Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή των και ισχύει, t α) Να βρείτε την δειγματική μέση τιμή και τυπική απόκλιση της Ψ συναρτήσει του t και β) Να βρείτε την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η δειγματική τυπική απόκλιση της X ώστε το δείγμα παρατηρήσεων της Ψ να είναι ομοιογενές για κάθε t γ) Αν =, τότε ) Bρείτε την και, καθώς και την σχετική διασπορά των ) Ποιό από τα παραπάνω δείγματα έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια; ) Αν το δείγμα των ακολουθεί κατά προσέγγιση την κανονική κατανομή, ποια η πιθανότητα, μια στην τύχη παρατήρηση από το δείγμα της Ψ, να ανήκει στο διάστημα 6, 0 ΛΥΣΗ α) Από γνωστή εφαρμογή του σχολικού βιβλίου θα είναι : και β) Για να παρουσιάζει το δείγμα των τιμών της Ψ ομοιογένεια πρέπει και αρκεί: CV 0, για Αδαμίδης Ηλίας, Στυλιανίδου Αλεξάνδρα (ασκήσεις: 4,,6,7,0,) κάθε t Όμως: s s CV 0, 0, 0 t 0 s t για κάθε t Επομένως η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η τυπική απόκλιση s είναι το ελάχιστο της συνάρτησης g(t) t, t Το ελάχιστο της συνάρτησης g είναι το για t 0 Άρα η μέγιστη τιμή της τυπικής απόκλισης s είναι το s Βακαλόπουλος Κώστας (ασκήσεις: 8,9) Κατωτριώτης Κωνσταντίνος (ασκήσεις:,,) γ) ι) Για ( άρα t=0 ), από το α) ερώτημα παίρνουμε = 0 και και ) C Επειδή, προκύπτει ότι μεγαλύτερη ομοιογένεια έχει το δείγμα με τον μικρότερο συντελεστή μεταβολής δηλαδή το δείγμα της μεταβλητής Ψ δ) Αφού είναι και, και οι δειγματικές τιμές της ψ ακολουθούν την κανονική κατανομή τότε το διάστημα ( 6, ) αντιστοιχεί στο (, στο οποίο εμφανίζεται το Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 0,8 Άσκηση Έστω η συνάρτηση f με t t t f(), με t,,,,, οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Τ με μέση τιμή απόκλιση Δίνεται ότι: και τυπική Η μέγιστη τιμή της f ισούται με f () s lm T T T α) Να δείξετε ότι: και β) Αν ο συντελεστής μεταβλητότητας των t,,,,, ισούται με, να δείξτε ότι ν = γ) Θεωρούμε το συνολικό δείγμα παρατηρήσεων Δ που διαμορφώνεται από τις t,,,,4, του αρχικού δείγματος και τις παρατηρήσεις t, 6,7,, ενός άλλου δείγματος Αν η μέση και τυπική απόκλιση, τότε να δείξτε ότι η μέση τιμή = και η τυπική απόκλισή =,7 : α) Για κάθε Τότε και
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) γ) Για το αρχικό δείγμα έχει μέση τιμή και τυπική απόκλιση s Άρα: t και t T t 6 t Έστω η μέση τιμή και 0 απόκλιση του δείγματος s η τυπική Για τη μέση τιμή T και την τυπική απόκλιση s του συνολικού δείγματος ισχύει: t t 6 T t 0 οπότε 6 έχ g () 0 ουμε: 0 0 Επίσης: s t t T 6 Οπότε έχουμε: s t T 70 0 6 0 s 0 Άσκηση Καθένας από τους μαθητές ενός σχολείου συμμετέχει σε ένα τουλάχιστον από τα μοναδικά εκπαιδευτικά προγράμματα α και β που διοργανώνει το σχολείο τους Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α, Β, με Α : ένας μαθητής να συμμετέχει στο πρόγραμμα α και Β : ένας μαθητής να συμμετέχει στο πρόγραμμα β, με A,B, A B και την συνάρτηση PA B PB f() ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξτε ότι είναι γνησίως αύξουσα β) Να δείξτε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε οποιοδήποτε,f σχηματίζει με τους σημείο της 0 0 άξονες συντεταγμένων τρίγωνο με σταθερό εμβαδόν, ίσο με τμ γ) Ορίζουμε ως πιθανότητα Ρ(Α) του Α, το 9/0 του εμβαδού του πολυγώνου σχετικών συχνοτήτων μιας κατανομής και ως πιθανότητα Ρ(Β) του Β, την διάμεσο τιμή των τιμών g, g(κ), g, g() κ κ, με κτης συνάρτησης g(), 0 ) Βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) ) Με ποια πιθανότητα πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α, Β : α) Eίναι PA B PB PA PA B PB P A B Αφού κάθε μαθητής συμμετέχει σε ένα τουλάχιστον των προγραμμάτων α, β, τότε A B Ω P A B Οπότε με P A B P B 0 Έτσι η συνάρτηση f γίνεται: f() ln( ) Το σύνολο ορισμού της είναι το,0 και f () 0 για 0 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( β) Είναι f () Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη είναι: y f f δηλαδή η 0 0 0 y και τέμνει τους άξονες στα 0 0 σημεία K0, και 0, 0 Οπότε το 0 εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ είναι OK 0 τμ 0 γ) () Είναι γνωστό ότι το εμβαδό του πολυγώνου σχετικών συχνοτήτων ισούται με 9 Άρα θα είναι PA 0 Για κάθε >0 είναι g () 0 Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0,+
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Οπότε: κ κ κ g g gκ g Επομένως: κ gκ g κ κ PB δ κ κ ) Επειδή και είναι ασυμβίβαστα έχουμε: P A B B A PA B PB A () Όμως PA PB PA B PA B PA B PA PB 9 οπότε σύμφωνα με την () θα 0 0 4 8 είναι: P((A B) (B A)) 0 0 Άσκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση f() 4 7 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f β) Να βρεθεί το σημείο E,f() στο οποίο η γραφική παράσταση της f τέμνει τον ημιάξονα O γ) Να υπολογιστεί το όριο: lmf() δ) Έστω με,,,4 οι τιμές μιας μεταβλητής ενός δείγματος μεγέθους v=80 Εάν m lmf να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας ν 8 m f 4 0, ΣΥΝΟΛΟ α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί: 7 0 και 7 0,δηλαδή 7 και 7 δηλαδή 7 και 7 9 δηλαδή 7 και Επομένως A 7,, f N F β) Για να βρούμε που τέμνει η τον θετικό ημιάξονα λύνουμε την εξίσωση: y f() 0 Έχουμε: f () 0 4 0 άρα ή 0, απορρίπτεται Άρα η τέμνει τον στο σημείο E(,0) γ) 0 0 4 lmf () lm 7 ( )( )( 7 ) lm ( 7 )( 7 ) ( )( )( 7 ) lm 7 9 ( ) ( ) ( 7 ) lm lm( )( 7 ) 46 4 δ) Είναι άρα m 4, ν 80 ν 8 ν 4 έτσι: f 0,0, f 0,0, ν 80 ν 80 ν4 f4 ν4 f4 ν 0, 80 6 ακόμα : ν ν ν ν ν4 ν 8 4 ν 6 80 ν Έτσι ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων γίνεται: ν f N 8 0,0 8 0,0 4 0,0 0,40 0,40 64 0,80 4 6 0,0 80 ΣΥΝΟΛΟ ν=80 Άσκηση Έστω οι παρατηρήσεις F με,,, ν οι οποίες έχουν μέση τιμή και τυπική απόκλιση S Δίνεται η συνάρτηση 0 g() 4 0, R Εάν CV ο συντελεστής μεταβλητότητας των παρατηρήσεων και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g, στο σημείο MCV,g(CV) είναι παράλληλη στον ' άξονα τότε: C f C f
