Θεωρία Καταναλωτή Υποδειγματοποίηση της συμπεριφοράς του καταναλωτή. Βασική έννοια: Βελτιστοποίηση υπό περιορισμό. Προτιμήσεις (preferences) Εισοδηματικός περιορισμός (budget constraint) Άριστη επιλογή του καταναλωτή (consumer choices) 1
Άριστη επιλογή του καταναλωτή Ποιες ποσότητες αγαθών θα επιλέξει να αγοράσει και καταναλώσει ο καταναλωτής; Ο καταναλωτής επιλέγει τις ποσότητες εκείνες που μεγιστοποιούν τη χρησιμότητά του με δεδομένο τον περιορισμό του εισοδήματός του. 2
Πρόβλημα του καταναλωτή max x 1,x 2,...,x n u x 1,x 2,...,x n s.t. p 1 x 1 x 2... p n x n I x 1,x 2,...,x n 0 p 1,,...,p n 0 x i p 1,,...p n,i Κανονικές συναρτήσεις ζήτησης! (συνάρτηση των τιμών και του εισοδήματος) Λόγω μονοτονικότητας έχουμε και MU i 0 p 1 x 1 x 2... p n x n I 3
Άριστη επιλογή: Διαγραμματική απεικόνιση Ε Ο καταναλωτής δεν επιλέγει το Ε γιατί δεν χρησιμοποιεί όλο το εισόδημά του (ακορεσιμότητα). Ο καταναλωτής δεν επιλέγει το Β γιατί δεν μεγιστοποιεί την χρησιμότητά του, αλλά χρησιμοποιεί όλο το εισόδημα. Το D δεν είναι εφικτό. Ο καταναλωτής μεγιστοποιεί την χρησιμότητά του υπό τον περιορισμό του εισοδήματος στο Α. Συνθήκη της εφαπτομένης: αποτελεί αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για την επιλογή βέλτιστου εσωτερικού σημείου (δεν ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις, αλλά στις πιο ενδιαφέρον). Για εσωτερικό βέλτιστο αναγκαία συνθήκη είναι η u να είναι διαφορίσιμη, ενώ ικανή να είναι αυστηρά κυρτή. 4
Άριστη επιλογή του καταναλωτή Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι στο άριστο: α) Ο ΟΛΥ, δηλαδή η κλίση της καμπύλης αδιαφορίας, είναι ίσος με την κλίση του εισοδηματικού περιορισμού: O Y 21 dx 2 dx 1 p 1 MU 1 MU 2 p 1 MU 1 MU 2 p 1 είτε MU 1 p 1 MU 2 η οριακή χρησιμότητα ανά μονάδα δαπάνης είναι ίση για όλα τα αγαθά. β) Επιπλέον ο εισοδηματικός περιορισμός ικανοποιείται με ισότητα, δηλαδή το εισόδημα εξαντλείται. Στο παράδειγμα στο σημείο Α: MU F MU C P F P C 5
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Τέλεια υποκατάστατα x 2 MRS = -1 Και εισοδηματικό περιορισμό: p 1 x 1 + x 2 = y x 1 6
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Τέλεια υποκατάστατα x 2 MRS = -1 IMRSI < p1/p2 κλίση = -p 1 / με p 1 >. x 1 7
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Τέλεια υποκατάστατα x 2 MRS = -1 IMRSI < p1/p2 κλίση = -p 1 / με p 1 >. x 1 8
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Τέλεια υποκατάστατα x * 2 x 2 y p 2 MRS = -1 IMRSI < p1/p2 κλίση = -p 1 / με p 1 >. * x 1 0 x 1 9
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Τέλεια υποκατάστατα x 2 MRS = -1 IMRSI > p1/p2 κλίση = -p 1 / με p 1 <. * x 2 0 x * 1 y p 1 x 1 10
