Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598

Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

'Ασκηση. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, για την οποία ισχύουν: lim f, lim f και f για κάθε, με f f α) Να αποδείξετε ότι η f i) είναι γνησίως αύξουσα στο και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii) έχει μοναδική ρίζα την f β) Να αποδείξετε ότι f, για κάθε γ) i) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο δ) Να γίνει ο πίνακας μεταβολών της f και πρόχειρη γραφική της παράσταση. (ΟΕΦΕ ) 'Ασκηση. Έστω η συνάρτηση ln a f, a Α. Αν η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο, ευθεία y, να βρείτε την τιμή του α. Β. Για a α) Να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της f. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο 8 M f είναι παράλληλη στην (ΟΕΦΕ 3) 'Ασκηση 3. Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο με f g f για κάθε Αν το όριο L lim, g f εφαρμόσουμε τον κανόνα του ορίου του πηλίκου, παρουσιάζεται απροσδιοριστία της μορφής α) i) Να υπολογίσετε το όριο L ii) Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g στο β) Να αποδείξετε ότι η g έχει το πολύ μία ρίζα στο γ) Να αποδείξετε ότι: f g 4 για κάθε 'Ασκηση 4. Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες στο με g f g, f g και για κάθε (ΟΕΦΕ 4) α) Να αποδείξετε ότι: i) g g f, ii) Η g είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα,,, και έχει ακρότατο το. β) i) Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

ii) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της O, γ) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου, που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y,, να δείξετε ότι: E ln g τ.μ. (ΟΕΦΕ 4), 'Ασκηση 5. Έστω η συνάρτηση f ln α) Να αποδείξετε ότι f β) Να βρείτε το lim ln, f γ) Να μελετήσετε τα κοίλα της f και να βρείτε το σημείο καμπής της δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ln g, τον άξονα και τις ευθείες και (ΟΕΦΕ 5) 'Ασκηση 6. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύουν f f f για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f f f β) Να βρείτε το lim f για κάθε I f d γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα δ) Να αποδείξετε ότι f d 4, και ότι ισχύει όπου a. f και (ΟΕΦΕ 5) 'Ασκηση 7. Δίνεται η συνάρτηση f a α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο, f β) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο είναι αρνητικό. γ) Έστω Ea το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη της στο, f και την ευθεία a, a a a i) Να αποδείξετε ότι E a a τ.μ. ii) Να βρείτε το lim E a a Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 3

f a 'Ασκηση 8. Έστω η συνάρτηση y,. Αν η ευθεία εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο M, f, τότε: α) Να αποδείξετε ότι α =. β) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία lim f και lim γ) Να υπολογίσετε τα όρια f δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 7 έχει ακριβώς μία λύση στο. g 'Ασκηση 9. Δίνεται η συνάρτηση G. α) Να μελετήσετε ως προς τα κοίλα την συνάρτηση G β) Να αποδείξετε ότι: G για κάθε γ) Να αποδείξετε ότι g d a a g d για κάθε a και G μία παράγουσα της g στο με (ΟΕΦΕ 7) δ) Το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από γραφική παράσταση της G, τον άξονα και τις ευθείες, είναι E G ln τ.μ. (ΟΕΦΕ 7), αν 'Ασκηση. Δίνεται η συνάρτηση f, αν α) Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής. β) Να βρείτε την τιμή του μ, ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο γ) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι δ) Για λ = και μ =, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f d, (ΟΕΦΕ 8) 'Ασκηση. Δίνεται η συνάρτηση, f α) i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία ii) Να αποδείξετε ότι f, να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε το σημείο καμπής της γραφικής της παράστασης. β) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να παραστήσετε γραφικά την f δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f άξονες, yy και την ευθεία ln 'Ασκηση. Δίνεται η συνάρτηση f ln, του (ΟΕΦΕ 8) Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 4

