VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

Transcript

1 VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj AB. 1. (ƒevaova teorema) Prave AP, BQ i CR su paralelne ili se seku u jednoj ta ki (pripadaju jednom pramenu pravih) ako i samo ako je BP P C CQ AR QA RB = 1. 1 student-doktorant, Prirodno-matemati ki fakultet Ni² vesic_specijalac@yahoo.com 1

2 . (Menelajeva teorema) Ta ke P, Q i S su kolinearne (pripadaju jednoj pravoj) ako i samo ako je BP P C CQ AS QA SB = 1. Podsetimo se da je duºina d duºi AB norma vektora (d = AB ). AB Podsetimo se i da za proizvoljna dva vektora a i, i = 1, n vaºi nejednakost trougla a a n a a n. Jednakost u prethodnoj nejednakosti vaºi ako i samo ako su vektori a i, i = 1, n istosmerni, tj. a i = α i a1 za realne konstante α i 0. Uvedimo jo² neke neophodne pojmove: Neka su α 1,..., α n proizvoljni realni brojevi i neka su a 1,..., a n proizvoljni vektori. Vektor c = α 1 a α n a n je linearna kombinacija vektora a 1,..., a n. Vektori a 1,..., a n su linearno nezavisni ako iz α 1 a α n a n = 0, gde su α 1,..., α n realni brojevi, sledi da je α 1 = = α n = 0. Vektori koji nisu linearno nezavisni su linearno zavisni vektori. Poja²njenje 1 Ukoliko su vektori a 1,..., a n linearno zavisni, sledi da je bar jedan od parametara α 1,..., α n razli it od 0. Poja²njenje Ukoliko su vektori v 1,..., v k linearno zavisni, neki od tih vektora je mogu e predstaviti kao linearnu kombinaciju ostalih.

3 Poja²njenje 3 Ukoliko su vektori v 1,..., v k linearno nezavisni, linearnu kombinaciju c = α 1 v 1 + α k v k mogu e je na jedinstven na in predstaviti kao linearnu kombinaciju vektora v 1,..., v k. Napomena 1 Za proizvoljne ta ke A 1, A,..., A n je A 1 A + A A A n A 1 = 0. Iz prethodne napomene sledi da je zbir vektora odreženih stranicama zatvorenog mnogougla jednak 0. Pored toga, vektori odreženi stranicama trougla su jo² i po parovima linearno nezavisni. VEKTORI I TROUGLOVI Zadatak 1 Od teºi²nih linija trougla, mogu e je formirati trougao. RE ENjE: Uo imo proizvoljan trougao. odreženi teºi²nim linijama trougla. Neka su AP, BQ i CR vektori 3

4 Najpre je AP = AB + BP BQ = BC + CQ CR = CA + AR i kako su ta ke A 1, B 1 i C 1 sredi²ta duºi BC, CA i AB, sledi da je BP = BC + 1 BC, CQ = CA + 1 CA, AR = AB + 1 AB, tj. AP + BQ + CR = 3 ( ) AB + BC + CA = 0. Dokaºimo da su vektori AP, BQ i CR linearno nezavisni po parovima. Dovoljno je, bez umanjenja op²tosti, dokazati linearnu nezavisnost jednog para, recimo AP i BQ. Kako je AP = AB + 1 BC, BQ = BC + CA = BC + 1 ( CB + BA ), to za proizvoljne realne konstante α i β vaºi da je ( 0 = αap + βbq = α + β ) AB + ( α + β ) BC. Kako su vektori AB i BC linearno nezavisni sledi da je { α + β = 0 α + β = 0 Re²avanjem prethodnog sistema dobijamo da je α = β = 0, ime je dokazana linearna nezavisnost vektora AP i BQ. Analognim postupkom dokazujemo i linearnu nezavisnost vektora druga dva para ime je zadatak zavr²en. 4

