Θέματα από τους μιγαδικούς

6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την τιμή της παράστασης N 0i δ) Να αποδείξετε ότι το σύνολο Β αποτελείται από σημεία του μιγαδικού επιπέδου που βρίσκονται σε μια έλλειψη και να βρείτε τη μέγιστη τιμή του w, όπου A. Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί a,b,c με a b c 0 και abc.να αποδείξετε ότι : α) a b και a c β) a abb 0 και a b. γ) Ο αριθμός a b είναι ρίζα της εξίσωσης 0, την οποία και να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. δ) a 0 b 0 c 0 0. ε) Αν A,C,B,O είναι αντίστοιχα οι εικόνες των μιγαδικών a,c,b,0 να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ACBO είναι ρόμβος, του οποίου να υπολογιστούν οι γωνίες. Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, με = = =. α). Να αποδείξετε ότι: = 9 Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 β). Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός. γ). Να αποδείξετε + + = + + Θέμα 4 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = α + βi, όπου α,βir και w= i +4, όπου είναι ο συζυγής του. α). Να αποδείξετε ότι Re(w)=α β+4 και Ιm(w)=β α. β). Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = x, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x. γ). Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, έχει το ελάχιστο μέτρο. Θέμα 5 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = α+βi και w = με β 0. Δίνεται επίσης ότι w IR. α). Να αποδειχθεί ότι w =., όπου α, β IR β). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο. γ). Αν ο αριθμός είναι φανταστικός και αβ>0, να υπολογισθεί ο και να Θέμα 6 ο αποδειχθεί ότι ( + + i) 0 ( + i) 0 = 0. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί αριθμοί α,β, γ που έχουν ίσα μέτρα και Να αποδείξετε ότι α + β + γ = 0 α) αβ + βγ + γα = 0 β) α = β = γ γ) Οι εικόνες των αριθμών α, β, γ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου δ) Οι εικόνες των αριθμών αβ, βγ, γα είναι επίσης κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 Θέμα 7 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ οι οποίοι έχουν εικόνες τα διαφορετικά σημεία αντίστοιχα. β α Αν α β +β γ +γ α = και w =, να αποδείξετε ότι: γ α Α, Β, Γ α) w w. β) Ο w είναι πραγματικός αριθμός. γ) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Θέμα 8 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, w με,w 0, w = και = w. A. Να αποδείξετε ότι: α) = w =. β) και w. w γ) = w. δ) w = και =. Β. α) Να βρείτε τους μιγαδικούς, w β) Να βρείτε τον 004. Θέμα 9 ο I. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ με α = β = γ = Να αποδείξετε ότι: α β β γ γ α α) Ο αριθμός V = γ α β είναι πραγματικός και ο αριθμός U = α β β γ γ α γ α β είναι φανταστικός. αβ βγ γα β) Ο αριθμός w έχει μέτρο και οι εικόνες των α, β, γ, w είναι α β γ ομοκυκλικά σημεία. γ) α + + β + + αβ +, α β και Re( α β ) δ) α + + α + + α + ε) α + β - γ + β + γ - α + γ + α β II. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς α, β, γ δίνεται επιπλέον ότι α + β + γ = 0. Α. Να αποδείξετε ότι: α) αβ + βγ + γα = 0, α + β + γ = 0 και α + β + γ = α β + β γ + γ α β) α = βγ, β = γα, γ = αβ και α = β = γ Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 γ) Re( α β ) = Re( β γ ) = Re( γ α ) = B. Να αποδείξετε ότι : α) οι αριθμοί α, β, γ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. β) α β = β γ = γ α = Γ. Να αποδείξετε ότι : i) Οι εικόνες Α, Β, Γ των μιγαδικών α, β, γ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. ii) Οι εικόνες Κ, Λ, Μ των μιγαδικών αριθμών κ = α, λ = β, μ = γ αντίστοιχα, Θέμα 0 ο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμού α, β, γ διαφορετικοί ανά δύο με α = β = γ. Να αποδείξετε ότι : α) Οι αριθμοί είναι μη μηδενικοί και έχουν ίσα μέτρα. β) α + αβ + β = 0 και α + β + γ = 0 γ) Οι εικόνες των α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. δ) Οι εικόνες των α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Θέμα ο Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ με α = β = γ και Να αποδείξετε ότι Re( ) Re( ) Re( ) α), α + β + γ = 0 και α + β + γ = αβ + βγ + γα = 0 β) α = β = γ γ) το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των αριθμών α, β, γ είναι ισόπλευρο. Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί xyi, i και w i Α. Να αποδείξετε ότι το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του w είναι αντίστοιχα : Re(w) x y x y x y 4, Im(w) x (y) x (y) Β. Έστω ότι ο w είναι πραγματικός.να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας M του και στη συνέχεια να βρεθεί : α) Η ελάχιστη τιμή του, Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

