εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re ( ) ± Re ( )] + [Im ( ) ± Im( )].. α γίνουν οι πράξεις: α) ( + 3ί) + (- + ί), β) (- + 3ί) +(- -4ί), γ) ( + 3ί) + 3ί, δ) (- + ί) + 4.. α γίνουν οι πράξεις: α) (-3 + ί) -(5 + ί), β) (7 + ί) -(- -ί), γ)(-5+ 0ί)-8ί, δ)(+ ί)-5. 4. α γίνουν οι πράξεις: α) (-3 -ί) + ( -4ί) -(5 + ί), β) (4 + ί) + (4 -ί) + (-6-8ί), γ) (35-0ί) -( -9ί) + 8ί
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης ν µας ζητούν να αποδείξουµε ότι δύο µιγαδικοί είναι ίσοι, πρέπει να αποδείξουµε ότι τα πραγµατικά τους µέρη και τα φανταστικά τους µέρη είναι αντίστοιχα ίσα, δηλαδή: = Re ( ) = Re ( ) και Im ( ) = Im( ). ν µας ζητούν να αποδείξουµε ότι δύο µιγαδικοί είναι αντίθετοι, πρέπει να αποδείξουµε ότι τα πραγµατικά τους µέρη και τα φανταστικά τους µέρη είναι αντίστοιχα αντίθετα, δηλαδή: = - Re ( ) = -Re ( ) και Im ( ) = -lm( ).. Nα βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ για τους οποίους οι µιγαδικοί =4κ+3λ+iκ και w=7-(λ-)i είναι ίσοι.. α εξετάσετε αν οι ακόλουθοι µιγαδικοί είναι ίσοι: =ηµ χ+4i-i συν χ-3i και =+i 3. α βρεθούν τα χ,y R ;ώστε οι µιγαδικοί να είναι αντίθετοι: =lnx+ln(y-)i και =4-ln(x+e - )i
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 3 ν µας ζητούν να υπολογίσουµε µια παράσταση µε µεγάλες δυνάµεις µιγαδικών αριθµών, χρησιµοποιούµε: 4 + 4 4 i = i = i i = ( i ) i = i ν ρ υ ρ υ ρ υ υ ις γνωστές ταυτότητες. ους τύπους αθροίσµατος αριθµητικής και γεωµετρικής προόδου.. α βρείτε την τιµή των παραστάσεων: ί) = ( + ί) 0 -( -ί) 0. α βρείτε την τιµή της παράστασης: =i +i 4 +..+i ν 3
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 4 ια να είναι ο µιγαδικός αριθµός Ζ = α + βί πραγµατικός, πρέπει: ίτε Im() = β = 0. ίτε =. α βρείτε για ποιες τιµές του λ R ο =6+λ i-3(λ+6i) είναι πραγµατικός.. α αποδείξετε ότι ο αριθµός w= + µε 0 είναι πραγµατικός. + 3. α αποδείξετε ότι ο αριθµός w= + µε + 0 είναι πραγµατικός αν = και = 4
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 5 ια να είναι ο µιγαδικός αριθµός Ζ = α + βί φανταστικός, πρέπει: ίτε Re() = α = 0. ίτε =. α βρείτε για ποιες τιµές του λ R ο =6+λ i-3(λ+6i) είναι φανταστικός.. α αποδείξετε ότι ο αριθµός w= µε 0 είναι φανταστικός. + 3. α αποδείξετε ότι ο αριθµός w= µε 0 είναι φανταστικός αν = και = 5
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 6 ια να βρούµε το πηλίκο δύο µιγαδικών, πολλαπλασιάζουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του κλάσµατος µε το συζυγή του παρονοµαστή, οπότε έχουµε:. α γράψετε τους ακόλουθους µιγαδικούς στη µορφή α+βi: α) + 3i i, β) 7. α λυθούν οι εξισώσεις: i+ i i + α+βi (α+βi)(γ-δi) αγ αδ + βγ βδ αγ + βδ βγ αδ = = = + i γ+δi (γ+δi)(γ-δi) γ + δ γ + δ γ + δ + 5i 3+ i, γ) 3 5 i ια εξίσωση πρώτου βαθµού του µιγαδικού λύνεται όπως και στους πραγµατικούς αριθµούς. πορεί επίσης να λυθεί και µε την αντικατάσταση = χ + yi, και = χ yi, χ,y R α) +i=3-i 6
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης β) (3i+)+5=+3(i+) γ) + = 3 i δ) i 3 = i( + 3 i) 7
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 8 ια εξίσωση δευτέρου βαθµού α +β+γ=0 λύνεται όπως και στους πραγµατικούς αριθµούς. ν <0 τότε η εξίσωση έχει δυο συζυγείς µιγαδικές ρίζες, τις,. α λυθούν οι εξισώσεις: α) β) + 4 + 5 = 0 4 + 8 = 0 β ± i =. α γ) 3 + 5 = 0 8
