ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+ υ 4ρ υ = i = i i = i Για α δείξουµε ότι έας µιγαδικός αριθµός είαι πραγµατικός, αρκεί α δείξουµε ότι: α Το φαταστικό του µέρος είαι µηδέ β = γ = (διότι η ιδιότητα αυτή ισχύει µόο για πραγµατικούς αριθ- µούς) Για α δείξουµε ότι έας µιγαδικός αριθµός είαι φαταστικός, αρκεί α δείξουµε ότι: α Το πραγµατικό του µέρος είαι µηδέ β = γ = 4 Α για το µιγαδικό αριθµό = α + βi δίεται ότι α + βi 0, τότε θα είαι α 0 και β=0 εώ α α + βi 0 τότε α 0 και β=0 5 Για α βρούµε το µέτρο εός µιγαδικού αριθµού φέρουµε το αριθµό στη µορφή α + βi και εφαρµόζουµε το ορισµό του µέτρου Μπορούµε ακόµα α βρούµε το µέτρο εός µιγαδικού αριθµού, α εφαρµόσουµε τις ιδιότητες του µέτρου 6 Σε διάφορες παραγοτοποιήσεις χρήσιµη είαι η ταυτότητα: + = ( + i)( i) κάθε, C 7 Για α δείξουµε µια ισότητα (ή αισότητα), που περιέχει µέτρα µιγαδικώ αριθµώ, χρησιµοποιούµε τις γωστές µεθόδους για τις αποδείξεις ισοτή- υ
Επιµέλεια: Βαρελά Μαργαρίτα τω (ή αισοτήτω), σε συδυασµό µε τις ιδιότητες του µέτρου Πολύ χρήσιµη στη περίπτωση αυτή είαι η ισότητα: = 8 Για α λύσουµε µια εξίσωση µε άγωστο, που περιέχει και παραστάσεις µε ή τότε µεταφέρουµε όλους τους όρους στο πρώτο µέλος µε το άλλο µέλος 0 και βάζουµε = x + yi Φέρουµε το πρώτο µέλος στη µορφή α + βi και εξισώουµε το πραγµατικό και το φαταστικό µέλος µε 0 Από το σύστηµα που προκύπτει υπολογίζουµε τα x και y ΕΠΙΛΕΚΤΙΚΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΜΕ ΑΣΚΗΣΗ η Α, α αποδείξετε ότι = + Re και Im = i Ισχύει + = Re() και = Im() i Άρα Im() = i + + + Re = = = Im = = = i i i + Re() = και wwwmathsforyougr
ΑΛΓΕΒΡΑ Γ Λυκείου ΑΣΚΗΣΗ η Α, είαι ρίζες της εξίσωσης + 4+ 8= 0 αποδείξτε ότι + + 4i w = I + 8i 4 Α, είαι ρίζες της εξίσωσης + 4+ 8= 0, τότε + = = 4και 8 = = 8 + + 4i 4+ 4i + i ( i) ( i ) i w = = = = = = = i + 8i 8+ 8i + i + i i + 4 Άρα w I ΑΣΚΗΣΗ η ίοται οι µιγαδικοί,, που οι εικόες τους στο µιγαδικό επίπεδο αήκου στο ίδιο κύκλο µε κέτρο τη αρχή τω αξόω Αποδείξτε ότι ο w + = είαι πραγµατικός αριθµός Επειδή οι µιγαδικοί, αήκου στο ίδιο κύκλο µε κέτρο τη αρχή τω αξόω, ισχύει = = Για α δείξουµε ότι ο αριθµός w είαι πραγµατικός αρκεί α δείξουµε ότι: w = w + + = + + = + + + + = + + + + = ( ) ( ) = = ισχύει wwwmathsforyougr