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) α) Να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων είναι ομοιογενές, ή όχι β) Εάν επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι παρατηρήσεις: y g''( ), όπου,,, ν έχουν μέση τιμή y 808 να βρείτε: ) τη μέση τιμή των παρατηρήσεων ) την τυπική απόκλιση S y των παρατηρήσεων y α) Είναι: g'() 0 8, R Η εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο MCV,g(CV) είναι παράλληλη στον άξονα ' τότε και μόνο τότε όταν: g'(cv) 0 άρα ισοδύναμα: 0 CV 8 CV 0 () Από την εξίσωση () προκύπτει CV 0 (απορρίπτεται) ή CV 0% Άρα το δείγμα 0 είναι (οριακά) ομοιογενές β) ) Είναι g''() 40 8, για κάθε Έτσι έχουμε: y g''( ) 40 8 με,,, ν Άρα 40 y 8 (y 8) με,,, ν 40 οπότε σύμφωνα με την εφαρμογή του σχολικού βιβλίου σελ99, (y 8) άρα 40 800 (808 8) 0 40 40 S S ) CV S 0 0 0 0 Σύμφωνα με την ίδια εφαρμογή (σελ99) οι παρατηρήσεις t 40 έχουν τυπική απόκλιση: S 40S 40 80 Έτσι τώρα οι παρατηρήσεις t y 40 8 y t 8 έχουν τυπική απόκλιση : S S 80 y t Άσκηση 6 Έστω οι παρατηρήσεις με,,, ν ενός δείγματος μεγέθους ν που έχουν μέση τιμή και τυπική απόκλιση s Δίνεται η συνάρτηση 0 g() s, R η οποία παρουσιάζει ελάχιστο για 006 το g() α) Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση s β) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές ή όχι γ) Επιλέγουμε τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο: 40, 9,,,0,,,9,40 και θεωρούμε τις παρατηρήσεις: t με,,, ν Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: ) Α: "Το δείγμα των παρατηρήσεων t να έχει συντελεστή μεταβλητότητας" ) Β: "Το δείγμα των παρατηρήσεων t να μην είναι ομοιογενές" α) Είναι : g'() ( s)' 0 ( s) 0 ' ( s) 0 0 0 0 ( s) ( s), R Έτσι αν g'() 0 τότε 0 ( s) 0 s 0 s Επομένως έχουμε τον επόμενο πίνακα μεταβολών: s g'() - + g() Άρα στο διάστημα (,s] η g() είναι, ενώ στο διάστημα [s, ) η g() είναι ελάχιστο για s το s 0 mn g g(s) Παρουσιάζει Αλλά είναι γνωστό ότι το ελάχιστο της g παρουσιάζεται στο σημείο και είναι g g() 006 mn Άρα s και s και mn 0 006 06 006 s και 06 006 0 β) Έτσι τώρα ο συντελεστής μεταβολής του s δείγματος είναι: CV 0 κ άρα 4
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) CV% % 0%, άρα το δείγμα είναι 0 ομοιογενές γ) Έχουμε ότι t με,,, ν άρα (σύμφωνα με την εφαρμογή του βιβλσελ99) οι παρατηρήσεις t έχουν μέση τιμή t 0 και τυπική απόκλιση St S ) Το δείγμα των παρατηρήεων t έχει συντελεστή St μεταβολής CVt t t 0 κ αυτό ισχύει αν κ μόνο αν 0 0 0 Έτσι το ενδεχόμενο Α έχει στοιχεία όλα τα απλά ενδεχόμενα του Ω εκτός του -0 Δηλ N(A) 80 και N(Ω) 8 κ σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας είναι N(A) 80 P(A) N(Ω) 8 ) Για να μην είναι ομοιογενές το δείγμα των παρατηρήσεων t πρέπει και αρκεί: CV 0, CVt 0% 0 0 0 0 0 0 0 και 0 δηλαδή 0 0 και 0, άρα με μέθοδο αναγραφής το σύνολο Β είναι: Β 9, 8, 7, 6,, 9, 8,, Άρα: N(B) 8 N(B) 8 και N(Ω) 8άρα P(B) N(Ω) 8 Άσκηση 7 Α Έστω ο δειγματικός χώρος Ω 0,,,,,000 