Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο την πόστση των δύο σηµείων. Τ δύο υτά σηµεί, Ε κι Ε τ ονοµάζουµε εστίες κι τη µετξύ τους πόστση εστική πόστση κι τη συµολίζουµε µε γ. Την πόλυτη τιµή της διφοράς των ποστάσεων του τυχίου σηµείου της υπερολής πό τις δύο εστίες τη συµολίζουµε µε Είνι: (ΜΕ) - (ΜΕ ) = y Η εξίσωση της υπερολής ως προς σύστηµ συντετγµένων Οy µε άξον την ευθεί που διέρχετι πό τ Ε κι Ε κι άξον y y την µεσοκάθετο του ΕΕ είνι: y =, όπου = γ -. Η εξίσωση της υπερολής ως προς σύστηµ συντετγµένων Οy µε άξον y y την ευθεί που διέρχετι πό τ Ε κι Ε κι άξον την µεσοκάθετο του ΕΕ είνι: y =, όπου = γ -.

58. Υπερολή Εξίσωση εφπτοµένης Έστω η υπερολή C µε εξίσωση =. H εξίσωση της εφπτοµένης της υπερολής C στο σηµείο της Μ(,y ) είνι : yy = y Έστω η υπερολή C µε εξίσωση =. H εξίσωση της εφπτοµένης της υπερολής C στο σηµείο της Μ(,y ) είνι : yy = Μνηµονικός κνόνς γι την εύρεση της εξίσωσης της εφπτοµένης σε υπερολή : Έστω ότι νζητούµε την εξίσωση της εφπτοµένης της υπερολής µείο (,y ) Μ. y = στο ση. Γράφουµε την εξίσωση της υπερολής : = () y. Επειδή = κι y = y y έχουµε πό την () : =. y y γ. Στο δεύτερο κι y θέτουµε κι y ντίστοιχ κι έχουµε =, που είνι κι η ζητούµενη εξίσωση. y Οµοίως εργζόµστε κι στην υπερολή =. Ιδιότητες υπερολής Έστω µι υπερολή C, µε εξίσωση : =.. Έχει άξονες συµµετρίς τον κι τον y y κι

Υπερολή 59. κέντρο συµµετρίς την ρχή των ξόνων Ο(0,0). ηλδή,ν το σηµείο Μ (,y ) νήκει στην υπερολή τότε νήκουν στην υπερολή, y,y Μ, y. κι τ σηµεί Μ ( ), Μ ( ), ( ) 3 4. Τέµνει τον άξον στ σηµεί Α(,0) κι Α (-,0) τ οποί λέγοντι κορυφές της υπερολής. εν τέµνει τον άξον y y.το Ο λέγετι κέντρο της υπερολής. γ. Η υπερολή C ποτελείτι πό δύο ξεχωριστούς κλάδους. Οι δύο υτοί κλάδοι ρίσκοντι εκτός της τινίς των ευθειών = - κι =. Γενικά γι κάθε σηµείο της υπερολής µε συντετγµένες (, y ) ισχύει : Ασύµπτωτες υπερολής Η υπερολή = έχει σύµπτωτες τις ευθείες : y ε = κι : y ε = Οι σύµπτωτες της υπερολής είνι οι διγώνιοι του ορθογωνίου ΚΛΜΝ µε κορυφές τ σηµεί Κ(, ), (, ) Μ(, ), (, ) Λ, Ν το οποίο λέγετι ορθογώνιο άσης της υπερολής. Μνηµονικός κνόνς γι τις σύµπτωτες των υπερολών: y Οι σύµπτωτες των υπερολών C : = κι C : = ρίσκοντι ν πργοντοποιήσουµε το πρώτο µέλος των πρπάνω εξισώσεων κι θέσουµε κάθε πράγοντ ίσο µε το µηδέν. Εκκεντρότητ υπερολής Έστω η υπερολή C µε εξίσωση =. Ονοµάζουµε εκκεντρότητ της υπερολής γ γ κι τη συµολίζουµε µε ε το λόγο ε= =. Είνι ε >. Αποδεικνύετι ότι: = ε

