Rabotna tetratka po MATEMATIKA za VII oddelenie

PREDGOVOR Pri izu~uvaweto na matematikata vo VII oddelenie ti pomaga u~ebnikot po matematika od koj moè{ da razbere{ i nau~i{ mnogu novi poimi, kako i da se potseti{ na ve}e izu~enite, da se zapoznae{ so mnogu pravila {to ti ovozmoùвaat da navleze{ vo tajnite na matematikata. Rabotnata tetratka po matematika za VII oddelenie, kako sostaven del na u~ebnikot ti pomaga da gi prodlabo~i{, pro{iri{ i proveri{ so kakvi i kolkavi znaewa si se steknal vo nastavata. Rabotnata tetratka isto kako i u~ebnikot e podelena na пет delovi soglasno temite so nastavnata programa po matematika za VII oddelenie. Taa sodrì: Tematski ve`bi za sekoja od nastavnite sodrìni so po 10 zada~i (nekade i pomalku) zavisno od obemnosta na sodrìnata. Testovi za samoproverka za sekoja tema, {to se dadeni na krajot od sekoja tema. Во тестовите од тема I, тема IV и тема V, prvite 5 pra{awa (zada~i, koi se re{avaat usno ili bez pogolemi pote{kotii), predlagame da se vrednuvaat so 6 bodovi, dodeka pak vtorite 5 zada~i od testot da se vrednuvaat so 14 bodovi. Site zada~i od testovite vo tema II se vrednuvaat so 0 bodovi, a site zada~i od testovite vo tema III se vrednuvaat so 10 bodovi. Zna~i vo sekoj test vkupniot broj na mo`ni bodovi e 100. Za pretvorawe na bodovite od testot vo ocenki ja predlagame slednava tabela: Bodovi 85 100 65 84 45 64 5 44 0 4 Ocenka Odli~en (5) Mnogu dobar (4) Dobar () Dovolen () Nedovolen (1)

Tema I VEKTORI. TRANSLACIJA 1. PRAVEC I NASOKA. NASO^ENA OTSE^KA - VEKTOR 1. Relacijata R: pravata p e paralelna na... gi ima slednite svojstva: a) Pravata p e sama na sebe. b) Ako pravata p e paralelna na pravata q, toga{. v) Ako p II q i q II r, toga{ i.. a) [ to e pravec opredelen so dadena prava? b) Kolku nasoki ima daden pravec? a) Mno`estvoto b) Sekoj pravec. Kolku pravi minuvaat niz: a) edna to~ka; b) dve razli~ni to~ki. a) Niz edna to~ka b) Niz dve razli~ni to~ki 4. Dadeni se pravite a, b, c i d, taka {to a II b, a ја сече правата c, i pravata d gi se~e trite pravi. Vo vrska so tie pravi, dadeni se nekolku iskazi. Koj od niv e to~en? a) O 1 A O 1 A g) O B 1 O 1 A b) O1A O 1 A 1 d) O B O C v) O1A 1 O C ) O 1 A 1 O C 1 To~ni se slednite iskazi: 5. Koja otse~ka se vika vektor? Otse~kata. 5

6. Izberi tri razli~ni to~ki A, B i C. Kolku vektori mo`at da se formiraat so po~etok vo edna, a krajot vo druga dadena to~ka? Kolku vkupno vektori obrazuvaat dadenite to~ki? Mo`e da se formiraat vektori. Ima vkupno vektori. 7. Dadeni se vektorite a, b, c, d, e, f. Koi od niv se: a) kolinearni; b) istonaso~eni; v) sprotivnonaso~eni? a) Kolinearni se:,. b) Istonaso~eni se:. v) Sprotivnonaso~eni se:,. 8. Vektorot a e napolno (ednozna~no) opredelen so: a). b). v). 9. Neka to~kite M i N se sovpa aat vo edna ramnina. a) Zapi{i vektor so po~etna to~ka M i krajna N; b) Zapi{i ja goleminata na toj vektor; v) Koja otse~ka se narekuva nulti vektor? a). b). v). 6

. EDNAKVOST NA VEKTORI 1. Na crte`ot se dadeni pove}e vektori: a) Istonaso~eni se vektorite. b) Sprotivnonaso~eni se vektorite. v) Ednakvi se vektorite.. Koga dva vektora a i b se ednakvi? Vektorite a i b se ednakvi ako: a). b).. Za koi dva vektori m i n velime deka se sprotivni? Vektorite m i n se sprotivni ako: a). b). 4. Daden e vektorot MN ( MN = cm). Prenesi go vektorot MN, taka {to to~kata M S. Kolku takvi vektori ima?. 5. Daden e vektorot AB. Konstruiraj: a) Vektor MN ednakov na AB, b) Vektor EF sprotiven na AB. a) b) 7

6. Daden e paralelogramot ABCD (AB II CD i AD II BC) i to~kata S, presek na dijagonalite AC i BD. a) Koi vektori se kolinearni, a ne se ednakvi? b) Koi vektori se ednakvi? v) Koi vektori se sprotivni? a). b). v). 7. Dadena e kru`nicata k (O,r) i na nea se ozna~eni vektorite OP i MN. Konstruiraj vektor, a) Sprotiven na vektor OP? b) Ednakov na vektor MN? 8. Proveri ja to~nosta na iskazot: Ako vektorot MN = EF, toga{ i vektorot ME = NF. (Napravi crte`!). 9. Ako vektorite AB = CD i AM = CN, toga{ sleduva i vektorot BM = DN. Doka`i! Dadeno: AB = CD i AM = CN Tvrdime: BM = DN Dokaz: 8

. SOBIRAWE NA VEKTORI. SVOJSTVA 1. Najdi go zbirot, konstruktivno, na kolinearnite vektori: a) a + b, b) a + b + c a) b). Najdi go zbirot na vektorite AB i CD, konstruktivno, po praviloto na triagolnikot.. Konstruiraj go zbirot na nekolinearnite vektori m, n i p so nadovrzuvawe i po~etna to~ka S. 4. Na {to e ednakov zbirot na vektorite: a) AB + BC + CA b) AB + BC + CD + DA a) AB + BC + CA = b) AB + BC + CD + DA = 9

5. Konstruiraj go zbirot na vektorite MN i PQ po praviloto na paralelogram so po~etna to~ka S. 6. Pokaì deka za koi bilo vektori m i n vaì m + n = n + m (koristi go praviloto na paralelogram za sobirawe na vektori). 7. Neka vektorite e i f se sprotivni. Konstruiraj go nivniot zbir e + f. 8. Daden e trapezot ABCD (ABIICD). To~kite M i N se sredini na kracite AD i BC soodvetno. Izrazi go vektorot MN so pomo{ na vektorot AB i CD (obrazloì go odgovorot). MN = 9. Daden e ~etiriagolnikot ABCD kako na crteòt. Izrazi go vektorot: a) AC so pomo{ na vektorite a i b ; b) BD so pomo{ na vektorite b i c ; v) AD so pomo{ na vektorite AC i c ; g) AD so pomo{ na vektorite a i BD ; [ to zaklu~uva{ za operacijata sobirawe vektori: a) b) v) g) Operacijata sobirawe vektori e 10

4. ODZEMAWE NA VEKTORI. MNO@EWE NA VEKTORI SO BROJ 1. Opredeli go zbirot na sprotivnonaso~enite vektori a i b : a) a + b ako a > b, b) a + b ako a < b.. Opredeli ja, konstruktivno, razlikata na kolinearnite vektori m i n : a) m n ako m > n, b) m n ako m < n.. [ to zna~i vektorot b da se odzeme od vektorot a? Da se odzeme vektorot b od vektorot a 4. Dadeni se nekolinearnite vektori AB i CD. Konstruiraj ja razlikata AB CD so po~etna to~ka S. 5. Neka n e proizvolen vektor. Opredeli ja razlikata: a) n o b) n n v) n m kade m = n 11

6. Daden e paralelogramot ABCD (ABIICD i ADIIBC) i S prese~na to~ka na dijagonalite AC i BD. Razlikata na vektorite e: a) AB AD = b) BC BD = v) AB BC = g) AS SC = 7. Vo koi slu~ai va`i ravenstvoto: a) a + b = a + b b) a + b = a b v) a b = a b a) b) v) 8. Neka a e proizvolen vektor. Opredeli go, konstruktivno, vektorot: a) m = a b) n = a 4 9. Opredeli go, konstruktivno, vektorot: a) a + b b) a b ako a i b se dadeni vektori. 1

5. TRANSLACIJA 1. Neka vagon~eto se dvi`i pravoliniski po {inite na prugata, pri {to vo sekoja naredna polo`ba ostanuva paralelno so prvobitnata i pritoa formata i goleminata ostanuvaat postojani. Vakvoto dvi`ewe se vika paralelno pomestuvawe ili. Koe preslikuvawe se vika translacija? Translacija za vektorot a se vika. So pomo{ na translacija nacrtaj: a) prava a paralelna na dadena prava p, b) prava b paralelna na dadena prava p i minuva niz dadena to~ka B. 4. a) Pri translacija τ a, vektorot a se vika to~kata τ ( M) M 1 = e na originalot a b) Translacijata τ a se narekuva za translacijata 5. Dadeni se nekolinearnite to~ki A, B i C. Konstruiraj gi slikite na ovie to~ki pri translacija τ. AB 1

