KALKULUS LANJUT Integral Lipat Resmawan Universitas Negeri Gorontalo 7 November 218 Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 1 / 57
13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.5 Latihan 2 13.4. Integral Lipat pada Koordinat Polar Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 41 / 57
13.4. Integral Lipat pada Koordinat Polar 4.1 Sistem Koordinat Polar 4.1 Sistem Koordinat Polar Sistem koordinat polar terdiri dari sumbu polar, yaitu berupa setengah garis yang berimpit dengan sumbu x positif pada bidang R 2 dan titik asal O. Setiap titik P pada bidang kemudian dinyatakan dengan jaraknya dari O, katakanlah r, dan besar sudut θ yang dibentuk oleh ruas garis OP dan sumbu polar (dihitung berlawanan arah dengan arah jarum jam). Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 42 / 57
13.4. Integral Lipat pada Koordinat Polar 4.2 Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius 4.2 Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius Jika P P(r, θ), maka P dapat dinyatakan dalam koordinat Cartesius sebagai P P(x, y) dengan x r cos θ dan y r sin θ Sebaliknya, jika P P(x, y), maka P dapat dinyatakan dalam koordinat polar P P(r, θ) dengan r 2 x 2 + y 2 dan tan θ y/x dengan penafsiran nilai θ yg tepat untuk x. Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 43 / 57
13.4. Integral Lipat pada Koordinat Polar 4.3 Persamaan Kurva dalam Koordinat Polar 4.3 Persamaan Kurva dalam Koordinat Polar Persamaan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari R dapat dinyatakan secara sederhana dalam koordinat polar sebagai r R, θ 2π Persamaan setengah garis y x, dengan x >, dapat dinyatakan dalam koordinat polar sebagai r >, θ π 4 Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 44 / 57
Jika Elemen Luas dalam Koordinat Cartesius dinyatakan dengan A x. y Maka Elemen Luas dalam Koordinat Polar dinyatakan dengan A r r. θ Tahu darimana? Perhatikan Gambar berikut: Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 45 / 57
Definition Dengan subtitusi stitusi x r cos θ dan y r sin θ, integral lipat dua yang semula dinyatakan dalam koordinat Cartesius sekarang dinyatakan dalam koordinat polar sebagai: f (x, y) da f (r cos θ, r sin θ) r drdθ R R Catatan: Daerah seperti setengah lingkaran atau cincin dalam koordinat polar, setara dengan persegi panjang. Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 46 / 57
Beberapa daerah dalam koordinat polar yang perlu diperhatikan: Daerah cakram lingkaran S { (x, y) x 2 + y 2 R 2} dapat dinyatakan sebagai S {(r, θ) r R, θ 2π} Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 47 / 57
Daerah segitiga yang dibatasi oleh sumbu x, garis y x, dan garis x 1, merupakan daerah r sederhana, dengan r sec θ, θ π 4 Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 48 / 57
Example Tentukan volume benda pejal yang terletak di Oktan I dan dibatasi oleh paraboloida z x 2 + y 2, tabung x 2 + y 2 4, dan bidang-bidang koordinat. Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 49 / 57
Solution V ( x 2 + y 2) da S π 2 2 π 2 [ r 4 4 r 2 rdrdθ ] 2 dθ π 2 2π 4dθ Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 5 / 57
Example Hitunglah I x 2 da apabila S adalah daerah cincin yang dibatasi oleh lingkaran x 2 + y 2 1 dan x 2 + y 2 4. S Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 51 / 57
Solution I 15 4 2π 2 x 2 da r 2 cos 2 θ rdrdθ 1 S 2π 2 r 3 cos 2 θ drdθ 1 π [ ] 2 r 4 2 cos 2 θ dθ 4 1 π 2 15 4 cos2 θ dθ π ( ) 2 1 cos 2θ + dθ 2 2 15π 4 Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 52 / 57
Example Hitunglah I S 1 x 2 + y 2 da apabila S adalah daerah segitiga yang dibatasi oleh sumbu x, garis y x dan garis x 1. Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 53 / 57
Solution I 1 x 2 + y 2 da π 4 S π 4 sec θ π 4 1drdθ [r] sec θ 1 dθ sec θ 1 r rdrdθ π 4 sec θ dθ ln [sec θ + tan θ] π 4 ( ) ln 2 + 1 Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 54 / 57
Example Tentukan volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloida z x 2 + y 2, tabung x 2 + y 2 2y, dan bidang xy. Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 55 / 57
Solution I x 2 + y 2 da 4 4 S π... π π [ r 4 4 ] 2 sin θ sin 4 θdθ sin 4 θdθ dθ π 2 sin θ r 2 rdrdθ Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 56 / 57
Penutup " Terima Kasih, Semoga Bermanfaat " Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 57 / 57