ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι, αν f ( ) > στο ( a, ) (,β), τότε το f( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β). ÔÑÉÐÔÕ Ï Μονάδες 9 Α. α. Πότε το σηµείο Α(, f( )) ονοµάζεται σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f. Μονάδες 3 β. Αν f, g συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού Α, Β αντιστοίχως, τι ονοµάζουµε σύνθεση της f µε την g και ποιο είναι το πεδίο ορισµού της; Μονάδες 3 Α3. Να χαρακτηρίστε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Αν f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] τότε, ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες γράφεται β f ( ) g ( ) d β f ( ) g ( ) d = [ f ( ) g ( β )] a a a β) Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει Í. ÓÌÕÑÍÇ v v * =, N. z z ν γ) Κάθε συνάρτηση, είναι γνησίως µονότονη. δ) Αν < a< τότε lim log a + = +. * ε) Για κάθε ν N η συνάρτηση f( ) = v * είναι παραγωγίσιµη στο R µε v f ( ) = v. Μονάδες ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Β Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόµενες σχέσεις: z ( z + ) = i z 3 και w= z i, Β. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z. Ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z ; Β. Να βρείτε την µέγιστη τιµή του z z και τις τιµές του z για τις οποίες επιτυγχάνεται. ÔÑÉÐÔÕ Ï Β3. Αν για τους µιγαδικούς z των προηγούµενων ερωτηµάτων ισχύει z z= και Im( z ) >, τότε να υπολογίσετε την τιµή του z z Í. ÓÌÕÑÍÇ 3. B4. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών w και να αποδείξετε ότι η απόσταση των εικόνων των z και w είναι ίση µε την απόσταση της εικόνας του z από το σηµείο Α(,). ΘΕΜΑ Γ, αν ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e. ln a, αν = Γ. Βρείτε τον a (, + ) ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη και δείξτε ότι f () =. Έστω α = e. Γ. α. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία. β. Να βρείτε το σύνολο τιµών της και τις ασύµπτωτες της γραφικής της παράστασης, εφόσον υπάρχουν. Γ3. Να αποδείξτε ότι η εξίσωση dt= έχει µοναδική ρίζα στο f ( t) + 3 (, ). ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΘΕΜΑ ίνονται οι συναρτήσεις f, G και F, οι οποίες είναι ορισµένες στο διάστηµα [, + ) µε f παραγωγίσιµη και G δύο φορές παραγωγίσιµη στο ίδιο διάστηµα. Έστω ότι ισχύουν: f () =, G() = και για κάθε είναι f ( ) >, G '( ) > και =. F( ) f ( t) dt. Να αποδείξετε ότι F( ) και G( ) για κάθε.. Να υπολογίσετε το όριο lim [ F( )ln ] τέτοιο, ώστε 3. ίνεται, επιπλέον, ότι F( ξ ) f ( ξ ) ln ξ+ =. ξ ÔÑÉÐÔÕ Ï Μονάδες 5 και να αποδείξτε ότι υπάρχει ξ (, ) [ ] [ ] f ( ) F( ) + f ( ) = G ( ) G( ) + G ( ), για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α. F( ) = G( ), για κάθε. β. Για κάθε >, οι εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων C F, CG στα Β, F και Γ, G αντιστοίχως, τέµνονται σε σηµεία τους ( ( ) ) ( ( ) ) σηµείο Α του άξονα y y (µονάδες 3) και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισεµβαδικό µε το χωρίο, που ορίζεται από τις C F, C G και την ευθεία = (µονάδες 3). Í. ÓÌÕÑÍÇ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 3
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Να αποδείξετε ότι, αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο, τότε είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. Μονάδες 5 A. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α παρουσιάζει ολικό µέγιστο στο Α; Μονάδες 4 A3. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () = α, α > είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και ισχύει f () = α lnα A4. Να βρείτε ποιοι από τους επόµενους ισχυρισµούς είναι αληθείς και ποιοι ψευδείς: i. Μια συνάρτηση είναι, αν και µόνο αν δεν υπάρχουν σηµεία της γραφικής της παράστασης µε ίδια τεταγµένη. Μονάδες ii. i 4ν + 3 = i, για κάθε ν ΙΝ. iii. Αν lim f () >, τότε f () > κοντά στο. iv. Μονάδες Μονάδες ÈÅÌÁÔÁ Αν δύο µεταβλητά µεγέθη, y συνδέονται µε τη σχέση y = f (), όταν f είναι µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο, τότε o ρυθµός µεταβολής του y ως προς στο σηµείο είναι η παράγωγος y = f ( ). Μονάδες v. