκλος με εξίσωση της μορφής x + y + Ax+ By+Γ= 0 έχει κέντρο A B K, κι κτίν ρ= A + B Γ κι το σύστημ = 3 ( 3) 3 + 3β = άρ Κ 3, () + 3β = 8 β = 3 3 ( ) + 3+ Είνι ρ = d ( Κ, ε) = = άρ η ζητούμενη 5 5 + + = 5 εξίσωση του κύκλου (c ) είνι ( x ) ( y 3) ( 3) + + 3 Είνι ρ = d ( Κ, ε) = = άρ η εξίσωση του 5 3 5 κύκλου (c ) σ υτή τη περίπτωση είνι + + y = 3 3 5 ( x 3) 5 Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχετι πό τ σημεί Α (3, ) κι Β (, 3) κι το κέντρο του νήκει στην ευθεί ε: 3x y = 0 Το κέντρο Κ του κύκλου θ νήκει, εκτός πό την ε, κι στη μεσοκάθετο ζ της χορδής ΑΒ Λύνοντς το σύστημ των εξισώσεων των ε κι ζ βρίσκουμε τις συντετγμένες του κέντρου Η κτίν ρ θ προσδιοριστεί πό τη σχέση ρ = (ΚΑ) Αρχικά υπολογίζουμε το μέσο του τμήμτος ΑΒ, που είνι το 3 + 3 Μ, =Μ(,) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι 3 λ ΑΒ = = 3 Από τη σχέση λαβ λ ζ =, πίρνουμε λ =, οπότε λ = ζ Η εξίσωση της ζ είνι y = (x ) ή λλιώς y = x y = x Το σύστημ δίνει x = κι y = Έτσι το κέντρο 3x y = 0 του κύκλου είνι το Κ (, ) κι η κτίν του είνι ζ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) ( ) ρ = ΚΑ = 3 + = 0 Τελικά η εξίσωση του κύκλου είνι (x ) + (y ) = 0 6 Δίνοντι τ σημεί Κ (, 5), Λ (7, 0) κι Μ (, 3) Ν βρείτε την εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχετι πό τ Κ, Λ κι Μ (δηλδή ν βρεθεί η εξίσωση του περιγεγρμμένου κύκλου του τριγώνου ΚΛΜ) τρόπος Έστω x + y + Αx + Βy + Γ = 0 η ζητούμενη εξίσωση Η εξίσωση υτή επληθεύετι πό τις συντετγμένες των Κ, Λ, Μ, φού υτά νήκουν στον κύκλο Επομένως θ έχουμε: + 5 +Α +Β 5+Γ= 0 Α+ 5Β+Γ= 9 () 7 + 0 +Α 7+Β 0+Γ= 0 7Α+Γ= 9 ( ) ( ) + ( 3) +Α( ) +Β( 3) +Γ= 0 Α 3 Β+Γ= 3( 3) Λύνουμε τώρ το σύστημ υτό (τρεις εξισώσεις με τρεις γνώστους) με σκοπό ν προκύψουν οι τιμές των Α, Β κι Γ Από τη σχέση () προκύπτει Γ = 7Α 9, οπότε οι σχέσεις (), (3) δίνουν: Α+ 5Β 7Α 9= 9 5Α+ 5Β= 0 Α 3Β 7Α 9= 3 9Α 3Β= 36 Α + Β = Α = Α Β= 3 Β= 0 Επομένως Γ = 7Α 9 = 7 ( ) 9 = Άρ η ζητούμενη εξίσωση του κύκλου είνι x + y x = 0 ( (x ) + y = 5) β τρόπος Η μεσοκάθετος κάθε χορδής ενός κύκλου διέρχετι πό το κέντρο του, οπότε το κέντρο του κύκλου θ νήκει στη μεσοκάθετο του ΚΛ κι στη μεσοκάθετο του ΛΜ Βρίσκουμε τις εξισώσεις των μεσoκθέτων των ΚΛ, ΛΜ κι στη συνέχει λύνουμε το σύστημά τους Προκύπτουν έτσι οι συντετγμένες (x 0, y 0 ) του κέντρου Ν του κύκλου Η κτίν ρ του κύκλου θ είνι ίση με την πόστση του Ν, γι πράδειγμ, πό το Κ Η εξίσωση του κύκλου θ είνι τότε η (x x 0 ) + (y y 0 ) = ρ με τ x 0, y 0, ρ που έχουν προκύψει η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση των εφπτόμενων ενός κύκλου

