Matematika za 4. letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo-

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA Matematika za 4. letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo- Avtor: Samo Žerjal Nova Gorica, november 016

KAZALO 1 Trigonometrija... 3 1.1 Grafi in lastnosti kotnih funkcij... 3 1. Zveze med kotnimi funkcijami... 6 1.3 Adicijski izreki... 7 1.4 Kotne funkcije dvojnih kotov... 7 1.5 Kot med premicama... 11 Zaporedja... 1.1 Graf zaporedja... 1. Lastnosti zaporedja... 1.3 Aritmetično zaporedje... 13.4 Končna aritmetična vrsta... 14.5 Geometrijsko zaporedje... 14.6 Končna geometrijska vrsta... 14.7 Obrestni račun... 15 3 Obdelava podatkov... 18 3.1 Osnovni pojmi... 18 3. Urejanje in grupiranje podatkov... 18 3.3 Grafično prikazovanje podatkov... 19 3.4 Srednje vrednosti podatkov... 19 4 Geometrijska telesa... 4 4.1 Prizma... 4 4. Valj... 6 4.3 Krogla... 7 4.4 Stožec... 7 4.5 Piramida... 8 5 Odvod... 35 5. Stacionarne točke... 36 5.3 Analiza funkcij... 37 6 Kombinatorika... 40 6.1 Osnovni izrek kombinatorike ali pravilo produkta... 40 6. Pravilo vsote... 41 6.3 Permutacije... 4 6.4 Variacije... 4 1

6.5 Kombinacije... 43 6.6 Binomski izrek... 44 7 Verjetnost... 47 7.1 Računanje z dogodki... 47 7. Verjetnost dogodka... 47 8 Literatura in viri... 50

1 Trigonometrija V koordinatni sistem narišemo enotsko krožnico (krožnico s polmerom 1) in označimo točko T(1, 0). Če točko T zavrtimo za poljuben kot α okrog koordinatnega izhodišča sta koordinati dobljene točke T(x, y) odvisni od kota α. Izkaže se, da je abscisa toče T ravno cos α, ordinata pa sin α. Definirajmo: cos α = x, sin α = y sin Definirajmo še tangens in kotangens: tan α =, ctan α = cos imenovalca obeh ulomkov ne smeta biti enaka 0. cos, pri tem pa dodajmo da sin Ker je kote moč meriti v kotnih stopinjah ali v radianih si poglejmo, kakšna je zveza za preračunavanje iz kotnih stopinj v radiane in obratno. Osnovna enota za merjenje kotov je kotna stopinja. Kot velikosti 1 je 360. del polnega kota. Poznamo še kotno minuto (1 = 60') in kotno sekundo (1' = 60''). Za računanje s kotnimi funkcijami je primernejše merjenje kotov v radianih. Osnovna zveza: 180 = π radianov. 1 = 180, besedo radianov običajno ne pišemo. 1.1 Grafi in lastnosti kotnih funkcij 1. Funkcija sinus je realna funkcija, podana s predpisom: f(x) = sinx. Njene lastnosti so : Definicijsko območje so vsa realna števila: D f = Zaloga vrednosti je zaprti interval od 1 do 1: Z f = [ 1, 1] Je periodična z osnovno periodo π : sin(x + kπ) = sinx Funkcija je liha: sin(-x) = - sin(x); graf je simetričen glede na koordinatno izhodišče. Je pozitivna za kote v prvem in drugem kvadrantu. Je negativna za kote v tretjem in četrtem kvadrantu. Presečišča z abscisno osjo (ničle): x = kπ ; k є 3

Maksimumi so x = + kπ ; k є Minimumi so x = + kπ ; k є Funkcija f(x) = Asin(ax) opisuje sinusno nihanje. Število A imenujemo amplituda, a pa frekvenca sinusnega nihanja. Funkcija ima osnovno periodo, zalogo vrednosti pa interval [- A, A]. a Primer: Nariši funkcijo f(x) = 3sinx.. Funkcija kosinus je realna funkcija, podana s predpisom: f(x) = cosx. Njene lastnosti so: Definicijsko območje so vsa realna števila: D f = Zaloga vrednosti je zaprti interval od 1 do 1: Z f = [ 1, 1] Je periodična z osnovno periodo π : cos(x + kπ) = cosx ; k є Funkcija je soda: cos(-x) = cos(x) ; graf je simetričen glede na ordinatno os. Je pozitivna za kote v prvem in četrtem kvadrantu. Je negativna za kote v drugem in tretjem kvadrantu. Presečišča z abscisno osjo (ničle): x = + kπ ; k є Maksimumi: x = kπ; k є Minimumi: x = π + kπ ; k є 4

Funkcija f(x) = Acos(ax) opisuje sinusno nihanje. Število A imenujemo amplituda, a pa frekvenca sinusnega nihanja. Funkcija ima osnovno periodo, zalogo vrednosti pa interval [- A, A]. a Primer: Nariši funkcijo f(x) = 3cosx. 3. Funkcija tangens je realna funkcija, podana s predpisom: f(x) = tanx. Njene lastnosti so: D f = \ { + kπ ; k є } Z f = Presečišča z abscisno osjo (ničle): x = kπ ; k є Poli: x = + kπ ; k є Dopolni! Funkcija tangens je periodična s periodo. Funkcija tangens je funkcija, saj velja tan(-x) = - tan(x). Funkcija tangens je povsod tam, kjer je definirana. 5

4. Funkcija kotangens je realna funkcija, podana s predpisom: f(x) = ctanx. Njene lastnosti so: D f = \ {kπ ; k є } Z f = Presečišča z abscisno osjo (ničle): x = Poli: x = kπ ; k є + kπ ; k є Dopolni! Funkcija kotangens je periodična s periodo. Funkcija kotangens je funkcija, saj velja ctan(-x) = - ctan(x). Funkcija kotangens je povsod tam, kje je definirana. Osnovne zveze med kotnimi funkcijami so: 1. Zveze med kotnimi funkcijami sin x + cos x = 1 1 + tan x = 1 cos x 1 + ctan x = 1 sin x Kotne funkcije komplementarnih kotov sin cos cos sin Podobna zveza velja za kotni funkciji tangens in kotangens: tan c tan c tan tan 6

Kotne funkcije suplementarnih kotov sin tan sin cos cos tan c tan c tan Velja še: sin sin cos cos 1.3 Adicijski izreki sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan 1.4 Kotne funkcije dvojnih kotov sin sin cos cos cos sin Naloge. 1. Natančno izračunaj koordinate točk A in B. 7

5. Točko B dobimo tako, da točko A(1,0) zavrtimo za kot. Zapiši koordinate točke B. 6 3. Zapiši nove koordinate točke T(1,0), če jo zavrtimo okrog koordinatnega izhodišča za kote: a) 30 b) 60 c) 4 3 d) 5 3 e) 145 4. V natančni obliki zapiši koordinate točke T, ki jo dobimo tako da točko T (1,0) zavrtimo za kot 135 okoli koordinatnega izhodišča. Koliko znaša dolžina loka, ki ga pri danem vrtenju opiše točka T? 5. Natančno izračunaj spodnje vrednosti ter uredi števila po velikosti. 5 sinπ, cos30, cos15, cos, sin10 3 6. Izrazi z vrednostmi iste funkcije ostrega kota: 5 a) sin 175 b) cos 4 7. Izračunaj natančno vrednost izraza : 7 c) sin 8 d) cos 10 a) cos 30 sin 150 cos 300 sin 45 7 b) cos sin sin + sin 3 4 6 5 c) ( sin sin ) (cos + cos ) 3 6 8. Izrazi z vrednostmi iste funkcije ostrega kota in natančno izračunaj vrednost izraza: cos 315 (sin 10 + cos 150 ) sin 40 9. Na sliki je prikazan graf funkcije na intervalu [-, ]. Z grafa razberi in zapiši: a) ničle, začetno vrednost ter lokalne ekstreme funkcije. b) zalogo vrednosti in osnovno periodo funkcije. c) funkcijski predpis za graf na sliki. 8