6/0/0 β) Ο αριθμός 0 με το ελάχιστο μέτρο. Γ. Έστω ότι ο w είναι φανταστικός.να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας M του και στη συνέχεια να βρεθεί : α) Η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του. β) Οι αριθμοί, με το ελάχιστο και μέγιστο μέτρο αντίστοιχα. Θέμα ο Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί και w με i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: i i και w=i i.. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. Να αποδείξετε ότι i= i. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι - w 4. Να αποδείξετε ότι: w Θέμα 4 ο Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει = i Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση ψ = Β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να βρείτε εκείνους που έχουν μέτρο ίσο με Β. Έστω = + i και = + i οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα Β. Θέμα 5 ο Να αποδείξετε ότι 4 4 + =-8 Οι μιγαδικοί αριθμοί, w συνδέονται με τη σχέση κύκλο με κέντρο Κ(-,0) και ακτίνα ρ=. w w και η εικόνα του w ανήκει στον α) Να δείξετε ότι η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. β) Αν () και,, είναι οι εικόνες τριών μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει η σχέση (), να αποδείξετε ότι: i) Ο αριθμός είναι πραγματικός. ii) Αν επιπλέον 0, τότε Re. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 5 από 44

6/0/0 Θέμα 6 ο Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές, για τις οποίες ισχύουν B. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς, + = και = 5 B. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση w + w =, να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση (x+) + y = 4 B. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει : Θέμα 7 ο Δίνεται η εξίσωση + =, όπου C με 0 B. Να βρείτε τις ρίζες και της εξίσωσης. B. Να αποδείξετε ότι 00 00 + =0 Re(w) + Im(w) = 0 B. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει w -4+i = -, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο. B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β, να αποδείξετε ότι w 7 Θέμα 8 ο Δίνεται η εξίσωση + λ + μ = 0, όπου λ, μ είναι πραγματικοί αριθμοί. Α. Αν ο αριθμός = + i είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι λ = 6, μ = 6 και να βρείτε τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης. Β. Να αποδείξετε ότι: β. Θέμα 9 ο α. 0 008 008 005 Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 6 από 44

6/0/0 ( i ) 6 και w ( i) w ( i) τότε να βρείτε: α). το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. β). το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. γ). την ελάχιστη τιμή του w δ). την ελάχιστη τιμή του w. Θέμα 0 ο Δίνονται οι μιγαδικοί,w για τους οποίους ισχύουν ότι, για τους οποίους ισχύουν ότι και w Α) Να βρείτε τη γραμμή C που ανήκουν οι εικόνες του w. Β) Να βρείτε το ελάχιστο w. Γ) Να αποδείξετε ότι το σημείο N(,0) και οι εικόνες των,w είναι σημεία συνευθειακά. Δ) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. Ε) Αν οι μιγαδικοί w, wέχουν εικόνες στη γραμμή C και w w 4, να βρεθεί o αριθμός Θέμα ο w w Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι : 4i α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας Mτου β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του γ) Έστω, δύο από τους μιγαδικούς που επαληθεύουν τη δοσμένη σχέση με 4. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων : i) ii) A B Θέμα ο Α. Να λυθεί η εξίσωση 0 και να αποδειχθεί ότι οι ρίζες της έχουν μέτρο. B. Αν είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης, να αποδειχθεί ότι 00. Γ. Να βρεθούν οι μιγαδικοί, για τους οποίους ισχύει ότι : 0 0 και Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 7 από 44

6/0/0 Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α,β,γ με = = = και + + = α) Να αποδειχθεί ότι : ( + )( + )( + ) β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : K γ) Να αποδειχθεί ότι Θέμα 4 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ που έχουν μέτρο και άθροισμα διάφορο του μηδενός. Αν ισχύει ότι 0, να αποδειχθεί ότι : α) β) 0 γ) Οι εικόνες των αριθμών,,,, είναι ομοκυκλικά σημεία. δ) Θέμα 5 ο Τρεις μιγαδικοί αριθμοί a,b,c έχουν μέτρο και ικανοποιούν τη σχέση : Να αποδειχθεί ότι : α) ab bc ca abc abc β) Ένας τουλάχιστον από τους μιγαδικούς a,b,c είναι ίσος με a b c γ) 009 009 009 δ) Αν οι αριθμοί a,b,c είναι διαφορετικοί ανά δύο, τότε οι εικόνες τους σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 8 από 44

6/0/0 ************************************************* ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Επιμέλεια λύσεων : Αλέξης Μιχαλακίδης Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Υ/Η ΘΕΜΑ ο : Α) Είναι 00i, οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο Κ(0, 0), ακτίνα ρ = και καρτεσιανή εξίσωση : C:x y. Β) Αφού οι δύο μιγαδικοί, ανήκουν στο σύνολο Α, τότε η μέγιστη τιμή του μέτρου θα είναι όσο και η διάμετρος του μοναδιαίου κύκλου, δηλαδή ίση με Γ) Αφού έχουμε:. max, A, ί (), ( ), (),() 4 0 0 0 () Άρα η ζητούμενη τιμή της παράστασης βρίσκεται ως εξής: () 0i 0i 0i 0 Δ) Από το Α. ερώτημα ισχύει ότι x y (4), όπου x yi.επομένως : (4) x yi x yi x yi w xyi xyi xyi xyi x yi x yi x yi x y xyixyixyi Έστω w = α + βi.η εικόνα του w θα είναι τότε Μ(w) = (α, β), οπότε: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 9 από 44

