ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.

3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με < είναι f( ) < f( Γράφουμε f στο Δ ( ή f / Δ ) A f και το διάστημα y f ( ) f( ) O Δ A { Δ f Σε μία αύξουσα συνάρτηση, ό,τι σχέση έχουν τα έχουν και τα f() δηλαδή, αν μεγαλώνουν τα, μεγαλώνουν και τα f() και «βλέπουμε» η γραφική παράσταση να «ανεβαίνει» Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με < είναι f( ) > f( Γράφουμε f στο Δ ( ή f / Δ) y f( ) f ( ) O { Δ Σε μία φθίνουσα συνάρτηση ό,τι σχέση έχουν τα, τα f() έχουν αντίστροφη σχέση, δηλαδή, όσο μεγαλώνουν τα, τόσο μικραίνουν τα f() και «βλέπουμε» η γραφική παράσταση να «κατεβαίνει» Σταθερή συνάρτηση y Η f λέγεται σταθερή στο Δ αν για κάθε, Δ, < είναι f( ) = f( ή αν f() = c, για κάθε Δ ( Γράφουμε και f ct (constant) στο Δ ) O ( ) ( ) f = f = c { Δ ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης 7

3 Μονοτονία συναρτήσεων Έστω η συνάρτηση f Για να βρούμε τη μονοτονία της κάνουμε τα παρακάτω: Πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της A Θεωρούμε τους τυχόντες, A, με < και προσπαθούμε «χτίζοντας» σιγά σιγά να καταλήξουμε ή στην ανισότητα f( ) < f(, όπου θα καταλάβουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ή f( ) > f(, όπου θα καταλάβουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα Εφαρμογή Η συνάρτηση f() = είναι γνησίως αύξουσα στο αφού για,, με < είναι < f( ) < f( O Εφαρμογή Η συνάρτηση f() = είναι γνησίως φθίνουσα στο αφού για,, με < είναι > f( ) > f( O 3 Εφαρμογή Η συνάρτηση f() = είναι σταθερή στο ( Τότε για κάθε,, με < ισχύει f( ) = f( = ) O 4 Εφαρμογή Θα μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία στο τη συνάρτηση Απάντηση Η συνάρτηση f ορίζεται στο 4 4 Αν <, είναι > και > 4 4 και προσθέτοντας παίρνουμε + > + f( ) > f( 4 f() = + Διαπιστώνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] Ανάλογα εργαζόμενοι καταλήγουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) O 8

3 Μονοτονία συναρτήσεων Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα Δ και Δ δεν είναι απαραίτητο να είναι και γνησίως αύξουσα στο σύνολο Δ= Δ Δ Για να αποδείξουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ αρκεί να θεωρήσουμε Δ < Δ, ώστε να είναι και f( ) < f( Ανάλογα σκεφτόμαστε για τη γνησίως φθίνουσα Εφαρμογή Θα αποδείξουμε ότι η ορισμένη στο είναι γνησίως αύξουσα στο δεν είναι γνησίως αύξουσα Απάντηση συνάρτηση f() =, είναι γνησίως αύξουσα στο Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, αφού για κάθε < < +, αλλά στο y είναι > < f( ) < f( ) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο +, αφού για κάθε < < είναι > < f( ) < f( ) Όμως, η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο Αν η f ήταν γνησίως αύξουσα στο έπρεπε για < <, να ήταν f( ) < f( < _ + > Άτοπο Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (,] και [, + ) θα αποδείξουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο Απάντηση Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,], αν < < είναι f( ) < f( Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), αν < < είναι f( ) < f( Τώρα, αν <, είναι f( ) < f() και αν >, είναι f( > f() Άρα και για κάθε < είναι f( ) < f(, οπότε, είναι γνησίως αύξουσα στο Να παρατηρήσουμε ότι μας ενδιαφέρει η μονοτονία σε διαστήματα 9

3 Μονοτονία συναρτήσεων Να τονίσουμε ότι συμπεράσματα μονοτονίας μπορούμε να εξάγουμε και με τη βοήθεια όλων των βασικών γραφικών παραστάσεων και των συναρτήσεων που προκύπτουν από τους γνωστούς μετασχηματισμούς γραφικών παραστάσεων 6 Εφαρμογή Θα μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία τις Απάντηση y f() =, g() = f( ) = y y = y = y = y = O O Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,) και γνησίως φθίνουσα στο (, + ) και η g είναι γνησίως αύξουσα στο (,) και γνησίως φθίνουσα στο (, + ) Υπάρχει περίπτωση να μετατρέψουμε πρώτα τον τύπο της συνάρτησης 7 Εφαρμογή + Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f() = +, είναι γνησίως αύξουσα στο (,) και γνησίως φθίνουσα στο (, + ) Απάντηση + + + f() = = + = + + + + + Αν, <, με <, είναι > + > + + < + + + Συνεπώς, η f είναι είναι γνησίως αύξουσα στο (,) Αν, >, με < είναι < + < + + > + + + Συνεπώς, η f είναι είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ) f( ) < f( f( ) > f( 6