6. Dadena e pravata p i to~kite M, N, P i Q od taa prava. Konstruiraj gi slikite na tie to~ki pri translacijaτ. PN τ (M) = ; PN τ (N) = ; PN τ (P) = ; PN τ (Q) =. PN 7. Dadena e otse~kata MN i vektorot n. Konstruiraj ja slikata M 1 N 1 na otse~kata MN pri translacija. τ n τ n (MN) = 8. Konstruiraj ja slikata na ABC pri translacija τ za vektorot a. τ a ( ABC) = 9. Neka a i b se dva nekolinearni vektora i M dadena to~ka. Da se konstruiraat to~kite M 1 = τ a b (M) i M + = τ b a + (M). Dali to~kite M 1 i M se sovpa aat? To~kite M 1 i M. 14

1. Osnovni svojstva na translacijata τ a se: 6. SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA a) Translacijata go zapazuva b) Ako to~kata M le`i me u to~kite A i B, toga{ i v) Sekoja figura F pri translacija τ a se preslikuva vo. Izvr{i translacija τ za vektorot a na otse~kata MN. Ako M = τ a ( Μ) i τ ( N) =, toga{ sporedi gi otse~kite MN i M 1 N 1. 1 N 1 a MN M 1N1. Dadena e otse~kata AB i to~kata P sredina na AB. Konstruiraj ja slikata na AB pri translacija τ. Sporedi go redosledot na to~kite A, M i B i nivnite sliki. n Redosledot na slikite od to~kite A, M i B e redosledot na to~kite A, M i B. 4. Daden e ABC i vektor a. Konstruiraj ja slikata na ABC pri translacija τ a. [ to mo- `e{ da zaklu~i{ za ABC i negovata slika pri translacija τ a. ABC i negovata slika 15

5. Nacrtaj proizvolen ostar agol, a potoa konstruiraj ja slikata pri translacija τ za dadeniot vektor a. 6. Konstruiraj ja slikata na pravata p pri translacija τ za vektorot a, ako a p. Pri ovaa translacija pravata p se preslikuva vo 7. Dadeni se paralelnite pravi p i q i to~kite P i Q taka {to P p i Q q. Izvr{i translacija na pravite p i q za vektorot PQ. Pravata p pri τ se preslikuva vo, a pravata q vo. PQ 8. Konstruiraj ja slikata na pravoagolnikot ABCD pri translacija τ za vektorot x = AD + DC. 9. Izvr{i translacija τ na kru`nicata k (O,r = sm) za vektorot а = ОP, P to~ka od kru`nicata k. 16

7. PRIMENA NA TRANSLACIJA 1. Izvr{i translacija na kru`nicata k (O,r =,5 cm) pri translacija τ za vektor x so dol- ìna x = r, pravec i nasoka po tvoj izbor.. Dadeni se pravata a, b i vektorot n. Konstruiraj ja slikata M 1 na pravata b pri translacija na to~ka M od pravata a. τ n. Dadeni se dva agla so zaemno paralelni i sprotivnonaso~eni kraci. So pomo{ na translacija dokaì deka tie se ednakvi. Dadeno: Tvrdime: OA O 1 A 1 i OB O 1 B AOB A 1 O 1 B 1 1 Dokaz: 4. So pomo{ na translacija, dokaì deka sosednite agli kaj rombot se suplementni. 17

5. Konstruiraj kru`nica koja minuva niz dadena to~ka P i dopira dve paralelni pravi p i q. 6. Ako pravite a, b se zaemno normalni i ako a 1 = τ n (a) i b 1 = τ n (b), toga{ i pravite a 1 i b 1 se, isto taka, zaemno normalni. Doka`i! Dadeno: a b i a τ ( a) b = τ ( b) Tvrdime: a 1 b 1 Dokaz: 1 = n, 1 n 7. Konstruiraj ramnokrak trapez ABCD (AB CD), ako se dadeni osnovite a, b i krakot c. Dadeno Skica Konstrukcija 8. Dadena e kru`nica k (0,r), pravata p i vektorot a. Konstruiraj ja to~kata M 1 na pravata p, slika na to~kata M {to le`i na kru`nicata k pri translacijata. τ a 18

Tema II STEPENI. KVADRATEN KOREN 1. POIM ZA STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ. 1. Zapi{i gi najkratko slednive izrazi: a) 4 + 4 + 4 = i 4 4 4 = b) x x x x = i x + x + x + x = a a a a a v) = g) ( x) ( x) ( x)... ( x) = 10 mno`iteli. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednite stepeni: a) ( 4 ) 4 = b) ( x ) = v) = 4 g) ( a ) = 5. Popolni ja tablicava: Stepen 4 ( x ) 4 ( 5) Osnova, 1 5 ( x +1) 0 ( ) 7 n Eksponent 1 0 5 4 4. Presmetaj ja vrednosta na izrazot: a) ; b) 5 ( ) 5 + ; v) x ; za x {, 1,0,1, } x 9

5. Odredi go znakot na brojot: a) ( 1) 0 ; b) ( 1) 15 ; v) ( ) ; g) ( 4) 100. 6. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 10 broevite: a) 1000; b) 100 000; v) 1500; g) 74 000 000. 7. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 0,1 broevite: a) 0,001; b) 0,000001; v) 0,0000001; g) 0,1. 8. Presmetaj ja vrednosta na sekoj od izrazite: 4 1 a) 0,4 10 7 : 49 + 4 = 64 b) 00 8 : 4 + 10 = 0

. MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI. STEPENUVAWE NA PROIZVOD. KOLI^NIK I STEPEN 1. Izvr{i go mno`eweto na stepenite: a) 4 = 4 b) ( ) ( ) = 5 v) x x = 4 x g) ( a ) ( a ) ( a ) = 0. Za koj broj n Ν e to~no tvrdeweto: n 7 a) = ; b) x x x = n x?. Poka`i deka: 5 4 a) izrazot 1 1 e deliv so 11; b) izrazot 1 10 5 5 e deliv so 4. 4. Presmetaj gi slednive koli~nici: 4 4 10 4 a) : = b) : = 5 5 v) 0 : a 1 = a g) ( x ) : ( x ) = 5 5 5. Presmetaj: a) ( x 5 : x ) x ; b) 10 8 : y ( y y a ) ( a a ) ; v) a 1 4 5 0 5 ( 5 5 ) ; g) 5. 1

6. Izrazi go stepenuvaweto: a) ( 4xy ) ; b) ( axy) ; v) 1 4 x y a x ; g) 5. 7. Stepenuvaj gi dropkite: 5 a a) ; b) 4 7 4 a y ; v) ; g) 5 1. a y 8. Zapi{i go izrazot vo vid na stepen so osnova a: a) ( a ) 4 ; b) ( a ) ( a ) 4 ; v) ( a a 8 ) a ( a a ) ; g) a 7. 5 x ( x ) 9. Presmetaj ja vrednosta na izrazot x 10 za x = 4,.

. POIM ZA KVADRAT NA RACIONALEN BROJ. POIM ZA KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ 1. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednive stepeni: a) 4 ; b) ( ) ; v) ( 0,5) ; g) 4 7.. Zapi{i gi proizvodite vo vid na kvadrat (stepen) na broj: a) ; b) ( 4) ( 4) ; v) ; g) 0 0.. Popolni ja tablicata: x 1 1 1 1 0 0, 4 7 0,01 10 x 4. Presmetaj go kvadratot na broevite: -6, 6, -, -10, 7, -5. 5. Presmetaj ja vrednosta na izrazot: a) ( 4) ( ) ; b) 4 ( ) + 14 ; v) 0 ( 7) + 0 ; g) 1 1. 4

6. Re{i gi ravenkite: a) a = 49 ; b) x = 64 ; v) a = 1 ; g) x = 100. 7. Presmetaj ja vrednosta na kvadratniot koren: a) 9 ; b) 144 ; v) 6, 5 ; g) 169. 5 8. Presmetaj ja vrednosta na izrazot: a) 4 5 ; b) 100 ; v) 10 0, 01 ; g) 65. 5 9. Odredi ja vrednosta na izrazot: a) 6 ; b) 4 7 ; v) 100 0, 5 ; g) 64 : 0, 04. 10. Uprosti go izrazot: a) 64a ; b) 100x ; v) 5a ; g) 6x : 81y. 64b 4

4. PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ 5. POIM ZA IRACIONALEN BROJ. 6. REALNI BROEVI. 7. PRETSTAVUVAWE NA REALNITE BROEVI NA BROJNA OSKA. 1. Presmetaj: a) 56 ; b) 600 ; v) 1, 5 ; g) 7, 04.. So pomo{ na tablica ili digitron odredi ja pribli`nata vrednost na broevite na dve decimali: a) 8 ; b) 80 ; v) 1, 5 ; g) 47, 8.. Presmetaj ja vrednosta na izrazot: a) 64 6,5 + 7,5 ; b) 5 5,5 0,6. 4. So pomo{ na tablica ili digitron odredi ja vrednosta na: a) ; b) ; v) 10 ; g) 00 so to~nost od 0,01. 5. Na brojnata oska pretstavi gi iracionalnite broevi: a) 5 ; b) 7 ; v) 6 ; g) 1. 5

6. Re{i gi ravenkite: a) x = 10 ; b) x = 5 ; v) a = 50 ; g) b = 100. 1 7. Dadeno e mnoèstvoto: R =,,,,,, 5. Zapi{i gi mnoèstvata tabelarno: A = { x x R i x Q} i B = { x x R i x J}. 141 15 8. Odredi gi decimalnite zapisi na broevite ; ; ; 100 10 a potoa sredi gi. 9. Na brojnata oska O x, pretstavi gi realnite broevi: a) 1 ; b) 17 ; v),75; g) 10. 10. Na brojnata oska na crteòt pretstavi gi to~kite: A(-), B(+4), C(-,5), D( ), E( ) i F( 1+ ) 6

Tema III POLINOMI 1. ALGEBARSKI IZRAZ.BROJNA VREDNOST NA IZRAZ (BROJNI IZRAZI. IZRAZI SO PROMENLIVI) 1. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: a) 0 + 8 : 4 4 ; b) ; v) + ( 4) 8 : 64 4 ; g) 5 6 + 8: 4. 0,1. Odredi koj od dadenite brojni izrazi nemaat (brojna vrednost) smisla i zo{to: 14 0,5 8 16 10 0,1 100 17 4 1+ 1 a) ; b) ; v) ; g). 1 4 5 0 7 5 + 5 1+ 1 4 4. Odredi ja brojnata vrednost na algebarskiot izraz: a) 5a + b x x za x = 1 ; b) za a = 1 i b =. b a 4. Za racionalniot izraz x 1 A( x) =, odredi A( ) i A (0). x 4

5. Na polesen na~in opredeli ja vrednosta na izrazot: a) 4 a a 5 a a za a = ; b) 4 b b b 5 za b = ; v) x 4 x x 5 x x 4 za x = 1. a + a 6. Daden e izrazot P =. Odredi ja negovata brojna vrednost za a (, 1,0,1,4). a 1 Za koi od dadenite vrednosti na promenlivata a izrazot ne e definiran? 7. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: x x y, za: a) x =, y = 1 ; b) x =, y = 0 ; v) x = 0, y = 1; g) 1 x = y =. 8. Popolni ja tablicata na vrednosta na izrazite: ( a, b) a b b a a b b a ( 1,) (, 1) (, 4) 1 ( ; 1,5) [ to zabele`uva{? Kakvi se vrednosite na izrazite a b i b a t.e. a b i b a za ist par vrednosti na promenlivite a i b? 44

. POIM ZA MONOM. SLI^NI I SPROTIVNI MONOMI 1. Dovedi gi vo normalen vid monomite: 4 a) a a ; b) 0,5ab ( 6a b ) ; v) 1 a ( ) 4 5 a ; g) 1 x 10x y ( y ). 5. Odredi ja glavnata vrednost i koeficientot na monomot: 4 a) 5x ( y ) ; b) 4 a b ( a) ; v) 4axy ; g) ab a. 4. Napi{i monomi so: a) glavna vrednost xy i koeficient v) koeficient 1 i glavna vrednost 1 1 ; b) koeficient a i glavna vrednost x y ; x y ; g) glavna vrednost b a i koeficient 1. 4. Presmetaj ja brojnata vrednost na monomot: 1 a) 4a b za a = 1i b = ; b) x y za 1 x = i y = 4. 45

5. Popolni ja tablicata: monom sprotiven monom sli~en monom axy 1 + bxy 0,5x y 1 4 axy 4 6. Odredi koi, od dadenive monomi se sli~ni: 1 a) xy ; b) xy ; v) xy ; g) 0,xy. 7. Odredi koi od slednive monomi se sprotivni: 1 1 a) ab ; b) + 0,a b ; v) ab ; g) 0,ab. 46

. BINOM. TRINOM. POLINOM. 4. STEPEN NA MONOMOT I POLINOMOT. 1. Od monomite: 4ax ; a x, 7ay, x, 8, x, formuliraj eden a) binom; b) trinom; v) polinom.. Dovedi go polinomot vo normalen vid: a) x (y ) x y 4x( y) ; b) 1,5a y +,5ay 4,ay +,4a y.. Pretstavi gi vo vid na polinom broevite: a) xy ; b) yx ; v) xyz ; g) abcd. 4. Odredi ja definicionata oblast na polinomot: a) a a + ; b) 1 x y x ; v) 4a + b 1. 5 5. Svedi go polinomot vo normalen vid: a) a ab a 7b + 4a b 5a b ; b) 1 5 1 x y x y + a b a b. 10 4 47

6. Odredi ja brojnata vrednost na polinomot: a) a + a 5 za a = 5 ; b) 4xy xy + x + y za x = i y = 5 7. Odredi go stepenot na monomot: 1 a) xy ; b) a ; v) x y ; g) 1 4. 5 8. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot: a) x x + x 1 ; b) 0,xy + 1,5 x y 4,x y. 9. Odredi go stepenot na sekoj od dadenite polinomi so promenliva x i y a) 5 7 y + 4y + 6xy ; b) 0,5x + 4,6x y xy 4x. 6 5 10. Podredi gi spored stepenot na promenlivata x, po~nuvaj}i od najvisokiot stepen polinomite: 5 a) x 4x + 5x x + ; b) 1x y 1, x y + 0,5x. 4 5 7 48

5. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI 6. SPROTIVNI POLINOMI. OSLOBODUVAWE OD ZAGRADI 1. Odredi go zbirot na monomite: a) xy, xy, xy, 0,5xy ; b) 1 4x y, xy, + x y, + xy.. Od monomot a) x y odzemi go monomot: 5x y ; b) + x y ; v) x y ; g) y x.. Odredi go monomot x za koj e to~no ravenstvoto: 1 1 a) x a b = a b ; b) 4,5a b x =,a b. 4 4. Odredi momom {to e ednakov na izrazot: a) 4,5xy xy + 5,5xy xy ; b) 1 4 1 a b a b + ba. 5. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot: a) x x + x 1 ; b) 0,xy + 1,5 x y 4,x y. 49

6. Transformiraj go izrazot vo polimom od normalen vid: a) ( x) + ( x x); b) ( a a 4) ( a + a 4). 7. Uprosti go izrazot: a) ( x + x x + ) + ( x + x ) ; b) (x 4x + ) (x 4x + ). 8. Re{i gi ravenkite: a) 4 + a ( a 4) = 7 ; b) ( 4 + x ) (7x 10) = 100. 9. Doka`i deka vrednosta na izrazot: ( a b + 1) (5a + b ) (a 5b 1) ne zavisi od a i b. 10. Pretstavi go trinomot: a) a 4a + ; b) x + x vo vid na zbir od dva binoma. 50

7. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI 1. Transformiraj go vo normalen vid, polinomot: a) (x + x 1) + ( x x + 1) = b) (4a b ab ) (a b ab ) =. Dadeni se polinomite: A = x x + 1, B = x + x 1, i C = x. Poka`i deka va`at zakonite: a) A + B = B + A ; b) ( A + B) + C = A + (B + C). Odredi polinom A, koj e ednakov na zbirot na polinomite: 1 a) x y 4xy + xy i x y + xy xy ; b) 1 1 1 a b ab i a b + ab + 5. 4 4 4. Odredi polinom M, koj e ednakov na razlikata na polinomite: a) 4 + 4 + x x i x x 4 ; b) ax x + x 5 i ax + x x 5. 51

5. Za polinomite: A = x x + x 1, B = x + x + x 4 i C = x x + x + 5 odredi: a) A + B + C ; b) A + (B + C) ; v) A (B + C) ; g) A (B C). 6. Poka`i deka e to~no ravenstvoto: a) (x x + 4) + (x x 4) = 0 ; b) ( a x +,4a x ) ( a x,4a x ) = 4,8a x. 7. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot ( 4x + 5) ( x 5) e ednakva na 0. 8. Doka`i deka zbirot od koj bilo dvocifren broj i brojot napi{an so isti cifri, no po obraten red e deliv so 11. 5

1. Presmetaj go proizvodot na monomite: 4 8. MNO@EWE I DELEWE NA MONOMI 9. STEPENUVAWE NA MONOMI 10. MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM a) a a ; b) 4ab ( ab) ; v) x ( x) ; g) ( 4xy ) ( 0,5x ).. Presmetaj: 4 a) 4x y xy ; b) 6abx ( 4ab ) ; v) ( 0,6x y ) ( 0,5x y ). 4. Odredi gi slednive proizvodi: n n a) x y xy ; b) 1 n+ 1 4 n+ x 4 y n x y. 5 4. Izvr{i go nazna~enoto delewe na monomite: 5 4 a) 4x y c : ( 6xyc) ; b),6x y : 0,1x y ; v) 4 4 1 4 4 1 1 a x y :1 a x y. 5. Presmetaj: 7 5 4 a) 0,4x y z : ( 0,5x y z ) ; b) 4 1 a x y : ( a xy ). 5