10. Zapiši funkcijski predpis in zalogo vrednosti za funkcijo, katere graf je na sliki. Kolikšna je osnovna perioda funkcije? 11. Nariši grafe funkcij in zapiši njihove lastnosti (ničle, lokalne ekstreme, D f, Z f, začetno vrednost). a) f(x) = sinx b) f(x) = cosx c) f(x) = tanx d) f(x) = - sinx e) f(x) = - cosx f) f(x) = sinx g) f(x) = cosx h) f(x) = sinx i) f(x) = cosx j) f(x) = sin3x k) f(x) = sin x l) f(x) = 3cos x 3 m) f(x) = -sin x n) f(x) = -cos4x o) f(x) = 1 cosx p) f(x) = -3cos 3 x r) f(x) = sin x 3 s) f(x) = -sin 4 3x 9

1. V dani koordinatni sistem nariši graf funkcije f(x) = sinx na intervalu [-, ]. Zapiši ničle funkcije, začetno vrednost ter abscise minimumov in maksimumov. 13. V dani koordinatni sistem nariši graf funkcije f(x) = sinx na intervalu [-, ]. Zapiši ničle funkcije, začetno vrednost ter abscise minimumov in maksimumov. 14. Izračunaj natančno vrednost cos, če je sin = 1 in 5 3 < α < π. 15. Natančno izračunaj cos, če je 70 360 in sin = - 4 1. 7 3 16. Naj bo sinα = - in α. Izračunaj natančne vrednosti izrazov: 4 a) cosα b) tanα 17. Reši enačbe. a) sinx = 3 b) cosx = 1 c) sin3x = x 3 d) cos = 18. Natančno izračunaj: a) sin75 b) cos15 sin135 19. Pokaži, da velja: 1 1 1 x = sin x cos x sin 1 sin x 1 sin x 10

1.5 Kot med premicama Smerni koeficient premice je enak tangensu naklonskega kota premice: k = tan α Kot med premicama s smernima koeficientoma k 1 in k izračunamo po enačbi: tan k k1 1 k k 1 Naloge. 1. Določi naklonski kot premice y = x + 3.. Koliko je smerni koeficient premice, če je njen naklonski kot 45? 3. Izračunaj kot med premicama: a) y = x 1, y = -x + 5 b) y = 3x +, y = x c) y x 4 3, y = -3x d) x + y 3 = 0, -x + y + 6 = 0 11

Zaporedja Zaporedje je funkcija, ki slika iz množice naravnih števil v realna števila f :. f(n) = a n Funkcijske vrednosti f(1) = a 1, f() = a so členi zaporedja, a n je splošni člen zaporedja. Ker je zaporedje posebna funkcija, namesto oznake f(n) uporabljamo oznako a n. Zaporedje lahko podamo na 3 različne načine: 1. Podamo pravilo za splošni člen: a n = n + 1 o Iz pravila izračunamo člene tako, da v predpis vstavljamo vrednosti za n.. Podamo člene zaporedja: 1, 1, 31, 41,... o Iz danih členov lahko ugotavljamo pravilo. Pravil, ki ustrezajo, lahko najdemo več. 3. Podamo prvih nekaj členov, za tem pa pravilo: a 1 = 0, a = 1, a n+ = a n + a n+1 o Iz podanih členov in pravila izračunamo naslednje člene zaporedja..1 Graf zaporedja Ker je zaporedje funkcija, lahko narišemo graf zaporedja. Graf zaporedja je množica točk v ravnini. Graf je diskreten. To pomeni, da točk med seboj ne povežemo, ker so definicijsko območje zaporedja samo naravna števila.. Lastnosti zaporedja 1. Končno neskončno Zaporedje je lahko končno ali neskončno. Pri končnem zaporedju poznamo zadnji člen, pri neskončnem pa ne. Primer končnega zaporedja: 1,, 3, 4, 5. Primer neskončnega zaporedja: 1,, 3, 4,.... Narašča pada Zaporedje lahko narašča, lahko pada, lahko je konstantno, lahko pa nič od tega (nekaj časa narašča, potem pada, potem spet narašča...). Zaporedje narašča, če velja: a n+1 a n za vsak n. To pomeni, da je vsak naslednji člen zaporedja večji ali enak predhodnemu. Če enačaj spustimo, potem tako zaporedje strogo narašča. Zaporedje pada, če velja: a n+1 a n za vsak n. To pomeni, da je vsak naslednji člen zaporedja manjši ali enak predhodnemu. Če enačaj spustimo, potem tako zaporedje strogo pada. Zaporedje je konstantno, če velja: a n+1 = a n za vsak n. To pomeni, da so vsi členi zaporedja med seboj enaki. Dokaz za naraščajoče ali padajoče zaporedje: Izračunamo razliko a n+1 a n in če je dobljena vrednost negativna (a n+1 a n 0) ali enaka 0 za vse n, potem je zaporedje padajoče. Če je dobljena vrednost pozitivna (a n+1 a n 0) ali enaka 0 je zaporedje naraščajoče. 1

3. Omejeno neomejeno Zaporedje je lahko navzgor omejeno, navzdol omejeno, omejeno na obe strani ali pa neomejeno. Zaporedje je navzgor omejeno, če obstaja tako število M, da velja a n M za vsak n. To pomeni, da so vsi členi zaporedja manjši ali enaki od nekega števila M. a n M Število M, ki nastopa v zgornji lastnosti, imenujemo zgornja meja zaporedja. Če je zaporedje navzgor omejeno, obstaja celo več zgornjih mej. Najmanjši med njimi pravimo natančna zgornja meja ali supremum zaporedja. Zaporedje je navzdol omejeno, če obstaja tako število m, da velja a n m za vsak n. To pomeni, da so vsi členi zaporedja večji ali enaki od nekega števila m. a n m Število m, ki nastopa v zgornji lastnosti, imenujemo spodnja meja zaporedja. Če je zaporedje navzdol omejeno, obstaja celo več spodnjih mej. Največji med njimi pravimo natančna spodnja meja ali infimum zaporedja. Če je naraščajoče je tudi navzdol omejeno. Natančna spodnja meja je prvi člen zaporedja. Če je padajoče je tudi navzgor omejeno. Natančna zgornja meja je prvi člen zaporedja. Če zaporedje doseže natančno zgornjo oz. spodnjo mejo je ta meja hkrati maksimalni oz. minimalni element (člen) zaporedja. Zaporedje lahko natančno zgornjo oz. spodnjo mejo doseže ali pa tudi ne. Če zaporedje nikoli ne doseže (pač pa se ji približuje»limitira«) natančne zgornje oz. spodnje meje, je ta meja najmanjša zgornja meja ali supremum oz. največja spodnja meja ali infimum..3 Aritmetično zaporedje Zaporedje je aritmetično, če je razlika med dvema zaporednima členoma konstantna. Razliki med sosednjima členoma pravimo diferenca in jo označujemo z d. d = a a 1 = a 3 a = a 4 a 3 =...= a n a n 1 = a n+1 a n = Zgledi aritmetičnih zaporedij: 1,, 3, 4, 5,...; d = 1 (naraščajoče) 5,, -1, -4, -7,...; d = 3 (padajoče) 3, 3, 3, 3, 3,...; d = 0 (konstantno) Vsak naslednji člen zaporedja izračunamo tako, da prejšnjemu prištejemo isto število. a = a 1 + d a 3 = a + d 13