3 Μονοτονία συναρτήσεων Αν τώρα ο τύπος της συνάρτησης είναι πιο πολύπλοκος και δεν μπορούμε να «χτίσουμε» μία από τις ανισότητες f( ) < f( ή f( ) > f( ίσως «βολεύει» να θεωρήσουμε τη διαφορά ( ) όπου αν ( ) Δ f( ),f( ) = f( ) f( ) Δ f( ),f( = f( ) f( <, καταλήγουμε ότι f( ) < f( και προφανώς η f είναι γνησίως αύξουσα Δ f( ),f( = f( ) f( >, καταλήγουμε ότι f( ) > f( και προφανώς η f είναι γνησίως φθίνουσα ενώ αν ( ) 8 Εφαρμογή Θα μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία την Απάντηση Έστω,, με < f() =, Αν επιχειρούσαμε να χτίσουμε τις ανισότητες, όπως πριν θα είχαμε πρόβλημα αφού από < δεν θα μπορούσαμε να υψώσουμε άμεσα στο τετράγωνο Αλλά και να διαχωρίζαμε περιπτώσεις, ή αν, (,) ή αν, (, + ) πάλι θα είχαμε πρόβλημα, γιατί από > στην περίπτωση που ήταν, (, + ) θα ήταν και < και δεν θα μπορούσαμε να προσθέσουμε τις ανισότητες κατά μέλη Οπότε, θεωρούμε τη διαφορά: ( ) Δ f( ),f( ) f( ) f( = = ( ) ( = + ( ) ( ) ( ) = + ( ) ( = + O Αν, (,), με f( ) > f( <, είναι προφανές ότι ( ) Δ f( ),f( ) > Οπότε, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,) Αν, (, + ), με <, είναι προφανές ότι Δ( f( ),f( ) < f( ) < f( Οπότε, η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ) 6

3 Μονοτονία συναρτήσεων Γεωμερική ερμηνεία (ε) (ε) Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική της παράσταση το πολύ σε ένα σημείο (ε) (ε) 9 Εφαρμογή m> (ε) (ε) (ε) + m αν Έστω η συνάρτηση f() = αν < Θα βρούμε τις τιμές του m ώστε αυτή να είναι γνησίως αύξουσα στο Απάντηση A c m< B Η γραφική παράσταση της f φαίνεται πιο πάνω, για τις διάφορες τιμές του m Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,) και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Είναι προφανές ότι στην περίπτωση που m<, υπάρχει οριζόντια ευθεία (ε):y c B,c = που τέμνει τη γραφική παράσταση σε δύο σημεία, τα A(,c), ( ) Οπότε είναι f( ) = f( και η συνάρτηση f δεν θα είναι γνησίως αύξουσα στο Συνεπώς m Μονότονες συναρτήσεις αν Έστω η συνάρτηση f() = αν > Αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) και σταθερή στο (,] Μία τέτοια συνάρτηση καλείται αύξουσα συνάρτηση y Ο 6

3 Μονοτονία συναρτήσεων Παρατηρήσεις Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, με, Αf και f( ) < f( είναι < Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα, είναι: f( ) < f( <,, Αf Επίσης, ισχύει και η ισοδυναμία: f( ) f(,, Αf Το " = " όμως ισχύει ταυτόχρονα, δηλαδή αν f( ) = f(, θα είναι = Ανάλογα συμπεράσματα ισχύουν και για τη γνησίως φθίνουσα Αν ένας αριθμός μηδενίζει τον τύπο μίας γνησίως μονότονης συνάρτησης αυτός είναι μοναδικός Απόδειξη Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα Αν η f είχε δύο διαφορετικές ρίζες, έστω τις r < r, τότε θα ήταν και f(r ) < f(r Οπότε < Άτοπο Δηλαδή, μία γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, δεν μπορεί να δεχτεί δύο διαφορετικές ρίζες Δηλαδή, ή δε θα δέχεται καμία ρίζα ή θα δέχεται ως ρίζα μοναδικό αριθμό Με την έκφραση ρίζα της συνάρτησης f εννοούμε ρίζα της εξίσωσης f() = Να αποφεύγουμε την έκφραση «η συνάρτηση δέχεται το πολύ μία ρίζα» γιατί για παράδειγμα η συνάρτηση f() = ενώ είναι γνησίως αύξουσα έχει τρεις ίσες ρίζες με Όμως, από δω και πέρα θα θεωρείται ορθή 3 y Ο Έτσι αν διαπιστώσουμε ότι μία γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει ρίζα το ρ θα λέμε ότι είναι μοναδική ρίζα της, ανεξάρτητα αν είναι διπλή Είναι προφανές ότι η γραφική παράσταση κάθε γνησίως μονότονης συνάρτησης τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα σημείο 63

