Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία Σχολικό βιβλίο σελίδα 94 Α Θεωρία Σχολικό βιβλίο σελίδα 88 Α Θεωρία Σχολικό βιβλίο σελίδα 59 Α4 α Λάθος β Σωστό γ Λάθος δ Σωστό ε Σωστό ΘΕΜΑ Β Β Έστω z yi, με,y Η σχέση z 4 z, γράφεται: 4 yi yi 8 6 y 4 y y y () Η σχέση () παριστάνει κύκλο με κέντρο K, και ακτίνα ρ Β α Επειδή οι μιγαδικοί z, z ανήκουν στον κύκλο του Β ερωτήματος τότε z z Άρα z z z z z z 4 () 4 4 Από τη σχέση (), z,z και προκύπτουν : z () και z (4) z z

z z Για w έχουμε: z z 4 4 () z z z z z z w w z (4) 4 4 z z z z z Επειδή w w, τότε w β z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z w w 4 4 w 4, αφού w Β Για w 4 z z 4 z z zz z z z z z z, έχουμε ΑΓ z z z iz z i 5 z BΓ z z z iz z i 5 z Επειδή (ΑΓ)=(ΒΓ) το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΓ)=(ΒΓ) ΘΕΜΑ Γ Γ Η συνάρτηση f e συναρτήσεων, άρα και συνεχής είναι παραγωγίσιμη στο A ως πηλίκο παραγωγίσιμων e ( ) e e ( ) f () ( ) ( ), για κάθε Η παράγωγος δηλαδή είναι θετική εκτός από το σημείο Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα το σύνολο τιμών της είναι το fa lim f(), lim f()

Έχουμε lim f() lim e Επίσης e e e lim f() lim lim lim Άρα fa (, ) Γ Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο, είναι και ' ' e e e f e ( ) f() e ( ) f() Ισχύει e Διότι fa η εξίσωση στο Α, είναι μοναδική e f() έχει ρίζα και επειδή η είναι f είναι γνησίως αύξουσα w Γ Έστω w ftdt ορισμένη στο D,, αφού f συνεχής στο 4 αρχική της f στο D,, με ftdt και 4 f t dt,,οπότε η Η είναι συνεχής στο D, ως παραγωγίσιμη άρα και για στο διάστημα,4 και παραγωγίσιμη στο,4,οπότε από το θεώρημα μέσης τιμής, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ,4 τέτοιο ώστε: ξ 4 4 f t dt 4 f t dt f στο D, άρα η γνησίως αύξουσα στο Επειδή,για 4 4 έχουμε ξ 4 ξ 4 f 4 f t dt f t dt f4 D

4 4, με α και f συνεχής στο,τότε η Φ είναι Γ4 Έστω Φ() f(t)dt f(t)dt f(t)dt α α παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγίσιμων σύνθετων συναρτήσεων, άρα και συνεχής Τότε limφ Φ f t dt 4 f(t)dt lim g() lim lim 4f(4) f() 4f() f() DLH g Επειδή ) g lim g(, η g συνεχής στο Για, η g() είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων Άρα η g συνεχής στο, Για ισχύει (4f(4) f()) f(t)dt 4 4 g () f(t)dt f(t)dt Γ 4f(4) f() f(4) (f(4) f()) H g, για, διότι f4 f, είναι γνησίως αύξουσα στο, επειδή f γνησίως αύξουσα στο Άρα η g 4 ΘΕΜΑ Δ Δ Είναι f f f f f e e e f e f Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια f f f f e e e e f f ώστε e e c () για κάθε Για στην () έχουμε f f f e e c e e c c Οπότε από την () έχουμε για κάθε, ότι: e f f f f f e e e e e f