Splošni člen aritmetičnega zaporedja: a n = a 1 + (n 1)d..4 Končna aritmetična vrsta Zaporedje napišemo na naslednji način: a 1, a, a 3, a 4, a 5,... Če te člene zapišemo kot vsoto: a 1 + a + a 3 + a 4 + a 5 +..., temu rečemo vrsta. Označimo jo z Sn. Vrsta je vsota členov nekega zaporedja. Če seštejemo prvih n členov zaporedja, potem dobimo končno vrsto, če seštejemo neskončno členov, dobimo neskončno vrsto. Če seštevamo končno mnogo členov aritmetičnega zaporedja, je to končna aritmetična vrsta. Kako bi dobili formulo za splošni člen? Člene po dva seštejemo tako, da seštevamo prvega z zadnjim, drugega s predzadnjim itd. S n = a 1 + a n + a + a n-1 + a 3 + a n- + a + a n-1 = a 1 + d + a 1 + (n )d = a 1 + a 1 + (n 1)d = a 1 + a n a 3 + a n- = a 1 + d + a 1 + (n 3)d = a 1 + a 1 + (n 1)d = a 1 + a n Če vse te vsote seštejemo jih je n, torej: S n n a1 a n n, oziroma a ( n 1) d S n 1.5 Geometrijsko zaporedje Zaporedje je geometrijsko, če je količnik sosednjih členov stalen. Količnik dveh sosednjih členov je kvocient a a n1 q n an 1. Količnik označujemo s q. a n Splošni člen geometrijskega zaporedja je a n = a 1 q n-1..6 Končna geometrijska vrsta S n = a 1 + a + a 3 + + a n S n = a 1 + a 1 q + a q + a 3 q + + a n-1 q S n = a 1 + a 1 q + a 1 q + a 1 q 3 + + a 1 q n-1 14

Vsoto končno mnogo členov geometrijskega zaporedja izračunamo: S n a 1 n q 1 q 1.7 Obrestni račun S črko G označimo glavnico, s črko o obresti, p je obrestna mera in n obrestovalna doba. Kapitalizacijska doba je čas med dvema zaporednima pripisoma obresti. Navadno obrestovanje : o = n G p % o n G p 100 Obrestno obrestovanje : G n = G r n Naloge. 1 a n 1. Dano je zaporedje n. a) Zapiši prvih 5 členov zaporedja. b) Nariši graf zaporedja. c) Ali je dano zaporedje naraščajoče ali padajoče? Odgovor dokaži. d) Pokaži, da je zaporedje navzdol omejeno z 0. 3n a n. Zaporedje je dano s splošnim členom 4 n 3. Zapiši prvih pet členov zaporedja in ugotovi njegove lastnosti (naraščanje, padanje, omejenost) 3. Obkroži DA, če je trditev pravilna, oziroma NE, če je trditev napačna. a) Drugi člen zaporedja a n n 1 3 9 je enak 4. DA NE b) V aritmetičnem zaporedju s pričetkom 9, 5, 1, je diferenca d = 4. DA NE 4. Izračunajte 61. člen aritmetičnega zaporedja s prvim členom a 1 = in razliko d = 1. 5. V aritmetičnem zaporedju z diferenco 3 je deseti člen 4. a) Izračunaj prvi člen tega zaporedja. b) Zapiši splošni člen za dano zaporedje. c) Ali je število 7 člen tega zaporedja? Odgovor računsko utemelji. 6. V aritmetičnem zaporedju je tretji člen, sedmi pa 38. Izračunaj vsoto prvih tridesetih členov tega zaporedja. 15

7. Dano je zaporedje s splošnim členom a n = 5n + 138. Koliko členov zaporedja je pozitivnih? 8. V aritmetičnem zaporedju je deveti člen 6. Diferenca d = 0,5. a) Zapiši prvi člen za dano zaporedje. b) Zapiši splošni člen zaporedja. c) Kateri člen zaporedja je število 40? 9. Za katere tri člene so x + 3, 4x, 6x 4 zaporedni členi aritmetičnega zaporedja. 10. Prvi trije členi zaporedja so: x, x +, x + 1. a) Izračunaj x, da bo zaporedje aritmetično in člene zapiši. b) Izračunaj x, da bo zaporedje geometrijsko in člene zapiši. 11. Dano je zaporedje a n = 5 n. Zapiši prvih pet členov zaporedja. Ali je zaporedje naraščajoče ali padajoče? Utemelji odgovor. Ali je zaporedje omejeno ali neomejeno? Utemelji odgovor. 1. Dano je zaporedje z začetkom 5, 15, 45, Poišči osmi in splošni člen tega zaporedja. 13. Označi ali je trditev pravilna ali napačna. a) Zaporedje, pri katerem dobimo vsak naslednji člen tako, da prejšnjega množimo z istim številom, imenujemo geometrijsko zaporedje. DA NE b) Če je zaporedje geometrijsko je hkrati tudi aritmetično. DA NE 1 1 c) Prvi člen geometrijskega zaporedja je, drugi člen. Potem je tretji člen 8. DA NE d) Geometrijsko zaporedje je padajoče, če je količnik negativen. DA NE 14. Zapiši splošni člen geometrijskega zaporedja pri danih podatkih: 1 a) a 1 = 1, q = 3 b) a =, q = c) a 1 = 3, q = d) a 3 = - 1, a 6 = 96 Zapiši lastnosti zaporedij (naraščanje, padanje, omejenost) 15. Izračunaj 10. člen geometrijskega zaporedja, če je a 1 = 6 in q = 3. 16. Določi prvi člen geometrijskega zaporedja, če je : 1 a) a = in q = -. b) a 5 = 3 in q = 5 5 c) a 14 = 159433 in q = 3 d) a 4 = 8 in a 7 = - 64 16

17. Izračunaj, za katera realna števila x, so vrednosti danih izrazov 4 x, 4x +, 16 x + 1 zaporedni členi geometrijskega zaporedja. 18. Poiščite prvi člen geometrijskega zaporedja, če je količnik geometrijskega zaporedja q = in vsota prvih desetih členov 3069. 1 1 1 19. Izračunaj vsoto prvih sedmih členov geometrijskega zaporedja z začetkom, 1, 4 0. Izračunaj sedmi in vsoto prvih sedmih členov geometrijskega zaporedja, če je a 1 = 6 in q = -. 1. Izračunaj vsoto geometrijskega zaporedja za prvih šest členov če je: a) a 1 = 5, q = b) a 3 = 8, a 6 = 4. V geometrijskem zaporedju je drugi člen, peti člen pa 54. Koliko začetnih členov tega zaporedja moramo sešteti, da dobimo vsoto 59049? 3. Izračunaj znesek, na katerega naraste vloga 500 po desetih letih pri letni obrestni meri 3 %. a) Pri navadnem obrestovanju. b) Pri obrestnem obrestovanju. 4. V banko smo vložili 15000 in čez pet let dobili 040. Kolikšna je letna obrestna mera, če je letni pripis obresti? 17