Δίνονται οι πιθανότητες: P(m) m m όπου m,,,,000 α) Να αποδειχθεί ότι: P(m) m m β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P(0) B Εάν Κ και Λ είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου, ) Να αποδείξετε ότι: P(K Λ) P K P Λ 4 ) Αν P(K') P(Λ') () να δείξετε ότι 9 P(K Λ) Αα) Για κάθε m θετικό ακέραιο με m 000 ισχύει: m m m m P(m) m m m m m m m m m m m (m ) m (m ) m m β) Από τον ορισμό πιθανότητας έχουμε ότι: P(Ω) P(0) P() P() P(000) δηλαδή: P(0) 4 000 00 P(0) 000 000 00 P(0) P(0) 00 00 B ) Έχουμε ότι P(K Λ) P(K) P(Λ) P(K Λ) όμως P(KΛ) 0 άρα: P(K Λ) P(K) P(Λ) P(K Λ) P(K') P(Λ') P(K Λ) P(K') P(Λ') ) P(K') P(Λ') P(K') P(Λ') 4 4 4 P(K') P(Λ') P(Λ') 9P(Λ') 4 9P(Λ') 9P(Λ') 4 9P(Λ') 9P(Λ') 4 9P(Λ') P(Λ') 9P(Λ') P(Λ') 4 0 P(Λ') 0 P(Λ') P(Λ') 0 που ισχύει άρα ισοδύναμα ισχύει και η αρχική Άσκηση 8
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Στην εθνική ομάδα στίβου υπάρχουν άνδρες και γυναίκες που άλλοι είναι άλτες(τριες) και άλλοι όχι Η πιθανότητα του ενδεχομένου να επιλέξουμε τυχαία έναν αθλητή και να είναι άλτης(τρια) είναι 4% Το ποσοστό των ανδρών που είναι άλτες είναι 0% ενώ των γυναικών που είναι άλτριες είναι 40% Να βρεθεί η πιθανότητα αν επιλέξουμε τυχαία έναν αθλητή να είναι άνδρας Έστω Α: Το ενδεχόμενο ο τυχαία επιλεγόμενος αθλητής να είναι άνδρας και Β: το ενδεχόμενο ο τυχαία επιλεγόμενος αθλητής να είναι επικοντιστής(στρια) Η πιθανότητα του ζητείται ενώ η πιθανότητα του Β είναι PB 0,6 Επίσης: NΩ ΝΩ N A B N A N A B 0%N A 0% ΡΑ Β 0,0 ΡΑ NA B NA B 40%NA NΩ NA ΝΩ ΡΑ Β 0, 40 ΡΑ ΡΒ ΡΑ Β 0, 40 ΡΑ 0,4 0,0 ΡΑ 0,40 0,40 ΡΑ ΡΑ 0,60 60% 40% Ρ Α Β 0,40 Ρ Α Άσκηση 9 Έστω Ω δειγματικός χώρος πειράματος τύχης αποτελούμενος από απλά ισοπίθανα 0 Ν Ω 09 Αν Α ενδεχόμενα με ΡΑ και Α Ω και ΡΑ ΡΑ 6 9 ) Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Ω και την πιθανότητα του ενδεχομένου Α ) Έστω Α και Β δυο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του Ω και η συνάρτηση: 0 f() ΡΑ Β PA B 40 Ρ Α Ρ Β 0,, α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να αποδείξετε ότι: για κάθε 0, γ) Αν PA και PB Ρ Α B 0 f() 0 τότε να δείξετε ότι η διάμεσος των τεσσάρων αριθμών: f P A, f P B, f P A B, f P A B είναι ο αριθμός: 40 ΡΑ ΡΑ ) 6 9 6 9 Ρ Α Ρ Α Ρ Α Ρ Α 0P(A) 6 ΡΑ ΡΑ 9 ΡΑ ΡΑ 6ΡΑ ΡΑ 9 ΡΑ 9ΡΑ ΡΑ 0ΡΑ 0 ΝΑ ΡΑ 0 ΡΑ Ν Ω ΝΩ ΝΑ πολ / σιο του Ρ Α 0 Όμως 0 ΝΩ 09 ΝΩ 0 ) Επειδή τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα ισχύει Ρ Α Β 0 Ρ Α Β Ρ Α Ρ Β Άρα: και 40 f () PA B PA B α) f () P A B PA B, 0, f () 0 P A B PA B 0 f () 0 P A B PA B 0 f () 0 Άρα: Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0,, γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και παρουσιάζει μέγιστο για 6