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 9 ια να λυθεί ένα σύστηµα εξισώσεων µε µιγαδικούς, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις γνωστές µεθόδους της αντικατάστασης των αντίθετων συντελεστών και των οριζουσών.. α λυθεί στο C το ακόλουθο σύστηµα: 3i = 7 6i ( + i) ( i) = 6 + 8i 9
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 0 ν σε µια άσκηση µας ζητούν την εύρεση των τετραγωνικών ριζών ενός µη πραγµατικού µιγαδικού Ζ, κάνουµε τα εξής: ' - έτουµε Ζ = α + βί το µιγαδικό, του οποίου ψάχνουµε τις τετραγωνικές ρίζες, και έστω ότι έχουν τη µορφή χ + ψί. ότε θα πρέπει: ( χ + ψ i) = α + β i ( χ ψ ) + χψ i = α + β i χ ψ = α + = + + = + = και χψ = β -οπότε έχουµε ένα σύστηµα x, µε αγνώστους χ, ψ ε R, το οποίο επιλύουµε και βρίσκουµε τις ζητούµενες τετραγωνικές ρίζες.. α βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες του µιγαδικού: 8-6i. Nα λυθεί η εξίσωση =7-4i 0
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 3. Nα λυθεί η εξίσωση (+) =3+4i 4. Nα λυθεί η εξίσωση +(5-5i)+3-5i=0
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης ν µας ζητούν το γεωµετρικό τόπο του (χ, ψ) µε Ζ = χ + ψί, αντικαθιστούµε το µιγαδικό στην αρχική δοσµένη εξίσωση και προκύπτει µια εξίσωση η οποία παριστάνει µία γραµµή στο επίπεδο, που είναι ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος.. Nα βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού, για τον οποίο ισχύει + = 3 3 i i
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης. Nα βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού, για τον οποίο ισχύει ( + ) ( ) = 00 3. Nα βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού, για τον οποίο ισχύει Re( + ) = 5Re( ) 3
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης ν µας ζητείται να λύσουµε την ανίσωση Ζ > 0, τότε θέτουµε = χ + yi και έχουµε: > 0 χ > 0 και y = 0. µοίως: < 0 χ < 0 και y = 0. α λυθούν οι ανισώσεις: α) + + 0 β) γ) + 3 < 0 + < 0 δ) + < 4
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ: Ρ ια να υπολογίσουµε το µέτρο ενός µιγαδικού, βρίσκουµε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσµατος των τετραγώνων του πραγµατικού και του φανταστικού µέρους του, δηλαδή, αν = α + βί ο µιγαδικός, τότε: = a + β.α βρείτε το µέτρο σε καθέναν από τους ακόλουθους µιγαδικούς: = 3 + 4i = 3 4i 3 = ηµ x + i συν x 4 4 = e + i e 4 6 8 5 = (3 i)( i ) 5
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης O γεωµετρικός τόπος της εικόνας (Ζ) ενός µιγαδικού Ζ µπορεί να βρεθεί αντικαθιστώντας το µιγαδικό Ζ = χ + ψί, οπότε, κάνοντας πράξεις, καταλήγουµε σε µία ή παραπάνω εξισώσεις, που µας δίνουν το ζητούµενο γεωµετρικό τόπο. υγκεκριµένα:. ν καταλήξουµε π.χ. σε εξίσωση της µορφής: αχ + βψ + γ = 0 µε α, β, γ R, o γεωµετρικός τόπος είναι ευθεία. * ν έχουµε τη µορφή: = a, όπου α R : και, C, ο γεωµετρικός τόπος είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο Ρ(χ 0, ψ 0 ), που είναι η εικόνα του = χ 0 + ίψ 0 στο µιγαδικό επίπεδο, και ακτίνα α. * ν έχουµε τη µορφή: a, όπου α R και, C, ο γεωµετρικός τόπος είναι κυκλικός δίσκος µε κέντρο το σηµείο Ρ(χ 0, ψ 0 ), που είναι η εικόνα του = χ 0 + ίψ 0 στο µιγαδικό επίπεδο, και ακτίνα α. * ν έχουµε τη µορφή: > a, όπου α R και, C, ο γεωµετρικός τόπος είναι τα εξωτερικά σηµεία του κυκλικού δίσκου µε κέντρο το σηµείο Ρ(χ 0, ψ 0 ), που είναι η εικόνα του = χ 0 + ίψ 0 στο µιγαδικό επίπεδο, και ακτίνα α.. α προσδιοριστεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού για τον οποίο ισχύει: + = + + + 6
