iešenie lineárnych elektrických obvodov s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave Lineárne elektrické obvody s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave riešime (určujeme prúdy a/alebo napätia v obvode): metódou postupného zjednodušovania obvodu, metódou priameho použitia Kirchhoffových zákonov, metódou slučkových prúdov, metódou uzlových napätí, metódou rezových napätí, využitím princípu superpozície, využitím princípu náhradného zdroja (Theveninova veta, Nortonova veta). V lineárnych elektrických obvodoch s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave ešte určujeme: výkon spotrebovaný v rezistore s odporom U P U, kde U je napätie na rezistore s odporom, je prúd tečúci rezistorom s odporom, výkon dodávaný napäťovým zdrojom U do obvodu 0 P U, U0 0 kde U je napätie zdroja, 0 je prúd tečúci vetvou, v ktorej je zdroj zapojený, výkon dodávaný prúdovým zdrojom 0 do obvodu P U 0 0, kde 0 je prúd dodávaný zdrojom do obvodu, U je napätie na prúdovom zdroji. Príklad.: V obvode (Obr..) určte: a) celkový odpor obvodu, b) prúd dodávaný zdrojom do obvodu, c) prúdy tečúci jednotlivými rezistormi, d) napätie na jednotlivých rezistoroch, e) údaj ampèrmetra, ktorého vnútorný odpor je Obr..
nulový, f) údaj voltmetra, ktorého vnútorný odpor je nekonečne veľký, g) výkon spotrebovaný v rezistore, h) výkon dodávaný zdrojom do obvodu, ak parametre prvkov sú: 0 Ω, 0 Ω, 3 0 Ω, U 0 60 V. iešenie: a) ezistory a 3 sú zapojené paralelne, takže ich môžeme nahradiť rezistorom s odporom 3, pre ktorý: 3 3 5 Ω. 3 ezistor 3 je zapojený do série s rezistorom, takže: 3 5 Ω. Celkový odpor obvodu je 5 Ω. b) Prúd dodávaný napäťovým zdrojom do obvodu určíme pomocou Ohmovho zákona U 0,4 A. c) Prúd tečie cez rezistor a delí sa na prúd a 3 (Obr..a), ktoré určíme pomocou vzťahu pre prúdový delič: 3, A, 3 3, A. Obr..a 3 d) Napätia na jednotlivých rezistoroch (Obr..b) určíme pomocou Ohmovho zákona U 48 V, U V, U V. 3 3 3 e) Ampèrmeter merá prúd Obr..b,4 A. A
f) Voltmeter merá hodnotu napät ia na rezistore 3 U U V. V 3 g) Výkon spotrebovaný v rezistore určíme nasledovne: P U 4,4 W h) Výkon dodávaný zdrojom do obvodu určíme PU U0 44 W Príklad.: V obvode (Obr..) určte: a) prúdy tečúce rezistormi metódou priameho použitia KZ, b) prúdy tečúce rezistormi metódou slučkových prúdov, c) prúdy tečúce rezistormi metódou uzlových napätí, d) prúdy tečúce rezistormi metódou rezových napätí, e) prúdy tečúce rezistormi pomocou princípu superpozície, ak parametre prvkov sú: Ω, Ω, 3 3 Ω, iešenie: Obr.. 4 4 Ω, U 0 5 V, U 05 0 V, 03 0,4 A. a) Pri riešení obvodu metódou priameho použitia KZ (MPPKZ) potrebujeme zostaviť systém lineárne nezávislých rovníc podľa.kz a.kz, v ktorom neznámymi veličinami sú vetvové prúdy. V danom obvode nepoznáme vetvové prúdy vo vetvách s rezistormi,, 4, (rezistorom 3 tečie prúd 