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ν βρεθούν οι εφπτόμενες του κύκλου C: x + ψ x 6ψ = 0 που είνι κάθετες στην ευθεί ε: x 3ψ = = 0 ος τρόπος: Αρκεί ν βρούμε τ σημεί Α κι Β που οι ε κι ε εφάπτοντι στον C κι ν φέρουμε πό υτά ευθείες κάθετες στην ε Φέρουμε πό το Κ (,3) ευθεί ζ πράλληλη της ε ζ : ψ 3 = ( ) 3 x x Η τομή υτής κι του κύκλου δίνει τ σημεί Α κι Β: με: ψ = κι ψ =, οπότε Α (, ), Β (, ) Ο κύκλος είνι της μορφής: x + ψ + Αx + Βψ + Γ = 0 με: Α =, Β = 6 κι Γ = 0, άρ έχει κέντρο: Κ (, 3) κι κτίν: ρ = Α +Β Γ = 0 = 0 Έστω ε μί εφπτομένη του κάθετη στην ε Τότε θ χει μορφή: ψ = λx + k με: λ ε = 3 (φού: λ ε λ ε = ), δηλ: ψ = 3x + k ή 3x + ψ k = 0 Αφού η ε είνι εφπτομένη, η κτίν ΚΑ του κύκλου που κτλήγει σ υτήν είνι κάθετη στην ε Άρ: ( ΚΑ ) = ρ = 0 οπότε: 3 + 3 k d( ΚΑ, ) = ρ = 0 6 k = 0 + 3 k 6=± 0 με k = 6, k = Άρ ε : ψ = 3x +6 κι ε : ψ = 3x είνι οι εφπτόμενες κάθετες στην ε Ν βρεθεί η εξίσωση της εφπτομένης του κύκλου C: (x ) + (y + 3) = 0 στο σημείο του Α (, ) Ο κύκλος έχει κέντρο Κ (, 3) τρόπος --- 3 Η ευθεί ΑΚ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = + = κι ΑΚ 3 είνι κάθετη στην εφπτομένη ε του κύκλου στο Α Επομένως είνι λ ΑΚ λ ε =, οπότε λ =, π όπου πίρνουμε λ ε = 3 3 ε Έτσι η ε διέρχετι πό το σημείο Α (, ) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε = 3, άρ θ έχει εξίσωση y + = 3 (x ), δηλδή y = 3x 5 β τρόπος Γι έν τυχίο σημείο Μ (x, y) του επιπέδου θ είνι Μ ε ΑΜ ΑΚ ΑΜ ΑΚ = 0 3

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Είνι όμως ΑΜ = (x, y +) κι ΑΚ = (3, ) οπότε έχουμε: ΑΜ ΑΚ = 0 3 x y+ = 0 ( ) ( ) 3x y 5= 0 y = 3x 5 ( ) Η ισοδυνμί Μ x, y ε y = 3x 5 φνερώνει ότι η εξίσωση της ε είνι y = 3x 5 3 Ν βρεθούν οι εξισώσεις των εφπτομένων του κύκλου C: x + y = 5 που διέρχοντι πό το σημείο Α (, 3) Το σύνολο των ευθειών που διέρχοντι πό το σημείο Α (, 3) ποτελείτι πό την ευθεί x = κι τις ευθείες της μορφής x 3 = λ (x + ), δηλδή λx y + λ + 3 = 0 Η ευθεί x = πέχει πό το κέντρο Ο (0, 0) του κύκλου πόστση ίση με 5 = ρ, οπότε δεν ποτελεί λύση του προβλήμτος Η ευθεί λx y + λ + 3 = 0 είνι εφπτομένη του κύκλου C, ν κι μόνο ν d (Ο, ε) = ρ λ + 3 Όμως: d ( Ο, ε) = ρ = 5 5 λ + = λ+ 3 λ + 5( λ + ) = λ + 6λ+ 9 λ 6λ = 0 λ 3λ = 0 λ = ή λ = Άρ οι ζητούμενες εξισώσεις είνι x y + 5 = 0 κι 5 x y+ = 0 Η εξίσωση της εφπτόμενης κύκλου με κέντρο το Ο(0,0) σε έν σημείο του A(x, y ) δίνετι πό τον τύπο: xx + yy =ρ 3 η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την σχετική θέση ενός κύκλου