Επιµέλεια: Βαρελά Μαργαρίτα ΑΣΚΗΣΗ 4 η Η σχέση 0 =α, α>0, δηλώει ότι οι εικόες του µιγαδικού στο µιγαδικό επίπεδο, βρίσκοται σε κύκλο µε κέτρο τη εικόα του 0 και ακτία α Αποδείξτε ότι αυτός ο κύκλος µπορεί α γραφεί µε τη µορφή 0 0 Re + α = 0 Ισχύει Re( 0 + = ), άρα Re = + 0 0 =α 0 =α ( 0)( 0) =α + =α ( 0 0 ) 0 0 0 00 0 0 Re + α = 0 0 + + α = 0 ΑΣΚΗΣΗ 5 η Θεωρούµε τα σηµεία Α, Β, Γ, που είαι οι εικόες τω µιγαδικώ αριθµώ 0,, + i, 6 + i ατίστοιχα α) Εξετάστε το είδος του τετραπλεύρου ΑΒ Γ β) Να βρείτε τη ελάχιστη τιµή της συάρτησης f = + + i + 6 i µε α) Οι συτεταγµέες τω σηµείω Α, Β, Γ, είαι Α(0,0), Β(,0), Γ(,), (6,) Ισχύει AB =,0, Γ = (,0) Άρα AB = Γ, δηλαδή το τετράπλευρο ΑΒ Γ είαι παραλληλόγραµµο f = + + i + 6 i ατιστοιχεί στο ά- β) Η συάρτηση θροισµα τω αποστάσεω του σηµείου από τις κορυφές του παραλληλογράµ- µου Το άθροισµα αυτό είαι ελάχιστο ότα η εικόα του σηµείου βρίσκεται στο κέτρο Κ του παραλληλογράµµου Το σηµείο Κ σα µέσο του Α έχει συτεταγµέες K, Άρα = + i 4 wwwmathsforyougr
ΑΛΓΕΒΡΑ Γ Λυκείου f = + i + i + i + i f = i i + + 9 45 f = 9+ + f = + f = 5+ 4 ΑΣΚΗΣΗ 6 η Να βρεθεί η ααγκαία και ικαή συθήκη µεταξύ τω πραγµατικώ συτελεστώ α, β ώστε η εξίσωση x +α x +β = 0 α έχει ως ρίζα το ξ= ρ+ρi, ρ i ξ=ρ+ρ i ξ = ρ+ρ i =ρ ρ + ρ i= ρ i ξ =ξ ξ = ρ+ρi ρ i= ρ i ρ Α ξ είαι ρίζα της εξίσωσης τότε i i 0 ξ +αξ +β= 0 ρ ρ + ρ α +β= β ( ) ρ + ρ α+ ρβ = 0 β = ρ α Άρα ισχύει η σχέσηβ + α = 0 α+ρ= 0 α= ρ καιβ= Ατιστρόφως: Α ισχύου οι σχέσεις α = ρ και γίεται x +αx α = 0 x α +αx α = 0 x α x +α x+α +α x α x+α = 0 ( x α)( x +α x +α +α x+α ) =0 ( x α)( x + α x + α ) = 0 x α = 0 ή x + α x + α = 0 Η πρώτη εξίσωση δίει x=α και η δεύτερη έχει διακρίουσα = 4α i και ρίζες α± αi x, = = α±α i Επειδήα = ρ, έχουµε x, της εξίσωσης είαι η ξ=ρ+ρi β + α = 0 και τότε η εξίσωση = ρ±ρ i Άρα µια ρίζα 5 wwwmathsforyougr
Επιµέλεια: Βαρελά Μαργαρίτα ΑΣΚΗΣΗ 7 η Να αποδείξετε ότι οι εικόες τω ριζώ της εξίσωσης 0 004 0 004 + i 000 + i 004 i = 0 αήκου σε ευθεία και α προσδιορίσετε τη εξίσωση Γιατί αυτή η ευθεία είαι µεσοκάθετη B004,; στο τµήµα ΑΒ µε A( 000,0 ) και Έστω = x+ yi Ισχύει + = x και = yi 0 0 004 004 + i 000 + i 004 i = 0 0 004 0 004 ( i) ( 000) ( i ) ( 004 i) + = + 0 004 0 004 + i 000 = + i 004 i 0 004 0 004 5 000 = 5 004 i 000 = 004 i 000 = 004 i ( 000)( 000) = ( 004 i)( 004 + i) 000 000 + 000 = 004 + i 004 + 004 4008i i + 4008i + 4 4 + 4 i + i 600 = 0 4 ( + ) i( ) 600 = 0 4 x i yi 600 = 0 x + y 4005 = 0 Άρα οι εικόες τω ριζώ της εξίσωσης αήκου στη ευθεία x + y 4005 = 0 Από τη σχέση 000 = 004 i συµπεραίουµε ότι η παραπάω ευθεία είαι µεσοκάθετη του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ µε A( 000,0 ) και B004, 6 wwwmathsforyougr