03 ). Systém rovníc musí pozostávať zo 3 rovníc..kz aplikujeme na nezávislé uzly obvodu. V danom obvode máme nezávislé uzly..kz aplikujeme na systém základných slučiek obvodu. V danom obvode zvolíme strom tak, aby vetva obsahujúca prúdový zdroj, bola nezávislou vetvou. Potom zvolíme systém základných slučiek V danom obvode máme 3 základné slučky (Obr..a-)..KZ budeme aplikovať na tie slučky zo systému základných slučiek, ktoré neobsahujú vetvu s prúdovým zdrojom. 3
Obr..a- Zvolíme smery prúdov v jednotlivých vetvách (Obr..a-). Obr..a- Zostavíme systém rovníc pre uzly, podľa.kz a slučky s a s podľa.kz: 3 : 03, : 4 5 03, s : U0 s 3 : 4 4 U05,. Daný systém rovníc vyriešime a dostaneme vetvové prúdy:,4 A,,8 A, 4,5 A, 5, A Ak niektorý z prúdov nám vyjde záporný, potom zvolený smer prúdu je nesprávny, a daný prúd tečie práve opačným smerom. b) Pri riešení obvodu metódou slučkových prúdov (MSP) potrebujeme zostaviť systém lineárne nezávislých rovníc podľa.kz pre základné slučky obvodu, v ktorom neznámymi veličinami budú slučkové prúdy. Vytvorený systém rovníc vyriešime, čím získame slučkové prúdy a potom pomocou slučkových prúdov vyjadríme vetvové prúdy. V danom obvode zvolíme strom tak, aby vetva obsahujúca prúdový zdroj, bola nezávislou vetvou (Obr..b-). Potom zvolíme systém základných slučiek. Každou základnou slučkou prechádza jeden slučkový prúd, ktoré označíme s, s, s3 (Obr..b-). Obr..b- Keďže slučka s obsahuje vetvu s prúdovým zdrojom s 03 03 Obr..b-, pre slučkový prúd s : 4
Napíšeme rovnice pre slučky s a s podľa algoritmu na vytvorenie rovníc MSP: 3, s : ( ) s s U0 s 3 : 4 s 4s3 U05, Daný systém rovníc upravíme a dostaneme:, s : ( ) s U0 03 s 3 : 4 s3 U 05 4 03, Upravený systém rovníc vyriešime. Výsledkom riešenia sú neznáme slučkové prúdy,4 A, s, A. s3 Zvolíme smery prúdov v jednotlivých vetvách a vyjadríme ich pomocou slučkových prúdov (Obr..b-3) a dostaneme:,4 A, s s s 3 s 03, A.,8 A, 0,4 A, 4 s s3,5 A, 5 s3 Obr..b-3 c) Pri riešení obvodu metódou uzlových napätí (MUN) potrebujeme zostaviť systém lineárne nezávislých rovníc podľa.kz pre nezávislé uzly obvodu, v ktorom neznámymi veličinami budú uzlové napätia. Vytvorený systém rovníc vyriešime, čím získame uzlové napätia. Prúdy tečúce rezistormi vyjadríme pomocou uzlových napätí. V danom obvode zvolíme strom tak, aby vetva obsahujúca iba napäťový zdroj, bola vetvou stromu vejárovitého tvaru (Obr..c-). Obr..c- Obr..c- V danom obvode máme jednu vetvu obsahujúcu iba napäťový zdroj (U ), uzol 3 zvolíme za vzťažný uzol a označíme ho 0. Od ostatných dvoch nezávislých uzlov (, ) k vzťažnému uzlu orientujeme uzlové napätia U, U (Obr..c-). u u 05 5