6/0/0 x x y y Αλλά τα x, y επαληθεύουν την σχέση (4),οπότε : x y. 9 x Άρα η εικόνα του w κινείται στην έλλειψη y, η οποία έχει τις εστίες της στον άξονα 9 x x, μεγάλο άξονα 6 και μικρό άξονα. Για να βρούμε τη μέγιστη τιμή του μέτρου w θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση που συνδέει τις εικόνες των δύο μιγαδικών, w και στην ουσία δίνει την αλληλεξάρτηση των μιγαδικών στο επίπεδο. Είναι επομένως : w max Η τιμή λοιπόν της παράστασης w είναι σταθερή και ίση με. ΘΕΜΑ ο : Α) Έστω ότι a = b.τότε: ab abc aa c a c a c c a που είναι άτοπο. Άρα a b. Ομοίως, έστω ότι a = c.τότε : ac που είναι άτοπο, αφού b 0.Άρα a c. abcaba b0 b 0, Β) Ισχύει ότι: a b c a b c, ό a (), b (), c () a b c x(ab) a b ab0 (4) a c a a b a a b aa a b a b aa aa ab ab bb (),(),() a b a b ab ab bb 0 a b b 0 0 0 b a b b a b a Ισχύει πλέον ότι: ab a b ab0 ab a b ab 0a b 0a b Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 0 από 44

6/0/0 Γ) Ο αριθμός a b είναι ρίζα της εξίσωσης αφού την επαληθεύει: a b a a a a 0 0 0a abb 0, b b b b που ισχύει. Είναι : 4 0, οπότε η εξίσωση έχει μιγαδικές και συζυγείς λύσεις: Δ) Είναι Άλλος τρόπος :, i i i i,, 0 0 0 0 0 0 0 0 b c 0 b a b a b c a [ ] a [ ] a a a a 0 0 0 b b 0 0 a [ ] a [ ] a a 0 0 0 0 0 0 a [ ] a [ ] a 00 Παρατηρούμε από την αρχική σχέση του θέματος ότι: ( ) a b c a b ab c a b c ab a b c a b Έτσι είναι : a b c () ab c ab c () abcabc0ab ( c) 0, οπότε από ταυτότητα Euler παίρνουμε : () a b a b c ab c a b c c c a b c a c a c Άρα στην ουσία έχουμε εξάγει το αποτέλεσμα a b c (). Άρα η ζητούμενη παράσταση γράφεται: () () 670 670 a a b c a 0 0 0 0 0 670 670 670 670 670 670 a b c a b c a a a b a c a b c 0 E) Από τη δοσμένη σχέση a b c εξάγεται το συμπέρασμα ότι η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού c είναι η συνισταμένη των αντίστοιχων διανυσματικών ακτίνων a, b. Άρα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα οι διανυσματικές ακτίνες OA,OB των a, b σχηματίζουν παραλληλόγραμμο: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 Αφού όμως το παραλληλόγραμμο αυτό έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες ( a b OA OB ), τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος. Ισχύει, όμως, ότι: OA OB AC OC BC οπότε τα τρίγωνα OAC, OBC είναι ισόπλευρα. Επομένως : CB 0 OAC OBC 60. ΘΕΜΑ ο : Α) Είναι οπότε ισχύουν οι σχέσεις : 9 9, 9 9 9 (), (), ( ), Β) Αρκεί να αποδείξουμε ότι: w w, όπου w. Είναι όμως : 9 9 (),(),() w w w 9 9 Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 Γ) Ισχύει ότι, άρα: 9 9 9 9 9 9 ΘΕΜΑ 4 ο : Α) Αφού i, με αντικατάσταση έχουμε: Ά Rew4, Im w w i i i 4 i i i 4 i i 4 4 i Β) Αφού οι εικόνες του w κινούνται στο μιγαδικό επίπεδο στην ευθεία y x τότε επαληθεύουν την ευθεία αυτή, άρα: Im(w) Re(w) 4 448 0 Άρα οι εικόνες των μιγαδικών θα κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y x. Γ) Όπως φαίνεται και στο Σχήμα, φέρουμε την κάθετη ευθεία από την αρχή των αξόνων στην ευθεία y =x. H κάθετη έχει συντελεστή λ = - και εξίσωση y = -x (διχοτόμος ου 4 ου τεταρτημορίου). Το σημείο τομής Β των δύο ευθειών, είναι η εικόνα του μιγαδικού με το ελάχιστο μέτρο (με την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων). Για να βρούμε τις συντεταγμένες της εικόνας του ζητούμενου μιγαδικού λύνουμε το παρακάτω σύστημα: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 Σχήμα yx x x x x B,. yx yx yx y Άρα ο ζητούμενος μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο w = i. ΘΕΜΑ 5 ο : Α) Αφού = α + βi, είναι : i i i i w i i i i 4 i i i i 4 4 i Άρα ο w θα είναι: 4 4i 4 4 w i i Ισχύει όμως από την υπόθεση της άσκησης ότι: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