ΑΛΓΕΒΡΑ Γ Λυκείου ΑΣΚΗΣΗ 8 η Αποδείξτε ότι, το σύολο τω εικόω στο µιγαδικό επίπεδο για τους i οποίους ισχύει είαι ηµιευθεία παράλληλη στο άξοα yy + = Ποια είαι η αρχή της; Έστω = x+ yi Ισχύει + = x και = yi Από τη εξίσωση + = έχουµε x = x = Από τη εξίσωση i = έχουµε ( i)( + i) = ( )( ) + i i + = + 9 i= + + 8 y = 6x + 8 y= x 8 Η αίσωση i δείχει ότι το σύολο τω εικόω του C βρίσκεται στο ηµιεπίπεδο που αποτελείται από τη ευθεία µείο A0, y= x 8 και το ση- y= x 8 y= 5 Η λύση του συστήµατος δίει το σηµείο x = x = B, ( 5) Άρα η λύση του συστήµατος i δίει τη ηµιευθεία x= µε αρχή + = το σηµείο και y 5 B, ( 5) ΑΣΚΗΣΗ 9 η ίοται οι µιγαδικοί, µε ( )( ) + ( ) = Α για το ισχύει = 4 α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος τω εικόω του β) Να βρεθεί το µέγιστο της παράστασης = 7 wwwmathsforyougr
Επιµέλεια: Βαρελά Μαργαρίτα α) Έστω M,M,M οι εικόες τω,, ατίστοιχα ( )( ) + ( )( ) ( MM ) + ( MM ) = ( M M ) = 4 + = Άρα το τρίγωο MMM είαι ορθογώιο µε MMM ˆ = 90 Το σύολο τω εικόω του C βρίσκεται σε κύκλο διαµέτρου MM β) Η παράσταση δείχει τη απόσταση του τυχαίου σηµείου Μ από το σταθερό σηµείο M Η απόσταση αυτή γίεται µέγιστη ότα το σηµείο Μ ταυτίζεται µε το σηµείο και είαι ίση µε MM = = M ΑΣΚΗΣΗ 0 η Να υπολογιστεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή που µπορεί α πάρει η παράσταση y= i, ότα ο µεταβάλλεται έτσι ώστε + + i = Να δοθεί η γεωµετρική ερµηεία του προβλήµατος i = + + i 4 i + + i 4 i + + i 4 i + + i + 4 i 5 i + 5 i 8 y 8 Άρα m= και Μ=8 Η ισότητα + + i = δηλώει ότι ο βρίσκεται σε κύκλο κέτρου K(, ) και ακτίας Η παράσταση y = i δηλώει τη απόσταση του από το σηµείο A, Τα σηµεία εποµέως του παραπάω κύκλου απέχου από το σηµείο Α απόσταση µεταξύ του και του 8 8 wwwmathsforyougr
ΑΛΓΕΒΡΑ Γ Λυκείου ΑΣΚΗΣΗ η Α, 00 00 00 +, 0 αποδείξετε ότι: α) + = = ή β) Α τα σηµεία O, A, B δε είαι συευθειακά, τότε τα διαύσµατα α ώστε + = ( + ) ( ) ( ) και O Γ( + ) AB( ) είαι κάθετα µεταξύ τους 00 00 00 + α) + = + ( + ) ( + ) 00 00 = 00 00 λ= µ όπου λ, µ R + µε λ= 00 00 + καιµ= 00 00 Από τη σχέση λ= µ έχουµε τις εξής περιπτώσεις: Α λ=0 τότε και µ=0 + + 00 00 = 0 00 = 00 + + + = 00 00 = 0 00 = 00 + = + = = Α λ 0 τότε µ = R λ β) Α τα σηµεία Ο, Α, Β δε είαι συευθειακά τότε από το προηγούµεο ερώτηµα έχουµε + = = Α Γ είαι η εικόα του + στο παραλληλόγραµµο ΟΑΓΒ έχουµε( OA) = ( OB) = ( OΓ ) Άρα το παραλληλόγραµµο είαι ρόµβος και σα ρόµβος έχει κάθετες διαγωίους ηλαδή AB OΓ 9 wwwmathsforyougr