6. Stepenuvaj gi monomite: ) a) ( x ) ; b) ( abx ; v) ) ( xy z ; g) 1 4 ( a b ). 7. Presmetaj: a) ( 4xy ) ; b) a b ( ab ) ; v) (4x y ) ( xy ). 4 8. Presmetaj: a) ( x y) x ; b) (6ab 4ab + a) ( ab). 9. Odredi go polinomot P, taka {to: a) ( a + 1) a + a ( a + 1) = P + a ; b) P (x x) = x ( x x 1). 10. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot: a) ( x + ) + 6 e ednakva na 10; b) ( x 1) + ( x + ) e ednakva na 8? 54

11. MNO@EWE NA POLINOMI 1. Presmetaj gi proizvodite: a) ( a 1) ( a + 5) ; b) ( x 1) (x x + ) ; v) ( 4xy + x) (xy 5y).. Izvr{i gi nazna~enite operacii: a) ( x 1) ( x + ) ( x + ) ( x ) + ( 4x) ( x + ) ; b) ( x x + 1) ( x + 1) 4x ( x x 1).. Dadeni se polinomite: A = x + 1, B = x +, C = x. Presmetaj: a) A C ; b) B C ; v) A B C ; g) (C A) ( B). 4. Pretstavi go, kako polinom vo normalen vid, izrazot: a) (6a a + 1)(a ) (a + ) ( x 4) 10 ; b) ( a a + a a + 1) ( a + 1). 4 55

5. Pokaì deka ravenstvoto e to~no: ( a a + 1) ( a + 1) = ( a + a + 1)( a 1) +. 6. Odredi ja vrednosta na x za koja izrazot: 6x (x )(x ) ima vrednost 7. 7. Dokaì deka za a N izrazot: a ( a + 5) ( a 11)( a + 5) e deliv so 11. 8. Odredi A( x) B( x) C( x) ako A ( x ) + (x + 1) = x + 1. B( x ) ( x + 1) = x 1 i x C( x) = x + 9. Dokaì deka, pri sekoja vrednost na n, izrazot ( n + ) ( n ) + 5( n n + 1) + (n + ) e sekoga{ pozitiven. 56

1. FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE 1. Presmetaj gi proizvodite: a) ( a )( a + ) ; b) ( x 1)(x 1) ; v) ( 5x y)(y + 5x).. Uprosti go izrazot: a) ( x y)( x + y) ( x + y ), b) (1 + a )(1 a) (1 + a ).. Transformiraj go izrazot vo vid na polinom vo normalen vid: a) ( x + ) ( x ) x( x ) ; b) ( x y)( x + y) x( x y) + xy. 4. Presmetaj gi proizvodite: a) 17 ; b) 7,5 6,5; v) 98 10 ; g) 1 1 10 9. 5. So koristewe na formulata za kvadrat na binom, presmetaj: 1 a) ( x + ) ; b) ( 4 a) ; v) ( x + 1) ; g) (a b). 57

6. Odredi go monomot M, taka {to ravenstvoto da bide to~no: a) (4a b) = M 8a b + b, b) ( + M) = 9 + 1x + 4x. 4 7. Uprosti go izrazot: a) (x 5) ( + x) + ( x)( + x) ; b) ( a 1) 4( a + 1) 6( a + 1)( a 1). 8. Re{i gi ravenkite: a) ( x + 1) x( x 5) = 0 ; b) (x + 1) 4( x 1)( x + 1) =. 9. So pomo{ na formulata za kvadrat na binom kvadriraj gi broevite: a) 51 ; b) 199,5 ; v) 101 + 99 ; g) 105. 58

1. Izvr{i gi nazna~enite operacii: 1. DELEWE NA POLINOM SO MONOM. 14. DELEWE NA POLINOM SO POLINOM 4 a) ( 6x + 18y) : ; b) (5x y 15x y ) : ( 5xy) ; v) (0,4x 1, x + x) : 0, 8x.. Transformiraj gi vo polinom vo normalen vid izrazite: 1 a) ( 10x 15) : 5 + 6 (x 4) ; b) (16a 8a) : ( 4a) 4 ( a ) 4. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: 4 (169a b 4 78a b + 1a b ) : ( 1a b ) za a = 1 i b =. 4. Re{i ja ravenkata: 1 10x : ( x ) (x x) : x = 9. 5. Odredi go koli~nikot: a) ( a + a 1) : ( a ) ; b) ( x x + 1) : ( x 1). 59

6. Prvo, podredi go polinomot, a potoa izvr{i go deleweto: ( 0x 41x 4 16x 0x 7 10 ) : ( 5x 4 4) + +. 7. Presmetaj gi koli~nicite: a) ( a 1) : ( a 1) ; b) ( a 5 + 1) : ( a + 1) ; v) ( x 9 + 1) : ( x + 1). 8. Re{i gi ravenkite: a) (a + 5a ) : (a 1) = 4 ; b) (6x 1x + 6) : (x ) = 4. 9. Ako A( x ) B( x) = 8x 1x y 4xy + y i B ( x ) = x + y. Opredeli go A( x ). 10. Izvr{i go nazna~enoto delewe na polinomot so ostatok: a) (15a 4a + 4) : (a ) ; b) ( x + x + 7x + x + 5) : (x + x + 5). 4 60

15. VIDOVI RACIONALNI IZRAZI 1. Odredi koi od slednive racionalni izrazi se celi, a koi drobni racionalni izrazi: a) x ; b) x y ; v) 4 y a ; g). a 1. Zapi{i dva algebarski izraza: a) koi se racionalni; b) koi ne se racionalni.. Odredi ja definicionata oblast na drobno-racionalniot izraz: x 1 a) ; b) a ; v) ; g) x 1 y ( x 1)( x + ) a a 1. 1 a 4. Skrati gi dropkite: 1 x a) ; b) ( x 1) x 9 ( a + b) ; v). ( x )( x + ) a b 61

5. Za koja vrednost na a izrazot ne e definiran: 4 a 1+ a a a) ; b) ; v) ; g) 1 a + a 1+ 5a a + b? ( a + )(a ) 6. Odredi go mno`estvoto na dopu{tenite vrednosti na promenlivata, za koi racionalnite izrazi imaat smisla: 1 a a + b a) ; b) ; v). a + 1 a 4 ( a + )(a ) 7. Za koja vrednost na promenlivata x dadeniot izraz ima smisla? 4 x + x 1 x a) ; b) ; v) ; g) x + x 1 7x 5 + x. x 6 6

16. RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI 1. Izvle~i gi zaedni~kite mnoìteli pred zagrada: a) a ; b) x xy ; v) ay 6ax ; g) x 4xa.. Razloì gi polinomite na mnoìteli: a) xy 4xy + xy ; b) 10x y 15xy + 0x y ; v) 6a b 1a b + 4ab. 4 4. Skrati ja dropkata: x + y a) ; b) ( x + y) ( x ) ; v) 7 9x x( x y) + xy ; g) ( x + y) y ( a + b) + ab + a ( a + b). 4. So razloùvawe na mnoìteli pokaì deka izrazot: a) 6 5 4 8 8 + 8 e deliv so 57; b) 7 1 1 6 6 + 6 e deliv so 1. 5. Razloì go na prosti mnoìteli izrazot ax + bx + cx, a potoa presmetaj ja brojnata vrednost za: a = 41, b = 4, c = 5 i x = 0, 55. 6. Razloì gi slednive binomi na mnoìteli: a) 9a b 1 ; b) x 5x y ; v) 100x 9y. 6

7. Presmetaj: a) 9 19 ; b) 111 9 ; v) ( 7 ) (5 ). 4 4 8. Skrati gi dropkite: a 5a a) ; b) a 5 4 x 1 x ; v). x 4 x 1 9. Dokaì deka, za koj bilo a N vrednosta na izrazot: a) ( a + 11) a e deliv so 11, b) (4a + 7) 1 e deliv so 4. 10. Razloì gi na mnoìteli polinomite: a) 9 + 6x + x ; b) x 4xy + 4y ; v) 1 9 + a + a ; g) 16a + 4ab + 9b. 11. Presmetaj ja vrednosta na izrazot: a) x + 6x + 9 za x = ; b) 9a 1ab + 4b za 1 a = i 1 b =. 1. Presmetaj ja na najednostaven na~in vrednosta na izrazot: a) 69 + 69 + = b) 8, 8, 5,8 + 5,8 = 1. Skrati ja dropkata: xy x a) ; b) 9y 6y + 1 9x 15x + 5. 5 9x 64