60. Υπερολή Aπό τη σχέση υτή κτλίνουµε, ότι η εκκεντρότητ ε προσδιορίζει το συντελεστή διεύθυνσης της συµπτώτου της υπερολής. Εποµένως χρκτηρίζει το ορθογώνιο άσης κι τη µορφή της υπερολής. Ότν η εκκεντρότητ ε τείνει στο, ο λόγος τείνει στο 0, εποµένως το τείνει στο 0. Τότε το ορθογώνιο άσης γίνετι επίµηκες κι η υπερολή γίνετι κλειστή. Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κτηγορί - Mέθοδος Γι νρούµε την εξίσωση µις υπερολής πρέπει ν προσδιορίζουµε τις τιµές των,. εδοµένου, ότι έχουµε τη σχέση γ = +, ρκεί νρούµε άλλες δύο σχέσεις. Ότν µς δίνοντι οι εστίες, γνωρίζουµε το γ. Ότν µς δίνοντι οι κορυφές, γνωρίζουµε τ κι ντίστοιχ. Ότν µς δίνετι η εκκεντρότητ ε = γ έχουµε µι σχέση νάµεσ στ, γ. Πράδειγµ Νρεθεί η εξίσωση της υπερολής, που έχει εστίες τ σηµεί Ε ( 5,0) Ε( 5,0) κι διέρχετι πό το σηµείο Μ (,). Είνι γ= 5, οπότε = γ = 5. Εποµένως, η εξίσωση της υπερολής είνι της µορφής: y =. 5 Επειδή το σηµείο Μ (,) νήκει στην υπερολή, οι συντετγµένες του επληθεύουν την εξίσωση της, δηλδή ισχύει: 8 4 = 4 + 40= 0 = 0 ή 5 =4 Επειδή <γ θ είνι = 4 κι εποµένως η εξίσωση της υπερολής είνι: y 4 =.

Υπερολή 6. Κτηγορί - Mέθοδος Γι νρούµε την εξίσωση της εφπτοµένης υπερολής σε σηµείο της Α, προσδιορίζουµε πο τ δεδοµέν τις συντετγµένες του σηµείου επφής Α. Πράδειγµ Νρείτε τις εφπτόµενες της υπερολής C:5 4y = 00, που είνι πράλληλες στην ευθεί ε:3 y + 00 = 0. Έστω Μ (,y ) το σηµείο επφής της εφπτοµένης κι της υπερολής, τότε η εξίσωση της εφπτοµένης στο σηµείο Μ είνι : δ:5 4yy = 00 () Όµως το σηµείο Μ νήκει κι στην υπερολή που σηµίνει ότι οι συντετγµένες του επληθεύουν την εξίσωσή της,δηλδή : M C 5 4y = 00 () Γνωρίζουµε επίσης ότι η ε είνι πράλληλη στη δ, άρ ισχύει η ισοδυνµί : 5 δ// ε λ δ =λε = 3 (3) 4y Από τις σχέσεις () κι (3) υπολογίζουµε τ,y. y 5 y 3 = = 4y = 5... 5 5 5 y y 4y 00 65 =± = = 5 5 Γι y = έχουµε = κι γι y = έχουµε =. Αντικθιστούµε στην () τις πρπάνω τιµές των κι y κι έχουµε: 3 y = 0 ή 3 y + = 0 που είνι οι ζητούµενες εξισώσεις των εφπτοµένων. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Νρείτε, ν υπάρχουν, τις τιµές του κ γι τις οποίες η ευθεί ε :+ y= κ εφάπτετι στην υπερολή C: y =.