3 Obdelava podatkov 3.1 Osnovni pojmi Množica, ki jo statistično proučujemo se imenuje populacija. Elementi populacije se imenujejo statistične enote. Vzorec predstavljajo izbrani elementi množice iz celotne proučevane množice. Statistična spremenljivka je vrednost ali lastnost statistične enote, ki jo preučujemo. Zgled : Recimo, da nas zanima, koliko časa povprečno namenijo dijaki za učenje na dan. V tem primeru so populacija dijaki, statistična enota je posamezen dijak, vzorec so npr. vsi dijaki neke šole, statistična spremenljivka pa število ur učenja na dan. 3. Urejanje in grupiranje podatkov V raziskavah so pogosto pridobljeni podatki neurejeni in nepregledni, zato jih uredimo. To pomeni, da jih uredimo po velikosti ali jih združimo v skupine v frekvenčne razrede. Urejanje podatkov je odvisno od tega ali so podatki diskretni ali zvezni ter od količine podatkov. Absolutna frekvenca f k je posamezno število diskretnih statističnih enot iste vrednosti. Pove nam število enot, ki spadajo v k-ti razred. Relativna frekvenca f k ' pove, kolikšen delež celote pomeni posamezna vrednost statističnega znaka. Relativno frekvenco običajno označimo s f. Izražamo pa jo v procentih. f ' absolutna frekvenca f k število enot v vzorcu N f, k N f k 100% Kumulativa absolutnih frekvenc nam pove kolikokrat je naša spremenljivka zavzela vrednost manjšo od k. Kumulativa relativnih frekvenc nam pove relativni delež populacije, na kateri statistična spremenljivka zavzame vrednost manjšo od k. Frekvenčni razredi so skupine podatkov. Širina frekvenčnega razreda je razlika med zgornja in spodnjo mejo razreda. Standardni odklon pove, za koliko se statistični znak v povprečju odklanja od srednje vrednosti. Standardni odklon izračunamo po formuli: 18

f ( x1 x) f ( x x)... f r ( x x N 1 ) 3.3 Grafično prikazovanje podatkov Krožni diagram ali strukturni krog je najbolje uporabiti pri majhnem številu frekvenčnih razredov. Stolpčni diagram uporabljamo, če so podatki razvrščeni v veliko frekvenčnih razredov oziroma dosežejo veliko različnih diskretnih vrednosti. Histogram narišemo tako, da na abscisno os nanesemo meje razredov, na ordinatno os pa absolutne frekvence. Linijski diagram uporabljamo za opisovanje postopnega spreminjanja vrednosti nekega podatka skozi neko časovno obdobje. 3.4 Srednje vrednosti podatkov Povprečje ali aritmetična sredina je kvocient vsote vseh vrednosti statistične spremenljivke s številom vseh vrednosti: x1 x... xn x N V kolikor se ena vrednost ponovi večkrat uporabimo obrazec: f1 x1 f x... f N xn x N x i je vrednost spremenljivke, f i je absolutna frekvenca, N pa število vseh vrednosti. Mediana ali središčnica je vrednost statistične spremenljivke, pri kateri je polovica večjih, druga polovica pa manjših od nje. Modus ali gostiščnica je vrednost podatka, ki se v množici vseh vrednosti najpogosteje ponavlja. Če sta taki vrednosti dve, govorimo o bimodalni porazdelitvi podatkov. 19

Naloge. 1. Razred s 30 dijaki je pisal test iz matematike. Dobili so naslednje ocene: 3, 5, 1,, 1, 3, 4, 3, 3,, 5, 4, 1, 1,, 4, 3, 3, 3,,, 4, 5, 4, 1, 3, 4, 3, 3. Podatke uredimo: Vredno Absolut st k na frekvenca f k 1 5 5 3 10 4 7 5 3 Kolikšna je relativna frekvenca? Izračunaj povprečno oceno. Podatke iz tabele grafično predstavi (izberi najustreznejši diagram).. Test je imel 100 točk. Dijaki so prejeli naslednje število točk: 99, 54, 11, 3, 19, 58, 65, 40, 41, 8, 99, 70, 15,, 30, 79, 54, 5, 41, 39, 35, 77, 8, 70, 15, 65, 59, 76, 50, 47. Podatke smo uredili v tabelo: Razred k Frekvenčni razred Absolutna frekvenca f k 1 0 19 5 0 39 5 3 40 59 10 4 60 79 7 5 80 100 3 Izračunaj relativne frekvence posameznih razredov. Podatke iz tabele predstavi grafično (izberi najustreznejši diagram). Izračunaj povprečno število točk, ki so jih dijaki prejeli. 3. Na šoli je 300 učencev. Spodnji diagram prikazuje njihove ocene pri matematiki. 0

Relativne frekvence grafično prikažemo s frekvenčnim krogom. Narišemo ga tako, da narišemo krožne izseke. Delež izseka v krogu predstavlja relativno frekvenco posamezne vrednosti. V spodnji tabeli so izračunane relativne frekvence v %. Ocena Absolutna frekvenca Relativna frekvenca v % 1 15 5 45 15 3 150 50 4 60 0 5 30 10 a) Izračunaj povprečno oceno pri matematiki na tej šoli. b) Izračunaj središčne kote, ki pripadajo posamezni oceni v krožnem diagramu. 4. Na ogled mesta je turistična agencija peljala turiste z dvema avtobusoma. V prvem avtobusu je bilo šest Francozov, pet Italijanov, deset Špancev, štirje Nemci in dva Belgijca. V drugem pa sedem Francozov, šest Italijanov, dva Španca, osem Nemcev in pet Belgijcev. a) grafično predstavi koliko turistov (državljanov posamezne države) je bilo na prvem in koliko na drugem avtobusu. b) Koliko odstotkov Italijanov je bilo na prvem avtobusu? c) Izračunaj relativni delež Francozov na drugem avtobusu. 5. Na neki šoli so v enem oddelku merili telesne višine dijakov in dobili naslednje podatke: 154, 159, 16, 173, 160, 17, 155, 167, 163, 175, 179, 178, 174, 164, 18, 158, 156, 160, 17, 185, 176, 174, 178, 183, 187, 175, 178, 180, 184, 166. a) Podatke uredi v razrede. b) Izračunaj povprečno višino dijakov v tem razredu. c) Podatke ustrezno grafično predstavi. d) Izračunaj standardni odklon. 6. Stolpčni diagram prikazuje ocene, ki so jih učenke in učenci devetega razreda neke osnovne šole dobili pri ocenjevanju znanja matematike: 1

Odgovori na spodnja vprašanja: a) Koliko učenk je doseglo pozitivno oceno? b) Katera ocena je bila najpogostejša? c) Koliko učenk je doseglo višjo oceno od dobro? d) Koliko odstotkov vseh učenk in učencev ni dobilo pozitivne ocene? 7. V nekem hotelu so želeli ugotoviti, koliko stari so ljudje, ki najpogosteje obiščejo njihov kraj. V enem dnevu je hotel obiskalo naslednje število obiskovalcev: Starostni razred Število obiskovalcev 10 19 70 0 9 105 30 39 47 40 49 50 59 84 60 69 56 Podatke nato prikažemo še grafično s histogramom. a) Katera starostna skupina najpogosteje in katera najredkeje obiskuje hotel? b) Koliko odstotkov vseh obiskovalcev predstavlja skupina, ki najpogosteje obiskuje hotel

8. Družina Kobal ima 5 članov. Oče je star 5 let, mama 48 let, prvi sin 1 let, drugi sin18 let, hči pa 0 let. Določi povprečno starost družine Kobal. 9. Skupina fantov je skakala v daljavo. Svoje dosežke so zapisovali v metrih tako:,7 0,8,9,7 3,0,7,9,7,4 a) Podatke uredi po velikosti. b) Kolikšna je povprečna dolžina skoka? c) Katero daljavo je skočilo največ učencev? d) Kolikšna je mediana dolžin skokov? 10. Andrej je vsak dan ob 9.00 meril junijske temperature in podatke zapisoval v preglednico. d an......... T[ C] 5 0 3 0 7 5 8 0. 1 1. 4 1. 6 1 3. 8 1 4. 9 1 5. 6 1 6. 4 1 Izračunaj vse tri srednje vrednosti. 3