Επιµέλεια: Βαρελά Μαργαρίτα ΑΣΚΗΣΗ η Α,, Γ σηµεία του κύκλου x + y = τότε: Α B α) Να αποδείξετε ότι + + = + + + + ( x + x) e β) Να υπολογίσετε το I= x dx + + x e 0 α) Επειδή τα σηµεία Α, Β, Γ είαι σηµεία του κύκλου i = i i = i = για i=,, + + = + + = + + = + + i = + + = + + β) Από το προηγούµεο ερώτηµα έχουµε + + = + + + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = x + y = ισχύει 0 wwwmathsforyougr
+ + ( x + x) e I= x dx= + + x e 0 0 + + x ( + + x ) e dx + + = 0 x ( e ) dx= + + + + + + ( ) + + e 0 0 ΑΛΓΕΒΡΑ Γ Λυκείου + + ( x + x) e + + x x dx = x e dx = + + x e + + e + + x = 0 ΑΣΚΗΣΗ η Α µε και, θεωρούµε τη συάρτηση ( ) ( + ) f = + α) Να αποδείξετε ότι β) Α επιπλέο f = f ότα 0 = α αποδείξετε ότι = f θ iηµ θ f γ) Α =συ α αποδείξετε ότι + α) f = = + ( ) ( + ) = f ( ) + β) Α ισχύει f = = = ( ) ( + ) = = ( + ) ( ) f + = + ( ) ( + ) ( + ) ( ) = f ( ) ( + ) ( + ) ( ) = f = f ( ) = γ) Ισχύει = συ θ+ηµ θ = wwwmathsforyougr
Επιµέλεια: Βαρελά Μαργαρίτα = f i i = συθ ηµθ = συθ f συθ + ηµθ = συθ ηµθ iηµθ = 0 ηµθ = 0 Άρα i, δηλαδή f wwwmathsforyougr
ΑΛΓΕΒΡΑ Γ Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΓΙΑ ΛΥΣΗ) ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Να γραφού στη µορφή α + βi οι παραστάσεις: α) ( + i) ( 5 i) i β) i 5 + ( + i) i 5i γ) δ) 4 i i ( i) ( 5 i)( 4 5i) ε) ( 4i) ( i) Να βρεθού οι,β R α ισχύει η σχέση: α ( α + 4β ) + ( α β) i = 7 i = ίεται το πολυώυµο f 5 Να υπολογίσετε το f i 4 Α,β, γ R και ( + β) α α γi = 5γ + ( α β)i δείξτε ότι: α-β=γ 5 Α α,β, γ R και α β = γ =, δείξτε ότι: ( α + β) + ( β α) γi = 5α + i 6 Να βρεθού οι,y R ώστε 7 Να βρεθού οι,y R ώστε x ( x yi) + ( y xi) = + i x ( x yi) xi + = + + + + 8 είξτε ότι i + i + i + i = 0 για κάθε Ν 9 Να βρεθεί η τιµή της παράστασης Β= + + +, Ν + + + i i i i 0 Να βρεθεί η τιµή της παράστασης = ( + i )( i ) + Α ισχύει i = i Α, Ν, α βρεθεί (α υπάρχει) η µορφή του Ν wwwmathsforyougr
Επιµέλεια: Βαρελά Μαργαρίτα Να λυθεί το σύστηµα στο σύολο τω µιγαδικώ : i x + iy = i ( i) x + ( + i) y = 7 + 4i ίοται f ( x ) α( 4 7i ) x + β( 4 + 7i ) x είξτε ότι: f () = 506i = µε Ν f = και f = 4 x, ( 0) 0 () i ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Να λυθού στο C οι εξισώσεις: α + = 0 β = γ = 4 Οµοίως η εξίσωση: = Οµοίως η εξίσωση: = 4 4 Οµοίως η εξίσωση: + ( ) = 0 + 8i β 4 5 Έστω το πολυώυµο f x = x + αx + Να βρεθού τα α,β R ώστε