3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Β Επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων Για να λύσουμε μία εξίσωση που δεν λύνεται με τις γνωστές μεθόδους συνήθως μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και θεωρούμε ως συνάρτηση f με τύπο την παράσταση του πρώτου μέλους Βρίσκουμε τη μονοτονία της συνάρτησης Προσπαθούμε στην αντίστοιχη εξίσωση f() = να αντικαταστήσουμε το με κάποιο f( o), ώστε αυτή από = να δώσει ισοδύναμα = o f() f( o) όπου το o συνήθως είναι μία προφανής ρίζα της συνάρτησης Εντελώς ανάλογα σκεφτόμαστε για την επίλυση μίας ανίσωσης Εφαρμογή Θα λύσουμε την εξίσωση Απάντηση Η εξίσωση + = + = ισοδύναμα γίνεται Θεωρούμε τη συνάρτηση Έστω, + = f() = +, η οποία ορίζεται στο με <, τότε είναι και n+ n+ < (Γενικά ισχύει: a< b a < b, για κάθε φυσικό n) Προσθέτοντας τις πιο πάνω σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε + < + + < + f( ) < f( Δηλαδή, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα Οπότε + = + = f() = f() = f() = Εφαρμογή Θα λύσουμε την ανίσωση Απάντηση Η ανίσωση + < + < ισοδύναμα γίνεται + < Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = +, η οποία ορίζεται στο Έστω, με <, τότε είναι και < Οπότε + < + + < + f( ) < f( Δηλαδή, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα Οπότε, η + < ισοδύναμα γίνεται f() < f() < f() < 64

Υπάρχει περίπτωση να μην τα φέρουμε όλα σε ένα μέλος 3 Μονοτονία συναρτήσεων Ταξινομούμε τα μέλη κατάλληλα ώστε να μοιάζουν, δηλαδή τα δύο μέλη να μπορεί να γίνουν τιμές της ίδιας γνησίως μονότονης συνάρτησης Βρίσκουμε τη μονοτονία της συνάρτησης Λύνουμε την εξίσωση ή την ανίσωση με μονοτονία Εφαρμογή Θα λύσουμε την εξίσωση Απάντηση Η εξίσωση γράφεται και ως (3 ( ) = 3 + (3 ( ) = 3 + Θεωρούμε τη συνάρτηση (3 + (3 = ( ) + ( ) f() = + η οποία προφανώς είναι γνησίως αύξουσα = Η πιο πάνω εξίσωση γίνεται ( f 3 f( ) = 3 = = Για να βρούμε τη μονοτονία, ίσως χρειαστεί να θεωρήσουμε την κατάλληλη συνάρτηση, ειδικά στην περίπτωση των εκθετικών, λογαριθμικών συναρτήσεων 3 Εφαρμογή Θα λύσουμε την εξίσωση ln( ) = Απάντηση Αν θεωρούσαμε τη συνάρτηση f() = ln( ) είναι δύσκολο να βρούμε τη μονοτονία της Επειδή ln( ) = ln( ) =, > θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln( ), > Αν, (, + ), με < προκύπτει πολύ απλά ότι f( ) < f( Δηλαδή, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα Οπότε, το που προφανώς είναι ρίζα της f, αφού f() = ln( ) = είναι και μοναδική ρίζα της, άρα και μοναδική ρίζα της εξίσωσης Στις εκθετικές και λογαριθμικές συνηθίζεται ο πιο πάνω μετασχηματισμός 6

3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Γ Θεωρητικά θέματα Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε θεωρητικά θέματα μπορούμε να κινηθούμε και με απαγωγή σε άτοπο 4 Εφαρμογή Θα αποδείξουμε ότι η Απάντηση 66 f/ +, με f() f() =, > είναι γνησίως αύξουσα α τρόπος Έστω, >, με <, όπου προφανώς f( ),f( > Αν f( ) = f(, τότε f( ) = f( ) f( f( ) f( ) ) = f( = Άτοπο f( ) f( Αν f( ) > f(, τότε > > f( f( ) f( ) ) > f( > Άτοπο Άρα, είναι f( ) < f( και συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο β τρόπος Επειδή η g() = στο (, + ) είναι γνησίως αύξουσα υποθέτοντας τους < f( ) f( είναι και f( ) < f( g(f( )) < g(f( ) f( ) < f( και άρα f Με τη μονοτονία αποδεικνύουμε και ανισοτικές σχέσεις Εφαρμογή Θα μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία στο Μετά θα αποδείξουμε ότι ημ π < Απάντηση + π, την π f() = + ημ π π π π Για τους,, ώστε <, είναι + < + π π Επειδή η g() = ημ είναι γνησίως αύξουσα στο, είναι και ημ < ημ π π Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη, είναι + ημ< + ημ f( ) < f( Οπότε, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα Από π π π π < είναι f < f π π π π π π + ημ < + ημ 6 6 6 6 π 7π π < ημ π < ημ 3

3 Μονοτονία συναρτήσεων Λ υ µ έ ν α θ έ µ α τ α Να αποδείξετε ότι η ορισμένη στο D = (,] συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα f() = + + Έστω, D, με < Είναι και + < + + < + > + + () Επίσης από < > > > ( Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (), ( παίρνουμε + > + + + f( ) > f( Δηλαδή, η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο D Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία στο τη συνάρτηση f() = + Έστω,, με < = = f( ) f( Θεωρούμε τη διαφορά Δ Δ( f( ),f( )) Δ ( ) ( ) ( )( ) + + = = + + + + = ( + ) ( + ( + )( + ) y Ο + = ( ) ( ) = ( )( ) = ( + )( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) Οπότε, αν, >, είναι Δ(, > f( ) > f( και άρα f // (, + ) αν <, <, είναι Δ(, < f( ) < f( και άρα f // (,) αν, <, είναι Δ(, > f( ) > f( και άρα f // (,) 67