6/0/0 0 4 4 w Imw0 0 0 0 4 0 4 () 444 40 () Άρα ο w τελικά θα είναι: () () 4 4 4 4 4 4 40 w 4 4 4 4 Β) Αφού οι συντεταγμένες της εικόνας του = α + βi επαληθεύουν την σχέση () ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(-, 0) και ακτίνα ρ =. Είναι όμως 0, οπότε πρέπει να εξαιρέσουμε τα σημεία Ο (0,0), Ν( 4,0) I Re 0 Γ) Ο ισούται με i i.άρα: 0 () οπότε οι, γράφονται: ii, ii Αντικαθιστούμε τώρα στη ζητούμενη παράσταση που θέλουμε να υπολογίσουμε: 0 0 i i i i i i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i i i i 0 0 0 0 0 0 0 i i i i 0 0 Σχόλιο! Ας σημειώσουμε ότι αφού ( ) 4, με βρίσκουμε ότι και έτσι i.επομένως η παραπάνω διαδικασία απλουστεύεται αρκετά. ΘΕΜΑ 6 ο : Α) Έστω ότι: (), (), () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 5 από 44

6/0/0 0 0 0 0 0 0 00 (4) Β) Επειδή οι αριθμοί α,β, β γ είναι διάφοροι του μηδενός, ισχύει ότι: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Άρα, που είναι η ζητούμενη. Γ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι. Είναι όμως : 0 4 4, ύ. Όμοια είναι : 0 4 4, ύ. Άρα, που σημαίνει ότι οι εικόνες των αριθμών α, β, γ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Δ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι.είναι όμως :, ύ, ύ Άρα, οι εικόνες δηλαδή των αριθμών αβ, βγ, γα είναι επίσης κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 6 από 44

6/0/0 ΘΕΜΑ 7 ο : Α) Ισχύει η σχέση: () Έστω ότι w w, οπότε έχουμε: w w 0 0 0, ύ. Άρα έχουμε αποδείξει ότι w w. Β) Από το Α) προκύπτει άμεσα ότι w. Γ) Ισχύει ότι w (). Έστω τώρα,, οι διανυσματικές ακτίνες των α, β, γ αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο. Εκφράζοντας τη σχέση () με την βοήθεια των παραπάνω διανυσματικών ακτίνων προκύπτει ότι: απ όπου προκύπτει ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ΘΕΜΑ 8 ο : Α) α) Ισχύει ότι: w w w () w w w ( ) Η () λόγω της () γίνεται: () 0 0 4 4 w w 0 0 και η () τελικά γίνεται: w w w β) Από τις σχέσεις του προηγούμενου σκέλους προκύπτει ότι: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 7 από 44

6/0/0 w w ww w w γ) Από τις αρχικές σχέσεις του θέματος έχουμε: w 0 w 0 () w (4) w 0 0 (5) w (6) w Αφαιρώντας κατά μέλη τις (), (5) προκύπτει: w w 0ww 0ww 0 w w w w w 0 ή 0,ά. (4),(6) w 0 ή w 0 w 0 ή w w 0 w 0ή 0 Άρα τελικά w 0 w(7) δ) Από τις σχέσεις (4), (6) προκύπτει: w w w w w w w w Β) α) Λύνοντας τις εξισώσεις που προέκυψαν στο Α)δ) έχουμε: 0 0, i, i w 0ww w0 w, w i, w i Άρα τα ζεύγη των λύσεων που ικανοποιούν όλες τις συνθήκες του θέματος είναι τα,w,,w,,w. 004 β) Για να βρούμε τον αριθμό χρησιμοποιούμε τη γνωστή δύναμη : 668 004 668 Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 8 από 44

6/0/0 ΘΕΜΑ 9 ο : Ι.A) Ισχύει ότι:,, Αρκεί να αποδείξουμε ότι V V και U U. Ο αριθμός V γράφεται με κάποιες πράξεις ως εξής: V Υπολογίζουμε τον συζυγή του V: V Παρατηρούμε ότι VV V. Ομοίως, με ύστερα από τις πράξεις, ο U γράφεται: U Υπολογίζουμε τον συζυγή του U.Είναι : U U Άρα U I, όπου με Ι συμβολίζουμε το σύνολο των φανταστικών αριθμών. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 9 από 44

6/0/0 Β) Για να απαντήσουμε στο ερώτημα, αρκεί να αποδείξουμε ότι w.είναι όμως : w Άρα οι εικόνες των μιγαδικών α, β, γ, w βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο, οπότε είναι ομοκυκλικά σημεία. Γ) Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: Είναι επίσης : (). Υψώνοντας τη συγκεκριμένη στο τετράγωνο: 4 4 4 4 Re 4 Re Re Δ) Είναι : Ε) Από την ανισότητα w w παίρνουμε : ( ) ( ) () Κυκλικά παίρνουμε τις σχέσεις : και ( ) ( ) () ( ) ( ) () Προσθέτουμε τις τρεις αυτές σχέσεις κατά μέλη, βγάζουμε στο πρώτο μέλος κοινό παράγοντα το, απλοποιούμε και παίρνουμε τη ζητούμενη, ΙΙ. Α) α) Συνολικά ισχύει ότι: 0() () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 0 από 44