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα, τότε τα εσωτερικά σηµεία του, στα οποία f ( ), δεν είναι θέσεις τοπικών ακρότατων της f. Μονάδες ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνονται οι συναρτήσεις f() = e και g() = ln+. B. Να βρείτε τις συνθέσεις fog και gof και να εξετάσετε αν είναι ίσες. B. Να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη και να βρείτε την f. B3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e = ln + έχει µία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστηµα (e, ). B4. Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ Γ f () g() lim = lim = (gof )() + (fog)() Η συνάρτηση f: IR IR είναι συνεχής και για κάθε IR ισχύει όπου α IR {}. Γ. Να αποδείξετε ότι: t f (t) dt (+ 3α ) f () = e, i. Η f είναι παραγωγίσιµη µε f ' () = f (), για κάθε IR. Μονάδες 4 ii. f () = + 3α, για κάθε IR. Γ. Να αποδείξετε ότι η τιµή του ολοκληρώµατος του α. Μονάδες 4 ÈÅÌÁÔÁ Γ3. Να µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την f. α t f (t) dt είναι ανεξάρτητη Μονάδες 4 Μονάδες 8 Γ4. Αν Ε είναι το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από τους άξονες, την γραφική παράσταση της f και την ευθεία = α, να αποδείξετε ότι: < E < 4 α 3 α Μονάδες 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο IR µε f () =, + f () e lim = και f () <, για κάθε IR. + Να αποδείξετε ότι:. f ( ) = και f () + 4, για κάθε IR.. Η f παρουσιάζει µέγιστο σε σηµείο (, ). 3. Η εξίσωση ( 5) ( ) f f (t )dt = f () έχει µοναδική λύση στο IR την = 5. 4. Ο µιγαδικός αριθµός z για τον οποίο ισχύει είναι φανταστικός. f( z + i ) f( z + ) ÈÅÌÁÔÁ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον, ) τέτοιος, ώστε ΜΟΝΑ ΕΣ 7 Β. Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης ; ΜΟΝΑ ΕΣ 4 Γ. Να δώσετε την γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος του Rolle. ΜΟΝΑ ΕΣ 4. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις επόµενες προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λανθασµένη (Λ).. Για κάθε µιγαδικό αριθµό z είναι.. Είναι. ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ 3. Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f : A ΙR και g : B ΙR, αν ορίζεται η συνάρτηση, τότε έχει πεδίο ορισµού την τoµή. ΜΟΝΑ ΕΣ ÈÅÌÁÔÁ 4. Αν µια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιµη στο. ΜΟΝΑ ΕΣ 5., όπου, είναι συνεχείς στο,. ΜΟΝΑ ΕΣ Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f : ΙR ΙR µε 4, για κάθε ΙR. όπου λ ΙR, η οποία παρουσιάζει στο = καµπή. α. i. Να αποδείξετε ότι. ii. β. Να βρείτε το όριο Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη. lim ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 γ. i. Να βρείτε την αρχική της της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σηµείο,. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ii. ΘΕΜΑ 3 Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της και τον άξονα. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 Έστω µια συνεχής συνάρτηση f : ΙR ΙR για την οποία ισχύει ηµ συν, για κάθε ΙR. α. Να αποδείξετε ότι:. και ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ii. Υπάρχει, τέτοιο, ώστε: ΜΟΝΑ ΕΣ 7 β. Έστω, επιπλέον, ότι η είναι παραγωγίσιµη και για κάθε IR. ÈÅÌÁÔÁ, i. Να βρείτε την και να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της στο σηµείο της µε τετµηµένη. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ii. Να υπολογίσετε το όριο: ΜΟΝΑ ΕΣ 8 Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 3 ΘΕΜΑ 4 Α. Να αποδείξετε ότι, για κάθε IR. Πότε ισχύει η ισότητα ; ΜΟΝΑ ΕΣ 3 Β. Έστω µια συνεχής συνάρτηση :,,. Για κάθε θεωρούµε το µιγαδικό z, µε: όπου. Να αποδείξετε ότι:.. και,, για κάθε. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ii., για κάθε. β. Η είναι γνησίως αύξουσα. γ. Η έχει αντίστροφη και να βρείτε την αντίστροφή της. ÈÅÌÁÔÁ ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 4 δ. Αν η είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (,, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ) 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β]. Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β ) G( α ). B.. B.. α (Μονάδες ) Πότε λέµε ότι µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της. (Μονάδες 3) Να δώσετε την γεωµετρική ερµηνεία του παράγωγου αριθµού στο σηµείο Μ, f της γραφικής παράστασης της f. ( ( ) (Μονάδες ) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Αν z z + = και z, z C αναγκαστικά z =z =. g α lim g α lim f y = l τότε β) Αν ( ) κοντά στο µε ( ) = και ( ) ( ( )) lim f g = l. γ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] και ( ) συνάρτησης, τότε κατ ανάγκη θα είναι f ( β) =. y α f β µέγιστη τιµή της δ) Αν µία συνάρτηση f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα, τότε f ( ) >. ε) Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, 5 ] και ( ) τότε ( ) f στο [ ], 5, ÈÅÌÁÔÁ f d. 5 (Μονάδες )
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ ο + w Οι µιγαδικοί αριθµοί z, w συνδέονται µε τη σχέση z = και η εικόνα του w w Κ και ακτίνα ρ =. ανήκει στον κύκλο µε κέντρο (,) α) Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο µε κέντρο το Ο(, ) και ακτίνα ρ =. () β) Αν z= () και z, z, z 3 οι εικόνες τριών µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει η σχέση () να δείξετε ότι: z+ z z+ z3 z+ z3 i) Ο αριθµός α= + + είναι πραγµατικός. z3 z z () ii) Αν επιπλέον z +z +z 3 = τότε να αποδείξετε ότι: z z z 3 3 Re + + = z z z 3 () γ) ίνεται η ευθεία (ε): 3 + 4y =. Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων του µιγαδικού w από την ευθεία (ε). ΘΕΜΑ 3 ο Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f :(, ) + ισχύουν f ( ) = f ( ) e + και ( ) f =. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = e + είναι -. β) Να δείξετε ότι f ( ) ln = για κάθε >. γ) Να µελετήσετε τη συνάρτηση h( ) βρεθεί το σύνολο τιµών της. (Μονάδες 5) + R τέτοια, ώστε για κάθε > (Μονάδες ) ÈÅÌÁÔÁ ( ) () f = ως προς την µονοτονία και να ()
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 3 συν ηµ ηµ δ) Να λύσετε την εξίσωση συν π = αν e e,. (Μονάδες 5) ε) Να εξετασθεί η h ως προς κυρτότητα και να δείξετε ότι για κάθε, µε h h ΘΕΜΑ 4 ο > > ισχύει ( ) ( ) e 5. () Έστω συνάρτηση f : R R η οποία είναι παραγωγίσιµη και τέτοια, ώστε u ( ) f t dt du 6 για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: 3 α) 3 f ( t) dt=. () β) Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α (, f ()) είναι η ευθεία 4 + y 3 = να υπολογίσετε το γ) Αν για κάθε ισχύει f ( ) > και ότι για κάθε > ισχύει h( ) h ( ) >. 3 t f ( t) dt lim. 4 ÈÅÌÁÔÁ (Μονάδες 5) h( ) = f ( t) dt, να αποδείξετε δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,3) f ( ξ ) + 3= ξ. () ξ τέτοιο, ώστε () 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να δείξετε ότι: f ( ) = Μονάδες 9 Β.. Πότε η ευθεία ψ = λ + β λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3. Πότε µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]; Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις επόµενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ):. Ισχύει lim f ( ) = l lim f ( + h) = l h lim =. Αν <α< τότε a. Μονάδες Μονάδες 3. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] τότε η f έχει υποχρεωτικά ολικά ακρότατα τα f(α) και f(β). Μονάδες 4. Για τις συναρτήσεις f και g που έχουν συνεχείς παραγώγους στο [α,β] ισχύει: β a ÈÅÌÁÔÁ 9 a [ ] f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) d = f ( ) g( ) β β a Μονάδες 5. Αν για κάθε στοιχείο ψ του συνόλου τιµών της f(), η f(χ)=ψ έχει λύση ως προς τότε η f είναι -. Μονάδες
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση z + z =, z C και z, z οι ρίζες της. Να αποδείξετε ότι: A. z z = και z 3 =. B. (z 9 + z 9 ) R. Γ. z 8 + z + =. Αν f() συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [,] µε z z f()-= + και f()= z z 3 + z z τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (,), ώστε f( )=3. Μονάδες 4 Μονάδες 4 Μονάδες 4 Ε. Αν Γ είναι η εικόνα του µιγαδικού w = z + z και Α, Β οι εικόνες των z και z αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση f() = + +ln. Α. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία και να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία είναι κυρτή ή κοίλη. Β. Να βρείτε το σύνολο τιµών και το πλήθος των ριζών της f. Γ. Αν ÈÅÌÁÔÁ 9 ln g ( ) = να δείξετε ότι υπάρχει > ώστε: + g() g( ) για κάθε >.. Να δείξετε ότι για κάθε > ισχύει: f( ) < f( + ) f( + 4).