4 Geometrijska telesa 4.1 Prizma Prizma je geometrijsko telo, ki ga omejujeta skladna n kotnika (osnovni ploskvi prizme) in n - paralelogramov (plašč prizme). Prizma je pokončna, če so vsi stranski robovi pravokotni na ravnino osnovne ploskve. Pravilna prizma je pokončna prizma. Njena osnovna ploskev je pravilni n - kotnik. Pravilni n kotnik je vsak večkotnik, ki ima vse stranice enako dolge ter vse notranje kote skladne. Primer: Enakostranični trikotnik, kvadrat, pravilni petkotnik, pravilni šestkotnik,... Pravilna tristrana prizma (Osnovna ploskev je enakostranični trikotnik) Pravilna štiristrana prizma (Osnovna ploskev je kvadrat) Pravilna petstrana prizma (Osnovna ploskev je pravilni petkotnik) Pravilna šeststrana prizma (Osnovna ploskev je pravilni šestkotnik) Prizma je enakoroba, če so vsi njeni robovi enako dolgi. Kocka je primer enakorobe štiristrane prizme. 4

Površino prizme izračunamo tako, da seštejemo ploščine vseh mejnih ploskev (to so vse ploskve, ki omejujejo telo). Vsaka n strana prizma ima dve osnovni ploskvi in plašč, ki je sestavljen iz n paralelogramov (oziroma pravokotnikov, če je prizma pokončna). P = S o + pl P = S o + o v P površina prizme S o ploščina osnovne ploskve pl ploščina plašča o obseg osnovne ploskve v višina prizme Prostornino prizme izračunamo tako, da ploščino osnovne ploskve pomnožimo z višino prizme. V = S o v V prostornina prizme Formule za izračun ploščin osnovnih ploskev : Ime lika Ploščina Obseg diagonala kvadrat S = a o = 4 a d = a pravokotni k S = a b o = (a + b) d = a b paralelogr S = a v a, o = (a + am S = a b sinα b) romb e f S = a v a ;S = o = 4 a raznostran ični trikotnik S = s( s a)( s b)( s c) ; s = o o = a + b + c S = a v a b v b c v c 5

enakokraki trikotnik S = S = a b sin a c sin b c sin enakostra nični trikotnik S = pravilni šestkotnik S = 6 c vc b vb a v o = a + b + a c a 3 o = 3 a 4 a 3 o = 6 a 4 a, b, c stranica geometrijskega lika v a, v b, v c višina geometrijskega lika d, d 1, d, e, f diagonala geometrijskega lika s polovica obsega trikotnika Pitagorov izrek : c = a + b Heronov izrek : S = s( s a)( s b)( s c) 4. Valj Valj je okroglo geometrijsko telo, omejeno z dvema skladnica krogoma in eno krivo ploskvijo. Kroga imenujemo osnovni ploskvi, krivo ploskev pa plašč valja. Valj je enakostranični, če je premer osnovne ploskve (kroga) enak višini valja. Površino valja izračunamo tako, da seštejemo ploščine vseh mejnih ploskev (to so vse ploskve, ki omejujejo telo). Površina valja je sestavljena iz dveh krogov (osnovni ploskvi) in pravokotnika (plašč). Prva stranica tega pravokotnika je ravno obseg osnovne ploskve valja, druga stranica pa višina valja. P = S o + pl P = r + r v = r (r + v) 6

Prostornino valja izračunamo tako, da ploščino osnovne ploskve pomnožimo z višino valja. V = S o v V = r v Osnovna ploskev valja je krog. r polmer kroga r = d premer kroga Ploščina kroga : S = r Obseg kroga : o = r = d 4.3 Krogla Površina krogle: P = 4 r 3 4 r Prostornina krogle: V = 3 r polmer krogle r = d premer krogle S središče krogle 4.4 Stožec Stožec je geometrijsko telo, ki je omejeno s krogom (osnovna ploskev stožca) in krivo ploskvijo v obliki krožnega izseka (plašč stožca). 7

Površina stožca: P = S o + pl P = r + r s = r (r + s) Prostornina stožca: O v V = 3 r v V = 3 s stranica stožca v višina stožca r polmer osnovne ploskve 4.5 Piramida Piramida je geometrijsko telo, ki je sestavljeno iz osnovne ploskve (n kotnik) in plašča (n trikotnikov). Pokončna piramida ima vse stranske robove enako dolge. Pravilna piramida je pokončna in ima za osnovno ploskev pravilen n - kotnik. Enakoroba piramida ima vse robove enako dolge. Nariši vse manjkajoče piramide ter jih označi! 8

Pravilna tristrana piramida (Nariši jo) Pravilna štiristrana piramida (Označi preostala oglišča) Pravilna petstrana piramida (Nariši jo) Pravilna šeststrana piramida (Nariši jo) Tetraeder (Označi stransko višino) Tetraeder je enakoroba tristrana piramida, zato površino tetraedra sestavljajo 4 enakostranični trikotniki. 9

Površino piramide izračunamo tako, da seštejemo ploščine vseh mejnih ploskev (to so vse ploskve, ki omejujejo telo). Vsaka n strana piramida ima osnovno ploskev in plašč, ki je sestavljen iz n trikotnikov (ti so enakokraki, če je piramida pokončna). P = S + pl pl = n a v 1 = o v 1 v 1 stranska višina piramide n število stranic osnovne ploskve Prostornina piramide je enaka tretjini prostornine prizme z enako osnovno ploskvijo in višino. Prostornino piramide izračunamo tako, da ploščino osnovne ploskve pomnožimo z višino piramide in rezultat delimo s 3. V = S v 3 v višina piramide Naloge. 1. Poimenuj telesa na sliki (osnovni ploskvi sta pravilna večkotnika) in nariši mreži obeh teles.. Prostornina enakorobe pravilne štiristrane prizme meri 79 cm 3. Izračunaj osnovni rob, površino in telesno diagonalo tega telesa. 3. Na skici je geometrijsko telo. Osnovni ploskvi tega telesa sta raznostranična trikotnika. Plašč telesa sestavljajo trije pravokotniki. Kot <) ACB meri 105. AC = 33 cm in BC = 40 cm. Višina telesa je 56 cm. a) Kako se imenuje telo na skici? 30

b) Izračunaj dolžino daljice BD. c) Izračunaj prostornino prizme. d) Izračunaj ploščino plašča prizme. e) Koliko meri kot med osnovnim robom in daljico BD? 4. Na skici je geometrijsko telo. Osnovni ploskvi tega telesa sta pravilna šestkotnika. Plašč tega telesa sestavlja šest pravokotnikov. Obseg osnovne ploskve meri 4 cm. Višina telesa meri 10 cm. a) Kako se imenuje telo na skici? Telo na skici je. b) Izračunaj dolžino osnovnega roba telesa. c) Izračunaj površino telesa. d) Izračunaj prostornino telesa. e) Izračunaj dolžino daljice BK. f) Koliko meri kot med osnovno ploskvijo in daljico BK? 5. Na skici je pokončna tristrana prizma ABCDEF. AB = 5 cm, BC = 13 cm in AC = 10 cm. Višina prizme je 6 cm. a) Izračunaj ploščino plašča prizme. b) Izračunaj prostornino prizme. c) Izračunaj velikost kota ACB. 6. Bazen ima obliko kvadra s širino 1 m, dolžino 5 m in globino 1,6 m. Izračunaj koliko kvadratnih metrov ploščic potrebujemo, da ga obložimo, in koliko litrov vode porabimo, da ga napolnimo. 31