6/0/0 Από την () παίρνουμε : 00 0 00 () Είναι επίσης : () 0 0 0 00 0 (4) β)από τη σχέση () που προέκυψε έχουμε: 0() 0 0 0 (6) 0 0 0 0 x x x (5) 0 0 0 0 (6) (9), (0), () (7) (8) Από τις σχέσεις (9), (0), () προκύπτει ότι. γ) Παίρνοντας τα μέτρα από τη δοσμένη σχέση () έχουμε: 0 Re Re () 0 ReRe () 0 Β. α) Έστω ότι.τότε : Re Re (4) 0, ά. 0, ά. Άρα. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 β) Παίρνοντας τα ζητούμενα μέτρα στο τετράγωνο, υπολογίζουμε ότι: Re (5) Re (6) Re 7 Γ. i) Στο προηγούμενο σκέλος αποδείξαμε ότι κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών α, β, γ είναι ισόπλευρο με πλευρά., οπότε το τρίγωνο με ii) Αρκεί να αποδείξουμε ότι.είναι όμως :, ύ., ύ. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών,, είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. ΘΕΜΑ 0 ο : Α) Αφού οι αριθμοί είναι διαφορετικοί ανά δύο ισχύει ότι:, οπότε δεν μπορεί να είναι μηδενικοί αφού θα ίσχυε 0. Παίρνοντας μέτρα στη δοθείσα σχέση έχουμε: (), (). Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι. Β) Χρησιμοποιώντας την αρχική σχέση του θέματος έχουμε: 0 () 0 0 Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 Ομοίως είναι : 0 0 Αφαιρώντας κατά μέλη τις (), (4) προκύπτει: 0 (4) 0 0 0 000 Γ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι: (5) Είναι όμως :. 4 4, ύ. 4 4, ύ. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Δ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι. Είναι όμως :, ύ., ύ. ΘΕΜΑ ο : Τα δεδομένα μας είναι ότι:,, () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 Έχουμε επίσης ότι : Re Re Re () Α) Έστω ότι α = β, τότε από την () παίρνουμε : Re Re Re, άτοπο. Άρα. Ομοίως είναι. Έχουμε λοιπόν : 0 0 () 0 0 (4) x( ) Re x( ) Re Αφαιρώντας κατά μέλη τις (), (4) προκύπτει: 0 0 0 0 0 0 (5) Από την () έχουμε: 0 0 0 0 Άρα 0 0 (6). Υψώνοντας την (5) στο τετράγωνο προκύπτει: 0 0 0 0 0 0 (7) 0 Β) Από την () και την (4) προκύπτει επιπλέον ότι: 0 0 0 0 0 0 (8) (9) Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

6/0/0 Γ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι.είναι όμως : 4 4 ύ., 4 4, ύ. Άρα οι εικόνες των α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. ΘΕΜΑ ο : Α) Αφού = x + yi, τότε ο w γράφεται: x yi x yi w i x yi i x x y x y x yi x y i y i x y i x y i x x x y ixyiy y x xxyixiyi4ixyiy y x x y y y x 4 i x y y x y x 4 i x y x y x y Β) Αφού ο w είναι πραγματικός τότε Im(w) = 0, παίρνουμε ότι: yx 4 w Im w 0 0 yx40 yx0 xy0 ( ) x y α) Φέρουμε την κάθετη ευθεία (μ), στην ευθεία (ε) όπως στο παρακάτω σχήμα. Η ελάχιστη τιμή του είναι η απόσταση του σημείου τομής των ευθειών από την αρχή των αξόνων. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 5 από 44

6/0/0 Η ευθεία (μ) αφού περνάει από την αρχή των αξόνων έχει μορφή y = λx με λ:, ( ) : y x. Για να βρούμε το σημείο τομής Β λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων των ευθειών: Είναι επομένως : yx yx yx yx y xy xx x x x min d O,B 0 0 β) Ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι αυτός του οποίου η εικόνα είναι το σημείο (, -). Άρα ο μιγαδικός i είναι ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο. 0 Γ) Αν ο w είναι φανταστικός τότε: x y yx wi Rew0 0 x y yx 0 x xy y0 x y Ά x x y y 0 x y () ρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ του είναι ο κύκλος με Κ(, -) και ρ = α) Η ελάχιστη τιμή του είναι όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα 0 αφού ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Αντίστοιχα η μέγιστη τιμή του είναι η απόσταση ΟΑ = ρ =. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 6 από 44

6/0/0 β) Ο μιγαδικός με την ελάχιστη τιμή είναι ο = 0 και ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι αυτός του οποίου η εικόνα είναι το σημείο Α. Βρίσκουμε την ευθεία (ε): 0 Είναι :. 0 Αφού η ευθεία έχει μορφή y = λx, τότε η εξίσωσή της είναι y = -x. Για να βρούμε το σημείο Α λύνουμε σύστημα την εξίσωση του κύκλου με την ευθεία: yx yx yx yx x y x x x x x yx yx y y0 ή A, x x x x 0 Άρα ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι ο i. ΘΕΜΑ ο (Θέμα πανελληνίων 0): Α. Από τη σχέση που δίνεται έχουμε: i i i i i i i i () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 7 από 44

6/0/0 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο C:x y () K 0, και ακτίνα ρ=: Β. Από τη σχέση () έχουμε: i i i i i () i Γ. Επίσης από τη σχέση που δίνεται έχουμε: i i w i ii Re. i Έτσι έχουμε αποδείξει ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ίσος με Re(). Από τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο όμως, γνωρίζουμε ότι το Re() κινείται μεταξύ - και, κάτι το οποίο φαίνεται από το παρακάτω σχήμα: Έτσι έχουμε: Re Re w Δ. Έχουμε αποδείξει παραπάνω ότι: w, οπότε χρησιμοποιώντας τη συγκεκριμένη σχέση εύκολα αποδεικνύουμε ότι: w. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 8 από 44