3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Έστω η συνάρτηση f() = + ln, > α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να λύσετε την ανίσωση < ln( ) C f α Απλά με ορισμό προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Ο β Θα λύσουμε την ανίσωση < ln( ) Πρέπει > > Ισοδύναμα είναι + ln( ) < f( ) < f() < < Διαπιστώνουμε ότι οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι αριθμοί, ώστε < < 4 Να λύσετε στο την ανίσωση + 3 > Η ανίσωση + 3 > ισοδύναμα γράφεται 3 + > 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = +, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα αφού για κάθε <, είναι >, 3 3 > και προσθέτοντας αυτές κατά μέλη, τελικά παίρνουμε f( ) > f( Οπότε, η ανίσωση γίνεται 3 3 + > = + f() > f() < Να λύσετε στο την εξίσωση + = + Έστω η συνάρτηση f() = +, η οποία προφανώς είναι αύξουσα Η εξίσωση + = + ισοδύναμα γίνεται + = + f() = f( = = 68

3 Μονοτονία συναρτήσεων 6 Να λύσετε την εξίσωση ( ) = + Η εξίσωση ( ) = + ισοδύναμα γίνεται ( ) + ( ) = Θεωρούμε τη συνάρτηση Οπότε f() = + που είναι προφανώς γνησίως αύξουσα ( ) + ( ) = f( ) = f() = = 7 Να λύσετε την εξίσωση Με βάση το σχήμα Hornr προκύπτει ότι 6 + 3+ = 6 + 3 + = ( )( + 6 + 3+ = = ή Επειδή η συνάρτηση η εξίσωση + = f() = + είναι γνησίως αύξουσα + = ισοδύναμα γίνεται f() = f() = 8 Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο, να λύσετε την ανίσωση 9 f( + ) < f( 9 Πρέπει + Af = και Af = Προφανές και άρα «ψάχνουμε» τα 9 9 Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, από f( + ) < f( + < Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση 9 r() = +, που είναι γνησίως αύξουσα 9 9 9 9 αφού για κάθε <, είναι <, οπότε και + < + f( ) < f( 9 Έτσι η ανίσωση + < ισοδύναμα γίνεται r() < r() < 9 Έστω οι συναρτήσεις f,g, ώστε f() = g(), α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h() = + είναι γνησίως αύξουσα στο β Να αποδείξετε ότι f() f() > g() g() α Υποθέτοντας < καταλήγουμε πολύ απλά ότι h( ) < h( β Επειδή η συνάρτηση - -3 + + + + + + - - h() = + = f() + g() είναι γνησίως αύξουσα από < είναι h() < h() f() + g() < f() + g() f() f() > g() g() 69

3 Μονοτονία συναρτήσεων Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() = + + Είναι το Α =, αφού η συνάρτηση g() = + ως γνησίως αύξουσα που προφανώς είναι, έχει μοναδική ρίζα το την προφανή Έστω η γνησίως αύξουσα στο συνάρτηση f, ώστε f( ) + f() + f() = α Να αποδείξετε ότι f( )f() β Να λύσετε την εξίσωση f() + f( ) + f( + = α Αν ήταν f( ) >, από < <, θα ήταν και < f( ) < f() < f() Οπότε και f( ) + f() + f() > Άτοπο και άρα f( ) Αν ήταν f() <, από < <, θα ήταν και f( ) < f() < f() < Οπότε και f( ) + f() + f() < Άτοπο και άρα f() και τελικά f( )f() β Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, από,, με < είναι και f( ) < f(, < f( ) < f( ) όπως και f( + < f( + Προσθέτοντας κατά μέλη, είναι f( ) + f( ) + f( + < f( ) + f( ) + f( + Δηλαδή η συνάρτηση Οπότε, η εξίσωση h() = f() + f( ) + f( + είναι γνησίως αύξουσα f() + f( ) + f( + = γίνεται h() = = h() = Αν για τη γνησίως αύξουσα στο συνάρτηση f είναι f( ) + f() = f() +, για κάθε, να αποδείξετε ότι f( f() < Από f( ) + f() = f() + για = παίρνουμε f(3) + f( = f() + f(3) + f( = f() + f() + f(3) f() = f() f( + Επειδή από 3> είναι f(3) > f(), θα είναι και f() f( + > f( f() < 7

3 Έστω οι γνησίως αύξουσες στο συναρτήσεις f, g 3 Μονοτονία συναρτήσεων α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h= f+ g είναι γνησίως αύξουσα στο β Έστω τώρα και η συνάρτηση F() = + Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα γ Αφού διαπιστώσετε ότι το είναι μία ρίζα της συνάρτησης F A μετά να διαπιστώσετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός A, ώστε + + A= δ Να βρείτε τα διαστήματα όπου η C F είναι «πάνω» ή «κάτω» από τον α Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο, από <, είναι f( ) < f( Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο, από <, είναι g( ) < g( είναι και f() + g() < f() + g() (f + g)( ) < (f + g)( h( ) < h( Οπότε, η h είναι γνησίως αύξουσα στο Να παρατηρήσουμε ότι μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα άμεσα χωρίς τη χρήση της βοηθητικής πρότασης β Η συνάρτηση f() = είναι γνησίως αύξουσα στο όπως και η συνάρτηση g() = είναι γνησίως αύξουσα στο Συνεπώς και το άθροισμά τους η γ Είναι Τώρα είναι F() = + = A + + A= F() = + είναι γνησίως αύξουσα στο A + + A+ = F(A + ) = F(A + ) = F() A+ =, αφού η F είναι γνησίως αύξουσα A= δ Ισχύει F() > F() > F() > Οπότε, η γραφική παράσταση Όμοια, διαπιστώνουμε ότι η C F είναι «πάνω» από τον στο (, + ) C F είναι «κάτω» από τον στο (, ) 7