6. Υπερολή Γι νρούµε τ σηµεί τοµής της ευθείς κι της υπερολής πρέπει ν επιλύσουµε το σύστηµ των εξισώσεών τους : + y = κ =κ y ( ) y = κ y y = =κ y κ 4κ y + 4y y = 0 =κ y 3y 4κ y +κ = 0 () Η εξίσωση () είνι δευτέρου θµού ως προς y. Γι ν εφάπτετι η ευθεί () στην υπερολή θ πρέπει ν έχει µί µόνο λύση ως προς y. Πρέπει δηλδή ν έχει δικρίνουσ ίση µε το µηδέν. ηλδή = 0 6κ κ + = 0 4κ + = 0 κ = 3 που είνι δύντο. Κτά συνέπει κι το πρπάνω σύστηµ είνι δύντο στο R, άρ δεν υπάρχει τέτοιος ώστε η ευθεί ε ν εφάπτετι της υπερολής C. κ R Άσκηση Νρείτε την εξίσωση της υπερολής, που έχει τις εστίες της στον άξον, συµµετρικές ως προς την ρχή των ξόνων κι επίσης: 3. Έχει εστική πόστση (EE ) = 6 κι εκκεντρότητ ε=. Έχει εστική πόστση (EE ) = 4 κι σύµπτωτες τις διχοτόµους των γωνιών των ξόνων.. Γνωρίζουµε ότι ( ΕΕ ) = 6 γ = 6 γ = 3. γ 3 3 Επίσης ε= = =. Aκόµ: = γ = 9 4 = 5. Άρ τελικά η ζητούµενη εξίσωση της υπερολής θ είνι:. Γνωρίζουµε ότι ( EE ) = 4 γ = 4 γ =. = =. 4 5 Μί πό τις σύµπτωτες είνι η y = οπότε θ έχουµε = =. = γ γ = + = = Άρ τελικά η ζητούµενη εξίσωση της υπερολής είνι : = = y = (ισοσκελής υπερολή)

Υπερολή 63. Άσκηση 3 Νρεθούν οι εφπτόµενες της υπερολής C:9 y = 3 που διέρχοντι πό το ση- µείο Ρ( 0, 6). Μ,y το σηµείο επφής της εφπτοµένης κι της υπερολής. Τότε η εξίσωση Έστω ( ) της εφπτοµένης είνι : 9 yy = 3 () Όµως το σηµείο Μ νήκει κι στην υπερολή δηλδή οι συντετγµένες του επληθεύουν την εξίσωση της. Άρ ισχύει : 9 y = 3 () Επίσης το σηµείο Ρ νήκει στην εφπτοµένη οπότε : 9 0 + 6y = 3 y = (3) Γι νρούµε τ,y επιλύουµε το σύστηµ των () κι (3).Έχουµε : y = y = y = y = 9 y = 3 9 = 3 = 4 =± Αντικθιστούµε στην () τις πρπάνω τιµές γι τ κι y κι έχουµε : 9 3 9 6 0 9 y = 3 9 + y + 6 = 0, που είνι οι ζητούµενες εξισώσεις των εφπτοµένων. = = ή ( ) Άσκηση 4 Από σηµείο A( 0,y 0) εκτός της υπερολής = φέρνουµε δύο εφπτόµενες προς την υπερολή κι έστω Β, Γ τ σηµεί επφής. Ν δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείς ΒΓ είνι: yy = 0 0 Έστω B(,y ) κι Γ (,y ) yy εξίσωση ε : =. () Επειδή διέρχετι πό το A( 0,y 0), ισχύει. Η εφπτοµένη στο Β έχει yy = 0 0 Η τελευτί ισότητ µς δίνει την πληροφορί ότι η εξίσωση () είνι εξίσωση ευθείς, η οποί διέρχετι πό το Β (φού οι συντετγµένες του Β την ικνοποιούν).