7. Na sliki je narisana kocka. Vsota vseh njenih robov je 48 cm. a) Na sliki označi telesno diagonalo kocke in izračunaj njeno dolžino. b) Izračunaj velikost kota med osnovno ploskvijo in telesno diagonalo kocke. c) Izračunaj površino in prostornino kocke. d) Izračunaj prostornino največje možne krogle, ki jo lahko izdelamo iz dane kocke. 8. Izračunaj površino in prostornino krogle s premerom r = 6 cm. Koliko znaša obseg glavnega krogelnega kroga? 9. Polmer osnovne ploskve pokončnega stožca meri 8 cm. Stranica stožca meri 10 cm. Izračunaj prostornino in površino stožca. 10. Višina pokončnega stožca meri 10 cm. Obseg osnovne ploskve pa 44 cm. Izračunaj površino in prostornino stožca. 11. Izračunaj površino in prostornino pravilne šeststrane piramide z višino 8 cm in stranico osnovne ploskve 6 cm. 1. Pravilna 4-strana piramida z osnovnim robom 8 cm ima višino stranske ploskve 5 cm. Nariši skico piramide in označi kot α med osnovno ploskvijo in stranskim robom. Nato izračunaj površino in prostornino piramide ter velikost kota α. 13. Izračunaj prostornino valja, če je ploščina osnega preseka valja 0 cm, ploščina plašča pa 5-krat večja od ploščine osnovne ploskve. 14. Izračunaj površino in prostornino 1 cm visoke pokončne prizme, ki ima za osnovno ploskev trikotnik v katerem je a = 4 cm, b = 5 cm in c = 6 cm. 15. Polmer osnovne ploskve pokončnega stožca meri 6cm. Stranica stožca meri 10cm. Izračunaj prostornino in plašč stožca. 16. Pravilna 4-strana piramida z osnovnim robom 6 cm ima višino 4 cm. Nariši skico piramide in označi kot α med osnovno ploskvijo in stranskim robom. Nato izračunaj površino in prostornino piramide ter velikost kota α. 3

17. Iz valja in stožca sestavimo telo na sliki. Polmer osnovne ploskve meri 3cm, stranski rob stožca pa 5cm. Višina valja meri 7cm. a) Izračunaj višino sestavljenega telesa b) Izračunaj prostornino in površino sestavljenega telesa 18. Iz valja in stožca sestavimo telo na sliki. Višina stožca meri 8cm, stranski rob stožca pa 10cm. Višina valja znaša 9cm. a) Izračunaj višino sestavljenega telesa b) Izračunaj prostornino in površino sestavljenega telesa 19. Iz pravilne enakorobe piramide in kocke sestavimo telo na sliki. Rob kocke meri 4cm. Izračunaj površino in prostornino sestavljenega telesa 33

0. Iz pravilne štiristrane piramide in kocke sestavimo telo na sliki. Rob kocke meri 18cm. Stranska višina piramide pa 15cm. a) Izračunaj višino sestavljenega telesa b) Izračunaj prostornino in površino sestavljenega telesa 1. Iz valja in polovice krogle sestavimo telo na sliki. Polmer osnovne ploskve meri cm, višina valja pa 5cm. Izračunaj površino in prostornino sestavljenega telesa. 34

5 Odvod Odvod pomeni spremembo vrednosti funkcije pri spremembi njenega argumenta. Poglejmo si kolikšna je sprememba vrednosti funkcije, če se premaknemo po abscisni osi iz točke x 0 za h. Diferenčni količnik zapišemo kot : x x h f x f x h f x y f 0 0 0 0 x h x 0 0 h Če ima diferenčni količnik v točki x 0 limito, je funkcija f(x) v tej točki odvedljiva. Računsko določimo odvod s pomočjo limite : f '( x) lim h 0 f x h f x h Pravila odvajanja : 1. (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) 4.. (f(x) g(x))' = f'(x) g'(x) 5. (x n )' = n x n -1 f g ' ' x f ( x) g( x) f ( x ( g( x)) 3. (k f(x))' = k f'(x) 6. f(g(x))' = f '(g(x)) g'(x) ' x) g ( x) 35

5.1 Grafični pomen odvoda Tangenta na graf funkcije f v točki T(x, y) je premica, ki se v okolici te točke najbolj prilega grafu funkcije. Odvod funkcije v dani točki T nam pove, kolikšen je smerni koeficient tangente na graf te funkcije v tej točki. Oznaka za odvod: f '(x) f '(x) = k = tanα 5. Stacionarne točke Če želimo grafe funkcij risati natančneje je odvod primerno orodje, saj z njegovo pomočjo določimo ekstremne točke. Točke funkcije, kjer je prvi odvod enak nič, imenujemo stacionarne točke. Poznamo tri vrste stacionarnih točk: a) lokalni minimum b) lokalni maksimum c) vodoravni prevoj Potreben pogoj (ne pa zadosten) za iskanje stacionarnih točk (ekstremov) je f '(x) = 0. Funkcija ima v točki x 0 lokalni maksimum, če so vse funkcijske vrednosti na nekem odprtem intervalu s središčem v x 0 manjše od funkcijske vrednosti f(x 0 ). Funkcija ima v točki x 0 lokalni minimum, če so vse funkcijske vrednosti na nekem odprtem intervalu s središčem v x 0 večje od funkcijske vrednosti f(x 0 ). Če je f (x) > 0 za vsak x z intervala (a,b), potem je f na tem intervalu naraščajoča. Če je f (x) < 0 za vsak x z intervala (a,b), potem je f na tem intervalu naraščajoča. V točki lokalnega ekstrema je odvod enak 0: f (x 0 ) = 0. Lokalni minimum je najnižja točka v neki okolici. Funkcija levo od minimuma pada, desno pa narašča. Odvod funkcije je levo od minimuma negativen, desno pa pozitiven. Lokalni maksimum je najvišja točka v neki okolici. Funkcija levo od maksimuma narašča, desno pa pada. Odvod funkcije je levo od maksimuma pozitiven, desno pa negativen. 36

Vodoravni prevoj je točka kjer se spremeni smer ukrivljenosti grafa. Funkcija v je v okolici prevoja monotona (samo naraščajoča ali samo padajoča). Predznak odvoda se v prevoju ne spremeni. Funkcija f ima v točki x 0 lokalni minimum, če velja: 1. f (x 0 ) = 0.. odvod je levo od točke x 0 negativen, desno od x 0 pa pozitiven. Funkcija f ima v točki x 0 lokalni maksimum, če velja: 1. f (x 0 ) = 0.. odvod je levo od točke x 0 pozitiven, desno od x 0 pa negativen. Če v okolici stacionarne točke x 0 odvod ne spremeni predznaka, funkcija v točki x 0 nima ekstrema. 5.3 Analiza funkcij Ponovimo : za risanje grafov polinomov in racionalnih funkcij določimo : a) ničle in njihove stopnje, b) pri racionalnih funkcijah tudi pole, c) začetno vrednost, d) obnašanje daleč proč od koordinatnega izhodišča (predznak), e) naraščanje in padanje funkcije ter stacionarne točke. 37

Naloge. 1. Izračunaj odvode funkcij. a) y = x 3 e) y = 5 i) y = sinx + 3cosx b) y = (3 4x) f) y = (x ) 3 j) y = xe x c) y = (x + 1)(x + 5) g) y = x 3x 1 k) y = x sinx d) y = 3x 3 + 5x + x + 5 h) y = e 3x l) y = ln(x ). Dana je funkcija f(x) = x 6x + 5. a) Zapiši enačbo tangente na graf dane funkcije v točki T 0 (,y 0 ). b) Nariši graf dane funkcije f in tangento na graf v dani točki. 3. Zapiši enačbo tangente na graf dane funkcije v točki T 0. a) f(x) = x 4x + 3 ; T 0 (1, y 0 ) b) f(x) = (x 3) ; T 0 ( 1, y0 ) c) f(x) = 3x 1 x 4 ; T 0 (3, y 0 ) d) f(x) = x 1 ; T 0 (, y 0 ) x 1 V koordinatni sistem tudi nariši graf dane funkcije in tangento na graf v dani točki. 4. Dani sta funkciji f(x) = x 8x + 9 in g(x) = -x + 4x. a) Izračunaj presečišči grafov funkcij f in g. b) V koordinatni sistem nariši grafa obeh funkcij in ugotovi presečišči grafov. c) Izračunaj koordinate točke na grafu funkcije g tako, da bo tangenta v tej točki vzporedna grafu funkcije h(x) = x + 5. 5. Za dane funkcije izračunaj in zapiši ničle, začetno vrednost, lokalne ekstreme, nariši njihove grafe in zapiši intervale naraščanja in padanja. a) f(x) = x 3 x + x + 1 d) f(x) = 3x 4 4 b) f(x) = x 3 6x 4 x 3 + 9x e) f(x) = x 4x 4 c) f(x) = x 3 3x f) f(x) = 4x 3 + x 4x 1 6. Zapiši intervale naraščanja in padanja za funkcije: a) f(x) = -x 3 + 1x 1 b) f(x) = x 3 6x + c) f(x) = x x x 4 38