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Δίνετι η ευθεί ε: y = λx κι ο κύκλος C: x + y x + = 0 Ν βρεθεί ο λ ώστε η ευθεί : () ν τέμνει τον C, () ν εφάπτετι στον C, (3) ν μην έχει κοινά σημεί με τον C Μι ευθεί (ε) με έν κύκλο κτίνς ρ κι κέντρου Κ: ) έχουν δύο κοινά σημεί ότν d(κ, ε)<ρ β) δεν έχουν κοινά σημεί ότν d(κ, ε)>ρ γ) εφάπτοντι ότν d(κ, ε)=ρ Τ σημεί των ε κι Cμς τ δίνει το σύστημ των εξισώσεών τους Αν θέσω λοιπόν στην εξίσωση του C όπου y = λx έχω: x + λ x x+ = 0 ( + λ ) x x+ = 0 τριώνυμο με δικρίνουσ Δ = 6 ( + λ ) = (3 λ ) που το πρόσημο της φίνετι στον πρκάτω πίνκ Έτσι έχουμε τις εξής περιπτώσεις: () η ευθεί τέμνει τον κύκλο κι υτό συμβίνει ότν Δ> 0 λ 3, 3 ( ) () η ευθεί εφάπτετι στον C κι υτό συμβίνει ότν Δ= 0 λ =± 3 (3) η ευθεί δεν τέμνει τον κύκλο ότν Δ< 0 λ, 3 3, + ( ) ( ) Ν βρεθεί η σχετική θέση των κύκλων C κι C στις πρκάτω περιπτώσεις: i) C : (x 3) + (y ) = κι C : (x + ) + (y ) = 5 ii) C : (x ) + (y ) = κι C : x + (y ) = iii) C : (x ) + (y + ) = 0 κι C : (x + ) + (y ) = --- i) Ο κύκλος C έχει κέντρο Κ (3, ) κι κτίν ρ = κι ο C έχει κέντρο Κ (, ) κι κτίν ρ = Έχουμε: ( ) ( ) ( ) 3 5 ρ ρ Κ Κ = + = > + Επομένως οι δύο κύκλοι βρίσκοντι ο ένς εκτός του άλλου (κι δεν έχουν κοινά σημεί) 5

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ii) Ο κύκλος C έχει κέντρο Κ (, ) κι κτίν ρ = κι ο 5 κύκλος C έχει κέντρο Κ, κι κτίν ρ = Έχουμε: 5 ρ ρ ( ) ( ) ΚΚ = + = = Επομένως οι κύκλοι εφάπτοντι εσωτερικά Λύνοντς το σύστημ των εξισώσεων των δύο κύκλων βρίσκουμε x = 3, y = Αυτό σημίνει ότι οι κύκλοι εφάπτοντι εσωτερικά στο Τ (3, ) iii) Λύνοντς το σύστημ των εξισώσεων των δύο κύκλων βρίσκουμε δύο λύσεις (x =, y = 0) κι (x =, y = ) Επομένως οι κύκλοι έχουν δύο κοινά σημεί, τ οποί είνι τ Τ (, 0) κι Τ (, ) η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση μις υπερβολής ή έλλειψης ή πρβολής ή στοιχεί υτών Ν βρεθεί η εξίσωση πρβολής που είνι συμμετρική ως προς τον y y, που έχει κορυφή την ρχή των ξόνων κι που ορίζει πάνω στη διχοτόμο της πρώτης κι τρίτης γωνίς, χορδή μήκους 8 Η εξίσωση της πρβολής C με εστί p E,0 κι διευθετούσ p δ :x= είνι: y = px Η ζητούμενη εξίσωση της πρβολής θ είνι της μορφής (c) : x = py () Η εξίσωση της διχοτόμου της ης κι 3 ης γωνίς των ξόνων είνι y = x () Τ σημεί τομής της πρβολής (c) κι της διχοτόμου είνι οι λύσεις του συστήμτος: x = py () x = 0 x py = 0 x( x p) = 0 y = x ( ) x = p ρ κι y = 0 ρ κι y = p 6

