ΘΕΜΑ Α 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' νικού Λυκίου Θτικών Σπουδών Παρασκυή 5 Ιανουαρίου 018 ιάρκια Εξέτασης: ώρς Α1. Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ ΘΕΜΑΤΑ. Να δίξτ ότι ισχύι α β + γ = α β + α γ. Μονάδς 10 Α. Να δώστ τον ορισμό του σωτρικού γινομένου δύο διανυσμάτων α, β. Μονάδς 5 Α3. Να χαρακτηρίστ τις παρακάτω προτάσις γράφοντας στο ττράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχί σ κάθ πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση ίναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση ίναι λανθασμένη. α) Αν α, β 0 και ισχύι det ( α, β) 0, τότ α x + β 0 για κάθ x R. β) Το διάνυσμα α= 4j3i Α 4, 3. Μονάδς ισούται μ το διάνυσμα θέσης του σημίου Μονάδς γ) Αν α, β 0, τότ ισχύι η ισοδυναμία α = β α = β. Μονάδς Σλ.1/ 4
ΘΕΜΑ Β 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας δ) Κάθ υθία που διέρχται από το σημίο Ο( 0 0) μορφήςαx+ βy= 0 μ α+ β> 0., έχι ξίσωση της ) Η υθία 3x+ 3y = 0 σχηματίζι μ τον άξονα yy οξια γωνια 60 ο. Δίνονται τα μη μηδνικά διανύσματα α, β (, ) v = α β α και w = ( β, α β) 1. Να αποδίξτ ότι ισχύι: v w α β.. Να αποδίξτ ότι ισχύι: v = w α = β 3. Να δίξτ ότι αν v = w τότ α = 4 β. 1 4. Να αποδίξτ ότι ισχύι: v // w συν φ =. α β. μ ( α, β) = φ Μονάδς Μονάδς και τα διανύσματα Μονάδς 6 Μονάδς 6 Μονάδς 6 Μονάδς 7 Σλ./ 4
ΘΕΜΑ 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας Έστω ΑΒΔ παραλληλόγραμμο μ Α ( α, β), Β( 4, 1 ), ( - 3β, α + 8) και Δ( 1, 4) α, β R. 1. Να δίξτ ότι α= 3 και β =., Μονάδς 6. Να βρίτ το συνημίτονο της οξίας γωνίας των διαγωνίων Α και ΒΔ του ΑΒΔ. Μονάδς 5 3. Έστω υθία () που διέρχται από την κορυφή Δ του παραλληλογράμμου η οποία ίναι παράλληλη προς τη διαγώνιο Α και τέμνι την υθία Β στο Ε. α) Να βρίτ τις συντταγμένς του σημίου Ε. Μονάδς 6 β) Αν Ζ ίναι το συμμτρικό του Β ως προς τη διαγώνιο Α, τότ να δίξτ ότι τα σημία Δ, Ζ, Ε ίναι συνυθιακά. Μονάδς 8 Σλ.3/ 4
ΘΕΜΑ 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας λ λ x λ λ y λ λ, λ R ( 1 ) Έστω η ξίσωση ( + 3) ( + ) 5 3 + 8= 0 Δ1. Να βρίτ για ποια τιμή του λ R η υθία μ ξίσωση της παραπάνω μορφής διέρχται από την αρχή των αξόνων. Μονάδς 5 Δ. Δίξτ ότι οι υθίς που ορίζονται από την παραπάνω ξίσωση διέρχονται από σταθρό σημίο M το οποίο και να βρίτ. Δ3. Αν Μ( 1) Μονάδς 7,, να βρίτ την υθία () της παραπάνω οικογένιας υθιών, η οποία τέμνι τους άξονς xx και yy στα σημία Α, Β αντίστοιχα μ Μ μέσο του ΑΒ. Μονάδς 6 Δ4. Βρίτ την υθία της παραπάνω οικογένιας υθιών που σχηματίζι ισοσκλές τρίγωνο μ τους άξονς xx και yy. Να έχτ πιτυχία! Μονάδς 7 Σλ.4/ 4