Keďže vetva stromu v 5 obsahuje iba napäťový zdroj U 05, pre uzlové napätie U u : Uu U 05, napíšeme rovnicu iba pre uzol podľa algoritmu na vytvorenie rovníc MUN:. : Uu Uu U 0 03 3 3 Daný systém rovníc upravíme a dostaneme:, : Uu U0 03 Upravený systém rovníc vyriešime. Výsledkom riešenia je neznáme uzlové napätie U u 3,6 V. Zvolíme smery prúdov v jednotlivých vetvách (Obr..c-3). Obr..c-3 Prúd vo vetve obsahujúcej prúdový zdroj sa rovná prúdu prúdového zdroja: 0,4 A. 3 03 Prúd tečúci rezistorom v nezávislej vetve vyjadríme z.kz, ktorý aplikujeme na základnú slučku zvolenú k tejto nezávislej vetve, pričom napätie na vetve stromu vyjadríme pomocou uzlového napätia: s U0 Uu 0 : ( U0 Uu),4 A, Prúd tečúci rezistorom vo vetve stromu neobsahujúcom iba ideálny zdroj napätia, určíme z.kz, ktorý aplikujeme na slučku tvorenú vetvou stromu a uzlovým napätím na tejto vetve stromu: * s: Uu 0, Uu,8 A, ** s : 44 Uu 0 4 Uu,5 A. 4 Prúd vo vetve stromu obsahujúcom iba ideálny zdroj napätia určíme z.kz aplikovaného na nezávislý uzol : 6
: 3 4 5 0 5 4 3 4 03, A. Ak niektorý z vetvových prúdov nám vyjde záporný, zvolený smer prúdu je nesprávny, a daný prúd tečie práve opačným smerom. d) Pri riešení obvodu metódou rezových napätí (MN) potrebujeme zostaviť systém lineárne nezávislých rovníc podľa zovšeobecneného.kz pre J krivky určujúce základné rezy obvodu, v ktorom neznámymi veličinami budú rezové napätia. Vytvorený systém rovníc vyriešime, čím získame rezové napätia. Prúdy tečúce rezistormi vyjadríme pomocou rezových napätí. V danom obvode zvolíme strom tak, aby vetvy obsahujúce iba napäťový zdroj boli vetvami stromu, ktorého vetvy musia byť usporiadené za sebou (Obr..d-). Potom zvolíme systém základných rezov určených J krivkami. Na každej vetve stromu zvolíme rezové napätie tak, aby tieto napätia boli orientované za sebou. Obr..d- Obr..d- V danom obvode máme základné rezy určené krivkami, J, zvolené k vetvám stromu s rezovými napätiami U a U (Obr..d-). r r J Keďže vetva stromu v 5 obsahuje iba napäťový zdroj U 05, pre rezové napätie U r: U r U05, napíšeme rovnicu iba pre krivku J podľa algoritmu na vytvorenie rovníc MN:. J : Ur Ur U 0 03 3 Daný systém rovníc upravíme a dostaneme: U, J : Ur U0 03 05 Výsledkom riešenia je neznáme rezové napätie U r 3,6 V. Zvolíme smery prúdov v jednotlivých vetvách (Obr..d-3). 7
Obr..d-3 Prúd vo vetve s prúdovým zdrojom sa rovná prúdu prúdového zdroja: 0,4 A. 3 03 Prúd tečúci rezistorom v nezávislej vetve vyjadríme z.kz, ktorý aplikujeme na základnú slučku zvolenú k tejto nezávislej vetve, pričom napätie na vetve stromu vyjadríme pomocou rezového napätia: s U0 Ur Ur 0 : : ( U0 Ur Ur) s Ur Ur 0,4 A, ( Ur Ur),8 A, Prúd tečúci rezistorom vo vetve stromu neobsahujúcom iba ideálny zdroj napätia, určíme z.kz, ktorý aplikujeme na slučku tvorenú vetvou stromu a rezovým napätím na tejto vetve stromu: * s: 44 Ur 0 4 4 Ur,5 A. Prúd vo vetve stromu obsahujúcom iba ideálny zdroj napätia určíme pomocou zovšeobecneného.kz, ktorý aplikujeme krivku : J J : 5 4 0 5 4, A. Ak