64. Υπερολή Η εφπτοµένη στο Γ έχει εξίσωση y ε : =. Επειδή διέρχετι πο το 0 yy 0 A( 0,y 0) : = (). Η ισότητ () µς λεει ότι η () είνι εξίσωση ευθείς η οποί διέρχετι πό το Γ. Επειδή πο δυο σηµεί διέρχετι µόνο µί ευθεί η εξίσωση () πριστάνει την ευθεί ΒΓ. Ασκηση 5 Νρεθεί η εξίσωση της ισοσκελούς υπερολής, η οποί έχει ίδιες εστίες µε την έλλειψη: + = 9 4 Γι την έλλειψη έχουµε = 3, = κι γ = = 9 4 γ = 5 γ = 5. Αφού η έλλειψη κι η υπερολή έχουν ίδιες εστίες, έχουν ίδιο γ. Η υπερολή είνι ισοσκελής, δηλδή της µορφής y =. Έχουµε = γ = + γ = 5 5 = 5 = = γ= 5. 5 Εποµένως η εξίσωση της ζητούµενης υπερολής είνι C: y =. Ασκηση 6 ίνετι η υπερολή =. Νρεθεί το εµδόν του τριγώνου που σχηµτίζετι πό την ευθεί y = 4 κι τις σύµπτωτες της υπερολής. 9 6 Επειδή = 3 κι = 4 οι σύµπτωτες έχουν εξισώσεις 4 4 ε : y = κι ε : y =. 3 3 Απο το σύστηµ των ε κι y = 4 θ προσδιορίσουµε τις συντετγµένες του Β. Είνι 4 y = = 3 3 y = 4 y = 4, δηλδή B3,4. ( )

Υπερολή 65. Απο το σύστηµ των ε κι y = 4 θ προσδιορίσουµε τις συντετγµένες του Α. Είνι 4 y = = 3 3 y = 4 y = 4, δηλδή A( 3,4). Είνι OA = ( 3,4), OB ( 3,4) Εποµένως ( ) 3 4 = κι det OA, OB = = 4. 3 4 OAB = det OA, OB = 4 =. Άσκηση 7 Ν εξετάσετε τι γρµµή πριστάνει η εξίσωση : =µ,, µ, R () µ R, µε >.. Αν µ 0 τότε () = () µ µ i. Αν µ > 0 τότε ( ) ( µ ) ( µ ) =, η οποί πριστάνει υπερολή µε πρµέ- τρους : Α= µ, Β= µ κι Γ=Α +Β =µ +µ, οπότε έχει εστίες ii. Aν µ < 0 τότε ( ) ( ) Ε µ +µ,0 κι (,0) y = µ µ ( ) ( ) Ε µ +µ., µε Α= µ, Β= µ κι Γ = µ + µ, οπότε οι εστίες της είνι Ε( 0, ) ( ) µ + µ, Ε 0, µ + µ. Αν µ = 0 τότε () = 0 + = 0 = 0 ηλδή η () πριστάνει τις ευθείες - y = 0 κι + y = 0. ή + y = 0 Άσκηση 8 ίνετι η υπερολή y = κι το σηµείο Μ (, ). Από το Μ φέρνουµε τις εφπτό- µενες προς την υπερολή κι έστω Β, Γ είνι τ σηµεί επφής.

66. Υπερολή. Ν προσδιορισθεί η εξίσωση της ΒΓ.. Ν υπολογισθεί η πόστση του Μ πό τη ΒΓ. γ. Ν υπολογισθεί το εµδόν του τριγώνου ΜΒΓ.. Η ΒΓ έχει εξίσωση B Γ: yy = όπου (,y ) είνι το σηµείο πό το οποίο άγοντι οι εφπτόµενες. Οπότε B Γ : y =.. Είνι d( M,B) 4 4 5 Γ = = =. + 4` 5 5 γ. Το εµδόν του τριγώνου ΜΒΓ είνι ( ΜΒΓ= ) ΒΓΜΚ, όπου ΜΚ η πόστση του Μ πό τη ΒΓ. Γι νρούµε τ Β, Γ λύνουµε το σύστηµ των εξισώσεων της ευθείς ΒΓ κι της υπερολής : ( ) y y y = + = 4y + 4y + y = 3y + 4y = 0 y= = y+ = y+ = y+ 4 4 y = 0 ήy= y= 0ήy= y3y ( + 4) = 0 3 3 = y+ 8 5 = ή= + = ή= 3 3 Εποµένως, είνι Γ (, 0) κι 5 4 Β, 3 3. Έτσι ( ) 5 4 8 4 64+ 6 80 ΒΓ= + + = + = = 3 3 3 3 9 3 κι το εµδόν του τριγώνου ΜΒΓ είνι ( ) ΜΒΓ= 80 4 8 4 3 5 = 3 = 3 τ.µ. Άσκηση 9 Νρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων, οι οποίοι διέρχοντι πό το σηµείο A(,0 ) κι εφάπτοντι εξωτερικά του κύκλου ( ) Το κέντρο του κύκλου C είνι το K(,0) κι η κτίν του ρ =. Έστω Μ τυχίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου. Είνι C: + + y =

