ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον τύπο της f. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d. f ( ) γ) Υπολογίστε το άθροισμα : S = f ( ) d 4 4 + f ( ) d.. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το η οποία είναι συνεχής στο και ισχύει f( + y) = 5f()f(y), για κάθε, y. α) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο. β) Αν g() = f ( t) dt f ( t) dt f ( t) dt f ( t) dt, να δείξετε ότι η C g δέχεται τουλάχιστον 99 οριζόντιες εφαπτόμενες.. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, με f () και f ( ) e, για κάθε. α. Να δείξετε ότι f ( ) e, για κάθε. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ), έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, δ. Αν είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες, 4 <E Ω, να δείξετε ότι: e. 4. Δίνεται η συνάρτηση f: με f ()=6 e για κάθε. Αν f()= f ()=, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= f ( ) d. 5. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β] και είναι αντιστρέψιμη, να αποδείξετε ότι f ( ) f d f d f f ( ) ( ) ( ) ( ). f ( a ) a
6. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει f()+f(-)=,για κάθε. Να δείξετε ότι: α) f(+4)=f(), για κάθε. 5 β) f ( 5) d 6 = f ( ) d. 7. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [-5, 7], σύνολο τιμών το [-, 9] και την ιδιότητα 7 5 f ( ) d =. Να δείξετε ότι : α) - f () + 7f() +8, για κάθε [-5, 7]. β) f ( ) d 6. ---- 8. Θεωρούμε τη συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε f() = ( vt) f ( t) dt, νν *, για κάθε. Να δείξετε ότι : α) f() = και f () =. β) f () = ( ν)f() + ( ν)f (), για κάθε. γ) f() =, για κάθε, αν ν = ή ν =. 9. Έστω συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [α,β]. Αν f(α)=f(β)=, να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ) d. a. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Ι= d. e. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [-,] και f(ημχ)+f(συνχ)=, να αποδείξετε ότι: 7 5 i) f ()= ii) f ( ) d. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, h: με f(-)= -f() και g(-)=g() για κάθε. Να βρεθεί το ολοκλήρωμα Ι= f ()(h g)()d. -
t 4. Να βρεθεί το όριο L lim e e t dt. -- 4. Αν η συνάρτηση f :[,] [α,β] είναι συνεχής και f ()d, να αποδείξετε ότι f ()d. 5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] να αποδειχθεί ότι: f ()d f () f ( ) d f () f ( ) d. 6. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f : της οποίας μια αρχική συνάρτηση F να ικανοποιεί τη σχέση F()F( ) = F(ln) για κάθε >. 7. Να βρεθούν τα όρια: t A lim e dt t B lim e dt. 8. Έστω f, g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ, για τις οποίες υποθέτουμε ότι : i) είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο Δ, ii) f =g και iii) Δ και f()=g(). Να δειχθεί ότι : α) Για κάθε Δ, f()-g()=c όπου c. β) Αν η f()= έχει δύο ετερόσημες ρίζες ρ, ρ, τότε η g()= έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [ρ, ρ ]. 9. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο, η οποία έχει συνεχή f στο, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο o = και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(, ). 8 Αν ισχύει [ f ( ) f ( )] d = -, να υπολογίσετε το f().. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει ότι f () γ>, για κάθε, να βρεθεί το lim f () αν υπάρχει.
. Έστω f : [,] συνάρτηση συνεχής. Nα υπολογίσετε το όριο: t lim f ()d. t. Έστω f:, συνάρτηση συνεχής στο. Έστω g :, η συνάρτηση με 4 g() = [( f ( t)) t f ( t) t ] dt, για. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο o = 5 t f ( t) dt.. Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με την ιδιότητα f()= + + f(t) dt, για κάθε. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [α, β], με f (α) = α και f (β) = β, όπου < α<β. Να αποδείξετε ότι: α) υπάρχει εφαπτόμενη ευθεία της C f, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y =, β) υπάρχει (α, β) τέτοιο, ώστε f (χ ) = α + β γ) υπάρχουν ξ, ξ (α, β) με ξ < ξ τέτοια, ώστε f (ξι) f (ξ ) = δ) αν υπάρχει η f " στο [α, β] και είναι συνεχής, ώστε f ()d = τότε η εξίσωση f " () + f ' (χ) = έχει λύση στο (α, β). -- 5. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, με παράγωγο f ' συνεχή στο και f '() >, για την οποία ισχύει f (y) f ( ) y, για κάθε, y. α) Να αποδείξετε ότι f ' () για κάθε, β) Να βρείτε τα όρια: i) lim f () ii) lim f () γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = 8 έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα. δ) Να αποδείξετε ότι, αν f (), τότε η εξίσωση f() = f (t)dt έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (, ). -- 4
6. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, με f () >, για την οποία ισχύει f (t)dt f (α)-f (β) για κάθε α, β. α) Να αποδείξετε ότι f " () = - f (χ) για κάθε. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g:, με τύπο g()= (f()) +(f'()) είναι σταθερή. γ) Να βρείτε το f () lim. δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο, ώστε να ισχύει f ( ) =. -- ( ) 7. Δίνεται η συνάρτηση f() = i) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f. ii) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f.. iii) Να βρεθεί εφαπτόμενη ευθεία της C f παράλληλη στην πλάγια ασύμπτωτη. iv) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσα στην C f την ασύμπτωτη και από τις ευθείες =, =t>. - 8. Θεωρούμε τη συνάρτηση g()=e -,. α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών g(a) και στη συνέχεια το πλήθος των ριζών της g()=. β) Να δειχθεί ότι έχει ένα σημείο καμπής και να γίνει η γραφική παράστασή της. - 9. Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) ln α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σημεία καμπής. γ) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f. δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. α ε) Αν α,β>, β αβ+α e, να αποδείξετε ότι α=β. β - 5