ο µιγαδικός αριθµός i α είαι ρίζα του f x 6 Α, C µε, α βρεθού οι συθήκες για τις οποίες ο αριθµός ω = είαι πραγµατικός 7 Να βρεθεί η σχέση ώστε ο αριθµός ω = α είαι φαταστικός 8 Να δειχθεί ότι ο αριθµός = είαι φαταστικός, όπου, C, 9 Να βρεθού όλοι οι µιγαδικοί αριθµοί = x + yi όπου x,y R, y 0, και που ικαοποιού τη σχέση = και τη + = λ όπου λ Z 4 wwwmathsforyougr
ΑΛΓΕΒΡΑ Γ Λυκείου 0 Να δειχτεί ότι ο αριθµός ( 6 + i 5) + ( 6 i 5 ) =, όπου Ν, είαι πραγµατικός Να λυθεί στο C η εξίσωση: + = 8 + 4i + Να βρεθού οι πραγµατικοί αριθµοί x και y, ώστε α είαι συζυγείς οι µιγαδικοί = x + y 4i και = 5 xy i ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Να βρεθεί το µέτρο τω µιγαδικώ αριθµώ: i = = ( + i)( i) 4 i ( + i) ( i) ( + i ) 4 + i = 00 + i 0 Α α + βi = ( + i)( i ) α βρεθεί η τιµή της παράστασης α + β Α + αi = + βi µε α β α δειχτεί ότι = ( α + β)i 4 Βρείτε το µέτρο του + i =, Ν 5 Α α R και + αi = α δείξετε ότι = αi 6 Να δειχθού οι σχέσεις: α) + + = ( + )( + ) β) + = + = + = γ) Να δειχθεί ότι 0 7 Να δειχτεί ότι: α) 8 = = 4 5 wwwmathsforyougr
Επιµέλεια: Βαρελά Μαργαρίτα β) 0 = = γ) 7 i = i + 7 = δ) 5 = 5 = ε) + 64 = 8 + = 8 9 στ) = = 8 Να λυθού οι αισώσεις: α) > + β) 6 > + 5 9 Να βρεθού οι µιγαδικοί αριθµοί, ώστε: + 5i = + i 0 Α = α δειχτεί ότι = i + Βρείτε το µιγαδικό, για το οποίο ισχύει: i = = i ii = = Α, C και < και <, δείξτε ότι: < Α =, τότε α αποδειχτεί ότι ο αριθµός + = 0 είαι πραγµατικός + = µε + 4 Α ω + i = ω i α δειχθεί ότι ο ω είαι πραγµατικός 5 Α = ( ) α δειχθεί ότι ο + ω = είαι φαταστικός 6 Α, α δειχθεί ότι ο = + ω = είαι φαταστικός 6 wwwmathsforyougr
ΑΛΓΕΒΡΑ Γ Λυκείου 7 Α + = α δειχθεί ότι ο αριθµός είαι φαταστικός 8 Α = 0 και + = 0 α δείξετε ότι = 0 9 Να δείξετε ότι: + = Re α) ( ) β) + = + + Re( ) 0 Α = = τότε ισχύει: + + = 0 + + = Α = 6 και = 4 + i α βρείτε τη µεγαλύτερη και τη µικρότερη τιµή του + Α = α + βi µε α,β R και ισχύει α βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή του i Α + + 0 και + 0 τότε ii Α,, = + + 0 + = = = = + + τότε οι εικόες τω µιγαδικώ στο µιγαδικό επίπεδο είαι κορυφές ισόπλευρου τριγώου 4 Α α, α λυθεί η εξίσωση: + α + + i = 0 5 Α = = και + +, α αποδείξετε ότι: = + + = 6 είξτε ότι: α) α : 0 τότε = > + = + : < τότε + = : > 0 = : < τότε = + β) α 0 γ) α τότε δ) α 0 7 wwwmathsforyougr