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Τέλεια υποκατάστατα Έτσι όταν U(x 1,x 2 ) = x 1 + x 2, ο πλέον προτιμώμενος εφικτός συνδυασμός είναι (x 1 *,x 2 *), όπου * * y (x 1,x 2 ), 0 p αν p 1 < και (x 1 * * 1,x 2 ) 0, y αν p 1 >. 11
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Τέλεια υποκατάστατα x 2 MRS = -1 IMRSI = p1/p2 y κλίση = -p 1 / με p 1 =. y p 1 x 1 12
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Τέλεια υποκατάστατα IMRSI = p1/p2 x 2 y Όλοι οι συνδυασμοί πάνω στον περιορισμό είναι εξίσου οι πλέον προτιμώμενοι εφικτοί όταν p 1 =. y p 1 x 1 13
Τέλεια υποκατάστατα: Άριστη επιλογή Επομένως, γενικά (για κάθε συνάρτηση χρησιμότητας που εκφράζει τέλεια υποκατάστατα) έχουμε: x 1 I p 1 O Y 21 p 1 0, I p 1 O Y 21 p 1 0 O Y 21 p 1 Αντίστοιχα και το x2. 14
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Μη κυρτές προτιμήσεις x 2 x 1 15
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Μη κυρτές προτιμήσεις x 2 x 1 16
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Μη κυρτές προτιμήσεις x 2 Ποιος είναι ο πλέον προτιμώμενος εφικτός συνδυασμός; x 1 17
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Μη κυρτές προτιμήσεις x 2 ο πλέον προτιμώμενος εφικτός συνδυασμός x 1 18
Παράδειγμα ακραίας λύσης: Μη κυρτές προτιμήσεις x 2 Σημειώστε ότι η λύση επαφής δεν είναι ο πλέον προτιμώμενος εφικτός συνδυασμός. ο πλέον προτιμώμενος εφικτός συνδυασμός x 1 19
Παράδειγμα με τεθλασμένες λύσεις: Τέλεια συμπληρωματικά x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 x 1 20
Παράδειγμα με τεθλασμένες λύσεις: Τέλεια συμπληρωματικά x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } MRS = - x 2 = ax 1 MRS = 0 x 1 21
Παράδειγμα με τεθλασμένες λύσεις: Τέλεια συμπληρωματικά x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } MRS = - Ο MRS είναι απροσδιόριστος x 2 = ax 1 MRS = 0 x 1 22
Παράδειγμα με τεθλασμένες λύσεις: Τέλεια συμπληρωματικά x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 x 1 23
Παράδειγμα με τεθλασμένες λύσεις: Τέλεια συμπληρωματικά x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } Ποιος είναι ο πλέον προτιμώμενος εφικτός συνδυασμός x 2 = ax 1 x 1 24
Παράδειγμα με τεθλασμένες λύσεις: Τέλεια συμπληρωματικά x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } ο πλέον προτιμώμενος εφικτός συνδυασμός x 2 = ax 1 x 1 25
Παράδειγμα με τεθλασμένες λύσεις: Τέλεια συμπληρωματικά x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } (a) p 1 x 1 * + x 2 * = m (b) x 2 * = ax 1 * x 2 * x 2 = ax 1 x 1 * x 1 26
Παράδειγμα με τεθλασμένες λύσεις: Τέλεια συμπληρωματικά (α) p 1 x 1 * + x 2 * = m; (β) x 2 * = ax 1 *. Αντικαθιστώντας το (β) για x 2 * στο (α) δίνει p 1 x 1 * + ax 1 * = m 27
Παράδειγμα με τεθλασμένες λύσεις: Τέλεια συμπληρωματικά (a) p 1 x 1 * + x 2 * = m; (b) x 2 * = ax 1 *. Αντικαθιστώντας το (β) για x 2 * στο (α) δίνει p 1 x 1 * + ax 1 * = m από το οποίο έχουμε x * 1 p 1 m ap 2 ; x * 2 p 1 am ap 2. 28