ΘΕΜΑ Α 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' νικού Λυκίου Θτικών Σπουδών Παρασκυή 5 Ιανουαρίου 018 ιάρκια Εξέτασης: ώρς Α1. Θωρία, σχολικό βιβλίο σλ.43. Α. Θωρία, σχολικό βιβλίο σλ. 41. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α3. α) Σωστό β) Λάθος, γ) Λάθος δ) Σωστό ) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β1. v w v w ( α β, α )( β, α β) = 0 = 0 β α β + α α β = 0 α β β + α = 0 α β = 0 α β, αφού β+ α> 0 = = + = + Β. v w v w ( α β) α β ( α β) α = β α = β. Σλ.1/ 7
Α 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας Β3. Αν v= w τότ ( ) (,, ) ( α β α β α β α β, α ) ( β, α β ) = = α β = β και α = β α = 4 β. α = α β α β α = = β α β Β4. v / / w det ( v, w) 0 0 ΘΕΜΑ 1. α β α β = 0 α β συν φ α β = 0 1 α β α β συν φ 1 = 0 συν φ =, αφού α β > 0. α β Αφού ΑΒΔ ίναι παραλληλόγραμμο ισχύι ότι A = Δ ( x x A, y y A) ( x x Δ, y y Δ) ( 4 α, 1 β) ( 3β 1, α 4) = = + +. 4 α = 3β + 1 α 3β = 3 Άρα 1 β α 4 = + α + β = 5 Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμ: 3β β = 8 4β = 8 β = και για Β β= παίρνουμ α + = 5 α = 3. Σλ./ 7
018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας. ια α= 3 και β= έχουμ: Α 3. α) (, ), Β( 4, 1), ( 6, 5) και Δ( 1, 4) Α 3. Η οξία γωνία των διαγωνίων Α, ΒΔ ισούται μ την οξία γωνία ω των διανυσμάτων Α, ΒΔ, όπου συνω> 0. Έχουμ: Α= 9 7 (, ) και ΒΔ= ( 5, 5) και Α ΒΔ 45+ 35 10 1 65 συνω = = = συνω = =. Α ΒΔ 130 50 10 65 65 65 Ζ Κ 7 ΔΕ// Α λδε = λα λδε =. Άρα 9 ( ΔΕ ): y y λ ( x x ) = Δ ΔΕ Δ 7 9 y 4 = x + 1 9y 36 = 7x + 7 9 7x 9y+ 43= 0. Ακόμη λ Β Β 51 6 = = = 3, άρα: 6 4 Β : y y = λ x x y 5 = 3 x 6 y 5 = 3x 18 3x y 13 = 0. Β ια να βρούμ τις συντταγμένς του σημίου Ε λύνουμ το σύστημα: 3 x y 13 = 0 ( 9) 7 x + 9 y + 117 = 0 προσθέτω κατά μέλη 0x + 160 = 0 x = 8. 7x 9y 43 0 + = 7x 9y + 43 = 0 ια x= 8 έχουμ 3 8 y 13 0 y 11 Ε = =, άρα E( 8 11),. Σλ.3/ 7
018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας β) Αν Ζ συμμτρικό του Β ως προς Α έχουμ: 7 9 Z Α λβζ λα = 1 λβζ = 1 λβζ =. 9 7 9 = Z + = 7 Άρα ( ΒΖ) : y y λ ( x x ) y 1 ( x 4) 7y + 7 = 9x + 36 9x + 7y 9 = 0. 7 = Α = 9 Ακόμη: ( Α) : y y λ ( x x ) y 5 ( x 6) 9y 45 = 7x 4 7x 9y + 3 = 0. Έστω Κ το σημίο τομής των ΒΖ και Α. ια να βρούμ τις συντταγμένς του Κ λύνουμ το σύστημα: 9x + 7y 9 = 0 81x + 63y 61 = 0 7 7x 9y 3 0 + = 49x 63y + 1 = 0 4 x =. 13 4 ια x= έχουμ αντικαθιστώντας: 13 9 προσθέτω κατά μέλη 130x 40 = 0 13 4 07 3 7 9y + 3 = 0 168 117y + 39 = 0 117y = 07 y = =. 13 117 13 4 3 Άρα K, 13 13. Το Κ ίναι μέσον του ΒΖ συνπώς x + x Z 4 x x K Z = x K x = x Z = 4 13 y + y Z 3 y K = y Z = y y K y Z = + 1 13 Σλ.4/ 7