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης. α προσδιοριστεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού για τον οποίο ισχύει: i = 3 i 3. α προσδιοριστεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού για τον οποίο ισχύει: 5 = 4 7
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 4. α προσδιοριστεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού για τον οποίο ισχύει: + 3 = 5 + 4i 8
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 3 τις ασκήσεις στις οποίες εµφανίζεται το µέτρο ενός µιγαδικού, είτε εφαρµόζουµε τον ορισµό, χρησιµοποιώντας τη µορφή του µιγαδικού χ + ψί, είτε χρησιµοποιούµε τις σχέσεις: = = =, 0 = = = τις αποδεικτικές ασκήσεις, όπου εµφανίζεται το µέτρο µιγαδικού, χρησιµοποιούµε την ιδιότητα =. ν το µέτρο δεν είναι υψωµένο στο τετράγωνο, το υψώνουµε εµείς.. ια τους µιγαδικούς, να αποδείξετε ότι ισχύει: + + = +. ια το µιγαδικό αριθµό, να δείξετε ότι, αν = 3 3 = τότε = 3 9
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 4 τις εξισώσεις µιγαδικών, όπου εµφανίζεται το µέτρο του µιγαδικού, αντικαθιστούµε το µιγαδικό χ + ψί, το συζυγή του χ -ψί (αν υπάρχει), οπότε καταλήγουµε σε σύστηµα ως προς χ, ψ εξισώνοντας τα πραγµατικά και τα φανταστικά µέρη.. α λυθούν οι εξισώσεις: α) + = 0 0
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης β) + = 3 γ) + 3 + = 0
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 5 τις ανισώσεις όπου εµφανίζεται το µέτρο ενός µιγαδικού, χρησιµοποιούµε την ιδιότητα = και τις ανισοτικές ιδιότητες του µέτρου, προσπαθώντας να φτάσουµε στην προς απόδειξη σχέση ή ισοδύναµα σε γνωστές σχέσεις.. ια τους µιγαδικούς, να αποδείξετε ότι ισχύει: ( + )( + ). ια τους µιγαδικούς, να αποδείξετε ότι ισχύει: + +
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 6 Όταν σε µια άσκηση µας ζητούν να υπολογίσουµε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του = OM, όπου O(0, 0) και = (), τότε, µε τη βοήθεια του γεωµετρικού τόπου των εικόνων του, βρίσκουµε το πιο µακρινό και το πιο κοντινό σηµείο του τόπου από το O. ν ο τόπος είναι κύκλος κέντρου και ακτίνας ρ, τότε η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή καθορίζεται από τα σηµεία τοµής της O µε τον κύκλο.. ν για το µιγαδικό αριθµό ισχύει: + + i = 3, να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του. 3
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης. ν για τους µιγαδικούς αριθµούς ισχύει: (3 i) =, ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το µέγιστο µέτρο; 4