Παράδειγμα με τεθλασμένες λύσεις: Τέλεια συμπληρωματικά x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x p * 2 am ap 1 2 * m x1 p ap 1 2 x 2 = ax 1 x 1 29
Τέλεια συμπληρωματικά: Άριστη επιλογή Επομένως, γενικά (για κάθε συνάρτηση χρησιμότητας που εκφράζει τέλεια συμπληρωματικά), η άριστη επιλογή βρίσκεται πάντα πάνω στη διαγώνιο, δηλαδή σε μια από τις γωνίες που κάνουν οι καμπύλες χρησιμότητας. x 2 x 1 30
Αλγεβρική παρουσίαση του προβλήματος του καταναλωτή με n αγαθά max x 1,x 2,...,x n u x 1,x 2,...,x n s.t. p 1 x 1 x 2... p n x n I Βήμα 1 ο : Κατασκευάζω τη συνάρτηση Lagrange Βήμα 2 ο : Αναγκαίες Συνθήκες Πρώτης Τάξης (Α.Σ.Π.Τ.) Βήμα 3 ο : Έλεγχος αν το x* είναι μέγιστο ή ελάχιστο => Συνθήκες Δεύτερης Τάξης 31
Βήμα 1ο : Κατασκευάζω τη συνάρτηση Lagrange max x 1,x 2,...,x n u x 1,x 2,...,x n s.t. p 1 x 1 x 2... p n x n I L x 1,x 2,...,x n, u x 1,x 2,...,x n p 1 x 1 x 2... p n x n I λ: πολλαπλασιαστής Lagrange (Lagrange multiplier) 32
Βήμα 2ο : Αναγκαίες Συνθήκες Πρώτης Τάξης L x i 0 MU i p i 0, i 1,...,n L 0 p 1x 1 x 2... p n x n I 0 p 1 x 1 x 2... p n x n I Λύση: x i p 1,,...p n,i, p 1,,...p n,i συναρτήσεις ζήτησης (κατά Marshall) 33
Βήμα 3 ο : Συνθήκες Δεύτερης Τάξης 1. Κατασκευάζω την εσσιανή μήτρα (μήτρα δευτέρων παραγώγων, Hessian matrix) H L 11 L 12... L 1n L 1 L 21 L 22... L 2n L 2... L n1 L n2... L nn L n L 1 L 2... L n L L i L x i L ij 2 L x i x j L L L i 2 L x i MU i p i MU i x j u ij p 1x 1 x 2... p n x n I p i Άρα έχουμε: u 11 u 12... u 1n p 1 u 11 u 12... u 1n p 1 u 21 u 22... u 2n u 21 u 22... u 2n H...... u n1 u n2... u nn p n u n1 u n2... u nn p n p 1... p n 0 p 1... p n 0 34
Βήμα 3 ο : Συνθήκες Δεύτερης Τάξης (συνέχεια) 2) Κατασκευάζω τις κύριες ελάσσονες (είναι οι ορίζουσες) H 1 u 11 p 1 p 1 0 p 1 2 0 H 2... H n u 11 u 12 p 1 u 21 u 22 p 1 0 p 1 u 12 p 1 2 u 22 2 u 11 p 1 u 21 3) Οι κύριες ελάσσονες H 1, H 2,..., H n εναλλάσσονται σε πρόσημο όταν βρίσκομαι στο x* και είναι μέγιστο (- + - + ) Οι κύριες ελάσσονες H 1, H 2,..., H n έχουν αρνητικό πρόσημο όταν βρίσκομαι στο x* και είναι ελάχιστο (- - - - ) 35
Αλγεβρική παρουσίαση του προβλήματος του καταναλωτή με δυο αγαθά u x 1,x 2 1) L x 1,x 2, u x 1,x 2 p 1 x 1 x 2 I 2) L 0 MU x 1 p 1 0 1 L 0 MU x 2 0 2 MU 1 MU 2 p 1 ή ΙΟΛΥΙ = p1/p2 o x L 0 p 1x 1 x 2 I 36
Αλγεβρική παρουσίαση του προβλήματος του καταναλωτή με δυο αγαθά (συνέχεια) Επίσης έχουμε: p i MU i MU 1 p 1 MU 2 Ο πολ/στής Lagrange μετρά την οριακή χρησιμότητα του χρήματος ή εισοδήματος. 3) Όταν αποδεικνύω ότι οι καμπύλες αδιαφορίας είναι αυστηρά κυρτές, δεν χρειάζεται να κάνω το Βήμα 3. Παίρνω μοναδικό μέγιστο, αρκεί να δείξω ότι d 2 x 2 dx 1 2 0 37