Tema IV KRU@NICA I MNOGUAGOLNIK. PLO[ TINA 1. CENTRALEN AGOL. SVOJSTVA 1. Eden kruèn lak pretstavuva: 5 a) ; b) ; od kru`nicata. 1 5 Odredi go soodvetniot centralen agol, a potoa nacrtaj go vo dadenata kru`nica. a). b).. Kolkav centralen agol odgovara na edna polukru`nica kako del od kru`nica?. Kolkav del od kru`nicata zafa}a eden centralen agol so golemina od 15 O? 4. Centralniot agol na dadenata kru`nica razdeli go na tri agli, ~ii golemini se odnesuvaat kako 1 : :. 5. Neka ABCDEF e {estagolnik ~ii temiwa leàt na edna kru`nica so centar vo to~ka O i pritoa AB = CD = EF i BC = DE = FA. Dokaì deka AOC = 10 O. 79

. PERIFEREN AGOL. TALESOVA TEOREMA 1. Vo dadena kru`nica ozna~i periferen agol so golemina: a) 70 O ; b) 10 O ; v) 90 O.. Kolkav periferen agol odgovara na eden centralen agol so golemina: a) 180 O ; b) 4 O ; v) 5 O 5 6? a) ; b) ; v). Dokaì deka perifernite agli nad dva skladni kru`ni laka vo edna kru`nica se skladni. 4. Dokaì deka bisektrisite na site periferni agli nad ist kruèn lak se se~at vo sredinata S na toj lak. 5. Konstruiraj pravoagolen triagolnik, ako se poznati hipotenuzata c i visinata h c kon nea. 80

. KONSTRUKCIJA NA TANGENTA NA KRU@NICA 1. Konstruiraj tangenta od to~kata A kon dadenata kru`nica k. a) b). Kakvo mnoèstvo od to~ki obrazuvaat centrite na kru`nicite koi se dopiraat: a) do kracite na daden konveksen agol, b) do dve paralelni pravi? a) b). Neka pravite p i q se tangenti na kru`nica k pri {to p q i p q. Dokaì deka dopirnite to~ki p k i q k se dijametralno sprotivni to~ki na kru`nicata. 4. Dadena e kru`nicata k i dve zaemnonormalni tangenti p i q na k. Kakvo mnoèstvo od to~ki obrazuvaat presecite p q na site pravi p i q so toa svojstvo? 5. Neka AOB e centralen agol na kru`nicata k. Ako a i b se tangenti na kru`nicata k vo to~kite A i B, kolkav e agolot me u to~kite A i B? 81

4. TETIVEN ÊTIRIAGOLNIK 1. Dali okolu pravoagolen trapez moè da se opi{e kru`nica? Obrazloì go odgovorot i napravi crte`.. Dali okolu eden ~etiriagolnik ~ii tri agli se: a) A = 50 O, B = 70 O, C = 10 O, b) A = 65 O, B = 115 O, D = 80 O, v) B = 50 O, C = 60 O, D = 80 O, moè da se opi{e kru`nica? a) ; b) ; v).. Dali moè da se konstruira tetiven ~etiriagolnik, ako zbirot na tri negovi agli se ednakvi na: a) 80 O, 56 O, 14 O, b) 10 O, 150 O, 40 O, v) 0 O, 70 O, 160 O? a) ; b) ; v). 4. Dali okolu deltoid moè da se opi{e kru`nica? Obrazloì go odgovorot? 5. Vo dadenata kru`nica vpi{i ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni agli se 70 O, 80 O i 140 O. 8

5. TANGENTEN ÊTIRIAGOLNIK 1. Vo koi paralelogrami moè da se vpi{e kru`nica? Zo{to?. Odredi ja dolìnata na ~etvrtata strana na eden ~etiriagolnik ABCD, za toj da bide tangenten, ako: a) AB = 5 cm, CD = 7 cm i AD = 8 cm ; b) BC = 6 cm, CD = 8 cm i DA = 5 cm. a) ; b) ;. Dali postoi tangenten ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni strani imaat dolìni cm, 8 cm i 5 cm? Zo{to? 4. Dokaì deka vo pravoagolnik {to ne e kvadrat ne moè da se vpi{e kru`nica! 5. Nacrtaj trapez vo koj moè da se vpi{e i se opi{e kru`nica. 8

6. OP[ TO ZA MNOGUAGOLNIKOT 1. Nacrtaj konveksen ~etiriagolnik i nekonveksen petagolnik.. Kolku dijagonali mo`e da se povle~at: a) od edno teme, b) od site temiwa na eden sedumagolnik? a) ; b).. Eden n agolnik e takov {to vo nego mo`e da se povle~at vkupno n dijagonali. Koja e vrednosta na n? 4. Odredi go {estiot agol na eden {estagolnik, ako pet negovi agli imaat golemini: 165 O, 148 O, 17 O, 155 O i 16 O. 5. Dali postoi konveksen n agolnik, ako osum negovi vnatre{ni agli se ednakvi na 10 O? Zo{to? (Upatstvo: Razgledaj gi nadvore{nite agli!) 84

7. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI 1. Nacrtaj mnoguagolnik so ednakvi: a) agli, b) strani, koj ne e pravilen mnoguagolnik.. Kaj koj pravilen mnoguagolnik eden nadvore{en agol iznesuva 45 O?. Doka`i deka kaj sekoj pravilen mnoguagolnik, negoviot centralen agol e ednakov so nadvore{niot agol. 4. Neka za petagolnikot ABCDE, triagolnicite ABC, BCD, CDE, DEA i EAB se skladni ramnokraki triagolnici so temiwa vo B, C, D, E i A, soodvetno. Dali ABCDE e pravilen petagolnik? 5. Ako A 1 A A A 4... A n e pravilen n agolnik, doka`i deka A 1 A 4 A A. 85

8. OPI[ ANA I VPI[ ANA KRU@NICA 1. Odredi go mno`estvoto od site to~ki vo ramninata koi se ednakvo oddale~eni od: a) temiwata, b) sredinite na stranite, na eden pravilen mnoguagolnik. a) ; b).. Za koj pravilen n agolnik karakteristi~niot triagolnik e ramnostran triagolnik? n =. Ako A 1 A A... A k e pravilen k agolnik (k > ), poka`i deka A 1 A A 5... A k-1 e pravilen k agolnik. 4. Eden pravilen n agolnik ima 9 oski na simetrija. Kolkav e negoviot centralen agol? 5. Vo koj pravilen mnoguagolnik vnatre{niot agol e za 108 O pogolem od centralniot agol? 86

9. KONSTRUKCIJA NA NEKOI PRAVILNI MNOGUAGOLNICI 1. Konstruiraj ramnostran (pravilen) triagolnik koj e vpi{an vo dadenata kru`nica.. Okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen {estagolnik.. So pomo{ na aglomer, okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen petagolnik. 4. So pomo{ na aglomer, konstruiraj pravilen petagolnik so strana a = 1,5 cm. 5. Vo dadenata kru`nica so pomo{ na aglomer vpi{i pravilen desetagolnik. 87

10. PITAGOROVA TEOREMA 1. Najdi ja dolìnata na ednata kateta, ako se dadeni hipotenuzata i drugata kateta: a) c = 0 cm, b = 16 cm ; b) c = 9 cm, b = 1 cm ; v) c = 7 cm, b = cm. a) ; b) ; v).. Strelkite na eden ~asovnik se dolgi,4 cm i 1,8 cm. Kolku se oddale~eni vrvovite na strelkite koga tie pokaùvaat ~asot?. Kolkav e dijametarot na opi{anata kru`nica okolu pravoagolen triagolnik, ~ii kateti se dolgi: a = 6 cm, b =,5 cm? 4. Katetite na eden pravoagolen triagolnik se dolgi,4 dm i 7 dm. Odredi ja dolìnata na teì{nata linija {to e povle~ena kon hipotenuzata. 5. Dali triagolnikot so strani: a) 15 cm, dm i,5 dm ; b) 5 cm, 1 cm i 14 cm, e pravoagolen? 88

a) ; b). 11. PRIMENA NA PITAGOROVA TEOREMA 1. Odredi ja katetata na ramnokrak pravoagolen triagolnik so hipotenuza c = 0 cm.. Vo pravilen {estagolnik so strana 4 cm vpi{ana e kru`nica. Presmetaj go radiusot na taa kru`nica.. Presmetaj go perimetarot na pravoagolen trapez, ako se poznati negovite osnovi a = 5,7 cm, b = 1,9 cm i visinata h =,5 cm. 4. Centrite na dve ednakvi kru`nici so radius,9 cm se na rastojanie eden od drug 7, cm. Presmetajte ja dol`inata na nivnata zaedni~ka tetiva. 5. Vo edna kru`nica so radius 5 cm e vpi{an ramnokrak triagolnik, kaj koj visinata kaj osnovata e dolga 6,4 cm. Odredete gi dol`inite na stranite na triagolnikot. 89