3 Μονοτονία συναρτήσεων 4 Αν α τρόπος 3 3 f () + f() = +, Έστω,, με < 3 3 τότε είναι < και συνεπώς + < + οπότε και f() + f() < f() + f() 3 3 f() + f() f() f() < 3 3, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα 3 3 f( ) f( ) f ( ) + f( )f( ) + f ( ) + f( ) f( ) < ( )( ) ( ) ( f( ) f( )( f ( ) + f( )f( + f ( + ) < Επειδή f() + f()f() + f() + >, αφού Δf( ) = 3f ( 4 <, είναι f( ) < f( Άρα, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο β τρόπος Με απαγωγή σε άτοπο, κινούμαστε πιο γρήγορα ως εξής: Έστω,, με < 3 3 Αν ήταν f( ) > f(, τότε f( ) > f( και f() > f(), και προσθέτοντας 3 3 3 3 θα παίρναμε f() + f() > f() + f() + > + > Άτοπο Όμοια, αν υποθέταμε ότι f( ) = f(, θα καταλήγαμε σε άτοπο Οπότε είναι f( ) < f( και συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα γ τρόπος Θα λέγαμε ότι,μπορούμε να κινηθούμε πιο έξυπνα ως εξής: Θεωρούμε την 3 r() = +, η οποία προφανώς είναι γνησίως αύξουσα 3 3 3 3 Αν,, με <, είναι < και συνεπώς + < + 3 3 Οπότε και f() + f() < f() + f() r( f( ) ) < r( f( ) f( ) < f( Οπότε, η f είναι γνησίως αύξουσα 7

3 Μονοτονία συναρτήσεων Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση f: Η γραφική παράστασή της διέρχεται από τα σημεία A(3, και B(,) α Να λύσετε την εξίσωση ( ) β Να λύσετε την ανίσωση f 3+ f( + = f () f() + > Επειδή 3< και f(3) = < f() =, η f προφανώς είναι γνησίως αύξουσα α Η εξίσωση ( ) γίνεται f( 3 f( ) f() f 3+ f( + = + + = f( + = f(3) β Η ανίσωση + = 3 3+ f( + = f( + = + 3= = 3 ή = f() f() + > γίνεται f() < f() < f(3) < 3 f() > f() < f() > 6 Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο και η g γνησίως φθίνουσα στο να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = g() δέχεται ως ρίζα το πολύ έναν αριθμό Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g() Έστω,, με < Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι f( ) < f( Επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα, θα είναι g( ) > g( g( ) < g( Προσθέτοντας τις σχέσεις, έχουμε: f() g() < f() g() h( ) < h( Άρα, η h ως γνησίως αύξουσα θα έχει ως ρίζα το πολύ έναν αριθμό Δηλαδή, η εξίσωση δεν μπορεί να δεχτεί δύο διαφορετικές ρίζες Η πιο πάνω δίνει γεωμετρικά την πληροφορία ότι τα διαγράμματα έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο C f, C g Για παράδειγμα, επειδή η συνάρτηση f() = είναι γνησίως αύξουσα η g() = ln + είναι γνησίως φθίνουσα και f() = g() = οι γραφικές παραστάσεις C f, C g θα τέμνονται μόνο στο M(,) 73

3 Μονοτονία συναρτήσεων Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Μονοτονία συναρτήσεων Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις: α 3 f() = + β f() = γ f() = δ f() = ( + ) Να αποδείξετε ότι η f() 3 = ln είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) 3 Να αποδείξετε ότι η f() = είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) 4 4 Έστω η συνάρτηση f() = Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την f στα διαστήματα (,] και [, + ) Να αποδείξετε ότι η 9 6 3 f() = + 3 + 3 + είναι γνησίως αύξουσα στο 6 Να αποδείξετε ότι η f() = είναι γνησίως αύξουσα στο + 7 Να αποδείξετε ότι η f() = 3 + είναι γνησίως αύξουσα στο f() = ln + ln( ) 8 Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση ( ) στα διαστήματα (,) και (, + ) 9 Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία την f() = ln( 3 + ln( 74