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άρ τ σημεί τομής είνι τ Ο (0, 0) κι Α (p, p) Είνι ( ) ( ) ( ) d O, A = 8 p 0 + p 0 = 8 = = = =± 8p 8 p 8 p p κι επομένως οι ζητούμενες εξισώσεις της πρβολής είνι (i) x = 8x κι (ii) x = 8y Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τ σημεί E( γ,0), E( γ,0) κι στθερό άθροισμ είνι x y + =, όπου β β= γ Η εκκεντρότητ της έλλειψης + = β δίνετι πό τον τύπο γ ε= < Ν βρεθεί η εστί κι η διευθετούσ της πρβολής (y ) + 3 = (y ) + 7x () Η () γράφετι κι ως εξής 7 y y + + 3 = y + + 7x 3y = 7x y = x 3 7 7 άρ p= p= κι επομένως η εστί είνι 3 6 p E 7,0,0 ή E p 7 κι η εξίσωση της διευθετούσς x = ή x = 3 Ν βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης με κέντρο το Ο(0, 0), ότν: ) Έχει εστί το σημείο ( 3, 0) κι μεγάλο άξον 8 ) Έχει εστί το σημείο (0, ) κι μικρό άξον 6 3 3) Έχει εστί το σημείο (3, 0) κι εκκεντρότητ --- 5 ) Έχει εστί τον x x, εστική πόστση κι περνά πό το (, 3) 5) Διέρχετι πό τ σημεί (3, ) κι (0, ) )Αφού έχει εστί στον άξον xx το σημείο ( 3, 0) είνι γ = 3 γ = 3 κι φού το μήκος του μεγάλου άξον είνι = 8 = Άρ β = γ = 6 9 = 7 κι έτσι C : + = 6 7 7

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Αφού έχει εστί στον άξον yy το σημείο (0, ) είνι γ = κι φού το μήκος του μικρού άξον είνι β = 6 β = 3 Άρ = β + γ = 9 + 6 = 5 = 5 κι έτσι C : + = 9 5 3) Αφού έχει εστί στον άξον xx το σημείο (3, 0) είνι γ = 3 κι γ 3 φού η εκκεντρότητ είνι 5 = 5 = Άρ β = γ = 5 9 = 6 κι έτσι C : + = 5 6 ) Αφού έχει εστική πόστση γ = γ = πό = β + γ = β + Έστω C : + = + = η έλλειψη που διέρχετι β β + β πό το σημείο 3 (, 3), άρ + = β 9β 36= 0 β =, άρ β + β = 6 κι έτσι C : + = 6 5) Έστω C : x + y = η έλλειψη που διέρχετι πό το σημείο (0, a β 6 ) άρ = β = Επίσης διέρχετι πό το σημείο (3, ), άρ a 9 : + 6 = = κι έτσι C + = 6 Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τ σημεί E( γ,0), E( γ,0), κι στθερή διφορά είνι x β = y =, όπου β γ Οι σύμπτωτες της υπερβολής = είνι οι β ευθείες β β y= x, y= x Ν βρεθούν τ μήκη των ξόνων, οι κορυφές, οι εστίες κι η εκκεντρότητ των πρκάτω ελλείψεων: () 5x + 6y = 00 () 3x + y = 8 ) Από 5x + 6y = 00 + =, με = 5, β =, άρ γ = 6 5 β = 3 Έτσι ο μεγάλος άξονς έχει μήκος 0, ο μικρός άξονς έχει μήκος 8, κορυφές τ σημεί Α (0, 5), Α (0, 5), Β (, 0), 8

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Β (, 0), εστίες στον άξον yy οι Ε (0, 3), Ε (0, 3) κι εκκεντρότητ ε = 3 5 Η εκκεντρότητ της υπερβολής = δίνετι β πό τον τύπο: γ ε= > Επειδή είνι οπότε κι άρ, γ= +β, +β ε= β ε = + β = ε, ) Από 3x + y = 8 + =, με =, β = 3, άρ γ = 6 β = Έτσι ο μεγάλος άξονς έχει μήκος 8, ο μικρός άξονς έχει μήκος 3, κορυφές τ σημεί Α (, 0), Α (, 0), Β (0, 3), Β (0, 3), οι εστίες στον άξον xx οι Ε (, 0), Ε (, 0) κι εκκεντρότητ ε = 5 Ν γράψετε την εξίσωση της υπερβολής που έχει κέντρο το Ο (0, 0), άξον τον x x, διέρχετι πό το σημείο Μ (8, ) κι έχει σύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις y = x κι Ανζητούμε εξίσωση της μορφής y = x C : β = Αφού το σημείο Μ (8, ) νήκει στην υπερβολή, θ ισχύει 6 = () β Οι σύμπτωτες της υπερβολής C έχουν, ως γνωστόν, εξισώσεις : --- y = β x y β κι = x β β Συνεπώς θ είνι ± =±, δηλδή = () Το σύστημ των εξισώσεων () κι () μς δίνει : = 8 κι β = Άρ η εξίσωση της υπερβολής είνι η = 8 9