1. KONSTRUKCIJA NA TO^KI NA BROJNATA OSKA KOI ODGOVARAAT NA BROEVITE,, 5,... 1. Da se konstruira otse~ka so dolìna: a) 10 cm; b) 1 cm.. Da se konstruira otse~ka so dolìna: a) 15 cm; b) 1 cm.. Dadeni se otse~ki so dolìni a i b. Da se konstruira otse~ka so dolìna a + 9b. 4. Dadeni se otse~ki so dolìni a i b. Da se konstruira otse~ka so dolìna 4b a. 5. Dadeni se otse~ki so dolìni a i b. Da se konstruira otse~ka so dolìna 4 ab. (Upatstvo: 4ab = ( a + b) ( a b) ) 90

1. POIM ZA PLO[ TINA 1. Nacrtaj eden triagolnik i eden ~etiriaglonik koi se ednakvoplo{ni.. Plo{tinata od 4 m, izrazi ja vo: a) cm ; b) mm. a) ; b).. Daden e paralelogram ABCD. Na polupravata AB odredi to~ka M, taka {to triagolnikot AMB e ednakvoplo{ten so paralelogramot ABCD. 4. Dadeniot triagolnik ABC razdeli go na 4 ednakvoplo{ni delovi. 5. Neka F 1 i F se dve geometriski figuri. Obidi se da doka`e{ deka: P (F1 F ) = P (F 1 ) + P (F ) - P (F 1 F ). 91

14. PLO[ TINA NA PRAVOAGOLNIK 1. Edna niva vo forma na pravoagolnik so strani 40 m i 180 m treba da se nasadi so lozje. Kolku lozi }e se nasadat na taa niva, ako rastojanieto na lozite vo redot e 1 m, a rastojanieto me u redovite e 1, m?. Kvadrat so strana 1 cm i pravoagolnik so edna strana 8 cm imaat ednakvi plo{tini. Koja od tie dve figuri ima pogolem perimetar?. Konstruiraj kvadrat ~ija plo{tina e ednakva na zbirot od plo{tinite na dva dadeni kvadrata so strani a i b. 4. Vo kvadrat ABCD so strana 8 cm vpi{an e drug kvadrat MNKL, ~ii temiwa le`at na stranite na kvadratot ABCD. Presmetaj ja plo{tinata na kvadratot MNKL. 5. Vo kru`nica so radius 6,5 cm vpi{an e pravoagolnik na koj ednata strana mu e dolga 5 cm. Presmetaj go perimetarot i plo{tinata na toj pravoagolnik. 9

15. PLO[ TINA NA PARALELOGRAM 1. Ako dolìnata na osnovata na paralelogramot ja zgolemime pati, kako treba da ja promenime soodvetnata visina pri {to plo{tinata na paralelogramot da ostane nepromeneta?. Romb so strana a = 8 cm ima plo{tina 4, cm. Presmetaj ja visinata na rombot.. Edna niva ima forma na paralelogram so osnova 500 m i soodvetna visina 80 m. Za kolku dena taa }e bide izorana: a) so dva kowa koi za eden den izoruvaat 40 ari; b) od eden traktor koj izoruva po,5 ha dnevno? a) ; b). 4. Da se presmeta plo{tinata na eden romb ako se znae deka negovata strana ima dolìna 6 cm, a pomaliot agol me u stranite iznesuva 60 O. 5. Presekot na dijagonalite na eden paralelogram e na rastojanie,5 cm i cm od pravite na koi leàt negovite strani. Presmetaj go perimetarot na toj paralelogram, ako negovata plo{tina iznesuva 60 cm. 9

16. PLO[ TINA NA TRIAGOLNIK 1. Stranata i soodvetnata visina na eden triagolnik se dolgi 5 cm i 8 cm. Mo`e li negovata plo{tina da bide ednakva na: a) 16 cm ; b) 0 cm ; v) 5 cm? Zo{to? a) ; b) ; v).. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak triagolnik ~ij krak e b = 4,8 cm, a visinata {to í odgovara na osnovata ima dol`ina,6 cm.. Vo kru`nica so radius 6,6 cm vpi{an e ramnostran triagolnik. Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata na triagolnikot. 4. Eden dvor vo forma na triagolnik ima strani 15 m, 10 m i 1 m. Presmetaj ja plo{tinata na dvorot. 5. Poznato e deka triagolnikot ABC ima plo{tina P = 10 cm i perimetar 0 cm. Presmetaj go radiusot na vpi{anata kru`nica. 94

17. PLO[ TINA NA TRAPEZ 1. Da se presmeta plo{tinata na trapez ako negovite osnovi se 7 cm i 5 cm, a visinata mu e 5,5 cm.. Osnovite na pravoagolen trapez se dolgi dm i,5 dm, a podolgiot krak e 1 cm. Presmetajte go perimetarot i plo{tinata na toj trapez.. Presmetajte ja plo{tinata na ramnokrak trapez, ako se poznati negovite osnovi: a = 6 cm, b = 1 cm i krakot c = 17 cm. 4. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez e P = 68 cm, a osnovite mu se dolgi 1 cm i 4 cm. Presmetaj go negoviot perimetar. 5. Perimetarot na eden ramnokrak trapez iznesuva 149 cm, a osnovite mu se dolgi 6 cm i cm. Presmetaj ja negovata plo{tina. 95

18. PLO[ TINA NA DELTOID 1. Dijagonalite na eden romb se dolgi d 1 = 7, dm i d = 5,6 dm. Presmetaj ja negovata plo{- tina.. Plo{tinata na eden deltoid e 56 cm. Presmetaj gi dolìnite na negovite dijagonali, ako se znae deka ednata dijagonala e dvapati podolga od drugata dijagonala.. Presmetaj ja plo{tinata na eden tetiven deltoid, ako se znae deka podolgata strana ima dolìna cm, a pokratkata dijagonala isto taka ima dolìna cm. 4. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako pokratkata negova strana ima dolìna cm i ako se znae deka dijagonalata koja ne e simetrala na deltoidot zafa}a agli od 45 O i 60 O so pomalata i pogolemata strana, soodvetno. 5. Presmetaj ja plo{tinata na eden ~etiriagolnik so normalni dijagonali, ako negovite dijagonali imaat dolìni d 1 = 7 cm i d = 11 cm. 96

19. PLO[ TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK 1. Radiusot na vpi{anata kru`nica vo ramnostran triagolnik e r =,5 cm. Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata na triagolnikot.. Stranata na pravilen {estagolnik e,4 cm. Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata na {es tagolnikot.. Stranata na eden pravilen osumagolnik e a = cm. Da se presmeta plo{tinata na osumagolnikot, ako se znae deka radiusot na vpi{anata kru`nicata ima dol`ina = ( 1+ ) r cm. 4. Okolu kru`nica so radius r opi{ani se ramnostran triagolnik, kvadrat i pravilen {es tagolnik. Koj od opi{anite mnoguagolnici ima najgolema, a koj najmala plo{tina? 5. Okolu kru`nica so radius cm opi{an e petagolnik so perimetar cm. Presmetaj ja plo{tinata na petagolnikot. 97

0. DOL@INA NA KRU@NICA 1. Presmetaj ja dolìnata na edna kru`nica so radius r =,14 cm.. Okolu kvadrat so dijagonala d = 4,6 cm opi{ana e kru`nica. Presmetaj ja dolìnata na taa kru`nica.. Trkalata na eden avtomobil imaat dijametar 0,6 m. Kolku zavrtuvawa }e napravi ednoto trkalo otkako avtomobilot }e izmine pat dolg 17 km? 4. Edna trka~ka pateka ima radius 50 m. Eden motociklist taa kru`na pateka ja obikoluva 6 pati za 11 minuti. Presmetaj ja brzinata na motociklistot vo: a) metri vo sekunda, b) kilometri na ~as. 5. Eden kruèn stolb moè da se namota to~no 4 pati so edno jaè ~ija dolìna e 5 m. Presmetaj go radiusot na stolbot. 98

1. DOL@INA NA KRU@EN LAK 1. Presmetaj ja dolìnata na kruèn lak od kru`nicata so radius r = 6,8 cm, {to odgovara na centralen agol od 75 O.. Eden kruèn obra~ so radius r = 0,7 m e prese~en i od nego e napraven kruèn lak {to odgovara na kru`nica so radius 0,9 m. Presmetaj go centralniot agol {to odgovara na toj kruèn lak.. Pri vrteweto na Zemjata okolu svojata oska, kolkav pat izminuva sekoja to~ka od ekvatorot za vreme od: a) 1 ~as, b) 1 minuta, v) 1 sekunda? (Radiusot na Zemjata e 670 km.) 4. Ohrid i Belgrad se nao aat pribli`no na ist meridijan. Presmetaj ja nivnata me usebna oddale~enost, ako e poznato deka geografskata {irina na Ohrid e α 1 = 41 O 7, a na Belgrad e α = 44 O 48. (Radiusot na Zemjata e 670 km.) 5. Eden gumen kai{ opfa}a tri kru`nici so radiusi 1 cm koi me usebno se dopiraat (vidi go crteòt). Presmetaj ja dolìnata na kai{ot. 99