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 3 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση f ορισµένη και παραγωγίσιµη στο (, + ) για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f ( ) = Α. Να δείξετε ότι f() = e -/. + e και f() = e Μονάδες 8 Β.. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f() στο σηµείο µε τετµηµένη =. Μονάδες. Να δείξετε ότι f ( ) d >. e f ( ) Γ. Αν g() =, να βρείτε το εµβαδόν Ε(t) του χωρίου που περικλείεται από 3 τη Cg, τον και τις ευθείες = και =t µε t>. Μονάδες 5 lim. Να βρείτε το E(t). t + Μονάδες 3 ÈÅÌÁÔÁ 9 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () = g () για κάθε εσωτερικό σηµείο του, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f () = g() + c ΜΟΝΑ ΕΣ 6 β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () = ν, ν IN {, } είναι παραγωγίσιµη στο IR και ισχύει: f () = ν ν ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Β. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z, z. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις επόµενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ): α. Η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος των z και z είναι το άθροισµα των διανυσµατικών τους ακτίνων. ΜΟΝΑ ΕΣ β. Είναι: z + z= z+ z γ. Είναι: z z z + z z + z ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ ÈÅÌÁÔÁ 8 δ. Η εξίσωση z z = z z µε z z παριστάνει τη µεσοκάθετο του τµήµατος µε άκρα τα σηµεία Α(z ) και Β(z ). ΜΟΝΑ ΕΣ
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 Γ. Έστω η συνάρτηση F() = f(t) dt, όπου f η συνάρτηση του διπλανού σχήµατος που η γραφική της παράσταση αποτελείται από τα ευθύγραµµα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ. Το εµβαδό του γραµµοσκιασµένου χωρίου Ω είναι Ε(Ω) = 36 τ.µ. Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α. F() = β. F(4) = γ. F() = ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f µε ηµ + λ, αν > f() = µε λ, µ IR (µ ) +, αν α. Να βρείτε την τιµή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής. Ο 4 ÈÅÌÁÔÁ 8 y 4 A Ω B ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ΜΟΝΑ ΕΣ 6 β. Να βρείτε την τιµή του µ, ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη στο =. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 γ. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι -. δ. Για λ = και µ =, να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα f() d. ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση f µε f () = e e, IR. α. i. Να την µελετήσετε ως προς την µονοτονία. π ΜΟΝΑ ΕΣ 3 ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ΜΟΝΑ ΕΣ 4 + e ii. Να αποδείξετε ότι f () = (e ) e, να µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε το σηµείο καµπής της γραφικής της παράστασης. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 β. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της f. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 γ. Να παραστήσετε γραφικά την f. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 δ. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f (), τους άξονες, y y και την ευθεία = ln. ΜΟΝΑ ΕΣ 6
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 3 ΘΕΜΑ 4 ο Οι συναρτήσεις f, g: IR IR είναι συνεχείς και για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύουν: Να αποδείξετε ότι: f(t) dt = g(t) dt () και g() () α. Η f είναι παραγωγίσιµη στο = και f () = g() β. g() < για κάθε IR γ. f(t) dt f(t) dt για κάθε IR ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 7 δ. H εξίσωση f () = g() + έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο διάστηµα (, ). ΜΟΝΑ ΕΣ 7 ÈÅÌÁÔÁ 8 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θέµα ο Α. α) Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Fermat. Μονάδες 4 β) Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και f ' > για κάθε εσωτερικό σηµείο του. ισχύει ( ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος.. Αν για µια συνάρτηση A R f : ισχύει ( ) κάθε Α, τότε το κ είναι η µέγιστη τιµή της f. f κ όπου κ R για. Αν υπάρχει το lim f ( ) =, τότε υπάρχει το όριο της ( ) και είναι f ( ) lim =. f στο 3. Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f ( a ) f ( β ) < και ( ) κάθε ( a, β ), τότε η f δεν είναι συνεχής στο [ a, β ]. 4. Αν για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστηµα ισχύει f για ( ) = ' ( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε f ( ) = g ( ) f ' g για κάθε. 5. Αν για µια συνάρτηση f υπάρχει παράγουσα στο διάστηµα, τότε για κάθε λ R ισχύει: λ f ( ) d = λ f ( ) d 6. Αν οι συναρτήσεις, OEΦE ΘEMATA 7. f g είναι συνεχείς στο [, ] a β και ισχύει ( ) < ( ) για κάθε [ a, β], τότε ( ) < ( ) f g β f d g d. a β a Μονάδες
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Θέµα ο Έστω η συνάρτηση f ( ) = ( + a) e. Αν η ευθεία y = +, R εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο (, f ( )) α) Να αποδείξετε ότι: a=. β) Να µελετήσετε τη µονοτονία της f. γ) Να υπολογίσετε τα όρια: lim f lim f i) ( ) ii) ( ) + δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 7 Θέµα 3 ο ίνονται οι µιγαδικοί, Να αποδείξετε ότι: α) ( z w ) Re =. Μ τότε: f = έχει ακριβώς µια λύση στο R. z w µε z w για τους οποίους ισχύει: z + w = z w. β) Ο αριθµός z w είναι φανταστικός. Μονάδες 5 γ) Το τρίγωνο µε κορυφές τις εικόνες των z, w στο µιγαδικό επίπεδο και την αρχή Ο των αξόνων, είναι ορθογώνιο στο. a, β µε < a< β και δ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [ ] z = a + i f ( a ), w = f ( β ) βi τότε η εξίσωση f ' ( ) = f ( ) έχει µια τουλάχιστον λύση στο ( a, β ). Θέµα 4 ο ίνεται η συνάρτηση g ( ) = d t όπου t, R. + t OEΦE ΘEMATA 7 α) Να µελετήσετε ως προς τα κοίλα τη συνάρτηση g. + β) Να αποδείξετε ότι: g ( ) γ) Να αποδείξετε ότι: g ( ) g ( ) για κάθε + = για κάθε R. Μονάδες 4
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 3 δ) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, τον άξονα και τις ευθείες =, = είναι Ε = g ( ) ln τ.µ. Μονάδες 8 Καλή Επιτυχία στις Γενικές εξετάσεις OEΦE ΘEMATA 7 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα Α. α) Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f '( ) =. Μονάδες β) Πότε η ευθεία = λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f ; Μονάδες 4 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Μια συνάρτηση : f Α R είναι << >> όταν για κάθε, Α f = f τότε =. lim f g τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα ισχύει η συνεπαγωγή: ( ) ( ) β) Αν υπάρχει το ( ) ( ) lim f ( ) και lim ( ) g ( ) γ) Αν lim f ( ) = + ή τότε ( ). f για τις τιµές του κοντά στο. δ) Αν µια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και δεν παρουσιάζει καµπή σε κανένα σηµείο του, f '' για κάθε. τότε ( ) β f d και a β ε) Αν ( ) = a κάθε [ aβ, ]. ÈÅÌÁÔÁ 6 f = για < τότε κατ ανάγκη ισχύει ( ) Μονάδες
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Θέµα ίνονται οι µιγαδικοί z και z+ i w= όπου z i. + i z α) Να αποδείξετε ότι: w i = z w + i Μονάδες 5 β) Αν z= και Μ η εικόνα του w στο µιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ ανήκει στον άξονα. γ) Να αποδείξετε την ισοδυναµία: w φανταστικός z φανταστικός. δ) Θεωρούµε συνάρτηση f συνεχή στο [ aβ, ] µε ( ) z = f ( a) i και w f ( β ) i f a > και έστω =. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει µια τουλάχιστον λύση στο (α,β). Θέµα 3 ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e a όπου a>. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης, f. ( ) της f στο σηµείο ( ) Μονάδες 4 β) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο είναι αρνητικό. Μονάδες 8 γ) Έστω ( a) παράσταση της f, την εφαπτοµένη της στο, ( ) = a>. Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική i) Να αποδείξετε ότι: ( ) ii) Να βρείτε το lim ( a) a a Ε a = e a. ( ) f και την ευθεία ÈÅÌÁÔÁ 6 a + Ε.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 3 Θέµα 4 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R µε f ( ) > και έστω ( ) ( ) g = t f t dt, t, R. Να αποδείξετε ότι: g t f t dt για κάθε. α) ( ) = ( ) β) Η g είναι συνεχής στο =. γ) g ( ) ( ) < f t dt για κάθε >. δ) Αν ( ) = 3 ( ) t f t dt t f t dt τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιος ώστε: g ( ξ ) f ( ξ ) =. ÈÅÌÁÔÁ 6
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα ο Α. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Να αποδείξετε ότι: Αν f ( ) ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. f Β. Έστω η συνάρτηση ( ) Να αποδείξετε ότι: '( ) >. a = µε α και f a a =. Μονάδες 9 Γ. Να απαντήσετε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις.. Μια συνάρτηση f : A είναι << >> αν και µόνο αν για κάθε, Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν = τότε f ( ) = f ( ). Αν lim f ( ) < lim g ( ) τότε f ( ) < g ( ) κοντά στο. 3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ aβ, ] και υπάρχει ( aβ, ) τέτοιο ώστε f ( ) =, τότε f ( a) f ( β ) <. 4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [, ] υπάρχει ( aβ ) τέτοιο ώστε f '( ) <. β, 5. Αν f ( ) d= a aβ και γνησίως αύξουσα, τότε και η συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο [ aβ, ], τότε f ( ) για κάθε [ aβ, ] Θέµα ο. Μονάδες OEΦE ΘEMATA 5 f = ln, > Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε ότι: ( ) β) Να βρείτε το lim f '( ) + ln f ' =, >.. Μονάδες 4
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 Μονάδες 3 γ) Να µελετήσετε τα κοίλα της f και να βρείτε το σηµείο της καµπής της. Μονάδες 8 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( ) και Θέµα 3 ο = e. ln ίνεται ο µιγαδικός z = e + ( ) i,. α) Να αποδείξετε ότι: Re( z) Im( z) =, τον άξονα και τις ευθείες > για κάθε.. β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ( ), w z z i = + + να είναι πραγµατικός. = e OEΦE ΘEMATA 5 Μονάδες Μονάδες 8 τέτοιος ώστε ο αριθµός γ) Να βρείτε το µιγαδικό z του οποίου το µέτρο να γίνεται ελάχιστο. Θέµα 4 ο ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο για την οποία ισχύουν ( ) και e f ( ) + f '( ) + ηµ = f '( ) για κάθε. f ) = συν + e f + f = συν για κάθε.. Μονάδες 8 Μονάδες 9 f = α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι (, και ότι ισχύει ( ) ( ) β) Να βρείτε το lim f ( ) + γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ( ) δ) Να αποδείξετε ότι: f ( ). π π I= f d. π π d 4.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 4 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θ Ε Μ Α ο Α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε τ ο θ ε ώ ρ η µ α : Έ σ τ ω µ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f, η ο π ο ί α ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν η σ ε έ ν α κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ η µ α [ α, β ]. Α ν η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ α, β ] κ α ι f ( α ) f ( β ) τ ό τ ε, γ ι α κ ά θ ε α ρ ι θ µ ό η µ ε τ α ξ ύ τ ω ν f ( α ) κ α ι f ( β ) υ π ά ρ χ ε ι έ ν α ς, τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ( α, β ) τ έ τ ο ι ο ς, ώ σ τ ε f ( ) = η Μ Ο Ν Α Ε Σ 5 Β. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f, π ο υ η γ ρ α φ ι κ ή τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η φ α ί ν ε τ α ι σ τ ο σ χ ή µ α, ε ί ν α ι δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ η σ τ ο π ε δ ί ο ο ρ ι σ µ ο ύ τ η ς µ ε σ υ ν ε χ ή δ ε ύ τ ε ρ η π α ρ ά γ ω γ ο. y y y = f () 3 Ν α β ρ ε ί τ ε, α ν η τ ι µ ή τ ω ν ο λ ο κ λ η ρ ω µ ά τ ω ν I, I, I 3 ε ί ν α ι θ ε τ ι κ ή ή α ρ ν η τ ι κ ή. 3 I = f () d Μ Ο Ν Α Ε Σ ÈÅÌÁÔÁ 4 I = 3 f '() d Μ Ο Ν Α Ε Σ 3 3= Μ Ο Ν Α Ε Σ 3 I f ''() d