Υπερολή 67. ( MK) = ( MB) + ( BK) ( MK) = ( MA) + ( BK) ( MK) ( MA) = ( BK) ( MK) ( MA) = Εποµένως η διφορά των ποστάσεων του σηµείου Μ πό τ στθερά σηµεί Κ κι Α είνι στθερή κι ίση µε. Το σηµείο Μ λοιπόν, νήκει στην υπερολή µε εστίες τ Κ, Α κι στθερή διφορά = =. Η εστική της πόστση είνι ( ) 3 ΚΑ = 3 γ = 3 γ =. 9 8 Εποµένως = γ = = = =. Ο ζητούµενος γεωµετρικός τό- 4 4 4 πος είνι ο δεξιός κλάδος (ΜΚ > ΜΑ) της υπερολής y = 4 =. 4 Άσκηση 0 ίνετι η υπερολή C: =. Ν δείξετε ότι:. Η πόστση της εστίς Ε(γ,0) πό την σύµπτωτη y = ισούτι µε.. To εµδόν του τριγώνου, που σχηµτίζετι πό µι τυχί εφπτοµένη της υπερολής κι τις σύµπτωτες είνι στθερό κι ίσο µε.. Η σύµπτωτη (ε ) έχει εξίσωση : y ε = y = 0. Η εστί Ε έχει συντετγµένες Ε(γ, 0). Εποµένως η πόστση της Ε πό την (ε )είνι: γ γ d( E, ε ) = = =. + γ. Υπολογίζουµε τις συντετγµένες των σηµείων τοµής της εφπτόµενης (ε) µε την σύµπτωτη (ε ) κι της εφπτο- µένης µε την σύµπτωτη (ε ). Α,y της υ- Η εφπτοµένη στο τυχίο σηµείο ( )

68. Υπερολή περολής έχει εξίσωση yy () ε : = yy = Η σύµπτωτη (ε ) έχει εξίσωση y = κι η (ε ) έχει εξίσωση y =.. Έτσι έχουµε: ε: yy = = ε :y= y = y = = y y y. Εποµένως = y = y B, y y Ακόµ έχουµε ε: yy = = +y... ε :y= y = +y Εποµένως Γ,. +y +y Το εµδόν του τριγώνου ΟΒΓ δίνετι πό τον τύπο ( ) ΟΒΓ= det O Β, ΟΓ. Έχουµε: O Β=, y y κι O Γ =,. +y +y Εποµένως ( ) ΟΒΓ= y y = 3 3 y +y +y () Το σηµείο Α νήκει στην υπερολή. Εποµένως ισχύει: y = y = ()

Υπερολή 69. Η () γίνετι σύµφων µε την (): ( ) ΟΒΓ= 3 3 =. Άσκηση Ν δείξετε ότι το σηµείο Μ, εφθ συνθ, π, π θ κινείτι σε υπερολή. Νρείτε τις κορυφές Α, Α, τις εστίες της Ε κι Ε κι τις σύµπτωτες. Έστω Μ (, y). Τότε µε : = + y y =. = συνθ κι y = εφθ. Απο την τυτότητ Εποµένως το Μ κινείτι στην υπερολή µε εξίσωση : y =. π π Επειδή θ, = +εφ θ πίρνου- συν θ είνι συνθ > 0 > 0, δηλδή το Μ κινείτι στο δεξιό κλάδο της πρπάνω ισοσκελούς υπερολής. Είνι =, = κι γ=. Εποµένως η υπερολή έχει κορυφές A(,0 ),A (,0), εστίες E(,0 ) κι E (,0) κι σύµπτωτες τις ευθείες y = κι y = Άσκηση Νρεθεί συνθήκη ώστε η ευθεί (): ε y =λ + k ν εφάπτετι στην υπερολή C: =. Η ευθεί κι η υπερολή εφάπτοντι ν κι µόνο ν, το σύστηµ των εξισώσεων τους έχει µονδική λύση (διπλή ρίζ). Έχουµε: y =λ + k y =λ + k ( k) λ + = = y =λ + k y =λ + k ( λ + k) = ( λ ) k λ κ = 0 ()