5 Zadatak Ta ke P i Q su ta ke na stranicama BC i AC trougla ABC, pri emu je BP : CP = 1 : 4 i CQ : QA = : Ako je R ta ka preseka pravih AB i P Q, odrediti odnos AR. RB. Neka je S ta ka prave AB. Odrediti odnos AS. SB tako da su ta ke P, Q i S kolinearne. Re²enje: Re²enje ovog zatatka sledi direktno iz teorema blizanaca. 1. Iz sledi da je AR RB = 6 1. BP P C CQ AR QA RB = 1 5

6 . Analogno prethodnom, sledi da je AS SB = 6 1. Zadatak 3 Neka ta ka Q stranice AC deli stranicu AC trougla ABC u razmeri AQ : QC = n b : m b. Neka jo² i ta ka R stranice AB trougla ABC deli stranicu AB u odnosu AR : RB = n c : m c. Ako je ta ka D ta ka preseka duºi BQ i CR, odrediti odnose BD : DQ i CD : DR. RE ENjE: Ovaj zadatak emo re²iti pomo u vektora. Za po etak, imamo da je BD = p BQ i CD = q CR, gde su p i q realni brojevi, 0 < p, q < 1 (zbog rasporeda ta aka B D Q, C D R). BQ + Kako je nc m c+n c BQ = BA + AQ = AC sledi da je BA + n b m b +n b AC i CR = CA + AQ = 6

7 BD = p BB 1 = p BA + DR = (1 q) CR = (1 q) CA + C 1 B = m c AB m c + n c pn b AC, m b + n b n c AB, m c + n c Kako je 0 = BD + DR + RB = p BA + ( p + ( (1 q) CA + q n c m c + n c 1 to zbog linearne nezavisnosti vektora pn b AC+ m b + n b ) n c AB + m c AB = m c + n c m c + n c ) ( ) p nb BA + + q 1 AC, m b + n b BA i { p + q n c m c+n c = 1 p n b m b +n b + q = 1 AC sledi da je Re²avanjem prethodnog sistema jedna ina, dobijamo da je p = m b m c + n b m c m b m c + n b m c + m b n c BD : DQ = p : (1 p) = (m b m c + n b m c ) : (m b n c ), odnosno q = m b m c + m b n c m b m c + n b m c + m b n c CD : DR = q : (1 q) = (m b m c + m b n c ) : (n b m c ). 7

8 3 VEKTORI I ƒetvorouglovi Zadatak 4 Dat je paralelogram ABCD. Ta ke E i F stranica BC i CD paralelograma dele te stranice u razmerama BE : EC = 1 : 1 i CF : F D = : 1. Dijagonala BD paralelograma ABCD se e duºi AE i AF u ta kama K i L. Odrediti odnos BK : KL : LD. RE ENjE: Neka se dijagonale paralelograma seku u ta ki O. To zna i da je AO : OC = 1 : 1. Posmatrajmo trougao ABC. U zadatku. smo dokazali da je BK : KO = : 1. Kako se dijagonale paralelograma polove sledi da je 1 : BK = 6 BD, : KO = 1 6 BD. Posmatrajmo trougao ADC. U zadatku. smo takože dokazali da je DL : LO = 1 : 1. Odatle sledi da je 1 : OL = 1 OD = 1 4 BD, : LD = OL = 1 4 BD. Kako je KL = KO + OL = 5 DB to je 1 BK : KL : LD = 4 : 5 : 3. 8

9 4 VEKTORI I MNOGOUGLOVI Zadatak 5 Neka je ABCDEF konveksni ²estougao kod koga je AB DE. Neka je K sredi²te duºi odrežene sredi²tima stranica AF i CD i neka je L sredi²te duºi odrežene sredi²tima stranica BC i EF ²estougla ABCDEF. Dokazati da se ta ke K i L poklapaju ako i samo ako su duºi AB i DE jednake. RE ENjE: Neka je P sredi²te stranice AF, Q sredi²te stranice BC, R sredi²te stranice CD i S sredi²te stranice EF. Ta ke K i L su sredi²ta duºi P R i QS, respektivno. Sada je { KL = KP + P F + F S + SL, KL = KR + RC + CQ + QL. Sabiranjem prethodne dve jednakosti i kori²cenjem injenice da su duºi P S i QR srednje linije trouglova AEF i BCD dobijamo da je KL = 1 ( ) P S + QR. je Kako su duºi P S i QR srednje linije trouglova AEF i BCD, sledi da KL = 1 ( ) ( 0 ) AE + DB = ED BA = (1 + α) AB. 4 Sada je jasno da se ta ke K i L poklapaju ( KL = 0 ) ako i samo ako je 1 + α = 0, tj. ako i samo ako su duºi (ne vektori) AV i DE jednake. 9