6/0/0 ΘΕΜΑ 4 ο : Β. Στην δοθείσα σχέση αντικαθιστώ όπου = x + yi: i xyi xyii x y x y x y x y x y x y x y x y 4y4 4y4 y Β. Οι παραπάνω μιγαδικοί αφού ανήκουν στην ευθεία y = έχουν μορφή = x + i.είναι : x x 4 x x, οπότε οι μιγαδικοί που έχουν μέτρο είναι οι i, i. Β. Αντικαθιστούμε όπου i, iκαι παίρνουμε : 4 4 4 4 i i i i i i 4i 4i 4 4 8 ΘΕΜΑ 5 ο : Α) Αφού η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ(-, 0) και ρ = ισχύει: w 0i w w ( ) Τη δοθείσα σχέση τη λύνουμε ως προς w και παίρνουμε : w w (w)w w ww w w w (),, ύ έ ίύ. Στην () αντικαθιστώ την (): () w 4 4 () Εξετάζω αν το σημείο (-, 0) ανήκει στον κύκλο που προέκυψε.είναι : 0 4,οπότε το (-, 0) δεν ανήκει στον κύκλο και δεν έχω κανέναν απολύτως περιορισμό. Άρα η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ(0, 0) και ακτίνα ρ =. Β) i) Ισχύει: (4), (5), (6) Ο αριθμός α γράφεται: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 9 από 44

6/0/0 Αρκεί να αποδείξουμε ότι. Ο γράφεται: (4),(5),(6) ii) Χρησιμοποιώντας τον τύπο Re, το Re γράφεται: Re 0 ΘΕΜΑ 6 ο : Β. Από τις σχέσεις Vieta,αφού γνωρίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης η δευτεροβάθμια εξίσωση θα είναι η SP 0, όπου S είναι το άθροισμα ριζών και P το γινόμενο των ριζών. Άρα λύνουμε την εξίσωση: 5 0 5 0 4 45 4 0 6 0, Β. Έστω ότι w = x + yi. 6i 4i, i Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 0 από 44

6/0/0 Αντικαθιστούμε στη δοθείσα σχέση όπου i, i: w w w i w i i i w i w i i i w i w i w i w i 6 w w wi w i wi i 4 w w wi w i wi i 4 6 w ww60 w ww0 x y x0 x xy 0 x y 4 Β. Λύνοντας το σύστημα των σχέσεων (), () προκύπτουν οι ζητούμενοι μιγαδικοί: όπου (): x y 4 (): RewImw0 xy0 yx,όw xyi,x,y x y 4 x x 4 x x4x 4 5x x0 x y 0 y x yx yx x x ή x 5 x 5 ή 6 y yx y 5 6 Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι: i, i 5 5 ΘΕΜΑ 7 ο (Θέμα πανελληνίων 00) Α. Οι ρίζες της εξίσωσης είναι: 4i i i 0, Β. Η ζητούμενη παράσταση γίνεται: 00 00 005 005 005 005 00 00 i i i i i i 005 005 005 005 005 005 005 005 i i i i 0 Γ. Αντικαθιστούμε στη σχέση που δίνεται όπου, τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης: w4i ii ii i w4i w4i Ο γεωμετρικός τόπος που προκύπτει είναι κύκλος με K4, και ρ =, με καρτεσιανή μορφή: C: x 4 y 4. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 Δ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η ελάχιστη τιμή του w είναι και η μέγιστη είναι 7. Από το σχήμα παρακάτω παρατηρούμε ότι: 4 0 0 4 6 9 5 5 w OB OK 5 w O 57 min Άρα, όντως, ισχύει ότι: w 7. max ΘΕΜΑ 8 ο : Α) Αφού η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει πραγματικούς συντελεστές τότε η δεύτερη ρίζα θα είναι η συζυγής της. Άρα ii. Από τους τύπους του Vietta βρίσκουμε ότι: S ii P i i i έ : S 6 P 6 Β) α) Είναι : i i i i 0 Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 β) Αντικαθιστώντας πάλι όπου i, iπαίρνουμε : 008 008 004 004 004 004 008 008 i i i i i i 004 004 004 004 004 004 005 4 5 005 005 i i i i ΘΕΜΑ 9 ο (Θέμα πανελληνίων 008) Α) Από τη δοθείσα σχέση προκύπτει ότι: i 6 i 6 6 6 () Άρα ο γεωμετρικός τόπος του είναι το κύκλος με κέντρο Κ(0, 0) και ρ = με καρτεσιανή εξίσωση C:x y 4. Β) Έστω w = α + βi. Αντικαθιστώντας έχουμε: w i w i ii ii 69 69668 446 0 4 0 () Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία (ε) x y 4 = 0, η οποία είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ, όπου Α(, -) και Β(, -). Γ) Φέρουμε την κάθετη ευθεία (μ) στην (ε), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η ελάχιστη τιμή του w είναι ίση με την απόσταση (ΑΒ) της ευθείας (ε) από την αρχή των αξόνων: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