f f f e e e (), για κάθε Θεωρούμε f g e (),, συνεχής στο ως άθροισμα και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Η σχέση () γράφεται g (4) Έστω ρ ρίζα της g(), οπότε g(ρ) και λόγω της (4) με ρ έχουμε g ρ ρ ρ αδύνατο Άρα η g συνεχής στο και δεν μηδενίζεται στο, οπότε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Στην g με έχουμε g e, άρα g για κάθε Οπότε από την (4) έχουμε () g e f e f (αφού για κάθε ) οπότε f ln για κάθε, Δ α Έχουμε f ln Η f είναι παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, ( u παραγωγίσιμη, άρα u παραγωγίσιμη) με f f Επειδή η f κυρτή στο διάστημα, διάστημα, και εφόσον f, το O,, για κάθε τότε έχουμε : Για,, για,,, f άρα η f κοίλη στο f άρα f η f παρουσιάζει σημείο καμπής, για,

β Βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της C f στο σημείο καμπής O, Είναι f, f, οπότε Στο διάστημα,, εκτός του σημείου επαφής, δηλαδή f εμβαδόν τότε θα έχουμε: E f d ε : y f f y η f είναι κοίλη οπότε η ε βρίσκεται πάνω από την C f, για, Αν E είναι το ζητούμενο d f d d f d f f d f f() d f d ln d ln ln E ln Δ Θέτουμε στο οπότε Είναι : u f t dt τμ Η ft συνεχής στο ως παραγωγίσιμη άρα f t συνεχής D και αρχική της f t στο άρα και συνεχής με f lim u lim f t dt f tdt lim e e lim f f Θέτουμε w f άρα lim w lim f Οπότε lim ln f lim lnw Δηλαδή το όριο L παρουσιάζει απροσδιοριστία της μορφής f Είναι άρα f f f f άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε με έχουμε Άρα το όριο γράφεται:

e L lim e lnf lim lnf e Είναι lim lim e e f και DLH f lnf f f lim lnf lim lim lim lim f f f DLH Είναι lim lim lim lim () f DLH f Οπότε από τις () και () έχουμε Τελικά L lim lnf f () Δ4 Η αρχική εξίσωση ορίζεται στο, και ισοδύναμα γράφεται : ( ) f(t )dt ( ) 8 f (t)dt Θέτουμε h() ( ) f(t )dt ( ) 8 f (t)dt που ορίζεται για, διότι : Η f συνεχής στο, άρα και συνεχής άρα και f συνεχής στο οπότε f t dt παραγωγίσιμη στο Η ft συνεχής στο ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, άρα η παραγωγίσιμη στο και στο οπότε και συνεχής Οι, συνεχείς στο ως πολυώνυμα παραγωγίσιμη στο, άρα η f t dt f t dt παραγωγίσιμη Επομένως η h είναι συνεχής στο άρα και στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων Για έχουμε h() f (t)dt 8 8 f (t)dt Για έχουμε () h() f(t )dt ()

Από το ερώτημα Δ έχουμε ότι η f είναι κοίλη στο διάστημα, Οπότε t, ft t και ft με t, άρα, άρα f για κάθε f t t, με το ίσον να ισχύει μόνο για () t 8 f t dt t dt f t dt f t dt 8 f t dt h () Άρα () t Όμοια ft dt t dt ft dt ft dt f t dt h (4) Άρα h συνεχής στο, και h h (από τις σχέσεις () και (4)) Επομένως από το Θεώρημα Bolzano η εξίσωση h, άρα και η ζητούμενη, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Σχολιασμός Θεμάτων Το Β θέμα εξετάζει στοιχειώδεις έννοιες του κεφαλαίου των μιγαδικών αριθμών Το Γ θέμα απαιτεί πολύ καλή γνώση της θεωρίας και είναι απαραίτητες οι αιτιολογήσεις σε κάθε ερώτημά του Το Δ θέμα, απαιτητικό, εξετάζει θεμελιώδη θεωρήματα της ύλης σε υπερβολικό βαθμό Ο υπολογισμός του ορίου απαιτούσε, πολλές πράξεις και ιδιαίτερες τεχνικές Τα θέματα χαρακτηρίζονται δυσκολότερα από τα περσινά Τομέας Μαθηματικών "ρούλα μακρή"