3 Μονοτονία συναρτήσεων Επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων 7 Έστω η συνάρτηση f() = + α Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα 7 β Να λύσετε την εξίσωση + 3= Να λύσετε την ανίσωση Έστω η συνάρτηση + > f() = + In( + ) α Δείξτε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο + β Δείξτε ότι η f έχει ακριβώς μία ρίζα, την προφανή 3 Έστω η ορισμένη στο συνάρτηση 3 f() = + + α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα στο 3 + 3 3 3 3 β Να λύσετε την ανίσωση + ( + ) + + < + ( ) + 4 Έστω η συνάρτηση f() = α, και < α < α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία λ 4 λ β Να βρείτε τις τιμές του λ,, > λ λ, ώστε ( ) ( ) Έστω η συνάρτηση f() = ln + α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να λύσετε την εξίσωση ln = ( ln) 6 Έστω η συνάρτηση f() = +, α Να αποδείξετε ότι f είναι γνησίως αύξουσα + lkn + β Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις + ln= + και + ln= + είναι ισοδύναμες, με μοναδική λύση την = 3 7 Έστω η συνάρτηση f() = +, α Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα β Να λύσετε τις εξισώσεις β + 3 = β = 3 β 3 4 + 9 = + 7

3 Μονοτονία συναρτήσεων Γενικά θέματα 8 Από τις διπλανές συναρτήσεις να βρείτε ποια είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της α O β y y O αν αν 9 Έστω οι συναρτήσεις f() =, g() = αν < + αν < Να εξετάσετε ποια από αυτές είναι γνησίως αύξουσα στο Έστω η γνησίως αύξουσα στο συνάρτηση f Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση fo f είναι γνησίως αύξουσα στο Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και γνησίως αύξουσα στο [, + ),f() = Να δείξετε ότι η g() = + f f() ορίζεται στο + και είναι γνησίως φθίνουσα 6 Έστω συνάρτηση f() = + 3 + Να αποδείξετε ότι είναι το μοναδικό σημείο στο οποίο η είναι το A(,) και μάλιστα εφάπτεται αυτού C f τέμνει τον 3 Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες στο f() = + και + g() = + 4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) + + + 3= έχει μοναδική ρίζα Να λύσετε την εξίσωση 3 3 ( ) = ( ) 6 Έστω οι συναρτήσεις f() = + ln( ) και α Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την g β Να αποδείξετε ότι οι f και g έχουν το ίδιο πρόσημο γ Να λύσετε την ανίσωση f < g() = ln +, > 76

7 Αν 3 f() g() 3 Μονοτονία συναρτήσεων = +,, να αποδείξετε ότι Cf C g = {M(,y),y } 8 Έστω η γνησίως μονότονη στο με το ίδιο είδος μονοτονίας συνάρτηση f και τα σημεία A(,), B(,3) είναι σημεία του διαγράμματος C της f Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να λύσετε την ανίσωση f() < 9 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση π στο διάστημα, και μετά να αποδείξετε ότι συν π > 3 Έστω η συνάρτηση f() = +, α Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης F() = ln h() h( ) π f() = συν γ Αν για την ορισμένη στο συνάρτηση h είναι = h() h( ) με, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι περιττή 3 3 Έστω η συνάρτηση f, ώστε f() + f () =, για κάθε α Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β Να λύσετε την ανίσωση > f() 3 Έστω η ορισμένη και γνησίως αύξουσα στο συνάρτηση f και η συνάρτηση g() = f() + f(3), α Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα β Να αποδείξετε ότι β g() < g(, > β g() > g(, < γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() f( = f(6) f(3) έχει λύση μόνο το = 33 Έστω η συνάρτηση f, ώστε f () = f(), για κάθε α Να βρείτε το f() β Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα γ Να βρείτε πότε το διάγραμμα C f είναι «κάτω» από την ευθεία (ε):y = 77

3 Μονοτονία συναρτήσεων 34 Έστω η γνησίως μονότονη στο συνάρτηση f Γνωρίζουμε ότι f( ) + f(+ ) =, για κάθε α Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα β Να λύσετε την εξίσωση f( ) = γ Να λύσετε την ανίσωση f ( ) + f( + ) f() + f( 3 Έστω η γνησίως φθίνουσα στο συνάρτηση f, ώστε f() f( = Έστω και η συνάρτηση h() = f( ) f(+ ), α Να αποδείξετε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα β Να λύσετε τις ανισώσεις β h() < β f( ) < + f( + ) 36 Έστω η ορισμένη στο συνάρτηση f, ώστε (f o f)() f(), α Να αποδείξετε ότι (f o f)() = f(), β Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, να βρείτε τη συνάρτηση f 37 Αν για τη γνησίως αύξουσα στο συνάρτηση f είναι f() g() για κάθε, να αποδείξετε ότι ( fof )() ( go g )(), για κάθε 38 Έστω η γνησίως αύξουσα στο συνάρτηση f α Να αποδείξετε την ισοδυναμία: f( f() ) = f() = 7 7 + + = β Να λύσετε την εξίσωση ( ) 7 39 Αν 7 7 f() + f() = f() + f(),, να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια 4 Έστω η ορισμένη και γνησίως αύξουσα στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει ( ) α Να αποδείξετε ότι f( + ) = f f( ) + + + =, για κάθε β Να αποδείξετε ότι fln ( + ) + f(+ ) =, (, + ) γ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ() = + ln, > είναι γνησίως αύξουσα δ Να αποδείξετε την ισοδυναμία f( + ) = =, αν (, + ) 78