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) β) Από το ερώτημα α) προκύπτει ότι: f () f 40 f () PA B PA B ΡΑ B ΡΑ B 40 f () 0 ΡΑ B 0 f (), για κάθε 0, 0 γ) PB PB Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, θα ισχύει: f f δηλαδή f PB f P A () Επίσης: PA B PA PB PA B PA PB PA PA B PB PA B PB f PA B f PB Άρα: () Επίσης: B A B A B Ω P B P Ω f P B f P A B f P Ω f () Από τις σχέσεις (), () και () προκύπτει: f P A B f P B f P A B f P A Οπότε η διάμεσος είναι: f P B δ f PB f 40 PA B PA B 40 40 PA B PA B Άσκηση 0 Έστω δειγματικός χώρος Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα όπου Ω,,,,0 και η συνάρτηση f() m 4, m Ω και R Επιλέγουμε τα παρακάτω ενδεχόμενα: Α m Ω / m: πολλαπλασιο του 4 Β m Ω / η f() να εχει πραγματικες ριζες m Γ mω / το οριο : lm 0 m m m α) Να βρεθούν (με αναγραφή) τα ενδεχόμενα Α,Β,Γ β) Να βρεθούν οι πιθανότητες P(A),P(B),P(Γ) και P(A B) Γ) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: P(A B),P(A B ),P(B A ) α) Για το ενδεχόμενο Α: m Ω και m πολ4 άρα Α 4,8,,6, 0, 4, 8,,6, 40, 44, 48 και είναι N(A) Για το ενδεχόμενο Β: πρέπει και αρκεί Δ 0 όμως: Δ 0 m 44 0 m 6 m 4 (απορρίπτονται) ή άρα m 4 Άρα: Β 4,,6,,0 και είναι Ν(Β) 47 Για το ενδεχόμενο Γ: m Ω και ισχύει: m lm 0 () Όμως m m m 0 0 m lm m m ( m)( m) lm m m m ( m) ( m) lm m ( m)( m) lm m m m lm ( m) m( m m) m m έτσι m από την () έχουμε: m m 0 m m άρα Γ,,,4,, και είναι Ν(Γ) β) Από τον κλασσικό ορισμό πιθανότητας ( αφού τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα) έχουμε: N(A) 6 N(Β) 47 P(A), P(Β) και N(Ω) 0 N(Ω) 0 N(Γ) P(Γ) Επειδή N(Ω) 0 0 6 A B A B A PA B PA 47 γ) A B A B B PA B PB 0 P(AB') P(A) P(B') P(AB') P(A) P(B) P(A) P(A B) 47 6 47 6 0 0 0 0 0 7
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) P(B A ) P B A P B A 0,4 Άσκηση Δίνονται οι συναρτήσεις h() και φ() 06 ( ) με R και ένας θετικός πραγματικός αριθμός α) Να μελετηθεί η συνάρτηση h() ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να δείξετε ότι h(), για κάθε γ) Εάν οι παρατηρήσεις ενός δείγματος μεγέθους v ακολουθούν περίπου κανονική κατανομή που έχουν μέση τιμή φ(0) και τυπική απόκλιση s φ'() και από τις παρατηρήσεις αυτές οι 80 ανήκουν στο διάστημα: 0,0, τότε ) Να αποδείξετε ότι 0 και s h() ) Να αποδείξετε ότι το μέγεθος του δείγματος είναι ν 0000 ) Να εξετάσετε αν το μέγεθος του δείγματος είναι ομοιογενές α) h'() ' ' ' ( ) h'() 0 0 h'() 0 0 h'() 0 0 h'() + h() Επομένως η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,, και γνησιώς φθίνουσα στο διάστημα, Στο σημείο 0 παρουσιάζει μέγιστη τιμή την h() β) Δείξαμε ότι η h() παρουσιάζει μέγιστο για άρα h() έτσι όντως h() για κάθε γ) ) Είναι φ(0) άρα 06 0 Ακόμα: φ'() 06 ' ( ) ' 0 06 (0 ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )' ( ) ' ( ), παρατηρούμε δηλαδή ότι: φ'() h() έτσι s φ'() h() είναι: s h() ) Οι παρατηρήσεις του δείγματος ακολουθούν περίπου κανονική κατανομή άρα: Έτσι αφού 0 και s το διάστημα 0,0 αντιστοιχεί στο διάστημα s, s, στο οποίο βρίσκεται το 8,% των παρατηρήσεων επομένως: 8,% ν 80 ν 0000 s h() ) CV () 0 0 0 Δείξαμε όμως ότι h() για κάθε άρα και για ισχύει: h() h() h() οπότε: CV, δηλαδή 0 0 0 0 CV% 0%, έτσι το δείγμα είναι ομοιογενές 8