Γ. Ν α α ν τ ι σ τ ο ι χ ί σ ε τ ε κ α θ έ ν α α π ό τ α ό ρ ι α τ η ς σ τ ή λ η ς Α µ ε τ η ν τ ι µ ή τ ο υ τ η ς σ τ ή λ η ς Β. Σ Τ Η Λ Η Α Σ Τ Η Λ Η Β. lim ηµ. lim ηµ 3. lim ln + 4. lim e α. β. γ. δ. + Μ Ο Ν Α Ε Σ 8. Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( ) = ν, ν IN -{, }. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ η σ τ ο IR κ α ι ι σ χ ύ ε ι f ( ) = ν ν -. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Θ Ε Μ Α ο. Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f, g ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν ε ς κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ ε ς σ τ ο IR µ ε Α ν σ τ ο ό ρ ι ο L = f ( ) g ( ) =, f ( ) γ ι α κ ά θ ε IR... g() + ε φ α ρ µ ό σ ο υ µ ε τ ο ν κ α ν ό ν α τ ο υ ο ρ ί ο υ π η λ ί κ ο υ, + f() lim π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε τ α ι α π ρ ο σ δ ι ο ρ ι σ τ ί α τ η ς µ ο ρ φ ή ς α. i ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο L. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6. ÈÅÌÁÔÁ 4 i i ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς α σ ύ µ π τ ω τ ε ς τ ω ν γ ρ α φ ι κ ώ ν π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν τ ω ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f κ α ι g σ τ ο +. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 β. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η g έ χ ε ι τ ο π ο λ ύ µ ι α ρ ί ζ α σ τ ο IR. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 γ. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : f ( ) g ( ) = + 4 γ ι α κ ά θ ε IR. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7
Θ Ε Μ Α 3 ο Γ ι α κ ά θ ε IR. ο ρ ί ζ ο υ µ ε τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η g() = t α+ e dt, α > κ α ι τ ο ν µ ι γ α δ ι κ ό z = g ( ) + i µ ε z + i z. Α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι i ) η g α ν τ ι σ τ ρ έ φ ε τ α ι κ α ι i i ) ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ο υ z α ν ή κ ο υ ν σ τ η ν γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς g -. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 Β. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι : α. R e ( z ) I m ( z ), γ ι α κ ά θ ε IR Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 β. α =. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 γ. < dt dt < t t + e α + e α + e + e Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 Θ Ε Μ Α 4 ο Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f, g ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν ε ς κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ ε ς σ τ ο IR µ ε g ( ) = κ α ι f ( ) = g ( ), f ( ) + g ( ) = γ ι α κ ά θ ε IR. α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : i ) g ( ) = g ( ) f ( ), IR.. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 i i ) Η g ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς µ ο ν ό τ ο ν η σ ε κ α θ έ ν α α π ό τ α δ ι α σ τ ή µ α τ α (, ], [, + ) κ α ι έ χ ε ι α κ ρ ό τ α τ ο τ ο. Μ Ο Ν Α Ε Σ 5 β. i ) Ν α µ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η f ω ς π ρ ο ς τ η ν κ υ ρ τ ό τ η τ α κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ α σ η µ ε ί α κ α µ π ή ς τ η ς. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 i i ) Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π τ ο µ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο ÈÅÌÁÔÁ 4 σ η µ ε ί ο τ η ς Ο (, ). Μ Ο Ν Α Ε Σ 3 γ. Α ν Ε ε ί ν α ι τ ο ε µ β α δ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ, π ο υ ο ρ ί ζ ε τ α ι α π ό τ η ν γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς f κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς y =, =, ν α δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι Ε = ln[ g ()] +. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη =. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 β) Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς σε ένα διάστηµα για τις οποίες ισχύει: f '( ) = g' ( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο του. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να ισχύει: f ( ) = g ( ) + c για κάθε ΜΟΝΑ ΕΣ 5 γ) Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α. Να δώσετε τον ορισµό : Πότε η f παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο. ΜΟΝΑ ΕΣ 3 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν µια συνάρτηση f : A R έχει αντίστροφη συνάρτηση γνησίως µονότονη στο Α. β) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο τις τιµές του κοντά στο. f, τότε η f είναι και f ( ) >, τότε f ( ) > για γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο [ α, β] τότε, υπάρχει ( α β ) τέτοιος ώστε να ισχύει ( ), f ' >. δ) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει ( ) ε) Αν f συνεχής στο [ aβ, ] µε ( ) [ α β] τέτοιος ώστε ( ), f >. f '' > για κάθε. f και ισχύει f ( ) d> ÈÅÌÁÔÁ 3 β a, τότε υπάρχει στ) Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο [ α, β] και β ισχύει f ( ) d= a, τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές. ΜΟΝΑ ΕΣ 9
Θέµα ο Έστω η συνάρτηση ( ) ln ( a) f =, a>. Α. Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Μ(, f ( ) ) είναι παράλληλη στην ευθεία y =, να βρείτε την τιµή του α. Β. Για a= : α) Να µελετήσετε τη µονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της f. β) Να βρείτε το σύνολο τιµών και τις ασύµπτωτες. κ γ) Να αποδείξετε: ότι ( κ ) ( κ ) Θέµα 3ο ίνονται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [, ] αριθµοί z a βi = + και w f ( α ) + i f ( β) Α. Να αποδείξετε ότι: α) Ο αριθµός z + κ > + για κάθε θετικό ακέραιο κ 8 = µε ( ) + β i z ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 7 ΜΟΝΑ ΕΣ 8 α β µε < α< β και οι µιγαδικοί f β. = είναι πραγµατικός αν και µόνο αν f ( a) + f ( β ) i w ΜΟΝΑ ΕΣ 5 β) Αν z = iw τότε οι εικόνες των z, w στο µιγαδικό επίπεδο και η αρχή των αξόνων, είναι κορυφές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου. Β. Έστω ότι ισχύει α) a f ( β ) β f ( α ) = z iw = z + iw. Να αποδείξετε ότι: β) Οι εικόνες των z, w και η αρχή είναι συνευθειακά σηµεία. γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( aβ, ) παράστασης της f στο σηµείο (, ( )) = a ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ÈÅÌÁÔÁ 3 ΜΟΝΑ ΕΣ 3 τέτοιο ώστε, η εφαπτοµένη της γραφικής M f να διέρχεται από το σηµείο (,). ΜΟΝΑ ΕΣ 8
Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f µε f ''( ) συνεχή στο R τέτοια ώστε να ισχύουν: ( t + ) f ''( t) dt = t f '( t) dt 4 t f ( ) dt για κάθε R f ( ) = και ( ) f ' =. α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι f ( ) =, R +, µε ΜΟΝΑ ΕΣ β) Έστω E ( a ) το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και = a>. Αν το a µεταβάλλεται µε ρυθµό cm / sec, να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του 3 E a, τη χρονική στιγµή κατά την οποία a= 3cm. εµβαδού ( ) γ) Θεωρούµε συνεχή συνάρτηση g για την οποία ισχύει: ( ) ( ) g + f για κάθε R. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 (i) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = + είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της g όταν + ΜΟΝΑ ΕΣ 5 (ii) Αν Ε είναι το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, την πλάγια ασύµπτωτη της στο + και τις ευθείες = και =, να αποδείξετε ότι: E ln 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΙΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ÈÅÌÁÔÁ 3