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις. ν α,β,γ,δ R και ο OA, w a+ βi γ δi OB, των = a + βi, = γ + δi. α λυθεί η ανίσωση πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης = + είναι φανταστικός, να δειχθεί ότι οι διανυσµατικές ακτίνες = + = + αντίστοιχα, είναι κάθετες. + + < 0 3. ν ο µιγαδικός είναι µη φανταστικός και ο γωνίες που σχηµατίζουν µε τον w= + είναι φανταστικός, να βρεθούν οι x' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες (). 4. Έστω ο µιγαδικός = x + yi. α βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων (x,y) αν : I x I + yi 5. α δειχθεί ότι οι µιγαδικοί = ( k+ ) + ( k ) i ανήκουν σε ευθεία ε και να βρεθεί η εικόνα του πλησιέστερου στην αρχή των αξόνων 0. 6. α βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών για τους οποίους ισχύει Re( ) = Im( ) + + 7. α βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών, i, + i είναι συνευθειακά σηµεία. 8. ν, C, 0 και τα σηµεία,β, που αντιστοιχούν στους µιγαδικούς +,, + ia + + αντίστοιχα, σχηµατίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, να βρεθεί ο α>0. σκήσεις 9. Έστω = (a ) + (3β ) i. ν τα σηµεία (α,β) ανήκουν στην ευθεία δ:y=x+3, να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του µέτρου του. Ποιος µιγαδικός 0 παίρνει την ελάχιστη αυτή τιµή; 0. ν οι εικόνες των µιγαδικών ανήκουν σε κύκλο κέντρου (,-) και ακτίνας ρ=, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών w=.. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,, 3, για τους οποίους ισχύει 3 3 α αποδειχθεί ότι = = 3 = =. + + = 0, + + = 0. 5
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης. ν, w C, λ R, = w =, να αποδειχθεί ότι + w + λw = + w w + λ. 3. ν,, 3 R + + = + +. 3 R και = = 3 =3, να αποδειχθεί ότι + + 3 = + 3 + 3 4. α αποδειχθεί ότι οι µιγαδικοί που επαληθεύουν την εξίσωση i + 00 i = ( ηµθ συνθi) ( ) i 00i 33 44, είναι πραγµατικοί. 5. α δειχθεί ότι οι εικόνες των µιγαδικών που επαληθεύουν την εξίσωση ( + 3 i) ν = ( i) έχουν Im( ) =. ν i 3 6. α αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει R τέτοιος ώστε :( i) = 3 i. + i w = i + i 7. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,, = i. α δείξετε ότι w i w+ i ii. ν = και η εικόνα του w στο µιγαδικό επίπεδο, ν αποδείξετε ότι το σηµείο ' ανήκει στον x x. iii. α δείξετε ότι αν w φανταστικός φανταστικός. (Προσοµοίωση φροντιστηρίων 006) ν 6
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης ΞΩ (Ϊ 00) ίνεται η εξίσωση + = όπου C µε 0. α βρείτε τις ρίζες και της εξίσωσης. 00 00. α αποδείξετε ότι + = 0 3. ν για τους µιγαδικούς αριθµούς w ισχύει w 4+ 3i = τότε να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των wστο µιγαδικό επίπεδο. 4. ια τους µιγαδικούς αριθµούς w του ερωτήµατος 3 να αποδείξετε ότι 3 w 7 (ΠΠ 00) (ονάδες 7+6+7+5=5) Έστω ότι οι µιγαδικοί αριθµοί, είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθµού µε πραγµατικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν + = και = 5. α βρείτε τους µιγαδικούς αριθµούς,. ν για τους µιγαδικούς αριθµούς w ισχύει η σχέση w + w = να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w στο µιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος µε εξίσωση ( x+ ) + y = 4 3. πό τους µιγαδικούς αριθµούς wτου ερωτήµατος να βρείτε εκείνους για τους οποίος ισχύει Re( w) + Im( w) = 0 4. ν w, w είναι δυο από τους µιγαδικούς w του ερωτήµατος µε την ιδιότητα w w 4 αποδείξετε ότι w + w = = να (ονάδες 5+8+6+6=5) 7