niektorý z vetvových prúdov nám vyjde záporný, zvolený smer prúdu je nesprávny, a daný prúd tečie práve opačným smerom. e) Pri riešení obvodu pomocou princípu superpozície postupujeme tak, že v danom obvode necháme pôsobiť len jeden zdroj, ostatné zdroje vyradíme (napäťový zdroj nahradíme bezodporovou spojkou, prúdový zdroj nahradíme rozpojenými svorkami) a určíme vetvové prúdy od daného zdroja ľubovoľnou (vhodnou) metódou na riešenie lineárnych obvodov. V danom obvode máme tri zdroje, t.zn., že potrebujeme vyriešiť tri obvody (Obr..e-, Obr..e-, Obr..e-3). V obvode (Obr..e-) pôsobí iba napäťový zdroj U 0. Určíme si smery vetvových prúdov a zvolíme si vhodnú metódu riešenia daného obvodu, napr. metódu postupného zjednodušovania obvodu. 8
, U0,667 A. Obr..e- V obvode (Obr..e-) pôsobí iba napäťový zdroj U 05. Určíme si smery vetvových prúdov a zvolíme si vhodnú metódu riešenia daného obvodu, napr. metódu postupného zjednodušovania obvodu.,, 45 U05,5 A. 4 Obr..e- V obvode (Obr..e-3) pôsobí iba prúdový zdroj 03. Určíme si smery vetvových prúdov a zvolíme si vhodnú metódu riešenia daného obvodu, napr. metódu postupného zjednodušovania obvodu.,,, 3 03 0,4 A, 0,67 A,,,,,,, 3,,,,,,,,, 3 0,33 A,,,,,,, 5 3 0,4 A. Obr..e-3 Zvolíme prúdy v pôvodnom obvode (Obr..e-4). Tieto prúdy určíme sčítaním prúdov (s ohľadom na znamienko) získaných pri pôsobení jednotlivých zdrojov nasledovne:,,,,,4 A,,,,,,8 A,,,, 3 3 0,4 A,,, 4 45,5 A,,,,,, 5 45 5, A. Obr..e-4 9
Príklad.3: V obvode (Obr..3) určte: a) prúd tečúci rezistorom s odporom pomocou Theveninovej vety, b) prúd tečúci rezistorom s odporom pomocou Nortonovej vety, ak parametre prvkov sú: 0 Ω, 5 Ω, 3 0 Ω, U 0 0 V, 03 0,5 A. Obr..3 iešenie: a) Pri určovaní prúdu tečúceho cez rezistor pomocou Theveninovej vety postupujeme nasledovne: Vyberieme rezistor a svorky, medzi ktorými bol zapojený, označíme a, b. Dostaneme obvod, ktorého schéma je na Obr..3a-. Určíme napätie U e medzi svorkami a, b (Obr..3a-) vhodnou metódou, napr. metódou uzlových napätí. Pre uzol a platí: a: Ue U 0 3 odkiaľ po dosadení konkrétnych hodnôt dostaneme. Ue 5 V. 03, Určíme odpor e medzi svorkami a, b (Obr..3a-3). Tento obvod dostaneme, ak v obvode Obr..3a- vyradíme všetky zdroje (t.j. napäťový zdroj nahradíme bezodporovou spojkou a prúdový zdroj rozpojenými svorkami). 0 Ω. e ezistor pripojíme k Theveninovmu ekvivalentnému obvodu (Obr..3a-4) s parametrami U e 5 V, Ue A. e 0 Ω a určíme prúd tečúci cez tento rezistor e Obr..3a- Obr..3a- 0