Cobb-Douglas συνάρτηση χρησιμότητας Να λύσετε το πρόβλημα του καταναλωτή με συνάρτηση χρησιμότητας u x 1,x 2 x 1 c x 2 d με c, d >0 και εισόδημα I Τρεις εναλλακτικοί τρόποι επίλυσης: α) O p 1 β) Lagrange γ) βάζω τον περιορισμό στην αντικειμενική συνάρτηση. Δίνουν την ίδια λύση. p 1 x 1 x 2 I 38
Cobb-Douglas συνάρτηση χρησιμότητας (συνέχεια) u x 1,x 2 x 1 c x 2 d α) O p 1 MU 1 MU 2 p 1 cx 1 c 1 d x 2 p 1 dx c d 1 1 x cx 2 p 1 2 dx 1 1 p 1 x 1 x 2 I x 2 I p 1 x 1 2 1, 2 : 3, 2 : x 2 c I p 1 x 1 dx 1 p 1 c I p 1 x 1 dp 1 x 1 x 1 c d c d I c d I p 1 3 39
Cobb-Douglas συνάρτηση χρησιμότητας (συνέχεια) α) Συνθήκες Δεύτερης Τάξης: Δείχνω ότι έχω κυρτές προτιμήσεις dx 2 dx 1 MU 1 MU 2 cx 2 dx 1 d 2 x 2 dx 1 2 cx 2 dx 1 2 0 Παρατήρηση για την Cobb-Douglas συνάρτηση χρησιμότητας: Ποιο ποσοστό δαπανά ο καταναλωτής για την κατανάλωση του αγαθού 1 και ποιο για το αγαθό 2; p 1 x 1 I c c d x 2 I d c d 40
Cobb-Douglas συνάρτηση χρησιμότητας (συνέχεια) β) Lagrange 1) L x 1,x 2, x 1 c x 2 d p 1 x 1 x 2 I 2) L x 1 0 cx c 1 1 x d 2 p 1 0 L 0 dx c x 2 1 x d 1 2 0 cx 2 dx 1 p 1 1 L... 0 p 1x 1 x 2 I 2 3) d 2 x 2 dx 1 2 cx 2 dx 1 2 0 Ίδια διαδικασία όπως πριν. 41
Cobb-Douglas συνάρτηση χρησιμότητας (συνέχεια) γ) βάζω τον περιορισμό στην αντικειμενική συνάρτηση max u x 1,x 2 x c d 1 x 2 x 1,x 2 s.t. p 1 x 1 x 2 I max u x 1,x 2 x c d 1 x 2 x c 1,x 2 max u x 1,x 2 x 1 s.t. x 2 p I 2 p x 1 1 x 1 I p 1 x 1 d d x 1 c... I p 1 x 1 d dx 1 0 42
Άσκηση Να λύσετε το πρόβλημα του καταναλωτή max u x 1,x 2 x a 1 a 1 x 2 x 1,x 2 s.t. p 1 x 1 x 2 I όταν p 1 1, 4, I 80, a 0,5 43
Λύση Έχουμε MU 1 ax 1 a 1 x 2 1 a 0, MU 2 1 a x 1 a x 2 a 0 Άρα λόγω της μονοτονικότητας, ο περιορισμός ισχύει με ισότητα. Επιπλέον, στο άριστο ισχύει: MU 1 p 1 MU 2 ax 2 p 1 1 a x 1 p 1 x 1 x 2 I 2 x 1 p ai 1 0.5 80 40 1 x 2 1 a I 0.5 80 10 4 συναρτήσεις ζήτησης x 2 1 a a p 1 x 1 1 44
Λύση (συνέχεια) ΣΔΤ: d 2 x 2 dx 1 2 ax 2 1 a x 1 2 0 x2 40 30 20 10 x* u=20 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x1 45
Καμπύλες ζήτησης CES Έστω ότι = 0.5 U(x,y) = x 0.5 + y 0.5 Η εξίσωση του Lagrange: L = x 0.5 + y 0.5 - (p x x + p y y - m) Συνθήκες πρώτης τάξης: L/ x = 0.5x -0.5 - p x = 0 L/ y = 0.5y -0.5 - p y = 0 L/ = m - p x x - p y y = 0 46
Αυτό σημαίνει ότι Καμπύλες ζήτησης CES (y/x) 0.5 = p x /p y Με αντικατάσταση στον εισοδηματικό περιορισμό έχουμε ότι οι συναρτήσεις ζήτησης είναι x* p x m [1 p p x y ] y* p y m [1 p p y x ] 47
Καμπύλες ζήτησης CES Σ αυτές τις συναρτήσεις ζήτησης, το μερίδιο του εισοδήματος που δαπανάται είτε για x είτε για y δεν είναι σταθερό Εξαρτάται από το λόγο των δύο τιμών Όσο πιο μεγάλη η σχετική τιμή του x (ή y), τόσο μικρότερο είναι το μερίδιο του εισοδήματος που δαπανάται για το x (ή y) 48