Επιµέλεια: Βαρελά Μαργαρίτα 7 Α + + = 0 = + = 8 Να λυθεί το σύστηµα: i + = = 9 Να δειχτεί ότι + = + i 0 Να δειχτεί ότι w + + w = w + Α και είαι δύο µιγαδικοί µε = =, = + + α + και = + + + α, α R α αποδείξετε ότι i = ii = Α = Re = + ( ) Α = = + = ( + λ) 4 Α, C, λ>0 τότε: + λ + + 5 Α είαι = και, α αποδείξετε ότι: 6 Να λυθεί η εξίσωση: + i + + = 0 7 Οµοίως η εξίσωση: 4α + + αi = 0 8, ( 0) 8 Να λυθεί η εξίσωση: i + λ( + i) = 0 8 wwwmathsforyougr α α λ R
ΑΛΓΕΒΡΑ Γ Λυκείου 9 Να λυθεί η εξίσωση: + α = 0, + α R ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ + Α ω = R i C, i α βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος τω εικόω M του α Να βρεθού τα σηµεία είαι καθαρά φαταστικός και M του µιγαδικού επιπέδου για τα οποία ο i + Να βρεθού τα σηµεία + + = 4 M του µιγαδικού επιπέδου για τα οποία ισχύει: 4 i Να αποδείξετε τη ισοδυαµία + = R + ii Α για τους µιγαδικούς = x + y και = x + y ισχύει + = + α αποδείξετε ότι: R + 5 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος τω εικόω τω µιγαδικώ α οι εικόες τω µιγαδικώ, i, i βρίσκοται στη ίδια ευθεία 6 Α = = τότε ο αριθµός + + είαι πραγµατικός 7 7 ίεται η σχέση: ( 5i ) p + q = + 7i + Να βρείτε τα p και q ότα: i p και q είαι πραγµατικοί αριθµοί ii p και q είαι µιγαδικοί συζυγείς 8 Έστω οι µιγαδικοί, + i και A, B οι εικόες τους στο µιγαδικό επίπεδο Να αποδείξετε ότι το τρίγωο OAB είαι ορθογώιο και ισοσκελές, όπου O είαι η αρχή τω αξόω 9 wwwmathsforyougr
Επιµέλεια: Βαρελά Μαργαρίτα 9 α Να λύσετε στο C τη εξίσωση: i = 0 (Ε) β Α O, A, B, Γ είαι οι εικόες τω λύσεω της (Ε) στο µιγαδικό επίπεδο α αποδείξετε ότι το τρίγωο ΑΒΓ είαι ισόπλευρο (η µηδεική ρίζα ατιστοιχεί στο Ο) 0 Θεωρούµε το µιγαδικό και έστω M η εικόα στο µιγαδικό επίπεδο Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο του Μ ότα i + i( ) = 0 ii ( + ) 4( ) = 64 Για κάθε µιγαδικό = x + yi ( ), θεωρούµε το µιγαδικό W = i Να βρείτε, σε συάρτηση τω x,y τους ReW και Im W ii Α M ( x, y) είαι η εικόα του, ως προς έα ορθοκαοικό σύστηµα ααφοράς Oxy, α βρείτε το σύολο τω σηµείω M του επιπέδου ότα: Ο W είαι έας αριθµός πραγµατικός Ο W είαι έας φαταστικός αριθµός iii Να αποδείξετε ότι: α = τότε = και W = Έστω = x + yi ( x,y R ) και M η εικόα του στο µιγαδικό επίπεδο i Να βρείτε το γεωµ τόπο του Μ α το µέτρο του µιγαδικού εί- αι ίσο µε το µέτρο του, ( C ) ii Όµοια α βρείτε το γτ του Μ α ο αριθµός ( C ) ( + ) ( + ) W = + i είαι πραγµατικός Έστω P η εικόα του µιγαδικού = x + yi και Q η εικόα του µιγαδικού + Να δείξετε ότι α P κιείται σε κύκλο µε εξίσωση = τότε το 4 Q κιείται σε έλλειψη της οποίας α γράψετε τη εξίσωση 4 Έστω α πραγµατικός αριθµός µε α ( 0,) τω εικόω του µιγαδικού α ο µιγαδικός Να προσδιορίσετε το σύολο ( α ) W = R α α 0 wwwmathsforyougr
