Sli cnost trouglova i Talesova teorema

Transcript

1 Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1. (UU) Ako u dva trougla ABC i A B C imamo po dva ugla podudarna, tada su ta dva trougla sli cna. Stav 2. (SUS) Ako dva trougla imaju dve stranice proporcionalne i podudaran ugao izmedu njih, tada su ta dva trougla sli cna. Stav 3. (SSS) Ako u trouglovima ABC i A B C imamo tri stranice redom proporcionalne tada su ta dva trougla sli cna. Stav 4. (SSU) Ako dva trougla imaju dve stranice proporcionalne i podudaran ugao naspram ve ce stranice, tada su ta dva trougla sli cna. Teorema. (Talesova) Ako prave p i q prese cemo paralelnim pravama, onda je razmera du zi koje te prave odsecaju na pravoj p jednaka razmeri odgovaraju cih du zi koje one odsecaju na pravoj q. AB BC = A B B C Kao posledice Talesove teoreme va ze i slede ce jednakosti: SA SB = SA SB = AA BB i SA SA = SB SB 1

2 Zadaci 1. U trouglu ABC date su ta cke B AB i C AC takve da je B C AB. Dokazati da su stranice AB i AC proporcionalne sa AB i AC redom. Ugao α je zajedni cki ugao trouglova ABC i AB C, a ABC = AB C = β kao uglovi sa paralelnim kracima. Na osnovu prvog stava sli cnosti trouglova sledi da je ABC AB C sto zna ci da su odgovaraju ce stranice ovih trouglova proporcionalne, tj. AB AB = AC AC. 2. Neka je I centar upisanog kruga ABC(AB < BC), ta cka S centar opisanog kruga k oko trougla ABC, M sredina stranice AC i neka je ta cka P na luku AC (kojem ne pripada ta cka B) kruga k takva da je P AI jednakokraki, da va zi poredak P M S i da je P M AC. Ako je ta cka N prese cna ta cka poluprave pp[p, S) i kruga k dokazati da je AMP NAP i da je P IN P MI. Posmatrajmo AMP i NAP (vidi sliku). Ugao AP M = NP A im je zajedni cki i imaju po jedan ugao od 90 tj. AMP = NAP = 90 jer AMP grade stranica AC i njena simetrala, a NAP je perierijski ugao kruga k nad pre cnikom NP. Odatle, na osnovu stava UU, sledi da je AMP NAP. Iz AMP NAP AP : NP = NP : AP. Po sto je P AI jednakokraki to je P A = P I. Sada imamo: } P I : NP = NP : P I P IN P MI (SUS) IP N = MP I (zajedni cki) 2

3 3. Dat je trougao ABC u kome su poznate dve visine AA = h a, CC = h c i te zi sna du z CC 1 = t c. Ako je data ta cka D na du zi BA takva da C 1 D BC dokazati da je C 1 D = 1 2 h a. Tvrdenje dokazati bez primene teoreme o srednjoj liniji trougla. Kako je AA CB i C 1 D CB, to je AA C 1 D. Primenom Talesove teoreme dobijamo da je AB : C 1 B = AA : C 1 D. Kako je ta cka C 1 sredi ste du zi AB, to je AB : C 1 B = 2 : 1, pa je AB = 2C 1 B. Mo zemo zaklju citi: AA C 1 D = 1 2 2C 1D = AA C 1 D = 1 2 h a. 3

4 4. Neka je ABCD paralelogram. Na polupravoj DB uzeta je ta cka E tako da je poluprava AB simetrala ugla CAE. Neka je F ta cka preseka pravih CE i AB. Dokazati da je EC : EF = AB : BF. Kako je AB CD BF DC, pa na osnovu Talesove teoreme imamo EC : EF = DC : BF. Po sto je DC = AB, zamenom dobijamo EC : EF = AB : BF sto je i trebalo dokazati. 5. U pravoulom trouglu ABC, du z CD je visina na hipotenuzu AB. Ako uvedemo oznake da je AD = p, BD = q dokazati da je CD = pq. DAC = DCB = α kao uglovi sa normalnim kracima. Isto, ACD = CBD = β, pa je (na osnovu stava UU) DAC DCB sto povla ci proporcionalnost p : h = h : q. Odavde je h 2 = pq pa je h = pq. 4

5 6. Neka su AC i BD dve du zi koje se seku u ta cki S. Dokazati da ako je cetverougao ABCD tetivni onda je SA SC = SB SD. (Mnogougao je tetivni ako se oko njega mo ze opisati kru znica. Stranice su mu tada tetive te kru znice, pa otuda naziv tetivni.) DAS = CBS = ɛ - periferijski uglovi nad tetivom CD. ADS = BCS = µ - periferijski uglovi nad tetivom AB. Na osnovu stava UU je DAS CBS pa je SA : SB = SD : SC odakle je SA SC = SB SD. 7. Neka je S ta cka izvan kruga, prava p(s, T ) tangenta na krug u ta cki T i neka prava SCD se ce krug u ta ckama C i D. Dokazati da je ST 2 = SC SD. Ugao izmedu tangente i tetive jednak je periferijskom uglu nad tom tetivom CT S = SDT = δ. Ugao CST = T SD = θ je zajedni cki, pa na osnovu stava UU CST T SD ST : SC = SD : ST ST 2 = SC SD. 5

6 8. Doka zi da te zi ste deli te zi snu du z u razmeri 1 : 2. C 1 B 1 je srednja linija trougla ABC C 1 B 1 CB pa je B 1 C 1 T = BCT = ɛ i C 1 B 1 T = CBT = ψ kao uglovi sa paralelnim kracima. Na osnovu stava UU je B 1 C 1 T BCT B 1 C 1 : BC = C 1 T : CT. Po sto je C 1 B 1 srednja linija to je B 1 C 1 = 1 2 BC, tj. B 1C 1 : BC = 1 : 2 C 1 T : CT = 1 : 2 sto je i trebalo dokazati. 9. Dokazati da simetrala unutra snjeg ugla u trouglu deli naspremnu stranicu trougla u razmeri druge dve stranice. Povucimo kroz ta cku C pravu CE koja je paralelna sa simetralom AD. Tada su BAD = AEC = ψ i CAD = ACE = ψ kao uglovi sa paralelnim kracima. Zna ci da je trougao ACE jednakokraki jer ima dva jednaka ugla, pa je AE = AC. Kako je AD EC, na osnovu Talesove teoreme sledi da je BD : DC = BA : AE odakle zamenom AE = AC dobijamo BD : DC = BA : AC. 6

7 10. Dokazati da je rastojanje proizvoljne ta cke kru znice od njene tetive jednako geometriskoj sredini rastojanja od te ta cke do tangenti u krajnjim ta ckama iste tetive. (Geometrijska sredina dva broja jednaka je kvadratnom korenu njihovog proizvoda). Na osnovu slike treba dokazati da je AB (rastojanje ta cke A od tetive P Q) jednako geometrijskoj sredini du zina AM i AN (rastojanja ta cke A od tangenti t 1 i t 2 ), tj. da je AB = AM AN Ugao izmedu tangente i tetive jednak je periferijskom uglu nad tom tetivom, pa je NQA = QP A = λ i MP A = P QA = ω. Kad ovome dodamo jednakost pravih uglova ozna cenih na slici, na osnovu stava UU imamo dva para sli cnih trouglova: BP A NQA AB : AN = P A : QA P MA QBA AM : AB = P A : QA Kako su desne strane zadnje dve proporcije jednake, sledi da je AB : AN = AM : AB AB 2 = AN AM AB = AM AN 7