3 Μονοτονία συναρτήσεων Συνδυαστικά θέµατα του µαθήµατος Θέµα Έστω η γνησίως αύξουσα και περιττή στο συνάρτηση f Έστω και η συνάρτηση F() = f() +, Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα Α Να αποδείξετε ότι F() = Α 3 Να βρείτε το πρόσημο της F Β Να λύσετε την ανίσωση f() + < f( ) + Θέµα + Έστω η συνάρτηση f() =, + + Α Αν,, με <, να αποδείξετε ότι f( ) f( > Β Να αποδείξετε ότι f() + + > + + f() + Β Να λύσετε την ανίσωση ( + ) < ( + )( + + ) Β 3 Να αποδείξετε ότι 6 8 7 + + + + + < + + + + + 7 9 6 8 Θέµα 3 Έστω η συνάρτηση f() =, + Α Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f έχει κέντρο συμμετρίας το O Β Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα αν Γ Να αποδείξετε ότι f() = + και να παραστήσετε την f + αν < r r Δ Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς r, ώστε να είναι < r + + r Ε Αν h() ( g() ) g() ( h() ) + = +, για κάθε, να αποδείξετε ότι h= g/ 79

3 Μονοτονία συναρτήσεων Θέµα 4 Έστω η συνάρτηση f:, ώστε f() = της οποίας η γραφική παράστασή της δίνεται δίπλα f 3 < Α Να αποδείξετε ότι ( ) Α Να αποδείξετε αλγεβρικά, ότι f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (,) και (,+ ) αλλά δεν είναι γνησίως αύξουσα στο X 3 Β Να λύσετε την εξίσωση = 3 Β Να βρείτε τον φυσικό n, ώστε n n 9n = O C f Θέµα Έστω η συνάρτηση h() = +, με Α Να λύσετε τις εξισώσεις: Α Β Να λύσετε την εξίσωση hh() ( ) = = Α = Γ Να αποδείξετε με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων h() ότι η εξίσωση + h() =, έχει μόνο μία λύση, που είναι και αρνητική Δ Να αποδείξετε η εξίσωση h() + h( = έχει μοναδική ρίζα το Ε Έστω οι συναρτήσεις f, g, ώστε Να αποδείξετε ότι f() f( < g() g( Θέµα 6 f() = + g(), για κάθε Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f:, με f() = και οι συναρτήσεις g() =, h() = f() g(), Α Να βρείτε το πρόσημο της f Β Να βρείτε τη μονοτονία των συναρτήσεων g και h Β Να βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των f, g Β 3 Να λύσετε την εξίσωση f() f() = g() + =, να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) Γ Αν f( ) f() f + f = Δ Να αποδείξετε ότι f()g(), 8

3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων Εύρεση μονοτονίας συναρτήσεων α Γνησίως αύξουσα στο β Γνησίως φθίνουσα στο (,] γ Γνησίως αύξουσα στο δ Γνησίως αύξουσα στο [, + ) Γνησίως αύξουσα στο [, + ) 3 Γνησίως αύξουσα στο (, + ) 4 Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Η 9 6 3 9 6 3 3 3 f() = + 3 + 3 + = + 3 + 3 + + = ( + ) + είναι γνησίως αύξουσα 6 Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) 7 Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 8 Η f() ln = + είναι γνησίως αύξουσα στο (,) και φθίνουσα στο (, ) 9 Η f() = ln( είναι γνησίως αύξουσα στο D = (, + ) Επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων α Ορισμός β = Η f() = + είναι γνησίως αύξουσα Οπότε, η ανίσωση + > ισοδύναμα γίνεται f() > f() > α Ορισμός β Το = είναι και η μοναδική ρίζα της f 3 α Η f είναι γνησίως αύξουσα και f() = f() = f() = 3 β f ( ) f ( ) + < f() < f() < 4 6 7 α Η f() = α, < α < είναι γνησίως φθίνουσα β ( ) ( ) Οπότε λ 4 λ > f( λ 4) f( λ,, λ λ λ 4 < λ α Η f είναι γνησίως αύξουσα β ln = ( ln) λ λ < λ (, ln = + >, για α =, f() = f() = α Η f είναι γνησίως αύξουσα β + ln= + f(ln) = f() ln = = + ln + ++ln= ++ f( + ln) = f( + ) + ln= + = Οπότε, αυτές είναι ισοδύναμες με μοναδική λύση την = α Ορισμός β f() = f() = β f() = f() = β 3 f( = f() = 3

3 Μονοτονία συναρτήσεων Γενικά θέματα 8 9 β f Η fo f είναι γνησίως αύξουσα Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ),από > είναι f() > f() = Με βάση τον ορισμό αποδεικνύουμε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα 3 4 6 f() = + 3 + = ( )( + Η g() = + έχει μοναδική ρίζα το και άρα το είναι διπλή ρίζα της f + f() = = + + και + + g() = = + f() + Με ορισμό αποδεικνύουμε ότι αυτές είναι γνησίως αύξουσες Η συνάρτηση ( ) 3 Η f() = + είναι γνησίως αύξουσα + + + = f( + ) = = f() + = = 3 f() = + είναι γνησίως αύξουσα 3 3 ( ) = ( ) f( ) = f() = =, = 6 7 α Η g() = ln + είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) β f() = ( + ln) = + ln = ln+ = g() Επειδή >, αυτές έχουν το ίδιο πρόσημο γ Πρέπει πρωτίστως να είναι > < f <, < g < = g() Η 3 h() g() f() < < < = = + είναι γνησίως αύξουσα και h() = g() = f() Δηλαδή, οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται μόνο στον yy 8 Επειδή f() = < f( = 3 και <, προφανώς είναι γνησίως αύξουσα 9 f() < f() < f() < π Η f είναι φθίνουσα στο,, από π < π 4 f π > f π 4 συν π > 33