7. Dana je funkcija f(x) = x + 5x + 4. Zapiši enačbo tangente na graf dane funkcije, ki je vzporedna premici y = 3x 1. V koordinatni sistem nariši graf dane funkcije f in tangento na graf te funkcije. 8. Dana je funkcija f(x) = x 3 x + x. Izračunaj ekstreme funkcije in zapiši enačbi tangent na graf funkcije f v presečiščih s koordinatnima osema. 9. Ob morju je kopališče, kjer se turisti lahko tuširajo z mrzlo vodo. Tuš je opremljen s števcem, ki kaže porabo. a) Lastnik kopališča je ugotovil, da če se cena za liter mrzle vode spremeni, se poraba vode prav tako spremeni po enačbi p = 3 x, kjer je x cena za 1 m 3 vode [ /m 3 ] in p poraba mrzle vode na dan [m 3 ]. Kolikšna naj bo cena za m 3 mrzle vode, da bo dnevni zaslužek največji? 39

6 Kombinatorika 6.1 Osnovni izrek kombinatorike ali pravilo produkta Če je proces odločanja sestavljen iz k zaporednih faz in je v prvi fazi možnih n 1 odločitev, v drugi fazi n odločitev v k-ti fazi n k odločitev, število izborov v posamezni fazi pa je neodvisno od tega, katere možnosti so bile izbrane v prejšnjih fazah, potem je število vseh sestavljenih odločitev produkt vseh odločitev v posameznih fazah: N = n 1 n n 3 n k Zgled 1 : Od mesta A do mesta B vodi 5 različnih poti. Od mesta B do mesta C pa 3 različne poti. Koliko različnih poti vodi iz mesta A v mesto C? N = 5 3 = 15 Zgled : V restavraciji ponujajo za kosilo dve vrsti juh, štiri vrste prikuh in pet vrst mesa. Koliko različnih kosil lahko naročimo, če naj vsako kosilo vsebuje le po eno od naštetih vrst jedi? N = 4 5 = 40 40

6. Pravilo vsote Pravilo vsote: če izbiramo med n 1 možnostmi prvega izbora ali med n možnostmi drugega izbora ali med n k možnostmi k-tega izbora, je vseh možnosti: N = n 1 + n + + n k Zgled 1 : Iz kraja A lahko pridemo v kraj D samo skozi kraj B ali kraj C. Kraja B in C nista neposredno povezana. Kraja A in B povezujeta dve poti, kraja B in D pa le ena pot. Iz kraja A v C vodita dve poti in iz C v D tri poti. Na koliko različnih načinov lahko pridemo iz kraja A v kraj D? N = 3 + 1 = 6 + = 8 Zgled : Koliko različnih številk lahko zapišemo s števkami 1, in 3, če se sme vsaka števka v številki pojaviti le enkrat? N = 3 + 6 + 6 = 15 41

6.3 Permutacije Vsako ureditev števila reči ali pojmov v vrsto (od leve proti desni, od zgoraj navzdol ipd.) imenujemo permutacija ali razporedba. Vsaka ureditev n različnih elementov v vrsto je permutacija brez ponavljanja. Število permutacij n različnih elementov označimo s Pn. Število vseh permutacij brez ponavljanja n različnih elementov je : Pn = n! = n(n-1)(n-)(n-3)(n-4) 3 1 0! = 1 Zgled : V oddelku prvega letnika sedi na 0 stolih prav toliko dijakov in dijakinj. Sklenejo, da bodo vsako šolsko uro sedeli po drugačnem sedežnem redu. Koliko je vseh mogočih sedežnih redov? P 30 = 30! = 30 9 8 7 3 1 = Vidimo, da je število možnih sedežnih redov zelo veliko. 6.4 Variacije Če nas zanimajo vsi mogoči različni vrstni redi razporeditve r elementov, ki jih izberemo med n elementi množice A, govorimo o variacijah. Število elementov r je red variacije. Elementi se v razporeditvi ponavljajo ali pa ne. Ločimo variacije s ponavljanjem in brez ponavljanja. Število variacij reda r med n elementi brez ponavljanja: r V n = n(n 1)(n ) (n r + 1) n! r V n = ( n r)! Število variacij reda r med n elementi s ponavljanjem: V n r = n r 4

Zgled : Sestavi vse variacije drugega reda elementov iz množice A = {a, b, c}: a) brez ponavljanja b) s ponavljanjem ab, ba, ac, ca, bc, cb aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc r n! V prvem primeru uporabimo obrazec: V = ( n r)! Število elementov je n = 3, red elementov pa r =. 3! 3 1 Torej V 3 = 6 (3 )! 1 V drugem primeru pa : V n r = n r Torej V 3 = 3 = 9 6.5 Kombinacije Pri permutacijah in variacijah smo sestavljali razporeditve elementov, zato je bil odločilen vrstni red elementov. Včasih nas zanima samo število podmnožic dane končne množice, pri čemer vrstni red ni pomemben. Kombinacije n elementov reda r (brez ponavljanja) so vse podmnožice z močjo r neke končne množice z močjo n. Njihovo število je: n! C r n = ( n r ) = ( n r)! r! Oznaka ( n ) predstavlja binomski simbol (beremo»n nad r«) in označuje število kombinacij k brez ponavljanja na množici z n elementi reda r. Ali drugače: pove nam, na koliko različnih načinov lahko izberemo r različnih elementov iz množice z n različnimi elementi. Zgled : V trgovini z igračami sestavljajo za podjetje darilne pakete s po 5 igračami. Ali lahko dobi vsak od 50 otrok drugačen paket, če imajo v trgovini na voljo 10 različnih igrač? Vprašanje je torej, na koliko različnih načinov lahko izberemo 5 različnih igrač iz množice z desetimi igračami? C 10 5 = ( 10 5 ) = 10! (10 5)!5! 5 43

Izmed desetih različnih igrač izberemo pet, pri čemer ni pomemben vrstni red igrač. Izračun pokaže, da je takšnih kombinacij 5. 6.6 Binomski izrek Binomski izrek je pravilo, po katerem lahko izračunamo poljubno potenco binoma. (a + b) n = ( n 0 ) an + ( n 1 ) an 1 b + ( n ) an b + + ( n n 1 ) abn 1 + ( n n ) bn (a + b) n = n k=0 ( n k )ak b n k Zgled : Izračunaj (a + b) 6. (a + b) 6 = ( 6 0 ) a6 + ( 6 1 ) a5 b + ( 6 ) a4 b + ( 6 3 ) a3 b 3 + ( 6 4 ) a b 4 + ( 6 5 ) ab5 + ( 6 6 ) b6 (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b + 0a 3 b 3 + 15a b 4 + 6ab 5 + b 6 Naloge. 1. Od mesta A do mesta B vodi 5 različnih poti. Od mesta B do mesta C pa 3 različne poti. Koliko različnih poti vodi iz mesta A v mesto C?. Jože ima 5 kap in 6 klobukov. Na koliko načinov lahko izbere pokrivalo? 3. V nek kraj vodi 5 poti. Na koliko načinov se lahko povzpnemo nanjo in se spustimo iz nje če: a) se lahko vrnemo po isti poti? b) moramo izbrati drugo pot? 4. V restavraciji ponujajo za kosilo dve vrsti juh, štiri vrste prikuh in pet vrst mesa. Koliko različnih kosil lahko naročimo, če naj vsako kosilo vsebuje le po eno od naštetih vrst jedi? 5. V razredu je 5 dobrih plesalcev in 3 dobre plesalke. Koliko dobrih mešanih parov je mogoče sestaviti? 6. Tonček ima v svoji omari 3 pare čevljev, obleki, 5 srajc in pokrivali. Na koliko načinov se lahko obleče, obuje in pokrije? 44