10 5 Vektori i krug U ovom delu posmatra emo vektore primenjene na trougao i krug opisan oko tog trougla. Naredna slika je zajedni ka za slede a tri zadatka: Zadatak 6 Neka su O i H centar opisanog kruga i ortocentar trougla ABC. Ako su A 1, B 1 i C 1 sredi²ta stranica BC, CA i AB trougla ABC, onda je OA 1 = OB 1 = OC 1 = AH, BH, CH. OA 1 i RE ENjE: Dokaºimo prve dve jednakosti. Vektori pa je OA 1 = αah i analogno OB 1 = β odrediti. Kako je HB i s druge strane B 1 O + BA 1 = 1 AB = 1 AH + 1 OA 1 = βhb + α AH, zaklju ujemo da je ( ) ( ) 1 1 β HB α AH = 0. AH su kolinearni BH, za neke α, β R, koje treba B 1 A 1 = 10

11 HB i Zbog linearne nezavisnosti vektora AH. Druge dve jednakosti se dokazuju analogno. AH je α = β = 1, tj. OA 1 = Zadatak 7 (Hamiltonova teorema) Ako su ta ke O i H centar opisanog kruga i ortocentar trougla ABC, dokazati da je OA + OB + OC = OH. RE ENjE: Neka je A 1 sredi²te stranice BC trougla ABC. prethodnom zadatku, zna i da je To, prema OA + OB + OC = OA + OA 1 = OA + AH = OH, ²to je i trebalo dokazati. Zadatak 8 Ako su O i H centar opisanog kruga i ortocentar trougla ABC onda je ( ) OA + OB + OC = AH + BH + CH. RE ENjE: U zadatku 5. smo dokazali da je AH + BH + CH = OA 1 + OB 1 + OC 1, gde su A 1, B 1 i C 1 sredi²ta stranica BC, CA i AB trougla ABC. Odatle je AH + BH + CH (( = OB + ) ( BA1 + OC + ) ( CB1 + OA + )) AC1. Kona no je AH + BH + CH ( ) ( ) = OA + OB + OC + BC + CA + AB, odnosno AH + BH + CH ( ) = OA + OB + OC. 11

12 Zadatak 9 Na krugu k(o, R) date su ta ke A, B i C. Ako je odrediti uglove trougla ABC. AO + BO + CO = 0, RE ENjE: Neka je H ortocentar trougla ABC. Na osnovu Hamiltonove teoreme je AO + BO + CO = OH, pa iz uslova zadatka sledi da je OH = 0, tj. ta ke O i H se poklapaju. Odatle sledi da je trougao ABC jednakostrani an pa su sva tri ugla tog trougla jednaka A = B = C = 60. Zadatak 10 Neka je R polupre nik opisanog kruga oko trougla ABC. Ako je H ortocentar trougla ABC, dokazati da je R OH 3, gde je O centar opisanog kruga trougla ABC. 1

13 RE ENjE: Iz Hamiltonove teoreme sledi da je Kako je OA = OH = OA + OB + OC. ( ) OB = OC = R, kori² enjem nejednakosti trougla primenjene na jednakost ( ) dobijamo da je OH = OH 3R, odnosno 6 Za doma i R OH 3. Zadatak 11 Na pravoj p date su razli ite ta ke A 1, A,... A n. Na pravoj q date su ta ke B 1, B,..., B n za koje je B 1 B : B B 3 :... : B n 1 B n = A 1 A : A A 3 :... : A n 1 A n. Dokazati da sredi²ta S 1, S,... S n duºi A 1 B 1, A B,..., A n B n pripadaju jednoj pravoj. 13