. PLO[ TINA NA KRUG 1. Presmetaj ja plo{tinata na eden kru`en bazen, ako perimetarot na bazenot e 100 m.. Kvadrat so strana 15,7 cm i eden krug imaat pribli`no ednakvi perimetri. Koja od tie dve figuri ima pogolema plo{tina i za kolku?. Zemjotresot se {iri so brzina od 800 m/s. Presmetaj kolkava povr{ina mo`e da zafati zemjotresot po 5 sekundi od negoviot po~etok? 4. Edna {uma ima forma na krug so radius km. Drvjata vo {umata se rasporedeni pribli`no po drva na sekoi 10 m. Presmetaj go pribli`no brojot na drvata vo taa {uma. 5. Edna kru`na sala so radius r = 10 m e poplo~ena so plo~ki vo forma na pravilen {estagolnik. Kolku plo~ki pribli`no se koristeni za poplo~uvawe, ako stranata na sekoja plo~ka iznesuva 10 cm? 100

. PLO[ TINA NA KRU@EN ISEÔK I KRU@EN PRSTEN 1. Plo{tina na eden krug e P = 140 cm. Presmetaj ja plo{tinata na kruèn ise~ok, {to mu odgovara na centralen agol od 70 O.. Perimetarot na eden krug e L = 5, cm, a dolìnata na lakot na eden kruèn ise~ok od nego e l = 8,4 cm. Odredi go centralniot agol i plo{tinata na kru`niot ise~ok.. Dve koncentri~ni kru`nici imaat dolìni L 1 = 9,4 dm i L = 6,8 dm. Presmetaj ja plo{tinata i {irinata na kru`niot prsten, {to tie go obrazuvaat. 4. êtiri kru`nici so ednakvi radiusi r =,8 cm se dopiraat edna so druga odnadvor. Presmetaj ja plo{tinata na delot od ramninata me u niv. Napravi crte`. 5. Presmetaj go radiusot na kru`nicata, koja razdeluva daden krug so radius r na dve ednakvoplo{ni figuri kruèn prsten i krug. 101

4. DIJAGRAMI 1. Eden zemjodelec posadil dekari so zelen~uk,,6 dekari so ovo{je, a,5 dekari posadil so `itarici. Ovie podatoci pretstavi gi so: a) stolbest dijagram, b) sektoren dijagram.. Podatocite od sektorniot dijagram pretstavi gi so stolbest dijagram.. Vo edna fabrika vo poslednite 5 godini se proizvedeni slednite koli~estva na hrana: 1997 1998 1999 000 001 1600 toni 1750 toni 1870 toni 170 toni 1690 toni Ovie podatoci pretstavi gi so dijagram. Koj dijagram }e go izbere{? 4. Na eden natprevar na koj u~estvuvale 16 sportisti dodeleni se 5 zlatni, 16 srebreni i 40 bronzeni medali. Pretstavi gi ovie podatoci so sektoren dijagram. Na kolku delovi }e go podeli{ krugot? 5. Edna fabrika ima proizvedeno 10 5 proizvodi. 9% od proizvodite se so lo{ kvalitet, 5% se so zadovoluva~ki kvalitet, a ostanatite proizvodi se so prvoklasen kvalitet. Pretstavi gi ovie podatoci so sektoren i stolbest dijagram. 10

Tema V FUNKCIJA. PROPORCIONALNOST. 1. DEKARTOV PROIZVOD NA MNO@ESTVA 1. Vo podredeniot par ( x, y), prva komponenta e, a vtora komponenta e.. Zapi{i gi site podredeni parovi koi moàt da se formiraat od elementite na mnoèst- A =,4,6 voto { }. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta mu pripa a na mnoèstvoto,5,6 B = a,b. A = { }, a vtora komponenta na mnoèstvoto { } 4. Pretstavi gi so graf podredenite parovi: a) (4,5); b) (6,); v) (,). 5. Dadeni se mnoèstvata A = {,5,7} i B = {,4} mnoèstvoto: a) A B = { b). Zapi{i go tabelarno i pretstavi go so graf 115

6. Dadeni se mnoèstvata A = { a,b} i B = {,4,5} {ema mnoèstvoto B A = Re{enie: a) B A = { b). Pretstavi go: tabelarno i so koordinantna 7. Dadeno e mnoèstvoto A = { x x N i 4 < x 7}. Pretstavi go na a) tabelaren na~in i b) so graf mnoèstvoto A A = A Re{enie: a) A = b) 8. Dadeno e mnoèstvoto A B = {(,8),(5,4),(,4),(,4),(,8),(5,9)}. Zapi{i gi tabelarno mno- èstvata: A = { B = { 9. Dadeni se mnoèstvata M = { 1,,5 } i {,4} obrazloì zo{to A B B A Re{enie: a) A B = { b) B A = { B =. Formiraj gi mnoèstvata A B i B A i v) A B B A bidej}i 10. Dadeni se mnoèstvata A = { 0,1, }, B = {,} i C = { 4,5} ravenstvo: (A B) C = (A C) (B C). Pokaì deka e to~no slednovo 116

. PRAVOAGOLEN KOORDINATEN SISTEM 1. Na brojnata oska odredi ja mestopolo`bata na to~kite: A (,5), B 1 ; C( ) ; 0 (0). 4. Odredi go rastojanieto na to~kata M od pravite Ox i Oy na crte`ot. 4. Vo koj kvadrant se nao aat to~kite M, T, N i K, crte`. M se nao a vo T se nao a vo N se nao a vo K se nao a vo 5. Zapi{i gi koordinatite na to~kite M, T, N i K, crte`. To~kata M: od Ox e oddale~ena edinici. od Oy e oddale~ena edinici. M(, ); T(, ); N(, ); K(, ). 6. Vo pravoagolniot koordinaten sistem pretstavi gi to~kite: A(,) ; B(1, 4) ; C (;) ; D(0; ) ; E( 1;0). Odredi gi apscisata i ordinatata na 1 to~kata A( ;,5) apscisa e: ordinata e: 117

7. Vo pravoagolen koordinaten sistem pretstavi ja otse~kata AB, ako: A( ; 1) i B (;4) 9. Vo pravoagolen koordinaten sistem dadeni se koordinatite na to~kite A( 4; ) i D( ;). Konstruiraj go trapezot ABCD, na koj temiwata B i C se simetri~ni so A i D soodvetno vo odnos na koordinatnite oski. 8. Vo pravoagolen koordinaten sistem pretstavi go triagolnikot ABC, ako A(1; ) B( 1;) i C (,) 10. Odredi gi koordinatite na temiwata na kvadrat na koj ednoto teme e to~kata A( 1; ), dve po dve strani mu se paralelni so koordinantnite oski i stranata mu e dolga 4 edinici. 118

. RELACIJA 1. Ako A i B se neprazni mnoèstva, sekoe podmnoèstvo od Dekartoviot proizvod A B se vika od A vo B.. Vo mnoèstvoto M so graf zadadena e relacijata R. Zapi{i ja tabelarno relacijata R. R =. Vo mnoèstvoto A = { 1,,,4,5,6,7,8} zadadena e relacijata R... e za dva pogolemo od.... Pretstavi ja relacijata : a) na tabelaren na~in; b) na opisen na~in. a) R = b) R = 4. Od mnoèstvoto A = {,4,6,8,10} kon mnoèstvoto { 1,,,4,5 } R... e dva pati pomal od.... a) Relacijata R pretstavi ja so graf; b) Grafikonot na relacijata R zapi{i go na tabelaren na~in. a) B = dadena e relacijata: b) R = 5. Vo mnoèstvoto {,4,6} M = сe dadenи relaciите: а) R :" " и б) R :" ". Пretstavi ги овие релации табеларно. a) b) 1 = 119

4. FUNKCIJA 1. Na crteòt so graf dadeni se tri relacii. Opredeli: a) koja od tie relacii e funkcija; b) domenot i kodomenot na funkcijata. a) Funkcija e ; b) Domen e mnoèstvo ; v) Kodomen e mnoèstvo.. Kaj funkcijata f : A B, simbolot x A se vika, a y ili f (x) B se vika.. Od mnoèstvoto A = { x x N i x 8} kon mnoèstvoto B = { a, b, c} dadeno e preslikuvaweto f :... ako x e prost broj, toga{ x a, ako x e sloèn broj, toga{ x b, ako x ne e ni prost ni sloèn broj, toga{ x c. Preslikuvaweto treba da se pretstavi so graf. 4. Sekoja to~ka K( x, y) od koordinatnata ramnina se preslikuva vo to~ka K'( y, x). Pri toa preslikuvawe, vo koja to~ka }e se preslika sekoja od to~kite: A( 1,); B(,4);C(0, );D( 5,0). Napravi crteì: 5. Funkcijata f e zadadena so grafikonot: {(,0),(,1),( 1,),(0,),(1,4),(,5) } f =. Opredeli gi : a) domenot na f ; b) kodomenot na f. a) D = ; b) B = ; 10