7. V razredu je 10 dijakov in 1 dijakinj. V delegaciji sta en dijak in ena dijakinja. Na koliko načinov je mogoče sestaviti delegacijo? 8. Na kolesarski ključavnici so trije obročki s številkami 0, 1,, 3 9. Koliko različnih številk lahko sestaviš s temi obročki? 9. V podjetju dela 1000 Slovencev. Ali je mogoče, da se monogram, to je par začetnih črk njihovih imen in priimkov nikoli ne ponovi? 10. V oddelku prvega letnika sedi na 30 stolih prav toliko dijakov in dijakinj. Sklenejo, da bodo vsako šolsko uro sedeli po drugačnem sedežnem redu. Koliko je vseh mogočih sedežnih redov? 11. Zapiši vse "besede " dolžine štirih črk iz množice {a, b, c, d}. 1. K blagajni je prispelo 6 prijateljev. Na koliko načinov se lahko postavijo v vrsto? 13. Na knjižni polici je 10 različnih knjig. a) Na koliko načinov jih lahko razporedimo, če vrstni red ni pomemben? b) Na koliko načinov jih lahko razporedimo, če mora biti točno določena knjiga na zadnjem mestu? 14. Koliko štirimestnih številk je mogoče zapisati s števkami, 4, 6, 8, če: a) se števke lahko ponavljajo. b) se števke ne smejo ponavljati. 15. Koliko dvomestnih številk je mogoče zapisati z lihimi števkami, če se v številki vsaka števka pojavi samo enkrat in koliko, če se vsaka števka lahko pojavi dvakrat? 16. Koliko petmestnih številk lahko zapišemo s števkami 1, in 3? 17. Koliko pravih trimestnih številk lahko napišemo s števkami 0, 1,, 3, 5, če se nobena števka ne ponovi? 18. Na zabavi je 10 prijateljev. Koliko je vseh rokovanj, če se vsak rokuje z vsakim? 19. Na izpitu iz matematike lahko dijaki izmed 5 strukturiranih nalog izberejo 3 naloge. Koliko različnih kompletov nalog imajo dijaki na voljo? 0. Na turnirju je prijavljenih 15 šahistov. Koliko bo vseh partij, če vsak igra z vsakim le po eno partijo? 1. Koliko daljic določa sedem točk v ravnini, od katerih so vsake tri točke nekolinearne?. V trgovini prodajajo osem vrst čokolade. Na koliko načinov lahko Urška kupi tri različne čokolade? 45

3. Določi število n iz naslednjih pogojev. a) V n 0 b) V n 40 c) V 3 n 6V n 4. Izračunaj vrednost naslednjih binomskih simbolov: a) ( 5 ) b) (8 ) c) (100 6 95 ) 5. Izračunaj (x + y) 4. 46

7 Verjetnost Osnovni pojmi : poskus, dogodek, verjetnost dogodka Poskus je dejanje, ki ga opravimo pod natanko določenimi pogoji. Dogodek je pojav, ki se lahko v posameznem poskusu zgodi ali pa tudi ne. Gotov dogodek je dogodek, ki se nikoli ne zgodi. Nemogoč dogodek je dogodek, ki se zgodi vedno. Verjetnost je število, ki nam pove, kolikšna je možnost, da se zgodi neki dogodek. 7.1 Računanje z dogodki Produkt ali presek dogodkov A in B je dogodek, ki se zgodi, kadar se zgodita dogodka A in B hkrati. Oznaka : A B. V kolikor se dogodka A in B ne moreta zgoditi oba hkrati, pravimo, da sta nezdružljiva. Produkt nezdružljivih dogodkov je nemogoč dogodek. Vsota ali unija dogodkov A in B je dogodek, ki se zgodi, kadar se zgodi vsaj eden od dogodkov, ali A ali B ali oba. Oznaka: A B. Izraz vsota se uporablja predvsem v primerih, ko gre za unijo dveh nezdružljivih dogodkov. Nasprotni dogodek danega dogodka A je dogodek, ki se zgodi točko takrat, ko se dogodek A ne zgodi. Oznaka : A ali A'. Dogodek A je način dogodka B, če se vedno, kadar se zgodi A, hkrati zgodi tudi dogodek B. 7. Verjetnost dogodka Verjetnost dogodka A je razmerje med številom ugodnih izidov in številom vseh možnih izidov. P(A) = število ugodnih izidov število vseh možnih izidov P(A) = m n 47

Verjetnost nemogočega dogodka je enaka 0, verjetnost gotovega dogodka je enaka 1. Verjetnost nasprotnega dogodka P(A') = 1 P(A) P(A) + P(A') = 1 Verjetnost unije dogodkov : P A B PA PB PAB Verjetnost unije nezdružljivih dogodkov : P A B PA PB Verjetnost produkta neodvisnih dogodkov : P(AB) = P(A) P(B) Verjetnost produkta odvisnih dogodkov : P(AB) = P(A) P(B/A) Naloge. 1. Imamo komplet 5 igralnih kart. Izvlečemo eno karto. Kolikšna je verjetnost, da izvlečemo pikov as?. Iz besede POLETJE na slepo izbiramo črke. Kolikšna je verjetnost, da izberemo soglasnik? Kolikšna je verjetnost, da izberemo črko E? 3. V posodi imamo 4 kroglice s številkami 1,, 3, 4. Zaporedoma jih vlečemo iz posode in jih ne vračamo. Kolikšna je verjetnost, da dobimo število 134? 4. V škatli imamo okroglice s številkami 1, 4, 7, 9. Na slepo izbiramo po eno kroglico in je ne vračamo v škatlo. Izračunaj verjetnost, da dobimo letnico 1974. 5. Od 10000 srečk jih 10 zadane. Izračunaj kolikšna je verjetnost: a) da slučajno izbrana srečka zadane. b) od dveh naključno izbranih srečk natanko ena zadane. 6. Dvakrat zapored vržemo igralno kocko. Izračunaj verjetnosti dogodkov: A v obeh metih pade enako število pik. B v obeh metih pade liho število pik. C v prvem metu pade večje število pik kot v drugem. D v drugem metu pade vsaj toliko pik kot v prvem. 48

E obakrat padejo vsaj tri pike. F obakrat pade šestica. 7*. V posodi imamo 10 kroglic 6 belih in 4 modre. Na slepo izvlečemo 4 kroglice. Izračunaj verjetnost dogodka, da je med izvlečenimi kroglicami vsaj ena modra. 8*. Sočasno vržemo dve igralni kocki. Kolikšna je verjetnost, da je vsota pik 7, če vemo, da so na vsaki kocki padle vsaj tri pike? 49

8 Literatura in viri [1] R. Brilej in ostali, Alfa 3, zbirka nalog za matematiko 3, (Ljubljana, Ataja, 007). [] R. Brilej in ostali, Alfa 4, zbirka nalog za matematiko 4, (Ljubljana, Ataja, 007). [3] M. Vencelj, Matematika za triletne poklicne šole, (Ljubljana, DZS, 1999). [4] D. Kavka, Od ključavnice do integrala, (Ljubljana, Modrijan, 1999). [5] E-um interaktivna učna gradiva [http://www.e-um.si]. [6] Nauk interaktivna učna gradiva [http://www.nauk.si]. 50