ΑΛΓΕΒΡΑ Γ Λυκείου 5 i Να αποδείξετε ότι για κάθε, C, = + + = + ii Α,, είαι µιγαδικοί αριθµοί, µε + + = 0 και = =, τότε οι εικόες τους στο µιγαδικό επίπεδο είαι κορυφές ισοπλεύρου τριγώου 6 Να προσδιορίσετε το σύολο τω εικόω M τω µιγαδικώ, ότα οι εικόες τω µιγαδικώ, και + βρίσκοται στη ίδια ευθεία 7 i Α = + 4i, και = α βρείτε τη µεγαλύτερη τιµή του + ii Στη περίπτωση που το + έχει τη µεγαλύτερη τιµή και επιπλέο έχουµε το αριθµό στο πρώτο τεταρτηµόριο, α βρείτε το µιγαδικό 8 Α για το µιγαδικό ισχύου: + = = 5 α βρεθεί το µέτρο του 9 και ο 4 9 Θεωρούµε τη εξίσωση: ( συα) + συα = 0 i Να αποδείξετε ότι για κάθε ( 0,π ) (Ε) α η εξίσωση (Ε) δε έχει ρίζες πραγµατικές ii Να λύσετε τη εξίσωση και α βρείτε τα µέτρα τω ατίστοιχω ριζώ α 0,π ( ) 0 i Να λύσετε στο C τη εξίσωση: ηµφ + εφ φ = 0 (Ε) π < φ < π στη συέχεια α βρείτε το µέτρο τω ριζώ ( 0,π ) ii Να λύσετε στο C τη εξίσωση: ηµφi + εφ φ = 0, φ α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε µιγαδικούς αριθµούς, ισχύει = + α και µόο α ( ) 0 β) Έστω µια συάρτηση f :[ α,β ] R συεχής στο [,β ] αριθµοί = α + if ( α), w = f ( β) + iβ µε αβ 0 Α w + = w α αποδείξετε ότι η εξίσωση f( x ) έχει µία τουλάχιστο ρίζα στο διάστηµα [ α,β ] wwwmathsforyougr Re = α και οι µιγαδικοί (Γε Εξετάσεις 995)
Επιµέλεια: Βαρελά Μαργαρίτα Σηµείο Μ(x,y) διαγράφει κύκλο µε κέτρο τη αρχή τω αξόω και ακτία Να βρεθεί: α) Η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή του µέτρου του µιγαδικού =(x+)+(y- 4)i β) Ο µιγαδικός µε το ελάχιστο και το µέγιστο µέτρο ατιστοίχως α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος C τω εικόω του, όπου ο i = x + yi ικαοποιεί τη σχέση ( + ) ( + ) i + ( + 4) = 4 β) Α ο αριθµός ( + ) + i( ) + i είαι φαταστικός, α βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος ( C ) τω εικόω του γ) Α f είαι το διάγραµµα του και g x το διάγραµµα του C α υπολογιστεί το (x ) 0 ( x ) g( x ) f dx 4 Θεωρούµε τους µιγαδικούς =x+yi µε = r όπου 0<r< που οι εικόες C του αήκου στο κύκλο C α) Να βρείτε τις εξισώσεις τω εφαπτοµέω ε, ε του κύκλου C που διέρχοται από το σηµείο Α(-,0) β) Α ω είαι η γωία τω εφαπτοµέω ε, ε και η ακτία r του κύκλου dr µεταβάλλεται µε ρυθµό = 0,5cm/sec α βρείτε το ρυθµό µεταβολής dt της γωίας ω, τη χροική στιγµή που η ακτία είαι r=cm t 0 wwwmathsforyougr