Καμπύλες ζήτησης CES Αν U(x,y) = Min(x, 4y) Το άτομο θα επιλέξει μόνο εκείνους τους συνδυασμούς για τους οποίους ισχύει x = 4y Αυτό σημαίνει ότι m = p x x + p y y = p x x + p y (x/4) m = (p x + 0.25p y )x 49
Καμπύλες ζήτησης CES επομένως, οι συναρτήσεις ζήτησης είναι x* m p 0.25p x y y* 4 m p p x y 50
Έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας είναι το επίπεδο της χρησιμότητας στο άριστο σημείο του καταναλωτή, δηλαδή u x 1 p 1,,I,x 2 p 1,,I V p 1,,I η οποία είναι συνάρτηση των τιμών και του εισοδήματος. Αν αλλάξουν είτε οι τιμές είτε το εισόδημα, η μέγιστη δυνατή χρησιμότητα θα αλλάξει. 51
Επιλογή φόρων Φόρος επί της ποσότητας, p 1 t ή φόρος εφάπαξ στο εισόδημα, I T ; x 2 x 2 B C A x 1 x 1 Α: αρχική επιλογή πριν την επιβολή φόρου με και κλίση p 1 p 1 x 1 x 2 I 52
Επιλογή φόρων Φόρος επί της ποσότητας στο αγαθό 1, p 1 t Ο εισοδηματικός περιορισμός γίνεται: p 1 t x 1 x 2 I με κλίση p 1 t x 1,x 2 Β: Νέα άριστη επιλογή η οποία ικανοποιεί τον εισοδηματικό περιορισμό p 1 t x 1 x 2 I και δίνει έσοδα στο κράτος ίσα με tx 1 53
Επιλογή φόρων (συνέχεια) Φόρος εφάπαξ στο εισόδημα, I T Έστω τώρα ότι το κράτος θέλει να πάρει τα ίδια έσοδα με ένα φόρο επί του εισοδήματος, άρα βάζει T tx 1 Άρα ο εισοδηματικός περιορισμός τώρα είναι p 1 x 1 x 2 I T p 1 x 1 x 2 I tx 1 p 1 με κλίση και περνάει από το σημείο Β αφού το επαληθεύει την x 1,x 2 p 1 x 1 x 2 I tx 1 p 1 t x 1 x 2 I C: Νέα άριστη επιλογή με φόρο στο εισόδημα. Εδώ το κράτος συλλέγει το ίδιο ποσό φόρου T tx 1 και ο καταναλωτής βρίσκεται σε ευνοϊκότερη θέση. 54
Επιλογή φόρων (συνέχεια) Μπορεί το C να είναι αριστερά του Β; Παρατηρήσεις: 1. Ο φόρος εισοδήματος δεν είναι πάντα «καλύτερος» από τον φόρο επί της ποσότητας, αλλά εξαρτάται από τις προτιμήσεις του καταναλωτή (π.χ. χρήση μετρό). 2. Οι εφάπαξ (άμεσοι) φόροι στο εισόδημα επηρεάζουν την εργασία (εργασία - ανάπαυση). 3. Η έμμεση φορολογία μπορεί να επηρεάσει την παραγωγή (εδώ είδαμε μόνο την κατανάλωση). 55
Άσκηση Υποθέστε και πάλι u x 1,x 2 x 1 a x 2 1 a με p 1 1, 4, I 80, a 0,5 Η κυβέρνηση θέλει 20 χρηματικές μονάδες από τον καταναλωτή μέσω: α) εφάπαξ (άμεσης) φορολογίας του εισοδήματος, Τ=20 είτε β) φόρου επί της ποσότητας t, Ποιος είναι ο «καλύτερος» από πλευράς καταναλωτή; Λύση p 1 t x 1 Έχουμε ήδη υπολογίσει ότι στο άριστο x 1 ai p 1. Άρα με τον φόρο επί της ποσότητας έχουμε x 1 ai p 1 t 40 1 t Θέλω T tx 1 20 t 40 t 1. Άρα η κυβέρνηση θα βάλει Τ=20 1 t ή t=1; 56
α) Άσκηση (συνέχεια) x 1 a I T p 1 0,5 60 30 1 x 2 1 a I T 0,5 60 7,5 4 V 1,4,60 30 0.5 7,5 0.5 15 β) x 1 ai p 1 0,5 80 t 1 1 20 x 2 1 a I 0,5 80 10 4 V 2,4,80 20 0.5 10 0.5 14. 142 15 57
Δυϊκό πρόβλημα Ποια είναι η ελάχιστη δαπάνη που απαιτείται ώστε ο καταναλωτής να επιτύχει ένα δεδομένο επίπεδο χρησιμότητας; Αρχικό πρόβλημα (εισόδημα σταθερό) x 2 Δυϊκό πρόβλημα (ψάχνω τη γραμμή εισ. περιορισμού με δεδομένη το επίπεδο χρησιμότητας που θέλω να επιτύχω) x 2 x* h* u x 1 x 1 Στο βέλτιστο πάλι O p 1, αλλά εδώ έχουμε minimum. 58