70. Υπερολή Η εξίσωση () είνι δευτέρου θµού ως προς. Απιτούµε ν έχει διπλή ρίζ, έτσι 4 = 0 4 k λ 4( λ )( k ) = 0 k + = λ () Η () είνι η ικνή κι νγκί συνθήκη ώστε η ευθεί (ε) ν εφάπτετι στην υπερολή C. Άσκηση 3 ίνετι η υπερολή C:9 y = 3. Ν δείξετε, ότι η ευθεί (ε) η οποί διέρχετι πό το σηµείο M(, ) της υπερολής κι είνι κάθετη στην ευθεί δ: 9y + 8 = 0 εφάπτετι στην υπερολή C. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς (δ) είνι λ δ =. 9 () ε δ λ λ = λ = 9. Επειδή ( ) ε δ ε Η ευθεί (ε) διέρχετι πό το σηµείο Μ(, ) κι έχει συντελεστή διευθυνσης λ ε = 9. Εποµένως η εξίσωσή της είνι: y + = 9( ) y = 9 + 6. Λύνουµε το σύστηµ της (ε) κι της υπερολής C ( ) 9 y = 3 9 9 + 6 = 3 4 + 4 = 0 () y = 9 + 6 y= 9+ 6 y = 9 + 6 H εξίσωση () είνι δευτεροάθµι ως προς κι έχει = 0. Εποµένως η εξίσωση, λλά κι το σύστηµ έχουν µονδική λύση. Αυτό σηµίνει ότι η ευθεί εφάπτετι στην υπερολή. Άσκηση 4 ίνετι η εξίσωση λ 6 + λ 4 = () Ν εξετσθεί τι γρµµή πριστάνει γι κάθε τιµή του λ R { 4,6}. Νρεθούν οι εστίες της κάθε κµπύλης. M. A ν λ 6 > 0 λ > 6 λ > 6, η () πριστάνει έλλειψη της µορφής κι λ 4> 0 λ > 4 y + =

Υπερολή 7. µε =λ 6 κι Οπότε >. =λ 4 ( ) γ = =λ 4 λ+ 6= γ = 3 κι οι εστίες της έλλειψης είνι Ε ( 0, 3) κι 0, ( 3) Ε.. Αν 4 < λ < 6 ισχύει λ - 6 < 0 κι λ - 4 > 0 όποτε θέτουµε 6 λ= κι λ 4 = κι η () γίνετι y = =. λ 4 6 λ,η οποί είνι εξίσωση υπερολής. Ισχύει: γ = + γ =λ 4+ 6 λ = γ = 3. Οπότε Ε ( 0, 3) κι 0, ( 3) Ε είνι οι εστίες της υπερολής υτής. γ. Αν λ < 4 ισχύει λ - 6 < 0 κι λ - 4 < 0 οπότε η () γίνετι = + = () 6 λ 4 λ 6 λ 4 λ Θέτουµε 6 λ= κι 4 λ= κι έχουµε: (),που είνι προφνώς δύντη. + =. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση 4y = 4 είνι εξίσωση υπερολής κι νρεθούν οι εστίες της κι η εκκεντρότητά της. (Υπ.: E( 5,0 ) κι E ( 5, 0) 5 κι ε= ). Νρείτε τις εξισώσεις των εφπτοµένων της υπερολής C:9 y = 3 που είνι πράλληλες προς την ευθεί ε :9+ y + 9= 0. (Απ.: y = 9 + 6 ή y = 9 6 ) 3. Νρείτε τις εξισώσεις των εφπτοµένων της υπερολής C: y = που διέρ 9 4 χοντι πό το σηµείο M3,4 ( ). (Απ.: = 3 ή 5 3 y = + ) 6