6/0/0 Άρα 0 0 4 4 4 4 w ABdO, min. Δ) Η εικόνα του κινείται στον κύκλο: x y 4 και η εικόνα του w κινείται στην ευθεία με εξίσωση x y 8 = 0. Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα τον κύκλο με την ευθεία. Παρατηρούμε λοιπόν ότι η ελάχιστη τιμή του w είναι ίση με την απόσταση (ΑΒ), οπότε: min w d O, ΘΕΜΑ 0 ο : Α) Λύνουμε τη δοθείσα σχέση ως προς w: w w w (). Παίρνοντας μέτρα στη σχέση () έχουμε: w w w w w0i () Από την () συμπεραίνουμε ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με Κ(, 0) και ρ = με καρτεσιανή μορφή: C: x y 4 () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

6/0/0 Β) Όπως φαίνεται από το παρακάτω σχήμα η ελάχιστη τιμή του w είναι ίση με την απόσταση (ΟΒ). Είναι επομένως : min w 0 00. Γ) Έστω = x + yi και w = α + βi οι μιγαδικο ί. Ο ι εικόνες τους είναι τότε τα σημεία x,y,,. Σχηματίζουμε τα διανύσματα, : x ( ), y 0x, y, 0, det N, 0. Αρκεί να αποδείξουμε ότι x y det N, x y (4) Από τη δοθείσα σχέση του θέματος έχουμε ότι: w i xyi ixyi x y i0 x (5) y (6) Αντικαθιστώντας στην σχέση (4) προκύπτει: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 5 από 44

6/0/0 (5),(6) det N, x y yx y x y x y x xy y xy y 0 N N,M, ά. Σχόλιο! Για τους μιγαδικούς αριθμούς u,,w είναι : w u w u () ( ) wu Επομένως οι εικόνες Γ, Β, Α των u,,w είναι συνευθειακά σημεία. αφού ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ. Δ) Για να βρούμε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή του w χρησιμοποιούμε τη σχέση που μας δίνει την αλληλεξάρτηση των εικόνων των μιγαδικών: min w 0 i Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι η μέγιστη και ελάχιστη τιμή του w βρίσκεται αν υπολογίσουμε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της απόστασης της εικόνας του μιγαδικού από το σημείο Ν(-, 0). Βρίσκουμε λοιπόν ότι : w 0 αφού ο κινείται στο κύκλο C όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: min min Η μέγιστη τιμή του μέτρου όπως φαίνεται και στο σχήμα είναι ίση με την απόσταση (ΚΝ) που είναι η διάμετρος του κύκλου C και έχει μήκος : Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 6 από 44

6/0/0 w (KN) d. max ύ Ε) Αφού οι εικόνες των μιγαδικών w,w ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του Α) ερωτήματος δηλαδή στον κύκλο C: x y 4 και απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με 4, τότε υποχρεωτικά οι εικόνες αυτών των μιγαδικών είναι αντιδιαμετρικά σημεία (όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα). Έστω ότι οι εικόνες των w,w είναι τα σημεία Β, Γ και Κ το κέντρο του C, το οποίο είναι και το μέσο του ΒΓ. Αφού το άθροισμα δύο μιγαδικών είναι ίσο με το άθροισμα των διανυσματικών τους ακτίνων, αντικαθιστούμε στο μέτρο τις διανυσματικές τους ακτίνες: OK ά w w OBO ΘΕΜΑ ο : Α) Έστω ο = x + yi και Μ(x, y) η εικόνα του. Από τη δοσμένη σχέση έχουμε: 4i 4i () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 7 από 44

6/0/0 Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(, 4) και ακτίνα ρ =.Η καρτεσιανή εξίσωση του κύκλου αυτού είναι : C: x y4 4 Β) Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, η ελάχιστη τιμή του είναι ίση με την απόσταση (ΟΒ), ενώ η μέγιστη είναι ίση με την απόσταση O. Επομένως είναι min max OB OK 0 40 55 57 Γ) i) Αφού οι εικόνες των, ανήκουν στον κύκλο C και η μεταξύ τους απόσταση είναι 4, υποχρεωτικά οι εικόνες των συγκεκριμένων μιγαδικών είναι αντιδιαμετρικά σημεία. Έστω ότι οι εικόνες των, είναι τα σημεία Β, Γ και Κ το κέντρο του C, το οποίο είναι και το μέσο του ΒΓ. Αφού το άθροισμα δύο μιγαδικών είναι ίσο με το άθροισμα των διανυσματικών τους ακτίνων, αντικαθιστούμε στο μέτρο τις διανυσματικές τους ακτίνες: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 8 από 44

6/0/0 Είναι : OK ά OBO 50 ii) Αν θεωρήσουμε την εικόνα Ρ ενός τυχαίου μιγαδικού πάνω στον κύκλο C, τότε η ζητούμενη παράσταση παριστάνει το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων (ΡΑ) και (ΡΒ), όπου Α, Β αντιδιαμετρικά σημεία από πριν. Είναι 90,αφού είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο και βαίνει σε ημικύκλιο. Επομένως παίρνουμε :.. ύ d 4. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 9 από 44

6/0/0 ΘΕΜΑ ο : Α) Η εξίσωση είναι δευτεροβάθμια με πραγματικούς συντελεστές οπότε: i i 4 0,, ( i 4 4 i 4 4 ) Αν Β) Έστω ότι i.είναι τότε : 670 00 00 00 670 i 670 00 i 8 i i 00 00 00 00 670 00, 00 00 ύύ ό : i, τότε: i i i i i 9 i 9 8 670 00 00 00 670 i 670 00 i 8 i i 00 00 00 00 ύύ ό : 670 00 00 00 i i i i i 9 i 9 8 Γ) Ισχύει ότι: 0 0 0 0 0 ( ) Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 40 από 44