α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα διαστήματα στα οποία είναι κυρτή ή κοίλη. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της f. ln γ) Αν g, να δείξετε ότι υπάρχει ώστε g g για κάθε δ) Να δείξετε ότι για κάθε f f f 4 ισχύει: (ΟΕΦΕ 9) 'Ασκηση 3. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: α) Να δείξετε ότι f f και f β) i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη ii) Να δείξετε ότι f d f γ) Αν g, να βρείτε το εμβαδόν E t του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της g τον άξονα και τις ευθείες και t με t lim E t δ) Να βρείτε το (ΟΕΦΕ 9) 'Ασκηση 4. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, τέτοια, ώστε για κάθε ισχύουν f f και f α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι β) Να δείξετε ότι f ln για κάθε f γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση h τιμών της. ως προς την μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο δ) Να λύσετε την εξίσωση αν, ε) Να εξετασθεί η h ως προς την κυρτότητα και να δείξετε ότι για κάθε, με ισχύει h h 'Ασκηση 5. Δίνεται η συνάρτηση : 5 3 f με 4 όπου, η οποία παρουσιάζει στο σημείο καμπή. α) i) Να αποδείξετε ότι ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη. (ΟΕΦΕ ) f, για κάθε Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 5

f β) Να βρείτε το όριο lim 3 f γ) i) Να βρείτε την αρχική της f της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A, ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f και τον άξονα. (ΟΕΦΕ ) 'Ασκηση 6. Έστω μία συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f f για κάθε α) Να αποδείξετε ότι: i) f f ii) Υπάρχει, και f τέτοιο, ώστε: f β) Έστω επιπλέων, ότι η f είναι παραγωγίσιμη και i) Να βρείτε την f της f στο σημείο της με τετμημένη. f f ii) Να υπολογίσετε το όριο lim f για κάθε και να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης f g 'Ασκηση 7. Δίνονται οι συναρτήσεις και ln α) Να βρείτε τις συνθέσεις f g και g f και να εξετάσετε αν είναι ίσες. β) Να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφή και να βρείτε την γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση δ) Να αποδείξετε ότι (ΟΕΦΕ ) f ln έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, lim f lim g g f f g (ΟΕΦΕ ) 'Ασκηση 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f, G και F, οι οποίες είναι ορισμένες στο διάστημα, με f παραγωγίσιμη και G δύο φορές παραγωγίσιμη στο ίδιο διάστημα. Έστω ότι ισχύουν f, G και για κάθε είναι f, G και F παράγουσα της f με F α) Να αποδείξετε ότι F και G για κάθε β) Να υπολογίσετε το όριο lim F ln και να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε F f ln Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 6

γ) Δίνεται επιπλέον, ότι f F f G G G Να αποδείξετε ότι: F G, για κάθε i) για κάθε. ii) Για κάθε, οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των F, G στα σημεία τους B, F και, G αντιστοίχως τέμνονται σε σημείο Α του άξονα yy και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισεμβαδικό με το χωρίο, που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των F, G και την ευθεία (ΟΕΦΕ 3) 'Ασκηση 9. Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο με f, f f g ικανοποιούν τις σχέσεις και α) Να αποδείξετε ότι f g β) i) Να υπολογίσετε το g ii) Να αποδείξετε ότι lim g g γ) Αν, επιπλέον ισχύει i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. για κάθε, τότε ii) Να αποδείξετε ότι, για κάθε, από το σημείο M, της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h με h g και f, για κάθε. άγονται το πολύ τρείς εφαπτόμενε 'Ασκηση. Δίνονται οι συναρτήσεις f :, και :, ισχύουν: Η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε f ln 3, για κάθε f ln G, για κάθε f 3 ln για κάθε f f α) Να δείξετε ότι β) i) Να δείξετε ότι η εξίσωση, ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση 3, iii) Να λύσετε την ανίσωση (ΟΕΦΕ 4) G για τις οποίες ln 3 έχει δύο ακριβώς λύσεις, στο διάστημα 3 ln a έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα ln ln ln για κάθε γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε η συνάρτηση G να παρουσιάζει στη θέση τοπικό μέγιστο και ισχύει η σχέση (ΟΕΦΕ 5) Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 7