ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ, δ) Σ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. Αν θέσουµε z = + yi,, y, θα είναι z= yi και η δοσµένη εξίσωση γράφεται ( + y ) + i 4 i = ( y ) 4 + + ( ) i = + y + i = + y = και = Β. Είναι ( ) ( ) ( ) ( y και ) ( y και ) + = = = = y = ± και =. Άρα οι λύσεις είναι z= + i, z= i. ( ) ( i) 39 39 39 39 z ( ) + i + i + i 3 3 3 3 z i w = = = = = 39 38 9 i i i i i = 3 ( ) = 3 = 3 = = 3 ( ) i = 3 i. Β3. Η σχέση u + w = 4z z i γράφεται: u 3i = 4 +4i + i i u 3i = 3 +4i u 3i = 5. Αν u = + yi,, y έχουµε + yi 3i = 5 + yi 3i = 5 + (y 3) = 5. Εποµένως ο γ.τ. των µιγαδικών u είναι κύκλος µε κέντρο Κ (, 3) και ακτίνα ρ = 5. ΘΕΜΑ Γ Γ. Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R ως αποτέλεσµα αντίστοιχα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιµων συναρτήσεων. ( e + ) e Είναι h ( ) = = = > για κάθε R. e + e + e +
Άρα h είναι γνησίως αύξουσα στο R. ( e ) e e ( ) ( ) ( ) Επίσης, είναι h ( ) + = e = = = < για κάθε + e + e + e + R. Άρα η h είναι κοίλη στο R. Γ. Η δοσµένη ανίσωση γράφεται ισοδύναµα: h( h ( ) e h( h ( ) e e < ln e < ln () e + e + e Επειδή h() = ln( e + ) = ln e ln( e + ) = ln e + ( ( )) ln h h e < h() h( h ( ) ) < h(). η () γράφεται Επειδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο, προκύπτει ισοδύναµα ότι h ( ) < h ( ) < h ( ) < h () (). Επειδή η h είναι κοίλη στο, θα είναι και h' () γνησίως φθίνουσα στο Έτσι από τη () προκύπτει ισοδύναµα >. e Γ3. Είναι lim h( ) = lim ln( e ) lim ln e ln( e ) lim ln + + + = + + = = + e + e + lim ln lim ln ln + = = = e + + e + * ιότι lim = αφού lime = +, + e + + lim ln lim ln( y) ln + = = = (όπου έχουµε θέσει e + y Άρα η οριζόντια ασύµπτωση στο + είναι η y=. y= e + ). Για την πλάγια ασύµπτωτη στο έχουµε: h( ) ln( e + ) ln( e + ) lim = lim = lim = lim ln( e ) + = =. ιότι lim ln( e + ) = ln=, αφού lime = και lim =. Επίσης είναι lim ( ( ) ) lim ln( h = e ) lim ln( e ) ln + = + = =. Άρα η πλάγια ασύµπτωτη της h στο είναι η y =. Γ4. Βρίσκουµε τις ρίζες και το πρόσηµο της φ. Επειδή e > για κάθε αρκεί να µελετήσουµε την g( ) = h( ) + ln = h( ) h(). Όµως, g ( ) = h ( ) > για κάθε, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο.
ΘΕΜΑ Επίσης g() = h() h() =. Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα = θα είναι µοναδική για την g. Για θα είναι g( ) g() g( ). Εποµένως ϕ ( ) = e g( ) για κάθε [, ]. Άρα ϕ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln E = d = e h + e d = e h d + e d = = e h( ) e h ( ) + ln e = e h() h() e d + ln ( e ) = e + ( e + ) = e( ln( e+ ) ) + ln d+ ( e ) ln = e + ( ) ( ) ( ) = e e ln e + + ln ln e + + e ln = ( ) ( e ) e e ( e ) e ( e ) ( ) ( ) ( e ) = e e ln e + + e ln ln + ln = = e ln e + e + + ln + = = e ( e + ) ln( e + ) ln = e + ( e + ) ln e + τ.µ.. Η f θα είναι συνεχής στο σηµείο = αρκεί να ισχύει ln + + ln ln + + ln = lim f ( ) = f () =. * e ( e ) ** Όµως lim f ( ) = lim = lim = lim e = e =. ( ) * (Από τον κανόνα De l' Hospital). ** ( ιότι e συνεχής). e ( e ) ( e )( ) e e + Για f ( ) = = = e f ( ) f () * Για = είναι () lim lim e f = = = lim = * ( e ) e e = lim = lim = lim =. ( ) * (Από τον κανόνα De l' Hospital). Θέτουµε g () = e e +,. H g είναι παραγωγίσιµη ως αποτέλεσµα πράξεων παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε g' () = e. Είναι g' () = e = =. Επίσης g' () > e > > g' () < e < < αφού e > για κάθε. Έτσι προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας µεταβολών για την g: 3
Συµπεραίνουµε ότι g() για κάθε. > για κάθε (,) (, + ) Άρα f ( ) και επειδή η f είναι συνεχής στο = (έχει αποδειχθεί) αλλά και σε όλο το R ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών συναρτήσεων, θα είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το.. α) Θεωρούµε τη συνάρτηση Είναι K ( ) = f ( ), R. Για * e R είναι f ( ) =. K( ) = f ( u) du, R. e Με < e < e e < >. e Με > e > e e > >. Για = είναι f () = >. Άρα f () > για κάθε R και ισοδύναµα Κ ( ) > για κάθε R, άρα η Κ είναι γν. αύξουσα στο R. f ( ) Είναι f u du K( f ) ( ) = ( ) = Κ(). Επειδή Κ γν. αύξουσα θα είναι και -. Οπότε f ( ) = f ( ) = f ( ) = f (). Όµως η f είναι γν. αύξουσα διότι η f είναι κυρτή. Άρα f είναι - και έτσι προκύπτει =. β) Στο σηµείο στο οποίο ο ρυθµός µεταβολής της τετµηµένης (t) είναι διπλάσιος του ρυθµού µεταβολής της τετµηµένης y(t) ισχύει: ( t ) > ( t) = f( ( t) ) ( t) = f ( ( t) ) ( t) f ( ( t) ) = f t = f (). ( ( )) Όµως f γνησίως αύξουσα άρα και -, οπότε (t)=. Έτσι το ζητούµενο σηµείο είναι Μ(, f()) ή Μ(, ). 4
3. Η συνάρτηση g για e f ( ) =, > γράφεται e g( ) = + e ( ) = ( e e) ( ). Η g είναι παραγωγίσιµη στο (, + ) ως αποτέλεσµα πράξεων παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε: g' () = (e e) e ( ) + (e e) ( ) = = (e e) ( ) [e ( ) + e e] = = (e e) ( ) (e e + e e] = = (e e) ( ) (e e e). Θέτουµε h( ) e e e, (, ) =. Η h είναι συνεχής ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιµων συναρτήσεων. Είναι h ( ) = e + e e = e > για κάθε (, + ). Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). Εξάλλου είναι h() = e<, h() = e ( e ) >. Η h είναι συνεχής στο [, ] και επειδή h() h() <, προκύπτει από το Θ. Boltzano ότι υπάρχει (, ) ώστε h( ) =. Η h είναι γνησίως αύξουσα, άρα η ρίζα είναι µοναδική στο (, ). Έτσι, µε > h( ) > h( ) h( ) >. < h( ) < h( ) h( ) <. µε e e = e = e =. e e > e > e >. e e < e < e <. Έτσι προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας µεταβολών Προκύπτει ότι η g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και µια θέση τοπικού µεγίστου. 5