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 3 (Ϊ 009) εωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς (λ ) (λ ) = + + i, λ R. α βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών, για τις διάφορες τιµές του λ R. πό τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς να αποδείξετε ότι ο µιγαδικός αριθµός 0 έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο. 3. α βρεθούν οι µιγαδικοί αριθµοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση 0 ο µιγαδικός αριθµός που αναφέρεται στο προηγούµενο ερώτηµα. 4 (ΠΠ 009) = i + = όπου w w εωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει: ( i) + ( + i) 8= 0 (ονάδες 9+8+8=5). α βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών = x+ yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση.. α βρείτε τον µοναδικό πραγµατικό αριθµό και τον µοναδικό φανταστικό αριθµό οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. 3. ια τους αριθµούς, που βρέθηκαν στο προηγούµενο ερώτηµα να αποδείξετε ότι + + = 40 5 (Ϊ 008) (ονάδες 0+8+7=5) ν για τους µιγαδικούς αριθµούς και w ισχύουν ( i+ ) = 6 και w ( i) w (3 3 i) να βρείτε:. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών.. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w. = τότε 0 3. την ελάχιστη τιµή του w 4. την ελάχιστη τιµή του w (ονάδες 6+7+6+6=5) 8
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 6 (ΠΠ 008) + i 3 ίνεται ότι ο µιγαδικός αριθµός = είναι ρίζα της εξίσωσης + β + γ = 0, όπου β και γ πραγµατικοί αριθµοί.. α αποδείξετε ότι β = και γ = 3. α αποδείξετε ότι = 3. α βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού αριθµού w, για τον οποίο ισχύει: w = 7 (Ϊ 007) ίνεται ο µιγαδικός αριθµός + αi = µε α R α+ i (ονάδες 9+8+8=5). α αποδειχθεί ότι η εικόνα του µιγαδικού ανήκει στον κύκλο µε κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ =. Έστω, οι µιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο αντίστοιχα. + αi = α+ i για α = 0 και α =. α βρεθεί η απόσταση των εικόνων των µιγαδικών αριθµών και. α αποδειχθεί ότι ισχύει 8 (ΠΠ 007) ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί R.. α αποδειχθεί ότι = ( ) ( ) = για κάθε φυσικό αριθµό ν. ν ν (ονάδες 9+8+8=5) = α+ βi και =, όπου α, β R µε β 0. ίνεται επίσης ότι +. α βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο. 3. ν ο αριθµός είναι φανταστικός και αβ > 0, να υπολογισθεί ο και να δειχθεί ότι: ( + + i) ( + i) = 0 0 0 9
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 9 (Ϊ 006) ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,, 3µε = = 3 = και + + 3 = 0. α αποδείξετε ότι : a. = 3 = 3 b. 4 Re( ) και. α βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των,, 3στο µιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηµατίζουν. (ονάδες 9+8+8=5) 0 (Ϊ 005) ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,, 3µε = = 3 = 3. είξτε ότι : 9 =. είξτε ότι ο αριθµός + είναι πραγµατικός 3. είξτε ότι : + + 3 = + 3+ 3 3. (ονάδες 7+9+9=5) (ΠΠ 005). ν, είναι µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει + = 4+ 4iκαι βρείτε τους,.. ν για τους µιγαδικούς αριθµούς, w ισχύουν 3i και w 3 i = 5+ 5i να a. να δείξετε ότι υπάρχουν µοναδικοί µιγαδικοί αριθµοί, w έτσι ώστε = w και b. να βρείτε τη µέγιστη τιµή του w (ονάδες 0+0+5=5) 30