3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 α Με ορισμό β > και ln f(ln) f() ln, άρα D = (,] h() h( ) h() + h( ) γ = h() h( ) + h() + h( ) = ή f(h() + h( )) = f() h() + h( ) = h( ) = h() και είναι περιττή 3 3 3 α Αν < είναι < και άρα f() + f() < f() + f() 3 Δεδομένου ότι η g() = + είναι αύξουσα είναι g( f( ) ) < g( f( ) < β Από 3 f() + f () = για = είναι > f() ( )( ) 3 f() + f () = και τελικά f() = 3 f() + f () > f () f 3 () f () + f() > f() + f() > f() > f() > f() > 3 α Αν <, είναι f( ) < f( και τελικά έχουμε g( ) < g( Δηλαδή, η g είναι γνησίως αύξουσα β Αν > είναι < και άρα g() < g( β Αν < είναι > και άρα g() > g( γ f() f( = f(6) f(3) f() + f(3) = f( + f(6) g() = g( = 33 34 3 α Επειδή η g() = + είναι γνησίως αύξουσα και από f () = f() για = έχουμε f () + f() = είναι f() = β Με ορισμό και χρησιμοποιώντας τη γνησίως αύξουσα συνάρτηση g γ f() < < α Με άτοπο προκύπτει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα β Η σχέση f ( ) + f(+ ) =, για = δίνει f() = f( ) = f( ) = f() = = γ Η σχέση f ( ) + f(+ ) =, για και για το δίνει f( ) + f( + ) = Οπότε f( ) + f( + ) f() + f( = δίνει ( ) f+ f( = α Με ορισμό β Από f() f( = και < είναι f() > f(, άρα f() f( = h() = β h() < h() < h() < β f( ) < + f( + ) h() < = h() < 34

3 Μονοτονία συναρτήσεων 36 α Η f( f() ) f() για το f() δίνει f() f( ( f() )) f(f()) και έτσι f( f() ) β Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και f() = 37 Από f() g() είναι και f( f() ) f( g() ) Από f() g() για το g() είναι και fg() ( ) gg() ( ) Οπότε f( f() ) g( g() ) και τελικά ( f f )() ( ) o go g (), για κάθε = f() 38 α Με άτοπο, αν υποθέταμε ότι υπάρχει o, ώστε f( o) > o ή f( o) < o β θεωρώντας τη συνάρτηση 7 7 7 ( ) ( ) 7 f() = + + + + = f( f() ) = f() = 7 + = = 39 Θεωρώντας τη γνησίως αύξουσα συνάρτηση η εξίσωση 7 7 f() f() f( ) f( ) 7 g() = + + = + γίνεται gf() ( ) gf( ( ) ) = f() = f( ) 4 α Η σχέση ( ) f f( ) β Βάζουμε όπου το ln γ Με ορισμό δ f( ) + + + = για = δίνει f( + ) = + = ( ) fln+ = = f(+ ) φ() = φ() = Συνδυαστικά θέµατα του µαθήµατος Θέμα Α Αν < καταλήγουμε ότι F( ) < F( και άρα η F είναι γνησίως αύξουσα Α Αφού f είναι περιττή, είναι f( ) = f() και για = προκύπτει f() = Οπότε και F() = Α 3 Αν < είναι F() < F() = και αν > είναι F() > F() = Β f() + < f( ) + + < + F() < F( ) < f() f( ) Θέμα Α Πράξεις Β Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα, f( f() ) > f() f() < Προφανές Β Γίνεται f() < f( ) > Β 3 Αφού 6> είναι f(6) < f() και αφού 8> 7 είναι f(8) < f(7) 3

3 Μονοτονία συναρτήσεων Θέμα 3 Α Η f είναι περιττή Β Με ορισμό Γ Δίπλα Δ r r < r + + r r f ( ) f ( r) < Ε h() ( + g() ) = g() ( + h() ) fh() ( ) fg() ( ) r + < φ(r) < φ() r< = h() = g(), Θέμα 4 Α Πράξεις Α Με αντιπαράδειγμα παίρνοντας < 3 Β = 3 Β n= Θέμα Α = Α = Β hh() ( ) = = h() h() = h() = h() = Γ h() + h() = h() = Δ Η συνάρτηση g() = h() + h( είναι γνησίως αύξουσα και έτσι h() + h( = g() = g() = Ε f() = + g() = και είναι προφανές το ζητούμενο f() g() = + = h() που είναι γνησίως αύξουσα Από < είναι h() < h() f() f( < g() g( Θέμα 6 Α f() > για >, f() < για < Β g, h Β f() = g() =, f() < g() <, f() > g() > Β 3 = Γ = Δ Διακρίνουμε περιπτώσεις: αν, και μετά χρησιμοποιούμε τη μονοτονία της g και το πρόσημο της f 36