. Δίνεται η συνάρτηση: 5 f ( ) e e α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 5 f ( ) I d. -. Έστω συνάρτηση f η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f (χ+y) = συν f (y)+συvy f (χ) () για κάθε, y. Αν f '() = να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο = π και να βρείτε την f '(π), -. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R και παραγωγίσιμη στο χο με f '(χο) = α, να αποξείξετε ότι f h f h lim 5 h h -. Έστω μια συνάρτηση f η οποία για κάθε, y ικανοποιεί τη σχέση f()-f(y)<(-y) (). Να αποδείξετε ότι: i. f () -f (y) < (-y) για κάθε, y. ii. Η συνάρτηση f είναι παραγωγισίμη σε κάθε κ α ι f '( ) = - 4. Έστω f :, συνάρτηση, γνησίως μονότονη και συνεχής. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) με f '(χ ) τότε η f - παραγωγίζεται στο f( ) και f f f - 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f e και a g e,. Να αποδείξετε ότι οι C f, C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το οποίο βρίσκεται πάνω στον άξονα y y. - 6. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (, + ) έτσι ώστε να ισχύει f () + f () - 6 = ln + 8 () για χ >. Να δείξετε ότι n C f τέμνει τον άξονα χχ' το πολύ σε ένα σημείο. - 6
7. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο (, π) με f 6 και τέτοια ώστε f "() + f() = για κάθε (,π). Να αποδείξετε ότι f () = 4 ημ για κάθε (, π). και f - 8. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι: Να βρείτε τη συνάρτηση f. f f e για κάθε - 9. Έστω συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο, με f = f, και τέτοια ώστε f για κάθε,. Να αποδείξετε ότι f ln για κάθε,. f = - 4. Δίνεται η συνάρτηση f ln α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να αποδείξετε άτι η f είναι - και να βρείτε την αντίστροφη της. - 4. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [α, β], η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f() < για κάθε [α, β], () f(α) +f(β) = f(γ), όπου γ(α, β), () Να αποδείξετε ότι υπάρχει a τέτοιο, ώστε, f. - 4. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση f. Αν f() =, τότε να βρείτε: α) την κλίση της f στο σημείο, β) την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη. -- 7
4. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(,+οο) για την οποία ισχύουν: και f f ln. α) Να δείξετε ότι f f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να δείξετε ότι e e, για κάθε >. 44. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :,, για την οποία ισχύουν: f f και f e. α) Να δείξετε ότι f e. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να δείξετε ότι ln ln, για κάθε >. δ) Να δείξετε ότι η ευθεία ε: y e εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης g e, >. 45. Δίνεται η συνάρτηση f :, για την οποία ισχύουν: f ( 4 ) f ( ), για κάθε και για κάθε. f α) Να λυθεί η εξίσωση f '() =. β) Αν επιπλέον η f είναι συνεχής στο [,4] και f() > f(), να βρεθούν τα ολικά ακρότατα της f στο [,4]. 7 46. Έστω μια συνάρτηση f : παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει: α) Να βρείτε την μονοτονία της f. β) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης f. γ) Να προσδιοριστούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη. f f για κάθε. 8
47. α) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f ( ) e. β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, για τις διάφορες τιμές του. 48. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f '() = f ( ) =. Αν ισχύει f ) ( ) ( ) lim ( h f f h f h για κάθε, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f ( ). 49. Έστω μια συνάρτηση f : παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει: α) Να αποδείξετε ότι f e e f e f ( ) d, για κάθε. e,. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης (ε) της C f στο σημείο της με τετμημένη =. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα χ χ και την εφαπτόμενη (ε). 5. Δίνεται η συνάρτηση f ln με >. Α. Στο σημείο, f a με α > της γραφικής παράστασης της f φέρτε την εφαπτόμενη της (ε Α ) που τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο Σ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη C, την εφαπτόμενη (ε Α ) και τον άξονα χ χ είναι E f ln a ln a με α>. Β. Αν το σημείο Α κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της f σε τρόπο ώστε να ξεκινά από τη θέση (,) και ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του α ως προς το χρόνο t να είναι, κατά τη sec χρονική στιγμή t που η τετμημένη του Α είναι a t το χρόνο: α) της τετμημένης του σημείου Σ του Α ερωτήματος και β) του εμβαδού Ε που υπολογίσατε παραπάνω. = e, να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής ως προς Γ. Αν Κ και Λ είναι τα σημεία στα οποία η εφαπτόμενη (ε Β ) στο σημείο B, f με <β< τέμνει τους άξονες χ χ και y y αντίστοιχα να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ να γίνεται μέγιστο. ( Το σημείο Ο είναι η αρχή Ο(,)). 9