ΘΕΜΑ 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας 4 xz = 13 4 59 Z, 13 13. 59 yz = 13 ια να δίξουμ ότι τα σημία Δ, Ζ και Ε ίναι συνυθιακά αρκί να δίξουμ ότι ΔΖ// ΔΕ. 4 59 9 7 Έχουμ: ΔΖ = + 1, 4 =, 13 13 13 13 λ ΔΖ και ακόμη ΔE= ( 9, 7), οπότ 7 13 7 ΔΖ 9 ΔΕ = = = λ // ΔΕ, δηλαδή τα σημία Δ, Ζ, Ε ίναι συνυθιακά. 9 13 Δ1. Η ξίσωση (1) για να παριστάνι υθία πρέπι να ίναι της μορφής Αx + y + =0, μ Α 0 ή Β 0. Έχουμ: Α= λ + λ 3, Β=λ λ + και =5λ 3λ + 8. 3 Αν Α = 0 λ + λ 3 = 0 λ = 1 ή λ=. Αν Β = 0 λ λ + = 0 λ = 1 ή λ=. Επιδή για λ= 1 ίναι Α= Β= 0, η ξίσωση (1) παριστάνι υθία για κάθ λ 1. Αν η υθία ( ) διέρχται από το ( 0 0) 8 = 0 5λ 3λ + 8 = 0 λ = 1 ή λ=. 5 8 Αλλά λ 1, άρα λ=. 5, παληθύται για x= y= 0, δηλαδή Σλ.5/ 7
018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας Δ. ια λ = 0 από την (1) έχουμ: : 3x+ y+ 8= 0 1 ια λ= 1 από την (1) έχουμ: : x+ y+ 6= 0 ια να βρούμ το σημίο τομής των ( ), 3x + y + 8 = 0 x + y + 6 = 0 αφαιρούμ κατά μέλη x + = 0 x =. 1 λύνουμ το σύστημα: ια x = έχουμ: 3 + y + 8 = 0 y = y = 1. Άρα οι ( ) και ( ) τέμνονται στο σημίο M( 1) 1 Θα ξτάσουμ αν το Μ παληθύι την (1). ια x = και y= 1 έχουμ:,. λ + λ 3 λ + λ 1 5λ 3λ + 8 = 0 = 4λ + λ 6 + λ + λ 5λ 3λ + 8 = 0 0 = 0, που ισχύι. Άρα το M( 1) ξίσωση (1)., ίναι σταθρό σημίο των υθιών που παριστάνονται από την Δ3. Θα υπολογίσουμ τις συντταγμένς του σημίου τομής της () μ τον άξονα x x θέτοντας y = 0 στην ξίσωση (1): ( 5λ 8)( λ 1) ( λ + 3)( λ 1) λ 1, λ + λ + λ 3x = 5λ + 3λ 8 x = άρα 5λ + 8 Α 0 λ 3, +. 3 5λ + 8 x =, λ + 3 ια να υπολογίσουμ τις συντταγμένς του σημίου τομής της () μ τον άξονα y y θέτουμ x = 0 στην (1) και έχουμ: Σλ.6/ 7
018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας λ 1, λ λ + λ y = 5λ + 3λ 8 y = 5λ + 8 άρα Β 0, λ +. Αφού το Μ ίναι μέσον του ΑΒ ισχύι: ( λ 1) ( 5λ + 8) ( λ 1) ( λ + ) y 5λ + 8 =, λ + x A + x 5λ + 8 x = M = ( λ + 3 ) 5λ + 8 = 8λ + 1 3λ = 4 4 και και και λ =. 3 y A + y 5λ + 8 5λ + 8 = λ + 4 3λ = 4 y M = 1 = ( λ + ) 4 ια λ= η ξίσωση (1) γίνται x y 4= 0. 3 Άρα : xy 4= 0. Δ4. Αφού η υθία () της μορφής (1) σχηματίζι μ τους άξονς x x και y y ισοσκλές ορθογώνιο τρίγωνο, θα σχηματίζι μ τον x x οξία γωνία ω μ o ω= 45, πομένως ο o ο λ= φ45 ή φ( 180 45 ) Έχουμ: λ λ=, δηλαδή λ= 1 ή λ= 1. A λ + λ 3 = λ = = λ + λ λ + 3 λ 1 λ + λ 1 Αν λ= 1 τότ λ + 3 = 1 λ + 3 = λ + λ = 1 λ + λ + 3 λ =. λ + και : x+ y+ 3= 0. Αν λ= 1 τότ λ + 3 1 3 3 5 5 = λ + = λ λ = λ = και λ + 3 : x + y 1 = 0. Σλ.7/ 7