6/0/0 Re0 Re Re Im Im Im 4 Im Ά ίύ άί :, i μια και ικανοποιούν τη δοσμένη εξίσωση. Η επαλήθευση είναι απαραίτητη διότι κατά την πορεία επίλυσης χρησιμοποιήθηκε συνεπαγωγή. Άλλος τρόπος : Παίρνοντας συζυγείς στη δοσμένη εξίσωση και επειδή, παίρνουμε την ισοδύναμη εξίσωση Πρέπει επομένως : 0 0 0 0 0 0 0 00 Αλλά τότε η δοσμένη εξίσωση τελικά γίνεται ισοδύναμη με την συνήθη τρόπο. ΘΕΜΑ ο : Α) Ισχύει ότι: 0που λύνεται με το 4 4 4 4 (), (), () και έτσι (),(),() 4 4 4 4 4 4 w 444 Αρκεί να αποδείξουμε ότι w w. Ο w γράφεται: 4 4 4 w 4 4 4 444 w w Β) Ισχύει ότι: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

6/0/0 Επομένως : 4, ό, 4 4 4 : 4 4 4 4 4 Γ) Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε: ΘΕΜΑ 4 ο : Ισχύει ότι: (), (), () Α) Έχουμε : έ ί 0, 0 (4) Ομοίως παίρνουμε: (4), ύ., ύ. Β) Με τη βοήθεια των σχέσεων (), (), (): (),(),() 0 0 Γ) Ισχύει ότι, ό. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών α, β, γ, αβγ ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο,αφού το μέτρο τους είναι ίσο με. Αρκεί να αποδείξουμε ακόμα ότι.είναι όμως : Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

6/0/0 Δ) Με χρήση της ταυτότητας για την ποσότητα α +β + γ έχουμε: (4) ( ) ΘΕΜΑ 5 ο : Α) Ισχύει ότι a b c a b c a (), b (), c () a b c Χρησιμοποιώντας την σχέση που δίνεται, παίρνουμε : (),(),() abcabc a bc bcacab abc (4) a b c Β) Από την σχέση που προέκυψε στο προηγούμενο ερώτημα έχουμε: a bc cba bc ac ab abc bc ac ab abc 0 bc a a c b 0 bc a a a 0 a bca 0 a bcbc 0 a c b c 0 a c b 0 a b c 0a ή bή c (5) Γ) Αν a =, τότε b c0 bc0 bc 0 b c (6), οπότε: 009 009 (),(),() (6) 009 009 009 009 b c 009 009 009 009 c c a b c b c 009 009 c c Μπορούμε βέβαια να συντομέψουμε τη λύση όπως στη συνέχεια : Αν b =, τότε ac0ac0 a c 0 a c (7) και όμοια παίρνουμε : 009 009 009 009 009 009 009 009 009 a b c a c c c Τέλος, αν c =,τότε ab0ab0 a b 0 a b (8) και με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι : Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

6/0/0 009 009 (),(),() (8) 009 009 009 009 009 009 009 009 a b b b a b c a b 009 009 b b Δ) Έχουμε αποδείξει στο προηγούμενο σκέλος ότι τουλάχιστον ένας από τους μιγαδικούς a, b, c θα είναι πραγματικός και ίσος με, δεδομένων των συνθηκών του θέματος. Έστω ότι a = και έστω,, C οι διανυσματικές ακτίνες αντίστοιχα των μιγαδικών a, b, c. Τότε θα ισχύει ότι: OA x,y,0, OB x,y C x,y. Αν w 0i και OD,0 A A B B C C η διανυσματική του ακτίνα τότε, η δοσμένη σχέση γράφεται: abcabc w και αντικαθιστώντας με τις διανυσματικές ακτίνες παίρνουμε : OA OB OC OD, 0 OB OC, 0 OB OC 0 OB OC x,y x, y x x y y B B C C B C B C Υπολογίζω τα διανύσματα AB, AC : AB OB OA x, y, 0 x, y ACOCOA x,y,0 x, y,0 x, y B B B B C C B B B B Υπολογίζοντας το εσωτερικό τους γινόμενο παίρνουμε : ABAC x,y x, y x x y x y B B B B B B B B B b xbyb xbyb xb yb xb yb 0 Επομένως παίρνουμε AB AC A ˆ 90. Ομοίως, αν b =, τότε ˆB 90 και αν c =, τότε 90. Γεωμετρική λύση : Αν a, τότε η δοσμένη σχέση δίνει b c0 b c, οπότε οι εικόνες Β,Γ των b,cείναι αντιδιαμετρικά σημεία. Έτσι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στην κορυφή Α. Ανάλογα εργαζόμαστε και στις άλλες περιπτώσεις. Ευχαριστίες!!! Ευχαριστώ τον εκλεκτό συνάδελφο Αλέξη Μιχαλακίδη για πρωτοβουλία του να συντάξει τις ωραίες αυτές λύσεις και να τις χαρίσει στον κόσμο του mathematica.gr Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 44 από 44