Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné s danou priamkou, vznikne nekonečná hranolová plocha nekonečný hranol. Ak teraz zobereme dve rovnobežné roviny, ktoré prechádzajú hranolovou plochou, vznikne hranol (prizma), ako časť nekonečnej hranolovej plochy medzi rovnobežnými rovinami (spoločná časť hranolovej plochy s vrstvou). podstavy (dolná: ABCD a horná: A'B'C'D') dva rovnobežné, zhodné mnohouholníky (zhodné aj s určujúcim útvarom) výška: v vzdialenosť podstáv hrana podstavy (podstavná hrana: AB, BC,, C'D', D'A') každá strana podstáv bočná hrana (AA', BB', CC', DD') spojnica vrcholov dolnej a hornej podstavy rovnobežná s danou priamkou; sú navzájom rovnobežné a zhodné strany hranola spojnice hraničných bodov dolnej a hornej podstavy rovnobežné s danou priamkou okrem bočných hrán bočná stena (ABB'A', BCC'B', ) sú ohraničené susednými bočnými hranami a dvomi podstavnými hranami; sú to rovnobežníky; ich počet sa rovná počtu vrcholov (strán) podstavy plášť hranola súhrn bočných stien stenová uhlopriečka: us (AB', BA', BC', CB', ) každá uhlopriečka každej bočnej steny (spojnica vrcholov dolnej a hornej podstavy) telesová uhlopriečka: ut každá spojnica vrcholov dolnej a hornej podstavy, ktorá neleží v bočnej stene kolmý hranol bočné hrany sú kolmé na podstavy bočné steny sú kolmé na podstavy výška telesa je rovnaká, ako dĺžka bočných hrán
kosý (šikmý) hranol ak hranol nie je kolmý (bočné hrany zvierajú s podstavami iný uhol ako pravý) pravidelný n-boký hranol podstavy sú pravidelné n-uholníky rovnobežnosten všetky steny aj podstavy sú rovnobežníky tri dvojice stien sú zhodné kváder štvorboký kolmý hranol s obdĺžnikovou podstavou všetky steny sú obdĺžniky kocka kváder so štvorcovými stenami jedno z piatich pravidelných (Platónskych) telies
D. Teleso je pravidelné, ak má všetky hrany zhodné, všetky uhly hrán zhodné a všetky uhly stien zhodné. P. Pravidelné telesá majú všetky steny zhodné. všeobecný hranol: S = 2Sp + Spl V = Sp.v kváder: kocka: príklad: S = 2(ab + ac + bc) V = abc us1 = + us2 = + us3 = + ut = + + S = 6a 2 V = a 3 us = 2a ut = 3a Aký objem má štvorboký kosý hranol s podstavnými hranami s dĺžkou a = 1,0 m, b = 1,1 m, c = 1,2 m, d = 0,7 m, ak bočná hrana s dĺžkou h = 3,9 m má odchýlku os podstavy 20,35 a hrany a, b zvierajú uhol s veľkosťou 50,5? podstavu sme rozdelili na dva trojuholníky: ABC a ACD obsah prvého ( ABC) počítame z dvoch strán a nimi zovretého uhla S1 =.., =.,., = 0,424 m 2 vypočítame kosínusovou vetou uhlopriečku e, ako tretiu stranu ACD, ako chýbajúcu stranu ABC e 2 = a 2 + b 2 2ab.cos 50,5 = 1 2 + 1,1 2 2.1.1,1.cos 50,5 = 0,811 e = 0,900 m obsah druhého ( ACD) počítame z troch strán pomocou Herónov-ho vzorca s = =,,, = 1,400 S2 = ss c!s d!s e! = 1,41,4 1,2!1,4 0,7!1,4 0,9! = 0,313 Sp = S1 + S2 = 0,424 + 0,313 = 0,738 m 2 bočná hrana s podstavou a výškou tvoria pravouhlý trojuholník využijeme goniometrickú funkciu
sin 20,35 = ) v = h.sin 20,35 = 3,9.sin 20,35 = 1,356 * V = Sp.v = 0,738.1,356 = 1,000 m 3 Objem kocky je a, 216 cm 3 ; b, 0,512 m 3 ; c, 8 dm 3. Vypočítajte povrch kocky. Povrch kocky je a, 600 cm 2, b, 0,54 m 2, c, 150 dm 2. Vypočítajte dĺžku hrany kocky. Vypočítajte hmotnosť kocky s hranou dĺžky 15 cm vyrobenej z a, dubového dreva +ρ = 800 /0 123, b, betónu +ρ = 2200 /0 /0 123, c, železa +ρ = 7250 1 23. Dĺžky hrán kvádra sú v pomere 2 : 4 : 6. Vypočítajte ich dĺžku, ak viete, že povrch kvádra je 5 632 m 