7. Υπερολή y 4. Νρείτε τις κορυφές, τις εστίες κι την εκκεντρότητ της υπερολής µε εξίσωση =. 5 6 (Απ.: A( 0,5 ) κι A ( 0, 5) Ε κι ε= ) 5 5. Ν υπολογίσετε το εµδόν του τριγώνου που σχηµτίζετι πό τις σύµπτωτες της υπερολής C: y = κι την ευθεί y =. 9 4 κι Ε ( 0, 6) κι 0, ( 6) ( Απ.: 6 3 ) 6. ίνετι η υπερολή C: y =. Νρεθεί η εκκεντρότητά της κι οι εστίες της. Επιπλέον 4 5 νρεθούν κι οι σύµπτωτες της υπερολής. 7. Νρεθούν οι σύµπτωτες της υπερολής ( Απ.: C: y =. 4 5 3 ε= κι Ε ( 0,3) κι 0, ( 3) Ε ) (Απ.: y =± ) 3 4 8. Νρεθεί η εξίσωση της υπερολής ν έχει εστική πόστση γ = 0 σύµπτωτες y =± 3 κι οι εστίες της είνι στον άξον. (Απ.: y = ) 36 64 9. Νρεθεί η εξίσωση της χορδής της υπερολής σηµείο M3, ( ). =, η οποί έχει µέσο το C: y 4 (Απ: 3 + 4y 5 = 0) 0. Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση 9 6y = 44 πριστάνει υπερολή κι νρεθούν οι κορυφές, οι εστίες κι η εκκεντρότητ υτής. 5 Απ. : A' ( 4,0 ), A( 4,0 ), E' ( 5,0 ), E( 5,0 ), ε = 4

Υπερολή 73.. Νρεθεί η εξίσωση της υπερολής µε κέντρο την ρχή, εστί το σηµείο ( 8,0 ) κι κορυφή το ( 6,0 ). Απ. : = 36 8. Νρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που είνι τέτοι ώστε η πόστσή τους πό το σηµείο A8,0 ( ) ν είνι διπλάσι της πόστσής τους πό την ευθεί =. Απ. : = 6 48 3. Νρεθεί η εξίσωση της υπερολής που διέρχετι πό το σηµείο ( 4, 6 ) κι έχει σύµπτωτες τις ευθείες y =± 3 κι εστίες στον άξον. Απ. : = 4 4. Νρεθούν οι εφπτόµενες της υπερολής c: = που άγοντι πό το σηµείο 9 4 A,. ( ) ± 4 Απ. : y = ( ) 8 5. Νρεθεί η συνθήκη γι ν εφάπτετι η ευθεί y = λ + k στην υπερολή µε εξίσωση y =. ( Απ. : κ = λ ) 6. Νρεθούν οι εφπτόµενες της υπερολής 9 y = 3 που διέρχοντι πό το σηµείο ( 0, 6). ( Απ. : y = 9 6, y = 9 6 ) 7. Ν ποδειχθεί ότι κάθε ευθεί που διέρχετι πό το σηµείο (, 4 ) κι είνι πράλληλη προς την ευθεί y + = 0 εφάπτετι στην υπερολή: 4y =.

74. Υπερολή Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ ίνετι η ισοσκελής υπερολή c: 4 =. Έστω ( ) M,y έν σηµείο της στο ο τετρτηµόριο. Θεωρούµε την εφπτοµένη (ε) της υπερολής σε σηµείο της Μ, που σχηµτίζει µε τους άξονες τρίγωνο µε εµδόν Ε. Έστω (η) η κάθετη στην εφπτοµένη 0 0 στο σηµείο Μ, που σχηµτίζει µε τις σύµπτωτες της (c) τρίγωνο εµδού Ε. Έστω Ε το εµδόν του τριγώνου που σχηµτίζετι πό την εφπτοµένη στο σηµείο Μ κι τις σύµπτωτες της (c). Ν ποδείξετε ότι : E E 64 = κι E E ( E) =. 3 (Υπ.: Γράψτε την εξίσωση της εφπτοµένης στο Μ κι της κάθετης της εφπτοµένης στο Μ κι ρείτε τ σηµεί τοµής υτών µε τους άξονες κι τις σύµπτωτες).