Obr..3a-3 Obr..3a-4 b) Pri určovaní prúdu tečúceho cez rezistor pomocou Nortonovej vety postupujeme nasledovne: Vyberieme rezistor a svorky, medzi ktorými bol zapojený, označíme a, b. Dostaneme obvod, ktorého schéma je na Obr..3b-. Určíme prúd e tečúci medzi svorkami a, b spojenými bezodporovou spojkou (Obr..3b-) vhodnou metódou, napr. metódou slučkových prúdov. Zvolíme slučkové prúdy s, s (Obr..3b-3) a keďže slučka s obsahuje vetvu s prúdovým zdrojom 03: s 03 s : s 0 s U0, odkiaľ po dosadení konkrétnych hodnôt dostaneme. A. s Pre prúd e (Obr..3b-3): e s s,5 A. Určíme odpor e medzi svorkami a, b (Obr..3a-3). Tento obvod dostaneme, ak v obvode Obr..3b- vyradíme všetky zdroje (t.j. napäťový zdroj nahradíme bezodporovou spojkou a prúdový zdroj rozpojenými svorkami) 0 Ω. e ezistor pripojíme k Nortonovmu ekvivalentnému obvodu (Obr..3b-4) s parametrami e,5 A, e e 0 Ω a určíme prúd tečúci cez tento rezistor e A e Obr..3b- Obr..3b-
Obr..3b-3 Obr..3b-4 Príklad.4: V obvode (Obr..4) určte: a) celkový odpor obvodu, b) prúd tečúci jednotlivými rezistormi metódou postupného zjednodušovania obvodu, c) prúd dodávaný zdrojom do obvodu, d) napätie na jednotlivých rezistoroch, e) výkon spotrebovaný v rezistore 5, Obr..4 f) výkon dodávaný zdrojom do obvodu, ak parametre prvkov sú: 40 Ω, 0 Ω, 3 0 Ω, 4 5 5 Ω, U 0 60 V. iešenie: a) 8,444 Ω b) 0,36 A, 3,53 A, 3 0,65 A, 4,60 A, 5,89 A c) 3,53 A d) U 4,458 V, U 3,53 V, U 3 3,0 V, U 4 3,0 V, U 4,46 V 5 e) P 5 4,83 W f) P U 95,8 W Príklad.5: V obvode (Obr..5) určte: a) celkový odpor obvodu, b) prúd tečúci jednotlivými rezistormi metódou postupného zjednodušovania obvodu, c) napätie na zdroji,
d) napätie na jednotlivých rezistoroch, e) výkon spotrebovaný v rezistore, f) výkon dodávaný zdrojom do obvodu, ak parametre prvkov sú: 40 Ω, 0 Ω, 3 0 Ω, 4 5 5 Ω, 0 A. Obr..5 iešenie: a) 8,444 Ω b) 0, A, A, 3 0,4 A, 4,6 A, 5,778 A c) U 0 36,889 V d) U 8,889 V, U 0 V, U 3 8 V, U 4 8 V, U 5 8,889 V e) P,973 W f) P 73,778 W Príklad.6: V obvode (Obr..6) určte: a) vetvové prúdy metódou priameho použitia KZ, b) vetvové prúdy metódou slučkových prúdov, c) vetvové prúdy metódou uzlových napätí, d) vetvové prúdy metódou rezových napätí, e) vetvové prúdy pomocou princípu superpozície, f) prúd tečúci rezistorom s odporom 3 pomocou Theveninovej vety, g) prúd tečúci rezistorom s odporom pomocou Nortonovej vety, h) napätie na jednotlivých rezistoroch, i) údaj ampèrmetra, ktorého vnútorný odpor je nulový, j) údaj voltmetra, ktorého vnútorný odpor je nekonečne veľký, k) výkon spotrebovaný v rezistore 5, Obr..6 l) výkon dodávaný zdrojom U do obvodu, 06 m) výkon dodávaný zdrojom 07 do obvodu, 3
ak parametre prvkov sú: 3 5 6 Ω, U 0 8 V, U 04 V, U 06 6 V, 07 A. iešenie: a) až e) 6 A, A, 3,5 A, 4,5 A, 5 4 A, 6,5 A, 7 A f) 3 g),5 A A h) U 6 V, U V, U 3,5 V, U 5 4 V, U 6,5 V i) A,5 A j) U V 8,5 V k) P 5 6 W l) P U6 9 W m) P7 4,5 W Príklad.7: V obvode (Obr..7) určte: a) napätie na rezistore 7 metódou uzlových napätí, b) prúd tečúci rezistorom 4 princípu superpozície, c) napätie na prúdovom zdroji 03, ak sú dané parametre prvkov: pomocou Obr..7 Ω, 4 Ω, 5 3 Ω, 7 Ω, U 0 4,8 V, 03 0,4 A, 06 0, A. iešenie: a) U 7,88 V b) 4 0,4 A c) U,88 V 03 4