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Ν βρείτε την εξίσωση της υπερβολής C που έχει εκκεντρότητ ε = 5 κι κοινές εστίες με την έλλειψη C: + = 9 Γι την έλλειψη C είνι = 9 κι β =, συνεπώς οι εστίες της θ βρίσκοντι στον άξον x x Επομένως η ζητούμενη υπερβολή θ έχει εξίσωση C : = () β Από την έλλειψη έχουμε ότι γ = β ή γ = 5 Το γ λοιπόν είνι το ίδιο κι γι την υπερβολή C, οπότε έχουμε: γ γ ε = = ε, άρ γ 6 = ή = κι ε 5 9 β = γ ή β = 5 Επομένως η ζητούμενη υπερβολή έχει εξίσωση C : = 6 9 5 5 7 Ν βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητ κι τις σύμπτωτες της υπερβολής με εξίσωση: i) 5x 6y = 00 ii) x y = iii) 6y 69x = 6 69 i) Διιρώντς κι τ δύο μέλη με 00, η εξίσωση γράφετι = Έχουμε =, β = 5 κι 6 5 γ = + β = 6 + 5 = Επομένως οι εστίες είνι Ε (,0) εκκεντρότητ ισούτι με ε = (,0), Ε =, η κι οι σύμπτωτες έχουν 30

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ εξισώσεις y = 5 x κι y = 5 x ii) Διιρώντς κι τ δύο μέλη με, η εξίσωση γράφετι y x = Άρ έχουμε =, β = κι γ = 5, οπότε η υπερβολή έχει εστίες Ε ( 5, 0), Ε ( 5, 0), εκκεντρότητ ε = 5 κι σύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις y = x κι y = x iii) Διιρώντς κι τ δύο μέλη με το γινόμενο 6 69, η εξίσωση y x γράφετι = 69 6 Έχουμε = 3, β = 8 κι γ = 69 + 6 = 33, οπότε η υπερβολή έχει εστίες Ε (0, 33 ), Ε (0, 33 ), εκκεντρότητ ε = 33 3 κι 3 3 σύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις y = x κι y = x 8 8 Η εφπτομένη της πρβολής y = px στο σημείο της M(x,y) έχει εξίσωση yy = p(x + x ) 5 η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση των εφπτόμενων μις υπερβολής ή έλλειψης ή πρβολής Ν βρεθούν οι εξισώσεις των εφπτομένων της πρβολής (c): y = x που --- φέροντι πό το σημείο Μ (, ) Αν μι πρβολή έχει εξίσωση x = py, τότε η εφπτομένη της στο σημείο M(x,y) έχει εξίσωση xx = p(y + y ) Κάθε ευθεί που περνά πό το Μ (, ) έχει εξίσωση y + = λ (x + ) () Επειδή η () θ εφάπτετι της (c) έπετι ότι το σύστημ y+ = λ ( x+ ) ( ) ( Σ) y = x ( ) θ έχει μι λύση Η () λόγω της () γίνετι : (λx + λ ) = x λ x + (λ λ )x + 6λ 8λ + = 0 (3) 3

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επειδή το (Σ) θ έχει μι λύση, κι η (3) θ έχει μι λύση, άρ Δ = 0 (λ λ ) λ (6λ 8λ + ) = 0 8λ λ = 0 λ =, λ = Άρ πό () γι λ = έχουμε: y + = (x + ) x y + = 0 κι γι : λ = έχουμε: y + = (x + ) x + y + 8 = 0 7 η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις που μς ζητούν την εύρεση γεωμετρικών τόπων Έστω μι έλλειψη C με εξίσωση + = β κι έν σημείο της M(x,y) Η εφπτομένη της έλλειψης C στο σημείο M(x,y) έχει εξίσωση: xx yy + = β Ν βρεθεί ο γτ των μέσων των χορδών του κύκλου (c): x + (y ) =, οι οποίες διέρχοντι πό την ρχή Ο των ξόνων Έστω Μ (x, y) τυχίο σημείο του γτ Τότε ν Α (x, y ) σημείο του κύκλου (c) θ είνι x0 + xa y0 + ya 0+ Μ, ή Μ x 0+ y, ή Μ x y, x y άρ x = κι y = οπότε x = x κι y = y κι επειδή Α ( x, y ) ( c) έπετι ότι x ( y ) + = ή Έστω μι υπερβολή με εξίσωση = β κι έν σημείο M(x,y) υτής Η εφπτομένη της υπερβολής στο σημείο M(x,y) έχει εξίσωση: xx yy = β ( ) ( ) ( ) ( ) x + y = x + y = x + y = Άρ ο γτ των μέσων των χορδών που διέρχοντι πό το Ο είνι ο κύκλος ( y ) x + = 3