Αλγεβρική παρουσίαση του δυϊκού προβλήματος min x 1,x 2,...,x n p 1 x 1 x 2... p n x n s.t. u x 1,x 2,...,x n u Βήμα 1 ο : Κατασκευάζω τη συνάρτηση Lagrange L x 1,x 2,...,x n, p 1 x 1 x 2... p n x n u x 1,x 2,...,x n u μ: πολλαπλασιαστής Lagrange 59
Αλγεβρική παρουσίαση του δυϊκού προβλήματος Βήμα 2 ο : Α.Σ.Π.Τ. L x i L 0 p i MU i 0, i 1,...,n 0 u x 1,x 2,...,x n u Λύση: συναρτήσεις ζήτησης κατά Hicks (χικσιανές), h i p 1,,...p n,u Δαπάνη ανά μονάδα χρησιμότητας: p 1,,...p n,u p i MU i Βήμα 3 ο : Συνθήκες Δεύτερης Τάξης, οι κύριες ελάσσονες να έχουν αρνητικό πρόσημο. Έμμεση Συνάρτηση Δαπανών: p 1 h 1 p 1,,...p n,u h 2 p 1,,...p n,u... p n h n p 1,,...p n,u e p 1,,...p n,u 60
Ιδιότητες της έμμεσης συνάρτησης δαπανών Ομογενής πρώτου βαθμού Διπλασιασμός όλων των τιμών συνεπάγεται και διπλασιασμό των αναγκαίων δαπανών Μη- φθίνουσα στις τιμές e/ p i 0 για κάθε αγαθό, i Κοίλη στις τιμές 61
Πρόβλημα του καταναλωτή max u x s.t. px I x x i p,i V p,i u x p,i min px s.t. u x u x h i p,u e p,u ph p,u Εάν βάλω τη V μέσα στο πρόβλημα min, τότε βρίσκω h i x i x i p,i Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης (ή μη αντισταθμιστική ή κανονική), είναι παρατηρήσιμη διότι γνωρίζουμε τις τιμές και το εισόδημα. h i p,u Χικσιανή συνάρτηση ζήτησης (ή αντισταθμιστική), δεν είναι παρατηρήσιμη διότι δεν γνωρίζουμε το επίπεδο του u. 62
Πρόβλημα του καταναλωτή Ταυτότητα Roy Πηγαίνω από την V p,i πίσω στη με τον κανόνα: x i p,i V/ p i V/ I x i p,i Λήμμα Shepard Πηγαίνω από την e p,u πίσω στη h i p,u με τον κανόνα: h i p,u e p i 63
Άσκηση Υποθέστε συνάρτηση χρησιμότητας: u x 1,x 2 x a 1 a με α= 0,5. 1 x 2 Να υπολογίσετε τις χικσιανές συναρτήσεις ζήτησης για τα δυο αγαθά. Οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είναι: x 1 I, x 2 1 I 2 Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας είναι: V I,p 1, I 2p 1 0,5 0,5 64
Άσκηση (συνέχεια) Για να βρούμε τις χικσιανές (αντισταθμιστικές) συναρτήσεις ζήτησης, λύνουμε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας ως προς I και μετά αντικαθιστούμε τις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης ή χρησιμοποιούμε το λήμμα Shepard (στο άριστο I=e και V=u). Δηλαδή: 2p 1 0.5 0.5 V I και αφού x 1 I 2p 1 I 2p 1 x 1 έχω: 2p 1 0.5 0.5 u 2p 1 h 1 h 1 2p 1 0.5 0.5 u up 0.5 2 2p 1 p 1 0.5 ή 2p 1 0.5 0.5 V I e 2p 1 0.5 0.5 u και de d 2p 1 0.5 p 0.5 2 u u dp 1 dp 1 0.5 p 1 0.5 h 1 65
Άσκηση (συνέχεια) Αντίστοιχα και για το h2. Έτσι έχουμε: h 1 up 0,5 2, h 0,5 2 up 1 p 1 0,5 0,5 Η ζήτηση τώρα εξαρτάται από τη χρησιμότητα αντί του εισοδήματος Αυξήσεις στην τιμή μειώνουν την ζητούμενη ποσότητα του h 66