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης (Ϊ 003) ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί του = α+ βi όπου α, β R και w= 3 i+ 4 όπου είναι ο συζυγής. α αποδείξετε ότι Re( w) = 3α β + 4 και Im( w) = 3β α. α αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y= x τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y= x 3. α βρείτε ποιος από τους µιγαδικούς αριθµούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y= x, έχει το ελάχιστο µέτρο. 3 (ΠΠ 003) (ονάδες 6+9+0=5). α περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο () των εικόνων των µιγαδικών αριθµών που ικανοποιούν τις σχέσεις: = και Im( ) 0. α αποδείξετε ότι αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού κινείται στο σύνολο (), τότε η εικόνα του µιγαδικού αριθµού στον άξονα x ' x. 4 (Ϊ 00) Έστω ένας µιγαδικός αριθµός και f ( ) w 4 ( ) = + κινείται σε ευθύγραµµο τµήµα το οποίο βρίσκεται ν ν = i, ν. α δείξετε ότι f (3) + ( f (8) + f (3) + f (8) = 0. ν = ρ και Arg( ) π π = θνα δείξετε ότι f (3) = ρ[ συν ( + θ ) + iηµ ( + θ )] (ονάδες +3=5) π 3. ν = και Arg( ) = να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία του 3 µιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των µιγαδικών αριθµών 0, και f (3) (ονάδες 7+8+0=5) 3
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 5 ( 00). ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,. α αποδείξετε ότι: =. α χαρακτηρίσετε τους παρακάτω προτάσεις ως ωστό () ή άθος () ια κάθε µιγαδικό αριθµό ισχύει.. = = 3. = 4. = 5. i = 3. ν = 3+ 4iκαι = 3i να γράψετε στο τετράδιο σας τους αριθµούς της τήλης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα της τήλης Β έτσι ώστε να προκύπτει ισότητα. Β.. 4. Β. 3.. 5 4.. -5 5. i. -. 5 Ζ. 0 4. ν για το µιγαδικό αριθµό ισχύει = να δείξετε ότι = (ονάδες 7,5+5+7,5+5=5) 3
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 6 (00-00) ΡΩ Π Ω ή α χαρακτηρίσετε τους παρακάτω προτάσεις ως ωστό () ή άθος (). διανυσµατική ακτίνα της διαφοράς των µιγαδικών αριθµών α βi + και γ + δi είναι η διαφορά των διανυσµατικών ακτίνων τους.. ια κάθε C ισχύει = 3. ν, είναι µιγαδικοί αριθµοί τότε ισχύει = 4. ν είναι ένας µιγαδικός αριθµός τότε για κάθε θετικό ακέραιο ν ν ισχύει ( ) = ( ) ν 5. Όταν η διακρίνουσα τους εξίσωσης α + β + γ = 0µε α, β, γ R και α 0 είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο Cτων µιγαδικών. 6. ν α, β πραγµατικοί αριθµοί, τότε α βi 0 7. ια κάθε µιγαδικό αριθµό ισχύει + = α = 0ή 0 β = = 8. ν, είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει + 9. ο µέτρο της διαφοράς δυο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους. 0. ι εικόνες δυο συζυγών µιγαδικών αριθµών, είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον άξονα x ' x.. διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος δυο µιγαδικών αριθµών είναι το άθροισµα των διανυσµατικών ακτίνων τους.. ν τους µιγαδικός αριθµός και ο συζυγής του, τότε ισχύει = = 3. ν, είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει πάντα + + 33
εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης 34