5. ZADAVAWE NA FUNKCII 1. Zadadeni se funkciite: f = {( 1, a)(, b)(, c)(4, a) } q = {( 1, a)(, b)(, c) } i {( 1, b)(, c)(, a)(4, c) } h =. Koi od ovie funkcii se ednakvi: Ednakvi se funkciite. Za edna funkcija f : A B velime deka e zadadena, ako se poznati:. Traktor pri orawe pominuva prese~no po 4,5 km na ~as. Izrazi ja zavisnosta pome u pominatiot pat i potro{enoto vreme: 4. Grafikot na funkcijata e = {( 1, 1),(,0),(, 1),(5,4),(,1) } f. Pretstavi ja funkcijata so tablica. x f(x) 5. Dnevnata temperatura vo edno mesto se meri sekoi ~asa i e dobiena slednata tablica. ~as 6 9 1 15 18 1 4 tem -6-8 6 0-4 Od tablicata odredi: a) f ( 9); f (18) f (4). b) vo kolku ~asot temperaturata bila najvisoka a) f (9) = ; f (18) = ; f (4) = ; b) Temperaturata bila najvisoka vo ~asot. 6. Grafikot na edna funkcija e = {(,5),( 1,)(1, 1),(, ),(0,1) } f. Pretstavi ja funkcijata f (x) : a) tabelarno, b) grafi~ki. Re{enie: a) b) x f(x) 11

7. Zapi{i ja analiti~ki funkcijata definirana vo mnoèstvoto Z so koja e izrazeno: sekoj argument x e za tri pogolem od vrednosta na funkcijata. f (x) = 8. Pretstavi ja tabelarno i grafi~ki funkcijata f : A Z f ( x) = x, ako definicionata oblast na funkcijata e mnoèstvoto A = ; ; 1;0;1; { } x f(x) 9. Dadena e funkcijata q : (A Z) : x x 1. Opredeli go mnoèstvoto podredeni parovi ( x, y) q, ako A = { 5; ; 1;0;;4 } Γq = 10. Funkcijata h e zadadena so tablica. x - -1 0 1 h(x) 5 1-1 - Pretstavi ja grafi~ki. 1

6. RAZMER. PROPORCIJA. PRODOL@ENA PROPORCIJA 1. Koi od slednive koli~nici se razmeri 4 1 a) 7 : 9; b) : ; v) 9 m : 5 km ; g) 0,7 : kg ; d) 0,1g : g. 4 5 Razmeri se:. Zapi{i go obratniot razmer na razmerot y x. Obratniot razmer e:. Napi{i gi to~no slednite odnosi: a) 64 km : 8 m; b) 5 ~asa : min; v) 1,m :4dm. a) b) v) 4. Slednive razmeri pretstavi gi so celi broevi: 1 a) 0,6 : 0,7; b) : ; v) 8 : 0, 4. 4 4 Re{enie: a) b) v) 5. Presmetaj go nepoznatiot ~len na razmerot: 1 1 a) 7 : x = 6 b) x : = 1 4 5 a) x = ; b) x =. 1

6. Sostavi proporcija od slednive ravenstva na proizvodite: a) 0 0 = 50 1 b) 4 = 1,6 5 a) 0 : 50 = b) : 1,6 = 7. Kolku treba da iznesuva x vo ravenstvoto: 4,5: x = 9 : 0 x = ; 8. Presmetaj go x vo slednata proporcija: 18 : ( x + ) = 4 : 1 x = ; 9. Vo edno u~ili{te brojot na mомчиња sprema brojot na девојчиња se odnesuva kako 4 : 5. Opredeli kolku bile mомочиња, a kolku девојчиња, ako vo u~ili{teto imalo vkupno 990 u~enici. Re{enie: mомчиња bile девојчиња 10. Opredeli gi vnatre{nite agli na triagolnikot, ako nivnite golemini se odnesuvaat kako : 4 : 5. Re{enie: α= ; β= ; ν= ; 14

7. PRAVA PROPORCIONALNOST 1. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta. Zapi{i ja zavisnosta so formula.. Ako elementot x od mnoèstvoto A (domen) se preslikuva vo elementot y od mnoèstvoto B (kodomen) po formulata y = kx, toga{ zavisnosta me u tie dve veli~ini e. Pravata proporcionalnost na veli~inite x i y se dadeni so podredenite parovi: (,8), (,1), (5,0). Odredi go koeficientot na proporcionalnosta: k = 4. Eden avtobus se dviì so 75 km na ~as. Kolkav pat }e pomine za t ~asa. Za t ~asa }e pomine km. 5. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost k = 4. x,, 1,0,4,5. Opredeli go mnoèstvoto na vrednosta y, ako { } Re{enie: y { 6. Opredeli koi od veli~inite dadeni so tablicata se pravoproporcionalni. a) b) v) x 6 9 1 x 4 8 1 16 x 9 1 15 18 y 5 10 15 0 y 6 1 8 4 y 4 5 6 Pravoproporcionalni veli~ini se: 15

7. Popolni ja tablicata, ako veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na porcionalnosta k = 0, 4. x 0.5 1,5 1 1 1 8 y 8. Popolni ja tablicata, ako e poznato deka veli~inite x i y se pravoproporcionalni: x - - 5 8 y -10 10 5 50 9. Pretstavi ja grafi~ki pravata proporcionalnost y = x x - -1 0 1 y 1 10. Koeficientot na pravoproporciolanost e. Popolni ja tablicata i nacrtaj go nejziniot grafik x -4-0 4 y 16

8. OBRATNA PROPORCIONALNOST 1. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni. Zapi{i ja taa zavisnost so formula ako koeficientot na proporcionalnost e 5.. So koja od slednite formuli e pretstavena obratnata proporcionalnost. 1 a) y = ; b) y = x ; v) y = x 4 x Obratnoproporcionalni se:.. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost Odredi ja vrednosta na y, ako x = 0, 6 1 k =. y = 4. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta 5. Odredi ja vrednosta x ako y = 0, 4. x = 5. Odnosot na dve proizvolni vrednosti od domenot e ednakov na obratniot odnos na : 6. Veli~inite x i y se obratno proporcionalni so koeficient na proporcionalnost 4. Sostavi tablica za ovie veli~ini ako { 5,, 1,0,1,,5 } Re{enie: x. x -5 - -1 0 1 5 y 17

7. Ako x i y se obratnoproporcionalni veli~ini. Popolni ja tablicata otkako }e go odredi{ koeficientot na proporcionalnosta. Re{enie: k = x 4 6 8 4 y 8 4 8. Veli~inite x i y zadadeni so tablicata se obratnoproporcionalni. Od tablicata opredeli go koeficientot na proporcionalnost i zapi{i ja formulata so koja e izrazena zavisnosta me u x i y. x 4 1 6 y 1 1 1 4 a) k = b) y = 9. Popolni ja tablicata i nacrtaj go grafot na funkcijata 4 y = x x 1 1-1 -1 - -4 4 y 10. Nacrtaj go grafikot na funkcijata y = 8 x x y 18

9. PROSTO TROJNO PRAVILO 1. Za {iewe na 1 ma{ki kostumi upotrebeno e 6 m {tof. Kolku metri e potrebno za {iewe na 16 takvi kostumi. Potrebni se metri {tof.. Od 0,5 toni sve`i jabolka se dobivaat 95 kg suvi jabolka. Kolku kilogrami suvi jabolka }e se dobijat od,1 ton sve`i jabolka. ] e se dobijat jabolka.. Edna pumpa za voda dava 7 m voda za 4 ~asa i 1 minuti. Za kolku vreme pumpata }e dade 14 m voda? Za vreme od 4. 4 kravi se hranat so nekoja hrana 6 dena. Kolku dolgo }e se hranat so istata hrana 6 kravi? 6 kravi }e se hranat dena. 5. Eden avtomobil na 10 km vozewe tro{i 9 litri benzin. Kolku benzin }e potro{i na pat od 16 km? ] e potro{i litri benzin. 19

6. Edno ni{alo pravi 67 oscilacii (ni{awa) vo edna minuta. Za kolku sekundi }e napravi 78 oscilacii? ] e napravi za oscilacii minuti. 7. Eden traktor so tri pluga mo`e da izora 84 dekari zemja. Kolku dekari zemja }e izora ako raboti so 4 pluga so ista brzina. ] e izora dekari zemja. 8. Eden zap~enik so 0 zapci pravi 80 zavrtuvawa vo minuta. Kolku zapci ima drug zap~enik koj e svrzan so nego, ako za isto vreme pravi 60 zavrtuvawa. Ima zapci. 9. Edna rabota ja zapo~nale rabotnici, i po planot bi ja zavr{ile za 80 dena. Me utoa posle 16 dena rabotewe, 9 rabotnici se premesteni na drugo gradili{te. Za kolku dena e zavr{ena rabotata. Rabotata }e se zavr{i za dena. 10. rabotnika mo`at da asfaltiraat edna ulica za 1 dena. Brojot na rabotnicite se zgolemil za 16. Za kolku dena }e se zavr{i istata rabota. Istata rabota }e se zavr{i za dena. 10