2. Vypočítajte objem kolmé hranola, ak: a, dĺžka výšky je 60,8 cm a podstava je pravouhlý trojuholník s odvesnami dĺžky 40,4 cm a 43 cm, b, dĺžka výšky je 17,5 cm a podstava je rovnoramenný trojuholník so základňou dĺžky 5,8 cm a ramenom dĺžky 3,7 cm, c, dĺžka výšky je 9,6 cm a podstava je rovnostranný trojuholník so stranou dĺžky 4,8 cm. Vypočítajte objem kolmé hranola, ak: a, dĺžka výšky je 12 cm a podstava je trojuholník so stranami dĺžky 9 cm, 10 cm, 11 cm, b, dĺžka výšky je 40 cm a podstava je trojuholník určený dĺžkou dvoch strán 22 cm, 30 cm a veľkosťou uhla zovretého stranami β = 97,65, c, dĺžka výšky je 4,8 m a podstava je pravidelný šesťuholník so stranou dĺžky 0,8 m. Pravidelný šesťboký hranol je vysoký 2 cm. Polomer kružnice opísanej podstave je 8 cm. Určte objem a povrch. Povrch a objem valca D. Daný je krivkami ohraničený rovinný útvar (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou útvaru. Ak hraničnými bodmi útvaru vedieme priamky rovnobežné s danou priamkou, vznikne nekonečná valcová plocha nekonečný valec. Ak teraz zobereme dve rovnobežné roviny, ktoré prechádzajú valcovou plochou, vznikne valec, ako časť nekonečnej valcovej plochy medzi rovnobežnými rovinami (spoločná časť valcovej plochy s vrstvou).
podstavy (dolná a horná) dva rovnobežné, zhodné krivkami ohraničené rovinné útvary (zhodné aj s určujúcim útvarom) výška: v vzdialenosť podstáv strany valca spojnice hraničných bodov dolnej a hornej podstavy rovnobežné s danou priamkou plášť valca súhrn strán valca kolmý valec strany sú kolmé na podstavy plášť valca po rozvinutí je obdĺžnik: jeden rozmer je obvod podstavy a druhý je výška telesa výška telesa je rovnaká, ako dĺžka strán kosý (šikmý) valec ak valec nie je kolmý (strany zvierajú s podstavami iný uhol ako pravý) rotačný valec kolmý valec s kruhovou podstavou P. Rotačné teleso vznikne rotáciou rovinného útvaru okolo priamky (osi). Rotačný valec dostaneme rotáciou obdĺžnika okolo jednej strany. všeobecný valec: S = 2Sp + Spl V = Sp.v rotačný valec: S = 2πr 2 + 2πrv = 2πr(r + v)
príklad: V = πr 2 v Koľko nafty je vo vodorovnej valcovej nádrži v tvare rotačného valca s výškou dĺžky 10 m, keď šírka hladiny je 1 m a hladina je 20 cm pod hornou stranou valca (pozri obrázok)? môžeme využiť Pytagorovú vetu r 2 = 0,5 2 + x 2 r 2 = 0,5 2 + (r 0,2) 2 r 2 = 0,25 + r 2 0,4r + 0,04 /- r 2 0 = 0,29 0,4r /+0,4r 0,4r = 0,29 /:0,4 r = 0,725 m sin α =, =, = 0,690 α = 43 36' 5, ω = 360 2α = 360 87 12' = 272 48' vypočítali sme stredový uhol, pomocou ktorého môžeme vypočítať obsah kruhového odseku, čo je podstavou valca Daný je rotačný valec: Sp = 678.ω 9: =.sinω = 6.,8.272 48 @ 9:.0,725.sin272 48 = 1,514 m 2 V = Sp.v = 1,514.10 = 15,14 m 3 a, r = 5 cm; v = 10 cm; vypočítajte Spl, S, V b, Spl = 400 cm 2 ; v = 8 cm; vypočítajte r, V c, Spl = 1 m 2 ; r = 50 cm; vypočítajte v, V d, V = 0,5 m 3 ; r = 0,6 cm; vypočítajte v, S V rotačnom valci je dané: a, V = 120 m 3 ; v = 4 cm; vypočítajte r, Spl b, Spl = 500 cm 2 ; S = 1 100 cm 2 ; vypočítajte r, v, V c, Spl = 96 cm 2 ; V = 192 cm 3 ; vypočítajte r, v Obvod podstavy rotačného valca je taký veľký ako jeho výška. Aký je priemer a výška valca s objemom 1 liter? Hliníkový drôt s priemerom 3 mm má celkovú hmotnosť 1,909 kg a hustotu 2 700 /0 12. Aký dlhý je zväzok drôtu? Vonkajší obvod mosadznej rúrky 30 cm dlhej meria 3,2 cm. Jej hmotnosť je 47,5 g a hustota mosadze je 8 500 /0 12. Aká je hrúbka steny rúrky?